View
217
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Universidade de Évora Engenharia Mecatrónica Controlo e Automação II
7. Análise da Resposta Transitória/Estacionária
Na análise e no projecto de sistemas de controlo é necessário comparar as performances dos vários sistemas de controlo. Para tal considera-se as respostas do sistema às várias “entradas-padrão”. As “entradas-padrão mais vulgares” são funções degrau, rampas e impulsos.
Pode-se considerar que a resposta temporal de um sistema tem duas partes: A resposta transitória e a estacionária. A resposta transitória é a resposta que vai do estado inicial ao estado final. A reposta estacionária descreve a saída do sistema quando t tende parar infinito.
Ao projectar-se um sistema de controlo deve ser-se capaz de predizer o comportamento dinâmico do sistema a partir do conhecimento dos seus componentes. A mais importante característica de um sistema é a estabilidade absoluta, podendo dizer-se que um sistema está em equilíbrio se na ausência de qualquer perturbação ou entrada, a saída permanece no mesmo estado.
Um sistema de controlo linear invariante no tempo é estável se a saída volta ao seu estado de equilíbrio após o sistema ter sido submetido a uma perturbação.
Um sistema de controlo linear invariante no tempo é instável se a oscilação da saída continua indefinidamente ou se a saída cresce sem limite a partir do estado de equilíbrio
Na realidade as saídas dos sistemas físicos estão limitadas por dispositivos físicos, caso contrário o sistema avaria-se ou o seu comportamento torna-se não linear.
O comportamento dinâmico do sistema é também descrito pela estabilidade relativa e erro estacionário. Como um sistema de controlo físico envolve armazenamento de energia, a saída do sistema não segue a entrada imediatamente mas tem um transitório antes de se atingir o regime estacionário.
Os sistemas de controlo podem então caracterizar-se por: • Resposta transitória • Erro estacionário
8. Análise da Resposta Estacionária (Coeficientes de erros estacionários) Se a resposta do sistema em regime estacionário não segue a entrada, diz-se que o sistema
tem um erro estacionário. Este erro é um indicador da precisão do sistema de controlo. Os sistemas podem ter erro nulo para uma determinada entrada e o erro estacionário não
nulo para outra entrada. O erro depende então da estrutura do sistema. Os sistemas podem classificar-se quanto à sua ordem e quanto ao seu tipo.
• Ordem de um sistema = nº de polos • Tipo de um sistema=nº de pólos na origem
)1)...(1)(1()1)...(1)(1(
)()(21 +++
+++=
sTsTsTssTsTsTK
sHsGp
Nmba
À medida que o tipo aumenta, aumenta a precisão, mas em contrapartida, mais difícil
se torna estabilizar o sistema. Há então um compromisso entre o erro e a estabilidade.
• Teorema do valor final Para cálculo do erro estacionário
)()( limlim0
ssEteessst →∞→
==
Pólo na origem de multiplicidade N
Universidade de Évora Engenharia Mecatrónica Controlo e Automação II
• Erro estacionário em malha aberta Cálculo do erro em regime permanente ou erro estacionário ess(t):
G(s)R(s)Y(s))()()( =⇔=
sRsYsG
Erro= Saída pretendida – Saída real=R(s)-Y(s) ⇒ E(s)=R(s).(1-G(s))
• Erro estacionário em malha fechada
É conhecida a sua função de transferência como:
)()(1)(
)()(
sHsGsG
sRsC
+= , de onde se pode obter então
)()(1)()()(sHsG
sGsRsC+
=
Pode então obter-se a função de transferência entre o sinal do erro e(t) e a entrada r(t) da seguinte forma:
=+
−=−=−
=)(
)()(1)()()(
1)(
)()(1)(
)()()()()(
sRsHsG
sGsRsH
sRsCsH
sRsCsHsR
sRsE
=+
−=+
−=)()(1
)()(1)()()()(
)()()(1sHsG
sHsGsHsGsRsR
sHsGsR
)()(11
)()(1)()()()(1
sHsGsHsGsHsGsHsG
+=
+−+
=
A expressão do erro em malha fechada resulta então em:
)()(1)()(
sHsGsRsE
+=
• Doravante designaremos:
o Erro de “posição” por o erro devido a entradas em degrau unitário o Erro de “velocidade” por o erro devido a entradas em rampa unitária o Erro de “aceleração” por o erro devido a entradas parabólicas.
Universidade de Évora Engenharia Mecatrónica Controlo e Automação II
8.1. Erro de posição (Kp) – Entrada em degrau
Para uma entrada em degrau unitário (entrada em posição), vem que:
)()(11
)()(1
1)()(1
)()()(
limlim
limlimlim
00
00
sHsGsHsGs
s
sHsGsRsssEteess
ss
sst
+=
+=
=+
===
→→
→→∞→
define-se o coeficiente de erro de posição Kp, por:
)()(lim0
sHsGKps→
=
o erro estacionário de posição é então:
Kpess
+=
11
8.1.1. Erro de posição (Kp) - Sistemas do tipo 0
ksTsTsTsTsTsTK
sHsGKpp
mba
s=
++++++
==→ )1)...(1)(1(
)1)...(1)(1()()(
210lim
8.1.2. Erro de posição (Kp) - Sistemas do tipo 1 ou superior
∞=++++++
==→ )1)...(1)(1(
)1)...(1)(1()()(
210lim sTsTsTs
sTsTsTKsHsGKp
pN
mba
s, em que N≥1
8.2. Erro de velocidade (Kv) – Entrada em rampa Para uma entrada em rampa unitária (entrada em velocidade), vem que:
)()(1
)()(1
1)()(1
)()()(
limlim
limlimlim
0
2
0
00
sHssGsHsGs
s
sHsGsRsssEteess
ss
sst
→→
→→∞→
=+
=
=+
===
define-se o coeficiente de erro de velocidade estático Kv, por:
)()(lim0
sHssGKvs→
=
o erro de velocidade estático estacionário é então:
KvsHssGsHssGsess
ss
1)()(0
1)()(
1
limlim0
0=
+=
+=
→→
Nota: O “erro de velocidade” não é um erro de velocidade mas sim um erro de posição devido a uma entrada em rampa
Universidade de Évora Engenharia Mecatrónica Controlo e Automação II
8.2.1. Erro de velocidade (Kv) - Sistemas do tipo 0
0)1)...(1)(1(
)1)...(1)(1()()(
2100limlim =
++++++
==→→ sTsTsT
sTsTsTsKsHssGKv
p
mba
ss
8.2.2. Erro de velocidade (Kv) - Sistemas do tipo 1
KsTsTsTssTsTsTsK
sHssGKvp
mba
ss=
++++++
==→→ )1)...(1)(1(
)1)...(1)(1()()(
2100limlim
8.2.3. Erro de velocidade (Kv) - Sistemas do tipo 2 ou superior
∞=++++++
==→→ )1)...(1)(1(
)1)...(1)(1()()(
2100limlim sTsTsTs
sTsTsTsKsHssGKv
pN
mba
ss, em que N≥2
8.3. Erro de aceleração (Ka) – Entrada parabólica Para uma entrada parabólica (entrada em aceleração), vem que:
)()(1
)()(1
1)()(1
)()()(
20
3
0
00
limlim
limlimlim
sHsGssHsGs
s
sHsGsRsssEteess
ss
sst
→→
→→∞→
=+
=
=+
===
Define-se o coeficiente de erro de aceleração estático Ka, por:
)()(2
0lim sHsGsKa
s→=
O erro de aceleração estático estacionário é então:
KasHsGssHsGssess
ss
1)()(0
1)()(
12
0
220 limlim =
+=
+=
→→
Nota: O “erro de aceleração” não é um erro de aceleração mas sim um erro de posição devido a uma entrada em parábola
Universidade de Évora Engenharia Mecatrónica Controlo e Automação II
8.3.1. Erro de aceleração (Ka) - Sistemas do tipo 0
0)1)...(1)(1(
)1)...(1)(1()()(
21
2
0
2
0limlim =
++++++
==→→ sTsTsT
sTsTsTKssHsGsKa
p
mba
ss
8.3.2. Erro de aceleração (Ka) - Sistemas do tipo 1
0)1)...(1)(1(
)1)...(1)(1()()(
21
2
0
2
0limlim =
++++++
==→→ sTsTsTs
sTsTsTKssHsGsKa
p
mba
ss
8.3.3. Erro de aceleração (Ka) - Sistemas do tipo 2
KsTsTsTssTsTsTKs
sHsGsKap
mba
ss=
++++++
==→→ )1)...(1)(1(
)1)...(1)(1()()(
212
2
0
2
0limlim
8.3.4. Erro de aceleração (Ka) - Sistemas do tipo 3 ou superior
∞=++++++
==→→ )1)...(1)(1(
)1)...(1)(1()()(
21
2
0
2
0limlim sTsTsTs
sTsTsTKssHsGsKa
pN
mba
ss, em que N≥3
8.4. Resumo dos erros estacionários
Pode-se resumir o erro estacionário em termos do ganho K conforme descrito na seguinte tabela:
Entrada em degrau
r(t)=1 Entrada em rampa
r(t)=t Entrada em parábola
r(t)=t2
Sistema do tipo 0 K+1
1 ∞ ∞
Sistema do tipo 1 0 K1 ∞
Sistema do tipo 2 0 0 K1
Kp → Coeficiente do erro de posição = )()(lim
0sHsGKp
s→=
Kv → Coeficiente do erro de velocidade = )()(lim0
sHssGKvs→
=
Ka → Coeficiente do erro de aceleração = )()(2
0lim sHsGsKa
s→=
• Em regime estacionário, um sistema do tipo 0:
o Tem um erro finito dado por K+1
1 para uma entrada em degrau. É possível
reduzir este erro fazendo K suficientemente grande, mas nunca se poderá anulá-lo completamente.
o É incapaz de seguir uma entrada em rampa ou parábola.
Universidade de Évora Engenharia Mecatrónica Controlo e Automação II
• Em regime estacionário, um sistema do tipo 1: o Tem um erro nulo para uma entrada em degrau
o Tem um erro finito dado por K1 para uma entrada em rampa. É possível
reduzir este erro fazendo K suficientemente grande, mas nunca se poderá anulá-lo completamente.
o É incapaz de seguir uma parábola
• Em regime estacionário, um sistema do tipo 2: o Tem um erro nulo para entradas em degrau e rampas.
o Tem um erro finito dado por K1 para uma entrada em parábola. É possível
reduzir este erro fazendo K suficientemente grande, mas nunca se poderá anulá-lo completamente.
8.5. Exercícios práticos – Resposta estacionária
8.5.1. Malha aberta / Malha fechada
Considere os sistemas de controlo (1) em malha aberta e (2) em malha fechada representados nas figuras seguintes, em que r(t)=u(t)
1)(
+=
sksG
σ
ssRtutr 1)()()( =⇒=
a) Compare os erros em regime permanente. b) Adoptando os valores do ganho de calibração Kc e Kf que tornem mínimos os erros em
regime permanente (no sistema em malha fechada considere Kf=100/K), compare os valores de ess(t) se o parâmetro k sofrer uma variação de 10% (ou seja, k←k+∆k com ∆k/k=0.1)
a) Erros em regime permanente. Sistema em malha aberta (1)
)()()( sCsRsE −=
)(1
)( sRskkasC+
=σ
Pelo teorema do valor final
kkaskka
ssssEess
ss−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−==
→→
11
11)( limlim00 σ
Universidade de Évora Engenharia Mecatrónica Controlo e Automação II
Sistema em malha fechada (2)
)()(1)(
)()(
sHsGsG
sRsC
+=
1)()(
+=
skk
sHsG f
σ, tem zero pólos na origem ⇒
kpess
+=
11 , em que
kks
kksHsGkp f
f
ss=
+===
→→ 1)()( limlim
00 σ
kkkpess
f+=
+=
11
11
b) Variação do parâmetro k
k←k+∆k, onde ∆k=0.1K (10%) Os valores ideais para os ganhos Ka e Kf são aqueles que anulam ou quase anulam o erro em
regime permanente. Desta forma, os valores ideais para Ka e Kf seriam:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=∞
=+
=⇒∞=
=−=−=⇒=
011
1
01111
Kfe Ka de ideais Valores
kkfesskkf
kkkkaess
kka
mas como não é possível ∞=kkf , vamos assumir k
kf 100= conforme o enunciado.
Sistema em malha aberta (1)
1.011)(11 −=∆
−−=∆+−=−=kk
kk
kkkkkaess
Sistema em malha fechada (2)
009,0111
11.01001001
1
1001001
1100)(1
11
1==
×++=
∆++
=∆++
=+
=
kk
kk
kkkkk
essf
Universidade de Évora Engenharia Mecatrónica Controlo e Automação II
8.5.2. Constantes de erro kp, kv e ka – Sistema do tipo 1
Para o sistema estável da figura,
a) Determine as constantes de erro de posição, velocidade e aceleração kp, kv e ka
⎩⎨⎧
+++
=⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++
+=
+++
=
)45()2(4)()(
1)()45(
)2(445
)2(4)(2
223
sssssHsG
sHsss
ssss
ssG ⇒ Sistema do tipo 1
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
→
→
→
)()(
)()(
)()(
2
0
0
0
limlimlim
sHsGsKa
sHssGKv
sHsGKp
s
s
s
Num sistema do tipo 1
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=++
+=
∞=
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
∞=
→→
0)45(
)2(4
0
)()( 200
limlimKa
ssssskv
Kp
Ka
sHssGKvKp
ss
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==∞=
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
×=
∞=
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=++
+=
∞=
⇒→ 0
2
04
24
0)45(
)2(42
0lim
KaKvKp
Ka
Kv
Kp
Kasss
ssKv
Kp
s
Universidade de Évora Engenharia Mecatrónica Controlo e Automação II
8.5.3. Constantes de erro kp, kv e ka – Sistema do tipo 2
Para o sistema estável da figura, determine
a) As constantes de erro de posição, velocidade e aceleração kp, kv e ka
b) O erro em regime permanente ess(t) quando a entrada é 32 2113)(sss
sR +−=
a) kp, kv e ka
⎩⎨⎧
++
=⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++
=
)2()1(4)()(
1)()2(
)1(4)(2
2
ssssHsG
sHssssG
⇒ Sistema do tipo 2
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
→
→
→
)()(
)()(
)()(
2
0
0
0
limlimlim
sHsGsKa
sHssGKv
sHsGKp
s
s
s
Num sistema do tipo 2
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=∞=∞=
⇒
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
∞=∞=
⇒
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
++
=
∞=∞=
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
∞=∞=
→→
224
)2()1(4)()(
22
0
2
0 limlim KakvKp
Ka
kvKp
ssssKa
kvKp
sHsGsKaKvKp
ss
b) O erro em regime permanente ess(t)
32121131
211113
2113)( 3232 RRR
sssssssR +−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=+−=
)()()()( 321 tesstesstesstess RRRtotal ++=
{ 0)(degraurEntrada
2 tipodoSistema 1 1 =⇒
⎩⎨⎧
≡→ tessR R
{ 0)(ramparEntrada
2 tipodoSistema 2 2 =⇒
⎩⎨⎧
≡→ tessR R
⎩⎨⎧
==⇒⎩⎨⎧
≡→
21
anterior)(alinea 1)(
prEntrada 2 tipodoSistema
3 3 katess
arábolaR R
41
21
210103)()()()( 321 =×+×−×=++= tesstesstesstess RRRtotal
Universidade de Évora Engenharia Mecatrónica Controlo e Automação II
8.5.4. Constantes de erro kp, kv e ka – Sistema do tipo 1
Para o sistema da figura, determinar
a) As constantes de erro de posição, velocidade e aceleração kp, kv e ka b) O erro em regime permanente ess(t) quando a entrada é )()216()( tuttr += a) kp, kv e ka
⎩⎨⎧
+++++
=⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++++
+=
)102)(3)(1()4(12)()(
1)()102)(3)(1(
)4(12)(2
2
sssssssHsG
sHsssss
ssG ⇒
⇒ Sistema do tipo 1
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
→
→
→
)()(
)()(
)()(
2
0
0
0
limlimlim
sHsGsKa
sHssGKv
sHsGKp
s
s
s
Num sistema do tipo 1
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=++++
+=
∞=
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
∞=
→→
0)102)(3)(1(
)4(12
0
)()( 200
limlimKa
ssssssskv
Kp
Ka
sHssGKvKp
ss
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
∞=
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=×××
=
∞=
058
01031412
Ka
kv
Kp
Ka
kv
Kp
Universidade de Évora Engenharia Mecatrónica Controlo e Automação II
b) O erro em regime permanente ess(t)
2211612116)()()216()( 2 RRss
sRtuttr +=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⇒+=
)()()( 21 tesstesstess RRtotal +=
{ 0)(degraurEntrada
1 tipodoSistema 1 1 =⇒
⎩⎨⎧
≡→ tessR R
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===⇒⎩⎨⎧
≡→
85
581
anterior)(alinea 1)(
ramparEntrada 1 tipodoSistema
2 2 kvtessR R
45
852016)()()( 21 =×+×=+= tesstesstess RRtotal
9. Análise de resposta transitória
9.1. Sistemas de 1ª ordem
Considerando o sistema de primeira ordem
A função de transferência é dada por
11
)()(
+=
TssRsC
11)()(+
=Ts
sRsC
9.1.1. Resposta de um sistema de 1ª ordem a um impulso unitário Sendo a transformada de Laplace da impulso unitária 1
11
11)()(
+=
+=
TsTssRsC
cuja transformada inversa de Laplace inversa é:
Tt
eT
tc−
=1)(
Universidade de Évora Engenharia Mecatrónica Controlo e Automação II
( 1 /T).exp(-t/T)
00.050.1
0.150.2
0.25
0 10 20 30 40 50
EXP(-t/5)/5EXP(-t/10)/10EXP(-t/20)/20
9.1.2. Resposta de um sistema de 1ª ordem a um degrau
Sendo a transformada de Laplace do degrau unitário s1
1111
11)()(
++=
+=
+=
TsB
sA
TssTssRsC
onde:
11
1
0
=+
==sTs
A
Ts
BT
s
−==−=
1
1
fica:
11
1)(
+−=
++=
TsT
sTsB
sAsC
cuja transformada inversa de Laplace inversa é:
Tt
etc−
−= 1)(
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1-exp(-t/5)1-exp(-t/10)1-exp(-t/20)
t=T ⇒ c(t)=0.632 t=2T ⇒ c(t)=0.865 t=3T ⇒ c(t)=0.95
Universidade de Évora Engenharia Mecatrónica Controlo e Automação II
9.1.3. Resposta de um sistema de 1ª ordem a uma rampa Sendo a transformada de Laplace da rampa unitária 2
1s
sB
sB
TsA
TssTssRsC 2
21
2 1111
11)()( ++
+=
+=
+=
onde, desenvolvendo as fracções parciais:
2
12
1 Ts
AT
s
==−=
TtTsxx
ts +=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+
==− 1
11
1)(
)(
1ϕψ
TBB
tTtTTt
-Tt-TtTt
t−==
⇒
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
+
+
−−
+
2
1
22
2
1
0
01 1
Tt1 1
fica então:
sT
sTsTsC −++
= 2
2 11
)(
cuja transformada inversa de Laplace inversa é:
Tt
TeTttc−
+−=)(
t-T+Texp(-t/T)
0102030405060
0 10 20 30 40 50
tt-5+5*EXP(-t/5)t-10+10*EXP(-t/10)t-20+20*EXP(-t/20)
Na entrada de uma rampa, T traduz o erro estacionário
T
Universidade de Évora Engenharia Mecatrónica Controlo e Automação II
9.2. Sistemas de 2ª ordem
A função de transferencia típica de um sistema de 2ª ordem em malha fechada apresenta-se
da seguinte forma:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛++
=++
=++
=
Jk
JF
JFs
Jk
JF
JFs
Jk
Jks
JFs
Jk
kFsJsk
sRsC
2222
2222
)()(
Os Pólos são complexos se: 042 <− JkF
Para a análise da resposta transitória vamos assumir: 2nJ
k ω=
σζω 22 2 == nJF
onde σ - Atenuação ωn – Frequência natural não amortecida
sistema do ntoamortecime de Razão- 2 Jk
FFcF
==ζ
F – Amortecimento Fc – Amortecimento critico
22
2
2)()(
nn
n
sssRsC
ωζωω
++=
• Se 0<ζ<1 Os pólos localizam-se no semi plano s esquerdo tal que:
( )1, 222221 −±−=−±−= ζωζωωωζζω nnnnnss
Diz-se então que o sistema está subamortecido e a resposta é oscilatória
• Se ζ=1, o sistema está criticamente amortecido
• Se ζ>1, o sistema está sobreamortecido
Universidade de Évora Engenharia Mecatrónica Controlo e Automação II
9.2.1. Resposta de um sistema de 2ª ordem a um degrau
( ) =++=
++= 22
2
22
2
22)()(
nn
n
nn
n
ssssssRsC
ωζωω
ωζωω
( ) ( ) 222222
12
21
dn
n
dn
n
nn
n
sss
ssss
s ωζωζω
ωζωζω
ωζωζω
++−
++
+−=
+++
−=
Onde: 21 ζωω −= nd é a frequência natural amortecida
( )te
ss
L dt
dn
n n ωωζω
ζω ζω cos22
1 −− =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++
+
( )tsene
sL d
t
dn
d n ωωζω
ω ζω−− =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++ 221
fica: [ ]⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −+
−−== −
−−
ζζ
ωζ
ζω 21
2
1 1tan
11)()( tsenetcsCL d
tn
, com ( )0≥t
A frequência da oscilação transitória é a frequência natural amortecida dω que varia com a razão de amortecimento ζ.
• Sistemas de segunda ordem com o mesmo ζ, mas diferente ωn têm o mesmo padrão de oscilação. Diz-se que tais sistemas têm a mesma estabilidade relativa
• Entre os sistemas que respondem sem oscilação, um sistema criticamente amortecido tem a resposta mais rápida.
• O desempenho característico de um sistema de controlo é normalmente especificado em termos da resposta transitória a uma entrada em degrau..
Universidade de Évora Engenharia Mecatrónica Controlo e Automação II
Nas características da resposta transitória a um degrau, especifica-se normalmente o seguinte:
• Tempo de atraso td – É o tempo necessário para a resposta atingir metade do seu
valor final pela 1ª vez.
• Tempo de subida tr – É o tempo necessário para a resposta ir de 10% a 90%, 5% a 95% ou 0% a 100% do seu valor final. Para sistemas de 2ª ordem subamortecidos é usado geralmente o tempo de 0-100%. Para sistemas sobreamortecidos usa-se de 10% - 90%.
O tempo de subida pode obter-se através de:
21 ζω
θπ
−
−=
n
rt , onde ζθ cos arc= , especifica o angulo de localização de ζ no
plano s.
• Coeficiente de amortecimento ζ - Exprime quantitativamente a rapidez de amortecimento do termo transitório da resposta temporal. Para um sistema dominado por 2 raízes complexas, ζ é o coseno do argumento do nº complexo da raiz situada no semi-plano superior. Para alem de se poder extrair directamente da equação característica (denominador da função de transferência da malha
fechada 02 22 =++ nn ss ωζω ), pode também obter-se por:
..1
..1
22
OPLn
OPLn
+=
πζ
Universidade de Évora Engenharia Mecatrónica Controlo e Automação II
• Tempo de Pico, tp - É o tempo para a resposta atingir o 1º pico de overshoot. Corresponde a meio ciclo da frequência de oscilação amortecida. É possível ser
calculado através de: 21 ζω
πωπ
−==
ndpt
• Máximo overshoot percentual, Mp – É o máximo valor de pico da resposta, medido a partir da unidade. Se o valor final estacionário da resposta diferir da unidade, é comum usar-se o Overshoot máximo percentual, que é definido por:
21%100)(
)()(%100.. ζ
ζπ
−−
=×∞
∞−=×= e
cctc
MOP pp
A altura do pico máximo (pico de ressonância) pode ser obtida por
212
1
ζζ −=rM
A frequência de ressonância pode obter-se através de
221 ζωω −= nr
• Tempo de estabelecimento, ts – É o tempo necessário para a resposta atingir (e permanecer) uma gama de valores em torno do valor final, especificada por uma percentagem absoluta do valor final (geralmente 5% ou 2%).
ns Tt
ζωσ444 === (critério dos 2%)
ns Tt
ζωσ333 === (critério dos 5%)
Universidade de Évora Engenharia Mecatrónica Controlo e Automação II
9.3. Sistemas de ordem elevada
Genericamente pode-se considerar que se os pólos de C(s) são reais e pares de pólos
complexos conjugados, pode-se factorizar a equação característica em termos de primeira e segunda ordem conforme a equação que se segue:
( )
( ) ( )∏ ∏
∏
= =
=
+++
+= q
j
r
kkkkj
m
ii
sspss
zsksC
1 1
22
1
2)(
ωωζ
Para uma entrada em degrau
Se os pólos em malha fechada forem distintos, o desenvolvimento em fracções parciais
dá: ( )
∑∑== ++
−+++
++=
r
k kkk
kkkkkkq
j j
j
sscsb
psa
sasC
122
2
1 21
)(ωωζ
ζωωζ
Comfirma-se que a resposta de um sistema de ordem elevada pode ser composta por termos
envolvendo funções simples encontradas em sistemas de primeira e segunda ordem. A resposta a degrau unitário é então:
( ) ( )∑∑∑=
−
=
−
=
− −+−++=r
kkk
tk
r
kkk
tk
q
j
tpj tectebeaatC kkkkj
1
2
1
2
1
1sin1cos)( ζωζω ωζωζ
• Se todos os pólos em malha fechada estiverem no semi-plano esquerdo s, então todos os termos exponenciais assim como sinusoidais amortecidos tendem para zero com t e a resposta transitória é então C(∞)=a (altura do degrau).
• Supondo que o sistema é estável, então os pólos em malha fechada têm partes reais negativas grandes. Os termos exponenciais que correspondem a estes pólos decaem rapidamente para zero.
• A distância horizontal de um pólo ao eixo jω determina o tempo de estabelecimento dos transitórios devidos a esse pólo.
• Os pólos devido à entrada R(s) fornecem os termos da resposta estacionária, enquanto que os pólos de C(s)/R(s) contribuem para os termos das respostas transitórias.
• A importância relativa dos pólos em malha fechada é determinada pela razão entre as partes reais dos pólos e pelas grandezas relativas dos resíduos calculados nos pólos em malha fechada. Se as razões entre as partes reais excederem 5 (ou 10 dependendo do critério), e não existirem zeros na vizinhança, então os pólos na proximidade do eixo jω dominarão a resposta transitória.
• Os pólos em malha fechada que têm efeitos dominantes sobre a resposta transitória são designados por pólos dominantes,
Universidade de Évora Engenharia Mecatrónica Controlo e Automação II
9.4. Resposta transitória - Exercícios práticos
9.4.1. Sistema de 2ª ordem
Para o sistema da figura sujeito a uma entrada em degrau, verificar se é possível garantir
simultaneamente o tempo de pico tp não superior a 1 segundo e a percentagem de overshoot não superior a 5%.
Caso não seja possível, qual o valor mínimo de cada uma das especificações para garantir a outra?
Resposta)
• Obtenção da equação característica
kssk
sHsGsG
sRsC
++=
+=
2)()(1)(
)()(
2
Equação característica ⎩⎨⎧
==
⇒=++⇔=++1
02022
222
n
nnn
kkssss
ζωω
ωζω
• Para garantir tp≤1s
21 ζω
πωπ
−==
ndpt
⇒−≤⇒≤
−
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
≤−⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≤−
=111
1
111
1
11 2
2
2
2
22
ζπ
ζζ
ζ
πζζ
π
ζωζω
π
n
n
tp
3,01
11
1111122
22
22
2 ≤⇒+
±≤⇒+
≤⇒≤+⇒−≤ ζπ
ζπ
ζζ
πζ
π (sempre positivo)
• Para garantir P.O. ≤5% (0,05)
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
+=
≤= −−
..1
..1
05,0..
22
1 2
OPLn
OPLn
eOP
πζ
ζ
ζπ
Universidade de Évora Engenharia Mecatrónica Controlo e Automação II
Se P.O. ≤0,05 ⇒ 69,0
05,01
05,01
22
=+
≥Ln
Ln
πζ
(ζ é uma função decrescente com oP.O.)
→≥≤
69,03,0
ζζ
Condições impossíveis de garantir simultaneamente
• Especificação no plano s
º),(arcOP
º,),(arcst p
3,46690cos 69,0%5.. 2
572300cos 3,01 1
2
1
==⇒≥⇒≤
==⇒≤⇒≤
θζ
θζ
Que são regiões incompatíveis
• Visualização das curvas
%8,36..368.0..
13,0
1
21 =⇒==⇒
⇒⎩⎨⎧
==
⇒=
−−
OPeOP
stn
p
ζ
ζπ
ζωζ
st
OP
n
p
n
99,21
169,0
%5..
2=
−=⇒
⇒⎩⎨⎧
==
⇒=
ζω
πζωζ
Universidade de Évora Engenharia Mecatrónica Controlo e Automação II
9.4.2. Sistema de 2ª ordem/3ª ordem
Um sistema de 2ª ordem com realimentação unitária é projectado para apresentar uma resposta subamortecida a uma entrada em degrau. As especificações do sistema são:
10%≤P.O. ≤30% e ts≤4 segundos
a) Identificar a área desejada para as raízes dominantes do sistema b) Determinar o valor mínimo para uma 3ª raiz (passando a um sistema de 3ª ordem)vse a
resposta for dominada pelas raízes complexas conjugadas. c) Se a função de transferência em malha fechada for de 3ª ordem, determinar a função de
transferência para obter P.O.=30% e ts=0,4segundos.
stOP
s 4%30..%10
≤≤≤
a) Área das raízes
1144 1 −≤−⇒≥⇒≤= nnn
s st ζωζωζω
º9,68)36,0cos( 36,0
..1
..1
3030 2 1122
=⇒=⇒≥⇒+
≥⇒=≤ θθζπ
ζ arc
OPLn
OPLn
.%P.O.
º8,53)59,0cos( 59,0
..1
..1
1010 3 2222
=⇒=⇒≤⇒+
≤⇒=≥ θθζπ
ζ arc
OPLn
OPLn
.%P.O.
Universidade de Évora Engenharia Mecatrónica Controlo e Automação II
b) Raízes dominantes Sistema de 2ª ordem
Função de transferência em malha aberta )2(
2
n
n
ssG
ζωω+
=
Pólos do sistema ja
acbbs nn2
2
12
4 ζωζω −±−=−±−
=
Sistema de 3ª ordem
Pólos do sistema⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−±−=−±−
=
Ps
ja
acbbs nn2
2
12
4 ζωζω
Universidade de Évora Engenharia Mecatrónica Controlo e Automação II
REGRA – Se a 3ª raíz (-P) se situar K vezes mais à esquerda que a parte real dos pólos complexos )( nζω− então a resposta total é dominada pelas raízes complexas conjugadas.
510
==
KK
→ ×→>×→>
5 de Critério 510 de Critério 10
n
n
PP
ζωζω
c) Função de transferência de 3ª ordem, P.O.=30% e ts=0,4segundos
• P.O.=30% ⇒ º9,6836,0
3,01
3,01
22
=⇒=+
= θπ
ζLn
Ln
• ts=0,4s ⇒ 36,0
10104,04=⇒=⇒== nn
n
ts ωζωζω
• Nos sistemas de 2ª ordem, a função de transferência em malha aberta é do tipo
)2(
2
n
n
ssG
ζωω+
=
Pólos do sistema js nn
21 ζωζω −±−= , neste caso, com ζ=0,36 e 36,0
10=nω , implica
js 9,2510 ±−=
Universidade de Évora Engenharia Mecatrónica Controlo e Automação II
• O sistema de 3ª ordem será
Pólos do sistema ( )( )PsssRY
nn
n
+++= 22
2
2 ωζωω
, com jsn
9,251036,0
1036,0
±−=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
ω
ζ
Usando por exemplo o critério 10x ⇒ P>100 (=10xζωn), assegura-se que os pólos complexos são os dominantes. Ou seja, a resposta do sistema será “insensível” ao terceiro pólo. O sistema de 3ª ordem terá uma resposta semelhante à do sistema de 2ª ordem que contém apenas os pólos complexos.
9.4.3. Sistema de 2ª ordem
Para a entrada r(t) da figura, esboce, dimensionando os pontos mais importantes (Overshoot
máximo percentual – PO, Tempo de subida – tr, Tempo de estabelecimento – ts, Tempo de pico, y∞ e ymax), a resposta c(t) do sistema.
10210
10)2(10
)()(
2 ++=
++=
sssssRsY
A equação característica é: 01022 =++ ss
Universidade de Évora Engenharia Mecatrónica Controlo e Automação II
Por comparação com o sistema genérico de segunda ordem
⎩⎨⎧
==
⇒⎩⎨⎧
==
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
++
++16,3
31,01
10
2
10210
2
22
2
2
nn
n
nn
n
ss
ssωζ
ζωω
ωζωω
• %09,3535,0..21 === −
−ζ
ζπ
eOP
• stsn
44==
ζω
• stpn
05,11 2
=−
=ζω
π
• strtr
n 63,0arccos
1 2 =⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−
−=
ζθζω
θπ
• 5102
105lim)(lim)(lim 200=
++===
→→∞→∞ ssssssYtyy
sst
• 75,6.).1(5)( =+== OPtpyyMAX
Recommended