View
9
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
BAHAN AJAR
TELAAH KURIKULUM DAN MATEMATIKA SMA 1
DOSEN PENGAMPU
RINA AGUSTINA S Pd M Pd
NIDN 0212088701
PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO
2015
KATA PENGANTAR
حيمالر اللهبسم ا حمن الر
Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberikan kehidupan bagi kita
dan memberkahi kita dengan hidayah dan karunia-Nya yang begitu melimpah
Shalawat serta salam tetap tercurah kepada Nabi Besar Muhammad SAW
yang selalu menjadi panutan untuk kehidupan semua umat Islam
Adapun isi bahan ajar ini meliputi materi Eksponen dan Logaritma
Barisan dan Deret serta Statistik dan Peluang Semoga bahan ajar ini dapat
memberikan manfaat dalam bidang pendidikan khususnya dalam
pembelajaran Telaah Kurikulum dan Matematka SMA 1 bagi mahasiswa
Pendidikan Matematika
Metro September 2015
Penyusun
BAB I EKSPONEN DAN LOGARITMA
A Menemukan konsep eksponen
Untuk menentukan konsep eksponen kita selesaikan masalah yang disajikan dibawah ini secara berkelanjutankita lebih dahulu berusaha memikirkan berupaya mencari ide-ide kreatif berdiskusi mencoba memecahkan masalah di dalam kelompok belajar Dari beberapa model matematika yang melibatkan eksponen Kalian secara individu menuliskan ciri-ciri eksponen dan mendiskusikan hasilnya dengan teman kalianBerdasarkan ciri-ciri tersebut kalian menuliskan konsep eksponen dengan pemahaman sendiri
Masalah 11
Seorang peneliti bidang mikrobiologi di sebuah lembaga penelitian sedang mengamati pertumbuhan suatu bakteri di sebuah laboratorium mikrobiologi Pada kultur bakteri tersebut satu bakteri membelah jadi r bakteri setiap jam Hasil pengamatan menunjukkan bahwa jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 10000 bakteri dan setelah 2 jam kemudian jumlah bakteri tersebut menjadi 40000 bakteriPenelitian tersebut ingin mengetahui banyak bakteri sebagai hasil pembelajaran dan mencari tahu banyak bakteri dalam waktu 8 jam Alternatif Penyelesaian Diketahui Satu bakteri membelah menjadi r bakteri untuk setiap jam Jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 10000 bakteri dan setelah 2 jam kemudian jumlahnya menjadi 40000 bakteri Ditanya a Berapa banyak bakteri sebagai hasil pembelahan b Berapa jumlah bakteri dala waktu 8 jam
Sebagai langkah awal buat tabel laju pertumbuhan bakteri terhadap waktu setiap jam Misalkan jumlah bakteri pada awalnya ( t = 0 ) adalah
Jam ke-t 0 1
Jumlah bakteri ( r
Dari hasil pengamatn data pada tabel di ataskita dapat membuat
hubungan pertumbuhan jumlah bakteri ( terhadap pertumbuhan waktu (t)
= r atau secara singkat ditulis (1)
t dalam jam adalah jumlah bakteri saat t=0 dan r adalah bakteri setelah pembelahan terjadi pada setiap jam setelah 5 jam terdapat 40000 bakteri kita subtitusi ke formula di atas maka diperoleh = 10000 dan 40000
r=2
Jadi penelitian tersebut menemukan bahwa setiap jam 1 bakteri membelah menjadi 2 bakteri Untuk mendapatkan banyak bakteri pada awalnya atau t=0 subtitusi r = 2 ke pesamaan = 10000 sehingga 8 0000 dengan demikian Subtitusikan = 1250 ke persamaan (1) pola pertumbuhan tersebut dinyatakan
( ( = 320000
Jadi setelah 8 jam peneliti mendapatkan jumlah bakteri sudah mencapai 320000 bakteri
B Pangkat Bulat negatif Untuk a bilangan real dan a m bilngan bulat positif didefinisikan
Contoh
Jika nilai x = 2 dan y = 2 tentukan nilai ( Penyelesaian
(
(
C Pangkat Nol
Untuk a bilangan real dan a maka Untuk lebih memahami definisi di atas perhatikan pola hasil pemangkatan bilangan-bilangan berikut dengan bilangan 0
D Sifat-sifat pangkat Bulat Positif
119886119898
119886
8 3 7 3 9 3 3 3
1 Jika 119886 bilangan real m dan n bilangan bulat positif maka
119886119898 119886119899 119886119898+119899
2 Jika 119886 bilangan real m dan 119886 119898119886119896119886 119886119898
119886119899 119886119898 119899
3 Jika 119886 bilangan real dan 119886 m dan n bilangan bulat
positif maka (119886119898 119899 119886119898 119899
E Pangkat Pecahan Selanjutnya kita akan analisis sifat perpangkatan bilangan real dengan pangkat
pecahan Misalkan a bilangan real dan a m n bilangan bulat positif didefinisikan
F Bentuk Akar Pengakaran (penarikan akar) suatu bilangan merupakan inversi dari
pemangkatan suatu bilanganakar dilabangkan notasi radic
Akar ke n atau akar
pangkat n dari suatu bilangan a dituliskan sebagai radic dengan adalah bilangan
pokok basis dan n adalah indekseksponen akarBentuk akar dapat diubah menjadi bentuk pangkat dan sebaliknya Sebelum mempelajari bentuk akar kita harus memahami konsep bilangan rasional dan irasional terlebih dahulu
Bilangan rasional berbeda dengan bilnagan irasional Bilangan rasional adalah
bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk
dengan a dan b bilangan bulat dan b
bilangan rasional terdiri atas bilangan bulat bilangan bilngan pecahan murni dan bilangan pecahan desimal sedangkan bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan Bilangan irasional merupakan bilangan yang mengandung pecahan desimal tak terhingga dan tak berpola Contoh bilangan
irrasional misalnya radic 3 373 dan sebagainya
Misalkan a bilangan real dan n bilangan positif radic
disebut bentuk akar jika dan
hanya jika hasil radic
adalah bilangan irrasional
Bilangan irrasional yang menggunakan tanda akar (radic) dinamakan bentuk akar tetapi ingattidk semua bilangan yang berada dalam tanda akar merupakan bilangan
irrasional Contoh radic dan radic bukan bentuk akar karena nilai dari radic adalah 5
dan nilai radic adalah 8 keduanya bukan bilangan irrasional Agar lebih jelas perhatikan cocntoh berikut
1 radic
2 radic 7
adalah bukan bentuk akar karena radic 7
= 3
G Hubungan Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Perlu diketahui bahwa berpangkat memiliki hubungan dengan bentuk akar Jika a
adalah bilangan real dan a dengan a 0
dan
adalah bilangan pecahan n
a dan adalah bilangan pecahan n maka
=(
Perrhatikan bahwa
dan perlihatkan bahwa
radic radic sehingga dapat disimpulkan
radic
erhatikan untuk kasus di bawah ini
119886119898119899
119886
119898
Sifat-sifat pangkat pecahan Misalkan a adalah bilangan real dan a
p
n
119898
119899 adalah bilangan pecahan
n jika nqge 2 maka 119886119898
119899 119886119901
119902 = 119886119898
119899 119901
119902
+
+
=
radic radic radic sehingga dapat disimpulkan
radic
H Operasi Pada bentuk Akar 1 Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar
operasi penjumlahandan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan apabila bentuk akarnya senama Bentuk akar senama adalah bentuk akar yang mempunyai ekspone dan basis sma Untuk setiap pq dan r adalah bilangan real dan r ge berlaku sifat-sifat berikut
contoh
a 3radic radic = (3+4)radic
= 7radic
b radic radic3 ( tidak dapat diselesaikan karena akarnya tidak senama )
2 Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar
Pada pangkat pecahan telah dinyatakan bahwa
radic sifat perkalian dan
pembagian bentuk akar dapat dicermati pada beberapa contoh berikut Contoh
a radic8
radic
=
= =2
b radic
radic =
radic
3 Merasionalkan Penyebut Bentuk akar
Kita tahu bahwa bentuk-bentuk akar seperti radic radic radic3 radic7 radic radic Merupakan bilangan irrasional Jika bentuk akar tersebut menjadi penyebut pada suatu pecahan maka dikatakan sebagai penyebut irrasional Penyebut irrasional dapat diubah menjadi bilangan rasional Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan bergantung pada bentuk pacahan itu sendiri Akan tetapi prinsip dasarnya samayaitu mengalikan dengan bentuk akar sekawanya Proses ini dinamakan merasionalkan penyebut
a Merasionalkan bentuk
radic
Bentuk
radic dirasionalkan dengan cara mengalikanya dengan radic
radic
radic
radic radic
radic =
radic
b Merasionalkan bentuk
+radic
radic
radic +radic dan
radic radic
Sebelum kita merasionalkan bentuk-bentuk akar di atasperlu kita pahamibentuk-bentuk campuran bilangan rasional dan bilangan irasional
c Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya
bilangan irrasional Contoh 2 + radic7 7 ( d Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya
bilangan irrasional Contoh 2 + radic7 7 (
pradic119903119899
119902radic119903119902
(119901 119902 radic119903119899
pradic119903119899
119902radic119903119899
(119901 119902 radic119903119899
e Jika bilangan irrasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya bilangan irrasional atau rasional contoh (1)
f jika bilangan rasional dialihkan dengan bilangan irasional maka hasilnya bilangan
irasional contoh 2 x radic = 2radic g jika bilangan irasional dikalikan dengan bilangan irasional maka hasilnya dapat
bilangan rasional atau bilangan irasional h Contoh
radic x radic = radic x 5radic = 25 (25 adalah bilangan rasional)radic
disebut betuk akar
apabila hasil akar a adalah bilangan irasional untuk merasionalkan bentuk
+ radic
radic
radic + radic dan
radic radic
4 Menyederhanakan bentuk radic( radic
sekarang kita akan menyederhanakan bentuk akar yang mempunyai bentuk
khusus yaitu bentuk radic( radic perhatikan proses berikut ini
diskusikan masalah berikut dengan teman mu
a (radic radic ) (radic radic )
b (radic radic ) (radic radic )
dari hasil kegiatan yang kamu lakukan kamu akan memperoleh bentuk
sederhananya menjadi radic( radic
selanjutnya perhatikan contoh berikut
radic8 radic = radic( 3 radic 3
= radic radic 3 3
= radic(radic radic3)
= radic radic3
I Menentukan Konsep Logaritma telinga manusia dapat mendengar suara dengan intensitas yag rentang nya luar
biasa suara paling keras yang dapat didengar oleh orang yang sehat tanpa merusak gendang telinga memiliki intensitas 1 triliun kali lebih kuat dar pada suara paling rendah yang bisa didengar
menghitung intensitas bunyi dengan rentang begitu besar tentu sangat tidak nyaman Namun dengan logaritma perhitungan ini akan menjadi lebih sederhana Logaritma merupakan suatu operasi hitung Alexander Graham Bell (1847-1922) menggunakan logaritma untuk menghitung skala bunyi skala ini dinamakan decibel
dan didefinisikan sebagai
dengan D adalah sekala decibel bunyi I
adalah intensitas bunyi dengan satuan Watt per meter persegi frasl dan
adalah intansitas bunyi paling minimum yang bisa didengar orang yang sehat yaitu
sebagai gambaran berikut ini adalah table intensitas bunyi beberapa objek
Intensitas Bunyi
frasl
Intensitas Bunyi
Ambang batas bawah
pendengaran
Suara Bisik-bisik
3 Percakapan normal
8 Lalu lintas padat
8 3 Pesawat jet lepas landas
J Sifat-sifat Logaritma
Dari definisi 19 logaritma merupakan invers dari perpangkatan oleh karena itu terdapat 3 sifat dasar logaritma yaitu
misalkan a dan n bilangan real a gt 0 dan a maka
sifat- sifat tersebut dapat diturunkan langsung dari definisi logaritma Bebarapa sifat operasi logaritma
a 119886 a a 119886119899 119899
a) Untuk a b dan c bilangan real positif a dan b gt 0 belaku a (119886119909119888 a 119887 a 119888
b) Untuk a b dan c bilangan real dengan a gt 0 a dan bgt 0
berlaku a 119887
119888 = a 119887 a 119888
c) Untuk ab dan n bilangan real agt 0 b gt 0 a berlaku a 119887119899 = n a 119887
d) Untuk a b dan c bilangan real positif 119886 119887 119889119886119899 119888
berlaku alog b log119887119888
log119886119888 =
log119886119899
e) Untuk a b dan c bilangan real positif dengan 119886 119889119886119899 119888 berlaku a 119887 119909 a 119888 = a 119888
f) Untuk a dan b bilangan real positif dengan 119886 berlaku an 119887119899 119899
119898
(alog b) dengan mn bilangan bulat dan m 0 g) untuk a dan b bilangan real positif a 1 berlaku aalogb = b
BAB II BARISAN DAN DERET
A Pengertian Barisan dan Deret
1 Pola Bilangan dan Barisan Pola bilangan sering di jumpai dalam kehidupan sehari-hari misalnya pada
suatu perjamuan ketika belum ada tamu yang datang maka tuan rumah tidak berjabat tangan Jika satu tamu datang maka terjadi 1 kali jabat tangan jika kemudian ada 1 tamu lagi yang datang maka terjadi 3 kali jabat tangan Berikut adalah pola bilangan yang dapat terbentuk
Banyak orang
Banyak Jabat Tangan 1 0 = 0 2 0 + 1 = 1 3 0 + 1 + 2 = 3 n 0 + 1 + 2 + + ( n ndash 1 )
Contoh soal Ada 10 orang tamu + 1 tuan rumah berapa banyak jabat tangan yang mungkin
terjadi Banyak jabat tangan = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 kali
jabat tangan
2 Barisan Bilangan Barisan bilangan adalah susunan bilangan ndash bilangan yang memiliki aturan
tertentu dan di pisahkan dengan koma
Contoh soal 3 7 9 rarr B c 11 8 5 2 - rarr B c -3 Tentukan tiga suku pertama pada barisan yang suku umumnya di rumuskan
dengan n 9
Jawab n 9 9 9 3 3 9
Bentuk umum
119880119899 119880 119880 119880
119880 119880 119880
3 Deret Bilangan Jumlah suku-suku dari suatu barisan di sebut deret Bentuk umumnya adalah
sebagai berikut
Contoh Deret bilangan genap 2 + 4 + 6 + 8 + Deret bilangan persegi panjang 2 + 6 + 12 + 20 + Deret bilangan kubik 3
B Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika
1 Barisan Aritmatika Perhatikan penggaris ukuran 30 cm Pada penggaris tersebut terdapat bilangan
berurutan 0 1 2 3 4 30 Setiap bilangan berurutan pada penggaris ini mempunyai jarak yang sama yaitu 1 cm Jarak antar bilangan berurutan menunjukan selisih antar bilangan Bilangan ndash bilangan berurutan seperti padda penggaris memiliki selisih yang sama untuk setiap dua suku berurutannya sehingga membentuk suatu barisan bilangan Barisan bilangan seperti ini di sebut barisan aritmatika dengan selisih setiap dua suku berurutannya yang disebut beda
Bentuk umum
Pada barisan aritmatika berlaku
Contoh Tentukan beda dari suku-suku di bawah ini
a 4 7 10 13 b -10 -6 -2 2
Jawab a Beda = 7 ndash 4 = 3 b Beda = -6 ndash (-10) = 4
2 Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika
Suku ke-n Barisan Aritmatika adalah
Keterangan
119880 119880 119880 119880119899
119880119894
119899
119894
119880 119880 119880 119880119899 119886119905119886119906 119886 (119886 119887 (119886 119887 (119886
(119899 119887
119880119899 119880119899 119887
119880 119880 119887119880
119880119899 119880119899 119887
119880119899 119886 (119899 119887
Sehingga
n = Suku ke ndash n a = Suku pertama b = Beda n = Banyaknya suku
Contoh 1
Tentukan suku pertama beda dan suku ke-10 dari barisan 4 7 10 13
Jawab a = 4 b = 7 ndash 4 = 3 n ( ( 3 3
Contoh 2
Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 24 a Tentukan beda dan jenis barisan dari barisan aritmetika tersebut b Tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut Jawab Diketahui
suku pertama = a = 6 suku ketujuh = U7 = 36
a Untuk menentukan beda Un = a + (n 1) b maka U7 = 6 + (7 1) b 36 = 6 + 6 b 36 6 = 6 b 30 = 6 b b = 5
Jadi beda pada barisan itu adalah 5 Oleh karena b gt 0 barisan aritmetika tersebut merupakan barisan aritmetika naik
b Dengan suku pertama 6 dan beda 5 diperoleh barisan aritmetika sebagai
berikut 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51
Contoh 3 D m 8 3 7 7 Tentukan rumus suku ke-n yang berlaku pada barisan tersebut Jawab Diketahui a = U1 = 8
b = U2 U1 = 3 ( 8 = 3 8 = 5
Jadi rumus umum yang berlaku pada barisan tersebut adalah
Un = a + (n 1) b = 8 (n 1) 5 = 8 n 5 = 5n ndash 13
Contoh 4 Diketahui barisan bilangan asli kurang dari 125 Tentukan banyak bilangan yang a habis dibagi 2 b habis dibagi 5 c habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 Penyelesaian Barisan bilangan itu adalah 1 2 3 4 124 a Barisan bilangan yang habis dibagi 2 adalah 2 4 6 8 124 b Barisan bilangan yang habis dibagi 5 adalah 5 10 15 20 120 c Barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah
anggota penyelesaian pertanyaan bagian a dikurangi anggota penyelesaian pertanyaan b
Jadi barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah 2 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28 32 118 122 124
3 Suku Tengah Barisan Aritmatika ( Uk ) Barisan nuntuk n ganjil Maka dapat di rumuskan sebagai berikut
Contoh Di ketahui barisan aritmatika 3 9 15 21 117 Tentukan suku tengahnya
Jawab
n
+
= 60
4 Sisipan pada Barisan Aritmatika
Jika di antara 2 bilangan a dan Un di sisipkan bilangan a Un K bilangan
Maka setelah di sisipi k bilangan banyaknya suku pada barisan ada (k+2)=n n (
Pada barisan baru berlaku
119880119896 119880119899 119886
Un = a + ( k + 2 ndash 1 )b Un = a + ( k + 1 )b
Contoh
Di antara bilangan 6 dan 24 di sisipkan 8 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika Tentukan bedanya
Jawab a = 6 Un = 24 k = 8
b = n
+ =
+
5 Deret Aritmatika
Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika Jika U1 U2 U3 Un adalah barisan aitmatika maka U1 +U2 + U3 Un merupaka deret aritmatika Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan Sn
Sn =U1 +U2 + U3 Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah
atau
Contoh 1 Di ketahui deret aritmatika 4 + 8 + 12 + 16 + Hitung jumlah 25 suku
pertama Jawab
Sn =
( (
S25=
( (
S25= 1300
Contoh 2 Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 Penyelesaian Diketahui a = 51 b = 2 dan Un = 99 Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100 pertama-tama kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100 yaitu n Dengan menggunakan rumus
Un = a + (n ndash 1) b 99 = 51 + (n ndash 1)(2) 99 = 51 + 2n ndash 2 99 = 49 + 2n 2n = 99 ndash 49 n = 25
Sn =
119899 ( 119886 119880119899 Sn =
119899 ( 119886 ( 119899 119887
Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika
Sn =
( (
diperoleh
S25 =
25 [2(51) + (25 -1)(2)]
= 25(51 + 24) = 25(75) = 1875
Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1875
C Barisan Geometri dan Deter Geometri 1 Barisan Geometri
Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1 U2 U3 U4 n-1 Un
Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke ndash n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ) ditulis
D m
Misalkan suku pertama sama dengan a rasio sama dengan r maka U1 U2 U3 Un
a ar ar2 n ndash 1 Dengan demikian rumus suku ke ndash n barisan geometri adalah Contoh
Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32 Tentukan
a suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut b suku kesembilan barisan geometri tersebut
Jawab Diketahui
U4 = 4 dan U7 = 32 Un = arn ndash 1 maka U4 = ar3 = 4 (1)
U7 = ar6 = 32 (2)
Dari persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a = 4r3 (3)
Subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) ar6 = 32 maka 4r3 = 32
Un = arn-1
r =
minus
r3 = 8 r = 2
Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a(2)3 = 4 a 8 = 4 a = frac12
Jadi suku pertamanya adalah 12 dan rasionya adalah 2 2 Rumus Suku Tengah Barisan Geometri
Suatu barisan geometri dengan n suku n bilangan ganjil maka suku tengah ( Uk ) dinyatakan sebagai berikut
Contoh Di ketahui Barisan Geometri 2 8 32 8192 Tentukan suku tengahnya Jawab
a = 2 Un = 8192
Uk = radic n
Uk = radic 8 9 8
3 Sisipan pada Barisan Geometri Pada barisan geometri a Un disisipkan k suku
K suku
Pada barisan geometri baru banyaknya suku adalah ( k + 2 ) Jadi
Contoh
Di antara bilangan
dan 64 disisipkan 7 bilangan sehingga menjadi barisan
geometri Tentukan rasio Jawab
r = radic
r = radic
r = radic
r = radic
= 2
Uk = radic 119899
Un = arn-1 rarr Un = ar(k+2-1) rarrUn = ark+1
rarrr = radic
4 Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku ndash suku barisan geometri Jika U1 U2 U3 U4 n-1 Un adalah barisan geometri maka U1 +U2 + U3 + Unmerupaka deret geometri Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn =U1 +U2 Un-1 + Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah
Contoh Tentukan jumlah ke 6 deret geometri berikut 2 + (-10) + 50 + + (-6250)
Jawab
1
1
r
raS
n
n
15
1)5(2 6
nS
6
156242
nS
5208nS
5 Deret Geometri Tak Hingga
Jika suatu deret geometri Sn =U1 +U2 Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga makaderet geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan
Sinfin =U1 +U2 Un-1
Jika
rkarena
r
raitSmakar
n
n
1
1lim1
Jika
011
1lim1 mendekatirkarena
r
a
r
raitSmakar
n
n
Sehingga rumus jumlah deret geometri takhingga untuk 01 adalahrr
Contoh 1 Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut
a 1 + 12 + 14 + 18 +
b + +
+
+
Jawab
a 1 + 12 + 14 + 18 + Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = frac12 sehingga
b + +
+
+
Perhatikan deret 2 + 1 + 12 + 14 + Dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r = frac12
Jadi + +
+
+ = = 16
Contoh 2
Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4 Carilah rasionya
Penyelesaian
Dari soal di atas unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan Sinfin = 4
Kita substitusikan ke dalam rumus Sinfin
harr 1 ndash r = frac12 harr r = frac12
Jadi rasionya adalah frac12
6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk
barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri
Barisan dan Deret Geometri Contoh 1
Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah
a banyaknya kursi pada baris ke-10
b banyaknya kursi dalam gedung itu
Penyelesain
a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66
Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika
Deret tak hingga genap
Sn = 119834119851
120783 119851120784 untuk bilangan genap
Deret tak hingga ganjil Sn = 119834
120783 119851120784 untuk
bilangan ganjil
Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b
Sn =
( n
Un = arn-1
S10 =
( 3
= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2
Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan
kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai
tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang
PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun
tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak
Arman padaakhir tahun 2005
Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir
tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap
Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari
Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-
BAB III STATISTIK DAN PELUANG
A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika
1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari
suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum
Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x
2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu
keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang
pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan
c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi
3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota
populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)
b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti
B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa
yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang
Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut
Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah
2005 866 8081 8947
2006 1087 11226 12313
2007 1500 16400 17900
2008 1709 20001 21710
2009 2010 25195 27205
Diagram batang tegak
2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan
Tahun Impor (dalam kuintal)
2004 9500
2005 4000
2006 4500
2007 10500
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
2005 2006 2007 2008 2009
Jumlah
Jumlah
2008 1500
2009 2000
3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah
lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan
b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut
Mata Pencaharian Frekuensi
Petani 90
Peternak 10
Pedagang 120
Guru 50
Karyawan 30
Jumlah 300
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
2004 2005 2006 2007 2008 2009
Impor
Impor
Mata
Pencaharian
Besar Sudut Juring Presentase
Petani
9
3 3
8
9
3
3
Peternak
3 3
3
3 33
Pedagang
3 3
3
Guru
3 3
3
7
Karyawan 3
3 3 3
3
3
Diagram Lingkaran
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Petani 108 Guru 60
Pedagang 144
Karyawan 36
Peternak 12
c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok
Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval
menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap
kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap
kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data
a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan
seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas
kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas
dirumuaskan
Panjang kelas ng n
n l
Diagram Pastel
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Pedagang 144
Petani 108 Guru
60
Tabel distribusi Nilai frekuensi
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
2) Histogram dan Poligon
Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram
3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan
menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo
Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika
Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
335
385
435
485
535
585
385
435
485
535
585
635
Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f
Nilai f le
le38
le 3
le 8
le 3
le 8
le 3
2
9
16
24
29
32
Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f
Nilai f ge
ge33
ge38
ge 3
ge 8
ge 3
32
30
23
16
8
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
ge 8 3
C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat
data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit
Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok
1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)
Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal
m m m y m
y y m y m
n atau
sum
n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data
nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus
g
Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan
seterusnya Contoh
Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut
Jawab
g
39
39
9 9 90
Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90
c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka
M data ke n+
Jika banyak data genap maka
M
d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus
Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus
Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10
Mean
n
+ + + + + + +
7
Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap
M
8
8
M
M 7 8
M 7
Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling
sering muncul yaitu sebanyak 3 kali
2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)
Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut
sum f
n
sum f n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i
b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut
M L (
f
f
)
Keterangan
L = tepi bawah kelas median n = banyak data f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
p = panjang kelas c Modus
Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut
Mo L
Keterangan
L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas
contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa
31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94
Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus
Jawab 1 Distribusi frekuensi
Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68
Lebar kelas
9 7
Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1
31-40 2 2 355 71
41-50 3 5 455 1365
51-60 5 10 555 2775
61-70 7 17 655 4585
71-80 11 28 755 8305
81-90 6 34 855 513
91-100 6 40 955 573
Jumlah 40 2860
Mean
sum f n
sum f n
8
7
Median
M L (
f
f
)
M 7 (
7
)
M 7 7
M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3
Modus
Mo L
Mo 7
Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9
D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal
a Kuartil
Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil
1) Kuartil pertamabawah (Q1)
Q1 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
2) Kuartil keduatengah (Q2)
Q2 membagi data terurut menjadi
atau
bagian
Dengan kata lain Q2 merupakan median data
3) Kuartil ketigatengah (Q3)
Q3 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
3(
3
4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga
(
5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut
(
6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data
a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
b Desil dan persentil
Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil
Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut
D
(
Keterangan i =123 9
n= ukuran data
Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
(
Keterangan i =123 99
n= ukuran data
2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil
1) Kuartil pertama (Q1)
L (
f
f
)
2) Kuartil kedua (Q2)
L (
f
f
)
3) Kuartil ketiga (Q3)
L (
3 f
f
)
Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123
f = frekuensi kelas kuartil i = 123
n = banyak kelas
p = panjang kelas b Desil dan Persentil
Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut
D L (
f
f
)
Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f
= frekuensi kelas desil ke-i
p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
L (
f f
)
L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f
= frekuensi kelas persentil ke-i
p = panjang kelas
3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan
Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil
n Keterangan
R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil
b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)
c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil
(
d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan
L
(
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
KATA PENGANTAR
حيمالر اللهبسم ا حمن الر
Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberikan kehidupan bagi kita
dan memberkahi kita dengan hidayah dan karunia-Nya yang begitu melimpah
Shalawat serta salam tetap tercurah kepada Nabi Besar Muhammad SAW
yang selalu menjadi panutan untuk kehidupan semua umat Islam
Adapun isi bahan ajar ini meliputi materi Eksponen dan Logaritma
Barisan dan Deret serta Statistik dan Peluang Semoga bahan ajar ini dapat
memberikan manfaat dalam bidang pendidikan khususnya dalam
pembelajaran Telaah Kurikulum dan Matematka SMA 1 bagi mahasiswa
Pendidikan Matematika
Metro September 2015
Penyusun
BAB I EKSPONEN DAN LOGARITMA
A Menemukan konsep eksponen
Untuk menentukan konsep eksponen kita selesaikan masalah yang disajikan dibawah ini secara berkelanjutankita lebih dahulu berusaha memikirkan berupaya mencari ide-ide kreatif berdiskusi mencoba memecahkan masalah di dalam kelompok belajar Dari beberapa model matematika yang melibatkan eksponen Kalian secara individu menuliskan ciri-ciri eksponen dan mendiskusikan hasilnya dengan teman kalianBerdasarkan ciri-ciri tersebut kalian menuliskan konsep eksponen dengan pemahaman sendiri
Masalah 11
Seorang peneliti bidang mikrobiologi di sebuah lembaga penelitian sedang mengamati pertumbuhan suatu bakteri di sebuah laboratorium mikrobiologi Pada kultur bakteri tersebut satu bakteri membelah jadi r bakteri setiap jam Hasil pengamatan menunjukkan bahwa jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 10000 bakteri dan setelah 2 jam kemudian jumlah bakteri tersebut menjadi 40000 bakteriPenelitian tersebut ingin mengetahui banyak bakteri sebagai hasil pembelajaran dan mencari tahu banyak bakteri dalam waktu 8 jam Alternatif Penyelesaian Diketahui Satu bakteri membelah menjadi r bakteri untuk setiap jam Jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 10000 bakteri dan setelah 2 jam kemudian jumlahnya menjadi 40000 bakteri Ditanya a Berapa banyak bakteri sebagai hasil pembelahan b Berapa jumlah bakteri dala waktu 8 jam
Sebagai langkah awal buat tabel laju pertumbuhan bakteri terhadap waktu setiap jam Misalkan jumlah bakteri pada awalnya ( t = 0 ) adalah
Jam ke-t 0 1
Jumlah bakteri ( r
Dari hasil pengamatn data pada tabel di ataskita dapat membuat
hubungan pertumbuhan jumlah bakteri ( terhadap pertumbuhan waktu (t)
= r atau secara singkat ditulis (1)
t dalam jam adalah jumlah bakteri saat t=0 dan r adalah bakteri setelah pembelahan terjadi pada setiap jam setelah 5 jam terdapat 40000 bakteri kita subtitusi ke formula di atas maka diperoleh = 10000 dan 40000
r=2
Jadi penelitian tersebut menemukan bahwa setiap jam 1 bakteri membelah menjadi 2 bakteri Untuk mendapatkan banyak bakteri pada awalnya atau t=0 subtitusi r = 2 ke pesamaan = 10000 sehingga 8 0000 dengan demikian Subtitusikan = 1250 ke persamaan (1) pola pertumbuhan tersebut dinyatakan
( ( = 320000
Jadi setelah 8 jam peneliti mendapatkan jumlah bakteri sudah mencapai 320000 bakteri
B Pangkat Bulat negatif Untuk a bilangan real dan a m bilngan bulat positif didefinisikan
Contoh
Jika nilai x = 2 dan y = 2 tentukan nilai ( Penyelesaian
(
(
C Pangkat Nol
Untuk a bilangan real dan a maka Untuk lebih memahami definisi di atas perhatikan pola hasil pemangkatan bilangan-bilangan berikut dengan bilangan 0
D Sifat-sifat pangkat Bulat Positif
119886119898
119886
8 3 7 3 9 3 3 3
1 Jika 119886 bilangan real m dan n bilangan bulat positif maka
119886119898 119886119899 119886119898+119899
2 Jika 119886 bilangan real m dan 119886 119898119886119896119886 119886119898
119886119899 119886119898 119899
3 Jika 119886 bilangan real dan 119886 m dan n bilangan bulat
positif maka (119886119898 119899 119886119898 119899
E Pangkat Pecahan Selanjutnya kita akan analisis sifat perpangkatan bilangan real dengan pangkat
pecahan Misalkan a bilangan real dan a m n bilangan bulat positif didefinisikan
F Bentuk Akar Pengakaran (penarikan akar) suatu bilangan merupakan inversi dari
pemangkatan suatu bilanganakar dilabangkan notasi radic
Akar ke n atau akar
pangkat n dari suatu bilangan a dituliskan sebagai radic dengan adalah bilangan
pokok basis dan n adalah indekseksponen akarBentuk akar dapat diubah menjadi bentuk pangkat dan sebaliknya Sebelum mempelajari bentuk akar kita harus memahami konsep bilangan rasional dan irasional terlebih dahulu
Bilangan rasional berbeda dengan bilnagan irasional Bilangan rasional adalah
bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk
dengan a dan b bilangan bulat dan b
bilangan rasional terdiri atas bilangan bulat bilangan bilngan pecahan murni dan bilangan pecahan desimal sedangkan bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan Bilangan irasional merupakan bilangan yang mengandung pecahan desimal tak terhingga dan tak berpola Contoh bilangan
irrasional misalnya radic 3 373 dan sebagainya
Misalkan a bilangan real dan n bilangan positif radic
disebut bentuk akar jika dan
hanya jika hasil radic
adalah bilangan irrasional
Bilangan irrasional yang menggunakan tanda akar (radic) dinamakan bentuk akar tetapi ingattidk semua bilangan yang berada dalam tanda akar merupakan bilangan
irrasional Contoh radic dan radic bukan bentuk akar karena nilai dari radic adalah 5
dan nilai radic adalah 8 keduanya bukan bilangan irrasional Agar lebih jelas perhatikan cocntoh berikut
1 radic
2 radic 7
adalah bukan bentuk akar karena radic 7
= 3
G Hubungan Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Perlu diketahui bahwa berpangkat memiliki hubungan dengan bentuk akar Jika a
adalah bilangan real dan a dengan a 0
dan
adalah bilangan pecahan n
a dan adalah bilangan pecahan n maka
=(
Perrhatikan bahwa
dan perlihatkan bahwa
radic radic sehingga dapat disimpulkan
radic
erhatikan untuk kasus di bawah ini
119886119898119899
119886
119898
Sifat-sifat pangkat pecahan Misalkan a adalah bilangan real dan a
p
n
119898
119899 adalah bilangan pecahan
n jika nqge 2 maka 119886119898
119899 119886119901
119902 = 119886119898
119899 119901
119902
+
+
=
radic radic radic sehingga dapat disimpulkan
radic
H Operasi Pada bentuk Akar 1 Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar
operasi penjumlahandan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan apabila bentuk akarnya senama Bentuk akar senama adalah bentuk akar yang mempunyai ekspone dan basis sma Untuk setiap pq dan r adalah bilangan real dan r ge berlaku sifat-sifat berikut
contoh
a 3radic radic = (3+4)radic
= 7radic
b radic radic3 ( tidak dapat diselesaikan karena akarnya tidak senama )
2 Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar
Pada pangkat pecahan telah dinyatakan bahwa
radic sifat perkalian dan
pembagian bentuk akar dapat dicermati pada beberapa contoh berikut Contoh
a radic8
radic
=
= =2
b radic
radic =
radic
3 Merasionalkan Penyebut Bentuk akar
Kita tahu bahwa bentuk-bentuk akar seperti radic radic radic3 radic7 radic radic Merupakan bilangan irrasional Jika bentuk akar tersebut menjadi penyebut pada suatu pecahan maka dikatakan sebagai penyebut irrasional Penyebut irrasional dapat diubah menjadi bilangan rasional Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan bergantung pada bentuk pacahan itu sendiri Akan tetapi prinsip dasarnya samayaitu mengalikan dengan bentuk akar sekawanya Proses ini dinamakan merasionalkan penyebut
a Merasionalkan bentuk
radic
Bentuk
radic dirasionalkan dengan cara mengalikanya dengan radic
radic
radic
radic radic
radic =
radic
b Merasionalkan bentuk
+radic
radic
radic +radic dan
radic radic
Sebelum kita merasionalkan bentuk-bentuk akar di atasperlu kita pahamibentuk-bentuk campuran bilangan rasional dan bilangan irasional
c Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya
bilangan irrasional Contoh 2 + radic7 7 ( d Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya
bilangan irrasional Contoh 2 + radic7 7 (
pradic119903119899
119902radic119903119902
(119901 119902 radic119903119899
pradic119903119899
119902radic119903119899
(119901 119902 radic119903119899
e Jika bilangan irrasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya bilangan irrasional atau rasional contoh (1)
f jika bilangan rasional dialihkan dengan bilangan irasional maka hasilnya bilangan
irasional contoh 2 x radic = 2radic g jika bilangan irasional dikalikan dengan bilangan irasional maka hasilnya dapat
bilangan rasional atau bilangan irasional h Contoh
radic x radic = radic x 5radic = 25 (25 adalah bilangan rasional)radic
disebut betuk akar
apabila hasil akar a adalah bilangan irasional untuk merasionalkan bentuk
+ radic
radic
radic + radic dan
radic radic
4 Menyederhanakan bentuk radic( radic
sekarang kita akan menyederhanakan bentuk akar yang mempunyai bentuk
khusus yaitu bentuk radic( radic perhatikan proses berikut ini
diskusikan masalah berikut dengan teman mu
a (radic radic ) (radic radic )
b (radic radic ) (radic radic )
dari hasil kegiatan yang kamu lakukan kamu akan memperoleh bentuk
sederhananya menjadi radic( radic
selanjutnya perhatikan contoh berikut
radic8 radic = radic( 3 radic 3
= radic radic 3 3
= radic(radic radic3)
= radic radic3
I Menentukan Konsep Logaritma telinga manusia dapat mendengar suara dengan intensitas yag rentang nya luar
biasa suara paling keras yang dapat didengar oleh orang yang sehat tanpa merusak gendang telinga memiliki intensitas 1 triliun kali lebih kuat dar pada suara paling rendah yang bisa didengar
menghitung intensitas bunyi dengan rentang begitu besar tentu sangat tidak nyaman Namun dengan logaritma perhitungan ini akan menjadi lebih sederhana Logaritma merupakan suatu operasi hitung Alexander Graham Bell (1847-1922) menggunakan logaritma untuk menghitung skala bunyi skala ini dinamakan decibel
dan didefinisikan sebagai
dengan D adalah sekala decibel bunyi I
adalah intensitas bunyi dengan satuan Watt per meter persegi frasl dan
adalah intansitas bunyi paling minimum yang bisa didengar orang yang sehat yaitu
sebagai gambaran berikut ini adalah table intensitas bunyi beberapa objek
Intensitas Bunyi
frasl
Intensitas Bunyi
Ambang batas bawah
pendengaran
Suara Bisik-bisik
3 Percakapan normal
8 Lalu lintas padat
8 3 Pesawat jet lepas landas
J Sifat-sifat Logaritma
Dari definisi 19 logaritma merupakan invers dari perpangkatan oleh karena itu terdapat 3 sifat dasar logaritma yaitu
misalkan a dan n bilangan real a gt 0 dan a maka
sifat- sifat tersebut dapat diturunkan langsung dari definisi logaritma Bebarapa sifat operasi logaritma
a 119886 a a 119886119899 119899
a) Untuk a b dan c bilangan real positif a dan b gt 0 belaku a (119886119909119888 a 119887 a 119888
b) Untuk a b dan c bilangan real dengan a gt 0 a dan bgt 0
berlaku a 119887
119888 = a 119887 a 119888
c) Untuk ab dan n bilangan real agt 0 b gt 0 a berlaku a 119887119899 = n a 119887
d) Untuk a b dan c bilangan real positif 119886 119887 119889119886119899 119888
berlaku alog b log119887119888
log119886119888 =
log119886119899
e) Untuk a b dan c bilangan real positif dengan 119886 119889119886119899 119888 berlaku a 119887 119909 a 119888 = a 119888
f) Untuk a dan b bilangan real positif dengan 119886 berlaku an 119887119899 119899
119898
(alog b) dengan mn bilangan bulat dan m 0 g) untuk a dan b bilangan real positif a 1 berlaku aalogb = b
BAB II BARISAN DAN DERET
A Pengertian Barisan dan Deret
1 Pola Bilangan dan Barisan Pola bilangan sering di jumpai dalam kehidupan sehari-hari misalnya pada
suatu perjamuan ketika belum ada tamu yang datang maka tuan rumah tidak berjabat tangan Jika satu tamu datang maka terjadi 1 kali jabat tangan jika kemudian ada 1 tamu lagi yang datang maka terjadi 3 kali jabat tangan Berikut adalah pola bilangan yang dapat terbentuk
Banyak orang
Banyak Jabat Tangan 1 0 = 0 2 0 + 1 = 1 3 0 + 1 + 2 = 3 n 0 + 1 + 2 + + ( n ndash 1 )
Contoh soal Ada 10 orang tamu + 1 tuan rumah berapa banyak jabat tangan yang mungkin
terjadi Banyak jabat tangan = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 kali
jabat tangan
2 Barisan Bilangan Barisan bilangan adalah susunan bilangan ndash bilangan yang memiliki aturan
tertentu dan di pisahkan dengan koma
Contoh soal 3 7 9 rarr B c 11 8 5 2 - rarr B c -3 Tentukan tiga suku pertama pada barisan yang suku umumnya di rumuskan
dengan n 9
Jawab n 9 9 9 3 3 9
Bentuk umum
119880119899 119880 119880 119880
119880 119880 119880
3 Deret Bilangan Jumlah suku-suku dari suatu barisan di sebut deret Bentuk umumnya adalah
sebagai berikut
Contoh Deret bilangan genap 2 + 4 + 6 + 8 + Deret bilangan persegi panjang 2 + 6 + 12 + 20 + Deret bilangan kubik 3
B Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika
1 Barisan Aritmatika Perhatikan penggaris ukuran 30 cm Pada penggaris tersebut terdapat bilangan
berurutan 0 1 2 3 4 30 Setiap bilangan berurutan pada penggaris ini mempunyai jarak yang sama yaitu 1 cm Jarak antar bilangan berurutan menunjukan selisih antar bilangan Bilangan ndash bilangan berurutan seperti padda penggaris memiliki selisih yang sama untuk setiap dua suku berurutannya sehingga membentuk suatu barisan bilangan Barisan bilangan seperti ini di sebut barisan aritmatika dengan selisih setiap dua suku berurutannya yang disebut beda
Bentuk umum
Pada barisan aritmatika berlaku
Contoh Tentukan beda dari suku-suku di bawah ini
a 4 7 10 13 b -10 -6 -2 2
Jawab a Beda = 7 ndash 4 = 3 b Beda = -6 ndash (-10) = 4
2 Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika
Suku ke-n Barisan Aritmatika adalah
Keterangan
119880 119880 119880 119880119899
119880119894
119899
119894
119880 119880 119880 119880119899 119886119905119886119906 119886 (119886 119887 (119886 119887 (119886
(119899 119887
119880119899 119880119899 119887
119880 119880 119887119880
119880119899 119880119899 119887
119880119899 119886 (119899 119887
Sehingga
n = Suku ke ndash n a = Suku pertama b = Beda n = Banyaknya suku
Contoh 1
Tentukan suku pertama beda dan suku ke-10 dari barisan 4 7 10 13
Jawab a = 4 b = 7 ndash 4 = 3 n ( ( 3 3
Contoh 2
Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 24 a Tentukan beda dan jenis barisan dari barisan aritmetika tersebut b Tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut Jawab Diketahui
suku pertama = a = 6 suku ketujuh = U7 = 36
a Untuk menentukan beda Un = a + (n 1) b maka U7 = 6 + (7 1) b 36 = 6 + 6 b 36 6 = 6 b 30 = 6 b b = 5
Jadi beda pada barisan itu adalah 5 Oleh karena b gt 0 barisan aritmetika tersebut merupakan barisan aritmetika naik
b Dengan suku pertama 6 dan beda 5 diperoleh barisan aritmetika sebagai
berikut 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51
Contoh 3 D m 8 3 7 7 Tentukan rumus suku ke-n yang berlaku pada barisan tersebut Jawab Diketahui a = U1 = 8
b = U2 U1 = 3 ( 8 = 3 8 = 5
Jadi rumus umum yang berlaku pada barisan tersebut adalah
Un = a + (n 1) b = 8 (n 1) 5 = 8 n 5 = 5n ndash 13
Contoh 4 Diketahui barisan bilangan asli kurang dari 125 Tentukan banyak bilangan yang a habis dibagi 2 b habis dibagi 5 c habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 Penyelesaian Barisan bilangan itu adalah 1 2 3 4 124 a Barisan bilangan yang habis dibagi 2 adalah 2 4 6 8 124 b Barisan bilangan yang habis dibagi 5 adalah 5 10 15 20 120 c Barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah
anggota penyelesaian pertanyaan bagian a dikurangi anggota penyelesaian pertanyaan b
Jadi barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah 2 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28 32 118 122 124
3 Suku Tengah Barisan Aritmatika ( Uk ) Barisan nuntuk n ganjil Maka dapat di rumuskan sebagai berikut
Contoh Di ketahui barisan aritmatika 3 9 15 21 117 Tentukan suku tengahnya
Jawab
n
+
= 60
4 Sisipan pada Barisan Aritmatika
Jika di antara 2 bilangan a dan Un di sisipkan bilangan a Un K bilangan
Maka setelah di sisipi k bilangan banyaknya suku pada barisan ada (k+2)=n n (
Pada barisan baru berlaku
119880119896 119880119899 119886
Un = a + ( k + 2 ndash 1 )b Un = a + ( k + 1 )b
Contoh
Di antara bilangan 6 dan 24 di sisipkan 8 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika Tentukan bedanya
Jawab a = 6 Un = 24 k = 8
b = n
+ =
+
5 Deret Aritmatika
Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika Jika U1 U2 U3 Un adalah barisan aitmatika maka U1 +U2 + U3 Un merupaka deret aritmatika Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan Sn
Sn =U1 +U2 + U3 Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah
atau
Contoh 1 Di ketahui deret aritmatika 4 + 8 + 12 + 16 + Hitung jumlah 25 suku
pertama Jawab
Sn =
( (
S25=
( (
S25= 1300
Contoh 2 Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 Penyelesaian Diketahui a = 51 b = 2 dan Un = 99 Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100 pertama-tama kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100 yaitu n Dengan menggunakan rumus
Un = a + (n ndash 1) b 99 = 51 + (n ndash 1)(2) 99 = 51 + 2n ndash 2 99 = 49 + 2n 2n = 99 ndash 49 n = 25
Sn =
119899 ( 119886 119880119899 Sn =
119899 ( 119886 ( 119899 119887
Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika
Sn =
( (
diperoleh
S25 =
25 [2(51) + (25 -1)(2)]
= 25(51 + 24) = 25(75) = 1875
Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1875
C Barisan Geometri dan Deter Geometri 1 Barisan Geometri
Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1 U2 U3 U4 n-1 Un
Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke ndash n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ) ditulis
D m
Misalkan suku pertama sama dengan a rasio sama dengan r maka U1 U2 U3 Un
a ar ar2 n ndash 1 Dengan demikian rumus suku ke ndash n barisan geometri adalah Contoh
Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32 Tentukan
a suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut b suku kesembilan barisan geometri tersebut
Jawab Diketahui
U4 = 4 dan U7 = 32 Un = arn ndash 1 maka U4 = ar3 = 4 (1)
U7 = ar6 = 32 (2)
Dari persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a = 4r3 (3)
Subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) ar6 = 32 maka 4r3 = 32
Un = arn-1
r =
minus
r3 = 8 r = 2
Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a(2)3 = 4 a 8 = 4 a = frac12
Jadi suku pertamanya adalah 12 dan rasionya adalah 2 2 Rumus Suku Tengah Barisan Geometri
Suatu barisan geometri dengan n suku n bilangan ganjil maka suku tengah ( Uk ) dinyatakan sebagai berikut
Contoh Di ketahui Barisan Geometri 2 8 32 8192 Tentukan suku tengahnya Jawab
a = 2 Un = 8192
Uk = radic n
Uk = radic 8 9 8
3 Sisipan pada Barisan Geometri Pada barisan geometri a Un disisipkan k suku
K suku
Pada barisan geometri baru banyaknya suku adalah ( k + 2 ) Jadi
Contoh
Di antara bilangan
dan 64 disisipkan 7 bilangan sehingga menjadi barisan
geometri Tentukan rasio Jawab
r = radic
r = radic
r = radic
r = radic
= 2
Uk = radic 119899
Un = arn-1 rarr Un = ar(k+2-1) rarrUn = ark+1
rarrr = radic
4 Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku ndash suku barisan geometri Jika U1 U2 U3 U4 n-1 Un adalah barisan geometri maka U1 +U2 + U3 + Unmerupaka deret geometri Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn =U1 +U2 Un-1 + Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah
Contoh Tentukan jumlah ke 6 deret geometri berikut 2 + (-10) + 50 + + (-6250)
Jawab
1
1
r
raS
n
n
15
1)5(2 6
nS
6
156242
nS
5208nS
5 Deret Geometri Tak Hingga
Jika suatu deret geometri Sn =U1 +U2 Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga makaderet geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan
Sinfin =U1 +U2 Un-1
Jika
rkarena
r
raitSmakar
n
n
1
1lim1
Jika
011
1lim1 mendekatirkarena
r
a
r
raitSmakar
n
n
Sehingga rumus jumlah deret geometri takhingga untuk 01 adalahrr
Contoh 1 Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut
a 1 + 12 + 14 + 18 +
b + +
+
+
Jawab
a 1 + 12 + 14 + 18 + Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = frac12 sehingga
b + +
+
+
Perhatikan deret 2 + 1 + 12 + 14 + Dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r = frac12
Jadi + +
+
+ = = 16
Contoh 2
Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4 Carilah rasionya
Penyelesaian
Dari soal di atas unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan Sinfin = 4
Kita substitusikan ke dalam rumus Sinfin
harr 1 ndash r = frac12 harr r = frac12
Jadi rasionya adalah frac12
6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk
barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri
Barisan dan Deret Geometri Contoh 1
Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah
a banyaknya kursi pada baris ke-10
b banyaknya kursi dalam gedung itu
Penyelesain
a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66
Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika
Deret tak hingga genap
Sn = 119834119851
120783 119851120784 untuk bilangan genap
Deret tak hingga ganjil Sn = 119834
120783 119851120784 untuk
bilangan ganjil
Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b
Sn =
( n
Un = arn-1
S10 =
( 3
= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2
Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan
kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai
tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang
PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun
tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak
Arman padaakhir tahun 2005
Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir
tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap
Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari
Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-
BAB III STATISTIK DAN PELUANG
A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika
1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari
suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum
Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x
2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu
keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang
pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan
c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi
3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota
populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)
b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti
B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa
yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang
Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut
Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah
2005 866 8081 8947
2006 1087 11226 12313
2007 1500 16400 17900
2008 1709 20001 21710
2009 2010 25195 27205
Diagram batang tegak
2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan
Tahun Impor (dalam kuintal)
2004 9500
2005 4000
2006 4500
2007 10500
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
2005 2006 2007 2008 2009
Jumlah
Jumlah
2008 1500
2009 2000
3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah
lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan
b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut
Mata Pencaharian Frekuensi
Petani 90
Peternak 10
Pedagang 120
Guru 50
Karyawan 30
Jumlah 300
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
2004 2005 2006 2007 2008 2009
Impor
Impor
Mata
Pencaharian
Besar Sudut Juring Presentase
Petani
9
3 3
8
9
3
3
Peternak
3 3
3
3 33
Pedagang
3 3
3
Guru
3 3
3
7
Karyawan 3
3 3 3
3
3
Diagram Lingkaran
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Petani 108 Guru 60
Pedagang 144
Karyawan 36
Peternak 12
c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok
Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval
menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap
kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap
kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data
a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan
seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas
kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas
dirumuaskan
Panjang kelas ng n
n l
Diagram Pastel
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Pedagang 144
Petani 108 Guru
60
Tabel distribusi Nilai frekuensi
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
2) Histogram dan Poligon
Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram
3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan
menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo
Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika
Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
335
385
435
485
535
585
385
435
485
535
585
635
Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f
Nilai f le
le38
le 3
le 8
le 3
le 8
le 3
2
9
16
24
29
32
Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f
Nilai f ge
ge33
ge38
ge 3
ge 8
ge 3
32
30
23
16
8
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
ge 8 3
C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat
data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit
Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok
1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)
Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal
m m m y m
y y m y m
n atau
sum
n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data
nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus
g
Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan
seterusnya Contoh
Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut
Jawab
g
39
39
9 9 90
Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90
c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka
M data ke n+
Jika banyak data genap maka
M
d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus
Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus
Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10
Mean
n
+ + + + + + +
7
Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap
M
8
8
M
M 7 8
M 7
Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling
sering muncul yaitu sebanyak 3 kali
2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)
Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut
sum f
n
sum f n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i
b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut
M L (
f
f
)
Keterangan
L = tepi bawah kelas median n = banyak data f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
p = panjang kelas c Modus
Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut
Mo L
Keterangan
L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas
contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa
31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94
Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus
Jawab 1 Distribusi frekuensi
Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68
Lebar kelas
9 7
Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1
31-40 2 2 355 71
41-50 3 5 455 1365
51-60 5 10 555 2775
61-70 7 17 655 4585
71-80 11 28 755 8305
81-90 6 34 855 513
91-100 6 40 955 573
Jumlah 40 2860
Mean
sum f n
sum f n
8
7
Median
M L (
f
f
)
M 7 (
7
)
M 7 7
M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3
Modus
Mo L
Mo 7
Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9
D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal
a Kuartil
Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil
1) Kuartil pertamabawah (Q1)
Q1 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
2) Kuartil keduatengah (Q2)
Q2 membagi data terurut menjadi
atau
bagian
Dengan kata lain Q2 merupakan median data
3) Kuartil ketigatengah (Q3)
Q3 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
3(
3
4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga
(
5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut
(
6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data
a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
b Desil dan persentil
Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil
Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut
D
(
Keterangan i =123 9
n= ukuran data
Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
(
Keterangan i =123 99
n= ukuran data
2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil
1) Kuartil pertama (Q1)
L (
f
f
)
2) Kuartil kedua (Q2)
L (
f
f
)
3) Kuartil ketiga (Q3)
L (
3 f
f
)
Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123
f = frekuensi kelas kuartil i = 123
n = banyak kelas
p = panjang kelas b Desil dan Persentil
Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut
D L (
f
f
)
Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f
= frekuensi kelas desil ke-i
p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
L (
f f
)
L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f
= frekuensi kelas persentil ke-i
p = panjang kelas
3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan
Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil
n Keterangan
R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil
b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)
c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil
(
d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan
L
(
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
BAB I EKSPONEN DAN LOGARITMA
A Menemukan konsep eksponen
Untuk menentukan konsep eksponen kita selesaikan masalah yang disajikan dibawah ini secara berkelanjutankita lebih dahulu berusaha memikirkan berupaya mencari ide-ide kreatif berdiskusi mencoba memecahkan masalah di dalam kelompok belajar Dari beberapa model matematika yang melibatkan eksponen Kalian secara individu menuliskan ciri-ciri eksponen dan mendiskusikan hasilnya dengan teman kalianBerdasarkan ciri-ciri tersebut kalian menuliskan konsep eksponen dengan pemahaman sendiri
Masalah 11
Seorang peneliti bidang mikrobiologi di sebuah lembaga penelitian sedang mengamati pertumbuhan suatu bakteri di sebuah laboratorium mikrobiologi Pada kultur bakteri tersebut satu bakteri membelah jadi r bakteri setiap jam Hasil pengamatan menunjukkan bahwa jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 10000 bakteri dan setelah 2 jam kemudian jumlah bakteri tersebut menjadi 40000 bakteriPenelitian tersebut ingin mengetahui banyak bakteri sebagai hasil pembelajaran dan mencari tahu banyak bakteri dalam waktu 8 jam Alternatif Penyelesaian Diketahui Satu bakteri membelah menjadi r bakteri untuk setiap jam Jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 10000 bakteri dan setelah 2 jam kemudian jumlahnya menjadi 40000 bakteri Ditanya a Berapa banyak bakteri sebagai hasil pembelahan b Berapa jumlah bakteri dala waktu 8 jam
Sebagai langkah awal buat tabel laju pertumbuhan bakteri terhadap waktu setiap jam Misalkan jumlah bakteri pada awalnya ( t = 0 ) adalah
Jam ke-t 0 1
Jumlah bakteri ( r
Dari hasil pengamatn data pada tabel di ataskita dapat membuat
hubungan pertumbuhan jumlah bakteri ( terhadap pertumbuhan waktu (t)
= r atau secara singkat ditulis (1)
t dalam jam adalah jumlah bakteri saat t=0 dan r adalah bakteri setelah pembelahan terjadi pada setiap jam setelah 5 jam terdapat 40000 bakteri kita subtitusi ke formula di atas maka diperoleh = 10000 dan 40000
r=2
Jadi penelitian tersebut menemukan bahwa setiap jam 1 bakteri membelah menjadi 2 bakteri Untuk mendapatkan banyak bakteri pada awalnya atau t=0 subtitusi r = 2 ke pesamaan = 10000 sehingga 8 0000 dengan demikian Subtitusikan = 1250 ke persamaan (1) pola pertumbuhan tersebut dinyatakan
( ( = 320000
Jadi setelah 8 jam peneliti mendapatkan jumlah bakteri sudah mencapai 320000 bakteri
B Pangkat Bulat negatif Untuk a bilangan real dan a m bilngan bulat positif didefinisikan
Contoh
Jika nilai x = 2 dan y = 2 tentukan nilai ( Penyelesaian
(
(
C Pangkat Nol
Untuk a bilangan real dan a maka Untuk lebih memahami definisi di atas perhatikan pola hasil pemangkatan bilangan-bilangan berikut dengan bilangan 0
D Sifat-sifat pangkat Bulat Positif
119886119898
119886
8 3 7 3 9 3 3 3
1 Jika 119886 bilangan real m dan n bilangan bulat positif maka
119886119898 119886119899 119886119898+119899
2 Jika 119886 bilangan real m dan 119886 119898119886119896119886 119886119898
119886119899 119886119898 119899
3 Jika 119886 bilangan real dan 119886 m dan n bilangan bulat
positif maka (119886119898 119899 119886119898 119899
E Pangkat Pecahan Selanjutnya kita akan analisis sifat perpangkatan bilangan real dengan pangkat
pecahan Misalkan a bilangan real dan a m n bilangan bulat positif didefinisikan
F Bentuk Akar Pengakaran (penarikan akar) suatu bilangan merupakan inversi dari
pemangkatan suatu bilanganakar dilabangkan notasi radic
Akar ke n atau akar
pangkat n dari suatu bilangan a dituliskan sebagai radic dengan adalah bilangan
pokok basis dan n adalah indekseksponen akarBentuk akar dapat diubah menjadi bentuk pangkat dan sebaliknya Sebelum mempelajari bentuk akar kita harus memahami konsep bilangan rasional dan irasional terlebih dahulu
Bilangan rasional berbeda dengan bilnagan irasional Bilangan rasional adalah
bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk
dengan a dan b bilangan bulat dan b
bilangan rasional terdiri atas bilangan bulat bilangan bilngan pecahan murni dan bilangan pecahan desimal sedangkan bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan Bilangan irasional merupakan bilangan yang mengandung pecahan desimal tak terhingga dan tak berpola Contoh bilangan
irrasional misalnya radic 3 373 dan sebagainya
Misalkan a bilangan real dan n bilangan positif radic
disebut bentuk akar jika dan
hanya jika hasil radic
adalah bilangan irrasional
Bilangan irrasional yang menggunakan tanda akar (radic) dinamakan bentuk akar tetapi ingattidk semua bilangan yang berada dalam tanda akar merupakan bilangan
irrasional Contoh radic dan radic bukan bentuk akar karena nilai dari radic adalah 5
dan nilai radic adalah 8 keduanya bukan bilangan irrasional Agar lebih jelas perhatikan cocntoh berikut
1 radic
2 radic 7
adalah bukan bentuk akar karena radic 7
= 3
G Hubungan Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Perlu diketahui bahwa berpangkat memiliki hubungan dengan bentuk akar Jika a
adalah bilangan real dan a dengan a 0
dan
adalah bilangan pecahan n
a dan adalah bilangan pecahan n maka
=(
Perrhatikan bahwa
dan perlihatkan bahwa
radic radic sehingga dapat disimpulkan
radic
erhatikan untuk kasus di bawah ini
119886119898119899
119886
119898
Sifat-sifat pangkat pecahan Misalkan a adalah bilangan real dan a
p
n
119898
119899 adalah bilangan pecahan
n jika nqge 2 maka 119886119898
119899 119886119901
119902 = 119886119898
119899 119901
119902
+
+
=
radic radic radic sehingga dapat disimpulkan
radic
H Operasi Pada bentuk Akar 1 Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar
operasi penjumlahandan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan apabila bentuk akarnya senama Bentuk akar senama adalah bentuk akar yang mempunyai ekspone dan basis sma Untuk setiap pq dan r adalah bilangan real dan r ge berlaku sifat-sifat berikut
contoh
a 3radic radic = (3+4)radic
= 7radic
b radic radic3 ( tidak dapat diselesaikan karena akarnya tidak senama )
2 Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar
Pada pangkat pecahan telah dinyatakan bahwa
radic sifat perkalian dan
pembagian bentuk akar dapat dicermati pada beberapa contoh berikut Contoh
a radic8
radic
=
= =2
b radic
radic =
radic
3 Merasionalkan Penyebut Bentuk akar
Kita tahu bahwa bentuk-bentuk akar seperti radic radic radic3 radic7 radic radic Merupakan bilangan irrasional Jika bentuk akar tersebut menjadi penyebut pada suatu pecahan maka dikatakan sebagai penyebut irrasional Penyebut irrasional dapat diubah menjadi bilangan rasional Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan bergantung pada bentuk pacahan itu sendiri Akan tetapi prinsip dasarnya samayaitu mengalikan dengan bentuk akar sekawanya Proses ini dinamakan merasionalkan penyebut
a Merasionalkan bentuk
radic
Bentuk
radic dirasionalkan dengan cara mengalikanya dengan radic
radic
radic
radic radic
radic =
radic
b Merasionalkan bentuk
+radic
radic
radic +radic dan
radic radic
Sebelum kita merasionalkan bentuk-bentuk akar di atasperlu kita pahamibentuk-bentuk campuran bilangan rasional dan bilangan irasional
c Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya
bilangan irrasional Contoh 2 + radic7 7 ( d Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya
bilangan irrasional Contoh 2 + radic7 7 (
pradic119903119899
119902radic119903119902
(119901 119902 radic119903119899
pradic119903119899
119902radic119903119899
(119901 119902 radic119903119899
e Jika bilangan irrasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya bilangan irrasional atau rasional contoh (1)
f jika bilangan rasional dialihkan dengan bilangan irasional maka hasilnya bilangan
irasional contoh 2 x radic = 2radic g jika bilangan irasional dikalikan dengan bilangan irasional maka hasilnya dapat
bilangan rasional atau bilangan irasional h Contoh
radic x radic = radic x 5radic = 25 (25 adalah bilangan rasional)radic
disebut betuk akar
apabila hasil akar a adalah bilangan irasional untuk merasionalkan bentuk
+ radic
radic
radic + radic dan
radic radic
4 Menyederhanakan bentuk radic( radic
sekarang kita akan menyederhanakan bentuk akar yang mempunyai bentuk
khusus yaitu bentuk radic( radic perhatikan proses berikut ini
diskusikan masalah berikut dengan teman mu
a (radic radic ) (radic radic )
b (radic radic ) (radic radic )
dari hasil kegiatan yang kamu lakukan kamu akan memperoleh bentuk
sederhananya menjadi radic( radic
selanjutnya perhatikan contoh berikut
radic8 radic = radic( 3 radic 3
= radic radic 3 3
= radic(radic radic3)
= radic radic3
I Menentukan Konsep Logaritma telinga manusia dapat mendengar suara dengan intensitas yag rentang nya luar
biasa suara paling keras yang dapat didengar oleh orang yang sehat tanpa merusak gendang telinga memiliki intensitas 1 triliun kali lebih kuat dar pada suara paling rendah yang bisa didengar
menghitung intensitas bunyi dengan rentang begitu besar tentu sangat tidak nyaman Namun dengan logaritma perhitungan ini akan menjadi lebih sederhana Logaritma merupakan suatu operasi hitung Alexander Graham Bell (1847-1922) menggunakan logaritma untuk menghitung skala bunyi skala ini dinamakan decibel
dan didefinisikan sebagai
dengan D adalah sekala decibel bunyi I
adalah intensitas bunyi dengan satuan Watt per meter persegi frasl dan
adalah intansitas bunyi paling minimum yang bisa didengar orang yang sehat yaitu
sebagai gambaran berikut ini adalah table intensitas bunyi beberapa objek
Intensitas Bunyi
frasl
Intensitas Bunyi
Ambang batas bawah
pendengaran
Suara Bisik-bisik
3 Percakapan normal
8 Lalu lintas padat
8 3 Pesawat jet lepas landas
J Sifat-sifat Logaritma
Dari definisi 19 logaritma merupakan invers dari perpangkatan oleh karena itu terdapat 3 sifat dasar logaritma yaitu
misalkan a dan n bilangan real a gt 0 dan a maka
sifat- sifat tersebut dapat diturunkan langsung dari definisi logaritma Bebarapa sifat operasi logaritma
a 119886 a a 119886119899 119899
a) Untuk a b dan c bilangan real positif a dan b gt 0 belaku a (119886119909119888 a 119887 a 119888
b) Untuk a b dan c bilangan real dengan a gt 0 a dan bgt 0
berlaku a 119887
119888 = a 119887 a 119888
c) Untuk ab dan n bilangan real agt 0 b gt 0 a berlaku a 119887119899 = n a 119887
d) Untuk a b dan c bilangan real positif 119886 119887 119889119886119899 119888
berlaku alog b log119887119888
log119886119888 =
log119886119899
e) Untuk a b dan c bilangan real positif dengan 119886 119889119886119899 119888 berlaku a 119887 119909 a 119888 = a 119888
f) Untuk a dan b bilangan real positif dengan 119886 berlaku an 119887119899 119899
119898
(alog b) dengan mn bilangan bulat dan m 0 g) untuk a dan b bilangan real positif a 1 berlaku aalogb = b
BAB II BARISAN DAN DERET
A Pengertian Barisan dan Deret
1 Pola Bilangan dan Barisan Pola bilangan sering di jumpai dalam kehidupan sehari-hari misalnya pada
suatu perjamuan ketika belum ada tamu yang datang maka tuan rumah tidak berjabat tangan Jika satu tamu datang maka terjadi 1 kali jabat tangan jika kemudian ada 1 tamu lagi yang datang maka terjadi 3 kali jabat tangan Berikut adalah pola bilangan yang dapat terbentuk
Banyak orang
Banyak Jabat Tangan 1 0 = 0 2 0 + 1 = 1 3 0 + 1 + 2 = 3 n 0 + 1 + 2 + + ( n ndash 1 )
Contoh soal Ada 10 orang tamu + 1 tuan rumah berapa banyak jabat tangan yang mungkin
terjadi Banyak jabat tangan = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 kali
jabat tangan
2 Barisan Bilangan Barisan bilangan adalah susunan bilangan ndash bilangan yang memiliki aturan
tertentu dan di pisahkan dengan koma
Contoh soal 3 7 9 rarr B c 11 8 5 2 - rarr B c -3 Tentukan tiga suku pertama pada barisan yang suku umumnya di rumuskan
dengan n 9
Jawab n 9 9 9 3 3 9
Bentuk umum
119880119899 119880 119880 119880
119880 119880 119880
3 Deret Bilangan Jumlah suku-suku dari suatu barisan di sebut deret Bentuk umumnya adalah
sebagai berikut
Contoh Deret bilangan genap 2 + 4 + 6 + 8 + Deret bilangan persegi panjang 2 + 6 + 12 + 20 + Deret bilangan kubik 3
B Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika
1 Barisan Aritmatika Perhatikan penggaris ukuran 30 cm Pada penggaris tersebut terdapat bilangan
berurutan 0 1 2 3 4 30 Setiap bilangan berurutan pada penggaris ini mempunyai jarak yang sama yaitu 1 cm Jarak antar bilangan berurutan menunjukan selisih antar bilangan Bilangan ndash bilangan berurutan seperti padda penggaris memiliki selisih yang sama untuk setiap dua suku berurutannya sehingga membentuk suatu barisan bilangan Barisan bilangan seperti ini di sebut barisan aritmatika dengan selisih setiap dua suku berurutannya yang disebut beda
Bentuk umum
Pada barisan aritmatika berlaku
Contoh Tentukan beda dari suku-suku di bawah ini
a 4 7 10 13 b -10 -6 -2 2
Jawab a Beda = 7 ndash 4 = 3 b Beda = -6 ndash (-10) = 4
2 Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika
Suku ke-n Barisan Aritmatika adalah
Keterangan
119880 119880 119880 119880119899
119880119894
119899
119894
119880 119880 119880 119880119899 119886119905119886119906 119886 (119886 119887 (119886 119887 (119886
(119899 119887
119880119899 119880119899 119887
119880 119880 119887119880
119880119899 119880119899 119887
119880119899 119886 (119899 119887
Sehingga
n = Suku ke ndash n a = Suku pertama b = Beda n = Banyaknya suku
Contoh 1
Tentukan suku pertama beda dan suku ke-10 dari barisan 4 7 10 13
Jawab a = 4 b = 7 ndash 4 = 3 n ( ( 3 3
Contoh 2
Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 24 a Tentukan beda dan jenis barisan dari barisan aritmetika tersebut b Tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut Jawab Diketahui
suku pertama = a = 6 suku ketujuh = U7 = 36
a Untuk menentukan beda Un = a + (n 1) b maka U7 = 6 + (7 1) b 36 = 6 + 6 b 36 6 = 6 b 30 = 6 b b = 5
Jadi beda pada barisan itu adalah 5 Oleh karena b gt 0 barisan aritmetika tersebut merupakan barisan aritmetika naik
b Dengan suku pertama 6 dan beda 5 diperoleh barisan aritmetika sebagai
berikut 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51
Contoh 3 D m 8 3 7 7 Tentukan rumus suku ke-n yang berlaku pada barisan tersebut Jawab Diketahui a = U1 = 8
b = U2 U1 = 3 ( 8 = 3 8 = 5
Jadi rumus umum yang berlaku pada barisan tersebut adalah
Un = a + (n 1) b = 8 (n 1) 5 = 8 n 5 = 5n ndash 13
Contoh 4 Diketahui barisan bilangan asli kurang dari 125 Tentukan banyak bilangan yang a habis dibagi 2 b habis dibagi 5 c habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 Penyelesaian Barisan bilangan itu adalah 1 2 3 4 124 a Barisan bilangan yang habis dibagi 2 adalah 2 4 6 8 124 b Barisan bilangan yang habis dibagi 5 adalah 5 10 15 20 120 c Barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah
anggota penyelesaian pertanyaan bagian a dikurangi anggota penyelesaian pertanyaan b
Jadi barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah 2 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28 32 118 122 124
3 Suku Tengah Barisan Aritmatika ( Uk ) Barisan nuntuk n ganjil Maka dapat di rumuskan sebagai berikut
Contoh Di ketahui barisan aritmatika 3 9 15 21 117 Tentukan suku tengahnya
Jawab
n
+
= 60
4 Sisipan pada Barisan Aritmatika
Jika di antara 2 bilangan a dan Un di sisipkan bilangan a Un K bilangan
Maka setelah di sisipi k bilangan banyaknya suku pada barisan ada (k+2)=n n (
Pada barisan baru berlaku
119880119896 119880119899 119886
Un = a + ( k + 2 ndash 1 )b Un = a + ( k + 1 )b
Contoh
Di antara bilangan 6 dan 24 di sisipkan 8 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika Tentukan bedanya
Jawab a = 6 Un = 24 k = 8
b = n
+ =
+
5 Deret Aritmatika
Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika Jika U1 U2 U3 Un adalah barisan aitmatika maka U1 +U2 + U3 Un merupaka deret aritmatika Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan Sn
Sn =U1 +U2 + U3 Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah
atau
Contoh 1 Di ketahui deret aritmatika 4 + 8 + 12 + 16 + Hitung jumlah 25 suku
pertama Jawab
Sn =
( (
S25=
( (
S25= 1300
Contoh 2 Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 Penyelesaian Diketahui a = 51 b = 2 dan Un = 99 Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100 pertama-tama kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100 yaitu n Dengan menggunakan rumus
Un = a + (n ndash 1) b 99 = 51 + (n ndash 1)(2) 99 = 51 + 2n ndash 2 99 = 49 + 2n 2n = 99 ndash 49 n = 25
Sn =
119899 ( 119886 119880119899 Sn =
119899 ( 119886 ( 119899 119887
Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika
Sn =
( (
diperoleh
S25 =
25 [2(51) + (25 -1)(2)]
= 25(51 + 24) = 25(75) = 1875
Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1875
C Barisan Geometri dan Deter Geometri 1 Barisan Geometri
Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1 U2 U3 U4 n-1 Un
Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke ndash n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ) ditulis
D m
Misalkan suku pertama sama dengan a rasio sama dengan r maka U1 U2 U3 Un
a ar ar2 n ndash 1 Dengan demikian rumus suku ke ndash n barisan geometri adalah Contoh
Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32 Tentukan
a suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut b suku kesembilan barisan geometri tersebut
Jawab Diketahui
U4 = 4 dan U7 = 32 Un = arn ndash 1 maka U4 = ar3 = 4 (1)
U7 = ar6 = 32 (2)
Dari persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a = 4r3 (3)
Subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) ar6 = 32 maka 4r3 = 32
Un = arn-1
r =
minus
r3 = 8 r = 2
Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a(2)3 = 4 a 8 = 4 a = frac12
Jadi suku pertamanya adalah 12 dan rasionya adalah 2 2 Rumus Suku Tengah Barisan Geometri
Suatu barisan geometri dengan n suku n bilangan ganjil maka suku tengah ( Uk ) dinyatakan sebagai berikut
Contoh Di ketahui Barisan Geometri 2 8 32 8192 Tentukan suku tengahnya Jawab
a = 2 Un = 8192
Uk = radic n
Uk = radic 8 9 8
3 Sisipan pada Barisan Geometri Pada barisan geometri a Un disisipkan k suku
K suku
Pada barisan geometri baru banyaknya suku adalah ( k + 2 ) Jadi
Contoh
Di antara bilangan
dan 64 disisipkan 7 bilangan sehingga menjadi barisan
geometri Tentukan rasio Jawab
r = radic
r = radic
r = radic
r = radic
= 2
Uk = radic 119899
Un = arn-1 rarr Un = ar(k+2-1) rarrUn = ark+1
rarrr = radic
4 Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku ndash suku barisan geometri Jika U1 U2 U3 U4 n-1 Un adalah barisan geometri maka U1 +U2 + U3 + Unmerupaka deret geometri Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn =U1 +U2 Un-1 + Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah
Contoh Tentukan jumlah ke 6 deret geometri berikut 2 + (-10) + 50 + + (-6250)
Jawab
1
1
r
raS
n
n
15
1)5(2 6
nS
6
156242
nS
5208nS
5 Deret Geometri Tak Hingga
Jika suatu deret geometri Sn =U1 +U2 Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga makaderet geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan
Sinfin =U1 +U2 Un-1
Jika
rkarena
r
raitSmakar
n
n
1
1lim1
Jika
011
1lim1 mendekatirkarena
r
a
r
raitSmakar
n
n
Sehingga rumus jumlah deret geometri takhingga untuk 01 adalahrr
Contoh 1 Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut
a 1 + 12 + 14 + 18 +
b + +
+
+
Jawab
a 1 + 12 + 14 + 18 + Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = frac12 sehingga
b + +
+
+
Perhatikan deret 2 + 1 + 12 + 14 + Dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r = frac12
Jadi + +
+
+ = = 16
Contoh 2
Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4 Carilah rasionya
Penyelesaian
Dari soal di atas unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan Sinfin = 4
Kita substitusikan ke dalam rumus Sinfin
harr 1 ndash r = frac12 harr r = frac12
Jadi rasionya adalah frac12
6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk
barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri
Barisan dan Deret Geometri Contoh 1
Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah
a banyaknya kursi pada baris ke-10
b banyaknya kursi dalam gedung itu
Penyelesain
a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66
Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika
Deret tak hingga genap
Sn = 119834119851
120783 119851120784 untuk bilangan genap
Deret tak hingga ganjil Sn = 119834
120783 119851120784 untuk
bilangan ganjil
Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b
Sn =
( n
Un = arn-1
S10 =
( 3
= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2
Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan
kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai
tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang
PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun
tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak
Arman padaakhir tahun 2005
Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir
tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap
Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari
Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-
BAB III STATISTIK DAN PELUANG
A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika
1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari
suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum
Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x
2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu
keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang
pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan
c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi
3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota
populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)
b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti
B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa
yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang
Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut
Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah
2005 866 8081 8947
2006 1087 11226 12313
2007 1500 16400 17900
2008 1709 20001 21710
2009 2010 25195 27205
Diagram batang tegak
2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan
Tahun Impor (dalam kuintal)
2004 9500
2005 4000
2006 4500
2007 10500
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
2005 2006 2007 2008 2009
Jumlah
Jumlah
2008 1500
2009 2000
3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah
lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan
b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut
Mata Pencaharian Frekuensi
Petani 90
Peternak 10
Pedagang 120
Guru 50
Karyawan 30
Jumlah 300
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
2004 2005 2006 2007 2008 2009
Impor
Impor
Mata
Pencaharian
Besar Sudut Juring Presentase
Petani
9
3 3
8
9
3
3
Peternak
3 3
3
3 33
Pedagang
3 3
3
Guru
3 3
3
7
Karyawan 3
3 3 3
3
3
Diagram Lingkaran
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Petani 108 Guru 60
Pedagang 144
Karyawan 36
Peternak 12
c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok
Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval
menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap
kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap
kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data
a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan
seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas
kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas
dirumuaskan
Panjang kelas ng n
n l
Diagram Pastel
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Pedagang 144
Petani 108 Guru
60
Tabel distribusi Nilai frekuensi
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
2) Histogram dan Poligon
Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram
3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan
menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo
Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika
Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
335
385
435
485
535
585
385
435
485
535
585
635
Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f
Nilai f le
le38
le 3
le 8
le 3
le 8
le 3
2
9
16
24
29
32
Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f
Nilai f ge
ge33
ge38
ge 3
ge 8
ge 3
32
30
23
16
8
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
ge 8 3
C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat
data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit
Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok
1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)
Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal
m m m y m
y y m y m
n atau
sum
n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data
nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus
g
Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan
seterusnya Contoh
Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut
Jawab
g
39
39
9 9 90
Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90
c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka
M data ke n+
Jika banyak data genap maka
M
d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus
Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus
Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10
Mean
n
+ + + + + + +
7
Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap
M
8
8
M
M 7 8
M 7
Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling
sering muncul yaitu sebanyak 3 kali
2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)
Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut
sum f
n
sum f n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i
b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut
M L (
f
f
)
Keterangan
L = tepi bawah kelas median n = banyak data f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
p = panjang kelas c Modus
Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut
Mo L
Keterangan
L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas
contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa
31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94
Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus
Jawab 1 Distribusi frekuensi
Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68
Lebar kelas
9 7
Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1
31-40 2 2 355 71
41-50 3 5 455 1365
51-60 5 10 555 2775
61-70 7 17 655 4585
71-80 11 28 755 8305
81-90 6 34 855 513
91-100 6 40 955 573
Jumlah 40 2860
Mean
sum f n
sum f n
8
7
Median
M L (
f
f
)
M 7 (
7
)
M 7 7
M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3
Modus
Mo L
Mo 7
Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9
D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal
a Kuartil
Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil
1) Kuartil pertamabawah (Q1)
Q1 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
2) Kuartil keduatengah (Q2)
Q2 membagi data terurut menjadi
atau
bagian
Dengan kata lain Q2 merupakan median data
3) Kuartil ketigatengah (Q3)
Q3 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
3(
3
4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga
(
5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut
(
6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data
a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
b Desil dan persentil
Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil
Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut
D
(
Keterangan i =123 9
n= ukuran data
Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
(
Keterangan i =123 99
n= ukuran data
2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil
1) Kuartil pertama (Q1)
L (
f
f
)
2) Kuartil kedua (Q2)
L (
f
f
)
3) Kuartil ketiga (Q3)
L (
3 f
f
)
Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123
f = frekuensi kelas kuartil i = 123
n = banyak kelas
p = panjang kelas b Desil dan Persentil
Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut
D L (
f
f
)
Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f
= frekuensi kelas desil ke-i
p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
L (
f f
)
L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f
= frekuensi kelas persentil ke-i
p = panjang kelas
3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan
Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil
n Keterangan
R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil
b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)
c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil
(
d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan
L
(
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
r=2
Jadi penelitian tersebut menemukan bahwa setiap jam 1 bakteri membelah menjadi 2 bakteri Untuk mendapatkan banyak bakteri pada awalnya atau t=0 subtitusi r = 2 ke pesamaan = 10000 sehingga 8 0000 dengan demikian Subtitusikan = 1250 ke persamaan (1) pola pertumbuhan tersebut dinyatakan
( ( = 320000
Jadi setelah 8 jam peneliti mendapatkan jumlah bakteri sudah mencapai 320000 bakteri
B Pangkat Bulat negatif Untuk a bilangan real dan a m bilngan bulat positif didefinisikan
Contoh
Jika nilai x = 2 dan y = 2 tentukan nilai ( Penyelesaian
(
(
C Pangkat Nol
Untuk a bilangan real dan a maka Untuk lebih memahami definisi di atas perhatikan pola hasil pemangkatan bilangan-bilangan berikut dengan bilangan 0
D Sifat-sifat pangkat Bulat Positif
119886119898
119886
8 3 7 3 9 3 3 3
1 Jika 119886 bilangan real m dan n bilangan bulat positif maka
119886119898 119886119899 119886119898+119899
2 Jika 119886 bilangan real m dan 119886 119898119886119896119886 119886119898
119886119899 119886119898 119899
3 Jika 119886 bilangan real dan 119886 m dan n bilangan bulat
positif maka (119886119898 119899 119886119898 119899
E Pangkat Pecahan Selanjutnya kita akan analisis sifat perpangkatan bilangan real dengan pangkat
pecahan Misalkan a bilangan real dan a m n bilangan bulat positif didefinisikan
F Bentuk Akar Pengakaran (penarikan akar) suatu bilangan merupakan inversi dari
pemangkatan suatu bilanganakar dilabangkan notasi radic
Akar ke n atau akar
pangkat n dari suatu bilangan a dituliskan sebagai radic dengan adalah bilangan
pokok basis dan n adalah indekseksponen akarBentuk akar dapat diubah menjadi bentuk pangkat dan sebaliknya Sebelum mempelajari bentuk akar kita harus memahami konsep bilangan rasional dan irasional terlebih dahulu
Bilangan rasional berbeda dengan bilnagan irasional Bilangan rasional adalah
bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk
dengan a dan b bilangan bulat dan b
bilangan rasional terdiri atas bilangan bulat bilangan bilngan pecahan murni dan bilangan pecahan desimal sedangkan bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan Bilangan irasional merupakan bilangan yang mengandung pecahan desimal tak terhingga dan tak berpola Contoh bilangan
irrasional misalnya radic 3 373 dan sebagainya
Misalkan a bilangan real dan n bilangan positif radic
disebut bentuk akar jika dan
hanya jika hasil radic
adalah bilangan irrasional
Bilangan irrasional yang menggunakan tanda akar (radic) dinamakan bentuk akar tetapi ingattidk semua bilangan yang berada dalam tanda akar merupakan bilangan
irrasional Contoh radic dan radic bukan bentuk akar karena nilai dari radic adalah 5
dan nilai radic adalah 8 keduanya bukan bilangan irrasional Agar lebih jelas perhatikan cocntoh berikut
1 radic
2 radic 7
adalah bukan bentuk akar karena radic 7
= 3
G Hubungan Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Perlu diketahui bahwa berpangkat memiliki hubungan dengan bentuk akar Jika a
adalah bilangan real dan a dengan a 0
dan
adalah bilangan pecahan n
a dan adalah bilangan pecahan n maka
=(
Perrhatikan bahwa
dan perlihatkan bahwa
radic radic sehingga dapat disimpulkan
radic
erhatikan untuk kasus di bawah ini
119886119898119899
119886
119898
Sifat-sifat pangkat pecahan Misalkan a adalah bilangan real dan a
p
n
119898
119899 adalah bilangan pecahan
n jika nqge 2 maka 119886119898
119899 119886119901
119902 = 119886119898
119899 119901
119902
+
+
=
radic radic radic sehingga dapat disimpulkan
radic
H Operasi Pada bentuk Akar 1 Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar
operasi penjumlahandan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan apabila bentuk akarnya senama Bentuk akar senama adalah bentuk akar yang mempunyai ekspone dan basis sma Untuk setiap pq dan r adalah bilangan real dan r ge berlaku sifat-sifat berikut
contoh
a 3radic radic = (3+4)radic
= 7radic
b radic radic3 ( tidak dapat diselesaikan karena akarnya tidak senama )
2 Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar
Pada pangkat pecahan telah dinyatakan bahwa
radic sifat perkalian dan
pembagian bentuk akar dapat dicermati pada beberapa contoh berikut Contoh
a radic8
radic
=
= =2
b radic
radic =
radic
3 Merasionalkan Penyebut Bentuk akar
Kita tahu bahwa bentuk-bentuk akar seperti radic radic radic3 radic7 radic radic Merupakan bilangan irrasional Jika bentuk akar tersebut menjadi penyebut pada suatu pecahan maka dikatakan sebagai penyebut irrasional Penyebut irrasional dapat diubah menjadi bilangan rasional Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan bergantung pada bentuk pacahan itu sendiri Akan tetapi prinsip dasarnya samayaitu mengalikan dengan bentuk akar sekawanya Proses ini dinamakan merasionalkan penyebut
a Merasionalkan bentuk
radic
Bentuk
radic dirasionalkan dengan cara mengalikanya dengan radic
radic
radic
radic radic
radic =
radic
b Merasionalkan bentuk
+radic
radic
radic +radic dan
radic radic
Sebelum kita merasionalkan bentuk-bentuk akar di atasperlu kita pahamibentuk-bentuk campuran bilangan rasional dan bilangan irasional
c Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya
bilangan irrasional Contoh 2 + radic7 7 ( d Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya
bilangan irrasional Contoh 2 + radic7 7 (
pradic119903119899
119902radic119903119902
(119901 119902 radic119903119899
pradic119903119899
119902radic119903119899
(119901 119902 radic119903119899
e Jika bilangan irrasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya bilangan irrasional atau rasional contoh (1)
f jika bilangan rasional dialihkan dengan bilangan irasional maka hasilnya bilangan
irasional contoh 2 x radic = 2radic g jika bilangan irasional dikalikan dengan bilangan irasional maka hasilnya dapat
bilangan rasional atau bilangan irasional h Contoh
radic x radic = radic x 5radic = 25 (25 adalah bilangan rasional)radic
disebut betuk akar
apabila hasil akar a adalah bilangan irasional untuk merasionalkan bentuk
+ radic
radic
radic + radic dan
radic radic
4 Menyederhanakan bentuk radic( radic
sekarang kita akan menyederhanakan bentuk akar yang mempunyai bentuk
khusus yaitu bentuk radic( radic perhatikan proses berikut ini
diskusikan masalah berikut dengan teman mu
a (radic radic ) (radic radic )
b (radic radic ) (radic radic )
dari hasil kegiatan yang kamu lakukan kamu akan memperoleh bentuk
sederhananya menjadi radic( radic
selanjutnya perhatikan contoh berikut
radic8 radic = radic( 3 radic 3
= radic radic 3 3
= radic(radic radic3)
= radic radic3
I Menentukan Konsep Logaritma telinga manusia dapat mendengar suara dengan intensitas yag rentang nya luar
biasa suara paling keras yang dapat didengar oleh orang yang sehat tanpa merusak gendang telinga memiliki intensitas 1 triliun kali lebih kuat dar pada suara paling rendah yang bisa didengar
menghitung intensitas bunyi dengan rentang begitu besar tentu sangat tidak nyaman Namun dengan logaritma perhitungan ini akan menjadi lebih sederhana Logaritma merupakan suatu operasi hitung Alexander Graham Bell (1847-1922) menggunakan logaritma untuk menghitung skala bunyi skala ini dinamakan decibel
dan didefinisikan sebagai
dengan D adalah sekala decibel bunyi I
adalah intensitas bunyi dengan satuan Watt per meter persegi frasl dan
adalah intansitas bunyi paling minimum yang bisa didengar orang yang sehat yaitu
sebagai gambaran berikut ini adalah table intensitas bunyi beberapa objek
Intensitas Bunyi
frasl
Intensitas Bunyi
Ambang batas bawah
pendengaran
Suara Bisik-bisik
3 Percakapan normal
8 Lalu lintas padat
8 3 Pesawat jet lepas landas
J Sifat-sifat Logaritma
Dari definisi 19 logaritma merupakan invers dari perpangkatan oleh karena itu terdapat 3 sifat dasar logaritma yaitu
misalkan a dan n bilangan real a gt 0 dan a maka
sifat- sifat tersebut dapat diturunkan langsung dari definisi logaritma Bebarapa sifat operasi logaritma
a 119886 a a 119886119899 119899
a) Untuk a b dan c bilangan real positif a dan b gt 0 belaku a (119886119909119888 a 119887 a 119888
b) Untuk a b dan c bilangan real dengan a gt 0 a dan bgt 0
berlaku a 119887
119888 = a 119887 a 119888
c) Untuk ab dan n bilangan real agt 0 b gt 0 a berlaku a 119887119899 = n a 119887
d) Untuk a b dan c bilangan real positif 119886 119887 119889119886119899 119888
berlaku alog b log119887119888
log119886119888 =
log119886119899
e) Untuk a b dan c bilangan real positif dengan 119886 119889119886119899 119888 berlaku a 119887 119909 a 119888 = a 119888
f) Untuk a dan b bilangan real positif dengan 119886 berlaku an 119887119899 119899
119898
(alog b) dengan mn bilangan bulat dan m 0 g) untuk a dan b bilangan real positif a 1 berlaku aalogb = b
BAB II BARISAN DAN DERET
A Pengertian Barisan dan Deret
1 Pola Bilangan dan Barisan Pola bilangan sering di jumpai dalam kehidupan sehari-hari misalnya pada
suatu perjamuan ketika belum ada tamu yang datang maka tuan rumah tidak berjabat tangan Jika satu tamu datang maka terjadi 1 kali jabat tangan jika kemudian ada 1 tamu lagi yang datang maka terjadi 3 kali jabat tangan Berikut adalah pola bilangan yang dapat terbentuk
Banyak orang
Banyak Jabat Tangan 1 0 = 0 2 0 + 1 = 1 3 0 + 1 + 2 = 3 n 0 + 1 + 2 + + ( n ndash 1 )
Contoh soal Ada 10 orang tamu + 1 tuan rumah berapa banyak jabat tangan yang mungkin
terjadi Banyak jabat tangan = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 kali
jabat tangan
2 Barisan Bilangan Barisan bilangan adalah susunan bilangan ndash bilangan yang memiliki aturan
tertentu dan di pisahkan dengan koma
Contoh soal 3 7 9 rarr B c 11 8 5 2 - rarr B c -3 Tentukan tiga suku pertama pada barisan yang suku umumnya di rumuskan
dengan n 9
Jawab n 9 9 9 3 3 9
Bentuk umum
119880119899 119880 119880 119880
119880 119880 119880
3 Deret Bilangan Jumlah suku-suku dari suatu barisan di sebut deret Bentuk umumnya adalah
sebagai berikut
Contoh Deret bilangan genap 2 + 4 + 6 + 8 + Deret bilangan persegi panjang 2 + 6 + 12 + 20 + Deret bilangan kubik 3
B Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika
1 Barisan Aritmatika Perhatikan penggaris ukuran 30 cm Pada penggaris tersebut terdapat bilangan
berurutan 0 1 2 3 4 30 Setiap bilangan berurutan pada penggaris ini mempunyai jarak yang sama yaitu 1 cm Jarak antar bilangan berurutan menunjukan selisih antar bilangan Bilangan ndash bilangan berurutan seperti padda penggaris memiliki selisih yang sama untuk setiap dua suku berurutannya sehingga membentuk suatu barisan bilangan Barisan bilangan seperti ini di sebut barisan aritmatika dengan selisih setiap dua suku berurutannya yang disebut beda
Bentuk umum
Pada barisan aritmatika berlaku
Contoh Tentukan beda dari suku-suku di bawah ini
a 4 7 10 13 b -10 -6 -2 2
Jawab a Beda = 7 ndash 4 = 3 b Beda = -6 ndash (-10) = 4
2 Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika
Suku ke-n Barisan Aritmatika adalah
Keterangan
119880 119880 119880 119880119899
119880119894
119899
119894
119880 119880 119880 119880119899 119886119905119886119906 119886 (119886 119887 (119886 119887 (119886
(119899 119887
119880119899 119880119899 119887
119880 119880 119887119880
119880119899 119880119899 119887
119880119899 119886 (119899 119887
Sehingga
n = Suku ke ndash n a = Suku pertama b = Beda n = Banyaknya suku
Contoh 1
Tentukan suku pertama beda dan suku ke-10 dari barisan 4 7 10 13
Jawab a = 4 b = 7 ndash 4 = 3 n ( ( 3 3
Contoh 2
Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 24 a Tentukan beda dan jenis barisan dari barisan aritmetika tersebut b Tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut Jawab Diketahui
suku pertama = a = 6 suku ketujuh = U7 = 36
a Untuk menentukan beda Un = a + (n 1) b maka U7 = 6 + (7 1) b 36 = 6 + 6 b 36 6 = 6 b 30 = 6 b b = 5
Jadi beda pada barisan itu adalah 5 Oleh karena b gt 0 barisan aritmetika tersebut merupakan barisan aritmetika naik
b Dengan suku pertama 6 dan beda 5 diperoleh barisan aritmetika sebagai
berikut 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51
Contoh 3 D m 8 3 7 7 Tentukan rumus suku ke-n yang berlaku pada barisan tersebut Jawab Diketahui a = U1 = 8
b = U2 U1 = 3 ( 8 = 3 8 = 5
Jadi rumus umum yang berlaku pada barisan tersebut adalah
Un = a + (n 1) b = 8 (n 1) 5 = 8 n 5 = 5n ndash 13
Contoh 4 Diketahui barisan bilangan asli kurang dari 125 Tentukan banyak bilangan yang a habis dibagi 2 b habis dibagi 5 c habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 Penyelesaian Barisan bilangan itu adalah 1 2 3 4 124 a Barisan bilangan yang habis dibagi 2 adalah 2 4 6 8 124 b Barisan bilangan yang habis dibagi 5 adalah 5 10 15 20 120 c Barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah
anggota penyelesaian pertanyaan bagian a dikurangi anggota penyelesaian pertanyaan b
Jadi barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah 2 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28 32 118 122 124
3 Suku Tengah Barisan Aritmatika ( Uk ) Barisan nuntuk n ganjil Maka dapat di rumuskan sebagai berikut
Contoh Di ketahui barisan aritmatika 3 9 15 21 117 Tentukan suku tengahnya
Jawab
n
+
= 60
4 Sisipan pada Barisan Aritmatika
Jika di antara 2 bilangan a dan Un di sisipkan bilangan a Un K bilangan
Maka setelah di sisipi k bilangan banyaknya suku pada barisan ada (k+2)=n n (
Pada barisan baru berlaku
119880119896 119880119899 119886
Un = a + ( k + 2 ndash 1 )b Un = a + ( k + 1 )b
Contoh
Di antara bilangan 6 dan 24 di sisipkan 8 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika Tentukan bedanya
Jawab a = 6 Un = 24 k = 8
b = n
+ =
+
5 Deret Aritmatika
Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika Jika U1 U2 U3 Un adalah barisan aitmatika maka U1 +U2 + U3 Un merupaka deret aritmatika Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan Sn
Sn =U1 +U2 + U3 Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah
atau
Contoh 1 Di ketahui deret aritmatika 4 + 8 + 12 + 16 + Hitung jumlah 25 suku
pertama Jawab
Sn =
( (
S25=
( (
S25= 1300
Contoh 2 Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 Penyelesaian Diketahui a = 51 b = 2 dan Un = 99 Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100 pertama-tama kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100 yaitu n Dengan menggunakan rumus
Un = a + (n ndash 1) b 99 = 51 + (n ndash 1)(2) 99 = 51 + 2n ndash 2 99 = 49 + 2n 2n = 99 ndash 49 n = 25
Sn =
119899 ( 119886 119880119899 Sn =
119899 ( 119886 ( 119899 119887
Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika
Sn =
( (
diperoleh
S25 =
25 [2(51) + (25 -1)(2)]
= 25(51 + 24) = 25(75) = 1875
Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1875
C Barisan Geometri dan Deter Geometri 1 Barisan Geometri
Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1 U2 U3 U4 n-1 Un
Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke ndash n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ) ditulis
D m
Misalkan suku pertama sama dengan a rasio sama dengan r maka U1 U2 U3 Un
a ar ar2 n ndash 1 Dengan demikian rumus suku ke ndash n barisan geometri adalah Contoh
Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32 Tentukan
a suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut b suku kesembilan barisan geometri tersebut
Jawab Diketahui
U4 = 4 dan U7 = 32 Un = arn ndash 1 maka U4 = ar3 = 4 (1)
U7 = ar6 = 32 (2)
Dari persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a = 4r3 (3)
Subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) ar6 = 32 maka 4r3 = 32
Un = arn-1
r =
minus
r3 = 8 r = 2
Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a(2)3 = 4 a 8 = 4 a = frac12
Jadi suku pertamanya adalah 12 dan rasionya adalah 2 2 Rumus Suku Tengah Barisan Geometri
Suatu barisan geometri dengan n suku n bilangan ganjil maka suku tengah ( Uk ) dinyatakan sebagai berikut
Contoh Di ketahui Barisan Geometri 2 8 32 8192 Tentukan suku tengahnya Jawab
a = 2 Un = 8192
Uk = radic n
Uk = radic 8 9 8
3 Sisipan pada Barisan Geometri Pada barisan geometri a Un disisipkan k suku
K suku
Pada barisan geometri baru banyaknya suku adalah ( k + 2 ) Jadi
Contoh
Di antara bilangan
dan 64 disisipkan 7 bilangan sehingga menjadi barisan
geometri Tentukan rasio Jawab
r = radic
r = radic
r = radic
r = radic
= 2
Uk = radic 119899
Un = arn-1 rarr Un = ar(k+2-1) rarrUn = ark+1
rarrr = radic
4 Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku ndash suku barisan geometri Jika U1 U2 U3 U4 n-1 Un adalah barisan geometri maka U1 +U2 + U3 + Unmerupaka deret geometri Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn =U1 +U2 Un-1 + Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah
Contoh Tentukan jumlah ke 6 deret geometri berikut 2 + (-10) + 50 + + (-6250)
Jawab
1
1
r
raS
n
n
15
1)5(2 6
nS
6
156242
nS
5208nS
5 Deret Geometri Tak Hingga
Jika suatu deret geometri Sn =U1 +U2 Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga makaderet geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan
Sinfin =U1 +U2 Un-1
Jika
rkarena
r
raitSmakar
n
n
1
1lim1
Jika
011
1lim1 mendekatirkarena
r
a
r
raitSmakar
n
n
Sehingga rumus jumlah deret geometri takhingga untuk 01 adalahrr
Contoh 1 Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut
a 1 + 12 + 14 + 18 +
b + +
+
+
Jawab
a 1 + 12 + 14 + 18 + Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = frac12 sehingga
b + +
+
+
Perhatikan deret 2 + 1 + 12 + 14 + Dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r = frac12
Jadi + +
+
+ = = 16
Contoh 2
Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4 Carilah rasionya
Penyelesaian
Dari soal di atas unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan Sinfin = 4
Kita substitusikan ke dalam rumus Sinfin
harr 1 ndash r = frac12 harr r = frac12
Jadi rasionya adalah frac12
6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk
barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri
Barisan dan Deret Geometri Contoh 1
Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah
a banyaknya kursi pada baris ke-10
b banyaknya kursi dalam gedung itu
Penyelesain
a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66
Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika
Deret tak hingga genap
Sn = 119834119851
120783 119851120784 untuk bilangan genap
Deret tak hingga ganjil Sn = 119834
120783 119851120784 untuk
bilangan ganjil
Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b
Sn =
( n
Un = arn-1
S10 =
( 3
= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2
Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan
kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai
tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang
PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun
tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak
Arman padaakhir tahun 2005
Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir
tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap
Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari
Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-
BAB III STATISTIK DAN PELUANG
A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika
1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari
suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum
Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x
2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu
keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang
pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan
c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi
3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota
populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)
b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti
B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa
yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang
Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut
Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah
2005 866 8081 8947
2006 1087 11226 12313
2007 1500 16400 17900
2008 1709 20001 21710
2009 2010 25195 27205
Diagram batang tegak
2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan
Tahun Impor (dalam kuintal)
2004 9500
2005 4000
2006 4500
2007 10500
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
2005 2006 2007 2008 2009
Jumlah
Jumlah
2008 1500
2009 2000
3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah
lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan
b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut
Mata Pencaharian Frekuensi
Petani 90
Peternak 10
Pedagang 120
Guru 50
Karyawan 30
Jumlah 300
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
2004 2005 2006 2007 2008 2009
Impor
Impor
Mata
Pencaharian
Besar Sudut Juring Presentase
Petani
9
3 3
8
9
3
3
Peternak
3 3
3
3 33
Pedagang
3 3
3
Guru
3 3
3
7
Karyawan 3
3 3 3
3
3
Diagram Lingkaran
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Petani 108 Guru 60
Pedagang 144
Karyawan 36
Peternak 12
c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok
Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval
menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap
kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap
kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data
a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan
seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas
kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas
dirumuaskan
Panjang kelas ng n
n l
Diagram Pastel
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Pedagang 144
Petani 108 Guru
60
Tabel distribusi Nilai frekuensi
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
2) Histogram dan Poligon
Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram
3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan
menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo
Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika
Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
335
385
435
485
535
585
385
435
485
535
585
635
Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f
Nilai f le
le38
le 3
le 8
le 3
le 8
le 3
2
9
16
24
29
32
Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f
Nilai f ge
ge33
ge38
ge 3
ge 8
ge 3
32
30
23
16
8
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
ge 8 3
C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat
data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit
Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok
1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)
Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal
m m m y m
y y m y m
n atau
sum
n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data
nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus
g
Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan
seterusnya Contoh
Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut
Jawab
g
39
39
9 9 90
Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90
c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka
M data ke n+
Jika banyak data genap maka
M
d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus
Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus
Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10
Mean
n
+ + + + + + +
7
Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap
M
8
8
M
M 7 8
M 7
Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling
sering muncul yaitu sebanyak 3 kali
2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)
Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut
sum f
n
sum f n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i
b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut
M L (
f
f
)
Keterangan
L = tepi bawah kelas median n = banyak data f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
p = panjang kelas c Modus
Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut
Mo L
Keterangan
L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas
contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa
31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94
Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus
Jawab 1 Distribusi frekuensi
Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68
Lebar kelas
9 7
Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1
31-40 2 2 355 71
41-50 3 5 455 1365
51-60 5 10 555 2775
61-70 7 17 655 4585
71-80 11 28 755 8305
81-90 6 34 855 513
91-100 6 40 955 573
Jumlah 40 2860
Mean
sum f n
sum f n
8
7
Median
M L (
f
f
)
M 7 (
7
)
M 7 7
M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3
Modus
Mo L
Mo 7
Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9
D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal
a Kuartil
Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil
1) Kuartil pertamabawah (Q1)
Q1 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
2) Kuartil keduatengah (Q2)
Q2 membagi data terurut menjadi
atau
bagian
Dengan kata lain Q2 merupakan median data
3) Kuartil ketigatengah (Q3)
Q3 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
3(
3
4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga
(
5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut
(
6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data
a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
b Desil dan persentil
Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil
Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut
D
(
Keterangan i =123 9
n= ukuran data
Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
(
Keterangan i =123 99
n= ukuran data
2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil
1) Kuartil pertama (Q1)
L (
f
f
)
2) Kuartil kedua (Q2)
L (
f
f
)
3) Kuartil ketiga (Q3)
L (
3 f
f
)
Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123
f = frekuensi kelas kuartil i = 123
n = banyak kelas
p = panjang kelas b Desil dan Persentil
Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut
D L (
f
f
)
Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f
= frekuensi kelas desil ke-i
p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
L (
f f
)
L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f
= frekuensi kelas persentil ke-i
p = panjang kelas
3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan
Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil
n Keterangan
R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil
b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)
c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil
(
d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan
L
(
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
E Pangkat Pecahan Selanjutnya kita akan analisis sifat perpangkatan bilangan real dengan pangkat
pecahan Misalkan a bilangan real dan a m n bilangan bulat positif didefinisikan
F Bentuk Akar Pengakaran (penarikan akar) suatu bilangan merupakan inversi dari
pemangkatan suatu bilanganakar dilabangkan notasi radic
Akar ke n atau akar
pangkat n dari suatu bilangan a dituliskan sebagai radic dengan adalah bilangan
pokok basis dan n adalah indekseksponen akarBentuk akar dapat diubah menjadi bentuk pangkat dan sebaliknya Sebelum mempelajari bentuk akar kita harus memahami konsep bilangan rasional dan irasional terlebih dahulu
Bilangan rasional berbeda dengan bilnagan irasional Bilangan rasional adalah
bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk
dengan a dan b bilangan bulat dan b
bilangan rasional terdiri atas bilangan bulat bilangan bilngan pecahan murni dan bilangan pecahan desimal sedangkan bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan Bilangan irasional merupakan bilangan yang mengandung pecahan desimal tak terhingga dan tak berpola Contoh bilangan
irrasional misalnya radic 3 373 dan sebagainya
Misalkan a bilangan real dan n bilangan positif radic
disebut bentuk akar jika dan
hanya jika hasil radic
adalah bilangan irrasional
Bilangan irrasional yang menggunakan tanda akar (radic) dinamakan bentuk akar tetapi ingattidk semua bilangan yang berada dalam tanda akar merupakan bilangan
irrasional Contoh radic dan radic bukan bentuk akar karena nilai dari radic adalah 5
dan nilai radic adalah 8 keduanya bukan bilangan irrasional Agar lebih jelas perhatikan cocntoh berikut
1 radic
2 radic 7
adalah bukan bentuk akar karena radic 7
= 3
G Hubungan Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Perlu diketahui bahwa berpangkat memiliki hubungan dengan bentuk akar Jika a
adalah bilangan real dan a dengan a 0
dan
adalah bilangan pecahan n
a dan adalah bilangan pecahan n maka
=(
Perrhatikan bahwa
dan perlihatkan bahwa
radic radic sehingga dapat disimpulkan
radic
erhatikan untuk kasus di bawah ini
119886119898119899
119886
119898
Sifat-sifat pangkat pecahan Misalkan a adalah bilangan real dan a
p
n
119898
119899 adalah bilangan pecahan
n jika nqge 2 maka 119886119898
119899 119886119901
119902 = 119886119898
119899 119901
119902
+
+
=
radic radic radic sehingga dapat disimpulkan
radic
H Operasi Pada bentuk Akar 1 Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar
operasi penjumlahandan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan apabila bentuk akarnya senama Bentuk akar senama adalah bentuk akar yang mempunyai ekspone dan basis sma Untuk setiap pq dan r adalah bilangan real dan r ge berlaku sifat-sifat berikut
contoh
a 3radic radic = (3+4)radic
= 7radic
b radic radic3 ( tidak dapat diselesaikan karena akarnya tidak senama )
2 Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar
Pada pangkat pecahan telah dinyatakan bahwa
radic sifat perkalian dan
pembagian bentuk akar dapat dicermati pada beberapa contoh berikut Contoh
a radic8
radic
=
= =2
b radic
radic =
radic
3 Merasionalkan Penyebut Bentuk akar
Kita tahu bahwa bentuk-bentuk akar seperti radic radic radic3 radic7 radic radic Merupakan bilangan irrasional Jika bentuk akar tersebut menjadi penyebut pada suatu pecahan maka dikatakan sebagai penyebut irrasional Penyebut irrasional dapat diubah menjadi bilangan rasional Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan bergantung pada bentuk pacahan itu sendiri Akan tetapi prinsip dasarnya samayaitu mengalikan dengan bentuk akar sekawanya Proses ini dinamakan merasionalkan penyebut
a Merasionalkan bentuk
radic
Bentuk
radic dirasionalkan dengan cara mengalikanya dengan radic
radic
radic
radic radic
radic =
radic
b Merasionalkan bentuk
+radic
radic
radic +radic dan
radic radic
Sebelum kita merasionalkan bentuk-bentuk akar di atasperlu kita pahamibentuk-bentuk campuran bilangan rasional dan bilangan irasional
c Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya
bilangan irrasional Contoh 2 + radic7 7 ( d Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya
bilangan irrasional Contoh 2 + radic7 7 (
pradic119903119899
119902radic119903119902
(119901 119902 radic119903119899
pradic119903119899
119902radic119903119899
(119901 119902 radic119903119899
e Jika bilangan irrasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya bilangan irrasional atau rasional contoh (1)
f jika bilangan rasional dialihkan dengan bilangan irasional maka hasilnya bilangan
irasional contoh 2 x radic = 2radic g jika bilangan irasional dikalikan dengan bilangan irasional maka hasilnya dapat
bilangan rasional atau bilangan irasional h Contoh
radic x radic = radic x 5radic = 25 (25 adalah bilangan rasional)radic
disebut betuk akar
apabila hasil akar a adalah bilangan irasional untuk merasionalkan bentuk
+ radic
radic
radic + radic dan
radic radic
4 Menyederhanakan bentuk radic( radic
sekarang kita akan menyederhanakan bentuk akar yang mempunyai bentuk
khusus yaitu bentuk radic( radic perhatikan proses berikut ini
diskusikan masalah berikut dengan teman mu
a (radic radic ) (radic radic )
b (radic radic ) (radic radic )
dari hasil kegiatan yang kamu lakukan kamu akan memperoleh bentuk
sederhananya menjadi radic( radic
selanjutnya perhatikan contoh berikut
radic8 radic = radic( 3 radic 3
= radic radic 3 3
= radic(radic radic3)
= radic radic3
I Menentukan Konsep Logaritma telinga manusia dapat mendengar suara dengan intensitas yag rentang nya luar
biasa suara paling keras yang dapat didengar oleh orang yang sehat tanpa merusak gendang telinga memiliki intensitas 1 triliun kali lebih kuat dar pada suara paling rendah yang bisa didengar
menghitung intensitas bunyi dengan rentang begitu besar tentu sangat tidak nyaman Namun dengan logaritma perhitungan ini akan menjadi lebih sederhana Logaritma merupakan suatu operasi hitung Alexander Graham Bell (1847-1922) menggunakan logaritma untuk menghitung skala bunyi skala ini dinamakan decibel
dan didefinisikan sebagai
dengan D adalah sekala decibel bunyi I
adalah intensitas bunyi dengan satuan Watt per meter persegi frasl dan
adalah intansitas bunyi paling minimum yang bisa didengar orang yang sehat yaitu
sebagai gambaran berikut ini adalah table intensitas bunyi beberapa objek
Intensitas Bunyi
frasl
Intensitas Bunyi
Ambang batas bawah
pendengaran
Suara Bisik-bisik
3 Percakapan normal
8 Lalu lintas padat
8 3 Pesawat jet lepas landas
J Sifat-sifat Logaritma
Dari definisi 19 logaritma merupakan invers dari perpangkatan oleh karena itu terdapat 3 sifat dasar logaritma yaitu
misalkan a dan n bilangan real a gt 0 dan a maka
sifat- sifat tersebut dapat diturunkan langsung dari definisi logaritma Bebarapa sifat operasi logaritma
a 119886 a a 119886119899 119899
a) Untuk a b dan c bilangan real positif a dan b gt 0 belaku a (119886119909119888 a 119887 a 119888
b) Untuk a b dan c bilangan real dengan a gt 0 a dan bgt 0
berlaku a 119887
119888 = a 119887 a 119888
c) Untuk ab dan n bilangan real agt 0 b gt 0 a berlaku a 119887119899 = n a 119887
d) Untuk a b dan c bilangan real positif 119886 119887 119889119886119899 119888
berlaku alog b log119887119888
log119886119888 =
log119886119899
e) Untuk a b dan c bilangan real positif dengan 119886 119889119886119899 119888 berlaku a 119887 119909 a 119888 = a 119888
f) Untuk a dan b bilangan real positif dengan 119886 berlaku an 119887119899 119899
119898
(alog b) dengan mn bilangan bulat dan m 0 g) untuk a dan b bilangan real positif a 1 berlaku aalogb = b
BAB II BARISAN DAN DERET
A Pengertian Barisan dan Deret
1 Pola Bilangan dan Barisan Pola bilangan sering di jumpai dalam kehidupan sehari-hari misalnya pada
suatu perjamuan ketika belum ada tamu yang datang maka tuan rumah tidak berjabat tangan Jika satu tamu datang maka terjadi 1 kali jabat tangan jika kemudian ada 1 tamu lagi yang datang maka terjadi 3 kali jabat tangan Berikut adalah pola bilangan yang dapat terbentuk
Banyak orang
Banyak Jabat Tangan 1 0 = 0 2 0 + 1 = 1 3 0 + 1 + 2 = 3 n 0 + 1 + 2 + + ( n ndash 1 )
Contoh soal Ada 10 orang tamu + 1 tuan rumah berapa banyak jabat tangan yang mungkin
terjadi Banyak jabat tangan = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 kali
jabat tangan
2 Barisan Bilangan Barisan bilangan adalah susunan bilangan ndash bilangan yang memiliki aturan
tertentu dan di pisahkan dengan koma
Contoh soal 3 7 9 rarr B c 11 8 5 2 - rarr B c -3 Tentukan tiga suku pertama pada barisan yang suku umumnya di rumuskan
dengan n 9
Jawab n 9 9 9 3 3 9
Bentuk umum
119880119899 119880 119880 119880
119880 119880 119880
3 Deret Bilangan Jumlah suku-suku dari suatu barisan di sebut deret Bentuk umumnya adalah
sebagai berikut
Contoh Deret bilangan genap 2 + 4 + 6 + 8 + Deret bilangan persegi panjang 2 + 6 + 12 + 20 + Deret bilangan kubik 3
B Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika
1 Barisan Aritmatika Perhatikan penggaris ukuran 30 cm Pada penggaris tersebut terdapat bilangan
berurutan 0 1 2 3 4 30 Setiap bilangan berurutan pada penggaris ini mempunyai jarak yang sama yaitu 1 cm Jarak antar bilangan berurutan menunjukan selisih antar bilangan Bilangan ndash bilangan berurutan seperti padda penggaris memiliki selisih yang sama untuk setiap dua suku berurutannya sehingga membentuk suatu barisan bilangan Barisan bilangan seperti ini di sebut barisan aritmatika dengan selisih setiap dua suku berurutannya yang disebut beda
Bentuk umum
Pada barisan aritmatika berlaku
Contoh Tentukan beda dari suku-suku di bawah ini
a 4 7 10 13 b -10 -6 -2 2
Jawab a Beda = 7 ndash 4 = 3 b Beda = -6 ndash (-10) = 4
2 Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika
Suku ke-n Barisan Aritmatika adalah
Keterangan
119880 119880 119880 119880119899
119880119894
119899
119894
119880 119880 119880 119880119899 119886119905119886119906 119886 (119886 119887 (119886 119887 (119886
(119899 119887
119880119899 119880119899 119887
119880 119880 119887119880
119880119899 119880119899 119887
119880119899 119886 (119899 119887
Sehingga
n = Suku ke ndash n a = Suku pertama b = Beda n = Banyaknya suku
Contoh 1
Tentukan suku pertama beda dan suku ke-10 dari barisan 4 7 10 13
Jawab a = 4 b = 7 ndash 4 = 3 n ( ( 3 3
Contoh 2
Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 24 a Tentukan beda dan jenis barisan dari barisan aritmetika tersebut b Tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut Jawab Diketahui
suku pertama = a = 6 suku ketujuh = U7 = 36
a Untuk menentukan beda Un = a + (n 1) b maka U7 = 6 + (7 1) b 36 = 6 + 6 b 36 6 = 6 b 30 = 6 b b = 5
Jadi beda pada barisan itu adalah 5 Oleh karena b gt 0 barisan aritmetika tersebut merupakan barisan aritmetika naik
b Dengan suku pertama 6 dan beda 5 diperoleh barisan aritmetika sebagai
berikut 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51
Contoh 3 D m 8 3 7 7 Tentukan rumus suku ke-n yang berlaku pada barisan tersebut Jawab Diketahui a = U1 = 8
b = U2 U1 = 3 ( 8 = 3 8 = 5
Jadi rumus umum yang berlaku pada barisan tersebut adalah
Un = a + (n 1) b = 8 (n 1) 5 = 8 n 5 = 5n ndash 13
Contoh 4 Diketahui barisan bilangan asli kurang dari 125 Tentukan banyak bilangan yang a habis dibagi 2 b habis dibagi 5 c habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 Penyelesaian Barisan bilangan itu adalah 1 2 3 4 124 a Barisan bilangan yang habis dibagi 2 adalah 2 4 6 8 124 b Barisan bilangan yang habis dibagi 5 adalah 5 10 15 20 120 c Barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah
anggota penyelesaian pertanyaan bagian a dikurangi anggota penyelesaian pertanyaan b
Jadi barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah 2 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28 32 118 122 124
3 Suku Tengah Barisan Aritmatika ( Uk ) Barisan nuntuk n ganjil Maka dapat di rumuskan sebagai berikut
Contoh Di ketahui barisan aritmatika 3 9 15 21 117 Tentukan suku tengahnya
Jawab
n
+
= 60
4 Sisipan pada Barisan Aritmatika
Jika di antara 2 bilangan a dan Un di sisipkan bilangan a Un K bilangan
Maka setelah di sisipi k bilangan banyaknya suku pada barisan ada (k+2)=n n (
Pada barisan baru berlaku
119880119896 119880119899 119886
Un = a + ( k + 2 ndash 1 )b Un = a + ( k + 1 )b
Contoh
Di antara bilangan 6 dan 24 di sisipkan 8 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika Tentukan bedanya
Jawab a = 6 Un = 24 k = 8
b = n
+ =
+
5 Deret Aritmatika
Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika Jika U1 U2 U3 Un adalah barisan aitmatika maka U1 +U2 + U3 Un merupaka deret aritmatika Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan Sn
Sn =U1 +U2 + U3 Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah
atau
Contoh 1 Di ketahui deret aritmatika 4 + 8 + 12 + 16 + Hitung jumlah 25 suku
pertama Jawab
Sn =
( (
S25=
( (
S25= 1300
Contoh 2 Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 Penyelesaian Diketahui a = 51 b = 2 dan Un = 99 Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100 pertama-tama kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100 yaitu n Dengan menggunakan rumus
Un = a + (n ndash 1) b 99 = 51 + (n ndash 1)(2) 99 = 51 + 2n ndash 2 99 = 49 + 2n 2n = 99 ndash 49 n = 25
Sn =
119899 ( 119886 119880119899 Sn =
119899 ( 119886 ( 119899 119887
Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika
Sn =
( (
diperoleh
S25 =
25 [2(51) + (25 -1)(2)]
= 25(51 + 24) = 25(75) = 1875
Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1875
C Barisan Geometri dan Deter Geometri 1 Barisan Geometri
Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1 U2 U3 U4 n-1 Un
Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke ndash n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ) ditulis
D m
Misalkan suku pertama sama dengan a rasio sama dengan r maka U1 U2 U3 Un
a ar ar2 n ndash 1 Dengan demikian rumus suku ke ndash n barisan geometri adalah Contoh
Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32 Tentukan
a suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut b suku kesembilan barisan geometri tersebut
Jawab Diketahui
U4 = 4 dan U7 = 32 Un = arn ndash 1 maka U4 = ar3 = 4 (1)
U7 = ar6 = 32 (2)
Dari persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a = 4r3 (3)
Subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) ar6 = 32 maka 4r3 = 32
Un = arn-1
r =
minus
r3 = 8 r = 2
Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a(2)3 = 4 a 8 = 4 a = frac12
Jadi suku pertamanya adalah 12 dan rasionya adalah 2 2 Rumus Suku Tengah Barisan Geometri
Suatu barisan geometri dengan n suku n bilangan ganjil maka suku tengah ( Uk ) dinyatakan sebagai berikut
Contoh Di ketahui Barisan Geometri 2 8 32 8192 Tentukan suku tengahnya Jawab
a = 2 Un = 8192
Uk = radic n
Uk = radic 8 9 8
3 Sisipan pada Barisan Geometri Pada barisan geometri a Un disisipkan k suku
K suku
Pada barisan geometri baru banyaknya suku adalah ( k + 2 ) Jadi
Contoh
Di antara bilangan
dan 64 disisipkan 7 bilangan sehingga menjadi barisan
geometri Tentukan rasio Jawab
r = radic
r = radic
r = radic
r = radic
= 2
Uk = radic 119899
Un = arn-1 rarr Un = ar(k+2-1) rarrUn = ark+1
rarrr = radic
4 Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku ndash suku barisan geometri Jika U1 U2 U3 U4 n-1 Un adalah barisan geometri maka U1 +U2 + U3 + Unmerupaka deret geometri Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn =U1 +U2 Un-1 + Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah
Contoh Tentukan jumlah ke 6 deret geometri berikut 2 + (-10) + 50 + + (-6250)
Jawab
1
1
r
raS
n
n
15
1)5(2 6
nS
6
156242
nS
5208nS
5 Deret Geometri Tak Hingga
Jika suatu deret geometri Sn =U1 +U2 Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga makaderet geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan
Sinfin =U1 +U2 Un-1
Jika
rkarena
r
raitSmakar
n
n
1
1lim1
Jika
011
1lim1 mendekatirkarena
r
a
r
raitSmakar
n
n
Sehingga rumus jumlah deret geometri takhingga untuk 01 adalahrr
Contoh 1 Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut
a 1 + 12 + 14 + 18 +
b + +
+
+
Jawab
a 1 + 12 + 14 + 18 + Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = frac12 sehingga
b + +
+
+
Perhatikan deret 2 + 1 + 12 + 14 + Dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r = frac12
Jadi + +
+
+ = = 16
Contoh 2
Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4 Carilah rasionya
Penyelesaian
Dari soal di atas unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan Sinfin = 4
Kita substitusikan ke dalam rumus Sinfin
harr 1 ndash r = frac12 harr r = frac12
Jadi rasionya adalah frac12
6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk
barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri
Barisan dan Deret Geometri Contoh 1
Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah
a banyaknya kursi pada baris ke-10
b banyaknya kursi dalam gedung itu
Penyelesain
a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66
Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika
Deret tak hingga genap
Sn = 119834119851
120783 119851120784 untuk bilangan genap
Deret tak hingga ganjil Sn = 119834
120783 119851120784 untuk
bilangan ganjil
Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b
Sn =
( n
Un = arn-1
S10 =
( 3
= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2
Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan
kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai
tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang
PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun
tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak
Arman padaakhir tahun 2005
Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir
tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap
Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari
Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-
BAB III STATISTIK DAN PELUANG
A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika
1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari
suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum
Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x
2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu
keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang
pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan
c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi
3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota
populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)
b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti
B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa
yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang
Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut
Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah
2005 866 8081 8947
2006 1087 11226 12313
2007 1500 16400 17900
2008 1709 20001 21710
2009 2010 25195 27205
Diagram batang tegak
2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan
Tahun Impor (dalam kuintal)
2004 9500
2005 4000
2006 4500
2007 10500
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
2005 2006 2007 2008 2009
Jumlah
Jumlah
2008 1500
2009 2000
3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah
lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan
b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut
Mata Pencaharian Frekuensi
Petani 90
Peternak 10
Pedagang 120
Guru 50
Karyawan 30
Jumlah 300
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
2004 2005 2006 2007 2008 2009
Impor
Impor
Mata
Pencaharian
Besar Sudut Juring Presentase
Petani
9
3 3
8
9
3
3
Peternak
3 3
3
3 33
Pedagang
3 3
3
Guru
3 3
3
7
Karyawan 3
3 3 3
3
3
Diagram Lingkaran
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Petani 108 Guru 60
Pedagang 144
Karyawan 36
Peternak 12
c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok
Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval
menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap
kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap
kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data
a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan
seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas
kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas
dirumuaskan
Panjang kelas ng n
n l
Diagram Pastel
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Pedagang 144
Petani 108 Guru
60
Tabel distribusi Nilai frekuensi
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
2) Histogram dan Poligon
Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram
3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan
menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo
Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika
Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
335
385
435
485
535
585
385
435
485
535
585
635
Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f
Nilai f le
le38
le 3
le 8
le 3
le 8
le 3
2
9
16
24
29
32
Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f
Nilai f ge
ge33
ge38
ge 3
ge 8
ge 3
32
30
23
16
8
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
ge 8 3
C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat
data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit
Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok
1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)
Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal
m m m y m
y y m y m
n atau
sum
n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data
nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus
g
Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan
seterusnya Contoh
Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut
Jawab
g
39
39
9 9 90
Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90
c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka
M data ke n+
Jika banyak data genap maka
M
d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus
Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus
Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10
Mean
n
+ + + + + + +
7
Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap
M
8
8
M
M 7 8
M 7
Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling
sering muncul yaitu sebanyak 3 kali
2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)
Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut
sum f
n
sum f n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i
b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut
M L (
f
f
)
Keterangan
L = tepi bawah kelas median n = banyak data f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
p = panjang kelas c Modus
Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut
Mo L
Keterangan
L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas
contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa
31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94
Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus
Jawab 1 Distribusi frekuensi
Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68
Lebar kelas
9 7
Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1
31-40 2 2 355 71
41-50 3 5 455 1365
51-60 5 10 555 2775
61-70 7 17 655 4585
71-80 11 28 755 8305
81-90 6 34 855 513
91-100 6 40 955 573
Jumlah 40 2860
Mean
sum f n
sum f n
8
7
Median
M L (
f
f
)
M 7 (
7
)
M 7 7
M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3
Modus
Mo L
Mo 7
Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9
D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal
a Kuartil
Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil
1) Kuartil pertamabawah (Q1)
Q1 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
2) Kuartil keduatengah (Q2)
Q2 membagi data terurut menjadi
atau
bagian
Dengan kata lain Q2 merupakan median data
3) Kuartil ketigatengah (Q3)
Q3 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
3(
3
4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga
(
5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut
(
6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data
a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
b Desil dan persentil
Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil
Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut
D
(
Keterangan i =123 9
n= ukuran data
Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
(
Keterangan i =123 99
n= ukuran data
2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil
1) Kuartil pertama (Q1)
L (
f
f
)
2) Kuartil kedua (Q2)
L (
f
f
)
3) Kuartil ketiga (Q3)
L (
3 f
f
)
Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123
f = frekuensi kelas kuartil i = 123
n = banyak kelas
p = panjang kelas b Desil dan Persentil
Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut
D L (
f
f
)
Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f
= frekuensi kelas desil ke-i
p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
L (
f f
)
L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f
= frekuensi kelas persentil ke-i
p = panjang kelas
3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan
Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil
n Keterangan
R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil
b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)
c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil
(
d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan
L
(
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
+
+
=
radic radic radic sehingga dapat disimpulkan
radic
H Operasi Pada bentuk Akar 1 Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar
operasi penjumlahandan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan apabila bentuk akarnya senama Bentuk akar senama adalah bentuk akar yang mempunyai ekspone dan basis sma Untuk setiap pq dan r adalah bilangan real dan r ge berlaku sifat-sifat berikut
contoh
a 3radic radic = (3+4)radic
= 7radic
b radic radic3 ( tidak dapat diselesaikan karena akarnya tidak senama )
2 Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar
Pada pangkat pecahan telah dinyatakan bahwa
radic sifat perkalian dan
pembagian bentuk akar dapat dicermati pada beberapa contoh berikut Contoh
a radic8
radic
=
= =2
b radic
radic =
radic
3 Merasionalkan Penyebut Bentuk akar
Kita tahu bahwa bentuk-bentuk akar seperti radic radic radic3 radic7 radic radic Merupakan bilangan irrasional Jika bentuk akar tersebut menjadi penyebut pada suatu pecahan maka dikatakan sebagai penyebut irrasional Penyebut irrasional dapat diubah menjadi bilangan rasional Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan bergantung pada bentuk pacahan itu sendiri Akan tetapi prinsip dasarnya samayaitu mengalikan dengan bentuk akar sekawanya Proses ini dinamakan merasionalkan penyebut
a Merasionalkan bentuk
radic
Bentuk
radic dirasionalkan dengan cara mengalikanya dengan radic
radic
radic
radic radic
radic =
radic
b Merasionalkan bentuk
+radic
radic
radic +radic dan
radic radic
Sebelum kita merasionalkan bentuk-bentuk akar di atasperlu kita pahamibentuk-bentuk campuran bilangan rasional dan bilangan irasional
c Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya
bilangan irrasional Contoh 2 + radic7 7 ( d Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya
bilangan irrasional Contoh 2 + radic7 7 (
pradic119903119899
119902radic119903119902
(119901 119902 radic119903119899
pradic119903119899
119902radic119903119899
(119901 119902 radic119903119899
e Jika bilangan irrasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya bilangan irrasional atau rasional contoh (1)
f jika bilangan rasional dialihkan dengan bilangan irasional maka hasilnya bilangan
irasional contoh 2 x radic = 2radic g jika bilangan irasional dikalikan dengan bilangan irasional maka hasilnya dapat
bilangan rasional atau bilangan irasional h Contoh
radic x radic = radic x 5radic = 25 (25 adalah bilangan rasional)radic
disebut betuk akar
apabila hasil akar a adalah bilangan irasional untuk merasionalkan bentuk
+ radic
radic
radic + radic dan
radic radic
4 Menyederhanakan bentuk radic( radic
sekarang kita akan menyederhanakan bentuk akar yang mempunyai bentuk
khusus yaitu bentuk radic( radic perhatikan proses berikut ini
diskusikan masalah berikut dengan teman mu
a (radic radic ) (radic radic )
b (radic radic ) (radic radic )
dari hasil kegiatan yang kamu lakukan kamu akan memperoleh bentuk
sederhananya menjadi radic( radic
selanjutnya perhatikan contoh berikut
radic8 radic = radic( 3 radic 3
= radic radic 3 3
= radic(radic radic3)
= radic radic3
I Menentukan Konsep Logaritma telinga manusia dapat mendengar suara dengan intensitas yag rentang nya luar
biasa suara paling keras yang dapat didengar oleh orang yang sehat tanpa merusak gendang telinga memiliki intensitas 1 triliun kali lebih kuat dar pada suara paling rendah yang bisa didengar
menghitung intensitas bunyi dengan rentang begitu besar tentu sangat tidak nyaman Namun dengan logaritma perhitungan ini akan menjadi lebih sederhana Logaritma merupakan suatu operasi hitung Alexander Graham Bell (1847-1922) menggunakan logaritma untuk menghitung skala bunyi skala ini dinamakan decibel
dan didefinisikan sebagai
dengan D adalah sekala decibel bunyi I
adalah intensitas bunyi dengan satuan Watt per meter persegi frasl dan
adalah intansitas bunyi paling minimum yang bisa didengar orang yang sehat yaitu
sebagai gambaran berikut ini adalah table intensitas bunyi beberapa objek
Intensitas Bunyi
frasl
Intensitas Bunyi
Ambang batas bawah
pendengaran
Suara Bisik-bisik
3 Percakapan normal
8 Lalu lintas padat
8 3 Pesawat jet lepas landas
J Sifat-sifat Logaritma
Dari definisi 19 logaritma merupakan invers dari perpangkatan oleh karena itu terdapat 3 sifat dasar logaritma yaitu
misalkan a dan n bilangan real a gt 0 dan a maka
sifat- sifat tersebut dapat diturunkan langsung dari definisi logaritma Bebarapa sifat operasi logaritma
a 119886 a a 119886119899 119899
a) Untuk a b dan c bilangan real positif a dan b gt 0 belaku a (119886119909119888 a 119887 a 119888
b) Untuk a b dan c bilangan real dengan a gt 0 a dan bgt 0
berlaku a 119887
119888 = a 119887 a 119888
c) Untuk ab dan n bilangan real agt 0 b gt 0 a berlaku a 119887119899 = n a 119887
d) Untuk a b dan c bilangan real positif 119886 119887 119889119886119899 119888
berlaku alog b log119887119888
log119886119888 =
log119886119899
e) Untuk a b dan c bilangan real positif dengan 119886 119889119886119899 119888 berlaku a 119887 119909 a 119888 = a 119888
f) Untuk a dan b bilangan real positif dengan 119886 berlaku an 119887119899 119899
119898
(alog b) dengan mn bilangan bulat dan m 0 g) untuk a dan b bilangan real positif a 1 berlaku aalogb = b
BAB II BARISAN DAN DERET
A Pengertian Barisan dan Deret
1 Pola Bilangan dan Barisan Pola bilangan sering di jumpai dalam kehidupan sehari-hari misalnya pada
suatu perjamuan ketika belum ada tamu yang datang maka tuan rumah tidak berjabat tangan Jika satu tamu datang maka terjadi 1 kali jabat tangan jika kemudian ada 1 tamu lagi yang datang maka terjadi 3 kali jabat tangan Berikut adalah pola bilangan yang dapat terbentuk
Banyak orang
Banyak Jabat Tangan 1 0 = 0 2 0 + 1 = 1 3 0 + 1 + 2 = 3 n 0 + 1 + 2 + + ( n ndash 1 )
Contoh soal Ada 10 orang tamu + 1 tuan rumah berapa banyak jabat tangan yang mungkin
terjadi Banyak jabat tangan = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 kali
jabat tangan
2 Barisan Bilangan Barisan bilangan adalah susunan bilangan ndash bilangan yang memiliki aturan
tertentu dan di pisahkan dengan koma
Contoh soal 3 7 9 rarr B c 11 8 5 2 - rarr B c -3 Tentukan tiga suku pertama pada barisan yang suku umumnya di rumuskan
dengan n 9
Jawab n 9 9 9 3 3 9
Bentuk umum
119880119899 119880 119880 119880
119880 119880 119880
3 Deret Bilangan Jumlah suku-suku dari suatu barisan di sebut deret Bentuk umumnya adalah
sebagai berikut
Contoh Deret bilangan genap 2 + 4 + 6 + 8 + Deret bilangan persegi panjang 2 + 6 + 12 + 20 + Deret bilangan kubik 3
B Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika
1 Barisan Aritmatika Perhatikan penggaris ukuran 30 cm Pada penggaris tersebut terdapat bilangan
berurutan 0 1 2 3 4 30 Setiap bilangan berurutan pada penggaris ini mempunyai jarak yang sama yaitu 1 cm Jarak antar bilangan berurutan menunjukan selisih antar bilangan Bilangan ndash bilangan berurutan seperti padda penggaris memiliki selisih yang sama untuk setiap dua suku berurutannya sehingga membentuk suatu barisan bilangan Barisan bilangan seperti ini di sebut barisan aritmatika dengan selisih setiap dua suku berurutannya yang disebut beda
Bentuk umum
Pada barisan aritmatika berlaku
Contoh Tentukan beda dari suku-suku di bawah ini
a 4 7 10 13 b -10 -6 -2 2
Jawab a Beda = 7 ndash 4 = 3 b Beda = -6 ndash (-10) = 4
2 Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika
Suku ke-n Barisan Aritmatika adalah
Keterangan
119880 119880 119880 119880119899
119880119894
119899
119894
119880 119880 119880 119880119899 119886119905119886119906 119886 (119886 119887 (119886 119887 (119886
(119899 119887
119880119899 119880119899 119887
119880 119880 119887119880
119880119899 119880119899 119887
119880119899 119886 (119899 119887
Sehingga
n = Suku ke ndash n a = Suku pertama b = Beda n = Banyaknya suku
Contoh 1
Tentukan suku pertama beda dan suku ke-10 dari barisan 4 7 10 13
Jawab a = 4 b = 7 ndash 4 = 3 n ( ( 3 3
Contoh 2
Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 24 a Tentukan beda dan jenis barisan dari barisan aritmetika tersebut b Tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut Jawab Diketahui
suku pertama = a = 6 suku ketujuh = U7 = 36
a Untuk menentukan beda Un = a + (n 1) b maka U7 = 6 + (7 1) b 36 = 6 + 6 b 36 6 = 6 b 30 = 6 b b = 5
Jadi beda pada barisan itu adalah 5 Oleh karena b gt 0 barisan aritmetika tersebut merupakan barisan aritmetika naik
b Dengan suku pertama 6 dan beda 5 diperoleh barisan aritmetika sebagai
berikut 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51
Contoh 3 D m 8 3 7 7 Tentukan rumus suku ke-n yang berlaku pada barisan tersebut Jawab Diketahui a = U1 = 8
b = U2 U1 = 3 ( 8 = 3 8 = 5
Jadi rumus umum yang berlaku pada barisan tersebut adalah
Un = a + (n 1) b = 8 (n 1) 5 = 8 n 5 = 5n ndash 13
Contoh 4 Diketahui barisan bilangan asli kurang dari 125 Tentukan banyak bilangan yang a habis dibagi 2 b habis dibagi 5 c habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 Penyelesaian Barisan bilangan itu adalah 1 2 3 4 124 a Barisan bilangan yang habis dibagi 2 adalah 2 4 6 8 124 b Barisan bilangan yang habis dibagi 5 adalah 5 10 15 20 120 c Barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah
anggota penyelesaian pertanyaan bagian a dikurangi anggota penyelesaian pertanyaan b
Jadi barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah 2 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28 32 118 122 124
3 Suku Tengah Barisan Aritmatika ( Uk ) Barisan nuntuk n ganjil Maka dapat di rumuskan sebagai berikut
Contoh Di ketahui barisan aritmatika 3 9 15 21 117 Tentukan suku tengahnya
Jawab
n
+
= 60
4 Sisipan pada Barisan Aritmatika
Jika di antara 2 bilangan a dan Un di sisipkan bilangan a Un K bilangan
Maka setelah di sisipi k bilangan banyaknya suku pada barisan ada (k+2)=n n (
Pada barisan baru berlaku
119880119896 119880119899 119886
Un = a + ( k + 2 ndash 1 )b Un = a + ( k + 1 )b
Contoh
Di antara bilangan 6 dan 24 di sisipkan 8 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika Tentukan bedanya
Jawab a = 6 Un = 24 k = 8
b = n
+ =
+
5 Deret Aritmatika
Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika Jika U1 U2 U3 Un adalah barisan aitmatika maka U1 +U2 + U3 Un merupaka deret aritmatika Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan Sn
Sn =U1 +U2 + U3 Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah
atau
Contoh 1 Di ketahui deret aritmatika 4 + 8 + 12 + 16 + Hitung jumlah 25 suku
pertama Jawab
Sn =
( (
S25=
( (
S25= 1300
Contoh 2 Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 Penyelesaian Diketahui a = 51 b = 2 dan Un = 99 Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100 pertama-tama kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100 yaitu n Dengan menggunakan rumus
Un = a + (n ndash 1) b 99 = 51 + (n ndash 1)(2) 99 = 51 + 2n ndash 2 99 = 49 + 2n 2n = 99 ndash 49 n = 25
Sn =
119899 ( 119886 119880119899 Sn =
119899 ( 119886 ( 119899 119887
Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika
Sn =
( (
diperoleh
S25 =
25 [2(51) + (25 -1)(2)]
= 25(51 + 24) = 25(75) = 1875
Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1875
C Barisan Geometri dan Deter Geometri 1 Barisan Geometri
Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1 U2 U3 U4 n-1 Un
Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke ndash n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ) ditulis
D m
Misalkan suku pertama sama dengan a rasio sama dengan r maka U1 U2 U3 Un
a ar ar2 n ndash 1 Dengan demikian rumus suku ke ndash n barisan geometri adalah Contoh
Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32 Tentukan
a suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut b suku kesembilan barisan geometri tersebut
Jawab Diketahui
U4 = 4 dan U7 = 32 Un = arn ndash 1 maka U4 = ar3 = 4 (1)
U7 = ar6 = 32 (2)
Dari persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a = 4r3 (3)
Subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) ar6 = 32 maka 4r3 = 32
Un = arn-1
r =
minus
r3 = 8 r = 2
Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a(2)3 = 4 a 8 = 4 a = frac12
Jadi suku pertamanya adalah 12 dan rasionya adalah 2 2 Rumus Suku Tengah Barisan Geometri
Suatu barisan geometri dengan n suku n bilangan ganjil maka suku tengah ( Uk ) dinyatakan sebagai berikut
Contoh Di ketahui Barisan Geometri 2 8 32 8192 Tentukan suku tengahnya Jawab
a = 2 Un = 8192
Uk = radic n
Uk = radic 8 9 8
3 Sisipan pada Barisan Geometri Pada barisan geometri a Un disisipkan k suku
K suku
Pada barisan geometri baru banyaknya suku adalah ( k + 2 ) Jadi
Contoh
Di antara bilangan
dan 64 disisipkan 7 bilangan sehingga menjadi barisan
geometri Tentukan rasio Jawab
r = radic
r = radic
r = radic
r = radic
= 2
Uk = radic 119899
Un = arn-1 rarr Un = ar(k+2-1) rarrUn = ark+1
rarrr = radic
4 Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku ndash suku barisan geometri Jika U1 U2 U3 U4 n-1 Un adalah barisan geometri maka U1 +U2 + U3 + Unmerupaka deret geometri Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn =U1 +U2 Un-1 + Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah
Contoh Tentukan jumlah ke 6 deret geometri berikut 2 + (-10) + 50 + + (-6250)
Jawab
1
1
r
raS
n
n
15
1)5(2 6
nS
6
156242
nS
5208nS
5 Deret Geometri Tak Hingga
Jika suatu deret geometri Sn =U1 +U2 Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga makaderet geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan
Sinfin =U1 +U2 Un-1
Jika
rkarena
r
raitSmakar
n
n
1
1lim1
Jika
011
1lim1 mendekatirkarena
r
a
r
raitSmakar
n
n
Sehingga rumus jumlah deret geometri takhingga untuk 01 adalahrr
Contoh 1 Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut
a 1 + 12 + 14 + 18 +
b + +
+
+
Jawab
a 1 + 12 + 14 + 18 + Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = frac12 sehingga
b + +
+
+
Perhatikan deret 2 + 1 + 12 + 14 + Dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r = frac12
Jadi + +
+
+ = = 16
Contoh 2
Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4 Carilah rasionya
Penyelesaian
Dari soal di atas unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan Sinfin = 4
Kita substitusikan ke dalam rumus Sinfin
harr 1 ndash r = frac12 harr r = frac12
Jadi rasionya adalah frac12
6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk
barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri
Barisan dan Deret Geometri Contoh 1
Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah
a banyaknya kursi pada baris ke-10
b banyaknya kursi dalam gedung itu
Penyelesain
a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66
Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika
Deret tak hingga genap
Sn = 119834119851
120783 119851120784 untuk bilangan genap
Deret tak hingga ganjil Sn = 119834
120783 119851120784 untuk
bilangan ganjil
Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b
Sn =
( n
Un = arn-1
S10 =
( 3
= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2
Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan
kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai
tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang
PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun
tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak
Arman padaakhir tahun 2005
Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir
tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap
Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari
Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-
BAB III STATISTIK DAN PELUANG
A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika
1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari
suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum
Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x
2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu
keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang
pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan
c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi
3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota
populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)
b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti
B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa
yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang
Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut
Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah
2005 866 8081 8947
2006 1087 11226 12313
2007 1500 16400 17900
2008 1709 20001 21710
2009 2010 25195 27205
Diagram batang tegak
2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan
Tahun Impor (dalam kuintal)
2004 9500
2005 4000
2006 4500
2007 10500
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
2005 2006 2007 2008 2009
Jumlah
Jumlah
2008 1500
2009 2000
3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah
lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan
b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut
Mata Pencaharian Frekuensi
Petani 90
Peternak 10
Pedagang 120
Guru 50
Karyawan 30
Jumlah 300
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
2004 2005 2006 2007 2008 2009
Impor
Impor
Mata
Pencaharian
Besar Sudut Juring Presentase
Petani
9
3 3
8
9
3
3
Peternak
3 3
3
3 33
Pedagang
3 3
3
Guru
3 3
3
7
Karyawan 3
3 3 3
3
3
Diagram Lingkaran
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Petani 108 Guru 60
Pedagang 144
Karyawan 36
Peternak 12
c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok
Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval
menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap
kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap
kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data
a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan
seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas
kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas
dirumuaskan
Panjang kelas ng n
n l
Diagram Pastel
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Pedagang 144
Petani 108 Guru
60
Tabel distribusi Nilai frekuensi
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
2) Histogram dan Poligon
Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram
3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan
menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo
Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika
Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
335
385
435
485
535
585
385
435
485
535
585
635
Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f
Nilai f le
le38
le 3
le 8
le 3
le 8
le 3
2
9
16
24
29
32
Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f
Nilai f ge
ge33
ge38
ge 3
ge 8
ge 3
32
30
23
16
8
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
ge 8 3
C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat
data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit
Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok
1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)
Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal
m m m y m
y y m y m
n atau
sum
n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data
nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus
g
Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan
seterusnya Contoh
Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut
Jawab
g
39
39
9 9 90
Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90
c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka
M data ke n+
Jika banyak data genap maka
M
d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus
Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus
Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10
Mean
n
+ + + + + + +
7
Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap
M
8
8
M
M 7 8
M 7
Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling
sering muncul yaitu sebanyak 3 kali
2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)
Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut
sum f
n
sum f n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i
b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut
M L (
f
f
)
Keterangan
L = tepi bawah kelas median n = banyak data f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
p = panjang kelas c Modus
Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut
Mo L
Keterangan
L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas
contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa
31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94
Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus
Jawab 1 Distribusi frekuensi
Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68
Lebar kelas
9 7
Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1
31-40 2 2 355 71
41-50 3 5 455 1365
51-60 5 10 555 2775
61-70 7 17 655 4585
71-80 11 28 755 8305
81-90 6 34 855 513
91-100 6 40 955 573
Jumlah 40 2860
Mean
sum f n
sum f n
8
7
Median
M L (
f
f
)
M 7 (
7
)
M 7 7
M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3
Modus
Mo L
Mo 7
Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9
D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal
a Kuartil
Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil
1) Kuartil pertamabawah (Q1)
Q1 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
2) Kuartil keduatengah (Q2)
Q2 membagi data terurut menjadi
atau
bagian
Dengan kata lain Q2 merupakan median data
3) Kuartil ketigatengah (Q3)
Q3 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
3(
3
4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga
(
5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut
(
6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data
a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
b Desil dan persentil
Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil
Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut
D
(
Keterangan i =123 9
n= ukuran data
Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
(
Keterangan i =123 99
n= ukuran data
2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil
1) Kuartil pertama (Q1)
L (
f
f
)
2) Kuartil kedua (Q2)
L (
f
f
)
3) Kuartil ketiga (Q3)
L (
3 f
f
)
Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123
f = frekuensi kelas kuartil i = 123
n = banyak kelas
p = panjang kelas b Desil dan Persentil
Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut
D L (
f
f
)
Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f
= frekuensi kelas desil ke-i
p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
L (
f f
)
L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f
= frekuensi kelas persentil ke-i
p = panjang kelas
3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan
Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil
n Keterangan
R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil
b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)
c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil
(
d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan
L
(
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
e Jika bilangan irrasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya bilangan irrasional atau rasional contoh (1)
f jika bilangan rasional dialihkan dengan bilangan irasional maka hasilnya bilangan
irasional contoh 2 x radic = 2radic g jika bilangan irasional dikalikan dengan bilangan irasional maka hasilnya dapat
bilangan rasional atau bilangan irasional h Contoh
radic x radic = radic x 5radic = 25 (25 adalah bilangan rasional)radic
disebut betuk akar
apabila hasil akar a adalah bilangan irasional untuk merasionalkan bentuk
+ radic
radic
radic + radic dan
radic radic
4 Menyederhanakan bentuk radic( radic
sekarang kita akan menyederhanakan bentuk akar yang mempunyai bentuk
khusus yaitu bentuk radic( radic perhatikan proses berikut ini
diskusikan masalah berikut dengan teman mu
a (radic radic ) (radic radic )
b (radic radic ) (radic radic )
dari hasil kegiatan yang kamu lakukan kamu akan memperoleh bentuk
sederhananya menjadi radic( radic
selanjutnya perhatikan contoh berikut
radic8 radic = radic( 3 radic 3
= radic radic 3 3
= radic(radic radic3)
= radic radic3
I Menentukan Konsep Logaritma telinga manusia dapat mendengar suara dengan intensitas yag rentang nya luar
biasa suara paling keras yang dapat didengar oleh orang yang sehat tanpa merusak gendang telinga memiliki intensitas 1 triliun kali lebih kuat dar pada suara paling rendah yang bisa didengar
menghitung intensitas bunyi dengan rentang begitu besar tentu sangat tidak nyaman Namun dengan logaritma perhitungan ini akan menjadi lebih sederhana Logaritma merupakan suatu operasi hitung Alexander Graham Bell (1847-1922) menggunakan logaritma untuk menghitung skala bunyi skala ini dinamakan decibel
dan didefinisikan sebagai
dengan D adalah sekala decibel bunyi I
adalah intensitas bunyi dengan satuan Watt per meter persegi frasl dan
adalah intansitas bunyi paling minimum yang bisa didengar orang yang sehat yaitu
sebagai gambaran berikut ini adalah table intensitas bunyi beberapa objek
Intensitas Bunyi
frasl
Intensitas Bunyi
Ambang batas bawah
pendengaran
Suara Bisik-bisik
3 Percakapan normal
8 Lalu lintas padat
8 3 Pesawat jet lepas landas
J Sifat-sifat Logaritma
Dari definisi 19 logaritma merupakan invers dari perpangkatan oleh karena itu terdapat 3 sifat dasar logaritma yaitu
misalkan a dan n bilangan real a gt 0 dan a maka
sifat- sifat tersebut dapat diturunkan langsung dari definisi logaritma Bebarapa sifat operasi logaritma
a 119886 a a 119886119899 119899
a) Untuk a b dan c bilangan real positif a dan b gt 0 belaku a (119886119909119888 a 119887 a 119888
b) Untuk a b dan c bilangan real dengan a gt 0 a dan bgt 0
berlaku a 119887
119888 = a 119887 a 119888
c) Untuk ab dan n bilangan real agt 0 b gt 0 a berlaku a 119887119899 = n a 119887
d) Untuk a b dan c bilangan real positif 119886 119887 119889119886119899 119888
berlaku alog b log119887119888
log119886119888 =
log119886119899
e) Untuk a b dan c bilangan real positif dengan 119886 119889119886119899 119888 berlaku a 119887 119909 a 119888 = a 119888
f) Untuk a dan b bilangan real positif dengan 119886 berlaku an 119887119899 119899
119898
(alog b) dengan mn bilangan bulat dan m 0 g) untuk a dan b bilangan real positif a 1 berlaku aalogb = b
BAB II BARISAN DAN DERET
A Pengertian Barisan dan Deret
1 Pola Bilangan dan Barisan Pola bilangan sering di jumpai dalam kehidupan sehari-hari misalnya pada
suatu perjamuan ketika belum ada tamu yang datang maka tuan rumah tidak berjabat tangan Jika satu tamu datang maka terjadi 1 kali jabat tangan jika kemudian ada 1 tamu lagi yang datang maka terjadi 3 kali jabat tangan Berikut adalah pola bilangan yang dapat terbentuk
Banyak orang
Banyak Jabat Tangan 1 0 = 0 2 0 + 1 = 1 3 0 + 1 + 2 = 3 n 0 + 1 + 2 + + ( n ndash 1 )
Contoh soal Ada 10 orang tamu + 1 tuan rumah berapa banyak jabat tangan yang mungkin
terjadi Banyak jabat tangan = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 kali
jabat tangan
2 Barisan Bilangan Barisan bilangan adalah susunan bilangan ndash bilangan yang memiliki aturan
tertentu dan di pisahkan dengan koma
Contoh soal 3 7 9 rarr B c 11 8 5 2 - rarr B c -3 Tentukan tiga suku pertama pada barisan yang suku umumnya di rumuskan
dengan n 9
Jawab n 9 9 9 3 3 9
Bentuk umum
119880119899 119880 119880 119880
119880 119880 119880
3 Deret Bilangan Jumlah suku-suku dari suatu barisan di sebut deret Bentuk umumnya adalah
sebagai berikut
Contoh Deret bilangan genap 2 + 4 + 6 + 8 + Deret bilangan persegi panjang 2 + 6 + 12 + 20 + Deret bilangan kubik 3
B Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika
1 Barisan Aritmatika Perhatikan penggaris ukuran 30 cm Pada penggaris tersebut terdapat bilangan
berurutan 0 1 2 3 4 30 Setiap bilangan berurutan pada penggaris ini mempunyai jarak yang sama yaitu 1 cm Jarak antar bilangan berurutan menunjukan selisih antar bilangan Bilangan ndash bilangan berurutan seperti padda penggaris memiliki selisih yang sama untuk setiap dua suku berurutannya sehingga membentuk suatu barisan bilangan Barisan bilangan seperti ini di sebut barisan aritmatika dengan selisih setiap dua suku berurutannya yang disebut beda
Bentuk umum
Pada barisan aritmatika berlaku
Contoh Tentukan beda dari suku-suku di bawah ini
a 4 7 10 13 b -10 -6 -2 2
Jawab a Beda = 7 ndash 4 = 3 b Beda = -6 ndash (-10) = 4
2 Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika
Suku ke-n Barisan Aritmatika adalah
Keterangan
119880 119880 119880 119880119899
119880119894
119899
119894
119880 119880 119880 119880119899 119886119905119886119906 119886 (119886 119887 (119886 119887 (119886
(119899 119887
119880119899 119880119899 119887
119880 119880 119887119880
119880119899 119880119899 119887
119880119899 119886 (119899 119887
Sehingga
n = Suku ke ndash n a = Suku pertama b = Beda n = Banyaknya suku
Contoh 1
Tentukan suku pertama beda dan suku ke-10 dari barisan 4 7 10 13
Jawab a = 4 b = 7 ndash 4 = 3 n ( ( 3 3
Contoh 2
Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 24 a Tentukan beda dan jenis barisan dari barisan aritmetika tersebut b Tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut Jawab Diketahui
suku pertama = a = 6 suku ketujuh = U7 = 36
a Untuk menentukan beda Un = a + (n 1) b maka U7 = 6 + (7 1) b 36 = 6 + 6 b 36 6 = 6 b 30 = 6 b b = 5
Jadi beda pada barisan itu adalah 5 Oleh karena b gt 0 barisan aritmetika tersebut merupakan barisan aritmetika naik
b Dengan suku pertama 6 dan beda 5 diperoleh barisan aritmetika sebagai
berikut 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51
Contoh 3 D m 8 3 7 7 Tentukan rumus suku ke-n yang berlaku pada barisan tersebut Jawab Diketahui a = U1 = 8
b = U2 U1 = 3 ( 8 = 3 8 = 5
Jadi rumus umum yang berlaku pada barisan tersebut adalah
Un = a + (n 1) b = 8 (n 1) 5 = 8 n 5 = 5n ndash 13
Contoh 4 Diketahui barisan bilangan asli kurang dari 125 Tentukan banyak bilangan yang a habis dibagi 2 b habis dibagi 5 c habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 Penyelesaian Barisan bilangan itu adalah 1 2 3 4 124 a Barisan bilangan yang habis dibagi 2 adalah 2 4 6 8 124 b Barisan bilangan yang habis dibagi 5 adalah 5 10 15 20 120 c Barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah
anggota penyelesaian pertanyaan bagian a dikurangi anggota penyelesaian pertanyaan b
Jadi barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah 2 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28 32 118 122 124
3 Suku Tengah Barisan Aritmatika ( Uk ) Barisan nuntuk n ganjil Maka dapat di rumuskan sebagai berikut
Contoh Di ketahui barisan aritmatika 3 9 15 21 117 Tentukan suku tengahnya
Jawab
n
+
= 60
4 Sisipan pada Barisan Aritmatika
Jika di antara 2 bilangan a dan Un di sisipkan bilangan a Un K bilangan
Maka setelah di sisipi k bilangan banyaknya suku pada barisan ada (k+2)=n n (
Pada barisan baru berlaku
119880119896 119880119899 119886
Un = a + ( k + 2 ndash 1 )b Un = a + ( k + 1 )b
Contoh
Di antara bilangan 6 dan 24 di sisipkan 8 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika Tentukan bedanya
Jawab a = 6 Un = 24 k = 8
b = n
+ =
+
5 Deret Aritmatika
Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika Jika U1 U2 U3 Un adalah barisan aitmatika maka U1 +U2 + U3 Un merupaka deret aritmatika Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan Sn
Sn =U1 +U2 + U3 Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah
atau
Contoh 1 Di ketahui deret aritmatika 4 + 8 + 12 + 16 + Hitung jumlah 25 suku
pertama Jawab
Sn =
( (
S25=
( (
S25= 1300
Contoh 2 Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 Penyelesaian Diketahui a = 51 b = 2 dan Un = 99 Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100 pertama-tama kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100 yaitu n Dengan menggunakan rumus
Un = a + (n ndash 1) b 99 = 51 + (n ndash 1)(2) 99 = 51 + 2n ndash 2 99 = 49 + 2n 2n = 99 ndash 49 n = 25
Sn =
119899 ( 119886 119880119899 Sn =
119899 ( 119886 ( 119899 119887
Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika
Sn =
( (
diperoleh
S25 =
25 [2(51) + (25 -1)(2)]
= 25(51 + 24) = 25(75) = 1875
Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1875
C Barisan Geometri dan Deter Geometri 1 Barisan Geometri
Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1 U2 U3 U4 n-1 Un
Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke ndash n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ) ditulis
D m
Misalkan suku pertama sama dengan a rasio sama dengan r maka U1 U2 U3 Un
a ar ar2 n ndash 1 Dengan demikian rumus suku ke ndash n barisan geometri adalah Contoh
Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32 Tentukan
a suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut b suku kesembilan barisan geometri tersebut
Jawab Diketahui
U4 = 4 dan U7 = 32 Un = arn ndash 1 maka U4 = ar3 = 4 (1)
U7 = ar6 = 32 (2)
Dari persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a = 4r3 (3)
Subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) ar6 = 32 maka 4r3 = 32
Un = arn-1
r =
minus
r3 = 8 r = 2
Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a(2)3 = 4 a 8 = 4 a = frac12
Jadi suku pertamanya adalah 12 dan rasionya adalah 2 2 Rumus Suku Tengah Barisan Geometri
Suatu barisan geometri dengan n suku n bilangan ganjil maka suku tengah ( Uk ) dinyatakan sebagai berikut
Contoh Di ketahui Barisan Geometri 2 8 32 8192 Tentukan suku tengahnya Jawab
a = 2 Un = 8192
Uk = radic n
Uk = radic 8 9 8
3 Sisipan pada Barisan Geometri Pada barisan geometri a Un disisipkan k suku
K suku
Pada barisan geometri baru banyaknya suku adalah ( k + 2 ) Jadi
Contoh
Di antara bilangan
dan 64 disisipkan 7 bilangan sehingga menjadi barisan
geometri Tentukan rasio Jawab
r = radic
r = radic
r = radic
r = radic
= 2
Uk = radic 119899
Un = arn-1 rarr Un = ar(k+2-1) rarrUn = ark+1
rarrr = radic
4 Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku ndash suku barisan geometri Jika U1 U2 U3 U4 n-1 Un adalah barisan geometri maka U1 +U2 + U3 + Unmerupaka deret geometri Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn =U1 +U2 Un-1 + Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah
Contoh Tentukan jumlah ke 6 deret geometri berikut 2 + (-10) + 50 + + (-6250)
Jawab
1
1
r
raS
n
n
15
1)5(2 6
nS
6
156242
nS
5208nS
5 Deret Geometri Tak Hingga
Jika suatu deret geometri Sn =U1 +U2 Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga makaderet geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan
Sinfin =U1 +U2 Un-1
Jika
rkarena
r
raitSmakar
n
n
1
1lim1
Jika
011
1lim1 mendekatirkarena
r
a
r
raitSmakar
n
n
Sehingga rumus jumlah deret geometri takhingga untuk 01 adalahrr
Contoh 1 Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut
a 1 + 12 + 14 + 18 +
b + +
+
+
Jawab
a 1 + 12 + 14 + 18 + Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = frac12 sehingga
b + +
+
+
Perhatikan deret 2 + 1 + 12 + 14 + Dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r = frac12
Jadi + +
+
+ = = 16
Contoh 2
Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4 Carilah rasionya
Penyelesaian
Dari soal di atas unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan Sinfin = 4
Kita substitusikan ke dalam rumus Sinfin
harr 1 ndash r = frac12 harr r = frac12
Jadi rasionya adalah frac12
6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk
barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri
Barisan dan Deret Geometri Contoh 1
Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah
a banyaknya kursi pada baris ke-10
b banyaknya kursi dalam gedung itu
Penyelesain
a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66
Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika
Deret tak hingga genap
Sn = 119834119851
120783 119851120784 untuk bilangan genap
Deret tak hingga ganjil Sn = 119834
120783 119851120784 untuk
bilangan ganjil
Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b
Sn =
( n
Un = arn-1
S10 =
( 3
= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2
Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan
kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai
tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang
PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun
tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak
Arman padaakhir tahun 2005
Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir
tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap
Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari
Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-
BAB III STATISTIK DAN PELUANG
A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika
1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari
suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum
Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x
2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu
keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang
pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan
c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi
3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota
populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)
b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti
B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa
yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang
Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut
Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah
2005 866 8081 8947
2006 1087 11226 12313
2007 1500 16400 17900
2008 1709 20001 21710
2009 2010 25195 27205
Diagram batang tegak
2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan
Tahun Impor (dalam kuintal)
2004 9500
2005 4000
2006 4500
2007 10500
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
2005 2006 2007 2008 2009
Jumlah
Jumlah
2008 1500
2009 2000
3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah
lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan
b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut
Mata Pencaharian Frekuensi
Petani 90
Peternak 10
Pedagang 120
Guru 50
Karyawan 30
Jumlah 300
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
2004 2005 2006 2007 2008 2009
Impor
Impor
Mata
Pencaharian
Besar Sudut Juring Presentase
Petani
9
3 3
8
9
3
3
Peternak
3 3
3
3 33
Pedagang
3 3
3
Guru
3 3
3
7
Karyawan 3
3 3 3
3
3
Diagram Lingkaran
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Petani 108 Guru 60
Pedagang 144
Karyawan 36
Peternak 12
c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok
Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval
menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap
kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap
kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data
a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan
seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas
kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas
dirumuaskan
Panjang kelas ng n
n l
Diagram Pastel
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Pedagang 144
Petani 108 Guru
60
Tabel distribusi Nilai frekuensi
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
2) Histogram dan Poligon
Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram
3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan
menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo
Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika
Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
335
385
435
485
535
585
385
435
485
535
585
635
Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f
Nilai f le
le38
le 3
le 8
le 3
le 8
le 3
2
9
16
24
29
32
Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f
Nilai f ge
ge33
ge38
ge 3
ge 8
ge 3
32
30
23
16
8
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
ge 8 3
C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat
data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit
Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok
1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)
Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal
m m m y m
y y m y m
n atau
sum
n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data
nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus
g
Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan
seterusnya Contoh
Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut
Jawab
g
39
39
9 9 90
Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90
c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka
M data ke n+
Jika banyak data genap maka
M
d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus
Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus
Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10
Mean
n
+ + + + + + +
7
Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap
M
8
8
M
M 7 8
M 7
Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling
sering muncul yaitu sebanyak 3 kali
2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)
Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut
sum f
n
sum f n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i
b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut
M L (
f
f
)
Keterangan
L = tepi bawah kelas median n = banyak data f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
p = panjang kelas c Modus
Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut
Mo L
Keterangan
L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas
contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa
31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94
Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus
Jawab 1 Distribusi frekuensi
Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68
Lebar kelas
9 7
Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1
31-40 2 2 355 71
41-50 3 5 455 1365
51-60 5 10 555 2775
61-70 7 17 655 4585
71-80 11 28 755 8305
81-90 6 34 855 513
91-100 6 40 955 573
Jumlah 40 2860
Mean
sum f n
sum f n
8
7
Median
M L (
f
f
)
M 7 (
7
)
M 7 7
M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3
Modus
Mo L
Mo 7
Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9
D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal
a Kuartil
Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil
1) Kuartil pertamabawah (Q1)
Q1 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
2) Kuartil keduatengah (Q2)
Q2 membagi data terurut menjadi
atau
bagian
Dengan kata lain Q2 merupakan median data
3) Kuartil ketigatengah (Q3)
Q3 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
3(
3
4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga
(
5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut
(
6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data
a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
b Desil dan persentil
Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil
Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut
D
(
Keterangan i =123 9
n= ukuran data
Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
(
Keterangan i =123 99
n= ukuran data
2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil
1) Kuartil pertama (Q1)
L (
f
f
)
2) Kuartil kedua (Q2)
L (
f
f
)
3) Kuartil ketiga (Q3)
L (
3 f
f
)
Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123
f = frekuensi kelas kuartil i = 123
n = banyak kelas
p = panjang kelas b Desil dan Persentil
Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut
D L (
f
f
)
Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f
= frekuensi kelas desil ke-i
p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
L (
f f
)
L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f
= frekuensi kelas persentil ke-i
p = panjang kelas
3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan
Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil
n Keterangan
R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil
b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)
c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil
(
d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan
L
(
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
sebagai gambaran berikut ini adalah table intensitas bunyi beberapa objek
Intensitas Bunyi
frasl
Intensitas Bunyi
Ambang batas bawah
pendengaran
Suara Bisik-bisik
3 Percakapan normal
8 Lalu lintas padat
8 3 Pesawat jet lepas landas
J Sifat-sifat Logaritma
Dari definisi 19 logaritma merupakan invers dari perpangkatan oleh karena itu terdapat 3 sifat dasar logaritma yaitu
misalkan a dan n bilangan real a gt 0 dan a maka
sifat- sifat tersebut dapat diturunkan langsung dari definisi logaritma Bebarapa sifat operasi logaritma
a 119886 a a 119886119899 119899
a) Untuk a b dan c bilangan real positif a dan b gt 0 belaku a (119886119909119888 a 119887 a 119888
b) Untuk a b dan c bilangan real dengan a gt 0 a dan bgt 0
berlaku a 119887
119888 = a 119887 a 119888
c) Untuk ab dan n bilangan real agt 0 b gt 0 a berlaku a 119887119899 = n a 119887
d) Untuk a b dan c bilangan real positif 119886 119887 119889119886119899 119888
berlaku alog b log119887119888
log119886119888 =
log119886119899
e) Untuk a b dan c bilangan real positif dengan 119886 119889119886119899 119888 berlaku a 119887 119909 a 119888 = a 119888
f) Untuk a dan b bilangan real positif dengan 119886 berlaku an 119887119899 119899
119898
(alog b) dengan mn bilangan bulat dan m 0 g) untuk a dan b bilangan real positif a 1 berlaku aalogb = b
BAB II BARISAN DAN DERET
A Pengertian Barisan dan Deret
1 Pola Bilangan dan Barisan Pola bilangan sering di jumpai dalam kehidupan sehari-hari misalnya pada
suatu perjamuan ketika belum ada tamu yang datang maka tuan rumah tidak berjabat tangan Jika satu tamu datang maka terjadi 1 kali jabat tangan jika kemudian ada 1 tamu lagi yang datang maka terjadi 3 kali jabat tangan Berikut adalah pola bilangan yang dapat terbentuk
Banyak orang
Banyak Jabat Tangan 1 0 = 0 2 0 + 1 = 1 3 0 + 1 + 2 = 3 n 0 + 1 + 2 + + ( n ndash 1 )
Contoh soal Ada 10 orang tamu + 1 tuan rumah berapa banyak jabat tangan yang mungkin
terjadi Banyak jabat tangan = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 kali
jabat tangan
2 Barisan Bilangan Barisan bilangan adalah susunan bilangan ndash bilangan yang memiliki aturan
tertentu dan di pisahkan dengan koma
Contoh soal 3 7 9 rarr B c 11 8 5 2 - rarr B c -3 Tentukan tiga suku pertama pada barisan yang suku umumnya di rumuskan
dengan n 9
Jawab n 9 9 9 3 3 9
Bentuk umum
119880119899 119880 119880 119880
119880 119880 119880
3 Deret Bilangan Jumlah suku-suku dari suatu barisan di sebut deret Bentuk umumnya adalah
sebagai berikut
Contoh Deret bilangan genap 2 + 4 + 6 + 8 + Deret bilangan persegi panjang 2 + 6 + 12 + 20 + Deret bilangan kubik 3
B Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika
1 Barisan Aritmatika Perhatikan penggaris ukuran 30 cm Pada penggaris tersebut terdapat bilangan
berurutan 0 1 2 3 4 30 Setiap bilangan berurutan pada penggaris ini mempunyai jarak yang sama yaitu 1 cm Jarak antar bilangan berurutan menunjukan selisih antar bilangan Bilangan ndash bilangan berurutan seperti padda penggaris memiliki selisih yang sama untuk setiap dua suku berurutannya sehingga membentuk suatu barisan bilangan Barisan bilangan seperti ini di sebut barisan aritmatika dengan selisih setiap dua suku berurutannya yang disebut beda
Bentuk umum
Pada barisan aritmatika berlaku
Contoh Tentukan beda dari suku-suku di bawah ini
a 4 7 10 13 b -10 -6 -2 2
Jawab a Beda = 7 ndash 4 = 3 b Beda = -6 ndash (-10) = 4
2 Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika
Suku ke-n Barisan Aritmatika adalah
Keterangan
119880 119880 119880 119880119899
119880119894
119899
119894
119880 119880 119880 119880119899 119886119905119886119906 119886 (119886 119887 (119886 119887 (119886
(119899 119887
119880119899 119880119899 119887
119880 119880 119887119880
119880119899 119880119899 119887
119880119899 119886 (119899 119887
Sehingga
n = Suku ke ndash n a = Suku pertama b = Beda n = Banyaknya suku
Contoh 1
Tentukan suku pertama beda dan suku ke-10 dari barisan 4 7 10 13
Jawab a = 4 b = 7 ndash 4 = 3 n ( ( 3 3
Contoh 2
Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 24 a Tentukan beda dan jenis barisan dari barisan aritmetika tersebut b Tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut Jawab Diketahui
suku pertama = a = 6 suku ketujuh = U7 = 36
a Untuk menentukan beda Un = a + (n 1) b maka U7 = 6 + (7 1) b 36 = 6 + 6 b 36 6 = 6 b 30 = 6 b b = 5
Jadi beda pada barisan itu adalah 5 Oleh karena b gt 0 barisan aritmetika tersebut merupakan barisan aritmetika naik
b Dengan suku pertama 6 dan beda 5 diperoleh barisan aritmetika sebagai
berikut 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51
Contoh 3 D m 8 3 7 7 Tentukan rumus suku ke-n yang berlaku pada barisan tersebut Jawab Diketahui a = U1 = 8
b = U2 U1 = 3 ( 8 = 3 8 = 5
Jadi rumus umum yang berlaku pada barisan tersebut adalah
Un = a + (n 1) b = 8 (n 1) 5 = 8 n 5 = 5n ndash 13
Contoh 4 Diketahui barisan bilangan asli kurang dari 125 Tentukan banyak bilangan yang a habis dibagi 2 b habis dibagi 5 c habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 Penyelesaian Barisan bilangan itu adalah 1 2 3 4 124 a Barisan bilangan yang habis dibagi 2 adalah 2 4 6 8 124 b Barisan bilangan yang habis dibagi 5 adalah 5 10 15 20 120 c Barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah
anggota penyelesaian pertanyaan bagian a dikurangi anggota penyelesaian pertanyaan b
Jadi barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah 2 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28 32 118 122 124
3 Suku Tengah Barisan Aritmatika ( Uk ) Barisan nuntuk n ganjil Maka dapat di rumuskan sebagai berikut
Contoh Di ketahui barisan aritmatika 3 9 15 21 117 Tentukan suku tengahnya
Jawab
n
+
= 60
4 Sisipan pada Barisan Aritmatika
Jika di antara 2 bilangan a dan Un di sisipkan bilangan a Un K bilangan
Maka setelah di sisipi k bilangan banyaknya suku pada barisan ada (k+2)=n n (
Pada barisan baru berlaku
119880119896 119880119899 119886
Un = a + ( k + 2 ndash 1 )b Un = a + ( k + 1 )b
Contoh
Di antara bilangan 6 dan 24 di sisipkan 8 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika Tentukan bedanya
Jawab a = 6 Un = 24 k = 8
b = n
+ =
+
5 Deret Aritmatika
Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika Jika U1 U2 U3 Un adalah barisan aitmatika maka U1 +U2 + U3 Un merupaka deret aritmatika Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan Sn
Sn =U1 +U2 + U3 Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah
atau
Contoh 1 Di ketahui deret aritmatika 4 + 8 + 12 + 16 + Hitung jumlah 25 suku
pertama Jawab
Sn =
( (
S25=
( (
S25= 1300
Contoh 2 Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 Penyelesaian Diketahui a = 51 b = 2 dan Un = 99 Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100 pertama-tama kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100 yaitu n Dengan menggunakan rumus
Un = a + (n ndash 1) b 99 = 51 + (n ndash 1)(2) 99 = 51 + 2n ndash 2 99 = 49 + 2n 2n = 99 ndash 49 n = 25
Sn =
119899 ( 119886 119880119899 Sn =
119899 ( 119886 ( 119899 119887
Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika
Sn =
( (
diperoleh
S25 =
25 [2(51) + (25 -1)(2)]
= 25(51 + 24) = 25(75) = 1875
Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1875
C Barisan Geometri dan Deter Geometri 1 Barisan Geometri
Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1 U2 U3 U4 n-1 Un
Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke ndash n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ) ditulis
D m
Misalkan suku pertama sama dengan a rasio sama dengan r maka U1 U2 U3 Un
a ar ar2 n ndash 1 Dengan demikian rumus suku ke ndash n barisan geometri adalah Contoh
Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32 Tentukan
a suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut b suku kesembilan barisan geometri tersebut
Jawab Diketahui
U4 = 4 dan U7 = 32 Un = arn ndash 1 maka U4 = ar3 = 4 (1)
U7 = ar6 = 32 (2)
Dari persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a = 4r3 (3)
Subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) ar6 = 32 maka 4r3 = 32
Un = arn-1
r =
minus
r3 = 8 r = 2
Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a(2)3 = 4 a 8 = 4 a = frac12
Jadi suku pertamanya adalah 12 dan rasionya adalah 2 2 Rumus Suku Tengah Barisan Geometri
Suatu barisan geometri dengan n suku n bilangan ganjil maka suku tengah ( Uk ) dinyatakan sebagai berikut
Contoh Di ketahui Barisan Geometri 2 8 32 8192 Tentukan suku tengahnya Jawab
a = 2 Un = 8192
Uk = radic n
Uk = radic 8 9 8
3 Sisipan pada Barisan Geometri Pada barisan geometri a Un disisipkan k suku
K suku
Pada barisan geometri baru banyaknya suku adalah ( k + 2 ) Jadi
Contoh
Di antara bilangan
dan 64 disisipkan 7 bilangan sehingga menjadi barisan
geometri Tentukan rasio Jawab
r = radic
r = radic
r = radic
r = radic
= 2
Uk = radic 119899
Un = arn-1 rarr Un = ar(k+2-1) rarrUn = ark+1
rarrr = radic
4 Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku ndash suku barisan geometri Jika U1 U2 U3 U4 n-1 Un adalah barisan geometri maka U1 +U2 + U3 + Unmerupaka deret geometri Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn =U1 +U2 Un-1 + Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah
Contoh Tentukan jumlah ke 6 deret geometri berikut 2 + (-10) + 50 + + (-6250)
Jawab
1
1
r
raS
n
n
15
1)5(2 6
nS
6
156242
nS
5208nS
5 Deret Geometri Tak Hingga
Jika suatu deret geometri Sn =U1 +U2 Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga makaderet geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan
Sinfin =U1 +U2 Un-1
Jika
rkarena
r
raitSmakar
n
n
1
1lim1
Jika
011
1lim1 mendekatirkarena
r
a
r
raitSmakar
n
n
Sehingga rumus jumlah deret geometri takhingga untuk 01 adalahrr
Contoh 1 Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut
a 1 + 12 + 14 + 18 +
b + +
+
+
Jawab
a 1 + 12 + 14 + 18 + Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = frac12 sehingga
b + +
+
+
Perhatikan deret 2 + 1 + 12 + 14 + Dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r = frac12
Jadi + +
+
+ = = 16
Contoh 2
Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4 Carilah rasionya
Penyelesaian
Dari soal di atas unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan Sinfin = 4
Kita substitusikan ke dalam rumus Sinfin
harr 1 ndash r = frac12 harr r = frac12
Jadi rasionya adalah frac12
6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk
barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri
Barisan dan Deret Geometri Contoh 1
Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah
a banyaknya kursi pada baris ke-10
b banyaknya kursi dalam gedung itu
Penyelesain
a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66
Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika
Deret tak hingga genap
Sn = 119834119851
120783 119851120784 untuk bilangan genap
Deret tak hingga ganjil Sn = 119834
120783 119851120784 untuk
bilangan ganjil
Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b
Sn =
( n
Un = arn-1
S10 =
( 3
= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2
Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan
kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai
tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang
PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun
tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak
Arman padaakhir tahun 2005
Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir
tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap
Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari
Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-
BAB III STATISTIK DAN PELUANG
A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika
1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari
suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum
Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x
2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu
keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang
pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan
c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi
3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota
populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)
b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti
B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa
yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang
Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut
Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah
2005 866 8081 8947
2006 1087 11226 12313
2007 1500 16400 17900
2008 1709 20001 21710
2009 2010 25195 27205
Diagram batang tegak
2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan
Tahun Impor (dalam kuintal)
2004 9500
2005 4000
2006 4500
2007 10500
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
2005 2006 2007 2008 2009
Jumlah
Jumlah
2008 1500
2009 2000
3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah
lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan
b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut
Mata Pencaharian Frekuensi
Petani 90
Peternak 10
Pedagang 120
Guru 50
Karyawan 30
Jumlah 300
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
2004 2005 2006 2007 2008 2009
Impor
Impor
Mata
Pencaharian
Besar Sudut Juring Presentase
Petani
9
3 3
8
9
3
3
Peternak
3 3
3
3 33
Pedagang
3 3
3
Guru
3 3
3
7
Karyawan 3
3 3 3
3
3
Diagram Lingkaran
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Petani 108 Guru 60
Pedagang 144
Karyawan 36
Peternak 12
c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok
Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval
menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap
kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap
kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data
a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan
seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas
kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas
dirumuaskan
Panjang kelas ng n
n l
Diagram Pastel
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Pedagang 144
Petani 108 Guru
60
Tabel distribusi Nilai frekuensi
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
2) Histogram dan Poligon
Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram
3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan
menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo
Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika
Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
335
385
435
485
535
585
385
435
485
535
585
635
Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f
Nilai f le
le38
le 3
le 8
le 3
le 8
le 3
2
9
16
24
29
32
Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f
Nilai f ge
ge33
ge38
ge 3
ge 8
ge 3
32
30
23
16
8
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
ge 8 3
C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat
data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit
Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok
1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)
Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal
m m m y m
y y m y m
n atau
sum
n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data
nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus
g
Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan
seterusnya Contoh
Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut
Jawab
g
39
39
9 9 90
Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90
c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka
M data ke n+
Jika banyak data genap maka
M
d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus
Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus
Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10
Mean
n
+ + + + + + +
7
Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap
M
8
8
M
M 7 8
M 7
Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling
sering muncul yaitu sebanyak 3 kali
2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)
Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut
sum f
n
sum f n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i
b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut
M L (
f
f
)
Keterangan
L = tepi bawah kelas median n = banyak data f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
p = panjang kelas c Modus
Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut
Mo L
Keterangan
L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas
contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa
31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94
Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus
Jawab 1 Distribusi frekuensi
Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68
Lebar kelas
9 7
Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1
31-40 2 2 355 71
41-50 3 5 455 1365
51-60 5 10 555 2775
61-70 7 17 655 4585
71-80 11 28 755 8305
81-90 6 34 855 513
91-100 6 40 955 573
Jumlah 40 2860
Mean
sum f n
sum f n
8
7
Median
M L (
f
f
)
M 7 (
7
)
M 7 7
M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3
Modus
Mo L
Mo 7
Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9
D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal
a Kuartil
Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil
1) Kuartil pertamabawah (Q1)
Q1 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
2) Kuartil keduatengah (Q2)
Q2 membagi data terurut menjadi
atau
bagian
Dengan kata lain Q2 merupakan median data
3) Kuartil ketigatengah (Q3)
Q3 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
3(
3
4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga
(
5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut
(
6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data
a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
b Desil dan persentil
Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil
Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut
D
(
Keterangan i =123 9
n= ukuran data
Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
(
Keterangan i =123 99
n= ukuran data
2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil
1) Kuartil pertama (Q1)
L (
f
f
)
2) Kuartil kedua (Q2)
L (
f
f
)
3) Kuartil ketiga (Q3)
L (
3 f
f
)
Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123
f = frekuensi kelas kuartil i = 123
n = banyak kelas
p = panjang kelas b Desil dan Persentil
Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut
D L (
f
f
)
Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f
= frekuensi kelas desil ke-i
p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
L (
f f
)
L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f
= frekuensi kelas persentil ke-i
p = panjang kelas
3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan
Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil
n Keterangan
R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil
b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)
c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil
(
d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan
L
(
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
BAB II BARISAN DAN DERET
A Pengertian Barisan dan Deret
1 Pola Bilangan dan Barisan Pola bilangan sering di jumpai dalam kehidupan sehari-hari misalnya pada
suatu perjamuan ketika belum ada tamu yang datang maka tuan rumah tidak berjabat tangan Jika satu tamu datang maka terjadi 1 kali jabat tangan jika kemudian ada 1 tamu lagi yang datang maka terjadi 3 kali jabat tangan Berikut adalah pola bilangan yang dapat terbentuk
Banyak orang
Banyak Jabat Tangan 1 0 = 0 2 0 + 1 = 1 3 0 + 1 + 2 = 3 n 0 + 1 + 2 + + ( n ndash 1 )
Contoh soal Ada 10 orang tamu + 1 tuan rumah berapa banyak jabat tangan yang mungkin
terjadi Banyak jabat tangan = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 kali
jabat tangan
2 Barisan Bilangan Barisan bilangan adalah susunan bilangan ndash bilangan yang memiliki aturan
tertentu dan di pisahkan dengan koma
Contoh soal 3 7 9 rarr B c 11 8 5 2 - rarr B c -3 Tentukan tiga suku pertama pada barisan yang suku umumnya di rumuskan
dengan n 9
Jawab n 9 9 9 3 3 9
Bentuk umum
119880119899 119880 119880 119880
119880 119880 119880
3 Deret Bilangan Jumlah suku-suku dari suatu barisan di sebut deret Bentuk umumnya adalah
sebagai berikut
Contoh Deret bilangan genap 2 + 4 + 6 + 8 + Deret bilangan persegi panjang 2 + 6 + 12 + 20 + Deret bilangan kubik 3
B Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika
1 Barisan Aritmatika Perhatikan penggaris ukuran 30 cm Pada penggaris tersebut terdapat bilangan
berurutan 0 1 2 3 4 30 Setiap bilangan berurutan pada penggaris ini mempunyai jarak yang sama yaitu 1 cm Jarak antar bilangan berurutan menunjukan selisih antar bilangan Bilangan ndash bilangan berurutan seperti padda penggaris memiliki selisih yang sama untuk setiap dua suku berurutannya sehingga membentuk suatu barisan bilangan Barisan bilangan seperti ini di sebut barisan aritmatika dengan selisih setiap dua suku berurutannya yang disebut beda
Bentuk umum
Pada barisan aritmatika berlaku
Contoh Tentukan beda dari suku-suku di bawah ini
a 4 7 10 13 b -10 -6 -2 2
Jawab a Beda = 7 ndash 4 = 3 b Beda = -6 ndash (-10) = 4
2 Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika
Suku ke-n Barisan Aritmatika adalah
Keterangan
119880 119880 119880 119880119899
119880119894
119899
119894
119880 119880 119880 119880119899 119886119905119886119906 119886 (119886 119887 (119886 119887 (119886
(119899 119887
119880119899 119880119899 119887
119880 119880 119887119880
119880119899 119880119899 119887
119880119899 119886 (119899 119887
Sehingga
n = Suku ke ndash n a = Suku pertama b = Beda n = Banyaknya suku
Contoh 1
Tentukan suku pertama beda dan suku ke-10 dari barisan 4 7 10 13
Jawab a = 4 b = 7 ndash 4 = 3 n ( ( 3 3
Contoh 2
Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 24 a Tentukan beda dan jenis barisan dari barisan aritmetika tersebut b Tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut Jawab Diketahui
suku pertama = a = 6 suku ketujuh = U7 = 36
a Untuk menentukan beda Un = a + (n 1) b maka U7 = 6 + (7 1) b 36 = 6 + 6 b 36 6 = 6 b 30 = 6 b b = 5
Jadi beda pada barisan itu adalah 5 Oleh karena b gt 0 barisan aritmetika tersebut merupakan barisan aritmetika naik
b Dengan suku pertama 6 dan beda 5 diperoleh barisan aritmetika sebagai
berikut 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51
Contoh 3 D m 8 3 7 7 Tentukan rumus suku ke-n yang berlaku pada barisan tersebut Jawab Diketahui a = U1 = 8
b = U2 U1 = 3 ( 8 = 3 8 = 5
Jadi rumus umum yang berlaku pada barisan tersebut adalah
Un = a + (n 1) b = 8 (n 1) 5 = 8 n 5 = 5n ndash 13
Contoh 4 Diketahui barisan bilangan asli kurang dari 125 Tentukan banyak bilangan yang a habis dibagi 2 b habis dibagi 5 c habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 Penyelesaian Barisan bilangan itu adalah 1 2 3 4 124 a Barisan bilangan yang habis dibagi 2 adalah 2 4 6 8 124 b Barisan bilangan yang habis dibagi 5 adalah 5 10 15 20 120 c Barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah
anggota penyelesaian pertanyaan bagian a dikurangi anggota penyelesaian pertanyaan b
Jadi barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah 2 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28 32 118 122 124
3 Suku Tengah Barisan Aritmatika ( Uk ) Barisan nuntuk n ganjil Maka dapat di rumuskan sebagai berikut
Contoh Di ketahui barisan aritmatika 3 9 15 21 117 Tentukan suku tengahnya
Jawab
n
+
= 60
4 Sisipan pada Barisan Aritmatika
Jika di antara 2 bilangan a dan Un di sisipkan bilangan a Un K bilangan
Maka setelah di sisipi k bilangan banyaknya suku pada barisan ada (k+2)=n n (
Pada barisan baru berlaku
119880119896 119880119899 119886
Un = a + ( k + 2 ndash 1 )b Un = a + ( k + 1 )b
Contoh
Di antara bilangan 6 dan 24 di sisipkan 8 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika Tentukan bedanya
Jawab a = 6 Un = 24 k = 8
b = n
+ =
+
5 Deret Aritmatika
Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika Jika U1 U2 U3 Un adalah barisan aitmatika maka U1 +U2 + U3 Un merupaka deret aritmatika Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan Sn
Sn =U1 +U2 + U3 Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah
atau
Contoh 1 Di ketahui deret aritmatika 4 + 8 + 12 + 16 + Hitung jumlah 25 suku
pertama Jawab
Sn =
( (
S25=
( (
S25= 1300
Contoh 2 Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 Penyelesaian Diketahui a = 51 b = 2 dan Un = 99 Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100 pertama-tama kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100 yaitu n Dengan menggunakan rumus
Un = a + (n ndash 1) b 99 = 51 + (n ndash 1)(2) 99 = 51 + 2n ndash 2 99 = 49 + 2n 2n = 99 ndash 49 n = 25
Sn =
119899 ( 119886 119880119899 Sn =
119899 ( 119886 ( 119899 119887
Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika
Sn =
( (
diperoleh
S25 =
25 [2(51) + (25 -1)(2)]
= 25(51 + 24) = 25(75) = 1875
Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1875
C Barisan Geometri dan Deter Geometri 1 Barisan Geometri
Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1 U2 U3 U4 n-1 Un
Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke ndash n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ) ditulis
D m
Misalkan suku pertama sama dengan a rasio sama dengan r maka U1 U2 U3 Un
a ar ar2 n ndash 1 Dengan demikian rumus suku ke ndash n barisan geometri adalah Contoh
Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32 Tentukan
a suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut b suku kesembilan barisan geometri tersebut
Jawab Diketahui
U4 = 4 dan U7 = 32 Un = arn ndash 1 maka U4 = ar3 = 4 (1)
U7 = ar6 = 32 (2)
Dari persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a = 4r3 (3)
Subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) ar6 = 32 maka 4r3 = 32
Un = arn-1
r =
minus
r3 = 8 r = 2
Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a(2)3 = 4 a 8 = 4 a = frac12
Jadi suku pertamanya adalah 12 dan rasionya adalah 2 2 Rumus Suku Tengah Barisan Geometri
Suatu barisan geometri dengan n suku n bilangan ganjil maka suku tengah ( Uk ) dinyatakan sebagai berikut
Contoh Di ketahui Barisan Geometri 2 8 32 8192 Tentukan suku tengahnya Jawab
a = 2 Un = 8192
Uk = radic n
Uk = radic 8 9 8
3 Sisipan pada Barisan Geometri Pada barisan geometri a Un disisipkan k suku
K suku
Pada barisan geometri baru banyaknya suku adalah ( k + 2 ) Jadi
Contoh
Di antara bilangan
dan 64 disisipkan 7 bilangan sehingga menjadi barisan
geometri Tentukan rasio Jawab
r = radic
r = radic
r = radic
r = radic
= 2
Uk = radic 119899
Un = arn-1 rarr Un = ar(k+2-1) rarrUn = ark+1
rarrr = radic
4 Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku ndash suku barisan geometri Jika U1 U2 U3 U4 n-1 Un adalah barisan geometri maka U1 +U2 + U3 + Unmerupaka deret geometri Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn =U1 +U2 Un-1 + Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah
Contoh Tentukan jumlah ke 6 deret geometri berikut 2 + (-10) + 50 + + (-6250)
Jawab
1
1
r
raS
n
n
15
1)5(2 6
nS
6
156242
nS
5208nS
5 Deret Geometri Tak Hingga
Jika suatu deret geometri Sn =U1 +U2 Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga makaderet geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan
Sinfin =U1 +U2 Un-1
Jika
rkarena
r
raitSmakar
n
n
1
1lim1
Jika
011
1lim1 mendekatirkarena
r
a
r
raitSmakar
n
n
Sehingga rumus jumlah deret geometri takhingga untuk 01 adalahrr
Contoh 1 Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut
a 1 + 12 + 14 + 18 +
b + +
+
+
Jawab
a 1 + 12 + 14 + 18 + Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = frac12 sehingga
b + +
+
+
Perhatikan deret 2 + 1 + 12 + 14 + Dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r = frac12
Jadi + +
+
+ = = 16
Contoh 2
Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4 Carilah rasionya
Penyelesaian
Dari soal di atas unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan Sinfin = 4
Kita substitusikan ke dalam rumus Sinfin
harr 1 ndash r = frac12 harr r = frac12
Jadi rasionya adalah frac12
6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk
barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri
Barisan dan Deret Geometri Contoh 1
Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah
a banyaknya kursi pada baris ke-10
b banyaknya kursi dalam gedung itu
Penyelesain
a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66
Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika
Deret tak hingga genap
Sn = 119834119851
120783 119851120784 untuk bilangan genap
Deret tak hingga ganjil Sn = 119834
120783 119851120784 untuk
bilangan ganjil
Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b
Sn =
( n
Un = arn-1
S10 =
( 3
= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2
Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan
kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai
tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang
PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun
tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak
Arman padaakhir tahun 2005
Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir
tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap
Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari
Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-
BAB III STATISTIK DAN PELUANG
A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika
1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari
suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum
Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x
2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu
keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang
pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan
c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi
3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota
populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)
b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti
B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa
yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang
Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut
Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah
2005 866 8081 8947
2006 1087 11226 12313
2007 1500 16400 17900
2008 1709 20001 21710
2009 2010 25195 27205
Diagram batang tegak
2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan
Tahun Impor (dalam kuintal)
2004 9500
2005 4000
2006 4500
2007 10500
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
2005 2006 2007 2008 2009
Jumlah
Jumlah
2008 1500
2009 2000
3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah
lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan
b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut
Mata Pencaharian Frekuensi
Petani 90
Peternak 10
Pedagang 120
Guru 50
Karyawan 30
Jumlah 300
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
2004 2005 2006 2007 2008 2009
Impor
Impor
Mata
Pencaharian
Besar Sudut Juring Presentase
Petani
9
3 3
8
9
3
3
Peternak
3 3
3
3 33
Pedagang
3 3
3
Guru
3 3
3
7
Karyawan 3
3 3 3
3
3
Diagram Lingkaran
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Petani 108 Guru 60
Pedagang 144
Karyawan 36
Peternak 12
c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok
Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval
menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap
kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap
kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data
a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan
seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas
kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas
dirumuaskan
Panjang kelas ng n
n l
Diagram Pastel
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Pedagang 144
Petani 108 Guru
60
Tabel distribusi Nilai frekuensi
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
2) Histogram dan Poligon
Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram
3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan
menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo
Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika
Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
335
385
435
485
535
585
385
435
485
535
585
635
Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f
Nilai f le
le38
le 3
le 8
le 3
le 8
le 3
2
9
16
24
29
32
Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f
Nilai f ge
ge33
ge38
ge 3
ge 8
ge 3
32
30
23
16
8
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
ge 8 3
C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat
data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit
Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok
1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)
Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal
m m m y m
y y m y m
n atau
sum
n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data
nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus
g
Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan
seterusnya Contoh
Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut
Jawab
g
39
39
9 9 90
Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90
c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka
M data ke n+
Jika banyak data genap maka
M
d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus
Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus
Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10
Mean
n
+ + + + + + +
7
Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap
M
8
8
M
M 7 8
M 7
Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling
sering muncul yaitu sebanyak 3 kali
2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)
Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut
sum f
n
sum f n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i
b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut
M L (
f
f
)
Keterangan
L = tepi bawah kelas median n = banyak data f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
p = panjang kelas c Modus
Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut
Mo L
Keterangan
L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas
contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa
31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94
Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus
Jawab 1 Distribusi frekuensi
Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68
Lebar kelas
9 7
Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1
31-40 2 2 355 71
41-50 3 5 455 1365
51-60 5 10 555 2775
61-70 7 17 655 4585
71-80 11 28 755 8305
81-90 6 34 855 513
91-100 6 40 955 573
Jumlah 40 2860
Mean
sum f n
sum f n
8
7
Median
M L (
f
f
)
M 7 (
7
)
M 7 7
M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3
Modus
Mo L
Mo 7
Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9
D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal
a Kuartil
Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil
1) Kuartil pertamabawah (Q1)
Q1 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
2) Kuartil keduatengah (Q2)
Q2 membagi data terurut menjadi
atau
bagian
Dengan kata lain Q2 merupakan median data
3) Kuartil ketigatengah (Q3)
Q3 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
3(
3
4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga
(
5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut
(
6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data
a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
b Desil dan persentil
Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil
Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut
D
(
Keterangan i =123 9
n= ukuran data
Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
(
Keterangan i =123 99
n= ukuran data
2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil
1) Kuartil pertama (Q1)
L (
f
f
)
2) Kuartil kedua (Q2)
L (
f
f
)
3) Kuartil ketiga (Q3)
L (
3 f
f
)
Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123
f = frekuensi kelas kuartil i = 123
n = banyak kelas
p = panjang kelas b Desil dan Persentil
Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut
D L (
f
f
)
Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f
= frekuensi kelas desil ke-i
p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
L (
f f
)
L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f
= frekuensi kelas persentil ke-i
p = panjang kelas
3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan
Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil
n Keterangan
R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil
b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)
c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil
(
d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan
L
(
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
3 Deret Bilangan Jumlah suku-suku dari suatu barisan di sebut deret Bentuk umumnya adalah
sebagai berikut
Contoh Deret bilangan genap 2 + 4 + 6 + 8 + Deret bilangan persegi panjang 2 + 6 + 12 + 20 + Deret bilangan kubik 3
B Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika
1 Barisan Aritmatika Perhatikan penggaris ukuran 30 cm Pada penggaris tersebut terdapat bilangan
berurutan 0 1 2 3 4 30 Setiap bilangan berurutan pada penggaris ini mempunyai jarak yang sama yaitu 1 cm Jarak antar bilangan berurutan menunjukan selisih antar bilangan Bilangan ndash bilangan berurutan seperti padda penggaris memiliki selisih yang sama untuk setiap dua suku berurutannya sehingga membentuk suatu barisan bilangan Barisan bilangan seperti ini di sebut barisan aritmatika dengan selisih setiap dua suku berurutannya yang disebut beda
Bentuk umum
Pada barisan aritmatika berlaku
Contoh Tentukan beda dari suku-suku di bawah ini
a 4 7 10 13 b -10 -6 -2 2
Jawab a Beda = 7 ndash 4 = 3 b Beda = -6 ndash (-10) = 4
2 Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika
Suku ke-n Barisan Aritmatika adalah
Keterangan
119880 119880 119880 119880119899
119880119894
119899
119894
119880 119880 119880 119880119899 119886119905119886119906 119886 (119886 119887 (119886 119887 (119886
(119899 119887
119880119899 119880119899 119887
119880 119880 119887119880
119880119899 119880119899 119887
119880119899 119886 (119899 119887
Sehingga
n = Suku ke ndash n a = Suku pertama b = Beda n = Banyaknya suku
Contoh 1
Tentukan suku pertama beda dan suku ke-10 dari barisan 4 7 10 13
Jawab a = 4 b = 7 ndash 4 = 3 n ( ( 3 3
Contoh 2
Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 24 a Tentukan beda dan jenis barisan dari barisan aritmetika tersebut b Tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut Jawab Diketahui
suku pertama = a = 6 suku ketujuh = U7 = 36
a Untuk menentukan beda Un = a + (n 1) b maka U7 = 6 + (7 1) b 36 = 6 + 6 b 36 6 = 6 b 30 = 6 b b = 5
Jadi beda pada barisan itu adalah 5 Oleh karena b gt 0 barisan aritmetika tersebut merupakan barisan aritmetika naik
b Dengan suku pertama 6 dan beda 5 diperoleh barisan aritmetika sebagai
berikut 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51
Contoh 3 D m 8 3 7 7 Tentukan rumus suku ke-n yang berlaku pada barisan tersebut Jawab Diketahui a = U1 = 8
b = U2 U1 = 3 ( 8 = 3 8 = 5
Jadi rumus umum yang berlaku pada barisan tersebut adalah
Un = a + (n 1) b = 8 (n 1) 5 = 8 n 5 = 5n ndash 13
Contoh 4 Diketahui barisan bilangan asli kurang dari 125 Tentukan banyak bilangan yang a habis dibagi 2 b habis dibagi 5 c habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 Penyelesaian Barisan bilangan itu adalah 1 2 3 4 124 a Barisan bilangan yang habis dibagi 2 adalah 2 4 6 8 124 b Barisan bilangan yang habis dibagi 5 adalah 5 10 15 20 120 c Barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah
anggota penyelesaian pertanyaan bagian a dikurangi anggota penyelesaian pertanyaan b
Jadi barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah 2 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28 32 118 122 124
3 Suku Tengah Barisan Aritmatika ( Uk ) Barisan nuntuk n ganjil Maka dapat di rumuskan sebagai berikut
Contoh Di ketahui barisan aritmatika 3 9 15 21 117 Tentukan suku tengahnya
Jawab
n
+
= 60
4 Sisipan pada Barisan Aritmatika
Jika di antara 2 bilangan a dan Un di sisipkan bilangan a Un K bilangan
Maka setelah di sisipi k bilangan banyaknya suku pada barisan ada (k+2)=n n (
Pada barisan baru berlaku
119880119896 119880119899 119886
Un = a + ( k + 2 ndash 1 )b Un = a + ( k + 1 )b
Contoh
Di antara bilangan 6 dan 24 di sisipkan 8 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika Tentukan bedanya
Jawab a = 6 Un = 24 k = 8
b = n
+ =
+
5 Deret Aritmatika
Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika Jika U1 U2 U3 Un adalah barisan aitmatika maka U1 +U2 + U3 Un merupaka deret aritmatika Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan Sn
Sn =U1 +U2 + U3 Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah
atau
Contoh 1 Di ketahui deret aritmatika 4 + 8 + 12 + 16 + Hitung jumlah 25 suku
pertama Jawab
Sn =
( (
S25=
( (
S25= 1300
Contoh 2 Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 Penyelesaian Diketahui a = 51 b = 2 dan Un = 99 Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100 pertama-tama kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100 yaitu n Dengan menggunakan rumus
Un = a + (n ndash 1) b 99 = 51 + (n ndash 1)(2) 99 = 51 + 2n ndash 2 99 = 49 + 2n 2n = 99 ndash 49 n = 25
Sn =
119899 ( 119886 119880119899 Sn =
119899 ( 119886 ( 119899 119887
Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika
Sn =
( (
diperoleh
S25 =
25 [2(51) + (25 -1)(2)]
= 25(51 + 24) = 25(75) = 1875
Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1875
C Barisan Geometri dan Deter Geometri 1 Barisan Geometri
Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1 U2 U3 U4 n-1 Un
Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke ndash n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ) ditulis
D m
Misalkan suku pertama sama dengan a rasio sama dengan r maka U1 U2 U3 Un
a ar ar2 n ndash 1 Dengan demikian rumus suku ke ndash n barisan geometri adalah Contoh
Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32 Tentukan
a suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut b suku kesembilan barisan geometri tersebut
Jawab Diketahui
U4 = 4 dan U7 = 32 Un = arn ndash 1 maka U4 = ar3 = 4 (1)
U7 = ar6 = 32 (2)
Dari persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a = 4r3 (3)
Subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) ar6 = 32 maka 4r3 = 32
Un = arn-1
r =
minus
r3 = 8 r = 2
Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a(2)3 = 4 a 8 = 4 a = frac12
Jadi suku pertamanya adalah 12 dan rasionya adalah 2 2 Rumus Suku Tengah Barisan Geometri
Suatu barisan geometri dengan n suku n bilangan ganjil maka suku tengah ( Uk ) dinyatakan sebagai berikut
Contoh Di ketahui Barisan Geometri 2 8 32 8192 Tentukan suku tengahnya Jawab
a = 2 Un = 8192
Uk = radic n
Uk = radic 8 9 8
3 Sisipan pada Barisan Geometri Pada barisan geometri a Un disisipkan k suku
K suku
Pada barisan geometri baru banyaknya suku adalah ( k + 2 ) Jadi
Contoh
Di antara bilangan
dan 64 disisipkan 7 bilangan sehingga menjadi barisan
geometri Tentukan rasio Jawab
r = radic
r = radic
r = radic
r = radic
= 2
Uk = radic 119899
Un = arn-1 rarr Un = ar(k+2-1) rarrUn = ark+1
rarrr = radic
4 Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku ndash suku barisan geometri Jika U1 U2 U3 U4 n-1 Un adalah barisan geometri maka U1 +U2 + U3 + Unmerupaka deret geometri Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn =U1 +U2 Un-1 + Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah
Contoh Tentukan jumlah ke 6 deret geometri berikut 2 + (-10) + 50 + + (-6250)
Jawab
1
1
r
raS
n
n
15
1)5(2 6
nS
6
156242
nS
5208nS
5 Deret Geometri Tak Hingga
Jika suatu deret geometri Sn =U1 +U2 Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga makaderet geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan
Sinfin =U1 +U2 Un-1
Jika
rkarena
r
raitSmakar
n
n
1
1lim1
Jika
011
1lim1 mendekatirkarena
r
a
r
raitSmakar
n
n
Sehingga rumus jumlah deret geometri takhingga untuk 01 adalahrr
Contoh 1 Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut
a 1 + 12 + 14 + 18 +
b + +
+
+
Jawab
a 1 + 12 + 14 + 18 + Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = frac12 sehingga
b + +
+
+
Perhatikan deret 2 + 1 + 12 + 14 + Dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r = frac12
Jadi + +
+
+ = = 16
Contoh 2
Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4 Carilah rasionya
Penyelesaian
Dari soal di atas unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan Sinfin = 4
Kita substitusikan ke dalam rumus Sinfin
harr 1 ndash r = frac12 harr r = frac12
Jadi rasionya adalah frac12
6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk
barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri
Barisan dan Deret Geometri Contoh 1
Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah
a banyaknya kursi pada baris ke-10
b banyaknya kursi dalam gedung itu
Penyelesain
a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66
Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika
Deret tak hingga genap
Sn = 119834119851
120783 119851120784 untuk bilangan genap
Deret tak hingga ganjil Sn = 119834
120783 119851120784 untuk
bilangan ganjil
Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b
Sn =
( n
Un = arn-1
S10 =
( 3
= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2
Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan
kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai
tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang
PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun
tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak
Arman padaakhir tahun 2005
Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir
tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap
Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari
Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-
BAB III STATISTIK DAN PELUANG
A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika
1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari
suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum
Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x
2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu
keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang
pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan
c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi
3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota
populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)
b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti
B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa
yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang
Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut
Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah
2005 866 8081 8947
2006 1087 11226 12313
2007 1500 16400 17900
2008 1709 20001 21710
2009 2010 25195 27205
Diagram batang tegak
2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan
Tahun Impor (dalam kuintal)
2004 9500
2005 4000
2006 4500
2007 10500
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
2005 2006 2007 2008 2009
Jumlah
Jumlah
2008 1500
2009 2000
3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah
lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan
b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut
Mata Pencaharian Frekuensi
Petani 90
Peternak 10
Pedagang 120
Guru 50
Karyawan 30
Jumlah 300
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
2004 2005 2006 2007 2008 2009
Impor
Impor
Mata
Pencaharian
Besar Sudut Juring Presentase
Petani
9
3 3
8
9
3
3
Peternak
3 3
3
3 33
Pedagang
3 3
3
Guru
3 3
3
7
Karyawan 3
3 3 3
3
3
Diagram Lingkaran
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Petani 108 Guru 60
Pedagang 144
Karyawan 36
Peternak 12
c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok
Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval
menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap
kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap
kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data
a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan
seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas
kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas
dirumuaskan
Panjang kelas ng n
n l
Diagram Pastel
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Pedagang 144
Petani 108 Guru
60
Tabel distribusi Nilai frekuensi
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
2) Histogram dan Poligon
Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram
3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan
menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo
Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika
Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
335
385
435
485
535
585
385
435
485
535
585
635
Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f
Nilai f le
le38
le 3
le 8
le 3
le 8
le 3
2
9
16
24
29
32
Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f
Nilai f ge
ge33
ge38
ge 3
ge 8
ge 3
32
30
23
16
8
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
ge 8 3
C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat
data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit
Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok
1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)
Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal
m m m y m
y y m y m
n atau
sum
n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data
nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus
g
Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan
seterusnya Contoh
Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut
Jawab
g
39
39
9 9 90
Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90
c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka
M data ke n+
Jika banyak data genap maka
M
d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus
Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus
Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10
Mean
n
+ + + + + + +
7
Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap
M
8
8
M
M 7 8
M 7
Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling
sering muncul yaitu sebanyak 3 kali
2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)
Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut
sum f
n
sum f n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i
b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut
M L (
f
f
)
Keterangan
L = tepi bawah kelas median n = banyak data f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
p = panjang kelas c Modus
Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut
Mo L
Keterangan
L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas
contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa
31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94
Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus
Jawab 1 Distribusi frekuensi
Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68
Lebar kelas
9 7
Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1
31-40 2 2 355 71
41-50 3 5 455 1365
51-60 5 10 555 2775
61-70 7 17 655 4585
71-80 11 28 755 8305
81-90 6 34 855 513
91-100 6 40 955 573
Jumlah 40 2860
Mean
sum f n
sum f n
8
7
Median
M L (
f
f
)
M 7 (
7
)
M 7 7
M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3
Modus
Mo L
Mo 7
Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9
D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal
a Kuartil
Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil
1) Kuartil pertamabawah (Q1)
Q1 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
2) Kuartil keduatengah (Q2)
Q2 membagi data terurut menjadi
atau
bagian
Dengan kata lain Q2 merupakan median data
3) Kuartil ketigatengah (Q3)
Q3 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
3(
3
4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga
(
5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut
(
6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data
a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
b Desil dan persentil
Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil
Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut
D
(
Keterangan i =123 9
n= ukuran data
Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
(
Keterangan i =123 99
n= ukuran data
2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil
1) Kuartil pertama (Q1)
L (
f
f
)
2) Kuartil kedua (Q2)
L (
f
f
)
3) Kuartil ketiga (Q3)
L (
3 f
f
)
Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123
f = frekuensi kelas kuartil i = 123
n = banyak kelas
p = panjang kelas b Desil dan Persentil
Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut
D L (
f
f
)
Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f
= frekuensi kelas desil ke-i
p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
L (
f f
)
L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f
= frekuensi kelas persentil ke-i
p = panjang kelas
3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan
Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil
n Keterangan
R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil
b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)
c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil
(
d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan
L
(
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
n = Suku ke ndash n a = Suku pertama b = Beda n = Banyaknya suku
Contoh 1
Tentukan suku pertama beda dan suku ke-10 dari barisan 4 7 10 13
Jawab a = 4 b = 7 ndash 4 = 3 n ( ( 3 3
Contoh 2
Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 24 a Tentukan beda dan jenis barisan dari barisan aritmetika tersebut b Tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut Jawab Diketahui
suku pertama = a = 6 suku ketujuh = U7 = 36
a Untuk menentukan beda Un = a + (n 1) b maka U7 = 6 + (7 1) b 36 = 6 + 6 b 36 6 = 6 b 30 = 6 b b = 5
Jadi beda pada barisan itu adalah 5 Oleh karena b gt 0 barisan aritmetika tersebut merupakan barisan aritmetika naik
b Dengan suku pertama 6 dan beda 5 diperoleh barisan aritmetika sebagai
berikut 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51
Contoh 3 D m 8 3 7 7 Tentukan rumus suku ke-n yang berlaku pada barisan tersebut Jawab Diketahui a = U1 = 8
b = U2 U1 = 3 ( 8 = 3 8 = 5
Jadi rumus umum yang berlaku pada barisan tersebut adalah
Un = a + (n 1) b = 8 (n 1) 5 = 8 n 5 = 5n ndash 13
Contoh 4 Diketahui barisan bilangan asli kurang dari 125 Tentukan banyak bilangan yang a habis dibagi 2 b habis dibagi 5 c habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 Penyelesaian Barisan bilangan itu adalah 1 2 3 4 124 a Barisan bilangan yang habis dibagi 2 adalah 2 4 6 8 124 b Barisan bilangan yang habis dibagi 5 adalah 5 10 15 20 120 c Barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah
anggota penyelesaian pertanyaan bagian a dikurangi anggota penyelesaian pertanyaan b
Jadi barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah 2 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28 32 118 122 124
3 Suku Tengah Barisan Aritmatika ( Uk ) Barisan nuntuk n ganjil Maka dapat di rumuskan sebagai berikut
Contoh Di ketahui barisan aritmatika 3 9 15 21 117 Tentukan suku tengahnya
Jawab
n
+
= 60
4 Sisipan pada Barisan Aritmatika
Jika di antara 2 bilangan a dan Un di sisipkan bilangan a Un K bilangan
Maka setelah di sisipi k bilangan banyaknya suku pada barisan ada (k+2)=n n (
Pada barisan baru berlaku
119880119896 119880119899 119886
Un = a + ( k + 2 ndash 1 )b Un = a + ( k + 1 )b
Contoh
Di antara bilangan 6 dan 24 di sisipkan 8 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika Tentukan bedanya
Jawab a = 6 Un = 24 k = 8
b = n
+ =
+
5 Deret Aritmatika
Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika Jika U1 U2 U3 Un adalah barisan aitmatika maka U1 +U2 + U3 Un merupaka deret aritmatika Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan Sn
Sn =U1 +U2 + U3 Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah
atau
Contoh 1 Di ketahui deret aritmatika 4 + 8 + 12 + 16 + Hitung jumlah 25 suku
pertama Jawab
Sn =
( (
S25=
( (
S25= 1300
Contoh 2 Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 Penyelesaian Diketahui a = 51 b = 2 dan Un = 99 Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100 pertama-tama kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100 yaitu n Dengan menggunakan rumus
Un = a + (n ndash 1) b 99 = 51 + (n ndash 1)(2) 99 = 51 + 2n ndash 2 99 = 49 + 2n 2n = 99 ndash 49 n = 25
Sn =
119899 ( 119886 119880119899 Sn =
119899 ( 119886 ( 119899 119887
Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika
Sn =
( (
diperoleh
S25 =
25 [2(51) + (25 -1)(2)]
= 25(51 + 24) = 25(75) = 1875
Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1875
C Barisan Geometri dan Deter Geometri 1 Barisan Geometri
Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1 U2 U3 U4 n-1 Un
Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke ndash n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ) ditulis
D m
Misalkan suku pertama sama dengan a rasio sama dengan r maka U1 U2 U3 Un
a ar ar2 n ndash 1 Dengan demikian rumus suku ke ndash n barisan geometri adalah Contoh
Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32 Tentukan
a suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut b suku kesembilan barisan geometri tersebut
Jawab Diketahui
U4 = 4 dan U7 = 32 Un = arn ndash 1 maka U4 = ar3 = 4 (1)
U7 = ar6 = 32 (2)
Dari persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a = 4r3 (3)
Subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) ar6 = 32 maka 4r3 = 32
Un = arn-1
r =
minus
r3 = 8 r = 2
Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a(2)3 = 4 a 8 = 4 a = frac12
Jadi suku pertamanya adalah 12 dan rasionya adalah 2 2 Rumus Suku Tengah Barisan Geometri
Suatu barisan geometri dengan n suku n bilangan ganjil maka suku tengah ( Uk ) dinyatakan sebagai berikut
Contoh Di ketahui Barisan Geometri 2 8 32 8192 Tentukan suku tengahnya Jawab
a = 2 Un = 8192
Uk = radic n
Uk = radic 8 9 8
3 Sisipan pada Barisan Geometri Pada barisan geometri a Un disisipkan k suku
K suku
Pada barisan geometri baru banyaknya suku adalah ( k + 2 ) Jadi
Contoh
Di antara bilangan
dan 64 disisipkan 7 bilangan sehingga menjadi barisan
geometri Tentukan rasio Jawab
r = radic
r = radic
r = radic
r = radic
= 2
Uk = radic 119899
Un = arn-1 rarr Un = ar(k+2-1) rarrUn = ark+1
rarrr = radic
4 Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku ndash suku barisan geometri Jika U1 U2 U3 U4 n-1 Un adalah barisan geometri maka U1 +U2 + U3 + Unmerupaka deret geometri Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn =U1 +U2 Un-1 + Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah
Contoh Tentukan jumlah ke 6 deret geometri berikut 2 + (-10) + 50 + + (-6250)
Jawab
1
1
r
raS
n
n
15
1)5(2 6
nS
6
156242
nS
5208nS
5 Deret Geometri Tak Hingga
Jika suatu deret geometri Sn =U1 +U2 Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga makaderet geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan
Sinfin =U1 +U2 Un-1
Jika
rkarena
r
raitSmakar
n
n
1
1lim1
Jika
011
1lim1 mendekatirkarena
r
a
r
raitSmakar
n
n
Sehingga rumus jumlah deret geometri takhingga untuk 01 adalahrr
Contoh 1 Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut
a 1 + 12 + 14 + 18 +
b + +
+
+
Jawab
a 1 + 12 + 14 + 18 + Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = frac12 sehingga
b + +
+
+
Perhatikan deret 2 + 1 + 12 + 14 + Dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r = frac12
Jadi + +
+
+ = = 16
Contoh 2
Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4 Carilah rasionya
Penyelesaian
Dari soal di atas unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan Sinfin = 4
Kita substitusikan ke dalam rumus Sinfin
harr 1 ndash r = frac12 harr r = frac12
Jadi rasionya adalah frac12
6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk
barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri
Barisan dan Deret Geometri Contoh 1
Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah
a banyaknya kursi pada baris ke-10
b banyaknya kursi dalam gedung itu
Penyelesain
a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66
Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika
Deret tak hingga genap
Sn = 119834119851
120783 119851120784 untuk bilangan genap
Deret tak hingga ganjil Sn = 119834
120783 119851120784 untuk
bilangan ganjil
Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b
Sn =
( n
Un = arn-1
S10 =
( 3
= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2
Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan
kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai
tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang
PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun
tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak
Arman padaakhir tahun 2005
Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir
tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap
Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari
Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-
BAB III STATISTIK DAN PELUANG
A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika
1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari
suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum
Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x
2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu
keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang
pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan
c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi
3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota
populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)
b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti
B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa
yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang
Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut
Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah
2005 866 8081 8947
2006 1087 11226 12313
2007 1500 16400 17900
2008 1709 20001 21710
2009 2010 25195 27205
Diagram batang tegak
2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan
Tahun Impor (dalam kuintal)
2004 9500
2005 4000
2006 4500
2007 10500
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
2005 2006 2007 2008 2009
Jumlah
Jumlah
2008 1500
2009 2000
3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah
lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan
b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut
Mata Pencaharian Frekuensi
Petani 90
Peternak 10
Pedagang 120
Guru 50
Karyawan 30
Jumlah 300
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
2004 2005 2006 2007 2008 2009
Impor
Impor
Mata
Pencaharian
Besar Sudut Juring Presentase
Petani
9
3 3
8
9
3
3
Peternak
3 3
3
3 33
Pedagang
3 3
3
Guru
3 3
3
7
Karyawan 3
3 3 3
3
3
Diagram Lingkaran
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Petani 108 Guru 60
Pedagang 144
Karyawan 36
Peternak 12
c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok
Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval
menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap
kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap
kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data
a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan
seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas
kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas
dirumuaskan
Panjang kelas ng n
n l
Diagram Pastel
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Pedagang 144
Petani 108 Guru
60
Tabel distribusi Nilai frekuensi
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
2) Histogram dan Poligon
Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram
3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan
menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo
Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika
Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
335
385
435
485
535
585
385
435
485
535
585
635
Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f
Nilai f le
le38
le 3
le 8
le 3
le 8
le 3
2
9
16
24
29
32
Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f
Nilai f ge
ge33
ge38
ge 3
ge 8
ge 3
32
30
23
16
8
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
ge 8 3
C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat
data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit
Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok
1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)
Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal
m m m y m
y y m y m
n atau
sum
n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data
nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus
g
Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan
seterusnya Contoh
Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut
Jawab
g
39
39
9 9 90
Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90
c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka
M data ke n+
Jika banyak data genap maka
M
d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus
Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus
Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10
Mean
n
+ + + + + + +
7
Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap
M
8
8
M
M 7 8
M 7
Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling
sering muncul yaitu sebanyak 3 kali
2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)
Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut
sum f
n
sum f n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i
b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut
M L (
f
f
)
Keterangan
L = tepi bawah kelas median n = banyak data f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
p = panjang kelas c Modus
Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut
Mo L
Keterangan
L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas
contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa
31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94
Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus
Jawab 1 Distribusi frekuensi
Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68
Lebar kelas
9 7
Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1
31-40 2 2 355 71
41-50 3 5 455 1365
51-60 5 10 555 2775
61-70 7 17 655 4585
71-80 11 28 755 8305
81-90 6 34 855 513
91-100 6 40 955 573
Jumlah 40 2860
Mean
sum f n
sum f n
8
7
Median
M L (
f
f
)
M 7 (
7
)
M 7 7
M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3
Modus
Mo L
Mo 7
Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9
D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal
a Kuartil
Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil
1) Kuartil pertamabawah (Q1)
Q1 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
2) Kuartil keduatengah (Q2)
Q2 membagi data terurut menjadi
atau
bagian
Dengan kata lain Q2 merupakan median data
3) Kuartil ketigatengah (Q3)
Q3 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
3(
3
4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga
(
5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut
(
6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data
a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
b Desil dan persentil
Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil
Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut
D
(
Keterangan i =123 9
n= ukuran data
Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
(
Keterangan i =123 99
n= ukuran data
2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil
1) Kuartil pertama (Q1)
L (
f
f
)
2) Kuartil kedua (Q2)
L (
f
f
)
3) Kuartil ketiga (Q3)
L (
3 f
f
)
Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123
f = frekuensi kelas kuartil i = 123
n = banyak kelas
p = panjang kelas b Desil dan Persentil
Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut
D L (
f
f
)
Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f
= frekuensi kelas desil ke-i
p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
L (
f f
)
L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f
= frekuensi kelas persentil ke-i
p = panjang kelas
3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan
Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil
n Keterangan
R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil
b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)
c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil
(
d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan
L
(
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
Un = a + (n 1) b = 8 (n 1) 5 = 8 n 5 = 5n ndash 13
Contoh 4 Diketahui barisan bilangan asli kurang dari 125 Tentukan banyak bilangan yang a habis dibagi 2 b habis dibagi 5 c habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 Penyelesaian Barisan bilangan itu adalah 1 2 3 4 124 a Barisan bilangan yang habis dibagi 2 adalah 2 4 6 8 124 b Barisan bilangan yang habis dibagi 5 adalah 5 10 15 20 120 c Barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah
anggota penyelesaian pertanyaan bagian a dikurangi anggota penyelesaian pertanyaan b
Jadi barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah 2 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28 32 118 122 124
3 Suku Tengah Barisan Aritmatika ( Uk ) Barisan nuntuk n ganjil Maka dapat di rumuskan sebagai berikut
Contoh Di ketahui barisan aritmatika 3 9 15 21 117 Tentukan suku tengahnya
Jawab
n
+
= 60
4 Sisipan pada Barisan Aritmatika
Jika di antara 2 bilangan a dan Un di sisipkan bilangan a Un K bilangan
Maka setelah di sisipi k bilangan banyaknya suku pada barisan ada (k+2)=n n (
Pada barisan baru berlaku
119880119896 119880119899 119886
Un = a + ( k + 2 ndash 1 )b Un = a + ( k + 1 )b
Contoh
Di antara bilangan 6 dan 24 di sisipkan 8 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika Tentukan bedanya
Jawab a = 6 Un = 24 k = 8
b = n
+ =
+
5 Deret Aritmatika
Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika Jika U1 U2 U3 Un adalah barisan aitmatika maka U1 +U2 + U3 Un merupaka deret aritmatika Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan Sn
Sn =U1 +U2 + U3 Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah
atau
Contoh 1 Di ketahui deret aritmatika 4 + 8 + 12 + 16 + Hitung jumlah 25 suku
pertama Jawab
Sn =
( (
S25=
( (
S25= 1300
Contoh 2 Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 Penyelesaian Diketahui a = 51 b = 2 dan Un = 99 Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100 pertama-tama kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100 yaitu n Dengan menggunakan rumus
Un = a + (n ndash 1) b 99 = 51 + (n ndash 1)(2) 99 = 51 + 2n ndash 2 99 = 49 + 2n 2n = 99 ndash 49 n = 25
Sn =
119899 ( 119886 119880119899 Sn =
119899 ( 119886 ( 119899 119887
Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika
Sn =
( (
diperoleh
S25 =
25 [2(51) + (25 -1)(2)]
= 25(51 + 24) = 25(75) = 1875
Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1875
C Barisan Geometri dan Deter Geometri 1 Barisan Geometri
Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1 U2 U3 U4 n-1 Un
Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke ndash n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ) ditulis
D m
Misalkan suku pertama sama dengan a rasio sama dengan r maka U1 U2 U3 Un
a ar ar2 n ndash 1 Dengan demikian rumus suku ke ndash n barisan geometri adalah Contoh
Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32 Tentukan
a suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut b suku kesembilan barisan geometri tersebut
Jawab Diketahui
U4 = 4 dan U7 = 32 Un = arn ndash 1 maka U4 = ar3 = 4 (1)
U7 = ar6 = 32 (2)
Dari persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a = 4r3 (3)
Subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) ar6 = 32 maka 4r3 = 32
Un = arn-1
r =
minus
r3 = 8 r = 2
Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a(2)3 = 4 a 8 = 4 a = frac12
Jadi suku pertamanya adalah 12 dan rasionya adalah 2 2 Rumus Suku Tengah Barisan Geometri
Suatu barisan geometri dengan n suku n bilangan ganjil maka suku tengah ( Uk ) dinyatakan sebagai berikut
Contoh Di ketahui Barisan Geometri 2 8 32 8192 Tentukan suku tengahnya Jawab
a = 2 Un = 8192
Uk = radic n
Uk = radic 8 9 8
3 Sisipan pada Barisan Geometri Pada barisan geometri a Un disisipkan k suku
K suku
Pada barisan geometri baru banyaknya suku adalah ( k + 2 ) Jadi
Contoh
Di antara bilangan
dan 64 disisipkan 7 bilangan sehingga menjadi barisan
geometri Tentukan rasio Jawab
r = radic
r = radic
r = radic
r = radic
= 2
Uk = radic 119899
Un = arn-1 rarr Un = ar(k+2-1) rarrUn = ark+1
rarrr = radic
4 Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku ndash suku barisan geometri Jika U1 U2 U3 U4 n-1 Un adalah barisan geometri maka U1 +U2 + U3 + Unmerupaka deret geometri Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn =U1 +U2 Un-1 + Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah
Contoh Tentukan jumlah ke 6 deret geometri berikut 2 + (-10) + 50 + + (-6250)
Jawab
1
1
r
raS
n
n
15
1)5(2 6
nS
6
156242
nS
5208nS
5 Deret Geometri Tak Hingga
Jika suatu deret geometri Sn =U1 +U2 Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga makaderet geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan
Sinfin =U1 +U2 Un-1
Jika
rkarena
r
raitSmakar
n
n
1
1lim1
Jika
011
1lim1 mendekatirkarena
r
a
r
raitSmakar
n
n
Sehingga rumus jumlah deret geometri takhingga untuk 01 adalahrr
Contoh 1 Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut
a 1 + 12 + 14 + 18 +
b + +
+
+
Jawab
a 1 + 12 + 14 + 18 + Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = frac12 sehingga
b + +
+
+
Perhatikan deret 2 + 1 + 12 + 14 + Dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r = frac12
Jadi + +
+
+ = = 16
Contoh 2
Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4 Carilah rasionya
Penyelesaian
Dari soal di atas unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan Sinfin = 4
Kita substitusikan ke dalam rumus Sinfin
harr 1 ndash r = frac12 harr r = frac12
Jadi rasionya adalah frac12
6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk
barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri
Barisan dan Deret Geometri Contoh 1
Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah
a banyaknya kursi pada baris ke-10
b banyaknya kursi dalam gedung itu
Penyelesain
a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66
Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika
Deret tak hingga genap
Sn = 119834119851
120783 119851120784 untuk bilangan genap
Deret tak hingga ganjil Sn = 119834
120783 119851120784 untuk
bilangan ganjil
Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b
Sn =
( n
Un = arn-1
S10 =
( 3
= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2
Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan
kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai
tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang
PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun
tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak
Arman padaakhir tahun 2005
Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir
tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap
Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari
Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-
BAB III STATISTIK DAN PELUANG
A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika
1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari
suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum
Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x
2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu
keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang
pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan
c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi
3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota
populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)
b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti
B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa
yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang
Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut
Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah
2005 866 8081 8947
2006 1087 11226 12313
2007 1500 16400 17900
2008 1709 20001 21710
2009 2010 25195 27205
Diagram batang tegak
2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan
Tahun Impor (dalam kuintal)
2004 9500
2005 4000
2006 4500
2007 10500
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
2005 2006 2007 2008 2009
Jumlah
Jumlah
2008 1500
2009 2000
3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah
lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan
b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut
Mata Pencaharian Frekuensi
Petani 90
Peternak 10
Pedagang 120
Guru 50
Karyawan 30
Jumlah 300
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
2004 2005 2006 2007 2008 2009
Impor
Impor
Mata
Pencaharian
Besar Sudut Juring Presentase
Petani
9
3 3
8
9
3
3
Peternak
3 3
3
3 33
Pedagang
3 3
3
Guru
3 3
3
7
Karyawan 3
3 3 3
3
3
Diagram Lingkaran
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Petani 108 Guru 60
Pedagang 144
Karyawan 36
Peternak 12
c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok
Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval
menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap
kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap
kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data
a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan
seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas
kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas
dirumuaskan
Panjang kelas ng n
n l
Diagram Pastel
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Pedagang 144
Petani 108 Guru
60
Tabel distribusi Nilai frekuensi
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
2) Histogram dan Poligon
Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram
3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan
menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo
Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika
Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
335
385
435
485
535
585
385
435
485
535
585
635
Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f
Nilai f le
le38
le 3
le 8
le 3
le 8
le 3
2
9
16
24
29
32
Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f
Nilai f ge
ge33
ge38
ge 3
ge 8
ge 3
32
30
23
16
8
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
ge 8 3
C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat
data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit
Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok
1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)
Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal
m m m y m
y y m y m
n atau
sum
n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data
nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus
g
Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan
seterusnya Contoh
Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut
Jawab
g
39
39
9 9 90
Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90
c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka
M data ke n+
Jika banyak data genap maka
M
d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus
Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus
Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10
Mean
n
+ + + + + + +
7
Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap
M
8
8
M
M 7 8
M 7
Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling
sering muncul yaitu sebanyak 3 kali
2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)
Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut
sum f
n
sum f n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i
b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut
M L (
f
f
)
Keterangan
L = tepi bawah kelas median n = banyak data f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
p = panjang kelas c Modus
Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut
Mo L
Keterangan
L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas
contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa
31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94
Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus
Jawab 1 Distribusi frekuensi
Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68
Lebar kelas
9 7
Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1
31-40 2 2 355 71
41-50 3 5 455 1365
51-60 5 10 555 2775
61-70 7 17 655 4585
71-80 11 28 755 8305
81-90 6 34 855 513
91-100 6 40 955 573
Jumlah 40 2860
Mean
sum f n
sum f n
8
7
Median
M L (
f
f
)
M 7 (
7
)
M 7 7
M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3
Modus
Mo L
Mo 7
Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9
D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal
a Kuartil
Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil
1) Kuartil pertamabawah (Q1)
Q1 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
2) Kuartil keduatengah (Q2)
Q2 membagi data terurut menjadi
atau
bagian
Dengan kata lain Q2 merupakan median data
3) Kuartil ketigatengah (Q3)
Q3 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
3(
3
4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga
(
5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut
(
6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data
a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
b Desil dan persentil
Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil
Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut
D
(
Keterangan i =123 9
n= ukuran data
Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
(
Keterangan i =123 99
n= ukuran data
2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil
1) Kuartil pertama (Q1)
L (
f
f
)
2) Kuartil kedua (Q2)
L (
f
f
)
3) Kuartil ketiga (Q3)
L (
3 f
f
)
Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123
f = frekuensi kelas kuartil i = 123
n = banyak kelas
p = panjang kelas b Desil dan Persentil
Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut
D L (
f
f
)
Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f
= frekuensi kelas desil ke-i
p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
L (
f f
)
L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f
= frekuensi kelas persentil ke-i
p = panjang kelas
3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan
Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil
n Keterangan
R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil
b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)
c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil
(
d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan
L
(
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
Contoh
Di antara bilangan 6 dan 24 di sisipkan 8 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika Tentukan bedanya
Jawab a = 6 Un = 24 k = 8
b = n
+ =
+
5 Deret Aritmatika
Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika Jika U1 U2 U3 Un adalah barisan aitmatika maka U1 +U2 + U3 Un merupaka deret aritmatika Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan Sn
Sn =U1 +U2 + U3 Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah
atau
Contoh 1 Di ketahui deret aritmatika 4 + 8 + 12 + 16 + Hitung jumlah 25 suku
pertama Jawab
Sn =
( (
S25=
( (
S25= 1300
Contoh 2 Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 Penyelesaian Diketahui a = 51 b = 2 dan Un = 99 Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100 pertama-tama kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100 yaitu n Dengan menggunakan rumus
Un = a + (n ndash 1) b 99 = 51 + (n ndash 1)(2) 99 = 51 + 2n ndash 2 99 = 49 + 2n 2n = 99 ndash 49 n = 25
Sn =
119899 ( 119886 119880119899 Sn =
119899 ( 119886 ( 119899 119887
Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika
Sn =
( (
diperoleh
S25 =
25 [2(51) + (25 -1)(2)]
= 25(51 + 24) = 25(75) = 1875
Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1875
C Barisan Geometri dan Deter Geometri 1 Barisan Geometri
Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1 U2 U3 U4 n-1 Un
Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke ndash n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ) ditulis
D m
Misalkan suku pertama sama dengan a rasio sama dengan r maka U1 U2 U3 Un
a ar ar2 n ndash 1 Dengan demikian rumus suku ke ndash n barisan geometri adalah Contoh
Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32 Tentukan
a suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut b suku kesembilan barisan geometri tersebut
Jawab Diketahui
U4 = 4 dan U7 = 32 Un = arn ndash 1 maka U4 = ar3 = 4 (1)
U7 = ar6 = 32 (2)
Dari persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a = 4r3 (3)
Subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) ar6 = 32 maka 4r3 = 32
Un = arn-1
r =
minus
r3 = 8 r = 2
Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a(2)3 = 4 a 8 = 4 a = frac12
Jadi suku pertamanya adalah 12 dan rasionya adalah 2 2 Rumus Suku Tengah Barisan Geometri
Suatu barisan geometri dengan n suku n bilangan ganjil maka suku tengah ( Uk ) dinyatakan sebagai berikut
Contoh Di ketahui Barisan Geometri 2 8 32 8192 Tentukan suku tengahnya Jawab
a = 2 Un = 8192
Uk = radic n
Uk = radic 8 9 8
3 Sisipan pada Barisan Geometri Pada barisan geometri a Un disisipkan k suku
K suku
Pada barisan geometri baru banyaknya suku adalah ( k + 2 ) Jadi
Contoh
Di antara bilangan
dan 64 disisipkan 7 bilangan sehingga menjadi barisan
geometri Tentukan rasio Jawab
r = radic
r = radic
r = radic
r = radic
= 2
Uk = radic 119899
Un = arn-1 rarr Un = ar(k+2-1) rarrUn = ark+1
rarrr = radic
4 Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku ndash suku barisan geometri Jika U1 U2 U3 U4 n-1 Un adalah barisan geometri maka U1 +U2 + U3 + Unmerupaka deret geometri Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn =U1 +U2 Un-1 + Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah
Contoh Tentukan jumlah ke 6 deret geometri berikut 2 + (-10) + 50 + + (-6250)
Jawab
1
1
r
raS
n
n
15
1)5(2 6
nS
6
156242
nS
5208nS
5 Deret Geometri Tak Hingga
Jika suatu deret geometri Sn =U1 +U2 Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga makaderet geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan
Sinfin =U1 +U2 Un-1
Jika
rkarena
r
raitSmakar
n
n
1
1lim1
Jika
011
1lim1 mendekatirkarena
r
a
r
raitSmakar
n
n
Sehingga rumus jumlah deret geometri takhingga untuk 01 adalahrr
Contoh 1 Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut
a 1 + 12 + 14 + 18 +
b + +
+
+
Jawab
a 1 + 12 + 14 + 18 + Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = frac12 sehingga
b + +
+
+
Perhatikan deret 2 + 1 + 12 + 14 + Dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r = frac12
Jadi + +
+
+ = = 16
Contoh 2
Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4 Carilah rasionya
Penyelesaian
Dari soal di atas unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan Sinfin = 4
Kita substitusikan ke dalam rumus Sinfin
harr 1 ndash r = frac12 harr r = frac12
Jadi rasionya adalah frac12
6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk
barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri
Barisan dan Deret Geometri Contoh 1
Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah
a banyaknya kursi pada baris ke-10
b banyaknya kursi dalam gedung itu
Penyelesain
a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66
Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika
Deret tak hingga genap
Sn = 119834119851
120783 119851120784 untuk bilangan genap
Deret tak hingga ganjil Sn = 119834
120783 119851120784 untuk
bilangan ganjil
Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b
Sn =
( n
Un = arn-1
S10 =
( 3
= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2
Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan
kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai
tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang
PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun
tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak
Arman padaakhir tahun 2005
Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir
tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap
Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari
Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-
BAB III STATISTIK DAN PELUANG
A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika
1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari
suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum
Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x
2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu
keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang
pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan
c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi
3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota
populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)
b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti
B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa
yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang
Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut
Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah
2005 866 8081 8947
2006 1087 11226 12313
2007 1500 16400 17900
2008 1709 20001 21710
2009 2010 25195 27205
Diagram batang tegak
2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan
Tahun Impor (dalam kuintal)
2004 9500
2005 4000
2006 4500
2007 10500
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
2005 2006 2007 2008 2009
Jumlah
Jumlah
2008 1500
2009 2000
3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah
lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan
b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut
Mata Pencaharian Frekuensi
Petani 90
Peternak 10
Pedagang 120
Guru 50
Karyawan 30
Jumlah 300
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
2004 2005 2006 2007 2008 2009
Impor
Impor
Mata
Pencaharian
Besar Sudut Juring Presentase
Petani
9
3 3
8
9
3
3
Peternak
3 3
3
3 33
Pedagang
3 3
3
Guru
3 3
3
7
Karyawan 3
3 3 3
3
3
Diagram Lingkaran
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Petani 108 Guru 60
Pedagang 144
Karyawan 36
Peternak 12
c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok
Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval
menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap
kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap
kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data
a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan
seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas
kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas
dirumuaskan
Panjang kelas ng n
n l
Diagram Pastel
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Pedagang 144
Petani 108 Guru
60
Tabel distribusi Nilai frekuensi
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
2) Histogram dan Poligon
Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram
3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan
menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo
Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika
Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
335
385
435
485
535
585
385
435
485
535
585
635
Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f
Nilai f le
le38
le 3
le 8
le 3
le 8
le 3
2
9
16
24
29
32
Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f
Nilai f ge
ge33
ge38
ge 3
ge 8
ge 3
32
30
23
16
8
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
ge 8 3
C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat
data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit
Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok
1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)
Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal
m m m y m
y y m y m
n atau
sum
n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data
nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus
g
Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan
seterusnya Contoh
Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut
Jawab
g
39
39
9 9 90
Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90
c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka
M data ke n+
Jika banyak data genap maka
M
d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus
Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus
Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10
Mean
n
+ + + + + + +
7
Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap
M
8
8
M
M 7 8
M 7
Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling
sering muncul yaitu sebanyak 3 kali
2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)
Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut
sum f
n
sum f n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i
b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut
M L (
f
f
)
Keterangan
L = tepi bawah kelas median n = banyak data f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
p = panjang kelas c Modus
Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut
Mo L
Keterangan
L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas
contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa
31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94
Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus
Jawab 1 Distribusi frekuensi
Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68
Lebar kelas
9 7
Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1
31-40 2 2 355 71
41-50 3 5 455 1365
51-60 5 10 555 2775
61-70 7 17 655 4585
71-80 11 28 755 8305
81-90 6 34 855 513
91-100 6 40 955 573
Jumlah 40 2860
Mean
sum f n
sum f n
8
7
Median
M L (
f
f
)
M 7 (
7
)
M 7 7
M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3
Modus
Mo L
Mo 7
Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9
D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal
a Kuartil
Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil
1) Kuartil pertamabawah (Q1)
Q1 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
2) Kuartil keduatengah (Q2)
Q2 membagi data terurut menjadi
atau
bagian
Dengan kata lain Q2 merupakan median data
3) Kuartil ketigatengah (Q3)
Q3 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
3(
3
4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga
(
5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut
(
6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data
a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
b Desil dan persentil
Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil
Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut
D
(
Keterangan i =123 9
n= ukuran data
Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
(
Keterangan i =123 99
n= ukuran data
2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil
1) Kuartil pertama (Q1)
L (
f
f
)
2) Kuartil kedua (Q2)
L (
f
f
)
3) Kuartil ketiga (Q3)
L (
3 f
f
)
Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123
f = frekuensi kelas kuartil i = 123
n = banyak kelas
p = panjang kelas b Desil dan Persentil
Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut
D L (
f
f
)
Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f
= frekuensi kelas desil ke-i
p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
L (
f f
)
L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f
= frekuensi kelas persentil ke-i
p = panjang kelas
3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan
Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil
n Keterangan
R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil
b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)
c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil
(
d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan
L
(
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika
Sn =
( (
diperoleh
S25 =
25 [2(51) + (25 -1)(2)]
= 25(51 + 24) = 25(75) = 1875
Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1875
C Barisan Geometri dan Deter Geometri 1 Barisan Geometri
Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1 U2 U3 U4 n-1 Un
Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke ndash n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ) ditulis
D m
Misalkan suku pertama sama dengan a rasio sama dengan r maka U1 U2 U3 Un
a ar ar2 n ndash 1 Dengan demikian rumus suku ke ndash n barisan geometri adalah Contoh
Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32 Tentukan
a suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut b suku kesembilan barisan geometri tersebut
Jawab Diketahui
U4 = 4 dan U7 = 32 Un = arn ndash 1 maka U4 = ar3 = 4 (1)
U7 = ar6 = 32 (2)
Dari persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a = 4r3 (3)
Subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) ar6 = 32 maka 4r3 = 32
Un = arn-1
r =
minus
r3 = 8 r = 2
Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a(2)3 = 4 a 8 = 4 a = frac12
Jadi suku pertamanya adalah 12 dan rasionya adalah 2 2 Rumus Suku Tengah Barisan Geometri
Suatu barisan geometri dengan n suku n bilangan ganjil maka suku tengah ( Uk ) dinyatakan sebagai berikut
Contoh Di ketahui Barisan Geometri 2 8 32 8192 Tentukan suku tengahnya Jawab
a = 2 Un = 8192
Uk = radic n
Uk = radic 8 9 8
3 Sisipan pada Barisan Geometri Pada barisan geometri a Un disisipkan k suku
K suku
Pada barisan geometri baru banyaknya suku adalah ( k + 2 ) Jadi
Contoh
Di antara bilangan
dan 64 disisipkan 7 bilangan sehingga menjadi barisan
geometri Tentukan rasio Jawab
r = radic
r = radic
r = radic
r = radic
= 2
Uk = radic 119899
Un = arn-1 rarr Un = ar(k+2-1) rarrUn = ark+1
rarrr = radic
4 Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku ndash suku barisan geometri Jika U1 U2 U3 U4 n-1 Un adalah barisan geometri maka U1 +U2 + U3 + Unmerupaka deret geometri Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn =U1 +U2 Un-1 + Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah
Contoh Tentukan jumlah ke 6 deret geometri berikut 2 + (-10) + 50 + + (-6250)
Jawab
1
1
r
raS
n
n
15
1)5(2 6
nS
6
156242
nS
5208nS
5 Deret Geometri Tak Hingga
Jika suatu deret geometri Sn =U1 +U2 Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga makaderet geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan
Sinfin =U1 +U2 Un-1
Jika
rkarena
r
raitSmakar
n
n
1
1lim1
Jika
011
1lim1 mendekatirkarena
r
a
r
raitSmakar
n
n
Sehingga rumus jumlah deret geometri takhingga untuk 01 adalahrr
Contoh 1 Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut
a 1 + 12 + 14 + 18 +
b + +
+
+
Jawab
a 1 + 12 + 14 + 18 + Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = frac12 sehingga
b + +
+
+
Perhatikan deret 2 + 1 + 12 + 14 + Dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r = frac12
Jadi + +
+
+ = = 16
Contoh 2
Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4 Carilah rasionya
Penyelesaian
Dari soal di atas unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan Sinfin = 4
Kita substitusikan ke dalam rumus Sinfin
harr 1 ndash r = frac12 harr r = frac12
Jadi rasionya adalah frac12
6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk
barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri
Barisan dan Deret Geometri Contoh 1
Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah
a banyaknya kursi pada baris ke-10
b banyaknya kursi dalam gedung itu
Penyelesain
a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66
Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika
Deret tak hingga genap
Sn = 119834119851
120783 119851120784 untuk bilangan genap
Deret tak hingga ganjil Sn = 119834
120783 119851120784 untuk
bilangan ganjil
Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b
Sn =
( n
Un = arn-1
S10 =
( 3
= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2
Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan
kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai
tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang
PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun
tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak
Arman padaakhir tahun 2005
Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir
tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap
Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari
Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-
BAB III STATISTIK DAN PELUANG
A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika
1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari
suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum
Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x
2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu
keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang
pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan
c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi
3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota
populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)
b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti
B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa
yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang
Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut
Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah
2005 866 8081 8947
2006 1087 11226 12313
2007 1500 16400 17900
2008 1709 20001 21710
2009 2010 25195 27205
Diagram batang tegak
2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan
Tahun Impor (dalam kuintal)
2004 9500
2005 4000
2006 4500
2007 10500
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
2005 2006 2007 2008 2009
Jumlah
Jumlah
2008 1500
2009 2000
3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah
lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan
b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut
Mata Pencaharian Frekuensi
Petani 90
Peternak 10
Pedagang 120
Guru 50
Karyawan 30
Jumlah 300
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
2004 2005 2006 2007 2008 2009
Impor
Impor
Mata
Pencaharian
Besar Sudut Juring Presentase
Petani
9
3 3
8
9
3
3
Peternak
3 3
3
3 33
Pedagang
3 3
3
Guru
3 3
3
7
Karyawan 3
3 3 3
3
3
Diagram Lingkaran
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Petani 108 Guru 60
Pedagang 144
Karyawan 36
Peternak 12
c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok
Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval
menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap
kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap
kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data
a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan
seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas
kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas
dirumuaskan
Panjang kelas ng n
n l
Diagram Pastel
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Pedagang 144
Petani 108 Guru
60
Tabel distribusi Nilai frekuensi
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
2) Histogram dan Poligon
Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram
3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan
menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo
Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika
Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
335
385
435
485
535
585
385
435
485
535
585
635
Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f
Nilai f le
le38
le 3
le 8
le 3
le 8
le 3
2
9
16
24
29
32
Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f
Nilai f ge
ge33
ge38
ge 3
ge 8
ge 3
32
30
23
16
8
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
ge 8 3
C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat
data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit
Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok
1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)
Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal
m m m y m
y y m y m
n atau
sum
n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data
nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus
g
Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan
seterusnya Contoh
Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut
Jawab
g
39
39
9 9 90
Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90
c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka
M data ke n+
Jika banyak data genap maka
M
d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus
Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus
Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10
Mean
n
+ + + + + + +
7
Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap
M
8
8
M
M 7 8
M 7
Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling
sering muncul yaitu sebanyak 3 kali
2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)
Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut
sum f
n
sum f n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i
b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut
M L (
f
f
)
Keterangan
L = tepi bawah kelas median n = banyak data f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
p = panjang kelas c Modus
Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut
Mo L
Keterangan
L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas
contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa
31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94
Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus
Jawab 1 Distribusi frekuensi
Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68
Lebar kelas
9 7
Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1
31-40 2 2 355 71
41-50 3 5 455 1365
51-60 5 10 555 2775
61-70 7 17 655 4585
71-80 11 28 755 8305
81-90 6 34 855 513
91-100 6 40 955 573
Jumlah 40 2860
Mean
sum f n
sum f n
8
7
Median
M L (
f
f
)
M 7 (
7
)
M 7 7
M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3
Modus
Mo L
Mo 7
Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9
D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal
a Kuartil
Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil
1) Kuartil pertamabawah (Q1)
Q1 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
2) Kuartil keduatengah (Q2)
Q2 membagi data terurut menjadi
atau
bagian
Dengan kata lain Q2 merupakan median data
3) Kuartil ketigatengah (Q3)
Q3 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
3(
3
4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga
(
5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut
(
6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data
a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
b Desil dan persentil
Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil
Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut
D
(
Keterangan i =123 9
n= ukuran data
Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
(
Keterangan i =123 99
n= ukuran data
2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil
1) Kuartil pertama (Q1)
L (
f
f
)
2) Kuartil kedua (Q2)
L (
f
f
)
3) Kuartil ketiga (Q3)
L (
3 f
f
)
Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123
f = frekuensi kelas kuartil i = 123
n = banyak kelas
p = panjang kelas b Desil dan Persentil
Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut
D L (
f
f
)
Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f
= frekuensi kelas desil ke-i
p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
L (
f f
)
L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f
= frekuensi kelas persentil ke-i
p = panjang kelas
3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan
Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil
n Keterangan
R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil
b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)
c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil
(
d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan
L
(
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
r3 = 8 r = 2
Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a(2)3 = 4 a 8 = 4 a = frac12
Jadi suku pertamanya adalah 12 dan rasionya adalah 2 2 Rumus Suku Tengah Barisan Geometri
Suatu barisan geometri dengan n suku n bilangan ganjil maka suku tengah ( Uk ) dinyatakan sebagai berikut
Contoh Di ketahui Barisan Geometri 2 8 32 8192 Tentukan suku tengahnya Jawab
a = 2 Un = 8192
Uk = radic n
Uk = radic 8 9 8
3 Sisipan pada Barisan Geometri Pada barisan geometri a Un disisipkan k suku
K suku
Pada barisan geometri baru banyaknya suku adalah ( k + 2 ) Jadi
Contoh
Di antara bilangan
dan 64 disisipkan 7 bilangan sehingga menjadi barisan
geometri Tentukan rasio Jawab
r = radic
r = radic
r = radic
r = radic
= 2
Uk = radic 119899
Un = arn-1 rarr Un = ar(k+2-1) rarrUn = ark+1
rarrr = radic
4 Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku ndash suku barisan geometri Jika U1 U2 U3 U4 n-1 Un adalah barisan geometri maka U1 +U2 + U3 + Unmerupaka deret geometri Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn =U1 +U2 Un-1 + Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah
Contoh Tentukan jumlah ke 6 deret geometri berikut 2 + (-10) + 50 + + (-6250)
Jawab
1
1
r
raS
n
n
15
1)5(2 6
nS
6
156242
nS
5208nS
5 Deret Geometri Tak Hingga
Jika suatu deret geometri Sn =U1 +U2 Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga makaderet geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan
Sinfin =U1 +U2 Un-1
Jika
rkarena
r
raitSmakar
n
n
1
1lim1
Jika
011
1lim1 mendekatirkarena
r
a
r
raitSmakar
n
n
Sehingga rumus jumlah deret geometri takhingga untuk 01 adalahrr
Contoh 1 Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut
a 1 + 12 + 14 + 18 +
b + +
+
+
Jawab
a 1 + 12 + 14 + 18 + Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = frac12 sehingga
b + +
+
+
Perhatikan deret 2 + 1 + 12 + 14 + Dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r = frac12
Jadi + +
+
+ = = 16
Contoh 2
Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4 Carilah rasionya
Penyelesaian
Dari soal di atas unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan Sinfin = 4
Kita substitusikan ke dalam rumus Sinfin
harr 1 ndash r = frac12 harr r = frac12
Jadi rasionya adalah frac12
6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk
barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri
Barisan dan Deret Geometri Contoh 1
Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah
a banyaknya kursi pada baris ke-10
b banyaknya kursi dalam gedung itu
Penyelesain
a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66
Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika
Deret tak hingga genap
Sn = 119834119851
120783 119851120784 untuk bilangan genap
Deret tak hingga ganjil Sn = 119834
120783 119851120784 untuk
bilangan ganjil
Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b
Sn =
( n
Un = arn-1
S10 =
( 3
= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2
Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan
kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai
tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang
PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun
tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak
Arman padaakhir tahun 2005
Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir
tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap
Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari
Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-
BAB III STATISTIK DAN PELUANG
A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika
1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari
suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum
Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x
2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu
keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang
pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan
c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi
3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota
populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)
b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti
B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa
yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang
Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut
Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah
2005 866 8081 8947
2006 1087 11226 12313
2007 1500 16400 17900
2008 1709 20001 21710
2009 2010 25195 27205
Diagram batang tegak
2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan
Tahun Impor (dalam kuintal)
2004 9500
2005 4000
2006 4500
2007 10500
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
2005 2006 2007 2008 2009
Jumlah
Jumlah
2008 1500
2009 2000
3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah
lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan
b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut
Mata Pencaharian Frekuensi
Petani 90
Peternak 10
Pedagang 120
Guru 50
Karyawan 30
Jumlah 300
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
2004 2005 2006 2007 2008 2009
Impor
Impor
Mata
Pencaharian
Besar Sudut Juring Presentase
Petani
9
3 3
8
9
3
3
Peternak
3 3
3
3 33
Pedagang
3 3
3
Guru
3 3
3
7
Karyawan 3
3 3 3
3
3
Diagram Lingkaran
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Petani 108 Guru 60
Pedagang 144
Karyawan 36
Peternak 12
c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok
Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval
menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap
kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap
kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data
a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan
seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas
kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas
dirumuaskan
Panjang kelas ng n
n l
Diagram Pastel
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Pedagang 144
Petani 108 Guru
60
Tabel distribusi Nilai frekuensi
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
2) Histogram dan Poligon
Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram
3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan
menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo
Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika
Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
335
385
435
485
535
585
385
435
485
535
585
635
Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f
Nilai f le
le38
le 3
le 8
le 3
le 8
le 3
2
9
16
24
29
32
Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f
Nilai f ge
ge33
ge38
ge 3
ge 8
ge 3
32
30
23
16
8
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
ge 8 3
C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat
data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit
Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok
1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)
Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal
m m m y m
y y m y m
n atau
sum
n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data
nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus
g
Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan
seterusnya Contoh
Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut
Jawab
g
39
39
9 9 90
Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90
c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka
M data ke n+
Jika banyak data genap maka
M
d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus
Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus
Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10
Mean
n
+ + + + + + +
7
Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap
M
8
8
M
M 7 8
M 7
Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling
sering muncul yaitu sebanyak 3 kali
2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)
Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut
sum f
n
sum f n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i
b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut
M L (
f
f
)
Keterangan
L = tepi bawah kelas median n = banyak data f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
p = panjang kelas c Modus
Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut
Mo L
Keterangan
L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas
contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa
31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94
Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus
Jawab 1 Distribusi frekuensi
Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68
Lebar kelas
9 7
Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1
31-40 2 2 355 71
41-50 3 5 455 1365
51-60 5 10 555 2775
61-70 7 17 655 4585
71-80 11 28 755 8305
81-90 6 34 855 513
91-100 6 40 955 573
Jumlah 40 2860
Mean
sum f n
sum f n
8
7
Median
M L (
f
f
)
M 7 (
7
)
M 7 7
M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3
Modus
Mo L
Mo 7
Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9
D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal
a Kuartil
Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil
1) Kuartil pertamabawah (Q1)
Q1 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
2) Kuartil keduatengah (Q2)
Q2 membagi data terurut menjadi
atau
bagian
Dengan kata lain Q2 merupakan median data
3) Kuartil ketigatengah (Q3)
Q3 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
3(
3
4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga
(
5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut
(
6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data
a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
b Desil dan persentil
Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil
Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut
D
(
Keterangan i =123 9
n= ukuran data
Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
(
Keterangan i =123 99
n= ukuran data
2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil
1) Kuartil pertama (Q1)
L (
f
f
)
2) Kuartil kedua (Q2)
L (
f
f
)
3) Kuartil ketiga (Q3)
L (
3 f
f
)
Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123
f = frekuensi kelas kuartil i = 123
n = banyak kelas
p = panjang kelas b Desil dan Persentil
Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut
D L (
f
f
)
Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f
= frekuensi kelas desil ke-i
p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
L (
f f
)
L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f
= frekuensi kelas persentil ke-i
p = panjang kelas
3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan
Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil
n Keterangan
R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil
b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)
c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil
(
d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan
L
(
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
4 Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku ndash suku barisan geometri Jika U1 U2 U3 U4 n-1 Un adalah barisan geometri maka U1 +U2 + U3 + Unmerupaka deret geometri Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn =U1 +U2 Un-1 + Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah
Contoh Tentukan jumlah ke 6 deret geometri berikut 2 + (-10) + 50 + + (-6250)
Jawab
1
1
r
raS
n
n
15
1)5(2 6
nS
6
156242
nS
5208nS
5 Deret Geometri Tak Hingga
Jika suatu deret geometri Sn =U1 +U2 Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga makaderet geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan
Sinfin =U1 +U2 Un-1
Jika
rkarena
r
raitSmakar
n
n
1
1lim1
Jika
011
1lim1 mendekatirkarena
r
a
r
raitSmakar
n
n
Sehingga rumus jumlah deret geometri takhingga untuk 01 adalahrr
Contoh 1 Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut
a 1 + 12 + 14 + 18 +
b + +
+
+
Jawab
a 1 + 12 + 14 + 18 + Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = frac12 sehingga
b + +
+
+
Perhatikan deret 2 + 1 + 12 + 14 + Dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r = frac12
Jadi + +
+
+ = = 16
Contoh 2
Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4 Carilah rasionya
Penyelesaian
Dari soal di atas unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan Sinfin = 4
Kita substitusikan ke dalam rumus Sinfin
harr 1 ndash r = frac12 harr r = frac12
Jadi rasionya adalah frac12
6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk
barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri
Barisan dan Deret Geometri Contoh 1
Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah
a banyaknya kursi pada baris ke-10
b banyaknya kursi dalam gedung itu
Penyelesain
a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66
Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika
Deret tak hingga genap
Sn = 119834119851
120783 119851120784 untuk bilangan genap
Deret tak hingga ganjil Sn = 119834
120783 119851120784 untuk
bilangan ganjil
Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b
Sn =
( n
Un = arn-1
S10 =
( 3
= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2
Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan
kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai
tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang
PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun
tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak
Arman padaakhir tahun 2005
Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir
tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap
Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari
Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-
BAB III STATISTIK DAN PELUANG
A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika
1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari
suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum
Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x
2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu
keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang
pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan
c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi
3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota
populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)
b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti
B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa
yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang
Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut
Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah
2005 866 8081 8947
2006 1087 11226 12313
2007 1500 16400 17900
2008 1709 20001 21710
2009 2010 25195 27205
Diagram batang tegak
2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan
Tahun Impor (dalam kuintal)
2004 9500
2005 4000
2006 4500
2007 10500
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
2005 2006 2007 2008 2009
Jumlah
Jumlah
2008 1500
2009 2000
3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah
lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan
b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut
Mata Pencaharian Frekuensi
Petani 90
Peternak 10
Pedagang 120
Guru 50
Karyawan 30
Jumlah 300
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
2004 2005 2006 2007 2008 2009
Impor
Impor
Mata
Pencaharian
Besar Sudut Juring Presentase
Petani
9
3 3
8
9
3
3
Peternak
3 3
3
3 33
Pedagang
3 3
3
Guru
3 3
3
7
Karyawan 3
3 3 3
3
3
Diagram Lingkaran
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Petani 108 Guru 60
Pedagang 144
Karyawan 36
Peternak 12
c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok
Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval
menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap
kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap
kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data
a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan
seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas
kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas
dirumuaskan
Panjang kelas ng n
n l
Diagram Pastel
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Pedagang 144
Petani 108 Guru
60
Tabel distribusi Nilai frekuensi
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
2) Histogram dan Poligon
Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram
3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan
menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo
Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika
Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
335
385
435
485
535
585
385
435
485
535
585
635
Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f
Nilai f le
le38
le 3
le 8
le 3
le 8
le 3
2
9
16
24
29
32
Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f
Nilai f ge
ge33
ge38
ge 3
ge 8
ge 3
32
30
23
16
8
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
ge 8 3
C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat
data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit
Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok
1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)
Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal
m m m y m
y y m y m
n atau
sum
n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data
nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus
g
Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan
seterusnya Contoh
Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut
Jawab
g
39
39
9 9 90
Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90
c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka
M data ke n+
Jika banyak data genap maka
M
d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus
Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus
Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10
Mean
n
+ + + + + + +
7
Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap
M
8
8
M
M 7 8
M 7
Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling
sering muncul yaitu sebanyak 3 kali
2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)
Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut
sum f
n
sum f n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i
b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut
M L (
f
f
)
Keterangan
L = tepi bawah kelas median n = banyak data f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
p = panjang kelas c Modus
Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut
Mo L
Keterangan
L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas
contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa
31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94
Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus
Jawab 1 Distribusi frekuensi
Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68
Lebar kelas
9 7
Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1
31-40 2 2 355 71
41-50 3 5 455 1365
51-60 5 10 555 2775
61-70 7 17 655 4585
71-80 11 28 755 8305
81-90 6 34 855 513
91-100 6 40 955 573
Jumlah 40 2860
Mean
sum f n
sum f n
8
7
Median
M L (
f
f
)
M 7 (
7
)
M 7 7
M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3
Modus
Mo L
Mo 7
Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9
D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal
a Kuartil
Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil
1) Kuartil pertamabawah (Q1)
Q1 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
2) Kuartil keduatengah (Q2)
Q2 membagi data terurut menjadi
atau
bagian
Dengan kata lain Q2 merupakan median data
3) Kuartil ketigatengah (Q3)
Q3 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
3(
3
4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga
(
5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut
(
6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data
a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
b Desil dan persentil
Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil
Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut
D
(
Keterangan i =123 9
n= ukuran data
Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
(
Keterangan i =123 99
n= ukuran data
2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil
1) Kuartil pertama (Q1)
L (
f
f
)
2) Kuartil kedua (Q2)
L (
f
f
)
3) Kuartil ketiga (Q3)
L (
3 f
f
)
Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123
f = frekuensi kelas kuartil i = 123
n = banyak kelas
p = panjang kelas b Desil dan Persentil
Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut
D L (
f
f
)
Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f
= frekuensi kelas desil ke-i
p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
L (
f f
)
L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f
= frekuensi kelas persentil ke-i
p = panjang kelas
3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan
Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil
n Keterangan
R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil
b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)
c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil
(
d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan
L
(
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
Contoh 1 Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut
a 1 + 12 + 14 + 18 +
b + +
+
+
Jawab
a 1 + 12 + 14 + 18 + Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = frac12 sehingga
b + +
+
+
Perhatikan deret 2 + 1 + 12 + 14 + Dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r = frac12
Jadi + +
+
+ = = 16
Contoh 2
Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4 Carilah rasionya
Penyelesaian
Dari soal di atas unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan Sinfin = 4
Kita substitusikan ke dalam rumus Sinfin
harr 1 ndash r = frac12 harr r = frac12
Jadi rasionya adalah frac12
6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk
barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri
Barisan dan Deret Geometri Contoh 1
Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah
a banyaknya kursi pada baris ke-10
b banyaknya kursi dalam gedung itu
Penyelesain
a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66
Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika
Deret tak hingga genap
Sn = 119834119851
120783 119851120784 untuk bilangan genap
Deret tak hingga ganjil Sn = 119834
120783 119851120784 untuk
bilangan ganjil
Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b
Sn =
( n
Un = arn-1
S10 =
( 3
= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2
Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan
kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai
tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang
PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun
tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak
Arman padaakhir tahun 2005
Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir
tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap
Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari
Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-
BAB III STATISTIK DAN PELUANG
A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika
1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari
suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum
Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x
2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu
keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang
pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan
c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi
3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota
populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)
b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti
B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa
yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang
Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut
Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah
2005 866 8081 8947
2006 1087 11226 12313
2007 1500 16400 17900
2008 1709 20001 21710
2009 2010 25195 27205
Diagram batang tegak
2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan
Tahun Impor (dalam kuintal)
2004 9500
2005 4000
2006 4500
2007 10500
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
2005 2006 2007 2008 2009
Jumlah
Jumlah
2008 1500
2009 2000
3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah
lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan
b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut
Mata Pencaharian Frekuensi
Petani 90
Peternak 10
Pedagang 120
Guru 50
Karyawan 30
Jumlah 300
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
2004 2005 2006 2007 2008 2009
Impor
Impor
Mata
Pencaharian
Besar Sudut Juring Presentase
Petani
9
3 3
8
9
3
3
Peternak
3 3
3
3 33
Pedagang
3 3
3
Guru
3 3
3
7
Karyawan 3
3 3 3
3
3
Diagram Lingkaran
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Petani 108 Guru 60
Pedagang 144
Karyawan 36
Peternak 12
c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok
Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval
menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap
kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap
kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data
a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan
seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas
kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas
dirumuaskan
Panjang kelas ng n
n l
Diagram Pastel
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Pedagang 144
Petani 108 Guru
60
Tabel distribusi Nilai frekuensi
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
2) Histogram dan Poligon
Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram
3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan
menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo
Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika
Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
335
385
435
485
535
585
385
435
485
535
585
635
Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f
Nilai f le
le38
le 3
le 8
le 3
le 8
le 3
2
9
16
24
29
32
Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f
Nilai f ge
ge33
ge38
ge 3
ge 8
ge 3
32
30
23
16
8
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
ge 8 3
C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat
data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit
Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok
1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)
Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal
m m m y m
y y m y m
n atau
sum
n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data
nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus
g
Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan
seterusnya Contoh
Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut
Jawab
g
39
39
9 9 90
Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90
c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka
M data ke n+
Jika banyak data genap maka
M
d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus
Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus
Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10
Mean
n
+ + + + + + +
7
Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap
M
8
8
M
M 7 8
M 7
Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling
sering muncul yaitu sebanyak 3 kali
2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)
Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut
sum f
n
sum f n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i
b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut
M L (
f
f
)
Keterangan
L = tepi bawah kelas median n = banyak data f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
p = panjang kelas c Modus
Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut
Mo L
Keterangan
L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas
contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa
31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94
Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus
Jawab 1 Distribusi frekuensi
Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68
Lebar kelas
9 7
Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1
31-40 2 2 355 71
41-50 3 5 455 1365
51-60 5 10 555 2775
61-70 7 17 655 4585
71-80 11 28 755 8305
81-90 6 34 855 513
91-100 6 40 955 573
Jumlah 40 2860
Mean
sum f n
sum f n
8
7
Median
M L (
f
f
)
M 7 (
7
)
M 7 7
M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3
Modus
Mo L
Mo 7
Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9
D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal
a Kuartil
Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil
1) Kuartil pertamabawah (Q1)
Q1 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
2) Kuartil keduatengah (Q2)
Q2 membagi data terurut menjadi
atau
bagian
Dengan kata lain Q2 merupakan median data
3) Kuartil ketigatengah (Q3)
Q3 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
3(
3
4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga
(
5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut
(
6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data
a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
b Desil dan persentil
Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil
Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut
D
(
Keterangan i =123 9
n= ukuran data
Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
(
Keterangan i =123 99
n= ukuran data
2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil
1) Kuartil pertama (Q1)
L (
f
f
)
2) Kuartil kedua (Q2)
L (
f
f
)
3) Kuartil ketiga (Q3)
L (
3 f
f
)
Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123
f = frekuensi kelas kuartil i = 123
n = banyak kelas
p = panjang kelas b Desil dan Persentil
Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut
D L (
f
f
)
Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f
= frekuensi kelas desil ke-i
p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
L (
f f
)
L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f
= frekuensi kelas persentil ke-i
p = panjang kelas
3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan
Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil
n Keterangan
R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil
b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)
c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil
(
d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan
L
(
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
Jadi rasionya adalah frac12
6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk
barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri
Barisan dan Deret Geometri Contoh 1
Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah
a banyaknya kursi pada baris ke-10
b banyaknya kursi dalam gedung itu
Penyelesain
a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66
Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika
Deret tak hingga genap
Sn = 119834119851
120783 119851120784 untuk bilangan genap
Deret tak hingga ganjil Sn = 119834
120783 119851120784 untuk
bilangan ganjil
Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b
Sn =
( n
Un = arn-1
S10 =
( 3
= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2
Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan
kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai
tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang
PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun
tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak
Arman padaakhir tahun 2005
Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir
tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap
Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari
Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-
BAB III STATISTIK DAN PELUANG
A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika
1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari
suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum
Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x
2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu
keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang
pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan
c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi
3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota
populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)
b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti
B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa
yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang
Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut
Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah
2005 866 8081 8947
2006 1087 11226 12313
2007 1500 16400 17900
2008 1709 20001 21710
2009 2010 25195 27205
Diagram batang tegak
2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan
Tahun Impor (dalam kuintal)
2004 9500
2005 4000
2006 4500
2007 10500
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
2005 2006 2007 2008 2009
Jumlah
Jumlah
2008 1500
2009 2000
3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah
lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan
b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut
Mata Pencaharian Frekuensi
Petani 90
Peternak 10
Pedagang 120
Guru 50
Karyawan 30
Jumlah 300
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
2004 2005 2006 2007 2008 2009
Impor
Impor
Mata
Pencaharian
Besar Sudut Juring Presentase
Petani
9
3 3
8
9
3
3
Peternak
3 3
3
3 33
Pedagang
3 3
3
Guru
3 3
3
7
Karyawan 3
3 3 3
3
3
Diagram Lingkaran
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Petani 108 Guru 60
Pedagang 144
Karyawan 36
Peternak 12
c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok
Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval
menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap
kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap
kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data
a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan
seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas
kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas
dirumuaskan
Panjang kelas ng n
n l
Diagram Pastel
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Pedagang 144
Petani 108 Guru
60
Tabel distribusi Nilai frekuensi
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
2) Histogram dan Poligon
Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram
3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan
menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo
Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika
Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
335
385
435
485
535
585
385
435
485
535
585
635
Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f
Nilai f le
le38
le 3
le 8
le 3
le 8
le 3
2
9
16
24
29
32
Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f
Nilai f ge
ge33
ge38
ge 3
ge 8
ge 3
32
30
23
16
8
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
ge 8 3
C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat
data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit
Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok
1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)
Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal
m m m y m
y y m y m
n atau
sum
n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data
nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus
g
Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan
seterusnya Contoh
Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut
Jawab
g
39
39
9 9 90
Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90
c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka
M data ke n+
Jika banyak data genap maka
M
d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus
Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus
Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10
Mean
n
+ + + + + + +
7
Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap
M
8
8
M
M 7 8
M 7
Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling
sering muncul yaitu sebanyak 3 kali
2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)
Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut
sum f
n
sum f n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i
b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut
M L (
f
f
)
Keterangan
L = tepi bawah kelas median n = banyak data f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
p = panjang kelas c Modus
Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut
Mo L
Keterangan
L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas
contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa
31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94
Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus
Jawab 1 Distribusi frekuensi
Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68
Lebar kelas
9 7
Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1
31-40 2 2 355 71
41-50 3 5 455 1365
51-60 5 10 555 2775
61-70 7 17 655 4585
71-80 11 28 755 8305
81-90 6 34 855 513
91-100 6 40 955 573
Jumlah 40 2860
Mean
sum f n
sum f n
8
7
Median
M L (
f
f
)
M 7 (
7
)
M 7 7
M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3
Modus
Mo L
Mo 7
Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9
D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal
a Kuartil
Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil
1) Kuartil pertamabawah (Q1)
Q1 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
2) Kuartil keduatengah (Q2)
Q2 membagi data terurut menjadi
atau
bagian
Dengan kata lain Q2 merupakan median data
3) Kuartil ketigatengah (Q3)
Q3 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
3(
3
4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga
(
5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut
(
6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data
a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
b Desil dan persentil
Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil
Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut
D
(
Keterangan i =123 9
n= ukuran data
Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
(
Keterangan i =123 99
n= ukuran data
2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil
1) Kuartil pertama (Q1)
L (
f
f
)
2) Kuartil kedua (Q2)
L (
f
f
)
3) Kuartil ketiga (Q3)
L (
3 f
f
)
Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123
f = frekuensi kelas kuartil i = 123
n = banyak kelas
p = panjang kelas b Desil dan Persentil
Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut
D L (
f
f
)
Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f
= frekuensi kelas desil ke-i
p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
L (
f f
)
L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f
= frekuensi kelas persentil ke-i
p = panjang kelas
3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan
Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil
n Keterangan
R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil
b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)
c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil
(
d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan
L
(
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
S10 =
( 3
= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2
Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan
kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai
tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang
PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun
tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak
Arman padaakhir tahun 2005
Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir
tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap
Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari
Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-
BAB III STATISTIK DAN PELUANG
A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika
1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari
suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum
Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x
2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu
keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang
pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan
c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi
3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota
populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)
b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti
B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa
yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang
Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut
Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah
2005 866 8081 8947
2006 1087 11226 12313
2007 1500 16400 17900
2008 1709 20001 21710
2009 2010 25195 27205
Diagram batang tegak
2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan
Tahun Impor (dalam kuintal)
2004 9500
2005 4000
2006 4500
2007 10500
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
2005 2006 2007 2008 2009
Jumlah
Jumlah
2008 1500
2009 2000
3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah
lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan
b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut
Mata Pencaharian Frekuensi
Petani 90
Peternak 10
Pedagang 120
Guru 50
Karyawan 30
Jumlah 300
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
2004 2005 2006 2007 2008 2009
Impor
Impor
Mata
Pencaharian
Besar Sudut Juring Presentase
Petani
9
3 3
8
9
3
3
Peternak
3 3
3
3 33
Pedagang
3 3
3
Guru
3 3
3
7
Karyawan 3
3 3 3
3
3
Diagram Lingkaran
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Petani 108 Guru 60
Pedagang 144
Karyawan 36
Peternak 12
c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok
Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval
menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap
kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap
kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data
a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan
seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas
kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas
dirumuaskan
Panjang kelas ng n
n l
Diagram Pastel
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Pedagang 144
Petani 108 Guru
60
Tabel distribusi Nilai frekuensi
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
2) Histogram dan Poligon
Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram
3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan
menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo
Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika
Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
335
385
435
485
535
585
385
435
485
535
585
635
Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f
Nilai f le
le38
le 3
le 8
le 3
le 8
le 3
2
9
16
24
29
32
Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f
Nilai f ge
ge33
ge38
ge 3
ge 8
ge 3
32
30
23
16
8
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
ge 8 3
C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat
data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit
Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok
1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)
Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal
m m m y m
y y m y m
n atau
sum
n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data
nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus
g
Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan
seterusnya Contoh
Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut
Jawab
g
39
39
9 9 90
Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90
c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka
M data ke n+
Jika banyak data genap maka
M
d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus
Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus
Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10
Mean
n
+ + + + + + +
7
Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap
M
8
8
M
M 7 8
M 7
Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling
sering muncul yaitu sebanyak 3 kali
2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)
Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut
sum f
n
sum f n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i
b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut
M L (
f
f
)
Keterangan
L = tepi bawah kelas median n = banyak data f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
p = panjang kelas c Modus
Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut
Mo L
Keterangan
L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas
contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa
31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94
Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus
Jawab 1 Distribusi frekuensi
Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68
Lebar kelas
9 7
Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1
31-40 2 2 355 71
41-50 3 5 455 1365
51-60 5 10 555 2775
61-70 7 17 655 4585
71-80 11 28 755 8305
81-90 6 34 855 513
91-100 6 40 955 573
Jumlah 40 2860
Mean
sum f n
sum f n
8
7
Median
M L (
f
f
)
M 7 (
7
)
M 7 7
M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3
Modus
Mo L
Mo 7
Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9
D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal
a Kuartil
Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil
1) Kuartil pertamabawah (Q1)
Q1 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
2) Kuartil keduatengah (Q2)
Q2 membagi data terurut menjadi
atau
bagian
Dengan kata lain Q2 merupakan median data
3) Kuartil ketigatengah (Q3)
Q3 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
3(
3
4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga
(
5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut
(
6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data
a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
b Desil dan persentil
Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil
Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut
D
(
Keterangan i =123 9
n= ukuran data
Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
(
Keterangan i =123 99
n= ukuran data
2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil
1) Kuartil pertama (Q1)
L (
f
f
)
2) Kuartil kedua (Q2)
L (
f
f
)
3) Kuartil ketiga (Q3)
L (
3 f
f
)
Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123
f = frekuensi kelas kuartil i = 123
n = banyak kelas
p = panjang kelas b Desil dan Persentil
Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut
D L (
f
f
)
Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f
= frekuensi kelas desil ke-i
p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
L (
f f
)
L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f
= frekuensi kelas persentil ke-i
p = panjang kelas
3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan
Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil
n Keterangan
R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil
b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)
c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil
(
d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan
L
(
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
BAB III STATISTIK DAN PELUANG
A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika
1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari
suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum
Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x
2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu
keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang
pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan
c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi
3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota
populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)
b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti
B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa
yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang
Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut
Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah
2005 866 8081 8947
2006 1087 11226 12313
2007 1500 16400 17900
2008 1709 20001 21710
2009 2010 25195 27205
Diagram batang tegak
2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan
Tahun Impor (dalam kuintal)
2004 9500
2005 4000
2006 4500
2007 10500
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
2005 2006 2007 2008 2009
Jumlah
Jumlah
2008 1500
2009 2000
3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah
lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan
b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut
Mata Pencaharian Frekuensi
Petani 90
Peternak 10
Pedagang 120
Guru 50
Karyawan 30
Jumlah 300
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
2004 2005 2006 2007 2008 2009
Impor
Impor
Mata
Pencaharian
Besar Sudut Juring Presentase
Petani
9
3 3
8
9
3
3
Peternak
3 3
3
3 33
Pedagang
3 3
3
Guru
3 3
3
7
Karyawan 3
3 3 3
3
3
Diagram Lingkaran
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Petani 108 Guru 60
Pedagang 144
Karyawan 36
Peternak 12
c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok
Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval
menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap
kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap
kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data
a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan
seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas
kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas
dirumuaskan
Panjang kelas ng n
n l
Diagram Pastel
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Pedagang 144
Petani 108 Guru
60
Tabel distribusi Nilai frekuensi
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
2) Histogram dan Poligon
Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram
3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan
menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo
Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika
Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
335
385
435
485
535
585
385
435
485
535
585
635
Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f
Nilai f le
le38
le 3
le 8
le 3
le 8
le 3
2
9
16
24
29
32
Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f
Nilai f ge
ge33
ge38
ge 3
ge 8
ge 3
32
30
23
16
8
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
ge 8 3
C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat
data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit
Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok
1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)
Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal
m m m y m
y y m y m
n atau
sum
n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data
nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus
g
Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan
seterusnya Contoh
Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut
Jawab
g
39
39
9 9 90
Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90
c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka
M data ke n+
Jika banyak data genap maka
M
d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus
Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus
Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10
Mean
n
+ + + + + + +
7
Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap
M
8
8
M
M 7 8
M 7
Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling
sering muncul yaitu sebanyak 3 kali
2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)
Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut
sum f
n
sum f n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i
b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut
M L (
f
f
)
Keterangan
L = tepi bawah kelas median n = banyak data f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
p = panjang kelas c Modus
Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut
Mo L
Keterangan
L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas
contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa
31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94
Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus
Jawab 1 Distribusi frekuensi
Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68
Lebar kelas
9 7
Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1
31-40 2 2 355 71
41-50 3 5 455 1365
51-60 5 10 555 2775
61-70 7 17 655 4585
71-80 11 28 755 8305
81-90 6 34 855 513
91-100 6 40 955 573
Jumlah 40 2860
Mean
sum f n
sum f n
8
7
Median
M L (
f
f
)
M 7 (
7
)
M 7 7
M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3
Modus
Mo L
Mo 7
Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9
D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal
a Kuartil
Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil
1) Kuartil pertamabawah (Q1)
Q1 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
2) Kuartil keduatengah (Q2)
Q2 membagi data terurut menjadi
atau
bagian
Dengan kata lain Q2 merupakan median data
3) Kuartil ketigatengah (Q3)
Q3 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
3(
3
4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga
(
5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut
(
6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data
a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
b Desil dan persentil
Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil
Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut
D
(
Keterangan i =123 9
n= ukuran data
Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
(
Keterangan i =123 99
n= ukuran data
2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil
1) Kuartil pertama (Q1)
L (
f
f
)
2) Kuartil kedua (Q2)
L (
f
f
)
3) Kuartil ketiga (Q3)
L (
3 f
f
)
Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123
f = frekuensi kelas kuartil i = 123
n = banyak kelas
p = panjang kelas b Desil dan Persentil
Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut
D L (
f
f
)
Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f
= frekuensi kelas desil ke-i
p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
L (
f f
)
L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f
= frekuensi kelas persentil ke-i
p = panjang kelas
3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan
Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil
n Keterangan
R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil
b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)
c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil
(
d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan
L
(
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah
2005 866 8081 8947
2006 1087 11226 12313
2007 1500 16400 17900
2008 1709 20001 21710
2009 2010 25195 27205
Diagram batang tegak
2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan
Tahun Impor (dalam kuintal)
2004 9500
2005 4000
2006 4500
2007 10500
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
2005 2006 2007 2008 2009
Jumlah
Jumlah
2008 1500
2009 2000
3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah
lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan
b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut
Mata Pencaharian Frekuensi
Petani 90
Peternak 10
Pedagang 120
Guru 50
Karyawan 30
Jumlah 300
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
2004 2005 2006 2007 2008 2009
Impor
Impor
Mata
Pencaharian
Besar Sudut Juring Presentase
Petani
9
3 3
8
9
3
3
Peternak
3 3
3
3 33
Pedagang
3 3
3
Guru
3 3
3
7
Karyawan 3
3 3 3
3
3
Diagram Lingkaran
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Petani 108 Guru 60
Pedagang 144
Karyawan 36
Peternak 12
c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok
Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval
menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap
kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap
kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data
a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan
seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas
kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas
dirumuaskan
Panjang kelas ng n
n l
Diagram Pastel
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Pedagang 144
Petani 108 Guru
60
Tabel distribusi Nilai frekuensi
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
2) Histogram dan Poligon
Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram
3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan
menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo
Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika
Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
335
385
435
485
535
585
385
435
485
535
585
635
Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f
Nilai f le
le38
le 3
le 8
le 3
le 8
le 3
2
9
16
24
29
32
Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f
Nilai f ge
ge33
ge38
ge 3
ge 8
ge 3
32
30
23
16
8
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
ge 8 3
C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat
data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit
Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok
1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)
Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal
m m m y m
y y m y m
n atau
sum
n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data
nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus
g
Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan
seterusnya Contoh
Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut
Jawab
g
39
39
9 9 90
Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90
c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka
M data ke n+
Jika banyak data genap maka
M
d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus
Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus
Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10
Mean
n
+ + + + + + +
7
Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap
M
8
8
M
M 7 8
M 7
Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling
sering muncul yaitu sebanyak 3 kali
2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)
Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut
sum f
n
sum f n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i
b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut
M L (
f
f
)
Keterangan
L = tepi bawah kelas median n = banyak data f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
p = panjang kelas c Modus
Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut
Mo L
Keterangan
L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas
contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa
31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94
Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus
Jawab 1 Distribusi frekuensi
Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68
Lebar kelas
9 7
Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1
31-40 2 2 355 71
41-50 3 5 455 1365
51-60 5 10 555 2775
61-70 7 17 655 4585
71-80 11 28 755 8305
81-90 6 34 855 513
91-100 6 40 955 573
Jumlah 40 2860
Mean
sum f n
sum f n
8
7
Median
M L (
f
f
)
M 7 (
7
)
M 7 7
M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3
Modus
Mo L
Mo 7
Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9
D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal
a Kuartil
Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil
1) Kuartil pertamabawah (Q1)
Q1 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
2) Kuartil keduatengah (Q2)
Q2 membagi data terurut menjadi
atau
bagian
Dengan kata lain Q2 merupakan median data
3) Kuartil ketigatengah (Q3)
Q3 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
3(
3
4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga
(
5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut
(
6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data
a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
b Desil dan persentil
Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil
Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut
D
(
Keterangan i =123 9
n= ukuran data
Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
(
Keterangan i =123 99
n= ukuran data
2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil
1) Kuartil pertama (Q1)
L (
f
f
)
2) Kuartil kedua (Q2)
L (
f
f
)
3) Kuartil ketiga (Q3)
L (
3 f
f
)
Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123
f = frekuensi kelas kuartil i = 123
n = banyak kelas
p = panjang kelas b Desil dan Persentil
Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut
D L (
f
f
)
Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f
= frekuensi kelas desil ke-i
p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
L (
f f
)
L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f
= frekuensi kelas persentil ke-i
p = panjang kelas
3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan
Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil
n Keterangan
R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil
b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)
c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil
(
d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan
L
(
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
2008 1500
2009 2000
3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah
lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan
b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut
Mata Pencaharian Frekuensi
Petani 90
Peternak 10
Pedagang 120
Guru 50
Karyawan 30
Jumlah 300
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
2004 2005 2006 2007 2008 2009
Impor
Impor
Mata
Pencaharian
Besar Sudut Juring Presentase
Petani
9
3 3
8
9
3
3
Peternak
3 3
3
3 33
Pedagang
3 3
3
Guru
3 3
3
7
Karyawan 3
3 3 3
3
3
Diagram Lingkaran
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Petani 108 Guru 60
Pedagang 144
Karyawan 36
Peternak 12
c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok
Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval
menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap
kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap
kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data
a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan
seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas
kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas
dirumuaskan
Panjang kelas ng n
n l
Diagram Pastel
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Pedagang 144
Petani 108 Guru
60
Tabel distribusi Nilai frekuensi
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
2) Histogram dan Poligon
Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram
3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan
menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo
Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika
Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
335
385
435
485
535
585
385
435
485
535
585
635
Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f
Nilai f le
le38
le 3
le 8
le 3
le 8
le 3
2
9
16
24
29
32
Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f
Nilai f ge
ge33
ge38
ge 3
ge 8
ge 3
32
30
23
16
8
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
ge 8 3
C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat
data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit
Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok
1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)
Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal
m m m y m
y y m y m
n atau
sum
n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data
nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus
g
Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan
seterusnya Contoh
Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut
Jawab
g
39
39
9 9 90
Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90
c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka
M data ke n+
Jika banyak data genap maka
M
d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus
Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus
Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10
Mean
n
+ + + + + + +
7
Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap
M
8
8
M
M 7 8
M 7
Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling
sering muncul yaitu sebanyak 3 kali
2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)
Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut
sum f
n
sum f n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i
b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut
M L (
f
f
)
Keterangan
L = tepi bawah kelas median n = banyak data f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
p = panjang kelas c Modus
Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut
Mo L
Keterangan
L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas
contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa
31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94
Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus
Jawab 1 Distribusi frekuensi
Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68
Lebar kelas
9 7
Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1
31-40 2 2 355 71
41-50 3 5 455 1365
51-60 5 10 555 2775
61-70 7 17 655 4585
71-80 11 28 755 8305
81-90 6 34 855 513
91-100 6 40 955 573
Jumlah 40 2860
Mean
sum f n
sum f n
8
7
Median
M L (
f
f
)
M 7 (
7
)
M 7 7
M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3
Modus
Mo L
Mo 7
Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9
D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal
a Kuartil
Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil
1) Kuartil pertamabawah (Q1)
Q1 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
2) Kuartil keduatengah (Q2)
Q2 membagi data terurut menjadi
atau
bagian
Dengan kata lain Q2 merupakan median data
3) Kuartil ketigatengah (Q3)
Q3 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
3(
3
4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga
(
5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut
(
6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data
a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
b Desil dan persentil
Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil
Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut
D
(
Keterangan i =123 9
n= ukuran data
Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
(
Keterangan i =123 99
n= ukuran data
2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil
1) Kuartil pertama (Q1)
L (
f
f
)
2) Kuartil kedua (Q2)
L (
f
f
)
3) Kuartil ketiga (Q3)
L (
3 f
f
)
Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123
f = frekuensi kelas kuartil i = 123
n = banyak kelas
p = panjang kelas b Desil dan Persentil
Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut
D L (
f
f
)
Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f
= frekuensi kelas desil ke-i
p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
L (
f f
)
L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f
= frekuensi kelas persentil ke-i
p = panjang kelas
3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan
Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil
n Keterangan
R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil
b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)
c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil
(
d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan
L
(
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
Mata
Pencaharian
Besar Sudut Juring Presentase
Petani
9
3 3
8
9
3
3
Peternak
3 3
3
3 33
Pedagang
3 3
3
Guru
3 3
3
7
Karyawan 3
3 3 3
3
3
Diagram Lingkaran
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Petani 108 Guru 60
Pedagang 144
Karyawan 36
Peternak 12
c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok
Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval
menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap
kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap
kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data
a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan
seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas
kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas
dirumuaskan
Panjang kelas ng n
n l
Diagram Pastel
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Pedagang 144
Petani 108 Guru
60
Tabel distribusi Nilai frekuensi
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
2) Histogram dan Poligon
Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram
3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan
menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo
Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika
Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
335
385
435
485
535
585
385
435
485
535
585
635
Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f
Nilai f le
le38
le 3
le 8
le 3
le 8
le 3
2
9
16
24
29
32
Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f
Nilai f ge
ge33
ge38
ge 3
ge 8
ge 3
32
30
23
16
8
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
ge 8 3
C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat
data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit
Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok
1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)
Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal
m m m y m
y y m y m
n atau
sum
n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data
nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus
g
Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan
seterusnya Contoh
Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut
Jawab
g
39
39
9 9 90
Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90
c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka
M data ke n+
Jika banyak data genap maka
M
d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus
Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus
Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10
Mean
n
+ + + + + + +
7
Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap
M
8
8
M
M 7 8
M 7
Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling
sering muncul yaitu sebanyak 3 kali
2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)
Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut
sum f
n
sum f n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i
b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut
M L (
f
f
)
Keterangan
L = tepi bawah kelas median n = banyak data f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
p = panjang kelas c Modus
Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut
Mo L
Keterangan
L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas
contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa
31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94
Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus
Jawab 1 Distribusi frekuensi
Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68
Lebar kelas
9 7
Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1
31-40 2 2 355 71
41-50 3 5 455 1365
51-60 5 10 555 2775
61-70 7 17 655 4585
71-80 11 28 755 8305
81-90 6 34 855 513
91-100 6 40 955 573
Jumlah 40 2860
Mean
sum f n
sum f n
8
7
Median
M L (
f
f
)
M 7 (
7
)
M 7 7
M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3
Modus
Mo L
Mo 7
Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9
D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal
a Kuartil
Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil
1) Kuartil pertamabawah (Q1)
Q1 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
2) Kuartil keduatengah (Q2)
Q2 membagi data terurut menjadi
atau
bagian
Dengan kata lain Q2 merupakan median data
3) Kuartil ketigatengah (Q3)
Q3 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
3(
3
4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga
(
5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut
(
6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data
a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
b Desil dan persentil
Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil
Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut
D
(
Keterangan i =123 9
n= ukuran data
Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
(
Keterangan i =123 99
n= ukuran data
2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil
1) Kuartil pertama (Q1)
L (
f
f
)
2) Kuartil kedua (Q2)
L (
f
f
)
3) Kuartil ketiga (Q3)
L (
3 f
f
)
Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123
f = frekuensi kelas kuartil i = 123
n = banyak kelas
p = panjang kelas b Desil dan Persentil
Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut
D L (
f
f
)
Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f
= frekuensi kelas desil ke-i
p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
L (
f f
)
L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f
= frekuensi kelas persentil ke-i
p = panjang kelas
3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan
Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil
n Keterangan
R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil
b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)
c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil
(
d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan
L
(
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok
Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval
menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap
kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap
kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data
a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan
seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas
kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas
dirumuaskan
Panjang kelas ng n
n l
Diagram Pastel
Petani
Peternak
Pedagang
Guru
Karyawan
Pedagang 144
Petani 108 Guru
60
Tabel distribusi Nilai frekuensi
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
2) Histogram dan Poligon
Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram
3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan
menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo
Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika
Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
335
385
435
485
535
585
385
435
485
535
585
635
Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f
Nilai f le
le38
le 3
le 8
le 3
le 8
le 3
2
9
16
24
29
32
Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f
Nilai f ge
ge33
ge38
ge 3
ge 8
ge 3
32
30
23
16
8
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
ge 8 3
C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat
data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit
Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok
1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)
Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal
m m m y m
y y m y m
n atau
sum
n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data
nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus
g
Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan
seterusnya Contoh
Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut
Jawab
g
39
39
9 9 90
Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90
c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka
M data ke n+
Jika banyak data genap maka
M
d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus
Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus
Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10
Mean
n
+ + + + + + +
7
Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap
M
8
8
M
M 7 8
M 7
Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling
sering muncul yaitu sebanyak 3 kali
2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)
Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut
sum f
n
sum f n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i
b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut
M L (
f
f
)
Keterangan
L = tepi bawah kelas median n = banyak data f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
p = panjang kelas c Modus
Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut
Mo L
Keterangan
L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas
contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa
31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94
Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus
Jawab 1 Distribusi frekuensi
Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68
Lebar kelas
9 7
Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1
31-40 2 2 355 71
41-50 3 5 455 1365
51-60 5 10 555 2775
61-70 7 17 655 4585
71-80 11 28 755 8305
81-90 6 34 855 513
91-100 6 40 955 573
Jumlah 40 2860
Mean
sum f n
sum f n
8
7
Median
M L (
f
f
)
M 7 (
7
)
M 7 7
M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3
Modus
Mo L
Mo 7
Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9
D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal
a Kuartil
Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil
1) Kuartil pertamabawah (Q1)
Q1 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
2) Kuartil keduatengah (Q2)
Q2 membagi data terurut menjadi
atau
bagian
Dengan kata lain Q2 merupakan median data
3) Kuartil ketigatengah (Q3)
Q3 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
3(
3
4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga
(
5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut
(
6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data
a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
b Desil dan persentil
Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil
Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut
D
(
Keterangan i =123 9
n= ukuran data
Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
(
Keterangan i =123 99
n= ukuran data
2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil
1) Kuartil pertama (Q1)
L (
f
f
)
2) Kuartil kedua (Q2)
L (
f
f
)
3) Kuartil ketiga (Q3)
L (
3 f
f
)
Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123
f = frekuensi kelas kuartil i = 123
n = banyak kelas
p = panjang kelas b Desil dan Persentil
Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut
D L (
f
f
)
Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f
= frekuensi kelas desil ke-i
p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
L (
f f
)
L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f
= frekuensi kelas persentil ke-i
p = panjang kelas
3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan
Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil
n Keterangan
R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil
b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)
c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil
(
d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan
L
(
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
Tabel distribusi Nilai frekuensi
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
2) Histogram dan Poligon
Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram
3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan
menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo
Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika
Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas
34-38
39-43
44-48
49-53
54-58
59-63
2
7
7
8
5
3
335
385
435
485
535
585
385
435
485
535
585
635
Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f
Nilai f le
le38
le 3
le 8
le 3
le 8
le 3
2
9
16
24
29
32
Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f
Nilai f ge
ge33
ge38
ge 3
ge 8
ge 3
32
30
23
16
8
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
ge 8 3
C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat
data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit
Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok
1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)
Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal
m m m y m
y y m y m
n atau
sum
n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data
nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus
g
Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan
seterusnya Contoh
Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut
Jawab
g
39
39
9 9 90
Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90
c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka
M data ke n+
Jika banyak data genap maka
M
d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus
Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus
Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10
Mean
n
+ + + + + + +
7
Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap
M
8
8
M
M 7 8
M 7
Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling
sering muncul yaitu sebanyak 3 kali
2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)
Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut
sum f
n
sum f n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i
b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut
M L (
f
f
)
Keterangan
L = tepi bawah kelas median n = banyak data f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
p = panjang kelas c Modus
Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut
Mo L
Keterangan
L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas
contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa
31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94
Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus
Jawab 1 Distribusi frekuensi
Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68
Lebar kelas
9 7
Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1
31-40 2 2 355 71
41-50 3 5 455 1365
51-60 5 10 555 2775
61-70 7 17 655 4585
71-80 11 28 755 8305
81-90 6 34 855 513
91-100 6 40 955 573
Jumlah 40 2860
Mean
sum f n
sum f n
8
7
Median
M L (
f
f
)
M 7 (
7
)
M 7 7
M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3
Modus
Mo L
Mo 7
Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9
D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal
a Kuartil
Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil
1) Kuartil pertamabawah (Q1)
Q1 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
2) Kuartil keduatengah (Q2)
Q2 membagi data terurut menjadi
atau
bagian
Dengan kata lain Q2 merupakan median data
3) Kuartil ketigatengah (Q3)
Q3 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
3(
3
4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga
(
5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut
(
6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data
a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
b Desil dan persentil
Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil
Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut
D
(
Keterangan i =123 9
n= ukuran data
Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
(
Keterangan i =123 99
n= ukuran data
2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil
1) Kuartil pertama (Q1)
L (
f
f
)
2) Kuartil kedua (Q2)
L (
f
f
)
3) Kuartil ketiga (Q3)
L (
3 f
f
)
Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123
f = frekuensi kelas kuartil i = 123
n = banyak kelas
p = panjang kelas b Desil dan Persentil
Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut
D L (
f
f
)
Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f
= frekuensi kelas desil ke-i
p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
L (
f f
)
L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f
= frekuensi kelas persentil ke-i
p = panjang kelas
3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan
Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil
n Keterangan
R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil
b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)
c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil
(
d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan
L
(
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f
Nilai f le
le38
le 3
le 8
le 3
le 8
le 3
2
9
16
24
29
32
Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f
Nilai f ge
ge33
ge38
ge 3
ge 8
ge 3
32
30
23
16
8
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
ge 8 3
C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat
data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit
Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok
1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)
Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal
m m m y m
y y m y m
n atau
sum
n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data
nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus
g
Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan
seterusnya Contoh
Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut
Jawab
g
39
39
9 9 90
Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90
c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka
M data ke n+
Jika banyak data genap maka
M
d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus
Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus
Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10
Mean
n
+ + + + + + +
7
Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap
M
8
8
M
M 7 8
M 7
Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling
sering muncul yaitu sebanyak 3 kali
2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)
Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut
sum f
n
sum f n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i
b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut
M L (
f
f
)
Keterangan
L = tepi bawah kelas median n = banyak data f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
p = panjang kelas c Modus
Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut
Mo L
Keterangan
L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas
contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa
31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94
Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus
Jawab 1 Distribusi frekuensi
Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68
Lebar kelas
9 7
Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1
31-40 2 2 355 71
41-50 3 5 455 1365
51-60 5 10 555 2775
61-70 7 17 655 4585
71-80 11 28 755 8305
81-90 6 34 855 513
91-100 6 40 955 573
Jumlah 40 2860
Mean
sum f n
sum f n
8
7
Median
M L (
f
f
)
M 7 (
7
)
M 7 7
M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3
Modus
Mo L
Mo 7
Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9
D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal
a Kuartil
Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil
1) Kuartil pertamabawah (Q1)
Q1 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
2) Kuartil keduatengah (Q2)
Q2 membagi data terurut menjadi
atau
bagian
Dengan kata lain Q2 merupakan median data
3) Kuartil ketigatengah (Q3)
Q3 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
3(
3
4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga
(
5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut
(
6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data
a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
b Desil dan persentil
Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil
Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut
D
(
Keterangan i =123 9
n= ukuran data
Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
(
Keterangan i =123 99
n= ukuran data
2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil
1) Kuartil pertama (Q1)
L (
f
f
)
2) Kuartil kedua (Q2)
L (
f
f
)
3) Kuartil ketiga (Q3)
L (
3 f
f
)
Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123
f = frekuensi kelas kuartil i = 123
n = banyak kelas
p = panjang kelas b Desil dan Persentil
Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut
D L (
f
f
)
Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f
= frekuensi kelas desil ke-i
p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
L (
f f
)
L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f
= frekuensi kelas persentil ke-i
p = panjang kelas
3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan
Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil
n Keterangan
R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil
b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)
c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil
(
d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan
L
(
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
ge 8 3
C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat
data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit
Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok
1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)
Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal
m m m y m
y y m y m
n atau
sum
n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data
nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku
0
5
10
15
20
25
30
35
335 385 435 485 535 585 635
b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus
g
Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan
seterusnya Contoh
Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut
Jawab
g
39
39
9 9 90
Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90
c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka
M data ke n+
Jika banyak data genap maka
M
d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus
Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus
Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10
Mean
n
+ + + + + + +
7
Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap
M
8
8
M
M 7 8
M 7
Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling
sering muncul yaitu sebanyak 3 kali
2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)
Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut
sum f
n
sum f n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i
b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut
M L (
f
f
)
Keterangan
L = tepi bawah kelas median n = banyak data f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
p = panjang kelas c Modus
Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut
Mo L
Keterangan
L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas
contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa
31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94
Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus
Jawab 1 Distribusi frekuensi
Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68
Lebar kelas
9 7
Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1
31-40 2 2 355 71
41-50 3 5 455 1365
51-60 5 10 555 2775
61-70 7 17 655 4585
71-80 11 28 755 8305
81-90 6 34 855 513
91-100 6 40 955 573
Jumlah 40 2860
Mean
sum f n
sum f n
8
7
Median
M L (
f
f
)
M 7 (
7
)
M 7 7
M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3
Modus
Mo L
Mo 7
Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9
D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal
a Kuartil
Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil
1) Kuartil pertamabawah (Q1)
Q1 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
2) Kuartil keduatengah (Q2)
Q2 membagi data terurut menjadi
atau
bagian
Dengan kata lain Q2 merupakan median data
3) Kuartil ketigatengah (Q3)
Q3 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
3(
3
4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga
(
5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut
(
6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data
a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
b Desil dan persentil
Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil
Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut
D
(
Keterangan i =123 9
n= ukuran data
Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
(
Keterangan i =123 99
n= ukuran data
2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil
1) Kuartil pertama (Q1)
L (
f
f
)
2) Kuartil kedua (Q2)
L (
f
f
)
3) Kuartil ketiga (Q3)
L (
3 f
f
)
Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123
f = frekuensi kelas kuartil i = 123
n = banyak kelas
p = panjang kelas b Desil dan Persentil
Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut
D L (
f
f
)
Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f
= frekuensi kelas desil ke-i
p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
L (
f f
)
L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f
= frekuensi kelas persentil ke-i
p = panjang kelas
3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan
Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil
n Keterangan
R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil
b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)
c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil
(
d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan
L
(
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus
g
Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan
seterusnya Contoh
Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut
Jawab
g
39
39
9 9 90
Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90
c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka
M data ke n+
Jika banyak data genap maka
M
d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus
Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus
Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10
Mean
n
+ + + + + + +
7
Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap
M
8
8
M
M 7 8
M 7
Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling
sering muncul yaitu sebanyak 3 kali
2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)
Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut
sum f
n
sum f n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i
b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut
M L (
f
f
)
Keterangan
L = tepi bawah kelas median n = banyak data f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
p = panjang kelas c Modus
Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut
Mo L
Keterangan
L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas
contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa
31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94
Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus
Jawab 1 Distribusi frekuensi
Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68
Lebar kelas
9 7
Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1
31-40 2 2 355 71
41-50 3 5 455 1365
51-60 5 10 555 2775
61-70 7 17 655 4585
71-80 11 28 755 8305
81-90 6 34 855 513
91-100 6 40 955 573
Jumlah 40 2860
Mean
sum f n
sum f n
8
7
Median
M L (
f
f
)
M 7 (
7
)
M 7 7
M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3
Modus
Mo L
Mo 7
Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9
D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal
a Kuartil
Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil
1) Kuartil pertamabawah (Q1)
Q1 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
2) Kuartil keduatengah (Q2)
Q2 membagi data terurut menjadi
atau
bagian
Dengan kata lain Q2 merupakan median data
3) Kuartil ketigatengah (Q3)
Q3 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
3(
3
4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga
(
5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut
(
6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data
a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
b Desil dan persentil
Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil
Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut
D
(
Keterangan i =123 9
n= ukuran data
Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
(
Keterangan i =123 99
n= ukuran data
2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil
1) Kuartil pertama (Q1)
L (
f
f
)
2) Kuartil kedua (Q2)
L (
f
f
)
3) Kuartil ketiga (Q3)
L (
3 f
f
)
Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123
f = frekuensi kelas kuartil i = 123
n = banyak kelas
p = panjang kelas b Desil dan Persentil
Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut
D L (
f
f
)
Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f
= frekuensi kelas desil ke-i
p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
L (
f f
)
L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f
= frekuensi kelas persentil ke-i
p = panjang kelas
3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan
Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil
n Keterangan
R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil
b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)
c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil
(
d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan
L
(
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus
Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10
Mean
n
+ + + + + + +
7
Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap
M
8
8
M
M 7 8
M 7
Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling
sering muncul yaitu sebanyak 3 kali
2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)
Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut
sum f
n
sum f n
Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i
b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut
M L (
f
f
)
Keterangan
L = tepi bawah kelas median n = banyak data f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
p = panjang kelas c Modus
Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut
Mo L
Keterangan
L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas
contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa
31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94
Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus
Jawab 1 Distribusi frekuensi
Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68
Lebar kelas
9 7
Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1
31-40 2 2 355 71
41-50 3 5 455 1365
51-60 5 10 555 2775
61-70 7 17 655 4585
71-80 11 28 755 8305
81-90 6 34 855 513
91-100 6 40 955 573
Jumlah 40 2860
Mean
sum f n
sum f n
8
7
Median
M L (
f
f
)
M 7 (
7
)
M 7 7
M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3
Modus
Mo L
Mo 7
Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9
D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal
a Kuartil
Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil
1) Kuartil pertamabawah (Q1)
Q1 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
2) Kuartil keduatengah (Q2)
Q2 membagi data terurut menjadi
atau
bagian
Dengan kata lain Q2 merupakan median data
3) Kuartil ketigatengah (Q3)
Q3 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
3(
3
4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga
(
5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut
(
6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data
a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
b Desil dan persentil
Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil
Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut
D
(
Keterangan i =123 9
n= ukuran data
Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
(
Keterangan i =123 99
n= ukuran data
2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil
1) Kuartil pertama (Q1)
L (
f
f
)
2) Kuartil kedua (Q2)
L (
f
f
)
3) Kuartil ketiga (Q3)
L (
3 f
f
)
Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123
f = frekuensi kelas kuartil i = 123
n = banyak kelas
p = panjang kelas b Desil dan Persentil
Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut
D L (
f
f
)
Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f
= frekuensi kelas desil ke-i
p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
L (
f f
)
L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f
= frekuensi kelas persentil ke-i
p = panjang kelas
3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan
Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil
n Keterangan
R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil
b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)
c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil
(
d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan
L
(
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
M L (
f
f
)
Keterangan
L = tepi bawah kelas median n = banyak data f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median
p = panjang kelas c Modus
Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut
Mo L
Keterangan
L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas
contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa
31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94
Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus
Jawab 1 Distribusi frekuensi
Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68
Lebar kelas
9 7
Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1
31-40 2 2 355 71
41-50 3 5 455 1365
51-60 5 10 555 2775
61-70 7 17 655 4585
71-80 11 28 755 8305
81-90 6 34 855 513
91-100 6 40 955 573
Jumlah 40 2860
Mean
sum f n
sum f n
8
7
Median
M L (
f
f
)
M 7 (
7
)
M 7 7
M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3
Modus
Mo L
Mo 7
Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9
D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal
a Kuartil
Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil
1) Kuartil pertamabawah (Q1)
Q1 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
2) Kuartil keduatengah (Q2)
Q2 membagi data terurut menjadi
atau
bagian
Dengan kata lain Q2 merupakan median data
3) Kuartil ketigatengah (Q3)
Q3 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
3(
3
4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga
(
5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut
(
6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data
a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
b Desil dan persentil
Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil
Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut
D
(
Keterangan i =123 9
n= ukuran data
Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
(
Keterangan i =123 99
n= ukuran data
2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil
1) Kuartil pertama (Q1)
L (
f
f
)
2) Kuartil kedua (Q2)
L (
f
f
)
3) Kuartil ketiga (Q3)
L (
3 f
f
)
Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123
f = frekuensi kelas kuartil i = 123
n = banyak kelas
p = panjang kelas b Desil dan Persentil
Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut
D L (
f
f
)
Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f
= frekuensi kelas desil ke-i
p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
L (
f f
)
L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f
= frekuensi kelas persentil ke-i
p = panjang kelas
3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan
Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil
n Keterangan
R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil
b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)
c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil
(
d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan
L
(
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
61-70 7 17 655 4585
71-80 11 28 755 8305
81-90 6 34 855 513
91-100 6 40 955 573
Jumlah 40 2860
Mean
sum f n
sum f n
8
7
Median
M L (
f
f
)
M 7 (
7
)
M 7 7
M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3
Modus
Mo L
Mo 7
Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9
D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal
a Kuartil
Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil
1) Kuartil pertamabawah (Q1)
Q1 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
2) Kuartil keduatengah (Q2)
Q2 membagi data terurut menjadi
atau
bagian
Dengan kata lain Q2 merupakan median data
3) Kuartil ketigatengah (Q3)
Q3 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
3(
3
4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga
(
5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut
(
6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data
a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
b Desil dan persentil
Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil
Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut
D
(
Keterangan i =123 9
n= ukuran data
Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
(
Keterangan i =123 99
n= ukuran data
2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil
1) Kuartil pertama (Q1)
L (
f
f
)
2) Kuartil kedua (Q2)
L (
f
f
)
3) Kuartil ketiga (Q3)
L (
3 f
f
)
Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123
f = frekuensi kelas kuartil i = 123
n = banyak kelas
p = panjang kelas b Desil dan Persentil
Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut
D L (
f
f
)
Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f
= frekuensi kelas desil ke-i
p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
L (
f f
)
L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f
= frekuensi kelas persentil ke-i
p = panjang kelas
3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan
Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil
n Keterangan
R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil
b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)
c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil
(
d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan
L
(
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil
1) Kuartil pertamabawah (Q1)
Q1 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
2) Kuartil keduatengah (Q2)
Q2 membagi data terurut menjadi
atau
bagian
Dengan kata lain Q2 merupakan median data
3) Kuartil ketigatengah (Q3)
Q3 membagi data terurut menjadi
bagian dan
bagian
3(
3
4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga
(
5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut
(
6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data
a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
b Desil dan persentil
Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil
Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut
D
(
Keterangan i =123 9
n= ukuran data
Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
(
Keterangan i =123 99
n= ukuran data
2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil
1) Kuartil pertama (Q1)
L (
f
f
)
2) Kuartil kedua (Q2)
L (
f
f
)
3) Kuartil ketiga (Q3)
L (
3 f
f
)
Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123
f = frekuensi kelas kuartil i = 123
n = banyak kelas
p = panjang kelas b Desil dan Persentil
Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut
D L (
f
f
)
Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f
= frekuensi kelas desil ke-i
p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
L (
f f
)
L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f
= frekuensi kelas persentil ke-i
p = panjang kelas
3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan
Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil
n Keterangan
R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil
b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)
c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil
(
d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan
L
(
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(
b Desil dan persentil
Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil
Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut
D
(
Keterangan i =123 9
n= ukuran data
Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
(
Keterangan i =123 99
n= ukuran data
2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil
1) Kuartil pertama (Q1)
L (
f
f
)
2) Kuartil kedua (Q2)
L (
f
f
)
3) Kuartil ketiga (Q3)
L (
3 f
f
)
Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f
= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123
f = frekuensi kelas kuartil i = 123
n = banyak kelas
p = panjang kelas b Desil dan Persentil
Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut
D L (
f
f
)
Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f
= frekuensi kelas desil ke-i
p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
L (
f f
)
L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f
= frekuensi kelas persentil ke-i
p = panjang kelas
3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan
Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil
n Keterangan
R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil
b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)
c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil
(
d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan
L
(
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
p = panjang kelas b Desil dan Persentil
Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut
D L (
f
f
)
Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f
= frekuensi kelas desil ke-i
p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut
L (
f f
)
L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f
= frekuensi kelas persentil ke-i
p = panjang kelas
3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan
Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil
n Keterangan
R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil
b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)
c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil
(
d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan
L
(
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga
Pagar dalam = L Padar Luar = L
f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data
sum | |n
g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut
sum ( n
h Simpangan Baku
Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut
radic radicsum ( n
4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f | |n
sum f n
b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut
sum f ( n
sum f n
d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut
radicsum f ( n
sum f n
E Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan
nPk = n
(n
Contoh
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab
a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin
nPk = n
(n
9P3 =
(
9P3 =
b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le
Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6
Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka
P (42) =
(
Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le
Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8
( pilih 2 dari 4 unsur)
B y y y le
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
(
(
3
J y le
F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar
Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (
Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu
Gambar 1 permutasi siklis
Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2
Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut
1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB
3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA
4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC
5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB
6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA
Jadi terdapat 24 susunan
Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =
DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =
DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =
DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara
Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3
2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis
Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus
nP =
Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
3
3
9 8 7 3
3
G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan
nCk atau C(nk) dengan rumus
C(nk) =
(
Contoh Diketahui himpunanA= le
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)
Contoh a) Diketahui
= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11
orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian
4nharr
(
harr ( (
(
harr (
harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9
O K ge y m m 9
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi
=
(
9
9 8 7 3
(9 8 7 3
16796
H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh
percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)
Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA
I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan
dengan rumus P(A) =
Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang
percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3
P(A) = (
(
1 Gabungan dua kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B
S = 3 (
A = ( (
B = ( 3 (
A = ( (
P(A ( ( (
3
3
2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh
Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap
Jawab
S = 3
A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (
B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (
P(A ( (
=
= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah
1
3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan
aturan
P (A| = (
(
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan
P (B| = (
(
Contoh
Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya
A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6
P(A) = (
(
B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3
P(B) = (
(
A ( (
P(A
Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah
P(A| = (
( =
Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu
adalah P(A| =
J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan
contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka
P(E1) =
P(E2) =
Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka
P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah
P (E1 E2) =
2 Peluang Pengambilan
Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama
maka
P(E1) =
Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka
P (E2| =
Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka
P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=
Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu
King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah
K Binomial Newton (pengayaan)
Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut
Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua
sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n
Contoh
(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (
) (x2)4 (2y)1 + (
) (x2)3 (2y)2 + (
) (x2)2 (2y)3 + (
)
(x2)1 (2y)4
= ( ) (x2)0 (2y)5
= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5
Recommended