Ángulos de rectas paralelas cortadas por una transversal

Geometría

Ángulos de rectas paralelas

cortadas por

una transversal

2012

http://etc.usf.edu/clipart/index.htm

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Conceptos ya vistos:

Ángulos congruentes, ángulos suplementarios, ángulos opuestos por el vértice, propiedad transitiva, rectas paralelas, postulados, teoremasy definiciones de ángulos correspondientes y alternos.

http://etc.usf.edu/clipart/index.htm

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De la proposición 29 del primer libro de Los Elementos de Euclides se sabe que:

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces formarán ángulos correspondientes congruentes.

A

B

C

1

5

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(Hoy en día esto es un postulado.)

http://www.euclides.org/menu/elements_esp/01/proposicioneslibro1.htm

http://www.euclides.org/quien_era_euclides.asp

De la proposición 29 del primer libro de Los Elementos de Euclides se sabe que:

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces formarán ángulos conjugados suplementarios.

A

B

C

3

6

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(Hoy en día esto es un teorema.)

De la proposición 29 del primer libro de Los Elementos de Euclides se sabe que:

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces formarán ángulos alternos internos congruentes.

A

B

C

3

5

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(Hoy en día esto es un teorema.)

Dos rectas paralelas, A y B, son cortadas por una transversal, C.

A

B

C

3

5

7

Se sabe que los ángulos correspondientes, 7 y 3, son congruentes.Se sabe que los ángulos opuestos por el vértice, 5 y 7, son congruentes.

Si el ángulo 3 es congruente al 7, y el ángulo 7 es congruente al 5, entonces por propiedad transitiva, el ángulo 3 es congruente al 5.

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Hace ya más de 2 200 años, Eratóstenes utilizó la congruencia de los ángulos alternos internos de rectas paralelas, para encontrar la medida de la circunferencia de la Tierra.

http://www.windows2universe.org/people/ancient_epoch/eratosthenes.html&lang=sp

Es importante notar

que el conocimiento

de la forma del

planeta es anterior,

por muchos siglos,

al descubrimiento

de América.

http://etc.usf.edu/clipart/index.htm

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A continuación, una explicación simplificada del cálculo de Eratóstenes.Para una versión un poco más detallada, ir al final de la presentación.

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Tierra

Siena (Asuán)

Alejandría

Figuras no están hechas a escala.

Al saber que a mediodía en Siena una vara vertical no tenía sombra, Eratóstenes concluyó que estaba paralela a los rayos del Sol.

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Tierra

Siena (Asuán)

Alejandría

Figuras no están hechas a escala.

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Figuras no están hechas a escala.

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Figuras no están hechas a escala.

Rayos de sol

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Figuras no están hechas a escala.

Rayos de sol2

m∠2≈ de un círculo5

0

1

≈ 7.2º

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Figuras no están hechas a escala.

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Figuras no están hechas a escala.

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Figuras no están hechas a escala.

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Figuras no están hechas a escala.

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Figuras no están hechas a escala.

2

4

6

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Figuras no están hechas a escala.

2

2

2

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Figuras no están hechas a escala.

2

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Figuras no están hechas a escala.

2

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Figuras no están hechas a escala.

2

m∠2≈ de un círculo5

0

1

Distancia de Siena a Alejandría ≈ 925.4 km

925.4 x 50 = 46 270

Circunferencia real = 40 030.2 km

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http://bligoo.com/media/users/0/13369/images/public/195/ERATOSTENES-1.JPG?v=1257529072850

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Una vez haya estudiado todos los pares de ángulos formados por dos paralelas y un transversal, puede ejercitar en las siguientes direcciones:

http://www.algebralab.org/lessons/lesson.aspx?file=Geometry_AnglesParallelLinesTransversals.xml

http://www.proprofs.com/quiz-school/story.php?title=parallel-lines-transversals

http://www.math10.com/en/tests/angles/angles-test.html

http://www.onemathematicalcat.org/Math/Geometry_obj/parallel_lines.htm

http://www.mathsisfun.com/geometry/parallel-lines.html

http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/angulos-interiores-alternos.html

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Libros recomendados:

Mathematics: From the Birth of Numbers, Jan Gulberg, 0-393-04002-X

Elements, Euclides, 978-1-888009-19-4

Geometría plana y del espacio, J. A. Baldor, 968-439-214-1

A Short Account of the History of Mathematics, W. W. R. Ball, 1-4027-0053-9

Euclid’s Window, Leonard Mlodinow, 0-684-86524-6

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Por el año 230 A.C., Eratóstenes supo que en la ciudad de Siena al sur de Egipto, los rayos del Sol penetraban, sin iluminar las paredes, hasta el fondo de un pozo profundo en la isla Elefantina en el Nilo.Asumió que Siena estaba situada en el Trópico de Cáncer y que estaba al sur de Alejandría. Lo cierto es que Siena está aproximadamente a 3 grados al este de Alejandría, pero esto no afecta realmente las mediciones.En Alejandría, midió el ángulo de incidencia de los rayos del Sol con un instrumento llamado “escafo” (scaphe).

http://fabian.balearweb.net/post/79707http://teacher2.smithtown.k12.ny.us/sgessler/measuringearth.htm

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De la medición de esta sombra Eratóstenes dedujo que el arco de la superficie la Tierra entre Alejandría y Siena debía ocupar 1/50 de la circunferencia de la Tierra por ese meridiano.

Calculó entonces la circunferencia de la Tierra, 50 x 5000 = 250 000 estadios.El método es válido, pero la mayoría de sus datos eran inexactos o pura adivinanza.

Adaptado y traducido de: Mathematics: From the Birth of Numbers by Jan Gulberg.

*Unidad de longitud griega que equivalía a unos 185 metros, la longitud del estadio de Olimpia.

Sin conocimiento de la trigonometría, nadie sabía la distancia exacta entre Alejandría y Siena en esos tiempos.

Sin embargo, Eratóstenes había escuchado de caravaneros que el viaje tomaba cerca de 25 días. Asumió entonces que la distancia era de 5 000 estadios*.

¡Buena

suerte!

Si tiene alguna duda o encuentra algún error, le agradeceré se comunique a:

jorgeruizdevignaspre@gmail.com