Algorithmen für das Erfüllbarkeitsproblem SAT teilweise aus einem Vortrag von Melanie Schmidt (Uni...

Algorithmen für das Erfüllbarkeitsproblem SAT

teilweise aus einem Vortrag vonMelanie Schmidt (Uni Dortmund)

mit Ergänzungen aus einer Präsentation von Carsten Sinz

(Uni Tübingen)

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Variablen x1,x2,x3,x4,x5,x6

x3 ¬x2 x5( ) ( ¬x1 ) ( x1 ¬x2 x3 ¬x4 x6 )

Problem für 5-SAT

Klausel

n = Anzahl der Variablen = 6

Das Erfüllbarkeitsproblem K-KNF-SAT

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Das Erfüllbarkeitsproblem K-KNF-SAT

Also:• Gegeben ist eine Menge von Klauseln mit jeweils bis

zu k Literalen • Eine Klausel hat die Form (u1 u2 … ul),

l k, wobei ui {x1,…,xn} {¬x1,…,¬xn}• Gesucht: Eine Belegung der Variablen

x1,… ,xn mit Wahrheitswerten {0, 1}, so dass die Auswertung der Formel 1 ergibt.

Davis Putnam Loveland Logeland-Algorithmus

• Konstruiere Belegung inkrementell• Verwende Backtracking für

Wahrheitswertezuweisung im Falle, dass eine nicht erfüllende Belegung konstruiert wird

• Verwende Propagierung von festgelegten Variablen zur “Verkleinerung” von Disjuntionen (Einer-Klauseln legen Zuweisung fest)

• Pure-Literal Elimination

2-SAT

• Beh.: Es existiert ein Algorithmus in polynomieller Zeit.Bew.: Resolution produziert max. O(n2) Klauseln

• Geht es noch besser? Aspvall et al. 1980

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• (¬x3) (x2 x3) (¬x1 ¬x2) (x3 x1)

• (a b) = (¬a b)

2-SAT Algorithmus

• (¬x3 ¬x3) (x2 x3) (¬x1 ¬x2) (x3 x1 )

• (a) = (a a)• (a b) = (¬a b)

(a b) = (¬b a)

X1

¬X2¬X1

X2 X3

¬X3¬X1

X2 X3

¬X3

X3

¬X3

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2-SAT Algorithmus

• Eine 2-KNF-Formel ist unerfüllbar

im Graphen GF existiert ein Zyklus der Form xi … ¬xi … xi

gdw.

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Zyklus mit xi und ¬xi dann F unerfüllbar

• Annahme: Es gibt eine erfüllende Belegung a.

Dann muss für a gelten, dass xi=1 und xi =0. Das ist ein Widerspruch.

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F unerfüllbardann existiert Zyklus mit xi und ¬ xi

• Beweis mit Induktion über Anzahl der Variablen n:- n=1.

- F muss die Form (x1) (¬x1) haben GF hat einen Zyklus.

- n-1n. - Wähle beliebiges x aus {x1,…,xn}.

- Bilde Fx=0 und Fx=1

GFx=0 und GFx=1 enthalten Zyklen mit y und ¬y (y aus {x1,…,xn})- Zeige, dass daraus folgt:

GF enthält einen Zyklus mit x und ¬x

X1 ¬X1

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GF enthält einen Zyklus mit x und ¬x

• Trivial:Einer der Zyklen aus GFx=0 und GFx=1 ist auch in GF enthalten (x=y)

• Sonst:Zeige, dass es in GF die Verbindungen ¬x … x und x … ¬x gibtund dann existiert ein Zyklus mit x und ¬x

y

¬y¬x ¬y

x y

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Pfade in GF

• Beh.: ¬x … x in GF

– Fall 1: F enthält (x), also (x x) und damit ¬x x– Fall 2: F enthält (x z)

• GF enthält ¬x z und ¬z x

• Fx=0 enthält nur (z)

• Ann.: der Zyklus in GFx=0 enthält ¬z z,dann gilt: GF enthält ¬z z nicht (denn x kommt hinzu)

daraus folgt, in GF gibt es ¬x z … ¬z x

• Beh.: x … ¬x in GF

– Analog mit (¬x) sowie Fx=1 und GFx=1

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Zyklen mit x und ¬x finden

• als All-Pair-Shortest-Paths– Problem– mit unendlichen Kosten für nichtvorhandene Kanten– für alle x überprüfen:

(x,¬x) und (¬x,x) < ? – Laufzeit O(n3)

• Besser: mit Tiefensuche (Aspvall et al. 1980)– in stark zusammenhängende Komponenten zerlegen

(SCC-Algorithmus)– Topologisches Sortieren– O(m+n), m=Anzahl der Kanten in G(F)

= 2x Anzahl der Klauseln in F

2-SAT: Aspvall Algorithmus

2-SAT: Aspvall Algorithmus