An alisis Num erico Interpolaci on y aproximaci on...

Introduccion Vandermonde Newton Lagrange Analisis de error Chebyshev Hermite Splines

Analisis NumericoInterpolacion y aproximacion polinomial

CNM-425

Departamento de MatematicasFacultad de Ciencias Exactas y Naturales

Universidad de Antioquia

terminos de la licencia de documentacion libre GNU.

Contenido

1 Introduccion

2 Interpolacion de Vandermonde

3 Interpolacion de Newton

4 Interpolacion de Lagrange

5 Error en la interpolacion

6 Polinomios de Chebyshev

7 Interpolacion de Hermite

8 Splines

Interpolacion

Dado un conjunto de datos conocidos

(x0, y0), (x1, y1), . . . , (xN , yN )

buscamos una funcion f : R→ R que satisfaga

f(xi) = yi , i = 0, . . . , N

f es la funcion interpolante o interpolador.

El interpolador f puede ser

polinomio

“spline”

fraccion continuada

Restricciones adicionales

Las derivada del interpolador f en los puntos dados es fija.

Suavidad, monoticidad o convexidad del interpolador f

Interpolacion

(x0, y0), (x1, y1), . . . , (xN , yN )

f(xi) = yi , i = 0, . . . , N

polinomio

“spline”

fraccion continuada

Interpolacion

(x0, y0), (x1, y1), . . . , (xN , yN )

f(xi) = yi , i = 0, . . . , N

polinomio

“spline”

fraccion continuada

Interpolacion

(x0, y0), (x1, y1), . . . , (xN , yN )

f(xi) = yi , i = 0, . . . , N

polinomio

“spline”

fraccion continuada

Aplicaciones

Trazado de curvas atraves de un conjunto discreto de datos.

Determinar valores “intermedios” de una tabla de datos.

Derivar e integrar a partir de una tabla de datos.

Evaluar de manera facil una funcion matematica.

Reemplazar una funcion complicada por una simple.

Aplicaciones

Interpolacion y aproximacion

Funciones utilizadas como interpoladores

Polinomios

Funciones trigonometricas

Funciones exponenciales

Funciones racionales

Los interpoladores se ajustan a los datos de manera exacta (f(xi) = yi)

Interpolacion presenta problemas cuando los datos estan sujetos aerrores significativos.

Cuando hay “incertidumbre” en los datos resulta util “suavizarlos” pormedio de una aproximacion de mınimos cuadrados.

Aproximaciones espectrales o aproximaciones con polinomios deChebyshev representan de manera efectiva soluciones numericas deecuaciones diferenciales parciales.

Polinomios

Teorıa

Teorema 1.1 (aproximacion de Weierstrass)

Sea f : [a, b]→ C continua. Para todo ε > 0, existe un polinomio p sobre Ctal que para todo x ∈ [a, b],

|f(x)− p(x)| < ε

Observaciones

Teorıa

Teorema 1.1 (aproximacion de Weierstrass)

Sea f : [a, b]→ C continua. Para todo ε > 0, existe un polinomio p sobre Ctal que para todo x ∈ [a, b],

|f(x)− p(x)| < ε

Observaciones

Teorıa

Teorema 1.2 (Existencia y unicidad del polinomio interpolante)

Si x0, x1, . . . , xN son numeros reales distintos, entonces para N + 1 valoresarbitrarios y0, y1, . . . , yN existe un unico polinomio PN de grado a lo sumoN tal que

pN (xi) = yi , i = 0, . . . , N

Observaciones

El teorema (1.2) generaliza:

“Por dos puntos distintos del plano cartesiano pasa una y solo unalınea recta (polinomio de grado 1)”

Dada una tabla de datos

x0 x1 · · · xN

y0 y1 · · · yN

existe uno y solo un polinomio pN de grado ≤ N tal que pN (xi) = yi.

Aunque el polinomio es unico, existen diversas formas de expresarlo ydiferentes algoritmos para determinarlo.

Teorıa

pN (xi) = yi , i = 0, . . . , N

Observaciones

x0 x1 · · · xN

y0 y1 · · · yN

Teorıa

pN (xi) = yi , i = 0, . . . , N

Observaciones

x0 x1 · · · xN

y0 y1 · · · yN

Teorıa

pN (xi) = yi , i = 0, . . . , N

Observaciones

x0 x1 · · · xN

y0 y1 · · · yN

Polinomio interpolador

Asumimos un conjunto de puntos discretos {x0, x1, . . . , xN} con losvalores correspondientes {f(x0), f(x1), . . . , f(xN )}

Construimos una funcion f(x) que pase por (xi, f(xi) por medio de laaproximacion

f(x) ≈ pN (x) =NXi=0

akφk(x) (1)

pN (x) es el polinomio interpolante.

φk(x) son polinomios conocidos a priori y forman una base.

ak son coeficientes por determinar.

(3) expresa a pN como una combinacion lineal de funciones base φk.

akφk(x) (1)

Interpolacion de Vandermonde

Consideramos como bases los monomios

φk(x) = xk , k = 0, . . . , N (2)

Para la base (6) obtenemos la representacion

f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ aNx

donde a0, a1, . . . , aN son constantes a determinar.

Las N + 1 ecuaciones que surgen al evaluar xi en (3) se puedenexpresar matricialmente como26664

1 x0 x20 · · · xN0

1 x1 x21 · · · xN1

......

1 xN x2N · · · xNN

3777526664

37775 =

26664f(x0)f(x1)

...f(xN )

37775 ⇐⇒ Va = f

V es la matriz de Vandermonde y det(V) =Y

0≤i≤j≤N

(xj − xi) 6= 0.

φk(x) = xk , k = 0, . . . , N (2)

f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ aNx

1 x0 x20 · · · xN0

1 x1 x21 · · · xN1

......

1 xN x2N · · · xNN

3777526664

37775 =

26664f(x0)f(x1)

...f(xN )

37775 ⇐⇒ Va = f

0≤i≤j≤N

(xj − xi) 6= 0.

φk(x) = xk , k = 0, . . . , N (2)

f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ aNx

1 x0 x20 · · · xN0

1 x1 x21 · · · xN1

......

1 xN x2N · · · xNN

3777526664

37775 =

26664f(x0)f(x1)

...f(xN )

37775 ⇐⇒ Va = f

0≤i≤j≤N

(xj − xi) 6= 0.

φk(x) = xk , k = 0, . . . , N (2)

f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ aNx

1 x0 x20 · · · xN0

1 x1 x21 · · · xN1

......

1 xN x2N · · · xNN

3777526664

37775 =

26664f(x0)f(x1)

...f(xN )

37775 ⇐⇒ Va = f

0≤i≤j≤N

(xj − xi) 6= 0.

Ejemplo

Ejemplo 2.1

Determine el polinomio de grado 2 que interpola los tres datos

(−2,−27), (0,−1), (1, 0)

Solucion

El polinomio esta dado por

f(x) = a0 + a1x+ a2x2 (4)

Para este caso el sistema esta dado por24 1 −2 41 0 01 1 1

3524 a0

24 −27−1

La solucion esta dada por [−1 5 − 4]T y

f(x) = −1 + 5x− 4x2 (5)

Ejemplo

Ejemplo 2.1

(−2,−27), (0,−1), (1, 0)

Solucion

f(x) = a0 + a1x+ a2x2 (4)

3524 a0

24 −27−1

f(x) = −1 + 5x− 4x2 (5)

Ejemplo

Ejemplo 2.1

(−2,−27), (0,−1), (1, 0)

Solucion

f(x) = a0 + a1x+ a2x2 (4)

3524 a0

24 −27−1

f(x) = −1 + 5x− 4x2 (5)

Ejemplo

Ejemplo 2.1

(−2,−27), (0,−1), (1, 0)

Solucion

f(x) = a0 + a1x+ a2x2 (4)

3524 a0

24 −27−1

f(x) = −1 + 5x− 4x2 (5)

Interpolacion de Newton

Con el fin de reducir la complejidad computacional hacemos elsiguiente cambio de base

φk(x) =

k−1Yi=0

(x− xi) (6)

Ahora f(x) es aproximada por

f(x) = a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)(x−x1)+· · ·+aN (x−x0)(x−x1) · · · (x−xN−1)

Las N + 1 ecuaciones que surgen al evaluar xi se pueden expresarmatricialmente como26664

1 0 · · · 01 (x1 − x0) · · · 0

1 (xN − x0) (xN − x0)(xN − x1) · · · (xN − x0)

3777526664

37775 =

26664f(x0)f(x1)

.f(xN )

φk(x) =

k−1Yi=0

(x− xi) (6)

Las N + 1 ecuaciones que surgen al evaluar xi se pueden expresarmatricialmente como

266641 0 · · · 01 (x1 − x0) · · · 0

1 (xN − x0) (xN − x0)(xN − x1) · · · (xN − x0)

3777526664

37775 =

26664f(x0)f(x1)

.f(xN )

φk(x) =

k−1Yi=0

(x− xi) (6)

1 0 · · · 01 (x1 − x0) · · · 0

1 (xN − x0) (xN − x0)(xN − x1) · · · (xN − x0)

3777526664

37775 =

26664f(x0)f(x1)

.f(xN )

φk(x) =

k−1Yi=0

(x− xi) (6)

1 0 · · · 01 (x1 − x0) · · · 0

1 (xN − x0) (xN − x0)(xN − x1) · · · (xN − x0)

3777526664

37775 =

26664f(x0)f(x1)

.f(xN )

Formula de diferencias dividas

La matriz del sistema anterior es triangular inferior

O`N2´

operaciones necesarias para resolver el sistema

Las soluciones vienen dadas por

a0 = f(x0)

a1 =f(x1)− f(x0)

x1 − x0

f(x2)− f(x0)

x2 − x0−f(x1)− f(x0)

x1 − x0

x2 − x1

ak = F(x0, x1, . . . , xk)

La funcion F puede determinarse de manera recursiva

O`N2´

a0 = f(x0)

a1 =f(x1)− f(x0)

x1 − x0

f(x2)− f(x0)

x2 − x0−f(x1)− f(x0)

x1 − x0

x2 − x1

ak = F(x0, x1, . . . , xk)

O`N2´

a0 = f(x0)

a1 =f(x1)− f(x0)

x1 − x0

f(x2)− f(x0)

x2 − x0−f(x1)− f(x0)

x1 − x0

x2 − x1

ak = F(x0, x1, . . . , xk)

O`N2´

a0 = f(x0)

a1 =f(x1)− f(x0)

x1 − x0

f(x2)− f(x0)

x2 − x0−f(x1)− f(x0)

x1 − x0

x2 − x1

ak = F(x0, x1, . . . , xk)

O`N2´

a0 = f(x0)

a1 =f(x1)− f(x0)

x1 − x0

f(x2)− f(x0)

x2 − x0−f(x1)− f(x0)

x1 − x0

x2 − x1

ak = F(x0, x1, . . . , xk)

Consideremos el conjunto de puntos

Gk0 = {x0, . . . , xk}

Adicionalmente

pk0(x): polinomio de interpolacion en Gk0 = {x0, . . . , xk}

pk−10 (x): polinomio de interpolacion en Gk−1

0 = {x0, . . . , xk−1}

Observemos que

(x0 − xk) pk0(x) = (x− xk) pk−10 (x)− (x− x0) pk1(x) (7)

Ambos polinomios tienen grado k

Ambos polinomios interpolan los mismos k + 1 puntos (xi, f(xi))

Gk0 = {x0, . . . , xk}

Adicionalmente

0 = {x0, . . . , xk−1}

Observemos que

Gk0 = {x0, . . . , xk}

Adicionalmente

0 = {x0, . . . , xk−1}

Observemos que

Gk0 = {x0, . . . , xk}

Adicionalmente

0 = {x0, . . . , xk−1}

Observemos que

Gk0 = {x0, . . . , xk}

Adicionalmente

0 = {x0, . . . , xk−1}

Observemos que

Gk0 = {x0, . . . , xk}

Adicionalmente

0 = {x0, . . . , xk−1}

Observemos que

Los polinomios de interpolacion estan dados por

pk0(x) = a0 + a1(x− x0) + · · ·+ ak(x− x0) · · · (x− xk−1)

pk−10 (x) = a0 + a1(x− x0) + · · ·+ ak−1(x− x0) · · · (x− xk−2)

pk1(x) = b1 + b2(x− x1) + · · ·+ bk(x− x1) · · · (x− xk−1)

Al sustituirlos en (7)

(x0 − xk) pk0(x) = (x− xk) pk−10 (x)− (x− x0) pk1(x)

obtenemos

(x0 − xk) akxk + · · · = (ak−1 − bk)xk + · · ·

Comparando los coeficientes de mayor potencia xk:

(x0 − xk) ak = ak−1 − bk(x0 − xk)F(x0, x1, . . . , xk) = F(x0, x1, . . . , xk−1)−F(x1, x2, . . . , xk)

pk0(x) = a0 + a1(x− x0) + · · ·+ ak(x− x0) · · · (x− xk−1)

pk−10 (x) = a0 + a1(x− x0) + · · ·+ ak−1(x− x0) · · · (x− xk−2)

pk1(x) = b1 + b2(x− x1) + · · ·+ bk(x− x1) · · · (x− xk−1)

obtenemos

(x0 − xk) akxk + · · · = (ak−1 − bk)xk + · · ·

pk0(x) = a0 + a1(x− x0) + · · ·+ ak(x− x0) · · · (x− xk−1)

pk−10 (x) = a0 + a1(x− x0) + · · ·+ ak−1(x− x0) · · · (x− xk−2)

pk1(x) = b1 + b2(x− x1) + · · ·+ bk(x− x1) · · · (x− xk−1)

obtenemos

(x0 − xk) akxk + · · · = (ak−1 − bk)xk + · · ·

pk0(x) = a0 + a1(x− x0) + · · ·+ ak(x− x0) · · · (x− xk−1)

pk−10 (x) = a0 + a1(x− x0) + · · ·+ ak−1(x− x0) · · · (x− xk−2)

pk1(x) = b1 + b2(x− x1) + · · ·+ bk(x− x1) · · · (x− xk−1)

obtenemos

(x0 − xk) akxk + · · · = (ak−1 − bk)xk + · · ·

Obtenemos la formula de diferencias dividas

F(x0, x1, . . . , xk) =F(x0, x1, . . . , xk−1)−F(x1, x2, . . . , xk)

(x0 − xk)(8)

El polinomio de interpolacion esta dado por

f(x) = F(x0) + F(x0, x1)(x− x0) + F(x0, x1, x2)(x− x0)(x− x1)

+ · · · + F(x0, · · · , xN )(x− x0) · · · (x− xN−1)(9)

La formula de recursividad (8) aplicada a los puntos G20 = {x0, x1, x2}

k = 0 k = 1 k = 2x0 F(x0) = f(x)

F(x0, x1) =F(x0)−F(x1)

x0−x1x1 F(x1) = f(x1) F(x0, x1, x2) =

F(x0,x1)−F(x1,x2)x0−x2

F(x1, x2) =F(x1)−F(x2)

x1−x2x2 F(x2) = f(x2)

(x0 − xk)(8)

+ · · · + F(x0, · · · , xN )(x− x0) · · · (x− xN−1)(9)

k = 0 k = 1 k = 2x0 F(x0) = f(x)

F(x0, x1) =F(x0)−F(x1)

x0−x1x1 F(x1) = f(x1) F(x0, x1, x2) =

F(x0,x1)−F(x1,x2)x0−x2

F(x1, x2) =F(x1)−F(x2)

x1−x2x2 F(x2) = f(x2)

(x0 − xk)(8)

+ · · · + F(x0, · · · , xN )(x− x0) · · · (x− xN−1)(9)

k = 0 k = 1 k = 2x0 F(x0) = f(x)

F(x0, x1) =F(x0)−F(x1)

x0−x1x1 F(x1) = f(x1) F(x0, x1, x2) =

F(x0,x1)−F(x1,x2)x0−x2

F(x1, x2) =F(x1)−F(x2)

x1−x2x2 F(x2) = f(x2)

(x0 − xk)(8)

+ · · · + F(x0, · · · , xN )(x− x0) · · · (x− xN−1)(9)

k = 0 k = 1 k = 2x0 F(x0) = f(x)

F(x0, x1) =F(x0)−F(x1)

x0−x1x1 F(x1) = f(x1) F(x0, x1, x2) =

F(x0,x1)−F(x1,x2)x0−x2

F(x1, x2) =F(x1)−F(x2)

x1−x2x2 F(x2) = f(x2)

Interpolacion de Lagrange

Como base tomamos los polinomios de Lagrange definidos por

Lk(x) =

NYi=0i6=k

(x− xi)(xk − xi)

=(x− x0)

(xk − x0)· · · (x− xk−1)

(xk − xk−1)· (x− xk+1)

(xk − xk+1)· · · (x− xN )

(xk − xN )

Propiedades

Lk es un polinomio de grado N

Lk(xj) =

1 si k = j0 si k 6= j

= δkj

El polinomio de interpolacion de Lagrange esta dado por

pN (x) = f(x0)L0(x) + f(x1)L1(x) + · · ·+ f(xN )LN (x) (11)

El polinomio de interpolacion de Lagrange es de grado ≤ N y pasa porlos N + 1 puntos (x0, f(x0)), . . . , (xN , f(xN ))

Lk(x) =

NYi=0i6=k

=(x− x0)

(xk − x0)· · · (x− xk−1)

(xk − xk−1)· (x− xk+1)

(xk − xk+1)· · · (x− xN )

(xk − xN )

Propiedades

Lk(xj) =

1 si k = j0 si k 6= j

= δkj

Lk(x) =

NYi=0i6=k

=(x− x0)

(xk − x0)· · · (x− xk−1)

(xk − xk−1)· (x− xk+1)

(xk − xk+1)· · · (x− xN )

(xk − xN )

Propiedades

Lk(xj) =

1 si k = j0 si k 6= j

= δkj

Lk(x) =

NYi=0i6=k

=(x− x0)

(xk − x0)· · · (x− xk−1)

(xk − xk−1)· (x− xk+1)

(xk − xk+1)· · · (x− xN )

(xk − xN )

Propiedades

Lk(xj) =

1 si k = j0 si k 6= j

= δkj

Lk(x) =

NYi=0i6=k

=(x− x0)

(xk − x0)· · · (x− xk−1)

(xk − xk−1)· (x− xk+1)

(xk − xk+1)· · · (x− xN )

(xk − xN )

Propiedades

Lk(xj) =

1 si k = j0 si k 6= j

= δkj

Lk(x) =

NYi=0i6=k

=(x− x0)

(xk − x0)· · · (x− xk−1)

(xk − xk−1)· (x− xk+1)

(xk − xk+1)· · · (x− xN )

(xk − xN )

Propiedades

Lk(xj) =

1 si k = j0 si k 6= j

= δkj

Polinomios de Lagrange para N = 4 y x0 = 0 , x1 = 1 , x2 = 2 , x3 = 3x4 = 4

L0(x) =(x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4)

(0− 1)(0− 2)(0− 3)(0− 4)=

`x4 − 10x3 + 35x2 − 50x+ 24

´L1(x) =

(x− 0)(x− 2)(x− 3)(x− 4)

(1− 0)(1− 2)(1− 3)(1− 4)= −

`x4 − 9x3 + 26x2 − 24x

´L2(x) =

(x− 0)(x− 1)(x− 3)(x− 4)

(2− 0)(2− 1)(2− 3)(2− 4)=

`x4 − 8x3 + 19x2 − 12x

´L3(x) =

(x− 0)(x− 1)(x− 2)(x− 4)

(3− 0)(3− 1)(3− 2)(3− 4)= −

`x4 − 7x3 + 14x2 − 8x

´L4(x) =

(x− 0)(x− 1)(x− 2)(x− 3)

(4− 0)(4− 1)(4− 2)(4− 3)=

`x4 − 6x3 + 11x2 − 6x

L0(x) =(x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4)

(0− 1)(0− 2)(0− 3)(0− 4)=

`x4 − 10x3 + 35x2 − 50x+ 24

´L1(x) =

(x− 0)(x− 2)(x− 3)(x− 4)

(1− 0)(1− 2)(1− 3)(1− 4)= −

`x4 − 9x3 + 26x2 − 24x

´L2(x) =

(x− 0)(x− 1)(x− 3)(x− 4)

(2− 0)(2− 1)(2− 3)(2− 4)=

`x4 − 8x3 + 19x2 − 12x

´L3(x) =

(x− 0)(x− 1)(x− 2)(x− 4)

(3− 0)(3− 1)(3− 2)(3− 4)= −

`x4 − 7x3 + 14x2 − 8x

´L4(x) =

(x− 0)(x− 1)(x− 2)(x− 3)

(4− 0)(4− 1)(4− 2)(4− 3)=

`x4 − 6x3 + 11x2 − 6x

L0(x) =(x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4)

(0− 1)(0− 2)(0− 3)(0− 4)=

`x4 − 10x3 + 35x2 − 50x+ 24

´L1(x) =

(x− 0)(x− 2)(x− 3)(x− 4)

(1− 0)(1− 2)(1− 3)(1− 4)= −

`x4 − 9x3 + 26x2 − 24x

´L2(x) =

(x− 0)(x− 1)(x− 3)(x− 4)

(2− 0)(2− 1)(2− 3)(2− 4)=

`x4 − 8x3 + 19x2 − 12x

´L3(x) =

(x− 0)(x− 1)(x− 2)(x− 4)

(3− 0)(3− 1)(3− 2)(3− 4)= −

`x4 − 7x3 + 14x2 − 8x

´L4(x) =

(x− 0)(x− 1)(x− 2)(x− 3)

(4− 0)(4− 1)(4− 2)(4− 3)=

`x4 − 6x3 + 11x2 − 6x

Ejemplo

Ejemplo 4.1

Determine el polinomio de interpolacion de Lagrange para f(x) =1

xen los

puntos x0 = 2 , x1 = 2.5 , x2 = 4 y utilıcelo para aproximar f(3).

Solucion

L0(x) =(x− 2,5)(x− 4)

(2− 2,5)(2− 4)= (x− 6,5)x+ 10

L1(x) =(x− 2)(x− 4)

(2,5− 2)(2,5− 4)=

(−4x+ 24)x− 32

L2(x) =(x− 2)(x− 2,5)

(4− 2)(4− 2,5)=

(x− 4,5)x+ 5

p(x) = f(2)L0(x) + f(2,5)L1(x) + f(4)L1(x)

= 0,5 ((x− 6,5)x+ 10) + 0,4(−4x+ 24)x− 32

3+ 0,25

(x− 4,5)x+ 5

= (0,05x− 0,425)x+ 1,15 =⇒ f(3) ≈ p(3) = 0,325

Ejemplo

Ejemplo 4.1

xen los

Solucion

L0(x) =(x− 2,5)(x− 4)

(2− 2,5)(2− 4)= (x− 6,5)x+ 10

L1(x) =(x− 2)(x− 4)

(2,5− 2)(2,5− 4)=

(−4x+ 24)x− 32

L2(x) =(x− 2)(x− 2,5)

(4− 2)(4− 2,5)=

(x− 4,5)x+ 5

p(x) = f(2)L0(x) + f(2,5)L1(x) + f(4)L1(x)

= 0,5 ((x− 6,5)x+ 10) + 0,4(−4x+ 24)x− 32

3+ 0,25

(x− 4,5)x+ 5

= (0,05x− 0,425)x+ 1,15 =⇒ f(3) ≈ p(3) = 0,325

Ejemplo

Ejemplo 4.1

xen los

Solucion

L0(x) =(x− 2,5)(x− 4)

(2− 2,5)(2− 4)= (x− 6,5)x+ 10

L1(x) =(x− 2)(x− 4)

(2,5− 2)(2,5− 4)=

(−4x+ 24)x− 32

L2(x) =(x− 2)(x− 2,5)

(4− 2)(4− 2,5)=

(x− 4,5)x+ 5

p(x) = f(2)L0(x) + f(2,5)L1(x) + f(4)L1(x)

= 0,5 ((x− 6,5)x+ 10) + 0,4(−4x+ 24)x− 32

3+ 0,25

(x− 4,5)x+ 5

= (0,05x− 0,425)x+ 1,15 =⇒ f(3) ≈ p(3) = 0,325

Ejemplo

Ejemplo 4.1

xen los

Solucion

L0(x) =(x− 2,5)(x− 4)

(2− 2,5)(2− 4)= (x− 6,5)x+ 10

L1(x) =(x− 2)(x− 4)

(2,5− 2)(2,5− 4)=

(−4x+ 24)x− 32

L2(x) =(x− 2)(x− 2,5)

(4− 2)(4− 2,5)=

(x− 4,5)x+ 5

p(x) = f(2)L0(x) + f(2,5)L1(x) + f(4)L1(x)

= 0,5 ((x− 6,5)x+ 10) + 0,4(−4x+ 24)x− 32

3+ 0,25

(x− 4,5)x+ 5

= (0,05x− 0,425)x+ 1,15 =⇒ f(3) ≈ p(3) = 0,325

Ejemplo

double LagrangePoli(double x, int pt, int npts, double * xpts){int i;

double h=1.0;

for(i=0;i<pt,i++)

h = h * xpts[i])/(xpts[pt]-xpts[i]);

for(i=pt+1;i<npts,i++)

h = h * xpts[i])/(xpts[pt]-xpts[i]);

return h;

NYi=0i6=k

Teorema (6.1)

Teorema 5.1

Sea f ∈ Cn+1[a, b] y p el polinomio de grado ≤ n que interpola a f en losn+ 1 puntos x0, x1, . . . , xn del intervalo [a, b]. Para todo x ∈ [a, b] existe unξ = ξ(x) ∈ (a, b) tal que

f(x)− p(x) =1

(n+ 1)!f (n+1)(ξ)

(x− xi) (12)

Demostracion

La ecuacion (18) es valida en los puntos de interpolacion xi y se reduce a0 = 0.

Para x 6= xi definimos

g(t) = f(t)− p(t)− (f(x)− p(x))

t− xix− xi

, t ∈ [a, b] (13)

Por otra parte

f ∈ Cn+1[a, b] y p ∈ C∞[a, b] =⇒ g ∈ Cn+1[a, b]

Teorema (6.1)

Teorema 5.1

f(x)− p(x) =1

(n+ 1)!f (n+1)(ξ)

(x− xi) (12)

Demostracion

g(t) = f(t)− p(t)− (f(x)− p(x))nYi=0

t− xix− xi

, t ∈ [a, b] (13)

Por otra parte

Teorema (6.1)

Teorema 5.1

f(x)− p(x) =1

(n+ 1)!f (n+1)(ξ)

(x− xi) (12)

Demostracion

g(t) = f(t)− p(t)− (f(x)− p(x))nYi=0

t− xix− xi

, t ∈ [a, b] (13)

Por otra parte

Teorema (6.1)

Teorema 5.1

f(x)− p(x) =1

(n+ 1)!f (n+1)(ξ)

(x− xi) (12)

Demostracion

g(t) = f(t)− p(t)− (f(x)− p(x))nYi=0

t− xix− xi

, t ∈ [a, b] (13)

Por otra parte

Teorema (6.1)Observemos que

g(xk) =��

��:0

f(xk)− p(xk)− (f(x)− p(x))��

��*0

xk − xix− xi

= 0 , k = 0, . . . , N

g(x) = f(x)− p(x)− (f(x)− p(x))��

��*1

xk − xix− xi

g ∈ Cn+1[a, b] y g = 0 en N+2 puntosRolle=⇒ g(n+1)(ξ) = 0 (14)

De (13), con ∗(n+1) = dn+1

dtn+1 ∗ se tiene que

g(n+1)(t) = f (n+1)(t)− p(n+1)(t)− (f(x)− p(x))dn+1

t− xix− xi

= f (n+1)(t)− (f(x)− p(x))(n+ 1)!Qni=0(x− xi)

g(xk) =��

��:0

f(xk)− p(xk)− (f(x)− p(x))��

��*0

xk − xix− xi

= 0 , k = 0, . . . , N

g(x) = f(x)− p(x)− (f(x)− p(x))��

��*1

xk − xix− xi

De (13), con ∗(n+1) = dn+1

t− xix− xi

= f (n+1)(t)− (f(x)− p(x))(n+ 1)!Qni=0(x− xi)

g(xk) =��

��:0

f(xk)− p(xk)− (f(x)− p(x))��

��*0

xk − xix− xi

= 0 , k = 0, . . . , N

g(x) = f(x)− p(x)− (f(x)− p(x))��

��*1

xk − xix− xi

De (13), con ∗(n+1) = dn+1

t− xix− xi

= f (n+1)(t)− (f(x)− p(x))(n+ 1)!Qni=0(x− xi)

g(xk) =��

��:0

f(xk)− p(xk)− (f(x)− p(x))��

��*0

xk − xix− xi

= 0 , k = 0, . . . , N

g(x) = f(x)− p(x)− (f(x)− p(x))��

��*1

xk − xix− xi

De (13), con ∗(n+1) = dn+1

t− xix− xi

= f (n+1)(t)− (f(x)− p(x))(n+ 1)!Qni=0(x− xi)

Teorema (6.1)

(14) , (15) y t = ξ =⇒ 0 = f (n+1)(ξ)−(f(x)−p(x))(n+ 1)!Qni=0(x− xi)

y por tanto

f(x)− p(x) =1

(n+ 1)!f (n+1)(ξ)

(x− xi) (16)

Observaciones

La cota de error para el polinomio de Taylor de grado n alrededor dex0 concentra toda la informacion entorno a x0:

f (n+1)(ξ)

(n+ 1)!(x− x0)n+1

La cota de error (16) utiliza los n+ 1 puntos x0, x1, . . . , xn:

f (n+1)(ξ)

(n+ 1)!(x− x0) · · · (x− xn)

Teorema (6.1)

y por tanto

f(x)− p(x) =1

(n+ 1)!f (n+1)(ξ)

(x− xi) (16)

Observaciones

f (n+1)(ξ)

(n+ 1)!(x− x0)n+1

f (n+1)(ξ)

(n+ 1)!(x− x0) · · · (x− xn)

Teorema (6.1)

y por tanto

f(x)− p(x) =1

(n+ 1)!f (n+1)(ξ)

(x− xi) (16)

Observaciones

f (n+1)(ξ)

(n+ 1)!(x− x0)n+1

f (n+1)(ξ)

(n+ 1)!(x− x0) · · · (x− xn)

Teorema (6.1)

y por tanto

f(x)− p(x) =1

(n+ 1)!f (n+1)(ξ)

(x− xi) (16)

Observaciones

f (n+1)(ξ)

(n+ 1)!(x− x0)n+1

f (n+1)(ξ)

(n+ 1)!(x− x0) · · · (x− xn)

Ejemplo 5.1

Estime el error cometido al aproximar la funcion f(x) = senx por mediodel polinomio de grado nueve que interpola a f en diez puntos del intervalo[0, 1].

Solucion

La cota de error esta dada por (16)

f(x)− p(x) =1

10!f (10)(ξ)

(x− xi) (17)

Por otra parte

f (10)(ξ) = − sen ξ =⇒˛f (10)(ξ)

˛≤ 1

x ∈ [0, 1] =⇒nYi=0

|x− xi| ≤ 1

|f(x)− p(x)| ≤ 1

10!≤ 2,8× 10−7

Ejemplo 5.1

Solucion

f(x)− p(x) =1

10!f (10)(ξ)

(x− xi) (17)

Por otra parte

f (10)(ξ) = − sen ξ =⇒˛f (10)(ξ)

˛≤ 1

x ∈ [0, 1] =⇒nYi=0

|x− xi| ≤ 1

|f(x)− p(x)| ≤ 1

10!≤ 2,8× 10−7

Ejemplo 5.1

Solucion

f(x)− p(x) =1

10!f (10)(ξ)

(x− xi) (17)

Por otra parte

f (10)(ξ) = − sen ξ =⇒˛f (10)(ξ)

˛≤ 1

x ∈ [0, 1] =⇒nYi=0

|x− xi| ≤ 1

|f(x)− p(x)| ≤ 1

10!≤ 2,8× 10−7

Ejemplo 5.1

Solucion

f(x)− p(x) =1

10!f (10)(ξ)

(x− xi) (17)

Por otra parte

f (10)(ξ) = − sen ξ =⇒˛f (10)(ξ)

˛≤ 1

x ∈ [0, 1] =⇒nYi=0

|x− xi| ≤ 1

|f(x)− p(x)| ≤ 1

10!≤ 2,8× 10−7

Ejemplo 5.1

Solucion

f(x)− p(x) =1

10!f (10)(ξ)

(x− xi) (17)

Por otra parte

f (10)(ξ) = − sen ξ =⇒˛f (10)(ξ)

˛≤ 1

x ∈ [0, 1] =⇒nYi=0

|x− xi| ≤ 1

|f(x)− p(x)| ≤ 1

10!≤ 2,8× 10−7

Cota de error para el polinomio de Newton

Teorema 5.2

Sea f ∈ Cn+1[a, b] y p el polinomio de grado ≤ n que interpola a f en losn+ 1 puntos x0, x1, . . . , xn del intervalo [a, b]. Entonces

f(x)− p(x) = F(x0, x1, . . . , xn, x)nYi=0

(x− xi) (18)

Demostracion

Por el teorema (6.1), existe ξ = ξ(x) tal que

f(x)− p(x) =1

(n+ 1)!f (n+1)(ξ)

(x− xi) (19)

Por otra parte, el polinomio de interpolacion de Newton esta dado por

p(x) = F(x0) + F(x0, x1)(x− x0) + F(x0, x1, x2)(x− x0)(x− x1)

+ · · · + F(x0, · · · , xN )(x− x0) · · · (x− xN−1)

Teorema 5.2

f(x)− p(x) = F(x0, x1, . . . , xn, x)nYi=0

(x− xi) (18)

Demostracion

f(x)− p(x) =1

(n+ 1)!f (n+1)(ξ)

(x− xi) (19)

+ · · · + F(x0, · · · , xN )(x− x0) · · · (x− xN−1)

Teorema 5.2

f(x)− p(x) = F(x0, x1, . . . , xn, x)nYi=0

(x− xi) (18)

Demostracion

f(x)− p(x) =1

(n+ 1)!f (n+1)(ξ)

(x− xi) (19)

+ · · · + F(x0, · · · , xN )(x− x0) · · · (x− xN−1)

El polinomio de Newton que interpola a f en x0, x1, . . . , xn, x:

+ · · · + F(x0, . . . , xn, x)(x− x0) · · · (x− xn)

y por tanto

f(x)− p(x) = F(x0, . . . , xn, x)nYi=0

(x− xi) (20)

Comparando (19) con (20),

F(x0, . . . , xn, x) =1

(n+ 1)!f (n+1)(ξ(x))

+ · · · + F(x0, . . . , xn, x)(x− x0) · · · (x− xn)

y por tanto

f(x)− p(x) = F(x0, . . . , xn, x)nYi=0

(x− xi) (20)

F(x0, . . . , xn, x) =1

(n+ 1)!f (n+1)(ξ(x))

+ · · · + F(x0, . . . , xn, x)(x− x0) · · · (x− xn)

y por tanto

f(x)− p(x) = F(x0, . . . , xn, x)nYi=0

(x− xi) (20)

F(x0, . . . , xn, x) =1

(n+ 1)!f (n+1)(ξ(x))

Observaciones

Si pn interpola a f en los n+ 1 puntos x0, x1, . . . , xn,

f(x)− p(x) =1

(n+ 1)!f (n+1)(ξ)

(x− xi) (21)

con ξ ∈ [x0, xn].

ξ es desconocido y (21) solo es util si la derivada esta acotada

Si˛f (n+1)(x)

˛< M y h = max{xi+1 − xi : i = 0, . . . , n},

maxx∈[x0,xn]

|f(x)− p(x)| ≤ Mhn+1

(n+ 1)!(22)

El error disminuye a medida que n crece y h disminuye, solo si˛f (n+1)(x)

˛esta acotada

Aumentar el grado del polinomio no garantiza una mejor aproximacion(pueden aparecer oscilaciones entre los puntos de interpolacion)

Observaciones

f(x)− p(x) =1

(n+ 1)!f (n+1)(ξ)

(x− xi) (21)

Si˛f (n+1)(x)

˛< M y h = max{xi+1 − xi : i = 0, . . . , n},

maxx∈[x0,xn]

|f(x)− p(x)| ≤ Mhn+1

(n+ 1)!(22)

˛esta acotada

Observaciones

f(x)− p(x) =1

(n+ 1)!f (n+1)(ξ)

(x− xi) (21)

Si˛f (n+1)(x)

˛< M y h = max{xi+1 − xi : i = 0, . . . , n},

maxx∈[x0,xn]

|f(x)− p(x)| ≤ Mhn+1

(n+ 1)!(22)

˛esta acotada

Observaciones

f(x)− p(x) =1

(n+ 1)!f (n+1)(ξ)

(x− xi) (21)

Si˛f (n+1)(x)

˛< M y h = max{xi+1 − xi : i = 0, . . . , n},

maxx∈[x0,xn]

|f(x)− p(x)| ≤ Mhn+1

(n+ 1)!(22)

˛esta acotada

Observaciones

f(x)− p(x) =1

(n+ 1)!f (n+1)(ξ)

(x− xi) (21)

Si˛f (n+1)(x)

˛< M y h = max{xi+1 − xi : i = 0, . . . , n},

maxx∈[x0,xn]

|f(x)− p(x)| ≤ Mhn+1

(n+ 1)!(22)

˛esta acotada

Observaciones

Por fuera del intervalo que contiene a los puntos de interpolacion,

(x− xi)

puede crecer “rapido” (extrapolacion)

En el interior del intervalo aumentar los puntos de interpolacion noimplica mejorar la aproximacion

Al aumentar el grado del polinomio, aumentan las oscilaciones

Hasta ahora las aproximaciones de los polinomios de interpolacion nodependen de la distribucion de los puntos x0, . . . , xn de interpolacion

Puntos de interpolacion igualmente espaciados a menudo conducen aresultados erroneos en los extremos

Observaciones

(x− xi)

Observaciones

(x− xi)

Observaciones

(x− xi)

Observaciones

(x− xi)

Fenomeno Runge

Polinomios interpolantes para la funcion de Runge

f(x) =1

1 + 25x2, x ∈ [−1, 1]

sobre puntos igualmente espaciados no converge.

Figura: − utiliza 10 puntos equidistantes (◦); − · − utiliza 20 puntosequidistantes (�).

Fenomeno Runge

Los puntos de interpolacion se pueden distribuir no uniformemente conel fin de minimizar el fenomeno de Runge

xi = cos

„2i+ 1

«, i = 0, . . . , n (23)

Figura: − utiliza 10 puntos equidistantes (◦); − · − utiliza 20 puntos dadospor (23) (�).

Polinomios de Chebyshev

Minimizan el problema del fenomeno de Runge

Proporcionan aproximaciones optimas a funciones continuas bajo lanorma del sup.

Surgen como soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias(problema de Sturm-Liouville)

El polinomio de aproximacion pN lo escribimos como la serie truncada

f(x) ≈ pN (x) =

akTk(x)

con Tk definido recursivamente por

T0(x) = 1; T1(x) = x; Tn+1(x) = 2xTn(x)−Tn−1(x) , n ≥ 1. (24)

A los Tk se les denomina polinomios de Chebyshev

f(x) ≈ pN (x) =

akTk(x)

Los primeros 5 polinomios de Chebyshev:

T0(x) = 1

T1(x) = x

T2(x) = 2xT1(x)− T0(x) = 2x2 − 1

T3(x) = 2xT2(x)− T1(x) = 4x3 − 3x

T4(x) = 2xT3(x)− T2(x) = 8x4 − 8x2 + 1

T0(x) = 1

T1(x) = x

T2(x) = 2xT1(x)− T0(x) = 2x2 − 1

T3(x) = 2xT2(x)− T1(x) = 4x3 − 3x

T4(x) = 2xT3(x)− T2(x) = 8x4 − 8x2 + 1

T0(x) = 1

T1(x) = x

T2(x) = 2xT1(x)− T0(x) = 2x2 − 1

T3(x) = 2xT2(x)− T1(x) = 4x3 − 3x

T4(x) = 2xT3(x)− T2(x) = 8x4 − 8x2 + 1

T0(x) = 1

T1(x) = x

T2(x) = 2xT1(x)− T0(x) = 2x2 − 1

T3(x) = 2xT2(x)− T1(x) = 4x3 − 3x

T4(x) = 2xT3(x)− T2(x) = 8x4 − 8x2 + 1

Codigo

double ChebyshevPoli(int grado, double x){double valor;

switch(grado){case 0 :

valor = 1.0;

break;

case 2 :

valor = x;

break;

default:

valor = 2.0*x*ChebyshevPoli(grado-1,x) - ChebyshevPoli(grado-2,x);

break;

return valor;}

T0(x) = 1; T1(x) = x; Tn+1(x) = 2xTn(x)− Tn−1(x) , n ≥ 1.

Definicion trigonometrica

Los polinomios de Chebyshev se pueden definir en [−1, 1] por

Tn(x) = cos(n arc cosx) = cos(n arc cosx) , n = 0, 1, . . . (25)

La definicion (25) satisface la relacion de recurrencia (24):

T0(x) = cos 0 = 1 y T1(x) = cos(arc cosx) = x

Tn(x) = cos(n arc cosx| {z }θ

) = cos(nθ) , θ ∈ [0, π] (26)

de lo cual

Tn+1(x) = cos ((n+ 1)θ) = cos(nθ) cos θ − sen(nθ) sen θ

Tn−1(x) = cos((n− 1)θ) = cos(nθ) cos θ + sen(nθ) sen θ

y al sumar las dos ultimas con x = cos θ,

Tn+1(x) + Tn−1(x) = 2 cos(nθ) cos θ

Tn+1(x) = 2 cos θ cos(nθ)− Tn−1(x)

Tn+1(x) = 2xTn(x)− Tn−1(x)

) = cos(nθ) , θ ∈ [0, π] (26)

de lo cual

Tn+1(x) = 2xTn(x)− Tn−1(x)

) = cos(nθ) , θ ∈ [0, π] (26)

de lo cual

Tn+1(x) = 2xTn(x)− Tn−1(x)

) = cos(nθ) , θ ∈ [0, π] (26)

de lo cual

Tn+1(x) = 2xTn(x)− Tn−1(x)

Propiedades

Proposicion 6.1 (Propiedades)

Los polinomios de Chebyshev Tn(x) satisfacen:

1 |Tn(x)| ≤ 1 (−1 ≤ x ≤ 1)

„cos

„jπ

««= (−1)j (0 ≤ j ≤ n)

„cos

„2j − 1

««= 0 (1 ≤ j ≤ n)

Observaciones

Tn es un polinomio de grado n cuyo coeficiente principal esta dado por2n−1

Tn(x) = 2n−1xn + · · ·

Los ceros de Tn (puntos de Chebyshev) estan dados por

tj = cos

„2j − 1

«, j = 1, . . . , n

Propiedades

1 |Tn(x)| ≤ 1 (−1 ≤ x ≤ 1)

„cos

„jπ

««= (−1)j (0 ≤ j ≤ n)

„cos

„2j − 1

««= 0 (1 ≤ j ≤ n)

Observaciones

Tn(x) = 2n−1xn + · · ·

tj = cos

„2j − 1

«, j = 1, . . . , n

Propiedades

1 |Tn(x)| ≤ 1 (−1 ≤ x ≤ 1)

„cos

„jπ

««= (−1)j (0 ≤ j ≤ n)

„cos

„2j − 1

««= 0 (1 ≤ j ≤ n)

Observaciones

Tn(x) = 2n−1xn + · · ·

tj = cos

„2j − 1

«, j = 1, . . . , n

Propiedades

Los puntos de Chebyshev son las abcisas de puntos en el plano,igualmente espaciados sobre la circunferencia unitaria

Los puntos de Chebyshev poseen propiedades de interpolacion utiles:

Entre todos los polinomios de grado n con coficiente principal 1,

f(x) =1

2n−1Tn(x)

es el unico cuya norma del sup en [−1, 1] es mınima`‖f‖∞ = 1

´Si x0, . . . , xn son las raices de Tn+1,

|f(x)− p(x)| ≤1

2n(n+ 1)!max−1≤x≤1

˛f (n+1)(x)

Propiedades

f(x) =1

2n−1Tn(x)

Si x0, . . . , xn son las raices de Tn+1,

|f(x)− p(x)| ≤1

2n(n+ 1)!max−1≤x≤1

˛f (n+1)(x)

Propiedades

f(x) =1

2n−1Tn(x)

|f(x)− p(x)| ≤1

2n(n+ 1)!max−1≤x≤1

˛f (n+1)(x)

Propiedades

f(x) =1

2n−1Tn(x)

|f(x)− p(x)| ≤1

2n(n+ 1)!max−1≤x≤1

˛f (n+1)(x)

Convergencia

Teorema 6.1

Si f ∈ C[a, b], entonces existe un sistema de nodos

a ≤ x(n)0 ≤ x(n)

1 ≤ · · · ≤ x(n)n ≤ b

tales que los polinomios de interpolacion pn a f en dichos nodos satisfacen

lımn→∞

‖f − pn‖ = 0

Convergencia

Teorema 6.1

Si f ∈ C[a, b], entonces existe un sistema de nodos

a ≤ x(n)0 ≤ x(n)

1 ≤ · · · ≤ x(n)n ≤ b

tales que los polinomios de interpolacion pn a f en dichos nodos satisfacen

lımn→∞

‖f − pn‖ = 0

Ortogonalidad

En el conjunto de los polinomios en [−1, 1] se puede definir el productointerno

〈p, q〉 =

p(x)q(x)w(x) dx

donde w(x) es una funcion de peso no negativa.

Dos polinomios p y q son ortogonales si 〈p, q〉 = 0.

Un conjunto de polinomios {pi} es ortonormal si

〈pi, pj〉 =

1 si i = j0 si i 6= j

= δkj

Dado un conjunto de polinomios {pi} y un producto interno, elprocedimiento de ortogonalizacion de Gram-Schmidt genera diversosconjuntos de polinomios (Legendre, Laguerre, Hermite, etc.)

Ortogonalidad

〈p, q〉 =

p(x)q(x)w(x) dx

〈pi, pj〉 =

1 si i = j0 si i 6= j

= δkj

Ortogonalidad

〈p, q〉 =

p(x)q(x)w(x) dx

〈pi, pj〉 =

1 si i = j0 si i 6= j

= δkj

Ortogonalidad

〈p, q〉 =

p(x)q(x)w(x) dx

〈pi, pj〉 =

1 si i = j0 si i 6= j

= δkj

Ortogonalidad

Los polinomios de Chebyshev son ortonales respecto a la funcion depeso

w(x) =1√

1− x2

en el intervalo [−1, 1]:

〈Tn(x), Tm(x)〉 =

Tn(x)Tm(x)dx√

1− x2=

8<:0 si n 6= mπ si n = m = 0π/2 si n = m 6= 0

Los extremos sucesivos de Tk son iguales en magnitud y alternan designo, lo cual distribuye el error uniformemente

Ortogonalidad

w(x) =1√

1− x2

〈Tn(x), Tm(x)〉 =

Tn(x)Tm(x)dx√

1− x2=

8<:0 si n 6= mπ si n = m = 0π/2 si n = m 6= 0

Ortogonalidad

w(x) =1√

1− x2

〈Tn(x), Tm(x)〉 =

Tn(x)Tm(x)dx√

1− x2=

8<:0 si n 6= mπ si n = m = 0π/2 si n = m 6= 0

Interpolacion de Hermite

Vimos que al aumentar los puntos de interpolacion, aumenta el gradodel polinomio de aproximacion y las oscilaciones

Una solucion consiste en utilizar varios polinomios de interpolacion degrado bajo en lugar de un polinomio de grado alto

La interpolacion de Hermite utiliza no solo los valores de la funcion ainterpolar sino tambien sus derivadas. Por ejemplo

x0 x1 · · · xN

f(x0) f(x1) · · · f(xN )f ′(x0) f ′(x1) · · · f ′(xN )

Al incluir las derivadas, aumenta el numero de ecuaciones del sistemaque determina los parametros del polinomio interpolante

Los polinomios de Hermite se generan cuando se consideran solo losvalores de la primera derivada de la funcion

x0 x1 · · · xN

f(x0) f(x1) · · · f(xN )f ′(x0) f ′(x1) · · · f ′(xN )

x0 x1 · · · xN

f(x0) f(x1) · · · f(xN )f ′(x0) f ′(x1) · · · f ′(xN )

x0 x1 · · · xN

f(x0) f(x1) · · · f(xN )f ′(x0) f ′(x1) · · · f ′(xN )

x0 x1 · · · xN

f(x0) f(x1) · · · f(xN )f ′(x0) f ′(x1) · · · f ′(xN )

x0 x1 · · · xN

f(x0) f(x1) · · · f(xN )f ′(x0) f ′(x1) · · · f ′(xN )

Polinomio osculante

Proposicion 7.1 (Existencia del polinomio osculante)

Considere n+ 1 puntos distintos en [a, b]

x0, x1, . . . , xn (27)

y mi un entero no negativo asociado a xi para i = 0, 1, . . . , n. Paraf ∈ Cm[a, b] con m = max0≤i≤nmi existe un unico polinomio p de gradomınimo tal que

dkp(xi)

dxk=dkf(xi)

dxkpara i = 0, 1, . . . , n y k = 0, 1, . . . ,mi (28)

Observaciones

El polinomio p que satisface la condicion de interpolacion de Hermite(28) es llamado polinomio osculante que aproxima a f

El numero de condiciones a satisfacer en (28) esPni=0 mi + (n+ 1) y

por tanto el grado del polinomio osculante p es a lo sumo

mi + n

Polinomio osculante

x0, x1, . . . , xn (27)

dkp(xi)

dxk=dkf(xi)

dxkpara i = 0, 1, . . . , n y k = 0, 1, . . . ,mi (28)

Observaciones

M =nXi=0

mi + n

Polinomio osculante

x0, x1, . . . , xn (27)

dkp(xi)

dxk=dkf(xi)

dxkpara i = 0, 1, . . . , n y k = 0, 1, . . . ,mi (28)

Observaciones

M =nXi=0

mi + n

Polinomio osculante

Cuando n = 0 tenemos en (27) solo un punto de interpolacion x0 y lacondicion de Hermite

dkp(x0)

dxk=dkf(x0)

dxkpara k = 0, 1, . . . ,m0

conduce al m0-esimo polinomio de Taylor en torno a x0

p(x) = f(x0) + f ′(x0)(x−x0) +f ′′(x0)

2!(x−x0)2 + · · ·+ f (m0)(x0)

m0!(x−x0)m0

Cuando mi = 0 para i = 0, 1 . . . , n la condicion de Hermite (28) queda

p(xi) = f(xi) para i = 0, 1 . . . , n

y el polinomio resultante es el polinomio de interpolacion de Lagrange

p(xi) = f(xi) y p′(xi) = f ′(xi) para i = 0, 1 . . . , n

y el polinomio resultante se denomina polinomio de Hermite

Polinomio osculante

dkp(x0)

dxk=dkf(x0)

dxkpara k = 0, 1, . . . ,m0

p(x) = f(x0) + f ′(x0)(x−x0) +f ′′(x0)

2!(x−x0)2 + · · ·+ f (m0)(x0)

m0!(x−x0)m0

p(xi) = f(xi) para i = 0, 1 . . . , n

Polinomio osculante

dkp(x0)

dxk=dkf(x0)

dxkpara k = 0, 1, . . . ,m0

p(x) = f(x0) + f ′(x0)(x−x0) +f ′′(x0)

2!(x−x0)2 + · · ·+ f (m0)(x0)

m0!(x−x0)m0

p(xi) = f(xi) para i = 0, 1 . . . , n

Polinomio osculante

dkp(x0)

dxk=dkf(x0)

dxkpara k = 0, 1, . . . ,m0

p(x) = f(x0) + f ′(x0)(x−x0) +f ′′(x0)

2!(x−x0)2 + · · ·+ f (m0)(x0)

m0!(x−x0)m0

p(xi) = f(xi) para i = 0, 1 . . . , n

Polinomio osculante

dkp(x0)

dxk=dkf(x0)

dxkpara k = 0, 1, . . . ,m0

p(x) = f(x0) + f ′(x0)(x−x0) +f ′′(x0)

2!(x−x0)2 + · · ·+ f (m0)(x0)

m0!(x−x0)m0

p(xi) = f(xi) para i = 0, 1 . . . , n

Teorema (7.1)

Teorema 7.1

Si f ∈ C1[a, b] y x0, x1, . . . , xn son puntos distintos en [a, b], el polinomioosculante que interpola a f y f ′ en x0, x1, . . . , xn es el polinomio deHermite de grado ≤ 2n+ 1 y esta dado por

H2n+1(x) =

f(xj)Hn,j(x) +

f ′(xj)Hn,j(x) (29)

Hn,j(x) =ˆ1− 2(x− xj)L′n,j(xj)

˜L2n,j(x) , (30)

Hn,j(x) = (x− xj)L2n,j(x) (31)

y Ln,j es el j-esimo polinomio de Lagrange de grado n

Ln,j =nY

i=0i6=j

(x− xi)xj − xi

Teorema (7.1)

Teorema 7.1

Si f ∈ C1[a, b] y x0, x1, . . . , xn son puntos distintos en [a, b], el polinomioosculante que interpola a f y f ′ en x0, x1, . . . , xn es el polinomio deHermite de grado ≤ 2n+ 1 y esta dado por

H2n+1(x) =

f(xj)Hn,j(x) +

f ′(xj)Hn,j(x) (29)

˜L2n,j(x) , (30)

Hn,j(x) = (x− xj)L2n,j(x) (31)

y Ln,j es el j-esimo polinomio de Lagrange de grado n

Ln,j =nY

i=0i6=j

(x− xi)xj − xi

Teorema (7.1)

Demostracion

H2n+1 interpola a f en x0, . . . , xn

Para i 6= j:

Ln,j(xi) = δi,j =⇒ Hn,j(xi) = 0 y Hn,j(xi) = 0

Para i = j:

Hn,i(xi) =

»1− 2��

��:0(xi − xi)L′n,i(xi)

–��

�:1L2n,i(xi) = 1

H ′n,i(xi) = (xi − xi)��:1

L2n,j(x) = 0

H2n+1(xi) =

nXj=0j 6=i

f(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i

f ′(xj) · 0 = f(xi)

Teorema (7.1)

Demostracion

Para i 6= j:

Para i = j:

Hn,i(xi) =

»1− 2��

–��

�:1L2n,i(xi) = 1

H ′n,i(xi) = (xi − xi)��:1

L2n,j(x) = 0

H2n+1(xi) =

nXj=0j 6=i

f(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i

f ′(xj) · 0 = f(xi)

Teorema (7.1)

Demostracion

Para i 6= j:

Para i = j:

Hn,i(xi) =

»1− 2��

–��

�:1L2n,i(xi) = 1

H ′n,i(xi) = (xi − xi)��:1

L2n,j(x) = 0

H2n+1(xi) =

nXj=0j 6=i

f(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i

f ′(xj) · 0 = f(xi)

Teorema (7.1)

Demostracion

Para i 6= j:

Para i = j:

Hn,i(xi) =

»1− 2��

–��

�:1L2n,i(xi) = 1

H ′n,i(xi) = (xi − xi)��:1

L2n,j(x) = 0

H2n+1(xi) =

nXj=0j 6=i

f(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i

f ′(xj) · 0 = f(xi)

Teorema (7.1)

Demostracion

Para i 6= j:

Para i = j:

Hn,i(xi) =

»1− 2��

–��

�:1L2n,i(xi) = 1

H ′n,i(xi) = (xi − xi)��:1

L2n,j(x) = 0

H2n+1(xi) =

nXj=0j 6=i

f(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i

f ′(xj) · 0 = f(xi)

Teorema (7.1)

Demostracion

Para i 6= j:

Para i = j:

Hn,i(xi) =

»1− 2��

–��

�:1L2n,i(xi) = 1

H ′n,i(xi) = (xi − xi)��:1

L2n,j(x) = 0

H2n+1(xi) =

nXj=0j 6=i

f(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i

f ′(xj) · 0 = f(xi)

Teorema (7.1)

Demostracion

Para i 6= j:

Para i = j:

Hn,i(xi) =

»1− 2��

–��

�:1L2n,i(xi) = 1

H ′n,i(xi) = (xi − xi)��:1

L2n,j(x) = 0

H2n+1(xi) =

nXj=0j 6=i

f(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i

f ′(xj) · 0 = f(xi)

Teorema (7.1)

H ′2n+1 interpola a f ′ en x0, . . . , xn

De la definicion (30),

Hn,j(x)

=ˆ1− 2(x− xj)L′n,j(xj)

˜L2n,j(x) ,

H ′n,j(x) = − 2L′n,j(xj) · L2n,j(x) +

ˆ1− 2(x− xj)L′n,j(xj)

˜2Ln,j(x)L′n,j(x)

Para i 6= j:

Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0

Para i = j:

H ′n,i(xi) = − 2L′n,i(xi) ·��: 1

L2n,i(x) +

h1− 2��

��: 0(xi − xi)L′n,i(xj)

i2��

�: 1Ln,i(x)L′n,i(x)

= − 2L′n,i(xi) + 2L′n,i(xi) = 0

y por tanto

H ′n,i(xj) = 0 para todo i, j (33)

Teorema (7.1)

Hn,j(x) =

˜L2n,j(x) ,

H ′n,j(x) = − 2L′n,j(xj) · L2n,j(x) +

Para i 6= j:

Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0

Para i = j:

H ′n,i(xi) = − 2L′n,i(xi) ·��: 1

L2n,i(x) +

h1− 2��

��: 0(xi − xi)L′n,i(xj)

i2��

= − 2L′n,i(xi) + 2L′n,i(xi) = 0

y por tanto

Teorema (7.1)

˜L2n,j(x) ,

H ′n,j(x) = − 2L′n,j(xj) · L2n,j(x) +

Para i 6= j:

Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0

Para i = j:

H ′n,i(xi) = − 2L′n,i(xi) ·��: 1

L2n,i(x) +

h1− 2��

��: 0(xi − xi)L′n,i(xj)

i2��

= − 2L′n,i(xi) + 2L′n,i(xi) = 0

y por tanto

Teorema (7.1)

˜L2n,j(x) ,

H ′n,j(x)

= − 2L′n,j(xj) · L2n,j(x) +

Para i 6= j:

Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0

Para i = j:

H ′n,i(xi) = − 2L′n,i(xi) ·��: 1

L2n,i(x) +

h1− 2��

��: 0(xi − xi)L′n,i(xj)

i2��

= − 2L′n,i(xi) + 2L′n,i(xi) = 0

y por tanto

Teorema (7.1)

˜L2n,j(x) ,

H ′n,j(x) =

− 2L′n,j(xj) · L2n,j(x) +

Para i 6= j:

Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0

Para i = j:

H ′n,i(xi) = − 2L′n,i(xi) ·��: 1

L2n,i(x) +

h1− 2��

��: 0(xi − xi)L′n,i(xj)

i2��

= − 2L′n,i(xi) + 2L′n,i(xi) = 0

y por tanto

Teorema (7.1)

˜L2n,j(x) ,

H ′n,j(x) = − 2L′n,j(xj) · L2n,j(x) +

Para i 6= j:

Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0

Para i = j:

H ′n,i(xi) = − 2L′n,i(xi) ·��: 1

L2n,i(x) +

h1− 2��

��: 0(xi − xi)L′n,i(xj)

i2��

= − 2L′n,i(xi) + 2L′n,i(xi) = 0

y por tanto

Teorema (7.1)

˜L2n,j(x) ,

H ′n,j(x) = − 2L′n,j(xj) · L2n,j(x) +

Para i 6= j:

Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0

Para i = j:

H ′n,i(xi) = − 2L′n,i(xi) ·��: 1

L2n,i(x) +

h1− 2��

��: 0(xi − xi)L′n,i(xj)

i2��

= − 2L′n,i(xi) + 2L′n,i(xi) = 0

y por tanto

Teorema (7.1)

˜L2n,j(x) ,

H ′n,j(x) = − 2L′n,j(xj) · L2n,j(x) +

Para i 6= j:

Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0

Para i = j:

H ′n,i(xi)

= − 2L′n,i(xi) ·��: 1

L2n,i(x) +

h1− 2��

��: 0(xi − xi)L′n,i(xj)

i2��

= − 2L′n,i(xi) + 2L′n,i(xi) = 0

y por tanto

Teorema (7.1)

˜L2n,j(x) ,

H ′n,j(x) = − 2L′n,j(xj) · L2n,j(x) +

Para i 6= j:

Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0

Para i = j:

H ′n,i(xi) =

− 2L′n,i(xi) ·��: 1

L2n,i(x) +

h1− 2��

��: 0(xi − xi)L′n,i(xj)

i2��

= − 2L′n,i(xi) + 2L′n,i(xi) = 0

y por tanto

Teorema (7.1)

˜L2n,j(x) ,

H ′n,j(x) = − 2L′n,j(xj) · L2n,j(x) +

Para i 6= j:

Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0

Para i = j:

H ′n,i(xi) = − 2L′n,i(xi) ·��: 1

L2n,i(x) +

h1− 2��

��: 0(xi − xi)L′n,i(xj)

i2��

= − 2L′n,i(xi) + 2L′n,i(xi) = 0

y por tanto

Teorema (7.1)

˜L2n,j(x) ,

H ′n,j(x) = − 2L′n,j(xj) · L2n,j(x) +

Para i 6= j:

Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0

Para i = j:

H ′n,i(xi) = − 2L′n,i(xi) ·��: 1

L2n,i(x) +

h1− 2��

��: 0(xi − xi)L′n,i(xj)

i2��

− 2L′n,i(xi) + 2L′n,i(xi) = 0

y por tanto

Teorema (7.1)

˜L2n,j(x) ,

H ′n,j(x) = − 2L′n,j(xj) · L2n,j(x) +

Para i 6= j:

Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0

Para i = j:

H ′n,i(xi) = − 2L′n,i(xi) ·��: 1

L2n,i(x) +

h1− 2��

��: 0(xi − xi)L′n,i(xj)

i2��

= − 2L′n,i(xi) + 2L′n,i(xi) = 0

y por tanto

Teorema (7.1)

˜L2n,j(x) ,

H ′n,j(x) = − 2L′n,j(xj) · L2n,j(x) +

Para i 6= j:

Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0

Para i = j:

H ′n,i(xi) = − 2L′n,i(xi) ·��: 1

L2n,i(x) +

h1− 2��

��: 0(xi − xi)L′n,i(xj)

i2��

= − 2L′n,i(xi) + 2L′n,i(xi) = 0

y por tanto

Teorema (7.1)

˜L2n,j(x) ,

H ′n,j(x) = − 2L′n,j(xj) · L2n,j(x) +

Para i 6= j:

Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0

Para i = j:

H ′n,i(xi) = − 2L′n,i(xi) ·��: 1

L2n,i(x) +

h1− 2��

��: 0(xi − xi)L′n,i(xj)

i2��

= − 2L′n,i(xi) + 2L′n,i(xi) = 0

y por tanto

Teorema (7.1)

Hn,j(x)

= (x− xj)L2n,j(x) ,

H ′n,j(x) = L2n,j(x) + (x− xj)2Ln,j(xi)L′n,j(x)

Para i 6= j:

Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0

Para i = j:

H ′n,i(xi) = L2n,j(xi) + (xi − xi)2Ln,j(xi)L′n,i(xi) = 1

H ′2n+1(xi) =

f(xj)H′n,j(x) +

f ′(xj)H′n,j(x)

=nXj=0

f(xj) · 0 +

nXj=0j 6=i

f ′(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i

= f ′(xi)

Teorema (7.1)

Hn,j(x) =

(x− xj)L2n,j(x) ,

Para i 6= j:

Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0

Para i = j:

H ′2n+1(xi) =

f(xj)H′n,j(x) +

f ′(xj)H′n,j(x)

=nXj=0

f(xj) · 0 +

nXj=0j 6=i

f ′(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i

= f ′(xi)

Teorema (7.1)

Hn,j(x) = (x− xj)L2n,j(x) ,

Para i 6= j:

Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0

Para i = j:

H ′2n+1(xi) =

f(xj)H′n,j(x) +

f ′(xj)H′n,j(x)

=nXj=0

f(xj) · 0 +

nXj=0j 6=i

f ′(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i

= f ′(xi)

Teorema (7.1)

H ′n,j(x)

= L2n,j(x) + (x− xj)2Ln,j(xi)L′n,j(x)

Para i 6= j:

Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0

Para i = j:

H ′2n+1(xi) =

f(xj)H′n,j(x) +

f ′(xj)H′n,j(x)

=nXj=0

f(xj) · 0 +

nXj=0j 6=i

f ′(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i

= f ′(xi)

Teorema (7.1)

H ′n,j(x) =

L2n,j(x) + (x− xj)2Ln,j(xi)L′n,j(x)

Para i 6= j:

Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0

Para i = j:

H ′2n+1(xi) =

f(xj)H′n,j(x) +

f ′(xj)H′n,j(x)

=nXj=0

f(xj) · 0 +

nXj=0j 6=i

f ′(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i

= f ′(xi)

Teorema (7.1)

Para i 6= j:

Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0

Para i = j:

H ′2n+1(xi) =

f(xj)H′n,j(x) +

f ′(xj)H′n,j(x)

=nXj=0

f(xj) · 0 +

nXj=0j 6=i

f ′(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i

= f ′(xi)

Teorema (7.1)

Para i 6= j:

Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0

Para i = j:

H ′2n+1(xi) =

f(xj)H′n,j(x) +

f ′(xj)H′n,j(x)

=nXj=0

f(xj) · 0 +

nXj=0j 6=i

f ′(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i

= f ′(xi)

Teorema (7.1)

Para i 6= j:

Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0

Para i = j:

H ′2n+1(xi) =

f(xj)H′n,j(x) +

f ′(xj)H′n,j(x)

=nXj=0

f(xj) · 0 +

nXj=0j 6=i

f ′(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i

= f ′(xi)

Teorema (7.1)

Para i 6= j:

Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0

Para i = j:

H ′2n+1(xi) =

f(xj)H′n,j(x) +

f ′(xj)H′n,j(x)

=nXj=0

f(xj) · 0 +

nXj=0j 6=i

f ′(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i

= f ′(xi)

Teorema (7.1)

Para i 6= j:

Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0

Para i = j:

H ′2n+1(xi)

f(xj)H′n,j(x) +

f ′(xj)H′n,j(x)

=nXj=0

f(xj) · 0 +

nXj=0j 6=i

f ′(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i

= f ′(xi)

Teorema (7.1)

Para i 6= j:

Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0

Para i = j:

H ′2n+1(xi) =

f(xj)H′n,j(x) +

f ′(xj)H′n,j(x)

=nXj=0

f(xj) · 0 +

nXj=0j 6=i

f ′(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i

= f ′(xi)

Teorema (7.1)

Para i 6= j:

Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0

Para i = j:

H ′2n+1(xi) =

f(xj)H′n,j(x) +

f ′(xj)H′n,j(x)

=nXj=0

f(xj) · 0 +

nXj=0j 6=i

f ′(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i

= f ′(xi)

Teorema (7.1)

Para i 6= j:

Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0

Para i = j:

H ′2n+1(xi) =

f(xj)H′n,j(x) +

f ′(xj)H′n,j(x)

f(xj) · 0 +

nXj=0j 6=i

f ′(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i

= f ′(xi)

Teorema (7.1)

Para i 6= j:

Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0

Para i = j:

H ′2n+1(xi) =

f(xj)H′n,j(x) +

f ′(xj)H′n,j(x)

f(xj) · 0 +

nXj=0j 6=i

f ′(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i

= f ′(xi)

Teorema (7.1)

Para i 6= j:

Ln,j(xi) = δi,j =⇒ H ′n,j(xi) = 0

Para i = j:

H ′2n+1(xi) =

f(xj)H′n,j(x) +

f ′(xj)H′n,j(x)

f(xj) · 0 +

nXj=0j 6=i

f ′(xj) · 0 + f(xi) · 1| {z }j=i

= f ′(xi)

Ejemplo (7.1)

Ejemplo 7.1

Utilice el polinomio de Hermite que concuerda con los datos de la tabla paraobtener una aproximacion de f(1,5).

k xk f(xk) f ′(xk)0 1,3 0,6200860 −0,52202321 1,6 0,4554022 −0,56989592 1,9 0,2818186 −0,5811571

Solucion

Calculamos los polinomios de Lagrange y sus derivadas

L2,0(x)

=(x− x1)(x− x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)=

L2,1(x) =(x− x0)(x− x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)= −

L2,2(x) =(x− x0)(x− x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)=

9x2 −

Ejemplo (7.1)

Ejemplo 7.1

k xk f(xk) f ′(xk)0 1,3 0,6200860 −0,52202321 1,6 0,4554022 −0,56989592 1,9 0,2818186 −0,5811571

Solucion

L2,0(x) =

(x− x1)(x− x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)=

L2,1(x) =(x− x0)(x− x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)= −

L2,2(x) =(x− x0)(x− x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)=

9x2 −

Ejemplo (7.1)

Ejemplo 7.1

k xk f(xk) f ′(xk)0 1,3 0,6200860 −0,52202321 1,6 0,4554022 −0,56989592 1,9 0,2818186 −0,5811571

Solucion

L2,0(x) =(x− x1)(x− x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)

L2,1(x) =(x− x0)(x− x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)= −

L2,2(x) =(x− x0)(x− x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)=

9x2 −

Ejemplo (7.1)

Ejemplo 7.1

k xk f(xk) f ′(xk)0 1,3 0,6200860 −0,52202321 1,6 0,4554022 −0,56989592 1,9 0,2818186 −0,5811571

Solucion

L2,0(x) =(x− x1)(x− x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)=

L2,1(x) =(x− x0)(x− x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)= −

L2,2(x) =(x− x0)(x− x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)=

9x2 −

Ejemplo (7.1)

Ejemplo 7.1

k xk f(xk) f ′(xk)0 1,3 0,6200860 −0,52202321 1,6 0,4554022 −0,56989592 1,9 0,2818186 −0,5811571

Solucion

L2,0(x) =(x− x1)(x− x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)=

L2,1(x)

=(x− x0)(x− x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)= −

L2,2(x) =(x− x0)(x− x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)=

9x2 −

Ejemplo (7.1)

Ejemplo 7.1

k xk f(xk) f ′(xk)0 1,3 0,6200860 −0,52202321 1,6 0,4554022 −0,56989592 1,9 0,2818186 −0,5811571

Solucion

L2,0(x) =(x− x1)(x− x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)=

L2,1(x) =

(x− x0)(x− x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)= −

L2,2(x) =(x− x0)(x− x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)=

9x2 −

Ejemplo (7.1)

Ejemplo 7.1

k xk f(xk) f ′(xk)0 1,3 0,6200860 −0,52202321 1,6 0,4554022 −0,56989592 1,9 0,2818186 −0,5811571

Solucion

L2,0(x) =(x− x1)(x− x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)=

L2,1(x) =(x− x0)(x− x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)

= −100

L2,2(x) =(x− x0)(x− x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)=

9x2 −

Ejemplo (7.1)

Ejemplo 7.1

k xk f(xk) f ′(xk)0 1,3 0,6200860 −0,52202321 1,6 0,4554022 −0,56989592 1,9 0,2818186 −0,5811571

Solucion

L2,0(x) =(x− x1)(x− x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)=

L2,1(x) =(x− x0)(x− x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)=

−100

L2,2(x) =(x− x0)(x− x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)=

9x2 −

Ejemplo (7.1)

Ejemplo 7.1

k xk f(xk) f ′(xk)0 1,3 0,6200860 −0,52202321 1,6 0,4554022 −0,56989592 1,9 0,2818186 −0,5811571

Solucion

L2,0(x) =(x− x1)(x− x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)=

L2,1(x) =(x− x0)(x− x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)= −

L2,2(x)

=(x− x0)(x− x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)=

9x2 −

Ejemplo (7.1)

Ejemplo 7.1

k xk f(xk) f ′(xk)0 1,3 0,6200860 −0,52202321 1,6 0,4554022 −0,56989592 1,9 0,2818186 −0,5811571

Solucion

L2,0(x) =(x− x1)(x− x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)=

L2,1(x) =(x− x0)(x− x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)= −

L2,2(x) =

(x− x0)(x− x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)=

9x2 −

Ejemplo (7.1)

Ejemplo 7.1

k xk f(xk) f ′(xk)0 1,3 0,6200860 −0,52202321 1,6 0,4554022 −0,56989592 1,9 0,2818186 −0,5811571

Solucion

L2,0(x) =(x− x1)(x− x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)=

L2,1(x) =(x− x0)(x− x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)= −

L2,2(x) =(x− x0)(x− x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)

9x2 −

Ejemplo (7.1)

Ejemplo 7.1

k xk f(xk) f ′(xk)0 1,3 0,6200860 −0,52202321 1,6 0,4554022 −0,56989592 1,9 0,2818186 −0,5811571

Solucion

L2,0(x) =(x− x1)(x− x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)=

L2,1(x) =(x− x0)(x− x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)= −

L2,2(x) =(x− x0)(x− x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)=

9x2 −

Ejemplo (7.1)

Ejemplo 7.1

k xk f(xk) f ′(xk)0 1,3 0,6200860 −0,52202321 1,6 0,4554022 −0,56989592 1,9 0,2818186 −0,5811571

Solucion

L2,0(x) =(x− x1)(x− x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)=

L2,1(x) =(x− x0)(x− x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)= −

L2,2(x) =(x− x0)(x− x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)=

9x2 −

Ejemplo (7.1)

Ejemplo 7.1

k xk f(xk) f ′(xk)0 1,3 0,6200860 −0,52202321 1,6 0,4554022 −0,56989592 1,9 0,2818186 −0,5811571

Solucion

L2,0(x) =(x− x1)(x− x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)=

L2,1(x) =(x− x0)(x− x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)= −

L2,2(x) =(x− x0)(x− x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)=

9x2 −

Ejemplo (7.1)

Para las derivadas tenemos

L′2,0(x) =100

L′2,1(x) = −200

L′2,1(x) =100

Para los polinomios H2,j(x) tenemos

H2,0(x) =

[1− 2(x− 1,3)(−5)]

9x2 −

= (10x− 12)

9x2 −

H2,1(x) = 1 ·„ − 100

H2,2(x) = 10(2− x)

9x2 −

Ejemplo (7.1)

L′2,0(x) =100

L′2,1(x) = −200

L′2,1(x) =100

H2,0(x) = [1− 2(x− 1,3)(−5)]

9x2 −

= (10x− 12)

9x2 −

H2,1(x) = 1 ·„ − 100

H2,2(x) = 10(2− x)

9x2 −

Ejemplo (7.1)

L′2,0(x) =100

L′2,1(x) = −200

L′2,1(x) =100

H2,0(x) = [1− 2(x− 1,3)(−5)]

9x2 −

(10x− 12)

9x2 −

H2,1(x) = 1 ·„ − 100

H2,2(x) = 10(2− x)

9x2 −

Ejemplo (7.1)

L′2,0(x) =100

L′2,1(x) = −200

L′2,1(x) =100

H2,0(x) = [1− 2(x− 1,3)(−5)]

9x2 −

= (10x− 12)

9x2 −

H2,1(x) = 1 ·„ − 100

H2,2(x) = 10(2− x)

9x2 −

Ejemplo (7.1)

L′2,0(x) =100

L′2,1(x) = −200

L′2,1(x) =100

H2,0(x) = [1− 2(x− 1,3)(−5)]

9x2 −

= (10x− 12)

9x2 −

H2,1(x)

= 1 ·„ − 100

H2,2(x) = 10(2− x)

9x2 −

Ejemplo (7.1)

L′2,0(x) =100

L′2,1(x) = −200

L′2,1(x) =100

H2,0(x) = [1− 2(x− 1,3)(−5)]

9x2 −

= (10x− 12)

9x2 −

H2,1(x) =

1 ·„ − 100

H2,2(x) = 10(2− x)

9x2 −

Ejemplo (7.1)

L′2,0(x) =100

L′2,1(x) = −200

L′2,1(x) =100

H2,0(x) = [1− 2(x− 1,3)(−5)]

9x2 −

= (10x− 12)

9x2 −

H2,1(x) = 1 ·„ − 100

H2,2(x) = 10(2− x)

9x2 −

Ejemplo (7.1)

L′2,0(x) =100

L′2,1(x) = −200

L′2,1(x) =100

H2,0(x) = [1− 2(x− 1,3)(−5)]

9x2 −

= (10x− 12)

9x2 −

H2,1(x) = 1 ·„ − 100

H2,2(x)

= 10(2− x)

9x2 −

Ejemplo (7.1)

L′2,0(x) =100

L′2,1(x) = −200

L′2,1(x) =100

H2,0(x) = [1− 2(x− 1,3)(−5)]

9x2 −

= (10x− 12)

9x2 −

H2,1(x) = 1 ·„ − 100

H2,2(x) =

10(2− x)

9x2 −

Ejemplo (7.1)

L′2,0(x) =100

L′2,1(x) = −200

L′2,1(x) =100

H2,0(x) = [1− 2(x− 1,3)(−5)]

9x2 −

= (10x− 12)

9x2 −

H2,1(x) = 1 ·„ − 100

H2,2(x) = 10(2− x)

9x2 −

Ejemplo (7.1)

L′2,0(x) =100

L′2,1(x) = −200

L′2,1(x) =100

H2,0(x) = [1− 2(x− 1,3)(−5)]

9x2 −

= (10x− 12)

9x2 −

H2,1(x) = 1 ·„ − 100

H2,2(x) = 10(2− x)

9x2 −

Ejemplo (7.1)

H2,0(x) =

(x− 1,3)

9x2 −

H2,1(x) = (x− 1,6)

„ − 100

H2,2(x) = (x− 1,9)

9x2 −

Por el teorema (7.1)

H5(x) =

f(xj)Hn,j(x) +

f ′(xj)Hn,j(x)

= 0,6200860H2,0(x) + 04554022H2,1(x) + 0,281886H2,2(x)

− 0,5220232H2,0(x) − 0,5698959H2,1(x) − 0,5811571H2,2(x)

y evaluando

H5(1,5) = 0,5118277

Ejemplo (7.1)

H2,0(x) = (x− 1,3)

9x2 −

H2,1(x) = (x− 1,6)

„ − 100

H2,2(x) = (x− 1,9)

9x2 −

H5(x) =

f(xj)Hn,j(x) +

f ′(xj)Hn,j(x)

= 0,6200860H2,0(x) + 04554022H2,1(x) + 0,281886H2,2(x)

− 0,5220232H2,0(x) − 0,5698959H2,1(x) − 0,5811571H2,2(x)

y evaluando

H5(1,5) = 0,5118277

Ejemplo (7.1)

H2,0(x) = (x− 1,3)

9x2 −

H2,1(x)

= (x− 1,6)

„ − 100

H2,2(x) = (x− 1,9)

9x2 −

H5(x) =

f(xj)Hn,j(x) +

f ′(xj)Hn,j(x)

= 0,6200860H2,0(x) + 04554022H2,1(x) + 0,281886H2,2(x)

− 0,5220232H2,0(x) − 0,5698959H2,1(x) − 0,5811571H2,2(x)

y evaluando

H5(1,5) = 0,5118277

Ejemplo (7.1)

H2,0(x) = (x− 1,3)

9x2 −

H2,1(x) =

(x− 1,6)

„ − 100

H2,2(x) = (x− 1,9)

9x2 −

H5(x) =

f(xj)Hn,j(x) +

f ′(xj)Hn,j(x)

= 0,6200860H2,0(x) + 04554022H2,1(x) + 0,281886H2,2(x)

− 0,5220232H2,0(x) − 0,5698959H2,1(x) − 0,5811571H2,2(x)

y evaluando

H5(1,5) = 0,5118277

Ejemplo (7.1)

H2,0(x) = (x− 1,3)

9x2 −

H2,1(x) = (x− 1,6)

„ − 100

H2,2(x) = (x− 1,9)

9x2 −

H5(x) =

f(xj)Hn,j(x) +

f ′(xj)Hn,j(x)

= 0,6200860H2,0(x) + 04554022H2,1(x) + 0,281886H2,2(x)

− 0,5220232H2,0(x) − 0,5698959H2,1(x) − 0,5811571H2,2(x)

y evaluando

H5(1,5) = 0,5118277

Ejemplo (7.1)

H2,0(x) = (x− 1,3)

9x2 −

H2,1(x) = (x− 1,6)

„ − 100

H2,2(x)

= (x− 1,9)

9x2 −

H5(x) =

f(xj)Hn,j(x) +

f ′(xj)Hn,j(x)

= 0,6200860H2,0(x) + 04554022H2,1(x) + 0,281886H2,2(x)

− 0,5220232H2,0(x) − 0,5698959H2,1(x) − 0,5811571H2,2(x)

y evaluando

H5(1,5) = 0,5118277

Ejemplo (7.1)

H2,0(x) = (x− 1,3)

9x2 −

H2,1(x) = (x− 1,6)

„ − 100

H2,2(x) =

(x− 1,9)

9x2 −

H5(x) =

f(xj)Hn,j(x) +

f ′(xj)Hn,j(x)

= 0,6200860H2,0(x) + 04554022H2,1(x) + 0,281886H2,2(x)

− 0,5220232H2,0(x) − 0,5698959H2,1(x) − 0,5811571H2,2(x)

y evaluando

H5(1,5) = 0,5118277

Ejemplo (7.1)

H2,0(x) = (x− 1,3)

9x2 −

H2,1(x) = (x− 1,6)

„ − 100

H2,2(x) = (x− 1,9)

9x2 −

=2Xj=0

f(xj)Hn,j(x) +

f ′(xj)Hn,j(x)

= 0,6200860H2,0(x) + 04554022H2,1(x) + 0,281886H2,2(x)

− 0,5220232H2,0(x) − 0,5698959H2,1(x) − 0,5811571H2,2(x)

y evaluando

H5(1,5) = 0,5118277

Ejemplo (7.1)

H2,0(x) = (x− 1,3)

9x2 −

H2,1(x) = (x− 1,6)

„ − 100

H2,2(x) = (x− 1,9)

9x2 −

H5(x) =

f(xj)Hn,j(x) +

f ′(xj)Hn,j(x)

= 0,6200860H2,0(x) + 04554022H2,1(x) + 0,281886H2,2(x)

− 0,5220232H2,0(x) − 0,5698959H2,1(x) − 0,5811571H2,2(x)

y evaluando

H5(1,5) = 0,5118277

Ejemplo (7.1)

H2,0(x) = (x− 1,3)

9x2 −

H2,1(x) = (x− 1,6)

„ − 100

H2,2(x) = (x− 1,9)

9x2 −

H5(x) =

f(xj)Hn,j(x) +

f ′(xj)Hn,j(x)

= 0,6200860H2,0(x) + 04554022H2,1(x) + 0,281886H2,2(x)

− 0,5220232H2,0(x) − 0,5698959H2,1(x) − 0,5811571H2,2(x)

y evaluando

H5(1,5) = 0,5118277

Ejemplo (7.1)

H2,0(x) = (x− 1,3)

9x2 −

H2,1(x) = (x− 1,6)

„ − 100

H2,2(x) = (x− 1,9)

9x2 −

H5(x) =

f(xj)Hn,j(x) +

f ′(xj)Hn,j(x)

0,6200860H2,0(x) + 04554022H2,1(x) + 0,281886H2,2(x)

− 0,5220232H2,0(x) − 0,5698959H2,1(x) − 0,5811571H2,2(x)

y evaluando

H5(1,5) = 0,5118277

Ejemplo (7.1)

H2,0(x) = (x− 1,3)

9x2 −

H2,1(x) = (x− 1,6)

„ − 100

H2,2(x) = (x− 1,9)

9x2 −

H5(x) =

f(xj)Hn,j(x) +

f ′(xj)Hn,j(x)

= 0,6200860H2,0(x) + 04554022H2,1(x) + 0,281886H2,2(x)

0,5220232H2,0(x) − 0,5698959H2,1(x) − 0,5811571H2,2(x)

y evaluando

H5(1,5) = 0,5118277

Ejemplo (7.1)

H2,0(x) = (x− 1,3)

9x2 −

H2,1(x) = (x− 1,6)

„ − 100

H2,2(x) = (x− 1,9)

9x2 −

H5(x) =

f(xj)Hn,j(x) +

f ′(xj)Hn,j(x)

= 0,6200860H2,0(x) + 04554022H2,1(x) + 0,281886H2,2(x)

− 0,5220232H2,0(x) − 0,5698959H2,1(x) − 0,5811571H2,2(x)

y evaluando

H5(1,5) = 0,5118277

Ejemplo (7.1)

H2,0(x) = (x− 1,3)

9x2 −

H2,1(x) = (x− 1,6)

„ − 100

H2,2(x) = (x− 1,9)

9x2 −

H5(x) =

f(xj)Hn,j(x) +

f ′(xj)Hn,j(x)

= 0,6200860H2,0(x) + 04554022H2,1(x) + 0,281886H2,2(x)

− 0,5220232H2,0(x) − 0,5698959H2,1(x) − 0,5811571H2,2(x)

y evaluando

H5(1,5) = 0,5118277

Ejemplo (7.1)

H2,0(x) = (x− 1,3)

9x2 −

H2,1(x) = (x− 1,6)

„ − 100

H2,2(x) = (x− 1,9)

9x2 −

H5(x) =

f(xj)Hn,j(x) +

f ′(xj)Hn,j(x)

= 0,6200860H2,0(x) + 04554022H2,1(x) + 0,281886H2,2(x)

− 0,5220232H2,0(x) − 0,5698959H2,1(x) − 0,5811571H2,2(x)

y evaluando

H5(1,5) = 0,5118277

Polinomio de Hermite con diferencias divididas

Los calculos requeridos para evaluar el polinomio de Hermite deacuerdo al teorema (7.1) son tediosos. Otro metodo consiste en utilizarla formula de diferencias divididas

pn(x) = f(x0) +

F(x0, . . . , xk)(x− x0) · · · (x− xk−1)

y el teorema del valor medio

F(xi, xi+1) =f(xi+1)− f(xi)

xi+1 − xi= f ′(ξ) , para algun ξ ∈ (xi, xi+1)

Consideramos los puntos de interpolacion

x0, x1, . . . , xn

y formamos la sucesion

z0, z1, . . . , zn

definida por

z0 = z1 = x0, z2 = z3 = x1, . . . , z2i = z2i+1 = xi, . . .

pn(x) = f(x0) +

F(x0, . . . , xk)(x− x0) · · · (x− xk−1)

x0, x1, . . . , xn

z0, z1, . . . , zn

definida por

z0 = z1 = x0, z2 = z3 = x1, . . . , z2i = z2i+1 = xi, . . .

pn(x) = f(x0) +

F(x0, . . . , xk)(x− x0) · · · (x− xk−1)

x0, x1, . . . , xn

z0, z1, . . . , zn

definida por

z0 = z1 = x0, z2 = z3 = x1, . . . , z2i = z2i+1 = xi, . . .

z f(z) Primeras diferencias Segundas diferencias

z0 = x0 F(z0) = f(x0)

F(z0, z1) = f ′(x0)

z1 = x0 F(z1) = f(x0) F(z0, z1, z2) =F(z1,z2)−F(z0,z1)

z2−z0

F(z1, z2) =F(z2)−F(z1)

z2−z1· · · · · · · · · · · ·

z3−z1F(z2, z3) = f ′(x1)

z4−z2F(z3, z4) =

F(z4)−F(z3)z4−z3

· · · · · · · · · · · ·z4 = x2 F(z4) = f(x2) F(z2, z3, z4) =

F(z3,z4)−F(z2,z3)z4−z2

F(z4, z5) = f ′(x2)

z2−z0...

H2n+1(x) = F(z0) +nXk=1

F(z0, . . . , zk)(x− z0) · · · (x− zk−1)

Aproximacion polinomica fragmentaria

Al aumentar los puntos de interpolacion, aumenta el grado delpolinomio de aproximacion y las oscilaciones

Otro enfoque consiste en dividir el intervalo en una serie desubintervalos y en cada uno de esos subintervarlos construir unpolinomio de interpolacion de grado bajo

La interpolacion lineal une los puntos mediante rectas

{(x0, f(x0)), (x1, f(x1)), . . . , (xn, f(xn))}

Otra posibilidad es usar polinomios cuadraticos entre [xi, xi+1]

{(x0, f(x0)), (x1, f(x1)), . . . , (xn, f(xn))}

Spline (trazador) cubico

Definicion 8.1 (Spline cubico)

Considere f : [a, b]→ R y un conjunto de nodos

a = x0 < x1 < · · · < xn = b

Un spline cubico para f es una funcion S : [a, b]→ R tal que:

1 S |[xj ,xj+1]= Sj donde Sj es un polinomio cubico en [xj , xj+1]

2 S(xj) = f(xj) para j = 0, 1, . . . , n

3 Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2

4 S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2

5 S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2

6 Una de las siguientes condiciones de frontera se satisfacen

1 S′′(x0) = S′′(xn) = 0 (frontera libre)

2 S′(x0) = f ′(x0) y S′(xn) = f ′(xn) (frontera sujeta)

a = x0 < x1 < · · · < xn = b

2 S(xj) = f(xj) para j = 0, 1, . . . , n

3 Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2

4 S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2

5 S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2

a = x0 < x1 < · · · < xn = b

2 S(xj) = f(xj) para j = 0, 1, . . . , n

3 Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2

4 S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2

5 S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2

a = x0 < x1 < · · · < xn = b

2 S(xj) = f(xj) para j = 0, 1, . . . , n

3 Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2

4 S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2

5 S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2

a = x0 < x1 < · · · < xn = b

2 S(xj) = f(xj) para j = 0, 1, . . . , n

3 Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2

4 S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2

5 S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2

a = x0 < x1 < · · · < xn = b

2 S(xj) = f(xj) para j = 0, 1, . . . , n

3 Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2

4 S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2

5 S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2

a = x0 < x1 < · · · < xn = b

2 S(xj) = f(xj) para j = 0, 1, . . . , n

3 Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2

4 S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2

5 S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2

a = x0 < x1 < · · · < xn = b

2 S(xj) = f(xj) para j = 0, 1, . . . , n

3 Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2

4 S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2

5 S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1) para j = 0, 1, . . . , n− 2

Construccion del spline cubico

En cada intervalo [xj , xj+1] consideramos el polinomio cubico

Sj(x) = aj + bj(x− xj) + cj(x− xj)2 + dj(x− xj)3

S′j(x) = bj + 2cj(x− xj) + 3dj(x− xj)2

S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj)

con j = 0, . . . , n− 1.

Por la condicion de interpolacion (2),

S(xj) = f(xj) =⇒ aj = f(xj)

De la condicion (3),

Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1)

aj+1 = aj + bj(xj+1 − xj) + cj(xj+1 − xj)2 + dj(xj+1 − xj)3

aj+1 = aj + bjhj + cjh2j + djh

S′j(x)

= bj + 2cj(x− xj) + 3dj(x− xj)2

S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj)

con j = 0, . . . , n− 1.

Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1)

S′j(x) =

bj + 2cj(x− xj) + 3dj(x− xj)2

S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj)

con j = 0, . . . , n− 1.

Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1)

S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj)

con j = 0, . . . , n− 1.

Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1)

S′′j (x)

= 2cj + 6dj(x− xj)

con j = 0, . . . , n− 1.

Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1)

S′′j (x) =

2cj + 6dj(x− xj)

con j = 0, . . . , n− 1.

Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1)

S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj)

con j = 0, . . . , n− 1.

Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1)

S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj)

con j = 0, . . . , n− 1.

Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1)

S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj)

con j = 0, . . . , n− 1.

Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1)

= aj + bj(xj+1 − xj) + cj(xj+1 − xj)2 + dj(xj+1 − xj)3

S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj)

con j = 0, . . . , n− 1.

Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1)

aj+1 =

aj + bj(xj+1 − xj) + cj(xj+1 − xj)2 + dj(xj+1 − xj)3

S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj)

con j = 0, . . . , n− 1.

Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1)

= aj + bjhj + cjh2j + djh

S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj)

con j = 0, . . . , n− 1.

Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1)

aj+1 =

aj + bjhj + cjh2j + djh

S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj)

con j = 0, . . . , n− 1.

Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1)

S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj)

con j = 0, . . . , n− 1.

Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1)

Construccion del spline cubicoDe la condicion (4) para la primera derivada,

S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1)

= bj + 2cj(xj+1 − xj) + 3dj(xj+1 − xj)2

bj+1 = bj + 2cjhj + 3djh2j

De la condicion (5) para la segunda derivada,

S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)

2cj+1 = 2cj + 6dj(xj+1 − xj)

cj+1 = cj + 3djhj

dj =cj+1 − cj

Al reemplazar dj en (35)

aj+1 = aj + bjhj +h2j

3(2cj + cj+1)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1)

S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1)

bj+1 =

bj + 2cj(xj+1 − xj) + 3dj(xj+1 − xj)2

S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)

2cj+1 = 2cj + 6dj(xj+1 − xj)

cj+1 = cj + 3djhj

dj =cj+1 − cj

3(2cj + cj+1)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1)

S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1)

bj+1 = bj + 2cj(xj+1 − xj) + 3dj(xj+1 − xj)2

= bj + 2cjhj + 3djh2j

S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)

2cj+1 = 2cj + 6dj(xj+1 − xj)

cj+1 = cj + 3djhj

dj =cj+1 − cj

3(2cj + cj+1)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1)

S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1)

bj+1 =

bj + 2cjhj + 3djh2j

S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)

2cj+1 = 2cj + 6dj(xj+1 − xj)

cj+1 = cj + 3djhj

dj =cj+1 − cj

3(2cj + cj+1)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1)

S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1)

S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)

2cj+1 = 2cj + 6dj(xj+1 − xj)

cj+1 = cj + 3djhj

dj =cj+1 − cj

3(2cj + cj+1)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1)

S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1)

S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)

= 2cj + 6dj(xj+1 − xj)

cj+1 = cj + 3djhj

dj =cj+1 − cj

3(2cj + cj+1)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1)

S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1)

S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)

2cj+1 =

2cj + 6dj(xj+1 − xj)

cj+1 = cj + 3djhj

dj =cj+1 − cj

3(2cj + cj+1)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1)

S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1)

S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)

2cj+1 = 2cj + 6dj(xj+1 − xj)

= cj + 3djhj

dj =cj+1 − cj

3(2cj + cj+1)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1)

S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1)

S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)

2cj+1 = 2cj + 6dj(xj+1 − xj)

cj+1 =

cj + 3djhj

dj =cj+1 − cj

3(2cj + cj+1)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1)

S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1)

S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)

2cj+1 = 2cj + 6dj(xj+1 − xj)

cj+1 = cj + 3djhj

=cj+1 − cj

3(2cj + cj+1)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1)

S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1)

S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)

2cj+1 = 2cj + 6dj(xj+1 − xj)

cj+1 = cj + 3djhj

cj+1 − cj3hj

3(2cj + cj+1)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1)

S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1)

S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)

2cj+1 = 2cj + 6dj(xj+1 − xj)

cj+1 = cj + 3djhj

dj =cj+1 − cj

3(2cj + cj+1)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1)

S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1)

S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)

2cj+1 = 2cj + 6dj(xj+1 − xj)

cj+1 = cj + 3djhj

dj =cj+1 − cj

3(2cj + cj+1)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1)

S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1)

S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)

2cj+1 = 2cj + 6dj(xj+1 − xj)

cj+1 = cj + 3djhj

dj =cj+1 − cj

3(2cj + cj+1)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1)

S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1)

S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)

2cj+1 = 2cj + 6dj(xj+1 − xj)

cj+1 = cj + 3djhj

dj =cj+1 − cj

3(2cj + cj+1)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1)

S′j+1(xj+1) = S′j(xj+1)

S′′j+1(xj+1) = S′′j (xj+1)

2cj+1 = 2cj + 6dj(xj+1 − xj)

cj+1 = cj + 3djhj

dj =cj+1 − cj

3(2cj + cj+1)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1)

De la ultima ecuacion

bj−1 =1

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) (39)

De nuevo, al reemplazar dj (37) en (36),

bj+1 = bj + hj(cj + cj+1) (40)

Resumiendo: tenemos las ecuaciones (38) y (39)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1)

bj−1 =1

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj)

La ecuacion (40) se puede expresar como

bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj) (42)

bj−1 =1

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) (39)

bj+1 = bj + hj(cj + cj+1) (40)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1)

bj−1 =1

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj)

bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj) (42)

bj−1 =1

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) (39)

bj+1 = bj + hj(cj + cj+1) (40)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1)

bj−1 =1

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj)

bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj) (42)

bj−1 =1

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) (39)

bj+1 = bj + hj(cj + cj+1) (40)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1)

bj−1 =1

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj)

bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj) (42)

bj−1 =1

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) (39)

bj+1 = bj + hj(cj + cj+1) (40)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1)

bj−1

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj)

bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj) (42)

bj−1 =1

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) (39)

bj+1 = bj + hj(cj + cj+1) (40)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1)

bj−1 =

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj)

bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj) (42)

bj−1 =1

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) (39)

bj+1 = bj + hj(cj + cj+1) (40)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1)

bj−1 =1

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj)

bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj) (42)

bj−1 =1

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) (39)

bj+1 = bj + hj(cj + cj+1) (40)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1)

bj−1 =1

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj)

bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj) (42)

bj−1 =1

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) (39)

bj+1 = bj + hj(cj + cj+1) (40)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1)

bj−1 =1

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj)

bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj) (42)

Finalmente reemplazamos (41) en (42)

= bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1) =

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

hj−1(aj − aj−1) =

3(2cj + cj+1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

hj−1(aj − aj−1) = hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)

El lado derecho se puede escribir como

hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)

= 2hjcj + hjcj+1 − 2hj−12cj−1 − hj−1cj + 3hj−1cj−1 + 3hj−1cj

= 2hjcj + hjcj+1 + hj−1cj−1 + 2hj−1cj

= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1

bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1) =

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

hj−1(aj − aj−1) =

3(2cj + cj+1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1

bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1) =

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

hj−1(aj − aj−1) =

3(2cj + cj+1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1

bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1)

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

hj−1(aj − aj−1) =

3(2cj + cj+1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1

bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1) =

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

hj−1(aj − aj−1) =

3(2cj + cj+1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1

bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1) =

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

hj−1(aj − aj−1) =

3(2cj + cj+1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1

bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1) =

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

hj−1(aj − aj−1)

3(2cj + cj+1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1

bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1) =

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

hj−1(aj − aj−1) =

3(2cj + cj+1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1

bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1) =

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

hj−1(aj − aj−1) =

3(2cj + cj+1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1

bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1) =

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

hj−1(aj − aj−1) =

3(2cj + cj+1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

hj−1(aj − aj−1)

= hj (2cj + cj+1)− hj−1 (2cj−1 + cj) + 3hj−1(cj−1 + cj)

= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1

bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1) =

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

hj−1(aj − aj−1) =

3(2cj + cj+1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

hj−1(aj − aj−1) =

= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1

bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1) =

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

hj−1(aj − aj−1) =

3(2cj + cj+1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1

bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1) =

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

hj−1(aj − aj−1) =

3(2cj + cj+1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1

bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1) =

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

hj−1(aj − aj−1) =

3(2cj + cj+1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1

bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1) =

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

hj−1(aj − aj−1) =

3(2cj + cj+1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1

bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1) =

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

hj−1(aj − aj−1) =

3(2cj + cj+1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1

bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1) =

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

hj−1(aj − aj−1) =

3(2cj + cj+1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1

bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1) =

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

hj−1(aj − aj−1) =

3(2cj + cj+1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1

bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1) =

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

hj−1(aj − aj−1) =

3(2cj + cj+1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1

bj = bj−1 + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

3(2cj + cj+1) =

hj−1(aj − aj−1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

hj−1(aj − aj−1) =

3(2cj + cj+1)−

hj−1

3(2cj−1 + cj) + hj−1(cj−1 + cj)

hj(aj+1 − aj)−

= hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1

Obtenemos para los coeficientes cj el sistema de ecuaciones

hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1 =3

hj(aj+1 − aj) −

hj−1(aj − aj−1)| {z }

con j = 1, 2, . . . , n− 1

El sistema es (n− 1)× (n+ 1):

h0 c0 + 2 (h0 + h1) c1 + h1 c2 + 0 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t1

0 + h1 c1 + 2 (h1 + h2) c2 + h2 c3 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t2

0 + · · · + 0 + hn−2 cn−3 + 2 (hn−2 + hn−1) cn−2 + hn−1 cn−1 = tn−1

Se requieren dos ecuaciones mas para “cerrar” el sistema (condicionesde frontera (61), (62))

hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1 =3

hj(aj+1 − aj) −

hj−1(aj − aj−1)| {z }

con j = 1, 2, . . . , n− 1

h0 c0 + 2 (h0 + h1) c1 + h1 c2 + 0 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t1

0 + h1 c1 + 2 (h1 + h2) c2 + h2 c3 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t2

hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1 =3

hj(aj+1 − aj) −

hj−1(aj − aj−1)| {z }

con j = 1, 2, . . . , n− 1

h0 c0 + 2 (h0 + h1) c1 + h1 c2 + 0 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 =

0 + h1 c1 + 2 (h1 + h2) c2 + h2 c3 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t2

hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1 =3

hj(aj+1 − aj) −

hj−1(aj − aj−1)| {z }

con j = 1, 2, . . . , n− 1

h0 c0 + 2 (h0 + h1) c1 + h1 c2 + 0 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t1

0 + h1 c1 + 2 (h1 + h2) c2 + h2 c3 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t2

hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1 =3

hj(aj+1 − aj) −

hj−1(aj − aj−1)| {z }

con j = 1, 2, . . . , n− 1

h0 c0 + 2 (h0 + h1) c1 + h1 c2 + 0 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t1

0 + h1 c1 + 2 (h1 + h2) c2 + h2 c3 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t2

hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1 =3

hj(aj+1 − aj) −

hj−1(aj − aj−1)| {z }

con j = 1, 2, . . . , n− 1

h0 c0 + 2 (h0 + h1) c1 + h1 c2 + 0 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t1

0 + h1 c1 + 2 (h1 + h2) c2 + h2 c3 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 =

hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1 =3

hj(aj+1 − aj) −

hj−1(aj − aj−1)| {z }

con j = 1, 2, . . . , n− 1

h0 c0 + 2 (h0 + h1) c1 + h1 c2 + 0 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t1

0 + h1 c1 + 2 (h1 + h2) c2 + h2 c3 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t2

hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1 =3

hj(aj+1 − aj) −

hj−1(aj − aj−1)| {z }

con j = 1, 2, . . . , n− 1

h0 c0 + 2 (h0 + h1) c1 + h1 c2 + 0 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t1

0 + h1 c1 + 2 (h1 + h2) c2 + h2 c3 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t2

0 + · · · + 0 + hn−2 cn−3 + 2 (hn−2 + hn−1) cn−2 + hn−1 cn−1 =

tn−1

hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1 =3

hj(aj+1 − aj) −

hj−1(aj − aj−1)| {z }

con j = 1, 2, . . . , n− 1

h0 c0 + 2 (h0 + h1) c1 + h1 c2 + 0 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t1

0 + h1 c1 + 2 (h1 + h2) c2 + h2 c3 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t2

hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1 =3

hj(aj+1 − aj) −

hj−1(aj − aj−1)| {z }

con j = 1, 2, . . . , n− 1

h0 c0 + 2 (h0 + h1) c1 + h1 c2 + 0 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t1

0 + h1 c1 + 2 (h1 + h2) c2 + h2 c3 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t2

hj−1cj−1 + 2(hj + hj−1)cj + hjcj+1 =3

hj(aj+1 − aj) −

hj−1(aj − aj−1)| {z }

con j = 1, 2, . . . , n− 1

h0 c0 + 2 (h0 + h1) c1 + h1 c2 + 0 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t1

0 + h1 c1 + 2 (h1 + h2) c2 + h2 c3 + 0 + · · · · · · · · · · · · · · · + 0 = t2

Para la condicion de frontera (61)

S′′(x0) = S′′(xn) = 0

De (34),

S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj) =⇒ S′′0 (x0) = 2c0 + 6dj(x0 − x0) = 0

=⇒ c0 = 0

Las ecuaciones c0 = 0 y cn = 0 generan el sistema (n+ 1)× (n+ 1):

266666664

1 0 0 · · · 0h0 2(h0 + h1) h1 · · · 00 h1 2(h1 + h2) h2 0

.. . .

. . .. . . 0

0 · · · · · · hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−10 · · · · · · 0 0 1

377777775

266666664

377777775=

266666664

0t1...

377777775

S′′(x0) = S′′(xn) = 0

De (34),

=⇒ c0 = 0

266666664

1 0 0 · · · 0h0 2(h0 + h1) h1 · · · 00 h1 2(h1 + h2) h2 0

.. . .

. . .. . . 0

0 · · · · · · hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−10 · · · · · · 0 0 1

377777775

266666664

377777775=

266666664

0t1...

377777775

S′′(x0) = S′′(xn) = 0

De (34),

S′′j (x) = 2cj + 6dj(x− xj) =⇒

S′′0 (x0) = 2c0 + 6dj(x0 − x0) = 0

=⇒ c0 = 0

266666664

1 0 0 · · · 0h0 2(h0 + h1) h1 · · · 00 h1 2(h1 + h2) h2 0

.. . .

. . .. . . 0

0 · · · · · · hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−10 · · · · · · 0 0 1

377777775

266666664

377777775=

266666664

0t1...

377777775

S′′(x0) = S′′(xn) = 0

De (34),

=⇒ c0 = 0

266666664

1 0 0 · · · 0h0 2(h0 + h1) h1 · · · 00 h1 2(h1 + h2) h2 0

.. . .

. . .. . . 0

0 · · · · · · hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−10 · · · · · · 0 0 1

377777775

266666664

377777775=

266666664

0t1...

377777775

S′′(x0) = S′′(xn) = 0

De (34),

=⇒ c0 = 0

266666664

1 0 0 · · · 0h0 2(h0 + h1) h1 · · · 00 h1 2(h1 + h2) h2 0

.. . .

. . .. . . 0

0 · · · · · · hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−10 · · · · · · 0 0 1

377777775

266666664

377777775=

266666664

0t1...

377777775

S′′(x0) = S′′(xn) = 0

De (34),

c0 = 0

266666664

1 0 0 · · · 0h0 2(h0 + h1) h1 · · · 00 h1 2(h1 + h2) h2 0

.. . .

. . .. . . 0

0 · · · · · · hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−10 · · · · · · 0 0 1

377777775

266666664

377777775=

266666664

0t1...

377777775

S′′(x0) = S′′(xn) = 0

De (34),

=⇒ c0 = 0

266666664

1 0 0 · · · 0h0 2(h0 + h1) h1 · · · 00 h1 2(h1 + h2) h2 0

.. . .

. . .. . . 0

0 · · · · · · hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−10 · · · · · · 0 0 1

377777775

266666664

377777775=

266666664

0t1...

377777775

S′′(x0) = S′′(xn) = 0

De (34),

=⇒ c0 = 0

266666664

1 0 0 · · · 0h0 2(h0 + h1) h1 · · · 00 h1 2(h1 + h2) h2 0

.. . .

. . .. . . 0

0 · · · · · · hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−10 · · · · · · 0 0 1

377777775

266666664

377777775=

266666664

0t1...

377777775

S′′(x0) = S′′(xn) = 0

De (34),

=⇒ c0 = 0

266666664

1 0 0 · · · 0h0 2(h0 + h1) h1 · · · 00 h1 2(h1 + h2) h2 0

.. . .

. . .. . . 0

0 · · · · · · hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−10 · · · · · · 0 0 1

377777775

266666664

377777775=

266666664

0t1...

377777775

S′′(x0) = S′′(xn) = 0

De (34),

=⇒ c0 = 0

266666664

1 0 0 · · · 0h0 2(h0 + h1) h1 · · · 00 h1 2(h1 + h2) h2 0

.. . .

. . .. . . 0

0 · · · · · · hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−10 · · · · · · 0 0 1

377777775

266666664

377777775=

266666664

0t1...

377777775

Existencia del spline cubico

Teorema 8.1 (Spline cubico con frontera libre)

Sea f : [a, b]→ R. Entonces existe un unico spline cubico S que interpola af en

a = x0 < x1 < · · · < xn = b

y que satisface la condicion de frontera

S′′(a) = 0 y S′′(b) = 0

Observaciones

El interpolador S : [a, b]→ R esta dado por

S(x) = Sj(x) = aj+bj(x−xj)+cj(x−xj)2+dj(x−xj)3 , x ∈ [xj , xj+1]

1 aj = f(xj), j = 0, . . . , n

2 c0, c1, . . . , cn se obtienen de resolver el sistema lineal

3 bj = (aj+1 − aj)/hj − hj(cj+1 + 2cj)/3 (ecuacion (41))

4 dj = (cj+1 − cj)/(3hj) (ecuacion (37))

a = x0 < x1 < · · · < xn = b

S′′(a) = 0 y S′′(b) = 0

Observaciones

1 aj = f(xj), j = 0, . . . , n

a = x0 < x1 < · · · < xn = b

S′′(a) = 0 y S′′(b) = 0

Observaciones

1 aj = f(xj), j = 0, . . . , n

S′(x0) = f ′(x0) y S′(xn) = f ′(xn)

el sistema de ecuaciones queda

266666664

2 h0 h0 0 · · · 0h0 2(h0 + h1) h1 · · · 00 h1 2(h1 + h2) h2 0

.. . .

. . .. . . 0

0 · · · · · · hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−10 · · · · · · 0 hn−1 2 hn−1

377777775

266666664

377777775= b

266666664

(a1 − a0)− 3 f ′(a)3

h1(a2 − a1)− 3

h0(a1 − a0)

hn−1(an − an−1)− 3

hn−2(an−1 − an−2)

3 f ′(b)− 3hn−1

(an − an−1)

377777775

S′(x0) = f ′(x0) y S′(xn) = f ′(xn)

266666664

2 h0 h0 0 · · · 0h0 2(h0 + h1) h1 · · · 00 h1 2(h1 + h2) h2 0

.. . .

. . .. . . 0

0 · · · · · · hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−10 · · · · · · 0 hn−1 2 hn−1

377777775

266666664

377777775= b

266666664

(a1 − a0)− 3 f ′(a)3

h1(a2 − a1)− 3

h0(a1 − a0)

hn−1(an − an−1)− 3

hn−2(an−1 − an−2)

3 f ′(b)− 3hn−1

(an − an−1)

377777775

S′(x0) = f ′(x0) y S′(xn) = f ′(xn)

266666664

2 h0 h0 0 · · · 0h0 2(h0 + h1) h1 · · · 00 h1 2(h1 + h2) h2 0

.. . .

. . .. . . 0

0 · · · · · · hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−10 · · · · · · 0 hn−1 2 hn−1

377777775

266666664

377777775= b

266666664

(a1 − a0)− 3 f ′(a)3

h1(a2 − a1)− 3

h0(a1 − a0)

hn−1(an − an−1)− 3

hn−2(an−1 − an−2)

3 f ′(b)− 3hn−1

(an − an−1)

377777775

S′(x0) = f ′(x0) y S′(xn) = f ′(xn)

266666664

2 h0 h0 0 · · · 0h0 2(h0 + h1) h1 · · · 00 h1 2(h1 + h2) h2 0

.. . .

. . .. . . 0

0 · · · · · · hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−10 · · · · · · 0 hn−1 2 hn−1

377777775

266666664

377777775= b

266666664

(a1 − a0)− 3 f ′(a)3

h1(a2 − a1)− 3

h0(a1 − a0)

hn−1(an − an−1)− 3

hn−2(an−1 − an−2)

3 f ′(b)− 3hn−1

(an − an−1)

377777775

Ejemplo

Ejemplo 8.1 (Spline cubico con frontera libre)

Encuentre el spline cubico de frontera libre que interpola

x 1 2 3 4 5y 0 1 0 1 0

y determine el valor de y en x = 1,5.

Solucion

a0 = 0, a1 = 1, a2 = 0, a3 = 1, a4 = 1

h0 = h1 = h2 = h3 = h4 = 0

266641 0 0 0 0h0 2(h0 + h1) h1 0 00 h1 2(h1 + h2) h2 00 0 h2 2(h2 + h3) h30 0 0 0 1

37775 =

266641 0 0 0 01 4 1 0 00 1 4 1 00 0 1 4 10 0 0 0 1

Ejemplo

x 1 2 3 4 5y 0 1 0 1 0

Solucion

a0 = 0, a1 = 1, a2 = 0, a3 = 1, a4 = 1

h0 = h1 = h2 = h3 = h4 = 0

266641 0 0 0 0h0 2(h0 + h1) h1 0 00 h1 2(h1 + h2) h2 00 0 h2 2(h2 + h3) h30 0 0 0 1

37775 =

266641 0 0 0 01 4 1 0 00 1 4 1 00 0 1 4 10 0 0 0 1

Ejemplo

x 1 2 3 4 5y 0 1 0 1 0

Solucion

a0 = 0, a1 = 1, a2 = 0, a3 = 1, a4 = 1

h0 = h1 = h2 = h3 = h4 = 0

266641 0 0 0 0h0 2(h0 + h1) h1 0 00 h1 2(h1 + h2) h2 00 0 h2 2(h2 + h3) h30 0 0 0 1

37775 =

266641 0 0 0 01 4 1 0 00 1 4 1 00 0 1 4 10 0 0 0 1

Ejemplo

x 1 2 3 4 5y 0 1 0 1 0

Solucion

a0 = 0, a1 = 1, a2 = 0, a3 = 1, a4 = 1

h0 = h1 = h2 = h3 = h4 = 0

266641 0 0 0 0h0 2(h0 + h1) h1 0 00 h1 2(h1 + h2) h2 00 0 h2 2(h2 + h3) h30 0 0 0 1

37775 =

266641 0 0 0 01 4 1 0 00 1 4 1 00 0 1 4 10 0 0 0 1

Ejemplo

x 1 2 3 4 5y 0 1 0 1 0

Solucion

a0 = 0, a1 = 1, a2 = 0, a3 = 1, a4 = 1

h0 = h1 = h2 = h3 = h4 = 0

266641 0 0 0 0h0 2(h0 + h1) h1 0 00 h1 2(h1 + h2) h2 00 0 h2 2(h2 + h3) h30 0 0 0 1

37775 =

266641 0 0 0 01 4 1 0 00 1 4 1 00 0 1 4 10 0 0 0 1

Ejemplo

x 1 2 3 4 5y 0 1 0 1 0

Solucion

a0 = 0, a1 = 1, a2 = 0, a3 = 1, a4 = 1

h0 = h1 = h2 = h3 = h4 = 0

266641 0 0 0 0h0 2(h0 + h1) h1 0 00 h1 2(h1 + h2) h2 00 0 h2 2(h2 + h3) h30 0 0 0 1

37775 =

266641 0 0 0 01 4 1 0 00 1 4 1 00 0 1 4 10 0 0 0 1

Ejemplo

Para b tenemos

266640t1t2t30

37775 =

26666666664

h1(a2 − a1) −

h0(a1 − a0)

h2(a3 − a2) −

h1(a2 − a1)

h4(a4 − a3) −

h2(a3 − a2)

37777777775=

266640−6

La solucion del sistema

Ax = b

viene dada por

x = [ 0,00000000 − 2,14285714 2,57142857 − 2,14285714 ]T

Para el resto de coeficientes podemos usar las formulas vistas

bj =aj+1 − aj

hj− hj

cj+1 + 2cj3

dj =cj+1 − cj

Ejemplo

Para b tenemos

266640t1t2t30

37775 =

26666666664

h1(a2 − a1) −

h0(a1 − a0)

h2(a3 − a2) −

h1(a2 − a1)

h4(a4 − a3) −

h2(a3 − a2)

37777777775=

266640−6

Ax = b

viene dada por

x = [ 0,00000000 − 2,14285714 2,57142857 − 2,14285714 ]T

bj =aj+1 − aj

hj− hj

cj+1 + 2cj3

dj =cj+1 − cj

Ejemplo

Para b tenemos

266640t1t2t30

37775 =

26666666664

h1(a2 − a1) −

h0(a1 − a0)

h2(a3 − a2) −

h1(a2 − a1)

h4(a4 − a3) −

h2(a3 − a2)

37777777775=

266640−6

Ax = b

viene dada por

x = [ 0,00000000 − 2,14285714 2,57142857 − 2,14285714 ]T

bj =aj+1 − aj

hj− hj

cj+1 + 2cj3

dj =cj+1 − cj

Ejemplo

Para b tenemos

266640t1t2t30

37775 =

26666666664

h1(a2 − a1) −

h0(a1 − a0)

h2(a3 − a2) −

h1(a2 − a1)

h4(a4 − a3) −

h2(a3 − a2)

37777777775=

266640−6

Ax = b

viene dada por

x = [ 0,00000000 − 2,14285714 2,57142857 − 2,14285714 ]T

bj =aj+1 − aj

hj− hj

cj+1 + 2cj3

dj =cj+1 − cj

Ejemplo

Para b tenemos

266640t1t2t30

37775 =

26666666664

h1(a2 − a1) −

h0(a1 − a0)

h2(a3 − a2) −

h1(a2 − a1)

h4(a4 − a3) −

h2(a3 − a2)

37777777775=

266640−6

Ax = b

viene dada por

x = [ 0,00000000 − 2,14285714 2,57142857 − 2,14285714 ]T

bj =aj+1 − aj

hj− hj

cj+1 + 2cj3

dj =cj+1 − cj

Ejemplo

Para el resto de coeficientes del spline

S(x) = Sj(x) = aj + bj(x− xj) + cj(x− xj)2 + dj(x− xj)3

podemos usar tambien el programa SplineLibre.c

Resultados obtenidos

ai bi ci di

0,00000000 1,71428571 0,00000000 −0,714285711,00000000 −0,42857143 −2,14285714 1,571428570,00000000 0,00000000 2,57142857 −1,571428571,00000000 0,42857143 −2,14285714 0,71428571

El valor solicitado es en x = 1,5 ∈ [x0, x1]

S(x) = S0(x) = 1,71428571(x− 1)− 0,71428571(x− 1)3

S(1,5) = S0(1,5) = 0,767857141

Ejemplo

ai bi ci di

0,00000000 1,71428571 0,00000000 −0,714285711,00000000 −0,42857143 −2,14285714 1,571428570,00000000 0,00000000 2,57142857 −1,571428571,00000000 0,42857143 −2,14285714 0,71428571

S(x) = S0(x) = 1,71428571(x− 1)− 0,71428571(x− 1)3

S(1,5) = S0(1,5) = 0,767857141

Ejemplo

ai bi ci di

0,00000000 1,71428571 0,00000000 −0,714285711,00000000 −0,42857143 −2,14285714 1,571428570,00000000 0,00000000 2,57142857 −1,571428571,00000000 0,42857143 −2,14285714 0,71428571

S(x) = S0(x) = 1,71428571(x− 1)− 0,71428571(x− 1)3

S(1,5) = S0(1,5) = 0,767857141

Ejemplo

ai bi ci di

0,00000000 1,71428571 0,00000000 −0,714285711,00000000 −0,42857143 −2,14285714 1,571428570,00000000 0,00000000 2,57142857 −1,571428571,00000000 0,42857143 −2,14285714 0,71428571

S(x) = S0(x) = 1,71428571(x− 1)− 0,71428571(x− 1)3

S(1,5) = S0(1,5) = 0,767857141

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