View
1.459
Download
139
Category
Preview:
Citation preview
1 Materialaus taško ir jo būvio aprašymo sąvokos Tiesaus ir tolygaus judėjimo greitis
ir pagreitisVidutinis ir momentinis greitis
Kinematika tiria judėjimą neatsižvelgiant į to judėjimo priežastis Judėjimui
aprašyti pasirenkama atskaitos sistema bet reikia neužmiršti kad skirtingose atskaitossistemose judėjimas gali būti skirtingas todel visada pasirenkama patogiausia
Pvz Kai kūnas juda Žemės paviršiuje ndash Žemė Žemės judėjimas ndash atžvilgiu SaulėsTaigi visos atskaitos sistemos kinematiškai ekvivalenčios o atskaitos sistemos
pasirinkimas svarbus tik dinamikoje kai atsižvegiama į kūną veikiančias jėgasMaterialus taškas ndash makroskopinis kūnas kurio matmenys tokie maži kad jų
galima neįskaityti o laikyti kad visa kūno masė sukoncentruota viename geometriniametaškeTai yra abstrakcija Galima ar negalima kokio nors kūno judėjimą nagrinėti kaipmaterialaus taško priklauso nuo to kokio pobūdžio problema yra nagrinėjama bet nenuo judėjimo pobūdžio Tuo atveju svarbūs ne absoliutūs o santykiniai kūno matmenysty kūno matmenų santykis su judėjimo atstumais
Pvz Žemę nagrinėjant jos judėjimą apie Saulę galima laikyti materialiu taškunes orbitos spindulys R = 15 middot 108 km o Žemės r = 64 middot 103 km ty rR = 4 middot10-5
Tačiau toks nagrinėjimas netinka Žemės sukimuisi apie savo ašį tirti nes tokiuatveju Žemės negalima laikyti materialiuoju tašku
Materialaus taško makroskopiškumas suprantamas ta prasme kad jo judėjimągalima būtų nagrinėti klasikinės mechanikos rėmuose Tačiau daugeliu atveju ir mikrodalelių judėjimą galima nagrinėti naudojantis klasikinės machanikos dėsniais
Pvz Elektronų protonų jonų judėjimą elektriniuose ir magnetiniuose laukuoseMaterialaus taško mechanika klasikinėje fizikoje yra mechanikos tyrimo pagrindas nesklasikiniu požiūriu bet kokį kūną arba kūnų sistemą mintyse galima išskaidyti į mažasmakroskopines tarpusavyje sąveikaujančias dalis laikant jas maetrialiais taškais kuriųjudėjimą ir nagrinėti
Paimkime bet kokią atskaitos sistemą Joje taško judėjimas bus pilnai aprašytasjeigu bus žinoma jo padėtis bet kuriuo laiko momentu Nurodome taško padėtįpavyzdžiui Dekarto koordinačių sistemoje koordinatėmis x y z
Taško judėjimas bus pilnai aprašytas kai žinosime kaip kinta koordinatės laikex = x(t) y = y(t) z = z(t) arba apibendrintu atveju r = r(t)
Taigi reikia įvesti greičio ir pagreičio sąvoką
Materialaus taško judėjimas vienmačiu atveju x = x(t)Tegu laiko momentu t taško padėtis buvo x1 = x(t) o per laiko intervalą ∆t jis
pasislinko į tašką x2 = x(t +∆t) nueidamas kelią ∆x = x2 ndash x1 = x(t +∆t) ndash x(t) Susitarta kad∆x yra teigiamas jei judėjimas vyksta į dešinę ir neigiamas jei į kairę
Santykis ∆x∆t vadinamas vidutiniu materialaus taško greičiu per laiką ∆t
1 pav Taško tiesiaeigio judėjimo aprašymas
∆x
x2x10 x
ttxttx
tx
∆minus∆+
=∆∆
=)()(vvid
Toks vidutinio greičio apibrėžimas galioja visiems ∆t išskyrus ∆t = 0 nes 00neturi prasmės Bendruoju atveju vvid priklauso ne tik nuo ∆t bet ir nuo t Mūsų atvejuimkime kad t nekinta o ∆t rarr 0 (nykstamai mažėja) tada ∆xx artėja prie tam tikrodydžio kuris jau priklauso tik nuo t bet nepriklauso nuo ∆t Šis dydis arba ribavadinamas tikruoju arba momentiniu materialaus taško greičiu laiko momentu t
ttxttx
tx
tt ∆minus∆+
=∆∆
=rarr∆rarr∆
)()(limlimv00
Matematikoje tokia išraiška vadinama funkcijos x(t) išvestine pagal argumentą tžymima dxdt Taigi momentinis arba tikrasis greitis yra koordinatės (arba nueito kelio) xišvestinė pagal t
tx
ddv =
Kaip jau minėta greitis bus laiko funkcija v = v(t) (bendru atveju) Greičioišvestinė pagal laiką yra materialaus taško pagreitis a
tttt
ta
t ∆minus∆+
==rarr∆
)(v)(vlimddv
0
Kadangi v = dxdt gauname kad pagreitis yra antroji koordinatės išvestinė pagallaiką
2
2
dd
txa =
Pvz Tegu taško judėjimas aprašomas x = At2 + Bt +C kur A B C ndash pastovūskoeficientai tada
x + ∆x = A(t + ∆t)2 + B(t + ∆t) + C = At2 + 2At∆t + A∆t2 + Bt + B∆t + C = = (At2 + Bt +C) + (2At + B)∆t + A∆t2
Iš vidutinio greičio apibrėžimo
tABAtt
CBtAttAtBAtCBtAtt
txttx
∆++=
=∆
++minus∆+∆++++=
∆minus∆+
=
)2(
)()2()()()(v222
Matome kad vvid priklauso ir nuo t ir nuo ∆t Norint gauti momentinį greitį reikiaskaičiuoti ribą kai ∆t rarr 0
BAttABAttt
+=∆++==rarr∆rarr∆
2])2[(limvlimv00
vid
Matome kad momentinis greitis priklauso tik nuo t pagreitis bus
At
a 2ddv
==
Kaip matome šiuo atveju pagreitis jau nebepriklauso nuo laiko ndash tolygiaigreitėjantis arba tolygiai lėtėjantis judėjimas Bendru atveju a = a(t)
2 Kampinis greitis Ryšys tarp kreivalinijinio greičio ir nueito kelio Pagreitis taškuijudant kreiva trajektorija
Analogiškai su linijiniu greičiu ir pagreičiu sukamąjam judėjimui galima įvestikampinį greitį ω ir kampinį pagreitį ε Kampinis greitis
tddα
=ω
Jeigu α = ω t + const tai kampinis greitis bus pastovus Sukimųsi dažnis parodomaterialaus taško apsisukimų skaičių per laiko intervalą
tdd
21
2α
sdotπ
=πω
=ν
Dydis T = 1ν vadinamas apsisukimų periodu Kampinis pagreitis jeigu ω = ω(t)bus
2
2
dd
dd
ttα
=ω
=ε
Kampinis pagreitis lygus pirmai kampinio greičio išvestinei arba antrai kampoišvestinei pagal laiką
Jeigu apsisukimo spindulys yra r tai ∆s =r∆α tada
t
rts
∆∆
=∆∆ α ir
tr
ts
tt ∆∆
=∆∆
rarr∆rarr∆
α00
limlim
v = rw Jeigu kampinis greitis yra w(t) tai
diferencijuojant pagal laiką
a = d vd t = r d wd t
Kreivalinijinio judėjimo greitis ir pagreitis (bendruoju atveju) yra
rr = r(t) )(1 trr = r(t + ∆t) t
trttrtr
∆minus∆+
=∆∆
=)()(vvid
rrvr
M rarr
v (t) M1
rarr
∆ r (t)rarr
r (t) rarr
r 1(t)
α O
M1 M AElig s x
s∆ α O r
Imant ∆t rarr 0 rarrv = d
rarr
r dt = tr
t ∆∆
rarr
rarr∆ 0lim Tikrasis arba momentinis greitis yra
vektorius nukreiptas liestinės kryptimi trajektorijos taškerarr
r (t) Tokiu būdu aprašomas irpagreitis tai yra vektorius lygus greičio vektoriaus pirmai išvestinei arba spinduliovektoriaus antrai išvestinei
2
2
dd
dvd
tr
ta ==
rr
Tada galima ir greitį atvaizduoti pagal analogiją su spinduliu Greičio vektoriaus
galo taškas vadinamas greičio tašku o visuma tų taškų ndash greičio hodografu
Matematiniu požiūriu visiškai nesvarbifizikinė prasmė todėl ar diferencijuojamasr ar v nėra skirtumo Taigi galimaanalogija momentinis greitis nukreiptastrajektorijos liestinės kryptimi pagreitis busnukreiptas liestinės hodografui kryptimi
Pvz Sakykime kad materialustaškas juda apskritimu kurio spindulys rGreitis bus nukreiptas liestinės taške Mliestinės kryptimi o jo dydis v= ωr = 2πrT
Hodografas bus apskritimas kurio spindulys lygus rarr
r o pagreičio vektorius busnukreiptas hodografo liestinės taško kryptimi į apskritimo centrą Tada pagreitis bus
a = ω v = 2πrT = v 2r
Tai įcentrinio pagreičio formolė kuri vektorinėje formoje užrašoma taip rarr
a = - w2 rarr
r Imkime bet kokią trajektoriją Tada rarr
v = v rarr
s kur s - vienetinis
trajektorijos vektorius Trikampis yra lygiašonis bet ∆s artėjant į nulį ∆rarr
s rarr
s Jeigu rarr
a
S
rarr
v
rarr
n
O
a
M1
rarr
r
a A1
rarr
v
O1
A a
rarr
∆ v a1
rarr
v 1
rarr
v
O
= v middot drarr
s d t tada sulyginę šios lygybės dešinę pusę su įcentrinio pagreičio išraiškos
dešiniaja puse gausime rnv
tsv
rr
sdot=sdot 2dd Abi lygybės puses padalinę iš v gausime
rnv
ts rr
sdot=dd Žinodami kad d s = vmiddotd t užrašysime n
rv
ts
ss
tr
rr
sdotsdot=sdot=1
dd
dd
dsd arba n
rss rr
sdot=1
dd
Iš čia matyti kad trajektorijos liestinės vienetinio vektoriaus išvestinė yra statmena tam
vienetiniam vektoriui (tai seka iš liestinės sąvokos) d rarr
s rarr
n Kai ∆s rarr 0 α rarr 0 irrarr
s drarr
s Dydis 1r vadinamas trajektorijos kreivumo radiusu (duotame taške) o rarr
n ndash
normalės vektoriumi Kadangi 1r yra teigiamas o rarr
n ir rarr
s priešingų krypčių tai rarr
n visada
nukreiptas į įgaubtąją trajektorijos pusę Bendru atveju 1r ir rarr
n visą laiką kintaskirtinguose trajektorijos taškuose Kreivės gali būti plokštuminės (apskritimas elipsė hiperbolė parabolė ir tt) irerdvinės (spiralė) Plokštuma kurioje yra liestinė ir normalė vadinama liečiamaja ostatmuo išvestas iš duotojo taško į plokštumą ndash binormale Taigi bendru atvejurarr
v =v(t)s(t) Panaudodami dviejų kintamų dydžių diferenciavimo taisyklę gaunamerarr
a = d vd t middot rarr
s + rarr
v middot d rarr
s d t arba rarr
a = d vd t middot rarr
s + v2r middotrarr
n Taigi vektorius a guli s ir n plokštumoje Čia gavome viso pagreičio lygtį kuris
sudarytas iš tangentinio ir normalinio pagreičio sumos rarr
a t = d vd t middot rarr
s - tangentiniopagreičio lygtis tangentinis pagreitis yra vektorius kurio kryptis sutampas su trjektorijos
taško liestinės kryptimi rarr
a n = v2r middot rarr
n ndash normalinio pagreičio lygtis normalinis pagreitisyra vektorius kurio kryptis sutampa su trajektorijos normalės vektoriaus kryptimi tynukreiptas į trajektorijos įgaubtąją pusę Tangentinis pagreitis keičia greičio dydį onormalinis keičia greičio kryptį
Reikia neužmiršti kad trajektorijos kreivė gali būti (dažniausiai ir yra) erdvinė
figūra Tokiu atveju taško judėjimas bus apskaičiuojamas trijų koordinačių kryptimis rarr
i rarr
j rarr
k taigi materialaus taško judėjimą galima aprašyti trimis laisvės laipsniais (vienajudėjimo kryptis ndash vienas laisvės laipsnis)
rarr
s
rarr
∆ s
rarr
s + rarr
∆ s
rarr
s
α
rarrrarr
∆+ ss
rarr
r rarr
n
3 Taško judėjimo klasikinio aprašymo ribos Šviesos sąvoka ir jos greičio matavimo idėjos Fizo bandymas
Klasikinėje mechanikoje kiekvieno kūno judėjimo būvis aprašomas bet kuriuo
laiko momentu koordinatėmis ir greičiu rarr
v Vietoje greičio galime naudoti impulsą rarr
p =
mrarr
v Dalelė yra geometrinis taškas aprašantis kintant laikui nenutrūkstančią
trajektoriją Klasikinėje mechanikoje parodyta kad toks atvaizdavims yra ribotas dalelėsbūseną bet kuriuo laiko momentu negalima charakterizuoti tiksliomis koordinatėmis irimpulso dydžiu tuo pačiu metu Jeigu kuriuo nors laiko momentu dalelės būvisaprašomas koordinate su δ x neapibrėžtimi o impulsas su δ p tai abu šie dydžiai vienumetu negali būti kiek norint maži nes δ x δ p ge h Dydis h ndash Planko konstanta (h =663 middot 10-27) o nelygybė ndash Haizenbergo neapibrėžtumas Haizenbergo neapibrėžtumasnustato principinę ribą iki kurios galima vienu metu išmatuoti koordinatę ir impulsą ir jinegali būti peržengta jokiu matavimo prietaisu ar metodika Tada ir δ x middot m δ v ge h Taigiklasikinis trajektorijos aprašymas yra tik tam tikras atskiras atvejis
Makroskopiniu požiūriu bet kokio daikto padėtį galima nustatyti su tam tikrutikslumu užduodamu matavimo prietaiso Makroskopiniu požiūriu kvantinė mechanikapradeda galioti dalelėms kurių matmenys mažesni už atomo δ x = 10-8 cm tada δ v ge663 middot 10-27 10-8 le 10-18 cmc Kaip matome praktiškai δ x ir δ v yra labai maži todėlklasikinis aprašymas tinkamas makroskopiniams kūnams
Elektrono atveju kurio masė m = 911 10-28 g neapibrėžtumas turi būti nedidesnis už atomo matmenis Tada δ x lt 10-8 cm ir δ v ge hm δ x = 663 10-27911 10-
28 10-8 asymp 7 middot 108 cmc Toks greitis jau netinkamas netgi elektronui atome aprašyti Taigi
klasikinis aprašymas pasidaro netinkamas Kitas ribinis klasikinės mechanikos atvejis tai kūnų judėjimas greičiais artimais
šviesos greičiui Taigi kas yra šviesos greitis Kaip jis matuojamasRiomeris 1676 m išmatavo šviesos greitį matuodamas Jupiterio palydovų
užtemimus Buvo nustatyta kad regimasis jų apsisukimo periodas trumpėja kai Žemė dėlmetinio sukimosi artėja ir periodas ilgėja kai tolsta nuo Jupiterio ndash tai susiję su baigtiniušviesos greičiu
β
α
J s1
T1 s2
T2
S
Ž
T1 = t1 + s1c Kitą kartą Jupiterio palydovas išeis iš šešėlio momentu t2 o Žemėsstebėtojas jį stebės laiko momentu T2 = t2 + s2c Tada palydovo apsisukimo periodas bus Tsteb = T2 ndash T1 = Ttikr + (s2 ndash s1)c Išmatavus daug kartų tiek Žemei tolstant tiek artėjantlink Jupiterio galima išeliminuoti s2 ndash s1 ir žinant Ttikr suskaičiuoti šviesos greitį c =(s2 ndash s1)(Tsteb - Ttikr) Riomeris gavo c = 214 300 kms Tai buvo pirmas sėkmingasšviesos reičio matavimo atvejis Iki Riomerio visi šviesos matavimo mėginimai buvonesėkmingi Šviesos aberacija Jeigu kryptis kuria juda stebėtojas yra statmena krypčiai kuria stebima žvaigždėtai dėl šviesos aberacijos kryptis į žvaigždę skiriasi nuo tikrosios Šviesos aberacijoskampas β = π2 ndash α middot tgβ = vc kur v Žemės judėjimo greičio dedamoji statmenakrypčiai į žvaigždę Išmatavus v ir kryptį į žvaigždę galima gauti c Gauti rezultataisutapo su Riomerio
Fizo bandymas (1851m) taišviesos greičio matavimas judančiojematerijoje (vandenyje) Šviesosgreitis vandenyje yra u| = cn n ndashlūžio rodiklis Jeigu aplinka judastebėtojo atžvilgiu tai šviesos greitisstebėtojo atžvilgiu būtų u| plusmn v ndashpriklausomai nuo greičių krypčiųFizo bandyme du spinduliai judapriešpriešais ir nueina tą patį keliaprieš patekdami į interferometrą Fkol vanduo stikliniame vamzdyjenejuda Kai vanduo juda vienasspindulys juda pagal vandensjudėjimo kryptį o kitas priešingaitodėl turi susidaryti eigos skirtumaskurį galima apskaičiuoti išinterferencinių juostų poslinkioskysčiui stovint ir judant A - šviesosšaltinis B ndash pusiau skaidri plokštelėišskirianti du koherentinius
spindulius K D E ndash veidrodžiail ndash šviesos kelio ruožų vandenyje bendras ilgis t0 ndash laikas kurį spindulys
praeina visus kitus (be skysčio) kelio tarpus u+ - sklindantis pasroviui u- - prieš srovęspindulio greitis skystije u+ = u| + kv u- = u| - kv Kur k ndash koeficientas kurį norėjo surastiFizo Jeigu k = 1 tai teisinga klasikinė greičių sudėties taisyklė o kai k ne 1 tai yranukrypimas Šviesos greitis vandenyje u| = cn = 300 000 13 asymp 230 000 kms Laikasper kurį u+ ir u- spinduliai praeina visą kelią t1 = t0 + l(u| + kv) ir t2 = t0 + l(u| - kv) taigilaiko pokytis yra ∆t = 2lkv u|2 ndash k2v2 Suskaičiavus interferencinių juostų poslinkį iržinant l galima rasti k Fizo gavo k = 1- 1n2 Taigi klasikinio aprašymo taisyklė šviesaijau netinka Tai buvo fantastiška išvada nors tais laikais egzistavo eterio vilkimo teorijakurios išvados pilnai paaiškino Fizo bandymą Fizo bandymas yra eksperimentinisklasikinio greičio sudėties dėsnio ir Galilėjaus transformacijų klaidingumo įrodymas
rarr
v
K D
B EA
F
5 Lorenco transformacijos Postulatai Kai judėjimo greičiai dideli kaip matėme iš Fizo bandymo Galilėjaustransformacijos prieštarauja eksperimentui Reikia kitokių transformacijų kuriosderintųsi su šviesos greičio pastovumu Taigi Lorenco transformacijų postulatai 1) reliatyvumo principas 2) šviesos greičio pastovomas Koordinačių transformacijų tiesiškumas Judančių koordinačių sistemas visada galima orientuoti taip kad sutaptų sukoordinačių pradžia Kadangi greičių sudėčiai jau nebetinka klasikinė formulė tai galimatikėtis kad vienos sistemos laikas jau neišreiškiamas tik kitos sistemos laiku betpriklauso ir nuo koordinačių Tada
x| = Ф1(x y z t) y| = Ф2(x y z t) z| = Ф3(x y z t) t| = Ф4(x y z t)
Bendrą funkcijų Ф pavidalą lemia erdvės ir laiko savybės Nagrinėjantgeometrinius sąryšius vienoje atskaitos sistemoje laikome kad kiekvienas taškas niekuonesiskiria nuo bet kurio kito taško ir visi geometriniai sąryšiai tarp bet kurių geometriniųobjektų bus visiškai tokie pat kaip ir perkėlus koordinačių pradžią į bet kokį kitą taškąerdvės vienalytiškumas Geometriniai sąryšiai nekinta dėl koordinačių sistemos ašiųtransformacijos ndash izotropiškumas Erdvės vienalytiškumas ir izotropiškumas yrasvarbiausios savybės inercinėse atskaitos sistemose Svarbiausia laiko savybė ndashvienalytiškumas kiekviena fizikinė situacija vystosi ir kinta vienodai nepriklausomainuo to kokiu momentu ji susiklosčiusi Iš erdvės ir laiko vienalytiškumo išplaukia kadtransformacijos turi būti tiesinės Panagrinėjus nykstamai mažą pokytį d x| nejudančiojekoordinačių sistemoje jį atitiks nykstamai maži d x d y d z d t Tada
x| = xdxpartΦpart 1 + yd
ypartΦpart 1 + zd
zpartΦpart 1 + td
tpartΦpart 1
Kadangi erdvė ir laikas yra vienalyčiai tas ryšys turi būti vienodas visiems erdvėstaškams bet kuriems laiko momentams ty
xpartΦpart 1
ypartΦpart 1
zpartΦpart 1
tpartΦpart 1 = const
Ф1(x y z t) = A1x + A2y + A3z + A4 + A5
čia A1 A2 A3 A4 A5 ndash konstantos priklausančios nuo sistemos judėjimą kitos atžvilgiuapibūdinančių parametrų
y ir z transformacijos Jei koordinačių pradžios laiko momentu t = 0 sutampa tai x = y = z = x| = y| = z| == 0 ir laisvasis narys A5 = 0 Tada
y| = a1x + a2y + a3z + a4tz| = b1x + b2y + b3z + b4t
Kadangi x| ašis sutampa su x tai iš sąlygos y = 0 išplaukia y| = 0 iš ndash z = 0išplaukia z| = 0 Reiškia
0 = a1x + a1sdot0 + a3z + a4t0 = b1x + b2y + b3sdot0 + b4t
O šios lygtys bus patenkintos tik tada jeigu a1 = a3 = a4 = 0 ir b1 = b2 = b4 = 0Tada y| = ay z| = az a ndash rodo kiek kartų y| yra didesnė už y
y = a1 y| z =
a1 z|
1a ndash rodo kiek kartų pasirinkto mastelio ilgis nejudančioje sistemoje yra didesnisnegu judančioje Pagal realiatyvumo principą abi sistemos yra lygiavertės Taigi 1a =a ir a = +1 a = -1 neįmanoma nes sutarta kad sistemos nekeičia savo krypties (x y z irx| y| z| ašys sutampa Taigi y = y| ir z = z|
x ir t transformacija Kadangikintamieji y ir z transformuojami atskirai taix ir t transformacijos bus tiesinės jųfunkcijos Judančios koordinačių sistemospradžios taškas nejudančioje sistemojenusakomas koordinate x| = α(x ndash vt) čia ndash αproporcingumo koeficientas kurį reikiarasti Lygiai taip pat pereinant iš judančiossistemos į nejudančią x = α|(x|+ vt|) Tadaremiantis reliatyvumo principu α| = αSakykime judančioje koordinačių sistemojeyra ilgio l strypas gulintis išilgai x| ašies l= x|
2 ndash x|1 Nejudančios sistemos atžvilgiu
strypas juda greičiu v Tada
x|1 = α(x1 ndash vt0) x|
2 = α(x2 ndash vt0)x2 ndash x1 = (x|
2 ndash x|1)α =lα
Judančio strypo ilgis nejudančioje sistemoje Dabar tarkime kad tas pats strypasnejuda nejudančioje koordinačių sistemoje x2 ndash x1= l Tada x1 = α|(x|
1 + vt|0) ir x2 = α|(x|
2+ vt|
0) Ir judančio strypo ilgis judančioje sistemoje yra x|
2 ndash x|1 = (x2 ndash x1)α| Pagal
reliatyvumo principą lα = lα| ty α = α| Iš šviesos greičio pastovumo laiko momentu t= t| = 0 iš koordinačių pradžios (kurios sutampa) pasiunčiamas šviesos signalas Kadangišviesos greitis abiejose sistemose vienodas tai x| = ct| ir x = ct Tada jei α = α| tai iš
x| = α(x ndash vt) ir x = α|(x| + vt|) išplaukia kad
y y|
x x|
z z|
rarr
v
ct| = α(ct ndash vt) ir ct = α(ct| + vt|) dabar sudauginę abi išraiškas gausime2α = 22
2
vcc+
2α = )1(
122 cvminus
2α = 1 22 1 cvminus
Kadangi vt| = αx - x| =
αx - α(x ndash vt) = α v t + x(
α1 - α)
t| = αt + vx ( 2
1α
- 1) t| =
2
2
1
1
cv
minus
t + vx [( 1 - 2
2
cv ) -1] t| =
2
2
2
1cv
xcvt
minus
minus
Lorenco transformacijos
2
2
|
1cvvtxx
minus
minus= yy =| zz =|
2
2
2|
1
)(
cv
xcvttminus
minus=
Atvirkštinės transformacijos išreiškiamos (remiantis reliatyvumo principu) taippat tik pakeitus ženklą
2
2
||
1cvvtxx
minus
+= |yy = |zz =
2
2
2|
1
)(
cv
xcvttminus
+=
Galilėjaus transformacijos gaunamos kai vc ltlt 1
6 Lorenco transformacijų išvada vienalaikiškumo reliatyvumas
Du įvykiai skirtingose koordinačių sistemos taškuose x1 ir x2 vadinamivienalaikiais jeigu jie įvyksta tą patį laiko momentą pagal tos koordinačių sistemoslaikrodį Tegu įvykiai įvyko laiko momentu t0 nejudančioje koordinačių sistemojeJudančioje koordinačių sistemoje įvykiai įvyko taškuose x|
1 ir x|2 momentais t|1 ir t|2 Laiką
t|1 ir t|2 parodė judančios koordinačių sistemos laikrodžiai esantys jos taškuose x|1 ir x|
2tais momentais kai tuose taškuose įvyko nagrinėjamas įvykis Ryšys tarp judančios irnejudančios sistemos
2
201|
1
1cvvtxx
minus
minus=
2
202|
2
1cvvtxx
minus
minus=
2
2
120|1
1
)(
cv
xcvt
tminus
minus=
2
2
220|2
1
)(
cv
xcvt
tminus
minus=
Pažymėkime 2
2
1cv
minus = β
Matome kad įvykiai judančioje koordinačių sistemoje įvyko ne tuo pačiumomentu
)()()(212
12
022
0|1
|2
| xxcvxcvtxcvtttt minus=
+minusminus=minus=∆
ββ Vienalaikiškumo sąvoka neturi absoliučios prasmės nepriklausančios nuokoordinačių sistemos Teiginys įvyko vienu laikurdquo reikalauja nurodyti koordinačiųsistemą Vienalaikiškumo reliatyvumas ir priežastingumas Iš ∆t| formulės seka kad jeigux1 gt x2 tai koordinačių sistemoje judančioje x ašies teigiama kryptimi (v gt 0) turi būti t|2gt t|1 o koordinačių sistemoje judančioje į priešingą pusę (v lt 0) turi būti t|2 lt t|1 ty tiepatys įvykiai skirtingose koordinačių sistemose vyksta ne ta pačia tvarka Ar negali būtikad pasekmė bus ankstesnė už priežastį Kad priežastis ir pasekmė nepriklausytų nuo tokokioje koordinačių sistemoje nagrinėjamos būtina sąlyga jokie materialųs poveikiaikuriais realizuojamas fizinis ryšys tarp įvykių skirtinguose taškuose negali būtiperduodamas greičiu didesniu už šviesos greitį Pvz Nejudančioje koordinačių sistemoje įvykis įvyksta taške x1 laiko momentot1 ir yra priežastis sukėlusi įvykį taške x2 gt x1 laiko momentu t2 gt t1 Greitį kuriuoperduodama įtaka iš x1 į x2 pažymėkime vįt Pagal greičio apibrėžimą
1212 tt
vxx
įt
minus=minus
Judančioje koordinačių sistemoje tie įvykiai vyksta taškouse x|1 ir x|
2 laikomomentais t|1 ir t|2 Tada iš lygybės t| = t ndash (vc2)xβ gauname
(x2 ndashx1) = vįt(t2 ndash t1)
)1())((2
12122
12|1
|2 įtvc
vttxxcvtttt minusminus
=minusminusminus
=minusββ
Iš šios išraiškos jeigu )1( 2 įtvcv
minus lt 0 tai judančioje koordinačių sistemoje
pasekmė įvyks anksčiau už priežastį Bet tai neįmanoma Todėl visada įtvcv21minus gt 0 arba
įtakos perdavimo greitis bus vįt gt cvc Lorenco transformacijos turi prasmę tik tada kai
v le c
7 Lorenco transformacijų išvada intervalo invariantiškumas Judančio kūno ilgis
Intrevalo invariantiškumas Galilėjaus transformacijų invariantai yra kūno ilgis ir laiko tarpas tarp įvykiųtačiau jie nėra Lorenco transformacijų invariantai ty jie priklauso nuo koordinačiųsistemos Lorenco transformacijų invariantas yra erdvės laiko intervalas Tegu taške (x1 y1z1) laiko momentu t1 įvyko įvykis o taške (x2 y2 z2) ir laiko momentu t2 kitas įvykisIntervalu tarp tų įvykių vadinamas dydis ss2 = (x2 ndash x1)2 + (y2 ndash y1)2 + (z2 ndash z1)2 ndash c2(t2 ndash t1)2 Kuris yra vienodas visose koordinačių sistemose invariantas Tai įrodysime
β)( |
1|2
|1
|2
12ttvxxxx minus+minus
=minus
|1
|212 yyyy minus=minus
|1
|212 zzzz minus=minus
β))(( |
1|2
2|1
|2
12xxcvtttt minus+minus
=minus
Įrašius šias reikšmes į s išraišką gauname kad
minusminus+minus+minus=minusminusminus+minus+minus= 2|1
|2
2|1
|2
2|1
|2
212
2212
212
212
2 )()()()()()()( zzyyxxttczzyyxxs2|
1|2
2 )( ttc minusminus = 2|s
Jeigu x2 ndash x1 = ds tai
d s2 = d x2 + d y2 + d z2 ndash c2 d t2 yra invariantas
Erdviškieji ir laikiškieji intervalai Iš anksčiau jei atstumas tarp (x1 y1 z1) ir (x2 y2 z2) yra l o laiko tarpas tarp tųįvykių t tai s2 = l2 ndash c2t2 yra invariantas Sakykime tam tikroje koordinačių sistemojeįvykių negali sieti priežastinis ryšys Tada l gt ct ir s2 gt 0 (veikimo sklidimo atstumasmažesnis už atstumą tarp įvykių) Taigi erdviškasis intervalas yra s2 gt 0 Erdviškąjamintervalui galime parinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiai vyksta vienu metuskirtinguose erdvės taškuose (s2 = l2 gt 0 t = 0) ir nėra tokios koordinačių sistemoskurioje tie įvykiai vyktų tame pačiame taške nes tada l = 0 ty = s2 = -c2t2 lt 0 taiprieštarauja sąlygai s2 gt 0 Jeigu įvykius gali sieti priežastinis ryšys tai l lt ct ir s2 lt 0Tai laikiškasis intervalas galima pasirinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiaiįvyksta tame pačiame erdvės taške bet skirtingais laiko momentais (l =0 s2 = - c2t2 lt 0)ir nėra tokios koordinačių sistemos kurioje tie du įvykiai būtų vienalaikiai (t = 0 s2 = l2 gt0 kas prieštarauja s2 lt 0) Intervalo tarp įvykių laikiškumas arba erdviškumasnepriklauso nuo koordinačių sistemos ndash tai įvykių invariantiška savybė
Judančio kūno ilgis Judančio kūno ilgiu vadinamas atstumas tarp nejudančios koordinačių sistemostaškų su kuriais sutampa judančio strypo pradžia ir galas vienu laiko momentu pagalnejudančios koordinačių sistemos laikrodį Judančios koordinačių sistemos laikrodžiaiesantys strypo galuose rodys skirtingą laiką ir strypo galai bus fiksuojami skirtingu laiku- strypo ilgis nėra Lorenco transformacijų invariantas skirtingose sistemose skiriasiTegu judančioje koordinačių sistemoje nejudančio strypo ilgis l = x|
2 ndash x|1 ir nukreiptas
išilgai x ašies
β01|
1vtxx minus
= β
02|2
vtxx minus=
ββ
|12|
1|2
llxxlxx =rArrminus
==minus
2
2| 1
cvll minus=
Taigi judantis kūnas yra trumpesnis už nejudantį Ta prasme kad tam tikru laikomomentu pagal nejudančios sistemos laikrodį užfiksuojamos visų judančio kūnopaviršiaus taškų koordinatės Tai momentinė kopija kuri atrodytų suplota jeigu būtųregistruojama nejudanti Vizualiai viskas būtų kitaip nes 1) šviesos spinduliai iš įvairiųkūno taškų pasiekia stebėtoją per skirtingą laiką 2) pasireiškia šviesos aberacija todėlregimoji kryptis nesutampa su tikrąja taigi kūno forma matoma ne tokia kaip duodaLorenco transformacijos Sutrumpėjimo įvertinimas
Kadangi v ltlt c tai vc ltlt 1 ir išskleidus eilute )211( 2
2|
cvll minusasymp
Tada lcvl
cvllll 2
2
2
2|
21)
211( minus=minusminus=minus=∆ 2
2
21
cv
ll
minus=∆
kai v = 30 kms tai 810
2
1050109109
21 minussdotminus=
sdotsdot
minus=∆ ll ty jeigu raketa bus 100 m ilgio tai
sutrumpės 1 microm kas praktiškai nepastebima Žemė juda apie Saulę 30 kms greičiu irsusiploja judėjimo kryptimi tik 6 cm Jeigu vc = 087 tada kūno ilgis susiploja per pusęJeigu atstumas nejudančioje kooordinačių sistemoje tarp dviejų taškų yra l = x1 ndash x2 ir tietaškai pradėjo judėti teigiama x ašies kryptimi kiekvienu laiko momentu taškų greičiaiyra vienodi ndash vadinasi jie nueina vienodą kelią Tačiau stebėtojas judantis kartu su taistaškais minėtoje sistemoje matys kad atstumas tarp jų didėja ir pasiekus pastovų greitį vbus )(1 22 cvl minus ilgio Paaiškinti galima paprastai nejudančios sistemos atžvilgiu tietaškai judėjo sinchroniškai tačiau judančioje sistemoje ndash nesinchroniškai nessinchroniškumas yra reliatyvus ndash x2 pradėjo greitėti labiau negu x1 ir todėl nutolo Jeigux2 ir x1 sujungti nesvaria spyruokle tai ji bus ištempta ir bus atliktas darbas kurioenergija paimta iš variklių verčiančių judėti tuos taškus Jeigu taškai sujungti absoliučiaistandžiu strypu tai be galo mažai deformacijai sukelti reikės be galo didelės energijostaigi jo galai negali judėti tuo pačiu dėsniu Išvada nagrinėjant materialių kūnų judėjimąjų negalima laikyti absoliučiai kietais
8 Lorenco transformacijų išvada judančių laikrodžių laikas savasis laikas
Judančių laikrodžių eigos sparta Savasis laikas Iš Lorenco transformacijų ndash
β
|0
2|1
1)( xcvtt +
= β))(( |0
2|22 xcvtt += β)( |
1|212
| ttttt minus=minus=∆ β| tt ∆=∆
Laiko tarpas tarp įvykių išmatuotas judančiais laikrodžiais yra trumpesnis negumatuojant nejudančiais laikrodžiais judantis laikrodis eina lėčiau už nejudantį Tačiaujudančius laikrodžius galime laikyti nejudančiais Ar tai neprieštarauja reliatyvumoprincipui Ne nes vieno ir to paties judančio taško laikas lyginamas su įvairių nejudančiųtaškų laiku o norint pritaikyti reliatyvumo principą reikia įvairių judančios sistemostaškų laiką palyginti su to paties nejudančios koordinačių sistemos taško laiku Tegutaške x0 vienas po kito įvyko du įvykiai judančioje nebrūkšniuotoje koordinačiųsistemoje Laiko tarpas tarp jų ∆t = t2 ndash t1 Brūkšniuotoje koordinačių sistemoje kuri yranejudanti įvykiai įvyko skirtinguose taškuose laiko momentais t|
1 ir t|2
β0
21|
1)( xcvtt minus
= β
02
2|2
)( xcvtt minus=
βtttt ∆
=minus=∆ |1
|2
|
Tačiau dabar ∆t| yra laikas tarp įvykių nejudančioje koordinačių sistemoje ∆t ndashnejudančioje Prieštaravimo nėra
Laikas matuojamas su judančiu tašku susijusiu laikrodžiu vadinamas savuojulaiku Su judančiu tašku susijusio laikrodžio laiko skirtumas ndash d τ d t ndash laikodiferencialas inercinėje sistemoje kurioje nagrinėjamas taškas juda greičiu v
)(1 22 cvdtd minus=τ
222222 tdczdydxdsd minus++= 2
222rarr
=++ rdzdydxd ))(1(2
222rarr
minusminus= rdtdcsd
)11()1( 2
2
2222
tdrd
ctdcsd
rarr
minusminus= 2
2
2rarr
rarr
= vtdrd )(1 22 cvtdicsd minus= )(1 22 cvtdd minus=τ
icsdd =τ čia d s ndash invariantas c ndash pastovus d τ ndash invariantas Savasis laikas yraLorenco transformacijų invariantas nes savasis laikas matuojamas laikrodžiu kurissusietas su pačiu judančiu tašku todėl nesvarbu kokioje koordinačių sistemojeatskaitomi jo parodymai Eksperimentai patvirtinantys laiko reliatyvumą Matuojant +micro mezono nueitą kelią nuo jo atsiradimo iki išnykimo ir nustatyti jo greitįKuo +micro mezono judėjimo greitis didesnis tuo gyvavimo trukmė turi būti ilgesnė nes
βττ micromicro )0(= )0(microτ - savoji gyvavimo trukmė Jeigu laikas nelėtėja tai kelio ilgio
priklausomybė nuo greičio - vl )0(microτ= - tiesinė v funkcija Jeigu lėtėja -
)(1 22)0( cvvl minus= microτ - netiesinė v funkcija Išmatavus l = f(v) buvo gauta kad ji atitinka
reliatyvistinę formulę Dar akivaizdesnis bandymas buvo atliktas 1972 m Su trimatominiais laikrodžiais
Du atominiai laikrodžiai buvo įmontuoti įreaktyvinius lėktuvus o vienas buvosumontuotas aerouoste Visi trys laikrodžiaibuvo sinchronizuoti Po to abu lėktuvai pakilo įorą
Vienas skrenda prieš Žemės sukimąsi o kitaspagal trečias lieka vietoje Gryžus palyginamilaikrodžių parodymai Visi laikrodžiainagrinėjami Žemės centro atžvilgiu nes tokiasistema yra inercinė Kadangi v gt u| tai abuskrendantys laikrodžiai juda iš rytų į vakarusNejudančio Žemės paviršiuje laikrodžio savasislaikas 0τ judančio į vakarus savasis laikas +τ į rytus - minusτ
)(1 220 cvtdd minus=τ 2
2| )(1cuvtdd minus
minus=+τ 2
2| )(1c
uvtdd +minus=minusτ
0τd ir +τd - skuba o 0τd ir minusτd - vėluoja Tačiau traukos laukai taip pat lėtinalaikrodžių eigą taigi laikrodis kuris liko Žemės paviršiuje eis lėčiau negu laikrodžiaikurie yra lėktuvuose nes pastarieji yra silpnesniame traukos lauke Skridęs į vakarusskubėjo 275 ns o į rytus vėlavo 40 ns Sutapo teoriškai Su pagreičiais judančių laikrodžių eiga Formulė βτ sdot= dtd išvesta tolyginiam judėjimui o specialioji reliatyvumo teorijaneaprašo netolygaus judėjimo Bandymais buvo parodyta kad ši formulė galioja irjudėjimui su pagreičiu (bent jau sukimuisi apskritimu) nes buvo tiriamas elektringųdalelių judėjimas magnetiniame lauke veikiant Lorenco jėgai
vndash u|-
v + u|
rarr
v
9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados
Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|
= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai
1) judančioje |
||
tdxdux = |
||
tdyduy = |
||
tdzduz =
2) nejudančioje tdxdux =
tdyduy =
tdzduz =
Tada
β
|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =
ββ
)1( 2||
||
cvutd
tdvxdddxdu
x
x
+
+==
ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+
=+
= )1( 2
||
|
cvutd
ydtdydu
x
y
+
sdot==
β
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+=
|2
|2
2
1
1
x
y
y
ucv
ucv
u+
minus=
|2
|2
2
1
1
x
z
z
ucv
ucv
u+
minus=
Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|
y = u|z = 0 o u|
x = c tada
c
ccvvcux =
+
+=
21
Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|
x = 0 u|y = c u|
z = 0 Nejudančioje
koordinačių sistemoje ndash ux = v 2
2
1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių
sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi
2
2
1
1
cvc
vuutg
y
x
minus
===β Ši
formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu
Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje
ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+= kai aplinka juda plusmn v tai
)1()()(1
)(
2cnvv
nc
cncvvnvux msdotplusmn=
plusmn
plusmn= nes
cv ltlt 1
cnv
cnvcv
ncux
2
2 minusplusmnasymp m 02
asympcnv
vnn
cux sdotminusasymp )11( 2m
Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio
transformacija Pagreitis a|x a|
y a|z kur |
||
tduda x
x = u|x = u|
y = u|z = 0 tada
nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje
koordinačių sistemoje td
uda xx =
)1
()(2
||
cvu
vuux
xx
+
+=
|22|
22
2
2
2
|
2
|
22
|
|
22|
|2|
2
|
|
))(1()(1)1(
)1())(1())((
1x
x
xx
x
x
x
xx
x
xx ud
cvucv
cv
cvu
cvu
cvuud
cvuudcvvu
cvuudud
+minus
=minusminus++
=++
minus+
=
|232
2
|
22|22
)1()(1)(1(
xxx
x acv
tdcvudcv
tduda minus=
minussdotminus==
10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos
Masė
Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų
Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1
(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose
Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos
sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1
rarr
v ir 2
rarr
v
o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1
rarr
∆ v ir 2
rarr
∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211
rarrrarr
∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens
Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm
tvm
∆∆
minus=∆∆
rarrrarr
22
11 ir kai ∆t rarr 0 tai
2211
rarrrarr
minus= amam
3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1
|
11
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv ir 1
|
22
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|
1 ir v|2 po susidūrimo Tada
)()( 2
|
221
|
11
rarrrarrrarrrarr
minusminus=minus vvmvvm ir |
21
|
112211
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm
Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams
21
rarrrarrrarr
+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr
= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara
11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis
Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis
F tdpdFrarr
rarr
= Dydis F yra koordinčių rarr
r ir greičio rarr
v funkcija )(rarrrarrrarr
vrF Taigi tdpdrarr
apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr
F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai
II Niutono dėsnis tdpdFrarr
rarr
= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu
atveju kai )(tmm ne tai rarr
rarr
= Ftdvdm
rarrrarr
= Ftdrdm 2
2
Taigi pagrindinis klasikinės
mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr
vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį
x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi
TtAx π2cos=
Tt
TAx ππ 2sin2
minus=bull
TtA
Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull
mxT
x sdotminus=bullbull
|)2( 2π
xmT
xm 2)2( πminus=
bullbull
kmT
=2)2( π
k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis
Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui
bullbullbull
minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra
)(rarrrarrrarr
larr rarr
rarr
vrFv RASTIti
RASTIi
m
A
x
a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai
0=
rarr
tdpd taigi constp =
rarr
ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir
greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma
Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1
rarr
F ir 2
rarr
F ir klausiama kokia viena jėgararr
F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga
Jeigu turėsime n jėgų iFrarr
kurios veikia materialų
tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr
F - sakoma kad
tai bus geometrinė iFrarr
jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu
kiekviena jėga iFrarr
suteikia materialiam taškui
pagreitį iararr
tai atstojamasis judėjimas
bus randamas visų iararr
vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr
= amF irgi bus
nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr
= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti
F F1 F
12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka
Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis
1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr
21 iš
2121 0rarrrarr
bullrarr
bullrarr
minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis
Tegu ikFrarr
- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr
- priešingai Tada iš
III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr
minus= 0=+rarrrarr
iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -
ikFrarr
Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru
atveju vidinių jėgų suma 0)()(
3
)(
2
)(
1 =++++rarrrarrrarrrarr i
n
iii
FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1
iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti
)(
1
)(
11
ei
FFtdpd rarrrarrrarr
+=
+)(
2
)(
22
ei
FFtd
pd rarrrarrrarr
+=
)()()()()(
3
)(
2
)(
1
)()(
2
)(
121
i
n
eeei
n
ii
n FFFFFFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
++++++++=+++
Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai
)()(
2
)(
121 )(e
n
ee
n FFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarr
+++=+++ ir )(e
Fptd
d rarrrarr
=
kur rarr
p - visos sistemos impulsas o )(e
Frarr
- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių
sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(
=rarr e
F tada
0=
rarr
tdpd ir
rarr
p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą
geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(
nerarr e
F tačiau
0)(
=rarr e
xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso
projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne
poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn
iF 0 tada tas pats
galioja ir impulsui rarr
p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)
Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš
III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm
Fa+
= o Fmm
mFFBA
B
+== 21 Šis sprendimas
nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|
2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|
1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|
1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =
F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB
Netamprus siūlas F F1 F2 A B
rarr
v
Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|
1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į
siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai
Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki
taško B tai jėga rarr
F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso
tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta
A|
A F B
laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas
cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis
Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis
xFtdxdm =2
2
yFtdydm =2
2
zFtdzdm =2
2
Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos
Paprastai tai būna rarr
r ir rarr
v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa
Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr
= gmF taigi
rarrrarr
= gtdrd2
2
arba rarr
rarr
= gtdvd ir
rarrrarr
= vtdrd iš čia 0
rarrrarrrarr
+= vtgv 002
21 rarrrarrrarrrarr
++= rtvtgr
Tai bendras sprendinys o paimdami 0
rarr
v ir 0
rarr
r konkrečias vertes gausime atskirą
prendinį o 0
rarr
v ir 0
rarr
r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną
Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1
rarr
v ir 2
rarr
v iki
susidūrimo ir po jo rarr
v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr
=+ vmvmvm 2211
Sistemoje A| judančioje greičiu rarr
v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|
22
|
11
rarrrarrrarr
=+ vmvmvm
Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr
v ir v| tadararrrarrrarr
minus= vvv 1
|
1 rarrrarrrarr
minus= vvv 2
|
2 rarrrarrrarr
minus= vvv|
Tada gauname
)()()( 2211
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr
minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr
=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių
adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių
adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau
13 Trinties dėsniai
1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja
P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)
Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio
fn
ftr f
P
d K = -ftrarr
s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga
Kai greičiai mažirarrrarr
minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę
rarrrarr
minus=minus= vvkvvvkftr 2
22
Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt
Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)
ftr
f0
d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0
v
Rimties trintiesjėga
f k2v2
k1v Turbulentinis aptekėjimas
Laminarinis aptekėjimas
v
14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas
1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e
Ftdpd rarrrarr
= - geometrinė
visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0
)(0 ttFpp e minus=minus -
jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su
21 ++=rarrrarrrarr
vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti
)( 01)(
101 ttFpp e minus=minusrarrrarr
+
)( 12)(
212 ttFpp e minus=minusrarrrarr
-------------------------------
ne
nee
n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr
minus
rarrrarr)(
2)(
21)(
101121
sum=
rarrrarr
∆=minusn
ii
ei tFpp
1
)(0 kai sum intequiv∆
rarr∆ i
t
t
ei
ei
tdFtF
i 0
)(lim )()(
0ττ tai int=minus
rarrrarr t
t
e dFpp0
)()(0 ττ
Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės
Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas
1 T1
2 T2
P
15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė
Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos
judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių
taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr
Rišreiškiamas
mrmrmR 211 ++
=
rarrrarrrarr
kur 321 +++= mmmm
21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr
rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmvm rarr
= vmp )(eFtdvdm =
rarr
Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai
00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=
rarr
Materialių
taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje
Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys
1
12
12
mF
tdrd
rarrrarr
= 2
22
22
mF
tdrd
rarrrarr
= Be to iš
trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr
= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime
)11()(21
21
1
2
2122
2
mmF
mF
mFrr
tdd
+=minus=minus
rarrrarrrarrrarr
Ši
lygtis aprašo vieno materialaus taško
judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr
minus= rrryra radius vektorius
m1
m2
O
rarr
r
1rarr
r2
rarr
r
z
x
1rarr
r
2rarr
r
R
y
Pažymėjus
21
111mm
+=micro
arba 21
21
mmmm+
=micro tada 22
2
Ftdrd=
rarr
micro
Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr
F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį
)(e
Ftdvdm
rarrrarr
= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo
tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi
Lygties 2rMmGF = vektorinė forma
rarrrarr
rarr
minus=minus= rrMmG
rr
rMmGF 32 Įvedus micro
planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip
rarrbullbullbullbull
minus==+
equiv rrMmGFr
MmMmr 3micro
rarrrarr +minus=
bullbull
rrmMGr 3 Kadangi laikome kad
sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr
minus=bullbull
rwr 2
322 )2(
rmMG
Tw +
==π arba 3r
mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo
periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w
32
1
21 )2(
rMG
Tw ==
π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w
32
22
2)2(rMG
Tw ==
π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2
2
12
1
2 ==TT
ww Apsisukimo
periodas antru atveju 2 kartų mažesnis
Planeta m
Saulė
M
rarr
r
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
ttxttx
tx
∆minus∆+
=∆∆
=)()(vvid
Toks vidutinio greičio apibrėžimas galioja visiems ∆t išskyrus ∆t = 0 nes 00neturi prasmės Bendruoju atveju vvid priklauso ne tik nuo ∆t bet ir nuo t Mūsų atvejuimkime kad t nekinta o ∆t rarr 0 (nykstamai mažėja) tada ∆xx artėja prie tam tikrodydžio kuris jau priklauso tik nuo t bet nepriklauso nuo ∆t Šis dydis arba ribavadinamas tikruoju arba momentiniu materialaus taško greičiu laiko momentu t
ttxttx
tx
tt ∆minus∆+
=∆∆
=rarr∆rarr∆
)()(limlimv00
Matematikoje tokia išraiška vadinama funkcijos x(t) išvestine pagal argumentą tžymima dxdt Taigi momentinis arba tikrasis greitis yra koordinatės (arba nueito kelio) xišvestinė pagal t
tx
ddv =
Kaip jau minėta greitis bus laiko funkcija v = v(t) (bendru atveju) Greičioišvestinė pagal laiką yra materialaus taško pagreitis a
tttt
ta
t ∆minus∆+
==rarr∆
)(v)(vlimddv
0
Kadangi v = dxdt gauname kad pagreitis yra antroji koordinatės išvestinė pagallaiką
2
2
dd
txa =
Pvz Tegu taško judėjimas aprašomas x = At2 + Bt +C kur A B C ndash pastovūskoeficientai tada
x + ∆x = A(t + ∆t)2 + B(t + ∆t) + C = At2 + 2At∆t + A∆t2 + Bt + B∆t + C = = (At2 + Bt +C) + (2At + B)∆t + A∆t2
Iš vidutinio greičio apibrėžimo
tABAtt
CBtAttAtBAtCBtAtt
txttx
∆++=
=∆
++minus∆+∆++++=
∆minus∆+
=
)2(
)()2()()()(v222
Matome kad vvid priklauso ir nuo t ir nuo ∆t Norint gauti momentinį greitį reikiaskaičiuoti ribą kai ∆t rarr 0
BAttABAttt
+=∆++==rarr∆rarr∆
2])2[(limvlimv00
vid
Matome kad momentinis greitis priklauso tik nuo t pagreitis bus
At
a 2ddv
==
Kaip matome šiuo atveju pagreitis jau nebepriklauso nuo laiko ndash tolygiaigreitėjantis arba tolygiai lėtėjantis judėjimas Bendru atveju a = a(t)
2 Kampinis greitis Ryšys tarp kreivalinijinio greičio ir nueito kelio Pagreitis taškuijudant kreiva trajektorija
Analogiškai su linijiniu greičiu ir pagreičiu sukamąjam judėjimui galima įvestikampinį greitį ω ir kampinį pagreitį ε Kampinis greitis
tddα
=ω
Jeigu α = ω t + const tai kampinis greitis bus pastovus Sukimųsi dažnis parodomaterialaus taško apsisukimų skaičių per laiko intervalą
tdd
21
2α
sdotπ
=πω
=ν
Dydis T = 1ν vadinamas apsisukimų periodu Kampinis pagreitis jeigu ω = ω(t)bus
2
2
dd
dd
ttα
=ω
=ε
Kampinis pagreitis lygus pirmai kampinio greičio išvestinei arba antrai kampoišvestinei pagal laiką
Jeigu apsisukimo spindulys yra r tai ∆s =r∆α tada
t
rts
∆∆
=∆∆ α ir
tr
ts
tt ∆∆
=∆∆
rarr∆rarr∆
α00
limlim
v = rw Jeigu kampinis greitis yra w(t) tai
diferencijuojant pagal laiką
a = d vd t = r d wd t
Kreivalinijinio judėjimo greitis ir pagreitis (bendruoju atveju) yra
rr = r(t) )(1 trr = r(t + ∆t) t
trttrtr
∆minus∆+
=∆∆
=)()(vvid
rrvr
M rarr
v (t) M1
rarr
∆ r (t)rarr
r (t) rarr
r 1(t)
α O
M1 M AElig s x
s∆ α O r
Imant ∆t rarr 0 rarrv = d
rarr
r dt = tr
t ∆∆
rarr
rarr∆ 0lim Tikrasis arba momentinis greitis yra
vektorius nukreiptas liestinės kryptimi trajektorijos taškerarr
r (t) Tokiu būdu aprašomas irpagreitis tai yra vektorius lygus greičio vektoriaus pirmai išvestinei arba spinduliovektoriaus antrai išvestinei
2
2
dd
dvd
tr
ta ==
rr
Tada galima ir greitį atvaizduoti pagal analogiją su spinduliu Greičio vektoriaus
galo taškas vadinamas greičio tašku o visuma tų taškų ndash greičio hodografu
Matematiniu požiūriu visiškai nesvarbifizikinė prasmė todėl ar diferencijuojamasr ar v nėra skirtumo Taigi galimaanalogija momentinis greitis nukreiptastrajektorijos liestinės kryptimi pagreitis busnukreiptas liestinės hodografui kryptimi
Pvz Sakykime kad materialustaškas juda apskritimu kurio spindulys rGreitis bus nukreiptas liestinės taške Mliestinės kryptimi o jo dydis v= ωr = 2πrT
Hodografas bus apskritimas kurio spindulys lygus rarr
r o pagreičio vektorius busnukreiptas hodografo liestinės taško kryptimi į apskritimo centrą Tada pagreitis bus
a = ω v = 2πrT = v 2r
Tai įcentrinio pagreičio formolė kuri vektorinėje formoje užrašoma taip rarr
a = - w2 rarr
r Imkime bet kokią trajektoriją Tada rarr
v = v rarr
s kur s - vienetinis
trajektorijos vektorius Trikampis yra lygiašonis bet ∆s artėjant į nulį ∆rarr
s rarr
s Jeigu rarr
a
S
rarr
v
rarr
n
O
a
M1
rarr
r
a A1
rarr
v
O1
A a
rarr
∆ v a1
rarr
v 1
rarr
v
O
= v middot drarr
s d t tada sulyginę šios lygybės dešinę pusę su įcentrinio pagreičio išraiškos
dešiniaja puse gausime rnv
tsv
rr
sdot=sdot 2dd Abi lygybės puses padalinę iš v gausime
rnv
ts rr
sdot=dd Žinodami kad d s = vmiddotd t užrašysime n
rv
ts
ss
tr
rr
sdotsdot=sdot=1
dd
dd
dsd arba n
rss rr
sdot=1
dd
Iš čia matyti kad trajektorijos liestinės vienetinio vektoriaus išvestinė yra statmena tam
vienetiniam vektoriui (tai seka iš liestinės sąvokos) d rarr
s rarr
n Kai ∆s rarr 0 α rarr 0 irrarr
s drarr
s Dydis 1r vadinamas trajektorijos kreivumo radiusu (duotame taške) o rarr
n ndash
normalės vektoriumi Kadangi 1r yra teigiamas o rarr
n ir rarr
s priešingų krypčių tai rarr
n visada
nukreiptas į įgaubtąją trajektorijos pusę Bendru atveju 1r ir rarr
n visą laiką kintaskirtinguose trajektorijos taškuose Kreivės gali būti plokštuminės (apskritimas elipsė hiperbolė parabolė ir tt) irerdvinės (spiralė) Plokštuma kurioje yra liestinė ir normalė vadinama liečiamaja ostatmuo išvestas iš duotojo taško į plokštumą ndash binormale Taigi bendru atvejurarr
v =v(t)s(t) Panaudodami dviejų kintamų dydžių diferenciavimo taisyklę gaunamerarr
a = d vd t middot rarr
s + rarr
v middot d rarr
s d t arba rarr
a = d vd t middot rarr
s + v2r middotrarr
n Taigi vektorius a guli s ir n plokštumoje Čia gavome viso pagreičio lygtį kuris
sudarytas iš tangentinio ir normalinio pagreičio sumos rarr
a t = d vd t middot rarr
s - tangentiniopagreičio lygtis tangentinis pagreitis yra vektorius kurio kryptis sutampas su trjektorijos
taško liestinės kryptimi rarr
a n = v2r middot rarr
n ndash normalinio pagreičio lygtis normalinis pagreitisyra vektorius kurio kryptis sutampa su trajektorijos normalės vektoriaus kryptimi tynukreiptas į trajektorijos įgaubtąją pusę Tangentinis pagreitis keičia greičio dydį onormalinis keičia greičio kryptį
Reikia neužmiršti kad trajektorijos kreivė gali būti (dažniausiai ir yra) erdvinė
figūra Tokiu atveju taško judėjimas bus apskaičiuojamas trijų koordinačių kryptimis rarr
i rarr
j rarr
k taigi materialaus taško judėjimą galima aprašyti trimis laisvės laipsniais (vienajudėjimo kryptis ndash vienas laisvės laipsnis)
rarr
s
rarr
∆ s
rarr
s + rarr
∆ s
rarr
s
α
rarrrarr
∆+ ss
rarr
r rarr
n
3 Taško judėjimo klasikinio aprašymo ribos Šviesos sąvoka ir jos greičio matavimo idėjos Fizo bandymas
Klasikinėje mechanikoje kiekvieno kūno judėjimo būvis aprašomas bet kuriuo
laiko momentu koordinatėmis ir greičiu rarr
v Vietoje greičio galime naudoti impulsą rarr
p =
mrarr
v Dalelė yra geometrinis taškas aprašantis kintant laikui nenutrūkstančią
trajektoriją Klasikinėje mechanikoje parodyta kad toks atvaizdavims yra ribotas dalelėsbūseną bet kuriuo laiko momentu negalima charakterizuoti tiksliomis koordinatėmis irimpulso dydžiu tuo pačiu metu Jeigu kuriuo nors laiko momentu dalelės būvisaprašomas koordinate su δ x neapibrėžtimi o impulsas su δ p tai abu šie dydžiai vienumetu negali būti kiek norint maži nes δ x δ p ge h Dydis h ndash Planko konstanta (h =663 middot 10-27) o nelygybė ndash Haizenbergo neapibrėžtumas Haizenbergo neapibrėžtumasnustato principinę ribą iki kurios galima vienu metu išmatuoti koordinatę ir impulsą ir jinegali būti peržengta jokiu matavimo prietaisu ar metodika Tada ir δ x middot m δ v ge h Taigiklasikinis trajektorijos aprašymas yra tik tam tikras atskiras atvejis
Makroskopiniu požiūriu bet kokio daikto padėtį galima nustatyti su tam tikrutikslumu užduodamu matavimo prietaiso Makroskopiniu požiūriu kvantinė mechanikapradeda galioti dalelėms kurių matmenys mažesni už atomo δ x = 10-8 cm tada δ v ge663 middot 10-27 10-8 le 10-18 cmc Kaip matome praktiškai δ x ir δ v yra labai maži todėlklasikinis aprašymas tinkamas makroskopiniams kūnams
Elektrono atveju kurio masė m = 911 10-28 g neapibrėžtumas turi būti nedidesnis už atomo matmenis Tada δ x lt 10-8 cm ir δ v ge hm δ x = 663 10-27911 10-
28 10-8 asymp 7 middot 108 cmc Toks greitis jau netinkamas netgi elektronui atome aprašyti Taigi
klasikinis aprašymas pasidaro netinkamas Kitas ribinis klasikinės mechanikos atvejis tai kūnų judėjimas greičiais artimais
šviesos greičiui Taigi kas yra šviesos greitis Kaip jis matuojamasRiomeris 1676 m išmatavo šviesos greitį matuodamas Jupiterio palydovų
užtemimus Buvo nustatyta kad regimasis jų apsisukimo periodas trumpėja kai Žemė dėlmetinio sukimosi artėja ir periodas ilgėja kai tolsta nuo Jupiterio ndash tai susiję su baigtiniušviesos greičiu
β
α
J s1
T1 s2
T2
S
Ž
T1 = t1 + s1c Kitą kartą Jupiterio palydovas išeis iš šešėlio momentu t2 o Žemėsstebėtojas jį stebės laiko momentu T2 = t2 + s2c Tada palydovo apsisukimo periodas bus Tsteb = T2 ndash T1 = Ttikr + (s2 ndash s1)c Išmatavus daug kartų tiek Žemei tolstant tiek artėjantlink Jupiterio galima išeliminuoti s2 ndash s1 ir žinant Ttikr suskaičiuoti šviesos greitį c =(s2 ndash s1)(Tsteb - Ttikr) Riomeris gavo c = 214 300 kms Tai buvo pirmas sėkmingasšviesos reičio matavimo atvejis Iki Riomerio visi šviesos matavimo mėginimai buvonesėkmingi Šviesos aberacija Jeigu kryptis kuria juda stebėtojas yra statmena krypčiai kuria stebima žvaigždėtai dėl šviesos aberacijos kryptis į žvaigždę skiriasi nuo tikrosios Šviesos aberacijoskampas β = π2 ndash α middot tgβ = vc kur v Žemės judėjimo greičio dedamoji statmenakrypčiai į žvaigždę Išmatavus v ir kryptį į žvaigždę galima gauti c Gauti rezultataisutapo su Riomerio
Fizo bandymas (1851m) taišviesos greičio matavimas judančiojematerijoje (vandenyje) Šviesosgreitis vandenyje yra u| = cn n ndashlūžio rodiklis Jeigu aplinka judastebėtojo atžvilgiu tai šviesos greitisstebėtojo atžvilgiu būtų u| plusmn v ndashpriklausomai nuo greičių krypčiųFizo bandyme du spinduliai judapriešpriešais ir nueina tą patį keliaprieš patekdami į interferometrą Fkol vanduo stikliniame vamzdyjenejuda Kai vanduo juda vienasspindulys juda pagal vandensjudėjimo kryptį o kitas priešingaitodėl turi susidaryti eigos skirtumaskurį galima apskaičiuoti išinterferencinių juostų poslinkioskysčiui stovint ir judant A - šviesosšaltinis B ndash pusiau skaidri plokštelėišskirianti du koherentinius
spindulius K D E ndash veidrodžiail ndash šviesos kelio ruožų vandenyje bendras ilgis t0 ndash laikas kurį spindulys
praeina visus kitus (be skysčio) kelio tarpus u+ - sklindantis pasroviui u- - prieš srovęspindulio greitis skystije u+ = u| + kv u- = u| - kv Kur k ndash koeficientas kurį norėjo surastiFizo Jeigu k = 1 tai teisinga klasikinė greičių sudėties taisyklė o kai k ne 1 tai yranukrypimas Šviesos greitis vandenyje u| = cn = 300 000 13 asymp 230 000 kms Laikasper kurį u+ ir u- spinduliai praeina visą kelią t1 = t0 + l(u| + kv) ir t2 = t0 + l(u| - kv) taigilaiko pokytis yra ∆t = 2lkv u|2 ndash k2v2 Suskaičiavus interferencinių juostų poslinkį iržinant l galima rasti k Fizo gavo k = 1- 1n2 Taigi klasikinio aprašymo taisyklė šviesaijau netinka Tai buvo fantastiška išvada nors tais laikais egzistavo eterio vilkimo teorijakurios išvados pilnai paaiškino Fizo bandymą Fizo bandymas yra eksperimentinisklasikinio greičio sudėties dėsnio ir Galilėjaus transformacijų klaidingumo įrodymas
rarr
v
K D
B EA
F
5 Lorenco transformacijos Postulatai Kai judėjimo greičiai dideli kaip matėme iš Fizo bandymo Galilėjaustransformacijos prieštarauja eksperimentui Reikia kitokių transformacijų kuriosderintųsi su šviesos greičio pastovumu Taigi Lorenco transformacijų postulatai 1) reliatyvumo principas 2) šviesos greičio pastovomas Koordinačių transformacijų tiesiškumas Judančių koordinačių sistemas visada galima orientuoti taip kad sutaptų sukoordinačių pradžia Kadangi greičių sudėčiai jau nebetinka klasikinė formulė tai galimatikėtis kad vienos sistemos laikas jau neišreiškiamas tik kitos sistemos laiku betpriklauso ir nuo koordinačių Tada
x| = Ф1(x y z t) y| = Ф2(x y z t) z| = Ф3(x y z t) t| = Ф4(x y z t)
Bendrą funkcijų Ф pavidalą lemia erdvės ir laiko savybės Nagrinėjantgeometrinius sąryšius vienoje atskaitos sistemoje laikome kad kiekvienas taškas niekuonesiskiria nuo bet kurio kito taško ir visi geometriniai sąryšiai tarp bet kurių geometriniųobjektų bus visiškai tokie pat kaip ir perkėlus koordinačių pradžią į bet kokį kitą taškąerdvės vienalytiškumas Geometriniai sąryšiai nekinta dėl koordinačių sistemos ašiųtransformacijos ndash izotropiškumas Erdvės vienalytiškumas ir izotropiškumas yrasvarbiausios savybės inercinėse atskaitos sistemose Svarbiausia laiko savybė ndashvienalytiškumas kiekviena fizikinė situacija vystosi ir kinta vienodai nepriklausomainuo to kokiu momentu ji susiklosčiusi Iš erdvės ir laiko vienalytiškumo išplaukia kadtransformacijos turi būti tiesinės Panagrinėjus nykstamai mažą pokytį d x| nejudančiojekoordinačių sistemoje jį atitiks nykstamai maži d x d y d z d t Tada
x| = xdxpartΦpart 1 + yd
ypartΦpart 1 + zd
zpartΦpart 1 + td
tpartΦpart 1
Kadangi erdvė ir laikas yra vienalyčiai tas ryšys turi būti vienodas visiems erdvėstaškams bet kuriems laiko momentams ty
xpartΦpart 1
ypartΦpart 1
zpartΦpart 1
tpartΦpart 1 = const
Ф1(x y z t) = A1x + A2y + A3z + A4 + A5
čia A1 A2 A3 A4 A5 ndash konstantos priklausančios nuo sistemos judėjimą kitos atžvilgiuapibūdinančių parametrų
y ir z transformacijos Jei koordinačių pradžios laiko momentu t = 0 sutampa tai x = y = z = x| = y| = z| == 0 ir laisvasis narys A5 = 0 Tada
y| = a1x + a2y + a3z + a4tz| = b1x + b2y + b3z + b4t
Kadangi x| ašis sutampa su x tai iš sąlygos y = 0 išplaukia y| = 0 iš ndash z = 0išplaukia z| = 0 Reiškia
0 = a1x + a1sdot0 + a3z + a4t0 = b1x + b2y + b3sdot0 + b4t
O šios lygtys bus patenkintos tik tada jeigu a1 = a3 = a4 = 0 ir b1 = b2 = b4 = 0Tada y| = ay z| = az a ndash rodo kiek kartų y| yra didesnė už y
y = a1 y| z =
a1 z|
1a ndash rodo kiek kartų pasirinkto mastelio ilgis nejudančioje sistemoje yra didesnisnegu judančioje Pagal realiatyvumo principą abi sistemos yra lygiavertės Taigi 1a =a ir a = +1 a = -1 neįmanoma nes sutarta kad sistemos nekeičia savo krypties (x y z irx| y| z| ašys sutampa Taigi y = y| ir z = z|
x ir t transformacija Kadangikintamieji y ir z transformuojami atskirai taix ir t transformacijos bus tiesinės jųfunkcijos Judančios koordinačių sistemospradžios taškas nejudančioje sistemojenusakomas koordinate x| = α(x ndash vt) čia ndash αproporcingumo koeficientas kurį reikiarasti Lygiai taip pat pereinant iš judančiossistemos į nejudančią x = α|(x|+ vt|) Tadaremiantis reliatyvumo principu α| = αSakykime judančioje koordinačių sistemojeyra ilgio l strypas gulintis išilgai x| ašies l= x|
2 ndash x|1 Nejudančios sistemos atžvilgiu
strypas juda greičiu v Tada
x|1 = α(x1 ndash vt0) x|
2 = α(x2 ndash vt0)x2 ndash x1 = (x|
2 ndash x|1)α =lα
Judančio strypo ilgis nejudančioje sistemoje Dabar tarkime kad tas pats strypasnejuda nejudančioje koordinačių sistemoje x2 ndash x1= l Tada x1 = α|(x|
1 + vt|0) ir x2 = α|(x|
2+ vt|
0) Ir judančio strypo ilgis judančioje sistemoje yra x|
2 ndash x|1 = (x2 ndash x1)α| Pagal
reliatyvumo principą lα = lα| ty α = α| Iš šviesos greičio pastovumo laiko momentu t= t| = 0 iš koordinačių pradžios (kurios sutampa) pasiunčiamas šviesos signalas Kadangišviesos greitis abiejose sistemose vienodas tai x| = ct| ir x = ct Tada jei α = α| tai iš
x| = α(x ndash vt) ir x = α|(x| + vt|) išplaukia kad
y y|
x x|
z z|
rarr
v
ct| = α(ct ndash vt) ir ct = α(ct| + vt|) dabar sudauginę abi išraiškas gausime2α = 22
2
vcc+
2α = )1(
122 cvminus
2α = 1 22 1 cvminus
Kadangi vt| = αx - x| =
αx - α(x ndash vt) = α v t + x(
α1 - α)
t| = αt + vx ( 2
1α
- 1) t| =
2
2
1
1
cv
minus
t + vx [( 1 - 2
2
cv ) -1] t| =
2
2
2
1cv
xcvt
minus
minus
Lorenco transformacijos
2
2
|
1cvvtxx
minus
minus= yy =| zz =|
2
2
2|
1
)(
cv
xcvttminus
minus=
Atvirkštinės transformacijos išreiškiamos (remiantis reliatyvumo principu) taippat tik pakeitus ženklą
2
2
||
1cvvtxx
minus
+= |yy = |zz =
2
2
2|
1
)(
cv
xcvttminus
+=
Galilėjaus transformacijos gaunamos kai vc ltlt 1
6 Lorenco transformacijų išvada vienalaikiškumo reliatyvumas
Du įvykiai skirtingose koordinačių sistemos taškuose x1 ir x2 vadinamivienalaikiais jeigu jie įvyksta tą patį laiko momentą pagal tos koordinačių sistemoslaikrodį Tegu įvykiai įvyko laiko momentu t0 nejudančioje koordinačių sistemojeJudančioje koordinačių sistemoje įvykiai įvyko taškuose x|
1 ir x|2 momentais t|1 ir t|2 Laiką
t|1 ir t|2 parodė judančios koordinačių sistemos laikrodžiai esantys jos taškuose x|1 ir x|
2tais momentais kai tuose taškuose įvyko nagrinėjamas įvykis Ryšys tarp judančios irnejudančios sistemos
2
201|
1
1cvvtxx
minus
minus=
2
202|
2
1cvvtxx
minus
minus=
2
2
120|1
1
)(
cv
xcvt
tminus
minus=
2
2
220|2
1
)(
cv
xcvt
tminus
minus=
Pažymėkime 2
2
1cv
minus = β
Matome kad įvykiai judančioje koordinačių sistemoje įvyko ne tuo pačiumomentu
)()()(212
12
022
0|1
|2
| xxcvxcvtxcvtttt minus=
+minusminus=minus=∆
ββ Vienalaikiškumo sąvoka neturi absoliučios prasmės nepriklausančios nuokoordinačių sistemos Teiginys įvyko vienu laikurdquo reikalauja nurodyti koordinačiųsistemą Vienalaikiškumo reliatyvumas ir priežastingumas Iš ∆t| formulės seka kad jeigux1 gt x2 tai koordinačių sistemoje judančioje x ašies teigiama kryptimi (v gt 0) turi būti t|2gt t|1 o koordinačių sistemoje judančioje į priešingą pusę (v lt 0) turi būti t|2 lt t|1 ty tiepatys įvykiai skirtingose koordinačių sistemose vyksta ne ta pačia tvarka Ar negali būtikad pasekmė bus ankstesnė už priežastį Kad priežastis ir pasekmė nepriklausytų nuo tokokioje koordinačių sistemoje nagrinėjamos būtina sąlyga jokie materialųs poveikiaikuriais realizuojamas fizinis ryšys tarp įvykių skirtinguose taškuose negali būtiperduodamas greičiu didesniu už šviesos greitį Pvz Nejudančioje koordinačių sistemoje įvykis įvyksta taške x1 laiko momentot1 ir yra priežastis sukėlusi įvykį taške x2 gt x1 laiko momentu t2 gt t1 Greitį kuriuoperduodama įtaka iš x1 į x2 pažymėkime vįt Pagal greičio apibrėžimą
1212 tt
vxx
įt
minus=minus
Judančioje koordinačių sistemoje tie įvykiai vyksta taškouse x|1 ir x|
2 laikomomentais t|1 ir t|2 Tada iš lygybės t| = t ndash (vc2)xβ gauname
(x2 ndashx1) = vįt(t2 ndash t1)
)1())((2
12122
12|1
|2 įtvc
vttxxcvtttt minusminus
=minusminusminus
=minusββ
Iš šios išraiškos jeigu )1( 2 įtvcv
minus lt 0 tai judančioje koordinačių sistemoje
pasekmė įvyks anksčiau už priežastį Bet tai neįmanoma Todėl visada įtvcv21minus gt 0 arba
įtakos perdavimo greitis bus vįt gt cvc Lorenco transformacijos turi prasmę tik tada kai
v le c
7 Lorenco transformacijų išvada intervalo invariantiškumas Judančio kūno ilgis
Intrevalo invariantiškumas Galilėjaus transformacijų invariantai yra kūno ilgis ir laiko tarpas tarp įvykiųtačiau jie nėra Lorenco transformacijų invariantai ty jie priklauso nuo koordinačiųsistemos Lorenco transformacijų invariantas yra erdvės laiko intervalas Tegu taške (x1 y1z1) laiko momentu t1 įvyko įvykis o taške (x2 y2 z2) ir laiko momentu t2 kitas įvykisIntervalu tarp tų įvykių vadinamas dydis ss2 = (x2 ndash x1)2 + (y2 ndash y1)2 + (z2 ndash z1)2 ndash c2(t2 ndash t1)2 Kuris yra vienodas visose koordinačių sistemose invariantas Tai įrodysime
β)( |
1|2
|1
|2
12ttvxxxx minus+minus
=minus
|1
|212 yyyy minus=minus
|1
|212 zzzz minus=minus
β))(( |
1|2
2|1
|2
12xxcvtttt minus+minus
=minus
Įrašius šias reikšmes į s išraišką gauname kad
minusminus+minus+minus=minusminusminus+minus+minus= 2|1
|2
2|1
|2
2|1
|2
212
2212
212
212
2 )()()()()()()( zzyyxxttczzyyxxs2|
1|2
2 )( ttc minusminus = 2|s
Jeigu x2 ndash x1 = ds tai
d s2 = d x2 + d y2 + d z2 ndash c2 d t2 yra invariantas
Erdviškieji ir laikiškieji intervalai Iš anksčiau jei atstumas tarp (x1 y1 z1) ir (x2 y2 z2) yra l o laiko tarpas tarp tųįvykių t tai s2 = l2 ndash c2t2 yra invariantas Sakykime tam tikroje koordinačių sistemojeįvykių negali sieti priežastinis ryšys Tada l gt ct ir s2 gt 0 (veikimo sklidimo atstumasmažesnis už atstumą tarp įvykių) Taigi erdviškasis intervalas yra s2 gt 0 Erdviškąjamintervalui galime parinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiai vyksta vienu metuskirtinguose erdvės taškuose (s2 = l2 gt 0 t = 0) ir nėra tokios koordinačių sistemoskurioje tie įvykiai vyktų tame pačiame taške nes tada l = 0 ty = s2 = -c2t2 lt 0 taiprieštarauja sąlygai s2 gt 0 Jeigu įvykius gali sieti priežastinis ryšys tai l lt ct ir s2 lt 0Tai laikiškasis intervalas galima pasirinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiaiįvyksta tame pačiame erdvės taške bet skirtingais laiko momentais (l =0 s2 = - c2t2 lt 0)ir nėra tokios koordinačių sistemos kurioje tie du įvykiai būtų vienalaikiai (t = 0 s2 = l2 gt0 kas prieštarauja s2 lt 0) Intervalo tarp įvykių laikiškumas arba erdviškumasnepriklauso nuo koordinačių sistemos ndash tai įvykių invariantiška savybė
Judančio kūno ilgis Judančio kūno ilgiu vadinamas atstumas tarp nejudančios koordinačių sistemostaškų su kuriais sutampa judančio strypo pradžia ir galas vienu laiko momentu pagalnejudančios koordinačių sistemos laikrodį Judančios koordinačių sistemos laikrodžiaiesantys strypo galuose rodys skirtingą laiką ir strypo galai bus fiksuojami skirtingu laiku- strypo ilgis nėra Lorenco transformacijų invariantas skirtingose sistemose skiriasiTegu judančioje koordinačių sistemoje nejudančio strypo ilgis l = x|
2 ndash x|1 ir nukreiptas
išilgai x ašies
β01|
1vtxx minus
= β
02|2
vtxx minus=
ββ
|12|
1|2
llxxlxx =rArrminus
==minus
2
2| 1
cvll minus=
Taigi judantis kūnas yra trumpesnis už nejudantį Ta prasme kad tam tikru laikomomentu pagal nejudančios sistemos laikrodį užfiksuojamos visų judančio kūnopaviršiaus taškų koordinatės Tai momentinė kopija kuri atrodytų suplota jeigu būtųregistruojama nejudanti Vizualiai viskas būtų kitaip nes 1) šviesos spinduliai iš įvairiųkūno taškų pasiekia stebėtoją per skirtingą laiką 2) pasireiškia šviesos aberacija todėlregimoji kryptis nesutampa su tikrąja taigi kūno forma matoma ne tokia kaip duodaLorenco transformacijos Sutrumpėjimo įvertinimas
Kadangi v ltlt c tai vc ltlt 1 ir išskleidus eilute )211( 2
2|
cvll minusasymp
Tada lcvl
cvllll 2
2
2
2|
21)
211( minus=minusminus=minus=∆ 2
2
21
cv
ll
minus=∆
kai v = 30 kms tai 810
2
1050109109
21 minussdotminus=
sdotsdot
minus=∆ ll ty jeigu raketa bus 100 m ilgio tai
sutrumpės 1 microm kas praktiškai nepastebima Žemė juda apie Saulę 30 kms greičiu irsusiploja judėjimo kryptimi tik 6 cm Jeigu vc = 087 tada kūno ilgis susiploja per pusęJeigu atstumas nejudančioje kooordinačių sistemoje tarp dviejų taškų yra l = x1 ndash x2 ir tietaškai pradėjo judėti teigiama x ašies kryptimi kiekvienu laiko momentu taškų greičiaiyra vienodi ndash vadinasi jie nueina vienodą kelią Tačiau stebėtojas judantis kartu su taistaškais minėtoje sistemoje matys kad atstumas tarp jų didėja ir pasiekus pastovų greitį vbus )(1 22 cvl minus ilgio Paaiškinti galima paprastai nejudančios sistemos atžvilgiu tietaškai judėjo sinchroniškai tačiau judančioje sistemoje ndash nesinchroniškai nessinchroniškumas yra reliatyvus ndash x2 pradėjo greitėti labiau negu x1 ir todėl nutolo Jeigux2 ir x1 sujungti nesvaria spyruokle tai ji bus ištempta ir bus atliktas darbas kurioenergija paimta iš variklių verčiančių judėti tuos taškus Jeigu taškai sujungti absoliučiaistandžiu strypu tai be galo mažai deformacijai sukelti reikės be galo didelės energijostaigi jo galai negali judėti tuo pačiu dėsniu Išvada nagrinėjant materialių kūnų judėjimąjų negalima laikyti absoliučiai kietais
8 Lorenco transformacijų išvada judančių laikrodžių laikas savasis laikas
Judančių laikrodžių eigos sparta Savasis laikas Iš Lorenco transformacijų ndash
β
|0
2|1
1)( xcvtt +
= β))(( |0
2|22 xcvtt += β)( |
1|212
| ttttt minus=minus=∆ β| tt ∆=∆
Laiko tarpas tarp įvykių išmatuotas judančiais laikrodžiais yra trumpesnis negumatuojant nejudančiais laikrodžiais judantis laikrodis eina lėčiau už nejudantį Tačiaujudančius laikrodžius galime laikyti nejudančiais Ar tai neprieštarauja reliatyvumoprincipui Ne nes vieno ir to paties judančio taško laikas lyginamas su įvairių nejudančiųtaškų laiku o norint pritaikyti reliatyvumo principą reikia įvairių judančios sistemostaškų laiką palyginti su to paties nejudančios koordinačių sistemos taško laiku Tegutaške x0 vienas po kito įvyko du įvykiai judančioje nebrūkšniuotoje koordinačiųsistemoje Laiko tarpas tarp jų ∆t = t2 ndash t1 Brūkšniuotoje koordinačių sistemoje kuri yranejudanti įvykiai įvyko skirtinguose taškuose laiko momentais t|
1 ir t|2
β0
21|
1)( xcvtt minus
= β
02
2|2
)( xcvtt minus=
βtttt ∆
=minus=∆ |1
|2
|
Tačiau dabar ∆t| yra laikas tarp įvykių nejudančioje koordinačių sistemoje ∆t ndashnejudančioje Prieštaravimo nėra
Laikas matuojamas su judančiu tašku susijusiu laikrodžiu vadinamas savuojulaiku Su judančiu tašku susijusio laikrodžio laiko skirtumas ndash d τ d t ndash laikodiferencialas inercinėje sistemoje kurioje nagrinėjamas taškas juda greičiu v
)(1 22 cvdtd minus=τ
222222 tdczdydxdsd minus++= 2
222rarr
=++ rdzdydxd ))(1(2
222rarr
minusminus= rdtdcsd
)11()1( 2
2
2222
tdrd
ctdcsd
rarr
minusminus= 2
2
2rarr
rarr
= vtdrd )(1 22 cvtdicsd minus= )(1 22 cvtdd minus=τ
icsdd =τ čia d s ndash invariantas c ndash pastovus d τ ndash invariantas Savasis laikas yraLorenco transformacijų invariantas nes savasis laikas matuojamas laikrodžiu kurissusietas su pačiu judančiu tašku todėl nesvarbu kokioje koordinačių sistemojeatskaitomi jo parodymai Eksperimentai patvirtinantys laiko reliatyvumą Matuojant +micro mezono nueitą kelią nuo jo atsiradimo iki išnykimo ir nustatyti jo greitįKuo +micro mezono judėjimo greitis didesnis tuo gyvavimo trukmė turi būti ilgesnė nes
βττ micromicro )0(= )0(microτ - savoji gyvavimo trukmė Jeigu laikas nelėtėja tai kelio ilgio
priklausomybė nuo greičio - vl )0(microτ= - tiesinė v funkcija Jeigu lėtėja -
)(1 22)0( cvvl minus= microτ - netiesinė v funkcija Išmatavus l = f(v) buvo gauta kad ji atitinka
reliatyvistinę formulę Dar akivaizdesnis bandymas buvo atliktas 1972 m Su trimatominiais laikrodžiais
Du atominiai laikrodžiai buvo įmontuoti įreaktyvinius lėktuvus o vienas buvosumontuotas aerouoste Visi trys laikrodžiaibuvo sinchronizuoti Po to abu lėktuvai pakilo įorą
Vienas skrenda prieš Žemės sukimąsi o kitaspagal trečias lieka vietoje Gryžus palyginamilaikrodžių parodymai Visi laikrodžiainagrinėjami Žemės centro atžvilgiu nes tokiasistema yra inercinė Kadangi v gt u| tai abuskrendantys laikrodžiai juda iš rytų į vakarusNejudančio Žemės paviršiuje laikrodžio savasislaikas 0τ judančio į vakarus savasis laikas +τ į rytus - minusτ
)(1 220 cvtdd minus=τ 2
2| )(1cuvtdd minus
minus=+τ 2
2| )(1c
uvtdd +minus=minusτ
0τd ir +τd - skuba o 0τd ir minusτd - vėluoja Tačiau traukos laukai taip pat lėtinalaikrodžių eigą taigi laikrodis kuris liko Žemės paviršiuje eis lėčiau negu laikrodžiaikurie yra lėktuvuose nes pastarieji yra silpnesniame traukos lauke Skridęs į vakarusskubėjo 275 ns o į rytus vėlavo 40 ns Sutapo teoriškai Su pagreičiais judančių laikrodžių eiga Formulė βτ sdot= dtd išvesta tolyginiam judėjimui o specialioji reliatyvumo teorijaneaprašo netolygaus judėjimo Bandymais buvo parodyta kad ši formulė galioja irjudėjimui su pagreičiu (bent jau sukimuisi apskritimu) nes buvo tiriamas elektringųdalelių judėjimas magnetiniame lauke veikiant Lorenco jėgai
vndash u|-
v + u|
rarr
v
9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados
Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|
= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai
1) judančioje |
||
tdxdux = |
||
tdyduy = |
||
tdzduz =
2) nejudančioje tdxdux =
tdyduy =
tdzduz =
Tada
β
|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =
ββ
)1( 2||
||
cvutd
tdvxdddxdu
x
x
+
+==
ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+
=+
= )1( 2
||
|
cvutd
ydtdydu
x
y
+
sdot==
β
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+=
|2
|2
2
1
1
x
y
y
ucv
ucv
u+
minus=
|2
|2
2
1
1
x
z
z
ucv
ucv
u+
minus=
Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|
y = u|z = 0 o u|
x = c tada
c
ccvvcux =
+
+=
21
Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|
x = 0 u|y = c u|
z = 0 Nejudančioje
koordinačių sistemoje ndash ux = v 2
2
1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių
sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi
2
2
1
1
cvc
vuutg
y
x
minus
===β Ši
formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu
Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje
ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+= kai aplinka juda plusmn v tai
)1()()(1
)(
2cnvv
nc
cncvvnvux msdotplusmn=
plusmn
plusmn= nes
cv ltlt 1
cnv
cnvcv
ncux
2
2 minusplusmnasymp m 02
asympcnv
vnn
cux sdotminusasymp )11( 2m
Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio
transformacija Pagreitis a|x a|
y a|z kur |
||
tduda x
x = u|x = u|
y = u|z = 0 tada
nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje
koordinačių sistemoje td
uda xx =
)1
()(2
||
cvu
vuux
xx
+
+=
|22|
22
2
2
2
|
2
|
22
|
|
22|
|2|
2
|
|
))(1()(1)1(
)1())(1())((
1x
x
xx
x
x
x
xx
x
xx ud
cvucv
cv
cvu
cvu
cvuud
cvuudcvvu
cvuudud
+minus
=minusminus++
=++
minus+
=
|232
2
|
22|22
)1()(1)(1(
xxx
x acv
tdcvudcv
tduda minus=
minussdotminus==
10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos
Masė
Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų
Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1
(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose
Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos
sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1
rarr
v ir 2
rarr
v
o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1
rarr
∆ v ir 2
rarr
∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211
rarrrarr
∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens
Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm
tvm
∆∆
minus=∆∆
rarrrarr
22
11 ir kai ∆t rarr 0 tai
2211
rarrrarr
minus= amam
3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1
|
11
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv ir 1
|
22
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|
1 ir v|2 po susidūrimo Tada
)()( 2
|
221
|
11
rarrrarrrarrrarr
minusminus=minus vvmvvm ir |
21
|
112211
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm
Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams
21
rarrrarrrarr
+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr
= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara
11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis
Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis
F tdpdFrarr
rarr
= Dydis F yra koordinčių rarr
r ir greičio rarr
v funkcija )(rarrrarrrarr
vrF Taigi tdpdrarr
apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr
F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai
II Niutono dėsnis tdpdFrarr
rarr
= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu
atveju kai )(tmm ne tai rarr
rarr
= Ftdvdm
rarrrarr
= Ftdrdm 2
2
Taigi pagrindinis klasikinės
mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr
vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį
x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi
TtAx π2cos=
Tt
TAx ππ 2sin2
minus=bull
TtA
Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull
mxT
x sdotminus=bullbull
|)2( 2π
xmT
xm 2)2( πminus=
bullbull
kmT
=2)2( π
k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis
Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui
bullbullbull
minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra
)(rarrrarrrarr
larr rarr
rarr
vrFv RASTIti
RASTIi
m
A
x
a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai
0=
rarr
tdpd taigi constp =
rarr
ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir
greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma
Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1
rarr
F ir 2
rarr
F ir klausiama kokia viena jėgararr
F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga
Jeigu turėsime n jėgų iFrarr
kurios veikia materialų
tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr
F - sakoma kad
tai bus geometrinė iFrarr
jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu
kiekviena jėga iFrarr
suteikia materialiam taškui
pagreitį iararr
tai atstojamasis judėjimas
bus randamas visų iararr
vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr
= amF irgi bus
nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr
= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti
F F1 F
12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka
Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis
1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr
21 iš
2121 0rarrrarr
bullrarr
bullrarr
minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis
Tegu ikFrarr
- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr
- priešingai Tada iš
III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr
minus= 0=+rarrrarr
iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -
ikFrarr
Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru
atveju vidinių jėgų suma 0)()(
3
)(
2
)(
1 =++++rarrrarrrarrrarr i
n
iii
FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1
iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti
)(
1
)(
11
ei
FFtdpd rarrrarrrarr
+=
+)(
2
)(
22
ei
FFtd
pd rarrrarrrarr
+=
)()()()()(
3
)(
2
)(
1
)()(
2
)(
121
i
n
eeei
n
ii
n FFFFFFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
++++++++=+++
Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai
)()(
2
)(
121 )(e
n
ee
n FFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarr
+++=+++ ir )(e
Fptd
d rarrrarr
=
kur rarr
p - visos sistemos impulsas o )(e
Frarr
- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių
sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(
=rarr e
F tada
0=
rarr
tdpd ir
rarr
p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą
geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(
nerarr e
F tačiau
0)(
=rarr e
xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso
projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne
poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn
iF 0 tada tas pats
galioja ir impulsui rarr
p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)
Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš
III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm
Fa+
= o Fmm
mFFBA
B
+== 21 Šis sprendimas
nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|
2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|
1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|
1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =
F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB
Netamprus siūlas F F1 F2 A B
rarr
v
Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|
1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į
siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai
Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki
taško B tai jėga rarr
F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso
tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta
A|
A F B
laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas
cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis
Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis
xFtdxdm =2
2
yFtdydm =2
2
zFtdzdm =2
2
Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos
Paprastai tai būna rarr
r ir rarr
v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa
Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr
= gmF taigi
rarrrarr
= gtdrd2
2
arba rarr
rarr
= gtdvd ir
rarrrarr
= vtdrd iš čia 0
rarrrarrrarr
+= vtgv 002
21 rarrrarrrarrrarr
++= rtvtgr
Tai bendras sprendinys o paimdami 0
rarr
v ir 0
rarr
r konkrečias vertes gausime atskirą
prendinį o 0
rarr
v ir 0
rarr
r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną
Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1
rarr
v ir 2
rarr
v iki
susidūrimo ir po jo rarr
v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr
=+ vmvmvm 2211
Sistemoje A| judančioje greičiu rarr
v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|
22
|
11
rarrrarrrarr
=+ vmvmvm
Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr
v ir v| tadararrrarrrarr
minus= vvv 1
|
1 rarrrarrrarr
minus= vvv 2
|
2 rarrrarrrarr
minus= vvv|
Tada gauname
)()()( 2211
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr
minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr
=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių
adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių
adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau
13 Trinties dėsniai
1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja
P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)
Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio
fn
ftr f
P
d K = -ftrarr
s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga
Kai greičiai mažirarrrarr
minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę
rarrrarr
minus=minus= vvkvvvkftr 2
22
Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt
Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)
ftr
f0
d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0
v
Rimties trintiesjėga
f k2v2
k1v Turbulentinis aptekėjimas
Laminarinis aptekėjimas
v
14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas
1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e
Ftdpd rarrrarr
= - geometrinė
visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0
)(0 ttFpp e minus=minus -
jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su
21 ++=rarrrarrrarr
vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti
)( 01)(
101 ttFpp e minus=minusrarrrarr
+
)( 12)(
212 ttFpp e minus=minusrarrrarr
-------------------------------
ne
nee
n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr
minus
rarrrarr)(
2)(
21)(
101121
sum=
rarrrarr
∆=minusn
ii
ei tFpp
1
)(0 kai sum intequiv∆
rarr∆ i
t
t
ei
ei
tdFtF
i 0
)(lim )()(
0ττ tai int=minus
rarrrarr t
t
e dFpp0
)()(0 ττ
Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės
Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas
1 T1
2 T2
P
15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė
Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos
judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių
taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr
Rišreiškiamas
mrmrmR 211 ++
=
rarrrarrrarr
kur 321 +++= mmmm
21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr
rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmvm rarr
= vmp )(eFtdvdm =
rarr
Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai
00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=
rarr
Materialių
taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje
Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys
1
12
12
mF
tdrd
rarrrarr
= 2
22
22
mF
tdrd
rarrrarr
= Be to iš
trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr
= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime
)11()(21
21
1
2
2122
2
mmF
mF
mFrr
tdd
+=minus=minus
rarrrarrrarrrarr
Ši
lygtis aprašo vieno materialaus taško
judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr
minus= rrryra radius vektorius
m1
m2
O
rarr
r
1rarr
r2
rarr
r
z
x
1rarr
r
2rarr
r
R
y
Pažymėjus
21
111mm
+=micro
arba 21
21
mmmm+
=micro tada 22
2
Ftdrd=
rarr
micro
Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr
F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį
)(e
Ftdvdm
rarrrarr
= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo
tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi
Lygties 2rMmGF = vektorinė forma
rarrrarr
rarr
minus=minus= rrMmG
rr
rMmGF 32 Įvedus micro
planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip
rarrbullbullbullbull
minus==+
equiv rrMmGFr
MmMmr 3micro
rarrrarr +minus=
bullbull
rrmMGr 3 Kadangi laikome kad
sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr
minus=bullbull
rwr 2
322 )2(
rmMG
Tw +
==π arba 3r
mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo
periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w
32
1
21 )2(
rMG
Tw ==
π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w
32
22
2)2(rMG
Tw ==
π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2
2
12
1
2 ==TT
ww Apsisukimo
periodas antru atveju 2 kartų mažesnis
Planeta m
Saulė
M
rarr
r
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
BAttABAttt
+=∆++==rarr∆rarr∆
2])2[(limvlimv00
vid
Matome kad momentinis greitis priklauso tik nuo t pagreitis bus
At
a 2ddv
==
Kaip matome šiuo atveju pagreitis jau nebepriklauso nuo laiko ndash tolygiaigreitėjantis arba tolygiai lėtėjantis judėjimas Bendru atveju a = a(t)
2 Kampinis greitis Ryšys tarp kreivalinijinio greičio ir nueito kelio Pagreitis taškuijudant kreiva trajektorija
Analogiškai su linijiniu greičiu ir pagreičiu sukamąjam judėjimui galima įvestikampinį greitį ω ir kampinį pagreitį ε Kampinis greitis
tddα
=ω
Jeigu α = ω t + const tai kampinis greitis bus pastovus Sukimųsi dažnis parodomaterialaus taško apsisukimų skaičių per laiko intervalą
tdd
21
2α
sdotπ
=πω
=ν
Dydis T = 1ν vadinamas apsisukimų periodu Kampinis pagreitis jeigu ω = ω(t)bus
2
2
dd
dd
ttα
=ω
=ε
Kampinis pagreitis lygus pirmai kampinio greičio išvestinei arba antrai kampoišvestinei pagal laiką
Jeigu apsisukimo spindulys yra r tai ∆s =r∆α tada
t
rts
∆∆
=∆∆ α ir
tr
ts
tt ∆∆
=∆∆
rarr∆rarr∆
α00
limlim
v = rw Jeigu kampinis greitis yra w(t) tai
diferencijuojant pagal laiką
a = d vd t = r d wd t
Kreivalinijinio judėjimo greitis ir pagreitis (bendruoju atveju) yra
rr = r(t) )(1 trr = r(t + ∆t) t
trttrtr
∆minus∆+
=∆∆
=)()(vvid
rrvr
M rarr
v (t) M1
rarr
∆ r (t)rarr
r (t) rarr
r 1(t)
α O
M1 M AElig s x
s∆ α O r
Imant ∆t rarr 0 rarrv = d
rarr
r dt = tr
t ∆∆
rarr
rarr∆ 0lim Tikrasis arba momentinis greitis yra
vektorius nukreiptas liestinės kryptimi trajektorijos taškerarr
r (t) Tokiu būdu aprašomas irpagreitis tai yra vektorius lygus greičio vektoriaus pirmai išvestinei arba spinduliovektoriaus antrai išvestinei
2
2
dd
dvd
tr
ta ==
rr
Tada galima ir greitį atvaizduoti pagal analogiją su spinduliu Greičio vektoriaus
galo taškas vadinamas greičio tašku o visuma tų taškų ndash greičio hodografu
Matematiniu požiūriu visiškai nesvarbifizikinė prasmė todėl ar diferencijuojamasr ar v nėra skirtumo Taigi galimaanalogija momentinis greitis nukreiptastrajektorijos liestinės kryptimi pagreitis busnukreiptas liestinės hodografui kryptimi
Pvz Sakykime kad materialustaškas juda apskritimu kurio spindulys rGreitis bus nukreiptas liestinės taške Mliestinės kryptimi o jo dydis v= ωr = 2πrT
Hodografas bus apskritimas kurio spindulys lygus rarr
r o pagreičio vektorius busnukreiptas hodografo liestinės taško kryptimi į apskritimo centrą Tada pagreitis bus
a = ω v = 2πrT = v 2r
Tai įcentrinio pagreičio formolė kuri vektorinėje formoje užrašoma taip rarr
a = - w2 rarr
r Imkime bet kokią trajektoriją Tada rarr
v = v rarr
s kur s - vienetinis
trajektorijos vektorius Trikampis yra lygiašonis bet ∆s artėjant į nulį ∆rarr
s rarr
s Jeigu rarr
a
S
rarr
v
rarr
n
O
a
M1
rarr
r
a A1
rarr
v
O1
A a
rarr
∆ v a1
rarr
v 1
rarr
v
O
= v middot drarr
s d t tada sulyginę šios lygybės dešinę pusę su įcentrinio pagreičio išraiškos
dešiniaja puse gausime rnv
tsv
rr
sdot=sdot 2dd Abi lygybės puses padalinę iš v gausime
rnv
ts rr
sdot=dd Žinodami kad d s = vmiddotd t užrašysime n
rv
ts
ss
tr
rr
sdotsdot=sdot=1
dd
dd
dsd arba n
rss rr
sdot=1
dd
Iš čia matyti kad trajektorijos liestinės vienetinio vektoriaus išvestinė yra statmena tam
vienetiniam vektoriui (tai seka iš liestinės sąvokos) d rarr
s rarr
n Kai ∆s rarr 0 α rarr 0 irrarr
s drarr
s Dydis 1r vadinamas trajektorijos kreivumo radiusu (duotame taške) o rarr
n ndash
normalės vektoriumi Kadangi 1r yra teigiamas o rarr
n ir rarr
s priešingų krypčių tai rarr
n visada
nukreiptas į įgaubtąją trajektorijos pusę Bendru atveju 1r ir rarr
n visą laiką kintaskirtinguose trajektorijos taškuose Kreivės gali būti plokštuminės (apskritimas elipsė hiperbolė parabolė ir tt) irerdvinės (spiralė) Plokštuma kurioje yra liestinė ir normalė vadinama liečiamaja ostatmuo išvestas iš duotojo taško į plokštumą ndash binormale Taigi bendru atvejurarr
v =v(t)s(t) Panaudodami dviejų kintamų dydžių diferenciavimo taisyklę gaunamerarr
a = d vd t middot rarr
s + rarr
v middot d rarr
s d t arba rarr
a = d vd t middot rarr
s + v2r middotrarr
n Taigi vektorius a guli s ir n plokštumoje Čia gavome viso pagreičio lygtį kuris
sudarytas iš tangentinio ir normalinio pagreičio sumos rarr
a t = d vd t middot rarr
s - tangentiniopagreičio lygtis tangentinis pagreitis yra vektorius kurio kryptis sutampas su trjektorijos
taško liestinės kryptimi rarr
a n = v2r middot rarr
n ndash normalinio pagreičio lygtis normalinis pagreitisyra vektorius kurio kryptis sutampa su trajektorijos normalės vektoriaus kryptimi tynukreiptas į trajektorijos įgaubtąją pusę Tangentinis pagreitis keičia greičio dydį onormalinis keičia greičio kryptį
Reikia neužmiršti kad trajektorijos kreivė gali būti (dažniausiai ir yra) erdvinė
figūra Tokiu atveju taško judėjimas bus apskaičiuojamas trijų koordinačių kryptimis rarr
i rarr
j rarr
k taigi materialaus taško judėjimą galima aprašyti trimis laisvės laipsniais (vienajudėjimo kryptis ndash vienas laisvės laipsnis)
rarr
s
rarr
∆ s
rarr
s + rarr
∆ s
rarr
s
α
rarrrarr
∆+ ss
rarr
r rarr
n
3 Taško judėjimo klasikinio aprašymo ribos Šviesos sąvoka ir jos greičio matavimo idėjos Fizo bandymas
Klasikinėje mechanikoje kiekvieno kūno judėjimo būvis aprašomas bet kuriuo
laiko momentu koordinatėmis ir greičiu rarr
v Vietoje greičio galime naudoti impulsą rarr
p =
mrarr
v Dalelė yra geometrinis taškas aprašantis kintant laikui nenutrūkstančią
trajektoriją Klasikinėje mechanikoje parodyta kad toks atvaizdavims yra ribotas dalelėsbūseną bet kuriuo laiko momentu negalima charakterizuoti tiksliomis koordinatėmis irimpulso dydžiu tuo pačiu metu Jeigu kuriuo nors laiko momentu dalelės būvisaprašomas koordinate su δ x neapibrėžtimi o impulsas su δ p tai abu šie dydžiai vienumetu negali būti kiek norint maži nes δ x δ p ge h Dydis h ndash Planko konstanta (h =663 middot 10-27) o nelygybė ndash Haizenbergo neapibrėžtumas Haizenbergo neapibrėžtumasnustato principinę ribą iki kurios galima vienu metu išmatuoti koordinatę ir impulsą ir jinegali būti peržengta jokiu matavimo prietaisu ar metodika Tada ir δ x middot m δ v ge h Taigiklasikinis trajektorijos aprašymas yra tik tam tikras atskiras atvejis
Makroskopiniu požiūriu bet kokio daikto padėtį galima nustatyti su tam tikrutikslumu užduodamu matavimo prietaiso Makroskopiniu požiūriu kvantinė mechanikapradeda galioti dalelėms kurių matmenys mažesni už atomo δ x = 10-8 cm tada δ v ge663 middot 10-27 10-8 le 10-18 cmc Kaip matome praktiškai δ x ir δ v yra labai maži todėlklasikinis aprašymas tinkamas makroskopiniams kūnams
Elektrono atveju kurio masė m = 911 10-28 g neapibrėžtumas turi būti nedidesnis už atomo matmenis Tada δ x lt 10-8 cm ir δ v ge hm δ x = 663 10-27911 10-
28 10-8 asymp 7 middot 108 cmc Toks greitis jau netinkamas netgi elektronui atome aprašyti Taigi
klasikinis aprašymas pasidaro netinkamas Kitas ribinis klasikinės mechanikos atvejis tai kūnų judėjimas greičiais artimais
šviesos greičiui Taigi kas yra šviesos greitis Kaip jis matuojamasRiomeris 1676 m išmatavo šviesos greitį matuodamas Jupiterio palydovų
užtemimus Buvo nustatyta kad regimasis jų apsisukimo periodas trumpėja kai Žemė dėlmetinio sukimosi artėja ir periodas ilgėja kai tolsta nuo Jupiterio ndash tai susiję su baigtiniušviesos greičiu
β
α
J s1
T1 s2
T2
S
Ž
T1 = t1 + s1c Kitą kartą Jupiterio palydovas išeis iš šešėlio momentu t2 o Žemėsstebėtojas jį stebės laiko momentu T2 = t2 + s2c Tada palydovo apsisukimo periodas bus Tsteb = T2 ndash T1 = Ttikr + (s2 ndash s1)c Išmatavus daug kartų tiek Žemei tolstant tiek artėjantlink Jupiterio galima išeliminuoti s2 ndash s1 ir žinant Ttikr suskaičiuoti šviesos greitį c =(s2 ndash s1)(Tsteb - Ttikr) Riomeris gavo c = 214 300 kms Tai buvo pirmas sėkmingasšviesos reičio matavimo atvejis Iki Riomerio visi šviesos matavimo mėginimai buvonesėkmingi Šviesos aberacija Jeigu kryptis kuria juda stebėtojas yra statmena krypčiai kuria stebima žvaigždėtai dėl šviesos aberacijos kryptis į žvaigždę skiriasi nuo tikrosios Šviesos aberacijoskampas β = π2 ndash α middot tgβ = vc kur v Žemės judėjimo greičio dedamoji statmenakrypčiai į žvaigždę Išmatavus v ir kryptį į žvaigždę galima gauti c Gauti rezultataisutapo su Riomerio
Fizo bandymas (1851m) taišviesos greičio matavimas judančiojematerijoje (vandenyje) Šviesosgreitis vandenyje yra u| = cn n ndashlūžio rodiklis Jeigu aplinka judastebėtojo atžvilgiu tai šviesos greitisstebėtojo atžvilgiu būtų u| plusmn v ndashpriklausomai nuo greičių krypčiųFizo bandyme du spinduliai judapriešpriešais ir nueina tą patį keliaprieš patekdami į interferometrą Fkol vanduo stikliniame vamzdyjenejuda Kai vanduo juda vienasspindulys juda pagal vandensjudėjimo kryptį o kitas priešingaitodėl turi susidaryti eigos skirtumaskurį galima apskaičiuoti išinterferencinių juostų poslinkioskysčiui stovint ir judant A - šviesosšaltinis B ndash pusiau skaidri plokštelėišskirianti du koherentinius
spindulius K D E ndash veidrodžiail ndash šviesos kelio ruožų vandenyje bendras ilgis t0 ndash laikas kurį spindulys
praeina visus kitus (be skysčio) kelio tarpus u+ - sklindantis pasroviui u- - prieš srovęspindulio greitis skystije u+ = u| + kv u- = u| - kv Kur k ndash koeficientas kurį norėjo surastiFizo Jeigu k = 1 tai teisinga klasikinė greičių sudėties taisyklė o kai k ne 1 tai yranukrypimas Šviesos greitis vandenyje u| = cn = 300 000 13 asymp 230 000 kms Laikasper kurį u+ ir u- spinduliai praeina visą kelią t1 = t0 + l(u| + kv) ir t2 = t0 + l(u| - kv) taigilaiko pokytis yra ∆t = 2lkv u|2 ndash k2v2 Suskaičiavus interferencinių juostų poslinkį iržinant l galima rasti k Fizo gavo k = 1- 1n2 Taigi klasikinio aprašymo taisyklė šviesaijau netinka Tai buvo fantastiška išvada nors tais laikais egzistavo eterio vilkimo teorijakurios išvados pilnai paaiškino Fizo bandymą Fizo bandymas yra eksperimentinisklasikinio greičio sudėties dėsnio ir Galilėjaus transformacijų klaidingumo įrodymas
rarr
v
K D
B EA
F
5 Lorenco transformacijos Postulatai Kai judėjimo greičiai dideli kaip matėme iš Fizo bandymo Galilėjaustransformacijos prieštarauja eksperimentui Reikia kitokių transformacijų kuriosderintųsi su šviesos greičio pastovumu Taigi Lorenco transformacijų postulatai 1) reliatyvumo principas 2) šviesos greičio pastovomas Koordinačių transformacijų tiesiškumas Judančių koordinačių sistemas visada galima orientuoti taip kad sutaptų sukoordinačių pradžia Kadangi greičių sudėčiai jau nebetinka klasikinė formulė tai galimatikėtis kad vienos sistemos laikas jau neišreiškiamas tik kitos sistemos laiku betpriklauso ir nuo koordinačių Tada
x| = Ф1(x y z t) y| = Ф2(x y z t) z| = Ф3(x y z t) t| = Ф4(x y z t)
Bendrą funkcijų Ф pavidalą lemia erdvės ir laiko savybės Nagrinėjantgeometrinius sąryšius vienoje atskaitos sistemoje laikome kad kiekvienas taškas niekuonesiskiria nuo bet kurio kito taško ir visi geometriniai sąryšiai tarp bet kurių geometriniųobjektų bus visiškai tokie pat kaip ir perkėlus koordinačių pradžią į bet kokį kitą taškąerdvės vienalytiškumas Geometriniai sąryšiai nekinta dėl koordinačių sistemos ašiųtransformacijos ndash izotropiškumas Erdvės vienalytiškumas ir izotropiškumas yrasvarbiausios savybės inercinėse atskaitos sistemose Svarbiausia laiko savybė ndashvienalytiškumas kiekviena fizikinė situacija vystosi ir kinta vienodai nepriklausomainuo to kokiu momentu ji susiklosčiusi Iš erdvės ir laiko vienalytiškumo išplaukia kadtransformacijos turi būti tiesinės Panagrinėjus nykstamai mažą pokytį d x| nejudančiojekoordinačių sistemoje jį atitiks nykstamai maži d x d y d z d t Tada
x| = xdxpartΦpart 1 + yd
ypartΦpart 1 + zd
zpartΦpart 1 + td
tpartΦpart 1
Kadangi erdvė ir laikas yra vienalyčiai tas ryšys turi būti vienodas visiems erdvėstaškams bet kuriems laiko momentams ty
xpartΦpart 1
ypartΦpart 1
zpartΦpart 1
tpartΦpart 1 = const
Ф1(x y z t) = A1x + A2y + A3z + A4 + A5
čia A1 A2 A3 A4 A5 ndash konstantos priklausančios nuo sistemos judėjimą kitos atžvilgiuapibūdinančių parametrų
y ir z transformacijos Jei koordinačių pradžios laiko momentu t = 0 sutampa tai x = y = z = x| = y| = z| == 0 ir laisvasis narys A5 = 0 Tada
y| = a1x + a2y + a3z + a4tz| = b1x + b2y + b3z + b4t
Kadangi x| ašis sutampa su x tai iš sąlygos y = 0 išplaukia y| = 0 iš ndash z = 0išplaukia z| = 0 Reiškia
0 = a1x + a1sdot0 + a3z + a4t0 = b1x + b2y + b3sdot0 + b4t
O šios lygtys bus patenkintos tik tada jeigu a1 = a3 = a4 = 0 ir b1 = b2 = b4 = 0Tada y| = ay z| = az a ndash rodo kiek kartų y| yra didesnė už y
y = a1 y| z =
a1 z|
1a ndash rodo kiek kartų pasirinkto mastelio ilgis nejudančioje sistemoje yra didesnisnegu judančioje Pagal realiatyvumo principą abi sistemos yra lygiavertės Taigi 1a =a ir a = +1 a = -1 neįmanoma nes sutarta kad sistemos nekeičia savo krypties (x y z irx| y| z| ašys sutampa Taigi y = y| ir z = z|
x ir t transformacija Kadangikintamieji y ir z transformuojami atskirai taix ir t transformacijos bus tiesinės jųfunkcijos Judančios koordinačių sistemospradžios taškas nejudančioje sistemojenusakomas koordinate x| = α(x ndash vt) čia ndash αproporcingumo koeficientas kurį reikiarasti Lygiai taip pat pereinant iš judančiossistemos į nejudančią x = α|(x|+ vt|) Tadaremiantis reliatyvumo principu α| = αSakykime judančioje koordinačių sistemojeyra ilgio l strypas gulintis išilgai x| ašies l= x|
2 ndash x|1 Nejudančios sistemos atžvilgiu
strypas juda greičiu v Tada
x|1 = α(x1 ndash vt0) x|
2 = α(x2 ndash vt0)x2 ndash x1 = (x|
2 ndash x|1)α =lα
Judančio strypo ilgis nejudančioje sistemoje Dabar tarkime kad tas pats strypasnejuda nejudančioje koordinačių sistemoje x2 ndash x1= l Tada x1 = α|(x|
1 + vt|0) ir x2 = α|(x|
2+ vt|
0) Ir judančio strypo ilgis judančioje sistemoje yra x|
2 ndash x|1 = (x2 ndash x1)α| Pagal
reliatyvumo principą lα = lα| ty α = α| Iš šviesos greičio pastovumo laiko momentu t= t| = 0 iš koordinačių pradžios (kurios sutampa) pasiunčiamas šviesos signalas Kadangišviesos greitis abiejose sistemose vienodas tai x| = ct| ir x = ct Tada jei α = α| tai iš
x| = α(x ndash vt) ir x = α|(x| + vt|) išplaukia kad
y y|
x x|
z z|
rarr
v
ct| = α(ct ndash vt) ir ct = α(ct| + vt|) dabar sudauginę abi išraiškas gausime2α = 22
2
vcc+
2α = )1(
122 cvminus
2α = 1 22 1 cvminus
Kadangi vt| = αx - x| =
αx - α(x ndash vt) = α v t + x(
α1 - α)
t| = αt + vx ( 2
1α
- 1) t| =
2
2
1
1
cv
minus
t + vx [( 1 - 2
2
cv ) -1] t| =
2
2
2
1cv
xcvt
minus
minus
Lorenco transformacijos
2
2
|
1cvvtxx
minus
minus= yy =| zz =|
2
2
2|
1
)(
cv
xcvttminus
minus=
Atvirkštinės transformacijos išreiškiamos (remiantis reliatyvumo principu) taippat tik pakeitus ženklą
2
2
||
1cvvtxx
minus
+= |yy = |zz =
2
2
2|
1
)(
cv
xcvttminus
+=
Galilėjaus transformacijos gaunamos kai vc ltlt 1
6 Lorenco transformacijų išvada vienalaikiškumo reliatyvumas
Du įvykiai skirtingose koordinačių sistemos taškuose x1 ir x2 vadinamivienalaikiais jeigu jie įvyksta tą patį laiko momentą pagal tos koordinačių sistemoslaikrodį Tegu įvykiai įvyko laiko momentu t0 nejudančioje koordinačių sistemojeJudančioje koordinačių sistemoje įvykiai įvyko taškuose x|
1 ir x|2 momentais t|1 ir t|2 Laiką
t|1 ir t|2 parodė judančios koordinačių sistemos laikrodžiai esantys jos taškuose x|1 ir x|
2tais momentais kai tuose taškuose įvyko nagrinėjamas įvykis Ryšys tarp judančios irnejudančios sistemos
2
201|
1
1cvvtxx
minus
minus=
2
202|
2
1cvvtxx
minus
minus=
2
2
120|1
1
)(
cv
xcvt
tminus
minus=
2
2
220|2
1
)(
cv
xcvt
tminus
minus=
Pažymėkime 2
2
1cv
minus = β
Matome kad įvykiai judančioje koordinačių sistemoje įvyko ne tuo pačiumomentu
)()()(212
12
022
0|1
|2
| xxcvxcvtxcvtttt minus=
+minusminus=minus=∆
ββ Vienalaikiškumo sąvoka neturi absoliučios prasmės nepriklausančios nuokoordinačių sistemos Teiginys įvyko vienu laikurdquo reikalauja nurodyti koordinačiųsistemą Vienalaikiškumo reliatyvumas ir priežastingumas Iš ∆t| formulės seka kad jeigux1 gt x2 tai koordinačių sistemoje judančioje x ašies teigiama kryptimi (v gt 0) turi būti t|2gt t|1 o koordinačių sistemoje judančioje į priešingą pusę (v lt 0) turi būti t|2 lt t|1 ty tiepatys įvykiai skirtingose koordinačių sistemose vyksta ne ta pačia tvarka Ar negali būtikad pasekmė bus ankstesnė už priežastį Kad priežastis ir pasekmė nepriklausytų nuo tokokioje koordinačių sistemoje nagrinėjamos būtina sąlyga jokie materialųs poveikiaikuriais realizuojamas fizinis ryšys tarp įvykių skirtinguose taškuose negali būtiperduodamas greičiu didesniu už šviesos greitį Pvz Nejudančioje koordinačių sistemoje įvykis įvyksta taške x1 laiko momentot1 ir yra priežastis sukėlusi įvykį taške x2 gt x1 laiko momentu t2 gt t1 Greitį kuriuoperduodama įtaka iš x1 į x2 pažymėkime vįt Pagal greičio apibrėžimą
1212 tt
vxx
įt
minus=minus
Judančioje koordinačių sistemoje tie įvykiai vyksta taškouse x|1 ir x|
2 laikomomentais t|1 ir t|2 Tada iš lygybės t| = t ndash (vc2)xβ gauname
(x2 ndashx1) = vįt(t2 ndash t1)
)1())((2
12122
12|1
|2 įtvc
vttxxcvtttt minusminus
=minusminusminus
=minusββ
Iš šios išraiškos jeigu )1( 2 įtvcv
minus lt 0 tai judančioje koordinačių sistemoje
pasekmė įvyks anksčiau už priežastį Bet tai neįmanoma Todėl visada įtvcv21minus gt 0 arba
įtakos perdavimo greitis bus vįt gt cvc Lorenco transformacijos turi prasmę tik tada kai
v le c
7 Lorenco transformacijų išvada intervalo invariantiškumas Judančio kūno ilgis
Intrevalo invariantiškumas Galilėjaus transformacijų invariantai yra kūno ilgis ir laiko tarpas tarp įvykiųtačiau jie nėra Lorenco transformacijų invariantai ty jie priklauso nuo koordinačiųsistemos Lorenco transformacijų invariantas yra erdvės laiko intervalas Tegu taške (x1 y1z1) laiko momentu t1 įvyko įvykis o taške (x2 y2 z2) ir laiko momentu t2 kitas įvykisIntervalu tarp tų įvykių vadinamas dydis ss2 = (x2 ndash x1)2 + (y2 ndash y1)2 + (z2 ndash z1)2 ndash c2(t2 ndash t1)2 Kuris yra vienodas visose koordinačių sistemose invariantas Tai įrodysime
β)( |
1|2
|1
|2
12ttvxxxx minus+minus
=minus
|1
|212 yyyy minus=minus
|1
|212 zzzz minus=minus
β))(( |
1|2
2|1
|2
12xxcvtttt minus+minus
=minus
Įrašius šias reikšmes į s išraišką gauname kad
minusminus+minus+minus=minusminusminus+minus+minus= 2|1
|2
2|1
|2
2|1
|2
212
2212
212
212
2 )()()()()()()( zzyyxxttczzyyxxs2|
1|2
2 )( ttc minusminus = 2|s
Jeigu x2 ndash x1 = ds tai
d s2 = d x2 + d y2 + d z2 ndash c2 d t2 yra invariantas
Erdviškieji ir laikiškieji intervalai Iš anksčiau jei atstumas tarp (x1 y1 z1) ir (x2 y2 z2) yra l o laiko tarpas tarp tųįvykių t tai s2 = l2 ndash c2t2 yra invariantas Sakykime tam tikroje koordinačių sistemojeįvykių negali sieti priežastinis ryšys Tada l gt ct ir s2 gt 0 (veikimo sklidimo atstumasmažesnis už atstumą tarp įvykių) Taigi erdviškasis intervalas yra s2 gt 0 Erdviškąjamintervalui galime parinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiai vyksta vienu metuskirtinguose erdvės taškuose (s2 = l2 gt 0 t = 0) ir nėra tokios koordinačių sistemoskurioje tie įvykiai vyktų tame pačiame taške nes tada l = 0 ty = s2 = -c2t2 lt 0 taiprieštarauja sąlygai s2 gt 0 Jeigu įvykius gali sieti priežastinis ryšys tai l lt ct ir s2 lt 0Tai laikiškasis intervalas galima pasirinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiaiįvyksta tame pačiame erdvės taške bet skirtingais laiko momentais (l =0 s2 = - c2t2 lt 0)ir nėra tokios koordinačių sistemos kurioje tie du įvykiai būtų vienalaikiai (t = 0 s2 = l2 gt0 kas prieštarauja s2 lt 0) Intervalo tarp įvykių laikiškumas arba erdviškumasnepriklauso nuo koordinačių sistemos ndash tai įvykių invariantiška savybė
Judančio kūno ilgis Judančio kūno ilgiu vadinamas atstumas tarp nejudančios koordinačių sistemostaškų su kuriais sutampa judančio strypo pradžia ir galas vienu laiko momentu pagalnejudančios koordinačių sistemos laikrodį Judančios koordinačių sistemos laikrodžiaiesantys strypo galuose rodys skirtingą laiką ir strypo galai bus fiksuojami skirtingu laiku- strypo ilgis nėra Lorenco transformacijų invariantas skirtingose sistemose skiriasiTegu judančioje koordinačių sistemoje nejudančio strypo ilgis l = x|
2 ndash x|1 ir nukreiptas
išilgai x ašies
β01|
1vtxx minus
= β
02|2
vtxx minus=
ββ
|12|
1|2
llxxlxx =rArrminus
==minus
2
2| 1
cvll minus=
Taigi judantis kūnas yra trumpesnis už nejudantį Ta prasme kad tam tikru laikomomentu pagal nejudančios sistemos laikrodį užfiksuojamos visų judančio kūnopaviršiaus taškų koordinatės Tai momentinė kopija kuri atrodytų suplota jeigu būtųregistruojama nejudanti Vizualiai viskas būtų kitaip nes 1) šviesos spinduliai iš įvairiųkūno taškų pasiekia stebėtoją per skirtingą laiką 2) pasireiškia šviesos aberacija todėlregimoji kryptis nesutampa su tikrąja taigi kūno forma matoma ne tokia kaip duodaLorenco transformacijos Sutrumpėjimo įvertinimas
Kadangi v ltlt c tai vc ltlt 1 ir išskleidus eilute )211( 2
2|
cvll minusasymp
Tada lcvl
cvllll 2
2
2
2|
21)
211( minus=minusminus=minus=∆ 2
2
21
cv
ll
minus=∆
kai v = 30 kms tai 810
2
1050109109
21 minussdotminus=
sdotsdot
minus=∆ ll ty jeigu raketa bus 100 m ilgio tai
sutrumpės 1 microm kas praktiškai nepastebima Žemė juda apie Saulę 30 kms greičiu irsusiploja judėjimo kryptimi tik 6 cm Jeigu vc = 087 tada kūno ilgis susiploja per pusęJeigu atstumas nejudančioje kooordinačių sistemoje tarp dviejų taškų yra l = x1 ndash x2 ir tietaškai pradėjo judėti teigiama x ašies kryptimi kiekvienu laiko momentu taškų greičiaiyra vienodi ndash vadinasi jie nueina vienodą kelią Tačiau stebėtojas judantis kartu su taistaškais minėtoje sistemoje matys kad atstumas tarp jų didėja ir pasiekus pastovų greitį vbus )(1 22 cvl minus ilgio Paaiškinti galima paprastai nejudančios sistemos atžvilgiu tietaškai judėjo sinchroniškai tačiau judančioje sistemoje ndash nesinchroniškai nessinchroniškumas yra reliatyvus ndash x2 pradėjo greitėti labiau negu x1 ir todėl nutolo Jeigux2 ir x1 sujungti nesvaria spyruokle tai ji bus ištempta ir bus atliktas darbas kurioenergija paimta iš variklių verčiančių judėti tuos taškus Jeigu taškai sujungti absoliučiaistandžiu strypu tai be galo mažai deformacijai sukelti reikės be galo didelės energijostaigi jo galai negali judėti tuo pačiu dėsniu Išvada nagrinėjant materialių kūnų judėjimąjų negalima laikyti absoliučiai kietais
8 Lorenco transformacijų išvada judančių laikrodžių laikas savasis laikas
Judančių laikrodžių eigos sparta Savasis laikas Iš Lorenco transformacijų ndash
β
|0
2|1
1)( xcvtt +
= β))(( |0
2|22 xcvtt += β)( |
1|212
| ttttt minus=minus=∆ β| tt ∆=∆
Laiko tarpas tarp įvykių išmatuotas judančiais laikrodžiais yra trumpesnis negumatuojant nejudančiais laikrodžiais judantis laikrodis eina lėčiau už nejudantį Tačiaujudančius laikrodžius galime laikyti nejudančiais Ar tai neprieštarauja reliatyvumoprincipui Ne nes vieno ir to paties judančio taško laikas lyginamas su įvairių nejudančiųtaškų laiku o norint pritaikyti reliatyvumo principą reikia įvairių judančios sistemostaškų laiką palyginti su to paties nejudančios koordinačių sistemos taško laiku Tegutaške x0 vienas po kito įvyko du įvykiai judančioje nebrūkšniuotoje koordinačiųsistemoje Laiko tarpas tarp jų ∆t = t2 ndash t1 Brūkšniuotoje koordinačių sistemoje kuri yranejudanti įvykiai įvyko skirtinguose taškuose laiko momentais t|
1 ir t|2
β0
21|
1)( xcvtt minus
= β
02
2|2
)( xcvtt minus=
βtttt ∆
=minus=∆ |1
|2
|
Tačiau dabar ∆t| yra laikas tarp įvykių nejudančioje koordinačių sistemoje ∆t ndashnejudančioje Prieštaravimo nėra
Laikas matuojamas su judančiu tašku susijusiu laikrodžiu vadinamas savuojulaiku Su judančiu tašku susijusio laikrodžio laiko skirtumas ndash d τ d t ndash laikodiferencialas inercinėje sistemoje kurioje nagrinėjamas taškas juda greičiu v
)(1 22 cvdtd minus=τ
222222 tdczdydxdsd minus++= 2
222rarr
=++ rdzdydxd ))(1(2
222rarr
minusminus= rdtdcsd
)11()1( 2
2
2222
tdrd
ctdcsd
rarr
minusminus= 2
2
2rarr
rarr
= vtdrd )(1 22 cvtdicsd minus= )(1 22 cvtdd minus=τ
icsdd =τ čia d s ndash invariantas c ndash pastovus d τ ndash invariantas Savasis laikas yraLorenco transformacijų invariantas nes savasis laikas matuojamas laikrodžiu kurissusietas su pačiu judančiu tašku todėl nesvarbu kokioje koordinačių sistemojeatskaitomi jo parodymai Eksperimentai patvirtinantys laiko reliatyvumą Matuojant +micro mezono nueitą kelią nuo jo atsiradimo iki išnykimo ir nustatyti jo greitįKuo +micro mezono judėjimo greitis didesnis tuo gyvavimo trukmė turi būti ilgesnė nes
βττ micromicro )0(= )0(microτ - savoji gyvavimo trukmė Jeigu laikas nelėtėja tai kelio ilgio
priklausomybė nuo greičio - vl )0(microτ= - tiesinė v funkcija Jeigu lėtėja -
)(1 22)0( cvvl minus= microτ - netiesinė v funkcija Išmatavus l = f(v) buvo gauta kad ji atitinka
reliatyvistinę formulę Dar akivaizdesnis bandymas buvo atliktas 1972 m Su trimatominiais laikrodžiais
Du atominiai laikrodžiai buvo įmontuoti įreaktyvinius lėktuvus o vienas buvosumontuotas aerouoste Visi trys laikrodžiaibuvo sinchronizuoti Po to abu lėktuvai pakilo įorą
Vienas skrenda prieš Žemės sukimąsi o kitaspagal trečias lieka vietoje Gryžus palyginamilaikrodžių parodymai Visi laikrodžiainagrinėjami Žemės centro atžvilgiu nes tokiasistema yra inercinė Kadangi v gt u| tai abuskrendantys laikrodžiai juda iš rytų į vakarusNejudančio Žemės paviršiuje laikrodžio savasislaikas 0τ judančio į vakarus savasis laikas +τ į rytus - minusτ
)(1 220 cvtdd minus=τ 2
2| )(1cuvtdd minus
minus=+τ 2
2| )(1c
uvtdd +minus=minusτ
0τd ir +τd - skuba o 0τd ir minusτd - vėluoja Tačiau traukos laukai taip pat lėtinalaikrodžių eigą taigi laikrodis kuris liko Žemės paviršiuje eis lėčiau negu laikrodžiaikurie yra lėktuvuose nes pastarieji yra silpnesniame traukos lauke Skridęs į vakarusskubėjo 275 ns o į rytus vėlavo 40 ns Sutapo teoriškai Su pagreičiais judančių laikrodžių eiga Formulė βτ sdot= dtd išvesta tolyginiam judėjimui o specialioji reliatyvumo teorijaneaprašo netolygaus judėjimo Bandymais buvo parodyta kad ši formulė galioja irjudėjimui su pagreičiu (bent jau sukimuisi apskritimu) nes buvo tiriamas elektringųdalelių judėjimas magnetiniame lauke veikiant Lorenco jėgai
vndash u|-
v + u|
rarr
v
9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados
Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|
= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai
1) judančioje |
||
tdxdux = |
||
tdyduy = |
||
tdzduz =
2) nejudančioje tdxdux =
tdyduy =
tdzduz =
Tada
β
|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =
ββ
)1( 2||
||
cvutd
tdvxdddxdu
x
x
+
+==
ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+
=+
= )1( 2
||
|
cvutd
ydtdydu
x
y
+
sdot==
β
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+=
|2
|2
2
1
1
x
y
y
ucv
ucv
u+
minus=
|2
|2
2
1
1
x
z
z
ucv
ucv
u+
minus=
Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|
y = u|z = 0 o u|
x = c tada
c
ccvvcux =
+
+=
21
Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|
x = 0 u|y = c u|
z = 0 Nejudančioje
koordinačių sistemoje ndash ux = v 2
2
1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių
sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi
2
2
1
1
cvc
vuutg
y
x
minus
===β Ši
formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu
Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje
ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+= kai aplinka juda plusmn v tai
)1()()(1
)(
2cnvv
nc
cncvvnvux msdotplusmn=
plusmn
plusmn= nes
cv ltlt 1
cnv
cnvcv
ncux
2
2 minusplusmnasymp m 02
asympcnv
vnn
cux sdotminusasymp )11( 2m
Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio
transformacija Pagreitis a|x a|
y a|z kur |
||
tduda x
x = u|x = u|
y = u|z = 0 tada
nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje
koordinačių sistemoje td
uda xx =
)1
()(2
||
cvu
vuux
xx
+
+=
|22|
22
2
2
2
|
2
|
22
|
|
22|
|2|
2
|
|
))(1()(1)1(
)1())(1())((
1x
x
xx
x
x
x
xx
x
xx ud
cvucv
cv
cvu
cvu
cvuud
cvuudcvvu
cvuudud
+minus
=minusminus++
=++
minus+
=
|232
2
|
22|22
)1()(1)(1(
xxx
x acv
tdcvudcv
tduda minus=
minussdotminus==
10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos
Masė
Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų
Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1
(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose
Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos
sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1
rarr
v ir 2
rarr
v
o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1
rarr
∆ v ir 2
rarr
∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211
rarrrarr
∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens
Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm
tvm
∆∆
minus=∆∆
rarrrarr
22
11 ir kai ∆t rarr 0 tai
2211
rarrrarr
minus= amam
3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1
|
11
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv ir 1
|
22
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|
1 ir v|2 po susidūrimo Tada
)()( 2
|
221
|
11
rarrrarrrarrrarr
minusminus=minus vvmvvm ir |
21
|
112211
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm
Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams
21
rarrrarrrarr
+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr
= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara
11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis
Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis
F tdpdFrarr
rarr
= Dydis F yra koordinčių rarr
r ir greičio rarr
v funkcija )(rarrrarrrarr
vrF Taigi tdpdrarr
apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr
F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai
II Niutono dėsnis tdpdFrarr
rarr
= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu
atveju kai )(tmm ne tai rarr
rarr
= Ftdvdm
rarrrarr
= Ftdrdm 2
2
Taigi pagrindinis klasikinės
mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr
vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį
x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi
TtAx π2cos=
Tt
TAx ππ 2sin2
minus=bull
TtA
Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull
mxT
x sdotminus=bullbull
|)2( 2π
xmT
xm 2)2( πminus=
bullbull
kmT
=2)2( π
k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis
Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui
bullbullbull
minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra
)(rarrrarrrarr
larr rarr
rarr
vrFv RASTIti
RASTIi
m
A
x
a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai
0=
rarr
tdpd taigi constp =
rarr
ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir
greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma
Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1
rarr
F ir 2
rarr
F ir klausiama kokia viena jėgararr
F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga
Jeigu turėsime n jėgų iFrarr
kurios veikia materialų
tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr
F - sakoma kad
tai bus geometrinė iFrarr
jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu
kiekviena jėga iFrarr
suteikia materialiam taškui
pagreitį iararr
tai atstojamasis judėjimas
bus randamas visų iararr
vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr
= amF irgi bus
nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr
= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti
F F1 F
12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka
Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis
1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr
21 iš
2121 0rarrrarr
bullrarr
bullrarr
minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis
Tegu ikFrarr
- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr
- priešingai Tada iš
III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr
minus= 0=+rarrrarr
iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -
ikFrarr
Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru
atveju vidinių jėgų suma 0)()(
3
)(
2
)(
1 =++++rarrrarrrarrrarr i
n
iii
FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1
iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti
)(
1
)(
11
ei
FFtdpd rarrrarrrarr
+=
+)(
2
)(
22
ei
FFtd
pd rarrrarrrarr
+=
)()()()()(
3
)(
2
)(
1
)()(
2
)(
121
i
n
eeei
n
ii
n FFFFFFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
++++++++=+++
Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai
)()(
2
)(
121 )(e
n
ee
n FFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarr
+++=+++ ir )(e
Fptd
d rarrrarr
=
kur rarr
p - visos sistemos impulsas o )(e
Frarr
- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių
sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(
=rarr e
F tada
0=
rarr
tdpd ir
rarr
p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą
geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(
nerarr e
F tačiau
0)(
=rarr e
xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso
projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne
poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn
iF 0 tada tas pats
galioja ir impulsui rarr
p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)
Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš
III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm
Fa+
= o Fmm
mFFBA
B
+== 21 Šis sprendimas
nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|
2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|
1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|
1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =
F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB
Netamprus siūlas F F1 F2 A B
rarr
v
Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|
1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į
siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai
Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki
taško B tai jėga rarr
F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso
tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta
A|
A F B
laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas
cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis
Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis
xFtdxdm =2
2
yFtdydm =2
2
zFtdzdm =2
2
Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos
Paprastai tai būna rarr
r ir rarr
v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa
Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr
= gmF taigi
rarrrarr
= gtdrd2
2
arba rarr
rarr
= gtdvd ir
rarrrarr
= vtdrd iš čia 0
rarrrarrrarr
+= vtgv 002
21 rarrrarrrarrrarr
++= rtvtgr
Tai bendras sprendinys o paimdami 0
rarr
v ir 0
rarr
r konkrečias vertes gausime atskirą
prendinį o 0
rarr
v ir 0
rarr
r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną
Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1
rarr
v ir 2
rarr
v iki
susidūrimo ir po jo rarr
v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr
=+ vmvmvm 2211
Sistemoje A| judančioje greičiu rarr
v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|
22
|
11
rarrrarrrarr
=+ vmvmvm
Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr
v ir v| tadararrrarrrarr
minus= vvv 1
|
1 rarrrarrrarr
minus= vvv 2
|
2 rarrrarrrarr
minus= vvv|
Tada gauname
)()()( 2211
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr
minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr
=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių
adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių
adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau
13 Trinties dėsniai
1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja
P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)
Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio
fn
ftr f
P
d K = -ftrarr
s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga
Kai greičiai mažirarrrarr
minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę
rarrrarr
minus=minus= vvkvvvkftr 2
22
Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt
Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)
ftr
f0
d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0
v
Rimties trintiesjėga
f k2v2
k1v Turbulentinis aptekėjimas
Laminarinis aptekėjimas
v
14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas
1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e
Ftdpd rarrrarr
= - geometrinė
visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0
)(0 ttFpp e minus=minus -
jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su
21 ++=rarrrarrrarr
vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti
)( 01)(
101 ttFpp e minus=minusrarrrarr
+
)( 12)(
212 ttFpp e minus=minusrarrrarr
-------------------------------
ne
nee
n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr
minus
rarrrarr)(
2)(
21)(
101121
sum=
rarrrarr
∆=minusn
ii
ei tFpp
1
)(0 kai sum intequiv∆
rarr∆ i
t
t
ei
ei
tdFtF
i 0
)(lim )()(
0ττ tai int=minus
rarrrarr t
t
e dFpp0
)()(0 ττ
Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės
Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas
1 T1
2 T2
P
15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė
Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos
judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių
taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr
Rišreiškiamas
mrmrmR 211 ++
=
rarrrarrrarr
kur 321 +++= mmmm
21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr
rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmvm rarr
= vmp )(eFtdvdm =
rarr
Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai
00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=
rarr
Materialių
taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje
Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys
1
12
12
mF
tdrd
rarrrarr
= 2
22
22
mF
tdrd
rarrrarr
= Be to iš
trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr
= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime
)11()(21
21
1
2
2122
2
mmF
mF
mFrr
tdd
+=minus=minus
rarrrarrrarrrarr
Ši
lygtis aprašo vieno materialaus taško
judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr
minus= rrryra radius vektorius
m1
m2
O
rarr
r
1rarr
r2
rarr
r
z
x
1rarr
r
2rarr
r
R
y
Pažymėjus
21
111mm
+=micro
arba 21
21
mmmm+
=micro tada 22
2
Ftdrd=
rarr
micro
Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr
F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį
)(e
Ftdvdm
rarrrarr
= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo
tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi
Lygties 2rMmGF = vektorinė forma
rarrrarr
rarr
minus=minus= rrMmG
rr
rMmGF 32 Įvedus micro
planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip
rarrbullbullbullbull
minus==+
equiv rrMmGFr
MmMmr 3micro
rarrrarr +minus=
bullbull
rrmMGr 3 Kadangi laikome kad
sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr
minus=bullbull
rwr 2
322 )2(
rmMG
Tw +
==π arba 3r
mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo
periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w
32
1
21 )2(
rMG
Tw ==
π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w
32
22
2)2(rMG
Tw ==
π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2
2
12
1
2 ==TT
ww Apsisukimo
periodas antru atveju 2 kartų mažesnis
Planeta m
Saulė
M
rarr
r
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
2 Kampinis greitis Ryšys tarp kreivalinijinio greičio ir nueito kelio Pagreitis taškuijudant kreiva trajektorija
Analogiškai su linijiniu greičiu ir pagreičiu sukamąjam judėjimui galima įvestikampinį greitį ω ir kampinį pagreitį ε Kampinis greitis
tddα
=ω
Jeigu α = ω t + const tai kampinis greitis bus pastovus Sukimųsi dažnis parodomaterialaus taško apsisukimų skaičių per laiko intervalą
tdd
21
2α
sdotπ
=πω
=ν
Dydis T = 1ν vadinamas apsisukimų periodu Kampinis pagreitis jeigu ω = ω(t)bus
2
2
dd
dd
ttα
=ω
=ε
Kampinis pagreitis lygus pirmai kampinio greičio išvestinei arba antrai kampoišvestinei pagal laiką
Jeigu apsisukimo spindulys yra r tai ∆s =r∆α tada
t
rts
∆∆
=∆∆ α ir
tr
ts
tt ∆∆
=∆∆
rarr∆rarr∆
α00
limlim
v = rw Jeigu kampinis greitis yra w(t) tai
diferencijuojant pagal laiką
a = d vd t = r d wd t
Kreivalinijinio judėjimo greitis ir pagreitis (bendruoju atveju) yra
rr = r(t) )(1 trr = r(t + ∆t) t
trttrtr
∆minus∆+
=∆∆
=)()(vvid
rrvr
M rarr
v (t) M1
rarr
∆ r (t)rarr
r (t) rarr
r 1(t)
α O
M1 M AElig s x
s∆ α O r
Imant ∆t rarr 0 rarrv = d
rarr
r dt = tr
t ∆∆
rarr
rarr∆ 0lim Tikrasis arba momentinis greitis yra
vektorius nukreiptas liestinės kryptimi trajektorijos taškerarr
r (t) Tokiu būdu aprašomas irpagreitis tai yra vektorius lygus greičio vektoriaus pirmai išvestinei arba spinduliovektoriaus antrai išvestinei
2
2
dd
dvd
tr
ta ==
rr
Tada galima ir greitį atvaizduoti pagal analogiją su spinduliu Greičio vektoriaus
galo taškas vadinamas greičio tašku o visuma tų taškų ndash greičio hodografu
Matematiniu požiūriu visiškai nesvarbifizikinė prasmė todėl ar diferencijuojamasr ar v nėra skirtumo Taigi galimaanalogija momentinis greitis nukreiptastrajektorijos liestinės kryptimi pagreitis busnukreiptas liestinės hodografui kryptimi
Pvz Sakykime kad materialustaškas juda apskritimu kurio spindulys rGreitis bus nukreiptas liestinės taške Mliestinės kryptimi o jo dydis v= ωr = 2πrT
Hodografas bus apskritimas kurio spindulys lygus rarr
r o pagreičio vektorius busnukreiptas hodografo liestinės taško kryptimi į apskritimo centrą Tada pagreitis bus
a = ω v = 2πrT = v 2r
Tai įcentrinio pagreičio formolė kuri vektorinėje formoje užrašoma taip rarr
a = - w2 rarr
r Imkime bet kokią trajektoriją Tada rarr
v = v rarr
s kur s - vienetinis
trajektorijos vektorius Trikampis yra lygiašonis bet ∆s artėjant į nulį ∆rarr
s rarr
s Jeigu rarr
a
S
rarr
v
rarr
n
O
a
M1
rarr
r
a A1
rarr
v
O1
A a
rarr
∆ v a1
rarr
v 1
rarr
v
O
= v middot drarr
s d t tada sulyginę šios lygybės dešinę pusę su įcentrinio pagreičio išraiškos
dešiniaja puse gausime rnv
tsv
rr
sdot=sdot 2dd Abi lygybės puses padalinę iš v gausime
rnv
ts rr
sdot=dd Žinodami kad d s = vmiddotd t užrašysime n
rv
ts
ss
tr
rr
sdotsdot=sdot=1
dd
dd
dsd arba n
rss rr
sdot=1
dd
Iš čia matyti kad trajektorijos liestinės vienetinio vektoriaus išvestinė yra statmena tam
vienetiniam vektoriui (tai seka iš liestinės sąvokos) d rarr
s rarr
n Kai ∆s rarr 0 α rarr 0 irrarr
s drarr
s Dydis 1r vadinamas trajektorijos kreivumo radiusu (duotame taške) o rarr
n ndash
normalės vektoriumi Kadangi 1r yra teigiamas o rarr
n ir rarr
s priešingų krypčių tai rarr
n visada
nukreiptas į įgaubtąją trajektorijos pusę Bendru atveju 1r ir rarr
n visą laiką kintaskirtinguose trajektorijos taškuose Kreivės gali būti plokštuminės (apskritimas elipsė hiperbolė parabolė ir tt) irerdvinės (spiralė) Plokštuma kurioje yra liestinė ir normalė vadinama liečiamaja ostatmuo išvestas iš duotojo taško į plokštumą ndash binormale Taigi bendru atvejurarr
v =v(t)s(t) Panaudodami dviejų kintamų dydžių diferenciavimo taisyklę gaunamerarr
a = d vd t middot rarr
s + rarr
v middot d rarr
s d t arba rarr
a = d vd t middot rarr
s + v2r middotrarr
n Taigi vektorius a guli s ir n plokštumoje Čia gavome viso pagreičio lygtį kuris
sudarytas iš tangentinio ir normalinio pagreičio sumos rarr
a t = d vd t middot rarr
s - tangentiniopagreičio lygtis tangentinis pagreitis yra vektorius kurio kryptis sutampas su trjektorijos
taško liestinės kryptimi rarr
a n = v2r middot rarr
n ndash normalinio pagreičio lygtis normalinis pagreitisyra vektorius kurio kryptis sutampa su trajektorijos normalės vektoriaus kryptimi tynukreiptas į trajektorijos įgaubtąją pusę Tangentinis pagreitis keičia greičio dydį onormalinis keičia greičio kryptį
Reikia neužmiršti kad trajektorijos kreivė gali būti (dažniausiai ir yra) erdvinė
figūra Tokiu atveju taško judėjimas bus apskaičiuojamas trijų koordinačių kryptimis rarr
i rarr
j rarr
k taigi materialaus taško judėjimą galima aprašyti trimis laisvės laipsniais (vienajudėjimo kryptis ndash vienas laisvės laipsnis)
rarr
s
rarr
∆ s
rarr
s + rarr
∆ s
rarr
s
α
rarrrarr
∆+ ss
rarr
r rarr
n
3 Taško judėjimo klasikinio aprašymo ribos Šviesos sąvoka ir jos greičio matavimo idėjos Fizo bandymas
Klasikinėje mechanikoje kiekvieno kūno judėjimo būvis aprašomas bet kuriuo
laiko momentu koordinatėmis ir greičiu rarr
v Vietoje greičio galime naudoti impulsą rarr
p =
mrarr
v Dalelė yra geometrinis taškas aprašantis kintant laikui nenutrūkstančią
trajektoriją Klasikinėje mechanikoje parodyta kad toks atvaizdavims yra ribotas dalelėsbūseną bet kuriuo laiko momentu negalima charakterizuoti tiksliomis koordinatėmis irimpulso dydžiu tuo pačiu metu Jeigu kuriuo nors laiko momentu dalelės būvisaprašomas koordinate su δ x neapibrėžtimi o impulsas su δ p tai abu šie dydžiai vienumetu negali būti kiek norint maži nes δ x δ p ge h Dydis h ndash Planko konstanta (h =663 middot 10-27) o nelygybė ndash Haizenbergo neapibrėžtumas Haizenbergo neapibrėžtumasnustato principinę ribą iki kurios galima vienu metu išmatuoti koordinatę ir impulsą ir jinegali būti peržengta jokiu matavimo prietaisu ar metodika Tada ir δ x middot m δ v ge h Taigiklasikinis trajektorijos aprašymas yra tik tam tikras atskiras atvejis
Makroskopiniu požiūriu bet kokio daikto padėtį galima nustatyti su tam tikrutikslumu užduodamu matavimo prietaiso Makroskopiniu požiūriu kvantinė mechanikapradeda galioti dalelėms kurių matmenys mažesni už atomo δ x = 10-8 cm tada δ v ge663 middot 10-27 10-8 le 10-18 cmc Kaip matome praktiškai δ x ir δ v yra labai maži todėlklasikinis aprašymas tinkamas makroskopiniams kūnams
Elektrono atveju kurio masė m = 911 10-28 g neapibrėžtumas turi būti nedidesnis už atomo matmenis Tada δ x lt 10-8 cm ir δ v ge hm δ x = 663 10-27911 10-
28 10-8 asymp 7 middot 108 cmc Toks greitis jau netinkamas netgi elektronui atome aprašyti Taigi
klasikinis aprašymas pasidaro netinkamas Kitas ribinis klasikinės mechanikos atvejis tai kūnų judėjimas greičiais artimais
šviesos greičiui Taigi kas yra šviesos greitis Kaip jis matuojamasRiomeris 1676 m išmatavo šviesos greitį matuodamas Jupiterio palydovų
užtemimus Buvo nustatyta kad regimasis jų apsisukimo periodas trumpėja kai Žemė dėlmetinio sukimosi artėja ir periodas ilgėja kai tolsta nuo Jupiterio ndash tai susiję su baigtiniušviesos greičiu
β
α
J s1
T1 s2
T2
S
Ž
T1 = t1 + s1c Kitą kartą Jupiterio palydovas išeis iš šešėlio momentu t2 o Žemėsstebėtojas jį stebės laiko momentu T2 = t2 + s2c Tada palydovo apsisukimo periodas bus Tsteb = T2 ndash T1 = Ttikr + (s2 ndash s1)c Išmatavus daug kartų tiek Žemei tolstant tiek artėjantlink Jupiterio galima išeliminuoti s2 ndash s1 ir žinant Ttikr suskaičiuoti šviesos greitį c =(s2 ndash s1)(Tsteb - Ttikr) Riomeris gavo c = 214 300 kms Tai buvo pirmas sėkmingasšviesos reičio matavimo atvejis Iki Riomerio visi šviesos matavimo mėginimai buvonesėkmingi Šviesos aberacija Jeigu kryptis kuria juda stebėtojas yra statmena krypčiai kuria stebima žvaigždėtai dėl šviesos aberacijos kryptis į žvaigždę skiriasi nuo tikrosios Šviesos aberacijoskampas β = π2 ndash α middot tgβ = vc kur v Žemės judėjimo greičio dedamoji statmenakrypčiai į žvaigždę Išmatavus v ir kryptį į žvaigždę galima gauti c Gauti rezultataisutapo su Riomerio
Fizo bandymas (1851m) taišviesos greičio matavimas judančiojematerijoje (vandenyje) Šviesosgreitis vandenyje yra u| = cn n ndashlūžio rodiklis Jeigu aplinka judastebėtojo atžvilgiu tai šviesos greitisstebėtojo atžvilgiu būtų u| plusmn v ndashpriklausomai nuo greičių krypčiųFizo bandyme du spinduliai judapriešpriešais ir nueina tą patį keliaprieš patekdami į interferometrą Fkol vanduo stikliniame vamzdyjenejuda Kai vanduo juda vienasspindulys juda pagal vandensjudėjimo kryptį o kitas priešingaitodėl turi susidaryti eigos skirtumaskurį galima apskaičiuoti išinterferencinių juostų poslinkioskysčiui stovint ir judant A - šviesosšaltinis B ndash pusiau skaidri plokštelėišskirianti du koherentinius
spindulius K D E ndash veidrodžiail ndash šviesos kelio ruožų vandenyje bendras ilgis t0 ndash laikas kurį spindulys
praeina visus kitus (be skysčio) kelio tarpus u+ - sklindantis pasroviui u- - prieš srovęspindulio greitis skystije u+ = u| + kv u- = u| - kv Kur k ndash koeficientas kurį norėjo surastiFizo Jeigu k = 1 tai teisinga klasikinė greičių sudėties taisyklė o kai k ne 1 tai yranukrypimas Šviesos greitis vandenyje u| = cn = 300 000 13 asymp 230 000 kms Laikasper kurį u+ ir u- spinduliai praeina visą kelią t1 = t0 + l(u| + kv) ir t2 = t0 + l(u| - kv) taigilaiko pokytis yra ∆t = 2lkv u|2 ndash k2v2 Suskaičiavus interferencinių juostų poslinkį iržinant l galima rasti k Fizo gavo k = 1- 1n2 Taigi klasikinio aprašymo taisyklė šviesaijau netinka Tai buvo fantastiška išvada nors tais laikais egzistavo eterio vilkimo teorijakurios išvados pilnai paaiškino Fizo bandymą Fizo bandymas yra eksperimentinisklasikinio greičio sudėties dėsnio ir Galilėjaus transformacijų klaidingumo įrodymas
rarr
v
K D
B EA
F
5 Lorenco transformacijos Postulatai Kai judėjimo greičiai dideli kaip matėme iš Fizo bandymo Galilėjaustransformacijos prieštarauja eksperimentui Reikia kitokių transformacijų kuriosderintųsi su šviesos greičio pastovumu Taigi Lorenco transformacijų postulatai 1) reliatyvumo principas 2) šviesos greičio pastovomas Koordinačių transformacijų tiesiškumas Judančių koordinačių sistemas visada galima orientuoti taip kad sutaptų sukoordinačių pradžia Kadangi greičių sudėčiai jau nebetinka klasikinė formulė tai galimatikėtis kad vienos sistemos laikas jau neišreiškiamas tik kitos sistemos laiku betpriklauso ir nuo koordinačių Tada
x| = Ф1(x y z t) y| = Ф2(x y z t) z| = Ф3(x y z t) t| = Ф4(x y z t)
Bendrą funkcijų Ф pavidalą lemia erdvės ir laiko savybės Nagrinėjantgeometrinius sąryšius vienoje atskaitos sistemoje laikome kad kiekvienas taškas niekuonesiskiria nuo bet kurio kito taško ir visi geometriniai sąryšiai tarp bet kurių geometriniųobjektų bus visiškai tokie pat kaip ir perkėlus koordinačių pradžią į bet kokį kitą taškąerdvės vienalytiškumas Geometriniai sąryšiai nekinta dėl koordinačių sistemos ašiųtransformacijos ndash izotropiškumas Erdvės vienalytiškumas ir izotropiškumas yrasvarbiausios savybės inercinėse atskaitos sistemose Svarbiausia laiko savybė ndashvienalytiškumas kiekviena fizikinė situacija vystosi ir kinta vienodai nepriklausomainuo to kokiu momentu ji susiklosčiusi Iš erdvės ir laiko vienalytiškumo išplaukia kadtransformacijos turi būti tiesinės Panagrinėjus nykstamai mažą pokytį d x| nejudančiojekoordinačių sistemoje jį atitiks nykstamai maži d x d y d z d t Tada
x| = xdxpartΦpart 1 + yd
ypartΦpart 1 + zd
zpartΦpart 1 + td
tpartΦpart 1
Kadangi erdvė ir laikas yra vienalyčiai tas ryšys turi būti vienodas visiems erdvėstaškams bet kuriems laiko momentams ty
xpartΦpart 1
ypartΦpart 1
zpartΦpart 1
tpartΦpart 1 = const
Ф1(x y z t) = A1x + A2y + A3z + A4 + A5
čia A1 A2 A3 A4 A5 ndash konstantos priklausančios nuo sistemos judėjimą kitos atžvilgiuapibūdinančių parametrų
y ir z transformacijos Jei koordinačių pradžios laiko momentu t = 0 sutampa tai x = y = z = x| = y| = z| == 0 ir laisvasis narys A5 = 0 Tada
y| = a1x + a2y + a3z + a4tz| = b1x + b2y + b3z + b4t
Kadangi x| ašis sutampa su x tai iš sąlygos y = 0 išplaukia y| = 0 iš ndash z = 0išplaukia z| = 0 Reiškia
0 = a1x + a1sdot0 + a3z + a4t0 = b1x + b2y + b3sdot0 + b4t
O šios lygtys bus patenkintos tik tada jeigu a1 = a3 = a4 = 0 ir b1 = b2 = b4 = 0Tada y| = ay z| = az a ndash rodo kiek kartų y| yra didesnė už y
y = a1 y| z =
a1 z|
1a ndash rodo kiek kartų pasirinkto mastelio ilgis nejudančioje sistemoje yra didesnisnegu judančioje Pagal realiatyvumo principą abi sistemos yra lygiavertės Taigi 1a =a ir a = +1 a = -1 neįmanoma nes sutarta kad sistemos nekeičia savo krypties (x y z irx| y| z| ašys sutampa Taigi y = y| ir z = z|
x ir t transformacija Kadangikintamieji y ir z transformuojami atskirai taix ir t transformacijos bus tiesinės jųfunkcijos Judančios koordinačių sistemospradžios taškas nejudančioje sistemojenusakomas koordinate x| = α(x ndash vt) čia ndash αproporcingumo koeficientas kurį reikiarasti Lygiai taip pat pereinant iš judančiossistemos į nejudančią x = α|(x|+ vt|) Tadaremiantis reliatyvumo principu α| = αSakykime judančioje koordinačių sistemojeyra ilgio l strypas gulintis išilgai x| ašies l= x|
2 ndash x|1 Nejudančios sistemos atžvilgiu
strypas juda greičiu v Tada
x|1 = α(x1 ndash vt0) x|
2 = α(x2 ndash vt0)x2 ndash x1 = (x|
2 ndash x|1)α =lα
Judančio strypo ilgis nejudančioje sistemoje Dabar tarkime kad tas pats strypasnejuda nejudančioje koordinačių sistemoje x2 ndash x1= l Tada x1 = α|(x|
1 + vt|0) ir x2 = α|(x|
2+ vt|
0) Ir judančio strypo ilgis judančioje sistemoje yra x|
2 ndash x|1 = (x2 ndash x1)α| Pagal
reliatyvumo principą lα = lα| ty α = α| Iš šviesos greičio pastovumo laiko momentu t= t| = 0 iš koordinačių pradžios (kurios sutampa) pasiunčiamas šviesos signalas Kadangišviesos greitis abiejose sistemose vienodas tai x| = ct| ir x = ct Tada jei α = α| tai iš
x| = α(x ndash vt) ir x = α|(x| + vt|) išplaukia kad
y y|
x x|
z z|
rarr
v
ct| = α(ct ndash vt) ir ct = α(ct| + vt|) dabar sudauginę abi išraiškas gausime2α = 22
2
vcc+
2α = )1(
122 cvminus
2α = 1 22 1 cvminus
Kadangi vt| = αx - x| =
αx - α(x ndash vt) = α v t + x(
α1 - α)
t| = αt + vx ( 2
1α
- 1) t| =
2
2
1
1
cv
minus
t + vx [( 1 - 2
2
cv ) -1] t| =
2
2
2
1cv
xcvt
minus
minus
Lorenco transformacijos
2
2
|
1cvvtxx
minus
minus= yy =| zz =|
2
2
2|
1
)(
cv
xcvttminus
minus=
Atvirkštinės transformacijos išreiškiamos (remiantis reliatyvumo principu) taippat tik pakeitus ženklą
2
2
||
1cvvtxx
minus
+= |yy = |zz =
2
2
2|
1
)(
cv
xcvttminus
+=
Galilėjaus transformacijos gaunamos kai vc ltlt 1
6 Lorenco transformacijų išvada vienalaikiškumo reliatyvumas
Du įvykiai skirtingose koordinačių sistemos taškuose x1 ir x2 vadinamivienalaikiais jeigu jie įvyksta tą patį laiko momentą pagal tos koordinačių sistemoslaikrodį Tegu įvykiai įvyko laiko momentu t0 nejudančioje koordinačių sistemojeJudančioje koordinačių sistemoje įvykiai įvyko taškuose x|
1 ir x|2 momentais t|1 ir t|2 Laiką
t|1 ir t|2 parodė judančios koordinačių sistemos laikrodžiai esantys jos taškuose x|1 ir x|
2tais momentais kai tuose taškuose įvyko nagrinėjamas įvykis Ryšys tarp judančios irnejudančios sistemos
2
201|
1
1cvvtxx
minus
minus=
2
202|
2
1cvvtxx
minus
minus=
2
2
120|1
1
)(
cv
xcvt
tminus
minus=
2
2
220|2
1
)(
cv
xcvt
tminus
minus=
Pažymėkime 2
2
1cv
minus = β
Matome kad įvykiai judančioje koordinačių sistemoje įvyko ne tuo pačiumomentu
)()()(212
12
022
0|1
|2
| xxcvxcvtxcvtttt minus=
+minusminus=minus=∆
ββ Vienalaikiškumo sąvoka neturi absoliučios prasmės nepriklausančios nuokoordinačių sistemos Teiginys įvyko vienu laikurdquo reikalauja nurodyti koordinačiųsistemą Vienalaikiškumo reliatyvumas ir priežastingumas Iš ∆t| formulės seka kad jeigux1 gt x2 tai koordinačių sistemoje judančioje x ašies teigiama kryptimi (v gt 0) turi būti t|2gt t|1 o koordinačių sistemoje judančioje į priešingą pusę (v lt 0) turi būti t|2 lt t|1 ty tiepatys įvykiai skirtingose koordinačių sistemose vyksta ne ta pačia tvarka Ar negali būtikad pasekmė bus ankstesnė už priežastį Kad priežastis ir pasekmė nepriklausytų nuo tokokioje koordinačių sistemoje nagrinėjamos būtina sąlyga jokie materialųs poveikiaikuriais realizuojamas fizinis ryšys tarp įvykių skirtinguose taškuose negali būtiperduodamas greičiu didesniu už šviesos greitį Pvz Nejudančioje koordinačių sistemoje įvykis įvyksta taške x1 laiko momentot1 ir yra priežastis sukėlusi įvykį taške x2 gt x1 laiko momentu t2 gt t1 Greitį kuriuoperduodama įtaka iš x1 į x2 pažymėkime vįt Pagal greičio apibrėžimą
1212 tt
vxx
įt
minus=minus
Judančioje koordinačių sistemoje tie įvykiai vyksta taškouse x|1 ir x|
2 laikomomentais t|1 ir t|2 Tada iš lygybės t| = t ndash (vc2)xβ gauname
(x2 ndashx1) = vįt(t2 ndash t1)
)1())((2
12122
12|1
|2 įtvc
vttxxcvtttt minusminus
=minusminusminus
=minusββ
Iš šios išraiškos jeigu )1( 2 įtvcv
minus lt 0 tai judančioje koordinačių sistemoje
pasekmė įvyks anksčiau už priežastį Bet tai neįmanoma Todėl visada įtvcv21minus gt 0 arba
įtakos perdavimo greitis bus vįt gt cvc Lorenco transformacijos turi prasmę tik tada kai
v le c
7 Lorenco transformacijų išvada intervalo invariantiškumas Judančio kūno ilgis
Intrevalo invariantiškumas Galilėjaus transformacijų invariantai yra kūno ilgis ir laiko tarpas tarp įvykiųtačiau jie nėra Lorenco transformacijų invariantai ty jie priklauso nuo koordinačiųsistemos Lorenco transformacijų invariantas yra erdvės laiko intervalas Tegu taške (x1 y1z1) laiko momentu t1 įvyko įvykis o taške (x2 y2 z2) ir laiko momentu t2 kitas įvykisIntervalu tarp tų įvykių vadinamas dydis ss2 = (x2 ndash x1)2 + (y2 ndash y1)2 + (z2 ndash z1)2 ndash c2(t2 ndash t1)2 Kuris yra vienodas visose koordinačių sistemose invariantas Tai įrodysime
β)( |
1|2
|1
|2
12ttvxxxx minus+minus
=minus
|1
|212 yyyy minus=minus
|1
|212 zzzz minus=minus
β))(( |
1|2
2|1
|2
12xxcvtttt minus+minus
=minus
Įrašius šias reikšmes į s išraišką gauname kad
minusminus+minus+minus=minusminusminus+minus+minus= 2|1
|2
2|1
|2
2|1
|2
212
2212
212
212
2 )()()()()()()( zzyyxxttczzyyxxs2|
1|2
2 )( ttc minusminus = 2|s
Jeigu x2 ndash x1 = ds tai
d s2 = d x2 + d y2 + d z2 ndash c2 d t2 yra invariantas
Erdviškieji ir laikiškieji intervalai Iš anksčiau jei atstumas tarp (x1 y1 z1) ir (x2 y2 z2) yra l o laiko tarpas tarp tųįvykių t tai s2 = l2 ndash c2t2 yra invariantas Sakykime tam tikroje koordinačių sistemojeįvykių negali sieti priežastinis ryšys Tada l gt ct ir s2 gt 0 (veikimo sklidimo atstumasmažesnis už atstumą tarp įvykių) Taigi erdviškasis intervalas yra s2 gt 0 Erdviškąjamintervalui galime parinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiai vyksta vienu metuskirtinguose erdvės taškuose (s2 = l2 gt 0 t = 0) ir nėra tokios koordinačių sistemoskurioje tie įvykiai vyktų tame pačiame taške nes tada l = 0 ty = s2 = -c2t2 lt 0 taiprieštarauja sąlygai s2 gt 0 Jeigu įvykius gali sieti priežastinis ryšys tai l lt ct ir s2 lt 0Tai laikiškasis intervalas galima pasirinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiaiįvyksta tame pačiame erdvės taške bet skirtingais laiko momentais (l =0 s2 = - c2t2 lt 0)ir nėra tokios koordinačių sistemos kurioje tie du įvykiai būtų vienalaikiai (t = 0 s2 = l2 gt0 kas prieštarauja s2 lt 0) Intervalo tarp įvykių laikiškumas arba erdviškumasnepriklauso nuo koordinačių sistemos ndash tai įvykių invariantiška savybė
Judančio kūno ilgis Judančio kūno ilgiu vadinamas atstumas tarp nejudančios koordinačių sistemostaškų su kuriais sutampa judančio strypo pradžia ir galas vienu laiko momentu pagalnejudančios koordinačių sistemos laikrodį Judančios koordinačių sistemos laikrodžiaiesantys strypo galuose rodys skirtingą laiką ir strypo galai bus fiksuojami skirtingu laiku- strypo ilgis nėra Lorenco transformacijų invariantas skirtingose sistemose skiriasiTegu judančioje koordinačių sistemoje nejudančio strypo ilgis l = x|
2 ndash x|1 ir nukreiptas
išilgai x ašies
β01|
1vtxx minus
= β
02|2
vtxx minus=
ββ
|12|
1|2
llxxlxx =rArrminus
==minus
2
2| 1
cvll minus=
Taigi judantis kūnas yra trumpesnis už nejudantį Ta prasme kad tam tikru laikomomentu pagal nejudančios sistemos laikrodį užfiksuojamos visų judančio kūnopaviršiaus taškų koordinatės Tai momentinė kopija kuri atrodytų suplota jeigu būtųregistruojama nejudanti Vizualiai viskas būtų kitaip nes 1) šviesos spinduliai iš įvairiųkūno taškų pasiekia stebėtoją per skirtingą laiką 2) pasireiškia šviesos aberacija todėlregimoji kryptis nesutampa su tikrąja taigi kūno forma matoma ne tokia kaip duodaLorenco transformacijos Sutrumpėjimo įvertinimas
Kadangi v ltlt c tai vc ltlt 1 ir išskleidus eilute )211( 2
2|
cvll minusasymp
Tada lcvl
cvllll 2
2
2
2|
21)
211( minus=minusminus=minus=∆ 2
2
21
cv
ll
minus=∆
kai v = 30 kms tai 810
2
1050109109
21 minussdotminus=
sdotsdot
minus=∆ ll ty jeigu raketa bus 100 m ilgio tai
sutrumpės 1 microm kas praktiškai nepastebima Žemė juda apie Saulę 30 kms greičiu irsusiploja judėjimo kryptimi tik 6 cm Jeigu vc = 087 tada kūno ilgis susiploja per pusęJeigu atstumas nejudančioje kooordinačių sistemoje tarp dviejų taškų yra l = x1 ndash x2 ir tietaškai pradėjo judėti teigiama x ašies kryptimi kiekvienu laiko momentu taškų greičiaiyra vienodi ndash vadinasi jie nueina vienodą kelią Tačiau stebėtojas judantis kartu su taistaškais minėtoje sistemoje matys kad atstumas tarp jų didėja ir pasiekus pastovų greitį vbus )(1 22 cvl minus ilgio Paaiškinti galima paprastai nejudančios sistemos atžvilgiu tietaškai judėjo sinchroniškai tačiau judančioje sistemoje ndash nesinchroniškai nessinchroniškumas yra reliatyvus ndash x2 pradėjo greitėti labiau negu x1 ir todėl nutolo Jeigux2 ir x1 sujungti nesvaria spyruokle tai ji bus ištempta ir bus atliktas darbas kurioenergija paimta iš variklių verčiančių judėti tuos taškus Jeigu taškai sujungti absoliučiaistandžiu strypu tai be galo mažai deformacijai sukelti reikės be galo didelės energijostaigi jo galai negali judėti tuo pačiu dėsniu Išvada nagrinėjant materialių kūnų judėjimąjų negalima laikyti absoliučiai kietais
8 Lorenco transformacijų išvada judančių laikrodžių laikas savasis laikas
Judančių laikrodžių eigos sparta Savasis laikas Iš Lorenco transformacijų ndash
β
|0
2|1
1)( xcvtt +
= β))(( |0
2|22 xcvtt += β)( |
1|212
| ttttt minus=minus=∆ β| tt ∆=∆
Laiko tarpas tarp įvykių išmatuotas judančiais laikrodžiais yra trumpesnis negumatuojant nejudančiais laikrodžiais judantis laikrodis eina lėčiau už nejudantį Tačiaujudančius laikrodžius galime laikyti nejudančiais Ar tai neprieštarauja reliatyvumoprincipui Ne nes vieno ir to paties judančio taško laikas lyginamas su įvairių nejudančiųtaškų laiku o norint pritaikyti reliatyvumo principą reikia įvairių judančios sistemostaškų laiką palyginti su to paties nejudančios koordinačių sistemos taško laiku Tegutaške x0 vienas po kito įvyko du įvykiai judančioje nebrūkšniuotoje koordinačiųsistemoje Laiko tarpas tarp jų ∆t = t2 ndash t1 Brūkšniuotoje koordinačių sistemoje kuri yranejudanti įvykiai įvyko skirtinguose taškuose laiko momentais t|
1 ir t|2
β0
21|
1)( xcvtt minus
= β
02
2|2
)( xcvtt minus=
βtttt ∆
=minus=∆ |1
|2
|
Tačiau dabar ∆t| yra laikas tarp įvykių nejudančioje koordinačių sistemoje ∆t ndashnejudančioje Prieštaravimo nėra
Laikas matuojamas su judančiu tašku susijusiu laikrodžiu vadinamas savuojulaiku Su judančiu tašku susijusio laikrodžio laiko skirtumas ndash d τ d t ndash laikodiferencialas inercinėje sistemoje kurioje nagrinėjamas taškas juda greičiu v
)(1 22 cvdtd minus=τ
222222 tdczdydxdsd minus++= 2
222rarr
=++ rdzdydxd ))(1(2
222rarr
minusminus= rdtdcsd
)11()1( 2
2
2222
tdrd
ctdcsd
rarr
minusminus= 2
2
2rarr
rarr
= vtdrd )(1 22 cvtdicsd minus= )(1 22 cvtdd minus=τ
icsdd =τ čia d s ndash invariantas c ndash pastovus d τ ndash invariantas Savasis laikas yraLorenco transformacijų invariantas nes savasis laikas matuojamas laikrodžiu kurissusietas su pačiu judančiu tašku todėl nesvarbu kokioje koordinačių sistemojeatskaitomi jo parodymai Eksperimentai patvirtinantys laiko reliatyvumą Matuojant +micro mezono nueitą kelią nuo jo atsiradimo iki išnykimo ir nustatyti jo greitįKuo +micro mezono judėjimo greitis didesnis tuo gyvavimo trukmė turi būti ilgesnė nes
βττ micromicro )0(= )0(microτ - savoji gyvavimo trukmė Jeigu laikas nelėtėja tai kelio ilgio
priklausomybė nuo greičio - vl )0(microτ= - tiesinė v funkcija Jeigu lėtėja -
)(1 22)0( cvvl minus= microτ - netiesinė v funkcija Išmatavus l = f(v) buvo gauta kad ji atitinka
reliatyvistinę formulę Dar akivaizdesnis bandymas buvo atliktas 1972 m Su trimatominiais laikrodžiais
Du atominiai laikrodžiai buvo įmontuoti įreaktyvinius lėktuvus o vienas buvosumontuotas aerouoste Visi trys laikrodžiaibuvo sinchronizuoti Po to abu lėktuvai pakilo įorą
Vienas skrenda prieš Žemės sukimąsi o kitaspagal trečias lieka vietoje Gryžus palyginamilaikrodžių parodymai Visi laikrodžiainagrinėjami Žemės centro atžvilgiu nes tokiasistema yra inercinė Kadangi v gt u| tai abuskrendantys laikrodžiai juda iš rytų į vakarusNejudančio Žemės paviršiuje laikrodžio savasislaikas 0τ judančio į vakarus savasis laikas +τ į rytus - minusτ
)(1 220 cvtdd minus=τ 2
2| )(1cuvtdd minus
minus=+τ 2
2| )(1c
uvtdd +minus=minusτ
0τd ir +τd - skuba o 0τd ir minusτd - vėluoja Tačiau traukos laukai taip pat lėtinalaikrodžių eigą taigi laikrodis kuris liko Žemės paviršiuje eis lėčiau negu laikrodžiaikurie yra lėktuvuose nes pastarieji yra silpnesniame traukos lauke Skridęs į vakarusskubėjo 275 ns o į rytus vėlavo 40 ns Sutapo teoriškai Su pagreičiais judančių laikrodžių eiga Formulė βτ sdot= dtd išvesta tolyginiam judėjimui o specialioji reliatyvumo teorijaneaprašo netolygaus judėjimo Bandymais buvo parodyta kad ši formulė galioja irjudėjimui su pagreičiu (bent jau sukimuisi apskritimu) nes buvo tiriamas elektringųdalelių judėjimas magnetiniame lauke veikiant Lorenco jėgai
vndash u|-
v + u|
rarr
v
9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados
Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|
= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai
1) judančioje |
||
tdxdux = |
||
tdyduy = |
||
tdzduz =
2) nejudančioje tdxdux =
tdyduy =
tdzduz =
Tada
β
|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =
ββ
)1( 2||
||
cvutd
tdvxdddxdu
x
x
+
+==
ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+
=+
= )1( 2
||
|
cvutd
ydtdydu
x
y
+
sdot==
β
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+=
|2
|2
2
1
1
x
y
y
ucv
ucv
u+
minus=
|2
|2
2
1
1
x
z
z
ucv
ucv
u+
minus=
Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|
y = u|z = 0 o u|
x = c tada
c
ccvvcux =
+
+=
21
Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|
x = 0 u|y = c u|
z = 0 Nejudančioje
koordinačių sistemoje ndash ux = v 2
2
1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių
sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi
2
2
1
1
cvc
vuutg
y
x
minus
===β Ši
formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu
Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje
ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+= kai aplinka juda plusmn v tai
)1()()(1
)(
2cnvv
nc
cncvvnvux msdotplusmn=
plusmn
plusmn= nes
cv ltlt 1
cnv
cnvcv
ncux
2
2 minusplusmnasymp m 02
asympcnv
vnn
cux sdotminusasymp )11( 2m
Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio
transformacija Pagreitis a|x a|
y a|z kur |
||
tduda x
x = u|x = u|
y = u|z = 0 tada
nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje
koordinačių sistemoje td
uda xx =
)1
()(2
||
cvu
vuux
xx
+
+=
|22|
22
2
2
2
|
2
|
22
|
|
22|
|2|
2
|
|
))(1()(1)1(
)1())(1())((
1x
x
xx
x
x
x
xx
x
xx ud
cvucv
cv
cvu
cvu
cvuud
cvuudcvvu
cvuudud
+minus
=minusminus++
=++
minus+
=
|232
2
|
22|22
)1()(1)(1(
xxx
x acv
tdcvudcv
tduda minus=
minussdotminus==
10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos
Masė
Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų
Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1
(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose
Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos
sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1
rarr
v ir 2
rarr
v
o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1
rarr
∆ v ir 2
rarr
∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211
rarrrarr
∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens
Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm
tvm
∆∆
minus=∆∆
rarrrarr
22
11 ir kai ∆t rarr 0 tai
2211
rarrrarr
minus= amam
3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1
|
11
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv ir 1
|
22
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|
1 ir v|2 po susidūrimo Tada
)()( 2
|
221
|
11
rarrrarrrarrrarr
minusminus=minus vvmvvm ir |
21
|
112211
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm
Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams
21
rarrrarrrarr
+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr
= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara
11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis
Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis
F tdpdFrarr
rarr
= Dydis F yra koordinčių rarr
r ir greičio rarr
v funkcija )(rarrrarrrarr
vrF Taigi tdpdrarr
apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr
F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai
II Niutono dėsnis tdpdFrarr
rarr
= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu
atveju kai )(tmm ne tai rarr
rarr
= Ftdvdm
rarrrarr
= Ftdrdm 2
2
Taigi pagrindinis klasikinės
mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr
vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį
x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi
TtAx π2cos=
Tt
TAx ππ 2sin2
minus=bull
TtA
Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull
mxT
x sdotminus=bullbull
|)2( 2π
xmT
xm 2)2( πminus=
bullbull
kmT
=2)2( π
k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis
Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui
bullbullbull
minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra
)(rarrrarrrarr
larr rarr
rarr
vrFv RASTIti
RASTIi
m
A
x
a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai
0=
rarr
tdpd taigi constp =
rarr
ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir
greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma
Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1
rarr
F ir 2
rarr
F ir klausiama kokia viena jėgararr
F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga
Jeigu turėsime n jėgų iFrarr
kurios veikia materialų
tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr
F - sakoma kad
tai bus geometrinė iFrarr
jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu
kiekviena jėga iFrarr
suteikia materialiam taškui
pagreitį iararr
tai atstojamasis judėjimas
bus randamas visų iararr
vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr
= amF irgi bus
nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr
= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti
F F1 F
12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka
Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis
1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr
21 iš
2121 0rarrrarr
bullrarr
bullrarr
minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis
Tegu ikFrarr
- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr
- priešingai Tada iš
III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr
minus= 0=+rarrrarr
iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -
ikFrarr
Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru
atveju vidinių jėgų suma 0)()(
3
)(
2
)(
1 =++++rarrrarrrarrrarr i
n
iii
FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1
iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti
)(
1
)(
11
ei
FFtdpd rarrrarrrarr
+=
+)(
2
)(
22
ei
FFtd
pd rarrrarrrarr
+=
)()()()()(
3
)(
2
)(
1
)()(
2
)(
121
i
n
eeei
n
ii
n FFFFFFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
++++++++=+++
Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai
)()(
2
)(
121 )(e
n
ee
n FFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarr
+++=+++ ir )(e
Fptd
d rarrrarr
=
kur rarr
p - visos sistemos impulsas o )(e
Frarr
- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių
sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(
=rarr e
F tada
0=
rarr
tdpd ir
rarr
p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą
geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(
nerarr e
F tačiau
0)(
=rarr e
xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso
projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne
poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn
iF 0 tada tas pats
galioja ir impulsui rarr
p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)
Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš
III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm
Fa+
= o Fmm
mFFBA
B
+== 21 Šis sprendimas
nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|
2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|
1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|
1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =
F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB
Netamprus siūlas F F1 F2 A B
rarr
v
Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|
1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į
siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai
Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki
taško B tai jėga rarr
F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso
tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta
A|
A F B
laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas
cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis
Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis
xFtdxdm =2
2
yFtdydm =2
2
zFtdzdm =2
2
Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos
Paprastai tai būna rarr
r ir rarr
v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa
Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr
= gmF taigi
rarrrarr
= gtdrd2
2
arba rarr
rarr
= gtdvd ir
rarrrarr
= vtdrd iš čia 0
rarrrarrrarr
+= vtgv 002
21 rarrrarrrarrrarr
++= rtvtgr
Tai bendras sprendinys o paimdami 0
rarr
v ir 0
rarr
r konkrečias vertes gausime atskirą
prendinį o 0
rarr
v ir 0
rarr
r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną
Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1
rarr
v ir 2
rarr
v iki
susidūrimo ir po jo rarr
v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr
=+ vmvmvm 2211
Sistemoje A| judančioje greičiu rarr
v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|
22
|
11
rarrrarrrarr
=+ vmvmvm
Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr
v ir v| tadararrrarrrarr
minus= vvv 1
|
1 rarrrarrrarr
minus= vvv 2
|
2 rarrrarrrarr
minus= vvv|
Tada gauname
)()()( 2211
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr
minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr
=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių
adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių
adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau
13 Trinties dėsniai
1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja
P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)
Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio
fn
ftr f
P
d K = -ftrarr
s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga
Kai greičiai mažirarrrarr
minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę
rarrrarr
minus=minus= vvkvvvkftr 2
22
Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt
Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)
ftr
f0
d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0
v
Rimties trintiesjėga
f k2v2
k1v Turbulentinis aptekėjimas
Laminarinis aptekėjimas
v
14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas
1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e
Ftdpd rarrrarr
= - geometrinė
visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0
)(0 ttFpp e minus=minus -
jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su
21 ++=rarrrarrrarr
vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti
)( 01)(
101 ttFpp e minus=minusrarrrarr
+
)( 12)(
212 ttFpp e minus=minusrarrrarr
-------------------------------
ne
nee
n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr
minus
rarrrarr)(
2)(
21)(
101121
sum=
rarrrarr
∆=minusn
ii
ei tFpp
1
)(0 kai sum intequiv∆
rarr∆ i
t
t
ei
ei
tdFtF
i 0
)(lim )()(
0ττ tai int=minus
rarrrarr t
t
e dFpp0
)()(0 ττ
Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės
Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas
1 T1
2 T2
P
15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė
Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos
judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių
taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr
Rišreiškiamas
mrmrmR 211 ++
=
rarrrarrrarr
kur 321 +++= mmmm
21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr
rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmvm rarr
= vmp )(eFtdvdm =
rarr
Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai
00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=
rarr
Materialių
taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje
Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys
1
12
12
mF
tdrd
rarrrarr
= 2
22
22
mF
tdrd
rarrrarr
= Be to iš
trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr
= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime
)11()(21
21
1
2
2122
2
mmF
mF
mFrr
tdd
+=minus=minus
rarrrarrrarrrarr
Ši
lygtis aprašo vieno materialaus taško
judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr
minus= rrryra radius vektorius
m1
m2
O
rarr
r
1rarr
r2
rarr
r
z
x
1rarr
r
2rarr
r
R
y
Pažymėjus
21
111mm
+=micro
arba 21
21
mmmm+
=micro tada 22
2
Ftdrd=
rarr
micro
Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr
F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį
)(e
Ftdvdm
rarrrarr
= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo
tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi
Lygties 2rMmGF = vektorinė forma
rarrrarr
rarr
minus=minus= rrMmG
rr
rMmGF 32 Įvedus micro
planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip
rarrbullbullbullbull
minus==+
equiv rrMmGFr
MmMmr 3micro
rarrrarr +minus=
bullbull
rrmMGr 3 Kadangi laikome kad
sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr
minus=bullbull
rwr 2
322 )2(
rmMG
Tw +
==π arba 3r
mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo
periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w
32
1
21 )2(
rMG
Tw ==
π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w
32
22
2)2(rMG
Tw ==
π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2
2
12
1
2 ==TT
ww Apsisukimo
periodas antru atveju 2 kartų mažesnis
Planeta m
Saulė
M
rarr
r
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
Imant ∆t rarr 0 rarrv = d
rarr
r dt = tr
t ∆∆
rarr
rarr∆ 0lim Tikrasis arba momentinis greitis yra
vektorius nukreiptas liestinės kryptimi trajektorijos taškerarr
r (t) Tokiu būdu aprašomas irpagreitis tai yra vektorius lygus greičio vektoriaus pirmai išvestinei arba spinduliovektoriaus antrai išvestinei
2
2
dd
dvd
tr
ta ==
rr
Tada galima ir greitį atvaizduoti pagal analogiją su spinduliu Greičio vektoriaus
galo taškas vadinamas greičio tašku o visuma tų taškų ndash greičio hodografu
Matematiniu požiūriu visiškai nesvarbifizikinė prasmė todėl ar diferencijuojamasr ar v nėra skirtumo Taigi galimaanalogija momentinis greitis nukreiptastrajektorijos liestinės kryptimi pagreitis busnukreiptas liestinės hodografui kryptimi
Pvz Sakykime kad materialustaškas juda apskritimu kurio spindulys rGreitis bus nukreiptas liestinės taške Mliestinės kryptimi o jo dydis v= ωr = 2πrT
Hodografas bus apskritimas kurio spindulys lygus rarr
r o pagreičio vektorius busnukreiptas hodografo liestinės taško kryptimi į apskritimo centrą Tada pagreitis bus
a = ω v = 2πrT = v 2r
Tai įcentrinio pagreičio formolė kuri vektorinėje formoje užrašoma taip rarr
a = - w2 rarr
r Imkime bet kokią trajektoriją Tada rarr
v = v rarr
s kur s - vienetinis
trajektorijos vektorius Trikampis yra lygiašonis bet ∆s artėjant į nulį ∆rarr
s rarr
s Jeigu rarr
a
S
rarr
v
rarr
n
O
a
M1
rarr
r
a A1
rarr
v
O1
A a
rarr
∆ v a1
rarr
v 1
rarr
v
O
= v middot drarr
s d t tada sulyginę šios lygybės dešinę pusę su įcentrinio pagreičio išraiškos
dešiniaja puse gausime rnv
tsv
rr
sdot=sdot 2dd Abi lygybės puses padalinę iš v gausime
rnv
ts rr
sdot=dd Žinodami kad d s = vmiddotd t užrašysime n
rv
ts
ss
tr
rr
sdotsdot=sdot=1
dd
dd
dsd arba n
rss rr
sdot=1
dd
Iš čia matyti kad trajektorijos liestinės vienetinio vektoriaus išvestinė yra statmena tam
vienetiniam vektoriui (tai seka iš liestinės sąvokos) d rarr
s rarr
n Kai ∆s rarr 0 α rarr 0 irrarr
s drarr
s Dydis 1r vadinamas trajektorijos kreivumo radiusu (duotame taške) o rarr
n ndash
normalės vektoriumi Kadangi 1r yra teigiamas o rarr
n ir rarr
s priešingų krypčių tai rarr
n visada
nukreiptas į įgaubtąją trajektorijos pusę Bendru atveju 1r ir rarr
n visą laiką kintaskirtinguose trajektorijos taškuose Kreivės gali būti plokštuminės (apskritimas elipsė hiperbolė parabolė ir tt) irerdvinės (spiralė) Plokštuma kurioje yra liestinė ir normalė vadinama liečiamaja ostatmuo išvestas iš duotojo taško į plokštumą ndash binormale Taigi bendru atvejurarr
v =v(t)s(t) Panaudodami dviejų kintamų dydžių diferenciavimo taisyklę gaunamerarr
a = d vd t middot rarr
s + rarr
v middot d rarr
s d t arba rarr
a = d vd t middot rarr
s + v2r middotrarr
n Taigi vektorius a guli s ir n plokštumoje Čia gavome viso pagreičio lygtį kuris
sudarytas iš tangentinio ir normalinio pagreičio sumos rarr
a t = d vd t middot rarr
s - tangentiniopagreičio lygtis tangentinis pagreitis yra vektorius kurio kryptis sutampas su trjektorijos
taško liestinės kryptimi rarr
a n = v2r middot rarr
n ndash normalinio pagreičio lygtis normalinis pagreitisyra vektorius kurio kryptis sutampa su trajektorijos normalės vektoriaus kryptimi tynukreiptas į trajektorijos įgaubtąją pusę Tangentinis pagreitis keičia greičio dydį onormalinis keičia greičio kryptį
Reikia neužmiršti kad trajektorijos kreivė gali būti (dažniausiai ir yra) erdvinė
figūra Tokiu atveju taško judėjimas bus apskaičiuojamas trijų koordinačių kryptimis rarr
i rarr
j rarr
k taigi materialaus taško judėjimą galima aprašyti trimis laisvės laipsniais (vienajudėjimo kryptis ndash vienas laisvės laipsnis)
rarr
s
rarr
∆ s
rarr
s + rarr
∆ s
rarr
s
α
rarrrarr
∆+ ss
rarr
r rarr
n
3 Taško judėjimo klasikinio aprašymo ribos Šviesos sąvoka ir jos greičio matavimo idėjos Fizo bandymas
Klasikinėje mechanikoje kiekvieno kūno judėjimo būvis aprašomas bet kuriuo
laiko momentu koordinatėmis ir greičiu rarr
v Vietoje greičio galime naudoti impulsą rarr
p =
mrarr
v Dalelė yra geometrinis taškas aprašantis kintant laikui nenutrūkstančią
trajektoriją Klasikinėje mechanikoje parodyta kad toks atvaizdavims yra ribotas dalelėsbūseną bet kuriuo laiko momentu negalima charakterizuoti tiksliomis koordinatėmis irimpulso dydžiu tuo pačiu metu Jeigu kuriuo nors laiko momentu dalelės būvisaprašomas koordinate su δ x neapibrėžtimi o impulsas su δ p tai abu šie dydžiai vienumetu negali būti kiek norint maži nes δ x δ p ge h Dydis h ndash Planko konstanta (h =663 middot 10-27) o nelygybė ndash Haizenbergo neapibrėžtumas Haizenbergo neapibrėžtumasnustato principinę ribą iki kurios galima vienu metu išmatuoti koordinatę ir impulsą ir jinegali būti peržengta jokiu matavimo prietaisu ar metodika Tada ir δ x middot m δ v ge h Taigiklasikinis trajektorijos aprašymas yra tik tam tikras atskiras atvejis
Makroskopiniu požiūriu bet kokio daikto padėtį galima nustatyti su tam tikrutikslumu užduodamu matavimo prietaiso Makroskopiniu požiūriu kvantinė mechanikapradeda galioti dalelėms kurių matmenys mažesni už atomo δ x = 10-8 cm tada δ v ge663 middot 10-27 10-8 le 10-18 cmc Kaip matome praktiškai δ x ir δ v yra labai maži todėlklasikinis aprašymas tinkamas makroskopiniams kūnams
Elektrono atveju kurio masė m = 911 10-28 g neapibrėžtumas turi būti nedidesnis už atomo matmenis Tada δ x lt 10-8 cm ir δ v ge hm δ x = 663 10-27911 10-
28 10-8 asymp 7 middot 108 cmc Toks greitis jau netinkamas netgi elektronui atome aprašyti Taigi
klasikinis aprašymas pasidaro netinkamas Kitas ribinis klasikinės mechanikos atvejis tai kūnų judėjimas greičiais artimais
šviesos greičiui Taigi kas yra šviesos greitis Kaip jis matuojamasRiomeris 1676 m išmatavo šviesos greitį matuodamas Jupiterio palydovų
užtemimus Buvo nustatyta kad regimasis jų apsisukimo periodas trumpėja kai Žemė dėlmetinio sukimosi artėja ir periodas ilgėja kai tolsta nuo Jupiterio ndash tai susiję su baigtiniušviesos greičiu
β
α
J s1
T1 s2
T2
S
Ž
T1 = t1 + s1c Kitą kartą Jupiterio palydovas išeis iš šešėlio momentu t2 o Žemėsstebėtojas jį stebės laiko momentu T2 = t2 + s2c Tada palydovo apsisukimo periodas bus Tsteb = T2 ndash T1 = Ttikr + (s2 ndash s1)c Išmatavus daug kartų tiek Žemei tolstant tiek artėjantlink Jupiterio galima išeliminuoti s2 ndash s1 ir žinant Ttikr suskaičiuoti šviesos greitį c =(s2 ndash s1)(Tsteb - Ttikr) Riomeris gavo c = 214 300 kms Tai buvo pirmas sėkmingasšviesos reičio matavimo atvejis Iki Riomerio visi šviesos matavimo mėginimai buvonesėkmingi Šviesos aberacija Jeigu kryptis kuria juda stebėtojas yra statmena krypčiai kuria stebima žvaigždėtai dėl šviesos aberacijos kryptis į žvaigždę skiriasi nuo tikrosios Šviesos aberacijoskampas β = π2 ndash α middot tgβ = vc kur v Žemės judėjimo greičio dedamoji statmenakrypčiai į žvaigždę Išmatavus v ir kryptį į žvaigždę galima gauti c Gauti rezultataisutapo su Riomerio
Fizo bandymas (1851m) taišviesos greičio matavimas judančiojematerijoje (vandenyje) Šviesosgreitis vandenyje yra u| = cn n ndashlūžio rodiklis Jeigu aplinka judastebėtojo atžvilgiu tai šviesos greitisstebėtojo atžvilgiu būtų u| plusmn v ndashpriklausomai nuo greičių krypčiųFizo bandyme du spinduliai judapriešpriešais ir nueina tą patį keliaprieš patekdami į interferometrą Fkol vanduo stikliniame vamzdyjenejuda Kai vanduo juda vienasspindulys juda pagal vandensjudėjimo kryptį o kitas priešingaitodėl turi susidaryti eigos skirtumaskurį galima apskaičiuoti išinterferencinių juostų poslinkioskysčiui stovint ir judant A - šviesosšaltinis B ndash pusiau skaidri plokštelėišskirianti du koherentinius
spindulius K D E ndash veidrodžiail ndash šviesos kelio ruožų vandenyje bendras ilgis t0 ndash laikas kurį spindulys
praeina visus kitus (be skysčio) kelio tarpus u+ - sklindantis pasroviui u- - prieš srovęspindulio greitis skystije u+ = u| + kv u- = u| - kv Kur k ndash koeficientas kurį norėjo surastiFizo Jeigu k = 1 tai teisinga klasikinė greičių sudėties taisyklė o kai k ne 1 tai yranukrypimas Šviesos greitis vandenyje u| = cn = 300 000 13 asymp 230 000 kms Laikasper kurį u+ ir u- spinduliai praeina visą kelią t1 = t0 + l(u| + kv) ir t2 = t0 + l(u| - kv) taigilaiko pokytis yra ∆t = 2lkv u|2 ndash k2v2 Suskaičiavus interferencinių juostų poslinkį iržinant l galima rasti k Fizo gavo k = 1- 1n2 Taigi klasikinio aprašymo taisyklė šviesaijau netinka Tai buvo fantastiška išvada nors tais laikais egzistavo eterio vilkimo teorijakurios išvados pilnai paaiškino Fizo bandymą Fizo bandymas yra eksperimentinisklasikinio greičio sudėties dėsnio ir Galilėjaus transformacijų klaidingumo įrodymas
rarr
v
K D
B EA
F
5 Lorenco transformacijos Postulatai Kai judėjimo greičiai dideli kaip matėme iš Fizo bandymo Galilėjaustransformacijos prieštarauja eksperimentui Reikia kitokių transformacijų kuriosderintųsi su šviesos greičio pastovumu Taigi Lorenco transformacijų postulatai 1) reliatyvumo principas 2) šviesos greičio pastovomas Koordinačių transformacijų tiesiškumas Judančių koordinačių sistemas visada galima orientuoti taip kad sutaptų sukoordinačių pradžia Kadangi greičių sudėčiai jau nebetinka klasikinė formulė tai galimatikėtis kad vienos sistemos laikas jau neišreiškiamas tik kitos sistemos laiku betpriklauso ir nuo koordinačių Tada
x| = Ф1(x y z t) y| = Ф2(x y z t) z| = Ф3(x y z t) t| = Ф4(x y z t)
Bendrą funkcijų Ф pavidalą lemia erdvės ir laiko savybės Nagrinėjantgeometrinius sąryšius vienoje atskaitos sistemoje laikome kad kiekvienas taškas niekuonesiskiria nuo bet kurio kito taško ir visi geometriniai sąryšiai tarp bet kurių geometriniųobjektų bus visiškai tokie pat kaip ir perkėlus koordinačių pradžią į bet kokį kitą taškąerdvės vienalytiškumas Geometriniai sąryšiai nekinta dėl koordinačių sistemos ašiųtransformacijos ndash izotropiškumas Erdvės vienalytiškumas ir izotropiškumas yrasvarbiausios savybės inercinėse atskaitos sistemose Svarbiausia laiko savybė ndashvienalytiškumas kiekviena fizikinė situacija vystosi ir kinta vienodai nepriklausomainuo to kokiu momentu ji susiklosčiusi Iš erdvės ir laiko vienalytiškumo išplaukia kadtransformacijos turi būti tiesinės Panagrinėjus nykstamai mažą pokytį d x| nejudančiojekoordinačių sistemoje jį atitiks nykstamai maži d x d y d z d t Tada
x| = xdxpartΦpart 1 + yd
ypartΦpart 1 + zd
zpartΦpart 1 + td
tpartΦpart 1
Kadangi erdvė ir laikas yra vienalyčiai tas ryšys turi būti vienodas visiems erdvėstaškams bet kuriems laiko momentams ty
xpartΦpart 1
ypartΦpart 1
zpartΦpart 1
tpartΦpart 1 = const
Ф1(x y z t) = A1x + A2y + A3z + A4 + A5
čia A1 A2 A3 A4 A5 ndash konstantos priklausančios nuo sistemos judėjimą kitos atžvilgiuapibūdinančių parametrų
y ir z transformacijos Jei koordinačių pradžios laiko momentu t = 0 sutampa tai x = y = z = x| = y| = z| == 0 ir laisvasis narys A5 = 0 Tada
y| = a1x + a2y + a3z + a4tz| = b1x + b2y + b3z + b4t
Kadangi x| ašis sutampa su x tai iš sąlygos y = 0 išplaukia y| = 0 iš ndash z = 0išplaukia z| = 0 Reiškia
0 = a1x + a1sdot0 + a3z + a4t0 = b1x + b2y + b3sdot0 + b4t
O šios lygtys bus patenkintos tik tada jeigu a1 = a3 = a4 = 0 ir b1 = b2 = b4 = 0Tada y| = ay z| = az a ndash rodo kiek kartų y| yra didesnė už y
y = a1 y| z =
a1 z|
1a ndash rodo kiek kartų pasirinkto mastelio ilgis nejudančioje sistemoje yra didesnisnegu judančioje Pagal realiatyvumo principą abi sistemos yra lygiavertės Taigi 1a =a ir a = +1 a = -1 neįmanoma nes sutarta kad sistemos nekeičia savo krypties (x y z irx| y| z| ašys sutampa Taigi y = y| ir z = z|
x ir t transformacija Kadangikintamieji y ir z transformuojami atskirai taix ir t transformacijos bus tiesinės jųfunkcijos Judančios koordinačių sistemospradžios taškas nejudančioje sistemojenusakomas koordinate x| = α(x ndash vt) čia ndash αproporcingumo koeficientas kurį reikiarasti Lygiai taip pat pereinant iš judančiossistemos į nejudančią x = α|(x|+ vt|) Tadaremiantis reliatyvumo principu α| = αSakykime judančioje koordinačių sistemojeyra ilgio l strypas gulintis išilgai x| ašies l= x|
2 ndash x|1 Nejudančios sistemos atžvilgiu
strypas juda greičiu v Tada
x|1 = α(x1 ndash vt0) x|
2 = α(x2 ndash vt0)x2 ndash x1 = (x|
2 ndash x|1)α =lα
Judančio strypo ilgis nejudančioje sistemoje Dabar tarkime kad tas pats strypasnejuda nejudančioje koordinačių sistemoje x2 ndash x1= l Tada x1 = α|(x|
1 + vt|0) ir x2 = α|(x|
2+ vt|
0) Ir judančio strypo ilgis judančioje sistemoje yra x|
2 ndash x|1 = (x2 ndash x1)α| Pagal
reliatyvumo principą lα = lα| ty α = α| Iš šviesos greičio pastovumo laiko momentu t= t| = 0 iš koordinačių pradžios (kurios sutampa) pasiunčiamas šviesos signalas Kadangišviesos greitis abiejose sistemose vienodas tai x| = ct| ir x = ct Tada jei α = α| tai iš
x| = α(x ndash vt) ir x = α|(x| + vt|) išplaukia kad
y y|
x x|
z z|
rarr
v
ct| = α(ct ndash vt) ir ct = α(ct| + vt|) dabar sudauginę abi išraiškas gausime2α = 22
2
vcc+
2α = )1(
122 cvminus
2α = 1 22 1 cvminus
Kadangi vt| = αx - x| =
αx - α(x ndash vt) = α v t + x(
α1 - α)
t| = αt + vx ( 2
1α
- 1) t| =
2
2
1
1
cv
minus
t + vx [( 1 - 2
2
cv ) -1] t| =
2
2
2
1cv
xcvt
minus
minus
Lorenco transformacijos
2
2
|
1cvvtxx
minus
minus= yy =| zz =|
2
2
2|
1
)(
cv
xcvttminus
minus=
Atvirkštinės transformacijos išreiškiamos (remiantis reliatyvumo principu) taippat tik pakeitus ženklą
2
2
||
1cvvtxx
minus
+= |yy = |zz =
2
2
2|
1
)(
cv
xcvttminus
+=
Galilėjaus transformacijos gaunamos kai vc ltlt 1
6 Lorenco transformacijų išvada vienalaikiškumo reliatyvumas
Du įvykiai skirtingose koordinačių sistemos taškuose x1 ir x2 vadinamivienalaikiais jeigu jie įvyksta tą patį laiko momentą pagal tos koordinačių sistemoslaikrodį Tegu įvykiai įvyko laiko momentu t0 nejudančioje koordinačių sistemojeJudančioje koordinačių sistemoje įvykiai įvyko taškuose x|
1 ir x|2 momentais t|1 ir t|2 Laiką
t|1 ir t|2 parodė judančios koordinačių sistemos laikrodžiai esantys jos taškuose x|1 ir x|
2tais momentais kai tuose taškuose įvyko nagrinėjamas įvykis Ryšys tarp judančios irnejudančios sistemos
2
201|
1
1cvvtxx
minus
minus=
2
202|
2
1cvvtxx
minus
minus=
2
2
120|1
1
)(
cv
xcvt
tminus
minus=
2
2
220|2
1
)(
cv
xcvt
tminus
minus=
Pažymėkime 2
2
1cv
minus = β
Matome kad įvykiai judančioje koordinačių sistemoje įvyko ne tuo pačiumomentu
)()()(212
12
022
0|1
|2
| xxcvxcvtxcvtttt minus=
+minusminus=minus=∆
ββ Vienalaikiškumo sąvoka neturi absoliučios prasmės nepriklausančios nuokoordinačių sistemos Teiginys įvyko vienu laikurdquo reikalauja nurodyti koordinačiųsistemą Vienalaikiškumo reliatyvumas ir priežastingumas Iš ∆t| formulės seka kad jeigux1 gt x2 tai koordinačių sistemoje judančioje x ašies teigiama kryptimi (v gt 0) turi būti t|2gt t|1 o koordinačių sistemoje judančioje į priešingą pusę (v lt 0) turi būti t|2 lt t|1 ty tiepatys įvykiai skirtingose koordinačių sistemose vyksta ne ta pačia tvarka Ar negali būtikad pasekmė bus ankstesnė už priežastį Kad priežastis ir pasekmė nepriklausytų nuo tokokioje koordinačių sistemoje nagrinėjamos būtina sąlyga jokie materialųs poveikiaikuriais realizuojamas fizinis ryšys tarp įvykių skirtinguose taškuose negali būtiperduodamas greičiu didesniu už šviesos greitį Pvz Nejudančioje koordinačių sistemoje įvykis įvyksta taške x1 laiko momentot1 ir yra priežastis sukėlusi įvykį taške x2 gt x1 laiko momentu t2 gt t1 Greitį kuriuoperduodama įtaka iš x1 į x2 pažymėkime vįt Pagal greičio apibrėžimą
1212 tt
vxx
įt
minus=minus
Judančioje koordinačių sistemoje tie įvykiai vyksta taškouse x|1 ir x|
2 laikomomentais t|1 ir t|2 Tada iš lygybės t| = t ndash (vc2)xβ gauname
(x2 ndashx1) = vįt(t2 ndash t1)
)1())((2
12122
12|1
|2 įtvc
vttxxcvtttt minusminus
=minusminusminus
=minusββ
Iš šios išraiškos jeigu )1( 2 įtvcv
minus lt 0 tai judančioje koordinačių sistemoje
pasekmė įvyks anksčiau už priežastį Bet tai neįmanoma Todėl visada įtvcv21minus gt 0 arba
įtakos perdavimo greitis bus vįt gt cvc Lorenco transformacijos turi prasmę tik tada kai
v le c
7 Lorenco transformacijų išvada intervalo invariantiškumas Judančio kūno ilgis
Intrevalo invariantiškumas Galilėjaus transformacijų invariantai yra kūno ilgis ir laiko tarpas tarp įvykiųtačiau jie nėra Lorenco transformacijų invariantai ty jie priklauso nuo koordinačiųsistemos Lorenco transformacijų invariantas yra erdvės laiko intervalas Tegu taške (x1 y1z1) laiko momentu t1 įvyko įvykis o taške (x2 y2 z2) ir laiko momentu t2 kitas įvykisIntervalu tarp tų įvykių vadinamas dydis ss2 = (x2 ndash x1)2 + (y2 ndash y1)2 + (z2 ndash z1)2 ndash c2(t2 ndash t1)2 Kuris yra vienodas visose koordinačių sistemose invariantas Tai įrodysime
β)( |
1|2
|1
|2
12ttvxxxx minus+minus
=minus
|1
|212 yyyy minus=minus
|1
|212 zzzz minus=minus
β))(( |
1|2
2|1
|2
12xxcvtttt minus+minus
=minus
Įrašius šias reikšmes į s išraišką gauname kad
minusminus+minus+minus=minusminusminus+minus+minus= 2|1
|2
2|1
|2
2|1
|2
212
2212
212
212
2 )()()()()()()( zzyyxxttczzyyxxs2|
1|2
2 )( ttc minusminus = 2|s
Jeigu x2 ndash x1 = ds tai
d s2 = d x2 + d y2 + d z2 ndash c2 d t2 yra invariantas
Erdviškieji ir laikiškieji intervalai Iš anksčiau jei atstumas tarp (x1 y1 z1) ir (x2 y2 z2) yra l o laiko tarpas tarp tųįvykių t tai s2 = l2 ndash c2t2 yra invariantas Sakykime tam tikroje koordinačių sistemojeįvykių negali sieti priežastinis ryšys Tada l gt ct ir s2 gt 0 (veikimo sklidimo atstumasmažesnis už atstumą tarp įvykių) Taigi erdviškasis intervalas yra s2 gt 0 Erdviškąjamintervalui galime parinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiai vyksta vienu metuskirtinguose erdvės taškuose (s2 = l2 gt 0 t = 0) ir nėra tokios koordinačių sistemoskurioje tie įvykiai vyktų tame pačiame taške nes tada l = 0 ty = s2 = -c2t2 lt 0 taiprieštarauja sąlygai s2 gt 0 Jeigu įvykius gali sieti priežastinis ryšys tai l lt ct ir s2 lt 0Tai laikiškasis intervalas galima pasirinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiaiįvyksta tame pačiame erdvės taške bet skirtingais laiko momentais (l =0 s2 = - c2t2 lt 0)ir nėra tokios koordinačių sistemos kurioje tie du įvykiai būtų vienalaikiai (t = 0 s2 = l2 gt0 kas prieštarauja s2 lt 0) Intervalo tarp įvykių laikiškumas arba erdviškumasnepriklauso nuo koordinačių sistemos ndash tai įvykių invariantiška savybė
Judančio kūno ilgis Judančio kūno ilgiu vadinamas atstumas tarp nejudančios koordinačių sistemostaškų su kuriais sutampa judančio strypo pradžia ir galas vienu laiko momentu pagalnejudančios koordinačių sistemos laikrodį Judančios koordinačių sistemos laikrodžiaiesantys strypo galuose rodys skirtingą laiką ir strypo galai bus fiksuojami skirtingu laiku- strypo ilgis nėra Lorenco transformacijų invariantas skirtingose sistemose skiriasiTegu judančioje koordinačių sistemoje nejudančio strypo ilgis l = x|
2 ndash x|1 ir nukreiptas
išilgai x ašies
β01|
1vtxx minus
= β
02|2
vtxx minus=
ββ
|12|
1|2
llxxlxx =rArrminus
==minus
2
2| 1
cvll minus=
Taigi judantis kūnas yra trumpesnis už nejudantį Ta prasme kad tam tikru laikomomentu pagal nejudančios sistemos laikrodį užfiksuojamos visų judančio kūnopaviršiaus taškų koordinatės Tai momentinė kopija kuri atrodytų suplota jeigu būtųregistruojama nejudanti Vizualiai viskas būtų kitaip nes 1) šviesos spinduliai iš įvairiųkūno taškų pasiekia stebėtoją per skirtingą laiką 2) pasireiškia šviesos aberacija todėlregimoji kryptis nesutampa su tikrąja taigi kūno forma matoma ne tokia kaip duodaLorenco transformacijos Sutrumpėjimo įvertinimas
Kadangi v ltlt c tai vc ltlt 1 ir išskleidus eilute )211( 2
2|
cvll minusasymp
Tada lcvl
cvllll 2
2
2
2|
21)
211( minus=minusminus=minus=∆ 2
2
21
cv
ll
minus=∆
kai v = 30 kms tai 810
2
1050109109
21 minussdotminus=
sdotsdot
minus=∆ ll ty jeigu raketa bus 100 m ilgio tai
sutrumpės 1 microm kas praktiškai nepastebima Žemė juda apie Saulę 30 kms greičiu irsusiploja judėjimo kryptimi tik 6 cm Jeigu vc = 087 tada kūno ilgis susiploja per pusęJeigu atstumas nejudančioje kooordinačių sistemoje tarp dviejų taškų yra l = x1 ndash x2 ir tietaškai pradėjo judėti teigiama x ašies kryptimi kiekvienu laiko momentu taškų greičiaiyra vienodi ndash vadinasi jie nueina vienodą kelią Tačiau stebėtojas judantis kartu su taistaškais minėtoje sistemoje matys kad atstumas tarp jų didėja ir pasiekus pastovų greitį vbus )(1 22 cvl minus ilgio Paaiškinti galima paprastai nejudančios sistemos atžvilgiu tietaškai judėjo sinchroniškai tačiau judančioje sistemoje ndash nesinchroniškai nessinchroniškumas yra reliatyvus ndash x2 pradėjo greitėti labiau negu x1 ir todėl nutolo Jeigux2 ir x1 sujungti nesvaria spyruokle tai ji bus ištempta ir bus atliktas darbas kurioenergija paimta iš variklių verčiančių judėti tuos taškus Jeigu taškai sujungti absoliučiaistandžiu strypu tai be galo mažai deformacijai sukelti reikės be galo didelės energijostaigi jo galai negali judėti tuo pačiu dėsniu Išvada nagrinėjant materialių kūnų judėjimąjų negalima laikyti absoliučiai kietais
8 Lorenco transformacijų išvada judančių laikrodžių laikas savasis laikas
Judančių laikrodžių eigos sparta Savasis laikas Iš Lorenco transformacijų ndash
β
|0
2|1
1)( xcvtt +
= β))(( |0
2|22 xcvtt += β)( |
1|212
| ttttt minus=minus=∆ β| tt ∆=∆
Laiko tarpas tarp įvykių išmatuotas judančiais laikrodžiais yra trumpesnis negumatuojant nejudančiais laikrodžiais judantis laikrodis eina lėčiau už nejudantį Tačiaujudančius laikrodžius galime laikyti nejudančiais Ar tai neprieštarauja reliatyvumoprincipui Ne nes vieno ir to paties judančio taško laikas lyginamas su įvairių nejudančiųtaškų laiku o norint pritaikyti reliatyvumo principą reikia įvairių judančios sistemostaškų laiką palyginti su to paties nejudančios koordinačių sistemos taško laiku Tegutaške x0 vienas po kito įvyko du įvykiai judančioje nebrūkšniuotoje koordinačiųsistemoje Laiko tarpas tarp jų ∆t = t2 ndash t1 Brūkšniuotoje koordinačių sistemoje kuri yranejudanti įvykiai įvyko skirtinguose taškuose laiko momentais t|
1 ir t|2
β0
21|
1)( xcvtt minus
= β
02
2|2
)( xcvtt minus=
βtttt ∆
=minus=∆ |1
|2
|
Tačiau dabar ∆t| yra laikas tarp įvykių nejudančioje koordinačių sistemoje ∆t ndashnejudančioje Prieštaravimo nėra
Laikas matuojamas su judančiu tašku susijusiu laikrodžiu vadinamas savuojulaiku Su judančiu tašku susijusio laikrodžio laiko skirtumas ndash d τ d t ndash laikodiferencialas inercinėje sistemoje kurioje nagrinėjamas taškas juda greičiu v
)(1 22 cvdtd minus=τ
222222 tdczdydxdsd minus++= 2
222rarr
=++ rdzdydxd ))(1(2
222rarr
minusminus= rdtdcsd
)11()1( 2
2
2222
tdrd
ctdcsd
rarr
minusminus= 2
2
2rarr
rarr
= vtdrd )(1 22 cvtdicsd minus= )(1 22 cvtdd minus=τ
icsdd =τ čia d s ndash invariantas c ndash pastovus d τ ndash invariantas Savasis laikas yraLorenco transformacijų invariantas nes savasis laikas matuojamas laikrodžiu kurissusietas su pačiu judančiu tašku todėl nesvarbu kokioje koordinačių sistemojeatskaitomi jo parodymai Eksperimentai patvirtinantys laiko reliatyvumą Matuojant +micro mezono nueitą kelią nuo jo atsiradimo iki išnykimo ir nustatyti jo greitįKuo +micro mezono judėjimo greitis didesnis tuo gyvavimo trukmė turi būti ilgesnė nes
βττ micromicro )0(= )0(microτ - savoji gyvavimo trukmė Jeigu laikas nelėtėja tai kelio ilgio
priklausomybė nuo greičio - vl )0(microτ= - tiesinė v funkcija Jeigu lėtėja -
)(1 22)0( cvvl minus= microτ - netiesinė v funkcija Išmatavus l = f(v) buvo gauta kad ji atitinka
reliatyvistinę formulę Dar akivaizdesnis bandymas buvo atliktas 1972 m Su trimatominiais laikrodžiais
Du atominiai laikrodžiai buvo įmontuoti įreaktyvinius lėktuvus o vienas buvosumontuotas aerouoste Visi trys laikrodžiaibuvo sinchronizuoti Po to abu lėktuvai pakilo įorą
Vienas skrenda prieš Žemės sukimąsi o kitaspagal trečias lieka vietoje Gryžus palyginamilaikrodžių parodymai Visi laikrodžiainagrinėjami Žemės centro atžvilgiu nes tokiasistema yra inercinė Kadangi v gt u| tai abuskrendantys laikrodžiai juda iš rytų į vakarusNejudančio Žemės paviršiuje laikrodžio savasislaikas 0τ judančio į vakarus savasis laikas +τ į rytus - minusτ
)(1 220 cvtdd minus=τ 2
2| )(1cuvtdd minus
minus=+τ 2
2| )(1c
uvtdd +minus=minusτ
0τd ir +τd - skuba o 0τd ir minusτd - vėluoja Tačiau traukos laukai taip pat lėtinalaikrodžių eigą taigi laikrodis kuris liko Žemės paviršiuje eis lėčiau negu laikrodžiaikurie yra lėktuvuose nes pastarieji yra silpnesniame traukos lauke Skridęs į vakarusskubėjo 275 ns o į rytus vėlavo 40 ns Sutapo teoriškai Su pagreičiais judančių laikrodžių eiga Formulė βτ sdot= dtd išvesta tolyginiam judėjimui o specialioji reliatyvumo teorijaneaprašo netolygaus judėjimo Bandymais buvo parodyta kad ši formulė galioja irjudėjimui su pagreičiu (bent jau sukimuisi apskritimu) nes buvo tiriamas elektringųdalelių judėjimas magnetiniame lauke veikiant Lorenco jėgai
vndash u|-
v + u|
rarr
v
9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados
Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|
= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai
1) judančioje |
||
tdxdux = |
||
tdyduy = |
||
tdzduz =
2) nejudančioje tdxdux =
tdyduy =
tdzduz =
Tada
β
|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =
ββ
)1( 2||
||
cvutd
tdvxdddxdu
x
x
+
+==
ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+
=+
= )1( 2
||
|
cvutd
ydtdydu
x
y
+
sdot==
β
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+=
|2
|2
2
1
1
x
y
y
ucv
ucv
u+
minus=
|2
|2
2
1
1
x
z
z
ucv
ucv
u+
minus=
Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|
y = u|z = 0 o u|
x = c tada
c
ccvvcux =
+
+=
21
Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|
x = 0 u|y = c u|
z = 0 Nejudančioje
koordinačių sistemoje ndash ux = v 2
2
1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių
sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi
2
2
1
1
cvc
vuutg
y
x
minus
===β Ši
formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu
Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje
ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+= kai aplinka juda plusmn v tai
)1()()(1
)(
2cnvv
nc
cncvvnvux msdotplusmn=
plusmn
plusmn= nes
cv ltlt 1
cnv
cnvcv
ncux
2
2 minusplusmnasymp m 02
asympcnv
vnn
cux sdotminusasymp )11( 2m
Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio
transformacija Pagreitis a|x a|
y a|z kur |
||
tduda x
x = u|x = u|
y = u|z = 0 tada
nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje
koordinačių sistemoje td
uda xx =
)1
()(2
||
cvu
vuux
xx
+
+=
|22|
22
2
2
2
|
2
|
22
|
|
22|
|2|
2
|
|
))(1()(1)1(
)1())(1())((
1x
x
xx
x
x
x
xx
x
xx ud
cvucv
cv
cvu
cvu
cvuud
cvuudcvvu
cvuudud
+minus
=minusminus++
=++
minus+
=
|232
2
|
22|22
)1()(1)(1(
xxx
x acv
tdcvudcv
tduda minus=
minussdotminus==
10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos
Masė
Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų
Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1
(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose
Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos
sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1
rarr
v ir 2
rarr
v
o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1
rarr
∆ v ir 2
rarr
∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211
rarrrarr
∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens
Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm
tvm
∆∆
minus=∆∆
rarrrarr
22
11 ir kai ∆t rarr 0 tai
2211
rarrrarr
minus= amam
3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1
|
11
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv ir 1
|
22
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|
1 ir v|2 po susidūrimo Tada
)()( 2
|
221
|
11
rarrrarrrarrrarr
minusminus=minus vvmvvm ir |
21
|
112211
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm
Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams
21
rarrrarrrarr
+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr
= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara
11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis
Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis
F tdpdFrarr
rarr
= Dydis F yra koordinčių rarr
r ir greičio rarr
v funkcija )(rarrrarrrarr
vrF Taigi tdpdrarr
apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr
F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai
II Niutono dėsnis tdpdFrarr
rarr
= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu
atveju kai )(tmm ne tai rarr
rarr
= Ftdvdm
rarrrarr
= Ftdrdm 2
2
Taigi pagrindinis klasikinės
mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr
vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį
x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi
TtAx π2cos=
Tt
TAx ππ 2sin2
minus=bull
TtA
Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull
mxT
x sdotminus=bullbull
|)2( 2π
xmT
xm 2)2( πminus=
bullbull
kmT
=2)2( π
k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis
Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui
bullbullbull
minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra
)(rarrrarrrarr
larr rarr
rarr
vrFv RASTIti
RASTIi
m
A
x
a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai
0=
rarr
tdpd taigi constp =
rarr
ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir
greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma
Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1
rarr
F ir 2
rarr
F ir klausiama kokia viena jėgararr
F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga
Jeigu turėsime n jėgų iFrarr
kurios veikia materialų
tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr
F - sakoma kad
tai bus geometrinė iFrarr
jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu
kiekviena jėga iFrarr
suteikia materialiam taškui
pagreitį iararr
tai atstojamasis judėjimas
bus randamas visų iararr
vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr
= amF irgi bus
nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr
= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti
F F1 F
12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka
Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis
1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr
21 iš
2121 0rarrrarr
bullrarr
bullrarr
minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis
Tegu ikFrarr
- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr
- priešingai Tada iš
III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr
minus= 0=+rarrrarr
iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -
ikFrarr
Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru
atveju vidinių jėgų suma 0)()(
3
)(
2
)(
1 =++++rarrrarrrarrrarr i
n
iii
FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1
iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti
)(
1
)(
11
ei
FFtdpd rarrrarrrarr
+=
+)(
2
)(
22
ei
FFtd
pd rarrrarrrarr
+=
)()()()()(
3
)(
2
)(
1
)()(
2
)(
121
i
n
eeei
n
ii
n FFFFFFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
++++++++=+++
Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai
)()(
2
)(
121 )(e
n
ee
n FFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarr
+++=+++ ir )(e
Fptd
d rarrrarr
=
kur rarr
p - visos sistemos impulsas o )(e
Frarr
- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių
sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(
=rarr e
F tada
0=
rarr
tdpd ir
rarr
p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą
geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(
nerarr e
F tačiau
0)(
=rarr e
xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso
projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne
poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn
iF 0 tada tas pats
galioja ir impulsui rarr
p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)
Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš
III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm
Fa+
= o Fmm
mFFBA
B
+== 21 Šis sprendimas
nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|
2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|
1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|
1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =
F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB
Netamprus siūlas F F1 F2 A B
rarr
v
Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|
1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į
siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai
Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki
taško B tai jėga rarr
F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso
tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta
A|
A F B
laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas
cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis
Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis
xFtdxdm =2
2
yFtdydm =2
2
zFtdzdm =2
2
Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos
Paprastai tai būna rarr
r ir rarr
v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa
Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr
= gmF taigi
rarrrarr
= gtdrd2
2
arba rarr
rarr
= gtdvd ir
rarrrarr
= vtdrd iš čia 0
rarrrarrrarr
+= vtgv 002
21 rarrrarrrarrrarr
++= rtvtgr
Tai bendras sprendinys o paimdami 0
rarr
v ir 0
rarr
r konkrečias vertes gausime atskirą
prendinį o 0
rarr
v ir 0
rarr
r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną
Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1
rarr
v ir 2
rarr
v iki
susidūrimo ir po jo rarr
v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr
=+ vmvmvm 2211
Sistemoje A| judančioje greičiu rarr
v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|
22
|
11
rarrrarrrarr
=+ vmvmvm
Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr
v ir v| tadararrrarrrarr
minus= vvv 1
|
1 rarrrarrrarr
minus= vvv 2
|
2 rarrrarrrarr
minus= vvv|
Tada gauname
)()()( 2211
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr
minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr
=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių
adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių
adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau
13 Trinties dėsniai
1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja
P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)
Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio
fn
ftr f
P
d K = -ftrarr
s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga
Kai greičiai mažirarrrarr
minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę
rarrrarr
minus=minus= vvkvvvkftr 2
22
Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt
Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)
ftr
f0
d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0
v
Rimties trintiesjėga
f k2v2
k1v Turbulentinis aptekėjimas
Laminarinis aptekėjimas
v
14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas
1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e
Ftdpd rarrrarr
= - geometrinė
visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0
)(0 ttFpp e minus=minus -
jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su
21 ++=rarrrarrrarr
vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti
)( 01)(
101 ttFpp e minus=minusrarrrarr
+
)( 12)(
212 ttFpp e minus=minusrarrrarr
-------------------------------
ne
nee
n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr
minus
rarrrarr)(
2)(
21)(
101121
sum=
rarrrarr
∆=minusn
ii
ei tFpp
1
)(0 kai sum intequiv∆
rarr∆ i
t
t
ei
ei
tdFtF
i 0
)(lim )()(
0ττ tai int=minus
rarrrarr t
t
e dFpp0
)()(0 ττ
Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės
Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas
1 T1
2 T2
P
15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė
Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos
judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių
taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr
Rišreiškiamas
mrmrmR 211 ++
=
rarrrarrrarr
kur 321 +++= mmmm
21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr
rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmvm rarr
= vmp )(eFtdvdm =
rarr
Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai
00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=
rarr
Materialių
taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje
Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys
1
12
12
mF
tdrd
rarrrarr
= 2
22
22
mF
tdrd
rarrrarr
= Be to iš
trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr
= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime
)11()(21
21
1
2
2122
2
mmF
mF
mFrr
tdd
+=minus=minus
rarrrarrrarrrarr
Ši
lygtis aprašo vieno materialaus taško
judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr
minus= rrryra radius vektorius
m1
m2
O
rarr
r
1rarr
r2
rarr
r
z
x
1rarr
r
2rarr
r
R
y
Pažymėjus
21
111mm
+=micro
arba 21
21
mmmm+
=micro tada 22
2
Ftdrd=
rarr
micro
Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr
F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį
)(e
Ftdvdm
rarrrarr
= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo
tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi
Lygties 2rMmGF = vektorinė forma
rarrrarr
rarr
minus=minus= rrMmG
rr
rMmGF 32 Įvedus micro
planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip
rarrbullbullbullbull
minus==+
equiv rrMmGFr
MmMmr 3micro
rarrrarr +minus=
bullbull
rrmMGr 3 Kadangi laikome kad
sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr
minus=bullbull
rwr 2
322 )2(
rmMG
Tw +
==π arba 3r
mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo
periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w
32
1
21 )2(
rMG
Tw ==
π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w
32
22
2)2(rMG
Tw ==
π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2
2
12
1
2 ==TT
ww Apsisukimo
periodas antru atveju 2 kartų mažesnis
Planeta m
Saulė
M
rarr
r
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
= v middot drarr
s d t tada sulyginę šios lygybės dešinę pusę su įcentrinio pagreičio išraiškos
dešiniaja puse gausime rnv
tsv
rr
sdot=sdot 2dd Abi lygybės puses padalinę iš v gausime
rnv
ts rr
sdot=dd Žinodami kad d s = vmiddotd t užrašysime n
rv
ts
ss
tr
rr
sdotsdot=sdot=1
dd
dd
dsd arba n
rss rr
sdot=1
dd
Iš čia matyti kad trajektorijos liestinės vienetinio vektoriaus išvestinė yra statmena tam
vienetiniam vektoriui (tai seka iš liestinės sąvokos) d rarr
s rarr
n Kai ∆s rarr 0 α rarr 0 irrarr
s drarr
s Dydis 1r vadinamas trajektorijos kreivumo radiusu (duotame taške) o rarr
n ndash
normalės vektoriumi Kadangi 1r yra teigiamas o rarr
n ir rarr
s priešingų krypčių tai rarr
n visada
nukreiptas į įgaubtąją trajektorijos pusę Bendru atveju 1r ir rarr
n visą laiką kintaskirtinguose trajektorijos taškuose Kreivės gali būti plokštuminės (apskritimas elipsė hiperbolė parabolė ir tt) irerdvinės (spiralė) Plokštuma kurioje yra liestinė ir normalė vadinama liečiamaja ostatmuo išvestas iš duotojo taško į plokštumą ndash binormale Taigi bendru atvejurarr
v =v(t)s(t) Panaudodami dviejų kintamų dydžių diferenciavimo taisyklę gaunamerarr
a = d vd t middot rarr
s + rarr
v middot d rarr
s d t arba rarr
a = d vd t middot rarr
s + v2r middotrarr
n Taigi vektorius a guli s ir n plokštumoje Čia gavome viso pagreičio lygtį kuris
sudarytas iš tangentinio ir normalinio pagreičio sumos rarr
a t = d vd t middot rarr
s - tangentiniopagreičio lygtis tangentinis pagreitis yra vektorius kurio kryptis sutampas su trjektorijos
taško liestinės kryptimi rarr
a n = v2r middot rarr
n ndash normalinio pagreičio lygtis normalinis pagreitisyra vektorius kurio kryptis sutampa su trajektorijos normalės vektoriaus kryptimi tynukreiptas į trajektorijos įgaubtąją pusę Tangentinis pagreitis keičia greičio dydį onormalinis keičia greičio kryptį
Reikia neužmiršti kad trajektorijos kreivė gali būti (dažniausiai ir yra) erdvinė
figūra Tokiu atveju taško judėjimas bus apskaičiuojamas trijų koordinačių kryptimis rarr
i rarr
j rarr
k taigi materialaus taško judėjimą galima aprašyti trimis laisvės laipsniais (vienajudėjimo kryptis ndash vienas laisvės laipsnis)
rarr
s
rarr
∆ s
rarr
s + rarr
∆ s
rarr
s
α
rarrrarr
∆+ ss
rarr
r rarr
n
3 Taško judėjimo klasikinio aprašymo ribos Šviesos sąvoka ir jos greičio matavimo idėjos Fizo bandymas
Klasikinėje mechanikoje kiekvieno kūno judėjimo būvis aprašomas bet kuriuo
laiko momentu koordinatėmis ir greičiu rarr
v Vietoje greičio galime naudoti impulsą rarr
p =
mrarr
v Dalelė yra geometrinis taškas aprašantis kintant laikui nenutrūkstančią
trajektoriją Klasikinėje mechanikoje parodyta kad toks atvaizdavims yra ribotas dalelėsbūseną bet kuriuo laiko momentu negalima charakterizuoti tiksliomis koordinatėmis irimpulso dydžiu tuo pačiu metu Jeigu kuriuo nors laiko momentu dalelės būvisaprašomas koordinate su δ x neapibrėžtimi o impulsas su δ p tai abu šie dydžiai vienumetu negali būti kiek norint maži nes δ x δ p ge h Dydis h ndash Planko konstanta (h =663 middot 10-27) o nelygybė ndash Haizenbergo neapibrėžtumas Haizenbergo neapibrėžtumasnustato principinę ribą iki kurios galima vienu metu išmatuoti koordinatę ir impulsą ir jinegali būti peržengta jokiu matavimo prietaisu ar metodika Tada ir δ x middot m δ v ge h Taigiklasikinis trajektorijos aprašymas yra tik tam tikras atskiras atvejis
Makroskopiniu požiūriu bet kokio daikto padėtį galima nustatyti su tam tikrutikslumu užduodamu matavimo prietaiso Makroskopiniu požiūriu kvantinė mechanikapradeda galioti dalelėms kurių matmenys mažesni už atomo δ x = 10-8 cm tada δ v ge663 middot 10-27 10-8 le 10-18 cmc Kaip matome praktiškai δ x ir δ v yra labai maži todėlklasikinis aprašymas tinkamas makroskopiniams kūnams
Elektrono atveju kurio masė m = 911 10-28 g neapibrėžtumas turi būti nedidesnis už atomo matmenis Tada δ x lt 10-8 cm ir δ v ge hm δ x = 663 10-27911 10-
28 10-8 asymp 7 middot 108 cmc Toks greitis jau netinkamas netgi elektronui atome aprašyti Taigi
klasikinis aprašymas pasidaro netinkamas Kitas ribinis klasikinės mechanikos atvejis tai kūnų judėjimas greičiais artimais
šviesos greičiui Taigi kas yra šviesos greitis Kaip jis matuojamasRiomeris 1676 m išmatavo šviesos greitį matuodamas Jupiterio palydovų
užtemimus Buvo nustatyta kad regimasis jų apsisukimo periodas trumpėja kai Žemė dėlmetinio sukimosi artėja ir periodas ilgėja kai tolsta nuo Jupiterio ndash tai susiję su baigtiniušviesos greičiu
β
α
J s1
T1 s2
T2
S
Ž
T1 = t1 + s1c Kitą kartą Jupiterio palydovas išeis iš šešėlio momentu t2 o Žemėsstebėtojas jį stebės laiko momentu T2 = t2 + s2c Tada palydovo apsisukimo periodas bus Tsteb = T2 ndash T1 = Ttikr + (s2 ndash s1)c Išmatavus daug kartų tiek Žemei tolstant tiek artėjantlink Jupiterio galima išeliminuoti s2 ndash s1 ir žinant Ttikr suskaičiuoti šviesos greitį c =(s2 ndash s1)(Tsteb - Ttikr) Riomeris gavo c = 214 300 kms Tai buvo pirmas sėkmingasšviesos reičio matavimo atvejis Iki Riomerio visi šviesos matavimo mėginimai buvonesėkmingi Šviesos aberacija Jeigu kryptis kuria juda stebėtojas yra statmena krypčiai kuria stebima žvaigždėtai dėl šviesos aberacijos kryptis į žvaigždę skiriasi nuo tikrosios Šviesos aberacijoskampas β = π2 ndash α middot tgβ = vc kur v Žemės judėjimo greičio dedamoji statmenakrypčiai į žvaigždę Išmatavus v ir kryptį į žvaigždę galima gauti c Gauti rezultataisutapo su Riomerio
Fizo bandymas (1851m) taišviesos greičio matavimas judančiojematerijoje (vandenyje) Šviesosgreitis vandenyje yra u| = cn n ndashlūžio rodiklis Jeigu aplinka judastebėtojo atžvilgiu tai šviesos greitisstebėtojo atžvilgiu būtų u| plusmn v ndashpriklausomai nuo greičių krypčiųFizo bandyme du spinduliai judapriešpriešais ir nueina tą patį keliaprieš patekdami į interferometrą Fkol vanduo stikliniame vamzdyjenejuda Kai vanduo juda vienasspindulys juda pagal vandensjudėjimo kryptį o kitas priešingaitodėl turi susidaryti eigos skirtumaskurį galima apskaičiuoti išinterferencinių juostų poslinkioskysčiui stovint ir judant A - šviesosšaltinis B ndash pusiau skaidri plokštelėišskirianti du koherentinius
spindulius K D E ndash veidrodžiail ndash šviesos kelio ruožų vandenyje bendras ilgis t0 ndash laikas kurį spindulys
praeina visus kitus (be skysčio) kelio tarpus u+ - sklindantis pasroviui u- - prieš srovęspindulio greitis skystije u+ = u| + kv u- = u| - kv Kur k ndash koeficientas kurį norėjo surastiFizo Jeigu k = 1 tai teisinga klasikinė greičių sudėties taisyklė o kai k ne 1 tai yranukrypimas Šviesos greitis vandenyje u| = cn = 300 000 13 asymp 230 000 kms Laikasper kurį u+ ir u- spinduliai praeina visą kelią t1 = t0 + l(u| + kv) ir t2 = t0 + l(u| - kv) taigilaiko pokytis yra ∆t = 2lkv u|2 ndash k2v2 Suskaičiavus interferencinių juostų poslinkį iržinant l galima rasti k Fizo gavo k = 1- 1n2 Taigi klasikinio aprašymo taisyklė šviesaijau netinka Tai buvo fantastiška išvada nors tais laikais egzistavo eterio vilkimo teorijakurios išvados pilnai paaiškino Fizo bandymą Fizo bandymas yra eksperimentinisklasikinio greičio sudėties dėsnio ir Galilėjaus transformacijų klaidingumo įrodymas
rarr
v
K D
B EA
F
5 Lorenco transformacijos Postulatai Kai judėjimo greičiai dideli kaip matėme iš Fizo bandymo Galilėjaustransformacijos prieštarauja eksperimentui Reikia kitokių transformacijų kuriosderintųsi su šviesos greičio pastovumu Taigi Lorenco transformacijų postulatai 1) reliatyvumo principas 2) šviesos greičio pastovomas Koordinačių transformacijų tiesiškumas Judančių koordinačių sistemas visada galima orientuoti taip kad sutaptų sukoordinačių pradžia Kadangi greičių sudėčiai jau nebetinka klasikinė formulė tai galimatikėtis kad vienos sistemos laikas jau neišreiškiamas tik kitos sistemos laiku betpriklauso ir nuo koordinačių Tada
x| = Ф1(x y z t) y| = Ф2(x y z t) z| = Ф3(x y z t) t| = Ф4(x y z t)
Bendrą funkcijų Ф pavidalą lemia erdvės ir laiko savybės Nagrinėjantgeometrinius sąryšius vienoje atskaitos sistemoje laikome kad kiekvienas taškas niekuonesiskiria nuo bet kurio kito taško ir visi geometriniai sąryšiai tarp bet kurių geometriniųobjektų bus visiškai tokie pat kaip ir perkėlus koordinačių pradžią į bet kokį kitą taškąerdvės vienalytiškumas Geometriniai sąryšiai nekinta dėl koordinačių sistemos ašiųtransformacijos ndash izotropiškumas Erdvės vienalytiškumas ir izotropiškumas yrasvarbiausios savybės inercinėse atskaitos sistemose Svarbiausia laiko savybė ndashvienalytiškumas kiekviena fizikinė situacija vystosi ir kinta vienodai nepriklausomainuo to kokiu momentu ji susiklosčiusi Iš erdvės ir laiko vienalytiškumo išplaukia kadtransformacijos turi būti tiesinės Panagrinėjus nykstamai mažą pokytį d x| nejudančiojekoordinačių sistemoje jį atitiks nykstamai maži d x d y d z d t Tada
x| = xdxpartΦpart 1 + yd
ypartΦpart 1 + zd
zpartΦpart 1 + td
tpartΦpart 1
Kadangi erdvė ir laikas yra vienalyčiai tas ryšys turi būti vienodas visiems erdvėstaškams bet kuriems laiko momentams ty
xpartΦpart 1
ypartΦpart 1
zpartΦpart 1
tpartΦpart 1 = const
Ф1(x y z t) = A1x + A2y + A3z + A4 + A5
čia A1 A2 A3 A4 A5 ndash konstantos priklausančios nuo sistemos judėjimą kitos atžvilgiuapibūdinančių parametrų
y ir z transformacijos Jei koordinačių pradžios laiko momentu t = 0 sutampa tai x = y = z = x| = y| = z| == 0 ir laisvasis narys A5 = 0 Tada
y| = a1x + a2y + a3z + a4tz| = b1x + b2y + b3z + b4t
Kadangi x| ašis sutampa su x tai iš sąlygos y = 0 išplaukia y| = 0 iš ndash z = 0išplaukia z| = 0 Reiškia
0 = a1x + a1sdot0 + a3z + a4t0 = b1x + b2y + b3sdot0 + b4t
O šios lygtys bus patenkintos tik tada jeigu a1 = a3 = a4 = 0 ir b1 = b2 = b4 = 0Tada y| = ay z| = az a ndash rodo kiek kartų y| yra didesnė už y
y = a1 y| z =
a1 z|
1a ndash rodo kiek kartų pasirinkto mastelio ilgis nejudančioje sistemoje yra didesnisnegu judančioje Pagal realiatyvumo principą abi sistemos yra lygiavertės Taigi 1a =a ir a = +1 a = -1 neįmanoma nes sutarta kad sistemos nekeičia savo krypties (x y z irx| y| z| ašys sutampa Taigi y = y| ir z = z|
x ir t transformacija Kadangikintamieji y ir z transformuojami atskirai taix ir t transformacijos bus tiesinės jųfunkcijos Judančios koordinačių sistemospradžios taškas nejudančioje sistemojenusakomas koordinate x| = α(x ndash vt) čia ndash αproporcingumo koeficientas kurį reikiarasti Lygiai taip pat pereinant iš judančiossistemos į nejudančią x = α|(x|+ vt|) Tadaremiantis reliatyvumo principu α| = αSakykime judančioje koordinačių sistemojeyra ilgio l strypas gulintis išilgai x| ašies l= x|
2 ndash x|1 Nejudančios sistemos atžvilgiu
strypas juda greičiu v Tada
x|1 = α(x1 ndash vt0) x|
2 = α(x2 ndash vt0)x2 ndash x1 = (x|
2 ndash x|1)α =lα
Judančio strypo ilgis nejudančioje sistemoje Dabar tarkime kad tas pats strypasnejuda nejudančioje koordinačių sistemoje x2 ndash x1= l Tada x1 = α|(x|
1 + vt|0) ir x2 = α|(x|
2+ vt|
0) Ir judančio strypo ilgis judančioje sistemoje yra x|
2 ndash x|1 = (x2 ndash x1)α| Pagal
reliatyvumo principą lα = lα| ty α = α| Iš šviesos greičio pastovumo laiko momentu t= t| = 0 iš koordinačių pradžios (kurios sutampa) pasiunčiamas šviesos signalas Kadangišviesos greitis abiejose sistemose vienodas tai x| = ct| ir x = ct Tada jei α = α| tai iš
x| = α(x ndash vt) ir x = α|(x| + vt|) išplaukia kad
y y|
x x|
z z|
rarr
v
ct| = α(ct ndash vt) ir ct = α(ct| + vt|) dabar sudauginę abi išraiškas gausime2α = 22
2
vcc+
2α = )1(
122 cvminus
2α = 1 22 1 cvminus
Kadangi vt| = αx - x| =
αx - α(x ndash vt) = α v t + x(
α1 - α)
t| = αt + vx ( 2
1α
- 1) t| =
2
2
1
1
cv
minus
t + vx [( 1 - 2
2
cv ) -1] t| =
2
2
2
1cv
xcvt
minus
minus
Lorenco transformacijos
2
2
|
1cvvtxx
minus
minus= yy =| zz =|
2
2
2|
1
)(
cv
xcvttminus
minus=
Atvirkštinės transformacijos išreiškiamos (remiantis reliatyvumo principu) taippat tik pakeitus ženklą
2
2
||
1cvvtxx
minus
+= |yy = |zz =
2
2
2|
1
)(
cv
xcvttminus
+=
Galilėjaus transformacijos gaunamos kai vc ltlt 1
6 Lorenco transformacijų išvada vienalaikiškumo reliatyvumas
Du įvykiai skirtingose koordinačių sistemos taškuose x1 ir x2 vadinamivienalaikiais jeigu jie įvyksta tą patį laiko momentą pagal tos koordinačių sistemoslaikrodį Tegu įvykiai įvyko laiko momentu t0 nejudančioje koordinačių sistemojeJudančioje koordinačių sistemoje įvykiai įvyko taškuose x|
1 ir x|2 momentais t|1 ir t|2 Laiką
t|1 ir t|2 parodė judančios koordinačių sistemos laikrodžiai esantys jos taškuose x|1 ir x|
2tais momentais kai tuose taškuose įvyko nagrinėjamas įvykis Ryšys tarp judančios irnejudančios sistemos
2
201|
1
1cvvtxx
minus
minus=
2
202|
2
1cvvtxx
minus
minus=
2
2
120|1
1
)(
cv
xcvt
tminus
minus=
2
2
220|2
1
)(
cv
xcvt
tminus
minus=
Pažymėkime 2
2
1cv
minus = β
Matome kad įvykiai judančioje koordinačių sistemoje įvyko ne tuo pačiumomentu
)()()(212
12
022
0|1
|2
| xxcvxcvtxcvtttt minus=
+minusminus=minus=∆
ββ Vienalaikiškumo sąvoka neturi absoliučios prasmės nepriklausančios nuokoordinačių sistemos Teiginys įvyko vienu laikurdquo reikalauja nurodyti koordinačiųsistemą Vienalaikiškumo reliatyvumas ir priežastingumas Iš ∆t| formulės seka kad jeigux1 gt x2 tai koordinačių sistemoje judančioje x ašies teigiama kryptimi (v gt 0) turi būti t|2gt t|1 o koordinačių sistemoje judančioje į priešingą pusę (v lt 0) turi būti t|2 lt t|1 ty tiepatys įvykiai skirtingose koordinačių sistemose vyksta ne ta pačia tvarka Ar negali būtikad pasekmė bus ankstesnė už priežastį Kad priežastis ir pasekmė nepriklausytų nuo tokokioje koordinačių sistemoje nagrinėjamos būtina sąlyga jokie materialųs poveikiaikuriais realizuojamas fizinis ryšys tarp įvykių skirtinguose taškuose negali būtiperduodamas greičiu didesniu už šviesos greitį Pvz Nejudančioje koordinačių sistemoje įvykis įvyksta taške x1 laiko momentot1 ir yra priežastis sukėlusi įvykį taške x2 gt x1 laiko momentu t2 gt t1 Greitį kuriuoperduodama įtaka iš x1 į x2 pažymėkime vįt Pagal greičio apibrėžimą
1212 tt
vxx
įt
minus=minus
Judančioje koordinačių sistemoje tie įvykiai vyksta taškouse x|1 ir x|
2 laikomomentais t|1 ir t|2 Tada iš lygybės t| = t ndash (vc2)xβ gauname
(x2 ndashx1) = vįt(t2 ndash t1)
)1())((2
12122
12|1
|2 įtvc
vttxxcvtttt minusminus
=minusminusminus
=minusββ
Iš šios išraiškos jeigu )1( 2 įtvcv
minus lt 0 tai judančioje koordinačių sistemoje
pasekmė įvyks anksčiau už priežastį Bet tai neįmanoma Todėl visada įtvcv21minus gt 0 arba
įtakos perdavimo greitis bus vįt gt cvc Lorenco transformacijos turi prasmę tik tada kai
v le c
7 Lorenco transformacijų išvada intervalo invariantiškumas Judančio kūno ilgis
Intrevalo invariantiškumas Galilėjaus transformacijų invariantai yra kūno ilgis ir laiko tarpas tarp įvykiųtačiau jie nėra Lorenco transformacijų invariantai ty jie priklauso nuo koordinačiųsistemos Lorenco transformacijų invariantas yra erdvės laiko intervalas Tegu taške (x1 y1z1) laiko momentu t1 įvyko įvykis o taške (x2 y2 z2) ir laiko momentu t2 kitas įvykisIntervalu tarp tų įvykių vadinamas dydis ss2 = (x2 ndash x1)2 + (y2 ndash y1)2 + (z2 ndash z1)2 ndash c2(t2 ndash t1)2 Kuris yra vienodas visose koordinačių sistemose invariantas Tai įrodysime
β)( |
1|2
|1
|2
12ttvxxxx minus+minus
=minus
|1
|212 yyyy minus=minus
|1
|212 zzzz minus=minus
β))(( |
1|2
2|1
|2
12xxcvtttt minus+minus
=minus
Įrašius šias reikšmes į s išraišką gauname kad
minusminus+minus+minus=minusminusminus+minus+minus= 2|1
|2
2|1
|2
2|1
|2
212
2212
212
212
2 )()()()()()()( zzyyxxttczzyyxxs2|
1|2
2 )( ttc minusminus = 2|s
Jeigu x2 ndash x1 = ds tai
d s2 = d x2 + d y2 + d z2 ndash c2 d t2 yra invariantas
Erdviškieji ir laikiškieji intervalai Iš anksčiau jei atstumas tarp (x1 y1 z1) ir (x2 y2 z2) yra l o laiko tarpas tarp tųįvykių t tai s2 = l2 ndash c2t2 yra invariantas Sakykime tam tikroje koordinačių sistemojeįvykių negali sieti priežastinis ryšys Tada l gt ct ir s2 gt 0 (veikimo sklidimo atstumasmažesnis už atstumą tarp įvykių) Taigi erdviškasis intervalas yra s2 gt 0 Erdviškąjamintervalui galime parinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiai vyksta vienu metuskirtinguose erdvės taškuose (s2 = l2 gt 0 t = 0) ir nėra tokios koordinačių sistemoskurioje tie įvykiai vyktų tame pačiame taške nes tada l = 0 ty = s2 = -c2t2 lt 0 taiprieštarauja sąlygai s2 gt 0 Jeigu įvykius gali sieti priežastinis ryšys tai l lt ct ir s2 lt 0Tai laikiškasis intervalas galima pasirinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiaiįvyksta tame pačiame erdvės taške bet skirtingais laiko momentais (l =0 s2 = - c2t2 lt 0)ir nėra tokios koordinačių sistemos kurioje tie du įvykiai būtų vienalaikiai (t = 0 s2 = l2 gt0 kas prieštarauja s2 lt 0) Intervalo tarp įvykių laikiškumas arba erdviškumasnepriklauso nuo koordinačių sistemos ndash tai įvykių invariantiška savybė
Judančio kūno ilgis Judančio kūno ilgiu vadinamas atstumas tarp nejudančios koordinačių sistemostaškų su kuriais sutampa judančio strypo pradžia ir galas vienu laiko momentu pagalnejudančios koordinačių sistemos laikrodį Judančios koordinačių sistemos laikrodžiaiesantys strypo galuose rodys skirtingą laiką ir strypo galai bus fiksuojami skirtingu laiku- strypo ilgis nėra Lorenco transformacijų invariantas skirtingose sistemose skiriasiTegu judančioje koordinačių sistemoje nejudančio strypo ilgis l = x|
2 ndash x|1 ir nukreiptas
išilgai x ašies
β01|
1vtxx minus
= β
02|2
vtxx minus=
ββ
|12|
1|2
llxxlxx =rArrminus
==minus
2
2| 1
cvll minus=
Taigi judantis kūnas yra trumpesnis už nejudantį Ta prasme kad tam tikru laikomomentu pagal nejudančios sistemos laikrodį užfiksuojamos visų judančio kūnopaviršiaus taškų koordinatės Tai momentinė kopija kuri atrodytų suplota jeigu būtųregistruojama nejudanti Vizualiai viskas būtų kitaip nes 1) šviesos spinduliai iš įvairiųkūno taškų pasiekia stebėtoją per skirtingą laiką 2) pasireiškia šviesos aberacija todėlregimoji kryptis nesutampa su tikrąja taigi kūno forma matoma ne tokia kaip duodaLorenco transformacijos Sutrumpėjimo įvertinimas
Kadangi v ltlt c tai vc ltlt 1 ir išskleidus eilute )211( 2
2|
cvll minusasymp
Tada lcvl
cvllll 2
2
2
2|
21)
211( minus=minusminus=minus=∆ 2
2
21
cv
ll
minus=∆
kai v = 30 kms tai 810
2
1050109109
21 minussdotminus=
sdotsdot
minus=∆ ll ty jeigu raketa bus 100 m ilgio tai
sutrumpės 1 microm kas praktiškai nepastebima Žemė juda apie Saulę 30 kms greičiu irsusiploja judėjimo kryptimi tik 6 cm Jeigu vc = 087 tada kūno ilgis susiploja per pusęJeigu atstumas nejudančioje kooordinačių sistemoje tarp dviejų taškų yra l = x1 ndash x2 ir tietaškai pradėjo judėti teigiama x ašies kryptimi kiekvienu laiko momentu taškų greičiaiyra vienodi ndash vadinasi jie nueina vienodą kelią Tačiau stebėtojas judantis kartu su taistaškais minėtoje sistemoje matys kad atstumas tarp jų didėja ir pasiekus pastovų greitį vbus )(1 22 cvl minus ilgio Paaiškinti galima paprastai nejudančios sistemos atžvilgiu tietaškai judėjo sinchroniškai tačiau judančioje sistemoje ndash nesinchroniškai nessinchroniškumas yra reliatyvus ndash x2 pradėjo greitėti labiau negu x1 ir todėl nutolo Jeigux2 ir x1 sujungti nesvaria spyruokle tai ji bus ištempta ir bus atliktas darbas kurioenergija paimta iš variklių verčiančių judėti tuos taškus Jeigu taškai sujungti absoliučiaistandžiu strypu tai be galo mažai deformacijai sukelti reikės be galo didelės energijostaigi jo galai negali judėti tuo pačiu dėsniu Išvada nagrinėjant materialių kūnų judėjimąjų negalima laikyti absoliučiai kietais
8 Lorenco transformacijų išvada judančių laikrodžių laikas savasis laikas
Judančių laikrodžių eigos sparta Savasis laikas Iš Lorenco transformacijų ndash
β
|0
2|1
1)( xcvtt +
= β))(( |0
2|22 xcvtt += β)( |
1|212
| ttttt minus=minus=∆ β| tt ∆=∆
Laiko tarpas tarp įvykių išmatuotas judančiais laikrodžiais yra trumpesnis negumatuojant nejudančiais laikrodžiais judantis laikrodis eina lėčiau už nejudantį Tačiaujudančius laikrodžius galime laikyti nejudančiais Ar tai neprieštarauja reliatyvumoprincipui Ne nes vieno ir to paties judančio taško laikas lyginamas su įvairių nejudančiųtaškų laiku o norint pritaikyti reliatyvumo principą reikia įvairių judančios sistemostaškų laiką palyginti su to paties nejudančios koordinačių sistemos taško laiku Tegutaške x0 vienas po kito įvyko du įvykiai judančioje nebrūkšniuotoje koordinačiųsistemoje Laiko tarpas tarp jų ∆t = t2 ndash t1 Brūkšniuotoje koordinačių sistemoje kuri yranejudanti įvykiai įvyko skirtinguose taškuose laiko momentais t|
1 ir t|2
β0
21|
1)( xcvtt minus
= β
02
2|2
)( xcvtt minus=
βtttt ∆
=minus=∆ |1
|2
|
Tačiau dabar ∆t| yra laikas tarp įvykių nejudančioje koordinačių sistemoje ∆t ndashnejudančioje Prieštaravimo nėra
Laikas matuojamas su judančiu tašku susijusiu laikrodžiu vadinamas savuojulaiku Su judančiu tašku susijusio laikrodžio laiko skirtumas ndash d τ d t ndash laikodiferencialas inercinėje sistemoje kurioje nagrinėjamas taškas juda greičiu v
)(1 22 cvdtd minus=τ
222222 tdczdydxdsd minus++= 2
222rarr
=++ rdzdydxd ))(1(2
222rarr
minusminus= rdtdcsd
)11()1( 2
2
2222
tdrd
ctdcsd
rarr
minusminus= 2
2
2rarr
rarr
= vtdrd )(1 22 cvtdicsd minus= )(1 22 cvtdd minus=τ
icsdd =τ čia d s ndash invariantas c ndash pastovus d τ ndash invariantas Savasis laikas yraLorenco transformacijų invariantas nes savasis laikas matuojamas laikrodžiu kurissusietas su pačiu judančiu tašku todėl nesvarbu kokioje koordinačių sistemojeatskaitomi jo parodymai Eksperimentai patvirtinantys laiko reliatyvumą Matuojant +micro mezono nueitą kelią nuo jo atsiradimo iki išnykimo ir nustatyti jo greitįKuo +micro mezono judėjimo greitis didesnis tuo gyvavimo trukmė turi būti ilgesnė nes
βττ micromicro )0(= )0(microτ - savoji gyvavimo trukmė Jeigu laikas nelėtėja tai kelio ilgio
priklausomybė nuo greičio - vl )0(microτ= - tiesinė v funkcija Jeigu lėtėja -
)(1 22)0( cvvl minus= microτ - netiesinė v funkcija Išmatavus l = f(v) buvo gauta kad ji atitinka
reliatyvistinę formulę Dar akivaizdesnis bandymas buvo atliktas 1972 m Su trimatominiais laikrodžiais
Du atominiai laikrodžiai buvo įmontuoti įreaktyvinius lėktuvus o vienas buvosumontuotas aerouoste Visi trys laikrodžiaibuvo sinchronizuoti Po to abu lėktuvai pakilo įorą
Vienas skrenda prieš Žemės sukimąsi o kitaspagal trečias lieka vietoje Gryžus palyginamilaikrodžių parodymai Visi laikrodžiainagrinėjami Žemės centro atžvilgiu nes tokiasistema yra inercinė Kadangi v gt u| tai abuskrendantys laikrodžiai juda iš rytų į vakarusNejudančio Žemės paviršiuje laikrodžio savasislaikas 0τ judančio į vakarus savasis laikas +τ į rytus - minusτ
)(1 220 cvtdd minus=τ 2
2| )(1cuvtdd minus
minus=+τ 2
2| )(1c
uvtdd +minus=minusτ
0τd ir +τd - skuba o 0τd ir minusτd - vėluoja Tačiau traukos laukai taip pat lėtinalaikrodžių eigą taigi laikrodis kuris liko Žemės paviršiuje eis lėčiau negu laikrodžiaikurie yra lėktuvuose nes pastarieji yra silpnesniame traukos lauke Skridęs į vakarusskubėjo 275 ns o į rytus vėlavo 40 ns Sutapo teoriškai Su pagreičiais judančių laikrodžių eiga Formulė βτ sdot= dtd išvesta tolyginiam judėjimui o specialioji reliatyvumo teorijaneaprašo netolygaus judėjimo Bandymais buvo parodyta kad ši formulė galioja irjudėjimui su pagreičiu (bent jau sukimuisi apskritimu) nes buvo tiriamas elektringųdalelių judėjimas magnetiniame lauke veikiant Lorenco jėgai
vndash u|-
v + u|
rarr
v
9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados
Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|
= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai
1) judančioje |
||
tdxdux = |
||
tdyduy = |
||
tdzduz =
2) nejudančioje tdxdux =
tdyduy =
tdzduz =
Tada
β
|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =
ββ
)1( 2||
||
cvutd
tdvxdddxdu
x
x
+
+==
ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+
=+
= )1( 2
||
|
cvutd
ydtdydu
x
y
+
sdot==
β
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+=
|2
|2
2
1
1
x
y
y
ucv
ucv
u+
minus=
|2
|2
2
1
1
x
z
z
ucv
ucv
u+
minus=
Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|
y = u|z = 0 o u|
x = c tada
c
ccvvcux =
+
+=
21
Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|
x = 0 u|y = c u|
z = 0 Nejudančioje
koordinačių sistemoje ndash ux = v 2
2
1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių
sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi
2
2
1
1
cvc
vuutg
y
x
minus
===β Ši
formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu
Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje
ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+= kai aplinka juda plusmn v tai
)1()()(1
)(
2cnvv
nc
cncvvnvux msdotplusmn=
plusmn
plusmn= nes
cv ltlt 1
cnv
cnvcv
ncux
2
2 minusplusmnasymp m 02
asympcnv
vnn
cux sdotminusasymp )11( 2m
Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio
transformacija Pagreitis a|x a|
y a|z kur |
||
tduda x
x = u|x = u|
y = u|z = 0 tada
nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje
koordinačių sistemoje td
uda xx =
)1
()(2
||
cvu
vuux
xx
+
+=
|22|
22
2
2
2
|
2
|
22
|
|
22|
|2|
2
|
|
))(1()(1)1(
)1())(1())((
1x
x
xx
x
x
x
xx
x
xx ud
cvucv
cv
cvu
cvu
cvuud
cvuudcvvu
cvuudud
+minus
=minusminus++
=++
minus+
=
|232
2
|
22|22
)1()(1)(1(
xxx
x acv
tdcvudcv
tduda minus=
minussdotminus==
10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos
Masė
Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų
Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1
(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose
Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos
sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1
rarr
v ir 2
rarr
v
o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1
rarr
∆ v ir 2
rarr
∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211
rarrrarr
∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens
Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm
tvm
∆∆
minus=∆∆
rarrrarr
22
11 ir kai ∆t rarr 0 tai
2211
rarrrarr
minus= amam
3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1
|
11
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv ir 1
|
22
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|
1 ir v|2 po susidūrimo Tada
)()( 2
|
221
|
11
rarrrarrrarrrarr
minusminus=minus vvmvvm ir |
21
|
112211
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm
Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams
21
rarrrarrrarr
+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr
= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara
11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis
Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis
F tdpdFrarr
rarr
= Dydis F yra koordinčių rarr
r ir greičio rarr
v funkcija )(rarrrarrrarr
vrF Taigi tdpdrarr
apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr
F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai
II Niutono dėsnis tdpdFrarr
rarr
= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu
atveju kai )(tmm ne tai rarr
rarr
= Ftdvdm
rarrrarr
= Ftdrdm 2
2
Taigi pagrindinis klasikinės
mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr
vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį
x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi
TtAx π2cos=
Tt
TAx ππ 2sin2
minus=bull
TtA
Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull
mxT
x sdotminus=bullbull
|)2( 2π
xmT
xm 2)2( πminus=
bullbull
kmT
=2)2( π
k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis
Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui
bullbullbull
minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra
)(rarrrarrrarr
larr rarr
rarr
vrFv RASTIti
RASTIi
m
A
x
a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai
0=
rarr
tdpd taigi constp =
rarr
ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir
greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma
Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1
rarr
F ir 2
rarr
F ir klausiama kokia viena jėgararr
F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga
Jeigu turėsime n jėgų iFrarr
kurios veikia materialų
tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr
F - sakoma kad
tai bus geometrinė iFrarr
jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu
kiekviena jėga iFrarr
suteikia materialiam taškui
pagreitį iararr
tai atstojamasis judėjimas
bus randamas visų iararr
vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr
= amF irgi bus
nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr
= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti
F F1 F
12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka
Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis
1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr
21 iš
2121 0rarrrarr
bullrarr
bullrarr
minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis
Tegu ikFrarr
- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr
- priešingai Tada iš
III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr
minus= 0=+rarrrarr
iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -
ikFrarr
Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru
atveju vidinių jėgų suma 0)()(
3
)(
2
)(
1 =++++rarrrarrrarrrarr i
n
iii
FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1
iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti
)(
1
)(
11
ei
FFtdpd rarrrarrrarr
+=
+)(
2
)(
22
ei
FFtd
pd rarrrarrrarr
+=
)()()()()(
3
)(
2
)(
1
)()(
2
)(
121
i
n
eeei
n
ii
n FFFFFFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
++++++++=+++
Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai
)()(
2
)(
121 )(e
n
ee
n FFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarr
+++=+++ ir )(e
Fptd
d rarrrarr
=
kur rarr
p - visos sistemos impulsas o )(e
Frarr
- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių
sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(
=rarr e
F tada
0=
rarr
tdpd ir
rarr
p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą
geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(
nerarr e
F tačiau
0)(
=rarr e
xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso
projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne
poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn
iF 0 tada tas pats
galioja ir impulsui rarr
p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)
Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš
III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm
Fa+
= o Fmm
mFFBA
B
+== 21 Šis sprendimas
nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|
2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|
1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|
1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =
F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB
Netamprus siūlas F F1 F2 A B
rarr
v
Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|
1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į
siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai
Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki
taško B tai jėga rarr
F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso
tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta
A|
A F B
laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas
cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis
Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis
xFtdxdm =2
2
yFtdydm =2
2
zFtdzdm =2
2
Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos
Paprastai tai būna rarr
r ir rarr
v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa
Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr
= gmF taigi
rarrrarr
= gtdrd2
2
arba rarr
rarr
= gtdvd ir
rarrrarr
= vtdrd iš čia 0
rarrrarrrarr
+= vtgv 002
21 rarrrarrrarrrarr
++= rtvtgr
Tai bendras sprendinys o paimdami 0
rarr
v ir 0
rarr
r konkrečias vertes gausime atskirą
prendinį o 0
rarr
v ir 0
rarr
r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną
Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1
rarr
v ir 2
rarr
v iki
susidūrimo ir po jo rarr
v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr
=+ vmvmvm 2211
Sistemoje A| judančioje greičiu rarr
v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|
22
|
11
rarrrarrrarr
=+ vmvmvm
Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr
v ir v| tadararrrarrrarr
minus= vvv 1
|
1 rarrrarrrarr
minus= vvv 2
|
2 rarrrarrrarr
minus= vvv|
Tada gauname
)()()( 2211
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr
minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr
=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių
adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių
adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau
13 Trinties dėsniai
1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja
P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)
Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio
fn
ftr f
P
d K = -ftrarr
s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga
Kai greičiai mažirarrrarr
minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę
rarrrarr
minus=minus= vvkvvvkftr 2
22
Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt
Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)
ftr
f0
d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0
v
Rimties trintiesjėga
f k2v2
k1v Turbulentinis aptekėjimas
Laminarinis aptekėjimas
v
14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas
1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e
Ftdpd rarrrarr
= - geometrinė
visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0
)(0 ttFpp e minus=minus -
jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su
21 ++=rarrrarrrarr
vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti
)( 01)(
101 ttFpp e minus=minusrarrrarr
+
)( 12)(
212 ttFpp e minus=minusrarrrarr
-------------------------------
ne
nee
n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr
minus
rarrrarr)(
2)(
21)(
101121
sum=
rarrrarr
∆=minusn
ii
ei tFpp
1
)(0 kai sum intequiv∆
rarr∆ i
t
t
ei
ei
tdFtF
i 0
)(lim )()(
0ττ tai int=minus
rarrrarr t
t
e dFpp0
)()(0 ττ
Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės
Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas
1 T1
2 T2
P
15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė
Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos
judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių
taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr
Rišreiškiamas
mrmrmR 211 ++
=
rarrrarrrarr
kur 321 +++= mmmm
21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr
rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmvm rarr
= vmp )(eFtdvdm =
rarr
Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai
00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=
rarr
Materialių
taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje
Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys
1
12
12
mF
tdrd
rarrrarr
= 2
22
22
mF
tdrd
rarrrarr
= Be to iš
trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr
= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime
)11()(21
21
1
2
2122
2
mmF
mF
mFrr
tdd
+=minus=minus
rarrrarrrarrrarr
Ši
lygtis aprašo vieno materialaus taško
judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr
minus= rrryra radius vektorius
m1
m2
O
rarr
r
1rarr
r2
rarr
r
z
x
1rarr
r
2rarr
r
R
y
Pažymėjus
21
111mm
+=micro
arba 21
21
mmmm+
=micro tada 22
2
Ftdrd=
rarr
micro
Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr
F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį
)(e
Ftdvdm
rarrrarr
= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo
tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi
Lygties 2rMmGF = vektorinė forma
rarrrarr
rarr
minus=minus= rrMmG
rr
rMmGF 32 Įvedus micro
planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip
rarrbullbullbullbull
minus==+
equiv rrMmGFr
MmMmr 3micro
rarrrarr +minus=
bullbull
rrmMGr 3 Kadangi laikome kad
sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr
minus=bullbull
rwr 2
322 )2(
rmMG
Tw +
==π arba 3r
mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo
periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w
32
1
21 )2(
rMG
Tw ==
π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w
32
22
2)2(rMG
Tw ==
π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2
2
12
1
2 ==TT
ww Apsisukimo
periodas antru atveju 2 kartų mažesnis
Planeta m
Saulė
M
rarr
r
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
3 Taško judėjimo klasikinio aprašymo ribos Šviesos sąvoka ir jos greičio matavimo idėjos Fizo bandymas
Klasikinėje mechanikoje kiekvieno kūno judėjimo būvis aprašomas bet kuriuo
laiko momentu koordinatėmis ir greičiu rarr
v Vietoje greičio galime naudoti impulsą rarr
p =
mrarr
v Dalelė yra geometrinis taškas aprašantis kintant laikui nenutrūkstančią
trajektoriją Klasikinėje mechanikoje parodyta kad toks atvaizdavims yra ribotas dalelėsbūseną bet kuriuo laiko momentu negalima charakterizuoti tiksliomis koordinatėmis irimpulso dydžiu tuo pačiu metu Jeigu kuriuo nors laiko momentu dalelės būvisaprašomas koordinate su δ x neapibrėžtimi o impulsas su δ p tai abu šie dydžiai vienumetu negali būti kiek norint maži nes δ x δ p ge h Dydis h ndash Planko konstanta (h =663 middot 10-27) o nelygybė ndash Haizenbergo neapibrėžtumas Haizenbergo neapibrėžtumasnustato principinę ribą iki kurios galima vienu metu išmatuoti koordinatę ir impulsą ir jinegali būti peržengta jokiu matavimo prietaisu ar metodika Tada ir δ x middot m δ v ge h Taigiklasikinis trajektorijos aprašymas yra tik tam tikras atskiras atvejis
Makroskopiniu požiūriu bet kokio daikto padėtį galima nustatyti su tam tikrutikslumu užduodamu matavimo prietaiso Makroskopiniu požiūriu kvantinė mechanikapradeda galioti dalelėms kurių matmenys mažesni už atomo δ x = 10-8 cm tada δ v ge663 middot 10-27 10-8 le 10-18 cmc Kaip matome praktiškai δ x ir δ v yra labai maži todėlklasikinis aprašymas tinkamas makroskopiniams kūnams
Elektrono atveju kurio masė m = 911 10-28 g neapibrėžtumas turi būti nedidesnis už atomo matmenis Tada δ x lt 10-8 cm ir δ v ge hm δ x = 663 10-27911 10-
28 10-8 asymp 7 middot 108 cmc Toks greitis jau netinkamas netgi elektronui atome aprašyti Taigi
klasikinis aprašymas pasidaro netinkamas Kitas ribinis klasikinės mechanikos atvejis tai kūnų judėjimas greičiais artimais
šviesos greičiui Taigi kas yra šviesos greitis Kaip jis matuojamasRiomeris 1676 m išmatavo šviesos greitį matuodamas Jupiterio palydovų
užtemimus Buvo nustatyta kad regimasis jų apsisukimo periodas trumpėja kai Žemė dėlmetinio sukimosi artėja ir periodas ilgėja kai tolsta nuo Jupiterio ndash tai susiję su baigtiniušviesos greičiu
β
α
J s1
T1 s2
T2
S
Ž
T1 = t1 + s1c Kitą kartą Jupiterio palydovas išeis iš šešėlio momentu t2 o Žemėsstebėtojas jį stebės laiko momentu T2 = t2 + s2c Tada palydovo apsisukimo periodas bus Tsteb = T2 ndash T1 = Ttikr + (s2 ndash s1)c Išmatavus daug kartų tiek Žemei tolstant tiek artėjantlink Jupiterio galima išeliminuoti s2 ndash s1 ir žinant Ttikr suskaičiuoti šviesos greitį c =(s2 ndash s1)(Tsteb - Ttikr) Riomeris gavo c = 214 300 kms Tai buvo pirmas sėkmingasšviesos reičio matavimo atvejis Iki Riomerio visi šviesos matavimo mėginimai buvonesėkmingi Šviesos aberacija Jeigu kryptis kuria juda stebėtojas yra statmena krypčiai kuria stebima žvaigždėtai dėl šviesos aberacijos kryptis į žvaigždę skiriasi nuo tikrosios Šviesos aberacijoskampas β = π2 ndash α middot tgβ = vc kur v Žemės judėjimo greičio dedamoji statmenakrypčiai į žvaigždę Išmatavus v ir kryptį į žvaigždę galima gauti c Gauti rezultataisutapo su Riomerio
Fizo bandymas (1851m) taišviesos greičio matavimas judančiojematerijoje (vandenyje) Šviesosgreitis vandenyje yra u| = cn n ndashlūžio rodiklis Jeigu aplinka judastebėtojo atžvilgiu tai šviesos greitisstebėtojo atžvilgiu būtų u| plusmn v ndashpriklausomai nuo greičių krypčiųFizo bandyme du spinduliai judapriešpriešais ir nueina tą patį keliaprieš patekdami į interferometrą Fkol vanduo stikliniame vamzdyjenejuda Kai vanduo juda vienasspindulys juda pagal vandensjudėjimo kryptį o kitas priešingaitodėl turi susidaryti eigos skirtumaskurį galima apskaičiuoti išinterferencinių juostų poslinkioskysčiui stovint ir judant A - šviesosšaltinis B ndash pusiau skaidri plokštelėišskirianti du koherentinius
spindulius K D E ndash veidrodžiail ndash šviesos kelio ruožų vandenyje bendras ilgis t0 ndash laikas kurį spindulys
praeina visus kitus (be skysčio) kelio tarpus u+ - sklindantis pasroviui u- - prieš srovęspindulio greitis skystije u+ = u| + kv u- = u| - kv Kur k ndash koeficientas kurį norėjo surastiFizo Jeigu k = 1 tai teisinga klasikinė greičių sudėties taisyklė o kai k ne 1 tai yranukrypimas Šviesos greitis vandenyje u| = cn = 300 000 13 asymp 230 000 kms Laikasper kurį u+ ir u- spinduliai praeina visą kelią t1 = t0 + l(u| + kv) ir t2 = t0 + l(u| - kv) taigilaiko pokytis yra ∆t = 2lkv u|2 ndash k2v2 Suskaičiavus interferencinių juostų poslinkį iržinant l galima rasti k Fizo gavo k = 1- 1n2 Taigi klasikinio aprašymo taisyklė šviesaijau netinka Tai buvo fantastiška išvada nors tais laikais egzistavo eterio vilkimo teorijakurios išvados pilnai paaiškino Fizo bandymą Fizo bandymas yra eksperimentinisklasikinio greičio sudėties dėsnio ir Galilėjaus transformacijų klaidingumo įrodymas
rarr
v
K D
B EA
F
5 Lorenco transformacijos Postulatai Kai judėjimo greičiai dideli kaip matėme iš Fizo bandymo Galilėjaustransformacijos prieštarauja eksperimentui Reikia kitokių transformacijų kuriosderintųsi su šviesos greičio pastovumu Taigi Lorenco transformacijų postulatai 1) reliatyvumo principas 2) šviesos greičio pastovomas Koordinačių transformacijų tiesiškumas Judančių koordinačių sistemas visada galima orientuoti taip kad sutaptų sukoordinačių pradžia Kadangi greičių sudėčiai jau nebetinka klasikinė formulė tai galimatikėtis kad vienos sistemos laikas jau neišreiškiamas tik kitos sistemos laiku betpriklauso ir nuo koordinačių Tada
x| = Ф1(x y z t) y| = Ф2(x y z t) z| = Ф3(x y z t) t| = Ф4(x y z t)
Bendrą funkcijų Ф pavidalą lemia erdvės ir laiko savybės Nagrinėjantgeometrinius sąryšius vienoje atskaitos sistemoje laikome kad kiekvienas taškas niekuonesiskiria nuo bet kurio kito taško ir visi geometriniai sąryšiai tarp bet kurių geometriniųobjektų bus visiškai tokie pat kaip ir perkėlus koordinačių pradžią į bet kokį kitą taškąerdvės vienalytiškumas Geometriniai sąryšiai nekinta dėl koordinačių sistemos ašiųtransformacijos ndash izotropiškumas Erdvės vienalytiškumas ir izotropiškumas yrasvarbiausios savybės inercinėse atskaitos sistemose Svarbiausia laiko savybė ndashvienalytiškumas kiekviena fizikinė situacija vystosi ir kinta vienodai nepriklausomainuo to kokiu momentu ji susiklosčiusi Iš erdvės ir laiko vienalytiškumo išplaukia kadtransformacijos turi būti tiesinės Panagrinėjus nykstamai mažą pokytį d x| nejudančiojekoordinačių sistemoje jį atitiks nykstamai maži d x d y d z d t Tada
x| = xdxpartΦpart 1 + yd
ypartΦpart 1 + zd
zpartΦpart 1 + td
tpartΦpart 1
Kadangi erdvė ir laikas yra vienalyčiai tas ryšys turi būti vienodas visiems erdvėstaškams bet kuriems laiko momentams ty
xpartΦpart 1
ypartΦpart 1
zpartΦpart 1
tpartΦpart 1 = const
Ф1(x y z t) = A1x + A2y + A3z + A4 + A5
čia A1 A2 A3 A4 A5 ndash konstantos priklausančios nuo sistemos judėjimą kitos atžvilgiuapibūdinančių parametrų
y ir z transformacijos Jei koordinačių pradžios laiko momentu t = 0 sutampa tai x = y = z = x| = y| = z| == 0 ir laisvasis narys A5 = 0 Tada
y| = a1x + a2y + a3z + a4tz| = b1x + b2y + b3z + b4t
Kadangi x| ašis sutampa su x tai iš sąlygos y = 0 išplaukia y| = 0 iš ndash z = 0išplaukia z| = 0 Reiškia
0 = a1x + a1sdot0 + a3z + a4t0 = b1x + b2y + b3sdot0 + b4t
O šios lygtys bus patenkintos tik tada jeigu a1 = a3 = a4 = 0 ir b1 = b2 = b4 = 0Tada y| = ay z| = az a ndash rodo kiek kartų y| yra didesnė už y
y = a1 y| z =
a1 z|
1a ndash rodo kiek kartų pasirinkto mastelio ilgis nejudančioje sistemoje yra didesnisnegu judančioje Pagal realiatyvumo principą abi sistemos yra lygiavertės Taigi 1a =a ir a = +1 a = -1 neįmanoma nes sutarta kad sistemos nekeičia savo krypties (x y z irx| y| z| ašys sutampa Taigi y = y| ir z = z|
x ir t transformacija Kadangikintamieji y ir z transformuojami atskirai taix ir t transformacijos bus tiesinės jųfunkcijos Judančios koordinačių sistemospradžios taškas nejudančioje sistemojenusakomas koordinate x| = α(x ndash vt) čia ndash αproporcingumo koeficientas kurį reikiarasti Lygiai taip pat pereinant iš judančiossistemos į nejudančią x = α|(x|+ vt|) Tadaremiantis reliatyvumo principu α| = αSakykime judančioje koordinačių sistemojeyra ilgio l strypas gulintis išilgai x| ašies l= x|
2 ndash x|1 Nejudančios sistemos atžvilgiu
strypas juda greičiu v Tada
x|1 = α(x1 ndash vt0) x|
2 = α(x2 ndash vt0)x2 ndash x1 = (x|
2 ndash x|1)α =lα
Judančio strypo ilgis nejudančioje sistemoje Dabar tarkime kad tas pats strypasnejuda nejudančioje koordinačių sistemoje x2 ndash x1= l Tada x1 = α|(x|
1 + vt|0) ir x2 = α|(x|
2+ vt|
0) Ir judančio strypo ilgis judančioje sistemoje yra x|
2 ndash x|1 = (x2 ndash x1)α| Pagal
reliatyvumo principą lα = lα| ty α = α| Iš šviesos greičio pastovumo laiko momentu t= t| = 0 iš koordinačių pradžios (kurios sutampa) pasiunčiamas šviesos signalas Kadangišviesos greitis abiejose sistemose vienodas tai x| = ct| ir x = ct Tada jei α = α| tai iš
x| = α(x ndash vt) ir x = α|(x| + vt|) išplaukia kad
y y|
x x|
z z|
rarr
v
ct| = α(ct ndash vt) ir ct = α(ct| + vt|) dabar sudauginę abi išraiškas gausime2α = 22
2
vcc+
2α = )1(
122 cvminus
2α = 1 22 1 cvminus
Kadangi vt| = αx - x| =
αx - α(x ndash vt) = α v t + x(
α1 - α)
t| = αt + vx ( 2
1α
- 1) t| =
2
2
1
1
cv
minus
t + vx [( 1 - 2
2
cv ) -1] t| =
2
2
2
1cv
xcvt
minus
minus
Lorenco transformacijos
2
2
|
1cvvtxx
minus
minus= yy =| zz =|
2
2
2|
1
)(
cv
xcvttminus
minus=
Atvirkštinės transformacijos išreiškiamos (remiantis reliatyvumo principu) taippat tik pakeitus ženklą
2
2
||
1cvvtxx
minus
+= |yy = |zz =
2
2
2|
1
)(
cv
xcvttminus
+=
Galilėjaus transformacijos gaunamos kai vc ltlt 1
6 Lorenco transformacijų išvada vienalaikiškumo reliatyvumas
Du įvykiai skirtingose koordinačių sistemos taškuose x1 ir x2 vadinamivienalaikiais jeigu jie įvyksta tą patį laiko momentą pagal tos koordinačių sistemoslaikrodį Tegu įvykiai įvyko laiko momentu t0 nejudančioje koordinačių sistemojeJudančioje koordinačių sistemoje įvykiai įvyko taškuose x|
1 ir x|2 momentais t|1 ir t|2 Laiką
t|1 ir t|2 parodė judančios koordinačių sistemos laikrodžiai esantys jos taškuose x|1 ir x|
2tais momentais kai tuose taškuose įvyko nagrinėjamas įvykis Ryšys tarp judančios irnejudančios sistemos
2
201|
1
1cvvtxx
minus
minus=
2
202|
2
1cvvtxx
minus
minus=
2
2
120|1
1
)(
cv
xcvt
tminus
minus=
2
2
220|2
1
)(
cv
xcvt
tminus
minus=
Pažymėkime 2
2
1cv
minus = β
Matome kad įvykiai judančioje koordinačių sistemoje įvyko ne tuo pačiumomentu
)()()(212
12
022
0|1
|2
| xxcvxcvtxcvtttt minus=
+minusminus=minus=∆
ββ Vienalaikiškumo sąvoka neturi absoliučios prasmės nepriklausančios nuokoordinačių sistemos Teiginys įvyko vienu laikurdquo reikalauja nurodyti koordinačiųsistemą Vienalaikiškumo reliatyvumas ir priežastingumas Iš ∆t| formulės seka kad jeigux1 gt x2 tai koordinačių sistemoje judančioje x ašies teigiama kryptimi (v gt 0) turi būti t|2gt t|1 o koordinačių sistemoje judančioje į priešingą pusę (v lt 0) turi būti t|2 lt t|1 ty tiepatys įvykiai skirtingose koordinačių sistemose vyksta ne ta pačia tvarka Ar negali būtikad pasekmė bus ankstesnė už priežastį Kad priežastis ir pasekmė nepriklausytų nuo tokokioje koordinačių sistemoje nagrinėjamos būtina sąlyga jokie materialųs poveikiaikuriais realizuojamas fizinis ryšys tarp įvykių skirtinguose taškuose negali būtiperduodamas greičiu didesniu už šviesos greitį Pvz Nejudančioje koordinačių sistemoje įvykis įvyksta taške x1 laiko momentot1 ir yra priežastis sukėlusi įvykį taške x2 gt x1 laiko momentu t2 gt t1 Greitį kuriuoperduodama įtaka iš x1 į x2 pažymėkime vįt Pagal greičio apibrėžimą
1212 tt
vxx
įt
minus=minus
Judančioje koordinačių sistemoje tie įvykiai vyksta taškouse x|1 ir x|
2 laikomomentais t|1 ir t|2 Tada iš lygybės t| = t ndash (vc2)xβ gauname
(x2 ndashx1) = vįt(t2 ndash t1)
)1())((2
12122
12|1
|2 įtvc
vttxxcvtttt minusminus
=minusminusminus
=minusββ
Iš šios išraiškos jeigu )1( 2 įtvcv
minus lt 0 tai judančioje koordinačių sistemoje
pasekmė įvyks anksčiau už priežastį Bet tai neįmanoma Todėl visada įtvcv21minus gt 0 arba
įtakos perdavimo greitis bus vįt gt cvc Lorenco transformacijos turi prasmę tik tada kai
v le c
7 Lorenco transformacijų išvada intervalo invariantiškumas Judančio kūno ilgis
Intrevalo invariantiškumas Galilėjaus transformacijų invariantai yra kūno ilgis ir laiko tarpas tarp įvykiųtačiau jie nėra Lorenco transformacijų invariantai ty jie priklauso nuo koordinačiųsistemos Lorenco transformacijų invariantas yra erdvės laiko intervalas Tegu taške (x1 y1z1) laiko momentu t1 įvyko įvykis o taške (x2 y2 z2) ir laiko momentu t2 kitas įvykisIntervalu tarp tų įvykių vadinamas dydis ss2 = (x2 ndash x1)2 + (y2 ndash y1)2 + (z2 ndash z1)2 ndash c2(t2 ndash t1)2 Kuris yra vienodas visose koordinačių sistemose invariantas Tai įrodysime
β)( |
1|2
|1
|2
12ttvxxxx minus+minus
=minus
|1
|212 yyyy minus=minus
|1
|212 zzzz minus=minus
β))(( |
1|2
2|1
|2
12xxcvtttt minus+minus
=minus
Įrašius šias reikšmes į s išraišką gauname kad
minusminus+minus+minus=minusminusminus+minus+minus= 2|1
|2
2|1
|2
2|1
|2
212
2212
212
212
2 )()()()()()()( zzyyxxttczzyyxxs2|
1|2
2 )( ttc minusminus = 2|s
Jeigu x2 ndash x1 = ds tai
d s2 = d x2 + d y2 + d z2 ndash c2 d t2 yra invariantas
Erdviškieji ir laikiškieji intervalai Iš anksčiau jei atstumas tarp (x1 y1 z1) ir (x2 y2 z2) yra l o laiko tarpas tarp tųįvykių t tai s2 = l2 ndash c2t2 yra invariantas Sakykime tam tikroje koordinačių sistemojeįvykių negali sieti priežastinis ryšys Tada l gt ct ir s2 gt 0 (veikimo sklidimo atstumasmažesnis už atstumą tarp įvykių) Taigi erdviškasis intervalas yra s2 gt 0 Erdviškąjamintervalui galime parinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiai vyksta vienu metuskirtinguose erdvės taškuose (s2 = l2 gt 0 t = 0) ir nėra tokios koordinačių sistemoskurioje tie įvykiai vyktų tame pačiame taške nes tada l = 0 ty = s2 = -c2t2 lt 0 taiprieštarauja sąlygai s2 gt 0 Jeigu įvykius gali sieti priežastinis ryšys tai l lt ct ir s2 lt 0Tai laikiškasis intervalas galima pasirinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiaiįvyksta tame pačiame erdvės taške bet skirtingais laiko momentais (l =0 s2 = - c2t2 lt 0)ir nėra tokios koordinačių sistemos kurioje tie du įvykiai būtų vienalaikiai (t = 0 s2 = l2 gt0 kas prieštarauja s2 lt 0) Intervalo tarp įvykių laikiškumas arba erdviškumasnepriklauso nuo koordinačių sistemos ndash tai įvykių invariantiška savybė
Judančio kūno ilgis Judančio kūno ilgiu vadinamas atstumas tarp nejudančios koordinačių sistemostaškų su kuriais sutampa judančio strypo pradžia ir galas vienu laiko momentu pagalnejudančios koordinačių sistemos laikrodį Judančios koordinačių sistemos laikrodžiaiesantys strypo galuose rodys skirtingą laiką ir strypo galai bus fiksuojami skirtingu laiku- strypo ilgis nėra Lorenco transformacijų invariantas skirtingose sistemose skiriasiTegu judančioje koordinačių sistemoje nejudančio strypo ilgis l = x|
2 ndash x|1 ir nukreiptas
išilgai x ašies
β01|
1vtxx minus
= β
02|2
vtxx minus=
ββ
|12|
1|2
llxxlxx =rArrminus
==minus
2
2| 1
cvll minus=
Taigi judantis kūnas yra trumpesnis už nejudantį Ta prasme kad tam tikru laikomomentu pagal nejudančios sistemos laikrodį užfiksuojamos visų judančio kūnopaviršiaus taškų koordinatės Tai momentinė kopija kuri atrodytų suplota jeigu būtųregistruojama nejudanti Vizualiai viskas būtų kitaip nes 1) šviesos spinduliai iš įvairiųkūno taškų pasiekia stebėtoją per skirtingą laiką 2) pasireiškia šviesos aberacija todėlregimoji kryptis nesutampa su tikrąja taigi kūno forma matoma ne tokia kaip duodaLorenco transformacijos Sutrumpėjimo įvertinimas
Kadangi v ltlt c tai vc ltlt 1 ir išskleidus eilute )211( 2
2|
cvll minusasymp
Tada lcvl
cvllll 2
2
2
2|
21)
211( minus=minusminus=minus=∆ 2
2
21
cv
ll
minus=∆
kai v = 30 kms tai 810
2
1050109109
21 minussdotminus=
sdotsdot
minus=∆ ll ty jeigu raketa bus 100 m ilgio tai
sutrumpės 1 microm kas praktiškai nepastebima Žemė juda apie Saulę 30 kms greičiu irsusiploja judėjimo kryptimi tik 6 cm Jeigu vc = 087 tada kūno ilgis susiploja per pusęJeigu atstumas nejudančioje kooordinačių sistemoje tarp dviejų taškų yra l = x1 ndash x2 ir tietaškai pradėjo judėti teigiama x ašies kryptimi kiekvienu laiko momentu taškų greičiaiyra vienodi ndash vadinasi jie nueina vienodą kelią Tačiau stebėtojas judantis kartu su taistaškais minėtoje sistemoje matys kad atstumas tarp jų didėja ir pasiekus pastovų greitį vbus )(1 22 cvl minus ilgio Paaiškinti galima paprastai nejudančios sistemos atžvilgiu tietaškai judėjo sinchroniškai tačiau judančioje sistemoje ndash nesinchroniškai nessinchroniškumas yra reliatyvus ndash x2 pradėjo greitėti labiau negu x1 ir todėl nutolo Jeigux2 ir x1 sujungti nesvaria spyruokle tai ji bus ištempta ir bus atliktas darbas kurioenergija paimta iš variklių verčiančių judėti tuos taškus Jeigu taškai sujungti absoliučiaistandžiu strypu tai be galo mažai deformacijai sukelti reikės be galo didelės energijostaigi jo galai negali judėti tuo pačiu dėsniu Išvada nagrinėjant materialių kūnų judėjimąjų negalima laikyti absoliučiai kietais
8 Lorenco transformacijų išvada judančių laikrodžių laikas savasis laikas
Judančių laikrodžių eigos sparta Savasis laikas Iš Lorenco transformacijų ndash
β
|0
2|1
1)( xcvtt +
= β))(( |0
2|22 xcvtt += β)( |
1|212
| ttttt minus=minus=∆ β| tt ∆=∆
Laiko tarpas tarp įvykių išmatuotas judančiais laikrodžiais yra trumpesnis negumatuojant nejudančiais laikrodžiais judantis laikrodis eina lėčiau už nejudantį Tačiaujudančius laikrodžius galime laikyti nejudančiais Ar tai neprieštarauja reliatyvumoprincipui Ne nes vieno ir to paties judančio taško laikas lyginamas su įvairių nejudančiųtaškų laiku o norint pritaikyti reliatyvumo principą reikia įvairių judančios sistemostaškų laiką palyginti su to paties nejudančios koordinačių sistemos taško laiku Tegutaške x0 vienas po kito įvyko du įvykiai judančioje nebrūkšniuotoje koordinačiųsistemoje Laiko tarpas tarp jų ∆t = t2 ndash t1 Brūkšniuotoje koordinačių sistemoje kuri yranejudanti įvykiai įvyko skirtinguose taškuose laiko momentais t|
1 ir t|2
β0
21|
1)( xcvtt minus
= β
02
2|2
)( xcvtt minus=
βtttt ∆
=minus=∆ |1
|2
|
Tačiau dabar ∆t| yra laikas tarp įvykių nejudančioje koordinačių sistemoje ∆t ndashnejudančioje Prieštaravimo nėra
Laikas matuojamas su judančiu tašku susijusiu laikrodžiu vadinamas savuojulaiku Su judančiu tašku susijusio laikrodžio laiko skirtumas ndash d τ d t ndash laikodiferencialas inercinėje sistemoje kurioje nagrinėjamas taškas juda greičiu v
)(1 22 cvdtd minus=τ
222222 tdczdydxdsd minus++= 2
222rarr
=++ rdzdydxd ))(1(2
222rarr
minusminus= rdtdcsd
)11()1( 2
2
2222
tdrd
ctdcsd
rarr
minusminus= 2
2
2rarr
rarr
= vtdrd )(1 22 cvtdicsd minus= )(1 22 cvtdd minus=τ
icsdd =τ čia d s ndash invariantas c ndash pastovus d τ ndash invariantas Savasis laikas yraLorenco transformacijų invariantas nes savasis laikas matuojamas laikrodžiu kurissusietas su pačiu judančiu tašku todėl nesvarbu kokioje koordinačių sistemojeatskaitomi jo parodymai Eksperimentai patvirtinantys laiko reliatyvumą Matuojant +micro mezono nueitą kelią nuo jo atsiradimo iki išnykimo ir nustatyti jo greitįKuo +micro mezono judėjimo greitis didesnis tuo gyvavimo trukmė turi būti ilgesnė nes
βττ micromicro )0(= )0(microτ - savoji gyvavimo trukmė Jeigu laikas nelėtėja tai kelio ilgio
priklausomybė nuo greičio - vl )0(microτ= - tiesinė v funkcija Jeigu lėtėja -
)(1 22)0( cvvl minus= microτ - netiesinė v funkcija Išmatavus l = f(v) buvo gauta kad ji atitinka
reliatyvistinę formulę Dar akivaizdesnis bandymas buvo atliktas 1972 m Su trimatominiais laikrodžiais
Du atominiai laikrodžiai buvo įmontuoti įreaktyvinius lėktuvus o vienas buvosumontuotas aerouoste Visi trys laikrodžiaibuvo sinchronizuoti Po to abu lėktuvai pakilo įorą
Vienas skrenda prieš Žemės sukimąsi o kitaspagal trečias lieka vietoje Gryžus palyginamilaikrodžių parodymai Visi laikrodžiainagrinėjami Žemės centro atžvilgiu nes tokiasistema yra inercinė Kadangi v gt u| tai abuskrendantys laikrodžiai juda iš rytų į vakarusNejudančio Žemės paviršiuje laikrodžio savasislaikas 0τ judančio į vakarus savasis laikas +τ į rytus - minusτ
)(1 220 cvtdd minus=τ 2
2| )(1cuvtdd minus
minus=+τ 2
2| )(1c
uvtdd +minus=minusτ
0τd ir +τd - skuba o 0τd ir minusτd - vėluoja Tačiau traukos laukai taip pat lėtinalaikrodžių eigą taigi laikrodis kuris liko Žemės paviršiuje eis lėčiau negu laikrodžiaikurie yra lėktuvuose nes pastarieji yra silpnesniame traukos lauke Skridęs į vakarusskubėjo 275 ns o į rytus vėlavo 40 ns Sutapo teoriškai Su pagreičiais judančių laikrodžių eiga Formulė βτ sdot= dtd išvesta tolyginiam judėjimui o specialioji reliatyvumo teorijaneaprašo netolygaus judėjimo Bandymais buvo parodyta kad ši formulė galioja irjudėjimui su pagreičiu (bent jau sukimuisi apskritimu) nes buvo tiriamas elektringųdalelių judėjimas magnetiniame lauke veikiant Lorenco jėgai
vndash u|-
v + u|
rarr
v
9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados
Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|
= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai
1) judančioje |
||
tdxdux = |
||
tdyduy = |
||
tdzduz =
2) nejudančioje tdxdux =
tdyduy =
tdzduz =
Tada
β
|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =
ββ
)1( 2||
||
cvutd
tdvxdddxdu
x
x
+
+==
ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+
=+
= )1( 2
||
|
cvutd
ydtdydu
x
y
+
sdot==
β
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+=
|2
|2
2
1
1
x
y
y
ucv
ucv
u+
minus=
|2
|2
2
1
1
x
z
z
ucv
ucv
u+
minus=
Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|
y = u|z = 0 o u|
x = c tada
c
ccvvcux =
+
+=
21
Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|
x = 0 u|y = c u|
z = 0 Nejudančioje
koordinačių sistemoje ndash ux = v 2
2
1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių
sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi
2
2
1
1
cvc
vuutg
y
x
minus
===β Ši
formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu
Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje
ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+= kai aplinka juda plusmn v tai
)1()()(1
)(
2cnvv
nc
cncvvnvux msdotplusmn=
plusmn
plusmn= nes
cv ltlt 1
cnv
cnvcv
ncux
2
2 minusplusmnasymp m 02
asympcnv
vnn
cux sdotminusasymp )11( 2m
Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio
transformacija Pagreitis a|x a|
y a|z kur |
||
tduda x
x = u|x = u|
y = u|z = 0 tada
nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje
koordinačių sistemoje td
uda xx =
)1
()(2
||
cvu
vuux
xx
+
+=
|22|
22
2
2
2
|
2
|
22
|
|
22|
|2|
2
|
|
))(1()(1)1(
)1())(1())((
1x
x
xx
x
x
x
xx
x
xx ud
cvucv
cv
cvu
cvu
cvuud
cvuudcvvu
cvuudud
+minus
=minusminus++
=++
minus+
=
|232
2
|
22|22
)1()(1)(1(
xxx
x acv
tdcvudcv
tduda minus=
minussdotminus==
10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos
Masė
Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų
Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1
(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose
Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos
sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1
rarr
v ir 2
rarr
v
o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1
rarr
∆ v ir 2
rarr
∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211
rarrrarr
∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens
Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm
tvm
∆∆
minus=∆∆
rarrrarr
22
11 ir kai ∆t rarr 0 tai
2211
rarrrarr
minus= amam
3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1
|
11
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv ir 1
|
22
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|
1 ir v|2 po susidūrimo Tada
)()( 2
|
221
|
11
rarrrarrrarrrarr
minusminus=minus vvmvvm ir |
21
|
112211
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm
Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams
21
rarrrarrrarr
+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr
= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara
11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis
Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis
F tdpdFrarr
rarr
= Dydis F yra koordinčių rarr
r ir greičio rarr
v funkcija )(rarrrarrrarr
vrF Taigi tdpdrarr
apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr
F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai
II Niutono dėsnis tdpdFrarr
rarr
= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu
atveju kai )(tmm ne tai rarr
rarr
= Ftdvdm
rarrrarr
= Ftdrdm 2
2
Taigi pagrindinis klasikinės
mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr
vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį
x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi
TtAx π2cos=
Tt
TAx ππ 2sin2
minus=bull
TtA
Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull
mxT
x sdotminus=bullbull
|)2( 2π
xmT
xm 2)2( πminus=
bullbull
kmT
=2)2( π
k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis
Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui
bullbullbull
minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra
)(rarrrarrrarr
larr rarr
rarr
vrFv RASTIti
RASTIi
m
A
x
a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai
0=
rarr
tdpd taigi constp =
rarr
ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir
greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma
Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1
rarr
F ir 2
rarr
F ir klausiama kokia viena jėgararr
F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga
Jeigu turėsime n jėgų iFrarr
kurios veikia materialų
tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr
F - sakoma kad
tai bus geometrinė iFrarr
jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu
kiekviena jėga iFrarr
suteikia materialiam taškui
pagreitį iararr
tai atstojamasis judėjimas
bus randamas visų iararr
vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr
= amF irgi bus
nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr
= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti
F F1 F
12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka
Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis
1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr
21 iš
2121 0rarrrarr
bullrarr
bullrarr
minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis
Tegu ikFrarr
- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr
- priešingai Tada iš
III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr
minus= 0=+rarrrarr
iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -
ikFrarr
Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru
atveju vidinių jėgų suma 0)()(
3
)(
2
)(
1 =++++rarrrarrrarrrarr i
n
iii
FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1
iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti
)(
1
)(
11
ei
FFtdpd rarrrarrrarr
+=
+)(
2
)(
22
ei
FFtd
pd rarrrarrrarr
+=
)()()()()(
3
)(
2
)(
1
)()(
2
)(
121
i
n
eeei
n
ii
n FFFFFFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
++++++++=+++
Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai
)()(
2
)(
121 )(e
n
ee
n FFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarr
+++=+++ ir )(e
Fptd
d rarrrarr
=
kur rarr
p - visos sistemos impulsas o )(e
Frarr
- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių
sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(
=rarr e
F tada
0=
rarr
tdpd ir
rarr
p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą
geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(
nerarr e
F tačiau
0)(
=rarr e
xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso
projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne
poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn
iF 0 tada tas pats
galioja ir impulsui rarr
p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)
Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš
III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm
Fa+
= o Fmm
mFFBA
B
+== 21 Šis sprendimas
nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|
2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|
1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|
1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =
F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB
Netamprus siūlas F F1 F2 A B
rarr
v
Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|
1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į
siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai
Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki
taško B tai jėga rarr
F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso
tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta
A|
A F B
laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas
cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis
Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis
xFtdxdm =2
2
yFtdydm =2
2
zFtdzdm =2
2
Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos
Paprastai tai būna rarr
r ir rarr
v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa
Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr
= gmF taigi
rarrrarr
= gtdrd2
2
arba rarr
rarr
= gtdvd ir
rarrrarr
= vtdrd iš čia 0
rarrrarrrarr
+= vtgv 002
21 rarrrarrrarrrarr
++= rtvtgr
Tai bendras sprendinys o paimdami 0
rarr
v ir 0
rarr
r konkrečias vertes gausime atskirą
prendinį o 0
rarr
v ir 0
rarr
r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną
Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1
rarr
v ir 2
rarr
v iki
susidūrimo ir po jo rarr
v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr
=+ vmvmvm 2211
Sistemoje A| judančioje greičiu rarr
v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|
22
|
11
rarrrarrrarr
=+ vmvmvm
Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr
v ir v| tadararrrarrrarr
minus= vvv 1
|
1 rarrrarrrarr
minus= vvv 2
|
2 rarrrarrrarr
minus= vvv|
Tada gauname
)()()( 2211
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr
minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr
=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių
adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių
adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau
13 Trinties dėsniai
1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja
P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)
Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio
fn
ftr f
P
d K = -ftrarr
s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga
Kai greičiai mažirarrrarr
minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę
rarrrarr
minus=minus= vvkvvvkftr 2
22
Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt
Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)
ftr
f0
d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0
v
Rimties trintiesjėga
f k2v2
k1v Turbulentinis aptekėjimas
Laminarinis aptekėjimas
v
14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas
1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e
Ftdpd rarrrarr
= - geometrinė
visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0
)(0 ttFpp e minus=minus -
jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su
21 ++=rarrrarrrarr
vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti
)( 01)(
101 ttFpp e minus=minusrarrrarr
+
)( 12)(
212 ttFpp e minus=minusrarrrarr
-------------------------------
ne
nee
n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr
minus
rarrrarr)(
2)(
21)(
101121
sum=
rarrrarr
∆=minusn
ii
ei tFpp
1
)(0 kai sum intequiv∆
rarr∆ i
t
t
ei
ei
tdFtF
i 0
)(lim )()(
0ττ tai int=minus
rarrrarr t
t
e dFpp0
)()(0 ττ
Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės
Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas
1 T1
2 T2
P
15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė
Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos
judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių
taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr
Rišreiškiamas
mrmrmR 211 ++
=
rarrrarrrarr
kur 321 +++= mmmm
21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr
rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmvm rarr
= vmp )(eFtdvdm =
rarr
Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai
00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=
rarr
Materialių
taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje
Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys
1
12
12
mF
tdrd
rarrrarr
= 2
22
22
mF
tdrd
rarrrarr
= Be to iš
trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr
= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime
)11()(21
21
1
2
2122
2
mmF
mF
mFrr
tdd
+=minus=minus
rarrrarrrarrrarr
Ši
lygtis aprašo vieno materialaus taško
judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr
minus= rrryra radius vektorius
m1
m2
O
rarr
r
1rarr
r2
rarr
r
z
x
1rarr
r
2rarr
r
R
y
Pažymėjus
21
111mm
+=micro
arba 21
21
mmmm+
=micro tada 22
2
Ftdrd=
rarr
micro
Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr
F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį
)(e
Ftdvdm
rarrrarr
= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo
tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi
Lygties 2rMmGF = vektorinė forma
rarrrarr
rarr
minus=minus= rrMmG
rr
rMmGF 32 Įvedus micro
planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip
rarrbullbullbullbull
minus==+
equiv rrMmGFr
MmMmr 3micro
rarrrarr +minus=
bullbull
rrmMGr 3 Kadangi laikome kad
sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr
minus=bullbull
rwr 2
322 )2(
rmMG
Tw +
==π arba 3r
mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo
periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w
32
1
21 )2(
rMG
Tw ==
π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w
32
22
2)2(rMG
Tw ==
π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2
2
12
1
2 ==TT
ww Apsisukimo
periodas antru atveju 2 kartų mažesnis
Planeta m
Saulė
M
rarr
r
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
T1 = t1 + s1c Kitą kartą Jupiterio palydovas išeis iš šešėlio momentu t2 o Žemėsstebėtojas jį stebės laiko momentu T2 = t2 + s2c Tada palydovo apsisukimo periodas bus Tsteb = T2 ndash T1 = Ttikr + (s2 ndash s1)c Išmatavus daug kartų tiek Žemei tolstant tiek artėjantlink Jupiterio galima išeliminuoti s2 ndash s1 ir žinant Ttikr suskaičiuoti šviesos greitį c =(s2 ndash s1)(Tsteb - Ttikr) Riomeris gavo c = 214 300 kms Tai buvo pirmas sėkmingasšviesos reičio matavimo atvejis Iki Riomerio visi šviesos matavimo mėginimai buvonesėkmingi Šviesos aberacija Jeigu kryptis kuria juda stebėtojas yra statmena krypčiai kuria stebima žvaigždėtai dėl šviesos aberacijos kryptis į žvaigždę skiriasi nuo tikrosios Šviesos aberacijoskampas β = π2 ndash α middot tgβ = vc kur v Žemės judėjimo greičio dedamoji statmenakrypčiai į žvaigždę Išmatavus v ir kryptį į žvaigždę galima gauti c Gauti rezultataisutapo su Riomerio
Fizo bandymas (1851m) taišviesos greičio matavimas judančiojematerijoje (vandenyje) Šviesosgreitis vandenyje yra u| = cn n ndashlūžio rodiklis Jeigu aplinka judastebėtojo atžvilgiu tai šviesos greitisstebėtojo atžvilgiu būtų u| plusmn v ndashpriklausomai nuo greičių krypčiųFizo bandyme du spinduliai judapriešpriešais ir nueina tą patį keliaprieš patekdami į interferometrą Fkol vanduo stikliniame vamzdyjenejuda Kai vanduo juda vienasspindulys juda pagal vandensjudėjimo kryptį o kitas priešingaitodėl turi susidaryti eigos skirtumaskurį galima apskaičiuoti išinterferencinių juostų poslinkioskysčiui stovint ir judant A - šviesosšaltinis B ndash pusiau skaidri plokštelėišskirianti du koherentinius
spindulius K D E ndash veidrodžiail ndash šviesos kelio ruožų vandenyje bendras ilgis t0 ndash laikas kurį spindulys
praeina visus kitus (be skysčio) kelio tarpus u+ - sklindantis pasroviui u- - prieš srovęspindulio greitis skystije u+ = u| + kv u- = u| - kv Kur k ndash koeficientas kurį norėjo surastiFizo Jeigu k = 1 tai teisinga klasikinė greičių sudėties taisyklė o kai k ne 1 tai yranukrypimas Šviesos greitis vandenyje u| = cn = 300 000 13 asymp 230 000 kms Laikasper kurį u+ ir u- spinduliai praeina visą kelią t1 = t0 + l(u| + kv) ir t2 = t0 + l(u| - kv) taigilaiko pokytis yra ∆t = 2lkv u|2 ndash k2v2 Suskaičiavus interferencinių juostų poslinkį iržinant l galima rasti k Fizo gavo k = 1- 1n2 Taigi klasikinio aprašymo taisyklė šviesaijau netinka Tai buvo fantastiška išvada nors tais laikais egzistavo eterio vilkimo teorijakurios išvados pilnai paaiškino Fizo bandymą Fizo bandymas yra eksperimentinisklasikinio greičio sudėties dėsnio ir Galilėjaus transformacijų klaidingumo įrodymas
rarr
v
K D
B EA
F
5 Lorenco transformacijos Postulatai Kai judėjimo greičiai dideli kaip matėme iš Fizo bandymo Galilėjaustransformacijos prieštarauja eksperimentui Reikia kitokių transformacijų kuriosderintųsi su šviesos greičio pastovumu Taigi Lorenco transformacijų postulatai 1) reliatyvumo principas 2) šviesos greičio pastovomas Koordinačių transformacijų tiesiškumas Judančių koordinačių sistemas visada galima orientuoti taip kad sutaptų sukoordinačių pradžia Kadangi greičių sudėčiai jau nebetinka klasikinė formulė tai galimatikėtis kad vienos sistemos laikas jau neišreiškiamas tik kitos sistemos laiku betpriklauso ir nuo koordinačių Tada
x| = Ф1(x y z t) y| = Ф2(x y z t) z| = Ф3(x y z t) t| = Ф4(x y z t)
Bendrą funkcijų Ф pavidalą lemia erdvės ir laiko savybės Nagrinėjantgeometrinius sąryšius vienoje atskaitos sistemoje laikome kad kiekvienas taškas niekuonesiskiria nuo bet kurio kito taško ir visi geometriniai sąryšiai tarp bet kurių geometriniųobjektų bus visiškai tokie pat kaip ir perkėlus koordinačių pradžią į bet kokį kitą taškąerdvės vienalytiškumas Geometriniai sąryšiai nekinta dėl koordinačių sistemos ašiųtransformacijos ndash izotropiškumas Erdvės vienalytiškumas ir izotropiškumas yrasvarbiausios savybės inercinėse atskaitos sistemose Svarbiausia laiko savybė ndashvienalytiškumas kiekviena fizikinė situacija vystosi ir kinta vienodai nepriklausomainuo to kokiu momentu ji susiklosčiusi Iš erdvės ir laiko vienalytiškumo išplaukia kadtransformacijos turi būti tiesinės Panagrinėjus nykstamai mažą pokytį d x| nejudančiojekoordinačių sistemoje jį atitiks nykstamai maži d x d y d z d t Tada
x| = xdxpartΦpart 1 + yd
ypartΦpart 1 + zd
zpartΦpart 1 + td
tpartΦpart 1
Kadangi erdvė ir laikas yra vienalyčiai tas ryšys turi būti vienodas visiems erdvėstaškams bet kuriems laiko momentams ty
xpartΦpart 1
ypartΦpart 1
zpartΦpart 1
tpartΦpart 1 = const
Ф1(x y z t) = A1x + A2y + A3z + A4 + A5
čia A1 A2 A3 A4 A5 ndash konstantos priklausančios nuo sistemos judėjimą kitos atžvilgiuapibūdinančių parametrų
y ir z transformacijos Jei koordinačių pradžios laiko momentu t = 0 sutampa tai x = y = z = x| = y| = z| == 0 ir laisvasis narys A5 = 0 Tada
y| = a1x + a2y + a3z + a4tz| = b1x + b2y + b3z + b4t
Kadangi x| ašis sutampa su x tai iš sąlygos y = 0 išplaukia y| = 0 iš ndash z = 0išplaukia z| = 0 Reiškia
0 = a1x + a1sdot0 + a3z + a4t0 = b1x + b2y + b3sdot0 + b4t
O šios lygtys bus patenkintos tik tada jeigu a1 = a3 = a4 = 0 ir b1 = b2 = b4 = 0Tada y| = ay z| = az a ndash rodo kiek kartų y| yra didesnė už y
y = a1 y| z =
a1 z|
1a ndash rodo kiek kartų pasirinkto mastelio ilgis nejudančioje sistemoje yra didesnisnegu judančioje Pagal realiatyvumo principą abi sistemos yra lygiavertės Taigi 1a =a ir a = +1 a = -1 neįmanoma nes sutarta kad sistemos nekeičia savo krypties (x y z irx| y| z| ašys sutampa Taigi y = y| ir z = z|
x ir t transformacija Kadangikintamieji y ir z transformuojami atskirai taix ir t transformacijos bus tiesinės jųfunkcijos Judančios koordinačių sistemospradžios taškas nejudančioje sistemojenusakomas koordinate x| = α(x ndash vt) čia ndash αproporcingumo koeficientas kurį reikiarasti Lygiai taip pat pereinant iš judančiossistemos į nejudančią x = α|(x|+ vt|) Tadaremiantis reliatyvumo principu α| = αSakykime judančioje koordinačių sistemojeyra ilgio l strypas gulintis išilgai x| ašies l= x|
2 ndash x|1 Nejudančios sistemos atžvilgiu
strypas juda greičiu v Tada
x|1 = α(x1 ndash vt0) x|
2 = α(x2 ndash vt0)x2 ndash x1 = (x|
2 ndash x|1)α =lα
Judančio strypo ilgis nejudančioje sistemoje Dabar tarkime kad tas pats strypasnejuda nejudančioje koordinačių sistemoje x2 ndash x1= l Tada x1 = α|(x|
1 + vt|0) ir x2 = α|(x|
2+ vt|
0) Ir judančio strypo ilgis judančioje sistemoje yra x|
2 ndash x|1 = (x2 ndash x1)α| Pagal
reliatyvumo principą lα = lα| ty α = α| Iš šviesos greičio pastovumo laiko momentu t= t| = 0 iš koordinačių pradžios (kurios sutampa) pasiunčiamas šviesos signalas Kadangišviesos greitis abiejose sistemose vienodas tai x| = ct| ir x = ct Tada jei α = α| tai iš
x| = α(x ndash vt) ir x = α|(x| + vt|) išplaukia kad
y y|
x x|
z z|
rarr
v
ct| = α(ct ndash vt) ir ct = α(ct| + vt|) dabar sudauginę abi išraiškas gausime2α = 22
2
vcc+
2α = )1(
122 cvminus
2α = 1 22 1 cvminus
Kadangi vt| = αx - x| =
αx - α(x ndash vt) = α v t + x(
α1 - α)
t| = αt + vx ( 2
1α
- 1) t| =
2
2
1
1
cv
minus
t + vx [( 1 - 2
2
cv ) -1] t| =
2
2
2
1cv
xcvt
minus
minus
Lorenco transformacijos
2
2
|
1cvvtxx
minus
minus= yy =| zz =|
2
2
2|
1
)(
cv
xcvttminus
minus=
Atvirkštinės transformacijos išreiškiamos (remiantis reliatyvumo principu) taippat tik pakeitus ženklą
2
2
||
1cvvtxx
minus
+= |yy = |zz =
2
2
2|
1
)(
cv
xcvttminus
+=
Galilėjaus transformacijos gaunamos kai vc ltlt 1
6 Lorenco transformacijų išvada vienalaikiškumo reliatyvumas
Du įvykiai skirtingose koordinačių sistemos taškuose x1 ir x2 vadinamivienalaikiais jeigu jie įvyksta tą patį laiko momentą pagal tos koordinačių sistemoslaikrodį Tegu įvykiai įvyko laiko momentu t0 nejudančioje koordinačių sistemojeJudančioje koordinačių sistemoje įvykiai įvyko taškuose x|
1 ir x|2 momentais t|1 ir t|2 Laiką
t|1 ir t|2 parodė judančios koordinačių sistemos laikrodžiai esantys jos taškuose x|1 ir x|
2tais momentais kai tuose taškuose įvyko nagrinėjamas įvykis Ryšys tarp judančios irnejudančios sistemos
2
201|
1
1cvvtxx
minus
minus=
2
202|
2
1cvvtxx
minus
minus=
2
2
120|1
1
)(
cv
xcvt
tminus
minus=
2
2
220|2
1
)(
cv
xcvt
tminus
minus=
Pažymėkime 2
2
1cv
minus = β
Matome kad įvykiai judančioje koordinačių sistemoje įvyko ne tuo pačiumomentu
)()()(212
12
022
0|1
|2
| xxcvxcvtxcvtttt minus=
+minusminus=minus=∆
ββ Vienalaikiškumo sąvoka neturi absoliučios prasmės nepriklausančios nuokoordinačių sistemos Teiginys įvyko vienu laikurdquo reikalauja nurodyti koordinačiųsistemą Vienalaikiškumo reliatyvumas ir priežastingumas Iš ∆t| formulės seka kad jeigux1 gt x2 tai koordinačių sistemoje judančioje x ašies teigiama kryptimi (v gt 0) turi būti t|2gt t|1 o koordinačių sistemoje judančioje į priešingą pusę (v lt 0) turi būti t|2 lt t|1 ty tiepatys įvykiai skirtingose koordinačių sistemose vyksta ne ta pačia tvarka Ar negali būtikad pasekmė bus ankstesnė už priežastį Kad priežastis ir pasekmė nepriklausytų nuo tokokioje koordinačių sistemoje nagrinėjamos būtina sąlyga jokie materialųs poveikiaikuriais realizuojamas fizinis ryšys tarp įvykių skirtinguose taškuose negali būtiperduodamas greičiu didesniu už šviesos greitį Pvz Nejudančioje koordinačių sistemoje įvykis įvyksta taške x1 laiko momentot1 ir yra priežastis sukėlusi įvykį taške x2 gt x1 laiko momentu t2 gt t1 Greitį kuriuoperduodama įtaka iš x1 į x2 pažymėkime vįt Pagal greičio apibrėžimą
1212 tt
vxx
įt
minus=minus
Judančioje koordinačių sistemoje tie įvykiai vyksta taškouse x|1 ir x|
2 laikomomentais t|1 ir t|2 Tada iš lygybės t| = t ndash (vc2)xβ gauname
(x2 ndashx1) = vįt(t2 ndash t1)
)1())((2
12122
12|1
|2 įtvc
vttxxcvtttt minusminus
=minusminusminus
=minusββ
Iš šios išraiškos jeigu )1( 2 įtvcv
minus lt 0 tai judančioje koordinačių sistemoje
pasekmė įvyks anksčiau už priežastį Bet tai neįmanoma Todėl visada įtvcv21minus gt 0 arba
įtakos perdavimo greitis bus vįt gt cvc Lorenco transformacijos turi prasmę tik tada kai
v le c
7 Lorenco transformacijų išvada intervalo invariantiškumas Judančio kūno ilgis
Intrevalo invariantiškumas Galilėjaus transformacijų invariantai yra kūno ilgis ir laiko tarpas tarp įvykiųtačiau jie nėra Lorenco transformacijų invariantai ty jie priklauso nuo koordinačiųsistemos Lorenco transformacijų invariantas yra erdvės laiko intervalas Tegu taške (x1 y1z1) laiko momentu t1 įvyko įvykis o taške (x2 y2 z2) ir laiko momentu t2 kitas įvykisIntervalu tarp tų įvykių vadinamas dydis ss2 = (x2 ndash x1)2 + (y2 ndash y1)2 + (z2 ndash z1)2 ndash c2(t2 ndash t1)2 Kuris yra vienodas visose koordinačių sistemose invariantas Tai įrodysime
β)( |
1|2
|1
|2
12ttvxxxx minus+minus
=minus
|1
|212 yyyy minus=minus
|1
|212 zzzz minus=minus
β))(( |
1|2
2|1
|2
12xxcvtttt minus+minus
=minus
Įrašius šias reikšmes į s išraišką gauname kad
minusminus+minus+minus=minusminusminus+minus+minus= 2|1
|2
2|1
|2
2|1
|2
212
2212
212
212
2 )()()()()()()( zzyyxxttczzyyxxs2|
1|2
2 )( ttc minusminus = 2|s
Jeigu x2 ndash x1 = ds tai
d s2 = d x2 + d y2 + d z2 ndash c2 d t2 yra invariantas
Erdviškieji ir laikiškieji intervalai Iš anksčiau jei atstumas tarp (x1 y1 z1) ir (x2 y2 z2) yra l o laiko tarpas tarp tųįvykių t tai s2 = l2 ndash c2t2 yra invariantas Sakykime tam tikroje koordinačių sistemojeįvykių negali sieti priežastinis ryšys Tada l gt ct ir s2 gt 0 (veikimo sklidimo atstumasmažesnis už atstumą tarp įvykių) Taigi erdviškasis intervalas yra s2 gt 0 Erdviškąjamintervalui galime parinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiai vyksta vienu metuskirtinguose erdvės taškuose (s2 = l2 gt 0 t = 0) ir nėra tokios koordinačių sistemoskurioje tie įvykiai vyktų tame pačiame taške nes tada l = 0 ty = s2 = -c2t2 lt 0 taiprieštarauja sąlygai s2 gt 0 Jeigu įvykius gali sieti priežastinis ryšys tai l lt ct ir s2 lt 0Tai laikiškasis intervalas galima pasirinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiaiįvyksta tame pačiame erdvės taške bet skirtingais laiko momentais (l =0 s2 = - c2t2 lt 0)ir nėra tokios koordinačių sistemos kurioje tie du įvykiai būtų vienalaikiai (t = 0 s2 = l2 gt0 kas prieštarauja s2 lt 0) Intervalo tarp įvykių laikiškumas arba erdviškumasnepriklauso nuo koordinačių sistemos ndash tai įvykių invariantiška savybė
Judančio kūno ilgis Judančio kūno ilgiu vadinamas atstumas tarp nejudančios koordinačių sistemostaškų su kuriais sutampa judančio strypo pradžia ir galas vienu laiko momentu pagalnejudančios koordinačių sistemos laikrodį Judančios koordinačių sistemos laikrodžiaiesantys strypo galuose rodys skirtingą laiką ir strypo galai bus fiksuojami skirtingu laiku- strypo ilgis nėra Lorenco transformacijų invariantas skirtingose sistemose skiriasiTegu judančioje koordinačių sistemoje nejudančio strypo ilgis l = x|
2 ndash x|1 ir nukreiptas
išilgai x ašies
β01|
1vtxx minus
= β
02|2
vtxx minus=
ββ
|12|
1|2
llxxlxx =rArrminus
==minus
2
2| 1
cvll minus=
Taigi judantis kūnas yra trumpesnis už nejudantį Ta prasme kad tam tikru laikomomentu pagal nejudančios sistemos laikrodį užfiksuojamos visų judančio kūnopaviršiaus taškų koordinatės Tai momentinė kopija kuri atrodytų suplota jeigu būtųregistruojama nejudanti Vizualiai viskas būtų kitaip nes 1) šviesos spinduliai iš įvairiųkūno taškų pasiekia stebėtoją per skirtingą laiką 2) pasireiškia šviesos aberacija todėlregimoji kryptis nesutampa su tikrąja taigi kūno forma matoma ne tokia kaip duodaLorenco transformacijos Sutrumpėjimo įvertinimas
Kadangi v ltlt c tai vc ltlt 1 ir išskleidus eilute )211( 2
2|
cvll minusasymp
Tada lcvl
cvllll 2
2
2
2|
21)
211( minus=minusminus=minus=∆ 2
2
21
cv
ll
minus=∆
kai v = 30 kms tai 810
2
1050109109
21 minussdotminus=
sdotsdot
minus=∆ ll ty jeigu raketa bus 100 m ilgio tai
sutrumpės 1 microm kas praktiškai nepastebima Žemė juda apie Saulę 30 kms greičiu irsusiploja judėjimo kryptimi tik 6 cm Jeigu vc = 087 tada kūno ilgis susiploja per pusęJeigu atstumas nejudančioje kooordinačių sistemoje tarp dviejų taškų yra l = x1 ndash x2 ir tietaškai pradėjo judėti teigiama x ašies kryptimi kiekvienu laiko momentu taškų greičiaiyra vienodi ndash vadinasi jie nueina vienodą kelią Tačiau stebėtojas judantis kartu su taistaškais minėtoje sistemoje matys kad atstumas tarp jų didėja ir pasiekus pastovų greitį vbus )(1 22 cvl minus ilgio Paaiškinti galima paprastai nejudančios sistemos atžvilgiu tietaškai judėjo sinchroniškai tačiau judančioje sistemoje ndash nesinchroniškai nessinchroniškumas yra reliatyvus ndash x2 pradėjo greitėti labiau negu x1 ir todėl nutolo Jeigux2 ir x1 sujungti nesvaria spyruokle tai ji bus ištempta ir bus atliktas darbas kurioenergija paimta iš variklių verčiančių judėti tuos taškus Jeigu taškai sujungti absoliučiaistandžiu strypu tai be galo mažai deformacijai sukelti reikės be galo didelės energijostaigi jo galai negali judėti tuo pačiu dėsniu Išvada nagrinėjant materialių kūnų judėjimąjų negalima laikyti absoliučiai kietais
8 Lorenco transformacijų išvada judančių laikrodžių laikas savasis laikas
Judančių laikrodžių eigos sparta Savasis laikas Iš Lorenco transformacijų ndash
β
|0
2|1
1)( xcvtt +
= β))(( |0
2|22 xcvtt += β)( |
1|212
| ttttt minus=minus=∆ β| tt ∆=∆
Laiko tarpas tarp įvykių išmatuotas judančiais laikrodžiais yra trumpesnis negumatuojant nejudančiais laikrodžiais judantis laikrodis eina lėčiau už nejudantį Tačiaujudančius laikrodžius galime laikyti nejudančiais Ar tai neprieštarauja reliatyvumoprincipui Ne nes vieno ir to paties judančio taško laikas lyginamas su įvairių nejudančiųtaškų laiku o norint pritaikyti reliatyvumo principą reikia įvairių judančios sistemostaškų laiką palyginti su to paties nejudančios koordinačių sistemos taško laiku Tegutaške x0 vienas po kito įvyko du įvykiai judančioje nebrūkšniuotoje koordinačiųsistemoje Laiko tarpas tarp jų ∆t = t2 ndash t1 Brūkšniuotoje koordinačių sistemoje kuri yranejudanti įvykiai įvyko skirtinguose taškuose laiko momentais t|
1 ir t|2
β0
21|
1)( xcvtt minus
= β
02
2|2
)( xcvtt minus=
βtttt ∆
=minus=∆ |1
|2
|
Tačiau dabar ∆t| yra laikas tarp įvykių nejudančioje koordinačių sistemoje ∆t ndashnejudančioje Prieštaravimo nėra
Laikas matuojamas su judančiu tašku susijusiu laikrodžiu vadinamas savuojulaiku Su judančiu tašku susijusio laikrodžio laiko skirtumas ndash d τ d t ndash laikodiferencialas inercinėje sistemoje kurioje nagrinėjamas taškas juda greičiu v
)(1 22 cvdtd minus=τ
222222 tdczdydxdsd minus++= 2
222rarr
=++ rdzdydxd ))(1(2
222rarr
minusminus= rdtdcsd
)11()1( 2
2
2222
tdrd
ctdcsd
rarr
minusminus= 2
2
2rarr
rarr
= vtdrd )(1 22 cvtdicsd minus= )(1 22 cvtdd minus=τ
icsdd =τ čia d s ndash invariantas c ndash pastovus d τ ndash invariantas Savasis laikas yraLorenco transformacijų invariantas nes savasis laikas matuojamas laikrodžiu kurissusietas su pačiu judančiu tašku todėl nesvarbu kokioje koordinačių sistemojeatskaitomi jo parodymai Eksperimentai patvirtinantys laiko reliatyvumą Matuojant +micro mezono nueitą kelią nuo jo atsiradimo iki išnykimo ir nustatyti jo greitįKuo +micro mezono judėjimo greitis didesnis tuo gyvavimo trukmė turi būti ilgesnė nes
βττ micromicro )0(= )0(microτ - savoji gyvavimo trukmė Jeigu laikas nelėtėja tai kelio ilgio
priklausomybė nuo greičio - vl )0(microτ= - tiesinė v funkcija Jeigu lėtėja -
)(1 22)0( cvvl minus= microτ - netiesinė v funkcija Išmatavus l = f(v) buvo gauta kad ji atitinka
reliatyvistinę formulę Dar akivaizdesnis bandymas buvo atliktas 1972 m Su trimatominiais laikrodžiais
Du atominiai laikrodžiai buvo įmontuoti įreaktyvinius lėktuvus o vienas buvosumontuotas aerouoste Visi trys laikrodžiaibuvo sinchronizuoti Po to abu lėktuvai pakilo įorą
Vienas skrenda prieš Žemės sukimąsi o kitaspagal trečias lieka vietoje Gryžus palyginamilaikrodžių parodymai Visi laikrodžiainagrinėjami Žemės centro atžvilgiu nes tokiasistema yra inercinė Kadangi v gt u| tai abuskrendantys laikrodžiai juda iš rytų į vakarusNejudančio Žemės paviršiuje laikrodžio savasislaikas 0τ judančio į vakarus savasis laikas +τ į rytus - minusτ
)(1 220 cvtdd minus=τ 2
2| )(1cuvtdd minus
minus=+τ 2
2| )(1c
uvtdd +minus=minusτ
0τd ir +τd - skuba o 0τd ir minusτd - vėluoja Tačiau traukos laukai taip pat lėtinalaikrodžių eigą taigi laikrodis kuris liko Žemės paviršiuje eis lėčiau negu laikrodžiaikurie yra lėktuvuose nes pastarieji yra silpnesniame traukos lauke Skridęs į vakarusskubėjo 275 ns o į rytus vėlavo 40 ns Sutapo teoriškai Su pagreičiais judančių laikrodžių eiga Formulė βτ sdot= dtd išvesta tolyginiam judėjimui o specialioji reliatyvumo teorijaneaprašo netolygaus judėjimo Bandymais buvo parodyta kad ši formulė galioja irjudėjimui su pagreičiu (bent jau sukimuisi apskritimu) nes buvo tiriamas elektringųdalelių judėjimas magnetiniame lauke veikiant Lorenco jėgai
vndash u|-
v + u|
rarr
v
9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados
Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|
= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai
1) judančioje |
||
tdxdux = |
||
tdyduy = |
||
tdzduz =
2) nejudančioje tdxdux =
tdyduy =
tdzduz =
Tada
β
|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =
ββ
)1( 2||
||
cvutd
tdvxdddxdu
x
x
+
+==
ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+
=+
= )1( 2
||
|
cvutd
ydtdydu
x
y
+
sdot==
β
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+=
|2
|2
2
1
1
x
y
y
ucv
ucv
u+
minus=
|2
|2
2
1
1
x
z
z
ucv
ucv
u+
minus=
Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|
y = u|z = 0 o u|
x = c tada
c
ccvvcux =
+
+=
21
Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|
x = 0 u|y = c u|
z = 0 Nejudančioje
koordinačių sistemoje ndash ux = v 2
2
1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių
sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi
2
2
1
1
cvc
vuutg
y
x
minus
===β Ši
formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu
Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje
ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+= kai aplinka juda plusmn v tai
)1()()(1
)(
2cnvv
nc
cncvvnvux msdotplusmn=
plusmn
plusmn= nes
cv ltlt 1
cnv
cnvcv
ncux
2
2 minusplusmnasymp m 02
asympcnv
vnn
cux sdotminusasymp )11( 2m
Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio
transformacija Pagreitis a|x a|
y a|z kur |
||
tduda x
x = u|x = u|
y = u|z = 0 tada
nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje
koordinačių sistemoje td
uda xx =
)1
()(2
||
cvu
vuux
xx
+
+=
|22|
22
2
2
2
|
2
|
22
|
|
22|
|2|
2
|
|
))(1()(1)1(
)1())(1())((
1x
x
xx
x
x
x
xx
x
xx ud
cvucv
cv
cvu
cvu
cvuud
cvuudcvvu
cvuudud
+minus
=minusminus++
=++
minus+
=
|232
2
|
22|22
)1()(1)(1(
xxx
x acv
tdcvudcv
tduda minus=
minussdotminus==
10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos
Masė
Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų
Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1
(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose
Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos
sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1
rarr
v ir 2
rarr
v
o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1
rarr
∆ v ir 2
rarr
∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211
rarrrarr
∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens
Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm
tvm
∆∆
minus=∆∆
rarrrarr
22
11 ir kai ∆t rarr 0 tai
2211
rarrrarr
minus= amam
3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1
|
11
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv ir 1
|
22
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|
1 ir v|2 po susidūrimo Tada
)()( 2
|
221
|
11
rarrrarrrarrrarr
minusminus=minus vvmvvm ir |
21
|
112211
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm
Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams
21
rarrrarrrarr
+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr
= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara
11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis
Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis
F tdpdFrarr
rarr
= Dydis F yra koordinčių rarr
r ir greičio rarr
v funkcija )(rarrrarrrarr
vrF Taigi tdpdrarr
apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr
F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai
II Niutono dėsnis tdpdFrarr
rarr
= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu
atveju kai )(tmm ne tai rarr
rarr
= Ftdvdm
rarrrarr
= Ftdrdm 2
2
Taigi pagrindinis klasikinės
mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr
vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį
x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi
TtAx π2cos=
Tt
TAx ππ 2sin2
minus=bull
TtA
Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull
mxT
x sdotminus=bullbull
|)2( 2π
xmT
xm 2)2( πminus=
bullbull
kmT
=2)2( π
k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis
Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui
bullbullbull
minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra
)(rarrrarrrarr
larr rarr
rarr
vrFv RASTIti
RASTIi
m
A
x
a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai
0=
rarr
tdpd taigi constp =
rarr
ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir
greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma
Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1
rarr
F ir 2
rarr
F ir klausiama kokia viena jėgararr
F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga
Jeigu turėsime n jėgų iFrarr
kurios veikia materialų
tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr
F - sakoma kad
tai bus geometrinė iFrarr
jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu
kiekviena jėga iFrarr
suteikia materialiam taškui
pagreitį iararr
tai atstojamasis judėjimas
bus randamas visų iararr
vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr
= amF irgi bus
nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr
= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti
F F1 F
12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka
Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis
1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr
21 iš
2121 0rarrrarr
bullrarr
bullrarr
minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis
Tegu ikFrarr
- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr
- priešingai Tada iš
III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr
minus= 0=+rarrrarr
iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -
ikFrarr
Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru
atveju vidinių jėgų suma 0)()(
3
)(
2
)(
1 =++++rarrrarrrarrrarr i
n
iii
FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1
iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti
)(
1
)(
11
ei
FFtdpd rarrrarrrarr
+=
+)(
2
)(
22
ei
FFtd
pd rarrrarrrarr
+=
)()()()()(
3
)(
2
)(
1
)()(
2
)(
121
i
n
eeei
n
ii
n FFFFFFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
++++++++=+++
Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai
)()(
2
)(
121 )(e
n
ee
n FFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarr
+++=+++ ir )(e
Fptd
d rarrrarr
=
kur rarr
p - visos sistemos impulsas o )(e
Frarr
- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių
sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(
=rarr e
F tada
0=
rarr
tdpd ir
rarr
p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą
geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(
nerarr e
F tačiau
0)(
=rarr e
xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso
projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne
poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn
iF 0 tada tas pats
galioja ir impulsui rarr
p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)
Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš
III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm
Fa+
= o Fmm
mFFBA
B
+== 21 Šis sprendimas
nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|
2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|
1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|
1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =
F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB
Netamprus siūlas F F1 F2 A B
rarr
v
Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|
1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į
siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai
Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki
taško B tai jėga rarr
F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso
tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta
A|
A F B
laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas
cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis
Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis
xFtdxdm =2
2
yFtdydm =2
2
zFtdzdm =2
2
Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos
Paprastai tai būna rarr
r ir rarr
v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa
Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr
= gmF taigi
rarrrarr
= gtdrd2
2
arba rarr
rarr
= gtdvd ir
rarrrarr
= vtdrd iš čia 0
rarrrarrrarr
+= vtgv 002
21 rarrrarrrarrrarr
++= rtvtgr
Tai bendras sprendinys o paimdami 0
rarr
v ir 0
rarr
r konkrečias vertes gausime atskirą
prendinį o 0
rarr
v ir 0
rarr
r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną
Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1
rarr
v ir 2
rarr
v iki
susidūrimo ir po jo rarr
v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr
=+ vmvmvm 2211
Sistemoje A| judančioje greičiu rarr
v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|
22
|
11
rarrrarrrarr
=+ vmvmvm
Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr
v ir v| tadararrrarrrarr
minus= vvv 1
|
1 rarrrarrrarr
minus= vvv 2
|
2 rarrrarrrarr
minus= vvv|
Tada gauname
)()()( 2211
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr
minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr
=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių
adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių
adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau
13 Trinties dėsniai
1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja
P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)
Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio
fn
ftr f
P
d K = -ftrarr
s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga
Kai greičiai mažirarrrarr
minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę
rarrrarr
minus=minus= vvkvvvkftr 2
22
Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt
Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)
ftr
f0
d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0
v
Rimties trintiesjėga
f k2v2
k1v Turbulentinis aptekėjimas
Laminarinis aptekėjimas
v
14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas
1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e
Ftdpd rarrrarr
= - geometrinė
visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0
)(0 ttFpp e minus=minus -
jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su
21 ++=rarrrarrrarr
vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti
)( 01)(
101 ttFpp e minus=minusrarrrarr
+
)( 12)(
212 ttFpp e minus=minusrarrrarr
-------------------------------
ne
nee
n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr
minus
rarrrarr)(
2)(
21)(
101121
sum=
rarrrarr
∆=minusn
ii
ei tFpp
1
)(0 kai sum intequiv∆
rarr∆ i
t
t
ei
ei
tdFtF
i 0
)(lim )()(
0ττ tai int=minus
rarrrarr t
t
e dFpp0
)()(0 ττ
Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės
Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas
1 T1
2 T2
P
15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė
Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos
judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių
taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr
Rišreiškiamas
mrmrmR 211 ++
=
rarrrarrrarr
kur 321 +++= mmmm
21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr
rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmvm rarr
= vmp )(eFtdvdm =
rarr
Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai
00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=
rarr
Materialių
taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje
Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys
1
12
12
mF
tdrd
rarrrarr
= 2
22
22
mF
tdrd
rarrrarr
= Be to iš
trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr
= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime
)11()(21
21
1
2
2122
2
mmF
mF
mFrr
tdd
+=minus=minus
rarrrarrrarrrarr
Ši
lygtis aprašo vieno materialaus taško
judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr
minus= rrryra radius vektorius
m1
m2
O
rarr
r
1rarr
r2
rarr
r
z
x
1rarr
r
2rarr
r
R
y
Pažymėjus
21
111mm
+=micro
arba 21
21
mmmm+
=micro tada 22
2
Ftdrd=
rarr
micro
Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr
F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį
)(e
Ftdvdm
rarrrarr
= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo
tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi
Lygties 2rMmGF = vektorinė forma
rarrrarr
rarr
minus=minus= rrMmG
rr
rMmGF 32 Įvedus micro
planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip
rarrbullbullbullbull
minus==+
equiv rrMmGFr
MmMmr 3micro
rarrrarr +minus=
bullbull
rrmMGr 3 Kadangi laikome kad
sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr
minus=bullbull
rwr 2
322 )2(
rmMG
Tw +
==π arba 3r
mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo
periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w
32
1
21 )2(
rMG
Tw ==
π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w
32
22
2)2(rMG
Tw ==
π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2
2
12
1
2 ==TT
ww Apsisukimo
periodas antru atveju 2 kartų mažesnis
Planeta m
Saulė
M
rarr
r
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
5 Lorenco transformacijos Postulatai Kai judėjimo greičiai dideli kaip matėme iš Fizo bandymo Galilėjaustransformacijos prieštarauja eksperimentui Reikia kitokių transformacijų kuriosderintųsi su šviesos greičio pastovumu Taigi Lorenco transformacijų postulatai 1) reliatyvumo principas 2) šviesos greičio pastovomas Koordinačių transformacijų tiesiškumas Judančių koordinačių sistemas visada galima orientuoti taip kad sutaptų sukoordinačių pradžia Kadangi greičių sudėčiai jau nebetinka klasikinė formulė tai galimatikėtis kad vienos sistemos laikas jau neišreiškiamas tik kitos sistemos laiku betpriklauso ir nuo koordinačių Tada
x| = Ф1(x y z t) y| = Ф2(x y z t) z| = Ф3(x y z t) t| = Ф4(x y z t)
Bendrą funkcijų Ф pavidalą lemia erdvės ir laiko savybės Nagrinėjantgeometrinius sąryšius vienoje atskaitos sistemoje laikome kad kiekvienas taškas niekuonesiskiria nuo bet kurio kito taško ir visi geometriniai sąryšiai tarp bet kurių geometriniųobjektų bus visiškai tokie pat kaip ir perkėlus koordinačių pradžią į bet kokį kitą taškąerdvės vienalytiškumas Geometriniai sąryšiai nekinta dėl koordinačių sistemos ašiųtransformacijos ndash izotropiškumas Erdvės vienalytiškumas ir izotropiškumas yrasvarbiausios savybės inercinėse atskaitos sistemose Svarbiausia laiko savybė ndashvienalytiškumas kiekviena fizikinė situacija vystosi ir kinta vienodai nepriklausomainuo to kokiu momentu ji susiklosčiusi Iš erdvės ir laiko vienalytiškumo išplaukia kadtransformacijos turi būti tiesinės Panagrinėjus nykstamai mažą pokytį d x| nejudančiojekoordinačių sistemoje jį atitiks nykstamai maži d x d y d z d t Tada
x| = xdxpartΦpart 1 + yd
ypartΦpart 1 + zd
zpartΦpart 1 + td
tpartΦpart 1
Kadangi erdvė ir laikas yra vienalyčiai tas ryšys turi būti vienodas visiems erdvėstaškams bet kuriems laiko momentams ty
xpartΦpart 1
ypartΦpart 1
zpartΦpart 1
tpartΦpart 1 = const
Ф1(x y z t) = A1x + A2y + A3z + A4 + A5
čia A1 A2 A3 A4 A5 ndash konstantos priklausančios nuo sistemos judėjimą kitos atžvilgiuapibūdinančių parametrų
y ir z transformacijos Jei koordinačių pradžios laiko momentu t = 0 sutampa tai x = y = z = x| = y| = z| == 0 ir laisvasis narys A5 = 0 Tada
y| = a1x + a2y + a3z + a4tz| = b1x + b2y + b3z + b4t
Kadangi x| ašis sutampa su x tai iš sąlygos y = 0 išplaukia y| = 0 iš ndash z = 0išplaukia z| = 0 Reiškia
0 = a1x + a1sdot0 + a3z + a4t0 = b1x + b2y + b3sdot0 + b4t
O šios lygtys bus patenkintos tik tada jeigu a1 = a3 = a4 = 0 ir b1 = b2 = b4 = 0Tada y| = ay z| = az a ndash rodo kiek kartų y| yra didesnė už y
y = a1 y| z =
a1 z|
1a ndash rodo kiek kartų pasirinkto mastelio ilgis nejudančioje sistemoje yra didesnisnegu judančioje Pagal realiatyvumo principą abi sistemos yra lygiavertės Taigi 1a =a ir a = +1 a = -1 neįmanoma nes sutarta kad sistemos nekeičia savo krypties (x y z irx| y| z| ašys sutampa Taigi y = y| ir z = z|
x ir t transformacija Kadangikintamieji y ir z transformuojami atskirai taix ir t transformacijos bus tiesinės jųfunkcijos Judančios koordinačių sistemospradžios taškas nejudančioje sistemojenusakomas koordinate x| = α(x ndash vt) čia ndash αproporcingumo koeficientas kurį reikiarasti Lygiai taip pat pereinant iš judančiossistemos į nejudančią x = α|(x|+ vt|) Tadaremiantis reliatyvumo principu α| = αSakykime judančioje koordinačių sistemojeyra ilgio l strypas gulintis išilgai x| ašies l= x|
2 ndash x|1 Nejudančios sistemos atžvilgiu
strypas juda greičiu v Tada
x|1 = α(x1 ndash vt0) x|
2 = α(x2 ndash vt0)x2 ndash x1 = (x|
2 ndash x|1)α =lα
Judančio strypo ilgis nejudančioje sistemoje Dabar tarkime kad tas pats strypasnejuda nejudančioje koordinačių sistemoje x2 ndash x1= l Tada x1 = α|(x|
1 + vt|0) ir x2 = α|(x|
2+ vt|
0) Ir judančio strypo ilgis judančioje sistemoje yra x|
2 ndash x|1 = (x2 ndash x1)α| Pagal
reliatyvumo principą lα = lα| ty α = α| Iš šviesos greičio pastovumo laiko momentu t= t| = 0 iš koordinačių pradžios (kurios sutampa) pasiunčiamas šviesos signalas Kadangišviesos greitis abiejose sistemose vienodas tai x| = ct| ir x = ct Tada jei α = α| tai iš
x| = α(x ndash vt) ir x = α|(x| + vt|) išplaukia kad
y y|
x x|
z z|
rarr
v
ct| = α(ct ndash vt) ir ct = α(ct| + vt|) dabar sudauginę abi išraiškas gausime2α = 22
2
vcc+
2α = )1(
122 cvminus
2α = 1 22 1 cvminus
Kadangi vt| = αx - x| =
αx - α(x ndash vt) = α v t + x(
α1 - α)
t| = αt + vx ( 2
1α
- 1) t| =
2
2
1
1
cv
minus
t + vx [( 1 - 2
2
cv ) -1] t| =
2
2
2
1cv
xcvt
minus
minus
Lorenco transformacijos
2
2
|
1cvvtxx
minus
minus= yy =| zz =|
2
2
2|
1
)(
cv
xcvttminus
minus=
Atvirkštinės transformacijos išreiškiamos (remiantis reliatyvumo principu) taippat tik pakeitus ženklą
2
2
||
1cvvtxx
minus
+= |yy = |zz =
2
2
2|
1
)(
cv
xcvttminus
+=
Galilėjaus transformacijos gaunamos kai vc ltlt 1
6 Lorenco transformacijų išvada vienalaikiškumo reliatyvumas
Du įvykiai skirtingose koordinačių sistemos taškuose x1 ir x2 vadinamivienalaikiais jeigu jie įvyksta tą patį laiko momentą pagal tos koordinačių sistemoslaikrodį Tegu įvykiai įvyko laiko momentu t0 nejudančioje koordinačių sistemojeJudančioje koordinačių sistemoje įvykiai įvyko taškuose x|
1 ir x|2 momentais t|1 ir t|2 Laiką
t|1 ir t|2 parodė judančios koordinačių sistemos laikrodžiai esantys jos taškuose x|1 ir x|
2tais momentais kai tuose taškuose įvyko nagrinėjamas įvykis Ryšys tarp judančios irnejudančios sistemos
2
201|
1
1cvvtxx
minus
minus=
2
202|
2
1cvvtxx
minus
minus=
2
2
120|1
1
)(
cv
xcvt
tminus
minus=
2
2
220|2
1
)(
cv
xcvt
tminus
minus=
Pažymėkime 2
2
1cv
minus = β
Matome kad įvykiai judančioje koordinačių sistemoje įvyko ne tuo pačiumomentu
)()()(212
12
022
0|1
|2
| xxcvxcvtxcvtttt minus=
+minusminus=minus=∆
ββ Vienalaikiškumo sąvoka neturi absoliučios prasmės nepriklausančios nuokoordinačių sistemos Teiginys įvyko vienu laikurdquo reikalauja nurodyti koordinačiųsistemą Vienalaikiškumo reliatyvumas ir priežastingumas Iš ∆t| formulės seka kad jeigux1 gt x2 tai koordinačių sistemoje judančioje x ašies teigiama kryptimi (v gt 0) turi būti t|2gt t|1 o koordinačių sistemoje judančioje į priešingą pusę (v lt 0) turi būti t|2 lt t|1 ty tiepatys įvykiai skirtingose koordinačių sistemose vyksta ne ta pačia tvarka Ar negali būtikad pasekmė bus ankstesnė už priežastį Kad priežastis ir pasekmė nepriklausytų nuo tokokioje koordinačių sistemoje nagrinėjamos būtina sąlyga jokie materialųs poveikiaikuriais realizuojamas fizinis ryšys tarp įvykių skirtinguose taškuose negali būtiperduodamas greičiu didesniu už šviesos greitį Pvz Nejudančioje koordinačių sistemoje įvykis įvyksta taške x1 laiko momentot1 ir yra priežastis sukėlusi įvykį taške x2 gt x1 laiko momentu t2 gt t1 Greitį kuriuoperduodama įtaka iš x1 į x2 pažymėkime vįt Pagal greičio apibrėžimą
1212 tt
vxx
įt
minus=minus
Judančioje koordinačių sistemoje tie įvykiai vyksta taškouse x|1 ir x|
2 laikomomentais t|1 ir t|2 Tada iš lygybės t| = t ndash (vc2)xβ gauname
(x2 ndashx1) = vįt(t2 ndash t1)
)1())((2
12122
12|1
|2 įtvc
vttxxcvtttt minusminus
=minusminusminus
=minusββ
Iš šios išraiškos jeigu )1( 2 įtvcv
minus lt 0 tai judančioje koordinačių sistemoje
pasekmė įvyks anksčiau už priežastį Bet tai neįmanoma Todėl visada įtvcv21minus gt 0 arba
įtakos perdavimo greitis bus vįt gt cvc Lorenco transformacijos turi prasmę tik tada kai
v le c
7 Lorenco transformacijų išvada intervalo invariantiškumas Judančio kūno ilgis
Intrevalo invariantiškumas Galilėjaus transformacijų invariantai yra kūno ilgis ir laiko tarpas tarp įvykiųtačiau jie nėra Lorenco transformacijų invariantai ty jie priklauso nuo koordinačiųsistemos Lorenco transformacijų invariantas yra erdvės laiko intervalas Tegu taške (x1 y1z1) laiko momentu t1 įvyko įvykis o taške (x2 y2 z2) ir laiko momentu t2 kitas įvykisIntervalu tarp tų įvykių vadinamas dydis ss2 = (x2 ndash x1)2 + (y2 ndash y1)2 + (z2 ndash z1)2 ndash c2(t2 ndash t1)2 Kuris yra vienodas visose koordinačių sistemose invariantas Tai įrodysime
β)( |
1|2
|1
|2
12ttvxxxx minus+minus
=minus
|1
|212 yyyy minus=minus
|1
|212 zzzz minus=minus
β))(( |
1|2
2|1
|2
12xxcvtttt minus+minus
=minus
Įrašius šias reikšmes į s išraišką gauname kad
minusminus+minus+minus=minusminusminus+minus+minus= 2|1
|2
2|1
|2
2|1
|2
212
2212
212
212
2 )()()()()()()( zzyyxxttczzyyxxs2|
1|2
2 )( ttc minusminus = 2|s
Jeigu x2 ndash x1 = ds tai
d s2 = d x2 + d y2 + d z2 ndash c2 d t2 yra invariantas
Erdviškieji ir laikiškieji intervalai Iš anksčiau jei atstumas tarp (x1 y1 z1) ir (x2 y2 z2) yra l o laiko tarpas tarp tųįvykių t tai s2 = l2 ndash c2t2 yra invariantas Sakykime tam tikroje koordinačių sistemojeįvykių negali sieti priežastinis ryšys Tada l gt ct ir s2 gt 0 (veikimo sklidimo atstumasmažesnis už atstumą tarp įvykių) Taigi erdviškasis intervalas yra s2 gt 0 Erdviškąjamintervalui galime parinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiai vyksta vienu metuskirtinguose erdvės taškuose (s2 = l2 gt 0 t = 0) ir nėra tokios koordinačių sistemoskurioje tie įvykiai vyktų tame pačiame taške nes tada l = 0 ty = s2 = -c2t2 lt 0 taiprieštarauja sąlygai s2 gt 0 Jeigu įvykius gali sieti priežastinis ryšys tai l lt ct ir s2 lt 0Tai laikiškasis intervalas galima pasirinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiaiįvyksta tame pačiame erdvės taške bet skirtingais laiko momentais (l =0 s2 = - c2t2 lt 0)ir nėra tokios koordinačių sistemos kurioje tie du įvykiai būtų vienalaikiai (t = 0 s2 = l2 gt0 kas prieštarauja s2 lt 0) Intervalo tarp įvykių laikiškumas arba erdviškumasnepriklauso nuo koordinačių sistemos ndash tai įvykių invariantiška savybė
Judančio kūno ilgis Judančio kūno ilgiu vadinamas atstumas tarp nejudančios koordinačių sistemostaškų su kuriais sutampa judančio strypo pradžia ir galas vienu laiko momentu pagalnejudančios koordinačių sistemos laikrodį Judančios koordinačių sistemos laikrodžiaiesantys strypo galuose rodys skirtingą laiką ir strypo galai bus fiksuojami skirtingu laiku- strypo ilgis nėra Lorenco transformacijų invariantas skirtingose sistemose skiriasiTegu judančioje koordinačių sistemoje nejudančio strypo ilgis l = x|
2 ndash x|1 ir nukreiptas
išilgai x ašies
β01|
1vtxx minus
= β
02|2
vtxx minus=
ββ
|12|
1|2
llxxlxx =rArrminus
==minus
2
2| 1
cvll minus=
Taigi judantis kūnas yra trumpesnis už nejudantį Ta prasme kad tam tikru laikomomentu pagal nejudančios sistemos laikrodį užfiksuojamos visų judančio kūnopaviršiaus taškų koordinatės Tai momentinė kopija kuri atrodytų suplota jeigu būtųregistruojama nejudanti Vizualiai viskas būtų kitaip nes 1) šviesos spinduliai iš įvairiųkūno taškų pasiekia stebėtoją per skirtingą laiką 2) pasireiškia šviesos aberacija todėlregimoji kryptis nesutampa su tikrąja taigi kūno forma matoma ne tokia kaip duodaLorenco transformacijos Sutrumpėjimo įvertinimas
Kadangi v ltlt c tai vc ltlt 1 ir išskleidus eilute )211( 2
2|
cvll minusasymp
Tada lcvl
cvllll 2
2
2
2|
21)
211( minus=minusminus=minus=∆ 2
2
21
cv
ll
minus=∆
kai v = 30 kms tai 810
2
1050109109
21 minussdotminus=
sdotsdot
minus=∆ ll ty jeigu raketa bus 100 m ilgio tai
sutrumpės 1 microm kas praktiškai nepastebima Žemė juda apie Saulę 30 kms greičiu irsusiploja judėjimo kryptimi tik 6 cm Jeigu vc = 087 tada kūno ilgis susiploja per pusęJeigu atstumas nejudančioje kooordinačių sistemoje tarp dviejų taškų yra l = x1 ndash x2 ir tietaškai pradėjo judėti teigiama x ašies kryptimi kiekvienu laiko momentu taškų greičiaiyra vienodi ndash vadinasi jie nueina vienodą kelią Tačiau stebėtojas judantis kartu su taistaškais minėtoje sistemoje matys kad atstumas tarp jų didėja ir pasiekus pastovų greitį vbus )(1 22 cvl minus ilgio Paaiškinti galima paprastai nejudančios sistemos atžvilgiu tietaškai judėjo sinchroniškai tačiau judančioje sistemoje ndash nesinchroniškai nessinchroniškumas yra reliatyvus ndash x2 pradėjo greitėti labiau negu x1 ir todėl nutolo Jeigux2 ir x1 sujungti nesvaria spyruokle tai ji bus ištempta ir bus atliktas darbas kurioenergija paimta iš variklių verčiančių judėti tuos taškus Jeigu taškai sujungti absoliučiaistandžiu strypu tai be galo mažai deformacijai sukelti reikės be galo didelės energijostaigi jo galai negali judėti tuo pačiu dėsniu Išvada nagrinėjant materialių kūnų judėjimąjų negalima laikyti absoliučiai kietais
8 Lorenco transformacijų išvada judančių laikrodžių laikas savasis laikas
Judančių laikrodžių eigos sparta Savasis laikas Iš Lorenco transformacijų ndash
β
|0
2|1
1)( xcvtt +
= β))(( |0
2|22 xcvtt += β)( |
1|212
| ttttt minus=minus=∆ β| tt ∆=∆
Laiko tarpas tarp įvykių išmatuotas judančiais laikrodžiais yra trumpesnis negumatuojant nejudančiais laikrodžiais judantis laikrodis eina lėčiau už nejudantį Tačiaujudančius laikrodžius galime laikyti nejudančiais Ar tai neprieštarauja reliatyvumoprincipui Ne nes vieno ir to paties judančio taško laikas lyginamas su įvairių nejudančiųtaškų laiku o norint pritaikyti reliatyvumo principą reikia įvairių judančios sistemostaškų laiką palyginti su to paties nejudančios koordinačių sistemos taško laiku Tegutaške x0 vienas po kito įvyko du įvykiai judančioje nebrūkšniuotoje koordinačiųsistemoje Laiko tarpas tarp jų ∆t = t2 ndash t1 Brūkšniuotoje koordinačių sistemoje kuri yranejudanti įvykiai įvyko skirtinguose taškuose laiko momentais t|
1 ir t|2
β0
21|
1)( xcvtt minus
= β
02
2|2
)( xcvtt minus=
βtttt ∆
=minus=∆ |1
|2
|
Tačiau dabar ∆t| yra laikas tarp įvykių nejudančioje koordinačių sistemoje ∆t ndashnejudančioje Prieštaravimo nėra
Laikas matuojamas su judančiu tašku susijusiu laikrodžiu vadinamas savuojulaiku Su judančiu tašku susijusio laikrodžio laiko skirtumas ndash d τ d t ndash laikodiferencialas inercinėje sistemoje kurioje nagrinėjamas taškas juda greičiu v
)(1 22 cvdtd minus=τ
222222 tdczdydxdsd minus++= 2
222rarr
=++ rdzdydxd ))(1(2
222rarr
minusminus= rdtdcsd
)11()1( 2
2
2222
tdrd
ctdcsd
rarr
minusminus= 2
2
2rarr
rarr
= vtdrd )(1 22 cvtdicsd minus= )(1 22 cvtdd minus=τ
icsdd =τ čia d s ndash invariantas c ndash pastovus d τ ndash invariantas Savasis laikas yraLorenco transformacijų invariantas nes savasis laikas matuojamas laikrodžiu kurissusietas su pačiu judančiu tašku todėl nesvarbu kokioje koordinačių sistemojeatskaitomi jo parodymai Eksperimentai patvirtinantys laiko reliatyvumą Matuojant +micro mezono nueitą kelią nuo jo atsiradimo iki išnykimo ir nustatyti jo greitįKuo +micro mezono judėjimo greitis didesnis tuo gyvavimo trukmė turi būti ilgesnė nes
βττ micromicro )0(= )0(microτ - savoji gyvavimo trukmė Jeigu laikas nelėtėja tai kelio ilgio
priklausomybė nuo greičio - vl )0(microτ= - tiesinė v funkcija Jeigu lėtėja -
)(1 22)0( cvvl minus= microτ - netiesinė v funkcija Išmatavus l = f(v) buvo gauta kad ji atitinka
reliatyvistinę formulę Dar akivaizdesnis bandymas buvo atliktas 1972 m Su trimatominiais laikrodžiais
Du atominiai laikrodžiai buvo įmontuoti įreaktyvinius lėktuvus o vienas buvosumontuotas aerouoste Visi trys laikrodžiaibuvo sinchronizuoti Po to abu lėktuvai pakilo įorą
Vienas skrenda prieš Žemės sukimąsi o kitaspagal trečias lieka vietoje Gryžus palyginamilaikrodžių parodymai Visi laikrodžiainagrinėjami Žemės centro atžvilgiu nes tokiasistema yra inercinė Kadangi v gt u| tai abuskrendantys laikrodžiai juda iš rytų į vakarusNejudančio Žemės paviršiuje laikrodžio savasislaikas 0τ judančio į vakarus savasis laikas +τ į rytus - minusτ
)(1 220 cvtdd minus=τ 2
2| )(1cuvtdd minus
minus=+τ 2
2| )(1c
uvtdd +minus=minusτ
0τd ir +τd - skuba o 0τd ir minusτd - vėluoja Tačiau traukos laukai taip pat lėtinalaikrodžių eigą taigi laikrodis kuris liko Žemės paviršiuje eis lėčiau negu laikrodžiaikurie yra lėktuvuose nes pastarieji yra silpnesniame traukos lauke Skridęs į vakarusskubėjo 275 ns o į rytus vėlavo 40 ns Sutapo teoriškai Su pagreičiais judančių laikrodžių eiga Formulė βτ sdot= dtd išvesta tolyginiam judėjimui o specialioji reliatyvumo teorijaneaprašo netolygaus judėjimo Bandymais buvo parodyta kad ši formulė galioja irjudėjimui su pagreičiu (bent jau sukimuisi apskritimu) nes buvo tiriamas elektringųdalelių judėjimas magnetiniame lauke veikiant Lorenco jėgai
vndash u|-
v + u|
rarr
v
9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados
Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|
= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai
1) judančioje |
||
tdxdux = |
||
tdyduy = |
||
tdzduz =
2) nejudančioje tdxdux =
tdyduy =
tdzduz =
Tada
β
|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =
ββ
)1( 2||
||
cvutd
tdvxdddxdu
x
x
+
+==
ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+
=+
= )1( 2
||
|
cvutd
ydtdydu
x
y
+
sdot==
β
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+=
|2
|2
2
1
1
x
y
y
ucv
ucv
u+
minus=
|2
|2
2
1
1
x
z
z
ucv
ucv
u+
minus=
Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|
y = u|z = 0 o u|
x = c tada
c
ccvvcux =
+
+=
21
Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|
x = 0 u|y = c u|
z = 0 Nejudančioje
koordinačių sistemoje ndash ux = v 2
2
1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių
sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi
2
2
1
1
cvc
vuutg
y
x
minus
===β Ši
formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu
Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje
ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+= kai aplinka juda plusmn v tai
)1()()(1
)(
2cnvv
nc
cncvvnvux msdotplusmn=
plusmn
plusmn= nes
cv ltlt 1
cnv
cnvcv
ncux
2
2 minusplusmnasymp m 02
asympcnv
vnn
cux sdotminusasymp )11( 2m
Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio
transformacija Pagreitis a|x a|
y a|z kur |
||
tduda x
x = u|x = u|
y = u|z = 0 tada
nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje
koordinačių sistemoje td
uda xx =
)1
()(2
||
cvu
vuux
xx
+
+=
|22|
22
2
2
2
|
2
|
22
|
|
22|
|2|
2
|
|
))(1()(1)1(
)1())(1())((
1x
x
xx
x
x
x
xx
x
xx ud
cvucv
cv
cvu
cvu
cvuud
cvuudcvvu
cvuudud
+minus
=minusminus++
=++
minus+
=
|232
2
|
22|22
)1()(1)(1(
xxx
x acv
tdcvudcv
tduda minus=
minussdotminus==
10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos
Masė
Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų
Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1
(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose
Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos
sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1
rarr
v ir 2
rarr
v
o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1
rarr
∆ v ir 2
rarr
∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211
rarrrarr
∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens
Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm
tvm
∆∆
minus=∆∆
rarrrarr
22
11 ir kai ∆t rarr 0 tai
2211
rarrrarr
minus= amam
3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1
|
11
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv ir 1
|
22
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|
1 ir v|2 po susidūrimo Tada
)()( 2
|
221
|
11
rarrrarrrarrrarr
minusminus=minus vvmvvm ir |
21
|
112211
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm
Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams
21
rarrrarrrarr
+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr
= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara
11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis
Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis
F tdpdFrarr
rarr
= Dydis F yra koordinčių rarr
r ir greičio rarr
v funkcija )(rarrrarrrarr
vrF Taigi tdpdrarr
apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr
F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai
II Niutono dėsnis tdpdFrarr
rarr
= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu
atveju kai )(tmm ne tai rarr
rarr
= Ftdvdm
rarrrarr
= Ftdrdm 2
2
Taigi pagrindinis klasikinės
mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr
vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį
x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi
TtAx π2cos=
Tt
TAx ππ 2sin2
minus=bull
TtA
Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull
mxT
x sdotminus=bullbull
|)2( 2π
xmT
xm 2)2( πminus=
bullbull
kmT
=2)2( π
k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis
Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui
bullbullbull
minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra
)(rarrrarrrarr
larr rarr
rarr
vrFv RASTIti
RASTIi
m
A
x
a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai
0=
rarr
tdpd taigi constp =
rarr
ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir
greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma
Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1
rarr
F ir 2
rarr
F ir klausiama kokia viena jėgararr
F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga
Jeigu turėsime n jėgų iFrarr
kurios veikia materialų
tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr
F - sakoma kad
tai bus geometrinė iFrarr
jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu
kiekviena jėga iFrarr
suteikia materialiam taškui
pagreitį iararr
tai atstojamasis judėjimas
bus randamas visų iararr
vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr
= amF irgi bus
nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr
= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti
F F1 F
12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka
Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis
1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr
21 iš
2121 0rarrrarr
bullrarr
bullrarr
minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis
Tegu ikFrarr
- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr
- priešingai Tada iš
III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr
minus= 0=+rarrrarr
iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -
ikFrarr
Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru
atveju vidinių jėgų suma 0)()(
3
)(
2
)(
1 =++++rarrrarrrarrrarr i
n
iii
FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1
iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti
)(
1
)(
11
ei
FFtdpd rarrrarrrarr
+=
+)(
2
)(
22
ei
FFtd
pd rarrrarrrarr
+=
)()()()()(
3
)(
2
)(
1
)()(
2
)(
121
i
n
eeei
n
ii
n FFFFFFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
++++++++=+++
Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai
)()(
2
)(
121 )(e
n
ee
n FFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarr
+++=+++ ir )(e
Fptd
d rarrrarr
=
kur rarr
p - visos sistemos impulsas o )(e
Frarr
- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių
sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(
=rarr e
F tada
0=
rarr
tdpd ir
rarr
p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą
geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(
nerarr e
F tačiau
0)(
=rarr e
xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso
projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne
poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn
iF 0 tada tas pats
galioja ir impulsui rarr
p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)
Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš
III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm
Fa+
= o Fmm
mFFBA
B
+== 21 Šis sprendimas
nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|
2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|
1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|
1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =
F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB
Netamprus siūlas F F1 F2 A B
rarr
v
Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|
1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į
siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai
Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki
taško B tai jėga rarr
F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso
tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta
A|
A F B
laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas
cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis
Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis
xFtdxdm =2
2
yFtdydm =2
2
zFtdzdm =2
2
Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos
Paprastai tai būna rarr
r ir rarr
v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa
Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr
= gmF taigi
rarrrarr
= gtdrd2
2
arba rarr
rarr
= gtdvd ir
rarrrarr
= vtdrd iš čia 0
rarrrarrrarr
+= vtgv 002
21 rarrrarrrarrrarr
++= rtvtgr
Tai bendras sprendinys o paimdami 0
rarr
v ir 0
rarr
r konkrečias vertes gausime atskirą
prendinį o 0
rarr
v ir 0
rarr
r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną
Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1
rarr
v ir 2
rarr
v iki
susidūrimo ir po jo rarr
v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr
=+ vmvmvm 2211
Sistemoje A| judančioje greičiu rarr
v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|
22
|
11
rarrrarrrarr
=+ vmvmvm
Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr
v ir v| tadararrrarrrarr
minus= vvv 1
|
1 rarrrarrrarr
minus= vvv 2
|
2 rarrrarrrarr
minus= vvv|
Tada gauname
)()()( 2211
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr
minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr
=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių
adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių
adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau
13 Trinties dėsniai
1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja
P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)
Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio
fn
ftr f
P
d K = -ftrarr
s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga
Kai greičiai mažirarrrarr
minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę
rarrrarr
minus=minus= vvkvvvkftr 2
22
Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt
Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)
ftr
f0
d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0
v
Rimties trintiesjėga
f k2v2
k1v Turbulentinis aptekėjimas
Laminarinis aptekėjimas
v
14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas
1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e
Ftdpd rarrrarr
= - geometrinė
visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0
)(0 ttFpp e minus=minus -
jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su
21 ++=rarrrarrrarr
vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti
)( 01)(
101 ttFpp e minus=minusrarrrarr
+
)( 12)(
212 ttFpp e minus=minusrarrrarr
-------------------------------
ne
nee
n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr
minus
rarrrarr)(
2)(
21)(
101121
sum=
rarrrarr
∆=minusn
ii
ei tFpp
1
)(0 kai sum intequiv∆
rarr∆ i
t
t
ei
ei
tdFtF
i 0
)(lim )()(
0ττ tai int=minus
rarrrarr t
t
e dFpp0
)()(0 ττ
Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės
Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas
1 T1
2 T2
P
15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė
Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos
judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių
taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr
Rišreiškiamas
mrmrmR 211 ++
=
rarrrarrrarr
kur 321 +++= mmmm
21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr
rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmvm rarr
= vmp )(eFtdvdm =
rarr
Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai
00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=
rarr
Materialių
taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje
Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys
1
12
12
mF
tdrd
rarrrarr
= 2
22
22
mF
tdrd
rarrrarr
= Be to iš
trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr
= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime
)11()(21
21
1
2
2122
2
mmF
mF
mFrr
tdd
+=minus=minus
rarrrarrrarrrarr
Ši
lygtis aprašo vieno materialaus taško
judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr
minus= rrryra radius vektorius
m1
m2
O
rarr
r
1rarr
r2
rarr
r
z
x
1rarr
r
2rarr
r
R
y
Pažymėjus
21
111mm
+=micro
arba 21
21
mmmm+
=micro tada 22
2
Ftdrd=
rarr
micro
Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr
F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį
)(e
Ftdvdm
rarrrarr
= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo
tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi
Lygties 2rMmGF = vektorinė forma
rarrrarr
rarr
minus=minus= rrMmG
rr
rMmGF 32 Įvedus micro
planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip
rarrbullbullbullbull
minus==+
equiv rrMmGFr
MmMmr 3micro
rarrrarr +minus=
bullbull
rrmMGr 3 Kadangi laikome kad
sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr
minus=bullbull
rwr 2
322 )2(
rmMG
Tw +
==π arba 3r
mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo
periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w
32
1
21 )2(
rMG
Tw ==
π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w
32
22
2)2(rMG
Tw ==
π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2
2
12
1
2 ==TT
ww Apsisukimo
periodas antru atveju 2 kartų mažesnis
Planeta m
Saulė
M
rarr
r
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
y| = a1x + a2y + a3z + a4tz| = b1x + b2y + b3z + b4t
Kadangi x| ašis sutampa su x tai iš sąlygos y = 0 išplaukia y| = 0 iš ndash z = 0išplaukia z| = 0 Reiškia
0 = a1x + a1sdot0 + a3z + a4t0 = b1x + b2y + b3sdot0 + b4t
O šios lygtys bus patenkintos tik tada jeigu a1 = a3 = a4 = 0 ir b1 = b2 = b4 = 0Tada y| = ay z| = az a ndash rodo kiek kartų y| yra didesnė už y
y = a1 y| z =
a1 z|
1a ndash rodo kiek kartų pasirinkto mastelio ilgis nejudančioje sistemoje yra didesnisnegu judančioje Pagal realiatyvumo principą abi sistemos yra lygiavertės Taigi 1a =a ir a = +1 a = -1 neįmanoma nes sutarta kad sistemos nekeičia savo krypties (x y z irx| y| z| ašys sutampa Taigi y = y| ir z = z|
x ir t transformacija Kadangikintamieji y ir z transformuojami atskirai taix ir t transformacijos bus tiesinės jųfunkcijos Judančios koordinačių sistemospradžios taškas nejudančioje sistemojenusakomas koordinate x| = α(x ndash vt) čia ndash αproporcingumo koeficientas kurį reikiarasti Lygiai taip pat pereinant iš judančiossistemos į nejudančią x = α|(x|+ vt|) Tadaremiantis reliatyvumo principu α| = αSakykime judančioje koordinačių sistemojeyra ilgio l strypas gulintis išilgai x| ašies l= x|
2 ndash x|1 Nejudančios sistemos atžvilgiu
strypas juda greičiu v Tada
x|1 = α(x1 ndash vt0) x|
2 = α(x2 ndash vt0)x2 ndash x1 = (x|
2 ndash x|1)α =lα
Judančio strypo ilgis nejudančioje sistemoje Dabar tarkime kad tas pats strypasnejuda nejudančioje koordinačių sistemoje x2 ndash x1= l Tada x1 = α|(x|
1 + vt|0) ir x2 = α|(x|
2+ vt|
0) Ir judančio strypo ilgis judančioje sistemoje yra x|
2 ndash x|1 = (x2 ndash x1)α| Pagal
reliatyvumo principą lα = lα| ty α = α| Iš šviesos greičio pastovumo laiko momentu t= t| = 0 iš koordinačių pradžios (kurios sutampa) pasiunčiamas šviesos signalas Kadangišviesos greitis abiejose sistemose vienodas tai x| = ct| ir x = ct Tada jei α = α| tai iš
x| = α(x ndash vt) ir x = α|(x| + vt|) išplaukia kad
y y|
x x|
z z|
rarr
v
ct| = α(ct ndash vt) ir ct = α(ct| + vt|) dabar sudauginę abi išraiškas gausime2α = 22
2
vcc+
2α = )1(
122 cvminus
2α = 1 22 1 cvminus
Kadangi vt| = αx - x| =
αx - α(x ndash vt) = α v t + x(
α1 - α)
t| = αt + vx ( 2
1α
- 1) t| =
2
2
1
1
cv
minus
t + vx [( 1 - 2
2
cv ) -1] t| =
2
2
2
1cv
xcvt
minus
minus
Lorenco transformacijos
2
2
|
1cvvtxx
minus
minus= yy =| zz =|
2
2
2|
1
)(
cv
xcvttminus
minus=
Atvirkštinės transformacijos išreiškiamos (remiantis reliatyvumo principu) taippat tik pakeitus ženklą
2
2
||
1cvvtxx
minus
+= |yy = |zz =
2
2
2|
1
)(
cv
xcvttminus
+=
Galilėjaus transformacijos gaunamos kai vc ltlt 1
6 Lorenco transformacijų išvada vienalaikiškumo reliatyvumas
Du įvykiai skirtingose koordinačių sistemos taškuose x1 ir x2 vadinamivienalaikiais jeigu jie įvyksta tą patį laiko momentą pagal tos koordinačių sistemoslaikrodį Tegu įvykiai įvyko laiko momentu t0 nejudančioje koordinačių sistemojeJudančioje koordinačių sistemoje įvykiai įvyko taškuose x|
1 ir x|2 momentais t|1 ir t|2 Laiką
t|1 ir t|2 parodė judančios koordinačių sistemos laikrodžiai esantys jos taškuose x|1 ir x|
2tais momentais kai tuose taškuose įvyko nagrinėjamas įvykis Ryšys tarp judančios irnejudančios sistemos
2
201|
1
1cvvtxx
minus
minus=
2
202|
2
1cvvtxx
minus
minus=
2
2
120|1
1
)(
cv
xcvt
tminus
minus=
2
2
220|2
1
)(
cv
xcvt
tminus
minus=
Pažymėkime 2
2
1cv
minus = β
Matome kad įvykiai judančioje koordinačių sistemoje įvyko ne tuo pačiumomentu
)()()(212
12
022
0|1
|2
| xxcvxcvtxcvtttt minus=
+minusminus=minus=∆
ββ Vienalaikiškumo sąvoka neturi absoliučios prasmės nepriklausančios nuokoordinačių sistemos Teiginys įvyko vienu laikurdquo reikalauja nurodyti koordinačiųsistemą Vienalaikiškumo reliatyvumas ir priežastingumas Iš ∆t| formulės seka kad jeigux1 gt x2 tai koordinačių sistemoje judančioje x ašies teigiama kryptimi (v gt 0) turi būti t|2gt t|1 o koordinačių sistemoje judančioje į priešingą pusę (v lt 0) turi būti t|2 lt t|1 ty tiepatys įvykiai skirtingose koordinačių sistemose vyksta ne ta pačia tvarka Ar negali būtikad pasekmė bus ankstesnė už priežastį Kad priežastis ir pasekmė nepriklausytų nuo tokokioje koordinačių sistemoje nagrinėjamos būtina sąlyga jokie materialųs poveikiaikuriais realizuojamas fizinis ryšys tarp įvykių skirtinguose taškuose negali būtiperduodamas greičiu didesniu už šviesos greitį Pvz Nejudančioje koordinačių sistemoje įvykis įvyksta taške x1 laiko momentot1 ir yra priežastis sukėlusi įvykį taške x2 gt x1 laiko momentu t2 gt t1 Greitį kuriuoperduodama įtaka iš x1 į x2 pažymėkime vįt Pagal greičio apibrėžimą
1212 tt
vxx
įt
minus=minus
Judančioje koordinačių sistemoje tie įvykiai vyksta taškouse x|1 ir x|
2 laikomomentais t|1 ir t|2 Tada iš lygybės t| = t ndash (vc2)xβ gauname
(x2 ndashx1) = vįt(t2 ndash t1)
)1())((2
12122
12|1
|2 įtvc
vttxxcvtttt minusminus
=minusminusminus
=minusββ
Iš šios išraiškos jeigu )1( 2 įtvcv
minus lt 0 tai judančioje koordinačių sistemoje
pasekmė įvyks anksčiau už priežastį Bet tai neįmanoma Todėl visada įtvcv21minus gt 0 arba
įtakos perdavimo greitis bus vįt gt cvc Lorenco transformacijos turi prasmę tik tada kai
v le c
7 Lorenco transformacijų išvada intervalo invariantiškumas Judančio kūno ilgis
Intrevalo invariantiškumas Galilėjaus transformacijų invariantai yra kūno ilgis ir laiko tarpas tarp įvykiųtačiau jie nėra Lorenco transformacijų invariantai ty jie priklauso nuo koordinačiųsistemos Lorenco transformacijų invariantas yra erdvės laiko intervalas Tegu taške (x1 y1z1) laiko momentu t1 įvyko įvykis o taške (x2 y2 z2) ir laiko momentu t2 kitas įvykisIntervalu tarp tų įvykių vadinamas dydis ss2 = (x2 ndash x1)2 + (y2 ndash y1)2 + (z2 ndash z1)2 ndash c2(t2 ndash t1)2 Kuris yra vienodas visose koordinačių sistemose invariantas Tai įrodysime
β)( |
1|2
|1
|2
12ttvxxxx minus+minus
=minus
|1
|212 yyyy minus=minus
|1
|212 zzzz minus=minus
β))(( |
1|2
2|1
|2
12xxcvtttt minus+minus
=minus
Įrašius šias reikšmes į s išraišką gauname kad
minusminus+minus+minus=minusminusminus+minus+minus= 2|1
|2
2|1
|2
2|1
|2
212
2212
212
212
2 )()()()()()()( zzyyxxttczzyyxxs2|
1|2
2 )( ttc minusminus = 2|s
Jeigu x2 ndash x1 = ds tai
d s2 = d x2 + d y2 + d z2 ndash c2 d t2 yra invariantas
Erdviškieji ir laikiškieji intervalai Iš anksčiau jei atstumas tarp (x1 y1 z1) ir (x2 y2 z2) yra l o laiko tarpas tarp tųįvykių t tai s2 = l2 ndash c2t2 yra invariantas Sakykime tam tikroje koordinačių sistemojeįvykių negali sieti priežastinis ryšys Tada l gt ct ir s2 gt 0 (veikimo sklidimo atstumasmažesnis už atstumą tarp įvykių) Taigi erdviškasis intervalas yra s2 gt 0 Erdviškąjamintervalui galime parinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiai vyksta vienu metuskirtinguose erdvės taškuose (s2 = l2 gt 0 t = 0) ir nėra tokios koordinačių sistemoskurioje tie įvykiai vyktų tame pačiame taške nes tada l = 0 ty = s2 = -c2t2 lt 0 taiprieštarauja sąlygai s2 gt 0 Jeigu įvykius gali sieti priežastinis ryšys tai l lt ct ir s2 lt 0Tai laikiškasis intervalas galima pasirinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiaiįvyksta tame pačiame erdvės taške bet skirtingais laiko momentais (l =0 s2 = - c2t2 lt 0)ir nėra tokios koordinačių sistemos kurioje tie du įvykiai būtų vienalaikiai (t = 0 s2 = l2 gt0 kas prieštarauja s2 lt 0) Intervalo tarp įvykių laikiškumas arba erdviškumasnepriklauso nuo koordinačių sistemos ndash tai įvykių invariantiška savybė
Judančio kūno ilgis Judančio kūno ilgiu vadinamas atstumas tarp nejudančios koordinačių sistemostaškų su kuriais sutampa judančio strypo pradžia ir galas vienu laiko momentu pagalnejudančios koordinačių sistemos laikrodį Judančios koordinačių sistemos laikrodžiaiesantys strypo galuose rodys skirtingą laiką ir strypo galai bus fiksuojami skirtingu laiku- strypo ilgis nėra Lorenco transformacijų invariantas skirtingose sistemose skiriasiTegu judančioje koordinačių sistemoje nejudančio strypo ilgis l = x|
2 ndash x|1 ir nukreiptas
išilgai x ašies
β01|
1vtxx minus
= β
02|2
vtxx minus=
ββ
|12|
1|2
llxxlxx =rArrminus
==minus
2
2| 1
cvll minus=
Taigi judantis kūnas yra trumpesnis už nejudantį Ta prasme kad tam tikru laikomomentu pagal nejudančios sistemos laikrodį užfiksuojamos visų judančio kūnopaviršiaus taškų koordinatės Tai momentinė kopija kuri atrodytų suplota jeigu būtųregistruojama nejudanti Vizualiai viskas būtų kitaip nes 1) šviesos spinduliai iš įvairiųkūno taškų pasiekia stebėtoją per skirtingą laiką 2) pasireiškia šviesos aberacija todėlregimoji kryptis nesutampa su tikrąja taigi kūno forma matoma ne tokia kaip duodaLorenco transformacijos Sutrumpėjimo įvertinimas
Kadangi v ltlt c tai vc ltlt 1 ir išskleidus eilute )211( 2
2|
cvll minusasymp
Tada lcvl
cvllll 2
2
2
2|
21)
211( minus=minusminus=minus=∆ 2
2
21
cv
ll
minus=∆
kai v = 30 kms tai 810
2
1050109109
21 minussdotminus=
sdotsdot
minus=∆ ll ty jeigu raketa bus 100 m ilgio tai
sutrumpės 1 microm kas praktiškai nepastebima Žemė juda apie Saulę 30 kms greičiu irsusiploja judėjimo kryptimi tik 6 cm Jeigu vc = 087 tada kūno ilgis susiploja per pusęJeigu atstumas nejudančioje kooordinačių sistemoje tarp dviejų taškų yra l = x1 ndash x2 ir tietaškai pradėjo judėti teigiama x ašies kryptimi kiekvienu laiko momentu taškų greičiaiyra vienodi ndash vadinasi jie nueina vienodą kelią Tačiau stebėtojas judantis kartu su taistaškais minėtoje sistemoje matys kad atstumas tarp jų didėja ir pasiekus pastovų greitį vbus )(1 22 cvl minus ilgio Paaiškinti galima paprastai nejudančios sistemos atžvilgiu tietaškai judėjo sinchroniškai tačiau judančioje sistemoje ndash nesinchroniškai nessinchroniškumas yra reliatyvus ndash x2 pradėjo greitėti labiau negu x1 ir todėl nutolo Jeigux2 ir x1 sujungti nesvaria spyruokle tai ji bus ištempta ir bus atliktas darbas kurioenergija paimta iš variklių verčiančių judėti tuos taškus Jeigu taškai sujungti absoliučiaistandžiu strypu tai be galo mažai deformacijai sukelti reikės be galo didelės energijostaigi jo galai negali judėti tuo pačiu dėsniu Išvada nagrinėjant materialių kūnų judėjimąjų negalima laikyti absoliučiai kietais
8 Lorenco transformacijų išvada judančių laikrodžių laikas savasis laikas
Judančių laikrodžių eigos sparta Savasis laikas Iš Lorenco transformacijų ndash
β
|0
2|1
1)( xcvtt +
= β))(( |0
2|22 xcvtt += β)( |
1|212
| ttttt minus=minus=∆ β| tt ∆=∆
Laiko tarpas tarp įvykių išmatuotas judančiais laikrodžiais yra trumpesnis negumatuojant nejudančiais laikrodžiais judantis laikrodis eina lėčiau už nejudantį Tačiaujudančius laikrodžius galime laikyti nejudančiais Ar tai neprieštarauja reliatyvumoprincipui Ne nes vieno ir to paties judančio taško laikas lyginamas su įvairių nejudančiųtaškų laiku o norint pritaikyti reliatyvumo principą reikia įvairių judančios sistemostaškų laiką palyginti su to paties nejudančios koordinačių sistemos taško laiku Tegutaške x0 vienas po kito įvyko du įvykiai judančioje nebrūkšniuotoje koordinačiųsistemoje Laiko tarpas tarp jų ∆t = t2 ndash t1 Brūkšniuotoje koordinačių sistemoje kuri yranejudanti įvykiai įvyko skirtinguose taškuose laiko momentais t|
1 ir t|2
β0
21|
1)( xcvtt minus
= β
02
2|2
)( xcvtt minus=
βtttt ∆
=minus=∆ |1
|2
|
Tačiau dabar ∆t| yra laikas tarp įvykių nejudančioje koordinačių sistemoje ∆t ndashnejudančioje Prieštaravimo nėra
Laikas matuojamas su judančiu tašku susijusiu laikrodžiu vadinamas savuojulaiku Su judančiu tašku susijusio laikrodžio laiko skirtumas ndash d τ d t ndash laikodiferencialas inercinėje sistemoje kurioje nagrinėjamas taškas juda greičiu v
)(1 22 cvdtd minus=τ
222222 tdczdydxdsd minus++= 2
222rarr
=++ rdzdydxd ))(1(2
222rarr
minusminus= rdtdcsd
)11()1( 2
2
2222
tdrd
ctdcsd
rarr
minusminus= 2
2
2rarr
rarr
= vtdrd )(1 22 cvtdicsd minus= )(1 22 cvtdd minus=τ
icsdd =τ čia d s ndash invariantas c ndash pastovus d τ ndash invariantas Savasis laikas yraLorenco transformacijų invariantas nes savasis laikas matuojamas laikrodžiu kurissusietas su pačiu judančiu tašku todėl nesvarbu kokioje koordinačių sistemojeatskaitomi jo parodymai Eksperimentai patvirtinantys laiko reliatyvumą Matuojant +micro mezono nueitą kelią nuo jo atsiradimo iki išnykimo ir nustatyti jo greitįKuo +micro mezono judėjimo greitis didesnis tuo gyvavimo trukmė turi būti ilgesnė nes
βττ micromicro )0(= )0(microτ - savoji gyvavimo trukmė Jeigu laikas nelėtėja tai kelio ilgio
priklausomybė nuo greičio - vl )0(microτ= - tiesinė v funkcija Jeigu lėtėja -
)(1 22)0( cvvl minus= microτ - netiesinė v funkcija Išmatavus l = f(v) buvo gauta kad ji atitinka
reliatyvistinę formulę Dar akivaizdesnis bandymas buvo atliktas 1972 m Su trimatominiais laikrodžiais
Du atominiai laikrodžiai buvo įmontuoti įreaktyvinius lėktuvus o vienas buvosumontuotas aerouoste Visi trys laikrodžiaibuvo sinchronizuoti Po to abu lėktuvai pakilo įorą
Vienas skrenda prieš Žemės sukimąsi o kitaspagal trečias lieka vietoje Gryžus palyginamilaikrodžių parodymai Visi laikrodžiainagrinėjami Žemės centro atžvilgiu nes tokiasistema yra inercinė Kadangi v gt u| tai abuskrendantys laikrodžiai juda iš rytų į vakarusNejudančio Žemės paviršiuje laikrodžio savasislaikas 0τ judančio į vakarus savasis laikas +τ į rytus - minusτ
)(1 220 cvtdd minus=τ 2
2| )(1cuvtdd minus
minus=+τ 2
2| )(1c
uvtdd +minus=minusτ
0τd ir +τd - skuba o 0τd ir minusτd - vėluoja Tačiau traukos laukai taip pat lėtinalaikrodžių eigą taigi laikrodis kuris liko Žemės paviršiuje eis lėčiau negu laikrodžiaikurie yra lėktuvuose nes pastarieji yra silpnesniame traukos lauke Skridęs į vakarusskubėjo 275 ns o į rytus vėlavo 40 ns Sutapo teoriškai Su pagreičiais judančių laikrodžių eiga Formulė βτ sdot= dtd išvesta tolyginiam judėjimui o specialioji reliatyvumo teorijaneaprašo netolygaus judėjimo Bandymais buvo parodyta kad ši formulė galioja irjudėjimui su pagreičiu (bent jau sukimuisi apskritimu) nes buvo tiriamas elektringųdalelių judėjimas magnetiniame lauke veikiant Lorenco jėgai
vndash u|-
v + u|
rarr
v
9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados
Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|
= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai
1) judančioje |
||
tdxdux = |
||
tdyduy = |
||
tdzduz =
2) nejudančioje tdxdux =
tdyduy =
tdzduz =
Tada
β
|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =
ββ
)1( 2||
||
cvutd
tdvxdddxdu
x
x
+
+==
ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+
=+
= )1( 2
||
|
cvutd
ydtdydu
x
y
+
sdot==
β
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+=
|2
|2
2
1
1
x
y
y
ucv
ucv
u+
minus=
|2
|2
2
1
1
x
z
z
ucv
ucv
u+
minus=
Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|
y = u|z = 0 o u|
x = c tada
c
ccvvcux =
+
+=
21
Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|
x = 0 u|y = c u|
z = 0 Nejudančioje
koordinačių sistemoje ndash ux = v 2
2
1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių
sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi
2
2
1
1
cvc
vuutg
y
x
minus
===β Ši
formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu
Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje
ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+= kai aplinka juda plusmn v tai
)1()()(1
)(
2cnvv
nc
cncvvnvux msdotplusmn=
plusmn
plusmn= nes
cv ltlt 1
cnv
cnvcv
ncux
2
2 minusplusmnasymp m 02
asympcnv
vnn
cux sdotminusasymp )11( 2m
Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio
transformacija Pagreitis a|x a|
y a|z kur |
||
tduda x
x = u|x = u|
y = u|z = 0 tada
nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje
koordinačių sistemoje td
uda xx =
)1
()(2
||
cvu
vuux
xx
+
+=
|22|
22
2
2
2
|
2
|
22
|
|
22|
|2|
2
|
|
))(1()(1)1(
)1())(1())((
1x
x
xx
x
x
x
xx
x
xx ud
cvucv
cv
cvu
cvu
cvuud
cvuudcvvu
cvuudud
+minus
=minusminus++
=++
minus+
=
|232
2
|
22|22
)1()(1)(1(
xxx
x acv
tdcvudcv
tduda minus=
minussdotminus==
10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos
Masė
Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų
Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1
(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose
Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos
sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1
rarr
v ir 2
rarr
v
o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1
rarr
∆ v ir 2
rarr
∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211
rarrrarr
∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens
Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm
tvm
∆∆
minus=∆∆
rarrrarr
22
11 ir kai ∆t rarr 0 tai
2211
rarrrarr
minus= amam
3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1
|
11
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv ir 1
|
22
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|
1 ir v|2 po susidūrimo Tada
)()( 2
|
221
|
11
rarrrarrrarrrarr
minusminus=minus vvmvvm ir |
21
|
112211
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm
Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams
21
rarrrarrrarr
+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr
= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara
11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis
Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis
F tdpdFrarr
rarr
= Dydis F yra koordinčių rarr
r ir greičio rarr
v funkcija )(rarrrarrrarr
vrF Taigi tdpdrarr
apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr
F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai
II Niutono dėsnis tdpdFrarr
rarr
= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu
atveju kai )(tmm ne tai rarr
rarr
= Ftdvdm
rarrrarr
= Ftdrdm 2
2
Taigi pagrindinis klasikinės
mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr
vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį
x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi
TtAx π2cos=
Tt
TAx ππ 2sin2
minus=bull
TtA
Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull
mxT
x sdotminus=bullbull
|)2( 2π
xmT
xm 2)2( πminus=
bullbull
kmT
=2)2( π
k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis
Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui
bullbullbull
minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra
)(rarrrarrrarr
larr rarr
rarr
vrFv RASTIti
RASTIi
m
A
x
a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai
0=
rarr
tdpd taigi constp =
rarr
ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir
greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma
Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1
rarr
F ir 2
rarr
F ir klausiama kokia viena jėgararr
F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga
Jeigu turėsime n jėgų iFrarr
kurios veikia materialų
tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr
F - sakoma kad
tai bus geometrinė iFrarr
jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu
kiekviena jėga iFrarr
suteikia materialiam taškui
pagreitį iararr
tai atstojamasis judėjimas
bus randamas visų iararr
vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr
= amF irgi bus
nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr
= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti
F F1 F
12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka
Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis
1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr
21 iš
2121 0rarrrarr
bullrarr
bullrarr
minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis
Tegu ikFrarr
- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr
- priešingai Tada iš
III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr
minus= 0=+rarrrarr
iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -
ikFrarr
Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru
atveju vidinių jėgų suma 0)()(
3
)(
2
)(
1 =++++rarrrarrrarrrarr i
n
iii
FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1
iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti
)(
1
)(
11
ei
FFtdpd rarrrarrrarr
+=
+)(
2
)(
22
ei
FFtd
pd rarrrarrrarr
+=
)()()()()(
3
)(
2
)(
1
)()(
2
)(
121
i
n
eeei
n
ii
n FFFFFFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
++++++++=+++
Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai
)()(
2
)(
121 )(e
n
ee
n FFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarr
+++=+++ ir )(e
Fptd
d rarrrarr
=
kur rarr
p - visos sistemos impulsas o )(e
Frarr
- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių
sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(
=rarr e
F tada
0=
rarr
tdpd ir
rarr
p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą
geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(
nerarr e
F tačiau
0)(
=rarr e
xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso
projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne
poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn
iF 0 tada tas pats
galioja ir impulsui rarr
p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)
Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš
III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm
Fa+
= o Fmm
mFFBA
B
+== 21 Šis sprendimas
nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|
2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|
1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|
1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =
F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB
Netamprus siūlas F F1 F2 A B
rarr
v
Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|
1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į
siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai
Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki
taško B tai jėga rarr
F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso
tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta
A|
A F B
laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas
cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis
Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis
xFtdxdm =2
2
yFtdydm =2
2
zFtdzdm =2
2
Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos
Paprastai tai būna rarr
r ir rarr
v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa
Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr
= gmF taigi
rarrrarr
= gtdrd2
2
arba rarr
rarr
= gtdvd ir
rarrrarr
= vtdrd iš čia 0
rarrrarrrarr
+= vtgv 002
21 rarrrarrrarrrarr
++= rtvtgr
Tai bendras sprendinys o paimdami 0
rarr
v ir 0
rarr
r konkrečias vertes gausime atskirą
prendinį o 0
rarr
v ir 0
rarr
r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną
Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1
rarr
v ir 2
rarr
v iki
susidūrimo ir po jo rarr
v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr
=+ vmvmvm 2211
Sistemoje A| judančioje greičiu rarr
v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|
22
|
11
rarrrarrrarr
=+ vmvmvm
Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr
v ir v| tadararrrarrrarr
minus= vvv 1
|
1 rarrrarrrarr
minus= vvv 2
|
2 rarrrarrrarr
minus= vvv|
Tada gauname
)()()( 2211
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr
minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr
=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių
adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių
adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau
13 Trinties dėsniai
1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja
P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)
Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio
fn
ftr f
P
d K = -ftrarr
s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga
Kai greičiai mažirarrrarr
minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę
rarrrarr
minus=minus= vvkvvvkftr 2
22
Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt
Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)
ftr
f0
d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0
v
Rimties trintiesjėga
f k2v2
k1v Turbulentinis aptekėjimas
Laminarinis aptekėjimas
v
14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas
1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e
Ftdpd rarrrarr
= - geometrinė
visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0
)(0 ttFpp e minus=minus -
jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su
21 ++=rarrrarrrarr
vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti
)( 01)(
101 ttFpp e minus=minusrarrrarr
+
)( 12)(
212 ttFpp e minus=minusrarrrarr
-------------------------------
ne
nee
n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr
minus
rarrrarr)(
2)(
21)(
101121
sum=
rarrrarr
∆=minusn
ii
ei tFpp
1
)(0 kai sum intequiv∆
rarr∆ i
t
t
ei
ei
tdFtF
i 0
)(lim )()(
0ττ tai int=minus
rarrrarr t
t
e dFpp0
)()(0 ττ
Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės
Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas
1 T1
2 T2
P
15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė
Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos
judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių
taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr
Rišreiškiamas
mrmrmR 211 ++
=
rarrrarrrarr
kur 321 +++= mmmm
21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr
rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmvm rarr
= vmp )(eFtdvdm =
rarr
Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai
00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=
rarr
Materialių
taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje
Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys
1
12
12
mF
tdrd
rarrrarr
= 2
22
22
mF
tdrd
rarrrarr
= Be to iš
trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr
= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime
)11()(21
21
1
2
2122
2
mmF
mF
mFrr
tdd
+=minus=minus
rarrrarrrarrrarr
Ši
lygtis aprašo vieno materialaus taško
judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr
minus= rrryra radius vektorius
m1
m2
O
rarr
r
1rarr
r2
rarr
r
z
x
1rarr
r
2rarr
r
R
y
Pažymėjus
21
111mm
+=micro
arba 21
21
mmmm+
=micro tada 22
2
Ftdrd=
rarr
micro
Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr
F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį
)(e
Ftdvdm
rarrrarr
= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo
tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi
Lygties 2rMmGF = vektorinė forma
rarrrarr
rarr
minus=minus= rrMmG
rr
rMmGF 32 Įvedus micro
planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip
rarrbullbullbullbull
minus==+
equiv rrMmGFr
MmMmr 3micro
rarrrarr +minus=
bullbull
rrmMGr 3 Kadangi laikome kad
sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr
minus=bullbull
rwr 2
322 )2(
rmMG
Tw +
==π arba 3r
mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo
periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w
32
1
21 )2(
rMG
Tw ==
π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w
32
22
2)2(rMG
Tw ==
π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2
2
12
1
2 ==TT
ww Apsisukimo
periodas antru atveju 2 kartų mažesnis
Planeta m
Saulė
M
rarr
r
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
ct| = α(ct ndash vt) ir ct = α(ct| + vt|) dabar sudauginę abi išraiškas gausime2α = 22
2
vcc+
2α = )1(
122 cvminus
2α = 1 22 1 cvminus
Kadangi vt| = αx - x| =
αx - α(x ndash vt) = α v t + x(
α1 - α)
t| = αt + vx ( 2
1α
- 1) t| =
2
2
1
1
cv
minus
t + vx [( 1 - 2
2
cv ) -1] t| =
2
2
2
1cv
xcvt
minus
minus
Lorenco transformacijos
2
2
|
1cvvtxx
minus
minus= yy =| zz =|
2
2
2|
1
)(
cv
xcvttminus
minus=
Atvirkštinės transformacijos išreiškiamos (remiantis reliatyvumo principu) taippat tik pakeitus ženklą
2
2
||
1cvvtxx
minus
+= |yy = |zz =
2
2
2|
1
)(
cv
xcvttminus
+=
Galilėjaus transformacijos gaunamos kai vc ltlt 1
6 Lorenco transformacijų išvada vienalaikiškumo reliatyvumas
Du įvykiai skirtingose koordinačių sistemos taškuose x1 ir x2 vadinamivienalaikiais jeigu jie įvyksta tą patį laiko momentą pagal tos koordinačių sistemoslaikrodį Tegu įvykiai įvyko laiko momentu t0 nejudančioje koordinačių sistemojeJudančioje koordinačių sistemoje įvykiai įvyko taškuose x|
1 ir x|2 momentais t|1 ir t|2 Laiką
t|1 ir t|2 parodė judančios koordinačių sistemos laikrodžiai esantys jos taškuose x|1 ir x|
2tais momentais kai tuose taškuose įvyko nagrinėjamas įvykis Ryšys tarp judančios irnejudančios sistemos
2
201|
1
1cvvtxx
minus
minus=
2
202|
2
1cvvtxx
minus
minus=
2
2
120|1
1
)(
cv
xcvt
tminus
minus=
2
2
220|2
1
)(
cv
xcvt
tminus
minus=
Pažymėkime 2
2
1cv
minus = β
Matome kad įvykiai judančioje koordinačių sistemoje įvyko ne tuo pačiumomentu
)()()(212
12
022
0|1
|2
| xxcvxcvtxcvtttt minus=
+minusminus=minus=∆
ββ Vienalaikiškumo sąvoka neturi absoliučios prasmės nepriklausančios nuokoordinačių sistemos Teiginys įvyko vienu laikurdquo reikalauja nurodyti koordinačiųsistemą Vienalaikiškumo reliatyvumas ir priežastingumas Iš ∆t| formulės seka kad jeigux1 gt x2 tai koordinačių sistemoje judančioje x ašies teigiama kryptimi (v gt 0) turi būti t|2gt t|1 o koordinačių sistemoje judančioje į priešingą pusę (v lt 0) turi būti t|2 lt t|1 ty tiepatys įvykiai skirtingose koordinačių sistemose vyksta ne ta pačia tvarka Ar negali būtikad pasekmė bus ankstesnė už priežastį Kad priežastis ir pasekmė nepriklausytų nuo tokokioje koordinačių sistemoje nagrinėjamos būtina sąlyga jokie materialųs poveikiaikuriais realizuojamas fizinis ryšys tarp įvykių skirtinguose taškuose negali būtiperduodamas greičiu didesniu už šviesos greitį Pvz Nejudančioje koordinačių sistemoje įvykis įvyksta taške x1 laiko momentot1 ir yra priežastis sukėlusi įvykį taške x2 gt x1 laiko momentu t2 gt t1 Greitį kuriuoperduodama įtaka iš x1 į x2 pažymėkime vįt Pagal greičio apibrėžimą
1212 tt
vxx
įt
minus=minus
Judančioje koordinačių sistemoje tie įvykiai vyksta taškouse x|1 ir x|
2 laikomomentais t|1 ir t|2 Tada iš lygybės t| = t ndash (vc2)xβ gauname
(x2 ndashx1) = vįt(t2 ndash t1)
)1())((2
12122
12|1
|2 įtvc
vttxxcvtttt minusminus
=minusminusminus
=minusββ
Iš šios išraiškos jeigu )1( 2 įtvcv
minus lt 0 tai judančioje koordinačių sistemoje
pasekmė įvyks anksčiau už priežastį Bet tai neįmanoma Todėl visada įtvcv21minus gt 0 arba
įtakos perdavimo greitis bus vįt gt cvc Lorenco transformacijos turi prasmę tik tada kai
v le c
7 Lorenco transformacijų išvada intervalo invariantiškumas Judančio kūno ilgis
Intrevalo invariantiškumas Galilėjaus transformacijų invariantai yra kūno ilgis ir laiko tarpas tarp įvykiųtačiau jie nėra Lorenco transformacijų invariantai ty jie priklauso nuo koordinačiųsistemos Lorenco transformacijų invariantas yra erdvės laiko intervalas Tegu taške (x1 y1z1) laiko momentu t1 įvyko įvykis o taške (x2 y2 z2) ir laiko momentu t2 kitas įvykisIntervalu tarp tų įvykių vadinamas dydis ss2 = (x2 ndash x1)2 + (y2 ndash y1)2 + (z2 ndash z1)2 ndash c2(t2 ndash t1)2 Kuris yra vienodas visose koordinačių sistemose invariantas Tai įrodysime
β)( |
1|2
|1
|2
12ttvxxxx minus+minus
=minus
|1
|212 yyyy minus=minus
|1
|212 zzzz minus=minus
β))(( |
1|2
2|1
|2
12xxcvtttt minus+minus
=minus
Įrašius šias reikšmes į s išraišką gauname kad
minusminus+minus+minus=minusminusminus+minus+minus= 2|1
|2
2|1
|2
2|1
|2
212
2212
212
212
2 )()()()()()()( zzyyxxttczzyyxxs2|
1|2
2 )( ttc minusminus = 2|s
Jeigu x2 ndash x1 = ds tai
d s2 = d x2 + d y2 + d z2 ndash c2 d t2 yra invariantas
Erdviškieji ir laikiškieji intervalai Iš anksčiau jei atstumas tarp (x1 y1 z1) ir (x2 y2 z2) yra l o laiko tarpas tarp tųįvykių t tai s2 = l2 ndash c2t2 yra invariantas Sakykime tam tikroje koordinačių sistemojeįvykių negali sieti priežastinis ryšys Tada l gt ct ir s2 gt 0 (veikimo sklidimo atstumasmažesnis už atstumą tarp įvykių) Taigi erdviškasis intervalas yra s2 gt 0 Erdviškąjamintervalui galime parinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiai vyksta vienu metuskirtinguose erdvės taškuose (s2 = l2 gt 0 t = 0) ir nėra tokios koordinačių sistemoskurioje tie įvykiai vyktų tame pačiame taške nes tada l = 0 ty = s2 = -c2t2 lt 0 taiprieštarauja sąlygai s2 gt 0 Jeigu įvykius gali sieti priežastinis ryšys tai l lt ct ir s2 lt 0Tai laikiškasis intervalas galima pasirinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiaiįvyksta tame pačiame erdvės taške bet skirtingais laiko momentais (l =0 s2 = - c2t2 lt 0)ir nėra tokios koordinačių sistemos kurioje tie du įvykiai būtų vienalaikiai (t = 0 s2 = l2 gt0 kas prieštarauja s2 lt 0) Intervalo tarp įvykių laikiškumas arba erdviškumasnepriklauso nuo koordinačių sistemos ndash tai įvykių invariantiška savybė
Judančio kūno ilgis Judančio kūno ilgiu vadinamas atstumas tarp nejudančios koordinačių sistemostaškų su kuriais sutampa judančio strypo pradžia ir galas vienu laiko momentu pagalnejudančios koordinačių sistemos laikrodį Judančios koordinačių sistemos laikrodžiaiesantys strypo galuose rodys skirtingą laiką ir strypo galai bus fiksuojami skirtingu laiku- strypo ilgis nėra Lorenco transformacijų invariantas skirtingose sistemose skiriasiTegu judančioje koordinačių sistemoje nejudančio strypo ilgis l = x|
2 ndash x|1 ir nukreiptas
išilgai x ašies
β01|
1vtxx minus
= β
02|2
vtxx minus=
ββ
|12|
1|2
llxxlxx =rArrminus
==minus
2
2| 1
cvll minus=
Taigi judantis kūnas yra trumpesnis už nejudantį Ta prasme kad tam tikru laikomomentu pagal nejudančios sistemos laikrodį užfiksuojamos visų judančio kūnopaviršiaus taškų koordinatės Tai momentinė kopija kuri atrodytų suplota jeigu būtųregistruojama nejudanti Vizualiai viskas būtų kitaip nes 1) šviesos spinduliai iš įvairiųkūno taškų pasiekia stebėtoją per skirtingą laiką 2) pasireiškia šviesos aberacija todėlregimoji kryptis nesutampa su tikrąja taigi kūno forma matoma ne tokia kaip duodaLorenco transformacijos Sutrumpėjimo įvertinimas
Kadangi v ltlt c tai vc ltlt 1 ir išskleidus eilute )211( 2
2|
cvll minusasymp
Tada lcvl
cvllll 2
2
2
2|
21)
211( minus=minusminus=minus=∆ 2
2
21
cv
ll
minus=∆
kai v = 30 kms tai 810
2
1050109109
21 minussdotminus=
sdotsdot
minus=∆ ll ty jeigu raketa bus 100 m ilgio tai
sutrumpės 1 microm kas praktiškai nepastebima Žemė juda apie Saulę 30 kms greičiu irsusiploja judėjimo kryptimi tik 6 cm Jeigu vc = 087 tada kūno ilgis susiploja per pusęJeigu atstumas nejudančioje kooordinačių sistemoje tarp dviejų taškų yra l = x1 ndash x2 ir tietaškai pradėjo judėti teigiama x ašies kryptimi kiekvienu laiko momentu taškų greičiaiyra vienodi ndash vadinasi jie nueina vienodą kelią Tačiau stebėtojas judantis kartu su taistaškais minėtoje sistemoje matys kad atstumas tarp jų didėja ir pasiekus pastovų greitį vbus )(1 22 cvl minus ilgio Paaiškinti galima paprastai nejudančios sistemos atžvilgiu tietaškai judėjo sinchroniškai tačiau judančioje sistemoje ndash nesinchroniškai nessinchroniškumas yra reliatyvus ndash x2 pradėjo greitėti labiau negu x1 ir todėl nutolo Jeigux2 ir x1 sujungti nesvaria spyruokle tai ji bus ištempta ir bus atliktas darbas kurioenergija paimta iš variklių verčiančių judėti tuos taškus Jeigu taškai sujungti absoliučiaistandžiu strypu tai be galo mažai deformacijai sukelti reikės be galo didelės energijostaigi jo galai negali judėti tuo pačiu dėsniu Išvada nagrinėjant materialių kūnų judėjimąjų negalima laikyti absoliučiai kietais
8 Lorenco transformacijų išvada judančių laikrodžių laikas savasis laikas
Judančių laikrodžių eigos sparta Savasis laikas Iš Lorenco transformacijų ndash
β
|0
2|1
1)( xcvtt +
= β))(( |0
2|22 xcvtt += β)( |
1|212
| ttttt minus=minus=∆ β| tt ∆=∆
Laiko tarpas tarp įvykių išmatuotas judančiais laikrodžiais yra trumpesnis negumatuojant nejudančiais laikrodžiais judantis laikrodis eina lėčiau už nejudantį Tačiaujudančius laikrodžius galime laikyti nejudančiais Ar tai neprieštarauja reliatyvumoprincipui Ne nes vieno ir to paties judančio taško laikas lyginamas su įvairių nejudančiųtaškų laiku o norint pritaikyti reliatyvumo principą reikia įvairių judančios sistemostaškų laiką palyginti su to paties nejudančios koordinačių sistemos taško laiku Tegutaške x0 vienas po kito įvyko du įvykiai judančioje nebrūkšniuotoje koordinačiųsistemoje Laiko tarpas tarp jų ∆t = t2 ndash t1 Brūkšniuotoje koordinačių sistemoje kuri yranejudanti įvykiai įvyko skirtinguose taškuose laiko momentais t|
1 ir t|2
β0
21|
1)( xcvtt minus
= β
02
2|2
)( xcvtt minus=
βtttt ∆
=minus=∆ |1
|2
|
Tačiau dabar ∆t| yra laikas tarp įvykių nejudančioje koordinačių sistemoje ∆t ndashnejudančioje Prieštaravimo nėra
Laikas matuojamas su judančiu tašku susijusiu laikrodžiu vadinamas savuojulaiku Su judančiu tašku susijusio laikrodžio laiko skirtumas ndash d τ d t ndash laikodiferencialas inercinėje sistemoje kurioje nagrinėjamas taškas juda greičiu v
)(1 22 cvdtd minus=τ
222222 tdczdydxdsd minus++= 2
222rarr
=++ rdzdydxd ))(1(2
222rarr
minusminus= rdtdcsd
)11()1( 2
2
2222
tdrd
ctdcsd
rarr
minusminus= 2
2
2rarr
rarr
= vtdrd )(1 22 cvtdicsd minus= )(1 22 cvtdd minus=τ
icsdd =τ čia d s ndash invariantas c ndash pastovus d τ ndash invariantas Savasis laikas yraLorenco transformacijų invariantas nes savasis laikas matuojamas laikrodžiu kurissusietas su pačiu judančiu tašku todėl nesvarbu kokioje koordinačių sistemojeatskaitomi jo parodymai Eksperimentai patvirtinantys laiko reliatyvumą Matuojant +micro mezono nueitą kelią nuo jo atsiradimo iki išnykimo ir nustatyti jo greitįKuo +micro mezono judėjimo greitis didesnis tuo gyvavimo trukmė turi būti ilgesnė nes
βττ micromicro )0(= )0(microτ - savoji gyvavimo trukmė Jeigu laikas nelėtėja tai kelio ilgio
priklausomybė nuo greičio - vl )0(microτ= - tiesinė v funkcija Jeigu lėtėja -
)(1 22)0( cvvl minus= microτ - netiesinė v funkcija Išmatavus l = f(v) buvo gauta kad ji atitinka
reliatyvistinę formulę Dar akivaizdesnis bandymas buvo atliktas 1972 m Su trimatominiais laikrodžiais
Du atominiai laikrodžiai buvo įmontuoti įreaktyvinius lėktuvus o vienas buvosumontuotas aerouoste Visi trys laikrodžiaibuvo sinchronizuoti Po to abu lėktuvai pakilo įorą
Vienas skrenda prieš Žemės sukimąsi o kitaspagal trečias lieka vietoje Gryžus palyginamilaikrodžių parodymai Visi laikrodžiainagrinėjami Žemės centro atžvilgiu nes tokiasistema yra inercinė Kadangi v gt u| tai abuskrendantys laikrodžiai juda iš rytų į vakarusNejudančio Žemės paviršiuje laikrodžio savasislaikas 0τ judančio į vakarus savasis laikas +τ į rytus - minusτ
)(1 220 cvtdd minus=τ 2
2| )(1cuvtdd minus
minus=+τ 2
2| )(1c
uvtdd +minus=minusτ
0τd ir +τd - skuba o 0τd ir minusτd - vėluoja Tačiau traukos laukai taip pat lėtinalaikrodžių eigą taigi laikrodis kuris liko Žemės paviršiuje eis lėčiau negu laikrodžiaikurie yra lėktuvuose nes pastarieji yra silpnesniame traukos lauke Skridęs į vakarusskubėjo 275 ns o į rytus vėlavo 40 ns Sutapo teoriškai Su pagreičiais judančių laikrodžių eiga Formulė βτ sdot= dtd išvesta tolyginiam judėjimui o specialioji reliatyvumo teorijaneaprašo netolygaus judėjimo Bandymais buvo parodyta kad ši formulė galioja irjudėjimui su pagreičiu (bent jau sukimuisi apskritimu) nes buvo tiriamas elektringųdalelių judėjimas magnetiniame lauke veikiant Lorenco jėgai
vndash u|-
v + u|
rarr
v
9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados
Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|
= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai
1) judančioje |
||
tdxdux = |
||
tdyduy = |
||
tdzduz =
2) nejudančioje tdxdux =
tdyduy =
tdzduz =
Tada
β
|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =
ββ
)1( 2||
||
cvutd
tdvxdddxdu
x
x
+
+==
ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+
=+
= )1( 2
||
|
cvutd
ydtdydu
x
y
+
sdot==
β
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+=
|2
|2
2
1
1
x
y
y
ucv
ucv
u+
minus=
|2
|2
2
1
1
x
z
z
ucv
ucv
u+
minus=
Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|
y = u|z = 0 o u|
x = c tada
c
ccvvcux =
+
+=
21
Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|
x = 0 u|y = c u|
z = 0 Nejudančioje
koordinačių sistemoje ndash ux = v 2
2
1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių
sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi
2
2
1
1
cvc
vuutg
y
x
minus
===β Ši
formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu
Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje
ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+= kai aplinka juda plusmn v tai
)1()()(1
)(
2cnvv
nc
cncvvnvux msdotplusmn=
plusmn
plusmn= nes
cv ltlt 1
cnv
cnvcv
ncux
2
2 minusplusmnasymp m 02
asympcnv
vnn
cux sdotminusasymp )11( 2m
Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio
transformacija Pagreitis a|x a|
y a|z kur |
||
tduda x
x = u|x = u|
y = u|z = 0 tada
nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje
koordinačių sistemoje td
uda xx =
)1
()(2
||
cvu
vuux
xx
+
+=
|22|
22
2
2
2
|
2
|
22
|
|
22|
|2|
2
|
|
))(1()(1)1(
)1())(1())((
1x
x
xx
x
x
x
xx
x
xx ud
cvucv
cv
cvu
cvu
cvuud
cvuudcvvu
cvuudud
+minus
=minusminus++
=++
minus+
=
|232
2
|
22|22
)1()(1)(1(
xxx
x acv
tdcvudcv
tduda minus=
minussdotminus==
10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos
Masė
Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų
Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1
(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose
Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos
sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1
rarr
v ir 2
rarr
v
o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1
rarr
∆ v ir 2
rarr
∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211
rarrrarr
∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens
Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm
tvm
∆∆
minus=∆∆
rarrrarr
22
11 ir kai ∆t rarr 0 tai
2211
rarrrarr
minus= amam
3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1
|
11
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv ir 1
|
22
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|
1 ir v|2 po susidūrimo Tada
)()( 2
|
221
|
11
rarrrarrrarrrarr
minusminus=minus vvmvvm ir |
21
|
112211
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm
Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams
21
rarrrarrrarr
+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr
= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara
11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis
Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis
F tdpdFrarr
rarr
= Dydis F yra koordinčių rarr
r ir greičio rarr
v funkcija )(rarrrarrrarr
vrF Taigi tdpdrarr
apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr
F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai
II Niutono dėsnis tdpdFrarr
rarr
= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu
atveju kai )(tmm ne tai rarr
rarr
= Ftdvdm
rarrrarr
= Ftdrdm 2
2
Taigi pagrindinis klasikinės
mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr
vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį
x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi
TtAx π2cos=
Tt
TAx ππ 2sin2
minus=bull
TtA
Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull
mxT
x sdotminus=bullbull
|)2( 2π
xmT
xm 2)2( πminus=
bullbull
kmT
=2)2( π
k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis
Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui
bullbullbull
minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra
)(rarrrarrrarr
larr rarr
rarr
vrFv RASTIti
RASTIi
m
A
x
a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai
0=
rarr
tdpd taigi constp =
rarr
ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir
greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma
Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1
rarr
F ir 2
rarr
F ir klausiama kokia viena jėgararr
F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga
Jeigu turėsime n jėgų iFrarr
kurios veikia materialų
tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr
F - sakoma kad
tai bus geometrinė iFrarr
jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu
kiekviena jėga iFrarr
suteikia materialiam taškui
pagreitį iararr
tai atstojamasis judėjimas
bus randamas visų iararr
vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr
= amF irgi bus
nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr
= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti
F F1 F
12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka
Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis
1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr
21 iš
2121 0rarrrarr
bullrarr
bullrarr
minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis
Tegu ikFrarr
- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr
- priešingai Tada iš
III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr
minus= 0=+rarrrarr
iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -
ikFrarr
Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru
atveju vidinių jėgų suma 0)()(
3
)(
2
)(
1 =++++rarrrarrrarrrarr i
n
iii
FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1
iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti
)(
1
)(
11
ei
FFtdpd rarrrarrrarr
+=
+)(
2
)(
22
ei
FFtd
pd rarrrarrrarr
+=
)()()()()(
3
)(
2
)(
1
)()(
2
)(
121
i
n
eeei
n
ii
n FFFFFFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
++++++++=+++
Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai
)()(
2
)(
121 )(e
n
ee
n FFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarr
+++=+++ ir )(e
Fptd
d rarrrarr
=
kur rarr
p - visos sistemos impulsas o )(e
Frarr
- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių
sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(
=rarr e
F tada
0=
rarr
tdpd ir
rarr
p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą
geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(
nerarr e
F tačiau
0)(
=rarr e
xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso
projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne
poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn
iF 0 tada tas pats
galioja ir impulsui rarr
p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)
Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš
III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm
Fa+
= o Fmm
mFFBA
B
+== 21 Šis sprendimas
nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|
2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|
1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|
1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =
F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB
Netamprus siūlas F F1 F2 A B
rarr
v
Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|
1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į
siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai
Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki
taško B tai jėga rarr
F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso
tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta
A|
A F B
laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas
cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis
Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis
xFtdxdm =2
2
yFtdydm =2
2
zFtdzdm =2
2
Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos
Paprastai tai būna rarr
r ir rarr
v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa
Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr
= gmF taigi
rarrrarr
= gtdrd2
2
arba rarr
rarr
= gtdvd ir
rarrrarr
= vtdrd iš čia 0
rarrrarrrarr
+= vtgv 002
21 rarrrarrrarrrarr
++= rtvtgr
Tai bendras sprendinys o paimdami 0
rarr
v ir 0
rarr
r konkrečias vertes gausime atskirą
prendinį o 0
rarr
v ir 0
rarr
r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną
Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1
rarr
v ir 2
rarr
v iki
susidūrimo ir po jo rarr
v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr
=+ vmvmvm 2211
Sistemoje A| judančioje greičiu rarr
v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|
22
|
11
rarrrarrrarr
=+ vmvmvm
Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr
v ir v| tadararrrarrrarr
minus= vvv 1
|
1 rarrrarrrarr
minus= vvv 2
|
2 rarrrarrrarr
minus= vvv|
Tada gauname
)()()( 2211
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr
minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr
=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių
adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių
adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau
13 Trinties dėsniai
1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja
P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)
Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio
fn
ftr f
P
d K = -ftrarr
s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga
Kai greičiai mažirarrrarr
minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę
rarrrarr
minus=minus= vvkvvvkftr 2
22
Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt
Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)
ftr
f0
d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0
v
Rimties trintiesjėga
f k2v2
k1v Turbulentinis aptekėjimas
Laminarinis aptekėjimas
v
14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas
1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e
Ftdpd rarrrarr
= - geometrinė
visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0
)(0 ttFpp e minus=minus -
jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su
21 ++=rarrrarrrarr
vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti
)( 01)(
101 ttFpp e minus=minusrarrrarr
+
)( 12)(
212 ttFpp e minus=minusrarrrarr
-------------------------------
ne
nee
n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr
minus
rarrrarr)(
2)(
21)(
101121
sum=
rarrrarr
∆=minusn
ii
ei tFpp
1
)(0 kai sum intequiv∆
rarr∆ i
t
t
ei
ei
tdFtF
i 0
)(lim )()(
0ττ tai int=minus
rarrrarr t
t
e dFpp0
)()(0 ττ
Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės
Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas
1 T1
2 T2
P
15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė
Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos
judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių
taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr
Rišreiškiamas
mrmrmR 211 ++
=
rarrrarrrarr
kur 321 +++= mmmm
21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr
rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmvm rarr
= vmp )(eFtdvdm =
rarr
Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai
00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=
rarr
Materialių
taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje
Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys
1
12
12
mF
tdrd
rarrrarr
= 2
22
22
mF
tdrd
rarrrarr
= Be to iš
trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr
= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime
)11()(21
21
1
2
2122
2
mmF
mF
mFrr
tdd
+=minus=minus
rarrrarrrarrrarr
Ši
lygtis aprašo vieno materialaus taško
judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr
minus= rrryra radius vektorius
m1
m2
O
rarr
r
1rarr
r2
rarr
r
z
x
1rarr
r
2rarr
r
R
y
Pažymėjus
21
111mm
+=micro
arba 21
21
mmmm+
=micro tada 22
2
Ftdrd=
rarr
micro
Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr
F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį
)(e
Ftdvdm
rarrrarr
= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo
tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi
Lygties 2rMmGF = vektorinė forma
rarrrarr
rarr
minus=minus= rrMmG
rr
rMmGF 32 Įvedus micro
planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip
rarrbullbullbullbull
minus==+
equiv rrMmGFr
MmMmr 3micro
rarrrarr +minus=
bullbull
rrmMGr 3 Kadangi laikome kad
sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr
minus=bullbull
rwr 2
322 )2(
rmMG
Tw +
==π arba 3r
mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo
periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w
32
1
21 )2(
rMG
Tw ==
π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w
32
22
2)2(rMG
Tw ==
π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2
2
12
1
2 ==TT
ww Apsisukimo
periodas antru atveju 2 kartų mažesnis
Planeta m
Saulė
M
rarr
r
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
6 Lorenco transformacijų išvada vienalaikiškumo reliatyvumas
Du įvykiai skirtingose koordinačių sistemos taškuose x1 ir x2 vadinamivienalaikiais jeigu jie įvyksta tą patį laiko momentą pagal tos koordinačių sistemoslaikrodį Tegu įvykiai įvyko laiko momentu t0 nejudančioje koordinačių sistemojeJudančioje koordinačių sistemoje įvykiai įvyko taškuose x|
1 ir x|2 momentais t|1 ir t|2 Laiką
t|1 ir t|2 parodė judančios koordinačių sistemos laikrodžiai esantys jos taškuose x|1 ir x|
2tais momentais kai tuose taškuose įvyko nagrinėjamas įvykis Ryšys tarp judančios irnejudančios sistemos
2
201|
1
1cvvtxx
minus
minus=
2
202|
2
1cvvtxx
minus
minus=
2
2
120|1
1
)(
cv
xcvt
tminus
minus=
2
2
220|2
1
)(
cv
xcvt
tminus
minus=
Pažymėkime 2
2
1cv
minus = β
Matome kad įvykiai judančioje koordinačių sistemoje įvyko ne tuo pačiumomentu
)()()(212
12
022
0|1
|2
| xxcvxcvtxcvtttt minus=
+minusminus=minus=∆
ββ Vienalaikiškumo sąvoka neturi absoliučios prasmės nepriklausančios nuokoordinačių sistemos Teiginys įvyko vienu laikurdquo reikalauja nurodyti koordinačiųsistemą Vienalaikiškumo reliatyvumas ir priežastingumas Iš ∆t| formulės seka kad jeigux1 gt x2 tai koordinačių sistemoje judančioje x ašies teigiama kryptimi (v gt 0) turi būti t|2gt t|1 o koordinačių sistemoje judančioje į priešingą pusę (v lt 0) turi būti t|2 lt t|1 ty tiepatys įvykiai skirtingose koordinačių sistemose vyksta ne ta pačia tvarka Ar negali būtikad pasekmė bus ankstesnė už priežastį Kad priežastis ir pasekmė nepriklausytų nuo tokokioje koordinačių sistemoje nagrinėjamos būtina sąlyga jokie materialųs poveikiaikuriais realizuojamas fizinis ryšys tarp įvykių skirtinguose taškuose negali būtiperduodamas greičiu didesniu už šviesos greitį Pvz Nejudančioje koordinačių sistemoje įvykis įvyksta taške x1 laiko momentot1 ir yra priežastis sukėlusi įvykį taške x2 gt x1 laiko momentu t2 gt t1 Greitį kuriuoperduodama įtaka iš x1 į x2 pažymėkime vįt Pagal greičio apibrėžimą
1212 tt
vxx
įt
minus=minus
Judančioje koordinačių sistemoje tie įvykiai vyksta taškouse x|1 ir x|
2 laikomomentais t|1 ir t|2 Tada iš lygybės t| = t ndash (vc2)xβ gauname
(x2 ndashx1) = vįt(t2 ndash t1)
)1())((2
12122
12|1
|2 įtvc
vttxxcvtttt minusminus
=minusminusminus
=minusββ
Iš šios išraiškos jeigu )1( 2 įtvcv
minus lt 0 tai judančioje koordinačių sistemoje
pasekmė įvyks anksčiau už priežastį Bet tai neįmanoma Todėl visada įtvcv21minus gt 0 arba
įtakos perdavimo greitis bus vįt gt cvc Lorenco transformacijos turi prasmę tik tada kai
v le c
7 Lorenco transformacijų išvada intervalo invariantiškumas Judančio kūno ilgis
Intrevalo invariantiškumas Galilėjaus transformacijų invariantai yra kūno ilgis ir laiko tarpas tarp įvykiųtačiau jie nėra Lorenco transformacijų invariantai ty jie priklauso nuo koordinačiųsistemos Lorenco transformacijų invariantas yra erdvės laiko intervalas Tegu taške (x1 y1z1) laiko momentu t1 įvyko įvykis o taške (x2 y2 z2) ir laiko momentu t2 kitas įvykisIntervalu tarp tų įvykių vadinamas dydis ss2 = (x2 ndash x1)2 + (y2 ndash y1)2 + (z2 ndash z1)2 ndash c2(t2 ndash t1)2 Kuris yra vienodas visose koordinačių sistemose invariantas Tai įrodysime
β)( |
1|2
|1
|2
12ttvxxxx minus+minus
=minus
|1
|212 yyyy minus=minus
|1
|212 zzzz minus=minus
β))(( |
1|2
2|1
|2
12xxcvtttt minus+minus
=minus
Įrašius šias reikšmes į s išraišką gauname kad
minusminus+minus+minus=minusminusminus+minus+minus= 2|1
|2
2|1
|2
2|1
|2
212
2212
212
212
2 )()()()()()()( zzyyxxttczzyyxxs2|
1|2
2 )( ttc minusminus = 2|s
Jeigu x2 ndash x1 = ds tai
d s2 = d x2 + d y2 + d z2 ndash c2 d t2 yra invariantas
Erdviškieji ir laikiškieji intervalai Iš anksčiau jei atstumas tarp (x1 y1 z1) ir (x2 y2 z2) yra l o laiko tarpas tarp tųįvykių t tai s2 = l2 ndash c2t2 yra invariantas Sakykime tam tikroje koordinačių sistemojeįvykių negali sieti priežastinis ryšys Tada l gt ct ir s2 gt 0 (veikimo sklidimo atstumasmažesnis už atstumą tarp įvykių) Taigi erdviškasis intervalas yra s2 gt 0 Erdviškąjamintervalui galime parinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiai vyksta vienu metuskirtinguose erdvės taškuose (s2 = l2 gt 0 t = 0) ir nėra tokios koordinačių sistemoskurioje tie įvykiai vyktų tame pačiame taške nes tada l = 0 ty = s2 = -c2t2 lt 0 taiprieštarauja sąlygai s2 gt 0 Jeigu įvykius gali sieti priežastinis ryšys tai l lt ct ir s2 lt 0Tai laikiškasis intervalas galima pasirinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiaiįvyksta tame pačiame erdvės taške bet skirtingais laiko momentais (l =0 s2 = - c2t2 lt 0)ir nėra tokios koordinačių sistemos kurioje tie du įvykiai būtų vienalaikiai (t = 0 s2 = l2 gt0 kas prieštarauja s2 lt 0) Intervalo tarp įvykių laikiškumas arba erdviškumasnepriklauso nuo koordinačių sistemos ndash tai įvykių invariantiška savybė
Judančio kūno ilgis Judančio kūno ilgiu vadinamas atstumas tarp nejudančios koordinačių sistemostaškų su kuriais sutampa judančio strypo pradžia ir galas vienu laiko momentu pagalnejudančios koordinačių sistemos laikrodį Judančios koordinačių sistemos laikrodžiaiesantys strypo galuose rodys skirtingą laiką ir strypo galai bus fiksuojami skirtingu laiku- strypo ilgis nėra Lorenco transformacijų invariantas skirtingose sistemose skiriasiTegu judančioje koordinačių sistemoje nejudančio strypo ilgis l = x|
2 ndash x|1 ir nukreiptas
išilgai x ašies
β01|
1vtxx minus
= β
02|2
vtxx minus=
ββ
|12|
1|2
llxxlxx =rArrminus
==minus
2
2| 1
cvll minus=
Taigi judantis kūnas yra trumpesnis už nejudantį Ta prasme kad tam tikru laikomomentu pagal nejudančios sistemos laikrodį užfiksuojamos visų judančio kūnopaviršiaus taškų koordinatės Tai momentinė kopija kuri atrodytų suplota jeigu būtųregistruojama nejudanti Vizualiai viskas būtų kitaip nes 1) šviesos spinduliai iš įvairiųkūno taškų pasiekia stebėtoją per skirtingą laiką 2) pasireiškia šviesos aberacija todėlregimoji kryptis nesutampa su tikrąja taigi kūno forma matoma ne tokia kaip duodaLorenco transformacijos Sutrumpėjimo įvertinimas
Kadangi v ltlt c tai vc ltlt 1 ir išskleidus eilute )211( 2
2|
cvll minusasymp
Tada lcvl
cvllll 2
2
2
2|
21)
211( minus=minusminus=minus=∆ 2
2
21
cv
ll
minus=∆
kai v = 30 kms tai 810
2
1050109109
21 minussdotminus=
sdotsdot
minus=∆ ll ty jeigu raketa bus 100 m ilgio tai
sutrumpės 1 microm kas praktiškai nepastebima Žemė juda apie Saulę 30 kms greičiu irsusiploja judėjimo kryptimi tik 6 cm Jeigu vc = 087 tada kūno ilgis susiploja per pusęJeigu atstumas nejudančioje kooordinačių sistemoje tarp dviejų taškų yra l = x1 ndash x2 ir tietaškai pradėjo judėti teigiama x ašies kryptimi kiekvienu laiko momentu taškų greičiaiyra vienodi ndash vadinasi jie nueina vienodą kelią Tačiau stebėtojas judantis kartu su taistaškais minėtoje sistemoje matys kad atstumas tarp jų didėja ir pasiekus pastovų greitį vbus )(1 22 cvl minus ilgio Paaiškinti galima paprastai nejudančios sistemos atžvilgiu tietaškai judėjo sinchroniškai tačiau judančioje sistemoje ndash nesinchroniškai nessinchroniškumas yra reliatyvus ndash x2 pradėjo greitėti labiau negu x1 ir todėl nutolo Jeigux2 ir x1 sujungti nesvaria spyruokle tai ji bus ištempta ir bus atliktas darbas kurioenergija paimta iš variklių verčiančių judėti tuos taškus Jeigu taškai sujungti absoliučiaistandžiu strypu tai be galo mažai deformacijai sukelti reikės be galo didelės energijostaigi jo galai negali judėti tuo pačiu dėsniu Išvada nagrinėjant materialių kūnų judėjimąjų negalima laikyti absoliučiai kietais
8 Lorenco transformacijų išvada judančių laikrodžių laikas savasis laikas
Judančių laikrodžių eigos sparta Savasis laikas Iš Lorenco transformacijų ndash
β
|0
2|1
1)( xcvtt +
= β))(( |0
2|22 xcvtt += β)( |
1|212
| ttttt minus=minus=∆ β| tt ∆=∆
Laiko tarpas tarp įvykių išmatuotas judančiais laikrodžiais yra trumpesnis negumatuojant nejudančiais laikrodžiais judantis laikrodis eina lėčiau už nejudantį Tačiaujudančius laikrodžius galime laikyti nejudančiais Ar tai neprieštarauja reliatyvumoprincipui Ne nes vieno ir to paties judančio taško laikas lyginamas su įvairių nejudančiųtaškų laiku o norint pritaikyti reliatyvumo principą reikia įvairių judančios sistemostaškų laiką palyginti su to paties nejudančios koordinačių sistemos taško laiku Tegutaške x0 vienas po kito įvyko du įvykiai judančioje nebrūkšniuotoje koordinačiųsistemoje Laiko tarpas tarp jų ∆t = t2 ndash t1 Brūkšniuotoje koordinačių sistemoje kuri yranejudanti įvykiai įvyko skirtinguose taškuose laiko momentais t|
1 ir t|2
β0
21|
1)( xcvtt minus
= β
02
2|2
)( xcvtt minus=
βtttt ∆
=minus=∆ |1
|2
|
Tačiau dabar ∆t| yra laikas tarp įvykių nejudančioje koordinačių sistemoje ∆t ndashnejudančioje Prieštaravimo nėra
Laikas matuojamas su judančiu tašku susijusiu laikrodžiu vadinamas savuojulaiku Su judančiu tašku susijusio laikrodžio laiko skirtumas ndash d τ d t ndash laikodiferencialas inercinėje sistemoje kurioje nagrinėjamas taškas juda greičiu v
)(1 22 cvdtd minus=τ
222222 tdczdydxdsd minus++= 2
222rarr
=++ rdzdydxd ))(1(2
222rarr
minusminus= rdtdcsd
)11()1( 2
2
2222
tdrd
ctdcsd
rarr
minusminus= 2
2
2rarr
rarr
= vtdrd )(1 22 cvtdicsd minus= )(1 22 cvtdd minus=τ
icsdd =τ čia d s ndash invariantas c ndash pastovus d τ ndash invariantas Savasis laikas yraLorenco transformacijų invariantas nes savasis laikas matuojamas laikrodžiu kurissusietas su pačiu judančiu tašku todėl nesvarbu kokioje koordinačių sistemojeatskaitomi jo parodymai Eksperimentai patvirtinantys laiko reliatyvumą Matuojant +micro mezono nueitą kelią nuo jo atsiradimo iki išnykimo ir nustatyti jo greitįKuo +micro mezono judėjimo greitis didesnis tuo gyvavimo trukmė turi būti ilgesnė nes
βττ micromicro )0(= )0(microτ - savoji gyvavimo trukmė Jeigu laikas nelėtėja tai kelio ilgio
priklausomybė nuo greičio - vl )0(microτ= - tiesinė v funkcija Jeigu lėtėja -
)(1 22)0( cvvl minus= microτ - netiesinė v funkcija Išmatavus l = f(v) buvo gauta kad ji atitinka
reliatyvistinę formulę Dar akivaizdesnis bandymas buvo atliktas 1972 m Su trimatominiais laikrodžiais
Du atominiai laikrodžiai buvo įmontuoti įreaktyvinius lėktuvus o vienas buvosumontuotas aerouoste Visi trys laikrodžiaibuvo sinchronizuoti Po to abu lėktuvai pakilo įorą
Vienas skrenda prieš Žemės sukimąsi o kitaspagal trečias lieka vietoje Gryžus palyginamilaikrodžių parodymai Visi laikrodžiainagrinėjami Žemės centro atžvilgiu nes tokiasistema yra inercinė Kadangi v gt u| tai abuskrendantys laikrodžiai juda iš rytų į vakarusNejudančio Žemės paviršiuje laikrodžio savasislaikas 0τ judančio į vakarus savasis laikas +τ į rytus - minusτ
)(1 220 cvtdd minus=τ 2
2| )(1cuvtdd minus
minus=+τ 2
2| )(1c
uvtdd +minus=minusτ
0τd ir +τd - skuba o 0τd ir minusτd - vėluoja Tačiau traukos laukai taip pat lėtinalaikrodžių eigą taigi laikrodis kuris liko Žemės paviršiuje eis lėčiau negu laikrodžiaikurie yra lėktuvuose nes pastarieji yra silpnesniame traukos lauke Skridęs į vakarusskubėjo 275 ns o į rytus vėlavo 40 ns Sutapo teoriškai Su pagreičiais judančių laikrodžių eiga Formulė βτ sdot= dtd išvesta tolyginiam judėjimui o specialioji reliatyvumo teorijaneaprašo netolygaus judėjimo Bandymais buvo parodyta kad ši formulė galioja irjudėjimui su pagreičiu (bent jau sukimuisi apskritimu) nes buvo tiriamas elektringųdalelių judėjimas magnetiniame lauke veikiant Lorenco jėgai
vndash u|-
v + u|
rarr
v
9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados
Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|
= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai
1) judančioje |
||
tdxdux = |
||
tdyduy = |
||
tdzduz =
2) nejudančioje tdxdux =
tdyduy =
tdzduz =
Tada
β
|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =
ββ
)1( 2||
||
cvutd
tdvxdddxdu
x
x
+
+==
ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+
=+
= )1( 2
||
|
cvutd
ydtdydu
x
y
+
sdot==
β
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+=
|2
|2
2
1
1
x
y
y
ucv
ucv
u+
minus=
|2
|2
2
1
1
x
z
z
ucv
ucv
u+
minus=
Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|
y = u|z = 0 o u|
x = c tada
c
ccvvcux =
+
+=
21
Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|
x = 0 u|y = c u|
z = 0 Nejudančioje
koordinačių sistemoje ndash ux = v 2
2
1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių
sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi
2
2
1
1
cvc
vuutg
y
x
minus
===β Ši
formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu
Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje
ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+= kai aplinka juda plusmn v tai
)1()()(1
)(
2cnvv
nc
cncvvnvux msdotplusmn=
plusmn
plusmn= nes
cv ltlt 1
cnv
cnvcv
ncux
2
2 minusplusmnasymp m 02
asympcnv
vnn
cux sdotminusasymp )11( 2m
Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio
transformacija Pagreitis a|x a|
y a|z kur |
||
tduda x
x = u|x = u|
y = u|z = 0 tada
nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje
koordinačių sistemoje td
uda xx =
)1
()(2
||
cvu
vuux
xx
+
+=
|22|
22
2
2
2
|
2
|
22
|
|
22|
|2|
2
|
|
))(1()(1)1(
)1())(1())((
1x
x
xx
x
x
x
xx
x
xx ud
cvucv
cv
cvu
cvu
cvuud
cvuudcvvu
cvuudud
+minus
=minusminus++
=++
minus+
=
|232
2
|
22|22
)1()(1)(1(
xxx
x acv
tdcvudcv
tduda minus=
minussdotminus==
10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos
Masė
Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų
Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1
(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose
Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos
sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1
rarr
v ir 2
rarr
v
o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1
rarr
∆ v ir 2
rarr
∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211
rarrrarr
∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens
Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm
tvm
∆∆
minus=∆∆
rarrrarr
22
11 ir kai ∆t rarr 0 tai
2211
rarrrarr
minus= amam
3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1
|
11
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv ir 1
|
22
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|
1 ir v|2 po susidūrimo Tada
)()( 2
|
221
|
11
rarrrarrrarrrarr
minusminus=minus vvmvvm ir |
21
|
112211
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm
Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams
21
rarrrarrrarr
+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr
= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara
11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis
Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis
F tdpdFrarr
rarr
= Dydis F yra koordinčių rarr
r ir greičio rarr
v funkcija )(rarrrarrrarr
vrF Taigi tdpdrarr
apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr
F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai
II Niutono dėsnis tdpdFrarr
rarr
= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu
atveju kai )(tmm ne tai rarr
rarr
= Ftdvdm
rarrrarr
= Ftdrdm 2
2
Taigi pagrindinis klasikinės
mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr
vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį
x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi
TtAx π2cos=
Tt
TAx ππ 2sin2
minus=bull
TtA
Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull
mxT
x sdotminus=bullbull
|)2( 2π
xmT
xm 2)2( πminus=
bullbull
kmT
=2)2( π
k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis
Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui
bullbullbull
minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra
)(rarrrarrrarr
larr rarr
rarr
vrFv RASTIti
RASTIi
m
A
x
a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai
0=
rarr
tdpd taigi constp =
rarr
ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir
greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma
Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1
rarr
F ir 2
rarr
F ir klausiama kokia viena jėgararr
F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga
Jeigu turėsime n jėgų iFrarr
kurios veikia materialų
tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr
F - sakoma kad
tai bus geometrinė iFrarr
jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu
kiekviena jėga iFrarr
suteikia materialiam taškui
pagreitį iararr
tai atstojamasis judėjimas
bus randamas visų iararr
vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr
= amF irgi bus
nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr
= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti
F F1 F
12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka
Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis
1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr
21 iš
2121 0rarrrarr
bullrarr
bullrarr
minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis
Tegu ikFrarr
- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr
- priešingai Tada iš
III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr
minus= 0=+rarrrarr
iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -
ikFrarr
Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru
atveju vidinių jėgų suma 0)()(
3
)(
2
)(
1 =++++rarrrarrrarrrarr i
n
iii
FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1
iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti
)(
1
)(
11
ei
FFtdpd rarrrarrrarr
+=
+)(
2
)(
22
ei
FFtd
pd rarrrarrrarr
+=
)()()()()(
3
)(
2
)(
1
)()(
2
)(
121
i
n
eeei
n
ii
n FFFFFFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
++++++++=+++
Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai
)()(
2
)(
121 )(e
n
ee
n FFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarr
+++=+++ ir )(e
Fptd
d rarrrarr
=
kur rarr
p - visos sistemos impulsas o )(e
Frarr
- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių
sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(
=rarr e
F tada
0=
rarr
tdpd ir
rarr
p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą
geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(
nerarr e
F tačiau
0)(
=rarr e
xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso
projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne
poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn
iF 0 tada tas pats
galioja ir impulsui rarr
p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)
Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš
III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm
Fa+
= o Fmm
mFFBA
B
+== 21 Šis sprendimas
nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|
2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|
1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|
1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =
F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB
Netamprus siūlas F F1 F2 A B
rarr
v
Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|
1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į
siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai
Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki
taško B tai jėga rarr
F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso
tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta
A|
A F B
laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas
cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis
Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis
xFtdxdm =2
2
yFtdydm =2
2
zFtdzdm =2
2
Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos
Paprastai tai būna rarr
r ir rarr
v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa
Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr
= gmF taigi
rarrrarr
= gtdrd2
2
arba rarr
rarr
= gtdvd ir
rarrrarr
= vtdrd iš čia 0
rarrrarrrarr
+= vtgv 002
21 rarrrarrrarrrarr
++= rtvtgr
Tai bendras sprendinys o paimdami 0
rarr
v ir 0
rarr
r konkrečias vertes gausime atskirą
prendinį o 0
rarr
v ir 0
rarr
r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną
Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1
rarr
v ir 2
rarr
v iki
susidūrimo ir po jo rarr
v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr
=+ vmvmvm 2211
Sistemoje A| judančioje greičiu rarr
v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|
22
|
11
rarrrarrrarr
=+ vmvmvm
Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr
v ir v| tadararrrarrrarr
minus= vvv 1
|
1 rarrrarrrarr
minus= vvv 2
|
2 rarrrarrrarr
minus= vvv|
Tada gauname
)()()( 2211
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr
minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr
=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių
adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių
adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau
13 Trinties dėsniai
1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja
P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)
Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio
fn
ftr f
P
d K = -ftrarr
s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga
Kai greičiai mažirarrrarr
minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę
rarrrarr
minus=minus= vvkvvvkftr 2
22
Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt
Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)
ftr
f0
d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0
v
Rimties trintiesjėga
f k2v2
k1v Turbulentinis aptekėjimas
Laminarinis aptekėjimas
v
14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas
1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e
Ftdpd rarrrarr
= - geometrinė
visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0
)(0 ttFpp e minus=minus -
jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su
21 ++=rarrrarrrarr
vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti
)( 01)(
101 ttFpp e minus=minusrarrrarr
+
)( 12)(
212 ttFpp e minus=minusrarrrarr
-------------------------------
ne
nee
n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr
minus
rarrrarr)(
2)(
21)(
101121
sum=
rarrrarr
∆=minusn
ii
ei tFpp
1
)(0 kai sum intequiv∆
rarr∆ i
t
t
ei
ei
tdFtF
i 0
)(lim )()(
0ττ tai int=minus
rarrrarr t
t
e dFpp0
)()(0 ττ
Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės
Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas
1 T1
2 T2
P
15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė
Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos
judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių
taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr
Rišreiškiamas
mrmrmR 211 ++
=
rarrrarrrarr
kur 321 +++= mmmm
21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr
rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmvm rarr
= vmp )(eFtdvdm =
rarr
Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai
00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=
rarr
Materialių
taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje
Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys
1
12
12
mF
tdrd
rarrrarr
= 2
22
22
mF
tdrd
rarrrarr
= Be to iš
trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr
= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime
)11()(21
21
1
2
2122
2
mmF
mF
mFrr
tdd
+=minus=minus
rarrrarrrarrrarr
Ši
lygtis aprašo vieno materialaus taško
judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr
minus= rrryra radius vektorius
m1
m2
O
rarr
r
1rarr
r2
rarr
r
z
x
1rarr
r
2rarr
r
R
y
Pažymėjus
21
111mm
+=micro
arba 21
21
mmmm+
=micro tada 22
2
Ftdrd=
rarr
micro
Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr
F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį
)(e
Ftdvdm
rarrrarr
= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo
tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi
Lygties 2rMmGF = vektorinė forma
rarrrarr
rarr
minus=minus= rrMmG
rr
rMmGF 32 Įvedus micro
planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip
rarrbullbullbullbull
minus==+
equiv rrMmGFr
MmMmr 3micro
rarrrarr +minus=
bullbull
rrmMGr 3 Kadangi laikome kad
sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr
minus=bullbull
rwr 2
322 )2(
rmMG
Tw +
==π arba 3r
mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo
periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w
32
1
21 )2(
rMG
Tw ==
π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w
32
22
2)2(rMG
Tw ==
π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2
2
12
1
2 ==TT
ww Apsisukimo
periodas antru atveju 2 kartų mažesnis
Planeta m
Saulė
M
rarr
r
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
Iš šios išraiškos jeigu )1( 2 įtvcv
minus lt 0 tai judančioje koordinačių sistemoje
pasekmė įvyks anksčiau už priežastį Bet tai neįmanoma Todėl visada įtvcv21minus gt 0 arba
įtakos perdavimo greitis bus vįt gt cvc Lorenco transformacijos turi prasmę tik tada kai
v le c
7 Lorenco transformacijų išvada intervalo invariantiškumas Judančio kūno ilgis
Intrevalo invariantiškumas Galilėjaus transformacijų invariantai yra kūno ilgis ir laiko tarpas tarp įvykiųtačiau jie nėra Lorenco transformacijų invariantai ty jie priklauso nuo koordinačiųsistemos Lorenco transformacijų invariantas yra erdvės laiko intervalas Tegu taške (x1 y1z1) laiko momentu t1 įvyko įvykis o taške (x2 y2 z2) ir laiko momentu t2 kitas įvykisIntervalu tarp tų įvykių vadinamas dydis ss2 = (x2 ndash x1)2 + (y2 ndash y1)2 + (z2 ndash z1)2 ndash c2(t2 ndash t1)2 Kuris yra vienodas visose koordinačių sistemose invariantas Tai įrodysime
β)( |
1|2
|1
|2
12ttvxxxx minus+minus
=minus
|1
|212 yyyy minus=minus
|1
|212 zzzz minus=minus
β))(( |
1|2
2|1
|2
12xxcvtttt minus+minus
=minus
Įrašius šias reikšmes į s išraišką gauname kad
minusminus+minus+minus=minusminusminus+minus+minus= 2|1
|2
2|1
|2
2|1
|2
212
2212
212
212
2 )()()()()()()( zzyyxxttczzyyxxs2|
1|2
2 )( ttc minusminus = 2|s
Jeigu x2 ndash x1 = ds tai
d s2 = d x2 + d y2 + d z2 ndash c2 d t2 yra invariantas
Erdviškieji ir laikiškieji intervalai Iš anksčiau jei atstumas tarp (x1 y1 z1) ir (x2 y2 z2) yra l o laiko tarpas tarp tųįvykių t tai s2 = l2 ndash c2t2 yra invariantas Sakykime tam tikroje koordinačių sistemojeįvykių negali sieti priežastinis ryšys Tada l gt ct ir s2 gt 0 (veikimo sklidimo atstumasmažesnis už atstumą tarp įvykių) Taigi erdviškasis intervalas yra s2 gt 0 Erdviškąjamintervalui galime parinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiai vyksta vienu metuskirtinguose erdvės taškuose (s2 = l2 gt 0 t = 0) ir nėra tokios koordinačių sistemoskurioje tie įvykiai vyktų tame pačiame taške nes tada l = 0 ty = s2 = -c2t2 lt 0 taiprieštarauja sąlygai s2 gt 0 Jeigu įvykius gali sieti priežastinis ryšys tai l lt ct ir s2 lt 0Tai laikiškasis intervalas galima pasirinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiaiįvyksta tame pačiame erdvės taške bet skirtingais laiko momentais (l =0 s2 = - c2t2 lt 0)ir nėra tokios koordinačių sistemos kurioje tie du įvykiai būtų vienalaikiai (t = 0 s2 = l2 gt0 kas prieštarauja s2 lt 0) Intervalo tarp įvykių laikiškumas arba erdviškumasnepriklauso nuo koordinačių sistemos ndash tai įvykių invariantiška savybė
Judančio kūno ilgis Judančio kūno ilgiu vadinamas atstumas tarp nejudančios koordinačių sistemostaškų su kuriais sutampa judančio strypo pradžia ir galas vienu laiko momentu pagalnejudančios koordinačių sistemos laikrodį Judančios koordinačių sistemos laikrodžiaiesantys strypo galuose rodys skirtingą laiką ir strypo galai bus fiksuojami skirtingu laiku- strypo ilgis nėra Lorenco transformacijų invariantas skirtingose sistemose skiriasiTegu judančioje koordinačių sistemoje nejudančio strypo ilgis l = x|
2 ndash x|1 ir nukreiptas
išilgai x ašies
β01|
1vtxx minus
= β
02|2
vtxx minus=
ββ
|12|
1|2
llxxlxx =rArrminus
==minus
2
2| 1
cvll minus=
Taigi judantis kūnas yra trumpesnis už nejudantį Ta prasme kad tam tikru laikomomentu pagal nejudančios sistemos laikrodį užfiksuojamos visų judančio kūnopaviršiaus taškų koordinatės Tai momentinė kopija kuri atrodytų suplota jeigu būtųregistruojama nejudanti Vizualiai viskas būtų kitaip nes 1) šviesos spinduliai iš įvairiųkūno taškų pasiekia stebėtoją per skirtingą laiką 2) pasireiškia šviesos aberacija todėlregimoji kryptis nesutampa su tikrąja taigi kūno forma matoma ne tokia kaip duodaLorenco transformacijos Sutrumpėjimo įvertinimas
Kadangi v ltlt c tai vc ltlt 1 ir išskleidus eilute )211( 2
2|
cvll minusasymp
Tada lcvl
cvllll 2
2
2
2|
21)
211( minus=minusminus=minus=∆ 2
2
21
cv
ll
minus=∆
kai v = 30 kms tai 810
2
1050109109
21 minussdotminus=
sdotsdot
minus=∆ ll ty jeigu raketa bus 100 m ilgio tai
sutrumpės 1 microm kas praktiškai nepastebima Žemė juda apie Saulę 30 kms greičiu irsusiploja judėjimo kryptimi tik 6 cm Jeigu vc = 087 tada kūno ilgis susiploja per pusęJeigu atstumas nejudančioje kooordinačių sistemoje tarp dviejų taškų yra l = x1 ndash x2 ir tietaškai pradėjo judėti teigiama x ašies kryptimi kiekvienu laiko momentu taškų greičiaiyra vienodi ndash vadinasi jie nueina vienodą kelią Tačiau stebėtojas judantis kartu su taistaškais minėtoje sistemoje matys kad atstumas tarp jų didėja ir pasiekus pastovų greitį vbus )(1 22 cvl minus ilgio Paaiškinti galima paprastai nejudančios sistemos atžvilgiu tietaškai judėjo sinchroniškai tačiau judančioje sistemoje ndash nesinchroniškai nessinchroniškumas yra reliatyvus ndash x2 pradėjo greitėti labiau negu x1 ir todėl nutolo Jeigux2 ir x1 sujungti nesvaria spyruokle tai ji bus ištempta ir bus atliktas darbas kurioenergija paimta iš variklių verčiančių judėti tuos taškus Jeigu taškai sujungti absoliučiaistandžiu strypu tai be galo mažai deformacijai sukelti reikės be galo didelės energijostaigi jo galai negali judėti tuo pačiu dėsniu Išvada nagrinėjant materialių kūnų judėjimąjų negalima laikyti absoliučiai kietais
8 Lorenco transformacijų išvada judančių laikrodžių laikas savasis laikas
Judančių laikrodžių eigos sparta Savasis laikas Iš Lorenco transformacijų ndash
β
|0
2|1
1)( xcvtt +
= β))(( |0
2|22 xcvtt += β)( |
1|212
| ttttt minus=minus=∆ β| tt ∆=∆
Laiko tarpas tarp įvykių išmatuotas judančiais laikrodžiais yra trumpesnis negumatuojant nejudančiais laikrodžiais judantis laikrodis eina lėčiau už nejudantį Tačiaujudančius laikrodžius galime laikyti nejudančiais Ar tai neprieštarauja reliatyvumoprincipui Ne nes vieno ir to paties judančio taško laikas lyginamas su įvairių nejudančiųtaškų laiku o norint pritaikyti reliatyvumo principą reikia įvairių judančios sistemostaškų laiką palyginti su to paties nejudančios koordinačių sistemos taško laiku Tegutaške x0 vienas po kito įvyko du įvykiai judančioje nebrūkšniuotoje koordinačiųsistemoje Laiko tarpas tarp jų ∆t = t2 ndash t1 Brūkšniuotoje koordinačių sistemoje kuri yranejudanti įvykiai įvyko skirtinguose taškuose laiko momentais t|
1 ir t|2
β0
21|
1)( xcvtt minus
= β
02
2|2
)( xcvtt minus=
βtttt ∆
=minus=∆ |1
|2
|
Tačiau dabar ∆t| yra laikas tarp įvykių nejudančioje koordinačių sistemoje ∆t ndashnejudančioje Prieštaravimo nėra
Laikas matuojamas su judančiu tašku susijusiu laikrodžiu vadinamas savuojulaiku Su judančiu tašku susijusio laikrodžio laiko skirtumas ndash d τ d t ndash laikodiferencialas inercinėje sistemoje kurioje nagrinėjamas taškas juda greičiu v
)(1 22 cvdtd minus=τ
222222 tdczdydxdsd minus++= 2
222rarr
=++ rdzdydxd ))(1(2
222rarr
minusminus= rdtdcsd
)11()1( 2
2
2222
tdrd
ctdcsd
rarr
minusminus= 2
2
2rarr
rarr
= vtdrd )(1 22 cvtdicsd minus= )(1 22 cvtdd minus=τ
icsdd =τ čia d s ndash invariantas c ndash pastovus d τ ndash invariantas Savasis laikas yraLorenco transformacijų invariantas nes savasis laikas matuojamas laikrodžiu kurissusietas su pačiu judančiu tašku todėl nesvarbu kokioje koordinačių sistemojeatskaitomi jo parodymai Eksperimentai patvirtinantys laiko reliatyvumą Matuojant +micro mezono nueitą kelią nuo jo atsiradimo iki išnykimo ir nustatyti jo greitįKuo +micro mezono judėjimo greitis didesnis tuo gyvavimo trukmė turi būti ilgesnė nes
βττ micromicro )0(= )0(microτ - savoji gyvavimo trukmė Jeigu laikas nelėtėja tai kelio ilgio
priklausomybė nuo greičio - vl )0(microτ= - tiesinė v funkcija Jeigu lėtėja -
)(1 22)0( cvvl minus= microτ - netiesinė v funkcija Išmatavus l = f(v) buvo gauta kad ji atitinka
reliatyvistinę formulę Dar akivaizdesnis bandymas buvo atliktas 1972 m Su trimatominiais laikrodžiais
Du atominiai laikrodžiai buvo įmontuoti įreaktyvinius lėktuvus o vienas buvosumontuotas aerouoste Visi trys laikrodžiaibuvo sinchronizuoti Po to abu lėktuvai pakilo įorą
Vienas skrenda prieš Žemės sukimąsi o kitaspagal trečias lieka vietoje Gryžus palyginamilaikrodžių parodymai Visi laikrodžiainagrinėjami Žemės centro atžvilgiu nes tokiasistema yra inercinė Kadangi v gt u| tai abuskrendantys laikrodžiai juda iš rytų į vakarusNejudančio Žemės paviršiuje laikrodžio savasislaikas 0τ judančio į vakarus savasis laikas +τ į rytus - minusτ
)(1 220 cvtdd minus=τ 2
2| )(1cuvtdd minus
minus=+τ 2
2| )(1c
uvtdd +minus=minusτ
0τd ir +τd - skuba o 0τd ir minusτd - vėluoja Tačiau traukos laukai taip pat lėtinalaikrodžių eigą taigi laikrodis kuris liko Žemės paviršiuje eis lėčiau negu laikrodžiaikurie yra lėktuvuose nes pastarieji yra silpnesniame traukos lauke Skridęs į vakarusskubėjo 275 ns o į rytus vėlavo 40 ns Sutapo teoriškai Su pagreičiais judančių laikrodžių eiga Formulė βτ sdot= dtd išvesta tolyginiam judėjimui o specialioji reliatyvumo teorijaneaprašo netolygaus judėjimo Bandymais buvo parodyta kad ši formulė galioja irjudėjimui su pagreičiu (bent jau sukimuisi apskritimu) nes buvo tiriamas elektringųdalelių judėjimas magnetiniame lauke veikiant Lorenco jėgai
vndash u|-
v + u|
rarr
v
9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados
Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|
= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai
1) judančioje |
||
tdxdux = |
||
tdyduy = |
||
tdzduz =
2) nejudančioje tdxdux =
tdyduy =
tdzduz =
Tada
β
|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =
ββ
)1( 2||
||
cvutd
tdvxdddxdu
x
x
+
+==
ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+
=+
= )1( 2
||
|
cvutd
ydtdydu
x
y
+
sdot==
β
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+=
|2
|2
2
1
1
x
y
y
ucv
ucv
u+
minus=
|2
|2
2
1
1
x
z
z
ucv
ucv
u+
minus=
Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|
y = u|z = 0 o u|
x = c tada
c
ccvvcux =
+
+=
21
Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|
x = 0 u|y = c u|
z = 0 Nejudančioje
koordinačių sistemoje ndash ux = v 2
2
1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių
sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi
2
2
1
1
cvc
vuutg
y
x
minus
===β Ši
formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu
Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje
ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+= kai aplinka juda plusmn v tai
)1()()(1
)(
2cnvv
nc
cncvvnvux msdotplusmn=
plusmn
plusmn= nes
cv ltlt 1
cnv
cnvcv
ncux
2
2 minusplusmnasymp m 02
asympcnv
vnn
cux sdotminusasymp )11( 2m
Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio
transformacija Pagreitis a|x a|
y a|z kur |
||
tduda x
x = u|x = u|
y = u|z = 0 tada
nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje
koordinačių sistemoje td
uda xx =
)1
()(2
||
cvu
vuux
xx
+
+=
|22|
22
2
2
2
|
2
|
22
|
|
22|
|2|
2
|
|
))(1()(1)1(
)1())(1())((
1x
x
xx
x
x
x
xx
x
xx ud
cvucv
cv
cvu
cvu
cvuud
cvuudcvvu
cvuudud
+minus
=minusminus++
=++
minus+
=
|232
2
|
22|22
)1()(1)(1(
xxx
x acv
tdcvudcv
tduda minus=
minussdotminus==
10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos
Masė
Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų
Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1
(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose
Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos
sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1
rarr
v ir 2
rarr
v
o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1
rarr
∆ v ir 2
rarr
∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211
rarrrarr
∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens
Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm
tvm
∆∆
minus=∆∆
rarrrarr
22
11 ir kai ∆t rarr 0 tai
2211
rarrrarr
minus= amam
3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1
|
11
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv ir 1
|
22
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|
1 ir v|2 po susidūrimo Tada
)()( 2
|
221
|
11
rarrrarrrarrrarr
minusminus=minus vvmvvm ir |
21
|
112211
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm
Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams
21
rarrrarrrarr
+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr
= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara
11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis
Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis
F tdpdFrarr
rarr
= Dydis F yra koordinčių rarr
r ir greičio rarr
v funkcija )(rarrrarrrarr
vrF Taigi tdpdrarr
apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr
F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai
II Niutono dėsnis tdpdFrarr
rarr
= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu
atveju kai )(tmm ne tai rarr
rarr
= Ftdvdm
rarrrarr
= Ftdrdm 2
2
Taigi pagrindinis klasikinės
mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr
vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį
x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi
TtAx π2cos=
Tt
TAx ππ 2sin2
minus=bull
TtA
Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull
mxT
x sdotminus=bullbull
|)2( 2π
xmT
xm 2)2( πminus=
bullbull
kmT
=2)2( π
k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis
Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui
bullbullbull
minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra
)(rarrrarrrarr
larr rarr
rarr
vrFv RASTIti
RASTIi
m
A
x
a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai
0=
rarr
tdpd taigi constp =
rarr
ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir
greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma
Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1
rarr
F ir 2
rarr
F ir klausiama kokia viena jėgararr
F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga
Jeigu turėsime n jėgų iFrarr
kurios veikia materialų
tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr
F - sakoma kad
tai bus geometrinė iFrarr
jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu
kiekviena jėga iFrarr
suteikia materialiam taškui
pagreitį iararr
tai atstojamasis judėjimas
bus randamas visų iararr
vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr
= amF irgi bus
nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr
= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti
F F1 F
12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka
Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis
1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr
21 iš
2121 0rarrrarr
bullrarr
bullrarr
minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis
Tegu ikFrarr
- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr
- priešingai Tada iš
III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr
minus= 0=+rarrrarr
iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -
ikFrarr
Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru
atveju vidinių jėgų suma 0)()(
3
)(
2
)(
1 =++++rarrrarrrarrrarr i
n
iii
FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1
iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti
)(
1
)(
11
ei
FFtdpd rarrrarrrarr
+=
+)(
2
)(
22
ei
FFtd
pd rarrrarrrarr
+=
)()()()()(
3
)(
2
)(
1
)()(
2
)(
121
i
n
eeei
n
ii
n FFFFFFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
++++++++=+++
Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai
)()(
2
)(
121 )(e
n
ee
n FFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarr
+++=+++ ir )(e
Fptd
d rarrrarr
=
kur rarr
p - visos sistemos impulsas o )(e
Frarr
- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių
sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(
=rarr e
F tada
0=
rarr
tdpd ir
rarr
p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą
geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(
nerarr e
F tačiau
0)(
=rarr e
xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso
projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne
poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn
iF 0 tada tas pats
galioja ir impulsui rarr
p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)
Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš
III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm
Fa+
= o Fmm
mFFBA
B
+== 21 Šis sprendimas
nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|
2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|
1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|
1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =
F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB
Netamprus siūlas F F1 F2 A B
rarr
v
Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|
1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į
siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai
Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki
taško B tai jėga rarr
F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso
tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta
A|
A F B
laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas
cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis
Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis
xFtdxdm =2
2
yFtdydm =2
2
zFtdzdm =2
2
Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos
Paprastai tai būna rarr
r ir rarr
v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa
Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr
= gmF taigi
rarrrarr
= gtdrd2
2
arba rarr
rarr
= gtdvd ir
rarrrarr
= vtdrd iš čia 0
rarrrarrrarr
+= vtgv 002
21 rarrrarrrarrrarr
++= rtvtgr
Tai bendras sprendinys o paimdami 0
rarr
v ir 0
rarr
r konkrečias vertes gausime atskirą
prendinį o 0
rarr
v ir 0
rarr
r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną
Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1
rarr
v ir 2
rarr
v iki
susidūrimo ir po jo rarr
v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr
=+ vmvmvm 2211
Sistemoje A| judančioje greičiu rarr
v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|
22
|
11
rarrrarrrarr
=+ vmvmvm
Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr
v ir v| tadararrrarrrarr
minus= vvv 1
|
1 rarrrarrrarr
minus= vvv 2
|
2 rarrrarrrarr
minus= vvv|
Tada gauname
)()()( 2211
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr
minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr
=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių
adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių
adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau
13 Trinties dėsniai
1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja
P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)
Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio
fn
ftr f
P
d K = -ftrarr
s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga
Kai greičiai mažirarrrarr
minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę
rarrrarr
minus=minus= vvkvvvkftr 2
22
Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt
Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)
ftr
f0
d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0
v
Rimties trintiesjėga
f k2v2
k1v Turbulentinis aptekėjimas
Laminarinis aptekėjimas
v
14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas
1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e
Ftdpd rarrrarr
= - geometrinė
visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0
)(0 ttFpp e minus=minus -
jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su
21 ++=rarrrarrrarr
vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti
)( 01)(
101 ttFpp e minus=minusrarrrarr
+
)( 12)(
212 ttFpp e minus=minusrarrrarr
-------------------------------
ne
nee
n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr
minus
rarrrarr)(
2)(
21)(
101121
sum=
rarrrarr
∆=minusn
ii
ei tFpp
1
)(0 kai sum intequiv∆
rarr∆ i
t
t
ei
ei
tdFtF
i 0
)(lim )()(
0ττ tai int=minus
rarrrarr t
t
e dFpp0
)()(0 ττ
Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės
Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas
1 T1
2 T2
P
15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė
Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos
judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių
taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr
Rišreiškiamas
mrmrmR 211 ++
=
rarrrarrrarr
kur 321 +++= mmmm
21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr
rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmvm rarr
= vmp )(eFtdvdm =
rarr
Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai
00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=
rarr
Materialių
taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje
Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys
1
12
12
mF
tdrd
rarrrarr
= 2
22
22
mF
tdrd
rarrrarr
= Be to iš
trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr
= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime
)11()(21
21
1
2
2122
2
mmF
mF
mFrr
tdd
+=minus=minus
rarrrarrrarrrarr
Ši
lygtis aprašo vieno materialaus taško
judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr
minus= rrryra radius vektorius
m1
m2
O
rarr
r
1rarr
r2
rarr
r
z
x
1rarr
r
2rarr
r
R
y
Pažymėjus
21
111mm
+=micro
arba 21
21
mmmm+
=micro tada 22
2
Ftdrd=
rarr
micro
Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr
F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį
)(e
Ftdvdm
rarrrarr
= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo
tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi
Lygties 2rMmGF = vektorinė forma
rarrrarr
rarr
minus=minus= rrMmG
rr
rMmGF 32 Įvedus micro
planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip
rarrbullbullbullbull
minus==+
equiv rrMmGFr
MmMmr 3micro
rarrrarr +minus=
bullbull
rrmMGr 3 Kadangi laikome kad
sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr
minus=bullbull
rwr 2
322 )2(
rmMG
Tw +
==π arba 3r
mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo
periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w
32
1
21 )2(
rMG
Tw ==
π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w
32
22
2)2(rMG
Tw ==
π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2
2
12
1
2 ==TT
ww Apsisukimo
periodas antru atveju 2 kartų mažesnis
Planeta m
Saulė
M
rarr
r
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
7 Lorenco transformacijų išvada intervalo invariantiškumas Judančio kūno ilgis
Intrevalo invariantiškumas Galilėjaus transformacijų invariantai yra kūno ilgis ir laiko tarpas tarp įvykiųtačiau jie nėra Lorenco transformacijų invariantai ty jie priklauso nuo koordinačiųsistemos Lorenco transformacijų invariantas yra erdvės laiko intervalas Tegu taške (x1 y1z1) laiko momentu t1 įvyko įvykis o taške (x2 y2 z2) ir laiko momentu t2 kitas įvykisIntervalu tarp tų įvykių vadinamas dydis ss2 = (x2 ndash x1)2 + (y2 ndash y1)2 + (z2 ndash z1)2 ndash c2(t2 ndash t1)2 Kuris yra vienodas visose koordinačių sistemose invariantas Tai įrodysime
β)( |
1|2
|1
|2
12ttvxxxx minus+minus
=minus
|1
|212 yyyy minus=minus
|1
|212 zzzz minus=minus
β))(( |
1|2
2|1
|2
12xxcvtttt minus+minus
=minus
Įrašius šias reikšmes į s išraišką gauname kad
minusminus+minus+minus=minusminusminus+minus+minus= 2|1
|2
2|1
|2
2|1
|2
212
2212
212
212
2 )()()()()()()( zzyyxxttczzyyxxs2|
1|2
2 )( ttc minusminus = 2|s
Jeigu x2 ndash x1 = ds tai
d s2 = d x2 + d y2 + d z2 ndash c2 d t2 yra invariantas
Erdviškieji ir laikiškieji intervalai Iš anksčiau jei atstumas tarp (x1 y1 z1) ir (x2 y2 z2) yra l o laiko tarpas tarp tųįvykių t tai s2 = l2 ndash c2t2 yra invariantas Sakykime tam tikroje koordinačių sistemojeįvykių negali sieti priežastinis ryšys Tada l gt ct ir s2 gt 0 (veikimo sklidimo atstumasmažesnis už atstumą tarp įvykių) Taigi erdviškasis intervalas yra s2 gt 0 Erdviškąjamintervalui galime parinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiai vyksta vienu metuskirtinguose erdvės taškuose (s2 = l2 gt 0 t = 0) ir nėra tokios koordinačių sistemoskurioje tie įvykiai vyktų tame pačiame taške nes tada l = 0 ty = s2 = -c2t2 lt 0 taiprieštarauja sąlygai s2 gt 0 Jeigu įvykius gali sieti priežastinis ryšys tai l lt ct ir s2 lt 0Tai laikiškasis intervalas galima pasirinkti tokią koordinačių sistemą kurioje du įvykiaiįvyksta tame pačiame erdvės taške bet skirtingais laiko momentais (l =0 s2 = - c2t2 lt 0)ir nėra tokios koordinačių sistemos kurioje tie du įvykiai būtų vienalaikiai (t = 0 s2 = l2 gt0 kas prieštarauja s2 lt 0) Intervalo tarp įvykių laikiškumas arba erdviškumasnepriklauso nuo koordinačių sistemos ndash tai įvykių invariantiška savybė
Judančio kūno ilgis Judančio kūno ilgiu vadinamas atstumas tarp nejudančios koordinačių sistemostaškų su kuriais sutampa judančio strypo pradžia ir galas vienu laiko momentu pagalnejudančios koordinačių sistemos laikrodį Judančios koordinačių sistemos laikrodžiaiesantys strypo galuose rodys skirtingą laiką ir strypo galai bus fiksuojami skirtingu laiku- strypo ilgis nėra Lorenco transformacijų invariantas skirtingose sistemose skiriasiTegu judančioje koordinačių sistemoje nejudančio strypo ilgis l = x|
2 ndash x|1 ir nukreiptas
išilgai x ašies
β01|
1vtxx minus
= β
02|2
vtxx minus=
ββ
|12|
1|2
llxxlxx =rArrminus
==minus
2
2| 1
cvll minus=
Taigi judantis kūnas yra trumpesnis už nejudantį Ta prasme kad tam tikru laikomomentu pagal nejudančios sistemos laikrodį užfiksuojamos visų judančio kūnopaviršiaus taškų koordinatės Tai momentinė kopija kuri atrodytų suplota jeigu būtųregistruojama nejudanti Vizualiai viskas būtų kitaip nes 1) šviesos spinduliai iš įvairiųkūno taškų pasiekia stebėtoją per skirtingą laiką 2) pasireiškia šviesos aberacija todėlregimoji kryptis nesutampa su tikrąja taigi kūno forma matoma ne tokia kaip duodaLorenco transformacijos Sutrumpėjimo įvertinimas
Kadangi v ltlt c tai vc ltlt 1 ir išskleidus eilute )211( 2
2|
cvll minusasymp
Tada lcvl
cvllll 2
2
2
2|
21)
211( minus=minusminus=minus=∆ 2
2
21
cv
ll
minus=∆
kai v = 30 kms tai 810
2
1050109109
21 minussdotminus=
sdotsdot
minus=∆ ll ty jeigu raketa bus 100 m ilgio tai
sutrumpės 1 microm kas praktiškai nepastebima Žemė juda apie Saulę 30 kms greičiu irsusiploja judėjimo kryptimi tik 6 cm Jeigu vc = 087 tada kūno ilgis susiploja per pusęJeigu atstumas nejudančioje kooordinačių sistemoje tarp dviejų taškų yra l = x1 ndash x2 ir tietaškai pradėjo judėti teigiama x ašies kryptimi kiekvienu laiko momentu taškų greičiaiyra vienodi ndash vadinasi jie nueina vienodą kelią Tačiau stebėtojas judantis kartu su taistaškais minėtoje sistemoje matys kad atstumas tarp jų didėja ir pasiekus pastovų greitį vbus )(1 22 cvl minus ilgio Paaiškinti galima paprastai nejudančios sistemos atžvilgiu tietaškai judėjo sinchroniškai tačiau judančioje sistemoje ndash nesinchroniškai nessinchroniškumas yra reliatyvus ndash x2 pradėjo greitėti labiau negu x1 ir todėl nutolo Jeigux2 ir x1 sujungti nesvaria spyruokle tai ji bus ištempta ir bus atliktas darbas kurioenergija paimta iš variklių verčiančių judėti tuos taškus Jeigu taškai sujungti absoliučiaistandžiu strypu tai be galo mažai deformacijai sukelti reikės be galo didelės energijostaigi jo galai negali judėti tuo pačiu dėsniu Išvada nagrinėjant materialių kūnų judėjimąjų negalima laikyti absoliučiai kietais
8 Lorenco transformacijų išvada judančių laikrodžių laikas savasis laikas
Judančių laikrodžių eigos sparta Savasis laikas Iš Lorenco transformacijų ndash
β
|0
2|1
1)( xcvtt +
= β))(( |0
2|22 xcvtt += β)( |
1|212
| ttttt minus=minus=∆ β| tt ∆=∆
Laiko tarpas tarp įvykių išmatuotas judančiais laikrodžiais yra trumpesnis negumatuojant nejudančiais laikrodžiais judantis laikrodis eina lėčiau už nejudantį Tačiaujudančius laikrodžius galime laikyti nejudančiais Ar tai neprieštarauja reliatyvumoprincipui Ne nes vieno ir to paties judančio taško laikas lyginamas su įvairių nejudančiųtaškų laiku o norint pritaikyti reliatyvumo principą reikia įvairių judančios sistemostaškų laiką palyginti su to paties nejudančios koordinačių sistemos taško laiku Tegutaške x0 vienas po kito įvyko du įvykiai judančioje nebrūkšniuotoje koordinačiųsistemoje Laiko tarpas tarp jų ∆t = t2 ndash t1 Brūkšniuotoje koordinačių sistemoje kuri yranejudanti įvykiai įvyko skirtinguose taškuose laiko momentais t|
1 ir t|2
β0
21|
1)( xcvtt minus
= β
02
2|2
)( xcvtt minus=
βtttt ∆
=minus=∆ |1
|2
|
Tačiau dabar ∆t| yra laikas tarp įvykių nejudančioje koordinačių sistemoje ∆t ndashnejudančioje Prieštaravimo nėra
Laikas matuojamas su judančiu tašku susijusiu laikrodžiu vadinamas savuojulaiku Su judančiu tašku susijusio laikrodžio laiko skirtumas ndash d τ d t ndash laikodiferencialas inercinėje sistemoje kurioje nagrinėjamas taškas juda greičiu v
)(1 22 cvdtd minus=τ
222222 tdczdydxdsd minus++= 2
222rarr
=++ rdzdydxd ))(1(2
222rarr
minusminus= rdtdcsd
)11()1( 2
2
2222
tdrd
ctdcsd
rarr
minusminus= 2
2
2rarr
rarr
= vtdrd )(1 22 cvtdicsd minus= )(1 22 cvtdd minus=τ
icsdd =τ čia d s ndash invariantas c ndash pastovus d τ ndash invariantas Savasis laikas yraLorenco transformacijų invariantas nes savasis laikas matuojamas laikrodžiu kurissusietas su pačiu judančiu tašku todėl nesvarbu kokioje koordinačių sistemojeatskaitomi jo parodymai Eksperimentai patvirtinantys laiko reliatyvumą Matuojant +micro mezono nueitą kelią nuo jo atsiradimo iki išnykimo ir nustatyti jo greitįKuo +micro mezono judėjimo greitis didesnis tuo gyvavimo trukmė turi būti ilgesnė nes
βττ micromicro )0(= )0(microτ - savoji gyvavimo trukmė Jeigu laikas nelėtėja tai kelio ilgio
priklausomybė nuo greičio - vl )0(microτ= - tiesinė v funkcija Jeigu lėtėja -
)(1 22)0( cvvl minus= microτ - netiesinė v funkcija Išmatavus l = f(v) buvo gauta kad ji atitinka
reliatyvistinę formulę Dar akivaizdesnis bandymas buvo atliktas 1972 m Su trimatominiais laikrodžiais
Du atominiai laikrodžiai buvo įmontuoti įreaktyvinius lėktuvus o vienas buvosumontuotas aerouoste Visi trys laikrodžiaibuvo sinchronizuoti Po to abu lėktuvai pakilo įorą
Vienas skrenda prieš Žemės sukimąsi o kitaspagal trečias lieka vietoje Gryžus palyginamilaikrodžių parodymai Visi laikrodžiainagrinėjami Žemės centro atžvilgiu nes tokiasistema yra inercinė Kadangi v gt u| tai abuskrendantys laikrodžiai juda iš rytų į vakarusNejudančio Žemės paviršiuje laikrodžio savasislaikas 0τ judančio į vakarus savasis laikas +τ į rytus - minusτ
)(1 220 cvtdd minus=τ 2
2| )(1cuvtdd minus
minus=+τ 2
2| )(1c
uvtdd +minus=minusτ
0τd ir +τd - skuba o 0τd ir minusτd - vėluoja Tačiau traukos laukai taip pat lėtinalaikrodžių eigą taigi laikrodis kuris liko Žemės paviršiuje eis lėčiau negu laikrodžiaikurie yra lėktuvuose nes pastarieji yra silpnesniame traukos lauke Skridęs į vakarusskubėjo 275 ns o į rytus vėlavo 40 ns Sutapo teoriškai Su pagreičiais judančių laikrodžių eiga Formulė βτ sdot= dtd išvesta tolyginiam judėjimui o specialioji reliatyvumo teorijaneaprašo netolygaus judėjimo Bandymais buvo parodyta kad ši formulė galioja irjudėjimui su pagreičiu (bent jau sukimuisi apskritimu) nes buvo tiriamas elektringųdalelių judėjimas magnetiniame lauke veikiant Lorenco jėgai
vndash u|-
v + u|
rarr
v
9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados
Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|
= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai
1) judančioje |
||
tdxdux = |
||
tdyduy = |
||
tdzduz =
2) nejudančioje tdxdux =
tdyduy =
tdzduz =
Tada
β
|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =
ββ
)1( 2||
||
cvutd
tdvxdddxdu
x
x
+
+==
ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+
=+
= )1( 2
||
|
cvutd
ydtdydu
x
y
+
sdot==
β
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+=
|2
|2
2
1
1
x
y
y
ucv
ucv
u+
minus=
|2
|2
2
1
1
x
z
z
ucv
ucv
u+
minus=
Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|
y = u|z = 0 o u|
x = c tada
c
ccvvcux =
+
+=
21
Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|
x = 0 u|y = c u|
z = 0 Nejudančioje
koordinačių sistemoje ndash ux = v 2
2
1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių
sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi
2
2
1
1
cvc
vuutg
y
x
minus
===β Ši
formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu
Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje
ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+= kai aplinka juda plusmn v tai
)1()()(1
)(
2cnvv
nc
cncvvnvux msdotplusmn=
plusmn
plusmn= nes
cv ltlt 1
cnv
cnvcv
ncux
2
2 minusplusmnasymp m 02
asympcnv
vnn
cux sdotminusasymp )11( 2m
Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio
transformacija Pagreitis a|x a|
y a|z kur |
||
tduda x
x = u|x = u|
y = u|z = 0 tada
nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje
koordinačių sistemoje td
uda xx =
)1
()(2
||
cvu
vuux
xx
+
+=
|22|
22
2
2
2
|
2
|
22
|
|
22|
|2|
2
|
|
))(1()(1)1(
)1())(1())((
1x
x
xx
x
x
x
xx
x
xx ud
cvucv
cv
cvu
cvu
cvuud
cvuudcvvu
cvuudud
+minus
=minusminus++
=++
minus+
=
|232
2
|
22|22
)1()(1)(1(
xxx
x acv
tdcvudcv
tduda minus=
minussdotminus==
10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos
Masė
Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų
Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1
(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose
Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos
sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1
rarr
v ir 2
rarr
v
o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1
rarr
∆ v ir 2
rarr
∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211
rarrrarr
∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens
Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm
tvm
∆∆
minus=∆∆
rarrrarr
22
11 ir kai ∆t rarr 0 tai
2211
rarrrarr
minus= amam
3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1
|
11
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv ir 1
|
22
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|
1 ir v|2 po susidūrimo Tada
)()( 2
|
221
|
11
rarrrarrrarrrarr
minusminus=minus vvmvvm ir |
21
|
112211
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm
Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams
21
rarrrarrrarr
+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr
= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara
11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis
Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis
F tdpdFrarr
rarr
= Dydis F yra koordinčių rarr
r ir greičio rarr
v funkcija )(rarrrarrrarr
vrF Taigi tdpdrarr
apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr
F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai
II Niutono dėsnis tdpdFrarr
rarr
= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu
atveju kai )(tmm ne tai rarr
rarr
= Ftdvdm
rarrrarr
= Ftdrdm 2
2
Taigi pagrindinis klasikinės
mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr
vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį
x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi
TtAx π2cos=
Tt
TAx ππ 2sin2
minus=bull
TtA
Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull
mxT
x sdotminus=bullbull
|)2( 2π
xmT
xm 2)2( πminus=
bullbull
kmT
=2)2( π
k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis
Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui
bullbullbull
minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra
)(rarrrarrrarr
larr rarr
rarr
vrFv RASTIti
RASTIi
m
A
x
a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai
0=
rarr
tdpd taigi constp =
rarr
ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir
greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma
Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1
rarr
F ir 2
rarr
F ir klausiama kokia viena jėgararr
F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga
Jeigu turėsime n jėgų iFrarr
kurios veikia materialų
tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr
F - sakoma kad
tai bus geometrinė iFrarr
jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu
kiekviena jėga iFrarr
suteikia materialiam taškui
pagreitį iararr
tai atstojamasis judėjimas
bus randamas visų iararr
vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr
= amF irgi bus
nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr
= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti
F F1 F
12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka
Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis
1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr
21 iš
2121 0rarrrarr
bullrarr
bullrarr
minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis
Tegu ikFrarr
- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr
- priešingai Tada iš
III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr
minus= 0=+rarrrarr
iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -
ikFrarr
Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru
atveju vidinių jėgų suma 0)()(
3
)(
2
)(
1 =++++rarrrarrrarrrarr i
n
iii
FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1
iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti
)(
1
)(
11
ei
FFtdpd rarrrarrrarr
+=
+)(
2
)(
22
ei
FFtd
pd rarrrarrrarr
+=
)()()()()(
3
)(
2
)(
1
)()(
2
)(
121
i
n
eeei
n
ii
n FFFFFFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
++++++++=+++
Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai
)()(
2
)(
121 )(e
n
ee
n FFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarr
+++=+++ ir )(e
Fptd
d rarrrarr
=
kur rarr
p - visos sistemos impulsas o )(e
Frarr
- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių
sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(
=rarr e
F tada
0=
rarr
tdpd ir
rarr
p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą
geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(
nerarr e
F tačiau
0)(
=rarr e
xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso
projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne
poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn
iF 0 tada tas pats
galioja ir impulsui rarr
p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)
Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš
III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm
Fa+
= o Fmm
mFFBA
B
+== 21 Šis sprendimas
nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|
2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|
1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|
1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =
F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB
Netamprus siūlas F F1 F2 A B
rarr
v
Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|
1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į
siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai
Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki
taško B tai jėga rarr
F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso
tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta
A|
A F B
laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas
cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis
Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis
xFtdxdm =2
2
yFtdydm =2
2
zFtdzdm =2
2
Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos
Paprastai tai būna rarr
r ir rarr
v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa
Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr
= gmF taigi
rarrrarr
= gtdrd2
2
arba rarr
rarr
= gtdvd ir
rarrrarr
= vtdrd iš čia 0
rarrrarrrarr
+= vtgv 002
21 rarrrarrrarrrarr
++= rtvtgr
Tai bendras sprendinys o paimdami 0
rarr
v ir 0
rarr
r konkrečias vertes gausime atskirą
prendinį o 0
rarr
v ir 0
rarr
r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną
Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1
rarr
v ir 2
rarr
v iki
susidūrimo ir po jo rarr
v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr
=+ vmvmvm 2211
Sistemoje A| judančioje greičiu rarr
v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|
22
|
11
rarrrarrrarr
=+ vmvmvm
Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr
v ir v| tadararrrarrrarr
minus= vvv 1
|
1 rarrrarrrarr
minus= vvv 2
|
2 rarrrarrrarr
minus= vvv|
Tada gauname
)()()( 2211
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr
minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr
=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių
adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių
adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau
13 Trinties dėsniai
1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja
P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)
Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio
fn
ftr f
P
d K = -ftrarr
s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga
Kai greičiai mažirarrrarr
minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę
rarrrarr
minus=minus= vvkvvvkftr 2
22
Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt
Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)
ftr
f0
d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0
v
Rimties trintiesjėga
f k2v2
k1v Turbulentinis aptekėjimas
Laminarinis aptekėjimas
v
14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas
1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e
Ftdpd rarrrarr
= - geometrinė
visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0
)(0 ttFpp e minus=minus -
jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su
21 ++=rarrrarrrarr
vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti
)( 01)(
101 ttFpp e minus=minusrarrrarr
+
)( 12)(
212 ttFpp e minus=minusrarrrarr
-------------------------------
ne
nee
n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr
minus
rarrrarr)(
2)(
21)(
101121
sum=
rarrrarr
∆=minusn
ii
ei tFpp
1
)(0 kai sum intequiv∆
rarr∆ i
t
t
ei
ei
tdFtF
i 0
)(lim )()(
0ττ tai int=minus
rarrrarr t
t
e dFpp0
)()(0 ττ
Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės
Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas
1 T1
2 T2
P
15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė
Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos
judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių
taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr
Rišreiškiamas
mrmrmR 211 ++
=
rarrrarrrarr
kur 321 +++= mmmm
21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr
rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmvm rarr
= vmp )(eFtdvdm =
rarr
Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai
00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=
rarr
Materialių
taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje
Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys
1
12
12
mF
tdrd
rarrrarr
= 2
22
22
mF
tdrd
rarrrarr
= Be to iš
trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr
= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime
)11()(21
21
1
2
2122
2
mmF
mF
mFrr
tdd
+=minus=minus
rarrrarrrarrrarr
Ši
lygtis aprašo vieno materialaus taško
judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr
minus= rrryra radius vektorius
m1
m2
O
rarr
r
1rarr
r2
rarr
r
z
x
1rarr
r
2rarr
r
R
y
Pažymėjus
21
111mm
+=micro
arba 21
21
mmmm+
=micro tada 22
2
Ftdrd=
rarr
micro
Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr
F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį
)(e
Ftdvdm
rarrrarr
= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo
tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi
Lygties 2rMmGF = vektorinė forma
rarrrarr
rarr
minus=minus= rrMmG
rr
rMmGF 32 Įvedus micro
planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip
rarrbullbullbullbull
minus==+
equiv rrMmGFr
MmMmr 3micro
rarrrarr +minus=
bullbull
rrmMGr 3 Kadangi laikome kad
sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr
minus=bullbull
rwr 2
322 )2(
rmMG
Tw +
==π arba 3r
mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo
periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w
32
1
21 )2(
rMG
Tw ==
π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w
32
22
2)2(rMG
Tw ==
π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2
2
12
1
2 ==TT
ww Apsisukimo
periodas antru atveju 2 kartų mažesnis
Planeta m
Saulė
M
rarr
r
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
Judančio kūno ilgis Judančio kūno ilgiu vadinamas atstumas tarp nejudančios koordinačių sistemostaškų su kuriais sutampa judančio strypo pradžia ir galas vienu laiko momentu pagalnejudančios koordinačių sistemos laikrodį Judančios koordinačių sistemos laikrodžiaiesantys strypo galuose rodys skirtingą laiką ir strypo galai bus fiksuojami skirtingu laiku- strypo ilgis nėra Lorenco transformacijų invariantas skirtingose sistemose skiriasiTegu judančioje koordinačių sistemoje nejudančio strypo ilgis l = x|
2 ndash x|1 ir nukreiptas
išilgai x ašies
β01|
1vtxx minus
= β
02|2
vtxx minus=
ββ
|12|
1|2
llxxlxx =rArrminus
==minus
2
2| 1
cvll minus=
Taigi judantis kūnas yra trumpesnis už nejudantį Ta prasme kad tam tikru laikomomentu pagal nejudančios sistemos laikrodį užfiksuojamos visų judančio kūnopaviršiaus taškų koordinatės Tai momentinė kopija kuri atrodytų suplota jeigu būtųregistruojama nejudanti Vizualiai viskas būtų kitaip nes 1) šviesos spinduliai iš įvairiųkūno taškų pasiekia stebėtoją per skirtingą laiką 2) pasireiškia šviesos aberacija todėlregimoji kryptis nesutampa su tikrąja taigi kūno forma matoma ne tokia kaip duodaLorenco transformacijos Sutrumpėjimo įvertinimas
Kadangi v ltlt c tai vc ltlt 1 ir išskleidus eilute )211( 2
2|
cvll minusasymp
Tada lcvl
cvllll 2
2
2
2|
21)
211( minus=minusminus=minus=∆ 2
2
21
cv
ll
minus=∆
kai v = 30 kms tai 810
2
1050109109
21 minussdotminus=
sdotsdot
minus=∆ ll ty jeigu raketa bus 100 m ilgio tai
sutrumpės 1 microm kas praktiškai nepastebima Žemė juda apie Saulę 30 kms greičiu irsusiploja judėjimo kryptimi tik 6 cm Jeigu vc = 087 tada kūno ilgis susiploja per pusęJeigu atstumas nejudančioje kooordinačių sistemoje tarp dviejų taškų yra l = x1 ndash x2 ir tietaškai pradėjo judėti teigiama x ašies kryptimi kiekvienu laiko momentu taškų greičiaiyra vienodi ndash vadinasi jie nueina vienodą kelią Tačiau stebėtojas judantis kartu su taistaškais minėtoje sistemoje matys kad atstumas tarp jų didėja ir pasiekus pastovų greitį vbus )(1 22 cvl minus ilgio Paaiškinti galima paprastai nejudančios sistemos atžvilgiu tietaškai judėjo sinchroniškai tačiau judančioje sistemoje ndash nesinchroniškai nessinchroniškumas yra reliatyvus ndash x2 pradėjo greitėti labiau negu x1 ir todėl nutolo Jeigux2 ir x1 sujungti nesvaria spyruokle tai ji bus ištempta ir bus atliktas darbas kurioenergija paimta iš variklių verčiančių judėti tuos taškus Jeigu taškai sujungti absoliučiaistandžiu strypu tai be galo mažai deformacijai sukelti reikės be galo didelės energijostaigi jo galai negali judėti tuo pačiu dėsniu Išvada nagrinėjant materialių kūnų judėjimąjų negalima laikyti absoliučiai kietais
8 Lorenco transformacijų išvada judančių laikrodžių laikas savasis laikas
Judančių laikrodžių eigos sparta Savasis laikas Iš Lorenco transformacijų ndash
β
|0
2|1
1)( xcvtt +
= β))(( |0
2|22 xcvtt += β)( |
1|212
| ttttt minus=minus=∆ β| tt ∆=∆
Laiko tarpas tarp įvykių išmatuotas judančiais laikrodžiais yra trumpesnis negumatuojant nejudančiais laikrodžiais judantis laikrodis eina lėčiau už nejudantį Tačiaujudančius laikrodžius galime laikyti nejudančiais Ar tai neprieštarauja reliatyvumoprincipui Ne nes vieno ir to paties judančio taško laikas lyginamas su įvairių nejudančiųtaškų laiku o norint pritaikyti reliatyvumo principą reikia įvairių judančios sistemostaškų laiką palyginti su to paties nejudančios koordinačių sistemos taško laiku Tegutaške x0 vienas po kito įvyko du įvykiai judančioje nebrūkšniuotoje koordinačiųsistemoje Laiko tarpas tarp jų ∆t = t2 ndash t1 Brūkšniuotoje koordinačių sistemoje kuri yranejudanti įvykiai įvyko skirtinguose taškuose laiko momentais t|
1 ir t|2
β0
21|
1)( xcvtt minus
= β
02
2|2
)( xcvtt minus=
βtttt ∆
=minus=∆ |1
|2
|
Tačiau dabar ∆t| yra laikas tarp įvykių nejudančioje koordinačių sistemoje ∆t ndashnejudančioje Prieštaravimo nėra
Laikas matuojamas su judančiu tašku susijusiu laikrodžiu vadinamas savuojulaiku Su judančiu tašku susijusio laikrodžio laiko skirtumas ndash d τ d t ndash laikodiferencialas inercinėje sistemoje kurioje nagrinėjamas taškas juda greičiu v
)(1 22 cvdtd minus=τ
222222 tdczdydxdsd minus++= 2
222rarr
=++ rdzdydxd ))(1(2
222rarr
minusminus= rdtdcsd
)11()1( 2
2
2222
tdrd
ctdcsd
rarr
minusminus= 2
2
2rarr
rarr
= vtdrd )(1 22 cvtdicsd minus= )(1 22 cvtdd minus=τ
icsdd =τ čia d s ndash invariantas c ndash pastovus d τ ndash invariantas Savasis laikas yraLorenco transformacijų invariantas nes savasis laikas matuojamas laikrodžiu kurissusietas su pačiu judančiu tašku todėl nesvarbu kokioje koordinačių sistemojeatskaitomi jo parodymai Eksperimentai patvirtinantys laiko reliatyvumą Matuojant +micro mezono nueitą kelią nuo jo atsiradimo iki išnykimo ir nustatyti jo greitįKuo +micro mezono judėjimo greitis didesnis tuo gyvavimo trukmė turi būti ilgesnė nes
βττ micromicro )0(= )0(microτ - savoji gyvavimo trukmė Jeigu laikas nelėtėja tai kelio ilgio
priklausomybė nuo greičio - vl )0(microτ= - tiesinė v funkcija Jeigu lėtėja -
)(1 22)0( cvvl minus= microτ - netiesinė v funkcija Išmatavus l = f(v) buvo gauta kad ji atitinka
reliatyvistinę formulę Dar akivaizdesnis bandymas buvo atliktas 1972 m Su trimatominiais laikrodžiais
Du atominiai laikrodžiai buvo įmontuoti įreaktyvinius lėktuvus o vienas buvosumontuotas aerouoste Visi trys laikrodžiaibuvo sinchronizuoti Po to abu lėktuvai pakilo įorą
Vienas skrenda prieš Žemės sukimąsi o kitaspagal trečias lieka vietoje Gryžus palyginamilaikrodžių parodymai Visi laikrodžiainagrinėjami Žemės centro atžvilgiu nes tokiasistema yra inercinė Kadangi v gt u| tai abuskrendantys laikrodžiai juda iš rytų į vakarusNejudančio Žemės paviršiuje laikrodžio savasislaikas 0τ judančio į vakarus savasis laikas +τ į rytus - minusτ
)(1 220 cvtdd minus=τ 2
2| )(1cuvtdd minus
minus=+τ 2
2| )(1c
uvtdd +minus=minusτ
0τd ir +τd - skuba o 0τd ir minusτd - vėluoja Tačiau traukos laukai taip pat lėtinalaikrodžių eigą taigi laikrodis kuris liko Žemės paviršiuje eis lėčiau negu laikrodžiaikurie yra lėktuvuose nes pastarieji yra silpnesniame traukos lauke Skridęs į vakarusskubėjo 275 ns o į rytus vėlavo 40 ns Sutapo teoriškai Su pagreičiais judančių laikrodžių eiga Formulė βτ sdot= dtd išvesta tolyginiam judėjimui o specialioji reliatyvumo teorijaneaprašo netolygaus judėjimo Bandymais buvo parodyta kad ši formulė galioja irjudėjimui su pagreičiu (bent jau sukimuisi apskritimu) nes buvo tiriamas elektringųdalelių judėjimas magnetiniame lauke veikiant Lorenco jėgai
vndash u|-
v + u|
rarr
v
9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados
Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|
= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai
1) judančioje |
||
tdxdux = |
||
tdyduy = |
||
tdzduz =
2) nejudančioje tdxdux =
tdyduy =
tdzduz =
Tada
β
|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =
ββ
)1( 2||
||
cvutd
tdvxdddxdu
x
x
+
+==
ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+
=+
= )1( 2
||
|
cvutd
ydtdydu
x
y
+
sdot==
β
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+=
|2
|2
2
1
1
x
y
y
ucv
ucv
u+
minus=
|2
|2
2
1
1
x
z
z
ucv
ucv
u+
minus=
Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|
y = u|z = 0 o u|
x = c tada
c
ccvvcux =
+
+=
21
Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|
x = 0 u|y = c u|
z = 0 Nejudančioje
koordinačių sistemoje ndash ux = v 2
2
1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių
sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi
2
2
1
1
cvc
vuutg
y
x
minus
===β Ši
formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu
Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje
ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+= kai aplinka juda plusmn v tai
)1()()(1
)(
2cnvv
nc
cncvvnvux msdotplusmn=
plusmn
plusmn= nes
cv ltlt 1
cnv
cnvcv
ncux
2
2 minusplusmnasymp m 02
asympcnv
vnn
cux sdotminusasymp )11( 2m
Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio
transformacija Pagreitis a|x a|
y a|z kur |
||
tduda x
x = u|x = u|
y = u|z = 0 tada
nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje
koordinačių sistemoje td
uda xx =
)1
()(2
||
cvu
vuux
xx
+
+=
|22|
22
2
2
2
|
2
|
22
|
|
22|
|2|
2
|
|
))(1()(1)1(
)1())(1())((
1x
x
xx
x
x
x
xx
x
xx ud
cvucv
cv
cvu
cvu
cvuud
cvuudcvvu
cvuudud
+minus
=minusminus++
=++
minus+
=
|232
2
|
22|22
)1()(1)(1(
xxx
x acv
tdcvudcv
tduda minus=
minussdotminus==
10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos
Masė
Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų
Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1
(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose
Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos
sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1
rarr
v ir 2
rarr
v
o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1
rarr
∆ v ir 2
rarr
∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211
rarrrarr
∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens
Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm
tvm
∆∆
minus=∆∆
rarrrarr
22
11 ir kai ∆t rarr 0 tai
2211
rarrrarr
minus= amam
3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1
|
11
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv ir 1
|
22
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|
1 ir v|2 po susidūrimo Tada
)()( 2
|
221
|
11
rarrrarrrarrrarr
minusminus=minus vvmvvm ir |
21
|
112211
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm
Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams
21
rarrrarrrarr
+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr
= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara
11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis
Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis
F tdpdFrarr
rarr
= Dydis F yra koordinčių rarr
r ir greičio rarr
v funkcija )(rarrrarrrarr
vrF Taigi tdpdrarr
apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr
F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai
II Niutono dėsnis tdpdFrarr
rarr
= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu
atveju kai )(tmm ne tai rarr
rarr
= Ftdvdm
rarrrarr
= Ftdrdm 2
2
Taigi pagrindinis klasikinės
mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr
vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį
x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi
TtAx π2cos=
Tt
TAx ππ 2sin2
minus=bull
TtA
Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull
mxT
x sdotminus=bullbull
|)2( 2π
xmT
xm 2)2( πminus=
bullbull
kmT
=2)2( π
k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis
Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui
bullbullbull
minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra
)(rarrrarrrarr
larr rarr
rarr
vrFv RASTIti
RASTIi
m
A
x
a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai
0=
rarr
tdpd taigi constp =
rarr
ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir
greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma
Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1
rarr
F ir 2
rarr
F ir klausiama kokia viena jėgararr
F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga
Jeigu turėsime n jėgų iFrarr
kurios veikia materialų
tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr
F - sakoma kad
tai bus geometrinė iFrarr
jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu
kiekviena jėga iFrarr
suteikia materialiam taškui
pagreitį iararr
tai atstojamasis judėjimas
bus randamas visų iararr
vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr
= amF irgi bus
nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr
= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti
F F1 F
12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka
Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis
1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr
21 iš
2121 0rarrrarr
bullrarr
bullrarr
minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis
Tegu ikFrarr
- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr
- priešingai Tada iš
III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr
minus= 0=+rarrrarr
iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -
ikFrarr
Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru
atveju vidinių jėgų suma 0)()(
3
)(
2
)(
1 =++++rarrrarrrarrrarr i
n
iii
FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1
iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti
)(
1
)(
11
ei
FFtdpd rarrrarrrarr
+=
+)(
2
)(
22
ei
FFtd
pd rarrrarrrarr
+=
)()()()()(
3
)(
2
)(
1
)()(
2
)(
121
i
n
eeei
n
ii
n FFFFFFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
++++++++=+++
Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai
)()(
2
)(
121 )(e
n
ee
n FFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarr
+++=+++ ir )(e
Fptd
d rarrrarr
=
kur rarr
p - visos sistemos impulsas o )(e
Frarr
- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių
sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(
=rarr e
F tada
0=
rarr
tdpd ir
rarr
p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą
geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(
nerarr e
F tačiau
0)(
=rarr e
xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso
projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne
poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn
iF 0 tada tas pats
galioja ir impulsui rarr
p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)
Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš
III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm
Fa+
= o Fmm
mFFBA
B
+== 21 Šis sprendimas
nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|
2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|
1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|
1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =
F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB
Netamprus siūlas F F1 F2 A B
rarr
v
Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|
1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į
siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai
Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki
taško B tai jėga rarr
F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso
tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta
A|
A F B
laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas
cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis
Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis
xFtdxdm =2
2
yFtdydm =2
2
zFtdzdm =2
2
Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos
Paprastai tai būna rarr
r ir rarr
v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa
Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr
= gmF taigi
rarrrarr
= gtdrd2
2
arba rarr
rarr
= gtdvd ir
rarrrarr
= vtdrd iš čia 0
rarrrarrrarr
+= vtgv 002
21 rarrrarrrarrrarr
++= rtvtgr
Tai bendras sprendinys o paimdami 0
rarr
v ir 0
rarr
r konkrečias vertes gausime atskirą
prendinį o 0
rarr
v ir 0
rarr
r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną
Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1
rarr
v ir 2
rarr
v iki
susidūrimo ir po jo rarr
v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr
=+ vmvmvm 2211
Sistemoje A| judančioje greičiu rarr
v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|
22
|
11
rarrrarrrarr
=+ vmvmvm
Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr
v ir v| tadararrrarrrarr
minus= vvv 1
|
1 rarrrarrrarr
minus= vvv 2
|
2 rarrrarrrarr
minus= vvv|
Tada gauname
)()()( 2211
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr
minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr
=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių
adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių
adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau
13 Trinties dėsniai
1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja
P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)
Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio
fn
ftr f
P
d K = -ftrarr
s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga
Kai greičiai mažirarrrarr
minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę
rarrrarr
minus=minus= vvkvvvkftr 2
22
Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt
Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)
ftr
f0
d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0
v
Rimties trintiesjėga
f k2v2
k1v Turbulentinis aptekėjimas
Laminarinis aptekėjimas
v
14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas
1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e
Ftdpd rarrrarr
= - geometrinė
visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0
)(0 ttFpp e minus=minus -
jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su
21 ++=rarrrarrrarr
vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti
)( 01)(
101 ttFpp e minus=minusrarrrarr
+
)( 12)(
212 ttFpp e minus=minusrarrrarr
-------------------------------
ne
nee
n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr
minus
rarrrarr)(
2)(
21)(
101121
sum=
rarrrarr
∆=minusn
ii
ei tFpp
1
)(0 kai sum intequiv∆
rarr∆ i
t
t
ei
ei
tdFtF
i 0
)(lim )()(
0ττ tai int=minus
rarrrarr t
t
e dFpp0
)()(0 ττ
Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės
Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas
1 T1
2 T2
P
15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė
Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos
judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių
taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr
Rišreiškiamas
mrmrmR 211 ++
=
rarrrarrrarr
kur 321 +++= mmmm
21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr
rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmvm rarr
= vmp )(eFtdvdm =
rarr
Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai
00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=
rarr
Materialių
taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje
Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys
1
12
12
mF
tdrd
rarrrarr
= 2
22
22
mF
tdrd
rarrrarr
= Be to iš
trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr
= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime
)11()(21
21
1
2
2122
2
mmF
mF
mFrr
tdd
+=minus=minus
rarrrarrrarrrarr
Ši
lygtis aprašo vieno materialaus taško
judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr
minus= rrryra radius vektorius
m1
m2
O
rarr
r
1rarr
r2
rarr
r
z
x
1rarr
r
2rarr
r
R
y
Pažymėjus
21
111mm
+=micro
arba 21
21
mmmm+
=micro tada 22
2
Ftdrd=
rarr
micro
Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr
F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį
)(e
Ftdvdm
rarrrarr
= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo
tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi
Lygties 2rMmGF = vektorinė forma
rarrrarr
rarr
minus=minus= rrMmG
rr
rMmGF 32 Įvedus micro
planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip
rarrbullbullbullbull
minus==+
equiv rrMmGFr
MmMmr 3micro
rarrrarr +minus=
bullbull
rrmMGr 3 Kadangi laikome kad
sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr
minus=bullbull
rwr 2
322 )2(
rmMG
Tw +
==π arba 3r
mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo
periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w
32
1
21 )2(
rMG
Tw ==
π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w
32
22
2)2(rMG
Tw ==
π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2
2
12
1
2 ==TT
ww Apsisukimo
periodas antru atveju 2 kartų mažesnis
Planeta m
Saulė
M
rarr
r
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
8 Lorenco transformacijų išvada judančių laikrodžių laikas savasis laikas
Judančių laikrodžių eigos sparta Savasis laikas Iš Lorenco transformacijų ndash
β
|0
2|1
1)( xcvtt +
= β))(( |0
2|22 xcvtt += β)( |
1|212
| ttttt minus=minus=∆ β| tt ∆=∆
Laiko tarpas tarp įvykių išmatuotas judančiais laikrodžiais yra trumpesnis negumatuojant nejudančiais laikrodžiais judantis laikrodis eina lėčiau už nejudantį Tačiaujudančius laikrodžius galime laikyti nejudančiais Ar tai neprieštarauja reliatyvumoprincipui Ne nes vieno ir to paties judančio taško laikas lyginamas su įvairių nejudančiųtaškų laiku o norint pritaikyti reliatyvumo principą reikia įvairių judančios sistemostaškų laiką palyginti su to paties nejudančios koordinačių sistemos taško laiku Tegutaške x0 vienas po kito įvyko du įvykiai judančioje nebrūkšniuotoje koordinačiųsistemoje Laiko tarpas tarp jų ∆t = t2 ndash t1 Brūkšniuotoje koordinačių sistemoje kuri yranejudanti įvykiai įvyko skirtinguose taškuose laiko momentais t|
1 ir t|2
β0
21|
1)( xcvtt minus
= β
02
2|2
)( xcvtt minus=
βtttt ∆
=minus=∆ |1
|2
|
Tačiau dabar ∆t| yra laikas tarp įvykių nejudančioje koordinačių sistemoje ∆t ndashnejudančioje Prieštaravimo nėra
Laikas matuojamas su judančiu tašku susijusiu laikrodžiu vadinamas savuojulaiku Su judančiu tašku susijusio laikrodžio laiko skirtumas ndash d τ d t ndash laikodiferencialas inercinėje sistemoje kurioje nagrinėjamas taškas juda greičiu v
)(1 22 cvdtd minus=τ
222222 tdczdydxdsd minus++= 2
222rarr
=++ rdzdydxd ))(1(2
222rarr
minusminus= rdtdcsd
)11()1( 2
2
2222
tdrd
ctdcsd
rarr
minusminus= 2
2
2rarr
rarr
= vtdrd )(1 22 cvtdicsd minus= )(1 22 cvtdd minus=τ
icsdd =τ čia d s ndash invariantas c ndash pastovus d τ ndash invariantas Savasis laikas yraLorenco transformacijų invariantas nes savasis laikas matuojamas laikrodžiu kurissusietas su pačiu judančiu tašku todėl nesvarbu kokioje koordinačių sistemojeatskaitomi jo parodymai Eksperimentai patvirtinantys laiko reliatyvumą Matuojant +micro mezono nueitą kelią nuo jo atsiradimo iki išnykimo ir nustatyti jo greitįKuo +micro mezono judėjimo greitis didesnis tuo gyvavimo trukmė turi būti ilgesnė nes
βττ micromicro )0(= )0(microτ - savoji gyvavimo trukmė Jeigu laikas nelėtėja tai kelio ilgio
priklausomybė nuo greičio - vl )0(microτ= - tiesinė v funkcija Jeigu lėtėja -
)(1 22)0( cvvl minus= microτ - netiesinė v funkcija Išmatavus l = f(v) buvo gauta kad ji atitinka
reliatyvistinę formulę Dar akivaizdesnis bandymas buvo atliktas 1972 m Su trimatominiais laikrodžiais
Du atominiai laikrodžiai buvo įmontuoti įreaktyvinius lėktuvus o vienas buvosumontuotas aerouoste Visi trys laikrodžiaibuvo sinchronizuoti Po to abu lėktuvai pakilo įorą
Vienas skrenda prieš Žemės sukimąsi o kitaspagal trečias lieka vietoje Gryžus palyginamilaikrodžių parodymai Visi laikrodžiainagrinėjami Žemės centro atžvilgiu nes tokiasistema yra inercinė Kadangi v gt u| tai abuskrendantys laikrodžiai juda iš rytų į vakarusNejudančio Žemės paviršiuje laikrodžio savasislaikas 0τ judančio į vakarus savasis laikas +τ į rytus - minusτ
)(1 220 cvtdd minus=τ 2
2| )(1cuvtdd minus
minus=+τ 2
2| )(1c
uvtdd +minus=minusτ
0τd ir +τd - skuba o 0τd ir minusτd - vėluoja Tačiau traukos laukai taip pat lėtinalaikrodžių eigą taigi laikrodis kuris liko Žemės paviršiuje eis lėčiau negu laikrodžiaikurie yra lėktuvuose nes pastarieji yra silpnesniame traukos lauke Skridęs į vakarusskubėjo 275 ns o į rytus vėlavo 40 ns Sutapo teoriškai Su pagreičiais judančių laikrodžių eiga Formulė βτ sdot= dtd išvesta tolyginiam judėjimui o specialioji reliatyvumo teorijaneaprašo netolygaus judėjimo Bandymais buvo parodyta kad ši formulė galioja irjudėjimui su pagreičiu (bent jau sukimuisi apskritimu) nes buvo tiriamas elektringųdalelių judėjimas magnetiniame lauke veikiant Lorenco jėgai
vndash u|-
v + u|
rarr
v
9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados
Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|
= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai
1) judančioje |
||
tdxdux = |
||
tdyduy = |
||
tdzduz =
2) nejudančioje tdxdux =
tdyduy =
tdzduz =
Tada
β
|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =
ββ
)1( 2||
||
cvutd
tdvxdddxdu
x
x
+
+==
ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+
=+
= )1( 2
||
|
cvutd
ydtdydu
x
y
+
sdot==
β
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+=
|2
|2
2
1
1
x
y
y
ucv
ucv
u+
minus=
|2
|2
2
1
1
x
z
z
ucv
ucv
u+
minus=
Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|
y = u|z = 0 o u|
x = c tada
c
ccvvcux =
+
+=
21
Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|
x = 0 u|y = c u|
z = 0 Nejudančioje
koordinačių sistemoje ndash ux = v 2
2
1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių
sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi
2
2
1
1
cvc
vuutg
y
x
minus
===β Ši
formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu
Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje
ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+= kai aplinka juda plusmn v tai
)1()()(1
)(
2cnvv
nc
cncvvnvux msdotplusmn=
plusmn
plusmn= nes
cv ltlt 1
cnv
cnvcv
ncux
2
2 minusplusmnasymp m 02
asympcnv
vnn
cux sdotminusasymp )11( 2m
Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio
transformacija Pagreitis a|x a|
y a|z kur |
||
tduda x
x = u|x = u|
y = u|z = 0 tada
nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje
koordinačių sistemoje td
uda xx =
)1
()(2
||
cvu
vuux
xx
+
+=
|22|
22
2
2
2
|
2
|
22
|
|
22|
|2|
2
|
|
))(1()(1)1(
)1())(1())((
1x
x
xx
x
x
x
xx
x
xx ud
cvucv
cv
cvu
cvu
cvuud
cvuudcvvu
cvuudud
+minus
=minusminus++
=++
minus+
=
|232
2
|
22|22
)1()(1)(1(
xxx
x acv
tdcvudcv
tduda minus=
minussdotminus==
10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos
Masė
Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų
Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1
(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose
Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos
sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1
rarr
v ir 2
rarr
v
o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1
rarr
∆ v ir 2
rarr
∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211
rarrrarr
∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens
Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm
tvm
∆∆
minus=∆∆
rarrrarr
22
11 ir kai ∆t rarr 0 tai
2211
rarrrarr
minus= amam
3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1
|
11
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv ir 1
|
22
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|
1 ir v|2 po susidūrimo Tada
)()( 2
|
221
|
11
rarrrarrrarrrarr
minusminus=minus vvmvvm ir |
21
|
112211
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm
Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams
21
rarrrarrrarr
+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr
= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara
11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis
Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis
F tdpdFrarr
rarr
= Dydis F yra koordinčių rarr
r ir greičio rarr
v funkcija )(rarrrarrrarr
vrF Taigi tdpdrarr
apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr
F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai
II Niutono dėsnis tdpdFrarr
rarr
= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu
atveju kai )(tmm ne tai rarr
rarr
= Ftdvdm
rarrrarr
= Ftdrdm 2
2
Taigi pagrindinis klasikinės
mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr
vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį
x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi
TtAx π2cos=
Tt
TAx ππ 2sin2
minus=bull
TtA
Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull
mxT
x sdotminus=bullbull
|)2( 2π
xmT
xm 2)2( πminus=
bullbull
kmT
=2)2( π
k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis
Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui
bullbullbull
minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra
)(rarrrarrrarr
larr rarr
rarr
vrFv RASTIti
RASTIi
m
A
x
a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai
0=
rarr
tdpd taigi constp =
rarr
ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir
greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma
Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1
rarr
F ir 2
rarr
F ir klausiama kokia viena jėgararr
F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga
Jeigu turėsime n jėgų iFrarr
kurios veikia materialų
tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr
F - sakoma kad
tai bus geometrinė iFrarr
jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu
kiekviena jėga iFrarr
suteikia materialiam taškui
pagreitį iararr
tai atstojamasis judėjimas
bus randamas visų iararr
vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr
= amF irgi bus
nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr
= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti
F F1 F
12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka
Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis
1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr
21 iš
2121 0rarrrarr
bullrarr
bullrarr
minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis
Tegu ikFrarr
- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr
- priešingai Tada iš
III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr
minus= 0=+rarrrarr
iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -
ikFrarr
Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru
atveju vidinių jėgų suma 0)()(
3
)(
2
)(
1 =++++rarrrarrrarrrarr i
n
iii
FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1
iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti
)(
1
)(
11
ei
FFtdpd rarrrarrrarr
+=
+)(
2
)(
22
ei
FFtd
pd rarrrarrrarr
+=
)()()()()(
3
)(
2
)(
1
)()(
2
)(
121
i
n
eeei
n
ii
n FFFFFFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
++++++++=+++
Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai
)()(
2
)(
121 )(e
n
ee
n FFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarr
+++=+++ ir )(e
Fptd
d rarrrarr
=
kur rarr
p - visos sistemos impulsas o )(e
Frarr
- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių
sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(
=rarr e
F tada
0=
rarr
tdpd ir
rarr
p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą
geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(
nerarr e
F tačiau
0)(
=rarr e
xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso
projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne
poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn
iF 0 tada tas pats
galioja ir impulsui rarr
p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)
Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš
III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm
Fa+
= o Fmm
mFFBA
B
+== 21 Šis sprendimas
nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|
2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|
1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|
1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =
F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB
Netamprus siūlas F F1 F2 A B
rarr
v
Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|
1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į
siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai
Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki
taško B tai jėga rarr
F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso
tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta
A|
A F B
laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas
cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis
Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis
xFtdxdm =2
2
yFtdydm =2
2
zFtdzdm =2
2
Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos
Paprastai tai būna rarr
r ir rarr
v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa
Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr
= gmF taigi
rarrrarr
= gtdrd2
2
arba rarr
rarr
= gtdvd ir
rarrrarr
= vtdrd iš čia 0
rarrrarrrarr
+= vtgv 002
21 rarrrarrrarrrarr
++= rtvtgr
Tai bendras sprendinys o paimdami 0
rarr
v ir 0
rarr
r konkrečias vertes gausime atskirą
prendinį o 0
rarr
v ir 0
rarr
r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną
Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1
rarr
v ir 2
rarr
v iki
susidūrimo ir po jo rarr
v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr
=+ vmvmvm 2211
Sistemoje A| judančioje greičiu rarr
v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|
22
|
11
rarrrarrrarr
=+ vmvmvm
Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr
v ir v| tadararrrarrrarr
minus= vvv 1
|
1 rarrrarrrarr
minus= vvv 2
|
2 rarrrarrrarr
minus= vvv|
Tada gauname
)()()( 2211
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr
minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr
=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių
adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių
adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau
13 Trinties dėsniai
1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja
P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)
Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio
fn
ftr f
P
d K = -ftrarr
s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga
Kai greičiai mažirarrrarr
minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę
rarrrarr
minus=minus= vvkvvvkftr 2
22
Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt
Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)
ftr
f0
d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0
v
Rimties trintiesjėga
f k2v2
k1v Turbulentinis aptekėjimas
Laminarinis aptekėjimas
v
14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas
1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e
Ftdpd rarrrarr
= - geometrinė
visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0
)(0 ttFpp e minus=minus -
jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su
21 ++=rarrrarrrarr
vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti
)( 01)(
101 ttFpp e minus=minusrarrrarr
+
)( 12)(
212 ttFpp e minus=minusrarrrarr
-------------------------------
ne
nee
n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr
minus
rarrrarr)(
2)(
21)(
101121
sum=
rarrrarr
∆=minusn
ii
ei tFpp
1
)(0 kai sum intequiv∆
rarr∆ i
t
t
ei
ei
tdFtF
i 0
)(lim )()(
0ττ tai int=minus
rarrrarr t
t
e dFpp0
)()(0 ττ
Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės
Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas
1 T1
2 T2
P
15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė
Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos
judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių
taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr
Rišreiškiamas
mrmrmR 211 ++
=
rarrrarrrarr
kur 321 +++= mmmm
21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr
rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmvm rarr
= vmp )(eFtdvdm =
rarr
Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai
00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=
rarr
Materialių
taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje
Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys
1
12
12
mF
tdrd
rarrrarr
= 2
22
22
mF
tdrd
rarrrarr
= Be to iš
trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr
= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime
)11()(21
21
1
2
2122
2
mmF
mF
mFrr
tdd
+=minus=minus
rarrrarrrarrrarr
Ši
lygtis aprašo vieno materialaus taško
judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr
minus= rrryra radius vektorius
m1
m2
O
rarr
r
1rarr
r2
rarr
r
z
x
1rarr
r
2rarr
r
R
y
Pažymėjus
21
111mm
+=micro
arba 21
21
mmmm+
=micro tada 22
2
Ftdrd=
rarr
micro
Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr
F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį
)(e
Ftdvdm
rarrrarr
= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo
tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi
Lygties 2rMmGF = vektorinė forma
rarrrarr
rarr
minus=minus= rrMmG
rr
rMmGF 32 Įvedus micro
planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip
rarrbullbullbullbull
minus==+
equiv rrMmGFr
MmMmr 3micro
rarrrarr +minus=
bullbull
rrmMGr 3 Kadangi laikome kad
sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr
minus=bullbull
rwr 2
322 )2(
rmMG
Tw +
==π arba 3r
mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo
periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w
32
1
21 )2(
rMG
Tw ==
π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w
32
22
2)2(rMG
Tw ==
π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2
2
12
1
2 ==TT
ww Apsisukimo
periodas antru atveju 2 kartų mažesnis
Planeta m
Saulė
M
rarr
r
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
reliatyvistinę formulę Dar akivaizdesnis bandymas buvo atliktas 1972 m Su trimatominiais laikrodžiais
Du atominiai laikrodžiai buvo įmontuoti įreaktyvinius lėktuvus o vienas buvosumontuotas aerouoste Visi trys laikrodžiaibuvo sinchronizuoti Po to abu lėktuvai pakilo įorą
Vienas skrenda prieš Žemės sukimąsi o kitaspagal trečias lieka vietoje Gryžus palyginamilaikrodžių parodymai Visi laikrodžiainagrinėjami Žemės centro atžvilgiu nes tokiasistema yra inercinė Kadangi v gt u| tai abuskrendantys laikrodžiai juda iš rytų į vakarusNejudančio Žemės paviršiuje laikrodžio savasislaikas 0τ judančio į vakarus savasis laikas +τ į rytus - minusτ
)(1 220 cvtdd minus=τ 2
2| )(1cuvtdd minus
minus=+τ 2
2| )(1c
uvtdd +minus=minusτ
0τd ir +τd - skuba o 0τd ir minusτd - vėluoja Tačiau traukos laukai taip pat lėtinalaikrodžių eigą taigi laikrodis kuris liko Žemės paviršiuje eis lėčiau negu laikrodžiaikurie yra lėktuvuose nes pastarieji yra silpnesniame traukos lauke Skridęs į vakarusskubėjo 275 ns o į rytus vėlavo 40 ns Sutapo teoriškai Su pagreičiais judančių laikrodžių eiga Formulė βτ sdot= dtd išvesta tolyginiam judėjimui o specialioji reliatyvumo teorijaneaprašo netolygaus judėjimo Bandymais buvo parodyta kad ši formulė galioja irjudėjimui su pagreičiu (bent jau sukimuisi apskritimu) nes buvo tiriamas elektringųdalelių judėjimas magnetiniame lauke veikiant Lorenco jėgai
vndash u|-
v + u|
rarr
v
9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados
Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|
= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai
1) judančioje |
||
tdxdux = |
||
tdyduy = |
||
tdzduz =
2) nejudančioje tdxdux =
tdyduy =
tdzduz =
Tada
β
|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =
ββ
)1( 2||
||
cvutd
tdvxdddxdu
x
x
+
+==
ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+
=+
= )1( 2
||
|
cvutd
ydtdydu
x
y
+
sdot==
β
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+=
|2
|2
2
1
1
x
y
y
ucv
ucv
u+
minus=
|2
|2
2
1
1
x
z
z
ucv
ucv
u+
minus=
Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|
y = u|z = 0 o u|
x = c tada
c
ccvvcux =
+
+=
21
Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|
x = 0 u|y = c u|
z = 0 Nejudančioje
koordinačių sistemoje ndash ux = v 2
2
1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių
sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi
2
2
1
1
cvc
vuutg
y
x
minus
===β Ši
formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu
Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje
ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+= kai aplinka juda plusmn v tai
)1()()(1
)(
2cnvv
nc
cncvvnvux msdotplusmn=
plusmn
plusmn= nes
cv ltlt 1
cnv
cnvcv
ncux
2
2 minusplusmnasymp m 02
asympcnv
vnn
cux sdotminusasymp )11( 2m
Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio
transformacija Pagreitis a|x a|
y a|z kur |
||
tduda x
x = u|x = u|
y = u|z = 0 tada
nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje
koordinačių sistemoje td
uda xx =
)1
()(2
||
cvu
vuux
xx
+
+=
|22|
22
2
2
2
|
2
|
22
|
|
22|
|2|
2
|
|
))(1()(1)1(
)1())(1())((
1x
x
xx
x
x
x
xx
x
xx ud
cvucv
cv
cvu
cvu
cvuud
cvuudcvvu
cvuudud
+minus
=minusminus++
=++
minus+
=
|232
2
|
22|22
)1()(1)(1(
xxx
x acv
tdcvudcv
tduda minus=
minussdotminus==
10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos
Masė
Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų
Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1
(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose
Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos
sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1
rarr
v ir 2
rarr
v
o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1
rarr
∆ v ir 2
rarr
∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211
rarrrarr
∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens
Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm
tvm
∆∆
minus=∆∆
rarrrarr
22
11 ir kai ∆t rarr 0 tai
2211
rarrrarr
minus= amam
3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1
|
11
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv ir 1
|
22
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|
1 ir v|2 po susidūrimo Tada
)()( 2
|
221
|
11
rarrrarrrarrrarr
minusminus=minus vvmvvm ir |
21
|
112211
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm
Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams
21
rarrrarrrarr
+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr
= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara
11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis
Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis
F tdpdFrarr
rarr
= Dydis F yra koordinčių rarr
r ir greičio rarr
v funkcija )(rarrrarrrarr
vrF Taigi tdpdrarr
apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr
F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai
II Niutono dėsnis tdpdFrarr
rarr
= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu
atveju kai )(tmm ne tai rarr
rarr
= Ftdvdm
rarrrarr
= Ftdrdm 2
2
Taigi pagrindinis klasikinės
mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr
vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį
x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi
TtAx π2cos=
Tt
TAx ππ 2sin2
minus=bull
TtA
Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull
mxT
x sdotminus=bullbull
|)2( 2π
xmT
xm 2)2( πminus=
bullbull
kmT
=2)2( π
k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis
Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui
bullbullbull
minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra
)(rarrrarrrarr
larr rarr
rarr
vrFv RASTIti
RASTIi
m
A
x
a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai
0=
rarr
tdpd taigi constp =
rarr
ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir
greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma
Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1
rarr
F ir 2
rarr
F ir klausiama kokia viena jėgararr
F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga
Jeigu turėsime n jėgų iFrarr
kurios veikia materialų
tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr
F - sakoma kad
tai bus geometrinė iFrarr
jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu
kiekviena jėga iFrarr
suteikia materialiam taškui
pagreitį iararr
tai atstojamasis judėjimas
bus randamas visų iararr
vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr
= amF irgi bus
nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr
= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti
F F1 F
12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka
Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis
1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr
21 iš
2121 0rarrrarr
bullrarr
bullrarr
minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis
Tegu ikFrarr
- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr
- priešingai Tada iš
III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr
minus= 0=+rarrrarr
iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -
ikFrarr
Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru
atveju vidinių jėgų suma 0)()(
3
)(
2
)(
1 =++++rarrrarrrarrrarr i
n
iii
FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1
iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti
)(
1
)(
11
ei
FFtdpd rarrrarrrarr
+=
+)(
2
)(
22
ei
FFtd
pd rarrrarrrarr
+=
)()()()()(
3
)(
2
)(
1
)()(
2
)(
121
i
n
eeei
n
ii
n FFFFFFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
++++++++=+++
Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai
)()(
2
)(
121 )(e
n
ee
n FFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarr
+++=+++ ir )(e
Fptd
d rarrrarr
=
kur rarr
p - visos sistemos impulsas o )(e
Frarr
- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių
sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(
=rarr e
F tada
0=
rarr
tdpd ir
rarr
p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą
geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(
nerarr e
F tačiau
0)(
=rarr e
xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso
projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne
poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn
iF 0 tada tas pats
galioja ir impulsui rarr
p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)
Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš
III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm
Fa+
= o Fmm
mFFBA
B
+== 21 Šis sprendimas
nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|
2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|
1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|
1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =
F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB
Netamprus siūlas F F1 F2 A B
rarr
v
Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|
1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į
siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai
Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki
taško B tai jėga rarr
F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso
tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta
A|
A F B
laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas
cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis
Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis
xFtdxdm =2
2
yFtdydm =2
2
zFtdzdm =2
2
Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos
Paprastai tai būna rarr
r ir rarr
v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa
Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr
= gmF taigi
rarrrarr
= gtdrd2
2
arba rarr
rarr
= gtdvd ir
rarrrarr
= vtdrd iš čia 0
rarrrarrrarr
+= vtgv 002
21 rarrrarrrarrrarr
++= rtvtgr
Tai bendras sprendinys o paimdami 0
rarr
v ir 0
rarr
r konkrečias vertes gausime atskirą
prendinį o 0
rarr
v ir 0
rarr
r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną
Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1
rarr
v ir 2
rarr
v iki
susidūrimo ir po jo rarr
v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr
=+ vmvmvm 2211
Sistemoje A| judančioje greičiu rarr
v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|
22
|
11
rarrrarrrarr
=+ vmvmvm
Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr
v ir v| tadararrrarrrarr
minus= vvv 1
|
1 rarrrarrrarr
minus= vvv 2
|
2 rarrrarrrarr
minus= vvv|
Tada gauname
)()()( 2211
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr
minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr
=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių
adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių
adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau
13 Trinties dėsniai
1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja
P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)
Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio
fn
ftr f
P
d K = -ftrarr
s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga
Kai greičiai mažirarrrarr
minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę
rarrrarr
minus=minus= vvkvvvkftr 2
22
Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt
Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)
ftr
f0
d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0
v
Rimties trintiesjėga
f k2v2
k1v Turbulentinis aptekėjimas
Laminarinis aptekėjimas
v
14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas
1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e
Ftdpd rarrrarr
= - geometrinė
visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0
)(0 ttFpp e minus=minus -
jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su
21 ++=rarrrarrrarr
vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti
)( 01)(
101 ttFpp e minus=minusrarrrarr
+
)( 12)(
212 ttFpp e minus=minusrarrrarr
-------------------------------
ne
nee
n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr
minus
rarrrarr)(
2)(
21)(
101121
sum=
rarrrarr
∆=minusn
ii
ei tFpp
1
)(0 kai sum intequiv∆
rarr∆ i
t
t
ei
ei
tdFtF
i 0
)(lim )()(
0ττ tai int=minus
rarrrarr t
t
e dFpp0
)()(0 ττ
Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės
Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas
1 T1
2 T2
P
15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė
Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos
judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių
taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr
Rišreiškiamas
mrmrmR 211 ++
=
rarrrarrrarr
kur 321 +++= mmmm
21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr
rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmvm rarr
= vmp )(eFtdvdm =
rarr
Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai
00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=
rarr
Materialių
taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje
Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys
1
12
12
mF
tdrd
rarrrarr
= 2
22
22
mF
tdrd
rarrrarr
= Be to iš
trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr
= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime
)11()(21
21
1
2
2122
2
mmF
mF
mFrr
tdd
+=minus=minus
rarrrarrrarrrarr
Ši
lygtis aprašo vieno materialaus taško
judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr
minus= rrryra radius vektorius
m1
m2
O
rarr
r
1rarr
r2
rarr
r
z
x
1rarr
r
2rarr
r
R
y
Pažymėjus
21
111mm
+=micro
arba 21
21
mmmm+
=micro tada 22
2
Ftdrd=
rarr
micro
Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr
F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį
)(e
Ftdvdm
rarrrarr
= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo
tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi
Lygties 2rMmGF = vektorinė forma
rarrrarr
rarr
minus=minus= rrMmG
rr
rMmGF 32 Įvedus micro
planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip
rarrbullbullbullbull
minus==+
equiv rrMmGFr
MmMmr 3micro
rarrrarr +minus=
bullbull
rrmMGr 3 Kadangi laikome kad
sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr
minus=bullbull
rwr 2
322 )2(
rmMG
Tw +
==π arba 3r
mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo
periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w
32
1
21 )2(
rMG
Tw ==
π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w
32
22
2)2(rMG
Tw ==
π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2
2
12
1
2 ==TT
ww Apsisukimo
periodas antru atveju 2 kartų mažesnis
Planeta m
Saulė
M
rarr
r
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
9 Lorenco transformacijų išvada greičių sudėtis Fizo bandymo išvados
Greičių sudėtis ir pagreičio transformacija Greičių sudėties formulė Materialaus taško judėjimas judančioje koordinačių sistemoje x| = x|(t|) y| = y|(t|) z|
= z|(t|) o nejudančioje x = x(t) y = y(t) z = z(t) Greičiai
1) judančioje |
||
tdxdux = |
||
tdyduy = |
||
tdzduz =
2) nejudančioje tdxdux =
tdyduy =
tdzduz =
Tada
β
|| tdvxdxd += |ydyd = |zdzd =
ββ
)1( 2||
||
cvutd
tdvxdddxdu
x
x
+
+==
ββ))(1()( 2|||2| cvutdxdcvtdtd x+
=+
= )1( 2
||
|
cvutd
ydtdydu
x
y
+
sdot==
β
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+=
|2
|2
2
1
1
x
y
y
ucv
ucv
u+
minus=
|2
|2
2
1
1
x
z
z
ucv
ucv
u+
minus=
Iš greičio sudėties formulių seka kad c = const ir nėra greičio galinčio jį viršytiSakykime u|
y = u|z = 0 o u|
x = c tada
c
ccvvcux =
+
+=
21
Taip ir turėjo būti nes formulės išvestos naudojantis šviesos pastovumo principu Aberacija Sakykime y| kryptimi slenka spindulys tada u|
x = 0 u|y = c u|
z = 0 Nejudančioje
koordinačių sistemoje ndash ux = v 2
2
1cvuy minus= uz = 0 Nejudančioje koordinačių
sistemoje šviesos spindulys sudarys kampą su y ašimi
2
2
1
1
cvc
vuutg
y
x
minus
===β Ši
formulė sutampa su klasikinės teorijos formule tik klasikinėje buvo a) šaltinis judastebėtojas ndash ne b) stebėtojas juda šaltinis ndash ne Specialios reliatyvumo teorijos požiūriušaltinis ir stebėtojas juda vienas kito atžvilgiu
Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje
ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+= kai aplinka juda plusmn v tai
)1()()(1
)(
2cnvv
nc
cncvvnvux msdotplusmn=
plusmn
plusmn= nes
cv ltlt 1
cnv
cnvcv
ncux
2
2 minusplusmnasymp m 02
asympcnv
vnn
cux sdotminusasymp )11( 2m
Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio
transformacija Pagreitis a|x a|
y a|z kur |
||
tduda x
x = u|x = u|
y = u|z = 0 tada
nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje
koordinačių sistemoje td
uda xx =
)1
()(2
||
cvu
vuux
xx
+
+=
|22|
22
2
2
2
|
2
|
22
|
|
22|
|2|
2
|
|
))(1()(1)1(
)1())(1())((
1x
x
xx
x
x
x
xx
x
xx ud
cvucv
cv
cvu
cvu
cvuud
cvuudcvvu
cvuudud
+minus
=minusminus++
=++
minus+
=
|232
2
|
22|22
)1()(1)(1(
xxx
x acv
tdcvudcv
tduda minus=
minussdotminus==
10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos
Masė
Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų
Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1
(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose
Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos
sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1
rarr
v ir 2
rarr
v
o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1
rarr
∆ v ir 2
rarr
∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211
rarrrarr
∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens
Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm
tvm
∆∆
minus=∆∆
rarrrarr
22
11 ir kai ∆t rarr 0 tai
2211
rarrrarr
minus= amam
3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1
|
11
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv ir 1
|
22
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|
1 ir v|2 po susidūrimo Tada
)()( 2
|
221
|
11
rarrrarrrarrrarr
minusminus=minus vvmvvm ir |
21
|
112211
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm
Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams
21
rarrrarrrarr
+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr
= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara
11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis
Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis
F tdpdFrarr
rarr
= Dydis F yra koordinčių rarr
r ir greičio rarr
v funkcija )(rarrrarrrarr
vrF Taigi tdpdrarr
apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr
F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai
II Niutono dėsnis tdpdFrarr
rarr
= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu
atveju kai )(tmm ne tai rarr
rarr
= Ftdvdm
rarrrarr
= Ftdrdm 2
2
Taigi pagrindinis klasikinės
mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr
vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį
x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi
TtAx π2cos=
Tt
TAx ππ 2sin2
minus=bull
TtA
Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull
mxT
x sdotminus=bullbull
|)2( 2π
xmT
xm 2)2( πminus=
bullbull
kmT
=2)2( π
k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis
Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui
bullbullbull
minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra
)(rarrrarrrarr
larr rarr
rarr
vrFv RASTIti
RASTIi
m
A
x
a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai
0=
rarr
tdpd taigi constp =
rarr
ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir
greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma
Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1
rarr
F ir 2
rarr
F ir klausiama kokia viena jėgararr
F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga
Jeigu turėsime n jėgų iFrarr
kurios veikia materialų
tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr
F - sakoma kad
tai bus geometrinė iFrarr
jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu
kiekviena jėga iFrarr
suteikia materialiam taškui
pagreitį iararr
tai atstojamasis judėjimas
bus randamas visų iararr
vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr
= amF irgi bus
nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr
= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti
F F1 F
12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka
Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis
1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr
21 iš
2121 0rarrrarr
bullrarr
bullrarr
minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis
Tegu ikFrarr
- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr
- priešingai Tada iš
III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr
minus= 0=+rarrrarr
iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -
ikFrarr
Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru
atveju vidinių jėgų suma 0)()(
3
)(
2
)(
1 =++++rarrrarrrarrrarr i
n
iii
FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1
iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti
)(
1
)(
11
ei
FFtdpd rarrrarrrarr
+=
+)(
2
)(
22
ei
FFtd
pd rarrrarrrarr
+=
)()()()()(
3
)(
2
)(
1
)()(
2
)(
121
i
n
eeei
n
ii
n FFFFFFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
++++++++=+++
Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai
)()(
2
)(
121 )(e
n
ee
n FFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarr
+++=+++ ir )(e
Fptd
d rarrrarr
=
kur rarr
p - visos sistemos impulsas o )(e
Frarr
- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių
sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(
=rarr e
F tada
0=
rarr
tdpd ir
rarr
p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą
geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(
nerarr e
F tačiau
0)(
=rarr e
xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso
projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne
poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn
iF 0 tada tas pats
galioja ir impulsui rarr
p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)
Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš
III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm
Fa+
= o Fmm
mFFBA
B
+== 21 Šis sprendimas
nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|
2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|
1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|
1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =
F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB
Netamprus siūlas F F1 F2 A B
rarr
v
Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|
1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į
siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai
Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki
taško B tai jėga rarr
F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso
tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta
A|
A F B
laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas
cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis
Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis
xFtdxdm =2
2
yFtdydm =2
2
zFtdzdm =2
2
Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos
Paprastai tai būna rarr
r ir rarr
v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa
Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr
= gmF taigi
rarrrarr
= gtdrd2
2
arba rarr
rarr
= gtdvd ir
rarrrarr
= vtdrd iš čia 0
rarrrarrrarr
+= vtgv 002
21 rarrrarrrarrrarr
++= rtvtgr
Tai bendras sprendinys o paimdami 0
rarr
v ir 0
rarr
r konkrečias vertes gausime atskirą
prendinį o 0
rarr
v ir 0
rarr
r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną
Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1
rarr
v ir 2
rarr
v iki
susidūrimo ir po jo rarr
v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr
=+ vmvmvm 2211
Sistemoje A| judančioje greičiu rarr
v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|
22
|
11
rarrrarrrarr
=+ vmvmvm
Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr
v ir v| tadararrrarrrarr
minus= vvv 1
|
1 rarrrarrrarr
minus= vvv 2
|
2 rarrrarrrarr
minus= vvv|
Tada gauname
)()()( 2211
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr
minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr
=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių
adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių
adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau
13 Trinties dėsniai
1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja
P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)
Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio
fn
ftr f
P
d K = -ftrarr
s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga
Kai greičiai mažirarrrarr
minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę
rarrrarr
minus=minus= vvkvvvkftr 2
22
Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt
Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)
ftr
f0
d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0
v
Rimties trintiesjėga
f k2v2
k1v Turbulentinis aptekėjimas
Laminarinis aptekėjimas
v
14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas
1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e
Ftdpd rarrrarr
= - geometrinė
visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0
)(0 ttFpp e minus=minus -
jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su
21 ++=rarrrarrrarr
vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti
)( 01)(
101 ttFpp e minus=minusrarrrarr
+
)( 12)(
212 ttFpp e minus=minusrarrrarr
-------------------------------
ne
nee
n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr
minus
rarrrarr)(
2)(
21)(
101121
sum=
rarrrarr
∆=minusn
ii
ei tFpp
1
)(0 kai sum intequiv∆
rarr∆ i
t
t
ei
ei
tdFtF
i 0
)(lim )()(
0ττ tai int=minus
rarrrarr t
t
e dFpp0
)()(0 ττ
Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės
Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas
1 T1
2 T2
P
15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė
Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos
judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių
taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr
Rišreiškiamas
mrmrmR 211 ++
=
rarrrarrrarr
kur 321 +++= mmmm
21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr
rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmvm rarr
= vmp )(eFtdvdm =
rarr
Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai
00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=
rarr
Materialių
taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje
Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys
1
12
12
mF
tdrd
rarrrarr
= 2
22
22
mF
tdrd
rarrrarr
= Be to iš
trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr
= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime
)11()(21
21
1
2
2122
2
mmF
mF
mFrr
tdd
+=minus=minus
rarrrarrrarrrarr
Ši
lygtis aprašo vieno materialaus taško
judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr
minus= rrryra radius vektorius
m1
m2
O
rarr
r
1rarr
r2
rarr
r
z
x
1rarr
r
2rarr
r
R
y
Pažymėjus
21
111mm
+=micro
arba 21
21
mmmm+
=micro tada 22
2
Ftdrd=
rarr
micro
Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr
F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį
)(e
Ftdvdm
rarrrarr
= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo
tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi
Lygties 2rMmGF = vektorinė forma
rarrrarr
rarr
minus=minus= rrMmG
rr
rMmGF 32 Įvedus micro
planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip
rarrbullbullbullbull
minus==+
equiv rrMmGFr
MmMmr 3micro
rarrrarr +minus=
bullbull
rrmMGr 3 Kadangi laikome kad
sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr
minus=bullbull
rwr 2
322 )2(
rmMG
Tw +
==π arba 3r
mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo
periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w
32
1
21 )2(
rMG
Tw ==
π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w
32
22
2)2(rMG
Tw ==
π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2
2
12
1
2 ==TT
ww Apsisukimo
periodas antru atveju 2 kartų mažesnis
Planeta m
Saulė
M
rarr
r
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
Fizo bandymo išvados Jeigu aplinkos lūžio rodiklis n tai šviesos greitis yra cn Kai x| ašis sutampa suaplinkos judėjimo kryptimi šviesos greitis judančioje koordinačių sistemoje
ncux | = 0=yu 0=zu Iš sąlygos
2
|
|
1cvu
vuux
xx
+
+= kai aplinka juda plusmn v tai
)1()()(1
)(
2cnvv
nc
cncvvnvux msdotplusmn=
plusmn
plusmn= nes
cv ltlt 1
cnv
cnvcv
ncux
2
2 minusplusmnasymp m 02
asympcnv
vnn
cux sdotminusasymp )11( 2m
Taigi Fizo bandymas patvirtino reliatyvistinę greičių sudėties formulę Pagreičio
transformacija Pagreitis a|x a|
y a|z kur |
||
tduda x
x = u|x = u|
y = u|z = 0 tada
nebrūkšniuotoje koordinačių sistemoje ux = uy = uz = 0 Pagreitis nebrūkšniuotoje
koordinačių sistemoje td
uda xx =
)1
()(2
||
cvu
vuux
xx
+
+=
|22|
22
2
2
2
|
2
|
22
|
|
22|
|2|
2
|
|
))(1()(1)1(
)1())(1())((
1x
x
xx
x
x
x
xx
x
xx ud
cvucv
cv
cvu
cvu
cvuud
cvuudcvvu
cvuudud
+minus
=minusminus++
=++
minus+
=
|232
2
|
22|22
)1()(1)(1(
xxx
x acv
tdcvudcv
tduda minus=
minussdotminus==
10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos
Masė
Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų
Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1
(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose
Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos
sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1
rarr
v ir 2
rarr
v
o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1
rarr
∆ v ir 2
rarr
∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211
rarrrarr
∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens
Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm
tvm
∆∆
minus=∆∆
rarrrarr
22
11 ir kai ∆t rarr 0 tai
2211
rarrrarr
minus= amam
3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1
|
11
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv ir 1
|
22
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|
1 ir v|2 po susidūrimo Tada
)()( 2
|
221
|
11
rarrrarrrarrrarr
minusminus=minus vvmvvm ir |
21
|
112211
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm
Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams
21
rarrrarrrarr
+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr
= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara
11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis
Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis
F tdpdFrarr
rarr
= Dydis F yra koordinčių rarr
r ir greičio rarr
v funkcija )(rarrrarrrarr
vrF Taigi tdpdrarr
apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr
F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai
II Niutono dėsnis tdpdFrarr
rarr
= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu
atveju kai )(tmm ne tai rarr
rarr
= Ftdvdm
rarrrarr
= Ftdrdm 2
2
Taigi pagrindinis klasikinės
mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr
vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį
x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi
TtAx π2cos=
Tt
TAx ππ 2sin2
minus=bull
TtA
Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull
mxT
x sdotminus=bullbull
|)2( 2π
xmT
xm 2)2( πminus=
bullbull
kmT
=2)2( π
k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis
Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui
bullbullbull
minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra
)(rarrrarrrarr
larr rarr
rarr
vrFv RASTIti
RASTIi
m
A
x
a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai
0=
rarr
tdpd taigi constp =
rarr
ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir
greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma
Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1
rarr
F ir 2
rarr
F ir klausiama kokia viena jėgararr
F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga
Jeigu turėsime n jėgų iFrarr
kurios veikia materialų
tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr
F - sakoma kad
tai bus geometrinė iFrarr
jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu
kiekviena jėga iFrarr
suteikia materialiam taškui
pagreitį iararr
tai atstojamasis judėjimas
bus randamas visų iararr
vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr
= amF irgi bus
nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr
= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti
F F1 F
12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka
Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis
1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr
21 iš
2121 0rarrrarr
bullrarr
bullrarr
minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis
Tegu ikFrarr
- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr
- priešingai Tada iš
III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr
minus= 0=+rarrrarr
iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -
ikFrarr
Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru
atveju vidinių jėgų suma 0)()(
3
)(
2
)(
1 =++++rarrrarrrarrrarr i
n
iii
FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1
iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti
)(
1
)(
11
ei
FFtdpd rarrrarrrarr
+=
+)(
2
)(
22
ei
FFtd
pd rarrrarrrarr
+=
)()()()()(
3
)(
2
)(
1
)()(
2
)(
121
i
n
eeei
n
ii
n FFFFFFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
++++++++=+++
Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai
)()(
2
)(
121 )(e
n
ee
n FFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarr
+++=+++ ir )(e
Fptd
d rarrrarr
=
kur rarr
p - visos sistemos impulsas o )(e
Frarr
- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių
sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(
=rarr e
F tada
0=
rarr
tdpd ir
rarr
p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą
geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(
nerarr e
F tačiau
0)(
=rarr e
xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso
projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne
poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn
iF 0 tada tas pats
galioja ir impulsui rarr
p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)
Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš
III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm
Fa+
= o Fmm
mFFBA
B
+== 21 Šis sprendimas
nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|
2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|
1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|
1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =
F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB
Netamprus siūlas F F1 F2 A B
rarr
v
Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|
1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į
siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai
Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki
taško B tai jėga rarr
F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso
tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta
A|
A F B
laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas
cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis
Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis
xFtdxdm =2
2
yFtdydm =2
2
zFtdzdm =2
2
Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos
Paprastai tai būna rarr
r ir rarr
v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa
Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr
= gmF taigi
rarrrarr
= gtdrd2
2
arba rarr
rarr
= gtdvd ir
rarrrarr
= vtdrd iš čia 0
rarrrarrrarr
+= vtgv 002
21 rarrrarrrarrrarr
++= rtvtgr
Tai bendras sprendinys o paimdami 0
rarr
v ir 0
rarr
r konkrečias vertes gausime atskirą
prendinį o 0
rarr
v ir 0
rarr
r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną
Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1
rarr
v ir 2
rarr
v iki
susidūrimo ir po jo rarr
v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr
=+ vmvmvm 2211
Sistemoje A| judančioje greičiu rarr
v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|
22
|
11
rarrrarrrarr
=+ vmvmvm
Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr
v ir v| tadararrrarrrarr
minus= vvv 1
|
1 rarrrarrrarr
minus= vvv 2
|
2 rarrrarrrarr
minus= vvv|
Tada gauname
)()()( 2211
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr
minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr
=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių
adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių
adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau
13 Trinties dėsniai
1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja
P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)
Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio
fn
ftr f
P
d K = -ftrarr
s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga
Kai greičiai mažirarrrarr
minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę
rarrrarr
minus=minus= vvkvvvkftr 2
22
Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt
Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)
ftr
f0
d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0
v
Rimties trintiesjėga
f k2v2
k1v Turbulentinis aptekėjimas
Laminarinis aptekėjimas
v
14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas
1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e
Ftdpd rarrrarr
= - geometrinė
visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0
)(0 ttFpp e minus=minus -
jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su
21 ++=rarrrarrrarr
vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti
)( 01)(
101 ttFpp e minus=minusrarrrarr
+
)( 12)(
212 ttFpp e minus=minusrarrrarr
-------------------------------
ne
nee
n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr
minus
rarrrarr)(
2)(
21)(
101121
sum=
rarrrarr
∆=minusn
ii
ei tFpp
1
)(0 kai sum intequiv∆
rarr∆ i
t
t
ei
ei
tdFtF
i 0
)(lim )()(
0ττ tai int=minus
rarrrarr t
t
e dFpp0
)()(0 ττ
Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės
Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas
1 T1
2 T2
P
15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė
Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos
judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių
taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr
Rišreiškiamas
mrmrmR 211 ++
=
rarrrarrrarr
kur 321 +++= mmmm
21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr
rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmvm rarr
= vmp )(eFtdvdm =
rarr
Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai
00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=
rarr
Materialių
taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje
Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys
1
12
12
mF
tdrd
rarrrarr
= 2
22
22
mF
tdrd
rarrrarr
= Be to iš
trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr
= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime
)11()(21
21
1
2
2122
2
mmF
mF
mFrr
tdd
+=minus=minus
rarrrarrrarrrarr
Ši
lygtis aprašo vieno materialaus taško
judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr
minus= rrryra radius vektorius
m1
m2
O
rarr
r
1rarr
r2
rarr
r
z
x
1rarr
r
2rarr
r
R
y
Pažymėjus
21
111mm
+=micro
arba 21
21
mmmm+
=micro tada 22
2
Ftdrd=
rarr
micro
Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr
F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį
)(e
Ftdvdm
rarrrarr
= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo
tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi
Lygties 2rMmGF = vektorinė forma
rarrrarr
rarr
minus=minus= rrMmG
rr
rMmGF 32 Įvedus micro
planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip
rarrbullbullbullbull
minus==+
equiv rrMmGFr
MmMmr 3micro
rarrrarr +minus=
bullbull
rrmMGr 3 Kadangi laikome kad
sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr
minus=bullbull
rwr 2
322 )2(
rmMG
Tw +
==π arba 3r
mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo
periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w
32
1
21 )2(
rMG
Tw ==
π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w
32
22
2)2(rMG
Tw ==
π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2
2
12
1
2 ==TT
ww Apsisukimo
periodas antru atveju 2 kartų mažesnis
Planeta m
Saulė
M
rarr
r
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
10 Niutono apibrėžimai ir dėsniai Inercijos dėsnis ir inercinės atskaitos sistemos
Masė
Niutono apibrėžimai tokie kaip juos suformulavo Niutonas 1) Apibrėžimas Materijos kiekis (masė) yra jos matas nustatomas proporcingaijos tūriui ir tankiui (Niutonas nepaaiškino kas tai ) 2) Apibrėžimas Judėjimo kiekis yra jo matas nustatomas proporcingai greičiui irmasei 3) Apibrėžimas Materijos prigimtinė jėga yra jai būdingas sugebėjimas priešintistodėl bet kuris atskirai paimtas kūnas kadangi jis laisvas išlaiko savo ramybės arbatolygaus tiesiaeigio judėjimo būseną 4) Apibrėžimas Pridėta jėga yra veiksmas atliekamas su kūnu kad pakeisti joramybės arba tiesiaeigio tolygaus judėjimo būseną Dėsniai I dėsnis Bet kuris kūnas išlieka ramybės ir tolygaus tiesiaeigio judėjimo būsenoje koljis išorinių jėgų veikiamas nepriverčiamas pakeisti tą būvį II dėsnis Judėjimo kiekio pokytis proporcingas pridėtai judinančiai jėgai ir sutampasu kryptimi tos tiesės kurios kryptimi veikia ta jėga III dėsnis Veiksmui visada yra lygus priešingas priešinimasis kitaip ndash dviejų kūnųtarpusavio sąveikos yra lygios ir nukreiptos priešingomis kryptimis Į jėgą žiūrima kaip kūno judėjimo kiekio pakitimo priežastį Jėga yra kūnųtarpusavio sąveikos stiprumo matas kuri pasireiškia judėjimo kiekio pakitimu Inercijos dėsnis Inercinė atskaitos sistema 1 Ι Niutono dėsnis tai transformuotas Galilėjaus inercijos dėsnis materialustaškas neveikiamas išorinių poveikių arba yra ramybės būsenoje arba juda tolygiaitiesiaeigiai Toks kūnas vadinamas laisvu o jo judėjimas ndash laisvu judėjimu arba inerciniujudėjimu Laisvų kūnų nėra tačiau galima sukurti tam artimas sąlygas fizikinėabstrakcija Kaip nustatyti kad kūną neveikia jėga Atskymo nėra 1) Jeigu nėra išsitempusi spyruoklė virvė ir tt 2) Nėra kontakto su kitais kūnais 3) Yra jėgų laukai A) Toliaveikės jėgos a) Gravitacinės prigimties b) Elektromagnetinės B) Artiveikos jėgos a) Branduolinės b) Silpnų sąveikų
Jei nrF 1= tai toliveikos jegos veiks kai n = 2 (gravitacinės) ir n = 1
(elektromagnetinės) Tik dėl gravitacinių jėgų ir elektromagnetinio spinduliavimo mesžinome kad yra kitos žvaigždės planetos ir tt Kad nėra elektromagnetinio lauko visadagalima sužinoti kadangi jis skirtingai veikia teigiamus ir neigiamus krūvius dipoliųsvyravimai įelektrinto rutuliuko judėjimas Tas pats gravitacinis laukas visiems kūnamssuteikia vienodą pagreitį tas laukas yra vienalytis pakankamai dideliuose atstumuose
Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos
sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1
rarr
v ir 2
rarr
v
o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1
rarr
∆ v ir 2
rarr
∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211
rarrrarr
∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens
Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm
tvm
∆∆
minus=∆∆
rarrrarr
22
11 ir kai ∆t rarr 0 tai
2211
rarrrarr
minus= amam
3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1
|
11
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv ir 1
|
22
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|
1 ir v|2 po susidūrimo Tada
)()( 2
|
221
|
11
rarrrarrrarrrarr
minusminus=minus vvmvvm ir |
21
|
112211
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm
Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams
21
rarrrarrrarr
+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr
= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara
11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis
Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis
F tdpdFrarr
rarr
= Dydis F yra koordinčių rarr
r ir greičio rarr
v funkcija )(rarrrarrrarr
vrF Taigi tdpdrarr
apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr
F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai
II Niutono dėsnis tdpdFrarr
rarr
= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu
atveju kai )(tmm ne tai rarr
rarr
= Ftdvdm
rarrrarr
= Ftdrdm 2
2
Taigi pagrindinis klasikinės
mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr
vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį
x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi
TtAx π2cos=
Tt
TAx ππ 2sin2
minus=bull
TtA
Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull
mxT
x sdotminus=bullbull
|)2( 2π
xmT
xm 2)2( πminus=
bullbull
kmT
=2)2( π
k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis
Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui
bullbullbull
minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra
)(rarrrarrrarr
larr rarr
rarr
vrFv RASTIti
RASTIi
m
A
x
a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai
0=
rarr
tdpd taigi constp =
rarr
ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir
greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma
Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1
rarr
F ir 2
rarr
F ir klausiama kokia viena jėgararr
F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga
Jeigu turėsime n jėgų iFrarr
kurios veikia materialų
tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr
F - sakoma kad
tai bus geometrinė iFrarr
jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu
kiekviena jėga iFrarr
suteikia materialiam taškui
pagreitį iararr
tai atstojamasis judėjimas
bus randamas visų iararr
vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr
= amF irgi bus
nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr
= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti
F F1 F
12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka
Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis
1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr
21 iš
2121 0rarrrarr
bullrarr
bullrarr
minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis
Tegu ikFrarr
- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr
- priešingai Tada iš
III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr
minus= 0=+rarrrarr
iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -
ikFrarr
Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru
atveju vidinių jėgų suma 0)()(
3
)(
2
)(
1 =++++rarrrarrrarrrarr i
n
iii
FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1
iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti
)(
1
)(
11
ei
FFtdpd rarrrarrrarr
+=
+)(
2
)(
22
ei
FFtd
pd rarrrarrrarr
+=
)()()()()(
3
)(
2
)(
1
)()(
2
)(
121
i
n
eeei
n
ii
n FFFFFFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
++++++++=+++
Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai
)()(
2
)(
121 )(e
n
ee
n FFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarr
+++=+++ ir )(e
Fptd
d rarrrarr
=
kur rarr
p - visos sistemos impulsas o )(e
Frarr
- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių
sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(
=rarr e
F tada
0=
rarr
tdpd ir
rarr
p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą
geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(
nerarr e
F tačiau
0)(
=rarr e
xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso
projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne
poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn
iF 0 tada tas pats
galioja ir impulsui rarr
p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)
Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš
III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm
Fa+
= o Fmm
mFFBA
B
+== 21 Šis sprendimas
nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|
2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|
1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|
1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =
F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB
Netamprus siūlas F F1 F2 A B
rarr
v
Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|
1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į
siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai
Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki
taško B tai jėga rarr
F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso
tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta
A|
A F B
laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas
cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis
Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis
xFtdxdm =2
2
yFtdydm =2
2
zFtdzdm =2
2
Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos
Paprastai tai būna rarr
r ir rarr
v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa
Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr
= gmF taigi
rarrrarr
= gtdrd2
2
arba rarr
rarr
= gtdvd ir
rarrrarr
= vtdrd iš čia 0
rarrrarrrarr
+= vtgv 002
21 rarrrarrrarrrarr
++= rtvtgr
Tai bendras sprendinys o paimdami 0
rarr
v ir 0
rarr
r konkrečias vertes gausime atskirą
prendinį o 0
rarr
v ir 0
rarr
r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną
Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1
rarr
v ir 2
rarr
v iki
susidūrimo ir po jo rarr
v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr
=+ vmvmvm 2211
Sistemoje A| judančioje greičiu rarr
v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|
22
|
11
rarrrarrrarr
=+ vmvmvm
Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr
v ir v| tadararrrarrrarr
minus= vvv 1
|
1 rarrrarrrarr
minus= vvv 2
|
2 rarrrarrrarr
minus= vvv|
Tada gauname
)()()( 2211
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr
minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr
=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių
adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių
adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau
13 Trinties dėsniai
1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja
P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)
Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio
fn
ftr f
P
d K = -ftrarr
s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga
Kai greičiai mažirarrrarr
minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę
rarrrarr
minus=minus= vvkvvvkftr 2
22
Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt
Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)
ftr
f0
d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0
v
Rimties trintiesjėga
f k2v2
k1v Turbulentinis aptekėjimas
Laminarinis aptekėjimas
v
14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas
1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e
Ftdpd rarrrarr
= - geometrinė
visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0
)(0 ttFpp e minus=minus -
jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su
21 ++=rarrrarrrarr
vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti
)( 01)(
101 ttFpp e minus=minusrarrrarr
+
)( 12)(
212 ttFpp e minus=minusrarrrarr
-------------------------------
ne
nee
n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr
minus
rarrrarr)(
2)(
21)(
101121
sum=
rarrrarr
∆=minusn
ii
ei tFpp
1
)(0 kai sum intequiv∆
rarr∆ i
t
t
ei
ei
tdFtF
i 0
)(lim )()(
0ττ tai int=minus
rarrrarr t
t
e dFpp0
)()(0 ττ
Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės
Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas
1 T1
2 T2
P
15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė
Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos
judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių
taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr
Rišreiškiamas
mrmrmR 211 ++
=
rarrrarrrarr
kur 321 +++= mmmm
21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr
rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmvm rarr
= vmp )(eFtdvdm =
rarr
Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai
00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=
rarr
Materialių
taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje
Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys
1
12
12
mF
tdrd
rarrrarr
= 2
22
22
mF
tdrd
rarrrarr
= Be to iš
trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr
= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime
)11()(21
21
1
2
2122
2
mmF
mF
mFrr
tdd
+=minus=minus
rarrrarrrarrrarr
Ši
lygtis aprašo vieno materialaus taško
judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr
minus= rrryra radius vektorius
m1
m2
O
rarr
r
1rarr
r2
rarr
r
z
x
1rarr
r
2rarr
r
R
y
Pažymėjus
21
111mm
+=micro
arba 21
21
mmmm+
=micro tada 22
2
Ftdrd=
rarr
micro
Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr
F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį
)(e
Ftdvdm
rarrrarr
= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo
tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi
Lygties 2rMmGF = vektorinė forma
rarrrarr
rarr
minus=minus= rrMmG
rr
rMmGF 32 Įvedus micro
planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip
rarrbullbullbullbull
minus==+
equiv rrMmGFr
MmMmr 3micro
rarrrarr +minus=
bullbull
rrmMGr 3 Kadangi laikome kad
sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr
minus=bullbull
rwr 2
322 )2(
rmMG
Tw +
==π arba 3r
mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo
periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w
32
1
21 )2(
rMG
Tw ==
π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w
32
22
2)2(rMG
Tw ==
π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2
2
12
1
2 ==TT
ww Apsisukimo
periodas antru atveju 2 kartų mažesnis
Planeta m
Saulė
M
rarr
r
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
Jeigu pasirinkti atskaitos sistemą kuri laisvai krenta gravitaciniame lauke tai to laukobuvimas niekaip nepasireiškia ndash yra nesvarumo būsena kintamas gravitacinių bangųlaukas per daug silpnas kad sukeltų kokius nors nukrypimus 2 Kinematikoje atskaitos sistemos pasirinkimas nesvarbus nes visos atskaitossistemos kinematiškai ekvivalenčios Dinamikoje vienas ir tas pats judėjimas busskirtingas skirtingose atskaitos sistemose Jeigu vienoje juda kūnas tolygiai tiesiaeigiaitai judančioje su pagreičiu atžvilgiu pirmosios to jau nebus Klasikinės mechanikospostulatas sąveikauja tokia atskaitos sistema kurioje visi laisvieji kūnai juda tiesiaeigiaiir tolygiai inercine atskaitos sistema Kokia yra atskaitos sistema galima nustatyti tik bandymu Žemės atskaitossistema Žemė nejuda o visos žvaigždės juda milžiniškais greičiais (apsisuka per parą)apskritiminėmis orbitomis taip milžiniški įcentriniai pagreičiai Žemės atskaitos sistemaneicentrinė Heliocentrinė arba Koperniko atskaitos sistema pradžia sutampa su Saule(Saulė sistemos masių centre) o koordinačių ašys nukreiptos į tris tolimas žvaigždeskaip šviesos spinduliai Žvaigždė juda tačiau kadangi atstumai milžiniški tai tokiaismažais greičiais kad galima jų neįskaityti Taigi Koperniko sistema jau yra inercinėbent jau nagrinėjant judėjimą Saulė planetų sistemos ribose arba bet kurioje sistemojekurios matmenys mažesni negu atstumai iki žvaigždžių į kurias nukreiptos koordinačiųašys 3 Žemės atskaitos sistema yra neinercinė nes ji sukasi apie savo ašį ir apie Saulętai yra juda su pagreičiu Koperniko sistemos atžvilgiu Tačiau tas judėjimas yrasantykinai lėtas todėl daugeliu atveju ji gali būti laikoma inercine sistema Masė Impulso tvermės dėsnis 1 Kiekvienas kūnas priešinasi kai norime jį išjudinti arba pakeisti jo judėjimokryptį arba dydį ndash inercija Inercijos dydis skirtingos masės kūnams yra skirtingas taigimasė kūno inertiškumo matas Tam kad tiksliai apibrėžti masę įveskime izoliuotos arbauždaros sistemos sąvoką sistema kūnų tiek nutolusių nuo kitų kūnų kad jų neveikia tos
sistemos Du sąveikaujantys materialųs taškai judantys v ltlt c Tų taškų greičiai 1
rarr
v ir 2
rarr
v
o tų greičių pokyčiai per ∆t yra 1
rarr
∆ v ir 2
rarr
∆ v Kai tie taškai sąvieikauja 2211
rarrrarr
∆=∆ vmvm kur m1 ir m2 = const Sąveikos ryšys dydžiams m1 ir m2 neturi įtakos (susidūrimaselektrostatinė sąveika ir tt) Tai bandymų rezultatas Koeficientaai m1 ir m2 yramaterialių taškų inercinės masės arba masės Taigi dviejų materialių taškų masių santykislygus tų taškų greičių prieauglių atsiradusių dėl jų tarpusavio sąveikos santykiui supriešingu ženklu 2 Masės kiekiui matuoti reikalingas atskaitos vienetas etalonas (kg) etaloniniscilindras iš iridžio ndash platinos lydinio yra Sevre (Prancūzijoje) Masės etalonas parinktasatsitiktinai ir neturi savo natūralaus atitikmens
Iš sąveikaujančių taškų formulės gauname tvm
tvm
∆∆
minus=∆∆
rarrrarr
22
11 ir kai ∆t rarr 0 tai
2211
rarrrarr
minus= amam
3 Iš sąveikaujančių taškų išraiškos galima rašyti 1
|
11
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv ir 1
|
22
rarrrarrrarr
minus=∆ vvv kur v1 ir v2 greičiai iki susidūrimo v|
1 ir v|2 po susidūrimo Tada
)()( 2
|
221
|
11
rarrrarrrarrrarr
minusminus=minus vvmvvm ir |
21
|
112211
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm
Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams
21
rarrrarrrarr
+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr
= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara
11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis
Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis
F tdpdFrarr
rarr
= Dydis F yra koordinčių rarr
r ir greičio rarr
v funkcija )(rarrrarrrarr
vrF Taigi tdpdrarr
apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr
F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai
II Niutono dėsnis tdpdFrarr
rarr
= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu
atveju kai )(tmm ne tai rarr
rarr
= Ftdvdm
rarrrarr
= Ftdrdm 2
2
Taigi pagrindinis klasikinės
mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr
vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį
x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi
TtAx π2cos=
Tt
TAx ππ 2sin2
minus=bull
TtA
Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull
mxT
x sdotminus=bullbull
|)2( 2π
xmT
xm 2)2( πminus=
bullbull
kmT
=2)2( π
k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis
Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui
bullbullbull
minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra
)(rarrrarrrarr
larr rarr
rarr
vrFv RASTIti
RASTIi
m
A
x
a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai
0=
rarr
tdpd taigi constp =
rarr
ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir
greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma
Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1
rarr
F ir 2
rarr
F ir klausiama kokia viena jėgararr
F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga
Jeigu turėsime n jėgų iFrarr
kurios veikia materialų
tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr
F - sakoma kad
tai bus geometrinė iFrarr
jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu
kiekviena jėga iFrarr
suteikia materialiam taškui
pagreitį iararr
tai atstojamasis judėjimas
bus randamas visų iararr
vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr
= amF irgi bus
nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr
= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti
F F1 F
12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka
Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis
1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr
21 iš
2121 0rarrrarr
bullrarr
bullrarr
minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis
Tegu ikFrarr
- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr
- priešingai Tada iš
III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr
minus= 0=+rarrrarr
iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -
ikFrarr
Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru
atveju vidinių jėgų suma 0)()(
3
)(
2
)(
1 =++++rarrrarrrarrrarr i
n
iii
FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1
iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti
)(
1
)(
11
ei
FFtdpd rarrrarrrarr
+=
+)(
2
)(
22
ei
FFtd
pd rarrrarrrarr
+=
)()()()()(
3
)(
2
)(
1
)()(
2
)(
121
i
n
eeei
n
ii
n FFFFFFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
++++++++=+++
Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai
)()(
2
)(
121 )(e
n
ee
n FFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarr
+++=+++ ir )(e
Fptd
d rarrrarr
=
kur rarr
p - visos sistemos impulsas o )(e
Frarr
- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių
sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(
=rarr e
F tada
0=
rarr
tdpd ir
rarr
p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą
geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(
nerarr e
F tačiau
0)(
=rarr e
xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso
projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne
poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn
iF 0 tada tas pats
galioja ir impulsui rarr
p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)
Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš
III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm
Fa+
= o Fmm
mFFBA
B
+== 21 Šis sprendimas
nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|
2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|
1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|
1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =
F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB
Netamprus siūlas F F1 F2 A B
rarr
v
Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|
1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į
siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai
Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki
taško B tai jėga rarr
F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso
tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta
A|
A F B
laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas
cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis
Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis
xFtdxdm =2
2
yFtdydm =2
2
zFtdzdm =2
2
Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos
Paprastai tai būna rarr
r ir rarr
v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa
Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr
= gmF taigi
rarrrarr
= gtdrd2
2
arba rarr
rarr
= gtdvd ir
rarrrarr
= vtdrd iš čia 0
rarrrarrrarr
+= vtgv 002
21 rarrrarrrarrrarr
++= rtvtgr
Tai bendras sprendinys o paimdami 0
rarr
v ir 0
rarr
r konkrečias vertes gausime atskirą
prendinį o 0
rarr
v ir 0
rarr
r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną
Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1
rarr
v ir 2
rarr
v iki
susidūrimo ir po jo rarr
v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr
=+ vmvmvm 2211
Sistemoje A| judančioje greičiu rarr
v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|
22
|
11
rarrrarrrarr
=+ vmvmvm
Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr
v ir v| tadararrrarrrarr
minus= vvv 1
|
1 rarrrarrrarr
minus= vvv 2
|
2 rarrrarrrarr
minus= vvv|
Tada gauname
)()()( 2211
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr
minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr
=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių
adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių
adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau
13 Trinties dėsniai
1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja
P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)
Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio
fn
ftr f
P
d K = -ftrarr
s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga
Kai greičiai mažirarrrarr
minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę
rarrrarr
minus=minus= vvkvvvkftr 2
22
Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt
Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)
ftr
f0
d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0
v
Rimties trintiesjėga
f k2v2
k1v Turbulentinis aptekėjimas
Laminarinis aptekėjimas
v
14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas
1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e
Ftdpd rarrrarr
= - geometrinė
visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0
)(0 ttFpp e minus=minus -
jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su
21 ++=rarrrarrrarr
vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti
)( 01)(
101 ttFpp e minus=minusrarrrarr
+
)( 12)(
212 ttFpp e minus=minusrarrrarr
-------------------------------
ne
nee
n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr
minus
rarrrarr)(
2)(
21)(
101121
sum=
rarrrarr
∆=minusn
ii
ei tFpp
1
)(0 kai sum intequiv∆
rarr∆ i
t
t
ei
ei
tdFtF
i 0
)(lim )()(
0ττ tai int=minus
rarrrarr t
t
e dFpp0
)()(0 ττ
Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės
Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas
1 T1
2 T2
P
15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė
Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos
judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių
taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr
Rišreiškiamas
mrmrmR 211 ++
=
rarrrarrrarr
kur 321 +++= mmmm
21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr
rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmvm rarr
= vmp )(eFtdvdm =
rarr
Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai
00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=
rarr
Materialių
taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje
Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys
1
12
12
mF
tdrd
rarrrarr
= 2
22
22
mF
tdrd
rarrrarr
= Be to iš
trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr
= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime
)11()(21
21
1
2
2122
2
mmF
mF
mFrr
tdd
+=minus=minus
rarrrarrrarrrarr
Ši
lygtis aprašo vieno materialaus taško
judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr
minus= rrryra radius vektorius
m1
m2
O
rarr
r
1rarr
r2
rarr
r
z
x
1rarr
r
2rarr
r
R
y
Pažymėjus
21
111mm
+=micro
arba 21
21
mmmm+
=micro tada 22
2
Ftdrd=
rarr
micro
Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr
F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį
)(e
Ftdvdm
rarrrarr
= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo
tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi
Lygties 2rMmGF = vektorinė forma
rarrrarr
rarr
minus=minus= rrMmG
rr
rMmGF 32 Įvedus micro
planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip
rarrbullbullbullbull
minus==+
equiv rrMmGFr
MmMmr 3micro
rarrrarr +minus=
bullbull
rrmMGr 3 Kadangi laikome kad
sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr
minus=bullbull
rwr 2
322 )2(
rmMG
Tw +
==π arba 3r
mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo
periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w
32
1
21 )2(
rMG
Tw ==
π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w
32
22
2)2(rMG
Tw ==
π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2
2
12
1
2 ==TT
ww Apsisukimo
periodas antru atveju 2 kartų mažesnis
Planeta m
Saulė
M
rarr
r
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
)()( 2
|
221
|
11
rarrrarrrarrrarr
minusminus=minus vvmvvm ir |
21
|
112211
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm
Impulsas arba judėjimo kiekis bus suma visų materialių taškų impulsų dviem taškams
21
rarrrarrrarr
+= ppp Iš čia išplaukia kad |rarrrarr
= pp Tai reiškia kad izoliuotos sistemos impulsasnesikeičia kokia bebūtų sąveika tarp taškų sistemos viduje (nesikeičia laike) Tai galiojabegaliniam materialių taškų skaičiui jeigu ta materialių taškų sistema uždara
11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis
Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis
F tdpdFrarr
rarr
= Dydis F yra koordinčių rarr
r ir greičio rarr
v funkcija )(rarrrarrrarr
vrF Taigi tdpdrarr
apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr
F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai
II Niutono dėsnis tdpdFrarr
rarr
= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu
atveju kai )(tmm ne tai rarr
rarr
= Ftdvdm
rarrrarr
= Ftdrdm 2
2
Taigi pagrindinis klasikinės
mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr
vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį
x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi
TtAx π2cos=
Tt
TAx ππ 2sin2
minus=bull
TtA
Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull
mxT
x sdotminus=bullbull
|)2( 2π
xmT
xm 2)2( πminus=
bullbull
kmT
=2)2( π
k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis
Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui
bullbullbull
minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra
)(rarrrarrrarr
larr rarr
rarr
vrFv RASTIti
RASTIi
m
A
x
a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai
0=
rarr
tdpd taigi constp =
rarr
ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir
greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma
Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1
rarr
F ir 2
rarr
F ir klausiama kokia viena jėgararr
F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga
Jeigu turėsime n jėgų iFrarr
kurios veikia materialų
tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr
F - sakoma kad
tai bus geometrinė iFrarr
jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu
kiekviena jėga iFrarr
suteikia materialiam taškui
pagreitį iararr
tai atstojamasis judėjimas
bus randamas visų iararr
vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr
= amF irgi bus
nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr
= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti
F F1 F
12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka
Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis
1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr
21 iš
2121 0rarrrarr
bullrarr
bullrarr
minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis
Tegu ikFrarr
- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr
- priešingai Tada iš
III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr
minus= 0=+rarrrarr
iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -
ikFrarr
Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru
atveju vidinių jėgų suma 0)()(
3
)(
2
)(
1 =++++rarrrarrrarrrarr i
n
iii
FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1
iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti
)(
1
)(
11
ei
FFtdpd rarrrarrrarr
+=
+)(
2
)(
22
ei
FFtd
pd rarrrarrrarr
+=
)()()()()(
3
)(
2
)(
1
)()(
2
)(
121
i
n
eeei
n
ii
n FFFFFFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
++++++++=+++
Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai
)()(
2
)(
121 )(e
n
ee
n FFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarr
+++=+++ ir )(e
Fptd
d rarrrarr
=
kur rarr
p - visos sistemos impulsas o )(e
Frarr
- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių
sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(
=rarr e
F tada
0=
rarr
tdpd ir
rarr
p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą
geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(
nerarr e
F tačiau
0)(
=rarr e
xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso
projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne
poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn
iF 0 tada tas pats
galioja ir impulsui rarr
p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)
Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš
III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm
Fa+
= o Fmm
mFFBA
B
+== 21 Šis sprendimas
nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|
2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|
1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|
1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =
F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB
Netamprus siūlas F F1 F2 A B
rarr
v
Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|
1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į
siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai
Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki
taško B tai jėga rarr
F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso
tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta
A|
A F B
laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas
cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis
Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis
xFtdxdm =2
2
yFtdydm =2
2
zFtdzdm =2
2
Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos
Paprastai tai būna rarr
r ir rarr
v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa
Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr
= gmF taigi
rarrrarr
= gtdrd2
2
arba rarr
rarr
= gtdvd ir
rarrrarr
= vtdrd iš čia 0
rarrrarrrarr
+= vtgv 002
21 rarrrarrrarrrarr
++= rtvtgr
Tai bendras sprendinys o paimdami 0
rarr
v ir 0
rarr
r konkrečias vertes gausime atskirą
prendinį o 0
rarr
v ir 0
rarr
r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną
Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1
rarr
v ir 2
rarr
v iki
susidūrimo ir po jo rarr
v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr
=+ vmvmvm 2211
Sistemoje A| judančioje greičiu rarr
v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|
22
|
11
rarrrarrrarr
=+ vmvmvm
Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr
v ir v| tadararrrarrrarr
minus= vvv 1
|
1 rarrrarrrarr
minus= vvv 2
|
2 rarrrarrrarr
minus= vvv|
Tada gauname
)()()( 2211
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr
minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr
=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių
adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių
adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau
13 Trinties dėsniai
1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja
P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)
Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio
fn
ftr f
P
d K = -ftrarr
s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga
Kai greičiai mažirarrrarr
minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę
rarrrarr
minus=minus= vvkvvvkftr 2
22
Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt
Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)
ftr
f0
d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0
v
Rimties trintiesjėga
f k2v2
k1v Turbulentinis aptekėjimas
Laminarinis aptekėjimas
v
14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas
1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e
Ftdpd rarrrarr
= - geometrinė
visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0
)(0 ttFpp e minus=minus -
jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su
21 ++=rarrrarrrarr
vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti
)( 01)(
101 ttFpp e minus=minusrarrrarr
+
)( 12)(
212 ttFpp e minus=minusrarrrarr
-------------------------------
ne
nee
n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr
minus
rarrrarr)(
2)(
21)(
101121
sum=
rarrrarr
∆=minusn
ii
ei tFpp
1
)(0 kai sum intequiv∆
rarr∆ i
t
t
ei
ei
tdFtF
i 0
)(lim )()(
0ττ tai int=minus
rarrrarr t
t
e dFpp0
)()(0 ττ
Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės
Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas
1 T1
2 T2
P
15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė
Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos
judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių
taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr
Rišreiškiamas
mrmrmR 211 ++
=
rarrrarrrarr
kur 321 +++= mmmm
21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr
rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmvm rarr
= vmp )(eFtdvdm =
rarr
Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai
00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=
rarr
Materialių
taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje
Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys
1
12
12
mF
tdrd
rarrrarr
= 2
22
22
mF
tdrd
rarrrarr
= Be to iš
trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr
= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime
)11()(21
21
1
2
2122
2
mmF
mF
mFrr
tdd
+=minus=minus
rarrrarrrarrrarr
Ši
lygtis aprašo vieno materialaus taško
judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr
minus= rrryra radius vektorius
m1
m2
O
rarr
r
1rarr
r2
rarr
r
z
x
1rarr
r
2rarr
r
R
y
Pažymėjus
21
111mm
+=micro
arba 21
21
mmmm+
=micro tada 22
2
Ftdrd=
rarr
micro
Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr
F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį
)(e
Ftdvdm
rarrrarr
= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo
tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi
Lygties 2rMmGF = vektorinė forma
rarrrarr
rarr
minus=minus= rrMmG
rr
rMmGF 32 Įvedus micro
planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip
rarrbullbullbullbull
minus==+
equiv rrMmGFr
MmMmr 3micro
rarrrarr +minus=
bullbull
rrmMGr 3 Kadangi laikome kad
sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr
minus=bullbull
rwr 2
322 )2(
rmMG
Tw +
==π arba 3r
mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo
periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w
32
1
21 )2(
rMG
Tw ==
π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w
32
22
2)2(rMG
Tw ==
π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2
2
12
1
2 ==TT
ww Apsisukimo
periodas antru atveju 2 kartų mažesnis
Planeta m
Saulė
M
rarr
r
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
11 Antrasis Niutono dėsnis Jėgos ir jų sudėtis
Judėjimo aprašymas bendru atveju atliekamas diferencialinių lygčių pagalbakuriose kartu su koordinatėmis ir greičiais įeina impulso išvestinės pagal laiką Jeigumaterialus taškas neizoliuotas ty sąveikauja tai tos sąveikos intensyvumą atspindi dydis
F tdpdFrarr
rarr
= Dydis F yra koordinčių rarr
r ir greičio rarr
v funkcija )(rarrrarrrarr
vrF Taigi tdpdrarr
apibrėžiamas materialaus taško padėtimi atžvilgiu kitų kūnų o kartais ir jo greičio Dydisrarr
F vadinamas jėga (bendru atveju priklauso ne nuo koordinačių ir greičio bet nuokoordinačių ir greičių skirtumų) Materialaus taško impulso išvestinė pagal laiką lygi tątašką veikiančiai jėgai
II Niutono dėsnis tdpdFrarr
rarr
= Materialaus taško judėjimo lygtis Nereliatyvistiniu
atveju kai )(tmm ne tai rarr
rarr
= Ftdvdm
rarrrarr
= Ftdrdm 2
2
Taigi pagrindinis klasikinės
mechanikos uždavinys yra rasti )(rarrrarrrarr
vrF Dar vienas pavyzdys kaip galima rasti judėjimolygtį
x = x(t) Stroboskopinis vaizdas tokio svyravimobūtų taškų visuma kurie sudaro sinusoidę taigi
TtAx π2cos=
Tt
TAx ππ 2sin2
minus=bull
TtA
Tx ππ 2cos)2( 2minus=bullbull
mxT
x sdotminus=bullbull
|)2( 2π
xmT
xm 2)2( πminus=
bullbull
kmT
=2)2( π
k - tamprumo koeficientas F = - kx Taigi jėgapriklauso tik nuo spyruoklės pailgėjimo x(t) Tainusako Huko dėsnis Jeigu paimti kitos masėskūną pasikeis T bet mT2 nesikeičia taigi ir knesikeis
Taigi jeigu kūną veiks tik spyruoklė tai jo pagreitis bus kxm ir visada nukreiptaišilgai spyruoklės ašies bet priešingas pailgėjimo krypčiai Huko dėsnis veikia tik kaipailgėjimas x yra mažas Slopinimo atveju (svyruoklės judėjimas dujų aplinkojeskystyje) jeigu kūno judėjimo greitis nėra didelis slopinimo jėja yra proporcinga greičiui
bullbullbull
minusminus= xbkxxm Taigi turime judėjimo diferencialinę lygtį Apskritai norint aprašytimaterialių taškų judėjimą reikia spręsti judėjimo diferencialinę lygtį Dinamikosuždavinys yra
)(rarrrarrrarr
larr rarr
rarr
vrFv RASTIti
RASTIi
m
A
x
a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai
0=
rarr
tdpd taigi constp =
rarr
ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir
greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma
Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1
rarr
F ir 2
rarr
F ir klausiama kokia viena jėgararr
F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga
Jeigu turėsime n jėgų iFrarr
kurios veikia materialų
tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr
F - sakoma kad
tai bus geometrinė iFrarr
jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu
kiekviena jėga iFrarr
suteikia materialiam taškui
pagreitį iararr
tai atstojamasis judėjimas
bus randamas visų iararr
vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr
= amF irgi bus
nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr
= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti
F F1 F
12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka
Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis
1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr
21 iš
2121 0rarrrarr
bullrarr
bullrarr
minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis
Tegu ikFrarr
- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr
- priešingai Tada iš
III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr
minus= 0=+rarrrarr
iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -
ikFrarr
Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru
atveju vidinių jėgų suma 0)()(
3
)(
2
)(
1 =++++rarrrarrrarrrarr i
n
iii
FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1
iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti
)(
1
)(
11
ei
FFtdpd rarrrarrrarr
+=
+)(
2
)(
22
ei
FFtd
pd rarrrarrrarr
+=
)()()()()(
3
)(
2
)(
1
)()(
2
)(
121
i
n
eeei
n
ii
n FFFFFFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
++++++++=+++
Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai
)()(
2
)(
121 )(e
n
ee
n FFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarr
+++=+++ ir )(e
Fptd
d rarrrarr
=
kur rarr
p - visos sistemos impulsas o )(e
Frarr
- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių
sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(
=rarr e
F tada
0=
rarr
tdpd ir
rarr
p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą
geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(
nerarr e
F tačiau
0)(
=rarr e
xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso
projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne
poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn
iF 0 tada tas pats
galioja ir impulsui rarr
p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)
Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš
III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm
Fa+
= o Fmm
mFFBA
B
+== 21 Šis sprendimas
nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|
2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|
1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|
1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =
F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB
Netamprus siūlas F F1 F2 A B
rarr
v
Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|
1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į
siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai
Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki
taško B tai jėga rarr
F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso
tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta
A|
A F B
laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas
cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis
Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis
xFtdxdm =2
2
yFtdydm =2
2
zFtdzdm =2
2
Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos
Paprastai tai būna rarr
r ir rarr
v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa
Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr
= gmF taigi
rarrrarr
= gtdrd2
2
arba rarr
rarr
= gtdvd ir
rarrrarr
= vtdrd iš čia 0
rarrrarrrarr
+= vtgv 002
21 rarrrarrrarrrarr
++= rtvtgr
Tai bendras sprendinys o paimdami 0
rarr
v ir 0
rarr
r konkrečias vertes gausime atskirą
prendinį o 0
rarr
v ir 0
rarr
r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną
Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1
rarr
v ir 2
rarr
v iki
susidūrimo ir po jo rarr
v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr
=+ vmvmvm 2211
Sistemoje A| judančioje greičiu rarr
v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|
22
|
11
rarrrarrrarr
=+ vmvmvm
Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr
v ir v| tadararrrarrrarr
minus= vvv 1
|
1 rarrrarrrarr
minus= vvv 2
|
2 rarrrarrrarr
minus= vvv|
Tada gauname
)()()( 2211
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr
minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr
=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių
adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių
adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau
13 Trinties dėsniai
1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja
P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)
Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio
fn
ftr f
P
d K = -ftrarr
s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga
Kai greičiai mažirarrrarr
minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę
rarrrarr
minus=minus= vvkvvvkftr 2
22
Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt
Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)
ftr
f0
d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0
v
Rimties trintiesjėga
f k2v2
k1v Turbulentinis aptekėjimas
Laminarinis aptekėjimas
v
14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas
1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e
Ftdpd rarrrarr
= - geometrinė
visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0
)(0 ttFpp e minus=minus -
jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su
21 ++=rarrrarrrarr
vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti
)( 01)(
101 ttFpp e minus=minusrarrrarr
+
)( 12)(
212 ttFpp e minus=minusrarrrarr
-------------------------------
ne
nee
n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr
minus
rarrrarr)(
2)(
21)(
101121
sum=
rarrrarr
∆=minusn
ii
ei tFpp
1
)(0 kai sum intequiv∆
rarr∆ i
t
t
ei
ei
tdFtF
i 0
)(lim )()(
0ττ tai int=minus
rarrrarr t
t
e dFpp0
)()(0 ττ
Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės
Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas
1 T1
2 T2
P
15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė
Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos
judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių
taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr
Rišreiškiamas
mrmrmR 211 ++
=
rarrrarrrarr
kur 321 +++= mmmm
21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr
rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmvm rarr
= vmp )(eFtdvdm =
rarr
Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai
00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=
rarr
Materialių
taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje
Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys
1
12
12
mF
tdrd
rarrrarr
= 2
22
22
mF
tdrd
rarrrarr
= Be to iš
trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr
= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime
)11()(21
21
1
2
2122
2
mmF
mF
mFrr
tdd
+=minus=minus
rarrrarrrarrrarr
Ši
lygtis aprašo vieno materialaus taško
judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr
minus= rrryra radius vektorius
m1
m2
O
rarr
r
1rarr
r2
rarr
r
z
x
1rarr
r
2rarr
r
R
y
Pažymėjus
21
111mm
+=micro
arba 21
21
mmmm+
=micro tada 22
2
Ftdrd=
rarr
micro
Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr
F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį
)(e
Ftdvdm
rarrrarr
= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo
tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi
Lygties 2rMmGF = vektorinė forma
rarrrarr
rarr
minus=minus= rrMmG
rr
rMmGF 32 Įvedus micro
planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip
rarrbullbullbullbull
minus==+
equiv rrMmGFr
MmMmr 3micro
rarrrarr +minus=
bullbull
rrmMGr 3 Kadangi laikome kad
sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr
minus=bullbull
rwr 2
322 )2(
rmMG
Tw +
==π arba 3r
mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo
periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w
32
1
21 )2(
rMG
Tw ==
π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w
32
22
2)2(rMG
Tw ==
π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2
2
12
1
2 ==TT
ww Apsisukimo
periodas antru atveju 2 kartų mažesnis
Planeta m
Saulė
M
rarr
r
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
a) Kai žinomas kūno judėjimas ir reikia rasti jėgas tada reikia rasti sistemos taškųpagreičius b) Kai žinomos jėgos o reikia rasti trajektoriją tokiu atveju ir randama diferencialinėlygtis kuri integruojama o tai jau sudėtingiau negu diferenciavimas c) Gali būti uždaviniai kai yra abiejų tipų uždaviniai Pvz materialus taškas veikiamas jėgos turi būti ant kokio nors paviršiaus tadadar reikia rasti reakcijos jėgą Ryšys tarp I ir II Niutono dėsnių Iš antro Niutono dėsnio jeigu F = 0 tai
0=
rarr
tdpd taigi constp =
rarr
ty laisvai judančio materialaus taško impulsas o tuo pačiu ir
greitis yra pastovūs Sektų kad I Niutono dėsnis seka iš II Tačiau taip nėra nes IINiutono dėsnio lygtis galima tik tada kai nustatyta atskaitos sistema o tokią sistemąnusako I Niutono dėsnis ndash egzistuoja tokia atskaitos sistema kad materialus taškas judabe pagreičio Jėgos vienetas 1960 m priimtoje SI vienetų sistemoje Jėgos vienetas yra 1Niutonas ndash jėga kuri 1kg masės kūnui suteikia 1 ms2 pagreitį 1 N = 105 dyn (CGS) Jėgų sudėtis Jėga yra vektorius Vekturiai sudedami naudojant lygiagretainio taisyklę irgaunamas atstojamasis vektorius (geometrinė suma) Fizikinė suma
Sakoma materialų tašką veikia dvi jėgos 1
rarr
F ir 2
rarr
F ir klausiama kokia viena jėgararr
F jas galima pakeistirdquo Tačiau į vieną materialų tašką veikia tik viena jėga
Jeigu turėsime n jėgų iFrarr
kurios veikia materialų
tašką kokia bus atstojamoji jėga rarr
F - sakoma kad
tai bus geometrinė iFrarr
jėgų suma bet tai nesekaiš Niutono dėsnių Superpozicijos principas kurioesmė yra jėgų veikimo nepriklausomumasSakoma jėgos veikia nepriklausomai jeigu
kiekviena jėga iFrarr
suteikia materialiam taškui
pagreitį iararr
tai atstojamasis judėjimas
bus randamas visų iararr
vektorių sudėtimi Todėl ir atstojamoji jėga rarrrarr
= amF irgi bus
nepriklausamų jėgų ii amFrarrrarr
= suma Taigi lygiagretainio taisyklės pagreičiams sudėtinaudojimas tolygus nepriklausomų jėgų sudėčiai Kai jėga veikianti kūną pati kinta dėlto veikimo tai klausimas tampa komplikuotesnis Pvz įelektrintos plokštumos ir krūvio sąveikos jėgos Artinant tokią plokšyumąprie taškinio krūvio plokštumos krūvis persiskirsto bet ir šiuo atveju galima nagrinėtipaviršinio krūvio tankio kitimą ir uždavinį išspręsti
F F1 F
12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka
Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis
1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr
21 iš
2121 0rarrrarr
bullrarr
bullrarr
minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis
Tegu ikFrarr
- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr
- priešingai Tada iš
III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr
minus= 0=+rarrrarr
iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -
ikFrarr
Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru
atveju vidinių jėgų suma 0)()(
3
)(
2
)(
1 =++++rarrrarrrarrrarr i
n
iii
FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1
iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti
)(
1
)(
11
ei
FFtdpd rarrrarrrarr
+=
+)(
2
)(
22
ei
FFtd
pd rarrrarrrarr
+=
)()()()()(
3
)(
2
)(
1
)()(
2
)(
121
i
n
eeei
n
ii
n FFFFFFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
++++++++=+++
Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai
)()(
2
)(
121 )(e
n
ee
n FFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarr
+++=+++ ir )(e
Fptd
d rarrrarr
=
kur rarr
p - visos sistemos impulsas o )(e
Frarr
- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių
sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(
=rarr e
F tada
0=
rarr
tdpd ir
rarr
p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą
geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(
nerarr e
F tačiau
0)(
=rarr e
xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso
projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne
poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn
iF 0 tada tas pats
galioja ir impulsui rarr
p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)
Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš
III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm
Fa+
= o Fmm
mFFBA
B
+== 21 Šis sprendimas
nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|
2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|
1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|
1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =
F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB
Netamprus siūlas F F1 F2 A B
rarr
v
Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|
1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į
siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai
Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki
taško B tai jėga rarr
F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso
tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta
A|
A F B
laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas
cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis
Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis
xFtdxdm =2
2
yFtdydm =2
2
zFtdzdm =2
2
Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos
Paprastai tai būna rarr
r ir rarr
v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa
Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr
= gmF taigi
rarrrarr
= gtdrd2
2
arba rarr
rarr
= gtdvd ir
rarrrarr
= vtdrd iš čia 0
rarrrarrrarr
+= vtgv 002
21 rarrrarrrarrrarr
++= rtvtgr
Tai bendras sprendinys o paimdami 0
rarr
v ir 0
rarr
r konkrečias vertes gausime atskirą
prendinį o 0
rarr
v ir 0
rarr
r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną
Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1
rarr
v ir 2
rarr
v iki
susidūrimo ir po jo rarr
v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr
=+ vmvmvm 2211
Sistemoje A| judančioje greičiu rarr
v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|
22
|
11
rarrrarrrarr
=+ vmvmvm
Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr
v ir v| tadararrrarrrarr
minus= vvv 1
|
1 rarrrarrrarr
minus= vvv 2
|
2 rarrrarrrarr
minus= vvv|
Tada gauname
)()()( 2211
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr
minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr
=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių
adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių
adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau
13 Trinties dėsniai
1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja
P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)
Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio
fn
ftr f
P
d K = -ftrarr
s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga
Kai greičiai mažirarrrarr
minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę
rarrrarr
minus=minus= vvkvvvkftr 2
22
Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt
Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)
ftr
f0
d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0
v
Rimties trintiesjėga
f k2v2
k1v Turbulentinis aptekėjimas
Laminarinis aptekėjimas
v
14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas
1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e
Ftdpd rarrrarr
= - geometrinė
visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0
)(0 ttFpp e minus=minus -
jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su
21 ++=rarrrarrrarr
vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti
)( 01)(
101 ttFpp e minus=minusrarrrarr
+
)( 12)(
212 ttFpp e minus=minusrarrrarr
-------------------------------
ne
nee
n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr
minus
rarrrarr)(
2)(
21)(
101121
sum=
rarrrarr
∆=minusn
ii
ei tFpp
1
)(0 kai sum intequiv∆
rarr∆ i
t
t
ei
ei
tdFtF
i 0
)(lim )()(
0ττ tai int=minus
rarrrarr t
t
e dFpp0
)()(0 ττ
Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės
Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas
1 T1
2 T2
P
15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė
Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos
judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių
taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr
Rišreiškiamas
mrmrmR 211 ++
=
rarrrarrrarr
kur 321 +++= mmmm
21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr
rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmvm rarr
= vmp )(eFtdvdm =
rarr
Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai
00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=
rarr
Materialių
taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje
Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys
1
12
12
mF
tdrd
rarrrarr
= 2
22
22
mF
tdrd
rarrrarr
= Be to iš
trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr
= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime
)11()(21
21
1
2
2122
2
mmF
mF
mFrr
tdd
+=minus=minus
rarrrarrrarrrarr
Ši
lygtis aprašo vieno materialaus taško
judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr
minus= rrryra radius vektorius
m1
m2
O
rarr
r
1rarr
r2
rarr
r
z
x
1rarr
r
2rarr
r
R
y
Pažymėjus
21
111mm
+=micro
arba 21
21
mmmm+
=micro tada 22
2
Ftdrd=
rarr
micro
Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr
F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį
)(e
Ftdvdm
rarrrarr
= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo
tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi
Lygties 2rMmGF = vektorinė forma
rarrrarr
rarr
minus=minus= rrMmG
rr
rMmGF 32 Įvedus micro
planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip
rarrbullbullbullbull
minus==+
equiv rrMmGFr
MmMmr 3micro
rarrrarr +minus=
bullbull
rrmMGr 3 Kadangi laikome kad
sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr
minus=bullbull
rwr 2
322 )2(
rmMG
Tw +
==π arba 3r
mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo
periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w
32
1
21 )2(
rMG
Tw ==
π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w
32
22
2)2(rMG
Tw ==
π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2
2
12
1
2 ==TT
ww Apsisukimo
periodas antru atveju 2 kartų mažesnis
Planeta m
Saulė
M
rarr
r
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
12 Trečias Niutono dėsnis Impulso tvermės dėsnis Lauko sąvoka
Trečias Niutono dėsnis ir impulso tvermės dėsnis
1 Dviejų materialių taškų uždara sistema constpp =+rarrrarr
21 iš
2121 0rarrrarr
bullrarr
bullrarr
minus=rArr=+ FFpp Dvielų matreialių taškų sąveikos jėjos lygios nukreiptospriešingomis kryptimis ir veikia išilgai tiesės jungiančios tuos taškus Vieną iš jėgųpaprastai vadinama veiksmo kita atoveiksmio Tada trečias Niutono dėsnis Kiekvienamveiksmui visada atitinka lygus ir priešingai nukreiptas atoveiksmis Kurią jėgą vadintiveiksmo o kurią atoveiksmio nėra skirtumo nors Pvz laikoma kad knga padėta ant stalo spaudžia stalą o stalas spaudžia knydądėl savo deformacijos Žemė hArr Saulė lygiavertė sąveika 2 Daugelio materialių taškų atveju remiantis jų tarpusavio sąveikos poromis
Tegu ikFrarr
- jėga kuria i ndash tasis materialus taškas veikia k ndash tajį o kiFrarr
- priešingai Tada iš
III Niutono dėsnio kiik FFrarrrarr
minus= 0=+rarrrarr
iikki FF Taigi perėjome prie daugelio kūnųsistemos mechanikos Jėgos veikiančios materialių taškų sistemą gali būti suskirstytos įvidines ir išorines Vidinės ndash tarpusavio sąveikos jėgos tarp sistemos materialių taškų -
ikFrarr
Išorinės ndash išorinių kūnų jėgos veikiančios materialių taškų sistemą Taigi bendru
atveju vidinių jėgų suma 0)()(
3
)(
2
)(
1 =++++rarrrarrrarrrarr i
n
iii
FFFF i ndash rodo kad vidinė jėga )(1
iF -rodo visą vidinių jėgų sumą veikiančią 1 ndash mąjį tašką Pažymėjus indeksu e ndash išorinesjėgas iš antro Niutono dėsnio galima užrašyti
)(
1
)(
11
ei
FFtdpd rarrrarrrarr
+=
+)(
2
)(
22
ei
FFtd
pd rarrrarrrarr
+=
)()()()()(
3
)(
2
)(
1
)()(
2
)(
121
i
n
eeei
n
ii
n FFFFFFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
++++++++=+++
Kadangi vidinuių jėgų suma lygi nuliui tai
)()(
2
)(
121 )(e
n
ee
n FFFppptd
d rarrrarrrarrrarrrarrrarr
+++=+++ ir )(e
Fptd
d rarrrarr
=
kur rarr
p - visos sistemos impulsas o )(e
Frarr
- atstojamoji visų jėgų veikiančių sistemą Taigimaterialių taškų sistemos impulso išvestinė pagal laiką lygi visų išorinių jėgų veikiančių
sistemą sumai Jeigu išorinių jėgų veikiančių sistemą atstojamoji jėga 0)(
=rarr e
F tada
0=
rarr
tdpd ir
rarr
p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą
geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(
nerarr e
F tačiau
0)(
=rarr e
xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso
projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne
poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn
iF 0 tada tas pats
galioja ir impulsui rarr
p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)
Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš
III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm
Fa+
= o Fmm
mFFBA
B
+== 21 Šis sprendimas
nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|
2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|
1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|
1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =
F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB
Netamprus siūlas F F1 F2 A B
rarr
v
Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|
1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į
siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai
Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki
taško B tai jėga rarr
F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso
tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta
A|
A F B
laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas
cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis
Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis
xFtdxdm =2
2
yFtdydm =2
2
zFtdzdm =2
2
Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos
Paprastai tai būna rarr
r ir rarr
v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa
Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr
= gmF taigi
rarrrarr
= gtdrd2
2
arba rarr
rarr
= gtdvd ir
rarrrarr
= vtdrd iš čia 0
rarrrarrrarr
+= vtgv 002
21 rarrrarrrarrrarr
++= rtvtgr
Tai bendras sprendinys o paimdami 0
rarr
v ir 0
rarr
r konkrečias vertes gausime atskirą
prendinį o 0
rarr
v ir 0
rarr
r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną
Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1
rarr
v ir 2
rarr
v iki
susidūrimo ir po jo rarr
v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr
=+ vmvmvm 2211
Sistemoje A| judančioje greičiu rarr
v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|
22
|
11
rarrrarrrarr
=+ vmvmvm
Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr
v ir v| tadararrrarrrarr
minus= vvv 1
|
1 rarrrarrrarr
minus= vvv 2
|
2 rarrrarrrarr
minus= vvv|
Tada gauname
)()()( 2211
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr
minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr
=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių
adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių
adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau
13 Trinties dėsniai
1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja
P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)
Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio
fn
ftr f
P
d K = -ftrarr
s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga
Kai greičiai mažirarrrarr
minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę
rarrrarr
minus=minus= vvkvvvkftr 2
22
Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt
Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)
ftr
f0
d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0
v
Rimties trintiesjėga
f k2v2
k1v Turbulentinis aptekėjimas
Laminarinis aptekėjimas
v
14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas
1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e
Ftdpd rarrrarr
= - geometrinė
visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0
)(0 ttFpp e minus=minus -
jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su
21 ++=rarrrarrrarr
vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti
)( 01)(
101 ttFpp e minus=minusrarrrarr
+
)( 12)(
212 ttFpp e minus=minusrarrrarr
-------------------------------
ne
nee
n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr
minus
rarrrarr)(
2)(
21)(
101121
sum=
rarrrarr
∆=minusn
ii
ei tFpp
1
)(0 kai sum intequiv∆
rarr∆ i
t
t
ei
ei
tdFtF
i 0
)(lim )()(
0ττ tai int=minus
rarrrarr t
t
e dFpp0
)()(0 ττ
Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės
Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas
1 T1
2 T2
P
15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė
Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos
judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių
taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr
Rišreiškiamas
mrmrmR 211 ++
=
rarrrarrrarr
kur 321 +++= mmmm
21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr
rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmvm rarr
= vmp )(eFtdvdm =
rarr
Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai
00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=
rarr
Materialių
taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje
Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys
1
12
12
mF
tdrd
rarrrarr
= 2
22
22
mF
tdrd
rarrrarr
= Be to iš
trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr
= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime
)11()(21
21
1
2
2122
2
mmF
mF
mFrr
tdd
+=minus=minus
rarrrarrrarrrarr
Ši
lygtis aprašo vieno materialaus taško
judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr
minus= rrryra radius vektorius
m1
m2
O
rarr
r
1rarr
r2
rarr
r
z
x
1rarr
r
2rarr
r
R
y
Pažymėjus
21
111mm
+=micro
arba 21
21
mmmm+
=micro tada 22
2
Ftdrd=
rarr
micro
Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr
F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį
)(e
Ftdvdm
rarrrarr
= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo
tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi
Lygties 2rMmGF = vektorinė forma
rarrrarr
rarr
minus=minus= rrMmG
rr
rMmGF 32 Įvedus micro
planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip
rarrbullbullbullbull
minus==+
equiv rrMmGFr
MmMmr 3micro
rarrrarr +minus=
bullbull
rrmMGr 3 Kadangi laikome kad
sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr
minus=bullbull
rwr 2
322 )2(
rmMG
Tw +
==π arba 3r
mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo
periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w
32
1
21 )2(
rMG
Tw ==
π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w
32
22
2)2(rMG
Tw ==
π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2
2
12
1
2 ==TT
ww Apsisukimo
periodas antru atveju 2 kartų mažesnis
Planeta m
Saulė
M
rarr
r
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
0=
rarr
tdpd ir
rarr
p = const Taigi jeigu išorinių jėgų veikiančių materialių taškų sistemą
geometrinė suma lugi nuliui tai sistemos impulsas nekinta Sakykime 0)(
nerarr e
F tačiau
0)(
=rarr e
xF tada ir 0=tdpd x ir xp = const Taigi pilnas sistemos impulsas kinta bet impulso
projekcija nekinta Pvz Kūnas laisvai krinta jo impulsas kinta kadangi kūną veikia sunkio jėga dėlkurios kūno impulso vertikali dedamoji kinta tačiau horizontalioji dedamoji liekanepakitusi 3 Bendru atvej uždaros materialių taškų sistemos jėgos gali sąveikauti ne
poromis bet laisvai svarbu tik kad jų suma būtų lygi nuliui sum =rarrn
iF 0 tada tas pats
galioja ir impulsui rarr
p = const Taigi impulso tvermės dėsnis yra fundamentalus gamtosdėsnis 4 Impulso tvermės dėsnis uždarai sistemai dviem materialiems taškams buvopostuluotas Jo įrodymas yra bandymas Tai buvo reikalinga kad įvesti masės sąvokąBet ją galima įvesti ir iš lyginamų kūnų masių santykio kuris yra atvirkščiai proporcingaspagreičių santykiams kai juos veikia ta pati jėga Šis būdas nereikalauja jėgų matavimotik jų lygumo Jeigu abu kūnus veiksime spyruokle kuri ištempiama iki to paties ilgio taigalime teigti kad kūnus paveikėme vienoda jėga Taigi naudojamas III Niutono dėsnisJeigu galima būtų nenaudoti III Niutono dėsnio tada būtų nareikalingos taškų porosTačiau ir toks būdas nėra visiškai apibrėžtas nes iškyla lygių jėgų problema Trijų kūnųsąveika Tegu kūnas A sąveikauja su kūnu B per trečią kūną (Sąveika perduodama pertrečią kūną todėl reikia žinoti jo judėjimo lygtį Tačiau daugeliu atveju to trečiojo kūnogalima neįskaityti tarsi jo nebūtų Kada tai galima padaryti)
Rašomos projekcijos todėl nėra vektoriaus ženklų amFF A=minus 1 2FamB = Iš
III Niutono dėsnio 21 FF minus= tada BA mm
Fa+
= o Fmm
mFFBA
B
+== 21 Šis sprendimas
nepilnas nes neįskaitytas siūlas kuris irgi juda su pagreičiu Taigi F|1 ir F|
2 jėgoskuriomis kūnai veikia A ir B siūlą Tada F1 ndash F2 = ma F ndash F1 = mAa F2 = mBa irma = F|
1 ndash F|2 kur m siūlo masė Kadangi F|
1 = F ir F|2 = F2 tai ma = F1 ndash F2 ir a =
F(mA + m + mB) o F2 = mBa F1 = (mB + m)a Jeigu m = 0 tai tokiu atveju gausime tarsikūnai betarpiškai sąveikautų m ltlt m1m2 Taigi kūnai kurie neturi masės nenagrinėjamitačiau realiai tokių kūnų nėra Bet tokia abstrakcija tinkama kai m ltlt mAmB
Netamprus siūlas F F1 F2 A B
rarr
v
Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|
1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į
siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai
Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki
taško B tai jėga rarr
F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso
tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta
A|
A F B
laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas
cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis
Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis
xFtdxdm =2
2
yFtdydm =2
2
zFtdzdm =2
2
Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos
Paprastai tai būna rarr
r ir rarr
v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa
Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr
= gmF taigi
rarrrarr
= gtdrd2
2
arba rarr
rarr
= gtdvd ir
rarrrarr
= vtdrd iš čia 0
rarrrarrrarr
+= vtgv 002
21 rarrrarrrarrrarr
++= rtvtgr
Tai bendras sprendinys o paimdami 0
rarr
v ir 0
rarr
r konkrečias vertes gausime atskirą
prendinį o 0
rarr
v ir 0
rarr
r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną
Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1
rarr
v ir 2
rarr
v iki
susidūrimo ir po jo rarr
v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr
=+ vmvmvm 2211
Sistemoje A| judančioje greičiu rarr
v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|
22
|
11
rarrrarrrarr
=+ vmvmvm
Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr
v ir v| tadararrrarrrarr
minus= vvv 1
|
1 rarrrarrrarr
minus= vvv 2
|
2 rarrrarrrarr
minus= vvv|
Tada gauname
)()()( 2211
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr
minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr
=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių
adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių
adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau
13 Trinties dėsniai
1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja
P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)
Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio
fn
ftr f
P
d K = -ftrarr
s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga
Kai greičiai mažirarrrarr
minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę
rarrrarr
minus=minus= vvkvvvkftr 2
22
Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt
Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)
ftr
f0
d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0
v
Rimties trintiesjėga
f k2v2
k1v Turbulentinis aptekėjimas
Laminarinis aptekėjimas
v
14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas
1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e
Ftdpd rarrrarr
= - geometrinė
visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0
)(0 ttFpp e minus=minus -
jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su
21 ++=rarrrarrrarr
vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti
)( 01)(
101 ttFpp e minus=minusrarrrarr
+
)( 12)(
212 ttFpp e minus=minusrarrrarr
-------------------------------
ne
nee
n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr
minus
rarrrarr)(
2)(
21)(
101121
sum=
rarrrarr
∆=minusn
ii
ei tFpp
1
)(0 kai sum intequiv∆
rarr∆ i
t
t
ei
ei
tdFtF
i 0
)(lim )()(
0ττ tai int=minus
rarrrarr t
t
e dFpp0
)()(0 ττ
Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės
Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas
1 T1
2 T2
P
15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė
Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos
judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių
taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr
Rišreiškiamas
mrmrmR 211 ++
=
rarrrarrrarr
kur 321 +++= mmmm
21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr
rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmvm rarr
= vmp )(eFtdvdm =
rarr
Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai
00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=
rarr
Materialių
taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje
Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys
1
12
12
mF
tdrd
rarrrarr
= 2
22
22
mF
tdrd
rarrrarr
= Be to iš
trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr
= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime
)11()(21
21
1
2
2122
2
mmF
mF
mFrr
tdd
+=minus=minus
rarrrarrrarrrarr
Ši
lygtis aprašo vieno materialaus taško
judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr
minus= rrryra radius vektorius
m1
m2
O
rarr
r
1rarr
r2
rarr
r
z
x
1rarr
r
2rarr
r
R
y
Pažymėjus
21
111mm
+=micro
arba 21
21
mmmm+
=micro tada 22
2
Ftdrd=
rarr
micro
Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr
F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį
)(e
Ftdvdm
rarrrarr
= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo
tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi
Lygties 2rMmGF = vektorinė forma
rarrrarr
rarr
minus=minus= rrMmG
rr
rMmGF 32 Įvedus micro
planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip
rarrbullbullbullbull
minus==+
equiv rrMmGFr
MmMmr 3micro
rarrrarr +minus=
bullbull
rrmMGr 3 Kadangi laikome kad
sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr
minus=bullbull
rwr 2
322 )2(
rmMG
Tw +
==π arba 3r
mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo
periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w
32
1
21 )2(
rMG
Tw ==
π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w
32
22
2)2(rMG
Tw ==
π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2
2
12
1
2 ==TT
ww Apsisukimo
periodas antru atveju 2 kartų mažesnis
Planeta m
Saulė
M
rarr
r
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
Sąveika per atstumą ir lauko sąveika 1 Iki šiol buvo kalbama apie betarpišką sąveiką o gali būti taip kad tarp kūnųnėra bet sąveika egzistuoja Tiesioginio kontakto metu kūnai betarpiškai stumia arbatraukia vienas kitą ndash tokios sąveikos rezultate kūnai deformuojasi Jei deformacijosmažos ir mūsų nedomina tai galima jas įskaityti įvedant tempimo ir spaudimo jėgas Betjei mus domina jėgų prigimtis ir mechanizmas tai reikia nagrinėti deformacijasPavyzdyje su A ir B kūnais laikėme kad siūlas netamprus jo ilgio pasikeitimas nežymusir kūnų A ir B judėjimo greičiai vienodi tačiau vaizdas būtų visai kitas jeigu vietoj siūlopaimtume syruoklę Be to norint suprasti jėgų F|
1 ir F|2 prigimtį reikia irgi atsižvelgti į
siūlo deformaciją Nereikia užmiršti kad ir kūnų A irB deformacijos sukelia siųloįtempimą Akmuo pririštas prie virvės ir sukamas deformuojasi ir sukelia ir sukelia jėgąpriešingą tempimo jėgai tų abiejų jėgų veikimo rezultatas yra akmens judėjimasapskritimu su pagreičiu Nereikia užmiršti ir to kad kūną veikiančių jėgų dydis priklausone tik nuo deformacijos bet ir nuo deformacijos greičio ndash trinties jėgos Bet visos tosjėgos kyla betarpiško kontakto metu ndash artiveikos jėgos 2 Egzistuoja kūnų sąveika kai nėra jų betarpiško kontakto per tuščią rdquo erdvę ndashgravitacijos elektromagnetinės elektrostatinės jėgos Pagal Niutono mechanikos dėsniussąveikaujančių kūnų jėgos priklauso nuo tų kūnų tarpusavio padeties kiekvienu laikomomentu ty sąveika perduodama begaliniu greičiu Tačiau bandymai parodė kad tokiasąveika neegzistuoja o perduodama baigtiniu greičiu Sąveikos greitis neviršija šviesosgreičio vakume Taigi Niutono mechanikos sąveikos aprašymas yra teisingas tik tada kaisąveikaujančių kūnų greičiai maži palyginus su sąveikos perdavimo greičiu Bet išprincipo toks aprašymas neteisingas Dėl baigtinio sąveikos greičio III Niutono dėsnis nevisada bus teisingas kai sąveikauja du nutolę kūnai
Jeigu kūnas A pereis į būseną A| taip greitaikad per pasislinkimo laiką sąveika neatsiklis iki
taško B tai jėga rarr
F nepasikeis taigi jo kryptisnepakis ir sąveika tarp tų kūnų jau nebus nukreiptatiesės jungiančios tuos kūnus kryptimi ndash III Niutonodėsnis pažeistas o tuo pačiu ir mechaninis impulso
tvermės dėsnis 3 XIX a fizikas pasakytų kad taip tik ir atrodo ir III Niutono dėsnis galioja tikvisada reikia naudoti netiesiogiai kaip kūnų A ir B o kūnų ir aplinkos - eteriordquoatžvilgiu nes impulso tvermės dėsnis galioja ne tik A ir B kūnams bet ir juos jungiančiaiaplinkai Mūsų laikų fizikas ndash irgi nepripažysta betarpiškos sąveikos per atstumą bet jisnepripažysta ir eterio Jis sako kad egzistuoja laukas kūrį sukuria kūnas A ir kuris artėjaiki B jį veikia o B sukuria lauką kuris veikia A Jokių kitokių sąveikų nėra Artiveikosjėgos kurios atsiranda kūnams betarpiškai liečiantis yra molekulių laukų kurie 10-7 cmatstumu jau neveikia sąveikos rezultatas 4 Ar tos sąveikos supratimas įrodant eterį arba lauką kuo nors skiriasi Reikalastas kad eteris buvo kažkokia hipotetinė substancija per kurią XIX a fizikų suoratimuvyko sąveika tarp kūnų kuriuos galima buvo deformuoti vilkti ir tt Laukas yra realiaiegzistuojanti materijos forma kuri gali egzistuoti ir pilnai savarankiškai ndash šviesa ateinantiiš jau senai užgesusių žvaigždžių radio impulsas Absoliučios erdvės nėra ji užpildyta
A|
A F B
laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas
cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis
Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis
xFtdxdm =2
2
yFtdydm =2
2
zFtdzdm =2
2
Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos
Paprastai tai būna rarr
r ir rarr
v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa
Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr
= gmF taigi
rarrrarr
= gtdrd2
2
arba rarr
rarr
= gtdvd ir
rarrrarr
= vtdrd iš čia 0
rarrrarrrarr
+= vtgv 002
21 rarrrarrrarrrarr
++= rtvtgr
Tai bendras sprendinys o paimdami 0
rarr
v ir 0
rarr
r konkrečias vertes gausime atskirą
prendinį o 0
rarr
v ir 0
rarr
r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną
Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1
rarr
v ir 2
rarr
v iki
susidūrimo ir po jo rarr
v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr
=+ vmvmvm 2211
Sistemoje A| judančioje greičiu rarr
v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|
22
|
11
rarrrarrrarr
=+ vmvmvm
Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr
v ir v| tadararrrarrrarr
minus= vvv 1
|
1 rarrrarrrarr
minus= vvv 2
|
2 rarrrarrrarr
minus= vvv|
Tada gauname
)()()( 2211
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr
minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr
=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių
adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių
adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau
13 Trinties dėsniai
1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja
P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)
Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio
fn
ftr f
P
d K = -ftrarr
s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga
Kai greičiai mažirarrrarr
minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę
rarrrarr
minus=minus= vvkvvvkftr 2
22
Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt
Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)
ftr
f0
d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0
v
Rimties trintiesjėga
f k2v2
k1v Turbulentinis aptekėjimas
Laminarinis aptekėjimas
v
14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas
1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e
Ftdpd rarrrarr
= - geometrinė
visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0
)(0 ttFpp e minus=minus -
jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su
21 ++=rarrrarrrarr
vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti
)( 01)(
101 ttFpp e minus=minusrarrrarr
+
)( 12)(
212 ttFpp e minus=minusrarrrarr
-------------------------------
ne
nee
n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr
minus
rarrrarr)(
2)(
21)(
101121
sum=
rarrrarr
∆=minusn
ii
ei tFpp
1
)(0 kai sum intequiv∆
rarr∆ i
t
t
ei
ei
tdFtF
i 0
)(lim )()(
0ττ tai int=minus
rarrrarr t
t
e dFpp0
)()(0 ττ
Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės
Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas
1 T1
2 T2
P
15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė
Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos
judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių
taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr
Rišreiškiamas
mrmrmR 211 ++
=
rarrrarrrarr
kur 321 +++= mmmm
21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr
rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmvm rarr
= vmp )(eFtdvdm =
rarr
Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai
00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=
rarr
Materialių
taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje
Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys
1
12
12
mF
tdrd
rarrrarr
= 2
22
22
mF
tdrd
rarrrarr
= Be to iš
trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr
= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime
)11()(21
21
1
2
2122
2
mmF
mF
mFrr
tdd
+=minus=minus
rarrrarrrarrrarr
Ši
lygtis aprašo vieno materialaus taško
judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr
minus= rrryra radius vektorius
m1
m2
O
rarr
r
1rarr
r2
rarr
r
z
x
1rarr
r
2rarr
r
R
y
Pažymėjus
21
111mm
+=micro
arba 21
21
mmmm+
=micro tada 22
2
Ftdrd=
rarr
micro
Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr
F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį
)(e
Ftdvdm
rarrrarr
= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo
tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi
Lygties 2rMmGF = vektorinė forma
rarrrarr
rarr
minus=minus= rrMmG
rr
rMmGF 32 Įvedus micro
planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip
rarrbullbullbullbull
minus==+
equiv rrMmGFr
MmMmr 3micro
rarrrarr +minus=
bullbull
rrmMGr 3 Kadangi laikome kad
sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr
minus=bullbull
rwr 2
322 )2(
rmMG
Tw +
==π arba 3r
mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo
periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w
32
1
21 )2(
rMG
Tw ==
π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w
32
22
2)2(rMG
Tw ==
π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2
2
12
1
2 ==TT
ww Apsisukimo
periodas antru atveju 2 kartų mažesnis
Planeta m
Saulė
M
rarr
r
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
laukais XIX a Betarpiškos sąveikos jėgas laikė pilnai aiškias ir suprantamas oelektrines magnetines jėgas kaip kažką nesuprantama ir sudėtinga XX a Fizika teigiapriešingai kad visos tamprumo trinties cheminės molekulinės ir kitos mechaninėsjėgos be gravitacinių yra elektromagnetinių jėgų veikimo rezultatas 5 Laukas turi impulsą taigi III Niutono dėsnis galioja Geriausias pavyzdys yraLebedevo šviesos slėgio bandymas kuriuo buvo parodyta kad šviesos impulsas
cp ε= ε ndash energija c ndash šviesos greitis
Pradinių sąlygų vaidmuo Materialaus taško judėjimo vektorinė lygtis
xFtdxdm =2
2
yFtdydm =2
2
zFtdzdm =2
2
Tai diferencialinės lygtys kurioms išspręsti reikalingos pradinės sąlygos
Paprastai tai būna rarr
r ir rarr
v vertės laiko momentu t = 0 Tai ir yra pradinės sąlygos Pvz Galilėjaus buvo rasta kad visi kūnai tuštumoje krenta vienodais pagreičiaisNesvarbu kas kris kamštis ar plunksa
Žemės traukos jėga veikia kūną jėga rarrrarr
= gmF taigi
rarrrarr
= gtdrd2
2
arba rarr
rarr
= gtdvd ir
rarrrarr
= vtdrd iš čia 0
rarrrarrrarr
+= vtgv 002
21 rarrrarrrarrrarr
++= rtvtgr
Tai bendras sprendinys o paimdami 0
rarr
v ir 0
rarr
r konkrečias vertes gausime atskirą
prendinį o 0
rarr
v ir 0
rarr
r yra pradinės sąlygos Adityvumas ir masės tvermės dėsnis Tegu du kūnai kurių masės m1 ir m2 susiduria ir susijungia į vieną kūną
Atrodytų kad m1 + m2 = m Tegu inercinėje sistemoje kūnų A greičiai buvo 1
rarr
v ir 2
rarr
v iki
susidūrimo ir po jo rarr
v Tada iš impulso tvermės dėsniorarrrarrrarr
=+ vmvmvm 2211
Sistemoje A| judančioje greičiu rarr
v atžvilgiu A tada pagal reliatyvumo principą|
22
|
11
rarrrarrrarr
=+ vmvmvm
Masės sistemose A ir A| - vienodos o ryšys tarp rarr
v ir v| tadararrrarrrarr
minus= vvv 1
|
1 rarrrarrrarr
minus= vvv 2
|
2 rarrrarrrarr
minus= vvv|
Tada gauname
)()()( 2211
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus+minus vvmvvmvvm rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus++ vmvmvmvmvmvm 222111 rarrrarrrarrrarrrarr
minus=+minus+ vmvmvmmvmvm )( 212211 rarrrarr
=+ vmvmm )( 21 mmm =+ 21 Tai masių
adityvumo dėsnis Šį dėsnį galima apibendrinti daugelių kūnų atveju Tai būdingacheminėm reakcijom Masių suma iki reakcijos lygi masei po reakcijos Tačiau masių
adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau
13 Trinties dėsniai
1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja
P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)
Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio
fn
ftr f
P
d K = -ftrarr
s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga
Kai greičiai mažirarrrarr
minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę
rarrrarr
minus=minus= vvkvvvkftr 2
22
Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt
Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)
ftr
f0
d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0
v
Rimties trintiesjėga
f k2v2
k1v Turbulentinis aptekėjimas
Laminarinis aptekėjimas
v
14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas
1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e
Ftdpd rarrrarr
= - geometrinė
visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0
)(0 ttFpp e minus=minus -
jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su
21 ++=rarrrarrrarr
vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti
)( 01)(
101 ttFpp e minus=minusrarrrarr
+
)( 12)(
212 ttFpp e minus=minusrarrrarr
-------------------------------
ne
nee
n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr
minus
rarrrarr)(
2)(
21)(
101121
sum=
rarrrarr
∆=minusn
ii
ei tFpp
1
)(0 kai sum intequiv∆
rarr∆ i
t
t
ei
ei
tdFtF
i 0
)(lim )()(
0ττ tai int=minus
rarrrarr t
t
e dFpp0
)()(0 ττ
Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės
Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas
1 T1
2 T2
P
15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė
Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos
judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių
taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr
Rišreiškiamas
mrmrmR 211 ++
=
rarrrarrrarr
kur 321 +++= mmmm
21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr
rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmvm rarr
= vmp )(eFtdvdm =
rarr
Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai
00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=
rarr
Materialių
taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje
Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys
1
12
12
mF
tdrd
rarrrarr
= 2
22
22
mF
tdrd
rarrrarr
= Be to iš
trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr
= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime
)11()(21
21
1
2
2122
2
mmF
mF
mFrr
tdd
+=minus=minus
rarrrarrrarrrarr
Ši
lygtis aprašo vieno materialaus taško
judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr
minus= rrryra radius vektorius
m1
m2
O
rarr
r
1rarr
r2
rarr
r
z
x
1rarr
r
2rarr
r
R
y
Pažymėjus
21
111mm
+=micro
arba 21
21
mmmm+
=micro tada 22
2
Ftdrd=
rarr
micro
Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr
F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį
)(e
Ftdvdm
rarrrarr
= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo
tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi
Lygties 2rMmGF = vektorinė forma
rarrrarr
rarr
minus=minus= rrMmG
rr
rMmGF 32 Įvedus micro
planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip
rarrbullbullbullbull
minus==+
equiv rrMmGFr
MmMmr 3micro
rarrrarr +minus=
bullbull
rrmMGr 3 Kadangi laikome kad
sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr
minus=bullbull
rwr 2
322 )2(
rmMG
Tw +
==π arba 3r
mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo
periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w
32
1
21 )2(
rMG
Tw ==
π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w
32
22
2)2(rMG
Tw ==
π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2
2
12
1
2 ==TT
ww Apsisukimo
periodas antru atveju 2 kartų mažesnis
Planeta m
Saulė
M
rarr
r
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
adityvumo dėsnis buvo gautas remiantis Galilėjaus reliatyvumo principu bet jis yraatskiras atvejis Einšteino reliatyvumo principo Įskaičius Einšteino reliatyvumo principąreikia naudotis ne masių bet masės ndash energijos tvermės dėsniu kadangi masė gali virstienergija ir atvirkščiai Bet apie masės defektą išsiaiškinsime vėliau
13 Trinties dėsniai
1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja
P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)
Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio
fn
ftr f
P
d K = -ftrarr
s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga
Kai greičiai mažirarrrarr
minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę
rarrrarr
minus=minus= vvkvvvkftr 2
22
Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt
Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)
ftr
f0
d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0
v
Rimties trintiesjėga
f k2v2
k1v Turbulentinis aptekėjimas
Laminarinis aptekėjimas
v
14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas
1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e
Ftdpd rarrrarr
= - geometrinė
visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0
)(0 ttFpp e minus=minus -
jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su
21 ++=rarrrarrrarr
vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti
)( 01)(
101 ttFpp e minus=minusrarrrarr
+
)( 12)(
212 ttFpp e minus=minusrarrrarr
-------------------------------
ne
nee
n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr
minus
rarrrarr)(
2)(
21)(
101121
sum=
rarrrarr
∆=minusn
ii
ei tFpp
1
)(0 kai sum intequiv∆
rarr∆ i
t
t
ei
ei
tdFtF
i 0
)(lim )()(
0ττ tai int=minus
rarrrarr t
t
e dFpp0
)()(0 ττ
Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės
Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas
1 T1
2 T2
P
15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė
Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos
judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių
taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr
Rišreiškiamas
mrmrmR 211 ++
=
rarrrarrrarr
kur 321 +++= mmmm
21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr
rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmvm rarr
= vmp )(eFtdvdm =
rarr
Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai
00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=
rarr
Materialių
taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje
Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys
1
12
12
mF
tdrd
rarrrarr
= 2
22
22
mF
tdrd
rarrrarr
= Be to iš
trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr
= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime
)11()(21
21
1
2
2122
2
mmF
mF
mFrr
tdd
+=minus=minus
rarrrarrrarrrarr
Ši
lygtis aprašo vieno materialaus taško
judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr
minus= rrryra radius vektorius
m1
m2
O
rarr
r
1rarr
r2
rarr
r
z
x
1rarr
r
2rarr
r
R
y
Pažymėjus
21
111mm
+=micro
arba 21
21
mmmm+
=micro tada 22
2
Ftdrd=
rarr
micro
Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr
F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį
)(e
Ftdvdm
rarrrarr
= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo
tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi
Lygties 2rMmGF = vektorinė forma
rarrrarr
rarr
minus=minus= rrMmG
rr
rMmGF 32 Įvedus micro
planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip
rarrbullbullbullbull
minus==+
equiv rrMmGFr
MmMmr 3micro
rarrrarr +minus=
bullbull
rrmMGr 3 Kadangi laikome kad
sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr
minus=bullbull
rwr 2
322 )2(
rmMG
Tw +
==π arba 3r
mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo
periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w
32
1
21 )2(
rMG
Tw ==
π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w
32
22
2)2(rMG
Tw ==
π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2
2
12
1
2 ==TT
ww Apsisukimo
periodas antru atveju 2 kartų mažesnis
Planeta m
Saulė
M
rarr
r
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
13 Trinties dėsniai
1 Mechanikoje paprastai nagrinėjamos gravitacinės tamprumo ir trinties jėgos okartais įjungiamas ir elektringų dalelių judėjimas elektriniuose ir magnetiniuose laukuosetada dar prijungiamos elektromagnetinės jėgos Mechanikoje kalbant apie trinties jėgą nekalbama apie jos prigimtį oapsiribojama empiriniu būdu gautų dėsnių aprašymu todėl jie yra gana artutiniai irnetikslūs Trinties jėgos ypatybės a) Tamprumo gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos priklauso tik nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio išsidėstymo o trinties jėgos priklauso ir nuosąveikaujančių kūnų tarpusavio greičio b) Trinties jėgos veikia ne tik kūnams judant bet ir esant ramybės būsenoje vienaskito atžvilgiu c) Trintis vadinama išorine kai sąveikauja du skirtingi kūnai (kaladėlė esanti antnuožulniosios plokštomos ir tt) ir vidine kai sąveikauja to paties kūno atskiros dalys(skysčio klampumas) Toks klasifikavimas aišku yra santykinis bet patogus d) Trintis tarp dviejų kūnų kai nėra jokio tarpinio dujų arba skysčio sluoksniovadinama ndash sausa o kai yra ndash skystine arba klampia e) Priklausomai nuo to kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu trintis vadinama slydimoarba riedėjimo Sausosios trinties dėsniai Tokia trintis kyla ne tik kūnams šliaužiant vienas kitu bet ir bandant juos išjudintiPastaroji trintis vadinama ramybės arba sukibimo trintimi Ši trintis yra sausosios trintiescharakteringas požymis Bendru atveju sausąja trintimi vadinama trinties jėga kurineišnyksta kai greitis tarp kūnų pasidaro lygus nuliui Priešingu atveju trintis vadinamasausąja
P = fn Jeigu f lt f0 tai tašelisnejuda Taigi tada atsiranda trinties jėgakuri atsveria traukos jėgą f = ftr Tai iryra rimties trinties jėga Tokia pattrinties jėga veikia ir stalo paviršių Kol flt f0 trinties jėga automatiškai atsveriatraukos jėgą Maksimali ramybės trintiesjėga yra f0 Jeigu tašelis slysta stalopaviršiumi greičiu v tolygiai tai f = ftrjei ne - tai judėjimas bus su pagreičiuŠiais atvejais ftr = f(v)
Trinties jėga veikia judėjimo krypčiai priešinga kryptimi tam paveiksle ftr ir vženklai visada priešingiKaip nustatė Kulonas (1736 ndash 1806) trinties jėga nepriklausonuo sąveikaujančių kūnų lietimosi paviršiaus ploto o tik proporcinga normalinio slėgiojėgai ftr = microfn micro ndash trinties koeficientas priklausantis nuo besitrinančių kūnų paviršių microirgi yra slydimo ir ramybės Bendru atveju ir trinties koeficientas micro priklauso nuo greičiotačiau ta priklausomybė daugeliu realių atvejų yra silpna Uždaviniuose dažniausiailaikoma kad micro nepriklauso nuo greičio
fn
ftr f
P
d K = -ftrarr
s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga
Kai greičiai mažirarrrarr
minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę
rarrrarr
minus=minus= vvkvvvkftr 2
22
Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt
Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)
ftr
f0
d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0
v
Rimties trintiesjėga
f k2v2
k1v Turbulentinis aptekėjimas
Laminarinis aptekėjimas
v
14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas
1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e
Ftdpd rarrrarr
= - geometrinė
visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0
)(0 ttFpp e minus=minus -
jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su
21 ++=rarrrarrrarr
vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti
)( 01)(
101 ttFpp e minus=minusrarrrarr
+
)( 12)(
212 ttFpp e minus=minusrarrrarr
-------------------------------
ne
nee
n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr
minus
rarrrarr)(
2)(
21)(
101121
sum=
rarrrarr
∆=minusn
ii
ei tFpp
1
)(0 kai sum intequiv∆
rarr∆ i
t
t
ei
ei
tdFtF
i 0
)(lim )()(
0ττ tai int=minus
rarrrarr t
t
e dFpp0
)()(0 ττ
Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės
Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas
1 T1
2 T2
P
15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė
Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos
judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių
taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr
Rišreiškiamas
mrmrmR 211 ++
=
rarrrarrrarr
kur 321 +++= mmmm
21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr
rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmvm rarr
= vmp )(eFtdvdm =
rarr
Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai
00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=
rarr
Materialių
taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje
Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys
1
12
12
mF
tdrd
rarrrarr
= 2
22
22
mF
tdrd
rarrrarr
= Be to iš
trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr
= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime
)11()(21
21
1
2
2122
2
mmF
mF
mFrr
tdd
+=minus=minus
rarrrarrrarrrarr
Ši
lygtis aprašo vieno materialaus taško
judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr
minus= rrryra radius vektorius
m1
m2
O
rarr
r
1rarr
r2
rarr
r
z
x
1rarr
r
2rarr
r
R
y
Pažymėjus
21
111mm
+=micro
arba 21
21
mmmm+
=micro tada 22
2
Ftdrd=
rarr
micro
Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr
F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį
)(e
Ftdvdm
rarrrarr
= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo
tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi
Lygties 2rMmGF = vektorinė forma
rarrrarr
rarr
minus=minus= rrMmG
rr
rMmGF 32 Įvedus micro
planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip
rarrbullbullbullbull
minus==+
equiv rrMmGFr
MmMmr 3micro
rarrrarr +minus=
bullbull
rrmMGr 3 Kadangi laikome kad
sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr
minus=bullbull
rwr 2
322 )2(
rmMG
Tw +
==π arba 3r
mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo
periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w
32
1
21 )2(
rMG
Tw ==
π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w
32
22
2)2(rMG
Tw ==
π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2
2
12
1
2 ==TT
ww Apsisukimo
periodas antru atveju 2 kartų mažesnis
Planeta m
Saulė
M
rarr
r
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
d K = -ftrarr
s (tada kinetinė energija virsta šiluma) 2 Ramybės trintis gali turėti įtakos prietaisų jautrumui nes kol veikianti rodyklęjėga yra intervale (- f0 f0) rodyklė nejudės arba grįžusi atgal stovės ne toje pačioje vietoje 3 Labai daug atvejų trintis yra reikalinga bet tiek pat atveju stengiamasi ją kiekįmanoma sumažinti Tam naudojami tepalai Tačiau efektyviausias būdas yra slydimotrintį pakeisti riedėjimo trintimi (guoliai) nes riedėjimo trinties koeficientas daugmažesnis už slydimo Pats efektyviausis būdas naudoti oro pagalves 4 Kitaip negu sausosios trinties skystosios trinties jėga pasidaro lygi nuliui kai v= 0 Tai yra skysčių ir dujų dinamikos uždavinys Šiuo momentu yra svarbus kietų kūnųjudėjimo skysčiuose ir dujose klausimas Be slydimo trinties kuri kyla kūnui judantskystyje arba dujose atsiranda papildomos jėgos kurios yra nukreiptos priešingajudėjimui kryptimi ndash aplinkos pasipriešinimo jėga Ši jėga esant didžiuliams greičiamsdaug kartų viršija trinties jėgą Taigi nagrinėjant kūno judėjimą klmpioje aplinkojetrinties ir aplinkos pasipriešinimo jėgos apjungiamus ir vadinamos tik trinties jėga
Kai greičiai mažirarrrarr
minus= vkf tr 1 Greičiui didėjantpereinama iš tiesinės į apytiksliaikvadratinę priklausomybę
rarrrarr
minus=minus= vvkvvvkftr 2
22
Koeficientai k1 ir k2 priklauso nuokūnų formos medžiagos iš kurioskūnai padaryti ir tt
Dirbtinai didinant kūno paviršių ir keičiant formą galima žymiai padidinti k1 ir k2(parašiutas)
ftr
f0
d K = - ft d s ftr dK = 0 Energijos Energijos virsmai virsmų nėra f0
v
Rimties trintiesjėga
f k2v2
k1v Turbulentinis aptekėjimas
Laminarinis aptekėjimas
v
14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas
1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e
Ftdpd rarrrarr
= - geometrinė
visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0
)(0 ttFpp e minus=minus -
jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su
21 ++=rarrrarrrarr
vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti
)( 01)(
101 ttFpp e minus=minusrarrrarr
+
)( 12)(
212 ttFpp e minus=minusrarrrarr
-------------------------------
ne
nee
n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr
minus
rarrrarr)(
2)(
21)(
101121
sum=
rarrrarr
∆=minusn
ii
ei tFpp
1
)(0 kai sum intequiv∆
rarr∆ i
t
t
ei
ei
tdFtF
i 0
)(lim )()(
0ττ tai int=minus
rarrrarr t
t
e dFpp0
)()(0 ττ
Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės
Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas
1 T1
2 T2
P
15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė
Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos
judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių
taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr
Rišreiškiamas
mrmrmR 211 ++
=
rarrrarrrarr
kur 321 +++= mmmm
21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr
rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmvm rarr
= vmp )(eFtdvdm =
rarr
Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai
00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=
rarr
Materialių
taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje
Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys
1
12
12
mF
tdrd
rarrrarr
= 2
22
22
mF
tdrd
rarrrarr
= Be to iš
trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr
= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime
)11()(21
21
1
2
2122
2
mmF
mF
mFrr
tdd
+=minus=minus
rarrrarrrarrrarr
Ši
lygtis aprašo vieno materialaus taško
judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr
minus= rrryra radius vektorius
m1
m2
O
rarr
r
1rarr
r2
rarr
r
z
x
1rarr
r
2rarr
r
R
y
Pažymėjus
21
111mm
+=micro
arba 21
21
mmmm+
=micro tada 22
2
Ftdrd=
rarr
micro
Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr
F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį
)(e
Ftdvdm
rarrrarr
= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo
tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi
Lygties 2rMmGF = vektorinė forma
rarrrarr
rarr
minus=minus= rrMmG
rr
rMmGF 32 Įvedus micro
planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip
rarrbullbullbullbull
minus==+
equiv rrMmGFr
MmMmr 3micro
rarrrarr +minus=
bullbull
rrmMGr 3 Kadangi laikome kad
sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr
minus=bullbull
rwr 2
322 )2(
rmMG
Tw +
==π arba 3r
mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo
periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w
32
1
21 )2(
rMG
Tw ==
π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w
32
22
2)2(rMG
Tw ==
π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2
2
12
1
2 ==TT
ww Apsisukimo
periodas antru atveju 2 kartų mažesnis
Planeta m
Saulė
M
rarr
r
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
14 Jėgos impulsas ir judėjimo kiekio kitimas
1 Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio išvestinė )(e
Ftdpd rarrrarr
= - geometrinė
visų išorinių jėgų suma Tegu )(eF - pastovi Tada visai materialių taškų sistemai )( 0
)(0 ttFpp e minus=minus -
jėgos impulsas kur p ir p0 atitinka laiko momentus t ir t0 Pastovios jėgos daugyba išlaiko yra vadinama jėgos impulsu per tą laiko tarpą Šio dydžio nereikėtų maišyti su
21 ++=rarrrarrrarr
vmvmp kuris buvo vadinamas materialių taškų sistemos impulsu Tačiaunesusipratimų nekils nes žodis impulsasldquo visą laiką bus naudojamas su žodžiu jėgaldquoarba kūnasldquo bet toliau p = mv +hellip bus vadinamas judesio kiekiu 2 Jeigu )()( tfF e = t y kinta laike tai parinkus pakankamai mažus laikointervalus 1minusminus=∆ iii ttt galima užrašyti
)( 01)(
101 ttFpp e minus=minusrarrrarr
+
)( 12)(
212 ttFpp e minus=minusrarrrarr
-------------------------------
ne
nee
n tFtFtFpppppp ∆++∆∆=minus+minus++minusrarrrarrrarrrarr
minus
rarrrarr)(
2)(
21)(
101121
sum=
rarrrarr
∆=minusn
ii
ei tFpp
1
)(0 kai sum intequiv∆
rarr∆ i
t
t
ei
ei
tdFtF
i 0
)(lim )()(
0ττ tai int=minus
rarrrarr t
t
e dFpp0
)()(0 ττ
Materialių taškų sistemos judėjimo kiekio pokytis yra lygus visų tą sistemąveikiančių (geometrinės sumos) jėgų impulsui 3 Taigi judėjimo kiekis kurį įgyja kūnas priklauso ne tik nuo jėgos dydžio bet irnuo jos veikimo trukmės
Jeigu lėtai tempti už siūlo ndash tai nutruks(1) siūlas nes kai svarstis buvo ramybėsbūsenoje 21 TTP minus= taigi 21 TT gt Jeigumaksimalus įtempimas kurį gali atlaikyti siūlasnenutrūkęs 0T tai lėtai traukiant svarstis pradėsjudėti ir atsiras papildomas jėgos impulsas kurissu mūsų tempimo jėga viršys 0T ir nutruks (1)siūlas jei trauksime staigiai tai svarstis busveikiamas jėgos trumpiau ir todėl bus nutrauktas(2) siūlas
1 T1
2 T2
P
15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė
Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos
judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių
taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr
Rišreiškiamas
mrmrmR 211 ++
=
rarrrarrrarr
kur 321 +++= mmmm
21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr
rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmvm rarr
= vmp )(eFtdvdm =
rarr
Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai
00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=
rarr
Materialių
taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje
Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys
1
12
12
mF
tdrd
rarrrarr
= 2
22
22
mF
tdrd
rarrrarr
= Be to iš
trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr
= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime
)11()(21
21
1
2
2122
2
mmF
mF
mFrr
tdd
+=minus=minus
rarrrarrrarrrarr
Ši
lygtis aprašo vieno materialaus taško
judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr
minus= rrryra radius vektorius
m1
m2
O
rarr
r
1rarr
r2
rarr
r
z
x
1rarr
r
2rarr
r
R
y
Pažymėjus
21
111mm
+=micro
arba 21
21
mmmm+
=micro tada 22
2
Ftdrd=
rarr
micro
Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr
F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį
)(e
Ftdvdm
rarrrarr
= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo
tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi
Lygties 2rMmGF = vektorinė forma
rarrrarr
rarr
minus=minus= rrMmG
rr
rMmGF 32 Įvedus micro
planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip
rarrbullbullbullbull
minus==+
equiv rrMmGFr
MmMmr 3micro
rarrrarr +minus=
bullbull
rrmMGr 3 Kadangi laikome kad
sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr
minus=bullbull
rwr 2
322 )2(
rmMG
Tw +
==π arba 3r
mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo
periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w
32
1
21 )2(
rMG
Tw ==
π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w
32
22
2)2(rMG
Tw ==
π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2
2
12
1
2 ==TT
ww Apsisukimo
periodas antru atveju 2 kartų mažesnis
Planeta m
Saulė
M
rarr
r
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
15 Masių centro judėjimo teorema Redukuota masė
Nereliatyvistinėje mechanikoje kol masė nepriklauso nuo greičio sistemos
judėjimo kiekį 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmp galima išreikšti per masių centro greitį Materialių
taškų masių centru vadinamas toks įsivaizduojamas taškas kurio radiusas vektorius rarr
Rišreiškiamas
mrmrmR 211 ++
=
rarrrarrrarr
kur 321 +++= mmmm
21 ++=bullbullbullrarrrarrrarr
rmrmRm 2211 ++=rarrrarrrarr
vmvmvm rarr
= vmp )(eFtdvdm =
rarr
Masių centras juda kaip materialustaškas kurio masė lygi sumai visų materialiųtaškų o veikianti jėga lygi geometrinei sumaivisų išorinių jėgų veikiančių sistemą Pvz Patrankos sviedinys judantis irsprogstantis beorėje erdvėje Masių centras paprastai sutampa susunkio jėgos centru kuris vartojamas retaiJeigu materialių taškų sistema uždara tai
00)( constvtdvdF e =rarr=rarr=
rarr
Materialių
taškų masės centras juda tolygiai tiesiaeigiaiŠi teorema galioja ir reliatyvistinėjemechanikoje
Redukuota masė Nagrinėjame dviejų 1m ir 2m masės sąveikaujančių materialių taškų uždarąsistemą Šių taškų judėjimo lygtys
1
12
12
mF
tdrd
rarrrarr
= 2
22
22
mF
tdrd
rarrrarr
= Be to iš
trečiojo Niutono dėsnio 21rarrrarr
= FF atėmusvieną lygtį iš kitos gausime
)11()(21
21
1
2
2122
2
mmF
mF
mFrr
tdd
+=minus=minus
rarrrarrrarrrarr
Ši
lygtis aprašo vieno materialaus taško
judėjimą atžvilgiu kito kadangi 12rarrrarrrarr
minus= rrryra radius vektorius
m1
m2
O
rarr
r
1rarr
r2
rarr
r
z
x
1rarr
r
2rarr
r
R
y
Pažymėjus
21
111mm
+=micro
arba 21
21
mmmm+
=micro tada 22
2
Ftdrd=
rarr
micro
Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr
F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį
)(e
Ftdvdm
rarrrarr
= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo
tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi
Lygties 2rMmGF = vektorinė forma
rarrrarr
rarr
minus=minus= rrMmG
rr
rMmGF 32 Įvedus micro
planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip
rarrbullbullbullbull
minus==+
equiv rrMmGFr
MmMmr 3micro
rarrrarr +minus=
bullbull
rrmMGr 3 Kadangi laikome kad
sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr
minus=bullbull
rwr 2
322 )2(
rmMG
Tw +
==π arba 3r
mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo
periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w
32
1
21 )2(
rMG
Tw ==
π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w
32
22
2)2(rMG
Tw ==
π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2
2
12
1
2 ==TT
ww Apsisukimo
periodas antru atveju 2 kartų mažesnis
Planeta m
Saulė
M
rarr
r
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
Pažymėjus
21
111mm
+=micro
arba 21
21
mmmm+
=micro tada 22
2
Ftdrd=
rarr
micro
Formaliai tai antras Niutono dėsnis kur 2rarr
F yra jėga veikianti antrą materialųtašką o micro - redukuota masė Jei prie gautos išraiškos prijungsime masių centro lygtį
)(e
Ftdvdm
rarrrarr
= tai uždavinys susiskaidys į dvi dalis 1) nustatomas masių centro judėjimo
tolydumas 2) nustatomas santykinis vieno taško judėjimas atžvilgu kito Pastarasisuždavinys susiveda į vieno taško su mase micro judėjimą Jokios gilesnės prasmės micro neturi
Lygties 2rMmGF = vektorinė forma
rarrrarr
rarr
minus=minus= rrMmG
rr
rMmGF 32 Įvedus micro
planetos judėjimas atžvilgiu Saulėsaprašomas taip
rarrbullbullbullbull
minus==+
equiv rrMmGFr
MmMmr 3micro
rarrrarr +minus=
bullbull
rrmMGr 3 Kadangi laikome kad
sukimasis apie Saulę tolydus tai rarrrarr
minus=bullbull
rwr 2
322 )2(
rmMG
Tw +
==π arba 3r
mMGw += Čia w - kampinis greitis T - apsisukimo
periodas Jeigu planetos masė Mm ltlt 1 tai kampinis greitis 1w
32
1
21 )2(
rMG
Tw ==
π Jeigu planetos masė Mm = tai kampinis greitis 2w
32
22
2)2(rMG
Tw ==
π Esant tam pačiam spinduliui r 2)()( 2
2
12
1
2 ==TT
ww Apsisukimo
periodas antru atveju 2 kartų mažesnis
Planeta m
Saulė
M
rarr
r
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
16 Kintamos masės kūnų judėjimas Reaktyvinis judėjimas
1 Kintama masė Šiuo atveju tai surišta su masės kitimu dėl to kad masėišmetama arba pridedama o ne dėl didelio greičio kitimo Pvz Raketa vandens lašas krintantis persotintoje vandens garais aplinkoje
2 Tegu masės )(tm laiko momentu t raketos greitis )(tvrarr
ir judėjimo kiekisrarr
vm Po laiko tarpo td greitis pakito rarr
vd o masė md Tada judėjimo kiekis
))((rarrrarr
++ vdvmdm Dujų judėjimo kiekis dd vmdrarr
Tada per laiko tarpą td impulso
kiekio prieauglis tdFrarr
kur rarr
F - geometrinė visų išorinių jėgų suma
tdFvmvmdvdvmdm dd
rarrrarrrarrrarrrarr
=minus+++ ))(( kadangi
md ir 0rarrrarr
vd tai vdmd galima atmesti kaip labai mažą
tdFvmvmdvmddmdvvdmvm dd
rarrrarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus++++
0asymprarr
vmdd Pertvarkydami užrašysime
tdFvmdmdvvdm dd
rarrrarrrarrrarr
+minusminus= rarrrarrrarr
minus= vvv ds -reaktyvinis greitis atžvilgiu nejudančios atskaitossistemos 0=+ dmdmd taip yra todėl nes kieksudegs kuro tiek palengvės raketa ( mdmd d minus= )
tdFvmdmdvvdm d
rarrrarrrarrrarr
++minus= tdFmdvvvmd d
rarrrarrrarrrarr
+minus= )( tdFmdvvmd s
rarrrarrrarr
+= | td
rarrrarrrarr
+= Ftdmdv
tdvdm s - gavome Meščerskio lygtį Ši lygtis apibrėžia kintamos masės taško
judėjimą Šioje lygtyje išraiška tdmdv s
rarr
yra reaktyvinė jėga
Jeigu išorinės jėgos neveikia 0=rarr
F tai mdvvdm s
rarrrarr
= Raketa juda kryptimi
priešinga dujų išmetimo krypčiai taigi rarr
vd ir svrarr
yra priešingų krypčių tada
mdvvdm sminus=rarr
Sakykime kad constvs = tada mmdvvd sminus= Suintegravę gausime
int +minus=minus= cmvmmdvv ss ln c randamas iš pradinių sąlygų kad laiko momentu
00 == vt o masė 0m cmvs +minus= 0ln0 ir 0ln mvc s= Taigi
0ln)(ln mvtmvv ss +minus= )(
ln 0
tmmvv s= ir galutinai suprastinus išraišką gausime
m
d md
rarr
v
rarr
F
dvrarr
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
Ciolkovskio formulę svv
emm
=0 Čia gauta nerliatyvistinė formulė kuri reliatyvistiniu
atveju užrašoma taip
svc
mm 20 )
11(
ββ
minus+
= kur cv
=β Kai 0rarrcvs gauname Ciolkovskio formulę
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
17 Darbas ir kinetinė energija
1 Jėgos rarr
F darbu atliekamu poslinkyje rarr
sd vadinamas tos jėgos projekcijos Fs įposlinkio kryptį sandauga su pačio poslinkio dydžiu
αcossFdsdFAd s == α - kampas tarprarr
F ir rarr
sd Kadangi rarr
sd be galo mažas dydistai Ad vadinamas elementariuoju darbuNaudojantis skaliarinės sandaugos sąvoka
galima užrašyti )(rarrrarr
= sdFAd Galimatrajektoriją sudalinti į mažus elementus
kiekviename iš kurių rarr
F pastovusSusumavus visus tuos elementus gausime
intrarrrarr
=2
1
)( sdFA Ši formulė rodo jėgos
rarr
F atliktą darbą kelyje 12
Jeigu 21
rarrrarrrarr
+= FFF tai jos projekcija į rarr
sd yra sss FFF 21 += ir sudauginusgausime
sdFsdFsdF sss 21 += 21 AdAdAd += Visas darbas yra atskirų jėgų atliktų darbų suma Tas pats galioja ir integralamsA = A1 + A2 Darbo matavimo vienetas SI vienetų sistemoje yra Džiaulis (J) 1 J=1 N middot 1m CGS vienetų sistemoje 1 erg = 1 dyn middot 1 cm 1 J = 107erg
Pakeitus tdpdFrarr
rarr
= ir tdvsdrarrrarr
= tada int int intrarrrarrrarr
rarrrarrrarr
=== )()()( pdvtdvtdpdsdFA
Darbas atliktas per trumpą laiko tarpą tdAdP = P ndash yra galia Galia skaičiuojama 1 W =
1 Js = 107 ergs
2 Kad apskaičiuotume integralą reikia žinoti ryšį tarp rarr
v ir rarr
p rarrrarr
= vmp Tadararrrarr
= vmdpd ir rarrrarrrarrrarr
= vdvmpdv Čia vektorius rarr
vd reiškia greičio vektoriaus rarr
v prieauglį
kurio kryptis gali nesutapti su vektoriaus rarr
v kryptimi
Jeigu v žymėsime vektoriaus rarr
v modulį tai 2
2rarr
= vv Tada diferencijuojant abi
puses gausime )(rarrrarr
= vdvvvd Iš skaliarinės sandaugos apibrėžimo
cos||)( vdvvdvvdv ==rarrrarrrarr
α
2
Fs
1
rarr
sd rarr
F
α
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
Tada int minus==2
122
21
22
21
v
v
mvmvvvdmA Skaičiai 12 rodo kad darbas atliekamas
einant keliu 21rarr Dydis K vadinamas materialaus taško kinetine energija
mpmvK22
22
== tada jėgos atliktas darbas perkeliant tašką lygus to taško kinetinės
energijos prieaugliui 1221 KKA minus= 30 Brėžinyje pavaizduota skaičiavimo schema 3 Tai galioja kiek norint daugmaterialių taškų Sistemos kinetineenergija vadinama visų materialių taškųkinetinių energijų sumą Darbo radimo iškinetinių energijų skirtumo formulę galimeužrašyti visiems sistemos materialiemstaškams 12sum sum summinus=
i i iiii KKA
Pakeitę sumas tiesiog bendrai darbu irkinetine energija užrašysime KKA minus= | čia |K - kinetinė energija trajektorijospabaigoje
Taigi visų jėgų veikiančių materialių taškų sistemą atliekamas darbas lygus tossistemos kinetinės energijos pokyčiui Reikia sužinoti impulso pokyčio ir sistemos judėjimo kiekio ryšį nes vidinėsjėgos nekeičia sistemos judėjimo kiekio o prieauglis judėjimo kiekio iššaukiamas tik
veikiant išorinėms jėgoms intrarrrarrrarr
=minust
t
e
dFpp0
))(()(
0 ττ Kinetinės energijos atveju vidinių
jėgų darbas bendru atveju nelygus nuliui
Pvz Jeigu du materialūs taškai traukia vienas kitą jėgomis 1rarr
F ir F ir juda vienasprieš kitą tai bus atliktas teigiamas darbas abiejomis jėgomis kuris bus sunaudotaskinetinės energijos padidėjimui Taigi sistemos kinetinė energija kinta veikiant ne tikišorinėms jėgoms bet ir vidinėms
4 Formulė reliatyvistinėje mechanikoje intrarrrarr
= )( pdvA teisinga tik reikia
įskaityti kad
2
20
1cv
mmminus
= Įstatę v = pm į šią išraišką gausime
2
20
1mcp
mmminus
=
2022
22 )1( m
cmpm =minus suprastinus gausime 2222
02 cmcmp =+ Išdiferenciavę šią išraišką
turime mdmcpdp 222 = Kadangi pdppdp =rarrrarr
)( ir rarrrarr
= vmp tada
C B dv α A
O
rarr
vd
rarrrarr
+ vdv
2
rarr
v
1
rarr
v
rarr
v
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
mdmcpdvm 2)( =rarrrarr
| m mdcpdv 2)( =rarrrarr
taigi int int==rarrrarr 2
1
221 )(
m
m
mdcpdvA ir
mcmmcA ∆=minus= 212
221 )( Čia m1 ir m2 materialaus taško masės pradiniu ir galutiniu
momentais
Reliatyvistinėje mechanikoje darbas aprašomas tik materialaus taško masėspokyčiu Tegu 2mcE = ir pavadinsime šį dydį pilnąja arba reliatyvistine dalelės energijaTada 1221 EEA minus= Kada dalelė yra ramybės būsenoje jos reliatyvistinė energija
200 cmE = - vadinama ramybės energija Kinetinė energija yra dalis reliatyvistinės
energijos dėl dalelės judėjimo 200 )( cmmEEK minus=minus= 2
2
20 )11
1( c
cv
mK minus
minus
= Darbą
A12 galima paskaičiuoti iš 1221 KKA minus= jeigu į formulę 220
2 )()( mccmp =+
įsistatytumėme E ir E0 Tada 220
2 )()( mccmp =+ | middot c2 22220
22 )()( mccmcp =+ Galutinė išraiška
220
2 )( pcEE += Ši išraiška atspindi pilnos energijos ir impulso ryšį Ji galioja ir sistemos dalims irsistemoms 0m ir 0E reikia suprasti masę ir pilną energiją tokios sistemos atskaitossistemoje atžvilgiu kurios ji nejuda Esant lėtam judėjimui ši formulė pereina į nereliatyvistinę Naudojant Niutono
binomo formulę 83
211)1(
1
14
4
2
221
2
2
2
2+++=minus=
minus
minus
cv
cv
cv
cv
Kai 1 22 ltltcv šį
skleidimą galima užbaigti )1211( 2
22
0 minus+=cvcmK
2
20vmK =
5 Atomo fizikoje patogus energijos matavimo vienetas yra elektronvoltas (eV)energija įgyjama elektrono elektriniame lauke kai jis praeina tarp dviejų taškų tarp kuriųpotencialų skirtumas lygus vienam voltu (1 eV = 1602 middot 10-12 erg = 1602 middot 10-5 J)Naudojami dydžiai 1000 eV = keV ir MeV GeVRamybės energija elektronui m0ec2 = 0511 MeV protonui m0pc2 = 938 MeV Jeigu pilnareliatyvistinė dalelės energija E didesnė už ramybės energiją E0 tai sakoma kad dalelėjuda ultrareliatyviais greičiais (greitintuvai kosminiai spinduliai) Ryšys tarp kinetinių energijų skirtingose atskaitos sistemose Kionigo teorema Kinetinė energija priklauso nuo atskaitos sistemos kurios atžvilgiu juda kūnas Taigikaip keisis kinetinė energija pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą Tegu kinetinė
energija atskaitos sistemoje S rarr K o S| rarr K| kuri juda atžvilgiu S greičiu rarr
v
Nereliatyvistinės mechanikos atveju 1
| rarrrarrrarr
+= vvv todėl )(21
21
21 |
22|2rarrrarr
++= vvmmvmvmv
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
)(21 |
2|rarrrarr
++= vpmvKK Čia |mvp =rarr
materialaus taško impulsas atskaitos sistemoje S|
Kinetinės energijos formulė teisinga bet kuriam materialių taškų skaičiui Taigi
)(21 |
2|cvvmmvKK
rarrrarr
++= Jeigu masių centras S| sistemoje nejuda arba sutampa su S|
sistemos atskaitos tašku ( 0=rarr
cv ) tai 2|
21 mvKK += Šią išraišką nusako Kionigo
teorema Kūno kinetinė energija susideda iš dviejų dalių
a) slenkamojo judėjimo kinetinė energija lygi 2
21 mv
b) Reliatyvaus judėjimo kinetinė energija K| ty judėjimo atžvilgiu atskaitossistemos judančios (slenkamuoju judesiu) kartu su masės centru
6 Darbas judant apskritimu Jeigu materialus taškas juda apskritimo tai elementarus darbas atliekamas jam
pasisukus kampu ϕd ϕϕ MdFrdsdFAd ===rarr
Ta pati išraiška gaunama ir kietamkūnui kadangi jį galima laikyti materialių taškų visuma judančia kampiniu greičiu w Vidinės jėgos darbo neatlieka taigi ϕMdAd = Šiuo atveju jėgos vaidmenį atliekaišorinių jėgų momentas o poslinkio ndash kampinis poslinkis
Darbas per laiką t yra lygus int=t
MdA0
ϕ Kadangi tdwdIM = tai padauginus šią
lygybę iš twdd =ϕ ir inegruojant gauname int intint
=
==
t tt wdIwtd
dItwdtdwdIA
0 0
22
0 22
0
22
22
minus
=
IwIwAt
Suminė kieto kūno kinetinė energija sum sum==i i
iiii rwmvmK22
222
sum=i
iirmwK 22
2 Kadangi sum =
iii Irm 2 tai
2
2IwK = arba I
LK2
2
= Taigi atvaizdavimas
panašus į kinetinės energijos atvaizdavimą slenkamojo judėjimo atveju tik pakeičiant m įI v į w p į L
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
18 Konservatyvios ir nekonservatyvios jėgos Darbas centrinių jėgų lauke
1 Kas tai konservatyvios ir nekonservatyviosū jėgosTegu darbas atliekamas sunkio jėgos perkeliant materialų tašką iš taško 1 į tašką 2 tiese12
Pvz Materialaus taško slinkimas nuožulnia plokštuma Tada2121 cos mghmghmgsA minus== α
Ši formulė išlieka teisinga bet kuriosformos trajektorijai Jeigu visą atstumą tarpaukščių n1 ir n2 padalinti į vienodusintervalus tai pavyzdžiui judant trajektorija1 2 3 kiekvienas mažytis intervalas buskvazitiesė kurią galima aprašyti darboformule o visą tų dalių suma galutiniamerezultate bus lygi darbui kuris atliekamas tikdėl aukščių skirtumų n1 ndash n2 Tas patsgalioja ir trajektorijai 1 4 2 įskaitant kadjudant prieš sunkio jėgas reikia atlikti darbą(- A) o pagal ndash darbą atlieka traukos laukas(A)
Sunkio jėgos darbas nepriklauso nuokelio formos o priklauso tik nuo pradinės irgalutinės taškų padėties
2 Darbas centrinių jėgų lauke Jėgosvadinamos centrinėmis jeigu visos josnukreiptos į vieną tašką (arba priešingai) irpriklauso tik nuo atstumo iki to taško Šistaškas vadinamas jėgų centru
Pvz Saulės traukos laukas planetųatžvilgiu arba dviejų elektronų krūviųtarpusavio sąveikos laukas
Tada elementarus darbas
)cos(rarrrarr
= sdFsFdAd
Dydis )cos(rarrrarr
sdFsd yra elementaraus poslinkio rarr
sd į jėgos kryptį arba (tai tas
pats) į radius vektoriaus rarr
r kryptį (teigiama kryptis yra iš jėgų centro) Taigi
)cos(rarrrarr
= sdFsdrdČia rd elementarus spindulio r padidėjimas Taigi rdrFAd )(= ir kadangi F = F(r) tai
int=2
1
)(r
r
rdrFAd kuris vėl priklauso nuo atstumo r1 ir r2 ir nepriklauso nuo trajektorijos
formos
1 n1
S α n1 ndash n2
2 n2
φ 1
3
2
rarr
P
4 n1
n2
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
3 Tegu jėgų centre yra fizikinis kūnas (materialus taškas) sąveikaujantis sunagrinėjamu materialiu tašku (kuris irgi gali būti jėgų centre) Sąveikaujant juda abu
kūnai Šiuo atveju dėl dviejų kūnų sąveikos 1
rarr
F ir 2
rarr
F galioja trečias Niutono dėsnis
Tada elementarus darbas 2211
rarrrarrrarrrarr
+= rdFrdFAd Iš trečio Niutono dėsnio 21
rarrrarr
minus= FF
)()( 12122
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus=minus= rrdFrdrdFAd bet 12
rarrrarr
minus rr yra taško 1 ir 2 radius vektorius Tada
)( 212
rarrrarr
= rdFAd Taigi vieną iš taškų galima laikyti nejudančiu kitas juda jo atžvilgiuDarbas 21A priklauso tik nuo santykinio materialių taškų poslinkio bet nepriklauso nuoabsoliučių kiekvieno iš taškų poslinkių Taigi bendru atveju rdrFAd )(= r - atstunas
ir rd - poslinkis Formulėje int=2
1
)(21
r
r
rdrFA paimus 0=rd (absoliučiai netamprus
kūnas) 021 =A Taigi tokiame kūne taškų 1 ir 2 tarpusavio sąveikos darbas lygus nuliuity vidinių jėgų darbas absoliučiai kietame kūne lygus nuliui esant bent kokiam to kūnojudėjimui Apskritai kūnai dėl baigtinių ryšio jėgų dydžio gamtoje neegzistuoja Šį rezultatą gautą dviem materialiems taškams galima apibendrinti bet kuriaimaterialių taškų sistemai Jeigu aprašyti kiekvieno materialaus taško padėtį tai busaprašytos visos sistemos padėtis arba konfiguracija Centrinių jėgų darbas nepriklausonuo būdo (arba kelio) kaip sistema pereina iš pradinės konfiguracijos į galinę o tikpriklauso nuo pačių konfiguracijų
4 Jeigu sąveikos jėgos priklauso tik nuo materialių taškų sistemos konfiguracijos(koordinašių) ir tų jėgų atliktas darbas nepriklauso nuo trajektorijos o tik nuo pradinės irgalinės konfiguracijų ndash tai tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis
Taigi sunkio jėga ir visos centrinės jėgos yra konservatyvios Tegu sistemapereina iš taško 1 į tašką 2 keliu 1 3 2 ndash A132 arba keliu 1 4 2 Iš konservatyvių jėgųapibrėžimo A132 = A142 Kadangi jėgos priklauso tik nuo konfiguracijos tai A142 = -
1 2 F1 F2
r1 r2
2
d r
1
rarr
F
rarr
sd rarrrarr
+ rdr
1
rarr
r2
rarr
r
rarr
r
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
A421 Taigi A132 + A241 = 0 ty sistemai vėl grįžus į padėtį 1 ir apėjus visu uždarukuntūru 1 3 2 4 1 darbas bus lygus nuliui
Konservatyvių jėgų darbas perkelianttašką bet kokiu uždaru kuntūru lygusnuliui
5 Nekonservatyvios jėgos a) disipacinės jėgos 1) trinties jėgos 2) pasipriešinimo jėgosb) giroskopinės jėgos (Lorenco jėga)
Šios jėgos priklauso ne tik nuo kūnųkonfiguracijų bet ir nuo jų santykiniogreičio ir visados nukreiptos prieš greičiokryptį taigi jų atliekamas darbas visadaneigiamas
Bet trinties jėgų darbas gali būti ir teigiamas kai paviršius arba aplinka pati juda
Trinties jėga trFrarr
(pav) veikianti įkūną C nukreipta priešinga santv kryptimi
bet sutampa su rarr
v kryptimi Jeigu santvv gt tai nejudančioje atskaitos sistemoje kūnas
C juda greičiu santvvrarrrarr
minus ta pačia kryptimi
kaip ir trFrarr
taigi atliekamas teigiamasdarbas tvvFA santtr )(1 minus= judinant kūnąC Imant uždarą sistemą visas trinties jėgųdarbas visada neigiamas nes darbasatliekamas kūno B atžvilgiu
vtFA tr=2 Tada visas darbas santtrvFAAA minus=+= 21 Tagi disipacinėmis jėgomis vadinamos
jėgos kurių atliktas pilnas darbas uždaroje sistemoje visada yra neigiamas6 Giroskopinės jėgos priklauso nuo materialaus taško greičio ir veikia visada
satatmena tam greičiui kryptimi Tokių jėgų darbas visada lygus nuliui (tame tarpe irjudant uždaru kontūru) bet jis skiriasi nuo konservatyvių jėgų tuo kad priklauso ne tiknuo padėties bet ir nuo taško judėjimo greičio
Pvz Lorenco jėga proporcinga [rarrrarr
βv ] ty ji judančią magnetiniame lauke rarr
β
greičiu rarr
v elektringą dalelę veikia kryptimi statmena plokštumai kurioje guli rarr
v ir rarr
βvektoriai
3
1 2
4
B
C
rarr
v
trFrarr
santvrarr
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
19 Potencinė energija Energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1 Energijos tvermės dėsnis mechanikoje Jeigu sistemą veikia tikkonservatyviosios ir giroskopinės jėgos tai galima įvesti potencinės energijos sąvokąJeigu kurios nors sistemos padėtį pavadinsime nuline tai darbas kurį atliekakonservatyvios jėgos perkeliant sistemą iš nagrinėjamos padėties į nulinę vadinamaspotencine energija pirmoje padėtyje Kadangi toks darbas nepriklauso nuo trajektorijostai potencinė energija priklauso tik nuo sistemos koordinačių
Potencinė energija 01AU = ir
|01| AU = Tada darbas einant keliu 100|
bus lygus darbui 10| 000101 | AAA +=
arba |00| AUU += Darbas |00A
pastovus ir nepriklauso nuo koordinačiųsistemos padėtyje 1 o apsprendžiamastik taškų 0 ir 0| koordinatėmis Pakeitusvieną nulinę padėtį kita potencinė
sistemos energija pasikeičia pastoviu dydžiu
Taigi turime potencinės energijosneapibrėžtumą Tačiau fizikiniamsprocesams svarbi ne absoliuti potencinėsenergijos verė o tik jos skirtumasskirtingose nulinėse padėtyse Tegusistema perėjo iš 1 į 2 padėtį tada
0201200120121 AAAAAA minus=+== Pagal potencinės energijos apibrėžimą
CAU += 011 CAU += 022 kur C ndashpastovus dydis
Taigi )()( 2121 CUCUA minusminusminus= 2121 UUA minus= Konservatyvių jėgų darbas lyguspotencinės energijos sumažėjimui
2 Tas pats darbas gali būti išreikštas per kinetinės energijos pokytį( 1221 KKA minus= ) taigi
1212 UUKK minus=minus ir 2211 UKUK +=+ Kinetinės ir potencinės energijų suma yravadinama pilnąja energija E Taigi 21 EE = arba constUKE =+equiv
Sistemoje kurioje veikia tik konservatyvios (arba giroskopinės) jėgos pilnojienergija nesikeičia Gali vykti tik kinetinės energijos virsmas potencine ir atvirkščiai Taiyra energijos tvermės dėsnis mechanikoje
1
0 0|
2
1 0
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
20 Ryšys tarp jėgos ir potencinės energijos Pusiausvyros sąlyga
1 Kūno potencinė energija sunkio jėgos lauke Aukštyje h materialus taškas turi potencinę energiją CmghU += C ndash rodo nulinėspadėties potencinę energiją Jeigu 0=C tai mghU =
2 Ištemptos spyruoklės potencinė energijaTamprumo jėgos kylančios ištempiant spyruoklę yra centrinės jėgos todėl joskonservatyvios ir galima kalbėti apie spyruoklės potencinę energiją ndash tamprumo energijaTegu x spyruoklės pailgėjimas 0llx minus= Tamprumo jėga F priklauso tik nuo ištempimoJeigu x nelabai didelis tai xkF minus= Grįždama iš deformuotos į nedeformuotą padėtįspyruoklė atliks darbą
int int ===x x
kxxxdkxFdA0
2
0 21 Jeigu tamprumo energiją kai spyruoklė yra nedeformuotoje
būsenoje sutarti laikyti lygią nuliui tai 2
21 kxU =
3 Gravitacinės traukos potencinė energija
Iš visuotinės traukos dėsnio 2rMmGF = Tai yra konservatyvi centrinė jėga M ndash
laikysime nejudančia Keliant masės m kūną į begalybę iš taško r bus atliktas darbaslygus
int intinfin infin
minus===r r r
GMmrdr
MmGrdr
MmGA )1(122 infin
r
))1(1(r
GMmA minusminusinfin
minus=
rMmGA =
Šis darbas lygus potencinės energijos sumažėjimui )(rUUA minus= infin
Susitarta kad potencinę energiją begalybėje infinU laikyti lygią nuliui taigi
rMmGrU minus=)( Potencinė energija yra neigiama
Tegu sistemoje kartu su konservatyviomis ir giroskopinėmis jėgomis veikia irdisipacinės jėgos Darbas (visų jėgų) pereinant iš taško 1 į 2 lygus kinetinės energijospokyčiui 1221 KKA minus= bet ji susideda iš konservatyvių ir disipacinių jėgų darbų
2121 UUAkons minus= disAUUA 212121 +minus= disAUUKK 212112 +minus=minus
)()( 112221 UKUKAdis +minus+= Pasižymėkime 111 UKE += ir 222 UKE += tada
1221 EEAdis minus= Taigi veikiant disipacinėms jėgoms pilnoji sistemos energija sumažėjapereinant iš vienos konfiguracijos į kitą
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
5 Jeigu disipacinėsjėgos sistemoje neveikia tai
constUKE ++equiv Kadangi0geK tai UE ge taigi
potencinė energija negaliviršyti visos energijos Tegudalelė juda išilgai tiesėskryptimi x ir )(xU Jeigu Edalelės pilnoji energija tai
EU le Jeigu pilnoji energijayra E tai dalelė gali būti tikII ir IV dalyje o pereiti iš II įIV trukdo potencinis barjerasB C
II dalyje dalelė yra uždaryta duobėje ir gali svyruoti tarp Ax ir Bx 6 Pusiausvyros sąlygaNagrinėsime sąveikaujančių materialių taškų sistemą kurią veikia konservatyvios
jėgos Pusiausvyros atveju visos veikiančios jėgos turi būti lygios nuliui 0=partpart
SU ir
constU = - potencinė energija turi būti stacionari ty bet koks sistemos nukrypimas nuopusiausvyros kada materialių taškų pokyčiai xδ yδ nzδ nekeičia U (beveiknekeičia) arba sistema bus pusiausvyroje jeigu potencinė energija yra ekstremume(minimali arba maksimali) Jeigu potencinė energija yra minimali tai pusiausvyra busstabili
Tegu minus0U pusiausvyros potencinė energija Galima rasti pakankamai mažąnukrypimą Sδ kuriame 0UU minus teigiamas εltminuslt 00 UU ε - kiek norima mažasdydis Išveskime sistemą iš pusiausvyros suteikdami kinetinę energiją 00 εltK Tada
00 UKUK +=+ ir 00 UUKK minus=minus taigi εltminus 0UU nes kinetinė energija negali būtineigiama Taigi sistema yra stabilioje pusiausvyroje esant potencinės energijosminimume jeigu sistemos sužadinimas yra be galo mažas
Tai galioja ir veikiant disipacinėms jėgoms tik disipacinės jėgos daro pusiausvyrąlabiau statišką nes KKUU minusltminus 00 Jeigu sistemą išvedus iš pusiausvyros ir paliktilaisvai svyruoti tai nesant disipacinių jėgų sistema svyruos be galo ilgai esantdisipacinėms jėgoms sistema grįžta į pusiausvyros būseną
Jeigu turime potencinės energijos maksimumą tai pusiausvyra bus nestabili nesbe galo mažu dydžiu ε pakeitus jos padėtį atsiranda jėgos nukreiptos nuo pusiausvyrospadėties kurios dar labiau padidina nukrypimą Nagrinėjant sistemą kurios judėjimasapribotas ryšiais (ryšiai turi būti idealūs ndash neatlieka darbo bet kokių sistemos poslinkiųatveju)
0=+partpart
minus xRxU 0=+
partpart
minus yRy
U 0=+partpart
minus ZRz
U Čia rarr
R - ryšio reakcijos jėga
U E2 U = E2
E1 A B C U = E1
I II III IV
x∆ xA xB xC
Šratukas
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
21 Absoliučiai netamprus smugis Vidine energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis
Mechaninės energijos praradimas veikiant disipacinėms jėgoms ndash visiškainetamprus smūgis dviejų kūnų susidūrimas po kurio jie susilieja ir toliau juda kaipvienas kūnas
Pvz Kulka į maišą su smėliu pakabintą ant virvės rutuliai iš plastelino ir tt Smūgio metu kūnai deformuojasi veikia tamprios ir vidinės trinties jėgos Po smūgiososidariusio kūno greitį galime rasti iš impulso tvermės dėsnio
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v ir 21
2211
mmvmvmv
++
= Kinetinė energija iki susidūrimo yra
222
2111 2
121 vmvmK += po 2
212 )(21 vmmK += Tada
221
222
21121 )(
21)(
21 vmmvmvmKK +minus+=minus =
++
minus+=minus21
222112
2221121
)(21
mmvmvmvmvmKK
( ) ( )22121
212121
2221
2121
21 2121
21 vv
mmmmvvmmvmmvmm
mmminus
+sdot=minus+
+sdot
( )22121 21 vvKK minus=minus micro
Taigi esant absoliučiai netampriam smūgiui prarandama kinetinė energija lygi tųkūnų redukuotos masės ir greičių skirtumo kvadrato sandaugai
Taigi netampraus smūgio metu visada prarandama makroskopinio judėjimokinetinė energija
Pagal Kionigo teoremą mechaninės sistemos kinetinė energija susideda iš 1)mechaninės sistemos masės centro judėjimo kinetinės energijos ir 2) iš tos mechaninėssistemos dalių judėjimo masių centro atžvilgiu kinetinės energijos
Netampraus smūgio metu 1) dalis nekinta dėl to kad galioja masės centrojudėjimo teorema o 2) dingsta nes išnyksta kūno dalių judėjimas atžvilgiu masių centroo lieka judėjimas kartu su masės centru Taigi pilnoji kinetinė energija sumažėja opadidėja vidinė energija
Iš kitos pusės į dviejų kūnų susidūrimą galima žiūrėti ir taip jeigu laikyti vieną iškūnų nejudančiu tada kito kūno greitis atžvilgiu pirmojo ( )21 vv minus Santykinis dviejų
kūnų judėjimas aprašomas lygtimi Ftdrd=2
2
micro Tada disipacinės jėgos darbas bus lygus
( )22121 vv minusmicro per susidūrimo laiką kuris bus lygus kinetinės energijos sumažėjimui per tą
patį laiką Ši energija ir yra griaunamojiPvz jeigu du vienodi automobiliai kurie turi vienodą greitį v susiduria tai
( ) 2221 2
121 mv
mmmmvv =+
=minusmicro tačiau jeigu vienas stovi o kitas juda jo atžvilgiu greičiu
2v tai ( ) 22 2221 mvvm = Tik pusė šios energijos yra griaunanti
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
Susidūrimo efektai naudojami tiriant atomų ir greitų elementarių dalelių sąveikąmaksimalus griovimo efektas gaunamas tada kai susiduriančių dalelių masės centraslaboratorinėje atskaitos sistemoje išlieka nejudantis ndash greitintuvai su priešpriešiniaissrautais Tokiuose greitintuvuose vienodos masės dalelės įgreitinamos priešingomiskryptimis ir susiduria turėdamos vienodus greičius
Energijos tvermės dėsnio sistemai kurioje smūgio metu veikia disipacinės jėgosnegalima taikyti tačiau smūgiui pasibaigus galima ndash balistinė spyruoklė
Smūgio metu M nespėja kiek norspastebimai pajudėti o tik pradeda judėti ir
reikia surasti jo greitį rarr
v tuojau po to kaismūgis pasibaigė Laikoma kad kulkos irtaikinio sistema yra uždara kadangi smūgiometu atsirandančią trinties sukimo ir kitų jėgųdedamosios yra santykinai mažos palyginus sum kūno sukeliama jėga Tada
rarrrarr
+= vMmVm )( ir VmM
mv+
= Po to kai
smūgis baigiasi laikome kad disipacinių jėgųveikimas baigiasi todėl galima naudotienergijos tvermės dėsnį
Pradiniame taške galime laikyti kad ( ) 2
21 vmMK += kuri pereina į potencinę
energiją aukštyje h ( )ghmME pot += Kinetinė energija lygi potencinei energijai
( ) ( )ghmMVmM
mmM +=
++ 2
2
21 Aukštis h yra lygus 2
2
21 V
mMm
gh
+=
Išmatavus h galima apskaičiuoti V Vidinė energija ir visuotinis energijos tvermės dėsnis Kinetinės energijos praradimas be perėjimo į potencinę galimas ir veikiant trinties
jėgai (dėl trinties kinetinė energija pilnai prarandama) it tt Tačiau sakyti kad atliktasdarbas yra tik nugalint trinties jėgas nebus visiškai teisinga nes dalis energijossunaudojama pakeisti kūnų vidinę energiją (pakyla temperatūra) Galima kartoniniu diskuperpjauti medį nes dėl greito sukimosi diskas gerai aušinamas o medis ne todėlapanglėja ir diskas tą anglį išmeta
Makroskopinė mechanika nagrinėja tik kinetinės (dėl judėjimo) ir potencinėsenergijos sąryšius tačiau iš tikro trinties jėgų kinetinė energija niekur nedingsta osunaudojama medžiagų atomų kinetinei energijai padidinti ndash šiluma
Taigi energija iš niekur neatsiranda ir niekur nedingsta o tik pereina iš vienosformos į kitą
l α h
m
M
rarr
v
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
22 Absoliučiai tamprus centrinis ir necentrinis smūgiai Bendri rutulių susidūrimodėsniai
Tampraus smūgio metu paviršius deformuojasi ir gryždamas į pradinę padėtįsuteikia papildomą jėgą kuri pakeičia kūno greitį
Centrinis smūgis Kai rutulių (kūnų)greičių kryptys iki smūgio sutampa su linijajungiančia rutulių (kūnų) centrus
Rutuliams susilietus juos veikiančios jėgos
1
rarr
F ir 2
rarr
F (pav b)) didėja dėl didėjančiosdeformacijos kad jų greičiai nesusilygina c)ndash maksimali deformacija Po to deformacijapradeda mažėti ir atstumia rutuliukus vienąnuo kito d) toliau jie juda skirtingaisgreičiais e) Laikant kad smūgio metušilumos išsiskyrė mažai smūgio metukinetinė energija pilnai virto deformacijospotencine energija kuri po to vėl pilnaiperėjo į kinetinę taigi
2211202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm (1)
( ) ( )222
211
2202
2101 2
121 vmvmvmvm +=+ (2)
(2) išraiškos kairėje puseje ndash kinetinėenergija prieš smūgį dešinėje ndash po smūgioGreičių vektoriai po standaus smūgio liksrutulių centrų linijoje (1) ir (2) lygtis galima
perrašyti
minus=
minus
rarrrarrrarrrarr
20221101 vvmvvm (3)
Padaliname (3) lygtį iš ( ) ( )220
222
21
2101 vvmvvm minus=minus (4) gauname
202110
rarrrarrrarrrarr
+=+ vvvv (5) (5) lygtį padauginame iš m1 ir sudedame su (3) lygtimi
2012111101 vmvmvmvm +=+ +
2022211101 vmvmvmvm minus=minus
( ) ( ) 2012212102 vmmmmvvm minusminus+= (6)Iš (6) išraiškos randame greičius 2v ir 1v
( )21
20211012
2mm
vmmvmv+
minusminus= (7) ( )
12
10122021
2mm
vmmvmv+
minusminus= (8)
a)
m1 m2 b)
F2 F1
c)
F1 F2
d)
F1 F2
e)
20
rarr
v10
rarr
v
1
rarr
v 2
rarr
v
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
Jei 020 =v ir 21 mm = tai 201 vv = o 102 vv = Taigi centrinio smūgio metudu vienodos masės rutuliai pasikeičia greičiais
102 vv = 201 vv = Tampraus smūgio mechanizmą greičiausiai galima suprasti įsivaizduojant
dviejų rutulių susidūrimą per spyruoklę Smūgio metu spyruoklė spaudžiama tol kolrutulių greičiai pasidaro vienodi (pirmas ndash suletėja antras ndash pagreitėja) iki
smmm
Kv 467021
=+
= Sistemos
kinetinė energija iki smūgio yra
Jvmvm 054022
2202
2101 =+ Maksimali
potencinė energija -( ) Jvmm 02150
20540
221 =
+minus
Rutulių greitis po susidūrimo nepriklausonuo spyruoklės kietumo svarbu kad ji yraidealiai standi ir neturi energijs po smūgioSusidūrimo trukmė priklauso nuo
spyruoklės standumo koeficiento k ~ k
1
Necentrinis smūgis Čia jau veikia be rutulių deformacijos ir paviršių slydimas vienas kitoatžvilgiu
Dėl rutulių slydimo vienas kito paviršiumi atsiras trinties jėgos tF ir |tF
kurios kartu su tamprumo jėgomis |yF ir yF nulemia rutulių greičių pokytį Trinties
jėgos sukelia rutulių sukimąsi Tik tuo atveju kai tF ltlt yF galima atmesti trinitiesjėgasSmūgio metu nv1 ir nv2 nesikeičia o cv1 ir cv2 randami kaip ir centrinio smūgioatveju Taigi
a) iki smūgiom1 = 01 Kg m2 = 02 Kg
v10 = 1ms v20 = 02msb) smūgio metu
v = 0467msc) po smūgio
v1 = - 00667ms v2 = 0733ms
v1c F|t
v1n v10
F|y Fy
v20
v2n
v2c
Ft
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
|
202
|
101202101
rarrrarrrarrrarr
+=+ vmvmvmvm iš čia ( ) ( ) =+++ 22
222
21
211 cncn vvmvvm
( ) ( )2|2
2|22
2|1
2|11 ncnc vvmvvm +++= Čia nežinomi tik |
1cv ir |2cv
Bendri rutulių susidūrimo dėsniai Iki smūgio rutulys 2 stovi o 1 ndash juda Sąveikos jėga eina per rutulių centrą ty
trinties nėra o jėgos kryptis priklauso nuo bdquotaikymoldquo nuotolio δ Smūgis bus kai δ lt21 rr + θ priklauso nuo δ ir 21 rr +
1 rutulio statmena dedamoji į rarr
F lieka
nepakitusi o rarr
F kryptimi kinta pagalcentrinių smūgių dėsnius Iš judesio kiekiotvermės dėsnio dėsnio
rarrrarrrarr
+= 21 KKK (9) tada energijos tvermėsdėsnį išreiškiame per judesio kiekį
2
22
1
21
2
mK
mK
mK
+= (10)
Tada 12
22
1
221 m
mK
mKK
minus=
Taip pat 21K galime rasti ir iš formulės θcos2 2
222
21 KKKKK minus+=
θcos2 222
212
22
1
2
KKKKmmK
mK
minus+=
minus
θcos2 222
222
2
12 KKKKKmmK minus+=minus
θcos2 222
2
122 KKK
mmK =+
θcos21 22
122 KK
mmK =
+
θβθ coscos2
21
22 KK
mmmK =+
= (11)
Kai β lt 1 tada sunkus rutulys
smogia į lengvą rutulį Vektoriaus 2
rarr
Kgalas priklausomai nuo kampo θ brėžia
Kβ apskritimą Abu rutuliai po smūgiolekia sunkiojo rutulio (šiuo atveju 1)judėjimo kryptimi 0le θ lt 2π o 1rutulio judėjimo kampas gali kisti nuo 0iki tam tikro ϕ max Tai pačiai ϕ verteigali atitikti dvi 2K ir θ vertės Taškas Batitinka centrinį smūgį ir abu rutuliai lekia
2 F
θ
δ
1 F|
r2
r1
2rarr
K 1rarr
K θ
rarr
K
Β gt 1
A B
βK
θ 1rarr
K
rarr
K φ
2rarr
K
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
ta pačia kryptimi (ϕ =0) Taškas Aatitinka kai rutulys 1 nepataiko į 2Kai 1m lt 2m lengvas rutulys pataiko į sunkų β gt 1 ir 1 rutulys gali atšokti atgaltada 0 lt φ lt π Taškas B vėl atitinka centrinį sūgį o kiekvienai φ reikšmei atitinka tikviena θ reikšmė
Kai β = 1( 1m = 2m ) ir 0 le φ lt π2 Centrinio smūgio atveju rutulys 1 sustojao 2 juda tuo pačiu greičiu kaip judėjo 1 rutulys Rutulių išsiskyrimo kampas ϕθ + =
2π
Taikymo nuotolis δ = ( ) θsin21 rr + Žinant δ rutulių spindulius 1r 2r jų mases
galima rasti θ ir β iš duoto rarr
K surandami
1rarr
K ir 2rarr
K iš kurių jau surandami greičiai irrutulių judėjimo kryptys po smūgio Šio uždavinio sprendimas paremtasenergijos ir impulso tvermės dėsniųpanaudojimu todėl visos išvados tinka betkokių dviejų dalelių (materialių taškų)tampriam smūgiui nagrinėti kai jų kinetinėsenergijos iki ir po susidūrimo yra lygios(11) formulė teisinga visais tais atvejais
Kai smūgiuojama labai sunkia dalele pagal φmax dydį galima nustatyti
susiduriančių dalelių masių santykį φmax 1
2
2 mm
asympasympβ Kai bomborduojama labai
lengvomis dalelėmis 1m ltlt m2 impulso pasiskirstymas atrodo taip
Sakykime kad θ =0 rarrrarr
= KK 22 rarrrarr
minus= KK1
ir rarrrarr
asymp KK1 tada dalelės judėjimo greitis nekinta o jitik keičia judėjimo kryptį Sunkios dalelės greitis posmūgio bus ne didesnis negu
θcos2
21
22 K
mmmK+
= cosθ =1 nes θ =0 K2 = 2K
K = 11vm Tada vmm
mKv
2
1
22
22== Šiuo atveju kai
m1m2 rarr 0 ir v2v rarr 0 atitiks tamprų smųgį į nejudančią sienelę
K2 K1 K
β = 1 (m1 = m2)
A B φ
2rarr
Kθ
1
rarr
K
rarr
K
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
23 Žemės sukimosi įtaka kūnų judėjimui Fuko svyruoklė
Dėl Žemės sukimosi upių tekančių į šiaurę arba į pietus dešinysis krantas yrastipriau išplautas negu kairysis šiauriniame pusrutulyje Dešinysis geležinkelio bėgisstipriau dyla šiaurės ndash pietų geležinkeliuose negu kairysis
||v - neduos jokių inercijos jėgų perpv - bus tas pat kas 0v judėjimo disku atveju Taigitraukinį veiks jėga ϕsin22 mwvmwvFk == perp (1) kur m ndash traukinio masė o minusϕplatuma
Brėžinyje punktyru parodyta perpv pokytis per td taigi matyti kad Koriolio jėgabus nukreipta priešinga traukinio judėjimo krypčiai (į dešinę) Išnešiojimą bus galimapastebėti tik tuo atveju kai traukiniai juda dviejų krypčių atskirais bėgiais
Išspręskime uždavinįDuota mvagonų asymp 1000 t = 106 kg
v = 72 kmh = 20 ms
wŽemės = 360024
2sdotπ = 73 middot 10-5 apss
φ = 550 (Lietuva)Rasti FkSprendimas Fk = 2 middot 106 middot 73 middot 10-5 middot 20
middot sin(550) = 2392 N Tokia jėga veikia traukinį statmena jojudėjimo kryptimi o vieną vagoną asymp 150 Njėga nes iš viso yra 16 vagonų
Sukamoji jėga veiks iš karto kai traukinys judės lygiagrečiai panelei nes yra
vektorinė sandauga ][2rarrrarr
vw kurios kryptis yra ta pati abiem (rytų ndash vakarų ar vakarų ndashrytų) kryptims taigi abiem atvejais dešinysis bėgis dils stipriau dešinysis upės krantasbus išplautas labiau o jėga bus ta pati
ϕϕ sin2sin mvwFF k == nes mwvKk 2=
v v
kFrarr
r w ][2
rarrrarr
vw
kFrarr
][2rarrrarr
vw
v||
v
φ
w dφ = w td
v perp
rarr
v
kFrarr
perp
rarr
v perpv
kFrarrϕd
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
Jeigu laisvai kintančio kūno judėjimą nagrinėti besisukančios Žemės atskaitossistemoje tai tokį kūną veiks
a) Žemės traukos jėga rarr
G b) Įcentrinė inercijos jėga f c) Sukamoji inercijos jėga
Įcentrinės jėgos pagreitis bus
sdotsdotsdotsdot
== 422
3222
103624106400)2(cos πϕRwrw
ϕϕ cos0340cos =sdot nes pusiaujyje įcentrinė jėgasudarys tik 30 00 nuo traukos
jėgos rarr
G tad praktiškai su jagalima nesiskaityti (jeigu kritimoaukštis Rh ltlt ) Gerokai didesnę įtaką turisukamasis pagreitis (jėga) kurisiššauks kūno nukrypimą į rytusnes jo linijinis greitis kokiame nors
aukštyje virš Žemės paviršiaus bus didesnis negu Žemės paviršiuje Šitą nukrypimą
galima lengvai paskaičiuoti imant tgvrarrrarr
= Koriolio inercinė jėga bus ][2rarrrarr
= vwmFk arbaapytiksliai ϕcos2mwgtFk = taigi pagreitis į rytus nukreipto judėjimo bus
ϕcos2wgta = Suintegravus a du kartus kitu būdu int=t
k tdvs0
kur
int int ===t t
k twgttdwgtadv0 0
2coscos2 ϕϕ int ==t
a
twgtdtwgs 32 cos31cos ϕϕ Taigi
jeigu kūnas krenta apytiksliai iš 80 m aukščio t asymp 4 s ir φ = 450 tai nukryps asymp 3 cm Šiefaktai rodo kad Žemės atskaitos sistema yra neinercinė ir tik tais atvejais kai kūnąveikiančios jėgos yra daug didesnės už inercinę ir sukamąją Žemės atskaitos sistemągalime laikyti inercine
Išcentrinė inercijos jėga dėl Žemės sukimosi sukuria situaciją kad apskritai
Žemės traukos jėga rarr
G ir sunkio jėga rarr
P nesutampa bendru atveju nei pagal dydį neipagal kryptį Jų kryptys pilnai sutampa poliuose ir pusiaujyje tačiau tik poliuose jų
dydžiai yra lygūs rarrrarr
=GP
Inercinės jėgos
w perp
rarr
v frarrrarr
= PG rarr
v φ
||
rarr
v
rarr
G rarr
P
ϕ rarrrarrrarr
minus= fGP
R
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
Čia visą laiką mes kalbėjomeapie Žemės sukimąsi apie savoašį tačiau Žemė juda ir apieSaulę Tačiau tokio sukimosiįtaka yra apytikriai 360 kartųmažesnė negu Žemės sukimasisapie savo ašį
Užrašykime materialaustaško m judančio arti Žemėspilną judėjimo lygtį
icks FFamR
RmMr
rmM
tdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
++minusminusminus= 0332
2
γγ (2) čia minusrarr
rr
mM3γ Žemės traukos
jėga minusrarr
RR
mM s3γ Saulės traukos jėga minus
rarr
0am inercijos jėga kuri atsiranda dėl Žemės
judėjimo apie Saulę elipsine orbita minusrarr
kF Koriolio jėga minusrarr
icF įcentrinė inercijos jėga
Pagreitis 030
0
rarrrarr
minus= RRMa sγ R0 ndash atstumas nuo Žemės iki Saulės R0 asymp 15 middot 1011 m a0 ndash
Žemės masės centrui suteiktas pagreitis (dėl Saulės traukos lauko) 0ma ir rarr
RR
mM s3γ yra
apytiksliai lygūs tada 030
0303 asymp
minusminus=minusminus
rarr
RR
RRmMmaR
RmM
ss γγ nes
rarrrarrrarrrarr
asymp+= 00 RrRR
Prisiminę kad rarrrarrrarr
=+minus PFrr
mMic3γ galima užrašyti kad
][22
2
santPk vwmgmFPtdrdm
rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minusminus=+= (3) Taigi iš šios lygties matyti kad Žemės
atskaitos sistemą galima tik apytiksliai laikyti inercineFuko svyruoklė 1852 m prancūzų mokslininkas Fuko stebėdamas svyruoklės
svyravimus įrodė kad Žemė sukasiJeigu svyruoklė svyruos pusiaujyje tai jos svyravimo plokštuma lėtai suksis
priešinga Žemės sukimosi kryptimi
Sakykim pradžioje paleidžiamesvyruoklę svyruoti o po to pasukame diskąNejudančioje atskaitos sistemoje nėra jėgoskuri priverstų svyruoklę pakeisti savosvyravimo plokštumą o diskas arba Žemėsukasi po ja Taigi poliuje svyruoklėsvyravimo plokštuma pasisuks Žemėskampiniu greičiu 150 per 1 valJeigu atskaitos sistema imti Žemę tadasvyruoklės plokštumos sukimąsi galima
rarr
R mSaulė z
0
rarr
R rarr
r y
Žemė x
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
įsivaizduoti kaip Koriolio jėgos veikimo rezultatą nes ji statmena sukimosi greičiui iryra visą laiką horizontalioje plokštumoje Ši jėga Fk proporcinga svarelio judėjimogreičiui ir Žemės kampiniam greičiui o nukreipta taip kad kreipia trajektoriją reikiamakryptimi Kaip atrodys svyruoklės su smėliu pėdsakas ant disko kai paleisime ją svyruotidviem skirtingais būdais 1) Jeigu atlenksime svyruoklę į kraštinę padėtį ir paleisime ją svyruoti tuo pačiumomentu kai diskas pradės suktis ty svyruoklė įgaus tą patį greitį kaip ir diskas taigausime pav a) pavaizduotą piešinį
Toks pat bus vaizdas jeigu svyruoklę paleisti iš atlenktos padėties esant jaiŽemės poliuje 2) Jeigu svyruoklę paleisime svyruoti kai diskas nejuda o tik po to paleisim jįsuktis tai trajektorijos piešinys bus toks kaip pav b) Žemėje bus galima gauti tokiąjeigu svyruoklė svyruoja po staigaus smūgio į esantį ramybėje svarelį
Abiem atvejais trajektorijaužlinksta į dešinę nuo svarelio judėjimokrypties ir plokštuma dėl veikiančiosKoriolio jėgos suksis Jeigu svyravimas bus kokioje norskitoje Žemės plokštumoje tai plokštumossukimasis bus
ne rarr
w o ϕsinrarr
w Koriolio jėga bus horizontaliojeplokštumoje tik jeigu svyravimas vykstameridiano plokštumoje
A
a) b)
Fk Fk
Fk
Fk
rarr
w rarr
w
φ
ϕcosrarr
w ϕsinrarr
w
φ
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
24 Materialaus taško impulso momento ryšys su sektoriniu greičiu Plotų teorema irjos išvados
1) Tegu laiko momentu t materialaus taško padėtis yra rarr
r Per rarr
td radius
vektorius pakinta per tdvrarr
nubrėždamas labai mažo ploto trikampį tdvrSd ][21 rarrrarrrarr
=
kurio ilgis skaitiniu dydžiu lygus vektoriaus statmeno plkštumai moduliui
][21 rarrrarrrarr
rarr
==bull
vrStdSd (1)
Tai ir yra sektorinis greitis kadangi
][rarrrarrrarr
= vrmL tai bullrarrrarr
= SmL 2 (2)2) Jeigu jėga veikianti materialų tašką - centrinėir eina per sukimosi tašką (polių) tai vektoriusrarr
L nepriklausys nuo laiko Nereliatyvistiniojudėjimo atveju (m = const) nekis ir sektorinis
greitis bull
S constS =bull
(3) Tai plotųdėsnisIš plotų dėsnio seka
a) plokštuma kurioje yra vektoriai rarr
r ir rarr
v statmeni vektoriui bullrarr
S
b) Kadangi bullrarr
S nekinta tai nekis ir plokštumos padėtisI) Materialaus taško trajektorija centrinių jėgų lauke yra plokščia kreivė
II) Iš vektoriaus bullrarr
S pastovumo seka kad lygiais laiko momentais materialaustaško radius vektorius nubrėžia lygaus ploto plokštumas Kartais II apibrėžimas
vadinamas plotų dėsniu bet bullrarr
S = const yra bendresnis nes aprašo ne tik plokštumą bet irjos kryptį
Atvirkščias teiginysJeigu materialaus taško trajektorija ndash plokščia kreivė ir radius ndash vektorius išvestas
iš nejudančio poliaus per lygius laiko intervalus nubrėžia vienodus plotus tai veikiančiosjėgos kryptis visą laiką eina per polių
Taigi bull
S = const tada L = const ir rarrrarrrarrrarrbull
rarr=== FrFrML ||0][ 3) Plotų teorema galioja ne tik nejudančio jėgų centro O atžvilgiu Tegu du
materialūs taškai sąveikauja centrinėmis jėgomis Įvedus redukuotą masę galima uždavinįsuprastinti paėmus vieną iš tų materialių taškų už atskaitos pradžios Tada spindulysišvestas iš vieno taško į kitą santykiniame judėjime brėš per lygius laikus lygius plotus
Sd
tdvrarr
rarr
rO
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
25 Jėgos ir judėjimo kiekio momentas Inercijos momentas
Impulso ir jėgos momentai atžvilgiu nejudančios ašies
Lygtis rarr
rarr
= MtdLd gali būti užrašyta kaip trys projekcijos
išorz
zišory
yišorx
x Mtd
LdMtd
LdM
tdLd
=== (1)
Toliau indekso išorrdquo nenaudosim nes momentą M suprasim kaip išorinį jėgųmomentą xL ir xM yra impulso ir jėgos momentai x ašies atžvilgiu
xx M
xdLd
= Tai yra momentų lygtis atžvilgiu nejudančios ašies x Kai išorinių
jėgų momentas kokios nors ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso momentas buspastovus ndash tai yra impulso momento atžvilgiu nejudančios ašies tvermės dėsnis
Iš apibrėžimo seka kad momentas rarr
M nepakis jeigu jėgos pridėjimo taškąperkelti į bet kurį tašką jėgos veikimo kryptimi Jeigu jėgos pridėjimo tašką perkelti ištaško A į |A tai lygiagretainis OABC pereis į CBOA || kurie turi bendrą pagrindą OC irbendrą aukštį todėl jų plotai vienodi (AD = ||DA )
Jeigu 21rarrrarrrarr
+= FFF tai iš vektorinės sandaugos savybių ][][][ 21rarrrarrrarrrarrrarrrarr
=minus FrFrFr (2) Tai yra atstojamasis dviejų ir daugiau jėgų momentas kurios nors pradžios atžvilgiulygus momentų geometrinei sumai
Impulso rarr
p momentas atžvilgiu poliaus O ][rarrrarrrarr
= prL (3) Ryšys tarp jėgos ir
impulso momentų gaunamas diferencijuojant (3) lygybę ][][bullbullbullrarrrarrrarrrarr
+= prprL Kadangi O
nejuda tai bullrarr
r yra materialaus taško greitis kuris surištas su impulsu rarrrarr
= vmp taigi pirmas
narys sumoje lygus nuliui o kadangi rarrrarr
=bull
Fp tai rarrrarr
=bull
ML (4) Ši lygtis yra momentųlygtis materialaus taško impulso momento išvestinė atžvilgiu nejudančios pradžios yralygi veikiančios jėgos momentui atžvilgiu to paties taško
Kadangi išvedant šią lygtį nebuvo reikalaujama m pastovumo tai ši lygtis tinkabet kuriam greičiui ndash ty reliatyvistinėje mechanikojeApibendrinant daugeliui taškų ndash sistemos materialių taškų impulso momentų arba jėgosmomentų yra vektorinė suma visų impulso arba jėgų momentų atžvilgiu tos pačiospradžios
Taigi galima vietoje sudėjus visus momentus pradžioje sudėti visas jėgas arbaimpulsus o paskui gauti to vektoriaus momentą atžvilgiu nagrinėjamo taško
Momentą rarrM reikia suprasti kaip tiek vidinių tiek išorinių jėgų veikimo rezultatą
tačiau vidinių jėgų galima neįskaityti kadangi jų pilnas momentas atžvilgiu bet kurioatskaitos taško lygus nuliui Tai paaiškinama tuo kad vidinės jėgos visada veikia poromis
kiik FF minus= o atskaitos taškų skaičių tokioms dviem jėgoms visada galima parinkti tą patį
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
tada 0=ikM Taigi dėl III Niutono dėsnio vidines jėgas galime atmesti išorML =bull
(5)Impulso momento išvestinė pagal laiką (materialių taškų sistemos) atžvilgiu
nejudančio atskaitos taško lygi visų išorinių jėgų momentų atžvilgiu to paties taškogeometrinei sumai
Momento xM geometrinė prasmė
=+
++=
rarrrarr
perp
rarrrarrrarr
perp
rarr
perp
rarr
perp
rarrrarr
][][][][ |||||||| FrFrFrFrM
][rarrrarr
= Fr kadangi perp
rarr
r ||rarr
r statmeni ašims tai jų
projekcijos į ašis lygios 0 ir 0][ |||| =rarrrarr
Fr tai
][||rarr
perpperp
rarrrarr
= FrM Tai yra momentas atžvilgiu x
ašies Tokiu pat būdu rarr
perpperp
rarrrarr
= ][|| prL Tai galima apibendrinti taškų ir jėgų sistemai
Impulso momento tvermės dėsnis Jeigu išorinių jėgų momentas atžvilgiu nejudančio atskaitos taško O lygus nuliui
tai sistemos impulso momentas atžvilgiu to paties taško nepriklauso nuo laiko (pastovus) Atskiru atveju impulso momentas izoliuotai materialių taškų sistemai yrapastovus
Centrinių jėgų atveju kai visų jėgų kryptys eina per atskaitos tašką O tokių jėgųmomentas taško O atžvilgiu lygus nuliui taigi impulso momentas yra pastovus Taigalioja netgi kai jėga yra greičio funkcija
Impulso momento tvermės dėsnis yra toks pat fundamentalus dėsnis kaip irenergijos ir impulso tvermės dėsniai Tačiau klasikinės mechanikos dėsniai ne visadatinkami procesams vykstantiems atomų branduoliuose ir elementarioms dalelėms obendresnis impulso momento tvermės dėsnis jau nėra mechanikos teorema
Jeigu turime uždarą sistemą sudarytąiš dviejų materialių taškų sąveikaujančiųjėgomis 1F ir 2F Iš momento tvermėsdėsnio 21 FF minus= o iš impulso tvermės
dėsnio constprpr =+rarrrarrrarrrarr
][][ 2211 Išdiferenciavę gauname
0][][ 21 =+bullbullrarrrarrrarrrarr
prpr arba
0][][ 2211 =+rarrrarrrarrrarr
FrFr Kadangi 21 FF =
rarr
F perpF
||rarr
F
perpr
||r
1F 2F
r1 r2
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
tai 0121 =
minus
rarrrarrrarr
Frr Taigi
minus
rarrrarr
21 rr ir 21 rarrrarr
FF vektoriai yra kolinearūs tada 1rarr
F ir 2rarr
F veikia tiesės jungiančios tuos
du taškus kryptimiJėgos ir impulso momentai priklauso ne tik nuo jėgos dydžio ir krypties bet ir
nuo atskaitos taško padėties
Tegu O ir O| du nejudantys atskaitos taškai o rarr
r ir |rarr
r to paties taško radiusvektoriai O ir O| taškų atžvilgiu
Sakykime kad turime rarrrarrrarr
minus= Rrr|
Čia rarr
R = = O|O Padauginus šią lygtį iš tomaterialaus taško impulso ir susumavuspagal visus materialius taškus gauname
][][][| rarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= vmRvmrvmr
sum sum sumrarrrarrrarrrarrrarrrarr
minus= ][][][|
vmRvmrvmr
][| rarrrarrrarrrarr
minus= pRLL (6)
Pilnas sistemos impulsas ndash rarr
p L ir minus|L impulso momentai Jeigu 0=rarr
p taiminus= |LL impulso momento vektorius nepriklauso nuo atskaitos taško pradžios
Tokiu pat būdu ][| rarrrarrrarrrarr
minus= FRMM (7) Geometrinė visų jėgų suma ndash rarr
F Jeigu
0=rarr
F tai |rarrrarr
= MM Tai pavyzdžiui yra jėgų porų atveju ndash tai yra dvi lygios betpriešingų krypčių jėgos kurių veikimo linijos paslinktos viena kitos atžvilgiu
r r|
O O|
rarr
R
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
26 Judėjimo kiekio momento tvermės dėsnio panaudojimas Heigenso ndash Šteinerioteorema
Sukamojo impulso tvermės dėsnio pavyzdžiai Žukovskio suolas tai diskas kuris gali laisvai suktis apie vertikalią ašį Žmoguisėdint ant to suolo išskėtus rankas į šonus jis pasukamas tuo būdu suteikiamassukamasis impulsas Kadangi sistema uždara tai sulenkus rankas sumažinamas inercijosmomentas I bet Iw turi likti pastovus taigi padidėja w
Tas pats būna su balerina kai darosuktuką arba akrobatas atlikdamas saltoištiesdamas arbasulenkdamas rankas prie lemensreguliuoja sukimosi greitį Žemėje vykstantys reiškiniai lietūsvulkanų išsiveržimai Žemės drebėjimai keičiaŽemės inercijos momentą Žemė sukasi kampiniu greičiu wKampinis greitis yra paros trukmėsnereguliaraus kitimo priežastis (0001 s) Tą patį daro tik periodiškai veikiantyspotvyniai ir atoslūgiai sukelti Mėnulio ir Saulės
Sumažinus kūno esančio ant Žukovskio suolo inercijos momentą I kadangi
ILK2
2
= kinetinė energija padidėja nes constIwL == Taigi atliekamas darbas Šį
darbą atlieka vidinės jėgos kurios nekeičia sistemos impulso Demonstratorius sutrakdamas rankas turi panaudoti jėgą kuri lygi rmwF 2= Kai r mažėja atliekamas teigiamas darbas kurio dėka ir padidėja kinetinė energijaTačiau jeigu veiktų tik centrinės jėgos tai sistemos kampinis greitis nekistų Reiškiareikalingos jėgos kurios sudarytų kampą su spinduliu ty sukurtų momentoperskirstymą
Impulso vektorius rarrrarr
= wIL ir sutampa savo kryptimi su sukimosi ašimi nes ratui
sukantis apie ašį pilnas jo impulsas 0=rarr
pp Žmogui sėdinčiam ant Žukovskio suolo paduodamas besisukantis ratas kurioašis sutampa su suolo vertikalia ašimi (a) Kadangi išorinių jėgų momentas vertikaliossuolo ašies atžvilgiu lygus nuliui tai impulso projekcija xL turi nekisti Visas sukamasisimpulsas yra sukoncentruotas besisukančiame rate Palenkus ratą (b) kampu α impulsoprojekcija į x ašį bus αcosIwLx = ty ji sumažės dydžiu )cos1( αminusIw Šissumažėjimas turi būti kompensuotas atitinkamo suolo sukamojo momento atsiradimu tyŽmogus su suolu pradeda suktis kažkokiu kampiniu greičiu |w kurį galima rasti iš
lygties )cos1(|0 αminus= IwwI minus0I suolo su žmogumi inercijos momentas Kai 090=α
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
tai 0=xL Reiškia visas sukamasis impulsas perduodamas suolui Kai 0180=α suolo
sukimosi impulsas pasidaro maksimalus 2|0 sdot= IwwI wIIw0
max|2
= Žmogus keisdamas
besisukančio rato kampą naudoja jėgas kurios nukreiptos statmena kryptimi ir rato irašies atžvilgiu Jų geometrinė suma lygi nuliui tačiau jis sukuria momentą x ašiesatžvilgiu kuris ir sukelia suolo sukimą
Heigenso ndash Šteinerio teorema Surasime materialaus kūno inercijosmomentų atžvilgiu dviejų sukimosi ašiųmomentą Sudalinus tą kūną md dydžio
elementus ir paėmus vieną iš jų rarrrarrrarr
minus= arr|
Iš
kosinusų teoremos )(2222|rarrrarr
minus+= raarr Dauginame iš md ir integruojame
minus+= intint int int
rarrrarr
mdramdamdrmdr 2222| Iš
šios formulės pasižymime aImdr =int 2|
02 Imdr =int int =
rarr
CmRmdr IA ndash kūnoinercijos momentas atžvilgiu A ašies I0 ndashkūno inercijos momentas atžvilgiu O ašies Rcndash masės centro radius vektorius atžvilgiu Oašies Tada suintegruotą lygybę perrašome
minus+=
rarrrarr
CA RammaII 220 Jeigu ašis O eina per kūno masių centrą tai RC = 0 ir
20 maII A +=
Kūno inercijos momentas kokiosnors ašies atžvilgiu lygus sumai joinercijos momento atžvilgiu lygiagrečiosašies einančios per kūno masių centrą ir joinercijos momento ašies A atžvilgiu Inercijos momentų skaičiavimasKūno Inercijos momentą galimaapskaičiuoti arba išmatuoti Jeigu kūnomasė tolygiai pasiskirsčiusi tai
int= mdrI 2 (1) Čia r ndash atstumas nuomasės elemento md iki sukimosi ašies Panagrinėsime du panašius ir panašiai išsidėsčiusius kūnus A ir B sukimosi ašiesatžvilgiu Kadangi jų masė m ~ 3l (nagrinėjami kubai) kur l kubo kraštinė oelementaraus elemento Ie ~ 2l tai tų kūnų inercijos momentai bus lygūs I ~ l5 arba
(a) x
w
α(b)
md
rarr
r
|rarr
r
O A
rarr
a
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
I = kml2 kur l koks nors charakteringas kūno ilgis arba atstumas kokio norscharakteringo taško iki sukimosi ašies Koeficientas k priklauso tik nuo kūno formos ir joatstumo iki sukimosi ašies Kūno inercijos momento skaičiavimą ašies atžvilgiu galima supaprastinti prieš taisuskaičiavus jo inercijos momentą taško atžvilgiu Toks inercijos momentas dinamikojeyra tik pagalbinis supratimas palengvinantis skaičiavimus Kūno inercijos momentu taško atžvilgiu yra suma materialių taškų masiųsandaugų su tų taškų atstumo iki tų taškų kvadratais sum=Θ 2mR (2)
Kai masė pasiskirsčiusi vienodai tada
int=Θ mdR2 Nereikia painioti Θ su I ašiesatžvilgiu nes pirmu atveju turime atstumą ikinejudančio taško O I atveju ndash kiekvienoelemento md atstumą iki sukimosi ašies Panagrinėkime )( zyxm Šios masėsatstumas iki x ašies 22 zy + 22 xzy +minus
22 yxz +minus o inercijos momentai)( 22 zymI x += )( 22 zxmI y +=
)( 22 yxmIz += Sudėjus šias lygybesgauname )(2 222 zyxmIII zyx ++=++
2222 Rzyx =++ čia R ndash atstumas iki nejudančio taško Tada Θ=++ 2zyx III (3)Ši lygybė teisinga ne tik materialiam taškui bet ir bet kuriam kūnui kadangi į kūnągalime žiūrėti kaip į materialių taškų visumą Kūno inercijos momentų trijų susikertančių statmenų ašių atžvilgiu suma lygidvigubam jo inercijos momentui atžvilgiu susikertančio taško Jeigu pasukti x y z ašis tai inercijos momentai xI yI zI pakis tačiau jųsuma liks lygi 2Θ o Θ nepakis Θ priklauso tik nuo to taško padėties Kai masė pasiskirsčiusi plokštumoje Tegu turime bet kokios formos plokštelę kurioje masė pasiskirsčiusi netolygiaiJeigu plokštelė pakankamai plona tai galime laikyti kad turime matematinę plokštumą(x y) Tada z koordinatės bus lygios nuliui o inercijos momentas tos koordinačiųpradžios atžvilgiu ( )sum +∆=Θ 22 yxm ty lygus plokštelės inercijos momentui z ašiesatžvilgiu zI Tada zzyx IIII 2=++ ir zyx III =+ (4) Tada matyti kad
zyx III geΘ ( bendru atveju o plokštelės atžvilgiu )zI=Θ Tada iš nelygybės2 Θle 2zI ir iš (3) lygybės gauname 0geminus+ zyx III arba zyx III ge+
z
m(x y z)
rarr
R y
x
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
27 Judėjimas neinercinėje atskaitos sistemoje Inercijos jėgos Nesvarumas
Pirmas ir antras Niutono dėsniai savo įprastinėje formoje negalioja jeigu atskaitossistema juda su pagreičiu
Ramybės būsena neinercinėje atskaitos sistemoje bus tik tada kai kūną veiksišorinė jėga kadangi kūnas juda su pagreičiu nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu(arda inercinės)
Pvz Traukinio vagonas juda su
pagreičiu rarr
a tiesiai Kūnas gulintis ant stalo
vagone yra veikiamas jėgos rarr
F kurikompensuojama trinties jėga Svarelisprikabintas prie vagono lubų nukrypsta nuovertikalios padėties priešinga pagreičio
vektoriui kryptimi Keičiantis rarr
a kinta ir α
Iš brėžinio matyti kad rarrrarr
= amF || αtgPF =| Taigi čia nerašėme nejudančios
atskaitos sistemos (Žemės) atžvilgiuKaip atrodys šis dėsnis užrašytas vagono atžvilgiu Mechanikoje įrodoma
inercinių jėgų sąvoka Šių jėgų įvedimas padeda išlaikyti pirmo ir antro Niutono dėsniųpavidalą kaip ir inercinių atskaitos sistemų atveju
Sakykim kad kiekvieną kūną esantįneinercinėje atskaitos sistemoje veikiainercijos jėga kuri lygi to kūno maseipadaugintai iš neinercinės atskaitossistemos judėjimo pagreičio Ši jėganukreipta priešinga pagreičiui kryptimi
mūsų atveju kūną |m veiks jėga rarrrarr
minus= amF | Tada ramybės būsenoje vagono atžvilgiuvisų jėgų veikiančių kūną suma lygi nuliui
0=++rarrrarrrarr
inFPN Jeigu svareliui |m suteiktipapildomą pagreitį (pastumti) tai jis pradės
svyruoti Jei consta =rarr
tai turėsim prie sunkio jėgos rarr
P pridėti inercijos jėgą inFrarr
kuriųatstojamoji sudarys kampą α su vertikalia padėtimi o atstojamoji jėga 22
inFPN += o
pagreitis bus 22 ga + Nukirpus siūlą kūnas vagono atžvilgiu kris kampu αpakrypusios tiesės kryptimi ir parabole Žemės atžvilgiu
Taigi neinercinėje atskaitos sistemoje antras Niutono dėsnis (sistema juda
pagreičiu rarr
a )0maFF in =+
rarr
a
α |m
Fr
rarr
N α |m
inFrarr
rarr
P
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
kur 0a - kūno pagreitis neinercinėje atskaitos sistemoje rarr
minus= amFin - inercijos jėga
minusrarr
F visų išorinių jėgų veikiančių kūną atstojamoji Inercijos jėgos nuo kitų jėgų skiriasi tuo kad neturi priešingos jėgos ty nėratokio kūno kuris galėtų suteikti inercijos jėgų todėl kartais tą jėgą vadina fiktyviajatačiau iš tikro ji yra reali kadangi atspindi atskaitos sistemos su pagreičiu judėjimą
Inercijos jėgos veikiančios kūną esantį ramybės būsenoje besisukančiojeatskaitos sistemoje
Skirtingais nuo disko centro atstumais išdėsytų pakabintų rutoliukų (vienodosmasės ir siūlo ilgio) pasvirimo kampas diskui sukantis yra skirtingas nors disko atžvilgiuvisi rutuliukai yra ramybės būsenoje bet sukasi tolygiai nejudančios (inercinės) atskaitossistemos atžvilgiu ndash Žemės
Jų atsilenkimokampas tiesiogproporcingas jų atstumuiiki disko centro Icentrinė
jėga rarr
F sukuriamaveikiant siūlo tempimo
jėgai rarr
N ir sunkio jėgairarr
P RmwF 2= omgP = taigi
gRw2
tg =α (1)
Kadangi disko atžvilgiu rutuliukai nejuda tai kampas α susidaro dėl išcentrinės
inercijos jėgos in rarrrarr
+ PN atstojamosios jėgų pusiausvyros Taigi išcentrinė inercijos jėgararrrarr
= RmwF in2
rarr
R - nukreiptas nuo ašies į įšoręNesvarumas Kitas neinercinių atskaitos sistemų atvejis yra kai atskaitos sistemos pagreičio
kryptis sutampa arba yra priešinga Žemės traukos pagreičio krypčiaiTegu liftas juda su pagreičiu Kūno sunkio jėga galima laikyti ne P o Q ndash jėga kuriakūnas slegia lifto grindis Q| - jėga kuria kūnas veikiamas lifto grindų Tada
maQP =minus | |QQ = ir PQ = Taigi jeigu mgP = yra ta pati bet Q priklauso nuo pagreičio a Visi kūnai
esantys lifte yra veikiami inercijos jėgos kurios dydis lygus tų kūnų masei padaugintai išpagreičio a )( agmQ minus=
Tada kai ag = o 0=Q kūnas nebespaus lifto grindų ndash nesvarumas
Rėmelis su spyruokle krenta pagreičiu g Jeigu rėmelis paleidžiamas tuo metu kairutuliukas yra atsilenkęs į kraštinę padėtį tai kritimo metu jis nejuda o jeigu praeinapusiausvyros padėtį tai juda tolygiai pakabinimo taško atžvilgiu
N
Fin
R P
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
Taip galima lengvai paaiškinti inercijos jėgą kurios dydis ndash mg Kadangi kairutuliukas buvo kraštinėje padėtyje jo greitis buvo v = 0 taigi rėmeliui pradėjus kristisunkio jėga yra kompensuojama inercijos jėgos todėl jis nejuda o rutuliukui esant
pakabinimo taške jo greitis buvo rarr
v ir jis nekis kadangi neveikia jokios jėgos ir jis judėstolygiai apie pakabinimo tašką
rarr
a|Q
P
inFrarr
rarr
P
g
Recommended