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Predicao dos fatores
Uma vez estimadas as cargas fatoriais (L) e a matriz de
variancias-covariancias dos fatores especıficos (Ψ) tem-se o interesse
em predizer os fatores.
Os valores preditos dos escores, em geral, sao chamados de escores
fatoriais.
Veremos dois metodos: mınimos quadrados ponderados e metodo de
regressao.
Tanto as estimativas de L e Ψ, obtidas pelo metodo das
componentes principais quanto por maxima verossimilhanca, podem
ser usadas.
Prof. Caio Azevedo
Analise Fatorial: parte 2
Cont.
Lembremos que usamos a matriz de correlacoes.
Em geral, tambem, trabalhamos com as variaveis originais
padronizadas (media 0 e variancia 1) para gerar os escores.
Naturalmente, para um mesmo metodo de predicao de escores, os
resultados podem ser diferentes consoante o metodo de estimacao
usado para as matrizes L e Ψ.
Os escores fatoriais sao usados, em geral, como variaveis resposta
(ou explicativas) em analises subsequentes bem como para
caracterizar (entender) melhor os dados.
Prof. Caio Azevedo
Analise Fatorial: parte 2
Mınimos quadrados ponderados
Lembrando que o modello original e dado por
Xi − µ = LFi + ξi , i = 1, 2, ..., n.
O objetivo e minimizar a soma de quadrados dos erros ponderada,
ou seja, minimizar
Q =
p∑j=1
ξ2ij
ψj= ξ′iΨ
−1ξi
(para cada indivıduo).
Temos ainda que Q = (xi − µ− Lf i )′Ψ−1 (xi − µ− Lf i ).
Prof. Caio Azevedo
Analise Fatorial: parte 2
Cont.
Derivando-se Q com relacao a f i igualando-se a zero e resolvendo o
sistema, obtem-se
F∗i =
(L′Ψ−1L
)−1L′Ψ−1 (Xi − µ) .
Susbtituindo-se Ψ, L e µ pelos respectivos estimadores, vem que
Fi =(
L′Ψ−1
L)−1
L′Ψ−1
(Xi − x) .
Se Ψ e L tiverem sido estimados pelo metodo de maxima
verossimilhanca, entao L′Ψ−1L = ∆, (se ∆ = L′Ψ−1
L), logo
Fi = ∆−1
L′Ψ−1
(Xi − x) .
Prof. Caio Azevedo
Analise Fatorial: parte 2
Cont.
Note ainda que E(F∗i ) =(L′Ψ−1L
)−1L′Ψ−1(E(Xi )− µ) = 0.
Alem disso,
Cov(F∗i ) =(L′Ψ−1L
)−1L′Ψ−1Cov(Xi − µ)Ψ−1L
(L′Ψ−1L
)−1
=(L′Ψ−1L
)−1L′Ψ−1
(LL′ + Ψ
)Ψ−1L
(L′Ψ−1L
)−1
=(L′Ψ−1L
)−1L′Ψ−1LL′Ψ−1L
(L′Ψ−1L
)−1
+(L′Ψ−1L
)−1L′Ψ−1ΨΨ−1L
(L′Ψ−1L
)−1
= I +(L′Ψ−1L
)−1
Se Ψ e L tiverem sido estimados pelo metodo de maxima
verossimilhanca, entao Cov(F∗i ) = I + ∆−1. Logo, E(Fi ) ≈ 0 e
Cov(Fi ) ≈ I + ∆−1
.Prof. Caio Azevedo
Analise Fatorial: parte 2
Metodo da regressao
Supoe-se que, i=1,2,...,n
Xi − µ
Fi
∼ N(p+m)
0(p×1)
0(m×1)
,
Σ = LL′ + Ψ L
L′ I
que e equivalente a assumir que F ∼ Nm(0, I) e ξ ∼ Np(0,Ψ).
Usando o resultado (visto anteriormente) sobre distribuicoes
condicionais de normais multivariadas, temos que F|x ∼ N(µF,ΨF),
em que
µF = L′Σ−1 (x− µ) = L′(LL′ + Ψ
)−1(x− µ)
ΨF = I− L′Σ−1L = I− L′(LL′ + Ψ
)−1L
Prof. Caio Azevedo
Analise Fatorial: parte 2
Cont.
Entao, pode-se usar como preditor para Fi :
F∗i = L′
(LL′ + Ψ
)−1(Xi − µ)
Substituindo-se Ψ, L e µ pelos respectivos estimadores, vem que:
Fi = L′ (
LL′
+ Ψ)−1 (
Xi − X)
Note ainda que E(F∗i ) = L′(LL′ + Ψ
)−1(E(Xi )− µ) = 0.
Prof. Caio Azevedo
Analise Fatorial: parte 2
Cont.
Alem disso,
Cov(F∗i ) = L′(LL′ + Ψ
)−1Cov (Xi − µ)
(LL′ + Ψ
)−1L
= L′(LL′ + Ψ
)−1 (LL′ + Ψ
) (LL′ + Ψ
)−1L
= L′(LL′ + Ψ
)−1L
= L′(
Ψ−1 −Ψ−1L(I + L′Ψ−1L
)−1L′Ψ−1
)L
= L′Ψ−1L− L′Ψ−1L(I + L′Ψ−1L
)−1L′Ψ−1L
Se L e Ψ tiverem sido estimados por mv, entao L′Ψ−1L = ∆, logo:
Cov(F∗i ) = ∆−∆ (I + ∆)−1 ∆
Prof. Caio Azevedo
Analise Fatorial: parte 2
Cont.
Portanto, E(Fi ) ≈ 0 e Cov(Fi ) ≈ L′ (
LL′
+ Ψ)
L.
No caso de L e Ψ tiverem sido estimados por mv, entao
Cov(Fi ) ≈ ∆− ∆(
I + ∆)−1
∆.
Para ambos os metodos, quando se se considera as variaveis
padronizadas, alem de se substituir Σ por ρ, utiliza-se
zi = D1/2 (xi − x) em que D e uma matriz diagonal com as
variancias de Xi em sua diagonal.
As estimativas (valores preditos) sao obtivos substituindo-se os
estimadores pelas respectivas estimativas.
Prof. Caio Azevedo
Analise Fatorial: parte 2
MQP × MR
Utilizando-se a relacao L′(LL′ + Ψ
)−1= (I + L′Ψ−1L)−1L′Ψ−1,
pode-se provar que
F∗MQPi =
(L′Ψ−1L
)−1 (I + L′Ψ−1L
)F∗Ri =
(I +(L′Ψ−1L
)−1)
F∗Ri
Sob as estimativas de mv de L e Ψ, temos que
F∗MQPi =
(I + ∆−1
)F∗Ri
Prof. Caio Azevedo
Analise Fatorial: parte 2
Resumo: estimacao de L e Ψ
A partir de uma matriz de dados X(n×p), calcula-se a matriz S2
(covariancias) ou a matriz R (correlacoes).
Componentes principais: calcula-se (λ1, e′1)′, ..., (λm, e
′m)′ atraves de
S2 ou R. Preferencialmente R.
Teremos L e Ψ a partir de S2 e LZ e ΨZ a partir de R. Em
que
ψ1 0 ... 0
0 ψ2 ... 0...
.... . .
...
0 0 ... ψn
= Ψ = diag(S2 − LL′), ou
ΨZ = diag(R− LZ L′Z )
Prof. Caio Azevedo
Analise Fatorial: parte 2
Resumo
A partir de uma matriz de dados X(n×p), maximiza-se a
verossimilhanca em funcao de µ, L, Ψ, com as devidas restricoes de
identificabilidade. Obtem-se assim, µ = x, L, Ψ, Σ = LL′
+ Ψ e D.
Para a matriz de correlacoes trabalhamos com R, ou seja, utilizamos
Z, obtendo-se: LZ , ΨZ e R = LZ L′Z + ΨZ .
Z = (X− x)D−1/2.
Prof. Caio Azevedo
Analise Fatorial: parte 2
Resumo
Considera-se L, Ψ ou LZ , ΨZ , como valores conhecidos
(componentes principais ou maxima verossimilhanca).
MQP:
Fi =(
L′Ψ−1
L)−1
L′Ψ−1
(xi − x)
Fi =(
L′Z Ψ−1
Z LZ
)−1
L′Z Ψ−1
Z zi
Regressao:
Fi = L′ (
LL′
+ Ψ−1)−1
(xi − x).
Fi = L′Z
(LZ L
′Z + Ψ
−1
Z
)−1
zi .
Prof. Caio Azevedo
Analise Fatorial: parte 2
Voltando ao Exemplo 5
Estatıstica MQP Regressao
Fator 1 Fator 2 Fator 1 Fator 2
Media 0,00 0,00 0,00 0,00
Var. 1,18 1,64 0,85 0,61
DP 1,09 1,28 0,92 0,78
Mınimo -3,56 -3,94 -3,01 -2,41
Mediana 0,03 0,03 0,02 0,02
Maximo 2,79 3,02 2,37 1,84
Prof. Caio Azevedo
Analise Fatorial: parte 2
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
−0
.6−
0.4
−0
.20
.00
.20
.40
.6
Fator 1
Fa
tor
2
F1
F2
F2
F1
F2
F1
Rotação ortogonal
Rotação oblíqua
Prof. Caio Azevedo
Analise Fatorial: parte 2
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−3 −2 −1 0 1 2 3
−4
−3
−2
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01
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MQP
fator 1
fato
r 2
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−3 −2 −1 0 1 2
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Regressão
fator 1
fato
r 2
Prof. Caio Azevedo
Analise Fatorial: parte 2
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fator 1 fator 2
−4
−2
02
4
MQP
fator
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fator 1 fator 2
−4
−2
02
4
Regressão
fator
Prof. Caio Azevedo
Analise Fatorial: parte 2
fator 1 − MQP
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3
0.0
00
.10
0.2
00
.30
fator 2 − MQP
−4 −2 0 2 4
0.0
00
.10
0.2
0
fator 1 − MR
−3 −2 −1 0 1 2
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
fator 2 − MR
−2 −1 0 1 2
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Prof. Caio Azevedo
Analise Fatorial: parte 2
−3 −2 −1 0 1 2 3
−3
−2
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01
2
quantil da N(0,1)
Fa
tor
1 −
MQ
P
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−3 −2 −1 0 1 2 3
−3
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2
quantil da N(0,1)
Fa
tor
2 −
MQ
P
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−3 −2 −1 0 1 2 3
−3
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quantil da N(0,1)
Fa
tor
1 −
MR
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−3 −2 −1 0 1 2 3
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quantil da N(0,1)
Fa
tor
2 −
MR
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Prof. Caio Azevedo
Analise Fatorial: parte 2
0 1 2 3 4 5 6
01
23
45
quantil da distribuição F
form
a q
ua
drá
tica
− M
QP
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quantil da distribuição F
form
a q
ua
drá
tica
− R
eg
ress
ão
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Prof. Caio Azevedo
Analise Fatorial: parte 2
Rotacao dos fatores (cargas fatoriais)
Vimos anteriormente que, se T(m×m) e uma matriz ortogonal
(T−1 = T′) e definindo L∗ = LT, assim:
L∗(L∗)′ + Ψ = (LT)(LT)′ + Ψ = LTT′L′ + Ψ = LL′ + Ψ
Ou seja, para uma dada estimativa das cargas fatoriais, uma outra
pode ser obtida de modo a presevar a representacao originalmente
obtida para a matriz de covariancias (correlacoes).
Natualmente, se usarmos L∗ ao inves de L, outros valores para os
escores fatoriais serao obtidos.
Ha tambem rotacoes nao ortogonais, por exemplo as oblıquas, as
quais, quase nunca, fornecem a mesma representacao da matriz de
covariancias (correlacoes).Prof. Caio Azevedo
Analise Fatorial: parte 2
Cont.
Da algebra matricial, sabemos que uma transformacao (ortogonal ou
nao) corresponde a uma rotacao (ou reflexao) dos eixos coordenados.
Por esta razao, uma transformacao (ortogonal ou nao) das cargas
dos fatores, e a transformacao consequente dos fatores, e chamada
de rotacao dos fatores.
Como as cargas originais dos fatores podem nao ser (facilmente)
interpretaveis, uma pratica comum e rotaciona-las ate que uma
estrutura de cargas “mais simples” seja atingida.
Prof. Caio Azevedo
Analise Fatorial: parte 2
Cont.
Uma situacao ideal e buscar por um padrao de cargas tal que cada
variavel tenha cargas altas em um unico fator e cargas pequenas ou
moderadas nos demais fatores.
Porem nem sempre e possıvel chegar a essa estrutura simples.
Prof. Caio Azevedo
Analise Fatorial: parte 2
Cont.
Quando m=2 ou os fatores comuns sao considerados dois de cada
vez, a transformacao para uma estrutura mais simples pode
frequentemente ser determinada graficamente.
Os fatores comuns (nao correlacionados) sao olhados como vetores
unitarios no plano Cartesiano cujos eixos coordenados correspondem
a cada um dos dois fatores.
Um grafico dos pares das cargas dos dois fatores
(li1, li2), i = 1, 2, ..., p produz p pontos, cada um correspondendo a
uma variavel.
Os eixos coordenados podem, entao, ser “visualmente rotacionados”
atraves um angulo, digamos φ.
Prof. Caio Azevedo
Analise Fatorial: parte 2
Exemplo com dois fatores: rotacao ortogonal
Suponha que, para um dado exemplo, decidimos considerar dois
fatores. Podemos definir a seguinte transformacao ortogonal
L∗(p×2) = L(p×2)T(2×2)
em que
T =
cosφ senφ
−senφ cosφ
, rotacao no sentido horario
T =
cosφ −senφ
senφ cosφ
, rotacao no sentido anti-horario
Prof. Caio Azevedo
Analise Fatorial: parte 2
Estimativas das cargas fatoriais (Exemplo 5) : maxima
verossimilhanca
Var. Fator 1 Fator 2 Comun. (∑m
j=1 l2ij ) Var. Especıf. (ψi)
Gaelico 0,583 0,533 0,625 0,375
Ingles 0,641 0,103 0,422 0,578
Historia 0,354 0,490 0,365 0,635
Aritmetica 0,760 -0,297 0,665 0,335
Algebra 0,742 -0,218 0,599 0,401
Geometria 0,604 -0,143 0,386 0,614
Prof. Caio Azevedo
Analise Fatorial: parte 2
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−0
.6−
0.4
−0
.20
.00
.20
.40
.6
Fator 1
Fa
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2
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F2
F1
F2
F1
F2
Rotação ortogonal
Rotação oblíqua
Prof. Caio Azevedo
Analise Fatorial: parte 2
Estimativas das cargas fatoriais, rotacao ortogonal (Exemplo 5) :
maxima verossimilhanca
Var. Fator 1 Fator 2 Comun. (∑m
j=1 l2ij ) Var. Especıf. (ψi)
Gaelico 0,366 0,701 0,625 0,375
Ingles 0,568 0,316 0,422 0,578
Historia 0,165 0,581 0,365 0,635
Aritmetica 0,815 -0,020 0,665 0,335
Algebra 0,772 0,049 0,599 0,401
Geometria 0,617 0,072 0,386 0,614
Fator 1: fator relativo a Matematica. Fator 2: fator relativo as
ciencias humanas. Rotacao considerando φ = 20o na matriz T
anterior (rotacao no sentido horario).
Prof. Caio Azevedo
Analise Fatorial: parte 2
Exemplo com dois fatores
Nesse caso (m=2), aglomeracoes de variaveis sao frequentemente
aparentes graficamente, e essas aglomeracoes permitem-nos
identificar os fatores comuns, sem ter que inspecionar as magnitudes
das cargas.
Por outro lado, quando m ≥ 2, padroes nao sao facilmente
visualizados e as magnitudes das cargas rotacionadas devem ser
verificadas para se encontrar uma interpretacao util dos dados
originais.
A escolha de uma matriz ortogonal que satisfaz uma medida
analıtica de estrutura simples sera considerada.
Prof. Caio Azevedo
Analise Fatorial: parte 2
Rotacao dos fatores (cargas fatoriais)
Rotacao ortogonal: Seja T(m×m) uma matriz ortogonal (T−1 = T′)
e defina L∗ = LT, assim:
L∗(L∗)′ + Ψ = (LT)(LT)′ + Ψ = LTT′L′ + Ψ = LL′ + Ψ
Rotacao oblıqua: Seja T(m×m) uma matriz nao-ortogonal e defina
L∗ = LT, assim:
L∗(L∗)′ + Ψ = (LT)(LT)′ + Ψ = LTT′L′ + Ψ 6= LL′ + Ψ
Prof. Caio Azevedo
Analise Fatorial: parte 2
Rotacoes ortogonais e oblıquas
Rotacao ortogonal:
Corresponde a um rotacao rıgida.
Preserva a representacao da matriz de covariancias obtida pela
solucao original.
Preserva a ortogonalidade dos fatores.
Rotacoes oblıquas:
Corresponde a um rotacao nao-rıgida.
Nao preserva a representacao da matriz de covariancias obtida pela
solucao original.
Nao preserva a ortogonalidade dos fatores.
Prof. Caio Azevedo
Analise Fatorial: parte 2
Rotacao ortogonal varimax
O metodo de rotacao varimax usa como criterio uma medida
analıtica (simples) denominada de criterio varimax ou criterio normal
varimax.
Sejam l∗ij = lij/hi , i = 1, ..., p; j = 1, ...,m as cargas fatoriais a serem
rotacionadas escalonadas pela comunalidade.
O metodo varimax seleciona a matriz T de modo a maximizar
V =1
p
m∑j=1
p∑i=1
l∗4ij −
(p∑
i=1
l∗4ij
)2
/p
Essencialmente V ∝∑m
j=1(variancia do quadrado das cargas escalonadas do j-esimo fator).
Prof. Caio Azevedo
Analise Fatorial: parte 2
Cont.
Escalonar os coeficientes rotacionados l∗ij tem o efeito de atribuir a
variaveis com comunalidades pequenas mais peso na determinacao
de uma estrutura simples.
Apos a transformacao T ter sido determinada, as cargas l∗ij sao
multiplicadas por hi para que as comunalidades originais sejam
preservadas.
Portanto, espera-se encontrar tanto grupos de coeficientes de
elevada magnitude como grupos de coeficientes de magnitude
desprezıvel em cada coluna da matriz de cargas rotacionadas.
Prof. Caio Azevedo
Analise Fatorial: parte 2
Estimativas das cargas fatoriais, rotacao varimax (Exemplo 5) :
maxima verossimilhanca
Var. Fator 1 Fator 2 Comun. (∑m
j=1 l2ij ) Var. Especıf. (ψi)
Gaelico 0,250 0,750 0,625 0,375
Ingles 0,511 0,402 0,422 0,578
Historia 0,071 0,600 0,365 0,635
Aritmetica 0,808 0,110 0,665 0,335
Algebra 0,755 0,170 0,599 0,401
Geometria 0,598 0,169 0,386 0,614
Fator 1: fator relativo a Matematica. Fator 2: fator relativo as
ciencias humanas.
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Analise Fatorial: parte 2
Rotacoes oblıquas
Rotacoes ortogonais sao apropriadas para um modelo fatorial no
qual os fatores sao supostos nao correlacionados.
Em algumas areas de pesquisa e comum (de interesse) considerar
rotacoes oblıquas (nao ortogonais), alem das nao ortogonais
As primeiras (oblıquas) sao sugeridas apos olhar as cargas estimadas
e nao a partir dos postulados basicos do modelo. Apesar disso, uma
rotacao oblıqua pode ser util.
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Analise Fatorial: parte 2
Rotacoes oblıquas
Se olhamos os m fatores comuns como eixos coordenados, o ponto
com as coordenadas das cargas da j-esima variavel sobre os m
fatores comuns representa a posicao dessa variavel no espaco fatorial
(como no grafico anterior relativo ao exemplo de rotacao).
Supondo que as variaveis sao agrupadas em conglomerados nao
sobrepostos, uma rotacao ortogonal para uma estrutura mais simples
corresponde a uma rotacao rıgida dos eixos coordenados tal que os
eixos, apos a rotacao, passam tao proximos dos conglomerados
quanto possıvel.
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Analise Fatorial: parte 2
Rotacoes oblıquas
Uma rotacao oblıqua, para simplificar a estrutura das cargas,
corresponde a uma rotacao nao rıgida do sistema de coordenadas tal
que os eixos rotacionados (nao mais ortogonais dois a dois) passam
(proximos) dos conglomerados.
Uma rotacao oblıqua busca expressar cada variavel em termos de um
numero mınimo de fatores, preferivelmente um unico fator
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Analise Fatorial: parte 2
Rotacoes oblıqua: promax
Para rotacoes oblıquas, o metodo mais popular e o metodo promax
que tem a vantagem de ser rapido e conceitualmente simples.
O metodo busca ajustar uma matriz de cargas fatoriais (L) alvo que
tem uma estrutura simples.
A matriz alvo pode ser baseada, por exemplo, na matriz gerada pelo
metodo de varimax.
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Analise Fatorial: parte 2
Estimativas das cargas fatoriais, rotacao promax (Exemplo 5) :
maxima verossimilhanca
Var. Fator 1 Fator 2 Comun. (∑m
j=1 l2ij ) Var. Especıf. (ψi)
Gaelico -0,004 0,793 0,629 0,371
Ingles 0,417 0,324 0,279 0,721
Historia -0,147 0,669 0,469 0,531
Aritmetica 0,859 -0,090 0,746 0,254
Algebra 0,777 -0,007 0,604 0,396
Geometria 0,603 0,034 0,364 0,636
Fator 1: fator relativo as ciencias humanas. Fator 2: fator relativo a
matematica.
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Analise Fatorial: parte 2
Comparacao entre as estimativas (originais e rotacionadas)
(Exemplo 5) : maxima verossimilhanca
Original Varimax Promax
Var. Fator 1 Fator 2 Fator 1 Fator 2 Fator 1 Fator 2
Gaelico 0,583 0,533 0,250 0,750 -0,004 0,793
Ingles 0,641 0,103 0,511 0,402 0,417 0,324
Historia 0,354 0,490 0,071 0,600 -0,147 0,669
Aritmetica 0,760 -0,297 0,808 0,110 0,859 -0,090
Algebra 0,742 -0,218 0,755 0,170 0,777 -0,007
Geometria 0,604 -0,143 0,598 0,169 0,603 0,034
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Analise Fatorial: parte 2
Predicao dos escores fatoriais
De posse de alguma solucao rotacionada, a predicao dos fatores e
feita de igual modo ao que foi anteriormente apresentado.
Os fatores preditos, obtidos usando-se uma rotacao ortogonal das
cargas fatoriais, continuam sendo ortogonais.
Os fatores preditos, obtidos usando-se uma rotacao oblıqua das
cargas fatoriais, ja nao mais sao ortogonais.
No grafico a seguir temos os escores preditos a partir das cargas
rotacioandas via varimax e promax.
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Analise Fatorial: parte 2
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MQP − Varimax
fator 1
fato
r 2
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fator 1
fato
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MQP − Promax
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Analise Fatorial: parte 2
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