View
36
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Aljabar Boolean 1. PENDAHULUAN
Aljabar Boolean merupakan lanjutan dari matakuliah logika matematika. Definisi aljabar
boolean adalah suatu jenis manipulasi nilai-nilai logika secara aljabar. Contoh
pengaplikasian aljabar boolean adalah pemikiran logika pada saat anda ingin membuat
suatu aplikasi komputer.
2. HUKUM-HUKUM OPERASIONAL
Secara umum aljabar boolean didefinisikan sebagai himpunan yang terdiri dari himpunan
boolean (0,1) dan mengandung operasi OR,AND dan NOT. Yang harus anda ketahui sebelum
memulai materi ini adalah :
NO OPERASI TANDA CONTOH
1 OR + x+y
2 AND . x.y
3 NOT ‚ atau - x‘ atau x
Hukum-hukum operasional :
Matematika Diskrit Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
1
1. Hukum Identitas : a. x + 0 = x b. x . 1 = x
2. Hukum Penyerapan : a. x+(x.y) = x b. x.(x+y) = x
3. Hukum Involusi : (x‘)‘ = x
4. Hukum Assosiatif : a. x+(y+z) = (x+y)+z b. x.(y.z) = (x.y).z
5. Hukum De Morgan : a. (x +y)‘ = x‘.y‘ b. (x . y)‘ = x‘+y‘
6. Hukum Komutatif : a. x+y = y+x b. x.y = y.x
7. Hukum Komplemen : a. x + x‘ = 1 b. x . x‘ = 0
8. Hukum Distributuf : a. x+(y.z) = (x+y).(x+z) b. x.(y+z) = (x.y)+(x.z)
9. Hukum Idempoten : a. x + x = x b. x . x = x
10. Hukum Dominasi : a. x.0 = 0 b. x+1=1
BAB 4
3. FUNGSI BOOLEAN
Pada Aljabar Boolean nilai variabel boolean adalah 0 dan 1, B = {0,1}. Dimana dalam aljabar
boolean terdapat beberapa operator didalamnya yaitu :
(1) Operator biner ( OR dan AND)
(2) Operator uner ( komplemen/NOT)
Setiap peubah Boolean termasuk komplemennya disebut sebagai literal. Contoh fungsi
Boolean : f(x,y) = x’y’
4. FUNGSI KOMPLEMEN
Fungsi komplemen dari suatu fungsi f, yaitu f’. Fungsi komplemen dapat dicari dengan cara :
(1) Menggunakan Hukum De Morgan (lihat pada hukum-hukum operasional)
Ex. f(x,y,z) = xyz+x’yz‘
f’(x,y,z) = (xyz+x’yz‘)’
f’(x,y,z) = (x’+y+z’).(x+y’+z)
(2) Menggunakan prinsip dualitas, dengan mendualitaskan f terlebih dahulu kemudian
komplemenkan tiap literalnya.
Ex. f(x,y,z) = xyz+x’yz‘
Mendualitaskan nilai f
f’(x,y,z) = (x+y+z).(x’+y+z‘)
mengkomplemenkan seluruh literalnya
f’(x,y,z) = (x’+y’+z’).(x+y’+z)
5. BENTUK KANONIK
Bentuk kanonik digunakan untuk menyederhanakan suatu fungsi boolean. Bentuk Kanonik
dapat juga di gunakan untuk menentukan apakah dua ekspresi merupakan fungsi yang
sama. Suatu fungsi Boolean yang dinyatakan tabel kebenaran dapat dikonversi menjadi
bentuk aljabar.
Matematika Diskrit Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
2
Bentuk kanonik terbagi menjadi dua macam, yaitu :
1. SOP (Sum Of Product – Penjumlahan dari hasil kali), dibentuk dari dua atau lebih fungsi
AND yang di OR kan di dalam tanda kurung, dan di dalam tanda kurung tersebut bisa
terdiri dari dua atau lebih variable. Tiap suku dalam SOP disebut sebagai minterm.
Contoh : f (x, y, z) = (x’y’z) + (x’y’z’) + (xyz)
2. POS (Product Of Sum – perkalian dari hasil jumlah), dibentuk dari dua atau lebih fungsi
OR yang di AND kan di dalam tanda kurung, dan di dalam tanda kurung tersebut bisa
terdiri dari dua atau lebih variable. Tiap suku dalam SOP disebut sebagai maxterm.
Contoh : f (x, y, z) = (x’+y’+z)( x’+y’+z’)(x+y+z)
Berikut contoh table SOP (Sum Of Product – Penjumlahan dari hasil kali) dan POS ((Product
Of Sum – perkalian dari hasil jumlah) untuk dua buah variable:
Berikut contoh table SOP (Sum Of Product – Penjumlahan dari hasil kali) dan POS ((Product Of
Sum – perkalian dari hasil jumlah) untuk tiga buah variable:
Matematika Diskrit Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
3
X
Y
Minterm Maxterm
Suku Lambang Suku Lambang
0 0 x’y’ mo x y Mo
0 1 x’y m1 x y’ M1
1 0 xy’ m2 x’y M2
1 1 xy m3 x’y’ M3
1. Diberikan sebuah fungsi boolean berikut :
f(x,y,z) = (x’y’z‘) + xy‘z
buat kedalam bentuk kanonik fungsi diatas tersebut.
Penyelesaian :
Langkah 1 : buat tabel kebenarannya
Matematika Diskrit Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
4
X
y
z
Minterm Maxterm
Suku Lambang Suku Lambang
0 0 0 x’y’z’ mo x+y+z Mo
0 0 1 x’y’z m1 x+y+z’ M1
0 1 0 x’yz’ m2 x+y’+z M2
0 1 1 x’yz m3 x+y’+z’ M3
1 0 0 xy’z’ m4 x’+y+z M4
1 0 1 xy’z m5 x’+y+z’ M5
1 1 0 xyz’ m6 x’+y’+z M6
1 1 1 xyz m7 x’+y’+z’ M7
x y z x’y’z’ xy‘z f(x,y,z) = (x’y’z‘) + xy‘z
0 0 0 1 0 1
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 1 1
1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0
CONTOH SOAL :
Langkah 2 : tentukan SOP dan POS nya
Matematika Diskrit Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
5
x y z x’y’z’ xy‘z f(x,y,z) = (x’y’z‘) + xy‘z
0 0 0 1 0 1
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 1 1
1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0
SOP
SOP
POS
POS
POS
POS
POS
POS
CARA MENCARI SOP :
Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 1. Contoh
pada table tersebut ada pada :
x y z f(x,y,z) = (x’y’z‘) + xy‘z
0 0 0 1
0 1 1 1
000 dan 011, maka :
f(x, y, z) = (x’y’z’) + (x’yz)
atau (dengan menggunakan lambang minterm) :
f(x, y, z) = m0 + m5 = (0,5)
mo
M7
M6
M3
M4
m5
M2
M1
Lihat yang hasilnya
bernilai 1
MENYATAKAN SOP & POS DARI FUNGSI BOOLEAN
Untuk menyatakan fungsi boolean SOP atupun POS dapat dilakukan dengan cara melengkapi
literalnya. Terdapat beberapa hukum aljabar boolean yang digunakan dalam melengkapi
literalnya.
1. Hukum Identitas :
(i) a + 0 = a
(ii) a . 1=a
2. Hukum Distributif :
(i) a + (b . c) = (a+b) . (a+c)
(ii) a . (b + c) = a . b + a. C
3. Hukum Komplemen :
(i) a + a‘ = 1
(ii) a . a = 0
4. Hukum De Morgan :
(i) (a + b)‘ = a‘. c‘
(i) (a . b)‘ = a‘ + b‘
Matematika Diskrit Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
6
CARA MENCARI POS :
Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 0. Contoh
pada table tersebut ada pada :
x y z f(x,y,z) = (x’y’z‘) + xy‘z
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 0
001, 010, 100, 101, 110 dan 111, maka :
f(x, y, z) = (x+y+z’) + (x+y’+z) + (x’+y+z) + (x’+y+z’) + (x’+y’+z) + (x’+y’+z’)
atau (dengan menggunakan lambang minterm) :
f(x, y, z) = M1 M2 M3 M4 M6 M7 = π (1,2,3,4,6,7)
Lihat yang
hasilnya bernilai 0
CONTOH
2. Nyatakan fungsi boolean f(a,b,c) = a + b’c dalam bentuk kanonik SOP dan POS !
PENYELESAIAN :
a. SOP (Sum Of Product)
Lengkapi literal fungsi booleannya dahulu :
f(a,b,c) = a + b’c
f(a,b,c) = ab + ab’+ b’c
f(a,b,c) = abc + abc’ + ab’+ b’c
f(a,b,c) = abc + abc’ + ab’c + ab’c’+ b’c
Matematika Diskrit Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
7
a = a .1 Hukum Identitas = a . (b + b’) Hukum Komplemen = (a . b) + ( a . b’) Hukum Distributif = ab+ ab’
ab = ab .1 Hukum Identitas = ab . (c + c’) Hukum Komplemen = (a . b. c) + ( a . b . c‘) Hukum Distributif = abc + abc‘
ab‘ = ab‘ .1 Hukum Identitas = ab‘ . (c + c’) Hukum Komplemen = (a . b‘. c) + ( a . b‘ . c‘) Hukum Distributif = ab‘c + ab‘c‘
b‘c = b‘c .1 Hukum Identitas = b‘c . (a + a’) Hukum Komplemen = (a . b‘. c) + ( a‘ . b‘ . c) Hukum Distributif = ab‘c + a‘b‘c
CONTOH SOAL :
berdasarkan pengerjaan melengkapi literal diatas , maka diperoleh :
f(a,b,c) = abc + abc’ + ab’c + ab’c’+ ab’c + a’b’c
Sehingga diperoleh SOP :
f(a,b,c) = a + b’c
= abc + abc’ + ab’c + ab’c’+ a’b’c
= m7+m6+m5+m4+m1
= Σ (1,4,5,6,7)
b. POS (Product Of Sum)
Lengkapi literal fungsi booleannya dahulu :
f(a,b,c) = a + b’c
f(a,b,c) = (a+b’)(a+c)
f(a,b,c) = (a+b’+c)(a+b’+c’)(a+c)
Matematika Diskrit Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
8
NB . Jika terdapat satu suku yang bentuk literalnya sama, maka cukup dituliskan satu kali saja
a + b’c = a + (b’c)
= (a+b’)(a+c) Hukum Distributif
a+ b’ = a + b’ + 0 Hukum Identitas = a + b‘ + (c .c’) Hukum Komplemen = (a+b’+c) (a+b’+c’) Hukum Distributif
a+ c = a +c + 0 Hukum Identitas = a + c + (b .b’) Hukum Komplemen = (a+b+c) (a+b’+c) Hukum Distributif
berdasarkan pengerjaan melengkapi literal diatas , maka diperoleh :
f(a,b,c) = (a+b’+c)+ (a+b’+c’)+ (a+b+c) + (a+b’+c)
Sehingga diperoleh POS :
f(a,b,c) = a + b’c
= (a+b’+c) + (a+b’+c’) + (a+b+c)
= M2.M3.M0
= π (0,2,3)
6. PENYEDERHANAAN FUNGSI BOOLEAN
Suatu fungsi Boolean seringkali mengandung operasi biner yang tidak perlu ataupun
mengandung literal yang berlebihan, maka dapat dilakukan penyederhanaan dengan
menggunakan :
(1) Secara aljabar, dengan menggunakan aksioma-aksioma/hukum yang berlaku pada
boolean. Penyederhanaan secara aljabar dapat mengurangi penggunaan literal
yang berlebihan.
Contoh (1):
f(x,y) = x‘+xy --------> gunakan hukum distributif
= (x‘+x).(x’+y) ----------> gunakan hukum komplemen
= (1).(x‘+y) = x‘+y
Contoh (2):
f(x,y,z) = x‘yz+xyz+xy --------> gunakan hukum distributif
= yz(x‘+x)+ xy ----------> gunakan hukum komplemen
= yz+xy
Matematika Diskrit Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
9
NB . Jika terdapat satu suku yang bentuk literalnya sama, maka cukup dituliskan satu kali saja
(2) Menggunakan Peta Karnaugh, direpresentasikan menggunakan kmetode pemetaan
dapat meminimisasi fungsi yang kompleks. Karnaugh memperkenalkan Peta
Karnaugh sebagai metode pemetaan untuk meminimasisasi fungsi yang kompleks
seperti suatu rangkaian logika digital yang kompleks. Peta Karnaugh digambarkan
dengan kotak bujur sangkar. Setiap kotak merepresentasikan minterm. Jumlah
kotak bujur sangkar tergantung pada jumlah variabel dari suatu fungsi boolean.
Rumus untuk menentukan jumlah kotak bujur sangkar dapat diketahui dengan
menggunakan rumus :
Peta karnaugh dapat digunakan untuk menyederhanakan fungsi boolean hingga
lebih dari empat variabel,hanya pada modul ini saya hanya akan membahas
penyederhanaan menggunakan peta karnaugh hingga empat variabel saja.
A. PETA KARNAUGH DUA VARIABEL
Peta Karnaugh dua variabel digunakan untuk menyederhanakan fungsi boolean
yang terdiri dari dua buah variabel. Berikut tabel peta karnaugh untuk dua buah
variabel :
Terdiri dari 4 buah kotak bujur sangkar. Jumlah kotak di peroleh dari rumus 2𝑛 ,
dimana n merupakan jumlah variabel.
B. PETA KARNAUGH TIGA VARIABEL
Peta Karnaugh tiga variabel digunakan untuk menyederhanakan fungsi boolean
yang terdiri dari tiga buah variabel. Berikut tabel peta karnaugh untuk tiga buah
variabel :
Matematika Diskrit Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
10
2𝑛 , dimana n merupakan jumlah variabel
Apabila : Suatu variabel bernilai 0 maka variable tersebut
diberikan tanda aksen
Terdiri dari 8 buah kotak bujur sangkar. Jumlah kotak di peroleh dari rumus 2𝑛 ,
dimana n merupakan jumlah variabel. Perhatikan tabel bujur sangkar diatas,
aturannya berbeda dengan yang dua buah variabel, sehingga setelah m1
langsung m3 baru kemudian m2. Begitu pula baris selanjutnya m5-m7-m6.
Pengaturan tempat tersebut jangan sampai tertukar.
C. PETA KARNAUGH EMPAT VARIABEL
Peta Karnaugh empat variabel digunakan untuk menyederhanakan fungsi boolean
yang terdiri dari empat buah variabel. Berikut tabel peta karnaugh untuk empat
buah variabel :
Terdiri dari 16 buah kotak bujur sangkar. Jumlah kotak di peroleh dari rumus 2𝑛 ,
dimana n merupakan jumlah variabel. Perhatikan tabel bujur sangkar diatas,
aturannya berbeda dengan yang dua buah tetapi hampir sama dengan tiga buah
variabel.
Matematika Diskrit Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
11
D. PETA KARNAUGH LIMA VARIABEL
Peta Karnaugh lima variabel digunakan untuk menyederhanakan fungsi boolean
yang terdiri dari lima buah variabel. Peta karnaugh untuk lima buah variabel
dibuat dengan anggapan terdapat dua buah peta karnaugh empat variabel yang
disambungkan. Setiap sub-peta ditandai dengan garis tebal/ganda ditengahnya.
Dua buah kotak dianggap bersisian jika secara fisik berdekatan dan merupakan
pencerminan terhadap garis ganda. Berikut tabel peta karnaugh untuk lima buah
variabel :
000 001 110 100011 010 101111
m0 m1 m3 m2
m8 m9 m11 m10
m6 m7 m5 m4
m24 m25 m27 m26
m14 m15 m13 m12
m16 m17 m19 m18
m30 m31 m29 m28
m22 m23 m21 m20
00
01
11
10
Garis pencerminan
Sederhanakan fungsi boolean berikut menggunakan peta karnaugh : (study kasus
3 buah variabel)
f(x,y,z) = x’y’z‘ + x’yz‘
Matematika Diskrit Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
12
CONTOH SOAL
Penyelesaian.
1. Buat Tabel kebenaran dari fungsi boolean tersebut
x y z x’y’z‘ x’yz‘ f(x,y,z) = x’y’z‘ + x’yz‘
0 0 0 1 0 1
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 1 1
0 1 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0
1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0
2. Lihat hasil yang bernilai 1, kemudian konversikan menggunakan tabel bujur
sangkar peta karnaugh 3 buah varaibel
1 0 0 1
0 0 0 0
3. Sederhanakan, dengan melihat tabel 3 buah variabel yang sebelah kanan (konversi
ke tabel tersebut ). Untuk jenis variabel yang bentuknya (a‘ + a), (b+b‘) ataupun
jenis variabel lainnya dapat dihilangkan.
f(x,y,x) = x’y’z‘ + x’yz‘
f’(x,y,x) = x’z‘ + (y+y’)
f’(x,y,x) = x’z‘ (Hasil penyederhanaannya )
(3) Menggunakan Metode Quine-McCluskey, penggunaan peta karnaugh memang
dapat dilakukan hingga untuk penyederhanaan variable sampai dengan 5. Untuk
variable lebih dari 5 akan menjadi sulit untuk diterapkan. Oleh sebab itu dibutuhkan
metode lain yaitu metode Quine McCluskey/ metode tabulasi
Matematika Diskrit Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
13
m0
m2
Konversikan menggunakan table 3
buah variable yang sebelah kanan
Langkah-langkah metode Quine-Mc cluskey adalah :
1. Tuliskan tiap minterm fungsi Boolean menjadi string bit. Bila ada n variable maka
panjang bit adalah n. missal untuk empat buah variable (w,x,y,z) maka angka 11
dituliskan dalam string bit : 1011. Dalam hal ini variable komplemen dinyatakan dengan
‘0’, variable yang bukan komplemen dinyatakan dengan ‘1’
2. Kelompokan tiap minterm berdasarkan jumlah ‘1‘ yang dimiliki. Tujuannya untuk proses
kombinasi antara kelompok minterm pada langkah selanjutnya
3. Kombinasikan minterm dalam n variabel dengan kelompok lain yang jumlah ‘1‘ nya
berbeda 1, sehingga diperoleh bentuk prima yang terdiri dari n-1 variabel. Minterm yang
dikombinasikan diberi tanda “√“. Sebagai contoh untuk 4 buah variabel, bila yang
dikombinasikan adalah kelompok minterm 0(dengan string bit 0000) dan 1(dengan
string bit 0001), maka kombinasinya adalah (0,1):000-, dimana pada bit terakhir dibuat
tanda “-“ karena itulah bit yang berbedanya
4. Ikuti langkah (3) untuk kelompok kombinasi minterm dalam n-1 variabel dengan
kelompok lain yang jumlah ‘1‘ nya berbeda satu, sehingga diperoleh bentuk prima yang
terdiri dari n-2 variabel. Teruskan hingga tidak dimungkinkan lagi proses kombinasi
5. Ambil semua bentuk prima yang tidak bertanda “√“. Bentuk prima yang tidak bertanda
“√“ merupakan hasil penyederhanaan fungsi Boolean tersebut.
Contoh :
Sederhanakan fungsi Boolean f(w,x,y,z) = Σ (1,3,5,7,9,11,13,15)
Penyelesaian :
1. Minterm dalam bentuk SOP dituliskan dalam string bit dengan panjang 4, karena jumlah
variabel adalah 4.hasilnya ditulis pada kolom(a). Pemisahan kelompok minterm
berdasarkan jumlah angka“1“ yang dimiliki string bit ditandai dengan garis
(a)
0 1 3 5 9 7
11 13 15
w x y z 0 0 0 1 √ 0 0 1 1 √ 0 1 0 1 √ 1 0 0 1 √ 0 1 1 1 √ 1 0 1 1 √ 1 1 0 1 √ 1 1 1 1 √
Matematika Diskrit Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
14
2. Pada kolom(b) dimasukan hasil kombinasi antara kelompok minterm. Semua minterm
pada kolom(a) ditandai dengan “√“ karena semuanya masuk dalam kombinasi pada
kolom(b)
3. Pada kolom(c) dimasukan kombinasi dari kelompok minterm pada kolom(b). Semua
minter pada kolom(b) ditandai dengan “√“ karena semuanya masuk dalam kombinasi
pada kolom (c)
Matematika Diskrit Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
15
(b)
Term w x y z
1,3 1,5 1,9
0 0 - 1 √ 0 - 0 1 √ - 0 0 1 √
3,7 3,11 5,7
5,13 9,11 9,13
0 - 1 1 √ - 0 1 1 √
0 1 - 1 √ - 1 0 1 √ 1 0 - 1 √ 1 - 0 1 √
7,15 11,15 13,15
- 1 1 1 √ 1 - 1 1 √ 1 1 - 1 √
(c)
Term w x y z
1,3,9,11 1,5,3,7
1,9,3,11 1,9,5,13
- 0 - 1 √ 0 - - 1 √ - 0 - 1 √ - - 0 1 √
3,7,11,15 5,13,7,15
9,11,13,15 9,13,11,15
- - 1 1 √ - 1 - 1 √ 1 - - 1 √ 1 - - 1 √
4. Pada kolom(d) diberikan hasil kombinasi dari kolom(c) karena semuanya satu jenis yaitu
hanya ada angka “1“ yang dimiliki karena kelompok mintermnya sama, maka tidak
mungkin lagi disederhanakan/dikombinasikan.
(d)
term w x y z
1,3,9,11,5,13,7,15 1,5,3,7,9,11,13,15 1,5,3,7,9,13,11,15 1,9,2,11,5,3,7,15
- - - 1 - - - 1 - - - 1 - - - 1
Inilah hasil metode Quine –McCluskey. String bit “---1“ berarti hanya bit terakhir yang
sisa dengan nilai“1“ yang artinya hanya variable z, sehingga solusi akhir dari f(w,x,y,z) =
Σ (1,3,5,7,9,11,13,15) = z
Matematika Diskrit Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
16
Recommended