Aula 03: Variáveis Aleatórias Discretashelcio/VADis.pdf · Estatística e Probabilidade Aula 03:...

EstatEstatíísticastica e e ProbabilidadeProbabilidade

Aula Aula 0303: : VariVariááveisveisAleatAleatóóriasrias DiscretasDiscretas

ITA ITA -- LaboratLaboratóóriorio de Guerra de Guerra EletrônicaEletrônica

EENEM 2008EENEM 2008

QualQual a a similaridadesimilaridade nananaturezanatureza dessasdessas grandezasgrandezas??

•• Tempo de Tempo de esperaespera de um de um ônibusônibus•• ResultadosResultados de de lanlanççamentoamento de um de um

dadodado•• Soma de Soma de doisdois dadosdados•• ErroErro emem relarelaççãoão aoao centrocentro do do alvoalvo no no

lanlanççamentoamento de de umauma bombabomba•• PontosPontos ondeonde caemcaem gotasgotas de de chuvachuva

numanuma regiãoregião demarcadademarcada nana calcalççadaada

DefiniDefiniççãoão

•• EmpregaEmprega--se o se o termotermo varivariáávelvel aleataleatóóriariaparapara descreverdescrever o valor o valor queque correspondecorrespondeaoao resultadoresultado de de determinadodeterminadoexperimentoexperimento. A . A palavrapalavra aleataleatóóriaria indicaindicaqueque emem geralgeral ssóó conhecemosconhecemos aqueleaquelevalor valor depoisdepois queque o o experimentoexperimento éérealizadorealizado..

contcontíínuanua x x discretadiscreta

•• As As propriedadespropriedades das das varivariááveisveisaleataleatóóriasrias discretasdiscretas sãosão estudadasestudadas porporsomas e somas e diferendiferenççasas, , enquantoenquanto o o estudoestudo das das varivariááveisveis contcontíínuasnuas requerrequerferramentasferramentas do do CCáálculolculo comocomointegraisintegrais e e derivadasderivadas..

DistribuiDistribuiççãoão de de ProbabilidadesProbabilidades

•• UmaUma distribuidistribuiççãoão de de probabilidadesprobabilidadesddáá a a probabilidadeprobabilidade de de cadacada valor de valor de umauma varivariáávelvel aleataleatóóriaria

•• condicondiççõesões parapara umauma distribuidistribuiççãoão de de probabilidadesprobabilidades::

0 0 ≤≤ p(xp(x) ) ≤≤ 1 1 parapara todotodo x x

ΣΣ p(xp(x) = 1) = 1todostodos osos valoresvalores

posspossííveisveis de xde x

DistribuiDistribuiççãoão de de probabilidadesprobabilidadesparapara varivariááveisveis aleataleatóóriasrias discretasdiscretas

•• A A distribuidistribuiççãoão de de probabilidadeprobabilidade ououfunfunççãoão massamassa de de probabilidadeprobabilidade de de umauma varivariáávelvel aleataleatóóriaria discretadiscretaespecificaespecifica as as probabilidadesprobabilidades de de observaobservaççãoão parapara cadacada valor valor quandoquando o o experimentoexperimento ocorreocorre. .

ExemploExemplo

•• LanLanççamentoamento de de doisdois dados:dados:1/36 1/36 se x = 2 se x = 2 ouou 12122/36 se x = 3 2/36 se x = 3 ouou 1111

p(xp(x) = ) = 3/363/36 se x = 4 se x = 4 ouou 10104/364/36 se x = 5 se x = 5 ouou 995/365/36 se x = 6 se x = 6 ouou 886/366/36 se x = 7se x = 7

ExemploExemplo

0 2 4 6 8 10 12 x1 3 5 7 9 11

p(x)

6/36

5/36

4/36

3/36

2/36

1/36

FunFunççãoão distribuidistribuiççãoão cumulativacumulativa

F(xF(x) = P(X ) = P(X ≤≤ x) = x) = p(yp(y))ΣΣy: y y: y ≤≤ xx

ExemploExemplo ((doisdois dados)dados)00 se x < 2se x < 21/36 1/36 se 2 se 2 ≤≤ x < 3x < 33/36 3/36 se 3 se 3 ≤≤ x < 4x < 4

F(xF(x) = ) = 6/366/36 se 4 se 4 ≤≤ x < 5x < 510/3610/36 se 5 se 5 ≤≤ x < 6x < 615/3615/36 se 6 se 6 ≤≤ x < 7x < 721/3621/36 se 7 se 7 ≤≤ x < 8x < 826/3626/36 se 8 se 8 ≤≤ x < 9x < 930/3630/36 se 9 se 9 ≤≤ x < 10x < 1033/3633/36 se 10 se 10 ≤≤ x < 11x < 1135/3635/36 se 11 se 11 ≤≤ x < 12x < 1236/3636/36 se 12 se 12 ≤≤ xx

0 2 4 6 8 10 12 x1 3 5 7 9 11

F(x)

36/36

30/36

24/36

18/36

12/36

6/36

ExemploExemplo

•• Para Para quaisquerquaisquer doisdois nnúúmerosmeros a e b com a e b com a a ≤≤ b:b:

P(aP(a ≤≤ X X ≤≤ b) = b) = F(bF(b) ) —— F(aF(a--) = ) = F(bF(b) ) —— F(aF(a —— 1)1)

No No exemploexemplo dos dos doisdois dados:dados:P(3 P(3 ≤≤ X X ≤≤ 6) = F(6) 6) = F(6) —— F(2) = 15/36 F(2) = 15/36 -- 1/36 = 14/361/36 = 14/36P(X P(X ≤≤ 5) = F(5) = 10/365) = F(5) = 10/36P(X = 8) = F(8) P(X = 8) = F(8) —— F(7) = 26/36 F(7) = 26/36 -- 21/36 = 5/3621/36 = 5/36

EsperanEsperanççaa

E(xE(x) = ) = μμxx = = ΣΣxx··p(xp(x))

• A média de uma variável aleatóriadiscreta é o resultado médio teóricode um número infinito de provas

ExemploExemplo ((doisdois dados)dados)

E(X) = E(X) = μμ = 2= 2··(1/36) + 3(1/36) + 3··(2/36) +(2/36) ++ 4+ 4··(3/36) + 5(3/36) + 5··(4/36) +(4/36) ++ 6+ 6··(5/36) + 7(5/36) + 7··(6/36) +(6/36) ++ 8+ 8··(5/36) + 9(5/36) + 9··(4/36) +(4/36) ++ 10+ 10··(3/36) + 11(3/36) + 11··(2/36) +(2/36) ++ 12+ 12··(1/36) = 252/36 = 7(1/36) = 252/36 = 7

VariânciaVariância e e DesvioDesvio--padrãopadrão

V(X)= V(X)= σσ22 == E[(XE[(X-- μμ))22]] ==

= = ΣΣ[[((x x -- μμ))22··p(x)p(x)]] = = ΣΣ[[xx22··p(x) p(x) ]] -- μμ22

σσ = V(X)= V(X)0,50,5

• O desvio-padrão nos dá uma medida do quanto a distribuição de probabilidade se dispersa em torno da média

ExemploExemplo ((doisdois dados)dados)

V(X) = (V(X) = (22--7)7)22··(1/36) + (3(1/36) + (3--7)7)22 ··(2/36) +(2/36) ++ (4+ (4--7)7)22 ··(3/36) + (5(3/36) + (5--7)7)22 ··(4/36) +(4/36) ++ (6+ (6--7)7)22 ··(5/36) + (7(5/36) + (7--7)7)22 ··(6/36) +(6/36) ++ (8+ (8--7)7)22 ··(5/36) + (9(5/36) + (9--7)7)22 ··(4/36) +(4/36) ++ (10+ (10--7)7)22 ··(3/36) + (11(3/36) + (11--7)7)22 ··(2/36) +(2/36) ++ (12+ (12--7)7)22 ··(1/36) = 5,833(1/36) = 5,833

σσ = 5,833= 5,8330,50,5 = 2,415= 2,415

DistribuiDistribuiççõesões de de probabilidadeprobabilidade discretasdiscretas

•• UniformeUniforme•• BernoulliBernoulli•• BinomialBinomial•• HipergeomHipergeoméétricatrica•• Binomial Binomial negativanegativa•• PoissonPoisson

UniformeUniforme

p(x)

1/6

0 2 4 6 x1 3 5

BernoulliBernoulli

•• Se um experimento pode ter apenas dois Se um experimento pode ter apenas dois resultados possresultados possííveis (sucesso ou fracasso, por veis (sucesso ou fracasso, por exemplo). Se fizermos X=1 quando o resultado exemplo). Se fizermos X=1 quando o resultado for sucesso e X=0 quando for fracasso, então:for sucesso e X=0 quando for fracasso, então:

P(X=1) = pP(X=1) = pP(X=0) = 1P(X=0) = 1--pp

•• Esta variEsta variáável aleatvel aleatóória ria éé chamada de Bernoulli chamada de Bernoulli e sua esperane sua esperançça a éé dada por:dada por:

E[X] = 1.p + 0.(1E[X] = 1.p + 0.(1--p) = pp) = p

BinomialBinomial

•• O O experimentoexperimento consisteconsiste de de umaumaseqseqüüênciaência de de nn experimentosexperimentos de de Bernoulli, Bernoulli, ondeonde nn éé fixadofixado antes do antes do experimentoexperimento

•• As As tentativastentativas sãosão idênticasidênticas e e cadacada umaumaresultaresulta emem sucessosucesso (S) (S) ouou falhafalha (F)(F)

•• As As tentativastentativas sãosão independentesindependentes•• A A probabilidadeprobabilidade de de sucessosucesso ((pp) ) éé

constanteconstante entre as entre as tentativastentativas

n = 3n = 3•• SSS, SSF, SFS, SFF, FSS, FSF, FFS, FFFSSS, SSF, SFS, SFF, FSS, FSF, FFS, FFFP(SSS) = P(S)P(SSS) = P(S)··P(S)P(S)··P(S) = pP(S) = p33

P(SSF) = pP(SSF) = p··pp··(1(1——p) = pp) = p22··(1(1——p)p)P(SFS) = pP(SFS) = p··pp··(1(1——p) = pp) = p22··(1(1——p)p)P(SFF) = pP(SFF) = p··(1(1——p)p)··(1(1——p) = pp) = p··(1(1——p)p)22

P(FSS) = pP(FSS) = p··pp··(1(1——p) = pp) = p22··(1(1——p)p)P(FSF) = pP(FSF) = p··(1(1——p)p)··(1(1——p) = pp) = p··(1(1——p)p)22

P(FFS) = pP(FFS) = p··(1(1——p)p)··(1(1——p) = pp) = p··(1(1——p)p)22

P(FFF) = (1P(FFF) = (1——p)p)··(1(1——p)p)··(1(1——p) = (1p) = (1——p)p)33

BinomialBinomial

nnb(xb(x; n, p) = ; n, p) = x px pxx(1(1--p)p)nn--xx x = 0, 1, 2... nx = 0, 1, 2... n

E[X] = E[X] = npnpV[X] = np(1V[X] = np(1--p) = p) = npqnpq q = 1q = 1--pp

( )

ExemploExemplo

•• NasNas condicondiççõesões do do exercexercííciocio 8 (aula 2), 8 (aula 2), qualqual a a probabilidadeprobabilidade de de quequeexatamenteexatamente duasduas bombasbombas atinjamatinjam o o alvoalvo??

44b(2; 4, 40%) = 2 0,4b(2; 4, 40%) = 2 0,422(1(1--0,4)0,4)44--2 2 ==

= 6 . 0,16 . 0,36 = 0,3456= 6 . 0,16 . 0,36 = 0,3456

( )

ExercExercííciocio 1515

•• QuandoQuando fuzisfuzis sãosão testadostestados, , verificaverifica--se se umauma taxataxa de de defeitosdefeitos igualigual a 5%. a 5%. SejaSejaX = nX = nºº de de fuzisfuzis emem pane pane numanuma amostraamostraaleataleatóóriaria de 20 de 20 fuzisfuzis..

a) determine P(X a) determine P(X ≤≤ 2)2)b) b) qualqual a a probabilidadeprobabilidade de de queque nenhumnenhum

fuzilfuzil dada amostraamostra estejaesteja emem panepanec) c) calculecalcule a a esperanesperanççaa e o e o desviodesvio--padrãopadrão

de Xde X

ExercExercííciocio 1616

•• 20% de 20% de todostodos osos telefonestelefones de um de um certocerto tipotipo sãosão submetidossubmetidos ààmanutenmanutenççãoão enquantoenquanto estãoestão no no perperííodoodo de de garantiagarantia. . DessesDesses, 60% , 60% podempodem ser ser reparadosreparados enquantoenquanto ososoutrosoutros 40% 40% devemdevem ser ser substitusubstituíídosdosporpor novosnovos. Se . Se umauma companhiacompanhia compracompradezdez dessesdesses telefonestelefones, , qualqual a a probabilidadeprobabilidade de de queque exatamenteexatamente doisdoissejamsejam substitusubstituíídosdos emem garantiagarantia??

ExercExercííciocio 1717

•• Um Um testeteste de de EstatEstatíísticastica consisteconsiste emem 10 10 questõesquestões do do tipotipo mmúúltiplaltipla escolhaescolha, , cadacadaumauma com 5 com 5 respostasrespostas posspossííveisveis. Para . Para algualguéémm queque respondaresponda aleatoriamentealeatoriamente ((porporpalpitepalpite) ) todastodas as as questõesquestões, determine a , determine a probabilidadeprobabilidade de de passarpassar, se o , se o percentualpercentualmmíínimonimo parapara aprovaaprovaççãoão éé 60%. A 60%. A probabilidadeprobabilidade éé suficientementesuficientemente elevadaelevadaparapara justificarjustificar o o riscorisco de de tentartentar passarpassar porporpalpitepalpite emem lugarlugar de de estudarestudar??

ExercExercííciocio 1818

•• UmaUma empresaempresa aaéérearea adotaadota a a polpolííticaticade vender 15 de vender 15 passagenspassagens parapara um um aviãoavião queque dispõedispõe de de apenasapenas 14 14 assentosassentos. Determine a . Determine a probabilidadeprobabilidadede de nãonão haverhaver assentosassentos suficientessuficientessabendosabendo--se se queque, , historicamentehistoricamente, , apenasapenas 85% dos 85% dos passageirospassageiros quequefazemfazem reservareserva apresentamapresentam--se se paraparaembarqueembarque..

DistribuiDistribuiççãoão de Poissonde Poisson

•• DistribuiDistribuiççãoão discretadiscreta de de probabilidadeprobabilidade, , aplicaplicáávelvel a a ocorrênciasocorrênciasde um de um eventoevento emem um um intervalointervaloespecificadoespecificado. .

•• A A varivariáávelvel aleataleatóóriaria x x éé o o nnúúmeromero de de ocorrênciasocorrências do do eventoevento emem um um intervalointervalo..

•• O O intervalointervalo podepode ser o tempo, a ser o tempo, a distânciadistância, a , a áárearea, o volume etc., o volume etc.

DistribuiDistribuiççãoão de Poissonde Poisson

p(xp(x;;λλ) = e) = e——λλλλxx x = 0, 1, 2...x = 0, 1, 2...

x!x!

Para Para qualquerqualquer experimentoexperimento binomial binomial emem queque n n éé grandegrande e p e p éé pequenopequeno::

b(xb(x; n, p) ; n, p) ≈≈ p(xp(x;;λλ) ) ondeonde λλ = = npnpE(X) = V(X) = E(X) = V(X) = λλ

DistribuiDistribuiççãoão de Poissonde Poisson

A A distribuidistribuiççãoão de Poisson de Poisson exigeexige::•• queque a a varivariáávelvel aleataleatóóriaria x x sejaseja o o nnúúmeromero de de

ocorrênciasocorrências de um de um eventoevento emem um um intervalointervalo•• queque as as ocorrênciasocorrências sejamsejam aleataleatóóriasrias•• queque as as ocorrênciasocorrências sejamsejam independentesindependentes

umasumas dasdas outrasoutras•• queque as as ocorrênciasocorrências sejamsejam distribudistribuíídasdas

uniformementeuniformemente sobresobre o o intervalointervaloconsideradoconsiderado

ExemploExemplo

•• Para fins de Para fins de ananááliselise dos dos impactosimpactos de de bombasbombas VV--1 1 nana II GM, o II GM, o sulsul de de LondresLondresfoifoi subdivididosubdividido emem 576 576 regiõesregiões com com áárearea de 0,25 kmde 0,25 km22 cadacada. A . A ááreareaconjuntaconjunta dasdas 576 576 regiõesregiões foifoi atingidaatingidaporpor 535 535 bombasbombas. . EscolhidaEscolhidaaleatoriamentealeatoriamente umauma regiãoregião, , determine a determine a probabilidadeprobabilidade de de elaela tertersidosido atingidaatingida exatamenteexatamente duasduas vezesvezes..

ExemploExemplo (cont.)(cont.)

•• NNúúmeromero mméédiodio de de impactosimpactos porpor regiãoregião: : λλ = 535/576 = 0,929= 535/576 = 0,929

•• QueremosQueremos a a probabilidadeprobabilidade de de doisdoisimpactosimpactos emem umauma regiãoregião, , fazemosfazemos x = 2x = 2

p(xp(x;;λλ) = e) = e——λλλλxx = = 2,718282,71828--0,9290,929..0,9290,9292 2 = 0,170= 0,170x! 2!x! 2!

ExercExercííciocio 1919

•• EmEm um um testeteste de de placasplacas de de circuitocircuito, a , a probabilidadeprobabilidade de de queque qualquerqualquer diododiodo vaivaifalharfalhar éé 0,01. 0,01. SuponhaSuponha queque umauma placaplaca tenhatenha200 200 diodosdiodos..

a) a) QuantosQuantos diodosdiodos se se esperaespera queque falhemfalhem e e qualqual éé o o desviodesvio--padrãopadrão??

b) b) QualQual éé a a probabilidadeprobabilidade ((aproximadaaproximada) de ) de queque pelopelo menosmenos quatroquatro diodosdiodos irãoirão falharfalharemem umauma placaplaca aleatoriamentealeatoriamente selecionadaselecionada??

ExercExercííciocio 19 (cont.)19 (cont.)

c) Se c) Se cincocinco placasplacas sãosão enviadasenviadas parapara um um clientecliente, , qualqual a a probabilidadeprobabilidade de de quequepelopelo menosmenos quatroquatro funcionarãofuncionarãoapropriadamenteapropriadamente? ?

ExercExercííciocio 2020•• Um Um avisoaviso éé enviadoenviado a a todostodos osos proprietproprietááriosrios de de

um um certocerto tipotipo de de automautomóóvelvel solicitandosolicitando quequelevemlevem seusseus carroscarros a a umauma concessionconcessionááriaria paraparachecarchecar a a presenpresenççaa de um de um defeitodefeito de de fabricafabricaççãoão. . SuponhaSuponha queque 0,05% dos 0,05% dos carroscarrosapresentemapresentem o o defeitodefeito e e considereconsidere umaumaamostraamostra aleataleatóóriaria de 10.000 de 10.000 carroscarros..

a) a) QuaisQuais sãosão a a esperanesperanççaa e o e o desviodesvio--padrãopadrão do do nnúúmeromero de de carroscarros nana amostraamostra queque apresentamapresentamdefeitodefeito??

b) b) QualQual éé a a probabilidadeprobabilidade ((aproximadaaproximada) ) queque maismaisde 10 de 10 carroscarros amostradosamostrados apresentemapresentem defeitodefeito??

ExercExercííciocio 2121

•• Num Num certocerto local local distantedistante dada explosãoexplosãode de umauma bombabomba, o , o nnúúmeromero mméédiodio de de fragmentosfragmentos porpor metro metro quadradoquadrado éé0,1. 0,1. QueremosQueremos determinardeterminar a a probabilidadeprobabilidade de de queque pelopelo menosmenos um um fragmentofragmento atingiratingiráá umauma áárearea alvoalvo de de 2 m2 m22..

ProcessoProcesso de Poissonde Poisson

PPkk(t(t) = e) = e——ααtt((ααt)t)kk

k!k!

PPkk(t(t) ) denotadenota a a probabilidadeprobabilidade de de queque k k eventoseventos com com taxataxa αα ocorrerãoocorrerão duranteduranteum um intervalointervalo de tempo t. de tempo t. EquivaleEquivale a a umauma distribuidistribuiççãoão de Poisson de Poisson emem quequeλλ = = ααt. t.

ExercExercííciocio 2222

•• SuponhaSuponha queque aeronavesaeronaves de de pequenopequenoporteporte cheguemcheguem a um a um aeroportoaeroporto de de acordoacordo com um com um processoprocesso de Poisson a de Poisson a umauma taxataxa αα de 8 de 8 anv/horaanv/hora. . PortantoPortanto, , temtem--se se λλ = 8t.= 8t.

a) a) QualQual a a probabilidadeprobabilidade de de quequeexatamenteexatamente 5 5 aeronavesaeronaves cheguemcheguemdurantedurante um um perperííodoodo de de umauma horahora? ? PeloPelo menosmenos 5? 5? PeloPelo menosmenos 10?10?

ExercExercííciocio 22 (cont.)22 (cont.)

b) b) QuaisQuais sãosão a a esperanesperanççaa e o e o desviodesvio--padrãopadrão do do nnúúmeromero de de aeronavesaeronaves quequechegamchegam num num perperííodoodo de 90 min?de 90 min?

c) c) QualQual éé a a probabilidadeprobabilidade de de queque pelopelomenosmenos 20 20 aeronavesaeronaves cheguemcheguem num num intervalointervalo de 2,5 de 2,5 horashoras? E ? E queque no no mmááximoximo 10 10 cheguemcheguem nessenesse perperííodoodo??

ExercExercííciocio 2323

•• UmaUma missãomissão de de reconhecimentoreconhecimento tem tem duraduraççãoão de d de d horashoras. . FoiFoi antecipadoantecipadoqueque 60% do tempo 60% do tempo durantedurante a a missãomissão o o sensor sensor estarestaráá no no modomodo passivopassivo com com taxataxa λλpp de de falhasfalhas porpor horahora e e queque no no restanterestante 40% do tempo o sensor 40% do tempo o sensor estarestaráá no no modomodo ativoativo, com , com λλaa falhasfalhasporpor horahora..

ExercExercííciocio 23 (cont.)23 (cont.)

•• EncontreEncontre a a probabilidadeprobabilidade de de queque nãonãohajahaja falhafalha no sensor no sensor durantedurante a a missãomissão..

•• ÉÉ relevanterelevante queque o o perperííodoodo de de operaoperaççãoão ativaativa ocorraocorra no no ininííciocio dadamissãomissão, no final , no final ouou emem fragmentosfragmentos aoaolongolongo dada missãomissão??