algebra si geometrie

I

1. a) Ce este o matrice ortogonala? Sa se arate ca daca A si B sunt matrici ortogonale,atunci si produsul AB este matrice ortogonala. Care dintre urmatoarele doua afirmatiieste corecta: i) Matricea de trecere ıntre doua baze arbitrare este o matrice ortogonala;ii) Matricea de trecere ıntre doua baze ortonormate este ortogonala;

b) In subspatiul vectorial

S = {v = (x, y, z) ∈ R3 |x+ 2y − z = 0}

al lui R3 sa se determine o baza si apoi sa se ortonormeze folosind procedeul lui Gramm–Schmidt.

c) In spatiul vectorial R3 se da baza canonica B = (e1, e2, e3) si baza

B′ = (v1 = (3, 2, 1), v2 = (1, 0, 1), v3 = (1, 2, 0)).

Sa se determine matricile de trecere TBB′ si TB′B si coordonatele vectorului v = (3, 2− 2)relativ la baza B′.

2. a) Daca matricea patratica cu elemente reale de tip 2 × 2 are valorile proprii λ1, λ2,diferite, si v1, v2 sunt vectori proprii corespunzatori lui λ1, respectiv λ2, precizati dacasistemul de vectori (v1, v2), este liniar dependent sau independent. In ce conditii o matricepatratica cu elemente reale este similara cu o matrice diagonala?

b) Sa se reduca forma patratica Q : R2 → R, Q(x1, x2) = x21 − 2x2

2 + 4x1x2 la formacanonica, specificandu-se o baza ın R2 relativ la careQ are forma canonica si sa se precizezetipul formei.

c) Se da curba ın spatiu parametrizata de r(t) = (e2t, e−2t,√2 t), t ∈ [−10, 10]. Sa se

determine directia binormalei ın punctul A, corespunzator parametrului t = 0 si curburacurbei ın A.

Pentru fiecare problema se da 1p start si cate 3 puncte pe a), b), c).Nota la examen=numar puncte/2, daca nota la fiecare problema este cel putin 5.

Nota finala=23Examen+1

3Seminar