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Bewegungsgleichungen lösen im Physikunterricht?
Franz Embacher
franz.embacher@univie.ac.at
http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/
Didaktik der Physik und eLearningFakultät für PhysikUniversität Wien
25. November 2008
Das zweite Newtonsche Axiom
„Kraft ist gleich Masse mal Beschleunigung“
F maF
am
( )F x
am
( ( ))( )
F x tx t
m
0(0)x xAnfangsdaten
0(0)x v
Bewegungsgleichung„Bewegungs-Differentialgleichung“
( )x x tLösung
Beispiele
• Kräftefreier Fall:Lösung:
• Bewegung im homogenen Schwerefeld: Lösung:
• Harmonischer Oszillator: Lösung:
• Mathematisches Pendel:
( Auslenkungswinkel im Bogemaß)Lösung: nicht geschlossen darstellbar
( ) 0F x
0 0( )x t x v t ( )F x mg
20 0( )
2
gx t x v t t
( )F x kx
( ) sin( )x t A t wobei /k m
( ) sinmg
F x xL
x
Problem für den Physikunterricht
Aber:
• Methoden der Analysis stehen nicht zur Verfügung.
Wünschenswert ist daher ein Verfahren, das
• es ermöglicht, zumindest näherungsweise von einem Kraftgesetz auf den sich daraus ergebenden Bewegungstypus schließen zu können,
• im Prinzip von SchülerInnen der Oberstufe (Sek 2) verstanden werden kann, und das
• SchülerInnen eigenständiges Operieren (durchaus auch im Sinne spielerisch-experimenteller Erforschung) ermöglicht,
d. h. ein operationaler Zugang!
Idee zur näherungsweisen Lösung
Bewegung während eines kurzen Zeitintervalls verfolgen:
• Geschwindigkeit
• Beschleunigung
xv
t
t
va
t
Im Folgenden muss gerade so klein sein wie in diesen Definitionen!
t
Näherungsverfahren 1. Schritt
Anfangsort:
0x
0x Anfangsgeschwindigkeit: 0v
0v
xv
t
1 0x x x
0v v ... Näherung!
1 0 0x x v t
nach dem
Zeitintervall ...t
1x
Näherungsverfahren 2. Schritt
0x0v
va
t
1 0v v v
0( )F xa
m ... Näherung!
1x
01 0
( )F xv v t
m
nach dem
Zeitintervall ...t
1v
Berücksichtigung der Änderung der Geschwindigkeit:
Näherungsverfahren
1 0 0x x v t
01 0
( )F xv v t
m
0 0 1 1 2 2 3 3( , ) ( , ) ( , ) ( , )x v x v x v x v Iterative Anwendung:
Euler-Cauchy-Verfahren
Das Verfahren besitzt aber einen didaktischen Nachteil:Es ist ungenau!
Beispiel
Harmonischer Oszillator:
0 0( ) , / 1, 0.1, 1, 0F x kx k m t x v
Verbesserung 1. Schritt
verbessertes Verfahren benötigt!
20 ( )
2
ax v t t
Voraussetzung: gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Wenn Beschleunigung konstant und Anfangsgeschwindigkeit ,dann wird während des Zeitintervalls die Strecke
at
zurückgelegt.
0v
201 0 0
( )( )
2
F xx x v t t
m
0( )F xa
m
Näherung
Verbesserung 2. Schritt
01 0
( )F xv v t
m
beruht auf der Näherung Beschleunigung = Anfangsbeschleunigung.Da aber bereits berechnet wurde, kann die Näherung zu
Beschleunigung = (Anfangsbeschleunigung + Endbeschleunigung)/2
verbessert werden:
1x
0 11 0
( )1 ( )
2
F x F xv v t
m m
Verbessertes Näherungsverfahren
... Heun- Verfahren
201 0 0
( )( )
2
F xx x v t t
m
0 11 0
( )1 ( )
2
F x F xv v t
m m
... quadratische Entwicklung
keine erkennbaren numerischen Artefakte mehr!
Die Näherungslösung stimmt mit der exakten Lösung bis zur Ordnung überein. Für die gleichmäßigbeschleunigte Bewegung ist sie exakt.
2( )t
Bezeichnungsweise ...
Anfang 2Ende Anfang Anfang ( )
2
Fx x v t t
m
Anfang EndeEnde Anfang
1
2
F Fv v t
m m
... ist kein Dogma!
Umsetzung mit Tabellenkalkulation
Harmonischer Oszillator:
0 0( ) , / 1, 0.1, 1, 0F x kx k m t x v
t x v
0 1 0
0.1 0.995 0.09975
0.2 0.98005 0.1985025
... ... ...
3.1 0.999188064 0.040238232
3.2 0.998215967 0.05963197
... ... ...
6.3 0.999810998 0.019417108
Visualisierung der ersten beiden Spalten Zeit-Weg-Darstellung
cos(6.3)
0.999859
exakte Lösung:
( ) cos( )x t t
Visualisierung
Harmonischer Oszillator:
0 0( ) , / 1, 0.1, 1, 0F x kx k m t x v
Interaktivität ...
... mit Hilfe von Schiebereglern
Perspektiven
• Selbständiges Erschließen von Bewegungen aus Kraftgesetzen, vertieftes Verständnis der Logik Kraftgesetz + Anfangsdaten Bewegung
• Spielerisch-experimentelles Erforschen• Interessantere Systeme können besprochen werden als
normalerweise üblich (z. B. Pendel)• Besseres Verständnis der Bedeutung von Zeit-Weg-
Darstellungen, Übersetzung Bewegung Diagramm• Kombination mit (Real-)Experimenten Wechselspiel
zwischen Beobachtung und Theorie• Grundstock für das spätere Verständnis von
Differentialgleichungen bei der Beschreibung dynamischer Systeme
• Falls keine Kenntnisse über Tabellenkalkulation vorhanden sind vorbereitete interaktive Spreadsheets
Einstiegs-Szenario
1. Unterrichtseinheit: Das zweite Newtonsche Axiom in der Lesart a = F/m bei gegebener Kraft. Kräfte können vom Ort abhängen. Beispiel: Federkraft. Idee, die Bewegung über kurze Zeitintervalle zu verfolgen, „Herleitung“ des Näherungsverfahrens.
2. Unterrichtseinheit : Umsetzung mit Tabellenkalkulation, Diskussion der Bewegung, Begriff der Schwingung.
3. Unterrichtseinheit : Wiederholung der Logik Kraftgesetz + Anfangsdaten Bewegungsablauf. Die Rolle des zweiten Newtonschen Axioms in der Physik, der Laplacesche Dämon. Was besagt das zweite Newtonsche Axiom für F = 0? „Wiederentdeckung“ des Trägheitssatzes. Aufgaben (ggf. i. R. eines differenzierten Bewertungssystems): Übertragung des Algorithmus auf andere Kraftgesetze, allgemeine Formulierung.
5. Klasse
Beispiel: Pendel, große Auslenkungen
0 0( ) sin , / 9.81, 0.01, 3.14, 0mg
F x x g L t x vL
2D- und 3D-Verallgemeinerung
0 21 0 0
( )( )
2
F xx x v t t
m
����������������������������
0 11 0
1 ( ) ( )
2
F x F xv v t
m m
��������������������������������������������������������
Keplerproblem (im Ursprung fixierte Zentralmasse):
3| |( ) GMm
xF x x ��������������
������������������������������������������Bewegung o.B.d.A. in der xy-Ebene
Keplerbewegung
Im Himmel und auf der Erde gelten die gleichen physikalischen Grundgesetze! „Universalität“ des zweiten Newtonschen Axioms!
0 0 0 01, 0.005, 1.3, 0, 0, 0.53x yGM t x y v v
Weitere Verallgemeinerungen
Geschwindigkeitsabhängige Kräfte, Reibung
• Freier Fall mit Luftwiderstand, Grenzgeschwindigkeit• Gedämpfte Schwingungen
Explizit zeitabhängige („antreibende“) Kräfte
• Erzwungene und gedämpfte Schwingungen• Resonanz und Resonanzkatastrophe
Phasenraumdiagramme: (x,p) bzw. (x,v)
• Harmonische Schwingungen: Energieerhaltung• Gedämpfte Schwingungen: Energieverlust durch
Reibung
Phasenraumdiagramm
Gedämpfte Schwingung:
0 01, 0.5, 0.14, 1, 0k m t x v ( )F x kx v
2 21( )
2E p x
beachte:
Ausblick
• Den hier vorgestellten Zugang imPhysikunterricht erproben.
• Die für den hier vorgestelltenZugang nötigen Kompetenzenim Lehramtsstudium vermitteln.
Wunschzettel:
Danke...
... für Ihre Aufmerksamkeit!
Excel-Spreadsheets zu den besprochenen Beispielen und zu einigen weiteren Anwendungen stehen unter
http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Bewgl/
zur Verfügung.
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