View
248
Download
4
Category
Preview:
Citation preview
Gheorghe Andrei
Nelu Chichirim Andrei Velicu
ANALIUA MATAMATICA
Culegoro de prohleme
Confinuitafe, Proprletatoa lui Darboux,
ll{"} */{v}' {Al**pN
#,ffiYP-* F
EDrruRA DtDAcflcA gt pEDAGoctcA, R.A.
Cuprins
I Capitolul I.1.1 Exercilii qi probleme de continuitate
1.1.1
7.7.2
1.1.3
1.2 Soluliir.2.7
7.2.2
r.2.3
Capitolul II2.7 Probleme de continuitate
II9
16
18
27
2T
31
35
4t4T
49
65
b5
77
86
86
95
118
118
t23
137
2.2 Solutii
Capitolul III.3.1 $iruri qi continuitate3.2 Solutii
Capitolul IV.4.1 Convergenta qi limita unor giruri date implicit prin intermediul unei
functii continue
4.2 Solutii
Capitolul V5.1 Limite d
5.2 Solulii
6 Capitolul VI.6.1 Determinarea functiilor continue date printr-o relalie func{ionald de o
variabilS 137
6.2 Solu{ii ......1516.2.\ ......L62
7 Capitolul VII. 2027.7 Determinarea funcliilor continue date printr-o relalie funclionalS de
dou[ sau mai multe variabile 202
7.7.1 Ecualii funclionale 202
7.2 Solutii ......2187.2.1 ......218
8 Capitolul VIII zEL8.1 Continuitate. Proprietatea lui Darboux 2Sl
8.1.1 Unele elemente teoretice 2bl8.2 Solu{ii ......267
8.2.1 ......267
9 Capitolul IX. Zgz9.1 Funclii continue, puncte fixe, puncte intermediare, proprietdli de mdrginire
(nemdrginire) 2g29.2 Solutii ......308
10 Capitolul X. 94410.1 Ecualii qi continuitate 3441O.2Solu!ii ......348
11 Capitolul XI.11.1 Continuitate qi monotonie11.2 Solutii
356
356
361
12 Capitolul XII. g7g
12.1 Compunere qi continuitate JTg
12.2Solu!ii ......384
13 Capitolul XIII.13.1 Functii periodice, funclii convexe(concave), probleme de extrem .
13.1.1 Functii periodice
13. 1.2 Convexitate(concavitate) gi continuitate13.1.3 Extremele func{iilor continue
13.2 Solulii13.2.7
14 Capitolul XIV 4Zb14.1 Problemediversedecontinuitate ...... 42514.2Solu!ii ......430
15 Capitolul XV. 44g15.1 Functiiuniformcontinue ...... 448
15.1.1 Elementedeteorie .... 44J15.1.2 Exerciliiqiprobleme .... 446
l5.2Soiu{ii ......44815.2.r ......448
399
399
399
402
403
405
405
15.2.2 ......452
16 Capitolul XVI. 4Ez16.1 Problemepropuse ..... 4Sz
17 Bibliografie 461
Capitolul I.
1.
1.1 Exercitii qi probleme de continuitate
1.1.1
Sd se determine o,b € JR, astfel incdt funcliile f ,g,h,z: IR -+ iR sd fie continuepe IR.
( '/i2i*2-r. rlI(a)/(r) :i . ";rI bir+i, "t]7( z"-"* r 12(b) o(r) : I r-2 )
lln(br+4)-r. r)2\'( 2(/r x_a),
z ( o(c) h(r):i "I b.e"-2, r)0\( v';z-r*-b *rt
(d) u(r) :{ x2-3t*2' "_::[ -a' r:L
Sd se determine parametrtl m e IR astfel inc6,t functiile de mai jos sd fie continuepe lR.
( z*-vq7n-nn+I, rlII(u)/("):{ '/r-T+'/^2*2, t1r12'I
I lr' - 4mr I 4m2 +mt/Sr -5, r ) 2
(b) g(,) : { ,-:: _;);:::,*rr, :::
(c\ h(r\ : ['"t'(x2 +lml)' r 12\-/ '\'"'
I losn (r2 +m2)2, r >2
S5 se determine a,b e lR astfel incAt funcliile / : 1R -+ lR sd fie continue pe 1R..
( 2"" .30t, r I r(u)/(') :{ t2, r:l
I
[ 2r-a'.3at-t, r]I( to, .00". r < 1
(n)/(r) :{ 18, r:1I s"" 12n" _ 22br), r > 1
( r",.J4'+6o,, r.,-l(c) /(r) :{ 12, r:r
I
|. 20".3"'+6b". r]l( r"'*4b*-4, r.-r
(d) /(r) : { ar3 +br2 - (7a+3b)(z-1), Iz-r 12I
I zo'+4o'-r8, n]2
3.
4. Sd se determine parametrii a,b,c € lR astfel inc6,t funcliile de mai jos sd fiecontinue pe domeniul de definitie, unde /, g, h : JR -+ IR.
( a -2JttI ----7_l-r r<l(u)/(r) :{ ":;;, r:r
I
|. ("' - 2c-2)r * (bc-3)logr- 1, r > I( ?/l'+8m-b oz1| ;t_--a+s;2. :r 1 r
(b) e(r) : { 3, r: II h12+3"-t =;z_;#, r)l( l:":r:, _l,l_:P,l _1"!,r_l . r < rI lz3-sz- 4l+33iz-4;+11' ' \
(c) h(z) :{ c, r:II vr;-,@-1l. ------:i__L' z)l
Sd se studieze continuititea funcgiilor:(") /'(0,*) -+ IR, /(r) : [lnz];(b) s '
IR -+ 1R., s@) : lrlsinm;(c) h:R-+1R,h(u) :{ "t+l ' *+2,o€lR;
I a,, r:0 '
(d) t : R. -+ 1R., t(z) : frlsinnn2;(e) tr : IR. -+ lR, z(r) : lnlcosrr2;(f) T.' : R -+ IR, 'u(z) :2lr] - cosSzi{r}.
5.
6. Fie funclia / : IR. -+ R, "f(r) : (-t)t"t (n t a [f] + b)
Sd se determine constant ele a,b e iR, astfel inc6,t func{ia sd" fie continu d. in n : 2
qi sd fie periodicS, cu perioada principalS, T :6.
10
7. Fie / : JR -+ R qi V(0) o vecindtate a lui zero. Sd se arate cd:
(a) Dacd lf @) - *l 1r',Yr e V(0), atunci / este continud, in r:0 gi sd se
calculeze lim- 9; (V(0) o vecin5tate a lui zero).z--+0 J '
(b) Dacd lf @) - sinzl ( lrl2,Yr € y(0), atunci / este continud in r:0 $i sd
se calculeze 1it r /(') '"- -*--*-.-.-.- ;;b r '(c) Dacd, lf @) - In(1* l"l) - l"ll l r', Vr e I/(0), atunci / esre continu5 inr : 0 $i sd se calculer" lgl #,(d) DacA lf @) - coszl { r2lsinrl, Vr e 7(0), atunci./ este continud in r:0qi sd, se catcuteze j* +n(e) Dacd lf @) - rsinzl < l"lt, Vr e I/(0), atunci / este continud in z:0 Ci
sil se calculeze lim "f(') ,i lim /9:z--+0 / 'z--+0 f,-
(f) DacA lf @) + cosr - 2'1112, Vr e V(0), atunci / este continud in r :0 $isd se calcule"" 1i^ f @) '
'r-+0a)(g) Dacd 13 - 12 < f (") < rr +r,Yr € 1R., atunci / este continud in r:0.Exist a 11,,' "r(*)-1(o)2
J--+o J-u(h) Dacd lf @) - cosrl ( lsinzl, Vr e IR, atunci / este continud,in r:0.(i) Dacd lf @) -2rl < r.arctg(z), Vr € JR, atunci / este continu5 in r:0 qi
sd se calculeze lim /(")-{(o).r+0 tr-r'
(j) DacA lf @) - e'l I 2r2, Vr € IR, atunci / este continud qi derivabild in r : 0
gi sd se calculeze /'(0).(k) Dacd lf @) - arctg(r)l !l*t -3rI2l, Vz € JR, atunci / este continud inz:1Di sd se calculer"
Jry, /(4-/trt.
(l) Dacd lf@) - (r2 - 3r+ 2)l < @ - 2)',Vr e IR., atunci / este continud inr :2 gi sd se calculet" I\irlJ#2
8. Fie / : f0, 1] -+ lR o funclie care satisface relalia: lf @) - arcsinel < 12,Yr € 10,
11. Sd se arate cd / este continud in z :0. Existd j31 Ai=#Et
11
9.
10.
Fie / : 10,2] -+ lR o func{ie.(a) Dacd / satisface relalia: lf @) - rl < | In r * r - 11, Vr, sd se arate cd / estecontinuS,inr:1;(b) Dacd / satisface rela{ia: llnzl - l"- 1l < f@) - I < lr- 1l - llnrl, sd se
arate cd / este continud in r: 1. Existd lyril|ffPtFie func{iile f ,g , D -+ lR. continue.
Sd se arate cd urmdtoarele funclii sunt continue:(a) u(r): max {f (*),s@)h(b) o(z) : min {/(r) , s@)};(") f+("): max {f ("),0}, funclia parte pozitivd a lui /;(a) /-(") : min {f (r),0}, funclia parte negativd a lui /.SX se determine relaliile intre fi, f - qi f .
astfel incAt func{iile de mai
1), r17, r)1)r2-(zm*6)r,
- 3)r - 7mr,
11. Fie / : JR -+ IR. Sd se determine parametrul rz € lR.
jos sd fie continue pe lR..((a.t f(r\:) 2m:trmax{mr'l-*}' r/-2
| ^*-mit{mr,I-*}, r}2( *-
(r) /(") :{r*min{r'2mrt3}' r.--r\ /'\-' l**'*max{r2,mr_ l}, r}l(
(c) f(r):J mrlrr,ax{mr'2r-rl' r'-2| 3mr - min {mr,3r - 2}, n ) 2
(d) f(z) :[ *'*max{mr,2r-l}, r1mI max{mrll,2r}, n>m
(e) f(z) : [ -n*" * max {*'*' + (m - 7)r,2n -| *"'- min {*,, + 2mr - 3,mr - l}( tz* - 3)r * max{m3r3 + (2m2 - 5m
ff\ r(r\ : ) 3mr - 2j ,r 11
| **' + (m - 3)r - min{m3r2 + 2(^2
\ 2mrim-3j ,r)I
12
12. Se considerd funclia / : JR. -+ IR, "f (r) : 12 - 1 qi se definesc funcliile:
(u) s(") :min{,f(t) lt<*};(b) h(r): max{/(t)(c) u(r): max{/(t)
r-I1t<*j;rltlr+1).
Sd se studieze continuitatea functiilor g,h,u.
13. Sd se studieze continuitatea functiilor:(a) /(r) :
" _,?,2i*r(t2 - 3t +2);
(b) g(r) : "_,?i& ,,(t'
- 3t +2).
14. (a) Sd se determine o € lR. astfel inc6,t funclia /, : IR. -+ IR. definitd prin
[ .,tp (3* - 2t - 7), dacd r € (-oo,2]f"(") :1 r1i;i;. 4t-t a), dacd re (2, oo)
\ t)r'
s5, fie continuS.
(b) Sd se determine rn € lR. astfel incAt funclia
I r,rp (3t2 * 2t * l), dacd r € (-oo,2]f-(r) :1 ":ff.](-r2
+ 8t * m), d,acd" re (2, oo)( r(t(r*l'
sX fie continud pe IR..
15. Fie / : (0,oo) -+ Z cuproprietatea 2f@) < " a21tf("),Vr > 0.
Sd se studieze continuitatea lui /.
16.* Sd se cerceteze continuitatea func{iei / : 1R -+ R, "f (r) : ,i!5 {*"}
17.* Fie func{iile f ,g , (0,e) -+ IR,
f
/(r) :l r' 1€(o'11 ' '| \ /(ln(r+l))/:\ "+t. r€(t.e) $re(rr:l.dTl(r)f
Determinali multimea punctelor de discontinuitate ale func{iei g.
18.** Fie (trt(r2to3,04 numere reale pentru care limita
' i) + *, {*. 3} . aa{rr}I : tim o1{z} + oz {z
+
este finit5, unde {.} reprezintd partea fraclionar5.
Ardta{i cd ar * oz I az * 3oa : g.
19.** Fie qirul de numere supraunitare (on)nrr, astfel incA,t,$ar:1.S5, se studieze continuitatea funcliei / : IR -+ IR,
"f (") : ,l55 {ro.}.
13
20. Fie / : IR. -+ R, "f (r) : [r] .{r}. S5, se arate cd / are limitd in fiecare punct finit
din IR.-Z qi nu are limitd in punctele din Z. Care este multimea de continuitate?
21.** Fie /:IR -+ R, ,f(") : [sinr]. Pentru fiecare n, € N* - {1} notbm cu S, suma
discontinuitdtiilor din intervalul 10, n] ale funcliei /.SX se calculeze _ryL+.
22. Fie / : IR. -+ R\([-1,0) U (0, 1]) o funclie definitd astfel: /(r) : (1 + r2)sgnr.(a) Se se arate c5 / este strict crescitoare, continud pe IR.* gi discontinud inr :0;(b) Sd se arate cX funclia /-i este continuS.
( ,-, .- r123. Fie /: lR -+ m, /(r) : i :' 'n ' 2r , unde notAm cu (r) distanqa dintre r
l\ 0 :r:iqi cel mai apropiat intreg de e.
Sd, se studieze continuitatea lui /.
24. Fie funclia / : IR. -+ R, "f (r) : (r I j) numitl rrfunclia de rotunjiretr.
(a) Sd se determine punctele de discontinuitate gi sd se traseze graficul funcliei;(b) Fie functia S@) : lf @) - zl,r e IR. SX se arate cd, g este periodicS, de
perioadd T: 1 qi este continu5 pe JR.
25. SA se arate c5, funclia lui Riemann / : IR + IR,
;r : T,m e Z,n € N*, (m,n) : 1
;r :0;n € IR\Q
este continud in orice punct irational.
26.*** Fie h: lR -+ IR. continud in z6 € 1R. qi func{ia / :lR. -+ R, ,f(") : lh(r)]. Se se
arate c5:
(a) Dacd h("0) 42, atunci / este continud in z6;
(b) DacX h(rs) e Z, atunci / este continud in re dacd gi numai dacd existd o
vecindtate V(rs) a lui zs astfel incAt h(V) C lh(rs),1 + h(zs)].
periodicS. S5 se studieze
,,", :{f
27.* Fie h : lR. -+ JR o functie continuS, neconstantd qi
continuitatea funcliilor:
(u) /,lR -+JR, f(r):{ n'+' ;"*2 .
[ 0 rr:0'
(b) s , lR -+ JR, g(r) : { *n'+' ;r + o
I o ;r:o
t4
Recommended