View
62
Download
5
Category
Preview:
DESCRIPTION
dsk
Citation preview
44
BAB III
FUNGSI TRANSFER
3.1. Pendahuluan
Beberapa sistem dinamik seperti mekanik, listrik, termal, hidraulik, ekonomi,
biologi dan sebagainya, dapat dikarakterisasikan dengan persamaan diferensial.
Respon suatu sistem dinamik terhadap suatu masukan (fungsi penggerak) dapat
diperoleh dengan menyelesaikan persamaan diferensial tersebut. Persamaan tersebut
dapat diperoleh dengan menggunakan beberapa hukum Fisika yang berlaku pada
sistem yang dimaksud seperti hukum Newton untuk sistem mekanik, hukum Kirchoff
untuk sistem listrik dan sebagainya.
Model matematik adalah deskripsi matematik dari karakteristik dinamik suatu
sistem. Langkah pertama yang harus dilakukan dalam menganalisa suatu sistem
dinamik adalah dengan menurunkan modelnya. Dalam menurunkan model matematik
yang masuk akal adalah bagian yang paling penting dari keseluruhan analisis. Setelah
model matematik dari suatu sistem diperoleh maka berbagai perangkat analitik dan
komputer dapat digunakan dalam analisis dan sintesis.
Model matematik dapat disajikan dalam beberapa bentuk yang berbeda.
Berdasarkan sistem dan sekeliling yang ditinjau, suatu penyajian matematik
barangkali lebih cocok daripada bentuk penyajian yang lain. Sebagai contoh dalam
persoalan kontrol optimal, seringkali lebih mudah untuk menggunakan seperangkat
persamaan diferensial orde pertama. Sebaliknya dalam analisis respon transient atau
respon frekuensi dari suatu sistem satu masukan dan satu keluaran, penyajian fungsi
alih yang akan dibicarakan mungkin lebih mudah daripada penyajian yang lain.
3.1.1. Penyederhanaan Versus Ketelitian
Dalam mencari suatu model, harus dikompromikan antara penyederhanaan
model dan ketelitian hasil analisis. Hasil yang diperoleh dari analisis hanya berlaku
sampai suatu derajat tertentu dari pendekatan model pada sistem fisik yang ditinjau.
Kecepatan komputer digital dalam melakukan operasi aritmmetika
memungkinkan untuk menggunakan pendekatan baru dalam merumuskan model
matematikanya. Dengan alat bantu tersebut, tidak hanya terbatas pada model yang
45
sederhana karena jika diperlukan maka dapat dilibatkan beberapa ratus persamaan
untuk menggambarkan suatu sistem secara lengkap. Tetapi jika tidak diperlukan
ketelitian yang sangat tinggi, akan lebih disukai hanya untuk mencari model yang
disederhanakan secara layak.
Dalam menurunkan model yang disederhanakan tersebut, seringkali dirasa
perlu untuk mengabaikan suatu sifat fisis dari sistem. Terutama jika diinginkan model
matematik linier parameter terkumpul (yaitu suatu model yang menggunakan
persamaan diferensial biasa) maka selalu diperlukan untuk mengabaikan suatu
ketidaklinieran dan parameter terdistribusi (parameter yang menimbulkan persamaan
diferensial parsial), yang mungkin terdapat pada sistem fisik yang ditinjau. Jika
pengaruh sifat-sifat yang diabaikan pada respon adalah kecil maka akan diperoleh
kesesuaian yang baik antara hasil analisis model matematik dan hasil studi
eksperimental pada sistem fisik.
Umumnya dalam menyelesaikan suatu persoalan baru, pertamakali dibuat
model yang disederhanakan sedemikian rupa sehingga diperoleh gambaran umum dari
jawab persoalan. Kemudian dapat dibuat model matematik yang lebih lengkap untuk
analisis yang lebih lengkap.
Harus benar-benar disadari bahwa suatu model linier parameter terkumpul
yang berlaku pada operasi frekuensi rendah, barangkali tidak berlaku pada frekuensi
yang cukup tinggi karena sifat parameter terdistribusi yang diabaikan menjadi suatu
bagian yang penting dari perilaku dinamik sistem. Contoh, massa suatu pegas dapat
diabaikan pada operasi frekuensi rendah tetapi akan menjadi suatu sifat yang penting
dari sistem pada frekuensi tinggi.
3.1.2. Sistem Linier
Sistem linier adalah suatu sistem yang mempunyai persamaan model yang
linier. Suatu persamaan diferensail adalah linier jika koefisiennya adalah konstan atau
hanya merupakan fungsi dari variabel bebasnya. Sifat yang paling penting dari sistem
linier adalah berlakunya prinsip superposisi. Prinsip superposisi menyatakan bahwa
respon yang dihasilkan oleh penggunaan secara serentak dari dua buah fungsi
penggerak yang berbeda adalah sama dengan jumlah dari dua buah respon
individualnya. Jadi pada sistem linier, respon terhadap beberapa masukan dapat
dihitung dengan mencari respon terhadap tiap-tiap masukan dan menjumlahkan
46
hasilnya. Prinsip ini memungkinkan untuk menyusun jawaban yang kompleks pada
persamaan diferensial linier dari beberapa jawaban yang sederhana.
3.2. Fungsi Alih (Transfer Function)
Fungsi alih sistem linier parameter konstan didefinisikan sebagai
perbandingan dari Transformasi Laplace keluaran (fungsi respon) dan fungsi
Transformasi Laplace masukan (fungsi penggerak), dengan menganggap bahwa
semua syarat awal adalah nol.
Tinjau sistem linier parameter konstan yang didefinisikan oleh persamaan
diferensial berikut :
)()()()()()()()( 1
)1(
1
)(
01
)1(
1
)(
0 txbtxbtxbtxbtyatyatyatya mm
mm
nn
nn
……………………………………………… Persamaan 3.1.
Dimana :
- n > m
- y adalah keluaran sistem
- x adalah masukan
Transformasi Laplace dari persamaan 3.1. adalah :
)()()()(
)()()()(
1
1
10
1
1
10
sXbssXbsXsbsXsb
sYassYasYsasYsa
mm
mm
nn
nn
Persamaan 3.2.
Persamaan 3.2. dapat disederhanakan menjadi :
)()(1
1
101
1
10sXbsbsbsbsYasasasa
mm
mm
nn
nn
Fungsi alih dari sistem ini, diperoleh dengan mencari Transformasi Laplace
dari kedua ruas persamaan di atas. Dengan menganggap bahwa semua syarat awal
adalah nol maka :
Fungsi Alih = nn
nn
mm
mm
asasasa
bsbsbsb
sX
sYsG
1
1
10
1
1
10
)(
)()( Persamaan 3.3.
47
Atau dapat dikatakan bahwa Fungsi alih adalah suatu ekspresi yang
merelasikan keluaran [Y(s)] dan masukan [X(s)] dari suatu sistem linier parameter
konstan dalam bentuk parameter sistem dan merupakan sifat dari sistem itu sendiri,
tidak tergantung pada fungsi masukan atau penggerak. Fungsi alih mencakup satuan-
satuan yang diperlukan untuk merelasikan masukan dengan keluaran. Fungsi alih
tidak memberikan informasi mengenai struktur fisik dari sistem. Fungsi alih dari
beberapa sistem fisik yang berbeda, mungkin identik.
Dalam hal ini dapat dinyatakan dinamika sistem dengan beberapa persamaan
aljabar dalam s. Pangkat tertinggi dari s pada penyebut fungsi alih sama dengan orde
suku turunan tertinggi dari keluaran. Jika pangkat tertinggi dari s adalah n, maka
sistem tersebut disebut sistem orde ke-n.
3.2.1. Sistem Translasi Mekanik
Sistem pegas-massa-daspot ditunjukkan oleh gambar 3.1.
m
yf
k
x
Gambar 3.1. Sistem pegas-massa-daspot
Daspot adalah suatu perangkat yang menimbulkan gaya viskos (redaman).
Perangkat ini terdiri dari sebuah torak dan silinder isi minyak. Setiap gerakan relatif
antara batang torak dan silinder dilawan oleh minyak karena minyak tersebut harus
mengalir di sekitar torak (melalui orifis yang terdapat pada torak) dari satu sisi torak
ke sisi yang lain. Pada dasarnya daspot menyerap energi. Energi yang diserap ini
didisipasikan sebagai panas, sehingga daspot tidak menyimpan energi kinetik atau
potensial.
48
Untuk mencari fungsi alih dari sistem ini, dengan menganggap bahwa gaya
x(t) sebagai masukan dan perpindahan y(t) dari massa sebagai keluaran, sebagai
berikut :
1. Menulis persamaan diferensial dari sistem.
2. Mencari Transformasi Laplace dari persamaan diferensial, dengan menganggap
semua syarat awal adalah nol.
3. Mencari perbandingan dari keluaran Y(s) dan masukan X(s). Perbandingan dari
keluaran dan masukan ini merupakan fungsi alih dari sistem yang ingin dicari.
Untuk menurunkan persamaan diferensial linier parameter konstan, dianggap
bahwa gaya gesekan daspot berbanding lurus dengan
y dan pegas yang digunakan
adalah linier yakni gaya pegas berbanding lurus dengan y. Pada sistem ini, m
menyatakan massa, f menyatakan koefisien gesekan viskos dan k menyatakan
konstanta pegas.
Hukum dasar yang berlaku pada sistem mekanik adalah Hukum Newton.
Untuk sistem translasi, sistem tersebut menyatakan bahwa :
Fam …..……………………. Persamaan 3.4.
dimana : - m = massa (Kg)
- a = percepatan (m/dt2)
- F = gaya(N)
Kg adalah satuan massa dimana mdtNKg /2 . Jika dikenai gaya 1 Newton,
massa 1 Kg maka akan mengalami percepatan 1 m/dt2.
Dengan menerapkan Hukum Newton pada sistem di atas maka diperoleh :
)()()()(
2
2
txtykdt
tdyf
dt
tydm
)()()()(
2
2
txtykdt
tdyf
dt
tydm Persamaan 3.5.
Dengan mencari Transformasi Laplace dari tiap suku persamaan 3.5 diperoleh :
- )()]([ sYktyk
- )()]([ sXtx
49
- )]0()0()([])(
[ 2
2
2
yyssYsmdt
tydm
- )]0()([])(
[ ysYsfdt
tdyf
Jika ditentukan syarat awal sama dengan nol, sedemikian rupa sehingga
,0)0(,0)0(
yy maka Transformasi Laplace untuk turunan kedua dan turunan
pertama dari persamaan di atas menjadi :
)(00)(]00)([])(
[ 222
2
2
sYmssYsmssYsmdt
tydm
)(]0)([])(
[ sYfssYsfdt
tdyf
Jadi persamaan 3.5. dapat ditulis menjadi:
)()()( 2 sXsYkfsms
Dengan mencari perbandingan fungsi keluaran [Y(s)] dan masukan [X(s)],
diperoleh fungsi alih dari sistem adalah :
Fungsi Alih = kfsmssX
sYsG
2
1
)(
)()(
3.2.2. Sistem Rotasi Mekanik
Tinjau sistem yang ditunjukkan gambar 3.2. Sistem ini terdiri dari inersia
beban dan peredam gesekan viskos.
Gambar 3.2. Sistem rotasi mekanik
Dimana : - J = momen inersia beban (kg m2)
- f = koefisien gesekan viskos (N m/rad/det)
- = kecepatan sudut (rad/det)
- T = torsi yang dikenakan pada sistem (N m)
Untuk sistem rotasi mekanik, hukum Newton menyatakan bahwa :
T
J
50
J = T …………………………… Persamaan 3.6.
Dimana : - J = momen inersia beban (kg m2)
- = percepatan sudut (rad/det2)
- T = torsi sistem (N m)
Dengan menerapkan Hukum Newton pada sistem yang sedang ditinjau,
diperoleh :
)()()( tTtftJ
………………… Persamaan 3.7.
Dengan mencari Transformasi Laplace dari tiap suku persamaan 3.7, diperoleh
:
)()( st
)(0)()0()(])(
[)( ssssssdt
tdt
)()( sTtT
Jadi persamaan 3.7. dapat ditulis menjadi:
)()()( sTsfsJs
)()( sTsfJs
Dengan menganggap bahwa torsi T(t) yang dikenakan adalah masukan dan
kecepatan sudut (t) adalah keluaran maka fungsi alih dari sistem adalah :
Fungsi Alih = fJssT
s
1
)(
)(
3.2.3. Rangkaian R – L – C
Tinjau rangkaian listrik yang ditunjukkan oleh gambar 3.3. Rangkaian ini
terdiri dari suatu induktansi L (Henry), suatu tahanan R (Ohm) dan suatu kapasitansi C
(Farad).
51
LR
Ce
i(t) e
o(t)
i(t)
Gambar 3.3. Rangkaian Listrik RLC
Dengan menerapkan Hukum Kirchoff pada sistem yang sedang ditinjau,
diperoleh persamaan berikut :
)()(1
)()(
tedttiC
tiRdt
tdiL i Persamaan 3.8.
)()(1
0 tedttiC
Persamaan 3.9.
Dengan mencari Transformasi Laplace dari persamaan 3.8 dan persamaan 3.9
dan menganggap syarat awal adalah nol maka diperoleh :
)(0)()0()()(
sILssIsLisIsLdt
tdiL
)()( sIRtiR
Cs
sI
s
sI
Cs
sI
sCs
sI
s
i
Cdtti
C
)()(0
1)(01)()0(1)(
1 1
)()( sEteii
)()(00
sEte
Jadi persamaan 3.8. dan persamaan 3.9. menjadi ;
)()(1
)()( sEsICs
sIRsILs i
)()(1
0 sEsICs
Jika ei(t) dianggap sebagai masukan dan e0(t) dianggap sebagai keluaran maka
fungsi alih dari sistem ini adalah :
52
Fungsi Alih = )/1(
/1
)()/1(
/)(
)(
)(
CsRLs
Cs
sICsRLs
CssI
sE
sE
i
o
Fungsi Alih = )/1(
1
)(
)(
CsRLsCssE
sE
i
o
Fungsi Alih = 1
1
)(
)(2
RCsLCssE
sE
i
o
3.2.4. Impedansi Kompleks
Dalam menurunkan fungsi alih dari rangkaian listrik, seringkali dirasakan
lebih mudah untuk menuliskan persamaan dalam bentuk Transformasi Laplace secara
langsung, tanpa menuliskan persamaan diferensialnya. Tinjau sistem yang
ditunjukkan gambar 3.4.
Gambar 3.4. Impedansi yang dihubungkan secara seri
Pada sistem ini, Z1 dan Z2 menyatakan impedansi kompleks. Impedansi
kompleks dari suatu rangkaian dua terminal adalah perbandingan antara E(s) dan I(s),
dengan menganggap bahwa semua syarat awal adalah nol sehingga Z(s) = E(s)/I(s).
Dimana :
- E(s) merupakan Transformasi Laplace dari tegangan listrik pada terminal tersebut.
- I(s) merupakan Transformasi Laplace dari arus listrik yang melalui elemen tersebut
Jika elemen dari kedua terminal tersebut adalah suatu tahanan R, kapasitansi C
atau induktansi L maka impedansi kompleks dari elemen tersebut masing-masing
diberikan oleh R, 1/Cs atau Ls. Jika impedansi kompleks dihubungkan secara seri
maka impedansi totalnya sama dengan jumlah masing-masing impedansi kompleks
tersebut. Dimana :
Fungsi Waktu Fungsi Laplace
)()()( 21 tiZZtei )()21()( sIZZsiE
)()( 20 tiZte )(2)(0 sIZsE
Z1 Z2
e(t)
e0(t) ei(t)
i(t) i(t) i(t)
53
Fungsi alih dari rangkaian ini adalah :
21
2
)(]21[
)(2
)(
)(0
ZZ
Z
sIZZ
sIZ
siE
sE
Dimana : Z1 = Ls + R dan Z2 = 1/Cs
Jadi, persamaan di atas menjadi :
)1
(
1
1
1
)(
)(0
CsRLsCs
CsRLs
Cs
sE
sE
i
1
1
)(
)(2
0
RCsLCssE
sE
i
Persamaan 3.10.
Tinjau rangkaian yang ditunjukkan oleh gambar 3.5. Pada sistem ini, Z1 dan Z2
menyatakan impedansi kompleks. Impedansi kompleks dari suatu rangkaian dua
terminal adalah perbandingan antara E(s) dan I(s), dengan menganggap bahwa semua
syarat awal adalah nol sehingga Z(s) = E(s)/I(s). Dimana :
- E(s) merupakan Transformasi Laplace dari tegangan listrik pada terminal tersebut.
- I(s) merupakan Transformasi Laplace dari arus listrik yang melalui elemen tersebut
Gambar 3.5. Impedansi yang dihubungkan secara paralel
Jika elemen dari kedua terminal tersebut adalah suatu tahanan R, kapasitansi C
atau induktansi L maka impedansi kompleks dari elemen tersebut masing-masing
diberikan oleh R, 1/Cs atau Ls. Jika impedansi kompleks Z1 dan Z2 dihubungkan
secara paralel maka impedansi totalnya sama dengan perbandingan dari fungsi
keluaran terhadap fungsi masukan. Dengan menganggap bahwa tegangan ei(t) dan
Z1
Z2 e0(t) ei(t)
i(t)
i(t)
i(t)
54
e0(t), masing-masing adalah masukan dan keluaran dari rangkaian. Maka fungsi alih
dari rangkaian ini adalah :
21
2
)(]21[
)(2
)(
)(0
ZZ
Z
sIZZ
sIZ
siE
sE
Dimana : Z1 = Ls + R dan Z2 = 1/Cs
Maka persamaan di atas menjadi :
)1
(
1
1
1
)(
)(0
CsRLsCs
CsRLs
Cs
sE
sE
i
1
1
)(
)(2
0
RCsLCssE
sE
i
Persamaan 3.11.
Persamaan 3.10 identik dengan persamaan 3.11.
3.2.5. Elemen Pasif dan Elemen Aktif
Beberapa elemen dalam suatu sistem menyimpan energi seperti kapasitansi
dan induktansi dalam sistem listrik. Energi ini kemudian diberikan ke dalam sistem.
Jumlah energi yang diberikan tidak dapat melebihi jumlah energi yang tersimpan
dalam elemen.
Jika elemen ini sebelumnya tidak menyimpan energi maka elemen ini sama
sekali tidak memberikan energi kepada sistem. Jadi, elemen semacam ini disebut
elemen pasif. Sistem yang hanya mempunyai elemen pasif disebut sistem pasif.
Contoh sistem pasif adalah kapasitansi, tahanan dan induktansi, massa, inersia,
peredam, dan pegas. Untuk elemen pasif, setiap suku dalam persamaan diferensial
sistem homogen, mempunyai tanda yang sama.
3.2.6. Analogi Gaya Tegangan
Tinjau sistem mekanik yang ditunjukkan gambar 3.6.a dan sistem listrik yang
ditunjukkan 3.6.b. Untuk gambar 3.6.a, p(t) merupakan masukan sistem dan x(t)
55
merupakan keluaran sistem.Ditentukan syarat awal sama dengan nol, sedemikian rupa
sehingga 0)0(,0)0(
xx . Tentukan besar fungsi alih dari gambar 3.6.a.
Untuk gambar 3.6.b, e(t) merupakan masukan sistem dan i(t) merupakan
keluaran sistem.Ditentukan syarat awal sama dengan nol, sedemikian rupa sehingga
0)0(,0)0(
ii . Jika dttdqti /)()( , tentukan besar fungsi alih dari gambar
3.6.b.dalam bentuk muatan listrik.
m
x(t)f
k
p(t)
Gambar 3.6.a. Sistem mekanik
LR
C
e(t)i(t)
Gambar 3.6.b. Rangkaian Listrik RLC
Penyelesaian :
a. Persamaan diferensial untuk sistem mekanik dari gambar 3.6.a adalah :
)()()()(
2
2
tptxkdt
tdxf
dt
txdm Persamaan 3.12.
Jika ditentukan syarat awal sama dengan nol, sedemikian rupa sehingga
,0)0(,0)0(
xx maka Transformasi Laplace untuk setiap suku dari persamaan di
atas menjadi :
- )()( sXktxk
- )()( sPtp
- )]0()0()([])(
[ 2
2
2
xxssXsmdt
txdm
)(00)(]00)([])(
[ 222
2
2
sXmssXsmssXsmdt
txdm
- )]0()([])(
[ xsXsfdt
tdxf
56
)(]0)([])(
[ sXfssXsfdt
tdxf
Jadi persamaan 3.11 dapat ditulis menjadi:
)()()( 2 sPsXkfsms
Dengan mencari perbandingan X(s) dan P(s), diperoleh fungsi alih dari sistem:
Fungsi Alih = kfsmssP
sXsG
2
1
)(
)()(
b. Persamaan diferensial untuk sistem listrik dari gambar 3.6.b adalah :
)()(1
)()(
tedttiC
tiRdt
tdiL Persamaan 3.13.a.
Dalam bentuk muatan listrik q(t) (dimana dttdqti /)()( ), persamaan di atas
menjadi :
)()(1)()(
2
2
tetqCdt
tdqR
dt
tqdL Persamaan 3.13.b.
Jika ditentukan syarat awal sama dengan nol, sedemikian rupa sehingga
,0)0(,0)0(
ii maka Transformasi Laplace untuk setiap suku dari persamaan
3.13.a menjadi :
- )(0)()0()()(
sILssIsLisIsLdt
tdiL
- )()( sIRtiR
- Cs
sI
s
sI
Cs
sI
sCs
sI
s
i
Cdtti
C
)()(0
1)(01)()0(1)(
1 1
- )()( sEte
Transformasi Laplace dari dttdqti /)()( adalah :
)(0)()0()()])(
[)()( sQssQsqsQsdt
tdqsIti
57
Jadi Transformasi Laplace untuk setiap suku persamaan 3.13.b. menjadi :
- )()()()( 2 sQLssQsLssILs
dt
tdiL
- )()()()( sQRssQsRsIRtiR
- C
sQ
Cs
sQs
Cs
sIdtti
C
)()()()(
1
Jadi persamaan 3.13.b. dapat ditulis menjadi:
)()()1
( 2 sEsQC
RsLs
Dengan mencari perbandingan Q(s) dan E(s), diperoleh fungsi alih dari sistem:
Fungsi Alih =
CRsLs
sE
sQsG
1
1
)(
)()(
2
Fungsi Alih = C
C
CRsLs
sE
sQsG
1
1
)(
)()(
2
Fungsi Alih = 1)(
)()(
2
RCsLCs
C
sE
sQsG
Dengan membandingkan persamaan 3.12 dan persamaan 3.13.b, dapat dilihat
bahwa persamaan diferensial kedua sistem tersebut mempunyai bentuk yang identik.
Sistem semacam ini disebut sistem sekias (analog). Suku-suku yang menempati
posisi-posisi yang sama disebut besaran sekias. Analogi yang dimaksud adalah
analogi gaya-tegangan. Daftar besaran sekias dalam analogi gaya-tegangan,
ditunjukkan tabel 3.1.
Tabel 3.1. Daftar besaran sekias dalam analogi gaya-tegangan
Sistem Mekanik Sistem Listrik
Gaya p (Torsi T) Tegangan (e)
Massa m (Momen Inersia J) Induktansi (L)
Koefisien gesekan viskos (f) Tahanan (R)
Konstanta pegas (k) Kebalikan kapasitansi (1/C)
Perpindahan x (Perpindahan sudut ) Muatan (q)
Kecepatan x (Kecepatan sudut ) Arus (i)
58
Beberapa contoh sistem sekias ditunjukkan gambar 3.7. Tiap sistem listrik dan
sistem mekanik, analoginya mempunyai fungsi alih yang identik. Dalam menurunkan
fungsi alih, dianggap bahwa sistem yang ditinjau adalah sistem dengan parameter
terkumpul dan tidak ada pengaruh pembebanan pada keluaran.
ei(t)
R
Ce
o(t)
i(t)
1
1
)(
)(0
RCssE
sE
i
k
xi(t)
f
xo(t)
1
1
)(
)(0
sk
fsX
sX
i
R
C
i(t)e
i(t) e
o(t)
1)(
)(0
RCs
RCs
sE
sE
i
xi(t)
k
f
xo(t)
1)(
)(0
sk
f
sk
f
sX
sX
i
Gambar 3.7. Sistem dan analoginya
Latihan : Cari Fungsi Alih dari sistem berikut, jika diketahui R =1 Ohm, L = 50mH,
C = 200 mF.
1. L
Ci(t)
ei(t) e
o(t)
3.
R
L
i(t)
ei(t) e
o(t)
59
2. R
L
i(t)
ei(t) e
o(t)
4.
L
C
i(t)
ei(t) e
o(t)
3.2.7. Analogi Gaya Arus
Bentuk analogi lain yang sangat berguna antara sistem listrik dan sistem
mekanik adalah analogi gaya-arus. Tinjau sistem mekanik yang ditunjukkan pada
gambar 3.8.a.
m
x(t)f
k
p(t)
Gambar 3.8.a. Sistem Mekanik
I(s) e(t)L R C
IL
IR I
C
Gambar 3.8.b. Sistem Listrik
Gambar 3.8. Sistem Mekanik dan Analoginya
Persamaan diferensial yang melukiskan sistem ini adalah :
)()()()(
2
2
tptxkdt
tdxf
dt
txdm Persamaan 3.14.
Tinjau sistem listrik yang ditunjukkan gambar 3.8.b. Dengan menggunakan
Hukum Arus dari Kirchoff, diperoleh :
)()()()( titititi sCRL Persamaan 3.15.
dimana : - dtteL
tiL )(1
)(
- R
tetiR
)()(
- dt
tdeCtiC
)()(
60
Persamaan 3.9. dapat ditulis :
)()()(
)(1
tidt
tdeC
R
tedtte
Ls Persamaan 3.16.
Fluks magnetik gandeng direlasikan dengan e berdasarkan persamaan:
)()(
tedt
td
Persamaan 3.17.
Dalam bentuk , persamaan 3.10. dapat ditulis sebagai berikut :
)()(1)(1)(
2
2
titLdt
td
Rdt
tdC s
Persamaan 3.18.
Dengan membandingkan persamaan 3.14 dan persamaan 3.18, diperoleh bahwa
kedua sistem tersebut adalah sistem sekias. Beberapa besaran sekias diberikan Tabel
3.2. Dalam hal ini, analogi yang dimaksud disebut analogi gaya-arus
Tabel 3.2. Beberapa besaran sekias dalam analogi gaya-arus
Sistem Mekanik Sistem Listrik
Gaya p (Torsi T) Arus (i)
Massa m (Momen Inersia J) Kapasitansi (C)
Koefisien gesekan viskos (f) Kebalikan dari tahanan (1/R)
Konstanta pegas (k) Kebalikan induktansi (1/L)
Perpindahan x (Perpindahan sudut ) Fluks magnetik gandeng ()
Kecepatan x (Kecepatan sudut ) Tegangan (e)
3.2.8. Sistem Sekias
Konsep sistem sekias sangat berguna dalam praktek karena satu jenis sistem
dapat ditangani secara eksperimental dengan lebih mudah daripada jenis yang lain.
Sebagai contoh, untuk mengkaji sistem mekanik maka dapat dibuat dan dikaji sistem
listrik analoginya karena pada umumnya sistem listrik atau elektronik secara
eksperimental jauh lebih mudah ditangani. Secara khusus dalam komputer analog
elektronik, yang cukup memadai untuk mensimulasikan baik sistem mekanik maupun
sistem fisik lainnya.
61
Analogi antara dua sistem menjadi tidak berlaku jika daerah kerjanya
diperluas sehingga terlalu lebar. Karena persamaan diferensial yang mendasari
analogi hanya merupakan pendekatan dari karaktristik dinamik suatu sistem fisik
maka analogi bisa menjadi tidak berlaku jika daerah kerja salah satu sistem sangat
lebar. Meskipun demikian, jika daerah kerja suatu sistem mekanik sangat lebar,
kemungkinan dapat dibagi menjadi dua atau lebih dengan daerah yang lebih kecil
sehingga untuk setiap daerah yang lebih kecil tersebut dapat dibuat analogi listriknya.
Sebenarnya analogi tidak terbatas pada sistem listrik dan sistem mekanik. Analogi
dapat diterapkan pada setiap sistem yang mempunyai bentuk persamaan diferensial
atau fungsi alih yang identik.
3.3. Fungsi Alih Dari Elemen-elemen Yang Dihubung Seri
Beberapa sistem berumpanbalik mempunyai komponen-komponen yang
saling membebani. Tinjau sistem yang ditunjukkan gambar 3.9. Anggap ei(t) adalah
masukan sistem dan eo(t) adalah keluaran sistem.
R1
R2
C1
i1(t)
ei(t) e
o(t)
C2
i2(t)
I II III
Gambar 3.9. Rangkaian listrik yang dihubung seri
Pada sistem ini, rangkaian tingkat kedua (R2 C) menimbulkan pengaruh
pembebanan pada rangkaian tingkat pertama (R1 C1). Persamaan listrik untuk sistem
dalam gambar 3.9. adalah :
Persamaan Rangkaian I : )())(2)(1(1
111 tiedttiti
CtiR
Persamaan Rangkaian II : 0)(1
)())()((1
2
2
2212
1
dttiC
tiRdttitiC
Persamaan Rangkaian II, disederhanakan menjadi :
dttiC
dttiC
tiRdttiC
i )(1
)(1
)()(1
1
2
2
222
1
62
Persamaan Rangkaian III disederhanakan menjadi : )()(1
02
2
tedttiC
Persamaan Laplace dari ketiga persamaan listrik di atas adalah :
Persamaan Rangkaian I :
)()()}()({1
1121
1
sEsIRsIsIsC
i
)()(1
)()1
( 2
1
11
1
sEsIsC
sIRsC
i Persamaan 3.19.
Persamaan Rangkaian II :
)(1
)(1
)()(1
1
1
2
2
222
1
sIsC
sIsC
sIRsIsC
)(1
)()11
( 1
1
2
2
2
1
sIsC
sIsC
RsC
)()()11
( 12
2
2
1
1 sIsIsC
RsC
sC
)()()1( 12
2
112 sIsI
C
CsCR Persamaan 3.20.
Persamaan Rangkaian III :
)()(1
02
2
sEsIsC
Persamaan 3.21.
Persamaan 3.20. disubstitusi ke persamaan 3.19. Maka persamaan 3.19.
menjadi :
)()(1
)()1
( 2
1
11
1
sEsIsC
sIRsC
i
)()(1
)()1()1
( 2
1
2
2
1121
1
sEsIsC
sIC
CsCRR
sCi
)()(1
)()1
( 2
1
2
2
11
21
1121
1
121
1
sEsIsC
sIC
CR
sCC
CsCRR
sC
sCRR
sCi
)()()()(
)()()()(
1
2
2
211
2
221212221
1
2 sEsC
sI
C
sICR
sC
sIsIsCRRsIRsIR
sC
sIi
63
)()()1
( 2
2
11
2
12121 sEsIC
CR
sCsCRRRR i Persamaan 3.22.
Fungsi Alih dari rangkaian listrik yang dihubung seri dengan menganggap
syarat awal adalah nol diperoleh :
sC
sC
sIC
CR
sCsCRRRR
sIsC
sE
sE
i 2
2
2
2
11
2
12121
2
20
)()1
(
)(1
)(
)(
)1
(
1
)(
)(
2
11
2
121212
0
C
CR
sCsCRRRRsC
sE
sE
i
2
211
2
22
21212221
0 1
)(
)(
C
sCCR
sC
sCsCCRRsCRsCR
sE
sE
i
sCRsCCRRsCRsCRsE
sE
i 11
2
21212221
0
1
1
)(
)(
Persamaan 3.23.
Bentuk sCR 21 pada penyebut dari fungsi alih menyatakan interaksi dua
rangkaian RC sederhana. Karena 2211
2
212211 4)( CRCRCRCRCR , maka
kedua akar dari penyebut pada persamaan 3.23. adalah nyata.
Analisa ini menunjukkan bahwa jika dua rangkaian RC dihubung seri
sedemikian rupa sehingga keluaran dari rangkaian pertama menjadi masukan bagi
rangkaian kedua maka fungsi alih keseluruhan sistem tidak sama dengan hasilkali
antara )1/(1 11 sCR dengan )1/(1 22 sCR . Hal ini disebabkan pada waktu diturunkan
fungsi alih untuk suatu rangkaian terisolasi, secara tersirat dianggap bahwa keluaran
tidak dibebani. Dengan kata lain, impedansi beban dianggap tidak terhingga, yang
berarti tidak menyerap daya pada keluaran. Walaupun demikian, jika rangkaian kedua
dihubungkan pada keluaran dari rangkaian pertama maka sejumlah tertentu daya akan
diserap sehingga anggapan bahwa tidak ada pembebanan, tidak dipenuhi. Jadi, jika
fungsi alih sistem diperoleh dengan menganggap bahwa tidak ada pembebanan maka
fungsi alih tersebut tidak berlaku. Derajat pengaruh pembebanan menentukan
besarnya modifikasi dari fungsi alih.
64
Latihan : Cari Fungsi Alih dari sistem berikut jika diketahui R = 1 Ohm, R1 = R2 =
0,5 Ohm, L = 50mH, C = 400 mF, C1 = C2 = 500mF.
1
.
ei(t)
C1R
Li1(t)
eo(t)
C2
i2(t)
2
.
ei(t)
C1
R2
R1
i1(t)
eo(t)
C2
i2(t)
3
.
R1
R2C
i1(t)
ei(t) e
o(t)
L
i2(t)
3.4. Fungsi Alih Elemen-elemen Seri Tanpa Pembebanan
Fungsi alih suatu sistem yang terdiri dari dua buah elemen yang dihubungkan
seri tanpa pembebanan dapat diperoleh dengan mengeliminasi masukan dan keluaran
madya.
Contoh tinjau sistem yang ditujukan gambar 3.10. Sistem terdiri dari dua buah
elemen yang dihubung seri tanpa pembebanan. Fungsi alih masing-masing elemen
adalah :
Gambar 3.10. Elemen yang dihubung seri tanpa pembebanan
G1(s) G2(s) X2(s) X1(s)
X3(s)
65
Fungsi alih dari setiap blok diagram pada gambar 3.10 adalah :
)(
)()(
)(
)()(
2
3
2
1
2
1
sX
sXsGdan
sX
sXsG
Gambar rangkaian pengganti dari elemen-elemen yang dihubung seri tanpa
pembebanan dapat dilihat pada gambar 3.11.
Gambar 3.11. Rangkaian pengganti elemen yang dihubung seri tanpa pembebanan
Jika impedansi masukan dari elemen kedua adalah tak terhingga, maka
keluaran elemen pertama tidak dipengaruhi oleh penggandengan elemen pertama
dengan elemen kedua. Maka fungsi alih dari sistem keseluruhan adalah:
)()()(
)(
)(
)()( 21
2
3
1
2
1
3 sGsGsX
sX
sX
sX
sX
sXsG Persamaan 3.24.
Jadi fungsi alih dari sistem keseluruhan merupakan hasil kali dari fungsi alih
masing-masing elemen. Hal ini ditunjukkan gambar 3.11.
Penyisipan sebuah penguat pengisolasi diantara rangkaian-rangkaian untuk
mendapatkan karakteristik tanpa pembebanan, seringkali digunakan dalam
menghubungkan beberapa rangkaian listrik karena baik penguat semi konduktor
maupun penguat tabung hampa mempunyai impedansi masukan yang sangat tinggi.
Maka penguat pengisolasi yang disisipkan diantara dua buah rangkaian akan
menguatkan sistem tanpa pembebanan.
Dua buah rangkain RC sederhana, yang diisolasikan dengan penguat,
ditunjukkan pada gambar 3.12.
Penguat
Isolasi
(Penguat K)
e0(t)e
i(t) C
1C
2
R1 R
2
I II
Gambar 3.12. Sistem Listrik Dengan Penguat Pengisolasi
G1(s) G2(s) X1(s)
X3(s)
66
Dua buah rangkaian RC sederhana yang diisolasikan dengan suatu penguat
yang mempunyai pengaruh pembebanan yang dapat diabaikan. Persamaan listrik dari
rangkaian I di atas adalah :
)()(1
)(1
1 tedttiC
tiR i
)()(1
0
1
tedttiC
Persamaan Laplace dari rangkaian I di atas adalah :
)()(1
)(1
1 sEsIsC
sIR i
)()(1
0
1
sEsIsC
Fungsi alih sistem dari rangkaian I di atas adalah :
)1
(
1
)()1
(
)(1
)(
)(
1
111
1
1
1
10
sCRsC
sC
sC
sIsC
R
sIsC
sE
sE
i
1
11
)(
)(
11
1
111
0
sCR
sC
sCsCR
sE
sE
i
Sedangkan persamaan listrik dari rangkaian II di atas adalah :
)()(1
)(2
2 tedttiC
tiR i
)()(1
0
2
tedttiC
Fungsi alih sistem dari rangkaian II di atas adalah :
)()(1
)(2
2 sEsIsC
sIR i
)()(1
0
2
sEsIsC
67
X1
Fungsi alih sistem dari rangkaian II di atas adalah :
)1
(
1
)()1
(
)(1
)(
)(
2
222
2
2
2
20
sCRsC
sC
sC
sIsC
R
sIsC
sE
sE
i
1
11
)(
)(
22
2
222
0
sCR
sC
sCsCR
sE
sE
i
Fungsi alih rangkaian keseluruhan sama dengan hasil kali dari masing-masing
fungsi alih. Jadi, dalam hal ini fungsi alih keseluruhan sistem adalah :
)1
1()
1
1(
)(
)(
2211
0
sCRk
sCRsE
sE
i
Latihan : Carilah Fungsi Alih Total (Xn/X1) dari keseluruhan blok diagram berikut!
1.
2.
3.
4.
5.
1
10
s
1
1
s
Xn X2
1
4
s
X3 X1 X2 Xn
3
2
s
2
3
s
X3 X1 X2 Xn
4
7
s
2
1
s
3
2
s
1
1
s
Xn X1 X2
3
2
s
5
2
s
X3 X1 X2 Xn
6
3
s
3
4
s
Recommended