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AnalyseAnalyse
http://mathsv.univ-lyon1.frhttp://mathsv.univ-lyon1.fr
Dominique Allainé
LaboratoireBiométrie et Biologie Evolutive
Objectif général du Objectif général du courscours
Apprendre à utiliser le langage mathématique pour résoudre des situations où interviennent des phénomènes biologiques
Apprendre les concepts de base et se familiariser avec les usages et les significations de ces concepts en fonction de la situation biologique
DéterminismeDéterminisme et et HasardHasard
Peut-on prédire l’évolution Peut-on prédire l’évolution au court du temps d’un au court du temps d’un phénomène biologique ?phénomène biologique ?
0
20
40
60
80
100
120
0 1 2 3 4 5 6
Temps
No
mb
re d
'org
anis
mes
Etude de fonctionEtude de fonctionModéliser le
phénomène par une fonction
Déterminer les propriétés de la fonction
Interpréter en termes biologiques
0
20
40
60
80
100
120
0 1 2 3 4 5 6
Temps
No
mb
re d
'org
an
ism
es
Chapitre 1Chapitre 1
Fonctions - GénéralitésFonctions - Généralités
La température d’une souris (z) en laboratoire est approximativement
avec c constante
cz
La température d’un lézard (y) en fonction de la température de l'air à l'ombre (x) est
approximativement
y f x x
Application de dans qui à un point x de fait correspondre un point UNIQUE y = f(x) dans .
Fonctions polynômesFonctions polynômes Fonctions homographiquesFonctions homographiques Fonctions trigonométriquesFonctions trigonométriques La fonction logarithme népérien : La fonction logarithme népérien : lnln La fonction exponentielle : La fonction exponentielle : ee Fonctions puissancesFonctions puissances
Fonctions usuellesFonctions usuelles
PolynômesPolynômes
Polynôme Polynôme de degré 4de degré 4
Polynôme Polynôme de degré 3de degré 3
Trinôme Trinôme de degré 2de degré 2
Fonction Fonction linéairelinéaire
2f x ax bx c
f x ax b
3 2f x ax bx cx d
4 3 2f x ax bx cx dx e
2T aT b
Fonctions Fonctions trigonométriquestrigonométriques
cos sin f x a bx c dx
cosD t f t
La fonction logarithme La fonction logarithme népériennépérienMesurer la magnitude d’un tremblement de Mesurer la magnitude d’un tremblement de
terreterre
A: amplitude des oscillations,A: amplitude des oscillations, T: T: périodepériode
Japon 1906 Japon 1906 Chili 1960Chili 1960
M = ln(A/T)
A/T
La fonction exponentielleLa fonction exponentielle
btN ae
Croissance d’une population de Croissance d’une population de tourterellestourterelles
Au début du 20ème siècle, les populations de tourterelles turques ont envahi l’Europe d’Est en Ouest et arrivent en Grande Bretagne :1 lieu recensé en 1955… 501 en 1964
Fonctions puissancesFonctions puissances
mf x x m = 1.54
Fonction réciproque
1y f x x f y
yyfxy
DfDff
exfyx
DffDfx
ln)(
)(
)(
)(
1
R)(Df
f
Fonction composée
Plan d’étude d’une Plan d’étude d’une fonctionfonction
A.A. DDff
B.B. SymétrieSymétrie
C.C. Limites/continuitéLimites/continuité
D.D. AsymptotesAsymptotes
E.E. Sens de variation Sens de variation
F.F. Concavité/convexité Concavité/convexité
G.G. Tableau de variationTableau de variation
H.H. GrapheGraphe
f x
f x
A.A. Domaine de Domaine de définitiondéfinition
Df = Domaine de définition Ensemble de départ (ensemble des antécédents) = l’ensemble des x
f
f(Df ) = Ensemble d’arrivée (ou ensemble des images) = l’ensemble des y
2f x x
Fonction paire
3f x x
Fonction impaire
B.B. Symétrie : paire ou Symétrie : paire ou impaire ?impaire ?
Une fonction est continue en x0 si elle est continue à droite et à gauche en x0
C.C. Limite -Limite - Continuité Continuité
)()(lim00
xfxfxx
Théorème des valeurs Théorème des valeurs intermédiairesintermédiaires
Soit f continue sur [a;b]
0 , / 0f a f b c a b f c
C.C. Limite Limite - Continuité- Continuité
Si les valeurs successivement attribuées à une variable
s'approchent indéfiniment d'une valeur fixe, de manière à finir par en différer aussi peu que l'on voudra, alors cette dernière est appelée la
limite de toutes les autres.
Cauchy, 1821
Opérations sur les limitesOpérations sur les limites
Formes indéterminées
00
0
D.D. Asymptotes Asymptotes
Si Si il y a une asymptote verticale passant par il y a une asymptote verticale passant par xx = = xx00
Si Si il y a une asymptote horizontale passant par il y a une asymptote horizontale passant par y y = = ll
Si Si il y a une asymptote oblique d’équation il y a une asymptote oblique d’équation y y = = axax++bb
0
( )limx x
f xa
x
lim ( )x
f x
0
lim ( )x x
f x
lim ( )x
f x l
lim ( )x
b f x ax
si
AsymptotesAsymptotes
Si la courbe de Si la courbe de ff s’approche infiniment s’approche infiniment près d’une droite, celle-ci s’appelle une près d’une droite, celle-ci s’appelle une asymptoteasymptote
Asymptote oblique
Asymptote verticale
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