ANALISIS NUMERICO AVANZADO y ANALISIS NUMERICO IIamaterias.fi.uba.ar/7538/material/Clases.pdf ·...

MATERIA:

ANALISIS NUMERICO AVANZADOy

ANALISIS NUMERICO IIa

Profesor:Dr. Angel N. Menéndez

Ayudantes:Ing. Mariano Re

Ing. Pablo E. García

• Ecuaciones diferenciales en deriv. parciales

• Diferencias finitas-problemas parabólicos

• Diferencias finitas-problemas hiperbólicos

• Diferencias finitas-problemas elípticos

• Residuos ponderados-problemas elípticos

• Elementos finitos-problemas elípticos

• Elementos finitos-problemas evolucionarios

• Volúmenes finitos-problemas elípticos

• Elementos de contorno-problemas elípticos

Análisis Numérico Avanzado - Análisis Numérico IITemas

ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

Análisis Numérico IIEcuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

Análisis Numérico IIEcuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

• Ecuaciones Tipo• Clasificación• Condiciones de Borde

Ecuación de Advección(Hiperbólica)

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesEcuaciones Tipo

0c cUt x∂ ∂

+ =∂ ∂

c(x,t)

c(x+∆x,t)

U ( , ) ( )c x t f x Ut= −

Ecuación de Advección(Hiperbólica)

Ecuación de Difusión(Parabólica)

c cDt x∂ ∂

=∂ ∂

F(x,t)

F(x+∆x,t)

c(x,t)

c(x+∆x,t)

( , )2

xc x t AerfDt

Ecuación de Difusión(Parabólica)

Ecuación de Laplace(Elíptica)

2 2 0c cx y∂ ∂

+ =∂ ∂

( , ) y

n xc x y Ae senL

ππ−

Ecuación de Laplace(Elíptica)

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesClasificación

Problema de 2º Orden2 2 2

2 2( , ) 2 ( , ) ( , )

, , , ,

u u uA x y B x y C x yx x y y

u uD x y ux y

∂ ∂ ∂+ +

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂= ∂ ∂ , uu

n∂∂

Condiciones de borde:

Condición de Unicidad

d uudX dYdt xxdt dt

dX dY u d udt dt x y dt y

A B C Duy

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2dY dX dY dXA B Cdt dt dt dt

∆ = − +

Clasificación

Tipo Curvas características

Hiperbólicas d > 0 Reales

Elípticas d < 0 Complejas

Parabólicas d = 0 Reales, pero coincidentes

2d B AC≡ −

Formas Normalizadas

2 2 , , , ,hd u u u uD v w uA w v v w

∂ ∂ ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ ∂

2v α β+=

Hiperbólicas:

2w α β−=

Coeficientes con signo opuesto

Elípticas:

Coeficientes con igual signo

2 2 , , , ,ed u u u uD v w uA w v v w

− ∂ ∂ ∂ ∂ + = ∂ ∂ ∂ ∂

2v α β+=

iα β−

Formas Normalizadas

Parabólicas:

Un coeficientes nulo

2 , , , ,pu u uA D v w u

w v w∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂

v α β= = w x=

Formas Normalizadas

Más de dos Variables Independientes

Tipo Coeficientes de derivada de mayor orden

Hiperbólicas Todos no nulos y uno tiene signo distinto a los demás

Elípticas Todos no nulos y del mismo signo

Parabólicas Al menos uno nulo

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesCondiciones de Borde

Ecuaciones Hiperbólicas

, , , ,u u uG uα βα β α β

∂ ∂ ∂= ∂ ∂ ∂ ∂

( , ) ( ) ( )u f gα β α β= +

Forma normal:

Forma elemental:2

0uα β∂

=∂ ∂

( ) ( ) ( )

u t f gu df dgtn d n d n

α βα β

= +∂ ∂ ∂ = +∂ ∂ ∂

Solución:

λ α≡

Sobre borde:

µ β≡

( , 0) ( )

u x t a xu x t b xt

= =∂

= = ∂

1 0u ux c t∂ ∂

− =∂ ∂

1 1( , ) ( ) ( ) ( )2

u x t a x ct a x ct b dc

ξ ξ+

= + + − +

Ejemplo:

Solución:

Condiciones de Cauchy sobre PA

Condiciones de Dirichlet o Neumann sobre PB

λ α≡µ β≡

Ejemplo:

( , 0) ( )

u x y u xu x y N xy

= =∂ = =∂

2 2 0u ux y∂ ∂

+ =∂ ∂

( , ) Re ( ) ( )x iy

o ou x t u x iy i N dξ ξ+ = + +

Condiciones de Cauchy sobre contorno abierto

(Forma normal)

Ecuaciones Elípticas

Ejemplo: (Forma normal)

1 0( , 0) ( )

0 0si x

u x t b xsi x

>= = = <

u uat x

∂ ∂=

∂ ∂

42( , ) , 0x t

aau x t e d tξ

−∞

= >∫

Condiciones de Dirichlet sobre contorno abierto

Ecuaciones Parabólicas

Condiciones de Contorno

Tipo Frontera Condiciones

Hiperbólicas abierta Cauchy ó Dirichlet/Neumann

Elípticas cerrada Dirichlet o Neumann

Parabólicas abiertaCI Dirichlet

CB Dirichlet o Neumann

DIFERENCIAS FINITASPROBLEMA PARABOLICOS

Análisis Numérico IIDiferencias finitas – problemas parabólicos

DIFERENCIAS FINITASPROBLEMA PARABOLICOS

Análisis Numérico IIDiferencias finitas – problemas parabólicos

• Método explícito centrado• Tipos de errores• Consistencia de un esquema numérico• Convergencia de la solución numérica• Estabilidad de la solución numérica• Problema de advección-difusión• Problemas bidimensionales• Método de las líneas

Problema Base

Diferencias finitas – problemas parabólicosMétodo Explícito Centrado

2 , 0 , 0u uD x L tt x

∂ ∂= < < >

∂ ∂

( , 0) ( )u x t f x= =

( 0, ) ( )u x t g t= =

( , ) ( )u x L t h t= =

Discretización

2, 0 , 0

n n n n nj j j j ju u u u u

D j N nt x

++ −− − +

= < < ≥∆ ∆

0 ( )j ju f x=

0 ( )n nu g t=

( )n nNu h t=

Cálculo

( ) ( )11 11 2 , 0 , 0n n n n

j j j ju r u r u u j N n++ −= − + + < < ≥

D trx∆

≡∆

Fuentes de Errores

DATOS(ENTRADA)

PROCESOPRECISION

RESULTADOS(SALIDA)

PROCESO DE CALCULO

PROCESO IDEAL

Exactos ExactosInf initoInf inita

Con errores Con erroresInf initoInf inita

ERRORES DE ENTRADA

ExactosFinito

ERRORES DE TRUNCAMIENTO

Con erroresInf inita

ERRORES DE REDONDEO

Exactos Inf initoFinita Con errores

Diferencias finitas – problemas parabólicosTipos de Errores

Errores Numéricos

Errores de Truncamiento

Errores de Discretización

Diferencias finitas – problemas parabólicosConsistencia de un esquema Numérico

( , ) ( , )

( , ) 2 ( , ) ( , )

n nj j

n n nj j j n

u x t u x tt

u x t u x t u x tD

−∆

− +− ≡

∆2 4 2

2 42 4

( , )2 12n n

x t x t

u t u xD O t xt x

ε ∂ ∆ ∂ ∆= − + ∆ ∆∂ ∂

Consistencia

ε∆ →∆ →

Método explícito centrado es consistente

2 4 22 4

2 4, ,

( , )2 12n n

x t x t

u t u xD O t xt x

ε ∂ ∆ ∂ ∆= − + ∆ ∆∂ ∂

Error de Truncamiento Local

( ) 11( , )nn n n n

j j je u x t u

++≡ −

n nj je tε≈ ∆

2 4 22 4

2 4, ,

( , )2 12n n

x t x t

u t u xe t D O t xt x

∂ ∆ ∂ ∆ = ∆ − + ∆ ∆∂ ∂

Error de Truncamiento Global

ˆ( , )n n nj j jE u x t u≡ −

1 max maxn n nj k k k kE E e+

∀ ∀≤ +

1 1,0maxn n m

j k m n kE t ε+ +∀ ≤ ≤≤

si r ≤ 1/2

No Consistencia

p∆ →∆ →

Esquema de DuFort-Frankel:1 1 1 1

n n n n n nj j j j j ju u u u u u

+ − + −+ −− − − +

=∆ ∆

22 2 2 2 2

( , , ), n

u tDp O t x p t pt x

ε ∂ ∆= + ∆ ∆ ∆ ≡

∂ ∆

,si no2 2

u u uD Dpt x t

∂ ∂ ∂= −

∂ ∂ ∂

Orden de Precisión

Esquema explícito centrado:

2 2 2( , ), nj O t x t xε = ∆ ∆ ∆ ∆

Esquema de DuFort-Frankel:

2( , )nj O t xε = ∆ ∆

Orden de Precisión

Esquema explícito centrado con máxima precisión (Douglas):

u uDt x

∂ ∂=

∂ ∂2 4

( ) ( , )2 6 n

D x uD t O t xx

ε ∆ ∂= ∆ − + ∆ ∆

∆∆ = ⇒ 2 4( , )n

j O t xε = ∆ ∆

Condición de Borde de Neumann

2 , 0 , 0u uD x L tt x

∂ ∂= < < >

∂ ∂

( , 0) ( )u x t f x= =

( 0, ) ( )u x t g t= =

( , ) ( )u x L t h tx∂

= =∂

1 1 ( )2

n nnN Nu u h t

x+ −−

2, 0 , 0

D j N nt x

++ −− − +

= < ≤ ≥∆ ∆

Convergencia

Diferencias finitas – problemas parabólicosConvergencia de la Solución Numérica

n nj j

x t fijos

u u x t∆ →∆ →

Convergencia Explícito Centrado

Si r ≤ 1/2 y es consistente ⇒ convergente

Condición r ≤ 1/2: estabilidad numérica

1 1,0maxn n m

j k m n kE t ε+ +∀ ≤ ≤≤

Si r ≤ 1/2:

Teorema de Lax

Si consistente y estable

⇒ convergente

Manifestación Inestabilidad Numérica

Diferencias finitas – problemas parabólicosEstabilidad de la Solución Numérica

Condición de Estabilidad Numérica

→∞→

:o on nj jSi u perturbada en uδ

Método de Von Neumann

n n nj j ju u uδ→ +

Reemplazar en ecuación en diferenciasy desarrollar a primer orden

jikxn n n ikj xju e eδ ξ ξ ∆= =

Estabilidad de Esquema Explícito Centrado

1 2 1 cos( )n

nng r k xξ

≡ = − − ∆

1/ 2r⇒ ≤

Esquema de Richardson

1/ 22 2 41,2 2 ( / 2) 1 4 ( / 2)rsen k x r sen k xλ = − ∆ ± + ∆

24 ( / 2) 11 0

n rsen k xG

− ∆=

1 11 1

+ −+ −− − +

=∆ ∆

Incondicionalmente inestable

Esquema de Du Fort - Frankel

( )1 11 11 1

n n n nn nj j j jj j u u u uu u

+ −+ −+ −− + +−

=∆ ∆

Incondicionalmente estable

Esquema Implícito Ponderado

1 1 1 11 1 1 1

2 2(1 )

n n n n n n n nj j j j j j j ju u u u u u u u

Dt x x

θ θ+ + + +

+ − + − − − + − += + −

∆ ∆ ∆

[ ][ ]

1 2 (1 ) 1 cos( )1 2 1 cos( )

n r k xg

r k xθ

θ− − − ∆

=+ − ∆

Incondicionalmente estable si θ ≥ 1/2

[ ][ ]

1 2 (1 ) 1 cos( )1 2 1 cos( )

n r k xg

r k xθ

θ− − − ∆

=+ − ∆

L rm k==

Esquema Implícito Ponderado

Justificación de Implícitos

En problemas con escalas temporales disímeles

Ecuación de Advección-Difusión

Diferencias finitas – problemas parabólicosProblema de Advección - Difusión

2 , 0 , 0u u uU D x L tt x x

∂ ∂ ∂+ = < < >

∂ ∂ ∂

Es un problema parabólico

Esquema Explícito Centrado

2( , )nj O t xε = ∆ ∆

11 1 1 1

20 , 0

n n n n n n nj j j j j j ju u u u u u u

U Dt x x

++ − + −− − − +

+ =∆ ∆ ∆

< < ≥

Estabilidad

[ ]1 2 1 cos( ) sen( )= − − ∆ − ∆ng r k x ip k x

D trx∆

≡∆

U tpx∆

≡∆

1/ 2, 2r p r⇒ ≤ ≤2

x Dt tD U

∆∆ ≤ ∆ ≤

Restricción por Estabilidad

2xtD∆

∆ ≈

⇒∆ ≤

Upwinding

11 1 1

n n n n n n nj j j j j j ju u u u u u u

U Dt x x

+− + −− − − +

+ =∆ ∆ ∆

< < ≥

Si U > 0:

( , )nj O t xε = ∆ ∆

Estabilidad Para Upwinding

2xt DU

∆∆ ≤

Método de Hirt

Ecuación verdadera para explícito centrado:

2 3 2 42 4

( , ) 03 12

u u u t uU Dt x x t

x u x uU D O t xx x

∂ ∂ ∂ ∆ ∂+ − +

∂ ∂ ∂ ∂∆ ∂ ∆ ∂

+ − + ∆ ∆ =∂ ∂

Condición de Courant

ecuación hiperbólica

2dx Ddt t

= ±∆

∆≤∆

1/ 2r ≤

2 22u u u t uU Dt x x t

∂ ∂ ∂ ∆ ∂+ ≈ −

∂ ∂ ∂ ∂

Condición de Difusión

2U tD ∆

22u u U t uU Dt x x

∂ ∂ ∆ ∂+ ≈ − ∂ ∂ ∂

∆ ≤

Crank-Nicholson Centrado

2 2( , )nj O t xε = ∆ ∆

1 1 11 1 1 1

12 2 2

n n n n n nj j j j j j

u u u u u uU

u u u u u uD

+ + ++ − + −

− − −+ + ∆ ∆ ∆

− + − += + ∆ ∆

Pruebas

5U xPeD∆

0,8U tCrx∆

≡ =∆

0,05U tCrx∆

≡ =∆

10U xPeD∆

Pruebas

5U tCrx∆

≡ =∆

5U xPeD∆

Pruebas

Performance

U xPeD∆

U tCrx∆

≡∆

Problema Base

2 2 , 0 , 0 , 0u u uD x a y b tt x y

∂ ∂ ∂= + < < < < > ∂ ∂ ∂

( , , 0 ) ( , )u x y t f x y= =

( , ) ( , ) u s t g s t sobre contorno cerrado=

Diferencias finitas – problemas parabólicosProblemas Bidimensionales

Explícito Centrado

11 1 1 1

0 , 0 , 0

n n n n n n n nij ij i j ij i j ij ij ij

u u u u u u u uD

i N j N n

++ − + − − − + − +

= + ∆ ∆ ∆ < < < < ≥

0 ( , )ij i ju f x y=

( , , ) n nij i ju g x y t sobre contorno=

Cálculo

( ) ( ) ( )11 1 1 11 2 2 ,

0 , 0 , 0

n n n n n nij x y j x i j i j y ij ij

u r r u r u u r u u

i N j N n

++ − + −= − − + + + +

< < < < ≥

2 2, x yD t D tr r

x y∆ ∆

≡ ≡∆ ∆

Estabilidad

2, D ty x rx∆

∆ = ∆ ≡∆

yx ik j yik i xn niju e eδ ξ ∆∆=

2 21 42 2

∆ ∆ = − +

yn x k yk xg r sen sen

1/ 4r⇒ ≤

Implícito Centrado

1 1 1 1 1 1 11 1 1 1

1 1 1 12 2

2 2(1 )

n n n n n n n nij ij i j ij i j ij ij ij

n n n n n ni j ij i j ij ij ij

u u u u u u u uD

u u u u u uD

+ + + + + + ++ − + −

+ − + −

− − + − += + ∆ ∆ ∆

− + − ++ − + ∆ ∆

1/ 2 : incondicionalmente estableθ ≥

Cálculo

( ) ( ) ( )1 1 1 1 11 1 1 11 2 2 n n n n n n

x y ij x i j i j y ij ij ijr r u r u u r u u u+ + + + ++ − + −+ + − + − + =

1: fuertemente implicitoθ =

Sistema algebraico acoplado en ambas direcciones

Direcciones Alternadas

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 21 1 1 1

2 2/ 2

n n n n n n n nij ij i j ij i j ij ij iju u u u u u u u

Dt x y

+ + + ++ − + − − − + − +

= + ∆ ∆ ∆

1 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1 1 11 1 1 1

2 2/ 2

n n n n n n n nij ij i j ij i j ij ij iju u u u u u u u

Dt x y

+ + + + + + + ++ − + − − − + − +

= + ∆ ∆ ∆

Cálculo

( ) ( )( ) ( )

1/ 2 1/ 2 1/ 21 1

n n nx ij x i j i j

n n ny ij y ij ij

r u r u u

+ + ++ −

+ − +

= − + +

Sistemas algebraicos acoplados por dirección

( ) ( )( ) ( )

1 1 11 1

1/ 2 1/ 2 1/ 21 1

n n ny ij y ij ij

n n ny ij x i j i j

r u r u u

+ + ++ −

+ − +

= − + +

Estabilidad

[ ][ ]1 1 cos( ) 1 1 cos( )

1 1 cos( ) 1 1 cos( )y xn

r k y r k xg

r k x r k y

− − ∆ − − ∆ =+ − ∆ + − ∆

Desdoblamiento (Localmente 1D)1* 1* 1* 1*

2(1 ) ]

n n n n nij ij i j ij i j

n n ni j ij i j

u u u u uD

t xu u u

+ + + ++ −

− − +=

∆ ∆− +

+ −∆

1 1* 1 1 11 1

1* 1* 1*1 1

2(1 ) ]

n n n n nij ij ij ij ij

n n nij ij ij

u u u u uD

t yu u u

+ + + + ++ −

+ + ++ −

− − +=

∆ ∆

− ++ −

Estabilidad

[ ] 1 1 cos( ) 1 1 cos( )nx yg r k x r k y = − − ∆ − − ∆

Mas estable que el de paso entero

1/ 2r⇒ ≤

0θ =Totalmente explícito:

u uDt x

∂ ∂=

∂ ∂

2j j j jdu u u uD

dt x+ −− +

Discretización Espacial

Diferencias finitas – problemas parabólicosMétodo de las Líneas

Nuevo Problema DiferencialdU AUdt

2 1 0 ... 01 2 1 ... 00 1 2 ... 0... ... ... ... ...0 ... 0 1 2

− − = − −

Sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias

Diferencias finitas – problemas parabólicosMétodo de las Líneas

DIFERENCIAS FINITASPROBLEMA HIPERBOLICOS

Análisis Numérico IIDiferencias finitas – Problemas Hiperbólicos

• Método explícito centrado• Métodos explícitos• Métodos implícitos• Difusión y Dispersión numéricas• Sistemas Hiperbólicos• Problemas bidimensionales• Ecuación de segundo orden• Problemas no lineales

Problema Base

Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodo Explícito Centrado

0, 0 , 0 ( 0 )u uc x L t ct x

∂ ∂+ = < < > >

∂ ∂

( , 0) ( )u x t f x= =

( 0, ) ( )u x t g t= =

Discretización

11 1 0, 0 , 02

n n n nj j j ju u u u

c j N nt x

++ −− −

+ = < ≤ ≥∆ ∆

0 ( )j ju f x=

0 ( )n nu g t=

Estabilidad

1 seno( )ng ip k x= − ∆

U tpx∆

≡∆

Incondicionalmente inestable

Esquema con Upwinding

Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Explícitos

+−− −

+ =∆ ∆

11(1 )n n n

j j ju p u pu+−= − + c tp

≡∆

22u u c uc x c tt x x

∂ ∂ ∂+ = ∆ − ∆

∂ ∂ ∂Hirt:

xtc∆

∆ ≤

( ),nj O t xε = ∆ ∆

(parabólico)

Condición de Courant

dx cdt

= ±xt

∆≤∆

xtc∆

∆ ≤

Esquema de Lax

( )11 1

n n nn nj j jj j

u u u u uc

++ −

+ −− + −

+ =∆ ∆

1 1(1 ) (1 )2 2

n n nj j ju p u p u+

+ −= − + + c tpx∆

≡∆

co s( ) ( )ng x ip seno xκ κ= ∆ − ∆von Neuman:

xtc∆

∆ ≤

( )2,nj O t xε = ∆ ∆

Esquema de Lax-Wendroff

( )1/ 21/ 2 1

n n nn nj j jj j

u u u u uc

+− + −

+ =∆ ∆

2 2 41 4 (1 ) ( / 2)ng p p seno xκ= − − ∆

xtc∆

∆ ≤

( )2 2,nj O t xε = ∆ ∆

1 1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2 0

+ + ++ −− −

+ =∆ ∆

Pruebas

1 /c m s=

c tpx∆

≡∆

t (hrs)

u(x,t=0)

N intervalos T

Esquema de Lax

1 /c m s=

0,90p =

4,5T hrs=

Esquema de Lax

1 /c m s=

0,90p =

4,5T hrs=

( 18)N =

Esquema de Lax

1 /c m s=

0,90p =

4,5T hrs=

( 18)N =

Esquema de Lax

1 /c m s=

0,90p =

4,5T hrs=

Esquema de Lax

1 /c m s=

0,66p =

3,3T hrs=

( 0,90)p =

Esquema de Lax

1 /c m s=

0,50p =

2,5T hrs=

( 0,90)p =

1 /c m s=

0,66p =

3,3T hrs=

( )Lax

Esquema con Lax-Wendroff

1 /c m s=

0,66p =

3,3T hrs=

( )Lax

1 /c m s=

5,0T hrs=

( )Lax

1 /c m s=

1,03p =

5,14T hrs=

Esquema de la Rayuela

1 11 1 0

+ −+ −− −

+ =∆ ∆

xtc∆

∆ ≤

( )2 2,nj O t xε = ∆ ∆

Upwinding Implícito

Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Implícitos

1 1 11 0

+ + +−− −

+ =∆ ∆

n nj jn

+−+ +

( ),nj O t xε = ∆ ∆

11 ( / 2) ( )

ngp seno x ip seno xκ κ

=+ ∆ − ∆

Wendroff Implícito

1 1 1 11 1 1 11 0

n n n n n n n nj j j j j j j ju u u u u u u uc

t t x x

+ + + ++ + + + − − − −

+ + + = ∆ ∆ ∆ ∆

( )2 2,nj O t xε = ∆ ∆

Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Implícitos

Ecuación Verdadera (Hirt)

Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosDifusión y Dispersión Numéricas

( )( , ) i x tu x t e κ βα −=

u u uct x x

∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂∑

iAβ ω= +

1( 1)k k

A κ µ∞

= −∑

1 22 1

1( 1)k k

cω κ µκ

∞−

= + −∑

Problema Base

Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosSistemas Hiperbólicos

0h uHt x

∂ ∂+ =

∂ ∂

0u hgt x

∂ ∂+ =

∂ ∂

Esquema de Lax

( )11 1

n n nn nj j jj j

h h h u uH

++ −

+ −− + −

+ =∆ ∆

( )11 1

n n nn nj j jj j

u u u h hg

++ −

+ −− + −

+ =∆ ∆

Estabilidad

co s( ) ( ) ( ) co s( )

n x isH seno xG

isg seno x xκ κ

κ κ∆ − ∆

= − ∆ ∆

1,2 co s( ) ( )x is gH seno xλ κ κ= ∆ ± ∆

xtgH∆

∆ ≤

tsx∆

Problema Base

Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosProblemas Bidimensionales

0x yu u uc ct x y

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂

Esquema de Lax-Wendroff (1/2)

( )1/ 21/ 2, 1/ 2 1 1, 1 1

1 1 1 1

n n n n ni j ij ij i j i j

n n n ni j ij i j ij

n n n nij ij i j i j

u u u u u

tu u u u

u u u uc

++ + + + + +

+ + + +

− + + +

∆ − −

+ + ∆ ∆ − −

+ + = ∆ ∆

Esquema de Lax-Wendroff (2/2)1

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2

n nij ij

n n n ni j i j i j i j

u u u uc

+ + + ++ − − − + + − +

+ + + +− + − − + + + −

−∆

− −+ + ∆ ∆

− −+ + = ∆ ∆

Estabilidad

2 2 max ,x y

∆∆ ≤

Problema Base

Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosEcuación de Segundo Orden

2 2 0, 0 , 0u uc x L tt x

∂ ∂− = < < >

∂ ∂

( , 0) ( )u x t f x= =

( 0, ) ( )u x t h t= =

( , 0) ( )u x t g xt

∂= =

( , ) ( )u x L t i t= =

Explícito Centrado1 1

1 122 2

n n n n n nj j j j j ju u u u u u

+ −+ −− + − +

− =∆ ∆

< < ≥

0 ( )j ju f x= 0 ( )n nu h t= ( )n nNu i t=

21 0 2( ) ''( )

2j j j jtu u tg x c f x∆

= + ∆ +

Estabilidad

Criterio de Courant:

xtc∆

∆ ≤

Problema Base

Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosProblemas No Lineales

0u uut x

∂ ∂+ =

∂ ∂

u u dX u dTx d t dτ τ τ

∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂u u dT u dXn x d t dτ τ∂ ∂ ∂

= −∂ ∂ ∂

Sobre curva característica:

Curvas Características

1 001 0

dX dT u ud d xdT dX ud d tu u

τ τ τ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − − = ∂ ∂ ∂

dT dXud dτ τ

∆ = − + 0 dX udT

∆ = ⇒ =

Formulaciones Alternativas

0u ft x

∂ ∂+ =

∂ ∂

uf u =

1 0 0dI f fdt

+ − =1( )

xI t udx= ∫

Formulación conservativa:

Formulación débil:

Onda de Choque

[ ][ ]

dx f f fsdt u u u

−≡ = =

( )( ) c

x x tI t udx udx= +∫ ∫

Relación de Rankine-Hugoniot

Unicidad

( ) ( )( )

c c c c

u u u us

+ + − −

La Física define la correcta

u ut x ∂ ∂

+ = ∂ ∂

Onda de Rarefacción

Cumple ecuación diferencial

y continua en extremos

dx xdt t

= izq deru t x u t≤ ≤características para

= para izq deru t x u t≤ ≤

Emanando de x = 0, t = 0:

Cálculo Numérico de Discontinuidades

•Métodos de “seguimiento” de la discontinuidad:

Basados en la formulación característica

•Métodos de “captura” de la discontinuidad:

Basados en la formulación conservativa

DIFERENCIAS FINITASPROBLEMA ELIPTICOS

Análisis Numérico IIDiferencias finitas – Problemas Elípticos

• Esquema de los cinco puntos• Métodos Seudoevolucionarios• Dominios Arbitrarios• Ecuación Autoadjunta• Esquema de integración en caja• Derivadas cruzadas• Estabilidad

Problema Base

Diferencias finitas – Problemas ElípticosEsquema de los cinco puntos

2 2 0, 0 , 0x yu u x L y L

x y∂ ∂

+ = < < < <∂ ∂

1( , 0) ( )u x y f x= =

1( 0, ) ( )u x y g y= =2( , ) ( )yu x y L f x= =

2( , ) ( )xu x L y g y= =

Discretización

1 1 1 12 2

i j ij i j ij ij ij

u u u u u ux y

i N j N

+ − + −− + − ++ =

∆ ∆< < < <

0 1( )i iu f x=

0 1( )j ju g y=

2 ( )yiN iu f x=

2 ( )xN j ju g y=

2( , ) ( )yu x y L f xy∂

= =∂

( )1 122

y yiN iNi

u uf x

y+ −−

1 1 1 12 2

i j ij i j ij ij ij

u u u u u ux y

i N j N

+ − + −− + − ++ =

∆ ∆< < < ≤

Solución

Sistema algebraico lineal:

•Métodos directos (Eliminación Gauss)

•Métodos iterativos (Gauss-Seidel)

Problema Parabólico

Diferencias finitas – Problemas ElípticosMétodos Seudoevolucionarios

2 2 , 0 , 0 , 0x yu u u x L y L t

x y t∂ ∂ ∂

+ = < < < < >∂ ∂ ∂

1( , 0, ) ( )u x y t f x= =

1( 0, , ) ( )u x y t g y= =2( , , ) ( )yu x y L t f x= =

2( , , ) ( )xu x L y t g y= =

( , , 0 ) ( , )u x y t h x y= =

Relación

( , , ) : u x y t

solucion del problema eliptico→∞

Solución Numérica

• La (seudo)evolución temporal funciona como unmétodo iterativo para el problema elíptico, pero conbase física

• No interesa precisión ⇒ ∆t grande ⇒ métodosimplícitos adecuados, con técnicas de pasosalternados o de desdoblamiento

Primera Alternativa:Rectificación Dominio

Diferencias finitas – Problemas ElípticosDominios Arbitrarios

Segunda Alternativa:Molécula No Rectangular

x y h∆ = ∆ ≡

0E E N N W W S S o ou u u u uβ β β β β+ + + − =

sW h sE h

o E N W Sβ β β β β= + + +

Tercera Alternativa:Coordenadas Adaptadas Al Contorno

• Definición de coordenadas adaptadas al contorno

• Transformación de la ecuación diferencial

Problema Base

Diferencias finitas – Problemas ElípticosEcuación Autoadjunta

( , ) ( , ) ( , ) ( , ),

, 0, ( , ) 0

u ua x y b x y f x y u g x yx x y y

a b f x y

∂ ∂ ∂ ∂ + − = ∂ ∂ ∂ ∂ > ≥

Discretización

x y h∆ = ∆ ≡

21 1 1 1E i j N ij W i j S ij o ij iju u u u u h gα α α α α+ + − −+ + + − =

1/ 2E i jaα += 1/ 2N ijbα += 1/ 2W i jaα −= 1/ 2S ijbα −=

2o E N W S ijh fα α α α α= + + + +

Distribución

u a u u b ua b fu gx x x y x y∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + − =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Si gradientes de a ó b altos ⇒problemas de estabilidad numérica

Diferencias finitas – Problemas ElípticosEsquema de Integración en Caja

( , ) ( , ) ( , ) ( , ),

, 0, ( , ) 0

u ua x y b x y f x y u g x yx x y y

a b f x y

∂ ∂ ∂ ∂ + − = ∂ ∂ ∂ ∂ > ≥

Ecuación Autoadjunta

Integración

/ 2 / 2 / 2

s h x s h x s h

ua dxdyx x

u ua a dyx x− = =−

∂ ∂ = ∂ ∂

∂ ∂ − ∂ ∂

∫∫

Ex s h

u uuax s h=

−∂ ≈ ∂

sW h sE h

Discretización

21 1 1 1E i j N ij W i j S ij o ij iju u u u u h gα α α α α+ + − −+ + + − =

/ 22 E

N SE i s j

s s as

=/ 22 N

E WN ij s

s s bs

/ 22 W

N SW i s j

s s as

α −+

=/ 22 S

E WS ij s

s s bs

α −+

( )( )2

4E W N S

o E N W S ij

s s s sh fα α α α α

+ += + + + +

Problema Base

Diferencias finitas – Problemas ElípticosDerivadas Cruzadas

( , ) 2 ( , ) ( , ) 0,u u ua x y b x y c x yx x y y

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂ ∂

Discretización

( )( )( )

E NE N E o

N N NW o W

W o W S SW

S E o SE S

u u u uh

u u u u

∂≈

∂ ∂

− − +

+ − − +

+ − − +4

Selección de Coeficientes

( ) ( ) 0E W N Sα α α α− − − =

1) 0 : , 02E W N SI b α α α α> = = = =

( ) ( ) 0E W N Sα α α α− + − =

Aproximación de segundo orden:

1) 0 : 0, 2E W N SII b α α α α< = = = =

, 0 :Supongase a c >

Problema Base

Diferencias finitas – Problemas ElípticosEstabilidad

u u u uU Vx y x y

ν ∂ ∂ ∂ ∂

+ = + ∂ ∂ ∂ ∂

Simplificación

2 , 0 ,

(0) , ( )o L

d u duU x Ldx dxu u u L u

ν = < <

Solución cerrada:

( ) 11

u x u eu u e

− −=

− −ULPeν

Esquema Centrado

1 1 1 12

i i i i iu u u u uUx x

ν + − + −− + −=

∆ ∆

Solución cerrada:

1 / 211 / 2

PgPgu u

u u PgPg

+− −− =

− +− −

U xPgν∆

Estabilidad

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Analítica Esquema centrado

Estabilidad

100100

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0x

Analítica Esquema centrado

1 1 12

2i i i i iu u u u uUx x

ν + − −− + −=

∆ ∆Solución cerrada:

( )( )

1 11 1

Pgu uu u Pg

− +−=

− − +U xPgν∆

Estabilidad

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0x

Analítica Esquema con upwinding

RESIDUOS PONDERADOSPROBLEMA ELIPTICOS

Análisis Numérico IIResiduos Ponderados – Problemas Elípticos

• Formulación Ponderada• Residuos Ponderados• Métodos

Problema Base

Residuos Ponderados – Problemas ElípticosFormulación Ponderada

2 ( , , ) 0 u f u x y en∇ + = Ω

1( , ) u x y u sobre= Γ

2( , ) u x y q sobren∂

= Γ∂

Formulación diferencial:

u clase C2

Versión 1D

2 0 (0,1)d u u x endx

(0) 0 (1)duu qdx

Problema particular:

(0 )0 (1) 0u u= =Primer problema:

Segundo problema:

Soluciones Problema 1D

( )( ) (1 )cos(1)sen xu x q x= + −

Primer problema:

Segundo problema:

( )( )(1)

sen xu x xsen

Solución en Diferencias Finitas

- 20j j j

u u uu j x

x+ −+

+ + ∆ =∆

Primer problema:

Método u1 u2

Dif. finitas 0,05609 0.06891

Analítico 0,05550 0,06820

1/ 3x∆ =

Formulación Ponderada

( ) ( )

u f wd u u wd

u q wdn

∇ + Ω+ − Γ

∂ + − Γ = ∂

∫ ∫

Funciones Aproximantes

Residuos Ponderados – Problemas ElípticosResiduos Ponderados

αi son las incógnitas; método modal

( )2 0u f wdΩ

∇ + Ω =∫

1( , )

u x yα φ=

=∑φi satisfacen exactamente condiciones de borde

Funciones de Peso

1( , )

w x yβ ψ=

ji i ji

a bα=

( )2 0, 1, 2...ju f d j NψΩ

∇ + Ω = =∫2

ji i ja dφψΩ

≡ ∇ Ω∫j jb f dψ

≡ − Ω∫

Limitaciones

La determinación de φi sólo puede hacerse para problemas muy particulares

La elección de ψi determina el método

Métodos

Residuos Ponderados – Problemas ElípticosMétodos

1 1( , ) j kjk x y x yψ − −=Momentos:

( , ) ( , )j jx y x yψ φ=Galerkin:

Primer Problema 1D

( ) (1 )ii x x xφ = −

21 2( ) (1 ) (1 )u x x x x xα α= − + −

2 2 31 2( 2 ) (2 6 )

d u u xdx

x x x x x x

≡ + +

= − + − + − + − +

Primer Problema 1D

1( ) , 1, 2jj x x jψ −= =Momentos:

01 0dxε =∫

00xdxε =∫

11 11 16 12 2

11 1932 20

Resultados

Método u1 u2

Dif. finitas 0,05609 0,06891

RP-Momentos 0,05433 0,06888

RP-Galerkin 0,05540 0,06805

Analítico 0,05550 0,06820

Primer problema: 1/ 3x∆ =

ELEMENTOS FINITOSPROBLEMA ELIPTICOS

Análisis Numérico IIVolúmenes Finitos – Problemas Elípticos

ELEMENTOS FINITOSPROBLEMA ELIPTICOS

Análisis Numérico IIElementos Finitos – Problemas Elípticos

• Formulación Débil• Discretización• Formulación Variacional• Método de Ritz• Discretización del Funcional• Problemas de Capa Límite

Problema Base

Elementos Finitos – Problemas ElípticosFormulación Débil

2 ( , , ) 0 u f u x y en∇ + = Ω

= Γ∂

u clase C2

( ) ( )

u f wd u u wd

u q wdn

∇ + Ω+ − Γ

∂ + − Γ = ∂

∫ ∫

Integración por Partes

10 w u u sobre= = Γ

uu wd fwd w dn

uu u wd q wdn

Ω Ω Γ +Γ

∂− ∇ ∇ Ω+ Ω+ Γ

∂ + − Γ + − Γ = ∂

∫ ∫ ∫

∫ ∫

w w= −

Formulación Débil

. 0u wd fwd qwdΩ Ω Γ

− ∇ ∇ Ω+ Ω+ Γ =∫ ∫ ∫

u clase C1

(Soluciones débiles o generalizadas)

Discretización del Dominio

Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización

Elementos finitos triangulares

Numeración de Nodos

n: numeración global , 1≤ n ≤ N

k: numeración local, 1≤ k ≤ K

n = 57

n = 42

n = 58

N: cantidad total de nodos

K: cantidad de nodos por elemento

Conectividad

m: numeración de elemento , 1≤ m ≤ M

# nodo global de nodo local k de elemento m

n = 57

n = 42

n = 58

M: cantidad total de elementos

( ) :mkG

27(1) 57G =

27(2) 58G =27(3) 42G =

Discretización de la Función

( ) :mkn G= ( )

mn ku u≡

valores nodales (incógnitas)

Método nodal

Función Interpolante

1( , ) ( , )

mu x y u x y

=∑( ) ( )

1( , ) ( , )

( , )0 ( , )

Km m mk km

kN x y u si x y e

u x ysi x y

funciones de forma( ) :mkN m

Funciones de Peso

:nw tantas como incógnitas

( ) ( , ) ( , )( , )

0 ( , )

nN x y si x y e

w x ysi x y

∈ lme

ml: elementos que contienen nodo n, 1≤ l ≤ Ln

Ln: cantidad de elementos

Método de Bubnov-Galerkin:

mkn G=

Ecuaciones Discretas

( ) ( , ) ( , )( , )

0 ( , )

nN x y si x y e

w x ysi x y

∈ lme

. 0n n nu w d fw d qw dΩ Ω Γ

− ∇ ∇ Ω+ Ω+ Γ =∫ ∫ ∫

1( , ) ( , )

mu x y u x y

Primer Término

( ) ( )1 1

L Km m m

n k k nl k e

u w d u N N d= =Ω

− ∇ ∇ Ω = − ∇ ∇ Ω∑∑∫ ∫( )

mkn G=

( ) .l l

m mnp k n

a N N d≡ ∇ ∇ Ω∫ ( )lm

n np pl k

u w d a u= =Ω

− ∇ ∇ Ω = −∑∑∫

Ensamble

( ')mkn G=

( ) ( ').m

m mk k np

N N d a∇ ∇ Ω→∫( )mkp G=

Elemento m: 1≤ k,k’ ≤ K

Desagregado

( ')mkn G=

( ) ( ')

m mk k

∂ ∂= Ω

∂ ∂∫

( )mkp G=

np np npa α β= +

( ) ( ')

m mk k

∂ ∂= Ω

∂ ∂∫

Normalización Integrales

( )( )( )

, 1, ,

ξ η ξ ηξ η ξξ η η

= − − = =

( ) ( )

( ) ( ), ,m

m mk k

F N x y d J F N dξ η Ω = Ω ∫ ∫

( )( ) ,m

F N x y d Ω ∫

( ) ( )1

, mk k

kx N xξ η

( ) ( )1

, mk k

ky N yξ η

( )( )

m mx xmm my y

x xl lx y

Jl ly y

ξ ηξ η

∂ ∂∂ ∂ ∂

≡ = =∂ ∂∂∂ ∂

12 (2) (1)

13 (3) (1)

12 (2) (1)

13 (3) (1)

m m mx

m m my

≡ −

Normalización Integrales

Cálculo de Integrales

( ) ( ')

m mk k

∂ ∂= Ω

∂ ∂∫

( ) 1 3 ( ) 1 2 ( )m m mk y k y k

N l N l Nx ξ η

∂ ∂ ∂= −

∂ ∆ ∂ ∆ ∂

(1) (1)

(2) (2)

(3) (3)

∂ ∂= − = −

∂ ∂∂ ∂

= =∂ ∂∂ ∂

= =∂ ∂

( ) ( ') ( ) ( ')

m m m mmk k k km

N N N NJJ dx x x x

α∂ ∂ ∂ ∂

= Ω =∂ ∂ ∂ ∂∫

m mx xm mm my y

l l∆ ≡ =

213 1212 13

m mmy y m m

np y ym m m

l lJ l lJ

= − + = − ∆ ∆

(1) 13 12m m m

y ym m

N l lx

∂= − +

∂ ∆ ∆

(2) 13m m

∂ ∆(3) 12m m

∂= −

∂ ∆

(1)mn G=

(1)mp G=

Cálculo de Integrales

Segundo Término

( ) ( ) ( ) ( )( , , )m m m mk k k kf f x y u≡

1( , , ) ( , , )

mf x y u f x y u

( ) ( )1

( , ) ( , )( , , )

0 ( , )

Km m mk km

kN x y f si x y e

f x y usi x y

mkn G=

( )l l

m mnp k n

N N dγ ≡ Ω∫( )

lmkp G=

n np pl k

fw d fγ= =Ω

Ω =∑∑∫

Segundo Término

( ) ( )( ) ( , )b b b

r rrq q x y≡

1( , ) ( , )

bq x y q x y

( ) ( )1

( , ) ( , )( , )

0 ( , )

R bb bb r r

rN x y q si x y g

q x ysi x y

Tercer Término

bkn G=

( )l l

b bnt r n

N N dγ ≡ Ω∫( )

lbrt G=

n nt ts r

qw d qγ= =Γ

Γ =∑∑∫

Tercer Término

Resultados

Método u1 u2

Dif. finitas 0,05609 0,06891

RP-Momentos 0,05433 0,06888

RP-Galerkin 0,05540 0,06805

EF-Galerkin 0,05494 0,06751

Analítico 0,05550 0,06820

Primer problema: 1/ 3x∆ =

Problema Base

Elementos Finitos – Problemas ElípticosFormulación Variacional

2 ( , , ) 0 u f u x y en∇ + = Ω

= Γ∂

u clase C2

( ) ( )

u f wd u u wd

u q wdn

∇ + Ω+ − Γ

∂ + − Γ = ∂

∫ ∫

Formulación Débil

. 0u wd fwd qwdΩ Ω Γ

− ∇ ∇ Ω+ Ω+ Γ =∫ ∫ ∫

(caso particular)

Variación débil:w uδ= 10 u sobreδ = Γ

( , , ) ( , )f u x y u g x y= +

Formulación Variacional

( ) ( ) ( ) ( )2

2 21 1 02 2

u u ug d qu dδ δ δ δΩ Γ

− ∇ + + Ω+ Γ = ∫ ∫

Funcional:

0Iδ =

2 21 1( )2 2

I u u u ug d qudΩ Γ

= ∇ − − Ω− Γ ∫ ∫

Función Aproximante

Elementos Finitos – Problemas ElípticosMétodo de Ritz

2 21 1( )2 2

= ∇ − − Ω− Γ ∫ ∫

1( , )

u x yα φ=

=∑Aproximación:

(satisface condiciones de borde geométrica)

Planteo

0Iδ =

αi son las incógnitas; método modal

0, 1, 2...i

I i Nα∂

= =∂

Segundo Problema 1D

2 0 (0,1)d u u x endx

+ + = (0) 0 (1)duu qdx

1 1( ) (1)2 2

duI u u ux dx qudx

= − − −

2 21 1( )2 2

= ∇ − − Ω− Γ ∫ ∫

(0) 0u =

Solución

0 ( ) ( )x sen xφ = 1( )x xφ =

1 2( ) ( )u x sen x xα α= +

0I Iα α∂ ∂

= =∂ ∂

( )( ) (1 )cos(1)sen xu x q x= + − (solución exacta)

Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización del Funcional

Se procede en forma análoga al caso de partida desde la

formulación débil

Segundo Problema 1D

1( , ) ( , )

mu x y u x y

( ) ( )1

( , ) ( , )( , )

0 ( , )

Km m mk km

kN x y u si x y e

u x ysi x y

funciones de forma( ) :mkN

Planteo

1 2( , ... )NI u u u

0, 1, 2..n

I n Nu∂

= =∂

Primer Término

( )2( ) ( ') ( ) ( ')

1 1 .2 2m m

K Km m m mk k k k

k ke e

u d u u N N d= =

∇ Ω = ∇ ∇ Ω∑∑∫ ∫

mkn G=

( ) .m

m mnp k n

a N N d≡ ∇ ∇ Ω∫

( )mkp G=

np pkn e

u d a uu =

∂∇ Ω =

∂ ∑∫

( )21( )2

I u u dΩ

→ ∇ Ω ∫

Sistema Discreto

Resulta idéntico al obtenido desde la formulación débil con el método de Bubnov-Galerkin

Problema Base

Elementos Finitos – Problemas ElípticosProblemas de Capa Límite

u u u uU Vx y x y

ν ∂ ∂ ∂ ∂

+ = + ∂ ∂ ∂ ∂

. . 0, ( , )n nu w d U u wd U U VνΩ Ω

∇ ∇ Ω+ ∇ Ω = =∫ ∫

1( , ) ( , )

mu x y u x y

( ) ( )1

( , ) ( , )( , )

0 ( , )

Km m mk km

kN x y u si x y e

u x ysi x y

Funciones de Peso

( ) ( ) ( , )( , )

0 ( , )

m m mk k

nN h N si x y e

w x ysi x y

α+ ∇ ∈=

∈ lme

Método de Petrov-Galerkin: SUPG

mkn G=

Caso 1D

2 , 0 ,

(0) , ( )o L

d u duU x Ldx dxu u u L u

ν = < <

Solución cerrada:

( ) 11

u x u eu u e

− −=

− −ULPeν

Formulación Débil

dwdu duU w dxdx dx dx

ν + = ∫

(1)(1)

dNN x si x x

dxw xdN

N x si x xdx

−−+ ∆ <=

+ ∆ >

Funciones de Forma

(2) 1 1(2) (1)

x xN x

−−

− −

−(2)

(1)(2) (1)

x xN x

x x−

1 1(2) (1)

si x xx xdw

dx si x xx x

− −

< −= − > −

(igual que Bubnov-Galerkin)

Ecuación Ensamblada

( ) ( )1 1 1 112 2 0n n n n nu u u u u

Pgα + − + −

+ − + − − =

U xPgν∆

Si α = 0: método centrado → inestabilidad

Si α = 1/2: upwinding (U > 0)

Valor Óptimo del Parámetro

1 1 1 coth( ) : 2 coth( )2

Si Pg PgPg Pg

= − + =

1 / 211 / 2

PgPgu u

u u PgPg

+− −− =

− +− −

(solución numérica exacta)

ELEMENTOS FINITOSPROBLEMA EVOLUCIONARIOS

Análisis Numérico IIElementos Finitos – Problemas Evolucionarios

Problema Base

Elementos Finitos – Problemas EvolucionariosProblema Base

2 ( , , ) , 0uS u f u x y en tt

∂= ∇ + Ω >

Discretización Espacial

Elementos Finitos – Problemas EvolucionariosDiscretización Espacial

[ ] duC K u rdt

K: matriz de rigidez

C: matriz de atenuación

2 ( , , )uS u f u x yt

∂= ∇ +

Discretización Temporal

Elementos Finitos – Problemas EvolucionariosDiscretización Temporal

Método explícito de diferencias finitas:

[ ] duC K u rdt

[ ] [ ]

1n nn nu u

C K u rt

= +∆

Despeje

Elementos Finitos – Problemas EvolucionariosDespeje

[ ] [ ] [ ]( ) 1n n nC u K t C u t r+= ∆ + + ∆

Todavía acopladas!!!

Concentración de masa:

ij iij

→∑ 0 ijc si i j→ ≠

C diagonal ⇒ desacoplada

(pérdida de consistencia)

VOLUMENES FINITOSPROBLEMA ELIPTICOS

• Discretización• Elección del Volumen de Control• Capa Límite

Volúmenes Finitos – Problemas ElípticosDiscretización

Igual que con elementos finitos

Discretización de la Función

( ) :mkn G= ( )

mn ku u≡

:nu valores nodales (incógnitas)

Método nodal

Conduce a “esquemas del vértice de celda”

1( , ) ( , )

mu x y u x y

( ) ( )1

( , ) ( , )( , )

0 ( , )

Km m mk km

kN x y u si x y e

u x ysi x y

Función de Peso

:nw tantas como incógnitas

1 ( , )( , )

0 ( , )

nsi x y

w x ysi x y

∈Ω=

ml: elementos que contienen nodo n, 1≤ l ≤ Ln

Ln: cantidad de elementos

Ωn: constituye nueva subdivisión del dominio

Primer Término

nuu w d dnΩ Γ

∂− ∇ ∇ Ω = Γ

∂∫ ∫Se convierte en el flujo de la cantidad u

a través de la frontera de Ωn

Entonces, se garantiza la conservación de la cantidad u

Ω = Ω

Si y cada segmento de Γncomún a dos elementos

Segundo y Tercer Término

nfw d fdΩ Ω

Ω = Ω∫ ∫

nqw d qdΓ Γ

Γ = Γ∫ ∫

Volumen de Control

Volúmenes Finitos – Problemas ElípticosElección del Volumen de Control

nu discontinuo sobren∂

Cálculo de la Derivada

( )( )

1m mn n

mm Kk m

Nu u un n n=Γ Γ

∂∂ ∂= =

∂ ∂ ∂∑

( )( )

1m mn n

ll Kk l

Nu u un n n=Γ Γ

∂∂ ∂= =

∂ ∂ ∂∑

n in ex

u u un n nΓ

∂ ∂ ∂= + ∂ ∂ ∂

( )( )

si G nhN

n si G nh

− =∂ = ∂ ≠

( )( )

si G phN

n si G ph

=∂ = ∂ − ≠

Desventaja del Volumen de Control

• Involucra nodos no vecinos a n:• Aumenta el ancho de banda• Elimina posibilidad de ensamble

Otro Volumen de Control

Ω ⊂

nu continuo sobren∂

( )( )

1m m mn n n

mm Kk m

Nu u un n n=Γ Γ Γ

∂∂ ∂= =

∂ ∂ ∂∑

Involucra sólo nodos vecinos a n

( )( )

si G nhN

n si G nh

− =∂ = ∂ ≠

1,2r =

Primer Término

∂→

∂ ( )mkp G=

n np pp

u w d a u=Ω

− ∇ ∇ Ω =∑∫

nuu w d dnΩ Γ

∂− ∇ ∇ Ω = Γ

∂∫ ∫

( )( )

mm mnrnr nr

mKkm m m

n n kk

Nu ud s s un n n=ΓΓ Γ

∂∂ ∂Γ = =

∂ ∂ ∂∑∫

Normalización de Integrales

( )( )( )

, 1, ,

ξ η ξ ηξ η ξξ η η

= − − = =

m mn nr r

x yu u ud n n dn x y

∂ ∂ ∂Γ = + Γ ∂ ∂ ∂

∫ ∫

13 12m my yl lu u u

x ξ η∂ ∂ ∂

= −∂ ∆ ∂ ∆ ∂

13 12m mx xl lu u u

y ξ η∂ ∂ ∂

= − +∂ ∆ ∂ ∆ ∂

12 13 13 12m m m mx y x yl l l l∆ ≡ −

12 13m m

x y yn d l d l dξ ηΓ = +

12 13m m

y x xn d l d l dξ ηΓ = − −

12 (2) (1)m m mxl x x= −

13 (3) (1)m m mxl x x= −

12 (2) (1)m m myl y y= −

13 (3) (1)m m myl y y= −

∂∂=

∂ ∂∂∂

=∂ ∂

(1) (1)

(2) (2)

(3) (3)

∂ ∂= − = −

∂ ∂∂ ∂

= =∂ ∂∂ ∂

= =∂ ∂

[ ] [ ] [ ] [ ]2 (2) 3 (3) 2 3 (1)mn

m m m mm m mn n n n

u d a u a u a a un

∂ Γ = + − + ∂∫

[ ]2 123 13m m mn n n

a ξ ηα α ≡ Ψ + Ψ

ndξ ξ

Ψ ≡ ∫

dη ηΓ

Ψ ≡ ∫

( )2 212 12 12

1m m mx yl lα = +

[ ]3 12 123m m mn n n

a ξ ηα α ≡ − Ψ − Ψ

( )2 213 13 13

1m m mx yl lα = +

( )123 12 13 12 131m m m m m

x x y yl l l lα = +∆

(1) (2)

nI nIIn

d dξ ξ ξΓ Γ

Ψ = + ∫ ∫

nI nIIn

d dη η ηΓ Γ

Ψ = + ∫ ∫

(1)mn G=

1/ 2 1/3

d dξ ξ ξ Ψ = − − = − ∫ ∫1/ 2 1/3

d dη η η Ψ = + = ∫ ∫

(2)mn G=

(3)mn G=

1/ 2 1/ 2

1/3 1/3

d dξ ξ ξ Ψ = − + = ∫ ∫1/ 2 1/3

d dη η η Ψ = − − = − ∫ ∫1/3 1/ 2

( ')0 1/3

d dξ ξ ξ Ψ = + = ∫ ∫1/ 2 1/ 2

1/3 1/3

d dη η η Ψ = − + = ∫ ∫

Problema Base

Volúmenes Finitos – Problemas ElípticosCapa Límite

u u u uU Vx y x y

ν ∂ ∂ ∂ ∂

+ = + ∂ ∂ ∂ ∂

. . 0, ( , )n nu w d U u wd U U VνΩ Ω

∇ ∇ Ω+ ∇ Ω = =∫ ∫

Término Advectivo

nU u wd U ud

∇ Ω = ∇ Ω

= ∇ Ω

∫ ∫

Discretización Centrada

( ) ( )1

mr nrmnr

Km m mn k k

kud s N u

Γ = ∑∫

( ) m rnr

m mk n npU N s a⊥ Γ

→ ( )mkp G=

( ) ( ) ( , )m r rnr

m m m mk k n nN N x y

Upwinding

( ) ( )1

Km m mn k k

m m mn k kn

s N u si Uud

s N u si U

+ ⊥Γ=

>Γ = <

∑∫

( ) ( ) ( , )m r rnr

m m m mk k n nN N x y

( ) ( ) ( , )m mk k n nn

N N x y=

ELEMENTOS DE CONTORNOPROBLEMA ELIPTICOS

Análisis Numérico IIElementos de Contorno – Problemas Elípticos

ELEMENTOS DE CONTORNOPROBLEMA ELIPTICOS

Análisis Numérico IIElementos de Contorno – Problemas Elípticos

• Formulación Integral• Discretización• Formulación Indirecta• Discretización de Formulación con fuentes

Problema Base

Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Integral

2 ( , , ) 0 u f u x y en∇ + = Ω

= Γ∂

u clase C2

( ) ( )

u f wd u u wd

u q wdn

∇ + Ω+ − Γ

∂ + − Γ = ∂

∫ ∫

Integración por Partes

u u sobre Formulacion debil

uu wd fwd w dn

uu u wd q wdn

Ω Ω Γ +Γ

∂− ∇ ∇ Ω+ Ω+ Γ

∂ + − Γ + − Γ = ∂

∫ ∫ ∫

∫ ∫

Segunda Integración por Partes

∂=∂

1 2 1 2

w uu wd fwd u d w dn n

uu u wd q wdn

Ω Ω Γ +Γ Γ +Γ

∂ ∂∇ Ω+ Ω− Γ + Γ

∂ ∂

∂ + − Γ + − Γ = ∂

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

uu wd fwd w d wqdn

w wu d u dn n

Ω Ω Γ Γ

∂∇ Ω+ Ω+ Γ + Γ

∂ ∂− Γ − Γ =

∂ ∂

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

Segunda Integración por Partes

Formulación Integral

Caso particular: ( , , ) ( , )f u x y u g x yα= +

u wd fwd

u w w d gwdαΩ Ω

∇ Ω+ Ω

= ∇ + Ω+ Ω

∫ ∫

2 α∇ +Operador:

Solución Fundamental

(2)* 0

1( , ; , ) ( )4P Pu x y x y H ri

2* * ( , )P Pu u x x y yα δ∇ + = − − −

2 2( ) ( )P Pr x x y y= − + −

* 0 u para r→ →∞

Función de Peso

( )2* *

( , ) si interior a 1 ( , ) si sobre 2

0 si exterior a

u x y P

u u u d u x y P

− Ω∇ + Ω = − Γ

Formulación Integral Directa

1 ( , )2 P P

u uu x y u d u dn n

ugu d u qd u dn

Ω Γ Γ

∂ ∂− + Γ − Γ

∂ ∂

∂= − Ω− Γ + Γ

∫ ∫

∫ ∫ ∫

Ecuación integral para u sobre Γ2y ∂u/∂n sobre Γ1

** *( , )P P

u uu x y g ud u d u dn nΩ Γ Γ

∂ ∂= Ω+ Γ − Γ

∂ ∂∫ ∫ ∫

Solución en el interior de Ω:

Función de Green

2 ( , )P PG G x x y yα δ∇ + = − − −

1( , ) 0 G x y sobre= Γ

2( , ) 0 G x y sobren

∂= Γ

( , )P Pu Gu x y gGd G d u dn nΩ Γ Γ

∂ ∂= Ω+ Γ − Γ

∂ ∂∫ ∫ ∫

Punto P en el interior de Ω

Elementos de Contorno – Problemas ElípticosDiscretización

1 ( , )2 P P

u uu x y u d u dn n

ugu d u qd u dn

Ω Γ Γ

∂ ∂− + Γ − Γ

∂ ∂

∂= − Ω− Γ + Γ

∫ ∫

∫ ∫ ∫

Ecuación integral para u sobre Γ2y ∂u/∂n sobre Γ1

Método panel:• Elementos: segmentos de recta• Valores de u y ∂u/∂n constantes sobre cada

elemento

Discretización de la Ecuación

i j jj j

uu u d q d un

ugu d qn

= =Γ Γ

∂ − + Γ − Γ ∂

∂+ Ω = ≡

∑ ∑∫ ∫

1≤ i ≤ N, N : cantidad de elementos

Ecuaciones Algebraicas

ij j ij j ij j

G q H u B= =

− + =∑ ∑

ij ijG u r dΓ

= Γ∫

( )* 12

ij ij ijuH r dn

∂= Γ +

∂∫

( )*i iB gu r dΩ

= Ω∫

Incognitas

ij j ij j ij j

G q H u B= =

− + =∑ ∑

uj sobre Γ2 y qj sobre Γ1

Solución en el Interior

kjk kj j j ij j

u G q H u B= =

= − +∑ ∑

kj kjuH r dnΓ

∂= Γ

∂∫

Cálculos

0iiH =

( )1 ln

d semi longitud de segmento iπ

( )*1 m

B gu r d= Ω

∑ ∫

Problema Exterior

Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Indirecta

2 ' ' 0u uα∇ + = ', en exterior aΩ Ω

'' ' 0' '

u wu w w d w d u dn n

αΩ Γ Γ

∂ ∂∇ + Ω+ Γ − Γ =

∂ ∂∫ ∫ ∫

2u u gα∇ + = − en Ω

*w u= P sobre Γ

1 ''( , ) ' 02 ' 'P P

u uu x y u d u dn nΓ Γ

∂ ∂− + Γ − Γ =

∂ ∂∫ ∫

' 0 u para r→ →∞

Formulación con Fuentes

Distribución de elementos sobre Γ para representar efecto del exterior Ω’

u continuo a través de Γ

∂u/∂n discontinuo a través de Γ

Ecuación Integral

1 ''( , ) ' 02 ' 'P P

u uu x y u d u dn nΓ Γ

∂ ∂− + Γ − Γ =

∂ ∂∫ ∫

1 ( , )2 P P

u uu x y u d u dn n

ugu d u qd u dn

Ω Γ Γ

∂ ∂− + Γ − Γ

∂ ∂

∂= − Ω− Γ + Γ

∫ ∫

∫ ∫ ∫

* *( , )P Pu x y u d g udσΓ Ω

− + Γ = − Ω∫ ∫'u u

n nσ ∂ ∂= −∂ ∂

Sistema de Ecuaciones Integrales

Incógnita: σ sobre Γ

− + Γ = − Ω∫ ∫* *( , ) 1 ( , )

P PP P P

u x y u ud x y g dn n n

σ σΓ Ω

∂ ∂ ∂− + Γ − = − Ω

∂ ∂ ∂∫ ∫

P sobre Γ1

P sobre Γ2

** *( , )P P

u uu x y g ud u d u dn nΩ Γ Γ

∂ ∂= Ω+ Γ − Γ

∂ ∂∫ ∫ ∫

' ' 0' '

u uu d u dn nΓ Γ

∂ ∂Γ − Γ =

∂ ∂∫ ∫

* *( , )P Pu x y g ud u dσΩ Γ

= Ω+ Γ∫ ∫

Formulación con Fuentes

Elementos de Contorno – Problemas ElípticosDiscretización de Formulación con Fuentes

Ecuación integral para σ sobre Γ

− + Γ = − Ω∫ ∫* *( , ) 1 ( , )

P PP P P

u x y u ud x y g dn n n

σ σΓ Ω

∂ ∂ ∂− + Γ − = − Ω

∂ ∂ ∂∫ ∫

P sobre Γ1

P sobre Γ2

Método panel:• Elementos: segmentos de recta• Valores de σ constantes sobre cada

elemento

Análogo que para formulación directa

Ecuaciones Algebraicas

ij j i ij

G B uσ=

+ − =∑

ij ijG u r dΓ

= Γ∫ ( )* 12

ij ij ijP

uF r dn

∂= Γ −

∂∫

( )*i i

uC g r dnΩ

∂= Ω

∂∫

ij j i ij

F C qσ=

+ − =∑

( )*i iB gu r dΩ

= Ω∫

i sobre Γ1

i sobre Γ2

k kj j ij

u G Bσ=

= +∑

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