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Noção de campo girante
1
Breve apontamento sobre enrolamentos e campos em sistemas trifásicos
1. Introdução
Neste documento apresentam-se os fundamentos da criação do campo girante
das máquinas eléctricas rotativas. Este assunto é tratado de forma muito rudimentar, não
dispensando a consulta de outro documento mais aprofundado.
2. Campo criado por um enrolamento concentrado
Considere-se o circuito magnético representado na Figura 1. Duas espiras criam
dois pares de pólos. Estas espiras encontram-se concentradas nas ranhuras indicadas. As
outras ranhuras encontram-se vazias.
Figura 1: Circuito magnético com dois pares de pólos com enrolamento concentrado. As correntes estão
localizadas nas cavas indicadas a verde.
O campo B radial no entreferro tem o andamento indicado na Figura 2.
N
N
S
S
Noção de campo girante
2
B.n, Tesla
Length, cm
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.40 5 10 15 20
Figura 2: Andamento do campo B ao longo da periferia do entreferro
Este andamento poderá ser calculado aproximadamente. Circulando por uma
linha de força, tem-se:
ipNgHdlH g∫ == 2. (5. 1)
onde:
N - Número de espiras por fase
p – número de pares de pólos
q – número de cavas por pólo e por fase
Definindo força magnetomotriz de entreferro como
)()( θθ gm gHF = (5. 2)
tem-se
pNiF
eg
FH
m
mg
21)(
)()(
=
=
θ
θθ
(5. 3)
O andamento do campo criado por um enrolamento concentrado é assim de
forma rectangular como o apresentado na figura 2.
Noção de campo girante
3
3. Campo criado por um enrolamento distribuído
Para se obter um campo de forma sinusoidal ao longo da periferia do entreferro
existem várias técnicas. Uma delas consiste em dispor o enrolamento distribuído por
várias cavas. Em vez do enrolamento correspondente a um pólo estar todo concentrado
na mesma cava, como se mostra na Figura 3, este será dividido em q bobinas com N/q
espiras e colocado nas cavas adjacentes. A Figura 3 apresenta a distribuição de um
enrolamento com q=3 cavas por pólo e por fase. As cavas que se encontram vazias
serão ocupadas pelas outras fases ao que corresponde uma ocupação da periferia
melhor. A Figura 4 apresenta agora o andamento do campo ao longo do entreferro. A
figura (b) apresenta este andamento apenas para um par de pólos. Note-se que agora o
andamento é mais aproximado da sinusóide. Contudo ainda se está longe da distribuição
sinusoidal.
Figura 3: Campo girante com três condutores fase e por pólo.
B.n, Tesla
Length, cm
1
0.5
0
-0.5
-10 5 10 15 20
B.n, Tesla
Length, cm
1
0.5
0
-0.5
-10 5 10
Figura 4: (a) dois pares de pólos (b) um par de pólos
Utilizando várias técnicas é possível obter uma distribuição de campo
aproximadamente sinusoidal. A Figura 5, apresenta os campos criados por cada uma das
Noção de campo girante
4
três fases isoladas para o caso em que se tem apenas um par de pólos. Este caso é
estudado como exemplo. A verde estão indicadas as cavas a que correspondem cada
uma das fases.
Campo criado pela fase a Campo criado pela fase b Campo criado pela fase c
Figura 5: Campo criado por cada uma das fases isoladamente.
Da figura 5 pode concluir-se que cada fase cria um campo magnético com eixos
de simetria colocados em sítios diferentes. Estes dependem da localização dos
condutores de cada fase. O eixo de simetria do campo resultante pode ser utilizado para
indicar a posição no espaço das fases. Estes eixos de simetria estão desfasados de 120º
no espaço.
A figura 6. apresenta um esquema simplificado para a representação do
enrolamento.
x
y
θ
1
2
3
a+
a-
b+
b-
c+
c-
Figura 6: Esquema simplificado para a representação do enrolamento.
Noção de campo girante
5
Estando os enrolamentos desfasados de 120º, o andamento ao longo de θ para as
três fases pode ser aproximado por uma onda sinusoidal equivalente e será dado por:
( )θθ pip
NF a
eqma cos)( = (5. 4)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
32cos)( πθθ pi
pN
F beq
mb (5. 5)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
34cos)( πθθ pi
pN
F ceq
mc (5. 6)
Em que Neq é um número equivalente de espiras que tem em conta a distribuição
e outros aspectos.
Assim temos 3 ondas de campo desfasadas no espaço de 120º. Estas são
proporcionais às respectivas correntes que circulam nos enrolamentos.
4. Campo criado por um sistema trifásico sinusoidal
Considere-se agora que a corrente na fase a tem a forma dada pela equação 5.7.
( )tIi saa ωcos2= (5. 7)
A força magnetomotriz criada por esta fase será dada por:
( ) ( )tpIp
NtF sa
eqma ωθθ coscos2),( = (5. 8)
Definindo,
aeq Ip
NF 2max = (5. 9)
e usando a fórmula trigonométrica,
( ) ( )βαβαβα ++−= cos21cos
21coscos (5. 10)
Noção de campo girante
6
obtém-se:
( ) ( )tpFtpFtF ssma ωθωθθ ++−= cos21cos
21),( maxmax (5. 11)
que se pode interpretar como a soma de duas ondas uma que circula no sentido
positivo e a outra que circula no sentido negativo.
( )tpFF sωθ −=+ cos21
max (5. 12)
( )tpFF sωθ +=− cos21
max (5. 13)
Para as outras duas fases ter-se-á:
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++−=
32cos
21cos
21),( maxmax
πωθωθθ tpFtpFtF ssmb (5. 14)
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++−=
32cos
21cos
21),( maxmax
πωθωθθ tpFtpFtF ssmc (5. 15)
A força magnetomotriz resultante será a soma das equações 5.11, 5.14 e 5.15.
Obtém-se:
( )tpFFFFtF smcmbmamt ωθθ −=++= cos23),( max (5. 16)
Que representa uma onda que se propaga no sentido positivo.
A interpretação física da equação 5.16, encontra-se na Figura 7.
Correntes no sistema trifásico
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 60 120 180 240 300 360
angulo (º)
Ia,I
b,Ic
Ia Ib Ic
Noção de campo girante
7
Correntes no sistema trifásico
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 60 120 180 240 300 360
angulo (º)
Ia,I
b,Ic
Ia Ib Ic
Correntes no sistema trifásico
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 60 120 180 240 300 360
angulo (º)
Ia,I
b,Ic
Ia Ib Ic
Figura 7: Forma do campo em três instantes sucessivos. A seta a azul representa a direcção de campo
máximo.
Para uma máquina com 4 pólos o campo total é dado na Figura 8 onde se pode
observar que a distribuição de campo não anda muito longe da forma sinusoidal.
Figura 8: Distribuição de campo criado pelas três fases.
Noção de campo girante
8
O ponto máximo da onda de força magnetomotriz é determinado por
0=− tp sωθ (5. 17)
ou seja, o ângulo θΒ a que se desloca o ponto máximo é dado por:
tps
Bω
θ = (5. 18)
Que significa que a velocidade do campo é dada por:
ps
synωω = (5. 19)
Em rpm tem-se:
p
fNsyn60
= (5. 20)
5. Cálculo do campo de indução no entreferro
A partir da onda de força magnetomotriz pode calcular-se a onda de campo de
indução magnética que é dada por:
( )
( )tpB
tpg
Fg
FtB
sp
smt
ωθ
ωθθ
−=
−==
cos
cos2
3),( max (5. 21)
Figura 9: Definição de fluxo por pólo.
Noção de campo girante
9
O fluxo numa secção em movimento com o eixo de simetria coincidente com a
posição de campo máxima, pode ser calculado por:
∫−=p
pp rdpBL/
/)cos(
π
πθθφ (5. 22)
LrBp p22
=φ (5. 23)
6. Fluxos ligados com os enrolamentos
Consideremos um enrolamento com apenas uma espira. Por definição, este
enrolamento está colocado na posição θa. Calcule-se o fluxo ligado com este
enrolamento no instante em que o campo resultante se encontra na posição θB.
x
y
θΒa+
a-
θa
n
n
n
B
Figura 10: Localização da fase genérica para a determinação do fluxo ligado.
O fluxo ligado, Figura 10, será dado por:
∫+
−
=2
2
1
πθ
πθθψ
a
a
LrdBre (5. 24)
Noção de campo girante
10
( )∫+
−
−=2
2
1 cos
πθ
πθθθθψ
a
a
dBLr Bpe (5. 25)
ou seja,
( )Bae θθφψ −= cos1 (5. 26)
Os fluxos ligados com os enrolamentos do estator podem ser calculados a partir
de ( )Bae θθφψ −= cos1 (5. 26) tendo em conta que a posição dos enrolamentos das
fases é θa=0 para a fase a, θb=2π/3 para a fase b e θb=2π/3 para a fase c. Obtém-se:
( ) ( )tNtN seqseqa ωφωφψ cos0cos =−= (5. 27)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
32cos
32cos πωφωπφψ tNtN seqseqb (5. 28)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
34cos
34cos πωφωπφψ tNtN seqseqc (5. 29)
Estando o rotor numa posição θm, tem-se:
( ) ( )mseqsmeqar ptNtpN θωφωθφψ −=−= coscos (5. 30)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
32cos
32cos πθωφωπθφψ mseqsmeqbr ptNtpN (5. 31)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
34cos
34cos πθωφωπθφψ mseqsmeqcr ptNtpN (5. 32)
rodando o rotor à velocidade ωm, tem-se θm=ωmt, ou seja:
( ) ( )tNtptN reqmseqar ωφωωφψ coscos =−= (5. 33)
A frequência vista no rotor será:
msr pωωω −= (5. 34)
Noção de campo girante
11
Que relaciona a frequência das grandezas do rotor e do estator com a velocidade
de rotação.
Distinguem-se dois tipos de máquinas eléctricas baseadas no princípio do campo
girante:
Máquinas síncronas, onde 0 =→= rms p ωωω .
Nestas máquinas a velocidade de rotação é determinada pela velocidade do
campo girante, sendo nula a frequência das grandezas do rotor.
Máquinas assíncronas
Nestas máquinas é induzida uma força electromotriz no rotor de frequência ωr.
Esta é utilizada para a criação das correntes que circularão neste. Define-se
escorregamento relativo s de modo:
s
ms psω
ωω −= (5. 35)
ou seja
sr sωω = (5. 36)
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