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apostila deformação de vigas em flexão
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Mecânica dos Materiais
Deformação de Vigasem flexão
Tradução e adaptação: Victor Franco
Ref.: Mechanics of Materials, Beer, Johnston & DeWolf – McGraw-Hill.
Mechanics of Materials, R. Hibbeler, Pearsons Education.
Deformação de uma viga sujeita a forças transversais
9 -
x
• A relação entre o momento flector e a curvatura, para flexão pura, mantém-se válida para o caso de uma viga em flexão sujeita a forças transversais:
1 M ( x )
EI
• Para a viga encastrada sujeita a uma força concentrada na extremidade, temos:
1 Px EI
• A curvatura varia linearmente com x :
1• Na extremidade A, 0,
ρAρA
• No apoio B,
1 0,
Deformação de uma viga sujeita a forças transversais
9 -
• A curvatura é zero nos pontos em que o momento flector é zero, i.e., nas extremidades e no ponto E.
1 M ( x )
EI
• A deformação da viga é côncava para cima onde o momento flector é positivo e côncava para baixo onde o momento flector é negativo.
• A curvatura máxima ocorre onde o valor do momento flector é máximo.
• A equação da deformação da viga – equação da linha da elástica – é necessária para determinar a deformação máxima (flecha máxima) e a rotação.
Equação da Linha
9 -
• A seguinte relação é válida (demonstrável através da Análise Matemática):
d 2 y
1
dx2
3 2 dy
2
d 2
y
dx2
M EI
1
dx
• Substituíndo e integrando:
Equação da curvatura:
d 2 yEI
dx2M x
xdy
Equação das rotações: EI EIdx
x x
Equação da linha elástica
9 -
• As constantes são determinadas a partir das condições de fronteira.
x x
EI y ∫ dx∫ M xdx C1x C20 0
• Três casos para vigas estaticamente determinadas:
– Viga simplesmente apoiadayA 0, yB 0
– Viga em balançoyA 0, yB 0
– Viga encastrada
yA 0, A 0
9 -
Determinação da equação da linha elástica a partir da força distribuída
• Para uma viga sujeita a uma força distribuída,2dM
V xdx
d M
dx2 dVdx
wx
• A equação para a deformação será
M ( x) EI d 2
y
dx2
d 2
M⇒
dx2
EI d 4
y
dx4
wx
• Integrando 4 vezes, obtém-se,
EI yx ∫ ∫ ∫ ∫ wxdx dx dx dx 1 C x3 1 C x2
Cx C
6 1 2 2 3 4
9 -
Vigas estaticamente indeterminadas
• Considere-se a viga encastrada em A e com um apoio móvel em B.
• Condições de equilibrio estático:
∑ Fx 0 ∑ Fy 0 ∑ M A 0
A viga é estaticamente indeterminada.
• Temos também a equação da deformada,x x
EI y ∫ dx∫ M xdx C1x C20 0
que introduz duas incógnitas adicionais, mas que fornece três equações adicionais a partir das condições de fronteira:
x 0 : 0 y 0 x L : y 0
Exemplo
9 -
Para a parcela AB da viga, calcular
(a) A equação da linha elástica,
(b) Deformada máxima.
Resolução:
• Escrever uma expressão para M(x) e para a equação diferencial da linha elástica.
• Integrar a equação diferencial duas vezes e aplicar as condições de fronteira para obter a equação da deformada.
• Localizar o ponto com tangente nula ou ponto da deformada máxima. Calcular a deformada máxima.
Exemplo
9 -
• Expressão para M(x) e equação diferencial da linha elástica.
- Reacções:
RA Pa LRB P
1
a L
- Diagrama de corpo livre para secção AD,
M P a
xL
0 x L
- Equação diferencial da linha elástica,
d 2 yEI
dx2 M (x) ⇒ EI d 2
y
dx2
9 -
2EI d y P a
Exemplo
y PaL2 x x 3 6EI L
L
• Integrar a equação diferencial duas vezes e aplicar as condições de fronteira para obter a equação da deformada:
EI dy
1a 2 P x C1
dx 2 L1 a 3
EI y P x6 L
C1x C2
xdx2 L em x 0, y 0 : C2 0
em x L, y 0 : 0 1
P a
L3 C L
C 1
PaL
6 L1 1
6
Substituíndo,
dy 1 a 1 dy PaL x 2
EI P x2 PaL ⇒ 1 3 dx 2 L 6
1 a 3 1dx 6EI L
EI y P x 6 L
3 2
m
Exemplo
9 -
3
ymax 0.0642PaL26EI
• Localizar o ponto de deformada máxima.
PaL2 xy x
dy PaL xm L 0 1 3 ⇒ x 0.577L
6EI L L
dx 6EI L
• Deformada máxima.
PaL2 3 ymax
6EI0.577 0.577
Exemplo
9 -
Para a viga representada na figura, determinar a reacção em A, obter a equação da linha elástica e determinar a rotação em A.
(Notar que a viga é estaticamente indeterminada de primeiro grau)
2 L
Exemplo
9 -
• Análise de momentos numa secção D:
∑M D 0 2 R x 1 w0 x x
M 0A
3
M RAx w0 x6L
• Equação da linha elástica:
d 2 yEI M
dx2 RAx w0
x3
6L
3
A
Exemplo
9 -
• Integrando duas vezes:4
EI dydx
EI 1
RA2 x2 w0 x
24L5
C1
EI y 1
R
6Ax3 w0 x
120LC
1xC2
d 2 yEI M RAx
w0 x • Aplicar as condições de fronteira:
dx2 6L em x 0, y 0 : C2 03
em x L, 0 :1 2
2 RAL
w0 L24
4
C1 0
em x L, y 0 : 1 R L3 6
w0 L120
C1L C2 0
• Resolver em ordem à reacção em A
3
Exemplo
9 -
y w0
120EILx5 2L2 x3 L4 x
A120EI
w0L3
• Substituir C1, C2, e RA na equação da linha elástica:
1 1 3 0
5 1 3 EI y w0L x w x
w0L x
6 10 120L 120
• Diferenciar para calculo das rotações:
dydx w0
120EIL 5x4 6L2 x2 L4
em x = 0,
Método da
9 -
Principio da Sobreposição:
• As deformações de vigas sujeitas a combinações de forças, podem ser obtidas como a combinação linear das deformações causadas pelas forças individuais.
Exemplo
9 -
Para a viga sujeita aos carregamentos representados, determine a rotação e a deformada no ponto B.
Sobrepondo as deformadas provocadas pelos “Loading I” e “Loading II”como ilustrado, temos:.
Exemplo
9 -
Loading I
B I wL3
6EI
yB
I
wL4
8EI
Loading II3 4
C II wL 48EI
yC II wL 128EI
No segmento de viga CB, o momento flector é zero e a linha elástica é uma recta:
3
B II C II
4
wL 48EI
3 4y
wL wL
L
7 wL B II 128EI 48EI 2 384EI
B 48EI
7wL3
Exemplo
9 -
yB 384EI
41wL4
Combinando as duas soluções:
3 3
wL wL
B B I B II 6EI 48EI
4 4y
y
9 -
Aplicação do método da Sobreposição a vigas estaticamente indeterminadas
O método da sobreposição pode ser aplicado para determinar as reacções nos apoios de vigas estaticamente indeterminadas:
1. Escolher uma das reacções como redundante e eliminar (ou modificar) o apoio correspondente.
2. Determinar a deformada da viga sem o apoio redundante.
3. Tratar a força de reacção redundante como uma incógnita que, em conjunto com as outras forças deve originar deformações compatíveis com o apoio original.
Exemplo
9 -
Para a viga e carregamento representado na figura, determinar a reacção em cada apoio e a rotação na extremidade A.
• Libertar a reacção “redundante” em B, e calcular as deformações.
• Aplicar a reacção em B, de tal forma que esta força vai “obrigar” uma deformada zero no ponto B.
Exemplo
9 -
RB 0.688wL
• Deformada em B devido à força distribuida:
4
3
y w
2
L 2L 2
L L3 2
L B w 24EI 3 3 3
0.01132 wL4
EI
• Deformada em B devida à força redundante:
2
2 3
y RB
2 L L 0.01646 RBL
B R 3EIL 3 3 EI
• Para compatibilidade com o apoio B, yB = 04 3
0 y y 0.01132 wL
0.01646 RBL
B w B R EI EI
• Para equilibrio estático,
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