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unad
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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD”
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
TRABAJO COLABORATIVO MOMENTO 6
GRUPO COLABORATIVO
301301_935
INTEGRANTES:
JHON ALEXANDER DUARTE PÉREZ - CÓDIGO: 88236748
ARLEY WILSON IJAJI SAMBONI - CÓDIGO: 76332940
DARWIN FABIÁN ARIAS - CÓDIGO: 88271070
RAFAEL ANTONIO LEAL – CÓDIGO: 88263847
YEZID ALVEIRO VERA – CÓDIGO: 88034776
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD”
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
MAYO DE 2015
INTRODUCCIÓN
El presente trabajo nos muestra el desarrollo de los ejercicios del trabajo colaborativo
momento 6, dicha actividad revisa los conceptos estudiados en la unidad 3 del curso de
algebra, trigonometría y geometría analítica. Por lo tanto se trataran temas relacionados con
los conceptos básicos de la recta, secciones cónicas, sumatorias, productorias y
demostraciones en Geogebra.
DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD:
Temáticas revisadas: Secciones cónicas, Sumatorias y Productorias.
Estrategia de aprendizaje: Basado en tareas
Actividades Previas: Ninguna
Pasos para el desarrollo del Trabajo Colaborativo del Momento # 6:
Resolver cada uno de los siguientes problemas propuestos:
1. De la siguiente elipse 4 x2+ y2 –8 x+4 y – 8=0 Determine:
a. Centro
b. Focos
c. Vértices
SOLUCIÓN:
Completamos los cuadrados:
4 ( x2−2x+1 )+( y2+4 y+4 )−8−4−4=0
4 (x−1)2+( y+2)2=16
Dividimos por 16:
(x−1)2
4+( y+2)2
16=1
Elipse con eje vertical:
(xh)2
b2 +( yk )2
a2 =1
Centro (1, -2)
a2=16
a=4
Foco (1 ,−2± c )=(1 ,−2±√12 )=(1 ,1.46 ) y (1 ,−5.46)
Vértice: (1 ,−2± a )= (1,2± 4 )=(1 ,−16 ) y (1 ,2)
b2=4
b=2
c2=a2−b2=16−4=12
c √ 12
EJERCICIO 1. DEL COMPAÑERO JHON ALEXANDER DUARTE PÉREZ
2. Deduzca una ecuación canónica de la elipse que satisfaga las condiciones
indicadas:
( x−h )2
a2 +( y−k )2
b2 =1
Centro
1= y0+a
9= y0−a
10=2 y0
y0=102
=¿ y0=5
X 0=3
El centro es c= (3,5 )
1=5+a
a=−4
2b=6
b=3
( x−3 )2
32 +( y−5 )2
42 =1
Ecuación canónica de la elipse ( x−3 )2
9+
( y−5 )2
16=1
Partiendo de la ecuación canónica podemos hallar la ecuación general.
x2−6 y+99
+ y2−10x+2516
=1
16 ( x2−6 y+9 )+9( y2−10 x+25)144
=1
16 x2−96 x+144+9 y2−90 y+225144
=1
16 x2−96 x+9 y2−90 y+369=144
16 x2+9 y2−96 x−90 y+225=0
Ingresamos la ecuación general en geogebra y comprobamos los vértices.
EJERCICIO 2. DEL COMPAÑERO DARWIN FABIÁN ARIAS
3. De la siguiente hipérbola 4 x2−9 y2−16 x−18 y−29=0 Determine:
a. Centro
b. Focos
c. Vértices
SOLUCIÓN:
Se agrupa al lado izquierdo las mismas variables:
( 4 x2−16 x )−( 9 y2+18 y )=29
Se factoriza:
4 ( x2−4 x )−9 ( y2+2 y )=29
Se completa el trinomio:
4 ( x2−4 x+4 )−9 ( y2+2 y+1 )=29+16−9
4 ( x2−4 x+4 )−9 ( y2+2 y+1 )=36
Se factorizan los paréntesis:
4 ( x−2 )2−9 ( y+1 )2=36
Se dividen ambos lados
4 (x−2)2
36−
9 ( y+1 )2
36=36
36
(x−2)2
9−
( y+1 )2
4=1
Donde a2=9 y b2=4siendo una hipérbola horizontal en donde se tiene la variable x.
Obtenemos h=2k ;k=−1 ;a=3 ;b=2
Relación de constantes:
c=√a2+b2
c=√9+4
c=3.6
Centro: (2 ,−1 )
Vértice: v1 (2−3 ,−1 )=v 1 (−1 ,−1 )
v2 (2+3 ,−1 )=v 2 (5 ,−1 )
Foco: f 1 (2−3.6 ;−1 )=f 1(−1.6 ;−1)
f 2 (2+3.6 ;−1 )=f 1 (5.6 ;−1)
EJERCICIO 3. DEL COMPAÑERO JHON ALEXANDER DUARTE PÉREZ
4. Deduzca una ecuación de la hipérbola que satisfaga las condiciones indicadas:
V1 (1, 11) y V2 (1, -15), F1 (1,12) y F2 (1, -16)
Ubicamos el centro (h,k)
Centro (1,-2)
Distancia del centro al vértice “a”
a=13
Distancia del centro al foco, ”c”
c=14
Hallar b
c2=a2+b2
b2=c2−a2
b2=142−132
b2=196−169
b2=27
b2=3√3
Como sabemos que la hipérbola es paralela al eje y, la ecuación general es
( y−k )2
a2 −( x−h)2
b2 =1
( y+2)2
132 −(x−1)2
3√32 =1
y2+4 y+4169
− x2−2x+127
=1
27( y¿¿2+4 y+4 )−169(x2−2 x+1)4563
=1¿
27 y2+108 y+108−169 x2+338 x−1694563
=1
27 y2+108 y−169 x2+338x−61=4563
−169 x2+27 y2+338 x+108 y−4624=0
RTA/: La ecuación de la hipérbola que satisface las condiciones indicadas: V1 (1, 11) y
V2 (1, -5), F1 (1,12) y F2 (1, -16) es
−169 x2+27 y2+338 x+108 y−4624=0
Comprobación en geogebra.
EJERCICIO 4. DEL COMPAÑERO DARWIN FABIÁN ARIAS
5. Demostrar que la ecuación x2+ y2−8 x−6 y=0 es una circunferencia.
Determinar:
a. Centro
b. Radio
SOLUCIÓN
(x-h)² + (y-k)² = r²
Hallando:
x² + y² - 8x - 6y = 0
Agrupamos las "x" y las "y"
(x²-8x) + (y² -6y) = 0
Para formar cuadrados tenemos que agregar la mitad del segundo término al cuadrado, sin
la variable:
Ejemplo: 8x/2 = 4; ahora 4² =16
6y/2 = 3; ahora 3² =9
y para que no se afecte agregamos al otro lado la misma cantidad
(x²-8x+16) + (y²-6y+9) =0 + 16 + 9
(x²-8x+16) + (y²-6y+9) =25
Entonces si:
(x-4)² + (y-3)² = 5²
(x-h)² + (y-k)² = r²
Son iguales las ecuaciones entonces es una circunferencia:
a) Hallamos el centro que es igual (h,k) = (4,3)
b) Hallamos el radio que es r = 5
EJERCICIO 5. DEL COMPAÑERO ARLEY WILSON IJAJI SAMBONI
6. De la siguiente parábola − y2+12x+10 y−61=0 Determine:
a. Vértice
b. Foco
c. Directriz
SOLUCIÓN
La escribimos con el término cuadrático positivo.
y² - 12 x - 10 y + 61 = 0
La forma de la ecuación es:
(y - k)² = 2 p (x - h) donde (h, k) son las coordenadas del vértice y p es la distancia entre el
foco y la recta directriz.
Completamos cuadrados en la ecuación general.
y² - 10 y + 25 = 12 x - 61 + 25 = 12 x - 36
(y - 5)² = 12 (x - 3)
Luego el vértice es V(3, 5); p = 6
Foco: F(h + p/2, k) = F(3 + 3, 5) = (6, 5)
Directriz: x = h - p/2 = 3 - 3 = 0; (es el eje y)
EJERCICIO 6. DEL COMPAÑERO ARLEY WILSON IJAJI SAMBONI
7. Determine la ecuación de la recta que cumple las condiciones dadas:
Pasa por (1,7); paralela a la recta que pasa por (2, 5) y (-2, 1).
Hallo la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2, 5) y (-2, 1).
m=∆ y∆ x
= y 2− y 1x 2−x1
(2, 5) y (-2, 1)
X1 y1 x2 y2
m= 1−5−2−2
m=−4−4
m=1
La ecuación de la recta que queremos hallar tiene pendiente 1 por ser paralela a la recta
anterior y pasa por el punto (1,7)
(x1,y1)
Ecuación punto pendiente
y− y1=m ( x−x 1 )
y−7=1 ( x−1 )
y−7=x−1
x− y+6=0
Rta: la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,7) y es paralela a la recta que pasa por
el punto (2,5) y (-2,1) es
x− y+6=0
EJERCICIO 7. DEL COMPAÑERO DARWIN FABIÁN ARIAS
8. Calcular las siguientes sumatorias:
a. ∑i=1
300
2 i
b. ∑i=1
3
(2 i+1 )2
SOLUCIÓN:
Primero resolvamos
∑i=1
5
2 i=2 (1 )+2 (2 )+3 (2 )+4 (2 )+2(5)
2+4+6+8+10 = 30
Entonces para:
∑i=1
300
2 i=2 (1 )+2 (2 )+2 (3 )+2 ( 4 )+2 (5 )+………+2(300)
∑i=1
300
2 i=90300
B.
∑i=1
3
(2 i+1 )2
(2 (1 )+1 )2+(2 (2 )+1 )2+ (2 (3 )+1 )2
32+52+72
9+25+49
83
EJERCICIO 8. DEL COMPAÑERO YEZID ALVEIRO VERA
9. Calcular las siguientes productorias:
a. ∏i=2
4
3i+7
b. ∏i=2
n 4i
(i−1 )+3
SOLUCIÓN:
a. ∏i=2
4
3i+7
[3 (−1 )+7 ] . [3 (0 )+7 ] . [3 (1 )+7 ] . [3 (2 )+7 ] . [3 (3 )+7 ] . [3 (4 )+7 ]
[ 4 ] . [ 7 ] . [10 ] . [13 ] . [16 ] . [ 19 ]
= 1106560
b. ∏i=2
n4i
( i−1 )+3
[ 22−1
+3] . [ 3(3−1 )
+3] .[ 4(4−1 )
+3][ 21+3] .[ 3
2+3] . [ 4
3+3]
= 97,5
EJERCICIO 9. DEL COMPAÑERO YEZID ALVEIRO VERA
CONCLUSIONES
Como se puede observar los integrantes del grupo colaborativo del momento 6,
lograron comprender y aplicar los conceptos aprendidos en la unidad 3, en resumen
tiene conocimientos necesarios para desarrollar actividades referentes a Secciones
Cónicas, Sumatorias y Productorias. Durante la realización de los ejercicios se
originó un debate entre los miembros sobre las respuestas correctas y las
correcciones para su buen desarrollo.
Podemos concluir que el trabajo resulto productivo y cumplió con los objetivos
planteados en la guía de la actividad.
BIBLIOGRAFÍA
Matemáticas Preuniversitarias. Dra. Lourdes Palacios & M.I.B. Norma Castañeda.
docencia.izt.uam.mx/cbicc/presentaciones/lourdes%20y%20norma/Ecuaciones
%20de%20la%20recta.ppt
Shirley Bromberg, Raquel Valdés
docencia.izt.uam.mx/cbicc/presentaciones/FunTrigo.ppt
Abraham García Roca
www.sectormatematica.cl/ppt/CIRCUNFERENCIA_AB.ppt
iesillue.educa.aragon.es/tic/ppt/Rectas%20y%20circunferencias.ppt
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