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Matemática Financeira
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UNIVERSIDADE ANHANGUERA-UNIDERP
UNIVERSIDADE ANHANGUERA – UNIDERP
FACULDADE ANHANGUERA DE TAGUATINGA
CURSO DE ADMINISTRAÇÃO
Matemática Financeira
Adriane Almeida de Oliveira RA: 6788383784
Aurileia Monteiro Colares RA:7310555843
Deijanira dos S Mourão da Silva RA: 6788404141
Diolino Antonio Lopes Neto RA: 6791435804
Reinilde Conceição Barbosa RA: 6504242149
Atividade Prática Supervisionada (ATPS)
entregue como requisito para conclusão da
disciplina “Matemática Financeira”, sob
orientação do professor-tutor à distância
Leonardo T. Otsuka e do tutor presencial
Flavio Henrique Dias Barroso.
Taguatinga/DF 04 de Novembro de 20141
UNIVERSIDADE ANHANGUERA-UNIDERP
SUMÁRIO
Introdução -------------------------------------------------------------------------------------03
I-Regimes de Capitalização Juros Simples e Compostos/HP-12C-------------------04
II-Conceitos utilizados em séries de pagamentos uniformes---------------------------08
III- Taxas equivalentes no regime de capitalização composta-------------------------13
IV-Conceitos de Amortização de Empréstimos-------------------------------------------15
Conclusão/ Referências Bibliográficas-----------------------------------------------------18
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Introdução
O objetivo deste trabalho é encontrar, aproximadamente, o valor que será gasto por um casal de pais na assistência de seu filho.
A produção deste relatório esclarece a importância do uso de conhecimentos específicos na área da matemática financeira e também, na utilização de ferramentas fundamentais, como a calculadora financeira HP-12C.
Deparamo-nos com desafios da aplicação dessas ferramentas no âmbito da Administração, utilizando meios significativos para encontrar os resultados estabelecidos durante as etapas da ATPS.
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I-Regimes de Capitalização Juros Simples e Compostos/HP-12C
I.1-Conceitos:
REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO
Regime de capitalização é a forma em que se verifica o crescimento do capital,
este pode ser pelo regime de capitalização simples ou composta.
No regime de capitalização simples os juros são calculados utilizando como
base o capital inicial (VP), já no regime de capitalização composta as taxas de juros são
aplicadas sobre o capital acumulado dos juros.
JUROS SIMPLES
O regime de capitalização simples mostra que o capital aumenta de forma
linear.
Em nosso país este regime de capitalização não é muito utilizado por
instituições financeiras, pois com o regime de capitalização composta se obtém lucros maiores
em empréstimos.
Fórmulas
J=VP*i*n (juro = Valor Presente * taxa * período)
Como montante é igual à Capital + juros, temos:
VF=VP* (1+i*n)
JUROS COMPOSTOS
No caso da capitalização composta, o cálculo é efetuado através do método
exponencial, ou seja, juros são computados sobre os juros anteriormente calculados.
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Equações:
VF = VP* (1+i)^n Valor Futuro
VP = VF/(1+i)^n Valor Presente
I = (VF/VP)^(1/n) – 1 Taxa
n = LOG10(VF/VP)/LOG10(1+i) Período
HP-12C
Basicamente, a HP 12C é uma calculadora financeira programável utilizada na execução de cálculos financeiros envolvendo juros compostos, taxas de retorno, amortização… A HP 12C utiliza o método RPN e introduziu o conceito de fluxo de caixa nas calculadoras, utilizando sinais distintos para entrada e saída de recursos.
Cálculo RPN - Diferentemente das Calculadoras convencionais, que utilizam o método algébrico convencional, as HPs financeiras, utilizam o método de Reverse Polish Notation (RPN na sigla de Notação Polonesa Inversa), que permite uma linha de raciocínio mais direta durante a formulação e melhor utilização da memória. Para utilizar a notação RPN, a HP12C exige um algoritmo (sequência de passos) de cálculo diferenciado para a sua utilização, na verdade, a hp12c é similar à maneira que você aprendeu matemática. Se você pensar sobre isso, terá que modificar a maneira que aprendeu matemática para usar uma calculadora no modo algébrico.
I-2-Desafio Proposto:
“Caso A
Na época em que Marcelo e Ana se casaram, algumas dívidas impensadas foram contraídas. Deslumbrados pelo grande dia, usaram de forma impulsiva recursos de amigos e créditos pré-aprovados disponibilizados pelo banco em que mantinham uma conta corrente conjunta há mais de cinco anos. O vestido de noiva de Ana bem como o terno e os sapatos de Marcelo foram pagos em doze vezes de R$ 256,25 sem juros no cartão de crédito. O Buffet contratado cobrou R$ 10.586,00, sendo que 25% deste valor deveria ser pago no ato da contratação do serviço, e o valor restante deveria ser pago um mês após a contratação. Na época, o casal dispunha do valor da entrada, e o restante do pagamento do Buffet foi feito por meio de um empréstimo a juros compostos, concedido por um
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amigo de infância do casal. O empréstimo com condições especiais (prazo e taxa de juros) se deu da seguinte forma: pagamento total de R$ 10.000,00 após dez meses de o valor ser cedido pelo amigo. Os demais serviços que foram contratados para a realização do casamento foram pagos de uma só vez. Para tal pagamento, utilizaram parte do limite de cheque especial de que dispunham na conta corrente, totalizando um valor emprestado de R$ 6.893,17. Na época, a taxa de juros do cheque especial era de7,81% ao mês.”
“Segundo as informações apresentadas, tem-se:
I – O valor pago por Marcelo e Ana para a realização do casamento foi de R$ 19.968,17.II – A taxa efetiva de remuneração do empréstimo concedido pelo amigo de Marcelo e Ana foi de 2,3342% ao mês.III – O juro do cheque especial cobrado pelo banco em 10 dias, referente ao valor emprestado de R$ 6.893,17, foi de R$ 358,91.”
“Caso B
Marcelo e Ana pagariam mais juros se, em vez de utilizar o cheque especial disponibilizado pelo banco no pagamento de R$ 6.893,17, o casal tivesse optado por emprestar de seu amigo a mesma quantia a uma taxa de juros compostos de 7,81% ao mês, pelo mesmo período de 10 dias de utilização.”
I-3-Resolução dos Casos A e B:
Caso A:
“I – O valor pago por Marcelo e Ana para a realização do casamento foi de R$ 19.968,17.”
3.075,00 ENTER
2.646,50 +
10.000,00 +
6.893,17 +
R$ 22.614,67
O valor pago não foi de R$19.968,17. A afirmação está errada
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“II – A taxa efetiva de remuneração do empréstimo concedido pelo amigo de Marcelo e Ana foi de 2,3342% ao mês. “
m=vp*(1+0,023342)^10
10.000=vp*(1,023342)^10
10.000=vp*1,25953
vp=10.000/1,25953
vp= 7939,47
A afirmação esta certa.
“III – O juro do cheque especial cobrado pelo banco em 10 dias, referente ao valor emprestado de R$ 6.893,17, foi de R$ 358,91”.
j=6893,17*(1+0,0781*0,33)
j=6893,17*1,0258
j=177,66
A afirmação está errada.
O numero que deve ser associado para este caso é o número: 3.
Caso B:
“Marcelo e Ana pagariam mais juros se, em vez de utilizar o cheque especial disponibilizado pelo banco no pagamento de R$ 6.893,17, o casal tivesse optado por emprestar de seu amigo a mesma quantia a uma taxa de juros compostos de 7,81% ao mês, pelo mesmo período de 10 dias de utilização.”
M = 6.893,17 ( 1 + 0,0781 )°`³³
M = 6.893,17 ( 1,0781 )°`³³
M= 6.893,17 x 1,0251
M = 7.066,37
De acordo com o cálculo realizado, a afirmação está correta.
O numero que deve ser associado para este caso é o número: 5.
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Números encontrados para as questões: 3 e 5.
II- Conceitos utilizados em séries de pagamentos uniformes
Ao estudarmos o capitulo 06 do livro PLT, nos deparamos com o tamanho da
importância de conhecer o funcionamento financeiro dos diversos pagamentos que efetuamos
diariamente.
Nessa etapa vamos abordar pagamentos Postencipados e Antecipados.
Série ou sequencia uniformes são pagamentos realizados em parcelas iguais e
consecutivas, período ao longo de um fluxo de um caixa, por exemplo: empréstimos podem
ser expressos(0+n) pagamentos.
Os Pagamentos Postencipados são aqueles efetivados após o final do primeiro
período, ou seja, o primeiro pagamento ocorre no momento(1)e não no (0), pois não há
entrada de valor. OS pagamentos ou recebimentos são desenvolvidos na HP12C pela sigla
PMT que vem do inglês "payament", também muito conhecido entre nos como prestações.
Podemos representar o fluxo de um pagamento postencipado, através de um diagrama.
pv= O 1 2 3 4
PMT
Caso B-1 desta etapa temos um pagamento postencipado CLARA optou pelo(1) apos o mês
de concessão de credito o cálculo foi desenvolvido na HP12C.
Fórmula do valor presente P de uma série postencipado:
PV= PMT [(1+i)n-1]
[(1+1)n.1]
A fórmula mostra o valor presente P de uma sequencia de pagamentos PMT
uniformes postencipados em função da quantidade de parcelas n e a taxa de juros i. Através de
uma sequencia de pagamentos postencipados podemos calcular o valor presente a partir da
quantidade do valor das parcelas e taxas de juros, conforme o PLT.
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Já os pagamentos antecipados; são aqueles que o primeiro pagamento ocorre
no 0 (zero). e também é conhecido como pagamento com entrada, podemos representar o
fluxo de um pagamento antecipado através de um diagrama conforme abaixo.
PV
0 1 2 3 4
PMT
Observe que a sigla PMT (0) em negrito é onde se inicia o primeiro pagamento
antecipado (entrada valor) na cauculadora HP12C deve estar no módulo g BEG.
No caso A passo 1 e passo 2 dessa etapa, Marcelo adquiriu um dvd através de
um pagamento antecipado pois realizou o pagamento a vista ,porem não ficou com prestações
a pagar, no entanto ele fez uma aplicação na poupança durante 12 meses, ou seja para
Marcelo comprar o aparelho de dvd ele ultilizou também pagamento postencipado com o
valor fixo a cada mês.
No caso B -2 dessa etapa dessa etapa temos um pagamento antecipado onde
Clara optou pelo vencimento no dia que se deu a concessão de credito.
A fórmula do valor presente de uma série antecipado e a seguinte.
PV= PMT [(1+1)n-1]
(1+1)n-1.i
Sequencia uniforme direta; são pagamentos realizados em períodos ou
intervalos de tempo em tempo nessa etapa no caso B- 3 um cálculo de prestação de serie onde
Clara optou pelo vencimento após 4 meses de concessão de crédito esse pagamento apresenta
período de carência
Formula dos valores de uma série direta:
PMT [1-(1+i)-n,
PV (1+i)c-1
Sendo C =Periodo de carência
Cálculos da etapa 2
Caso A
“Marcelo e adora assistirn filmes e quer comprar
uma TV HD 3D, para ver seus títulos prediletos em
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casa como se estivesse numa sala de cinema,Ele
sabe exatamente as características do aparelho que
deseja comprar, porque já pesquisou na internet e
em algumas lojas de sua cidade.Na maior parte das
lojas ,a tv cobiçada esta anuciada por R$ 4.800. No
passado, Marcelo compraria a tv em doze parcelas
"sem juros" de R$ 400,00, no cartão de crédito, por
impulso e sem o cuidado de um planejamento
financeiro necessário antes de qualquer
compra.Hoje com sua conciencia financeira
evoluida ,traçou um plano de investimento :durante
12 meses, aplicará R$ 350,00 mensais na caderneta
de poupança.Como a aplicação rendera juros de R$
120,00 acumulados nesses doze meses, ao fim de um
ano. Marcelo téra ajuntado R$ 4.320,00. Passado o
périodo de 12 meses e fazendo pesquisa em diversas
lojas ,ele encontra o aparelho que deseja ,última
peça (mais na caixa com nota fiscal),com desconto
de 10% para pagamentos a vista, em relação ao
valor orçado inicialmente. Com o planejamento
financeiro,Marcelo consegui multiplicar seu
dinheiro . Com o valor exato desse dinheiro extra
que Marcelo salvou seu orçamento, ele conseguiu
comprar também um novo aparelho de DVD\ Blu-
ray.”
O aparelho de blu-ray custou R$ 600,00.
Respostas:
Valor da tv: 12xR$ 400,00= 4,800
Aplicação 12xR$ 350,00=4.200(juros=120,00)
Total=R$4.320,00
Saldo extra: 4.800- 4.320,00
Portanto o aparelho de DVD custou R$ 480,00
Alternativa errada.
A Taxa média da poupança nestes 12 meses em que Marcelo aplicou seu dinheiro foi de
0,5107% ao mes.
Resposta:
PV= R$4.200,00
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N= 12
FV= 4.320,00
i=
Resolução pela HP 12C
f CLX_350 CHS,PMT_12n_i=05107
Alternativa certa.
O numero que deve ser associado para este caso é o número: 1.
Caso B
“A Quantia de R$30,000,00 foi emprestada por Ana
a sua irmã Clara, a sua irmã para se liquidada em
12 parcelas mensais iguais e consecutivas, Sabe-se
que a taxa de juro composto que ambas combinaram
é de 2,8% ao mês.”
A respeito desse empréstimo tem-se:
1- Se Clara optar pelo vencimento da primeira prestação após um mes da concessão de
crédito, o valor de cada prestação por ela será de R$2.977,99.
Resposta:
Pv= 30,000,00
n=12
i=2,8%a.m
Resolução pela calculadora HP12C
f CLX_30000 CHSPV 0 FV_12n_2,8i_PMT=2.977.99
Alternativa certa .
2- Clara optando pelo vencimento da primeira prestação no mesmo dia em que se der a
concessão do crédito, o valor de cada prestação devida por ela será de R$ 2.896.88
Resposta:
Pv=30.000,00
n=12
i= 2,8a.m
Resolução na HP12C
f CLX_g7_30000PV_0 FV_12n_2,8i_PMT=2.896.88
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Alternativa certa.
3- Caso Clara opte pelo vencimento da primeira prestação após quatro meses da concessão de
crédito, o valor de cada prestação devida por ela será de R$ 3.253.21
Resposta:
Pv=30000
i=2.8=0,028
n=12
c=4
PMT=PV.(1+i)c-1.i
1(1+i)-n
PMT=30000(1+i)c-1.i
1-(1+i)-n
PMT= 30000(1+0,028).4-1.0,028
1-(1+0,028)-12
PMT= 30000(1,028)3.0,028
1-(1,028)-12
PMT= 30000.1,0864.0,088
1-(07179)
PMT= 912,5760 2.234,93
0,02821
Alternativa errada.
O numero que deve ser associado para este caso é o número: 9.
Números encontrados para as questões: 1 e 9.
III- Taxas equivalentes no regime de capitalização composta
Juros Compostos
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Juros compostos são os juros de um determinado período somados ao capital
para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Juros compostos fazem parte de
disciplinas e conceito de matemática financeira, e esses juros são representados através de um
percentual.
A fórmula de juros compostos pode ser escrita através da remuneração cobrada
pelo empréstimo de dinheiro, e o valor da dívida é sempre corrigida e a taxa de juros é
calculada sobre esse valor. O regime de juros compostos é o mais comum no sistema
financeiro e o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia.
O atual sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, pois ele oferece
uma maior rentabilidade quando comparado ao regime de juros simples, uma vez que juros
compostos incidem mês a mês, de acordo com o somatório acumulativo do capital com o
rendimento mensal. Juros compostos são muito usados no comércio, como em bancos. Os
juros compostos são utilizados na remuneração das cadernetas de poupança, e é conhecido
como “juro sobre juro”.
Os juros compostos em disciplinas de matemática financeira, geralmente são
calculados e aprendidos com a utilização da calculadora HP 12C, mas também é possível
resolver seus cálculos e a fórmula no Excel.
Taxas de juros que fazem parte da Economia do Brasil:
Selic é a sigla sistema especial de liquidação é custódia, criado em 1979 pelo
banco central e pela Anbima (Associação brasileiros das entidades dos mercados financeiros e
de capitais) para tornar mais transparentes e segura a negociação de títulos públicos.
A Selic é um sistema eletrônico que permite a atualização diária das posições das instituições
financeiras, assegurando maior controle sobre as reservas bancarias.
Hoje, a Selic identifica também a taxa de juros que reflete a media de
renumeração dos títulos federais negociados com os bancos.
A Selic é considerada a taxa básica porque e usada em operações entre bancos
é, por isso, tem influencia sobre os juros de toda a economia do país.
Caso A
“Marcelo recebeu seu 13º salário e resolveu aplicá-lo em
um fundo de investimento. A aplicação de R$ 4.280,87
proporcionou um rendimento de R$ 2.200,89 no final de
1.389 dias. “
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A respeito desta aplicação tem-se:
Marcelo recebeu seu 13º salário e resolveu aplicá-lo em um fundo de investimento. A aplicação de
R$ 4.280,87 proporcionou um rendimento de R$ 2.200,89 no final de 1.389 dias.
A respeito desta aplicação tem-se:
I – A taxa média diária de remuneração é de 0,02987%.
M = C ( 1 + i ) ⁿ
6.481.76 = 4.280,87 ( 1 + i ) ^1389
6.481,76 / 4.280,87 =( 1 + i ) ^1389
( 1,51 )^1389 = 1 + i
1.0002987 – 1 = i
0,0002987 = i
i= 0,0002987 x 100 = 0,02987 %
Correto, a taxa media diária e de 0,02987 %
II – A taxa média mensal de remuneração é de 1,2311%.
6.481,76 = 4.280,87 ( 1 + i )³°
6.481,76 / 4.280,87 = ( 1 + i )³°
( 1,51 )³° = 1 + i
1,01383 – 1 = i
i= 1,3831 %
Errado, a taxa média mensal é de 1,3831%.
III – A taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 10,8% ao ano, capitalizada mensalmente, é
de 11,3509%.
Pv = 4.280,87
Fv = 6.481,76N = 1389
dI = 0,02987 %
Errada, a taxa efetiva anual é de 0,02987 %.
O numero que deve ser associado para este caso é o número: 3.
Caso B
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Nos últimos dez anos, o salário de Ana aumentou 25,78%,
enquanto a inflação, nesse mesmo período, foi de
aproximadamente 121,03%. A perda real do valor do
salário de Ana foi de –43,0937%.
121,03 ENTER
25,78 Δ%
= -78,70 %
Errado a perda real do calor do salario de Ana foi de -78,70 %
O numero que deve ser associado para este caso é o número: 6.
Números encontrados para as questões: 3 e 6.
IV- Conceitos de Amortização de Empréstimos
Amortização é a efetuação de pagamento de uma obrigação (dívida) aos poucos ou em prestações. Quando se efetua o pagamento de uma prestação é acrescido de juros mais amortização.
Tipos de Sistemas de amortização:
- Sistema de amortização misto;- Sistema de amortização de pagamentos variáveis;- Sistema de amortização Alemão;- Sistema de pagamento único;- Sistema Francês;- Sistema Americano;- Sistema de amortização constante.
Existem dois sistemas de amortizações mais utilizados: Sistema de Amortização Francês e Sistema de Amortização Constante.
Sistema de amortização francês: as prestações são periodicamente, sucessivamente e iguais, as parcelas são compostas de juros mais amortização a cada parcela.Sistema de amortização constante: são prestações decrescente em progressões aritméticas e sua amortização é de uma dívida de prestações períodica.
Sistema de amortização constante CASO A :Valor do financiamento R$30000,00, com a taxa de 2,8%a.m. no período de 12 meses.
Dívida Juros + amortização Parcelas Nº de parcelas
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R$30000,00 0
R$27500,00 R$840,00 +R$ 2500,00 R$3340,00 1
R$25000,00 R$770,00 +R$ 2500,00 R$3270,00 2
R$22500,00 R$700,00 +R$ 2500,00 R$3200,00 3
R$20000,00 R$630,00 +R$ 2500,00 R$3130,00 4
R$17500,00 R$560,00 +R$ 2500,00 R$3060,00 5
R$15000,00 R$490,00 +R$ 2500,00 R$2990,00 6
R$12500,00 R$420,00 +R$ 2500,00 R$2920,00 7
R$10000,00 R$350,00 + R$2500,00 R$2850,00 8
R$7500,00 R$280,00 +R$ 2500,00 R$2780,00 9
R$25000,00 R$140,00 +R$ 2500,00 R$2710,00 10
R$70,00 + R$ 2500,00 R$2640,00 11
R$2570,00 12
R$5460 + R$30000,00 R$35460,00
Sistema de amortização francês CASO B:Valor financiado R$30000,00, coma taxa de 2,8%a.m. no período de 12 meses.
Dívida Juros + amortização Parcelas Nº de parcelas
R$30000,00 0
R$27862,01 R$840,00 +R$2137,99 R$2977,99 1
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R$25664,15 R$780,14 +R$2197,86 R$2977,99 2
R$23404,74 R$718,60 +R$2259,40 R$2977,99 3
R$21082,09 R$655,33 +R$2322,55 R$2977,99 4
R$18694,38 R$590,30 +R$2387,70 R$2977,99 5
R$16239,84 R$523,44 +R$2454,55 R$2977,99 6
R$113716,55 R$454,72 +R$2523,28 R$2977,99 7
R$11122,63 R$384,06 + R$2593,93 R$2977,99 8
R$8456,07 R$311,43 +R$2666,56 R$2977,99 9
R$5714,86 R$236,77 +R$2741,22 R$2977,99 10
R$2896,87 R$160,02 + R$2817,98 R$2977,99 11
R$81,11 + R$2896,88 R$2977,99 12
R$5735,92 + R$30000,01 R$35735,88 Diferença de R$0,04
A afirmação para o sétimo período está incorreta, pois no sétimo período o valor da amortização será de R$2523,28 mais juros de R$454,72, totalizando o valor de R$2978,00, o saldo devedor será de R$11122,63 e o juros corresponde é de R$384,06.
Desafio do caso A
O numero que deve ser associado para este caso é o número: 3.
Desafio do caso B
O numero que deve ser associado para este caso é o número: 1.
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Conclusão
A elaboração deste relatório possibilitou o clareamento quando da utilização de ferramentas fundamentais para o cotidiano de um administrador, demonstrando a importância de um planejamento financeiro, como no caso desenvolvido pelo desafio da ATPS.
Ficou entendido que tanto na área contábil quanto na área administrativa, o excel, a calculadora científica hp12c, se aplicados corretamente, há uma grande facilitação no dia a dia .
Quanto ao desafio a quantia que Marcelo e Ana utilizarão para a criação de seu filho até o término da faculdade é de R$ 311936,31.
Referências bibliográficas
Emulador:
http://epx.com.br/ctb/hp12c.php.
Acesso em: 22/10/2014.
GIMENES, Cristiano Marchi.
Matemática Financeira. São Paulo:
Pearson Education, 2009.
Web: Wikkipedia
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