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DPS1037 – SISTEMAS DA QUALIDADE IIENGENHARIA DE PRODUÇÃO – CT/UFSM
Morgana Pizzolato, Dra.
Aula 18 – Experimentos de dois fatores
TÓPICOS DESTA AULA
� Projetos de Experimentos de dois fatores
� Projetos fatoriais
ANOVA de dois fatores com repetição
8/11/2010
� ANOVA de dois fatores com repetição
� ANOVA de dois fatores sem repetição
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PROJETOS FATORIAS
�Muitos experimentos envolvem o estudo de
dois ou mais fatores
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� Quando todas as combinações de níveis dos
fatores são investigadas
� tem-se um projeto fatorial
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EXEMPLO DO QUE SE FAZ NA INDÚSTRIA
� Uma empresa estava interessada em aumentar o teor de pureza de uma substancia química
� Sabia-se que os dois fatores mais importantes que influenciavam o teor de pureza eram a temperatura e a pressão do reator
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influenciavam o teor de pureza eram a temperatura e a pressão do reator
� Objetivo: determinar os níveis de temperatura e pressão que maximizem o teor de pureza (%)maximizem o teor de pureza (%)maximizem o teor de pureza (%)maximizem o teor de pureza (%)
� Como: primeiro fixar a temperatura em 65oC e variar pressão; e segundo, fixar a melhor pressão e variar a temperatura obtendo a resposta
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GRAFICAMENTE
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Temperatura
fixada em 65oC
Pressão fixada
em 14,3 atm
� Neste exemplo os fatores foram testados um de cada vez
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OUTRO TIPO DE GRÁFICO
� Vista superior da região pressão x temperatura
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� FC testados um de cada vez (5 níveis cada)
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RESULTADO DO EXPERIMENTO
� Para os FC testados um de cada vez
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72%
75%
77%
7
72%
MODIFICANDO A FORMA DE REALIZAR O EXPERIMENTO
� Condições operacionais atuais:� Temperatura: 68°C
� Pressão: 14,3 atm
� Pureza: 75%
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� Pureza: 75%
� FC testados ao mesmo tempo (2 níveis cada):� Temperatura: 63°C e 73°C
� Pressão: 13,3 atm e 15,3 atm
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RESULTADO DO EXPERIMENTO
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PROJETOS FATORIAIS
� É aquele no qual, para cada repetição completa do experimento, todas as possíveis combinações dos níveis dos FC são pesquisadas
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� Cada uma das possíveis combinações de níveis é chamada de “Tratamento”
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B1 B2
A1 20 30
A2 40 52
PROJETOS FATORIAIS
� O efeito de um fator é definido como a mudança que aparece na resposta quando muda-se o nível deste fator
� Efeito de A = = 21
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2
3020
2
5240 +−
+
� passando do nível A1 para o nível A2 há uma mudança média na resposta de 21 unidades.
� Similarmente,
� Efeito de B = = 11
11
2
4020
2
5230 +−
+
B1 B2
A1 20 30
A2 40 52
� Em alguns experimentos a diferença na resposta observada quando se modifica os níveis de um dos fatores irá depender do nível do outro fator.
PROJETOS FATORIAIS
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� Nesse caso, diz-se que há uma interação entre A e B.
12
B1 B2
A1 20 40
A2 50 12
PROJETOS FATORIAIS
� Os gráficos de dois fatores são úteis para esclarecer a natureza da interação� Quando a interação é forte, os efeitos principais têm pouco interesse
prático, por exemplo, para esses dados:
� Efeito A = = 1
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2
4020
2
1250 +−
+� Efeito A = = 1
� O fator A tem um efeito pequeno ? ERRADO!!ERRADO!!ERRADO!!ERRADO!!
� O fator A tem um efeito pronunciado, mas esse efeito depende do nível do fator B:� Em B1 >> Efeito de A = 50 - 20 = 30� Em B2 >> Efeito de A = 12 - 40 = -28
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22−
B1 B2
A1 20 40
A2 50 12
PORQUE UTILIZAR PROJETOS FATORIAIS?
� Comparar:
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B1 B2
A1 XX XX
B1 B2
A1 X X
Um fator de cada vez Fatorial cruzado
� Fatoriais cruzados são mais econômicos� Fatoriais cruzados permitem que se avalie interações
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A1 XX XX
A2 XX
A1 X X
A2 X X
ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS FATORIAS COM 2 FATORES
� Fator A com "a" níveis e Fator B com "b" níveis
� Cada repetição completa do experimento envolve "ab" ensaios
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Fator B
1 2 ... b
Fator A
1 y111, y112, ..., y11n y121, y122, ..., y12n ... y1b1, y1b2, ..., y1bn2 y211, y212, ..., y21n y221, y222, ..., y22n ... y2b1, y2b2, ..., y2bn... ... ... ... ...
a ya11, ya12, ..., ya1n ya21, ya22, ..., ya2n ... yab1, yab2, ..., yabn
ANOVA PARA DOIS FATORES
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Fonte de variação SQ GL MQ Teste F
A SQA (a-1) MQA MQA / MQR
B SQB (b-1) MQB MQB / MQR
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B SQB (b-1) MQB MQB / MQR
AB SQAB (a-1)(b-1) MQAB MQAB / MQR
Erro (Resíduo) SQR ab(n-1) MQR
Total SQT abn-1
EQUAÇÕES (1)
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Fator B
Fator A
(yij.)
(yi..)
(y ) ( )2
a b y
17
(y.j.)
( )
( )
( )
2
2
..
1
2
. .
1
...
ai
i
bj
j
yTC
abn
ySQA TC
bn
ySQB TC
an
=
=
=
= −
= −
∑
∑
( )
( )
2
.
1 1
2
.2
1 1 1 1 1
2
1 1 1
a bij
i j
a b n a bij
ijk
i j k i j
a b n
ijk
i j k
ySQAB TC SQA SQB
n
ySQR y
n
SQT y TC
SQT SQA SQB SQAB SQ
= =
= = = = =
= = =
= − − −
= −
= −
= + + +
∑∑
∑∑∑ ∑∑
∑∑∑
EQUAÇÕES (2)
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A
B
SQAMQA
GDL
SQBMQB
GDL
=
=
( )cal A
R
MQAF
GDL
MQBF
=
=
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B
AB
R
GDL
SQABMQAB
GDL
SQRMQR
GDL
=
=
( )
( )
cal B
R
cal AB
R
MQBF
GDL
MQABF
GDL
=
=
INTERPRETAÇÃO DO RESULTADO DA ANOVA
FFFFcalculadocalculadocalculadocalculado > > > > FFFFtabeladotabeladotabeladotabelado
O efeito O efeito O efeito O efeito correspondente é correspondente é correspondente é correspondente é
significativosignificativosignificativosignificativo
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, 1, 2tab GL GLF Fα=
� Se um fator ou interação não é significativo, o valor esperado de sua MQ é igual ao valor esperado da MQR
� Se um fator ou interação é significativo, o valor esperado de sua MQG será maior que o valor esperado da MQR
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, 1, 2tab GL GLα
EXEMPLO 1
� Suspeita-se que a máxima voltagem de saída de um tipo de bateria é afetada pelo material usado nas placas e pela temperatura.
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� Quatro repetições completas de um experimento fatorial cruzado foram rodadas em laboratório e os dados obtidos são apresentados a seguir:
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DADOS COLETADOS
Temperatura Temperatura Temperatura Temperatura (B(B(B(B))))Material (A)Material (A)Material (A)Material (A) 50505050 65656565 80808080
1111 130 34 20155 40 7074 80 82180 75 58
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180 75 582222 150 151 50
188 137 100159 121 83126 130 60
3333 138 174 96110 120 104168 150 82160 139 60
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ANÁLISE DOS DADOS
� Fazer a ANOVA para dois fatores;
� Fazer gráficos se o efeito da interação for significativo;
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significativo;
� Fazer a comparação múltipla de médias para verificar qual a combinação dos níveis dos FC é mais adequada para o caso;
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COMPARAÇÃO MÚLTIPLA DE MÉDIAS
� Se existir efeitos significativos� Observações para CMM na ANOVA de dois fatores
� Se apenas os fatores puros são significativos � CMM para cada fator individualmente
Usar gráfico de barras
8/11/2010
� Usar gráfico de barras
� Se a interação é significativa (independentemente se os fatores puros são ou não significativos)� CMM somente para a interação
� As comparações devem ser feitas fixando-se um nível de um dos fatores e comparando as médias dos níveis do outro fator.
� Usar gráfico de linhas
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EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM REPETIÇÃO
� Lembrando, o número de GDL do termo de erro vem dado por:
ab(n-1)
� Se não existem repetições do experimento
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� Se não existem repetições do experimento
n = 1� não sobram GDL para calcular de modo independente a MQR
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)1( −=
nab
SQRMQR Indeterminado se o
denominador é zeroMQR
MQGFcal =
Logo o Fcal também vai ser
indeterminado
EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM REPETIÇÃO
� Quando há motivos para acreditar que a interação AB não é significativa, então:
E(MQAB) = E(MQR)
é possível fazer a análise usando a MQAB como
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� é possível fazer a análise usando a MQAB como uma estimativa do termo de erro:
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FV SQ GDL MQ Teste F
A SQA (a-1) MQA MQA / MQAB
B SQB (b-1) MQB MQB / MQAB
Erro (AB) SQAB (a-1)(b-1) MQAB
Total SQT ab-1
EXEMPLO 2
� Um pesquisador acredita que a resistência à tração de certos corpos de prova (CP) de argamassa depende da % de microssílicautilizada na sua fabricação e do operador que
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utilizada na sua fabricação e do operador que confecciona os CPs. Os dados revelaram:
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% % % % microssílicamicrossílicamicrossílicamicrossílica
0000 5555 10101010 15151515 20202020
Operador
Operador
Operador
Operador 1111 4 5 6 5 3
2222 1 3 4 3 2
3333 1 1 3 2 1
Fonte de variaçãoSoma dos
quadradosGL
Médias
quadradasF calc F tab
Operador (A) 23,33 2 11,67 46,7 4,46
% Microssílica (B) 11,60 4 2,90 11,6 3,84
ANOVA
Os efeitos do operador e do % de microssílica são significativos
Próximo passo: conduzir uma CMM tanto para A quanto para B
% Microssílica (B) 11,60 4 2,90 11,6 3,84
Erro (AB) 2,00 8 0,25
Total 36,93 14
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