armaduras espaciales

ARMADURAS ESPACIALES

Una armadura espacial consiste en miembros unidos en sus extremos para formar una estructura

estable tridimensional.

El elemento más simple de una armadura espacial es un tetraedro, formado al conectar seis

miembros entre sí. Una armadura espacial simple puede construirse agregando tres elementos a

la configuración básica como los elementos AE, BE Y CE como en la figura uniéndolos a los tres

nudos existentes y conectándolos en un nuevo nudo.

Observando que el tetraedro básico de la figura tiene seis elementos y cuatro nudos y que cada

vez que se agregan tres elementos el número de nudos se incrementa en uno, se concluye que en

una armadura espacial simple el número total de elementos es donde n es el

número total de nudos y m el numero de miembros.

m = 3n – 6.

PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS

El método de los nudos o el método de las secciones pueden ser usados para determinar las fuerzas

desarrolladas en los miembros de una armadura espacial simple.

Método de los nudos:

Generalmente, si en todos los miembros de la armadura deben ser determinadas las fuerzas, el

método de los nudos es el más adecuado para efectuar el análisis. Al usar este método, es

necesario resolver las tres ecuaciones escalares de equilibrio ∑ Fx=0, ∑ Fy=0, ∑ Fz=0,

en cada nudo. La solución de muchas ecuaciones simultáneas puede evitarse si el análisis de

fuerzas empieza en un nudo que tenga por lo menos una fuerza conocida y cuando mucho tres

fuerzas desconocidas.

Si la geometría tridimensional del sistema de fuerzas existente en el nudo es difícil de visualizar, se

recomienda utilizar un análisis vectorial cartesiano para encontrar la solución.

Ejm:

Determine las fuerzas que actúan en los miembros de la armadura espacial mostrada en la figura.

Indique si los miembros están en tensión o en compresión.

Solución:

Como hay una fuerza conocida y tres fuerzas desconocidas actuando en el nudo A, el análisis de

fuerzas de esta armadura comenzará en este nudo.

Nudo A (Figura). Expresando cada fuerza que actúa en el diagrama de cuerpo libre del nudo A

en notación vectorial, tenemos

P = { -4j} kN, FAB = FAB j, FAC = -FAC k,

FAE = FAE (rAE/rAE) = FAE(0.577i + 0.577j - 0.577k)

Por equilibrio,

∑ F=0; P+FAB+FAC+FAE = 0

-4j+FAD j – FAC k + 0.577FAD I – 0577FAD k = 0

Como FAB es conocida, se puede proceder con el análisis del nudo B

Las ecuaciones escalares de equilibrio también pueden aplicarse

directamente a sistemas de fuerzas en los diagramas de cuerpo libre de los nudos Dy C, ya que las componentes de fuerzas son determinadas fácilmente.

Método de las Secciones:

Si sólo unas pocas fuerzas de miembro deben determinarse, se puede usar el método de las secciones. Cuando se pasa una sección imaginaria por una armadura y ésta queda separada en dos partes, el sistema de fuerzas que actúa sobre una de las partes debe satisfacer las seis ecuaciones

escalares de equilibrio: ∑ Fx=0, ∑ Fy=0, ∑ Fz=0 ,∑Mx=0, ∑My=0, ∑Mz=0

PROBLEMA 1:

La armadura espacial mostrada tiene soportes de rodillo en B, C y D y sostiene una carga vertical

en A de 800 lb. ¿Qué valor tienen las fuerzas axiales en las barras AB, AC y AD?

Solución:

Los vectores de posición de los puntos A, B, C, y D son:

Los vectores de posición de nudo A de los vértices son:

Nudo A: Los vectores unitarios paralelos a los miembros AB, AC y AD son:

Las condiciones de equilibrio en el punto A:

Resolviendo:

PROBLEMA 2:

La armadura espacial mostrada soporta una carga vertical de 10 kN en D. Se muestran las reacciones en las juntas A, B YC. ¿Qué valor tienen las fuerzas axiales en las barras AD, BD y CD?

Solución:

Considere el conjunto D solamente. Los vectores de posición paralela a los miembros de D son:

rDA=−4 i−3 j−k

rDB=i−3 j−2k

rDC=2i−3 j−k

Los vectores unitarios paralelos a los miembros de D son:

eDA= rDA|rDA|

=−0.7845 i−0.5883 j−0.1961k

eDB= rDB|rDB|

=0.2673 i−0.8018 j+0.5345 k

eDC= rDC|rDC|

=0.5345 i−0.8018 j+0.2673 k

Las condiciones de equilibrio para el conjunto D son:

∑ F=T DA eDA+TDB eDB+T DCeDC−FD=0 ,

De lo cual:

Resolviendo:

PROBLEMA 3:

Considerando la armadura espacial del problema 2. Las reacciones en las juntas A, B y C se

muestran en la figura. ¿Qué valor tienen las fuerzas axiales en las barras AB, AC y AD?

Solución:

Las reacciones en A son necesarias para una determinación de las condiciones de equilibrio en A.

La estructura completa como un cuerpo libre: Los vectores de posición son: rAB =5i + 3k, rAC = 6i, rAD = 4i + 3j + k.

Los momentos debido a las reacciones:

Estas ecuaciones de las fuerzas y momentos que van a ser resueltos por las reacciones

desconocidas. La solución:

El método de los nudos: Conjunto A: Los vectores de posición se dan arriba.

Los vectores unitarios son:

Las condiciones de equilibrio son:

De lo cual:

Resolviendo:

PROBLEMA 4:

La armadura espacial mostrada soporta una carga vertical en cada barra tiene una longitud y la

armadura tiene soportes de rodillo en C y ¿Qué valor tienen las fuerzas axiales en las barras?

Solución:

Por simetría, las fuerzas axiales en los miembros AB, AC, y AD son iguales. Sólo tenemos que

determinar el ángulo? Entre cada uno de los miembros y la vertical:

De la vista superior

Vemos que:

De donde se obtiene:

Entonces

PROBLEMA 5:

La armadura que muestra la figura consta de seis elementos y esta sometida mediante dos eslabones cortos situados en los nudos A,B y C. determine la fuerza presente en cada elemento para P=-(940N)j y Q= (987N)k.

Solución:

∑ F Z = 0; BZ+987N=0 BZ=−987N k

∑M X = 0; −(0.47m )CY−(0.16 ) (987N )+(0.08m)(940N)=0 CY=−176.0N j

Nudo D:

FAD=FAD −0.8m i – 0.08mk

√( 0.8m)2+(0.08m )2 = FAD

√101(−10 i−k )

F BD=F BD −0.8mi –0.16m j−0.2mk

√( 0.8m)2+(0.16m )2+(0.2m )2 = F BD

21(−20 i+4 j−5k )

FCD=FCD −0.8m i+0.39mk

√( 0.8m)2+(0.39m )2 = F CD

89(−80 i+39 k )

∑ FY = 0; 421FBD −940N=0 ,

F BD=4935N ,

F BC=4.94k N T

∑ FX = 0; −10

√101FAD −80

89FCD −20

21(4935N )=0

∑ F Z = 0; −1

√101FAD + 39

89F CD − 5

21( 4935N )+987N=0

FCD=−534N ,

F BD=534N C

FAD=−422√101N ,

FAD=4.24k N C

Nudo C:

F BC=F BC 0.16m j−0.59mk

√(0.16m)2+(0.59m)2 = F BC

√3737(16 j−59k )

∑ FY = 0; 16

√3737FBC −176N=0 ,

F BC=11√3737N

F BC=672N T

∑ F Z = 0; −FAC − 59

√3737( 11√3737N )+ 39

89(534N )=0

FAC=−415N ,

FAC=415NC

Nudo B:

FAB=FAB −0.16m j+0.12mk

√(0.16)2+(0.12)2 = FAB

5(−4 j+3k)

∑ FY = 0; −45FAB − 16

√3737(11√3737N )− 4

21(4935N )=0

FAE=−1395N , FAE=1.395kN C

PROBLEMA 6:

La porción de la torre para líneas de transmisión de energía eléctrica que muestra la figura consta de nueve elementos, y esta sostenida mediante una rotula colocada en B y eslabones cortos en C, D y E. para las cargas dadas, determine la fuerza presente en cada elemento.

Solución:

AB=AC=√20 ft

AD=AE=6 ft

CD=4√2 ft

∑M BD = 0; (4 ft )(50 lb)+(4 ft )(EZ)=0

EZ=−(50 lb)k

∑M X = 0; (4 ft )(300 lb)+(4 ft )(−50 lb)+(4 ft )(DZ)=0

DZ=−(250lb)k

∑ F Z = 0; BZ −50lb−250lb=0 BZ=(300 lb)k

∑M BZ = 0; (2 ft ) (300 lb )−(4 ft)(CY)=0

CY=(150 lb) j

∑ FX = 0; BX +50 lb=0

BX =−(50 lb)i

∑ FY = 0; BY +150 lb−300 lb=0

BY =(150 lb) j

FAE=FAE 2 ft i−4 ft j+4 ft k

√(2 ft )2+(4 ft )2+(4 ft)2 = FAD

3(2i−4 j+4k )

Nudo E:

∑ F Z =0; 23FAE − 50 lb=0 ,

FAE=75.0lb T

∑ FX =0; FDE + 13

(75 lb)=0 ,

FDE=−25 lb FDE=25.0 lbC ∑ FY =0; −FCE −

23

(75 lb)=0 ,

FCE=−50 lb FCE=50.0 lbC

Nudo D:

FAD=FAD −2 ft i−4 ft j+4 ft k

√(2 ft )2+(4 ft )2+(4 ft)2 = FAD

3(− i−2 j+2k)

FCD=FCD −4 ft i−4 ft j

√(4 ft )2+(4 ft )2 = F CD

√2(−i− j)

∑ F Z =0; 23FAD − 250 lb=0 ,

FAD=375 lb, FAD=375 lb T ,

∑ FX =0; 25 −1

√2FCD −

13(375 lb)=0

FCD=−100√2lb FCD=141.4 lb C,

∑ FY =0; −¿ F BD −1

√2(−100√2lb )−2

3(375 lb)=0

F BD=−150 lb F BD=150.0 lbC

Nudo C:

FAC=FAC −2 ft i+4 ft k

√(2 ft )2+(4 ft )2 = FAC

√5(i+2k )

∑ F Z =0; 2

√5FAC=0,

FAC=0, ∑ FX =0; F BC−100 lb=0 , F BC=100.0 lbT

Nudo B:

FAB=FDA −2 ft i+4 ft k

√(2 ft )2+(4 ft )2 =

FAB

√5(− i+2k )

∑ F Z =0; 2

√5FAB+300 lb=0

FAB=−150√5 lb ,

FAB=335 lb C

PROBLEMA 7:

Determine la fuerza en cada miembro de la armadura espacial y establezca si los miembros están

en tensión o en compresión. La armadura está soportada por rodillos en A, B Y C.

Solución:

∑ FX =0; 37FDC −¿ 3

7FDA=0

FDC=FDA

∑ F y =0; 27FDC+ 2

7FDA −2.5

6.5FDB=0

FDB=¿1.486FDC

∑ F Z =0; −8+2( 67 )FDC+ 6

6.5FDB=0

FDC=FDA ¿2.59 kN (C)

FDB=¿ 3.85 kN (C)

∑ FX =0; F BC=F BA

∑ F y =0; 3.85( 2.56.5 )−2( 4.5

√29.25 )FBC=0

∑ FX =0; 2.59( 37 )−0.890( 3

√29.25 )−FAC=0 FAC=0.616kN (T )

PROBLEMA 8:

La armadura espacial está soportada por una rótula esférica en D y eslabones cortos en e y E. Determine la fuerza en cada miembro y establezca si los miembros están en tensión o en compresión. Considere F1 = {200i + 300j - 500k} lb Y F2 = {400j } lb.

Solución:

∑ F Z = 0; 3

√34(583.1 )−500+3

5FAD=0

FAD=333 lb(T )

∑ FX =0; FAE −¿ 45

(333.3 )− 4

√34(583.1)=0

FAD=667 lb(C )Nudo E:

∑ F Z=0 ; FDE =0

∑ FX=0 ; F EF −35(500)=0

F EF=300 lb(C)

Nudo C:

∑ FX=0 ; 3

√34 (583.1) −¿ FCD = 0

FCD =300 lb (C)

∑ F Z=0 ; FCF −¿ 3

√34(583.1) = 0

FCF=300lb (C )

∑ F y=0 ; 4

√34(583.1 ) −400 = 0

Nudo F:

∑ FX=0 ; 3

√18 (FDF) −¿ 300 = 0

FDF =424 lb(T )

∑ F Z=0 ; 3

√18 (424.3) −¿ 300 = 0

PROBLEMA 9:

Determine la fuerza en los miembros BE, DF Y BC de la armadura espacial y establezca si los

miembros están en tensión o en compresión.

Solución:

En este caso, las reacciones de apoyo no son necesarias para la determinación de las fuerzas en los

miembros.

Nudo C:

∑ F Z=0 ; FCD sin 60 °−2=0 FCD =2.309kN (T )

∑ FX=0 ; 2.309 cos60 °−F BC=0

F BC=1.154 kN (C )=1.15kN (C )

Nudo D:

Desde FCD, FDE, y FDE se encuentran en el mismo plano y FDB esta fuera de este plano entonces FDB =0.

∑ F x=0 ; FDF( 1

√13 )−2.309 cos60 °=0

FDF=4.16kN (C)

Nudo B:

∑ F Z=0 ; F BE( 1.732

√13 )−2=0

F BE=4.16kN (T )

PROBLEMA 10:

Determine la fuerza en cada miembro de la armadura espacial y establezca si los miembros están

en tensión o en compresión. La armadura está soportada por rótulas esféricas en los nudos C, D, E

y G.

Solución:

∑ (M EG)X = 0 ; 2

√5FBC (2 ) +2

√5FBD (2) −¿ 4

5(3)(2) = 0

Debido a la simetría:

FBC + FBD = 2.683 kNFBC = FBD = 1.342 = 1.34 kN (C) Nudo A:

∑ F Z=0 ; FAB −¿ 45

(3) = 0 FAB = 2.4kN (C) ∑ F x=0 ; FAG = FAE

∑ F y=0 ; 35

(3) −¿ 2

√5 (FAE) −¿ 2

5 (FAG) = 0

FAG = FAE = 1.01Kn (T)

Nudo B:

∑ F x=0 ; 1

√5 (1.342) + 1

3F BE−¿ 1

√5FBG = 0

∑ F y=0 ; 2

√5 (1.342) −¿ 2

3F BE +¿ 2

√5(1.342 )−2

3 (FBG) = 0 ∑ F z=0 ; 2

3F BE + 2

3F BG−¿ 2.4 = 0

F BG = 1.80 kN (T) F BE = 1.80 kN (T)