BİYOİSTATİSTİK · 2020. 2. 26. · Serbestlik derecesi 0,05 0,025 0,01 0,005 1 6.314 12.706...

BİYOİSTATİSTİK

Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH

Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD.

Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr

Uygulama 5

1

Hipotez Testi Aşamaları

Verinin ölçeği Birey SayısıBağımlı/

BağımsızVarsayımlar

0. Adım

1. Adım

2. Adım

3. Adım

4. Adım

5. Adım

3

Soru 1

4

Üst kesici dişlerde, diş kök kanal uzunluklarının

ortalamasının 21 mm olduğu ileri sürülmektedir.

Buna göre 20 üst kesici diş seçilerek kök kanal

uzunluğu hesaplandığında, kök kanal boyu

ortalaması 22,21 mm standart sapması 1,29

bulunmuştur.

Elde edilen verilere göre 0,05 anlamlılık düzeyinde

bu iddianın doğruluğunu test ediniz.

5

19,420/29,1

2121,22

/

nS

xthesap

𝜎2 bilinmiyor 𝑛 < 30

0. Adım : Tek örneklem t testi

1. Adım : Hipotez (Çift Yönlü)

𝐻0: 𝜇 = 21𝐻1: 𝜇 ≠ 21

2. Adım : Test İstatistiği

6

3. Adım : Tablo Değeri

𝛼 = 0,05

𝑡𝑡𝑎𝑏𝑙𝑜 (0,025 ;19) = ?

(𝛼/2 = 0,025 çift yönlü hipotez)

7

Serbestlik

derecesi

0,05 0,025 0,01 0,005

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

6.314

2.920

2.353

2.132

2.015

1.943

1.895

1.860

1.833

1.812

1.796

1.782

1.771

1.761

1.753

1.746

1.740

1.734

1.729

1.725

1.721

1.717

1.714

1.711

1.708

1.706

1.703

1.701

1.699

1.697

12.706

4.303

3.182

2.776

2.571

2.447

2.365

2.306

2.262

2.228

2.201

2.179

2.160

2.145

2.131

2.120

2.110

2.101

2.093

2.086

2.080

2.074

2.069

2.064

2.060

2.056

2.052

2.048

2.045

2.042

31.821

6.965

4.541

3.747

3.365

3.143

2.998

2.896

2.821

2.764

2.718

2.681

2.650

2.624

2.602

2.583

2.567

2.552

2.539

2.528

2.518

2.508

2.500

2.492

2.485

2.479

2.473

2.467

2.462

2.457

63.657

9.925

5.841

4.604

4.032

3.707

3.499

3.355

3.250

3.169

3.106

3.055

3.012

2.977

2.947

2.921

2.898

2.878

2.861

2.845

2.831

2.819

2.807

2.797

2.787

2.779

2.771

2.763

2.756

2.750

T test tablosu (Tek Yönlü)

𝑡 0,025;19 = 2,093

T tablo değeri

8

3. Adım : Tablo Değeri

𝛼 = 0,05

𝑡𝑡𝑎𝑏𝑙𝑜 (0,025 ;19) = 2,093

4. Adım : Karar Bölgesi

𝑡𝑡𝑎𝑏𝑙𝑜 = 2,093 < 𝑡ℎ𝑒𝑠𝑎𝑝 = 4,19

Ho red

9

5. Adım : Yorum

Üst kesici dişlerdeki kök kanal uzunluklarının

ortalamasının % 95 güven düzeyinde 21 mm’den

farklı olduğu söylenebilir.

10

Soru 2Diş beyazlatmak için kullanılan standart uygulamaya

alternatif olarak yeni bir yöntem geliştirilmiştir. Diş

kliniğine gelen 24 hastanın sağ taraflarındaki azı dişe

standart, sol taraflarındaki azı dişe ise yeni yöntem

uygulanmış ve beyazlama derecesi ölçülmüştür.

Yeni yöntemin daha etkili olup olmadığını 𝛼 = 0,05

anlamlılık düzeyinde araştırınız.

11

?/

ns

dt

d

hesap

𝜎2 bilinmiyor 𝑛 < 30

0. Adım : Bağımlı iki örneklem t-testi

1. Adım : Hipotez (Çift Yönlü)

𝐻0: 𝜇𝑓𝑎𝑟𝑘 = 0

𝐻1: 𝜇𝑓𝑎𝑟𝑘 > 0

2. Adım : Test İstatistiği

12

13

66,424/65,5

38,5

/

ns

dt

d

hesap

𝜎2 bilinmiyor 𝑛 < 30

0. Adım : Bağımlı iki örneklem t-testi

1. Adım : Hipotez (Çift Yönlü)

𝐻0: 𝜇𝑓𝑎𝑟𝑘 = 0

𝐻1: 𝜇𝑓𝑎𝑟𝑘 > 0

2. Adım : Test İstatistiği

14

3. Adım : Tablo Değeri

𝛼 = 0,05

𝑡 0,05;23 = ?

Hipotez tek yönlü

15

Serbestlik

derecesi

0,05 0,025 0,01 0,005

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

6.314

2.920

2.353

2.132

2.015

1.943

1.895

1.860

1.833

1.812

1.796

1.782

1.771

1.761

1.753

1.746

1.740

1.734

1.729

1.725

1.721

1.717

1.714

1.711

1.708

1.706

1.703

1.701

1.699

1.697

12.706

4.303

3.182

2.776

2.571

2.447

2.365

2.306

2.262

2.228

2.201

2.179

2.160

2.145

2.131

2.120

2.110

2.101

2.093

2.086

2.080

2.074

2.069

2.064

2.060

2.056

2.052

2.048

2.045

2.042

31.821

6.965

4.541

3.747

3.365

3.143

2.998

2.896

2.821

2.764

2.718

2.681

2.650

2.624

2.602

2.583

2.567

2.552

2.539

2.528

2.518

2.508

2.500

2.492

2.485

2.479

2.473

2.467

2.462

2.457

63.657

9.925

5.841

4.604

4.032

3.707

3.499

3.355

3.250

3.169

3.106

3.055

3.012

2.977

2.947

2.921

2.898

2.878

2.861

2.845

2.831

2.819

2.807

2.797

2.787

2.779

2.771

2.763

2.756

2.750

T test tablosu (Tek Yönlü)

𝑡 0,05;23 = 1,714

T tablo değeri

16

3. Adım : Tablo Değeri

𝛼 = 0,05

𝑡 0,05;23 = 1,714

4. Adım : Karar Bölgesi

Ho red

𝑡 0,05;23 = 1,714

17

5. Adım : Yorum

Yeni yöntemin standart yönteme göre daha etkili

olduğu % 95 güven düzeyinde söylenebilir.

Diş hekimliği fakültesindeki 24 kız ve 28 erkek

öğrencinin Biyoistatistik sınavından aldıkları

puanlar hesaplanmıştır.

Elde edilen verilere göre %95 güven

düzeyinde, kızların erkeklere göre daha yüksek

puan aldığı söylenebilir mi?

18

Soru 3

19

n Ortalama Standart Sapma

Kız 24 73,26 4,38

Erkek 28 68,14 5,47

𝐻0: 𝜇𝑘 = 𝜇𝑒𝐻1: 𝜇𝑘 > 𝜇𝑒

Durum: Bağımsız iki örneklem t-testi

Hipotez tek yönlü

20

𝑠𝑝2 =

𝑛1 − 1 𝑠12 + 𝑛2 − 1 𝑠2

2

𝑛1 + 𝑛2 − 2

=23 ∗ 4,38 2 + 27 ∗ 5,47 2

24 + 28 − 2=1249,11

50= 24,98

𝑡ℎ𝑒𝑠𝑎𝑝 =𝑥1 − 𝑥2

𝑠𝑝1𝑛1

+1𝑛2

=73,26 − 68,14

4,998124

+128

= 3,68

𝑠𝑝 = 4,998

Serbestlik derecesi

0,05 0,025 0,01 0,005

1 6.314 12.706 31.821 63.6572 2.920 4.303 6.965 9.9253 2.353 3.182 4.541 5.8414 2.132 2.776 3.747 4.6045 2.015 2.571 3.365 4.032

6 1.943 2.447 3.143 3.7077 1.895 2.365 2.998 3.4998 1.860 2.306 2.896 3.3559 1.833 2.262 2.821 3.250

10 1.812 2.228 2.764 3.169

11 1.796 2.201 2.718 3.10612 1.782 2.179 2.681 3.05513 1.771 2.160 2.650 3.01214 1.761 2.145 2.624 2.97715 1.753 2.131 2.602 2.947

16 1.746 2.120 2.583 2.92117 1.740 2.110 2.567 2.89818 1.734 2.101 2.552 2.87819 1.729 2.093 2.539 2.86120 1.725 2.086 2.528 2.845

21 1.721 2.080 2.518 2.83122 1.717 2.074 2.508 2.81923 1.714 2.069 2.500 2.80724 1.711 2.064 2.492 2.79725 1.708 2.060 2.485 2.787

26 1.706 2.056 2.479 2.77927 1.703 2.052 2.473 2.77128 1.701 2.048 2.467 2.76329 1.699 2.045 2.462 2.75630 1.697 2.042 2.457 2.75040 1.684 2.021 2.423 2.70460 1.671 2.000 2.390 2.660

120 1.658 1.980 2.358 2.617

21

𝑡 0,05;50 = 1,677

T tablo değeri

(1.684 + 1.671) / 2 = 1.677

50

𝑡 0,05;50 = ?

22

𝑡𝑡𝑎𝑏𝑙𝑜 (0,05 ;50): 1,677

𝑡ℎ𝑒𝑠𝑎𝑝 = 3,68H0 RED

YORUM: Kız öğrencilerin erkek öğrencilerden

% 95 güven düzeyinde daha yüksek puan aldığı

söylenebilir.

Soru 4

23

Ağız ve diş sağlığı merkezine belirli bir günde

başvuran ve diş ağrısı çeken 15 hastanın her

birinin, ağrı kesici ilaç tedavisi almadan önce ve

aldıktan sonraki ağrı düzeyi bir ölçekle ölçülüyor.

Buna göre, ağrı düzeyleri arasındaki ortalama fark

5,3 birim, standart sapma 2,8 bulunduğuna göre

ağrı kesici ilacın tedaviye etkisi olup olmadığını test

ediniz (=0,05).

24

ҧ𝑑 = 5,3

Durum: Bağımlı iki örneklem t testi

𝑠𝑑 = 2,8

𝑡ℎ𝑒𝑠𝑎𝑝 =ҧ𝑑

𝑠𝑑𝑛

=5,3

2,8

15

= 7,33

𝐻0: 𝜇𝑓𝑎𝑟𝑘 = 0

𝐻1: 𝜇𝑓𝑎𝑟𝑘 ≠ 0𝑑𝑖 = 𝑓𝑎𝑟𝑘

25

Serbestlik

derecesi

0,05 0,025 0,01 0,005

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

6.314

2.920

2.353

2.132

2.015

1.943

1.895

1.860

1.833

1.812

1.796

1.782

1.771

1.761

1.753

1.746

1.740

1.734

1.729

1.725

1.721

1.717

1.714

1.711

1.708

1.706

1.703

1.701

1.699

1.697

12.706

4.303

3.182

2.776

2.571

2.447

2.365

2.306

2.262

2.228

2.201

2.179

2.160

2.145

2.131

2.120

2.110

2.101

2.093

2.086

2.080

2.074

2.069

2.064

2.060

2.056

2.052

2.048

2.045

2.042

31.821

6.965

4.541

3.747

3.365

3.143

2.998

2.896

2.821

2.764

2.718

2.681

2.650

2.624

2.602

2.583

2.567

2.552

2.539

2.528

2.518

2.508

2.500

2.492

2.485

2.479

2.473

2.467

2.462

2.457

63.657

9.925

5.841

4.604

4.032

3.707

3.499

3.355

3.250

3.169

3.106

3.055

3.012

2.977

2.947

2.921

2.898

2.878

2.861

2.845

2.831

2.819

2.807

2.797

2.787

2.779

2.771

2.763

2.756

2.750

T test tablosu (Tek Yönlü)

𝑡 0,025;14 = 2,145

T tablo değeri

𝑡 0,025;14 =?

26

Ho red

YORUM: % 95 güven düzeyinde ağrı kesici

ilacın tedaviye etkisinin olduğu söylenebilir.

𝑡ℎ𝑒𝑠𝑎𝑝 = 7,33 > 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑙𝑜 (0,025 ;14): 2,145

𝐻0: 𝜇𝑓𝑎𝑟𝑘 = 0

𝐻1: 𝜇𝑓𝑎𝑟𝑘 ≠ 0

27

Soru 5

İki farklı diş firması tarafından üretilen, aynı etken

maddeye sahip iki ağrı kesici ilacın içerdiği etken

madde miktarlarının benzer olup olmadığını

araştırmak isteyen bir araştırmacı 1. firmadan 15

örnek, 2. firmadan 20 örnek alıyor.

Ortalamalarını sırasıyla 21,8 mg ve 24,1 mg olarak

hesaplıyor. Standart sapmalarını ise sırasıyla 2,2 mg

ve 3,4 mg olarak buluyor. Bu iki ilacın etken madde

miktarı bakımından farklı olup olmadığını gerekli

hipotezleri kurarak 0,05 anlamlılık düzeyinde

araştırınız.

28

Durum: Bağımsız iki örneklem t-testi

29

𝑡ℎ𝑒𝑠𝑎𝑝 =𝑥1 − 𝑥2

𝑠𝑝1𝑛1

+1𝑛2

=21,8 − 24,1

2,95115

+120

= −2,28

𝑠𝑝 = 2,95

Serbestlik derecesi

0,05 0,025 0,01 0,005

1 6.314 12.706 31.821 63.6572 2.920 4.303 6.965 9.9253 2.353 3.182 4.541 5.8414 2.132 2.776 3.747 4.6045 2.015 2.571 3.365 4.032

6 1.943 2.447 3.143 3.7077 1.895 2.365 2.998 3.4998 1.860 2.306 2.896 3.3559 1.833 2.262 2.821 3.250

10 1.812 2.228 2.764 3.169

11 1.796 2.201 2.718 3.10612 1.782 2.179 2.681 3.05513 1.771 2.160 2.650 3.01214 1.761 2.145 2.624 2.97715 1.753 2.131 2.602 2.947

16 1.746 2.120 2.583 2.92117 1.740 2.110 2.567 2.89818 1.734 2.101 2.552 2.87819 1.729 2.093 2.539 2.86120 1.725 2.086 2.528 2.845

21 1.721 2.080 2.518 2.83122 1.717 2.074 2.508 2.81923 1.714 2.069 2.500 2.80724 1.711 2.064 2.492 2.79725 1.708 2.060 2.485 2.787

26 1.706 2.056 2.479 2.77927 1.703 2.052 2.473 2.77128 1.701 2.048 2.467 2.76329 1.699 2.045 2.462 2.75630 1.697 2.042 2.457 2.75040 1.684 2.021 2.423 2.70460 1.671 2.000 2.390 2.660

120 1.658 1.980 2.358 2.617

30

f

𝑡 0,025;33 = 2,042

T tablo değeri

31

𝑡 0,025;33 = 2,042

Ho red

32

Hipotez testi;

tablo ve hesap değeri karşılaştırılarak

veya

güven aralığı kullanılarak yapılabilir.

Aynı sorunun güven aralığı ile çözümü…

33

1)( 1,2/1,2/n

StX

n

StXP nn

1)1111

(21

2,2/2121

21

2,2/21 2121 nnStXX

nnStXXP pnnpnn

H0: μ1= μ2 ⇒ d= 0

H1: μ1 ≠ μ2 ⇒ d≠ 0

Güven aralığı 𝐝 = 𝟎 kitle parametresini

içeriyorsa --> H0 reddedilemez

içermiyorsa --> H0 reddedilir

Hatırlatma

[−4,35;−0,244] sıfırı içermez H0 reddedilir

34

Soru 6

Bir diş macunu fabrikasında üretilen diş macunlarının

içindeki florür miktarının ortalamasının 24 mg,

varyansının 19 mg olduğu bilinmektedir. Örnekleme

yapılarak seçilen 50 diş macununun florür ölçümü

yapıldığında ortalamanın 26,2 mg olduğu görülüyor.

Buna göre ortalama florür miktarının 24 mg’dan fazla

olup olmadığını %99 güven düzeyinde test ediniz.

35

36

Tablodan 0,49 değerini veren z değerine bakılır.

37

𝒛𝟎,𝟒𝟗

38

39

Örneklem büyüklüğü Diş çürüğü olanların sayısı

Beyaz 804 575

Siyah 175 111

40

ABD’de yapılan bir araştırmada diş çürüğü açısından siyah

ve beyaz ırklar karşılaştırılmıştır. Bu araştırma sonucunda

elde edilen veriler aşağıda verilmiştir.

Bu verilere göre bu iki ırk arasında, diş çürüğü açısından

istatistiksel olarak anlamlı bir fark var mıdır? (=0.05)

Soru 7

41

Bağımsız iki grupta oranlar arasındaki

fark için hipotez testi

𝐻0: 𝑝1 − 𝑝2 = 0𝐻1: 𝑝1 − 𝑝2 ≠ 0

𝐻0: 𝑝1 − 𝑝2 = 0𝐻1: 𝑝1 − 𝑝2 < (>) 0

𝑧ℎ𝑒𝑠𝑎𝑝 =Ƹ𝑝1 − Ƹ𝑝2

Ƹ𝑝(1 − Ƹ𝑝)(1𝑛1

+1𝑛2)

Ƹ𝑝 =𝑥1 + 𝑥2𝑛1 + 𝑛2

𝑧ℎ𝑒𝑠𝑎𝑝 ve 𝑧𝑡𝑎𝑏𝑙𝑜 karşılaştır.

Yorum

Ƹ𝑝1 =𝑥1

𝑛1ve Ƹ𝑝2 =

𝑥2

𝑛2

42

=0.05

Fakat, çift yönlü hipotez olduğu

için tablodan /2 değerine

bakılır.

43

Tablodan 0,475 değerini veren z değerine bakılır.

44

𝒛𝟎,𝟒𝟕𝟓

0,5-0,025=0,475

𝜶

𝟐= 𝟎, 𝟎𝟐𝟓

45

46

YORUM: İki ırk arasında diş çürüğü açısından anlamlı

farklılığın olduğu söylenebilir.

Alıştırmalar

1. Bir diş hastanesine belirli bir günde başvuran

ve diş ağrısı çeken 50 hastanın her birinin 1.

ve 3. gün ağrı kesici ilaç tedavisi sonrasındaki

ağrı düzeylerini bir ölçekle karşılaştırmak

isteyen bir araştırmacı bağımsız iki örneklem

testi kullanmalıdır.

47

Yanlış

2. Bağımlı ve bağımsız grup iki örneklem

hipotez testleri için gruplara ait örneklem

genişlikleri (n) her zaman birbirine eşittir.

48

Yanlış

3. Tansiyon hastası olan kişiler arasında

tansiyonu düzenlendiği iddia edilen bir

ilacın denemesi yapılacaktır. Bunun için

bağımsız iki grubun ortalamalarının

karşılaştırılması yöntemi kullanılır.

49

Yanlış

4. Hipotez testi, iki örneklem için

ortalamaların farklı olup olmadığını, güven

aralığı ise bu farkın büyüklüğünü ifade

eder.

50

Doğru

5. Varyansları homojen olan ve 12’şer örneklem

biriminden oluşan iki bağımsız örneklemin

ortalamalarının karşılaştırılması için

hesaplanan t-test istatistiği serbestlik derecesi

………….. olan t dağılımına uyar.

51

22

6. Örneklemlerin çekildiği kitlelerin varyanslarını

biliyorsak kitle ortalamalarının eşitliği

hipotezini test etmek için ……………… testini

kullanırız.

52

Z

7. Her biri 15 gözlem içeren iki bağımlı

örneklem kullanılarak iki kitle ortalaması

arasındaki farkı test etmek istediğimizde,

test istatistiğine ait serbestlik derecesi

aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?

A. 28

B. 30

C. 15

D. 1453

8. Bağımsız iki örneklemin ortalamaları

arasındaki farka ilişkin hipotezleri test

ederken, varsayımların sağlanamadığı

durumlarda aşağıdakilerden hangisi

kullanılır?

A. t testi

B. z testi

C. F testi

D. Hiçbiri

54

9. Bir kitleden rasgele çekilen örneklemlerden

hesaplanan istatistiklerin dağılımı

……………… dağılımı olarak isimlendirilir.

55

örnekleme

10. Dolgu malzemesi üreten A ve B makinelerinin

ürettiği malzemelerden sırasıyla 100 ve 50 adet

örneklem seçiliyor. Bu örneklemlerden A

makinesinin 16 ve B makinesinin 6 adet hatalı

üretim yaptığı gözleniyor. A makinesinin B

makinesine göre daha çok hatalı üretim yapıp

yapmadığını test etmek için hipotezler nasıl

kurulmalıdır?

56

A. H0:pA-pB=0 H1:pA-pB> 0

B. H0:A - B= 0 H1: A - B> 0

C. H0:pA-pB=0 H1:pA-pB < 0

D. H0:A - B= 0 H1: A - B < 0

11. Bir İngilizce kursunun etkinliği, kursa

katılanların, İngilizce bilgisindeki artışlarla

ölçülmektedir. Kursun etkin olup olmadığı

konusunda karar verebilmek için nasıl bir

yöntem önerirsiniz? Adım adım belirtiniz.

57

58

Parametrik Hipotez Testleri

Tek Örneklem

İki Örneklem

İkiden Çok Örneklem

VaryansAnalizi

(ANOVA)

Normal dağılım varsayımı altında

n≥30: Z n<30: t testi

𝜎2: 𝜎2:

Z

bağımlı bağımsızn

xzhesap

/

nS

xzhesap

/

nS

xthesap

/

1

1 deki durumlar geçerli

sadece test istatistikleri

𝑑𝑖 farkları üzerinden

hesaplanır

1

𝒏𝟏 ve 𝒏𝟐 ≥30: Z

𝒏𝟏 veya 𝒏𝟐<30: t testi

Varyanslar bilinmiyor ama

eşit varsayımı altında

21

21

11

nns

xxt

p

hesap

21

21

11

nns

xxz

p

hesap

• Haftaya derste anlatılacak konular…

– İkiden Çok Örneklem İçin Hipotez Testleri

(Varyans Analizi-ANOVA)