BAB 5. TURUNAN - ilhamsaifudin12.files.wordpress.com€¦ · 1 Misalkan f sebuah fungsi real dan x...

BAB 5. TURUNAN

Program Studi Teknik Informatika

Fakultas TeknikUniversitas Muhammadiyah Jember

May 9, 2019

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 1 / 17

Outline

1 TurunanKonsep TurunanDefinisi turunanAturan turunanAplikasi turunan

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 2 / 17

Turunan Konsep Turunan

KALKULUS

1 TurunanKonsep TurunanDefinisi turunanAturan turunanAplikasi turunan

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 3 / 17

Turunan Konsep Turunan

Untuk mendefinisikan pengertian garis singgung secara formal, perhatikanlah gambardi samping kiri. Garis talibusur m1 menghubungkan titik P dan Q1 pada kurva.Selanjutnya titik Q1 kita gerakkan mendekati titik P. Saat sampai di posisi Q2,talibusurnya berubah menjadi garis m2. Proses ini diteruskan sampai titik Q1 berimpitdengan titik P, dan garis talibusurnya menjadi garis singgung m.

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 4 / 17

Turunan Konsep Turunan

Gradien garis singgung tersebut dapat dinyatakan :

m = limh→0

f (c + h)− f (c)h

= f ′(c) = y ′

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 5 / 17

Turunan Definisi turunan

KALKULUS

1 TurunanKonsep TurunanDefinisi turunanAturan turunanAplikasi turunan

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 6 / 17

Turunan Definisi turunan

Definisi turunan

Definisi1 Misalkan f sebuah fungsi real dan x ∈ Df

2 Turunan dari f di titik x , ditulis

f ′(x) = limh→0

f (x + h)− f (x)h

contohCarilah kemiringan garis singgung terhadap y = x2 − 2x di titik (2, 0)

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 7 / 17

Turunan Definisi turunan

Definisi turunan

Definisi1 Misalkan f sebuah fungsi real dan x ∈ Df

2 Turunan dari f di titik x , ditulis

f ′(x) = limh→0

f (x + h)− f (x)h

contohCarilah kemiringan garis singgung terhadap y = x2 − 2x di titik (2, 0)

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 7 / 17

Turunan Definisi turunan

Definisi turunan

Definisi1 Misalkan f sebuah fungsi real dan x ∈ Df

2 Turunan dari f di titik x , ditulis

f ′(x) = limh→0

f (x + h)− f (x)h

contohCarilah kemiringan garis singgung terhadap y = x2 − 2x di titik (2, 0)

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 7 / 17

Turunan Definisi turunan

Definisi turunan

Definisi1 Misalkan f sebuah fungsi real dan x ∈ Df

2 Turunan dari f di titik x , ditulis

f ′(x) = limh→0

f (x + h)− f (x)h

contohCarilah kemiringan garis singgung terhadap y = x2 − 2x di titik (2, 0)

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 7 / 17

Turunan Definisi turunan

Definisi turunan

Definisi1 Misalkan f sebuah fungsi real dan x ∈ Df

2 Turunan dari f di titik x , ditulis

f ′(x) = limh→0

f (x + h)− f (x)h

contohCarilah kemiringan garis singgung terhadap y = x2 − 2x di titik (2, 0)

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 7 / 17

Turunan Aturan turunan

KALKULUS

1 TurunanKonsep TurunanDefinisi turunanAturan turunanAplikasi turunan

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 8 / 17

Turunan Aturan turunan

Aturan turunanAturan turunan

1 Misalkan k sebuah konstanta, maka Dx [k ] = 02 Dx [x ] = 13 Dx [xn] = nxn−1

4 Dx [kf (x)] = kDx [f (x)]5 Dx [(f ± g)(x)] = Dx [f (x)]± Dx [g(x)]6 Dx [(f .g)(x)] = Dx [f (x)].g(x) + f (x).Dx [g(x)]

7 Dx [(fg )(x)] =

Dx [f (x)].g(x)−f (x).Dx [g(x)](g(x)2)

Aturan turunan fungsi trigonometri

1 Dx [sinx ] = cosx , Dx [cosx ] = −sinx2 Dx [tanx ] = sec2x , Dx [cotx ] = −cosec2x3 Dx [secx ] = secxtanx , Dx [cosecx ] = −cosecxcotx

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 9 / 17

Turunan Aturan turunan

Aturan turunanAturan turunan

1 Misalkan k sebuah konstanta, maka Dx [k ] = 02 Dx [x ] = 13 Dx [xn] = nxn−1

4 Dx [kf (x)] = kDx [f (x)]5 Dx [(f ± g)(x)] = Dx [f (x)]± Dx [g(x)]6 Dx [(f .g)(x)] = Dx [f (x)].g(x) + f (x).Dx [g(x)]

7 Dx [(fg )(x)] =

Dx [f (x)].g(x)−f (x).Dx [g(x)](g(x)2)

Aturan turunan fungsi trigonometri

1 Dx [sinx ] = cosx , Dx [cosx ] = −sinx2 Dx [tanx ] = sec2x , Dx [cotx ] = −cosec2x3 Dx [secx ] = secxtanx , Dx [cosecx ] = −cosecxcotx

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 9 / 17

Turunan Aturan turunan

Aturan turunanAturan turunan

1 Misalkan k sebuah konstanta, maka Dx [k ] = 02 Dx [x ] = 13 Dx [xn] = nxn−1

4 Dx [kf (x)] = kDx [f (x)]5 Dx [(f ± g)(x)] = Dx [f (x)]± Dx [g(x)]6 Dx [(f .g)(x)] = Dx [f (x)].g(x) + f (x).Dx [g(x)]

7 Dx [(fg )(x)] =

Dx [f (x)].g(x)−f (x).Dx [g(x)](g(x)2)

Aturan turunan fungsi trigonometri

1 Dx [sinx ] = cosx , Dx [cosx ] = −sinx2 Dx [tanx ] = sec2x , Dx [cotx ] = −cosec2x3 Dx [secx ] = secxtanx , Dx [cosecx ] = −cosecxcotx

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 9 / 17

Turunan Aturan turunan

Aturan turunanAturan turunan

1 Misalkan k sebuah konstanta, maka Dx [k ] = 02 Dx [x ] = 13 Dx [xn] = nxn−1

4 Dx [kf (x)] = kDx [f (x)]5 Dx [(f ± g)(x)] = Dx [f (x)]± Dx [g(x)]6 Dx [(f .g)(x)] = Dx [f (x)].g(x) + f (x).Dx [g(x)]

7 Dx [(fg )(x)] =

Dx [f (x)].g(x)−f (x).Dx [g(x)](g(x)2)

Aturan turunan fungsi trigonometri

1 Dx [sinx ] = cosx , Dx [cosx ] = −sinx2 Dx [tanx ] = sec2x , Dx [cotx ] = −cosec2x3 Dx [secx ] = secxtanx , Dx [cosecx ] = −cosecxcotx

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 9 / 17

Turunan Aturan turunan

Aturan turunanAturan turunan

1 Misalkan k sebuah konstanta, maka Dx [k ] = 02 Dx [x ] = 13 Dx [xn] = nxn−1

4 Dx [kf (x)] = kDx [f (x)]5 Dx [(f ± g)(x)] = Dx [f (x)]± Dx [g(x)]6 Dx [(f .g)(x)] = Dx [f (x)].g(x) + f (x).Dx [g(x)]

7 Dx [(fg )(x)] =

Dx [f (x)].g(x)−f (x).Dx [g(x)](g(x)2)

Aturan turunan fungsi trigonometri

1 Dx [sinx ] = cosx , Dx [cosx ] = −sinx2 Dx [tanx ] = sec2x , Dx [cotx ] = −cosec2x3 Dx [secx ] = secxtanx , Dx [cosecx ] = −cosecxcotx

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 9 / 17

Turunan Aturan turunan

Aturan turunanAturan turunan

1 Misalkan k sebuah konstanta, maka Dx [k ] = 02 Dx [x ] = 13 Dx [xn] = nxn−1

4 Dx [kf (x)] = kDx [f (x)]5 Dx [(f ± g)(x)] = Dx [f (x)]± Dx [g(x)]6 Dx [(f .g)(x)] = Dx [f (x)].g(x) + f (x).Dx [g(x)]

7 Dx [(fg )(x)] =

Dx [f (x)].g(x)−f (x).Dx [g(x)](g(x)2)

Aturan turunan fungsi trigonometri

1 Dx [sinx ] = cosx , Dx [cosx ] = −sinx2 Dx [tanx ] = sec2x , Dx [cotx ] = −cosec2x3 Dx [secx ] = secxtanx , Dx [cosecx ] = −cosecxcotx

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 9 / 17

Turunan Aturan turunan

Aturan turunanAturan turunan

1 Misalkan k sebuah konstanta, maka Dx [k ] = 02 Dx [x ] = 13 Dx [xn] = nxn−1

4 Dx [kf (x)] = kDx [f (x)]5 Dx [(f ± g)(x)] = Dx [f (x)]± Dx [g(x)]6 Dx [(f .g)(x)] = Dx [f (x)].g(x) + f (x).Dx [g(x)]

7 Dx [(fg )(x)] =

Dx [f (x)].g(x)−f (x).Dx [g(x)](g(x)2)

Aturan turunan fungsi trigonometri

1 Dx [sinx ] = cosx , Dx [cosx ] = −sinx2 Dx [tanx ] = sec2x , Dx [cotx ] = −cosec2x3 Dx [secx ] = secxtanx , Dx [cosecx ] = −cosecxcotx

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 9 / 17

Turunan Aturan turunan

Aturan turunanAturan turunan

1 Misalkan k sebuah konstanta, maka Dx [k ] = 02 Dx [x ] = 13 Dx [xn] = nxn−1

4 Dx [kf (x)] = kDx [f (x)]5 Dx [(f ± g)(x)] = Dx [f (x)]± Dx [g(x)]6 Dx [(f .g)(x)] = Dx [f (x)].g(x) + f (x).Dx [g(x)]

7 Dx [(fg )(x)] =

Dx [f (x)].g(x)−f (x).Dx [g(x)](g(x)2)

Aturan turunan fungsi trigonometri

1 Dx [sinx ] = cosx , Dx [cosx ] = −sinx2 Dx [tanx ] = sec2x , Dx [cotx ] = −cosec2x3 Dx [secx ] = secxtanx , Dx [cosecx ] = −cosecxcotx

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 9 / 17

Turunan Aturan turunan

Aturan turunanAturan turunan

1 Misalkan k sebuah konstanta, maka Dx [k ] = 02 Dx [x ] = 13 Dx [xn] = nxn−1

4 Dx [kf (x)] = kDx [f (x)]5 Dx [(f ± g)(x)] = Dx [f (x)]± Dx [g(x)]6 Dx [(f .g)(x)] = Dx [f (x)].g(x) + f (x).Dx [g(x)]

7 Dx [(fg )(x)] =

Dx [f (x)].g(x)−f (x).Dx [g(x)](g(x)2)

Aturan turunan fungsi trigonometri

1 Dx [sinx ] = cosx , Dx [cosx ] = −sinx2 Dx [tanx ] = sec2x , Dx [cotx ] = −cosec2x3 Dx [secx ] = secxtanx , Dx [cosecx ] = −cosecxcotx

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 9 / 17

Turunan Aturan turunan

Aturan turunanAturan turunan

1 Misalkan k sebuah konstanta, maka Dx [k ] = 02 Dx [x ] = 13 Dx [xn] = nxn−1

4 Dx [kf (x)] = kDx [f (x)]5 Dx [(f ± g)(x)] = Dx [f (x)]± Dx [g(x)]6 Dx [(f .g)(x)] = Dx [f (x)].g(x) + f (x).Dx [g(x)]

7 Dx [(fg )(x)] =

Dx [f (x)].g(x)−f (x).Dx [g(x)](g(x)2)

Aturan turunan fungsi trigonometri

1 Dx [sinx ] = cosx , Dx [cosx ] = −sinx2 Dx [tanx ] = sec2x , Dx [cotx ] = −cosec2x3 Dx [secx ] = secxtanx , Dx [cosecx ] = −cosecxcotx

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 9 / 17

Turunan Aturan turunan

Aturan turunanAturan turunan

1 Misalkan k sebuah konstanta, maka Dx [k ] = 02 Dx [x ] = 13 Dx [xn] = nxn−1

4 Dx [kf (x)] = kDx [f (x)]5 Dx [(f ± g)(x)] = Dx [f (x)]± Dx [g(x)]6 Dx [(f .g)(x)] = Dx [f (x)].g(x) + f (x).Dx [g(x)]

7 Dx [(fg )(x)] =

Dx [f (x)].g(x)−f (x).Dx [g(x)](g(x)2)

Aturan turunan fungsi trigonometri

1 Dx [sinx ] = cosx , Dx [cosx ] = −sinx2 Dx [tanx ] = sec2x , Dx [cotx ] = −cosec2x3 Dx [secx ] = secxtanx , Dx [cosecx ] = −cosecxcotx

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 9 / 17

Turunan Aturan turunan

Aturan turunanAturan turunan

1 Misalkan k sebuah konstanta, maka Dx [k ] = 02 Dx [x ] = 13 Dx [xn] = nxn−1

4 Dx [kf (x)] = kDx [f (x)]5 Dx [(f ± g)(x)] = Dx [f (x)]± Dx [g(x)]6 Dx [(f .g)(x)] = Dx [f (x)].g(x) + f (x).Dx [g(x)]

7 Dx [(fg )(x)] =

Dx [f (x)].g(x)−f (x).Dx [g(x)](g(x)2)

Aturan turunan fungsi trigonometri

1 Dx [sinx ] = cosx , Dx [cosx ] = −sinx2 Dx [tanx ] = sec2x , Dx [cotx ] = −cosec2x3 Dx [secx ] = secxtanx , Dx [cosecx ] = −cosecxcotx

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 9 / 17

Turunan Aturan turunan

Aturan turunanAturan turunan

1 Misalkan k sebuah konstanta, maka Dx [k ] = 02 Dx [x ] = 13 Dx [xn] = nxn−1

4 Dx [kf (x)] = kDx [f (x)]5 Dx [(f ± g)(x)] = Dx [f (x)]± Dx [g(x)]6 Dx [(f .g)(x)] = Dx [f (x)].g(x) + f (x).Dx [g(x)]

7 Dx [(fg )(x)] =

Dx [f (x)].g(x)−f (x).Dx [g(x)](g(x)2)

Aturan turunan fungsi trigonometri

1 Dx [sinx ] = cosx , Dx [cosx ] = −sinx2 Dx [tanx ] = sec2x , Dx [cotx ] = −cosec2x3 Dx [secx ] = secxtanx , Dx [cosecx ] = −cosecxcotx

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 9 / 17

Turunan Aturan turunan

Aturan turunan

Contoh1 Jika f (x) = 5x2 + sinx , maka f ′(x) =?

2 Jika f (x) = x2.sinx , maka f ′(∏2 ) =?

3 Jika f (x) = 5x+13x−2 .sinx , maka f ′(1) =?

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 10 / 17

Turunan Aturan turunan

Aturan turunan

Contoh1 Jika f (x) = 5x2 + sinx , maka f ′(x) =?

2 Jika f (x) = x2.sinx , maka f ′(∏2 ) =?

3 Jika f (x) = 5x+13x−2 .sinx , maka f ′(1) =?

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 10 / 17

Turunan Aturan turunan

Aturan turunan

Contoh1 Jika f (x) = 5x2 + sinx , maka f ′(x) =?

2 Jika f (x) = x2.sinx , maka f ′(∏2 ) =?

3 Jika f (x) = 5x+13x−2 .sinx , maka f ′(1) =?

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 10 / 17

Turunan Aturan turunan

Aturan turunan

Contoh1 Jika f (x) = 5x2 + sinx , maka f ′(x) =?

2 Jika f (x) = x2.sinx , maka f ′(∏2 ) =?

3 Jika f (x) = 5x+13x−2 .sinx , maka f ′(1) =?

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 10 / 17

Turunan Aturan turunan

Aturan turunan

Aturan RantaiMisalkan y = f (u) dan u = g(x). Jika g terdefinisikan di x dan f terdefinisikan diu = g(x), maka fungsi komposit f ◦ g, yang didefinisikan oleh (f ◦ g)(x) = f (g(x)),adalah terdiferensiasikan di x dan (f ◦ g)′(x) = f ′(g(x))g′(x) yakniDx(f (g(x))) = f ′(g(x))g′(x)

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 11 / 17

Turunan Aturan turunan

Aturan turunan

Contoh1 Jika f (x) = (x2 − 3x + 5)3, maka f ′(x) =?

2 Jika f (x) = sin2(x2 − 3x), maka f ′(x) =?

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 12 / 17

Turunan Aturan turunan

Aturan turunan

Contoh1 Jika f (x) = (x2 − 3x + 5)3, maka f ′(x) =?

2 Jika f (x) = sin2(x2 − 3x), maka f ′(x) =?

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 12 / 17

Turunan Aturan turunan

Aturan turunan

Contoh1 Jika f (x) = (x2 − 3x + 5)3, maka f ′(x) =?

2 Jika f (x) = sin2(x2 − 3x), maka f ′(x) =?

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 12 / 17

Turunan Aturan turunan

Aturan turunan

Turunan tingkat tinggiMisalkan f (x) sebuah fungsi dan f ′(x) turunan pertamanya. Turuna kedua dari fadalah f”(x) = D2

x (f ). Dengan cara yang sama turunan ketiga , keempat dst. Salahsatu penggunaan turunan tingkat tinggi adalah pada masalah gerak partikel. Bila S(t)menyatakan posisi sebuah partikel, maka kecepatannya adalah v(t) = S′(t) danpercepatannya a(t) = v ′(t) = S”(t)

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 13 / 17

Turunan Aplikasi turunan

KALKULUS

1 TurunanKonsep TurunanDefinisi turunanAturan turunanAplikasi turunan

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 14 / 17

Turunan Aplikasi turunan

Aplikasi turunan

y=f’(x)

1 Gradien g singgung : m = y ′

2 fungsi naik : y ′ > 03 fungsi turun : y ′ < 04 fungsi stasioner : y ′ = 05 kecepatan : v ′ = ds

dt = S′

6 percepatan : a′ = dvdt = v ′ = S”

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 15 / 17

Turunan Aplikasi turunan

Aplikasi turunan

y=f’(x)

1 Gradien g singgung : m = y ′

2 fungsi naik : y ′ > 03 fungsi turun : y ′ < 04 fungsi stasioner : y ′ = 05 kecepatan : v ′ = ds

dt = S′

6 percepatan : a′ = dvdt = v ′ = S”

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 15 / 17

Turunan Aplikasi turunan

Aplikasi turunan

y=f’(x)

1 Gradien g singgung : m = y ′

2 fungsi naik : y ′ > 03 fungsi turun : y ′ < 04 fungsi stasioner : y ′ = 05 kecepatan : v ′ = ds

dt = S′

6 percepatan : a′ = dvdt = v ′ = S”

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 15 / 17

Turunan Aplikasi turunan

Aplikasi turunan

y=f’(x)

1 Gradien g singgung : m = y ′

2 fungsi naik : y ′ > 03 fungsi turun : y ′ < 04 fungsi stasioner : y ′ = 05 kecepatan : v ′ = ds

dt = S′

6 percepatan : a′ = dvdt = v ′ = S”

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 15 / 17

Turunan Aplikasi turunan

Aplikasi turunan

y=f’(x)

1 Gradien g singgung : m = y ′

2 fungsi naik : y ′ > 03 fungsi turun : y ′ < 04 fungsi stasioner : y ′ = 05 kecepatan : v ′ = ds

dt = S′

6 percepatan : a′ = dvdt = v ′ = S”

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 15 / 17

Turunan Aplikasi turunan

Aplikasi turunan

y=f’(x)

1 Gradien g singgung : m = y ′

2 fungsi naik : y ′ > 03 fungsi turun : y ′ < 04 fungsi stasioner : y ′ = 05 kecepatan : v ′ = ds

dt = S′

6 percepatan : a′ = dvdt = v ′ = S”

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 15 / 17

Turunan Aplikasi turunan

Aplikasi turunan

y=f’(x)

1 Gradien g singgung : m = y ′

2 fungsi naik : y ′ > 03 fungsi turun : y ′ < 04 fungsi stasioner : y ′ = 05 kecepatan : v ′ = ds

dt = S′

6 percepatan : a′ = dvdt = v ′ = S”

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 15 / 17

Turunan Aplikasi turunan

Aplikasi turunan

y=f”(x)Uji jenis

1 maximum : y” > 02 minimum : y” < 03 titik belok : y” = 0

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 16 / 17

Turunan Aplikasi turunan

Aplikasi turunan

y=f”(x)Uji jenis

1 maximum : y” > 02 minimum : y” < 03 titik belok : y” = 0

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 16 / 17

Turunan Aplikasi turunan

Aplikasi turunan

y=f”(x)Uji jenis

1 maximum : y” > 02 minimum : y” < 03 titik belok : y” = 0

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 16 / 17

Turunan Aplikasi turunan

Aplikasi turunan

y=f”(x)Uji jenis

1 maximum : y” > 02 minimum : y” < 03 titik belok : y” = 0

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 16 / 17

Turunan Aplikasi turunan

Thank You

Ilham Saifudin (TI) KALKULUS May 9, 2019 17 / 17