View
381
Download
15
Category
Preview:
DESCRIPTION
Vektor
Citation preview
MEDAN VEKTOR – MEDAN SKALAR
Lintasan suatu titik p dilukiskan dengan memberikan posisi vektor r = OP
sebagai fungsi t. Vektor fungsi ini diturunkan untuk memberikan kecepatan pada
titik p yang bergerak.
Cairan yang bergerak atau air yang mengalir memberikan gambaran yang
jelas mengenai medan vektor. Pada setiap titik di dalam air terdapat vektor
kecepatan v, ini merupakan kecepatan dari “ partikel air “ yang berlokasi di
titik tersebut.
Untuk setiap titik dalam cairan terdapat vektor kecepatan, dan keseluruhannya
membentuk M e d a n v e k t o r. Medan vektor dapat berubah dengan waktu.
Kalau medan vektor tetap, maka aliran disebut “ aliran tenang “.
Vektor yang membentuk medan vektor dapat merupakan fungsi dari x , y dan
z. Vektor fungsi v ( x,y,z ) dapat didiferensiasikan terhadap x,y dan z.
Perubahan v tidak cukup hanya turunan parsial saja, tetapi memerlukan
kombinasi dari D I V E R G E N S I dan R O T A S I .
Pada setiap titik suatu medan vektor dapat dikaitkan :
Suatu scalar : div v = divergensi v
Suatu vektor : rot v = rotasi v
Jika terhadap setiap titik ( x, y, z ) dari dominan D dalam ruang dikaitkan suatu
vektor v = v ( x , y , z ) , maka dominan D membentuk suatu medan vektor.
Setiap vektor v dari medan vektor dianggap sebagai vektor terikat pada titik
( x,y, z ) bersangkutan.
Jika v dinyatakan dalam komponen maka dapat ditulis
v = vx i + vy j + vz k , atau lengkapnya :
v = vx ( x,y, z ) I + vy ( x, y, z ) j + vz ( x, y, z ) k
MEDAN GRADIEN
Diberikan suatu medan scalar f dalam ruang , kemudian kita pilih suatu sistim
koordinat, sehingga f = f ( x,y, z ) tertentu dalam suatu domain di ruang.
Jika turunan parsial dari f tertentu dalam dominan, maka akan merupakan
komponen-komponen dari vektor gradien f, disingkat grad f.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB ANDIKA FAJAR
MATEMATIKA III 1
Sehingga kita dapatkan :
Misalkan , jika =
Dituliskan :
Perntataan dalam kurung dapat ditulis dengan symbol , disebut del atau
nabla , maka
Di mana adalah suatu operator diferensial vektor. Dengan sendirinya ,
mempunyai nilai kalau diterapkan pada suatu fungsi.
Operator banyak kegunanaanya. Untuk permukaan ( x, y, z ) C,maka
merupakan vektor tegak lurus permukaan ( x, y, z ) = C
Gradien mengikuti hukum :
grad ( f + g ) = grad f + grad g
grad ( f g ) = f grad g + g grad f
Dengan symbol :
( f + g ) = f + g.
( f g ) = f ( g ) + g ( f )
DIVERGENSI DARI MEDAN VEKTOR
Diberikan suatu medan vektor v dalam dominan D diruang, dan tiga fungsi
scalar vx , vy, vz. Jika masing-masing mempunyai turunan parsial pertama di D,
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB ANDIKA FAJAR
MATEMATIKA III 2
ke sembilan turunan parsial dapat dibentuk dan dapat merupakan urutan
segi empat.
Tiga skalar-skalar ini membentuk divergensi v , yang berbentuk
Rumus di atas dapat ditulis dalam bentuk symbol div v = v
Uraian rumus tersebut adalah sebagai berikut,
Divergensi mempunyai sifat-sifat dasar :
Div ( u + v ) = div u + div v ; div ( f v ) = f div v + grad f v
Maka jika ditulis dengan symbol nabla menjadi :
ROTASI DARI MEDAN VEKTOR
Dari enam turunan parsial yang masih tersisa dapat dibentuk medan vektor
yang baru disebut “ rot v “ didefinisikan sebagai :
Rotasi dapat dinyatakan dalam :
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB ANDIKA FAJAR
MATEMATIKA III 3
OPERASI GABUNGAN
Gradien divergensi dan raotasi dapat melakukan operasi gabungan. Hasinya
dapat kita lihat ringkas sebagai berikut :
Maka : ( c f ) = c f ; ( c v ) = c v
Kedua peryataan di atas menandakan bahwa, gradien dan rotasi adalah operator
liner.
Rotasi dari gradien : rot grad f = 0
Penjelasan :
Persamaan di atas dapat ditulis rot grad f = x ( f ) yang merupakan hasil
vector yang segaris atau searah.
Sebaliknya : jika rot v v = 0 , maka v = grad f.
Divergensi dari rotasi : div rot v = 0
Penjelasan :
Persamaan div rot v = div curi v = ( x v ) adalah serupa dengan a. b x c yang
merupakan volume parallelepipedum.]
Maka ( x v ) = volume parallelepipedum berisikan , dan v yang berarti
sebidang sehingga sama dengan nol.
Sebaliknya : Jika div w = 0, maka w = rot v
Operator “ LAPLACE “ berbentuk
Operator laplace diperoleh sebagai berikut ;
2 =
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB ANDIKA FAJAR
MATEMATIKA III 4
Operator Laplace lazim dengan notasi = 2
Divergensi graden suatu fungsi membentuk operator Laplace pula .]
dif grad = ( f )
Jika dalam suatu dominan berlaku = 0, dikatakan bahwa fungsi f
harmonis dalam dominan tersebut.
RUMUS-RUMUS MENYANGKUT
SOAL 8.
Jika A = x2 yi – 2xzj + 2yz k, carilah curl-curl A
Jawab :
Curl-curl A = x ( x A )
= x [ ( 2x + 2z ) i – ( x2 + 2z ) k
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB ANDIKA FAJAR
MATEMATIKA III 5
= ( 2 x + 2 ) j
Soal 9
Tentukanlah : a) ( B ) A, B) ( A x )
Jawab :
SOAL 10 .
Lengkung C ditentukan oleh persamaan parameter x = x (s),y = y (s),z = z (s),
dimana s adalah posisi panjang busur C diukur dari sebuah titik tertentu pada
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB ANDIKA FAJAR
MATEMATIKA III 6
C. Jika r adalah vector posisi dari sebarang titik C , tunjukan bahwa dr / ds
adalah vector satuan tegak lurus pada lengkung C.
Jawab:
adalah menyinggung lengkung x = x (s) , y = y (s), z = z (s).Untuk menunjukan
bahwa besarnya adalah satu, kita tulis
SOAL 11.
a) Tentukan vect or satuan yang menyinggung lengkung x = t2 + 1, y= 4 t – 3, z =
2 t2 – sebarang titik
b). Temtukan vector satuan yang menyinggung lengkung dititik
t = 2
Jawaban :
b) Di t = 2, unit tangent vector
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB ANDIKA FAJAR
MATEMATIKA III 7
SOAL 12.
Jika A = 5t2 I + t j – t3 k dan B = sin t i – cos t j,
Hitunglah :
Jawab ;
Cara lain :
(b)
Cara lain :
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB ANDIKA FAJAR
MATEMATIKA III 8
SOAL 13.
Jika A besarnya tetap , tunjukanlah bahwa A dan dA / dt saling tegak lurus
dengan syarat dA dt 0
Jawab :
Karena A konstan , maka A Akonstan pula.
SOAL 14.
Sebuah partikel bergerak sedemikian rupa sehingga vector posisi diberikan oleh r
= cos t + sin t j dengan konstan. Tunjukan bahwa
(a) kecepatan v dari partikel tegak lurus r
(b) percepatan a mengarah ke pusat dan besarnya sebanding
dengan jaraknya terhadap pusat.
(c) r x v = vector konstan.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB ANDIKA FAJAR
MATEMATIKA III 9
Jawab :
Maka percepatan a berlawanan arah dengan r berarti mengarah
ke pusat . Besarnya sebanding dengan r yaitu jarak
terhadap pusat karena
adalah vector konstan.
SOAL 15
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB ANDIKA FAJAR
MATEMATIKA III 10
Jika x = 2, y = 1 dan z = 1 maka diperoleh
SOAL 16.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB ANDIKA FAJAR
MATEMATIKA III 11
SOAL 17.
Diberikan F tergantung x, y, z, t sedang x, y dan z adalah fungsi t.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB ANDIKA FAJAR
MATEMATIKA III 12
Buktikan bahwa :
Bukti ;
Misalkan F = F1 ( x, y, z, t ) i + F2 ( x, y, z, t ) j + F3 ( x, y, z, t ) k.
Maka
dF = dF1 i + dF2 j + dF3 k
SOAL 18.
Diberikan lengkung dalam ruang dengan persamaan x = t, y = t2
z = t3. Hitunglah
(a) kelengkungan k (b) torsion
Jawab :
(a) vector posisi r = t i = t 2 +
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB ANDIKA FAJAR
MATEMATIKA III 13
Karena
(b) Dari (a), N =
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB ANDIKA FAJAR
MATEMATIKA III 14
Maka
= x N
Sekarang
Juga N =
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB ANDIKA FAJAR
MATEMATIKA III 15
SOAL 19
SOAL 20 .
Tentukanlah
Jawab :
(a) r = x I + y j + z k
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB ANDIKA FAJAR
MATEMATIKA III 16
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB ANDIKA FAJAR
MATEMATIKA III 17
Recommended