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Bases Ortonormais e Processo deGram-Schmidt
Juliana Pimentel
juliana.pimentel@ufabc.edu.br
http://hostel.ufabc.edu.br/∼juliana.pimentel
Sala 507-2 - Bloco A, Torre 2
I Um conjunto de vetores em um espaco comproduto interno e chamado um conjuntoortogonal se quaisquer dois vetores distintosdo conjunto sao ortogonais.
I Um conjunto ortogonal no qual cada vetortem norma 1 e chamado ortonormal.
ExemplosV = R3 com produto interno usual
u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (1, 0,−1).
O conjunto S = {u1, u2, u3} e ortogonal, pois
〈u1, u2〉 = 〈u1, u3〉 = 〈u2, u3〉 = 0. As normas dosvetores sao ‖u1‖ = 1, ‖u2‖ =
√2, ‖u3‖ =
√2.A
normalizacao de u1, u2, u3 fornece
v1 =u1‖u1‖
= (0, 1, 0), v2 =u2‖u2‖
= (1/√
2, 0, 1/√
2)
v3 =u3‖u3‖
= (1/√
2, 0,−1/√
2).
S ′ = {v1, v2, v3} e ortonormal.
ExemplosV = R3 com produto interno usual
u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (1, 0,−1).
O conjunto S = {u1, u2, u3} e ortogonal, pois〈u1, u2〉 = 〈u1, u3〉 = 〈u2, u3〉 = 0.
As normas dosvetores sao ‖u1‖ = 1, ‖u2‖ =
√2, ‖u3‖ =
√2.A
normalizacao de u1, u2, u3 fornece
v1 =u1‖u1‖
= (0, 1, 0), v2 =u2‖u2‖
= (1/√
2, 0, 1/√
2)
v3 =u3‖u3‖
= (1/√
2, 0,−1/√
2).
S ′ = {v1, v2, v3} e ortonormal.
ExemplosV = R3 com produto interno usual
u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (1, 0,−1).
O conjunto S = {u1, u2, u3} e ortogonal, pois〈u1, u2〉 = 〈u1, u3〉 = 〈u2, u3〉 = 0. As normas dosvetores sao ‖u1‖ =
1, ‖u2‖ =√
2, ‖u3‖ =√
2.Anormalizacao de u1, u2, u3 fornece
v1 =u1‖u1‖
= (0, 1, 0), v2 =u2‖u2‖
= (1/√
2, 0, 1/√
2)
v3 =u3‖u3‖
= (1/√
2, 0,−1/√
2).
S ′ = {v1, v2, v3} e ortonormal.
ExemplosV = R3 com produto interno usual
u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (1, 0,−1).
O conjunto S = {u1, u2, u3} e ortogonal, pois〈u1, u2〉 = 〈u1, u3〉 = 〈u2, u3〉 = 0. As normas dosvetores sao ‖u1‖ = 1, ‖u2‖ =
√2, ‖u3‖ =
√2.A
normalizacao de u1, u2, u3 fornece
v1 =u1‖u1‖
= (0, 1, 0), v2 =u2‖u2‖
= (1/√
2, 0, 1/√
2)
v3 =u3‖u3‖
= (1/√
2, 0,−1/√
2).
S ′ = {v1, v2, v3} e ortonormal.
ExemplosV = R3 com produto interno usual
u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (1, 0,−1).
O conjunto S = {u1, u2, u3} e ortogonal, pois〈u1, u2〉 = 〈u1, u3〉 = 〈u2, u3〉 = 0. As normas dosvetores sao ‖u1‖ = 1, ‖u2‖ =
√2, ‖u3‖ =
√2.A
normalizacao de u1, u2, u3 fornece
v1 =u1‖u1‖
= (0, 1, 0), v2 =u2‖u2‖
= (1/√
2, 0, 1/√
2)
v3 =u3‖u3‖
= (1/√
2, 0,−1/√
2).
S ′ = {v1, v2, v3} e ortonormal.
ExemplosV = R3 com produto interno usual
u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (1, 0,−1).
O conjunto S = {u1, u2, u3} e ortogonal, pois〈u1, u2〉 = 〈u1, u3〉 = 〈u2, u3〉 = 0. As normas dosvetores sao ‖u1‖ = 1, ‖u2‖ =
√2, ‖u3‖ =
√2.
Anormalizacao de u1, u2, u3 fornece
v1 =u1‖u1‖
= (0, 1, 0), v2 =u2‖u2‖
= (1/√
2, 0, 1/√
2)
v3 =u3‖u3‖
= (1/√
2, 0,−1/√
2).
S ′ = {v1, v2, v3} e ortonormal.
ExemplosV = R3 com produto interno usual
u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (1, 0,−1).
O conjunto S = {u1, u2, u3} e ortogonal, pois〈u1, u2〉 = 〈u1, u3〉 = 〈u2, u3〉 = 0. As normas dosvetores sao ‖u1‖ = 1, ‖u2‖ =
√2, ‖u3‖ =
√2.A
normalizacao de u1, u2, u3 fornece
v1 =u1‖u1‖
= (0, 1, 0), v2 =u2‖u2‖
= (1/√
2, 0, 1/√
2)
v3 =u3‖u3‖
= (1/√
2, 0,−1/√
2).
S ′ = {v1, v2, v3} e ortonormal.
ExemplosV = R3 com produto interno usual
u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (1, 0,−1).
O conjunto S = {u1, u2, u3} e ortogonal, pois〈u1, u2〉 = 〈u1, u3〉 = 〈u2, u3〉 = 0. As normas dosvetores sao ‖u1‖ = 1, ‖u2‖ =
√2, ‖u3‖ =
√2.A
normalizacao de u1, u2, u3 fornece
v1 =u1‖u1‖
= (0, 1, 0), v2 =u2‖u2‖
= (1/√
2, 0, 1/√
2)
v3 =u3‖u3‖
= (1/√
2, 0,−1/√
2).
S ′ = {v1, v2, v3} e ortonormal.
ExemplosV = R3 com produto interno usual
u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (1, 0,−1).
O conjunto S = {u1, u2, u3} e ortogonal, pois〈u1, u2〉 = 〈u1, u3〉 = 〈u2, u3〉 = 0. As normas dosvetores sao ‖u1‖ = 1, ‖u2‖ =
√2, ‖u3‖ =
√2.A
normalizacao de u1, u2, u3 fornece
v1 =u1‖u1‖
= (0, 1, 0), v2 =u2‖u2‖
= (1/√
2, 0, 1/√
2)
v3 =u3‖u3‖
= (1/√
2, 0,−1/√
2).
S ′ = {v1, v2, v3} e ortonormal.
I Num espaco com produto interno, uma baseconstituindo de vetores ortonormais echamada base ortonormal.
Um exemplo e abase canonica do R3:
i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1).
I Se S = {v1, v2, · · · , vn} e uma baseortonormal de um espaco com produtointerno V e u e um vetor qualquer de Ventao
u = 〈u, v1〉v1 + 〈u, v2〉v2 + · · ·+ 〈u, vn〉vn.
I Num espaco com produto interno, uma baseconstituindo de vetores ortonormais echamada base ortonormal. Um exemplo e abase canonica do R3:
i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1).
I Se S = {v1, v2, · · · , vn} e uma baseortonormal de um espaco com produtointerno V e u e um vetor qualquer de Ventao
u = 〈u, v1〉v1 + 〈u, v2〉v2 + · · ·+ 〈u, vn〉vn.
I Num espaco com produto interno, uma baseconstituindo de vetores ortonormais echamada base ortonormal. Um exemplo e abase canonica do R3:
i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1).
I Se S = {v1, v2, · · · , vn} e uma baseortonormal de um espaco com produtointerno V e u e um vetor qualquer de Ventao
u = 〈u, v1〉v1 + 〈u, v2〉v2 + · · ·+ 〈u, vn〉vn.
Exemplo
Sejam
v1 = (0, 1, 0), v2 = (−4/5, 0, 3/5), v3 = (3/5, 0, 4/5).
Obtenha as coordenadas de u = (1, 1, 1) emrelacao a base ortonormal S = {v1, v2, v3}.
Solucao.
〈u, v1〉 = 1, 〈u, v2〉 = −1/5, 〈u, v3〉 = 7/5.
O vetor de coordenadas de u em relacao a S e(1,−1/5, 7/5).
Exemplo
Sejam
v1 = (0, 1, 0), v2 = (−4/5, 0, 3/5), v3 = (3/5, 0, 4/5).
Obtenha as coordenadas de u = (1, 1, 1) emrelacao a base ortonormal S = {v1, v2, v3}.Solucao.
〈u, v1〉 =
1, 〈u, v2〉 = −1/5, 〈u, v3〉 = 7/5.
O vetor de coordenadas de u em relacao a S e(1,−1/5, 7/5).
Exemplo
Sejam
v1 = (0, 1, 0), v2 = (−4/5, 0, 3/5), v3 = (3/5, 0, 4/5).
Obtenha as coordenadas de u = (1, 1, 1) emrelacao a base ortonormal S = {v1, v2, v3}.Solucao.
〈u, v1〉 = 1, 〈u, v2〉 = −1/5, 〈u, v3〉 = 7/5.
O vetor de coordenadas de u em relacao a S e(1,−1/5, 7/5).
Exemplo
Sejam
v1 = (0, 1, 0), v2 = (−4/5, 0, 3/5), v3 = (3/5, 0, 4/5).
Obtenha as coordenadas de u = (1, 1, 1) emrelacao a base ortonormal S = {v1, v2, v3}.Solucao.
〈u, v1〉 = 1, 〈u, v2〉 = −1/5, 〈u, v3〉 = 7/5.
O vetor de coordenadas de u em relacao a S e(1,−1/5, 7/5).
Coordenadas em relacao a basesortogonais
Se S = {v1, v2, · · · , vn} e uma base ortogonal deum espaco com produto interno V , entao
S ′ = { v1‖v1‖
,v2‖v2‖
, · · · , vn‖vn‖
}
e uma base ortonormal de V . Entao qualquervetor u ∈ V pode ser escrito como
u = 〈u, v1‖v1‖〉 v1‖v1‖
+ · · ·+ 〈u, vn‖vn‖
〉 vn‖vn‖
Coordenadas em relacao a basesortogonais
Podemos expressar u como uma combinacaolinear dos vetores da base ortogonal S ′ como
u =〈u, v1〉‖v1‖2
v1 + · · ·+ 〈u, vn〉‖vn‖2
vn
I Construir bases ortogonais e ortonormais deespacos com produto interno.
I A partir de uma base qualquer de um espacovetorial existe um processo para se obteruma base ortonormal.
I Processo de ortonormalizacao para uma base.
Teorema da Projecao
Se W e um subspaco de dimensao finita de umespaco com produto interno V ,
entao cada vetoru ∈ V pode ser expresso de uma unica maneiracomo
u = w1 + w2
onde w1 ∈ W e w2 ∈ W⊥.
I w1 := projWu e chamado projecao ortogonalde u em W ,
I w2 e chamado componente de u ortogonal aW .
Teorema da Projecao
Se W e um subspaco de dimensao finita de umespaco com produto interno V , entao cada vetoru ∈ V pode ser expresso de uma unica maneiracomo
u = w1 + w2
onde w1 ∈ W e w2 ∈ W⊥.
I w1 := projWu e chamado projecao ortogonalde u em W ,
I w2 e chamado componente de u ortogonal aW .
Teorema da Projecao
Se W e um subspaco de dimensao finita de umespaco com produto interno V , entao cada vetoru ∈ V pode ser expresso de uma unica maneiracomo
u = w1 + w2
onde w1 ∈ W e w2 ∈ W⊥.
I w1 := projWu e chamado projecao ortogonalde u em W ,
I w2 e chamado componente de u ortogonal aW .
Teorema da Projecao
Se W e um subspaco de dimensao finita de umespaco com produto interno V , entao cada vetoru ∈ V pode ser expresso de uma unica maneiracomo
u = w1 + w2
onde w1 ∈ W e w2 ∈ W⊥.
I w1 := projWu e chamado projecao ortogonalde u em W ,
I w2 e chamado componente de u ortogonal aW .
Teorema da Projecao
Se W e um subspaco de dimensao finita de umespaco com produto interno V , entao cada vetoru ∈ V pode ser expresso de uma unica maneiracomo
u = w1 + w2
onde w1 ∈ W e w2 ∈ W⊥.
I w1 := projWu e chamado projecao ortogonalde u em W ,
I w2 e chamado componente de u ortogonal aW .
Teorema da Projecao
Se W e um subspaco de dimensao finita de umespaco com produto interno V , entao cada vetoru ∈ V pode ser expresso de uma unica maneiracomo
u = w1 + w2
onde w1 ∈ W e w2 ∈ W⊥.
I w1 := projWu e chamado projecao ortogonalde u em W ,
I w2 e chamado componente de u ortogonal aW .
Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt
Descreveremos o processo de ortonormalizacaopara uma base S = {v1, v2}.
Seja v′1 = v1. Queremos encontrar v′2 ortogonal av′1. Tomaremos v′2 = v2− cv′1, onde c e um numeroescolhido de modo que 〈v′2, v′1〉 = 0, ou seja,
〈v2 − cv′1, v′1〉 = 0. Entao c = 〈v2,v′1〉
〈v′1,v′1〉.Ficamos com
v′1 = v1
v′2 = v2 −〈v2, v′1〉v′1, v
′1
v′1
Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt
Descreveremos o processo de ortonormalizacaopara uma base S = {v1, v2}.Seja v′1 = v1.
Queremos encontrar v′2 ortogonal av′1. Tomaremos v′2 = v2− cv′1, onde c e um numeroescolhido de modo que 〈v′2, v′1〉 = 0, ou seja,
〈v2 − cv′1, v′1〉 = 0. Entao c = 〈v2,v′1〉
〈v′1,v′1〉.Ficamos com
v′1 = v1
v′2 = v2 −〈v2, v′1〉v′1, v
′1
v′1
Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt
Descreveremos o processo de ortonormalizacaopara uma base S = {v1, v2}.Seja v′1 = v1. Queremos encontrar v′2 ortogonal av′1.
Tomaremos v′2 = v2− cv′1, onde c e um numeroescolhido de modo que 〈v′2, v′1〉 = 0, ou seja,
〈v2 − cv′1, v′1〉 = 0. Entao c = 〈v2,v′1〉
〈v′1,v′1〉.Ficamos com
v′1 = v1
v′2 = v2 −〈v2, v′1〉v′1, v
′1
v′1
Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt
Descreveremos o processo de ortonormalizacaopara uma base S = {v1, v2}.Seja v′1 = v1. Queremos encontrar v′2 ortogonal av′1. Tomaremos v′2 = v2− cv′1, onde c e um numeroescolhido de modo que 〈v′2, v′1〉 = 0, ou seja,
〈v2 − cv′1, v′1〉 = 0. Entao c = 〈v2,v′1〉
〈v′1,v′1〉.Ficamos com
v′1 = v1
v′2 = v2 −〈v2, v′1〉v′1, v
′1
v′1
Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt
Descreveremos o processo de ortonormalizacaopara uma base S = {v1, v2}.Seja v′1 = v1. Queremos encontrar v′2 ortogonal av′1. Tomaremos v′2 = v2− cv′1, onde c e um numeroescolhido de modo que 〈v′2, v′1〉 = 0, ou seja,
〈v2 − cv′1, v′1〉 = 0. Entao c = 〈v2,v′1〉
〈v′1,v′1〉.
Ficamos com
v′1 = v1
v′2 = v2 −〈v2, v′1〉v′1, v
′1
v′1
Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt
Descreveremos o processo de ortonormalizacaopara uma base S = {v1, v2}.Seja v′1 = v1. Queremos encontrar v′2 ortogonal av′1. Tomaremos v′2 = v2− cv′1, onde c e um numeroescolhido de modo que 〈v′2, v′1〉 = 0, ou seja,
〈v2 − cv′1, v′1〉 = 0. Entao c = 〈v2,v′1〉
〈v′1,v′1〉.Ficamos com
v′1 = v1
v′2 = v2 −〈v2, v′1〉v′1, v
′1
v′1
Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt
Observe que v′2 foi obtido de v2, subtraindo-sedeste a projecao do vetor v2 na direcao de v′1.
Ovetores v′1 e v′2 sao vetores ortogonais nao nulos.Normalizando obtemos
u1 =v′1‖v′1‖
, u2 =v′2‖v′2‖
,
A base S ′ = {u1, u2} e ortonormal.
Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt
Observe que v′2 foi obtido de v2, subtraindo-sedeste a projecao do vetor v2 na direcao de v′1. Ovetores v′1 e v′2 sao vetores ortogonais nao nulos.
Normalizando obtemos
u1 =v′1‖v′1‖
, u2 =v′2‖v′2‖
,
A base S ′ = {u1, u2} e ortonormal.
Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt
Observe que v′2 foi obtido de v2, subtraindo-sedeste a projecao do vetor v2 na direcao de v′1. Ovetores v′1 e v′2 sao vetores ortogonais nao nulos.Normalizando obtemos
u1 =v′1‖v′1‖
, u2 =v′2‖v′2‖
,
A base S ′ = {u1, u2} e ortonormal.
Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt
Observe que v′2 foi obtido de v2, subtraindo-sedeste a projecao do vetor v2 na direcao de v′1. Ovetores v′1 e v′2 sao vetores ortogonais nao nulos.Normalizando obtemos
u1 =v′1‖v′1‖
, u2 =v′2‖v′2‖
,
A base S ′ = {u1, u2} e ortonormal.
ExemploSeja S = {(2, 1), (1, 1)} uma base do R2. Obtenhaa partir de S uma base ortonormal em relacao aoproduto interno usual.Solucao. v1 = (2, 1), v2 = (1, 1)
v′1 = v1 = (2, 1)
v′2 = v2 − cv′1, c =〈v2, v′1〉v′1, v
′1
Assim,
v′2 = v2 −〈v2, v′1〉v′1, v
′1
v′1 = (1, 1)− 〈(1, 1), (2, 1)〉(2, 1), (2, 1)
=
= (−1/5, 2/5).
ExemploSeja S = {(2, 1), (1, 1)} uma base do R2. Obtenhaa partir de S uma base ortonormal em relacao aoproduto interno usual.Solucao. v1 = (2, 1), v2 = (1, 1)
v′1 = v1 = (2, 1)
v′2 = v2 − cv′1, c =〈v2, v′1〉v′1, v
′1
Assim,
v′2 = v2 −〈v2, v′1〉v′1, v
′1
v′1 = (1, 1)− 〈(1, 1), (2, 1)〉(2, 1), (2, 1)
=
= (−1/5, 2/5).
ExemploSeja S = {(2, 1), (1, 1)} uma base do R2. Obtenhaa partir de S uma base ortonormal em relacao aoproduto interno usual.Solucao. v1 = (2, 1), v2 = (1, 1)
v′1 = v1 = (2, 1)
v′2 = v2 − cv′1, c =〈v2, v′1〉v′1, v
′1
Assim,
v′2 = v2 −〈v2, v′1〉v′1, v
′1
v′1 =
(1, 1)− 〈(1, 1), (2, 1)〉(2, 1), (2, 1)
=
= (−1/5, 2/5).
ExemploSeja S = {(2, 1), (1, 1)} uma base do R2. Obtenhaa partir de S uma base ortonormal em relacao aoproduto interno usual.Solucao. v1 = (2, 1), v2 = (1, 1)
v′1 = v1 = (2, 1)
v′2 = v2 − cv′1, c =〈v2, v′1〉v′1, v
′1
Assim,
v′2 = v2 −〈v2, v′1〉v′1, v
′1
v′1 = (1, 1)−
〈(1, 1), (2, 1)〉(2, 1), (2, 1)
=
= (−1/5, 2/5).
ExemploSeja S = {(2, 1), (1, 1)} uma base do R2. Obtenhaa partir de S uma base ortonormal em relacao aoproduto interno usual.Solucao. v1 = (2, 1), v2 = (1, 1)
v′1 = v1 = (2, 1)
v′2 = v2 − cv′1, c =〈v2, v′1〉v′1, v
′1
Assim,
v′2 = v2 −〈v2, v′1〉v′1, v
′1
v′1 = (1, 1)− 〈(1, 1), (2, 1)〉(2, 1), (2, 1)
=
= (−1/5, 2/5).
ExemploSeja S = {(2, 1), (1, 1)} uma base do R2. Obtenhaa partir de S uma base ortonormal em relacao aoproduto interno usual.Solucao. v1 = (2, 1), v2 = (1, 1)
v′1 = v1 = (2, 1)
v′2 = v2 − cv′1, c =〈v2, v′1〉v′1, v
′1
Assim,
v′2 = v2 −〈v2, v′1〉v′1, v
′1
v′1 = (1, 1)− 〈(1, 1), (2, 1)〉(2, 1), (2, 1)
=
= (−1/5, 2/5).
Exemplo
Normalizando
u1 =v′1‖v′1‖
= (2/√
5, 1/√
5),
u2 =v′2‖v′2‖
= (−1/√
5, 2/√
5).
Entao S ′ = {u1, u2} e uma base ortonormal.
Exemplo
Normalizando
u1 =v′1‖v′1‖
= (2/√
5, 1/√
5),
u2 =v′2‖v′2‖
= (−1/√
5, 2/√
5).
Entao S ′ = {u1, u2} e uma base ortonormal.
Exemplo
Normalizando
u1 =v′1‖v′1‖
= (2/√
5, 1/√
5),
u2 =v′2‖v′2‖
= (−1/√
5, 2/√
5).
Entao S ′ = {u1, u2} e uma base ortonormal.
Exemplo
Normalizando
u1 =v′1‖v′1‖
= (2/√
5, 1/√
5),
u2 =v′2‖v′2‖
= (−1/√
5, 2/√
5).
Entao S ′ = {u1, u2} e uma base ortonormal.
Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt
Considere uma base S = {v1, v2, · · · , vn}. Entao
v′1 = v1 = (2, 1)
v′2 = v2 − cv′1, c =〈v2, v′1〉v′1, v
′1
Assim v′1 ⊥ v′2. Vamos procurar v′3 ortogonal a v′1e v′2. Por analogia, escolhemos
v′3 = v3 −mv′2 − kv′1
e escolhemos m, k tais que 〈v′3, v′2〉 = 〈v′3, v′1〉 = 0.
Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt
Considere uma base S = {v1, v2, · · · , vn}. Entao
v′1 = v1 = (2, 1)
v′2 = v2 − cv′1, c =〈v2, v′1〉v′1, v
′1
Assim v′1 ⊥ v′2.
Vamos procurar v′3 ortogonal a v′1e v′2. Por analogia, escolhemos
v′3 = v3 −mv′2 − kv′1
e escolhemos m, k tais que 〈v′3, v′2〉 = 〈v′3, v′1〉 = 0.
Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt
Considere uma base S = {v1, v2, · · · , vn}. Entao
v′1 = v1 = (2, 1)
v′2 = v2 − cv′1, c =〈v2, v′1〉v′1, v
′1
Assim v′1 ⊥ v′2. Vamos procurar v′3 ortogonal a v′1e v′2.
Por analogia, escolhemos
v′3 = v3 −mv′2 − kv′1
e escolhemos m, k tais que 〈v′3, v′2〉 = 〈v′3, v′1〉 = 0.
Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt
Considere uma base S = {v1, v2, · · · , vn}. Entao
v′1 = v1 = (2, 1)
v′2 = v2 − cv′1, c =〈v2, v′1〉v′1, v
′1
Assim v′1 ⊥ v′2. Vamos procurar v′3 ortogonal a v′1e v′2. Por analogia, escolhemos
v′3 = v3 −mv′2 − kv′1
e escolhemos m, k tais que 〈v′3, v′2〉 = 〈v′3, v′1〉 = 0.
Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt
0 = 〈v′3, v′1〉 =〈v3 −mv′2 − kv′1, v′1〉 =
=〈v3, v′1〉 −m〈v′2, v′1〉 − k〈v′1, v′1〉
Assim, como 〈v′2, v′1〉 = 0, temos 〈v′3, v′1〉 = 0 se, esomente se,
k =〈v3, v′1〉v′1, v
′1
.
Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt
0 = 〈v′3, v′1〉 =
〈v3 −mv′2 − kv′1, v′1〉 =
=〈v3, v′1〉 −m〈v′2, v′1〉 − k〈v′1, v′1〉
Assim, como 〈v′2, v′1〉 = 0, temos 〈v′3, v′1〉 = 0 se, esomente se,
k =〈v3, v′1〉v′1, v
′1
.
Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt
0 = 〈v′3, v′1〉 =〈v3 −mv′2 − kv′1, v′1〉 =
=〈v3, v′1〉 −m〈v′2, v′1〉 − k〈v′1, v′1〉
Assim, como 〈v′2, v′1〉 = 0, temos 〈v′3, v′1〉 = 0 se, esomente se,
k =〈v3, v′1〉v′1, v
′1
.
Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt
0 = 〈v′3, v′1〉 =〈v3 −mv′2 − kv′1, v′1〉 =
=〈v3, v′1〉 −m〈v′2, v′1〉 − k〈v′1, v′1〉
Assim, como 〈v′2, v′1〉 = 0, temos 〈v′3, v′1〉 = 0 se, esomente se,
k =〈v3, v′1〉v′1, v
′1
.
Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt
Da mesma forma, 〈v′3, v′2〉 = 0 se, e somente se,
m =〈v3, v′2〉v′2, v
′2
.
Portanto,
v′3 = v3 −〈v3, v′2〉〈v′2, v′2〉
v′2 −〈v3, v′1〉〈v′1, v′1〉
v′1.
Procedendo de maneira analoga, obtemosv′4, v
′5, · · · , v′n.
Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt
Da mesma forma, 〈v′3, v′2〉 = 0 se, e somente se,
m =〈v3, v′2〉v′2, v
′2
.
Portanto,
v′3 = v3 −〈v3, v′2〉〈v′2, v′2〉
v′2 −〈v3, v′1〉〈v′1, v′1〉
v′1.
Procedendo de maneira analoga, obtemosv′4, v
′5, · · · , v′n.
Processo de ortogonalizacao deGram-Schmidt
A partir de uma base S = {v1, v2, · · · , vn},construımos a base ortogonal {v′1, v′2, · · · , v′n}:
v′1 = v1
v′2 = v2 −〈v2, v′1〉〈v′1, v′1〉
v′1
v′3 = v3 −〈v3, v′2〉〈v′2, v′2〉
v′2 −〈v3, v′1〉〈v′1, v′1〉
v′1
· · ·
v′n = vn −〈vn, v′n−1〉〈v′n−1, v′n−1〉
v′n−1 − · · · −〈vn, v′1〉〈v′1, v′1〉
v′1
Se quisermos obter uma base ortonormal, bastanormalizar os vetores v′1, v
′2, · · · , v′n, tomando
u1 =v′1‖v′1‖
, u2 =v′2‖v′2‖
, · · · , un =v′n‖v′n‖
A base {u1, u2, · · · , un} e ortonormal.
Exercıcio
Considere o espaco vetorial R3 com o produtointerno usual. Aplique o processo deGram-Schmidt para transformar a baseS = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} em uma baseortonormal.
(Resposta.
{( 1√3,
1√3,
1√3
), (−2√
6,
1√6,
1√6
), (0,−1√
2,
1√2
)})
Exercıcio
Considere o espaco vetorial R3 com o produtointerno usual. Aplique o processo deGram-Schmidt para transformar a baseS = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} em uma baseortonormal. (Resposta.
{( 1√3,
1√3,
1√3
), (−2√
6,
1√6,
1√6
), (0,−1√
2,
1√2
)})
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