View
116
Download
17
Category
Preview:
DESCRIPTION
Kuliah pak Basar (fisika matematika 1A) Fisika ITB
Citation preview
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
Khairul Basar
Catatan KuliahFI2101 Fisika Matematik IASemester I 2015-2016
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamInstitut Teknologi Bandung
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
Bab 2
Bilangan Kompleks
Pada BAB ini dibahas mengenai konsep-konsep bilangan dan variabel kom-pleks serta penggunaannya dalam penyelesaian persoalan fisika.
Bilangan kompleks terdiri dari dua bagian yaitu bagian real dan bagianimajiner. Misalnya bilangan kompleks yang dinyatakan dengan z = 5 + 3imaka angka 5 merupakan bagian real dari z atau dituliskan sebagai <(z)sedangkan angka 3 disebut bagian imajiner dari z dan dituliskan sebagai=(z) dari bilangan kompleks tersebut. Dalam penulisan bilangan kompleksi =
√−1 atau i2 = −1. Perlu diperhatikan bahwa bagian imajiner suatu
bilangan kompleks bukanlah imajiner.Bilangan kompleks dapat dinyatakan sebagai pasangan antara bagian real
dan bagian imajinernya. Jadi misalnya 5 + 3i dapat dituliskan sebagai (5, 3)serta −4− 5i dapat dituliskan menjadi (−4,−5).
2.1 Bidang Kompleks
Karena bilangan kompleks biasa dituliskan dalam bentuk pasangan bilang-an sebagaimana pasangan titik dalam sistem koordinat xy artinya sebuahbilangan kompleks dapat juga digambarkan sebagai titik dalam bidang kom-pleks. Bidang kompleks sering disebut diagram Argand. Sumbu mendatar(sumbu x) menggambarkan bagian real sedangkan sumbu tegak (sumbu y)menggambarkan bagian imajiner sebagaimana ditunjukkan dalam Gambar2.1. Ini mirip dengan representasi titik dalam sistem koordinat kartesian.
Sebagaimana diketahui bahwa suatu titik dalam bidang xy juga dapatdinyatakan dalam ungkapan polar, maka bilangan kompleks juga dapat di-representasikan dalam bentuk polar yaitu (r, θ). Hubungan antara x dan ydengan r dan θ adalah
x = r cos θ
y = r sin θ
23
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
24 Bilangan Kompleks
Jadi suatu bilangan kompleks z dapat dinyatakan dalam representasi
z = x+ iy = r(cos θ + i sin θ) = reiθ (2.1)
r dinamakan modulus atau nilai mutlak dari z dan θ (dalam radian) disebutsudut dari z. Perhatikan gambar 2.2.
x
y
z = 5 + 3i
z = −4− 5i
<(z)
=(z)
(5, 3)
(−4,−5)
Gambar 2.1 Bidang kompleks.
x
y
z = 5 + 3i
<(z)
=(z)
(5, 3)
θ
r
Gambar 2.2 Representasi polar dalam bidang kompleks
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
2.2 Aljabar Kompleks 25
2.2 Aljabar Kompleks
Menjadikan bentuk x + iy
Setiap bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk x + iy. Denganbentuk ini, dapat mudah diidentifikasi bagian real dan bagian imajiner darisuatu bilangan kompleks.
Contoh 1
Tentukan bagian real dan bagian imajiner bilangan kompleks (1 + i)2
(1 + i)2 = (1 + i)(1 + i) = 1 + 2i+ i2 = 1 + 2i− 1 = 2i
Dengan demikian bagian realnya adalah 0 dan bagian imajinernyaadalah 2. Bilangan kompleks tersebut dapat dituliskan dalam bentuk
(1 + i)2 = 2i
Contoh 2
Ubahlah bentuk2 + i
3− imenjadi bentuk x+ iy
2 + i
3− i=
2 + i
3− i3 + i
3 + i=
6 + 5i+ i2
9− i2=
5 + 5i
10=
1
2+
1
2i
Contoh 3
Nyatakan z =1
2(cos 30◦ + i sin 30◦)dalam bentuk x+ iy.
Karena 30◦ = π/6 rad jadi akan diperoleh
z =1
2(cos 30◦ + i sin 30◦)=
1
2(cos π6 + i sin π
6
) =1
2eiπ/6=
1
2e−iπ/6
=1
2(cosπ/6− i sinπ/6) =
(√3
4− i1
4
)
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
26 Bilangan Kompleks
Konjugat kompleks (Complex conjugate)
Konjugat dari suatu bilangan kompleks z = x + iy dinyatakan dengan z̄ =x− iy. Konjugat dari suatu bilangan kompleks diperoleh dengan mengalikanbagian imajinernya dengan −1.
Contoh
Tentukan konjugat kompleks dari z =2− 3i
i+ 4
z =2− 3i
i+ 4=⇒ z̄ =
2 + 3i
−i+ 4
Nilai mutlak
Nilai mutlak (modulus) dari suatu bilangan kompleks z = x + iy meng-gambarkan jarak titik yang direpresentasikan dengan (x, y) dengan pusatkoordinat di bidang kompleks. Dengan demikian dinyatakan dalam bentuk
|z| = r =√x2 + y2 =
√zz̄ (2.2)
Persamaan Kompleks
Dua buah bilangan kompleks dikatakan sama jika bagian real bilangan kom-pleks pertama sama dengan bagian real bilangan kompleks kedua dan bagianimajiner bilangan kompleks pertama sama dengan bagian imajiner bilangankompleks kedua. Misalnya jika x+ iy = 2 + 3i maka berarti x = 2 dan y = 3.
Contoh
Tentukan x dan y jika (x+ iy)2 = 2i
(x+ iy)2 = x2 + i2xy − y2 = 2i
Dengan demikian diperoleh hubungan
x2 − y2 = 0 =⇒ y = ±x2xy = 2
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
2.3 Deret Kompleks 27
Selanjutnya diperoleh
2x2 = 2 atau − 2x2 = 2
Karena x harus real maka x2 tidak mungkin negatif, dengan demikiandidapat x2 = 1 dan y = x. Sehingga solusi persamaan tersebut adalahx = y = 1 atau x = y = −1.
2.3 Deret Kompleks
Yang dimaksud deret kompleks dalam hal ini adalah deret yang suku-sukunyaadalah bilangan kompleks. Jumlah bagian (partial sum) suatu deret komplekssecara umum tentu saja berupa bilangan kompleks (artinya dapat dinyatak-an Sn = X + iY ). Konvergensi pada deret kompleks didefinisikan denganpengertian yang sama seperti pada deret real. Suatu deret kompleks dikatak-an konvergen jika bagian real dan bagian imajinernya masing-masing adalahderet yang konvergen. Uji konvergensi pada deret real yang telah dipelajaridapat digunakan juga pada deret kompleks.
Contoh
Ujilah konvergensi deret kompleks berikut
1 +1 + i
2+
(1 + i)2
4+
(1 + i)3
8+ . . . =
∞∑n=0
(1 + i)n
2n
Dapat digunakan uji perbandingan (rasio)
ρ = limn→∞
∣∣∣∣ (1 + i)n+1
2n+1÷ (1 + i)n
2n
∣∣∣∣= limn→∞
∣∣∣∣1 + i
2
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣1 + i
2
∣∣∣∣ =
√2
2< 1
yang berarti deret tersebut adalah deret konvergen.
Pada bagian terdahulu telah dibahas tentang deret pangkat dan intervalkonvergensi untuk variabel real. Pengertian yang serupa juga dijumpai dalamderet pangkat dengan variabel berupa bilangan kompleks, yang dinyatakansebagai berikut
∞∑n=0
anzn
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
28 Bilangan Kompleks
dengan z = x+ iy dan an adalah bilangan kompleks.Jika pada deret pangkat real himpunan nilai yang membuat deret tersebut
konvergen dinamakan interval konvergensi (interval of convergence), pada de-ret kompleks himpunan nilai z yang membuat suatu deret kompleks bersifatkonvergen membentuk suatu daerah dalam bidang kompleks yang dinamakancakram konvergensi (disk of convergence).
Contoh 1
Tentukan daerah cakram konvergensi deret kompleks berikut
1− z +z2
2− z3
3+z4
4+ . . .
Deret tersebut dapat dinyatakan sebagai
∞∑n=0
(−z)n
nDengan menggu-
nakan uji perbandingan (rasio), maka dapat ditentukan syarat kon-vergensi deret kompleks tersebut
ρ = limn→∞
∣∣∣∣ (−z)n+1
n+ 1÷ (−z)n
n
∣∣∣∣= limn→∞
∣∣∣∣ zn
n+ 1
∣∣∣∣ = |z| limn→∞
∣∣∣∣ n
n+ 1
∣∣∣∣= |z|
Jadi agar deret tersebut konvergen maka |z| < 1. Karena |z| =√x2 + y2, maka artinya deret tersebut konvergen jika
√x2 + y2 < 1.
Dalam bidang kompleks, kondisi ini menggambarkan daerah di dalamlingkaran pada bidang kompleks dengan pusat di titik pusat koordinatdan berjejari 1.
Contoh 2
Tentukanlah daerah cakram konvergensi dari deret kompleks
∞∑n=0
zn
Dengan menggunakan uji rasio, maka konvergensi deret tersebut di-peroleh jika
ρ = limn→∞
∣∣∣∣zn+1
zn
∣∣∣∣ < 1
yang memberikan kondisi |z| < 1.
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
2.4 Rumus Euler 29
Jadi cakram konvergensinya adalah daerah di dalam lingkaran padabidang kompleks dengan pusat di titik pusat koordinat dan berjejari1.
2.4 Rumus Euler
Karena z = x+ iy berarti fungsi eksponensial dari suatu bilangan kompleksdapat dituliskan dalam bentuk berikut
ez = ex+iy = exeiy = ex(cos y + i sin y) (2.3)
Selanjutnya bila menggunakan uraian deret Maclaurin, fungsi eksponensial
ex dapat dinyatakan ex = 1 + x +x2
2!+x3
3!+ . . .. Dengan demikian dapat
diperoleh bahwa
eiθ = 1 + (iθ) +(iθ)2
2!+
(iθ)3
3!+
(iθ)4
4!+ . . .
=
(1− θ2
2!+θ4
4!− . . .
)+ i
(θ − θ3
3!+θ5
5!− . . .
)= cos θ + i sin θ
Maka akan diperoleh bentuk yang mengaitkan representasi eksponensial un-tuk bilangan kompleks dengan bentuk trigonometri yang disebut sebagai ru-mus Euler, yaitu
eiθ = cos θ + i sin θ (2.4)
Dengan menggunakan rumus Euler tersebut dapat juga diperoleh bentuke−iθ, yaitu
e−iθ = cos θ − i sin θ (2.5)
Bila persamaan 2.4 dan persamaan 2.5 dijumlahkan maka akan diperolehungkapan untuk cos θ, sedangkan bila persamaan 2.4 dikurangi dengan per-samaan 2.5 maka akan dapat diperoleh ungkapan untuk sin θ sebagai berikut
sin θ =eiθ − e−iθ
2i
cos θ =eiθ + e−iθ
2
(2.6)
Persamaan tersebut menunjukkan kaitan antara fungsi trigonometri sinus dancosinus dengan bentuk bilangan kompleks (dalam representasi eksponensial).
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
30 Bilangan Kompleks
Contoh 1
Tentukanlah nilai bilangan kompleks 2eiπ/6.
Jika bentuk tersebut dibandingkan dengan bentuk polar bilangankompleks yaitu reiθ, maka berarti diperoleh bahwa r = 2 dan θ = π/6.Selanjutnya dengan menggunakan hubungan representasi polar de-ngan bentuk x+ iy, maka akan diperoleh
x = r cos θ = 2 cosπ
6=√
3
y = r sin θ = 2 sinπ
6= 1
Dengan demikian maka dapat dinyatakan
2eiπ/6 =√
3 + i
Contoh 2
Hitunglah(1 + i)2
(1− i)
Operasi perkalian atau pembagian bilangan kompleks umumnya ak-an lebih mudah dilakukan dengan menggunakan bentuk eksponensial.Bila menggunakan bentuk eksponensial, maka
(1 + i)2 = (√
2eiπ/4)2 = 2eiπ/2
(1− i) =√
2e−iπ/4
Maka
(1 + i)2
(1− i)=
2eiπ/2√2e−iπ/4
=√
2ei(π/2+π/4) =√
2ei3π/4
Dan bila ingin dinyatakan dalam bentuk x+ iy diperoleh
x =√
2 cos3π
4= −1
y =√
2 sin3π
4= 1
Sehingga
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
2.4 Rumus Euler 31
(1 + i)2
(1− i)=√
2ei3π/4 = −1 + i
Tinjau kembali representasi eksponensial dari suatu bilangan kompleksyang dinyatakan dengan rumus Euler, untuk bentuk einθ dapat dinyatakansebagai berikut
einθ = (eiθ)n = (cos θ + i sin θ)n
= cosnθ + i sinnθ (2.7)
Persamaan 2.6 dapat digunakan untuk menghitung pangkat suatu bilangankompleks.
Contoh 1
Hitunglah (1 + i)3.
Bila dinyatakan dalam bentuk eksponensial, maka (1 + i) =√
2eiπ/4.Dengan demikian maka
(1 + i)3 = (√
2eiπ/4)3 =√
8ei3π/4 =√
8
(−√
3
2+ i
√3
2
)
Contoh 2
Hitunglah 3√−8i
Bila bilangan kompleks tersebut dinyatakan dalam bentuk eksponen-sial, maka
−8i = 8eiπ
Namun perlu diingat bahwa bila sudut θ ditambah dengan 2nπ, makauntuk lebih lengkapnya dapat dinyatakan
−8i = 8ei(π+2nπ)
Selanjutnya
3√−8i =
(8ei(π+2nπ)
)1/3= 81/3ei(π+2nπ)/3 = 2
(cos
(π
3+
2nπ
3
)+ i sin
(π
3+
2nπ
3
))dengan nilai n = 0, 1, 2, 3, . . . maka akan diperoleh
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
32 Bilangan Kompleks
3√−8i =
{(1 +
i√
3
2
), (−1) ,
(1− i
√3
2
)}
Dengan mengambil bagian real atau bagian imajiner dari einθ, maka persa-maan tersebut dapat di atas digunakan untuk memperoleh ungkapan sin 2θ,cos 2θ, sin 3θ, cos 3θ dan sebagainya. Misalnya, untuk n = 3 maka diperoleh
ei3θ = (cos θ + i sin θ)3
cos 3θ + i sin 3θ = cos3 θ + 3i sin θ cos2 θ − 3 sin2 θ cos θ − i sin3 θ
= cos3 θ − 3 sin2 θ cos θ + i(3 sin θ cos2 θ − sin3 θ
)yang berarti
sin 3θ = =(ei3θ
)= 3 sin θ cos2 θ − sin3 θ
cos 3θ = <(ei3θ
)= cos3 θ − 3 sin2 θ cos θ
2.5 Fungsi Hiperbolik
Dengan menggunakan rumusan Euler, maka dapat pula diperoleh ungkapanyang lebih umum untuk bilangan kompleks z, yaitu
sin z =eiz − e−iz
2i
cos z =eiz + e−iz
2
(2.8)
Tinjau suatu bilangan kompleks yang murni imajiner z = iy, maka dapatdinyatakan
sin z = sin iy =ei(iy) − e−i(iy)
2i=e−y − ey
2i= i
ey − e−y
2
cos z = cos iy =ei(iy) + e−i(iy)
2=e−y + ey
2=ey + e−y
2
(2.9)
Terlihat bahwa nilai sinus dari suatu bilangan kompleks iy sama dengan i di-
kalikan suatu fungsi realey − e−y
2sedangkan nilai cosinus dari suatu bilangan
kompleks iy sama dengan suatu fungsi realey + e−y
2. Fungsi real tersebut
akan sering dijumpai dan diberi notasi khusus. Persamaan 2.8 memberikandefinisi tentang fungsi sinus hiperbolik (sinh) dan cosinus hiperbolik (cosh),yang secara umum dituliskan dalam bentuk
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
2.5 Fungsi Hiperbolik 33
sinh z =ez − e−z
2
cosh z =ez + e−z
2
(2.10)
Beberapa fungsi hiperbolik lainnya dapat diperoleh sebagaimana fungsi tri-gonometri biasa, yaitu
tanh z =sinh z
cosh z, coth z =
1
tanh z
sech z =1
cosh z, csch z =
1
sinh z
(2.11)
Dari persamaan 2.8 dapat juga dituliskan bahwa
sin iy = i sinh y
cos iy = cosh y(2.12)
Contoh 1
Tentukanlah bagian real dan imajiner dari cosh(ix)
Karena cosh z =ez + e−z
2maka
cosh(ix) =eix + e−ix
2=
1
2(cos(x) + i sin(x) + cos(x)− i sin(x))
= cos(x)
Dengan demikian<(cosh(ix)) = cosx
=(cosh(ix)) = 0
Contoh 2
Nyatakanlah tanh(1− iπ) dalam bentuk x+ iy
Karena tanh z =sinh z
cosh z, maka
tanh(1− iπ) =e1−iπ − e−1+iπ
e1−iπ + e−1+iπ=e(cosπ − i sinπ)− e−1(cosπ + i sinπ)
e(cosπ − i sinπ) + e−1(cosπ + i sinπ)
=e(−1)− e−1(−1)
e(−1) + e−1(−1)=−e2 + 1
−e2 − 1
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
34 Bilangan Kompleks
2.6 Pangkat dan Akar Bilangan Kompleks
Pada bagian terdahulu telah dijelaskan tentang pangkat dan akar dari bi-langan kompleks, yang maksudnya adalah pangkat atau akar real dari suatubilangan kompleks. Bagaimana halnya dengan pangkat atau akar kompleksdari suatu bilangan kompleks? Pada prinsipnya hal ini sama saja dengan yangdilakukan pada bilangan real. Dengan mengingat hubungan ln ab = b ln a danab = eb ln a, maka persoalan ini dapat diselesaikan dengan mudah.
Terlebih dahulu, tinjau logaritma dari bilangan kompleks. Misalkan suatubilangan kompleks z dan w yang hubungannya dinyatakan dengan z = ew
yang berarti w = ln z. Kemudian jika z = reiθ, maka diperoleh
w = ln z = ln(reiθ) = ln r + ln eiθ = ln r + iθ (2.13)
Persamaan tersebut memberikan hubungan antara suatu bilangan kompleksdengan bentuk logaritma.
Contoh 1
Hitunglah nilai ln(2i)
Karena2i = 2ei(π/2+2nπ)
Maka
ln(2i) = ln(2ei(π/2+2nπ)) = ln(2) + ln(ei(π/2+2nπ)) = ln 2 + i(π
2+ 2nπ)
Contoh 2
Hitunglah (2i)1+i
Karena ab = eb ln a, maka dapat dinyatakan bahwa (2i)1+i =e(1+i) ln(2i). Sedangkan telah diperoleh sebelumnya bahwa ln(2i) =ln(2) + i(π2 + 2nπ). Sehingga
e(1+i) ln(2i) =e(1+i)(ln(2)+i(π/2+2nπ)) = e(ln 2−π/2)+i(ln 2+(π/2+2nπ))
=e(ln 2−(π/2+2nπ)) [cos(ln 2 + (π/2 + 2nπ))
+i sin(ln 2 + (π/2 + 2nπ))]
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
2.7 Beberapa Penggunaan Bilangan Kompleks 35
Contoh 3
Hitunglah nilai cos(π + i ln 2)
Dapat dituliskan bahwa
cos(π + i ln 2) = cosπ cos(i ln 2)− sin(π) sin(i ln 2)
Sedangkan cos(iy) =ey + e−y
2dan sin(iy) = i
ey − e−y
2, maka
cos(i ln 2) =eln 2 + e− ln 2
2=
2 + 12
2=
5
4
sin(i ln 2) = ieln 2 − e− ln 2
2= i
2− 12
2= i
3
4
Dengan demikian
cos(π + i ln 2) = −5
4− 0 = −5
4
2.7 Beberapa Penggunaan Bilangan Kompleks
Berikut ini diberikan beberapa contoh penggunaan bilangan kompleks dalampersoalan fisika.
Kinematika
Sebagaimana sistem koordinat kartesian dua dimensi, bidang kompleks da-pat digunakan untuk mendeskripsikan gerak suatu benda. Jika z menyatakanposisi suatu benda, maka jika posisinya berubah tiap saat akan dapat dinya-takan bahwa z(t).
Misalkan posisi benda tiap saat dinyatakan dengan z = 5eiωt dengan ωsuatu konstanta. Tentukan laju, besar percepatan dan deskripsi gerak bendatersebut.
Laju gerak benda adalah
v =dz
dt=
d
dt5eiωt = 5iωeiωt = iωz
Percepatan gerak benda adalah
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
36 Bilangan Kompleks
a =dv
dt=
d
dt(5iωeiωt) = −5ω2eiωt = −ω2z
Terlihat dari percepatan gerak benda, bahwa percepatan gerak benda samadengan suatu konstanta dikalikan dengan posisi benda dan hal ini menyatak-an suatu gerak harmonik.
Analisa Rangkaian AC
C
L
R
V
VC
VL
VR
Gambar 2.3 Rangkaian RLC seri.
Dalam rangkaian arus bolak-balik dengan komponen R (resistor), L (in-duktor) dan C (kapasitor), sebagaimana ditunjukkan dalam gambar 2.3, mi-salnya arus total yang mengalir pada rangkaian dinyatakan dengan bentukfungsi harmonik I = I0 sinωt. Jika VR adalah beda tegangan pada kaki-kakiresistor R dan I adalah kuat arus yang mengalir pada hambatan tersebut,maka berdasarkan hukum Ohm dapat dinyatakan
VR = IR (2.14)
sedangkan hubungan antara tegangan pada induktor L dengan kuat arusdinyatakan dengan
VL = LdI
dt(2.15)
dan tegangan pada kapasitor dinyatakan dengan
dVCdt
=I
C=⇒ VC =
1
C
∫I dt (2.16)
Bentuk arus setiap saat tersebut bila dinyatakan dengan bilangan kompleksadalah I = I0 sinωt = I0e
iωt, maka
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
2.7 Beberapa Penggunaan Bilangan Kompleks 37
VR = RI = RI0eiωt = RI (2.17)
VL = LdI
dt= L
d(I0eiωt)
dt= iωLI0e
iωt = iωLI (2.18)
VC =1
C
∫I0e
iωt dt =1
iωCI0e
iωt =1
iωCI (2.19)
Tegangan total jika ketiga komponen tersusun seri adalah
V = VR + VL + VC = RI + iωLI +1
iωCI
=
[R+ i
(ωL− 1
ωC
)]I
= ZI
(2.20)
dengan Z = R + i
(ωL− 1
ωC
)dinamakan sebagai impedansi (kompleks)
pada rangkaian RLC seri.Hambatan efektif pada komponen induktor dinamakan reaktansi induktif
XL yaitu
XL =VLI
= iωL (2.21)
sedangkan hambatan efektif pada komponen kapasitor dinamakan reaktansikapasitif XC yaitu
XC =VCI
=1
iωC= − i
ωC(2.22)
Pada rangkaianRLC seri, impedansi (kompleks) dapat diperoleh dengan kon-sep yang sama dengan susunan seri tiga hambatan (resistor) yang masing-masing dinyatakan dengan R1 = R, R2 = XL = iωL dan R3 = XC =−i/(ωC) sehingga hambatan total (yaitu impedansi total) diperoleh sebagai-mana telah diungkapkan di atas yaitu
Z = R1 +R2 +R3
= R+XL +XC = R+ iωL− i 1
ωC
= R+ i
(ωL− 1
ωC
)Selanjutnya dapat diperoleh besar impedansi sebagaimana nilai absolut dariZ, yaitu
|Z|seri =√ZZ̄ =
√R2 +
(ωL− 1
ωC
)2
(2.23)
Suatu kondisi dengan Z sepenuhnya real (berarti bagian imajinernya samadengan nol) dinamakan kondisi resonansi.
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
38 Bilangan Kompleks
Demikian pula halnya jika ketiga komponen (resistor, induktor dan kapasi-tor) disusun paralel, maka impedansi totalnya dapat diperoleh sebagaimanasusunan paralel tiga buah hambatan yaitu R1 = R, R2 = XL = iωL danR3 = XC = −i/(ωC). Hambatan (impedansi) kompleks total pada susunanparalel adalah
1
Z=
1
R1+
1
R2+
1
R3
=1
R+
1
XL+
1
XC=
1
R+
1
iωL+
1
−i/(ωC)
=1
R− i 1
ωL+ iωC =
1
R+ i
(− 1
ωL+ ωC
)Z =
1
1
R+ i
(− 1
ωL+ ωC
)Sehingga diperoleh
|Z|paralel =√ZZ̄ =
√√√√√ 1(1
R
)2
+
(− 1
ωL+ ωC
)2 (2.24)
Contoh
Pada rangkaian yang terdiri dari hambatan R yang tersusun seri de-ngan induktor L kemudian keduanya diparalel dengan kapasitor Csebagaimana ditunjukkan dalam gambar berikut, tentukanlah impe-dansi rangkaian tersebut.
C
R L
Impedansi total rangkaian tersebut adalah
1
Ztotal=
1
Z1+
1
Z2=Z1 + Z2
Z1Z2=⇒ Ztotal =
Z1Z2
Z1 + Z2
dengan Z1 = R+ iωL dan Z2 = − i
ωC. Dengan demikian
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
2.7 Beberapa Penggunaan Bilangan Kompleks 39
Ztotal =
(R+ iωL)
(− i
ωC
)R+ i
(ωL− 1
ωC
)
=
− iR
ωC+L
C
R+ i
(ωL− 1
ωC
)R− i
(ωL− 1
ωC
)R− i
(ωL− 1
ωC
)
=
(R
ω2C2
)+ i
(− R
2
ωC− ω2L
C+
L
ωC2
)R2 +
(ωL− 1
ωC
)2
Optik/ Gelombang
Dalam persoalan optika seringkali gelombang cahaya direpresentasikan dalambentuk fungsi sinus (atau cosinus) dan sebagaimana telah dijelaskan sebelum-nya bahwa fungsi sinus dapat dituliskan dalam bentuk fungsi eksponensialkompleks. Misalnya suatu berkas cahaya dinyatakan dengan fungsi sin t danberkas yang lain memiliki beda fasa sebesar δ dibandingkan berkas sebelum-nya. Dengan kata lain berkas-berkas tersebut dapat dinyatakan sebagai fungsisin t, sin(t+δ), sin(t+2δ), sin(t+3δ), . . . dan seterusnya. Misalkan ingin dipe-roleh superposisi dari seluruh fungsi gelombang tersebut, maka hal ini akanmudah dilakukan dengan menggunakan representasi eksponensial komplekssebagai berikut.
Karena fungsi gelombang tersebut dinyatakan dalam bentuk fungsi sinus,dan fungsi sinus adalah bagian imajiner dari fungsi eksponensial komplekseit, maka artinya superposisi fungsi sinus tersebut dapat diperoleh denganmengambil bagian imajiner dari deret berikut
eit + ei(t+δ) + ei(t+2δ) + ei(t+3δ) + . . .
Deret tersebut dapat dituliskan dalam bentuk
eit + eiteiδ + eite2iδ + eite3iδ + . . . = eit(1 + eiδ + e2iδ + e3iδ + . . .
)yang berarti deret tersebut adalah berupa deret geometri dengan suku awaleit dan perbandingan antara suku yang berurutan (disebut sebagai rasio) sa-ma dengan eiδ. Telah diketahui sebelumnya (lihat kembali pembahasan padaBAB terdahulu) bahwa deret geometri yang suku awalnya a dan rasionya
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
40 Bilangan Kompleks
r mempunya jumlah bagian SN yang dinyatakan dengan SN =a(1− rN )
(1− r).
Dengan demikian jika terdapat n berkas gelombang maka jumlah bagiannyaadalah
Sn =eit(1− einδ)
1− eiδ
Selanjutnya dapat digunakan penyederhanaan berikut
1− einδ = einδ/2(e−inδ/2 − einδ/2
)= −einδ/2
(2i sin
nδ
2
)1− eiδ = eiδ/2
(e−iδ/2 − eiδ/2
)= −eiδ/2
(2i sin
δ
2
)Jadi diperoleh
Sn = eiteinδ/2
(sin nδ
2
)eiδ/2
(sin δ
2
) =eiteinδ/2
eiδ/2sin(nδ/2)
sin(δ/2)
= ei(t+(n−1)δ/2) sin(nδ/2)
sin(δ/2)
dan selanjutnya bila diambil bagian imajinernya maka akan diperoleh hasilsuperposisi dari fungsi sinus tersebut di atas, yaitu
sin
(t+
n− 1
2δ
) sin
(nδ
2
)sin
(δ
2
)Dari ketiga contoh penggunaan bilangan kompleks tersebut di atas (yaitu
persoalan mekanika, listrik dan optik/gelombang) terlihat bahwa representasibilangan kompleks dari fungsi harmonik (sinus atau cosinus) akan sangatmembantu menyederhanakan berbagai kesulitan matematik dalam operasialjabar fungsi harmonik.
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
Paket Soal Bab 2
1. Nyatakanlah bilangan kompleks berikut dalam bentuk x + iy dan jugabentuk polar reiθ.
a.3 + i
2 + ib. (1− i
√2)2 c. i4
2. Tentukanlah konjugat kompleks dan nilai mutlak masing-masing bilangankompleks berikut
a.2i− 1
i− 2b.
(1 + i
1− i
)5
c.z
z̄, dengan z = x+ iy
3. Selesaikanlah persamaan kompleks berikut untuk mendapatkan semua ni-lai yang mungkin dari variabel x dan y
a. (x+ iy)3 = −1 b.x+ iy
x− iy= −i c. |1− (x+ iy)| = x+ iy
4. Tentukanlah cakram konvergensi deret pangkat kompleks berikut
a. ez = 1 + z +z2
2!+z3
3!+ . . . b.
∞∑n=0
(z2
)n5. Hitunglah semua akar bilangan berikut ini
a. 5√
32 b. 3√−1 c. 3
√2i− 2
d. 5√i e. 8
√−1−i
√3
2f. 5√−1− i
6. Hitunglah nilai bilangan kompleks berikut (nyatakan dalam bentuk x+iy)a. ln(−e) b. i2/3 c. (−1)sin i
d. cos(2i ln i) e.(1−√
2i)i
f. iln i
7. Buktikanlah identitas fungsi hiperbolik berikut
a. sinh 2x = 2 sinhx coshx b. tanh z =tanhx+ i tan y
1 + i tanhx tan y
8. Tentukan impedansi total dari rangkaian arus bolak-balik yang terdiri darisusunan seri antara resistor R dan kapasitor C yang kemudian diparaleldengan induktor L.
41
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
42 Paket Soal Bab 2
9. Tentukan impedansi total dari rangkaian arus bolak-balik yang terdiri darisusunan paralel resistor R, kapasitor C, dan induktor L (rangkaian RLCparalel).
10. . . .
c©khbasar2015
caku
l fi2101
sem
120
15kh
basa
r
Recommended