Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet...

Algebra2, normál 3. előadás 1 / 25

Algebra2, normálELTE Algebra és Számelmélet Tanszék

Előadó: Kiss Emilhttp://ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress

ewwkiss@gmail.com

3. előadás

Lineáris leképezések Algebra2, normál 3. előadás 2 / 25

A lineáris leképezés fogalma

Definíció (F5.1.1. Definíció)

Legyenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött.

Legyenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött.Az A : V → W lineáris leképezés, ha

Legyenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött.Az A : V → W lineáris leképezés, haösszegtartó,

Legyenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött.Az A : V → W lineáris leképezés, haösszegtartó, azaz v1, v2 ∈ V esetén A(v1 + v2) = A(v1) + A(v2);

Legyenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött.Az A : V → W lineáris leképezés, haösszegtartó, azaz v1, v2 ∈ V esetén A(v1 + v2) = A(v1) + A(v2);skalárszorostartó,

Legyenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött.Az A : V → W lineáris leképezés, haösszegtartó, azaz v1, v2 ∈ V esetén A(v1 + v2) = A(v1) + A(v2);skalárszorostartó, azaz v ∈ V és λ ∈ T esetén A(λv) = λA(v).

Legyenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött.Az A : V → W lineáris leképezés, haösszegtartó, azaz v1, v2 ∈ V esetén A(v1 + v2) = A(v1) + A(v2);skalárszorostartó, azaz v ∈ V és λ ∈ T esetén A(λv) = λA(v).Az A : V → W lineáris leképezések halmaza Hom(V ,W ).

Állítás (F5.1.2. Tétel)

Minden lineáris leképezés nullát nullába,

Minden lineáris leképezés nullát nullába,azaz A(0V ) = 0W

Minden lineáris leképezés nullát nullába, ellentettet ellentettbe visz,azaz A(0V ) = 0W

Minden lineáris leképezés nullát nullába, ellentettet ellentettbe visz,azaz A(0V ) = 0W és A(−v) = −A(v).

Bizonyítási ötlet az első állításra

A(0V + 0V ) = A(0V ) + A(0V ),

A(0V ) = A(0V + 0V ) = A(0V ) + A(0V ),

A(0V ) = A(0V + 0V ) = A(0V ) + A(0V ), adjunk hozzá −A(0V )-t.

Példák lineáris leképezésre

(1) A sík és a tér origót fixáló egybevágósági és hasonlóságitranszformációi

(1) A sík és a tér origót fixáló egybevágósági és hasonlóságitranszformációi (tükrözés, forgatás, nyújtás).

(2) V = T n és W = Tm a T fölött,

(2) V = T n és W = Tm a T fölött, M ∈ Tm×n rögzített mátrix.

(2) V = T n és W = Tm a T fölött, M ∈ Tm×n rögzített mátrix.Legyen A(v) = Mv .

(2) V = T n és W = Tm a T fölött, M ∈ Tm×n rögzített mátrix.Legyen A(v) = Mv . Azaz A az M-mel szorzás.

(3) V = W = T [x ] a T fölött,

(3) V = W = T [x ] a T fölött, A(p) = p′

(3) V = W = T [x ] a T fölött, A(p) = p′ (a p polinom deriváltja).

(4) V = R[x ] az R fölött, W = R önmaga fölött.

(4) V = R[x ] az R fölött, W = R önmaga fölött.A(p) = p(3)

(4) V = R[x ] az R fölött, W = R önmaga fölött.A(p) = p(3) (az 3 szám behelyettesítése).

(5) V vektortér T fölött, W = T n a T test fölött.

(5) V vektortér T fölött, W = T n a T test fölött.B = (b1, . . . , bn) rögzített bázis V -ben

(5) V vektortér T fölött, W = T n a T test fölött.B = (b1, . . . , bn) rögzített bázis V -ben és A(v) = [v ]B .

(6) V és W tetszőleges vektorterek T fölött,

(6) V és W tetszőleges vektorterek T fölött, A(v) = 0Wminden v ∈ V -re.

(6) V és W tetszőleges vektorterek T fölött, A(v) = 0Wminden v ∈ V -re. Ez a nulla leképezés,

(6) V és W tetszőleges vektorterek T fölött, A(v) = 0Wminden v ∈ V -re. Ez a nulla leképezés, jele 0.

(7) V = W tetszőleges vektortér,

(7) V = W tetszőleges vektortér, A(v) = v .

(7) V = W tetszőleges vektortér, A(v) = v .Ez az identikus leképezés,

(7) V = W tetszőleges vektortér, A(v) = v .Ez az identikus leképezés, jele I

(7) V = W tetszőleges vektortér, A(v) = v .Ez az identikus leképezés, jele I vagy IV .

Tükrözés egyenesre

PéldaLegyen R az y = x egyenesre való tükrözés.

✻y = x

A tükrözés képlete

Kérdés

Legyen R az y = x egyenesre való tükrözés.

Kérdés

Legyen R az y = x egyenesre való tükrözés. R

Kérdés

Láttuk: R

Kérdés

Láttuk: R

Kérdés

Láttuk: R

Kérdés

Láttuk: R

. Ezért

Kérdés

Láttuk: R

. Ezért

Kérdés

Láttuk: R

. Ezért

Kérdés

Láttuk: R

. Ezért

Kérdés

Láttuk: R

. Ezért

Kérdés

Láttuk: R

. Ezért

Kérdés

Láttuk: R

. Ezért

hiszen R összegtartó.

Kérdés

Láttuk: R

. Ezért

hiszen R összegtartó. A skalárszoros-tartás miatt ez

Kérdés

Láttuk: R

. Ezért

Kérdés

Láttuk: R

. Ezért

Kérdés

Láttuk: R

. Ezért

Kérdés

Láttuk: R

. Ezért

Kérdés

Láttuk: R

. Ezért

Kérdés

Láttuk: R

. Ezért

Kérdés

Láttuk: R

. Ezért

Kérdés

Láttuk: R

. Ezért

Kérdés

Láttuk: R

. Ezért

Vektor képe általános transzformációnál

Kérdés

Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció.

Kérdés

, akkor A

Kérdés

, akkor A

Kérdés

, akkor A

Kérdés

, akkor A

Kérdés

, akkor A

Kérdés

, akkor A

Kérdés

, akkor A

hiszen A összegtartó.

Kérdés

, akkor A

hiszen A összegtartó. A skalárszoros-tartás miatt ez

Kérdés

, akkor A

Kérdés

, akkor A

Kérdés

, akkor A

Kérdés

, akkor A

Kérdés

, akkor A

Kérdés

, akkor A

Kérdés

, akkor A

Kérdés

, akkor A

Kérdés

, akkor A

ax + cy

bx + dy

Kérdés

, akkor A

ax + cy

bx + dy

Tehát minden vektor képét ki tudjuk számolni,

Kérdés

, akkor A

ax + cy

bx + dy

Tehát minden vektor képét ki tudjuk számolni, ha ismerjüka, b, c , d értékét.

Lineáris transzformáció mátrixa

Láttuk

Legyen A : T 2 → T 2 lineáris transzformáció. Ha

Láttuk

, akkor A

ax + cy

bx + dy

Láttuk

, akkor A

ax + cy

bx + dy

Definíció

A fenti A mátrixa [A] =

Láttuk

, akkor A

ax + cy

bx + dy

Definíció

. (Az oszlopok

Láttuk

, akkor A

ax + cy

bx + dy

Definíció

. (Az oszlopok

képei.)

Láttuk

, akkor A

ax + cy

bx + dy

Definíció

. (Az oszlopok

képei.)

A mátrix-vektor szorzás definíciójának indoka:[

Láttuk

, akkor A

ax + cy

bx + dy

Definíció

. (Az oszlopok

képei.)

Láttuk

, akkor A

ax + cy

bx + dy

Definíció

. (Az oszlopok

képei.)

ax + cy

bx + dy

Láttuk

, akkor A

ax + cy

bx + dy

Definíció

. (Az oszlopok

képei.)

ax + cy

bx + dy

(így lehet kiszámolni egy vektor képét).

Láttuk

, akkor A

ax + cy

bx + dy

Definíció

. (Az oszlopok

képei.)

ax + cy

bx + dy

(így lehet kiszámolni egy vektor képét).

Azaz A(v) = [A]v .

A forgatás mátrixa

Példa

Az origó körüli α szögű forgatás mátrixa

Példa

Az origó körüli α szögű forgatás mátrixa [F ]=

cosα − sinαsinα cosα

Példa

A megfelelő derékszögű háromszögek lerajzolásával: HF.

Példa

A megfelelő derékszögű háromszögek lerajzolásával: HF.Komplex számokkal:

Példa

A megfelelő derékszögű háromszögek lerajzolásával: HF.Komplex számokkal: ez a forgatás szorzás cosα+ i sinα-val.

Példa

Az x + iy számnak az

felel meg:

Példa

felel meg:

Példa

felel meg:

↔ 1 és

↔ i .

Példa

felel meg:

↔ 1 és

↔ i .

A [F ] első oszlopa:

Példa

felel meg:

↔ 1 és

↔ i .

A [F ] első oszlopa: 1(cosα+ i sinα)

Példa

felel meg:

↔ 1 és

↔ i .

A [F ] első oszlopa: 1(cosα+ i sinα) ↔

cosαsinα

Példa

felel meg:

↔ 1 és

↔ i .

cosαsinα

A második:

Példa

felel meg:

↔ 1 és

↔ i .

cosαsinα

A második: i(cosα+ i sinα) =

Példa

felel meg:

↔ 1 és

↔ i .

cosαsinα

A második: i(cosα+ i sinα) = − sinα+ i cosα

Példa

felel meg:

↔ 1 és

↔ i .

cosαsinα

A második: i(cosα+ i sinα) = − sinα+ i cosα ↔

− sinαcosα

Mátrix bázispárban

b = (b1, . . . , bn) bázis V -ben,

b = (b1, . . . , bn) bázis V -ben, d = (d1, . . . , dm) bázis W -ben.

b = (b1, . . . , bn) bázis V -ben, d = (d1, . . . , dm) bázis W -ben.Ha A : V → W lineáris leképezés,

b = (b1, . . . , bn) bázis V -ben, d = (d1, . . . , dm) bázis W -ben.Ha A : V → W lineáris leképezés, akkor A mátrixa

a (b,d) bázispárban

a (b,d) bázispárban [A]d/b =[

[A(b1)]d, . . . , [A(bn)]d

∈ Tm×n.

[A(b1)]d, . . . , [A(bn)]d

∈ Tm×n.

A mátrix j-edik oszlopába A(bj) koordinátáit írjuk a d bázisban.

[A(b1)]d, . . . , [A(bn)]d

∈ Tm×n.

Azaz [A]d/b =

λ11 . . . λ1n

.... . .

...λm1 . . . λmn

azt jelenti, hogy

[A(b1)]d, . . . , [A(bn)]d

∈ Tm×n.

Azaz [A]d/b =

λ11 . . . λ1n

.... . .

...λm1 . . . λmn

azt jelenti, hogy

A(b1) = λ11d1 + . . .+ λm1dm,

[A(b1)]d, . . . , [A(bn)]d

∈ Tm×n.

Azaz [A]d/b =

λ11 . . . λ1n

.... . .

...λm1 . . . λmn

azt jelenti, hogy

A(b1) = λ11d1 + . . .+ λm1dm,. . . ,A(bn) = λ1nd1 + . . .+ λmndm.

[A(b1)]d, . . . , [A(bn)]d

∈ Tm×n.

Azaz [A]d/b =

λ11 . . . λ1n

.... . .

...λm1 . . . λmn

azt jelenti, hogy

A(b1) = λ11d1 + . . .+ λm1dm,. . . ,A(bn) = λ1nd1 + . . .+ λmndm.

Az előbbi példákban a sík szokásos bázisa szerepelt.

Vektor képének kiszámítása

Tétel (F5.7.3. Tétel)

Legyen b bázis V -ben,

Legyen b bázis V -ben, d bázis W -ben,

Legyen b bázis V -ben, d bázis W -ben, A ∈ Hom(V ,W )

Legyen b bázis V -ben, d bázis W -ben, A ∈ Hom(V ,W )és v ∈ V .

Legyen b bázis V -ben, d bázis W -ben, A ∈ Hom(V ,W )és v ∈ V . Ekkor [A(v)]d = [A]d/b[v ]b.

Bázisok megjegyzése: d = (d/b)b

Bázisok megjegyzése: d = (d/b)b („kiesik” a b).

Bizonyítás

Legyen [A]d/b = ((λij))

Bizonyítás

Legyen [A]d/b = ((λij)) és [v ]b = ((µj)).

Bizonyítás

Legyen [A]d/b = ((λij)) és [v ]b = ((µj)). Ekkor

[A]d/b[v ]b =

Bizonyítás

[A]d/b[v ]b =

λ11 . . . λ1n

.... . .

...λm1 . . . λmn

...µn

Bizonyítás

[A]d/b[v ]b =

λ11 . . . λ1n

.... . .

...λm1 . . . λmn

...µn

λ11µ1 + . . .+ λ1nµn

...λm1µ1 + . . .+ λmnµn

Bizonyítás

[A]d/b[v ]b =

λ11 . . . λ1n

.... . .

...λm1 . . . λmn

...µn

λ11µ1 + . . .+ λ1nµn

...λm1µ1 + . . .+ λmnµn

Tudjuk: A(v) = A(µ1b1 + . . .+ µnbn) =

Bizonyítás

[A]d/b[v ]b =

λ11 . . . λ1n

.... . .

...λm1 . . . λmn

...µn

λ11µ1 + . . .+ λ1nµn

...λm1µ1 + . . .+ λmnµn

Tudjuk: A(v) = A(µ1b1 + . . .+ µnbn) = µ1A(b1) + . . .+ µnA(bn),

Bizonyítás

[A]d/b[v ]b =

λ11 . . . λ1n

.... . .

...λm1 . . . λmn

...µn

λ11µ1 + . . .+ λ1nµn

...λm1µ1 + . . .+ λmnµn

Tudjuk: A(v) = A(µ1b1 + . . .+ µnbn) = µ1A(b1) + . . .+ µnA(bn),és A(bj) = λ1jd1 + . . .+ λmjdm.

Bizonyítás

[A]d/b[v ]b =

λ11 . . . λ1n

.... . .

...λm1 . . . λmn

...µn

λ11µ1 + . . .+ λ1nµn

...λm1µ1 + . . .+ λmnµn

Tudjuk: A(v) = A(µ1b1 + . . .+ µnbn) = µ1A(b1) + . . .+ µnA(bn),és A(bj) = λ1jd1 + . . .+ λmjdm. Behelyettesítve és átrendezveA(v) = (λ11µ1 + . . .+ λ1nµn)d1 + . . .+ (λm1µ1 + . . .+ λmnµn)dm.

Lineáris leképezések szorzata Algebra2, normál 3. előadás 11 / 25

Példa kompozícióra

KérdésMelyik transzformációt kapjuk,

KérdésMelyik transzformációt kapjuk, ha először tükrözünkaz y = x egyenesre,

KérdésMelyik transzformációt kapjuk, ha először tükrözünkaz y = x egyenesre, majd forgatunk az origó körül 90◦-kal?

KérdésMelyik transzformációt kapjuk, ha először tükrözünkaz y = x egyenesre, majd forgatunk az origó körül 90◦-kal?Ez a két transzformáció kompozíciója

KérdésMelyik transzformációt kapjuk, ha először tükrözünkaz y = x egyenesre, majd forgatunk az origó körül 90◦-kal?Ez a két transzformáció kompozíciója (egymás utánja).

7→ R

Mivel [F ] =

cos 90◦ − sin 90◦

sin 90◦ cos 90◦

7→ R

Mivel [F ] =

cos 90◦ − sin 90◦

sin 90◦ cos 90◦

0 −11 0

7→ R

Mivel [F ] =

cos 90◦ − sin 90◦

sin 90◦ cos 90◦

0 −11 0

, ezért

7→ R

Mivel [F ] =

cos 90◦ − sin 90◦

sin 90◦ cos 90◦

0 −11 0

, ezért

7→ R

Mivel [F ] =

cos 90◦ − sin 90◦

sin 90◦ cos 90◦

0 −11 0

, ezért

0 −11 0

7→ R

Mivel [F ] =

cos 90◦ − sin 90◦

sin 90◦ cos 90◦

0 −11 0

, ezért

0 −11 0

7→ R

Mivel [F ] =

cos 90◦ − sin 90◦

sin 90◦ cos 90◦

0 −11 0

, ezért

0 −11 0

0y + (−1)x1y + 0x

7→ R

Mivel [F ] =

cos 90◦ − sin 90◦

sin 90◦ cos 90◦

0 −11 0

, ezért

0 −11 0

0y + (−1)x1y + 0x

7→ R

Mivel [F ] =

cos 90◦ − sin 90◦

sin 90◦ cos 90◦

0 −11 0

, ezért

0 −11 0

0y + (−1)x1y + 0x

Az eredmény az y -tengelyre való tükrözés (HF).

A kompozíció mátrixa

Definíció

Ha A,B : T 2 → T 2 transzformációk,

Definíció

Ha A,B : T 2 → T 2 transzformációk, akkor kompozíciójuk(A ◦ B)(v) = A

tetszőleges v ∈ T 2 esetén.

Definíció

tetszőleges v ∈ T 2 esetén.Összetett függvény:

Definíció

tetszőleges v ∈ T 2 esetén.Összetett függvény: először B-t,

Definíció

tetszőleges v ∈ T 2 esetén.Összetett függvény: először B-t, utána A-t alkalmazzuk.

Definíció

Tétel

Ha [A] =

Definíció

Tétel

Ha [A] =

, és [B] =

a′ c ′

b′ d ′

Definíció

Tétel

Ha [A] =

, és [B] =

a′ c ′

b′ d ′

, akkor

[A ◦ B]=

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

Definíció

Tétel

Ha [A] =

, és [B] =

a′ c ′

b′ d ′

, akkor

[A ◦ B]=

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

Tehát [A ◦ B] = [A][B]:

Definíció

Tétel

Ha [A] =

, és [B] =

a′ c ′

b′ d ′

, akkor

[A ◦ B]=

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

Tehát [A ◦ B] = [A][B]: kompozíció mátrixa a mátrixok szorzata.

Definíció

Tétel

Ha [A] =

, és [B] =

a′ c ′

b′ d ′

, akkor

[A ◦ B]=

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

Tehát [A ◦ B] = [A][B]: kompozíció mátrixa a mátrixok szorzata.

A mátrixok szorzását azért definiáltuk ezekkel a képletekkel,hogy ez az összefüggés igaz legyen.

A kompozíció mátrixának kiszámítása

Tétel

, [B]=

a′ c ′

b′ d ′

Tétel

, [B]=

a′ c ′

b′ d ′

=⇒ [A ◦ B]=

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

Tétel

, [B]=

a′ c ′

b′ d ′

=⇒ [A ◦ B]=

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

Bizonyítás

Tétel

, [B]=

a′ c ′

b′ d ′

=⇒ [A ◦ B]=

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

Bizonyítás

Tétel

, [B]=

a′ c ′

b′ d ′

=⇒ [A ◦ B]=

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

Bizonyítás

Tétel

, [B]=

a′ c ′

b′ d ′

=⇒ [A ◦ B]=

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

Bizonyítás

Tétel

, [B]=

a′ c ′

b′ d ′

=⇒ [A ◦ B]=

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

Bizonyítás

aa′ + cb′

ba′ + db′

Tétel

, [B]=

a′ c ′

b′ d ′

=⇒ [A ◦ B]=

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

Bizonyítás

aa′ + cb′

ba′ + db′

Ezért A ◦ B első oszlopa tényleg az, ami a tételben szerepel.

Tétel

, [B]=

a′ c ′

b′ d ′

=⇒ [A ◦ B]=

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

Bizonyítás

aa′ + cb′

ba′ + db′

Tétel

, [B]=

a′ c ′

b′ d ′

=⇒ [A ◦ B]=

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

Bizonyítás

aa′ + cb′

ba′ + db′

Tétel

, [B]=

a′ c ′

b′ d ′

=⇒ [A ◦ B]=

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

Bizonyítás

aa′ + cb′

ba′ + db′

Tétel

, [B]=

a′ c ′

b′ d ′

=⇒ [A ◦ B]=

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

Bizonyítás

aa′ + cb′

ba′ + db′

Tétel

, [B]=

a′ c ′

b′ d ′

=⇒ [A ◦ B]=

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

Bizonyítás

aa′ + cb′

ba′ + db′

ac ′ + cd ′

bc ′ + dd ′

Tétel

, [B]=

a′ c ′

b′ d ′

=⇒ [A ◦ B]=

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

Bizonyítás

aa′ + cb′

ba′ + db′

ac ′ + cd ′

bc ′ + dd ′

Ezért A ◦ B második oszlopa is megfelelő.

Tétel

, [B]=

a′ c ′

b′ d ′

=⇒ [A ◦ B]=

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

Bizonyítás

aa′ + cb′

ba′ + db′

ac ′ + cd ′

bc ′ + dd ′

Példa: [F ◦ R] =

Tétel

, [B]=

a′ c ′

b′ d ′

=⇒ [A ◦ B]=

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

Bizonyítás

aa′ + cb′

ba′ + db′

ac ′ + cd ′

bc ′ + dd ′

Példa: [F ◦ R] = [F ][R] =

Tétel

, [B]=

a′ c ′

b′ d ′

=⇒ [A ◦ B]=

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

Bizonyítás

aa′ + cb′

ba′ + db′

ac ′ + cd ′

bc ′ + dd ′

Példa: [F ◦ R] = [F ][R] =

0 −11 0

Tétel

, [B]=

a′ c ′

b′ d ′

=⇒ [A ◦ B]=

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

Bizonyítás

aa′ + cb′

ba′ + db′

ac ′ + cd ′

bc ′ + dd ′

Példa: [F ◦ R] = [F ][R] =

0 −11 0

0 11 0

Tétel

, [B]=

a′ c ′

b′ d ′

=⇒ [A ◦ B]=

aa′ + cb′ ac ′ + cd ′

ba′ + db′ bc ′ + dd ′

Bizonyítás

aa′ + cb′

ba′ + db′

ac ′ + cd ′

bc ′ + dd ′

Példa: [F ◦ R] = [F ][R] =

0 −11 0

0 11 0

−1 00 1

Kompozíció az általános esetben

Legyenek U, V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.

Legyenek U, V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az A : V → W és a B : U → V lineáris leképezések szorzata

Legyenek U, V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az A : V → W és a B : U → V lineáris leképezések szorzata(kompozíciója) (AB)(u) = A

minden u ∈ U-ra.

Ha A és B lineáris, akkor AB is az.

minden u ∈ U-ra.

Bizonyítás

AB skalárszoros-tartó:AB(λu)

minden u ∈ U-ra.

Bizonyítás

AB skalárszoros-tartó:AB(λu)

A kompozíció definíciója miatt.

minden u ∈ U-ra.

Bizonyítás

AB skalárszoros-tartó:AB(λu) = A

B(λu))

minden u ∈ U-ra.

Bizonyítás

B(λu))

B skalárszoros-tartása miatt.

minden u ∈ U-ra.

Bizonyítás

B(λu))

λB(u))

B skalárszoros-tartása miatt.

minden u ∈ U-ra.

Bizonyítás

B(λu))

λB(u))

A skalárszoros-tartása miatt.

minden u ∈ U-ra.

Bizonyítás

B(λu))

λB(u))

= λA(

A skalárszoros-tartása miatt.

minden u ∈ U-ra.

Bizonyítás

B(λu))

λB(u))

= λA(

minden u ∈ U-ra.

Bizonyítás

B(λu))

λB(u))

= λA(

= λAB(u).

minden u ∈ U-ra.

Bizonyítás

B(λu))

λB(u))

= λA(

= λAB(u).

HF: AB összegtartó.

Általános kompozíció mátrixa

Legyen a bázis U-ban,

Legyen a bázis U-ban, b bázis V -ben,

Legyen a bázis U-ban, b bázis V -ben, d bázis W -ben,

Legyen a bázis U-ban, b bázis V -ben, d bázis W -ben,A ∈ Hom(V ,W )

Legyen a bázis U-ban, b bázis V -ben, d bázis W -ben,A ∈ Hom(V ,W ) és B ∈ Hom(U,V ).

Legyen a bázis U-ban, b bázis V -ben, d bázis W -ben,A ∈ Hom(V ,W ) és B ∈ Hom(U,V ). Ekkor[AB]d/a = [A]d/b[B]b/a.

Bizonyítás: HF.

Bizonyítás: HF.Bázisok megjegyzése: d/a = (d/b)(b/a)

Bizonyítás: HF.Bázisok megjegyzése: d/a = (d/b)(b/a) („kiesik” a b).

Következmény

Inverz leképezés mátrixa a mátrix inverze:

Következmény

Inverz leképezés mátrixa a mátrix inverze: [A−1]b/d = [A]−1

Következmény

Bizonyítás

[A−1]b/d[A]d/b = [A−1A]b/b =

Következmény

Bizonyítás

[A−1]b/d[A]d/b = [A−1A]b/b = [I ]b/b,

Következmény

Bizonyítás

[A−1]b/d[A]d/b = [A−1A]b/b = [I ]b/b, ami az egységmátrix.

Következmény

Bizonyítás

[A−1]b/d[A]d/b = [A−1A]b/b = [I ]b/b, ami az egységmátrix.Hasonlóan [A]d/b[A

−1]b/d is az egységmátrix.

Leképezések összege és skalárszorosa Algebra2, normál 3. előadás 16 / 25

Pontonkénti műveletek

Definíció (F5.5.1. és F5.5.2. Definíció)

Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött,

Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött,A,B : V → W lineáris leképezések

Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött,A,B : V → W lineáris leképezések és λ ∈ T .

(1) A és B összege (A+ B)(v) = A(v) + B(v) minden v ∈ V -re.

(2) A λ-szorosa (λA)(v) = λ(

minden v ∈ V -re.

A+ B és λA is lineáris transzformáció.

minden v ∈ V -re.

Mintabizonyítás: λA összegtartó

(λA)(u + v)

minden v ∈ V -re.

(λA)(u + v)

A λA definíciója miatt.

minden v ∈ V -re.

(λA)(u + v) = λ(

A(u + v))

A λA definíciója miatt.

minden v ∈ V -re.

(λA)(u + v) = λ(

A(u + v))

Az A összegtartása miatt.

minden v ∈ V -re.

(λA)(u + v) = λ(

A(u + v))

A(u) + A(v))

Az A összegtartása miatt.

minden v ∈ V -re.

(λA)(u + v) = λ(

A(u + v))

A(u) + A(v))

A skalárral szorzás tulajdonsága (vektortéraxióma) miatt.

minden v ∈ V -re.

(λA)(u + v) = λ(

A(u + v))

A(u) + A(v))

A skalárral szorzás tulajdonsága (vektortéraxióma) miatt.

minden v ∈ V -re.

(λA)(u + v) = λ(

A(u + v))

A(u) + A(v))

A λA definíciója miatt (kétszer alkalmazva).

minden v ∈ V -re.

(λA)(u + v) = λ(

A(u + v))

A(u) + A(v))

= (λA)(u) + (λA)(v).

A λA definíciója miatt (kétszer alkalmazva).

minden v ∈ V -re.

(λA)(u + v) = λ(

A(u + v))

A(u) + A(v))

= (λA)(u) + (λA)(v).

A másik három állítás bizonyítása HF.

Az összeg mátrixa

Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezés

Az összeg mátrixa

Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésösszegtartó Hom(V ,W ) és Tm×n között.

Az összeg mátrixa

Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésösszegtartó Hom(V ,W ) és Tm×n között.Azaz összeg mátrixa a mátrixok összege.

Az összeg mátrixa

Bizonyítás

w 7→ [w ]d összegtartó W és Tm között.

Az összeg mátrixa

Bizonyítás

Ha A,B ∈ Hom(V ,W ),

Az összeg mátrixa

Bizonyítás

Ha A,B ∈ Hom(V ,W ), akkor (A+ B)(bi ) = A(bi ) + B(bi )az A+ B definíciója miatt.

Az összeg mátrixa

Bizonyítás

Ha A,B ∈ Hom(V ,W ), akkor (A+ B)(bi ) = A(bi ) + B(bi )az A+ B definíciója miatt. Így[(A+ B)(bi )]d = [A(bi ) + B(bi )]d =

Az összeg mátrixa

Bizonyítás

Ha A,B ∈ Hom(V ,W ), akkor (A+ B)(bi ) = A(bi ) + B(bi )az A+ B definíciója miatt. Így[(A+ B)(bi )]d = [A(bi ) + B(bi )]d = [A(bi )]d + [B(bi )]d.

Az összeg mátrixa

Bizonyítás

Ha A,B ∈ Hom(V ,W ), akkor (A+ B)(bi ) = A(bi ) + B(bi )az A+ B definíciója miatt. Így[(A+ B)(bi )]d = [A(bi ) + B(bi )]d = [A(bi )]d + [B(bi )]d.Vagyis A+ B mátrixának oszlopai az A, illetve a B mátrixábólvett megfelelő oszlopok összegei.

Az összeg mátrixa

Bizonyítás

Ha A,B ∈ Hom(V ,W ), akkor (A+ B)(bi ) = A(bi ) + B(bi )az A+ B definíciója miatt. Így[(A+ B)(bi )]d = [A(bi ) + B(bi )]d = [A(bi )]d + [B(bi )]d.Vagyis A+ B mátrixának oszlopai az A, illetve a B mátrixábólvett megfelelő oszlopok összegei. A mátrixok összeadásánakdefiníciója miatt tehát [A+ B]d/b = [A]d/b + [B]d/b.

A skalárszoros mátrixa

Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésskalárszoros-tartó Hom(V ,W ) és Tm×n között.

Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésskalárszoros-tartó Hom(V ,W ) és Tm×n között.Azaz λ-szoros mátrixa a mátrix λ-szorosa.

Bizonyítás

w 7→ [w ]d skalárszorostartó W és Tm között.

Bizonyítás

Ha A ∈ Hom(V ,W ),

Bizonyítás

Ha A ∈ Hom(V ,W ), akkor (λA)(bi ) = λA(bi )a λA definíciója miatt.

Bizonyítás

Ha A ∈ Hom(V ,W ), akkor (λA)(bi ) = λA(bi )a λA definíciója miatt. Így[(λA)(bi )]d = [λA(bi )]d =

Bizonyítás

Ha A ∈ Hom(V ,W ), akkor (λA)(bi ) = λA(bi )a λA definíciója miatt. Így[(λA)(bi )]d = [λA(bi )]d = λ[A(bi )]d.

Bizonyítás

Ha A ∈ Hom(V ,W ), akkor (λA)(bi ) = λA(bi )a λA definíciója miatt. Így[(λA)(bi )]d = [λA(bi )]d = λ[A(bi )]d.Vagyis λA mátrixának oszlopai az A mátrixábólvett megfelelő oszlopok λ-szorosai.

Bizonyítás

Ha A ∈ Hom(V ,W ), akkor (λA)(bi ) = λA(bi )a λA definíciója miatt. Így[(λA)(bi )]d = [λA(bi )]d = λ[A(bi )]d.Vagyis λA mátrixának oszlopai az A mátrixábólvett megfelelő oszlopok λ-szorosai. A mátrixok λ-szorosánakdefiníciója miatt tehát [λA]d/b = λ[A]d/b.

A műveletek tulajdonságai

JelölésHom(V ,V ) rövidítve Hom(V ),

JelölésHom(V ,V ) rövidítve Hom(V ), elemei lineáris transzformációk.

Állítás (F5.1.3. és F5.6.3. Tétel)

Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.

Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az összeadásra és skalárral szorzásra Hom(V ,W ) vektortér.

Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az összeadásra és skalárral szorzásra Hom(V ,W ) vektortér.Nullelem: a nulla leképezés.

Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az összeadásra és skalárral szorzásra Hom(V ,W ) vektortér.Nullelem: a nulla leképezés. Az A ellentettje: (−A)(v) = −A(v).

Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az összeadásra és skalárral szorzásra Hom(V ,W ) vektortér.Nullelem: a nulla leképezés. Az A ellentettje: (−A)(v) = −A(v).Hom(V ) egységelemes gyűrű az összeadásra és a szorzásra,

Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az összeadásra és skalárral szorzásra Hom(V ,W ) vektortér.Nullelem: a nulla leképezés. Az A ellentettje: (−A)(v) = −A(v).Hom(V ) egységelemes gyűrű az összeadásra és a szorzásra,és λ(AB) = (λA)B

Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az összeadásra és skalárral szorzásra Hom(V ,W ) vektortér.Nullelem: a nulla leképezés. Az A ellentettje: (−A)(v) = −A(v).Hom(V ) egységelemes gyűrű az összeadásra és a szorzásra,és λ(AB) = (λA)B = A(λB)

Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az összeadásra és skalárral szorzásra Hom(V ,W ) vektortér.Nullelem: a nulla leképezés. Az A ellentettje: (−A)(v) = −A(v).Hom(V ) egységelemes gyűrű az összeadásra és a szorzásra,és λ(AB) = (λA)B = A(λB) (A,B ∈ Hom(V ), λ ∈ T ).

Legyenek V és W vektorterek ugyanazon T test fölött.Az összeadásra és skalárral szorzásra Hom(V ,W ) vektortér.Nullelem: a nulla leképezés. Az A ellentettje: (−A)(v) = −A(v).Hom(V ) egységelemes gyűrű az összeadásra és a szorzásra,és λ(AB) = (λA)B = A(λB) (A,B ∈ Hom(V ), λ ∈ T ).Az egységelem az identikus transzformáció.

FONTOS házi feladat önállóan kidolgozni a bizonyítást!

FONTOS házi feladat önállóan kidolgozni a bizonyítást!Különösen ajánlom a két disztributív azonosság levezetését:

FONTOS házi feladat önállóan kidolgozni a bizonyítást!Különösen ajánlom a két disztributív azonosság levezetését:A(B + C ) = AB + AC

FONTOS házi feladat önállóan kidolgozni a bizonyítást!Különösen ajánlom a két disztributív azonosság levezetését:A(B + C ) = AB + AC és (B + C )A = BA+ CA.

Izomorf vektorterek Algebra2, normál 3. előadás 20 / 25

Példák izomorfizmusra

Az A ∈ Hom(V ,W ) izomorfizmus,

Az A ∈ Hom(V ,W ) izomorfizmus, ha kölcsönösen egyértelmű.

Az A ∈ Hom(V ,W ) izomorfizmus, ha kölcsönösen egyértelmű.A V és W izomorf vektorterek,

Az A ∈ Hom(V ,W ) izomorfizmus, ha kölcsönösen egyértelmű.A V és W izomorf vektorterek, ha van közöttük izomorfizmus.

Az A ∈ Hom(V ,W ) izomorfizmus, ha kölcsönösen egyértelmű.A V és W izomorf vektorterek, ha van közöttük izomorfizmus.Jele: V ∼=W .

Két fontos példa

Ha V vektortér a T test fölött, és b bázis V -ben,

Két fontos példa

Ha V vektortér a T test fölött, és b bázis V -ben,akkor v 7→ [v ]b izomorfizmus V és T n között.

Két fontos példa

Ha V vektortér a T test fölött, és b bázis V -ben,akkor v 7→ [v ]b izomorfizmus V és T n között.Ezért minden V vektortér izomorf T dim(V )-vel.

Két fontos példa

Legyen b bázis V -ben, d bázis W -ben.

Két fontos példa

Legyen b bázis V -ben, d bázis W -ben.Ekkor A 7→ [A]d/b izomorfizmus Hom(V ,W ) és Tm×n között.

Két fontos példa

Vagyis Hom(V ,W )∼=T dim(W )×dim(V ).

Két fontos példa

Vagyis Hom(V ,W )∼=T dim(W )×dim(V ).A művelettartást láttuk, az egyértelműséget most bebizonyítjuk.

Az előírhatósági tétel

Legyenek V és W vektorterek a T test fölött,

Legyenek V és W vektorterek a T test fölött,b1, . . . , bn bázis V -ben,

Legyenek V és W vektorterek a T test fölött,b1, . . . , bn bázis V -ben, és c1, . . . , cn ∈ W tetszőleges vektorok.

Legyenek V és W vektorterek a T test fölött,b1, . . . , bn bázis V -ben, és c1, . . . , cn ∈ W tetszőleges vektorok.Ekkor pontosan egy olyan A : V → W lineáris leképezés van,melyre A(bj) = cj minden 1 ≤ j ≤ n esetén.

Bizonyítás: egyértelműség

Ha A megfelel a feltételeknek, akkorA(λ1b1 + . . .+ λnbn)

Ha A megfelel a feltételeknek, akkorA(λ1b1 + . . .+ λnbn) = A(λ1b1) + . . .+ A(λnbn),

Ha A megfelel a feltételeknek, akkorA(λ1b1 + . . .+ λnbn) = A(λ1b1) + . . .+ A(λnbn),mert A összegtartó,

Ha A megfelel a feltételeknek, akkorA(λ1b1 + . . .+ λnbn) = A(λ1b1) + . . .+ A(λnbn),mert A összegtartó, és ezλ1A(b1) + . . .+ λnA(bn) =

Ha A megfelel a feltételeknek, akkorA(λ1b1 + . . .+ λnbn) = A(λ1b1) + . . .+ A(λnbn),mert A összegtartó, és ezλ1A(b1) + . . .+ λnA(bn) =mert A skalárszorostartó.

Ha A megfelel a feltételeknek, akkorA(λ1b1 + . . .+ λnbn) = A(λ1b1) + . . .+ A(λnbn),mert A összegtartó, és ezλ1A(b1) + . . .+ λnA(bn) = λ1c1 + . . .+ λncn,mert A skalárszorostartó.

Ha A megfelel a feltételeknek, akkorA(λ1b1 + . . .+ λnbn) = A(λ1b1) + . . .+ A(λnbn),mert A összegtartó, és ezλ1A(b1) + . . .+ λnA(bn) = λ1c1 + . . .+ λncn,mert A skalárszorostartó. Azaz A értékét V minden eleménki tudjuk számítani,

Ha A megfelel a feltételeknek, akkorA(λ1b1 + . . .+ λnbn) = A(λ1b1) + . . .+ A(λnbn),mert A összegtartó, és ezλ1A(b1) + . . .+ λnA(bn) = λ1c1 + . . .+ λncn,mert A skalárszorostartó. Azaz A értékét V minden eleménki tudjuk számítani, és így csak egy megfelelő A leképezéslétezhet.

Ha A megfelel a feltételeknek, akkorA(λ1b1 + . . .+ λnbn) = A(λ1b1) + . . .+ A(λnbn),mert A összegtartó, és ezλ1A(b1) + . . .+ λnA(bn) = λ1c1 + . . .+ λncn,mert A skalárszorostartó. Azaz A értékét V minden eleménki tudjuk számítani, és így csak egy megfelelő A leképezéslétezhet. Az egyértelműséget tehát beláttuk.

Az előírhatósági tétel: létezés

Bizonyítás: létezés

Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.

Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.

Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.Az A összegtartó,

Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.Az A összegtartó, mert hav = λ1b1 + . . .+ λnbn

Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.Az A összegtartó, mert hav = λ1b1 + . . .+ λnbn és w = µ1b1 + . . .+ µnbn,

Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.Az A összegtartó, mert hav = λ1b1 + . . .+ λnbn és w = µ1b1 + . . .+ µnbn, akkorv + w = (λ1 + µ1)b1 + . . .+ (λn + µn)bn,

Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.Az A összegtartó, mert hav = λ1b1 + . . .+ λnbn és w = µ1b1 + . . .+ µnbn, akkorv + w = (λ1 + µ1)b1 + . . .+ (λn + µn)bn, és ígyA(v + w) = (λ1 + µ1)c1 + . . .+ (λn + µn)cn.

Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.Az A összegtartó, mert hav = λ1b1 + . . .+ λnbn és w = µ1b1 + . . .+ µnbn, akkorv + w = (λ1 + µ1)b1 + . . .+ (λn + µn)bn, és ígyA(v + w) = (λ1 + µ1)c1 + . . .+ (λn + µn)cn.A(v) + A(w) = (λ1c1 + . . .+ λncn) + (µ1c1 + . . .+ µncn),

Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.Az A összegtartó, mert hav = λ1b1 + . . .+ λnbn és w = µ1b1 + . . .+ µnbn, akkorv + w = (λ1 + µ1)b1 + . . .+ (λn + µn)bn, és ígyA(v + w) = (λ1 + µ1)c1 + . . .+ (λn + µn)cn.A(v) + A(w) = (λ1c1 + . . .+ λncn) + (µ1c1 + . . .+ µncn),azaz tényleg A(v + w) = A(v) + A(w).

Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.Az A összegtartó, mert hav = λ1b1 + . . .+ λnbn és w = µ1b1 + . . .+ µnbn, akkorv + w = (λ1 + µ1)b1 + . . .+ (λn + µn)bn, és ígyA(v + w) = (λ1 + µ1)c1 + . . .+ (λn + µn)cn.A(v) + A(w) = (λ1c1 + . . .+ λncn) + (µ1c1 + . . .+ µncn),azaz tényleg A(v + w) = A(v) + A(w).A skalárszorostartás bizonyítása hasonló: HF.

Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.Az A összegtartó, mert hav = λ1b1 + . . .+ λnbn és w = µ1b1 + . . .+ µnbn, akkorv + w = (λ1 + µ1)b1 + . . .+ (λn + µn)bn, és ígyA(v + w) = (λ1 + µ1)c1 + . . .+ (λn + µn)cn.A(v) + A(w) = (λ1c1 + . . .+ λncn) + (µ1c1 + . . .+ µncn),azaz tényleg A(v + w) = A(v) + A(w).A skalárszorostartás bizonyítása hasonló: HF.Mivel b1 = 1 · b1 + 0 · b2 + . . .+ 0 · bn,

Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.Az A összegtartó, mert hav = λ1b1 + . . .+ λnbn és w = µ1b1 + . . .+ µnbn, akkorv + w = (λ1 + µ1)b1 + . . .+ (λn + µn)bn, és ígyA(v + w) = (λ1 + µ1)c1 + . . .+ (λn + µn)cn.A(v) + A(w) = (λ1c1 + . . .+ λncn) + (µ1c1 + . . .+ µncn),azaz tényleg A(v + w) = A(v) + A(w).A skalárszorostartás bizonyítása hasonló: HF.Mivel b1 = 1 · b1 + 0 · b2 + . . .+ 0 · bn,ezért A(b1) = 1 · c1 + 0 · c2 + . . .+ 0 · cn = c1.

Legyen A(λ1b1 + . . .+ λnbn) = λ1c1 + . . .+ λncn.Ez jóldefiniált, mert V minden eleme egyértelműen írható felλ1b1 + . . .+ λnbn alakban.Az A összegtartó, mert hav = λ1b1 + . . .+ λnbn és w = µ1b1 + . . .+ µnbn, akkorv + w = (λ1 + µ1)b1 + . . .+ (λn + µn)bn, és ígyA(v + w) = (λ1 + µ1)c1 + . . .+ (λn + µn)cn.A(v) + A(w) = (λ1c1 + . . .+ λncn) + (µ1c1 + . . .+ µncn),azaz tényleg A(v + w) = A(v) + A(w).A skalárszorostartás bizonyítása hasonló: HF.Mivel b1 = 1 · b1 + 0 · b2 + . . .+ 0 · bn,ezért A(b1) = 1 · c1 + 0 · c2 + . . .+ 0 · cn = c1.Hasonlóan A(bj) = cj minden 1 ≤ j ≤ n esetén.

Mátrixok és leképezések: egyértelműség

Rögzített b és d bázisok esetén az A 7→ [A]d/b leképezésizomorfizmus Hom(V ,W ) és Tm×n között.

Bizonyítás

w 7→ [w ]d kölcsönösen egyértelmű W és Tm között,

Bizonyítás

w 7→ [w ]d kölcsönösen egyértelmű W és Tm között, hiszen W

minden eleme egyértelműen írható λ1d1 + . . .+ λmdm alakban.

Bizonyítás

minden eleme egyértelműen írható λ1d1 + . . .+ λmdm alakban.Ha A 6= B ∈ Hom(V ,W ), akkor

Bizonyítás

minden eleme egyértelműen írható λ1d1 + . . .+ λmdm alakban.Ha A 6= B ∈ Hom(V ,W ), akkor

A(b1), . . . ,A(bn) ésB(b1), . . . ,B(bn) valahol eltér.

Bizonyítás

minden eleme egyértelműen írható λ1d1 + . . .+ λmdm alakban.Ha A 6= B ∈ Hom(V ,W ), akkor az előírhatósági tételegyértelműségi állítása miatt A(b1), . . . ,A(bn) ésB(b1), . . . ,B(bn) valahol eltér.

Bizonyítás

minden eleme egyértelműen írható λ1d1 + . . .+ λmdm alakban.Ha A 6= B ∈ Hom(V ,W ), akkor az előírhatósági tételegyértelműségi állítása miatt A(b1), . . . ,A(bn) ésB(b1), . . . ,B(bn) valahol eltér. Így a koordinátavektorok isugyanott eltérnek,

Bizonyítás

minden eleme egyértelműen írható λ1d1 + . . .+ λmdm alakban.Ha A 6= B ∈ Hom(V ,W ), akkor az előírhatósági tételegyértelműségi állítása miatt A(b1), . . . ,A(bn) ésB(b1), . . . ,B(bn) valahol eltér. Így a koordinátavektorok isugyanott eltérnek, azaz A és B mátrixa különböző.

Bizonyítás

minden eleme egyértelműen írható λ1d1 + . . .+ λmdm alakban.Ha A 6= B ∈ Hom(V ,W ), akkor az előírhatósági tételegyértelműségi állítása miatt A(b1), . . . ,A(bn) ésB(b1), . . . ,B(bn) valahol eltér. Így a koordinátavektorok isugyanott eltérnek, azaz A és B mátrixa különböző.Ha adott egy M ∈ Tm×n mátrix,

Bizonyítás

minden eleme egyértelműen írható λ1d1 + . . .+ λmdm alakban.Ha A 6= B ∈ Hom(V ,W ), akkor az előírhatósági tételegyértelműségi állítása miatt A(b1), . . . ,A(bn) ésB(b1), . . . ,B(bn) valahol eltér. Így a koordinátavektorok isugyanott eltérnek, azaz A és B mátrixa különböző.Ha adott egy M ∈ Tm×n mátrix, akkor annak oszlopvektoraiegy c1, . . . , cm vektorrendszert adnak W -ben,

Bizonyítás

minden eleme egyértelműen írható λ1d1 + . . .+ λmdm alakban.Ha A 6= B ∈ Hom(V ,W ), akkor az előírhatósági tételegyértelműségi állítása miatt A(b1), . . . ,A(bn) ésB(b1), . . . ,B(bn) valahol eltér. Így a koordinátavektorok isugyanott eltérnek, azaz A és B mátrixa különböző.Ha adott egy M ∈ Tm×n mátrix, akkor annak oszlopvektoraiegy c1, . . . , cm vektorrendszert adnak W -ben, és azelőírhatósági tételből kapott A leképezésnek M lesz a mátrixa.

Az izomorfizmus jellemzése

Azonos test fölötti két, véges dimenziós vektortérakkor és csak akkor izomorf,

Azonos test fölötti két, véges dimenziós vektortérakkor és csak akkor izomorf, ha a dimenziójuk megegyezik.

Azonos test fölötti két, véges dimenziós vektortérakkor és csak akkor izomorf, ha a dimenziójuk megegyezik.Következmény: dim

Hom(V ,W ))

= dim(V ) dim(W ).

Hom(V ,W ))

= dim(V ) dim(W ).

Bizonyításvázlat

Tegyük föl, hogy V és W dimenziója egyenlő.

Hom(V ,W ))

= dim(V ) dim(W ).

Bizonyításvázlat

Tegyük föl, hogy V és W dimenziója egyenlő.Legyen b1, . . . , bn bázis V -ben

Hom(V ,W ))

= dim(V ) dim(W ).

Bizonyításvázlat

Tegyük föl, hogy V és W dimenziója egyenlő.Legyen b1, . . . , bn bázis V -ben és d1, . . . , dn bázis W -ben.

Hom(V ,W ))

= dim(V ) dim(W ).

Bizonyításvázlat

Tegyük föl, hogy V és W dimenziója egyenlő.Legyen b1, . . . , bn bázis V -ben és d1, . . . , dn bázis W -ben.Az előírhatósági tétel miatt vannak olyan B és C lineárisleképezések,

Hom(V ,W ))

= dim(V ) dim(W ).

Bizonyításvázlat

Tegyük föl, hogy V és W dimenziója egyenlő.Legyen b1, . . . , bn bázis V -ben és d1, . . . , dn bázis W -ben.Az előírhatósági tétel miatt vannak olyan B és C lineárisleképezések, melyekre B(bj) = dj

Hom(V ,W ))

= dim(V ) dim(W ).

Bizonyításvázlat

Tegyük föl, hogy V és W dimenziója egyenlő.Legyen b1, . . . , bn bázis V -ben és d1, . . . , dn bázis W -ben.Az előírhatósági tétel miatt vannak olyan B és C lineárisleképezések, melyekre B(bj) = dj és C (dj) = bj minden j-re.

Hom(V ,W ))

= dim(V ) dim(W ).

Bizonyításvázlat

Tegyük föl, hogy V és W dimenziója egyenlő.Legyen b1, . . . , bn bázis V -ben és d1, . . . , dn bázis W -ben.Az előírhatósági tétel miatt vannak olyan B és C lineárisleképezések, melyekre B(bj) = dj és C (dj) = bj minden j-re.HF: ezek egymás inverzei, és így izomorfizmusok.

Hom(V ,W ))

= dim(V ) dim(W ).

Bizonyításvázlat

Tegyük föl, hogy V és W dimenziója egyenlő.Legyen b1, . . . , bn bázis V -ben és d1, . . . , dn bázis W -ben.Az előírhatósági tétel miatt vannak olyan B és C lineárisleképezések, melyekre B(bj) = dj és C (dj) = bj minden j-re.HF: ezek egymás inverzei, és így izomorfizmusok.Megfordítva: ha A : V → W izomorfizmus

Hom(V ,W ))

= dim(V ) dim(W ).

Bizonyításvázlat

Tegyük föl, hogy V és W dimenziója egyenlő.Legyen b1, . . . , bn bázis V -ben és d1, . . . , dn bázis W -ben.Az előírhatósági tétel miatt vannak olyan B és C lineárisleképezések, melyekre B(bj) = dj és C (dj) = bj minden j-re.HF: ezek egymás inverzei, és így izomorfizmusok.Megfordítva: ha A : V → W izomorfizmus és b1, . . . , bnbázis V -ben,

Hom(V ,W ))

= dim(V ) dim(W ).

Bizonyításvázlat

Tegyük föl, hogy V és W dimenziója egyenlő.Legyen b1, . . . , bn bázis V -ben és d1, . . . , dn bázis W -ben.Az előírhatósági tétel miatt vannak olyan B és C lineárisleképezések, melyekre B(bj) = dj és C (dj) = bj minden j-re.HF: ezek egymás inverzei, és így izomorfizmusok.Megfordítva: ha A : V → W izomorfizmus és b1, . . . , bnbázis V -ben, akkor HF: A(b1), . . . ,A(bn) bázis W -ben.

Hom(V ,W ))

= dim(V ) dim(W ).

Bizonyításvázlat

Tegyük föl, hogy V és W dimenziója egyenlő.Legyen b1, . . . , bn bázis V -ben és d1, . . . , dn bázis W -ben.Az előírhatósági tétel miatt vannak olyan B és C lineárisleképezések, melyekre B(bj) = dj és C (dj) = bj minden j-re.HF: ezek egymás inverzei, és így izomorfizmusok.Megfordítva: ha A : V → W izomorfizmus és b1, . . . , bnbázis V -ben, akkor HF: A(b1), . . . ,A(bn) bázis W -ben.Ezért a két dimenzió megegyezik.

Összefoglaló Algebra2, normál 3. előadás 25 / 25

A 3. előadáshoz tartozó vizsgaanyag

Fogalmak

Összegtartás,

Fogalmak

Összegtartás, skalárszoros-tartás,

Fogalmak

Összegtartás, skalárszoros-tartás, linearitás.

Fogalmak

Összegtartás, skalárszoros-tartás, linearitás.Lineáris leképezések mátrixa,

Fogalmak

Összegtartás, skalárszoros-tartás, linearitás.Lineáris leképezések mátrixa, összege,

Fogalmak

Összegtartás, skalárszoros-tartás, linearitás.Lineáris leképezések mátrixa, összege, λ-szorosa,

Fogalmak

Összegtartás, skalárszoros-tartás, linearitás.Lineáris leképezések mátrixa, összege, λ-szorosa, szorzata.

Fogalmak

Összegtartás, skalárszoros-tartás, linearitás.Lineáris leképezések mátrixa, összege, λ-szorosa, szorzata.Izomorfizmus.

Fogalmak

TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.

Fogalmak

TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában.

Fogalmak

TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában.Vektor képének kiszámítása a leképezés mátrixának segítségével.

Fogalmak

TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában.Vektor képének kiszámítása a leképezés mátrixának segítségével.Az összeg, λ-szoros, szorzat is lineáris;

Fogalmak

TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában.Vektor képének kiszámítása a leképezés mátrixának segítségével.Az összeg, λ-szoros, szorzat is lineáris; ezek mátrixa.

Fogalmak

TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában.Vektor képének kiszámítása a leképezés mátrixának segítségével.Az összeg, λ-szoros, szorzat is lineáris; ezek mátrixa.Hom(V ,W ) vektortér

Fogalmak

TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában.Vektor képének kiszámítása a leképezés mátrixának segítségével.Az összeg, λ-szoros, szorzat is lineáris; ezek mátrixa.Hom(V ,W ) vektortér és izomorf T n×k -val.

Fogalmak

TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában.Vektor képének kiszámítása a leképezés mátrixának segítségével.Az összeg, λ-szoros, szorzat is lineáris; ezek mátrixa.Hom(V ,W ) vektortér és izomorf T n×k -val.Hom(V ) gyűrű,

Fogalmak

TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában.Vektor képének kiszámítása a leképezés mátrixának segítségével.Az összeg, λ-szoros, szorzat is lineáris; ezek mátrixa.Hom(V ,W ) vektortér és izomorf T n×k -val.Hom(V ) gyűrű, és a megfeleltetés T n×n-nel szorzattartó.

Fogalmak

TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában.Vektor képének kiszámítása a leképezés mátrixának segítségével.Az összeg, λ-szoros, szorzat is lineáris; ezek mátrixa.Hom(V ,W ) vektortér és izomorf T n×k -val.Hom(V ) gyűrű, és a megfeleltetés T n×n-nel szorzattartó.Vektortér-izomorfia jellemzése a dimenzióval.

Fogalmak

TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában.Vektor képének kiszámítása a leképezés mátrixának segítségével.Az összeg, λ-szoros, szorzat is lineáris; ezek mátrixa.Hom(V ,W ) vektortér és izomorf T n×k -val.Hom(V ) gyűrű, és a megfeleltetés T n×n-nel szorzattartó.Vektortér-izomorfia jellemzése a dimenzióval.Hom(V ,W ) dimenziója.

Fogalmak

TételekNullvektor és ellentett képe lineáris leképezésnél.Az α szögű forgatás mátrixa a sík szokásos bázisában.Vektor képének kiszámítása a leképezés mátrixának segítségével.Az összeg, λ-szoros, szorzat is lineáris; ezek mátrixa.Hom(V ,W ) vektortér és izomorf T n×k -val.Hom(V ) gyűrű, és a megfeleltetés T n×n-nel szorzattartó.Vektortér-izomorfia jellemzése a dimenzióval.Hom(V ,W ) dimenziója. Az előírhatósági tétel.

Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet...

Documents

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvényekknarcisz/downloads/SSZK_peldatar.pdf · Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó

Algebra2, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Bevezetés Algebra2, normál 1. előadás 2 / 24 A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés,

A lineáris programozás alapjailendulet.tmit.bme.hu/~retvari/courses/VITMD097/hu/... · A lineáris programozás alapjai • A konvex analízis alapjai: konvexitás, konvex kombináció,

Algebra2 150317175223 Conversion Gate01

Lineáris programozási (LP) feladatok megoldása szimplex ...matka/Dokumentumok/LPfeladatok.pdf · Lineáris programozási (LP) feladatok megoldása szimplex módszerrel A lineáris

Gutu Marin Cristina Mihaela Tema3 Algebra2

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR ... - talata.istvan.ymmf.hu · Írta: LEITOLD ADRIEN LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Egyetemi tananyag 2011

Normál változat - SotePediasotepedia.hu/_media/etk/targyak/gyakorlati_dietetika/az...1 EGYSÉGES DIÉTÁS RENDSZER II. KONYHATECHNOLÓGIAI VÁLTOZATOK Normál változat •A normál

Kétismeretlenes elsőfokú (lineáris) egyenletrendszerek

Algebra2 130807201845-phpapp02

Algebra2 Glenco EOC

ALGEBRA2’’ USE’YOUR’OWNPIECE’OF’PAPER’TOSOLVE’

Lineáris függvények

A tőzsdepszichó nem lineáris

Algebra2, alapszint - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék · Vörös berill Smaragd Akvamarin. Kristályok szimmetriái Algebra2, alapszint 11. el˝oadás 3 / 11 Hatszög-szimmetria

1. Lineáris transzformációmath.bme.hu/~simonk/msc/gyakorlof_feladatok_zh_utan_a.pdf1. Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció mátrixának felírása egy adott bázisban:

Lineáris algebra II

Lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

Lineáris algebra feladatgyujteménytamasgorbe.com/oktatas/linalgfizsuppl/feladatgyujtemeny.pdf · 2018. 11. 17. · Görbe Tamás Ferenc LINEÁRIS ALGEBRA FELADATGYŰJTEMÉNY Utolsó

Wettl Ferenc - Lineáris algebra