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TFC y aplicaciones Una aplicación más
Aplicaciones del
Teorema Fundamental del Cálculo
MEng. Alejandro Arceo
Institución: ITC
Cálculo Integral
Villa de Álvarez, Colima, Febrero de 2016.
A. Arceo ..:: CÁLCULO INTEGRAL :: Aplicaciones del TFC
TFC y aplicaciones Una aplicación más
Outline
1 Aplicaciones del Teorema Fundamental del Cálculo.
Objetivos
Breve análisis
Diferentes enfoques del TFC
2 Una aplicación más
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Objetivos
Objetivos
Conocer los diferentes enfoques que tiene el Teorema Fundamentaldel Cálculo en situaciones de la vida real.
Resolución de estas situaciones.
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Breve análisis
Recordemos que F ′(x) representa la proporción / velocidad de
cambio de y = F (x) con respecto a la variable x.
Ahora, F (b)− F (a) es el cambio en y cuando x aumenta de a a b.
Ejemplo:Si y = F (x) indica el volumen de agua en un tanque al tiempo x,entonces, F (b)− F (a) representa
la cantidad que cambió el volumen de agua en el tanque entre el tiempox = a y x = b.
F (b)− F (a) =v
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Breve análisis
Recordemos que F ′(x) representa la proporción / velocidad de
cambio de y = F (x) con respecto a la variable x.
Ahora, F (b)− F (a) es el cambio en y cuando x aumenta de a a b.
Ejemplo:Si y = F (x) indica el volumen de agua en un tanque al tiempo x,entonces, F (b)− F (a) representa
la cantidad que cambió el volumen de agua en el tanque entre el tiempox = a y x = b.
F (b)− F (a) =v
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Breve análisis
Recordemos que F ′(x) representa la proporción / velocidad de
cambio de y = F (x) con respecto a la variable x.
Ahora, F (b)− F (a) es el cambio en y cuando x aumenta de a a b.
Ejemplo:Si y = F (x) indica el volumen de agua en un tanque al tiempo x,entonces, F (b)− F (a) representa
la cantidad que cambió el volumen de agua en el tanque entre el tiempox = a y x = b.
F (b)− F (a) =vA. Arceo ..:: CÁLCULO INTEGRAL :: Aplicaciones del TFC
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Breve análisis
Por el TFC,
F (b)− F (a) =∫ b
a
F ′(x) dx
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Diferentes enfoques del TFC
Si V (t) es el volumen de agua en un depósito al tiempo t, entoncesV ′(t) es la velocidad a la cuál el agua fluye hacia dentro (afuera)del recipiente al tiempo t:∫ t2
t1
V ′(t) dt = V (t2)− V (t1)
es el cambio en la cantidad de agua en el depósito entre el tiempot1 y t2.
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Diferentes enfoques del TFC
Si un objeto se mueve a lo largo de una línea recta con posicións(t), entonces, s′(t) es la velocidad con la que se mueve y∫ t2
t1
s′(t) dt = s(t2)− s(t1)
indica el desplazamiento del objeto durante el tiempo t1 al tiempot2.
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Diferentes enfoques del TFC
Si la aceleración de un objeto está dada por a(t) = v′(t), entonces∫ t2
t1
a(t) dt = v(t2)− v(t1) = A1 −A2 +A3
es el cambio en la velocidad en el tiempo t1 al tiempo t2.
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Diferentes enfoques del TFC
Ejemplo 1:
La velocidad al tiempo t de una partícula que se mueve en línea
recta está dada por la función v(t) = t3 − t medida en m/s.
Encuentra el desplazamiento de la partícula durante el periodo de
tiempo 0 6 t 6 1.
Solucíon: El desplazamiento de la partícula es:
s(1)− s(0) =
∫ 1
0v(t) dt =
∫ 1
0(t3 − t) dt
=
[t4
4− t2
2
]10
=1
4− 1
2= −1
4.
←− 25 cm
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Diferentes enfoques del TFC
Ejemplo 1:
La velocidad al tiempo t de una partícula que se mueve en línea
recta está dada por la función v(t) = t3 − t medida en m/s.
Encuentra el desplazamiento de la partícula durante el periodo de
tiempo 0 6 t 6 1.
Solucíon: El desplazamiento de la partícula es:
s(1)− s(0)
=
∫ 1
0v(t) dt =
∫ 1
0(t3 − t) dt
=
[t4
4− t2
2
]10
=1
4− 1
2= −1
4.
←− 25 cm
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Diferentes enfoques del TFC
Ejemplo 1:
La velocidad al tiempo t de una partícula que se mueve en línea
recta está dada por la función v(t) = t3 − t medida en m/s.
Encuentra el desplazamiento de la partícula durante el periodo de
tiempo 0 6 t 6 1.
Solucíon: El desplazamiento de la partícula es:
s(1)− s(0) =
∫ 1
0v(t) dt
=
∫ 1
0(t3 − t) dt
=
[t4
4− t2
2
]10
=1
4− 1
2= −1
4.
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Ejemplo 1:
La velocidad al tiempo t de una partícula que se mueve en línea
recta está dada por la función v(t) = t3 − t medida en m/s.
Encuentra el desplazamiento de la partícula durante el periodo de
tiempo 0 6 t 6 1.
Solucíon: El desplazamiento de la partícula es:
s(1)− s(0) =
∫ 1
0v(t) dt =
∫ 1
0(t3 − t) dt
=
[t4
4− t2
2
]10
=1
4− 1
2= −1
4.
←− 25 cm
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Ejemplo 1:
La velocidad al tiempo t de una partícula que se mueve en línea
recta está dada por la función v(t) = t3 − t medida en m/s.
Encuentra el desplazamiento de la partícula durante el periodo de
tiempo 0 6 t 6 1.
Solucíon: El desplazamiento de la partícula es:
s(1)− s(0) =
∫ 1
0v(t) dt =
∫ 1
0(t3 − t) dt
=
[t4
4− t2
2
]10
=1
4− 1
2= −1
4.
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Ejemplo 1:
La velocidad al tiempo t de una partícula que se mueve en línea
recta está dada por la función v(t) = t3 − t medida en m/s.
Encuentra el desplazamiento de la partícula durante el periodo de
tiempo 0 6 t 6 1.
Solucíon: El desplazamiento de la partícula es:
s(1)− s(0) =
∫ 1
0v(t) dt =
∫ 1
0(t3 − t) dt
=
[t4
4− t2
2
]10
=1
4− 1
2= −1
4.
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Ejemplo 1:
La velocidad al tiempo t de una partícula que se mueve en línea
recta está dada por la función v(t) = t3 − t medida en m/s.
Encuentra el desplazamiento de la partícula durante el periodo de
tiempo 0 6 t 6 1.
Solucíon: El desplazamiento de la partícula es:
s(1)− s(0) =
∫ 1
0v(t) dt =
∫ 1
0(t3 − t) dt
=
[t4
4− t2
2
]10
=1
4− 1
2= −1
4.
←−
25 cm
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Diferentes enfoques del TFC
Ejemplo 1:
La velocidad al tiempo t de una partícula que se mueve en línea
recta está dada por la función v(t) = t3 − t medida en m/s.
Encuentra el desplazamiento de la partícula durante el periodo de
tiempo 0 6 t 6 1.
Solucíon: El desplazamiento de la partícula es:
s(1)− s(0) =
∫ 1
0v(t) dt =
∫ 1
0(t3 − t) dt
=
[t4
4− t2
2
]10
=1
4− 1
2= −1
4.
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Diferentes enfoques del TFC
Si [C](t) es la concentración del producto de una reacción químicaal tiempo t, entonces, la velocidad de reacción es [C]′(t) y∫ t2
t1
[C]′(t) dt = [C](t2)− [C](t1)
es el cambio en la concentración de C del tiempo t1 al tiempo t2.
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Diferentes enfoques del TFC
Si la masa de una barra medida de izquiera a derecha desde elpunto a hasta el punto x 6 b es dada por m(x), entonces, ladensidad lineal es ρ(x) = m′(x) y se tiene∫ b
a
ρ(x) dx = m(b)−m(b)
es la masa del segmento de la barra de longitud b− a.
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Diferentes enfoques del TFC
Si la velocidad de crecimiento de una población es n′(t), entonces,∫ t2
t1
n′(t) dt = n(t2)− n(t1)
es el cambio en la población en el periodo de tiempo t1 a t2.
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Diferentes enfoques del TFC
Si C(x) es el costo de producir x unidades de petróleo, el costomarginal es C ′(x). Así que,∫ x2
x1
C ′(x) dx = C(x2)− C(x1)
es el incremento en el costo cuando la producción incrementa de x1a x2.
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Objetivos
Breve análisis
Diferentes enfoques del TFC
2 Una aplicación más
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Ejemplo 2La siguiente gráfica muestra el consumo de energía de la Ciudad deMéxico del 15 de Septiembre, donde P es medida en megawatts en thoras. Encuentre la energía consumida en ese día.
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SolucíonLa potencia es la velocidad de cambio de la energía, así que,∫ 24
0
P (t) dt
=
∫ 24
0
E′(t) dt = E(24)− E(0)
es la cantidad total de energía gastada ese día. Enseguida, se aproxima laintegral mediante sumas de Riemann: 12 rectángulos de base 2.∫ 24
0
P (t) dt ≈ R12 =
12∑k=1
2P (2k − 1)
= (2)(440 + 400 + 420 + 620 + 790 + 840 +
850 + 840 + 810 + 690 + 670 + 550)
= 15, 840.
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SolucíonLa potencia es la velocidad de cambio de la energía, así que,∫ 24
0
P (t) dt =
∫ 24
0
E′(t) dt = E(24)− E(0)
es la cantidad total de energía gastada ese día.
Enseguida, se aproxima laintegral mediante sumas de Riemann: 12 rectángulos de base 2.∫ 24
0
P (t) dt ≈ R12 =
12∑k=1
2P (2k − 1)
= (2)(440 + 400 + 420 + 620 + 790 + 840 +
850 + 840 + 810 + 690 + 670 + 550)
= 15, 840.
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SolucíonLa potencia es la velocidad de cambio de la energía, así que,∫ 24
0
P (t) dt =
∫ 24
0
E′(t) dt = E(24)− E(0)
es la cantidad total de energía gastada ese día. Enseguida, se aproxima laintegral mediante sumas de Riemann: 12 rectángulos de base 2.
∫ 24
0
P (t) dt ≈ R12 =
12∑k=1
2P (2k − 1)
= (2)(440 + 400 + 420 + 620 + 790 + 840 +
850 + 840 + 810 + 690 + 670 + 550)
= 15, 840.
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SolucíonLa potencia es la velocidad de cambio de la energía, así que,∫ 24
0
P (t) dt =
∫ 24
0
E′(t) dt = E(24)− E(0)
es la cantidad total de energía gastada ese día. Enseguida, se aproxima laintegral mediante sumas de Riemann: 12 rectángulos de base 2.∫ 24
0
P (t) dt ≈ R12 =
12∑k=1
2P (2k − 1)
= (2)(440 + 400 + 420 + 620 + 790 + 840 +
850 + 840 + 810 + 690 + 670 + 550)
= 15, 840.
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SolucíonLa potencia es la velocidad de cambio de la energía, así que,∫ 24
0
P (t) dt =
∫ 24
0
E′(t) dt = E(24)− E(0)
es la cantidad total de energía gastada ese día. Enseguida, se aproxima laintegral mediante sumas de Riemann: 12 rectángulos de base 2.∫ 24
0
P (t) dt ≈ R12 =
12∑k=1
2P (2k − 1)
= (2)(440 + 400 + 420 + 620 + 790 + 840 +
850 + 840 + 810 + 690 + 670 + 550)
= 15, 840.
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