Análisis de series de tiempo Tercera clase. Métodos de descomposición de series de tiempo

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Análisis de series de tiempo

Tercera clase

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Métodos de descomposición de series de tiempo

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Métodos de suavizamiento – pronóstico

• Promedios– Simples – Simple Móvil– Doble Móvil

• Suavizamiento exponencial– Simple– Doble (Holt, Brown)– Triple (Winters, Brown)

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Modelos con variables exógenas

• Ver ejemplo de contaminación, temperatura y mortalidad.

• Gráficos por pares...

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Análisis de tendencia – Series derivadas

ttt

tt

t

ttt

xy

y

yx

ˆˆ

:residuos de seriela

con trabaja se y ˆ;estima Se

ioestacionarser pudiera

Tendencia

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Opciones:

• Una tendencia determinística

• Una tendencia aleatoria

• En la primera hay que ajustar un modelo

• En la segunda para eliminarla hay que trabajar con la primera diferencia (hablar de las segundas ...)

• NOTACIÓN:

tt 10

ttt w 1

1

1

)1(

ttt

tt

xxx

B

BBx

Ir a R

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Suavizamiento - Revisitado

• Tendencias de largo plazo pueden ser examinadas con la serie ‘suavizada’ por ejemplo

k

kj j

jj

k

kj jtjt

a

aa

xam

1

ponderado Promedio

:simetrico

anteriores las de ncombinació

ondas'' desuma

p grado de t en polinomio

t

t

ttt

f

f

yfx

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Suavizamiento - Revisitado

• Nucleo

n

j

t

n

i ttt

bjt

K

bit

Ki

xif

1

1

)(

)(ˆ

Lowless"" :tipo

ponderada localmente regresión

como osofisticad más método un o

cercanos' más vecinos' usando

n)(predicció local regresión

t

ttt

f

yfx

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Splines

• Se divide el soporte de los datos en k intervalos y en cada intervalo se ajusta una regresion polinomica de manera que sea diferenciable en todas partes

n

tttt dtffx

1

22 )(min

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Estudio de tendencia (Series climatológicas)

• Referencia: – Notas de Richard Smith sobre estadística ambiental.– Material puede ser bajado de la pagina

http://www.cesma.usb.ve/~lbravo/co6324/notas.html

Notas Smith

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Análisis de series de tiempo a la manera de Box-Jenkins

)(gaussiano varmedia, blanco ruido

;0

ioestacionar supone se

2

2211

wt

p

t

tptpttt

σw

x

wxxxx

Recordar que pasa si xt media no cero

Notación Libro:

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Operadores polinómicos

tt

pp

tt

wxB

BBBB

BxBx

)(

comoescribir puede se AR(p) el quemanera de

1)(

ivoautoregresOperador 2

21

1

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Ejemplos de AR(1)

AR(1) = +.9

Time

x

0 20 40 60 80 100

-20

24

AR(1) = -.9

Time

x

0 20 40 60 80 100

-40

4

AR(1) = +.9

Time

x

0 20 40 60 80 100

-6-2

2

AR(1) = -.9

Time

x

0 20 40 60 80 100-4

04

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AR(1) : El ejemplo!!! (ecuación recursiva)

0

1

0

121

... Iterando

jjt

j

k

jjt

jkt

k

tttttt

w

wx

wwxwxx

Leer Teorema de representación de WoldApendice B del libro

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AR(1) : El ejemplo!!! (ecuación recursiva)

2

2

0

22

0

2

00

1

)(

hw

j

jhw

j

hjjw

kkt

k

jjht

j wwEh

Siempre y cuando...

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AR(1)Anticipación y “estacionariedad” (suponga |

0

1

0

11

11

11

... Iterando

jjt

j

k

jjt

jkt

k

ttt

ttt

w

wx

wxx

wxx

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AR(p) como un promedio móvil infinito:

identidadoperador )()(

)(

como escribirlo quiero

)(

0

1

BB

wBwx

wxB

BxBx

jtjtjt

tt

tt

Hacer el ejemplo con AR(1) (otra vez)

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Análisis de series de tiempo a la manera de Box-Jenkins

)(gaussiano varmedia, blanco ruido

;0

2

2211

wt

q

qtqtttt

σw

wwwwx

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Operadores polinómicos

tt

qq

tt

wBx

BBBB

BxBx

)(

comoescribir puede se MA(q)el quemanera de

1)(

AOperador M2

21

1

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Ejemplos MA(1)

MA(1) = +.5

Time

x

0 20 40 60 80 100

-3-1

13

MA(1) = -.5

Time

x

0 20 40 60 80 100

-3-1

1

MA(1) = +.5

Time

x

0 20 40 60 80 100

-3-1

1

MA(1) = -.5

Time

x

0 20 40 60 80 100-2

02

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MA(1)

10

1

1)1(

)( 2

22

h

h

h

h w

w

• Auto-covariancia es igual a cero para h > q• Auto-correlación es igual para diferentes valores de lo que presenta un problema de identificabilidad...• más aún, distintas combinaciones de sigma y theta dan resultados iguales en auto-covariancia

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MA(q) como un AR infinito

identidadoperador )()(

)(

como escribirlo quiero

)(

0

1

BB

xBxw

wBx

BxBx

tj

jtjt

tt

tt

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MA(q)

• La representación MA(q) no es única (dan mismos resultados).

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Modelos ARMA

• Son combinaciones de lo anterior; para un proceso estacionario con media cero

0

0

)()(

q

p

tt wBxB

)1( 1

11111

p

qtqtttptt wwwxxx

distinta de cero

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ACF

0

2

00

0

)cov()(

)(

jhjjw

kktk

jjhtj

tht

jtjtjt

wwE

xxh

wBwx