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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA
(PPGFIS - UFAM)
Cálculo da Corrente Fotoeletrônica do Modelo de Anderson do Nível Ressonante
WEENDEL TRINDADE PEREIRA
Dissertação apresentada ao Departamento de Física da Universidade Federal do A-mazonas, como parte dos re-quisitos para a obtenção do Título de Mestre em Física
Orientador: Prof. Dr. JOSÉ WILSON MATIAS PINTO
MANAUS -- AM 2005
Livros Grátis
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONASS
INSITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUACÃO EM FÍSICA
(PPGFIS-UFAM)
Cálculo da Corrente Fotoeletrônica do Modelo de
Anderson do Nível Ressonante
WEENDEL TRINDADE PEREIRA
Orientador: Prof. Dr. JOSÉ WILSON MATIAS PINTO
MANAUS - AM 2005
MEMBROS DA BANCA EXAMINADORA DA DISSERTAÇÃO DE
MESTRADO DE Weendel Trindade Pereira APRES E NTADA AO DEPAR-
TAMENTO DE FÍSICA DO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS , DA
UNI VERS I DADE FEDERAL DO AMAZONAS, EM 13 DE De z e mb ro
DE 2005.
Banca Exami nadora
Prof. Dr. José Wilson Matias Pi nto ( DF/UFAM - AM)- Orient ador
Prof. Dr.Deni lson da Silva Borges (CMM - AM)- Membro
Pr o f . Dr . Hidembergue Ordozgoith da Frota (DF/UFAM - AM)
Este trabalho foi realizado com apoio financeiro da CAPES.
Agradecimentos
Agradeço a Deus o criador de tudo.
A minha mãe Maria Trindade e irmã Walcilene Trindade, pelo carinho e dedicação.
A minha esposa Thallytah L. Alves, pela paciência e carinho.
Ao meu orientador Prof. Dr. José Wilson Matias Pinto.
Aos professores da Pós-graduação, pelo apoio. Em particular Hidemberg Frota, Marta
Gusmão, Abraham Cohen, José Ricardo, Denilson Borges.
E aos professores da Graduação, pelo incentivo. Em particular José Maria Rodrigues,
Melquesedech Silva, Adelino Ribeiro, Haroldo Guerreiro e Domingos Anselmo.
Ao amigos da faculdade. Em especial Erickson Medeiros, Jarilson Nonato, Cristovão
e Marcos Luis, e a todos que direta e indiretamente participaram da minha vida univer-
sitária.
Sumário
Abstract vii
Resumo viii
I Introdução 1
1.1 Espectroscopia Fotoeletrônica de Raio-X (XPS) . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Compostos de Valência Flutuante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II Modelo de Anderson 10
IIITransformação do Grupo de Renormalização Numérico 23
3.1 Discretização da Banda de Condução . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Definição de uma Nova Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Truncamento do Hamiltoniano Discretizado . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 Diagonalização Iterativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
IVPontos Fixos 37
4.1 Diagonalização do Hamiltoniano de Condução . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 Diagonalização de Hamiltoniano HNA do Íon de Valência Flutuante . . . . 46
V Cálculo Analítico da Corrente de Fotoemissão no Modelo de Anderson
do Nível Ressonante (U = 0) com Blindagem 58
VIConclusões 71
i
A Número Médio de Ocupação hnfi do Nível Ressonate 73
Referências 78
ii
Lista de Figuras
1.1 Representação esquemática da espectroscopia fotoeletrônica de raio-X. A
amostra em questão é um composto de valência flutuante ( por exemplo o
SmS) tendo com hospedeiro um metal não magnético como o cobre. . . . 2
1.2 Um fóton que entra causa a saída do fotoelétron cuja energia de ligação é
dada por EL = Energia do Raio-X - Energia Cinética do Fotoelétron. . . 2
1.3 Espectro de XPS em função da energia de ligação para o Pd. . . . . . . . 3
1.4 Densidade da banda de condução em T = 0. A banda se comporta como
uma de elétrons livres até o nível de Fermi EF , quando ocorre um grande
aumento na densidade evidenciada pelo pico devido presença dos elétrons
f mais pesados, ap ós o que retorna a seu comportamento incial. Esta
propriedade é usada para definir composto de valência flutuante. . . . . . 5
1.5 Medida do espectro de fotoemissão para a liga de valência misturada SmS
[5], mostra dois picos distintos; um associado à transição 4f6 → 4f5 (Sm2+
) e o outro à transição 4f5 → 4f4 (Sm3+). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Estados do Hamiltoniano de Anderson quando Hcf não está atuando. . . 13
iii
2.2 Esquema do modelo de Anderson para o caso de elétrons de condução
acoplados com os elétrons de um orbital iônico através da hibridização Γ
para 2εf + U < εf < 0 com U > 0. na figura (a) estado fundamental cor-
repondente o orbital duplamente e (b) correspondente uma configuração
excitada na qual o orbital encontra-se unitariamente ocupado. O acopla-
mento do íon com a banda de condução permite transições entre os estados
(a) e (b) com freqüência Γ = πρV 2, onde ρ é densidade de estados no nível
de Fermi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Número médio de ocupação hnfi do orbital de valência flutuante para ocaso ressonante (U = 0) e diversos valores de blindagem G. Como pode
ser observado a medida que G > 0 aumenta diminui a hibridização entre
o orbital f e banda de condução de forma que para G À Γ o orbital está
desacoplado da banda de condução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Forma da banda de condução que esta se considerando no modelo de An-
derson. (a) Uma banda esférica em torno do nível de Fermi com um corte
na energia D, (b) energia em função do momento para elétrons livres não
interagentes, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1 (a) Discretização logarítmica da banda de condução em função do parâ-
metro de discretização Λ > 0 e do parâmetro contínuo z. (b) Invariancia
da banda de condução, nas proximidades do nível de Fermi εF = 0, para
uma dilatação de escala de energia de Λ2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.1 Diagrama esquemático da fotoemissão. Quando o raio-X atinge o estado
fundamental, o qual está duplamente ocupado, um elétron é lançado no
vácuo e elétron restante fica num estado de energia mais alta. . . . . . . 59
iv
5.2 Corrente σ (ε) em função de ε para εf = −0.10, Γ = 0.01 e alguns valoresdo potencial espalhador G. A medida que G aumenta ocorre uma variação
na posição do pico seguida de uma redução da largura diminui e um au-
mento da altura do mesmo. No limite G→∞ a corrente σ (ε) tente para
um linha (delta de Dirac) centrada ε = |εf |, ou seja um orbital muito bemlocalizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
v
Lista de Tabelas
IV.1 Autovalores de HNC para N ímpar e Λ = 3 e z = 0.5. . . . . . . . . . . . 40
IV.2 Autovalores de HNC para N ímpar e Λ = 3 e z = 1.0. . . . . . . . . . . . 40
IV.3 Autovalores de HNC para N par e Λ = 3 e z = 0.5. . . . . . . . . . . . . . 40
IV.4 Autovalores de HNC para N par e Λ = 3 e z = 1.0. . . . . . . . . . . . . . 41
IV.5 Autovalores de HNA para N ímpar, Λ = 3, εf = −0.1D, Γ = 0.01D e
G1 = 0.5D. Todos os autovalores são elevados com relação ao caso G1 = 0
e nas proximidades do nível de Fermi também tendem para pontos fixos
quando N aumenta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
IV.6 Autovalores de HNA para N ímpar, Λ = 3, εf = −0.1D, Γ = 0.01D e
G1 = −0.5D. Todos os autovalores são rebaixados com relação ao caso
G1 = 0 e nas proximidades do nível de Fermi também tendem para pontos
fixos quando N aumenta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
vi
AbstractIn this dissertation there was calculated the photoemission current of an impurity
with fluctuation of valence in a host metal using both the Anderson model of resonant
level (U = 0) with screening G and the numerical renormalization group method.
The Anderson model is composed by the conduction band, representing the host
metal, by the bound energy εf of the orbital of the valence fluctuation impurity, by
the Coulomb interaction G (the screening) between the electrons of this orbital and the
conduction electrons and by the hybridization of that orbital with the conduction band,
in our calculation the Coulomb interaction of the electrons was disregarded inside the
orbital. For Γ = 0 and G = 0 the orbital can have the next configurations: orbital empty
nf = 0 with energy 0, orbital singly occupied nf = 1 with energy εf (spin up or down) or
orbital doubly occupied nf = 2 with energy 2εf . It were considered also what |εf | À Γ
in such a way that it is possible to use the approximation nf ≈ < nf >, where < nf >it is a mean occupation number of the orbital of the impurity.
For G = 0 the photoemission current σ (ε) presents a peak around ε0 ≈ |εf || andwidth of the order of Γ, when G 6= 0 increases that there takes place a reduction of
the width of the peak and an increase of the height of the same. The increase of G
also does so that the position of the peak takes place in ε0 > |εf |, until the value limitsG ≈ D/π < nf >, where D the width of the conduction band from the host metal, for
which ε0 = εmax ≈ |εf − Γ/2|. In such a way that for G ≈ D/π < nf > the peak in
σ (ε) it starts to take place in ε0 < |εf − Γ/2|. In the limit G → ∞ the current σ (ε) is
a Dirac’s delta (line) centered in ε = |εf |. Since σ (ε) it must obey to Friedel sum rule.
one has then a very well-located orbital.
The reduction of the width of the peak with the increase of G is a competitive effect
between G and Γ, so that for GÀ Γ the orbital is completely uncoupled the conduction
band. So, in the ground state, the orbital is doubly occupied if εf < 0 and empty
εf > 0. Taking into account the potential G 6= 0 between the f-electrons and conductionelectrons, the current of photoemission σ (ε) is mapped onto the photoemission current
of the model with G = 0, and the renormalized parameters εfG and ΓG.vii
ResumoNesta dissertação calculou-se analíticamente a corrente de fotoemissão de uma im-
pureza com flutuação de valência num metal hospedeiro utilizando o modelo de Anderson
do nível ressonante com blindagem e a técnica do grupo de renormalização numérico.
O modelo é composto pela banda de condução, representando o metal hospedeiro,
pela energia de ligação εf do orbital da impureza de valência flutuante, pela interação de
Coulomb G entre os elétrons deste orbital e os elétrons de condução e pela hibridização
Γ daquele orbital com a banda de condução, no nosso cálculo não foi considerada a
interação de Coulomb entre os elétrons dentro do orbital. Para Γ = 0 e G = 0 o orbital
pode ter as seguintes configurações: orbital vazio nf = 0 com energia εf = 0, orbital
unitariamente ocupado nf = 1 com energia εf (spin para cima ou para baixo) ou orbital
duplamente ocupado nf = 2 com energia 2εf . Considerou-se também que |εf | À Γ de
forma que pode-se utilizar aproximação nf ≈ hnfi, onde hnfi é a ocupação média doorbital da impureza
Para G = 0 a corrente de fotoemissão σ (ε) apresenta um pico em torno de ε0 ≈ |εf | elargura da ordem de Γ, a medida G 6= 0 aumenta ocorre uma redução da largura do picoe um aumento da altura do mesmo. O aumento de G também faz com que a posição do
pico ocorra em ε0 > |εf |, até que o valor limite G ≈ D/π hnfi, onde D a meia largura
da banda de condução do metal hospedeiro, para qual ε0 = εmax ≈ |εf − Γ/2|. De formaque para G > D/π hnfi o pico em σ (ε)passa a ocorrer em ε0 < |εf − Γ/2|. No limiteG → ∞ a corrente σ (ε) é uma delta de Dirac (linha) centrada em ε = |εf |. Visto queσ (ε) deve obedecer a regra de soma de Friedel., tem-se um orbital muito bem localizado.
A redução da largura do pico com o aumento de G indica a presença de um efeito com-
petitivo entre G e Γ, de modo que para GÀ Γ o orbital está completamente desacoplado
da banda de condução. Assim , no estado fundamental, o orbital está duplamente ocu-
pado se εf < 0 e vazio se εf > 0. Considerando-se o potencial G 6= 0, corrente de
fotoemissão σ (ε) é mapeada na corrente σ (ε) do modelo com G = 0, com os parâmetros
renormalizados εfG e ΓG.
viii
Capítulo I
Introdução
Nesta dissertação de mestrado foi calculado de forma analítica a corrente fotoeletrônica
para baixas temperaturas de um composto de valência flutuante utilizando para tal o
modelo de Anderson [1] e a técnica do Grupo de Renormalização Numérico [2]. A seguir
vamos fazer um pequeno resumo sobre espectroscopia fotoeletrônica de Raio-X (XPS) e
compostos de valência flutuante.
1.1 Espectroscopia Fotoeletrônica de Raio-X (XPS)
A espectroscopia fotoeletrônica de Raio-X consiste no bombardeio de uma amostra
com raios-X monocromáticos de energia ε = ~ω em um alto vácuo, ver Fig.(1.1). Alguns
dos elétrons em uma região mais próxima a superfície da amostra serão ejetados da
mesma. Em seguida a energia cinética destes elétrons é medida num espectrômetro.
A energia cedida pelo raio-X é usualmente suficiente para ejetar não apenas os elétrons
de valência mas também os elétrons de nível profundo, ver Fig.(1.2). Como a energia de
elétrons de nível profundo é muito específica para o elemento ao qual o átomo pertence,
o espectro fornece as informações sobre a composição fundamental da região próxima a
superfície da amostra.
Utilizando-se raios-X monocromáticos, a energia com a qual um fóton colide com um
1
Figura 1.1: Representação esquemática da espectroscopia fotoeletrônica de raio-X. Aamostra em questão é um composto de valência flutuante ( por exemplo o SmS) tendocom hospedeiro um metal não magnético como o cobre.
elétron é uma quantidade conhecida, portanto a energia de ligação do elétron ejetado
pode ser determinada através da expressão
EL = ε−KE − eV , (1.1)
onde ε é a energia cedida pelo raio-X (fóton), KE é a energia cinética do elétron ejetado
e eV é a função trabalho do espectrômetro (4-5 eV).
Figura 1.2: Um fóton que entra causa a saída do fotoelétron cuja energia de ligação édada por EL = Energia do Raio-X - Energia Cinética do Fotoelétron.
2
A Fig.(1.3) a seguir mostra um espectro de XPS para o Pd em função da energia de
ligação.
Figura 1.3: Espectro de XPS em função da energia de ligação para o Pd.
Num modelo de um elétron, todos fotoelétrons excitados pela mesma freqüência ω
terão a mesma energia cinética KE, uma medida da distribuição das energias cinéticas
mostrará uma função delta neste valor da energia cinética.
Entre as vantagens da utilização da XPS cita-se a determinação do estado de valência
de átomos próximos a superfície considerando-se que a amostra da Fig.(1.1) é um com-
posto de valência flutuante, como por exemplo o SmS, tendo como hospedeiro um metal
não magnético. A seguir descreveremos o comportamento destes sistemas anômalos.
1.2 Compostos de Valência Flutuante
Os compostos de valência flutuante ou valência intermediária são em sua maioria
formados por elementos de terras-raras ao início, ao fim e ao meio da série de terras-
raras, para os quais níveis f estão bem próximos do nível de Fermi. Este compostos
podem ter a forma de calcogêneos de terras-raras como, por exemplo, SmS, YbTe, EuS,
3
YbS, TmTe, TmSe; elementos individuais como Ce e alguns de seus compostos como
o CePd3 e algumas ligas como Ce(Pd1−xAgx)3 e SmGd1−xS. Também são denominados
compostos de valência misturada pois, em alguns compostos de terras-raras, os níveis
atômicos f e a banda sd coexistem ao nível de Fermi. Visto que em sistemas de “valência
flutuante”, “valência misturada” ou “valência intermediária”, os níveis f estão no nível de
Fermi, tem-se então uma banda f estreita. Estes compostos são metálicos no sentido de
que a condutividade de corrente contínua (d.c.). tem um valor característico dos metais
e possuem um número substancial de elétrons livres.
Existem diversos compostos de valência intermediária do Sm onde os níveis f, associ-
ados com as excitações 4fn → 4fn−1, estão no nível de Fermi.
O primeiro experimento a revelar estados 4f não localizados foram medidas de pressão
sobre o composto SmS. O samário (Sm) tem na sua estrutura mais externa a configuração
4f65d06s2 e o enxofre (S) 3s23p4. À pressão normal o SmS é um semicondutor de cor preta,
estrutura sal de rocha da forma Sm2+S2−, com os íons Sm2+ no estado fundamental
multipleto 7F0. A pressão de 6,5 Kbar ocorre uma transição de fase de primeira ordem
para a fase metálica seguida de uma mudança da cor preta para a cor dourada com um
decréscimo no volume de 13%. No Sm o último nível f ocupado não está muito abaixo do
nível d. Nestes compostos os níveis d alargam-se numa banda e hibridizam-se com a banda
6s, porém os níveis f relativamente não são afetados mantendo suas posições absolutas.
Sob pressão, a banda vazia 5d6s, acima do nível de Fermi, alarga-se, devido ao aumento
da superposição, até que a base da banda fique abaixo da excitação 4f6 → 4f5 e alguns
dos elétrons f saltem para a banda de condução. A base da banda d com respeito aos
níveis f também pode ser movida por dopagem apropriada ou variando-se a temperatura.
Medidas experimentais (estrutura da rede, freqüência de plasmon e Mössbauer) indicam
que menos de um elétron por sítio Sm entra na banda 5d6s. Em média o Sm está no
estado iônico Sm∼2.8. Os níveis f hibridizam com o nível d sobre um átomo vizinho, pois
não pode ser sobre um mesmo átomo uma vez que a configuração f6 tem momento total
nulo. A hibridização f-sd dos níveis f é feita com um dado número de elétrons que leva
4
efetivamente a uma banda f hibridizada cuja largura é estimada entre 10−2 e 10−1 eV [3].
Assim, na densidade de estados, sobre a base plana s-d, temos um pico estreito atribuído
ao caráter atômico f em uma representação tight binding da banda. Próximo a esse pico
as funções de onda são combinações lineares de funções de onda f e d
Ψ−→k= a−→
kϕd + b
−→k ϕf ,
com a proporção de a−→kpara b−→
kvariando rapidamente próxima ao pico. Uma vez que esse
pico vem do nível f6 o qual acomoda um elétron por átomo, pois a energia de correlação
dá níveis f não degenerados, a densidade integrada de estados de caráter f no composto é
também de um elétron por átomo. Portanto em T = 0 o nível de Fermi é fixado no pico
f conforme mostra a Fig.(1.4). Essa é uma propriedade fundamental desses materiais, e
pode ser usada para definir compostos de valência flutuante.
ε
ρ(ε)
EF
Figura 1.4: Densidade da banda de condução em T = 0. A banda se comporta comouma de elétrons livres até o nível de Fermi EF , quando ocorre um grande aumento nadensidade evidenciada pelo pico devido presença dos elétrons f mais pesados, ap ós o queretorna a seu comportamento incial. Esta propriedade é usada para definir composto devalência flutuante.
A função de onda Ψ−→krepresenta uma combinação linear dos estados do orbital
5
atômico o qual é parcialmente f5d e parcialmente f6, de modo que o elétron d está re-
lativamente livre e não é tão afetado pela troca atômica local e correlações, como os
elétrons f. Assim, poderíamos dizer que a função de onda Ψ−→krepresenta uma combi-
nação linear de estados de valência 3+ e 2+ sobre o íon de terra-rara, não significando
necessariamente itinerância dos elétrons f, pois existem muitos compostos de valência
misturada com íons em diferentes estados estáveis de valência. Estes estão usualmente
ordenados, porém o sistema pode ser uma liga aleatória de Sm2+ (4f6) e Sm3+ (4f5) em
diferentes sítios da rede. Medidas de Mössbauer para uma cadeia estática dos dois tipos
de íons fornecem duas linhas distintas. Medidas sobre o SmS na fase metálica apresenta
uma linha intermediária entre aquelas para os dois tipos de íons. Isto implica que os
estados iônicos têm um tempo de vida muito menor do que o tempo de observação de
um experimento Mössbauer (menos de 10−9s), dai o termo valência intermediária. Para
diferenciar esta situação em relação a de uma cadeia estática de íons Sm2+ e Sm3+, fazia-
se distinção entre valência misturada (cadeia estática) e valência intermediária (elétrons
4f itinerantes). Porém, os termos valência misturada, valência intermediária e valência
flutuante atualmente são usados para descrever a mesma situação.
O SmSmetálico é paramagnético a baixas temperaturas, coeficiente de calor específico
γ = C/T ∼ 145 mJ/molK2, que é cerca de 15 vezes maior do que metais normais deterras-raras, susceptibilidade a altas temperaturas tipo Curie-Weiss e momento magnético
quase que intermediário entre o do Sm2+ (7F0, momento zero) e Sm3+ (6H5/2, g = 2/7,
j = 5/2). Este estado intermediário pode também ser induzido por ligamento, por
exemplo, com o Th como no Sm1-xThxS, o qual está na fase metálica para x > 0.26.
Experimentos de fotoemissão sobre este material mostraram claramente excitações f6 →f5do estado Sm2+, próximas ao nível de Fermi, e excitações mais fracas f5 →f4 do Sm3+,bem abaixo do nível de Fermi ver Fig.(1.5).
O estado de valência intermediária ou misturada existe em muitos compostos mesmo
a pressões e temperaturas normais. Os íons de terras-raras envolvidos são aqueles que
existem em mais de um estado de valência tais como Sm, Ce e Yb e em menor extensão
6
Figura 1.5: Medida do espectro de fotoemissão para a liga de valência misturada SmS[5], mostra dois picos distintos; um associado à transição 4f6 → 4f5 (Sm2+ ) e o outro àtransição 4f5 → 4f4 (Sm3+).
Eu e Tm. Exemplos destes compostos são SmB6, CePd3, CeSn3, YbInAu e EuCu2Si2. A
característica principal destes compostos é que eles permanecem paramagnéticos a tem-
peraturas muito baixas, em contraste a muitos materiais de terras-raras com momentos
localizados, porém tendo susceptibilidade magnética e calor específico elevados. Já as
propriedades elétricas a baixas temperaturas são variáveis. Muitos delas são as mes-
mas dos metais a temperaturas baixas, no entanto existem sistemas que aparentam ser
isolantes em T = 0, como a SmB6 no qual a resistividade aumenta significativamente a
baixas temperaturas. Medidas de espectroscopia sustentam a hipótese de que o SmB6
é um isolante tendo um pequeno “gap” no espectro de excitação de baixa energia. O
7
composto TmSe, identificado como de valência intermediária é diferente, pois ordena an-
tiferromagneticamente abaixo de 32 K. Esta diferença poderia ser devido ao fato de que
os mais baixos multipletos do Tm2+ e Tm3+ carregam um momento.
Existem evidências, a partir de medidas de Haas-van Alphen, de que o estado metálico
dos compostos de valência misturada em baixas temperaturas é um líquido de Fermi. A
primeira medida a mostrar isto foi a do composto CeSn3 [4]. As massas efetivas obser-
vadas, m∗/m ∼ 3.3− 6.0, indicam estados relativamente mais baixos correspondentes a
estados tipo f no nível de Fermi.
Os materiais de valência intermediária usualmente não revelam comportamento elé-
tron 4f itinerante. A fraca dependência da temperatura nas propriedades eletrônicas a
temperaturas baixas, a falta de ordem magnética e o espectro de espalhamento quasi-
elástico por nêutron, excetuando-se o TmSe, indicam que não existem fortes renormali-
zações de muitos corpos neste regime resultante das fortes interações de Coulomb dentro
da camada f. O tamanho do íon de terra rara depende do número de elétrons f. Quando
um elétron é removido da camada 4f as camadas 5s e 5p contraem-se devido à redução
da blindagem do núcleo pelos elétrons f, fazendo com que o íon sofra uma redução de
volume de aproximadamente 15%, levando a um forte acoplamento à rede. O acoplamento
dos estados f ao volume iônico também afeta a superposição dos estados eletrônicos. Sob
pressão os elétrons f entram na banda de condução, a rede se contrai e ocorre um aumento
na superposição dos estados eletrônicos, acentuando a hibridização e a largura da banda.
Isto pode resultar numa realimentação positiva na ocupação dos estados f. As bandas
de condução alargadas podem acomodar muitos dos elétrons f deslocados. A interação
de Coulomb Ufc entre os elétrons f e os de condução, explicitamente omitida em muitos
modelos, pode atuar de forma similar. O potencial atrativo efetivo induzido na criação
do buraco f atuando sobre os elétrons de condução puxa para baixo alguns dos níveis dos
elétrons de condução, devido ao espalhamento ressonante no sítio do íon. Isto permite
acomodar o elétron (f) de condução extra, induzindo um pico estreito na densidade de
estados da banda de condução.
8
A correspondência entre a teoria quântica e a fenomenologia experimental é feita
através da regra de ouro de Fermi:
I (ε) ∝W ,
onde W é a probabilidade por unidade de tempo de emissão de um elétron, com uma
dada energia, induzida pela interação com o campo eletromagnético.
W =2π
XF
|hF |Hx |Ii|2 δ (EF −EI − ε) , (1.2)
ondeHx = Hx (t) é perturbação produzida pela interação com o raio-X, ε é energia cedida
pelo raio-X, |Ii é o estado inicial com energia EI , que é o estado fundamental com nf > 0elétrons no orbital f do composto de valência flutuante e o nível b vazio e |F i o estadofinal com energia EF , um auto estado excitado com o nível b ocupado por um elétron e
o orbital f da impureza com nf − 1 elétrons.No capítulo 2 vamos falar sobre o modelo utilizado neste projeto no caso o modelo
de Anderson de uma impureza com blindagem onde será descrito os elementos a compõe
o Hamiltoniano a ser diagonalizado, no capitulo 3 o Hamiltoniano obtido anteriormente
será escrito numa base apropriada para aplicação do método do grupo de renomalização
numérico e na qual pode-se especificar todas as escalas de energia presente no problema ,
no capitulo 4 serão descritos alguns pontos fixos do modelo advindos da aplicação da téc-
nica do capítulo 3, no capítulo 5 a corrente de fotoemissão será calculada analiticamente
no capítulo 6 tem-se as conclusões.
9
Capítulo II
Modelo de Anderson
A existência de momentos magnéticos em metais não magnéticos contendo impurezas
com camadas d ou f incompletas era bastante conhecida experimentalmente e até o início
da década de 60 não existia ainda uma análise profunda sobre seu significado ou condições
para a sua ocorrência. Em 1961 P. W. Anderson [1] apresentou a primeira descrição
formal de momentos magnéticos localizados em metais, através de um modelo simples
que leva em conta a interação coulombiana entre os elétrons de spins opostos ocupando
o mesmo orbital da impureza. Quando essa interação é forte dificulta a dupla ocupação
do orbital, possibilitando a ocorrência de momento magnético líquido na impureza.
O modelo de Anderson se presta para representar impurezas magnéticas diluídas em
metais, pois contém os componentes principais para descrever uma impureza magnética
em meio metálico:
(1) Banda de condução do metal hospedeiro, descrita pelo Hamiltoniano
Hc =X−→k ,µ
ε−→kc†−→k µc−→k µ, (2.1)
a qual não tem estrutura (tipo gás de elétrons não interagentes), isotrópica (ε−→k= εk) e
com uma densidade de estados constante.
(2) Um orbital localizado (magnético), representando a impureza, descrito pelo Hamil-
10
toniano
Hf =Xµ
εfc†fµcfµ + Uc
†f↑cf↑c
†f↓cf↓, (2.2)
onde U é uma energia de repulsão tipo Coulomb dentro do orbital que desfavorece a
ocupação dupla do mesmo. O caráter magnético do orbital é obtido escolhendo-se εf < 0,
porém εf+U > 0, de modo que seja mais energicamente favorável se ter apenas um elétron
no orbital localizado.
(3) Um mecanismo de desmagnetização, descrito pelo Hamiltoniano
Hcf =X−→k ,µ
V−→k f
³c†−→kcfµ + c
†fµc−→k
´, (2.3)
o que permite os elétrons saltarem do orbital para a banda de condução e desta para
o orbital. Desde que o orbital da impureza é admitido ser não degenerado (tipo s),
é necessário admitir espalhamento tipo ondas-s para preservar a invariança rotacional.
Assim V−→k fdeve depender apenas da energia, em geral utiliza-se um valor constante V .
(4) Um termo devido ao potencial espalhador entre o orbital f do íon de valência
flutuante e a banda de condução dado por
HG = GX
−→k ,−→k0 ,µ,µ0
c†fµcfµc†−→k µ0c−→k0µ0, (2.4)
onde G é a interação de Coulomb entre a banda de condução e o orbital f do íon de
Anderson. Esse potencial é responsável pelo espalhamento do elétrons da banda de
condução no sítio do íon de Anderson.
Assim o Hamiltoniano de Anderson não perturbado (sem se considerar a interação do
orbital com o raio-X) é dado por,
HA = Hc +Hf +Hcf +HG. (2.5)
11
Um dos aspectos não levado em conta na descrição anterior é a de que um átomo
possui degenerescência de orbital de um nível d (para metais de transição) ou de um
nível f (para impurezas de terras raras) e estes níveis estão sujeitos a separações devido
ao campo cristalino dentro do metal.
O que foi admitido no modelo de Anderson é que o Hamiltoniano Hc está restrito a
uma estreita banda esférica em torno do nível de Fermi e imaginar o estado localizado
como em grande parte composto de estados de momentos (energias) altos fora desta
banda.
A Fig.(2.1) a seguir é uma possível descrição dos estados de HA quando V não está
atuando,os estados de HA são o produto direto dos estados do orbital localizado e da
banda de condução. Com a banda de condução no seu estado fundamental (mar de Fermi
cheio), o orbital da impureza pode está vazio (nf = 0), ocupado por um elétron (nf = 1)
ou completamente cheio (nf = 2). Estes estados estão representados por linhas mais
grossas na figura. Para cada uma destas configurações de orbital da impureza a banda de
condução pode também está em qualquer de seus estados contínuos excitados de muitos
corpos, representado por linhas finas na referida figura. Quando V está atuando estes
estados não podem mais serem distinguidos, resultando no espectro de muitos corpos
complicado.
A intensidade da mistura, também chamada de freqüência ou largura do orbital iônico
devido a hibridização Γ é obtida a partir da utilização da regra de ouro de Fermi
Γ = πXF
|hF |Hcf |Ii|2 δ (EF −EI) ,
onde Hcf é dado pela Eq.(2.3). Estamos calculando a probabilidade de transição por
unidade de tempo, induzida por uma perturbação independente do tempo, de um estado
estacionário, não perturbado, inicial para estados estacionários finais, também não per-
turbados, que fazem parte de um espectro contínuo ou “quase-contínuo”, no sentido de
que a separação entre diferentes estados finais é pequena na escala /τ , sendo τ = 1/Γ a
escala de tempo em que se dá a transição. Corresponde a soma de todas as probabilidades
12
nf = 0
n f = 1
-ε f
ε f + UH cf
Figura 2.1: Estados do Hamiltoniano de Anderson quando Hcf não está atuando.
de transição para cada um dos níveis do conjunto relevante de estados finas |F i, assimem primeira ordem da teoria de perturbações Γ é da forma
Γ = π |V |2 ρ, (2.6)
onde ρ é a densidade de estados da banda de condução suposta constante. Somente
quando Γ é pequeno comparado as separações entre vários subespaços (Γ << |εf |2 , U) aFig.(2.1) tem algum significado. A densidade de estados da banda de condução dada por
ρ (ε) =X−→k
δ¡ε− ε−→
k
¢,
com
13
0Z−D
ρ (ε) dε = 1,
onde as energias ε estão medidas em relação ao nível de Fermi (EF = 0) para ρ (ε)
constante (igual a seu valor no nível de Fermi) tem-se que ρ (ε) = 1/D.
A atuação de Γ pode é mostrada esquematicamente na Fig.(2.2) seguir. Como pode
nf = 1
nf = 0
nf = 2
l εf l
2εf + U
+ D
- D
0
εkεk
0
- D
+ D
2εf + U
l εf l
nf = 2
nf = 0
nf = 1Γ
(b)(a)
Figura 2.2: Esquema do modelo de Anderson para o caso de elétrons de condução acopla-dos com os elétrons de um orbital iônico através da hibridização Γ para 2εf +U < εf < 0com U > 0. na figura (a) estado fundamental correpondente o orbital duplamente e (b)correspondente uma configuração excitada na qual o orbital encontra-se unitariamenteocupado. O acoplamento do íon com a banda de condução permite transições entre osestados (a) e (b) com freqüência Γ = πρV 2, onde ρ é densidade de estados no nível deFermi.
ser observado no caso de V → 0 orbital está desacoplado da banda de condução tendo
ocupação dupla (nf = 2). Na figura tem-se duas configurações, correspondendo ao orbital
duplamente ocupado (a) e unitariamente ocupado (b). Para ∆ = 2εf + U < 0, o estado
fundamental (a) está duplamente ocupado, já na configuração excitada (b) o orbital está
unitariamente. No caso em que V > 0, o acoplamento do íon com a banda permite
transições entre os estados (a) e (b) com freqüência Γ.
Um caso interessante a considerar é o caso de U = 0 (nível ressonante) e |εf | À Γ para
qual nf =Xµ
c†fµcfµ ' hnfi na Eq.(2.5) que apesar de ser um caso muito particular pode-se extrair do mesmo algumas análises qualitativa do problema. Neste caso particular o
14
Hamiltoniano de Anderson é da forma
HA =X−→k ,µ
ε−→kc†−→k µc−→k µ+Xµ
εfc†fµcfµ +
X−→k ,µ
V³c†−→kcfµ + c
†fµc−→k
´+G hnfi
X−→k ,−→k0 ,µ
c†−→k µc−→k0µ,
o qual pode se resolvido analiticamente a partir do qual obtem-se a equação transcen-
dental para o número médio de ocupação hnfi do orbital do íon de valência flutuante,ver Apêndice A,
hnfi = 1− 2πarctg
hεfΓ
¡1 + π2G2 hnfi2
¢− πG hnfii, (2.7)
onde Γ = πρV 2. O gráfico para diferentes valores de G é dado na Fig.(2.3) a seguir
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5εf / Γ
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
<nf>
G = 0.00G = 0.05G = 0.10G= 0.30G >> Γ
Figura 2.3: Número médio de ocupação hnfi do orbital de valência flutuante para o casoressonante (U = 0) e diversos valores de blindagem G. Como pode ser observado amedida que G > 0 aumenta diminui a hibridização entre o orbital f e banda de conduçãode forma que para GÀ Γ o orbital está desacoplado da banda de condução.
A partir da Fig.(2.3) tem-se que a medida que G aumenta o orbital f fica cada vez
15
menos acoplado a banda de condução e no limite GÀ Γ o orbital f está desacoplado da
banda. No caso |εf | À Γ é razoável considerar hnfi ' 2 o que será considerado no nossocálculo da corrente de fotoemissão.
A partir da Fig.(2.3) podemos observar os casos limite para G = 0: quando (εf/Γ)→−∞ com εf < 0 e |εf | >> Γ o orbital está praticamente desacoplado da banda de
condução no estado de mais baixa energia duplamente ocupado; quando (εf/Γ) → 0 de
forma que |εf | << Γ o orbital está fortemente acoplado a banda de condução de forma
que a banda retira um dos elétrons do orbital deixando-o com estado fundamental uni-
tariamente ocupado, quando (εf/Γ) → ∞ com εf > 0 o orbital está desacoplado da
banda de condução porém o estado de orbital duplamente ocupado é energeticamente
muito desfavorável portanto o estado fundamental do orbital é o correspondente ao de
orbital vazio. Entre estes casos limites existem a região (εf/Γ) ∼ ±1 na qual a hib-ridização e a energia de ligação do orbital são comparáveis fazendo com que o estado
fundamental seja correspondente a mistura de duas configurações, as de orbital dupla-
mente e unitariamente para (εf/Γ) & 1 resultando num número de ocupação fracionárioentre um e dois com Γ > 0 e as de orbital unitariamente e vazio resultando num número
de ocupação entre um e zero. É para esta relação de parâmetro que o modelo reproduz o
fenômeno da valência flutuante. A medida G > 0 aumenta o sistema tente para o regime
do orbital vazio no caso (εf/Γ) > 0 ou para regime do orbital duplamente ocupado no
caso (εf/Γ) < 0, o potencial G compete com a hibridização Γ no sentido de desacoplar
o orbital da banda de condução dificultando a ocorrência de flutuação de valência.
Retornando a expressão do Hamiltoniano de Anderson
HA =X−→k ,µ
ε−→kc†−→k µc−→k µ+Xµ
εfc†fµcfµ + Uc
†f↑cf↑c
†f↓cf↓ + V
X−→k ,µ
³c†−→k µcfµ + c
†fµc−→k µ
´+G
X−→k ,−→k0 ,µ,µ0
c†fµcfµc†−→k µ0c−→k0µ0,
(2.8)
a banda de condução está centrado na energia de Fermi e tem um densidade de estados
16
εk
kF
EF
EF + D
EF - D
kF< kF>
Kx
EF
EF + D
EF - D
Kz
Ky
Kx
(b)
(a)
Figura 2.4: Forma da banda de condução que esta se considerando no modelo de Ander-son. (a) Uma banda esférica em torno do nível de Fermi com um corte na energia D, (b)energia em função do momento para elétrons livres não interagentes,
constante igual a densidade de energia no nível de Fermi. Considera-se uma banda de
condução esférica em torno da energia de Fermi, isto é, EF±D ∼ EF conforme a Fig.(2.4)a seguir.
No caso de elétrons livres e não interagentes a energia é da forma
εk =2k2
2m,
onde é a constante de Planck dividido por 2π, k é o número de onda da partícula e m
é a massa da partícula. Expandindo-se εk em torno de EF (energia de Fermi) tem-se que
17
εk = EF +kFm (k − kF ) ,
onde kF é o momento no nível de Fermi. A quantidade vF =kFm
é identificada como a
velocidade de Fermi, portanto
εk −EF = vF (k − kF ) ,
medindo-se as energias e momentos em relação ao nível de Fermi e escolhendo-se um
sistema de unidades no qual vF = 1 e = 1 tem-se que seguinte relação de dispersão
linear
εk = k,
onde −D < εk < +D, energia média banda de condução é igual a energia de Fermi.
Retornando ao Hamiltoniano de condução
Hc =X−→k ,µ
ε−→kc†−→kc−→k,
fazendo-se a mudança de um−→k discreto para um contínuo é feito da forma usual
Hc ∼=Zd3k
Ω0
(2π)3ε−→kc†−→kc−→k,
onde Ω0 é o volume do sistema, fazendo-se a mudança
a−→k=
sΩ0
(2π)3c−→k,
onde a−→ké um operador contínuo tem-se que
Hc ∼=Zd3k ε−→
ka†−→ka−→k.
18
Agora expande-se a−→kem harmônicos esféricos no espaço dos k para se isolar a parte
angular
a−→k=1
k
X`,m
ak`mY`,m³bk´ ,
como é um conjunto completo a inversa é dada por
ak`m = k
ZdΩkY
∗`,m
³bk´ a−→k,
obedecendo a relação de anticomutação
ak`m, ak0`0m0 = δ (k − k0) δ``0δmm0.
utilizando o fato de ε−→k= εk (isotrópico) a integral para Hc fica da forma
Hc =
Zdk k2εk
1
k2
X`,m
X`,0m0
a†k`mak0`0m0
ZdΩkY
∗`,m
³bk´Y`0m0³bk´ ,
a integral no ângulo sólido é a função delta δ``0δmm0. Assim
Hc =X`,m
Zdkεka
†k`mak`m,
como a impureza acopla-se apenas com os orbitais tipo s (` = m = 0) Hc reduz-se a
Hc =
Zdkεka
†kak.
A representação de energia é definida a partir do fato de que εk = ε (k)
dk =
µdεkdk
¶−1εk=ε
dε,
substituindo-se na expressão para Hc
19
Hc =
Z +D
−Ddε
µdεkdk
¶−1εk=ε
εa†kak,
definindo-se
cε =
µdεkdk
¶−1/2εk=ε
ak,
a qual é a representação de energia. Chega-se finalmente a expressão para Hc
Hc =
Z +D
−Ddε εc†εcε.
O outro termo que contém o operador da banda de condução ak é o correspondente
a hibridização entre o orbital localizado e a banda de condução
Hcf = VX−→k,µ
³c†−→kcfµ + c
†fµc−→k
´,
utilizando o mesmo procedimento anterior muda-se da variável discreta−→k para a variável
continua tem-se
X−→k
c−→k∼=s
Ω0
(2π)3
Zd3ka−→
k,
utilizando-se a expansão em harmônicos esféricos para a−→k
X−→k
c−→k∼=s
Ω0
(2π)3
Zdk k2
1
k
X`,m
ak`m
ZdΩkY`,m
³bk´ ,a integral do ângulo sólido é diferente de zero apenas para o caso (` = m = 0) como era
de se esperar visto que a impureza com foi dito no início acopla-se somente a estados de
condução tipo s. Lembrando que Y0,0³bk´ = 1/√4π tem-se que
X−→k
c−→k=
rΩ02π2
Zdk kak,
20
utilizando-se a representação de energia aε =¡dεkdk
¢−1/2εk=ε
ak tem-se que
X−→k
c−→k=
rΩ02π2
Z +D
−Ddε kε
µdεkdk
¶1/2εk=ε
cε,
que rearrumada fica na forma
X−→k
c−→k=
Z +D
−Ddε
·Ω02π2
k2µdεkdk
¶¸1/2εk=ε
cε,
o termo ρ (ε) =£Ω02π2k2¡dεkdk
¢¤εk=ε
é a densidade de estados da banda de condução, logo
X−→k
c−→k µ=
Z +D
−Ddεp
ρ (ε)cεµ (2.9)
Assim Hcf fica da forma
Hcf = VXµ
Z +D
−Ddεp
ρ (ε)³c†εµcfµ + c
†fµcεµ
´.
O termo correspondente ao potencial espalhador G
HG = GXµ,µ0
c†fµcfµX~k
c†−→k µ0
X~k
c−→k0µ0,
fica da forma
HG = GXµ,µ0
c†fµcfµ
Z +D
−D
Z +D
−Ddεdε0
pρ (ε) ρ (ε0)c†εµ0cε0µ0
Agora o Hamiltoniano de Anderson pode ser escrito como
HA =Xµ
R +D−D dε εa
†εµaεµ +
Xµ
εfc†fµcfµ + Uc
†f↑cf↑c
†f↓cf↓
+VXµ
R +D−D dε
pρ (ε)
¡c†εµcfµ + h.c
¢+G
Xµ,µ0
c†fµcfµR +D−D
R +D−D dεdε
0pρ (ε) ρ (ε0)c†εµ0cε0µ0,
21
utilizando Γ = πρ (ε)V 2 tem-se que
HA =Xµ
R +D−D dε εc
†εµcεµ +
Xµ
εfc†fµcfµ + Uc
†f↑cf↑c
†f↓cf↓
+
rΓ
π
Xµ
R +D−D dε
¡c†εµcfµ + h.c
¢+G
Xµ,µ0
c†fµcfµR +D−D
R +D−D dεdε
0pρ (ε) ρ (ε0)c†εµ0cε0µ0,
(2.10)
por razão que serão justificadas no capítulo a seguir define-se
f0zµ =1√2
X−→k
c−→k µ=
1√2
+DZ−D
pρ (ε)cεµdε, (2.11)
sendo ρ (ε) = ρ a densidade de estados no nível de Fermi, tem-se que
HA =Xµ
R +D−D dε εc
†εµcεµ +
Xµ
εfc†fµcfµ + Uc
†f↑cf↑c
†f↓cf↓
+
r2Γ
πρ
Xµ
³f †0zµcfµ + h.c
´+ 2G
Xµ,µ0
c†fµcfµf†0zµf
†0zµ0,
(2.12)
Este é o Hamiltoniano que deve ser diagonalizado para se obter os autovalores e
autovetores necessário para o cálculo da corrente de fotoemissão, porém antes disto é
necessário escrever HA numa base apropriada para aplicação do procedimento do grupo
de renormalização numérico.
22
Capítulo III
Transformação do Grupo de
Renormalização Numérico
O método do Grupo de Renormalização foi desenvolvido por K. G. Wilson [2] para o
cálculo da susceptibilidade magnética do modelo de Kondo de uma impureza. Foi através
deste modelo que Kondo em 1964 mostrou teoricamente que o acoplamento magnético
entre uma impureza localizada e os elétrons de condução é responsável pelo aparecimento
de ummínimo na resistividade das ligas diluídas numa dada temperatura [6], que passou a
ser conhecida como temperatura de Kondo. Este comportamento já havia sido observado
experimentalmente anos antes do trabalho de Kondo por de Haas et al. [7] no Au (1934).
A observação posterior de que o mínimo dependia da concentração de impurezas, apontou
para um fenômeno de impureza. Pouco antes do trabalho de Kondo, Sarachik et. al.
[8] num trabalho experimental sobre ligas diluídas de Fe em séries de ligas de Nb—Mo
como metais hospedeiros obtiveram uma evidência convincente da correlação entre a
existência de um termo tipo Curie-Weiss na susceptibilidade da impureza (momento
local) e a ocorrência da resistência mínima, foi essa motivação que conduziu Kondo
a explicação teórica desse fenômeno, que até então não existia. Apesar deste êxito,
criou-se um novo problema, uma vez que o cálculo perturbativo da resistividade diverge
logaritmicamente quando a temperatura é nula. Este problema foi resolvido em 1975 por
23
K. G. Wilson através de um método não perturbativo baseado em sua teoria do grupo
de renormalização.
Esse método foi utilizado com sucesso para problemas que apresentam o mesmo tipo
de divergência logarítmica, como o modelo de Anderson de uma impureza para qual
Krishna-murthy et al. [9] calcularam as propriedades estáticas, como susceptibilidade
magnética e calor específico. Essa técnica foi estendida por Frota e et al. para a determi-
nação da fotoemissão do modelo de Anderson de uma impureza com degerenescência de
spin [10], uma propriedade dinâmica. Este formalismo também foi utilizado para analisar
os modelos de Anderson e de Kondo de duas impurezas [11].
Neste trabalho o método será aplicado para calcular de forma analítica a corrente de
fotoemisão e a partir desta, já que a mesma obedece a regra de soma de Friedel, calcular
o calor específico e a susesceptibilidade de impureza para baixas temperaturas.
Antes do cálculo da corrente de fotoemissão é necessário escrever o Hamiltoniano de
forma que os estados de condução sejam representados por ondas-s com centro de simetria
no sítio do íon de Anderson, com suas distintas escalas de energia, para em seguida
diagonalizá-lo através de um processo iterativo que permita desprezar, controladamente,
as energias pequenas comparadas com a escala de energia de interesse.
Esta transformação envolve três passos:
(i) Discretização da banda de condução;
(ii) Definição de uma nova base de estados apropriada;
(iii) Truncamento da série infinita resultante de (i) e (ii).
3.1 Discretização da Banda de Condução
A discretização logarítmica visa substituir o contínuo de níveis de energia da banda de
condução por um conjunto de níveis discretos a fim de desacoplar as diversas escalas de
energia, de modo a serem tratadas de acordo com seu de grau de relevância no problema.
Esta discretização deve manter a invariância por uma mudança de escala na banda de
24
condução.
O Hamiltoniano que descreve a banda de condução hibridizada ao íon de Anderson é
escrito como
HA =Xµ
+DZ−D
dε εc†εµcεµ +Xµ
εfc†fµcfµ + Uc
†f↑cf↑c
†f↓cf↓+
Xµ
r2Γ
πρ
³f †0zµcfµ + h.c
´+ 2G
Xµ,µ0
c†fµcfµf†0zµ0f0zµ0,
(3.1)
onde o operador, ver Eq.(2.9)
f0zµ =1√2
X−→k
c−→k µ=
1√2
+DZ−D
ρ1/2cεµdε, (3.2)
e ρ é a densidade de estados da banda de condução. A parcela correspondente à banda
de condução no sítio do íon de Anderson é
Hc =Xµ
+DZ−D
εc†εµcεµ dε, (3.3)
ver (3.1). Vamos fazer a discretização da banda de condução não apenas em função do
parâmetro Λ > 1, como no método original de Wilson [2], mas também em função do
parâmetro contínuo 0 < z ≤ 1 [12], conforme mostrado na Fig.(3.1) a seguir. Dessa
maneira a banda pode ser dividida em um maior número de níveis de energia do que no
método de discretização tradicional, o qual é recuperado quando z = 1.
Como pode ser observado Fig.(3.1) (b) esta discretização mantém, pelo menos pró-
ximo ao nível de Fermi, a invariância da banda de condução por uma transformação de
escala de energia. Devemos notar que a banda de condução achatada, de −D a +D nas
proximidades do nível de Fermi (EF = 0) foi linearizada, tendo agora uma densidade
dada por ρ (ε) = 1/D.
Para definir os estados eletrônicos bem localizados, com energias distribuídas segundo
25
−Λ−z −Λ-z-1 −Λ-z-2 Λ-z-2 Λ-z-1 Λ−zΛ2ε/D
εF = 0
εF = 0ε/D
Λ−zΛ-z-1Λ-z-2 1−1 −Λ-z-2−Λ-z-1−Λ−z(a)
εF = 0ε/D
Λ−z 1−1 −Λ−z
(b)
XΛ2
Figura 3.1: (a) Discretização logarítmica da banda de condução em função do parâmetrode discretização Λ > 0 e do parâmetro contínuo z. (b) Invariancia da banda de condução,nas proximidades do nível de Fermi εF = 0, para uma dilatação de escala de energia deΛ2.
esta escala logarítmica, constrói-se um conjunto completo de funções ortonormais em
todo o domínio (−D, D), desenvolvendo-se séries de Fourier independentes em cada um
desses intervalos. Toma-se como base para este desenvolvimento as seguintes funções:
Nos dois intervalos extremos
Ψ(±)` (ε) =
1
[D (1− Λ−z)]1/2e± iω`
ε
D para Λ−z < ± ε
D< 1
0 fora desse intervalo,
onde sinal ± refere-se aos valores positivos e negativos de ε/D, ` é o índice harmônico
de Fourier, que toma todos os valores inteiros dentro do intervalo (−∞,+∞), e
26
ω =2π
1− Λ−z
é a freqüência fundamental.
Nos intervalos internos
Ψ(±)m` (ε) =
Λ
m+ z
2
[D (1− Λ−1)]1/2e± iωm`
ε
D para Λ−(m+1+z) < ± ε
D< Λ−(m+z)
0 fora desse intervalo,
onde m = 0, 1, 2, . . . rotula os intervalos de discretização da banda, ver Fig.(3.1a). O
parâmetro ωm é a freqüência fundamental do m-ésimo intervalo, dada por
ωm =2π
[Λ−(m+z) − Λ−(m+1+z)]=
2π
[1− Λ−1]Λm+z.
Os operadores cεµ podem ser expandidos nesta nova base
cεµ =+∞X`=−∞
ha`µΨ
(+)` (ε) + b`µΨ
(−)` (ε)
i+
+∞Xm=0
+∞X`=−∞
ham`µΨ
(+)m` (ε) + bm`µΨ
(−)m` (ε)
i,
(3.4)
com
a`µ =
+DZ−D
dεhΨ(+)` (ε)
i∗cεµ; b`µ =
+DZ−D
dεhΨ(−)` (ε)
i∗cεµ
am`µ =
+DZ−D
dεhΨ(+)m` (ε)
i∗cεµ; bm`µ =
+DZ−D
dεhΨ(−)m` (ε)
i∗cεµ.
Os operadores a`µ, b`µ, am`µ e bm`µ formam um conjunto completo de operadores discretos
de elétrons, obedecendo às regras padrões de anticomutação
27
na`µ, a
†`0µ0
o= δ``0δµµ0n
am`µ, a†m0`0µ0
o= δmm0δ``0δµµ0.
Substituindo a expressão para o operador cεµ da Eq.(3.4) na expressão para HC da
Eq.(3.3), obtém-se,
HC =+DR−D
εc†εµcεµ dε
= D1 + Λ−z
2
+∞X`=−∞
³a†`µa`µ − b†`µb`µ
´+D
1 + Λ−1
2
+∞Xm=0
+∞X`=−∞
Λ−(m+z)³a†m`µam`µ − b†m`µbm`µ
´+D
1− Λ−z
2πi
X6=`0
1
(`0 − `)³a†`µa`0µ − b†`µb`0µ
´ei2π(`
0−`)/(1−Λ−z)
+D1− Λ−1
2πi
+∞Xm=0
X6=`0
Λ−(m+z)
(`0 − `)³a†m`µam`0µ − b†m`µbm`0µ
´ei2π(`
0−`)/(1−Λ−1),
(3.5)
o termo de interação correspondente ao operador f0µ, ver Eqs.(3.2) e (3.1), nesta nova
base é da forma
f0zµ =1√2D
+DR−Dcεµdε
=
µ1 + Λ−z
2
¶1/2(a0µ + b0µ) +
µ1 + Λ−1
2
¶1/2 +∞Xm=0
(am0µ + bm0µ) .
. (3.6)
Da Eq.(3.6) vemos que os operadores a0µ, b0µ, am0µ e bm0µ acoplam-se diretamente
ao orbital f apenas com ` = 0. O acoplamento com outros operadores ` 6= 0 é feito
indiretamente através dos operadores a0µ, b0µ, am0µ e bm0µ conforme a Eq.(3.5), cujos
termos multiplicativos1− Λ−z
2π(z > 0) e
1− Λ−1
2π, no limite Λ → 1, tornam-se muito
28
pequenos comparados a1 + Λ−z
2e1 + Λ−1
2. Portanto nesse limite esses termos podem
ser desconsiderados.
Uma boa aproximação utilizada com sucesso no cálculo da susceptibilidade magnética
(χ) e do calor específico (C) do modelo de Kondo [2, 13], da susceptibilidade magnética
estática do modelo de Anderson [9], e também em cálculos dinâmicos como no cálculo da
fotoemissão no modelo de Anderson para composto de terras-raras com valência flutuante
[12], consiste em desprezar os termos com ` 6= 0. Portanto, escrevemos
HC = D1 + Λ−z
2
¡a†µaµ − b†µbµ
¢+D
1 + Λ−1
2
+∞Xm=0
Λ−(m+z)¡a†mµamµ − b†mµbmµ
¢ (3.7)
e
f0zµ =
r1 + Λ−z
2(aµ + bµ) +
r1 + Λ−1
21
∞Xm=0
Λ−(m+z)/2 (amµ + bmµ) , (3.8)
onde fizemos a0µ = aµ, b0µ = bµ, am0µ = amµ e bm0µ = amµ, obedecendo a condição
de ortonormalização
nf0zµ, f
†0zµ0
o= δµµ0. (3.9)
3.2 Definição de uma Nova Base
Das Eq.(3.7) e (3.8) vemos que a discretização da banda de condução resultou na
definição da base de operadores amµ, bmµ, que é inconveniente para o tratamentonumérico do sistema elétrons de condução—íon de Anderson em todas as ordens de hib-
ridização Γ. Isto porque o íon está acoplado a todos os estados de condução amµ e bmµ
através do operador f0zµ, ver Eqs.(3.1), (3.7) e (3.8). Qualquer truncamento da série
infinita em HC reduzirá esta interação. É necessário definir uma nova base de operadores
29
ortonormais onde apenas um de seus operadores esteja acoplado ao íon de Anderson A
nova base sugerida é fnzµ com f0zµ (1o elemento) satisfazendo essa condição, além dissoé necessário que ela possua também as seguintes propriedades [2]:
(a) Seus operadores sejam ortonormais, isto é:
nfnzµ, f
†nz0µ0
o= δnn0δµµ0 (3.10)
(b) O operador fnµ esteja acoplado somente com f(n±1)µ.
Fazendo uma transformação unitária do conjunto de operadores amµ, bmµ para onovo conjunto de operadores ortonormais fnzµ, temos a seguinte expressão para HC
HC = D1 + Λ−1
2
∞Xn=0
εzn¡f †nzµf(n+1)zµ + h.c.
¢, (3.11)
onde os εzn e os fnz serão determinados utilizando essas propriedades, (a) e (b)
A transformação ortogonal fnz pode ser escrita como
fnz = (uzna+ v
znb) +
∞Xm=0
(uznmam + vznmbm) . (3.12)
Como essa é uma transformação ortogonal real, então a transformação inversa é
a =Xn
uznfnz
am =Xn
uznmfnz(3.13)
b =Xn
vznfnz
bm =Xn
vznmfnz,(3.14)
a partir dos requisitos de ortonormalidade dessa transformação ortogonal, os quais são:
30
Xn
uznmuznm0 = δmm0 e
Xn
uznuzn = 1X
n
uznmvznm0 = 0 e
Xn
uznvzn = 0X
n
vznmvznm0 = δmm0 e
Xn
vznvzn = 1
(uznuzn0 + v
znvzn0) +
Xm
(uznmuzn0m + v
znmv
zn0m) = δnn0.
(3.15)
Admitindo-se que os requisitos anteriores estejam satisfeitos, f0zµ pode ser escrito
como
f0µ = (uz0aµ + v
z0bµ) +
∞Xm=0
(uz0mamµ + vz0mbmµ) , (3.16)
que quando comparada à Eq.(3.8)
uz0 = vz0 =
r(1− Λ−z)
2
uz0m = vz0m =
r(1− Λ−1)
2Λ−(m+z)/2.
(3.17)
Conhecendo-se os coeficientes de f0zµ nas Eqs.(3.13) e Eq.(3.14), podemos determinar
os coeficientes dos demais fnzµ da expressão para HC de forma iterativa. Substituindo
os valores, a =Xn
uznfnz, am =Xn
uznmfnz, b =Xn
vznfnz, bm =Xn
vznmfnz, na Eq.(3.7)
obtemos
HC =Xn
f †nzµ
·(1 + Λ−z)
2(uzna−vznb)+
(1 + Λ−1)2
∞Xm=0
Λ−(m+z) (uznmam−vznzbm)#,
que para um valor n = ` pode ser escrita como
HC = . . .+ f †`zµ
·(1 + Λ−z)
2(uz`a−vz`b)+
(1 + Λ−1)2
∞Xm=0
Λ−(m+z) (uz`mam−vz`zbm)#+ . . .,
(3.18)
31
que quando comparada a Eq.(3.11), para n = `
HC =(1 + Λ−1)
2f †`zµ
£εz(`−1)f(`−1)zµ + εz`f(`+1)zµ + h.c
¤+ (termos sem f`zµ), (3.19)
verificamos que f(`+1)zµ deve ser igual a
f(`+1)zµ =[(1 + Λ−z) / (1 + Λ−1)] (uz`a−vz`b)
εz`+
∞Xm=0
Λ−(m+z) (uz`mam−vz`zbm)
εz`− εz(`−1)
εz`f(`−1)zµ,
(3.20)
substituindo-se f(`+1)zµ e f(`−1)zµ, ver Eq.(3.12), obtemos as seguintes relações de recor-
rência
uz`+1 =[(1 + Λ−z) / (1 + Λ−1)]uz`−εz(`−1)uz(`−1)
εz`
vz`+1 =− [(1 + Λ−z) / (1 + Λ−1)] vz`−εz(`−1)vz(`−1)
εz`
uz`+1,m =Λ−(m+z)uz`m−εz(`−1)uz(`−1)m
εz`
vz`+1,m =−Λ−(m+z)vz`m−εz(`−1)vz(`−1)m
εz`e
(3.21)
as energias εz` são obtidas numericamente, a partir da relação de recorrência
(εz`)2 =
·(1 + Λ−z)(1 + Λ−1)
¸2 £(uz`)
2 + (vz` )2¤ +
∞Xm=0
Λ−2(m+z)£(uz`m)
2 + (vz`m)2¤ − hεz(`−1)i2, (3.22)
utilizando a tridiagonalização proposta por Chen e Jayaprakash [23], adaptadas ao nosso
problema (ρ (ε) constante), que é iniciada por
32
uz0 = vz0 =
r(1− Λ−z)
2
uz0m = vz0m =
r(1− Λ−1)
2Λ−(m+z)/2,
(3.23)
obtidos a partir dos procedimentos para determinação de uma nova base. O primeiro
termo correspondente a n = 0, considerando-se εz−1 = 0
(εz0)2 =
·(1 + Λ−z)(1 + Λ−1)
¸2 ¡1− Λ−z
¢+ Λ−3
µ1− Λ−1
1− Λ−3
¶, (3.24)
os demais valores de εzn são calculados numericamente utilizando as relações de recorrência
dadas pelas Eqs.(3.22) e (3.21).
A energia εz` dada pela Eq.(3.22) quando z = 1 tende para a expressão obtida por
Wilson [2]
εz=1` = Λ−`/2£1− Λ−(`+1)
¤ £1− Λ−(2`+1)
¤−1/2 £1− Λ−(2`+3)
¤−1/2,
e para z 6= 1 e ` grande tem-se que
εz 6=1` → Λ(1−z)−`/2,
generalização esta devido a Frota e Oliveira [10].
3.3 Truncamento do Hamiltoniano Discretizado
Com a nova base de operadores fnzµ podemos truncar a série infinita contida em HC,
sem afetar diretamente a interação entre os elétrons do orbital f e os elétrons da banda
de condução. Como a energia associada ao operador fnzµ, para n grande, é da ordem de
Λ(1−z)−n/2, podemos escolher um n = N suficientemente grande tal que esta quantidade
seja muito pequena comparada com a escala de energia relevante do problema definida
33
pela temperatura
D1 + Λ−1
2Λ(1−z)−N/2 ¿ ε. (3.25)
Portanto, tomando-se osN primeiros termos da série, estaremos levando em conta escalas
de energia desde ∼ D (a maior) até ∼ DΛ(1−z)−N/2 ¿ ε, a inclusão de mais termos em
HC quase não altera o fator de Boltzmann para os estados do sistema. O Hamiltonianos
HC truncado é dado por HNC = D
1 + Λ−1
2
N−1Xn=0
εzn¡f †nzµf(n+1)zµ + h.c.
¢. (3.26)
Deve ser ressaltado que este truncamento não afeta a parcela correspondente ao orbital
f do Hamiltoniano do íon de Anderson, pois o acoplamento com este orbital é feito apenas
pelo operador f0zµ, ver Eq.(3.1), da base fnzµ. A escolha desta base permite truncara série infinita de HC , contendo erros independente dos valores dos parâmetros εf , Γ e
∆ = εf + U .
3.4 Diagonalização Iterativa
Escrevendo o Hamiltoniano correspondente ao íon de Anderson na nova base de op-
eradores fnzµ
HA = D
(1 + Λ−1
2
N−1Xn=0
εzn¡f †nzµf(n+1)zµ + h.c.
¢+
εfDc†fµcfµ +
U
Dc†f↑cf↑c
†f↓cf↓
+
r2Γ
πD
³f †0zµcfµ + h.c
´+ 2Gc†fµcfµf
†0zµ0f0zµ0
),
(3.27)
onde a densidade da banda da condução ρ = 1/D, em todos os casos é admitida a soma
sobre índices de spin repetidos. Para uma melhor interpretação dos resultados vamos
dividir HA por D1 + Λ−1
2Λ−(N−1)/2 para que a menor escala de energia correspondente a
f †(N−1)zµfN)zµ + f†Nzµf(N−1)zµ seja da ordem da unidade:
34
HNA =
2
(1 + Λ−1)Λ(N−1)/2
DHA
= Λ(N−1)/2(N−1Xn=0
εzn¡f †nzµf(n+1)zµ + h.c.
¢+eεfc†fµcfµ + eUc†f↑cf↑c†f↓cf↓+
eΓ1/2 ³f †0zµcfµ + h.c´+ eGc†fµcfµf †0zµ0f0zµ0o,(3.28)
onde eεf =2
1 + Λ−1εfDeU =
2
1 + Λ−1U
D
eΓ =
µ2
1 + Λ−1
¶22Γ
πDeG =2
1 + Λ−12G
D
OHamiltonianoHNA não tem solução analítica devido a presença do operador c
†f↑cf↑c
†f↓cf↓
(exceto para U = 0). A princípio HNA pode ser diagonalizado numericamnte, visto que
possui um número finito de termos. A partir da Eq.(3.28) para definir uma seqüência de
Hamiltonianos HNA , da qual H
0A (N = 0) é o primeiro temo e contém, apenas a maior
escala da energia; os demais termos correspondentes a N > 0 são obtidos incluindo-
se progressivamente outros a soma, associados a escalas de energias cada vez menores.
Com esta seqüência se estabelece um processo de diagonalização, consistindo de vários
estágios, cada um envolvendo apenas um nova escala de energia, que se desenvolvem
iterativamente. Isto é, definindo-se a seqüência HNA , diagonaliza-se inicialmente H
0A,
obtendo-se 16 autovalores e 16 autovetores. Do produto direto do operador f †0zµ , que
não aparece em H0A, constrói-se um base com, com 64 estados, que será utilizada para
representar H1A, o qual é diagonalizado, resultando numa base com 64 autovalores e 64
autovetores. Repete-se o mesmo procedimento para diagonalizar os demais termos da
seqüência HNA utilizando-se a relação de recorrência
35
HN+1A = Λ1/2HN
A + ΛN/2εzN
³f †Nzµf(N+1)zµ + h.c
´, (3.29)
com esta relação de recorrência conhecidos os autovalores e autovetores HNA podemos
determinar os autovalores e autovetores de HN+1A .
De cada iteração que consiste em representar HN+1A numa base em que HN
A é di-
agonal resulta em um número de autovalores e autovetores é 4 vezes maior que o da
iteração anterior, visto que para cada iteração N o numero de autoestados é dado por
22(N+2), que corresponde a uma matriz da ordem 22(N+2) × 22(N+2). Assim, após poucasiterações, o números de autovetores e autovalores é muito grande, frustrando com isto,
qualquer tentativa para se determinar seus conjuntos completos. Este problema é evi-
tado selecionando-se um subconjunto de autoestados pertencentes a autovalores abaixo
de um determinado limite de energia (energia cedida pelo raio-X); estados que excedam
este limite são desprezados, em cada iteração, pois estão associados a probabilidades de
transição muito pequenas.
No próximo capítulo será análise de pontos para os quais o Hamiltoniano HNA se
mostra invariante por uma dilatacão de escala de energia os denominados pontos fixos.
36
Capítulo IV
Pontos Fixos
Como foi mostrado anteriormente a banda de condução discretizada logaritmicamente,
nas proximidades do nível de Fermi é invariante por uma dilatação de escala de energia.
Pode-se então definir uma transformação T de escala de energia, que preserve a invar-
iância do Hamiltoniano de condução. Esta transformação também preserva a invariância
do Hamiltoniano HNA , para valores particulares do espaço paramétrico εf , Γ que definem
as regiões de pontos fixos. Nos pontos fixos os autovalores do Hamiltoniano de condução
tendem a um limite para N par é outro para N ímpar, de maneira que, próximo ao nível
de Fermi, os autovalores de HNA são iguais aos de HN+2
A . A partir da Eq.(3.28)
T [HNA ] ≡ HN+2
A = ΛHNA + Λ(N+1)/2εzN
³f †Nzµf(N+1)zµ + h.c.
´+Λ(N+1)/2εz(N+1)
³f †(N+1)zµf(N+2)zµ + h.c.
´,
(4.1)
como pode ser visto as escalas de energia que comparecem em HNA , são dilatadas pelo
fator Λ, quando da aplicação de T.
Um ponto fixo é um HNA = H∗
N que é invariante pela transformação T, isto é,
T [H∗N ] = H
∗N , portanto H
∗N é um ponto fixo da transformação T. Os ponto fixos desta
transformação são importantes, porque resultam de situações em que a escala de energia
relativa à impureza é muito maior ou menor que ε (escala definida pela energia cedida
37
pelo raio-X) fornecendo um interpretação física simples aos resultados numéricos.
4.1 Diagonalização do Hamiltoniano de Condução
A partir do Hamiltoniano do nível ressonante corresponde ao da Eq.(3.28) com U = 0
HNA = Λ(N−1)/2
(N−1Xn=0
εzn¡f †nzµf(n+1)zµ + h.c.
¢+ eεfc†fµcfµ+
eΓ1/2 ³f †0zµCfµ + h.c´+ eGc†fµcfµf †0zµ0f0zµ0o,o Hamiltoniano HN
C correspondente a banda de condução é da forma
HNC = Λ(N−1)/2
N−1Xn=0
εzn¡f †nzµf(n+1)zµ + h.c.
¢, (4.2)
pode ser diagonilizada numericamente pois possui um número finito de termos
Vamos diagonalizar a HamiltonianoHNC na base f0zµ, f1zµ, f2zµ, . . . , fNzµ. Definimos
o vetor−→V como sendo
V ≡ (f0zµ, f1zµ, f2zµ, . . . , fNzµ) . (4.3)
Nessa base, HNC pode ser escrito como
HNC = V
†HNCV, (4.4)
onde HNC é uma matriz (N + 1) x (N + 1), cujos elementos diferentes de zero são dados
por
¡HNC
¢n,n+1
=¡HN
C
¢n+1,n
=Λ(N−1)/2εzn
D, (4.5)
com 0 ≤ n ≤ N − 1. Como HNC é real e simétrica, existe uma matrizM real e ortogonal
que a diagonaliza, através da transformação de similaridade
38
fMHNCM =nN (4.6)
com
fMM =MfM = 1 (4.7)
e
HNCM =MnN . (4.8)
A matriz nN é diagonal, constituída pelos autovalores deHNC , e a matrizM é formada
pelos autovetores de HNC . Conhecendo-seM definimos um novo operador, dado por
g`zµ ≡NXn=0
Mn` fnzµ. (4.9)
Sendo essa operação uma transformação ortogonal real, então a transformação inversa é
fnzµ =N+1X`=1
Mn`g`zµ. (4.10)
Assim, o Hamiltoniano HNC fica
HNC =
N+1X`=1
nN``g†`zµg`zµ (4.11)
A matrizM e os autovalores nN`` são encontrados numericamente. Nas tabelas (III.1)
e (III.2) estão mostrados os resultados para z = 0.5 e z = 1.0, respectivamente, para
valores de N ímpar (até N = 11), e nas tabelas (III.3) e (III.4) são considerados valores
de N par (até N = 10), tomando-se o parâmetro de discretização da banda Λ = 3.
39
N\` −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 51 −0.8513172 0.85131723 −3.523921 −1.320939 1.320939 3.5239215 −10.65165 −5.192688 −1.380593 1.380593 5.192688 10.651657 −31.94295 −15.58924 −5.191955 −1.385174 1.385174 5.191955 15.58924 31.942959 −95.82457 −46.76564 −15.58854 −5.191818 −1.385662 1.385662 5.191818 15.58854 46.76564 95.8245711 −287.4723 −140.2962 −46.76540 −15.58847 −5.191803 −1.385717 1.385717 5.191803 15.58847 46.76540 140.2962
Tabela IV.1: Autovalores de HNC para N ímpar e Λ = 3 e z = 0.5.
N\` −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 51 −0.8320503 0.83205033 −3.003545 −0.8050693 0.8050693 3.0035455 −9.003863 −2.998840 −0.8007852 0.8007852 2.998840 9.0038637 −27.00136 −9.000454 −2.997646 −0.8001318 0.8001318 2.997646 9.000454 27.001369 −81.00046 −27.00015 −9.000050 −2.997505 −0.8000571 0.8000571 2.997505 9.000050 27.00015 81.0004611 −243.0002 −81.00005 −27.00002 −9.000005 −2.997489 −0.8000488 0.8000488 2.997489 9.000005 27.00002 81.00005
Tabela IV.2: Autovalores de HNC para N ímpar e Λ = 3 e z = 1.0.
N\` -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 52 −1.898543 0.0000 1.8985434 −6.145313 −2.919638 0.0000 2.919638 6.1453136 −18.44134 −8.999872 −2.935723 0.0000 2.935723 8.999872 18.441348 −55.32403 −27.00000 −8.999900 −2.936981 0.0000 2.936981 8.999900 27.00000 55.3240310 −165.9721 −81.00000 −27.00000 −8.999903 −0.2937116 0.0000 0.2937116 8.999903 27.00000 81.00000 165.9721
Tabela IV.3: Autovalores de HNC para N par e Λ = 3 e z = 0.5.
Dos resultados numéricos anteriores observa-se que:
1) Os autovalores estão distribuídos simetricamente em relação ao nível de Fermi
(EF = 0), em concordância com a simetria partícula—buraco da banda de condução. Se
N é ímpar, o número de autovalores é (N + 1), um número par, sendo metade deles
positivos e a outra metade negativos. Se N é par, o número de autovalores é ímpar, com
N/2 positivos, N/2 negativos e um nulo, devido mais uma vez à simetria partícula—buraco
do Hamiltoniano.
2) Aumentando-se os valores de N , os autovalores de HC tendem para:
a) N ímpar
n` = ± Λ(1−z)Λ`−1 (4.12)
para ` = 1, 2, 3, . . . , (N − 1) /2.e
40
n` = ±1 + Λ−z
1 + Λ−1Λ(N−1)/2,
para ` = (N + 1) /2
b) N par
bn` = ±Λ(1−z)Λ`−12
bn0 = 0, (4.13)
para ` = 1, 2, 3, . . . , (N − 2) /2 e
bn` = ±1 + Λ−z
1 + Λ−1Λ(N−1)/2,
para ` = N/2.
Isso ocorre devido à discretização logarítmica da banda de condução, simetricamente
em relação a EF = 0. No truncamento, as energias menores queD (1 + Λ−1)
2Λ−(N−1)/2
foram eliminadas, o que corresponde, em escala reduzida, a abandonar energias menores
que a unidade. Nesta escala a menor energia é proporcional a −Λ(N−1)/2 e a maiorenergia é proporcional a Λ(N−1)/2. Distribuindo logaritmicamente os níveis entre estes
dois limites, temos as seguintes situações:
Para N ímpar suas energias são proporcionais
−Λ(N−1)/2,−Λ(N−3)/2, . . . ,−Λ,−1, 1,Λ, . . . ,Λ(N−3)/2,Λ(N−1)/2.
Para N par
.
N\` −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 52 −1.703181 0.0000 1.7031814 −5.196109 −1.696617 0.0000 1.696617 5.1961096 −15.58846 −5.196098 −1.695851 0.0000 1.695851 5.196098 15.588468 −46.76537 −15.58846 −5.196097 −1.695765 0.0000 1.695765 5.196097 15.58846 46.7653710 −140.2961 −46.76537 −15.58846 −5.196096 −0.1695755 0.0000 0.1695755 5.196096 15.58846 46.76537 140.2961
Tabela IV.4: Autovalores de HNC para N par e Λ = 3 e z = 1.0.
41
−Λ(N−1)/2,−Λ(N−3)/2, . . . ,−Λ1/2, 0,Λ1/2, . . . ,Λ(N−3)/2,Λ(N−1)/2.
Os resultados numéricos reforçam essa interpretação.
Vamos redefinir os autovetores gj da Eq.(4.9), associados aos autovalores negativos
(nj < 0), pelos operadores criação de buraco
h†j ≡ gj, (4.14)
para j = 1, 2, 3, ..., (N + 1) /2.
Calculando-se numericamente os elementos da Matriz, Mnl, podemos encontrar em
particular, que
f0zµ = Λ−(N−1)/4(N+1)/2Xj=1
α0j³gjzµ + h
†jzµ
´(4.15)
onde para j À 1
α0j ≡µ1− Λ−1
2
¶1/2Λ(j−1)/2. (4.16)
Substituindo α0j em f0zµ temos
f0zµ = Λ−(N−1)/4(N+1)/2Xj=1
µ1− Λ−1
2
¶1/2Λ(j−1)/2
³gjzµ + h
†jzµ
´(4.17)
Definindo m como sendo
m =N − 12− j + 1,
encontramos
f0zµ =
µ1− Λ−1
2
¶1/2 (N−1)/2Xm=0
Λ−m/2³gjzµ + h
†jzµ
´, (4.18)
que é a versão truncada de f0zµ calculado na Eq.(3.8). Da mesma maneira podemos
encontrar as versões truncadas, em termos de gjzµ e h†jzµ, dos operadores f1zµ, f2zµ, etc. Em
42
seguida, vamos considerar os estados de muitos corpos que podem ser construídos a partir
dos níveis de energia de HNC . O estado fundamental, por exemplo, é obtido preenchendo-
se todos os níveis de energia negativa −nj, com dois elétrons cada; Os níveis de energia
positiva estão todos vazios, nesse estado. Os estados excitados correspondem à transição
de um nível ocupado −nj para um nível vazio nj, todas essas transições têm energias
positivas. A construção desses estados torna-se bastante simplificada, especificando-se
apenas os elétrons envolvidos nessas transições. Para isso vamos definir um operador
de Fermi gjµ que aniquila um elétron no autoestado de HNC associado a nj. Da mesma
maneira, para cada autovalor negativo, definimos um operador hjzµ ≡ g†jzµ que cria umelétron (isto é, aniquila um buraco) no autoestado associado a −nj. Medindo as energia apartir do estado fundamental o Hamiltoniano de condução HN
C , envolvendo agora apenas
autovalores positivos, pode ser reescrito como
HNC =
(N+1)/2Xj=1
nzj
³g†jzµgjzµ + h
†jzµhjzµ
´, (4.19)
onde nj = Λ(1−z)Λj−1, para j À 1.
Das tabelas (III.1) e (III.2), verificamos que os valores de níveis de energia de HNC
próximos ao nível de Fermi não se alteram, quando passamos de N para N + 2. Esse
resultado é uma conseqüência da invariância de escala da banda de condução discretizada
logaritmicamente. Portanto para N grande os autovalores próximos a zero serão,
HN+2C = HN
C , (4.20)
HNC é um ponto fixo de uma transformação T que leva HN
C em HN+2C . Sendo que uma
transformação de grupo de renormalização pode ser definida como
T£HNC
¤= ΛHN
C + Λ(N+1)/2εzN f†Nzµf(N+1)zµ + Λ(N+1)/2εz(N+1) f
†(N+1)zµf(N+2)zµ + h.c.,
(4.21)
43
da Eq.(4.1) temos que
T£HNC
¤= HN+2
C . (4.22)
Da Eq.(4.20) obtida de resultados numéricos temos
T£HNC
¤= HN
C , (4.23)
mostrado que HNC é ponto fixo de T.
Um ponto fixo é numericamente caracterizado quando aplicamos duas vezes o processo
iterativo sem haver alteração nos resultados dos autovalores e autovetores do Hamiltoni-
ano diagonalizado.
1. Ponto fixo de T£HNC
¤O Hamiltoniano HN
C representa elétrons de condução livres mais uma impureza
magnética livre que tem dois estados de spin, dependendo da projeção Sz = ±1/2. Emtermo de operadores elétron-buraco é exatamente igual ao Hamiltoniano HN
C . Dessa
forma são válidas todas as equações até então obtidas, logo para N grande HNC2 é ponto
fixo de T£HNC
¤, já que seus mais baixos autovalores, ver tabelas (III.1) e (III.2), não
mudam com a aplicação da transformação T, isto é, os mais baixos autovalores de HNC
também são autovalores de HN+2C . Esse ponto fixo denominaremos de ponto fixo da
impureza magnética livre.
Em seguida vamos diagonalizar HNC . Definindo
a`zµ ≡ g`zµ (` > 0)
a`zµ ≡ h†−`zµ (` < 0)
nz−` ≡ −nz` (` > 0) . (4.24)
Reescrevendo HNC em termos desses novos operadores, temos
44
HNC =
(N+1)/2Xj=−(N+1)/2
nzja†jzµajzµ, (4.25)
para todos os j 6= 0.Como HN
C , Eq.(4.25), é bilinear, então
HNC = ea
n−J 0 ... 0 0 ... 0 0
0 n−(J−1) ... 0 0 ... 0 0...
.... . .
...... ...
......
0 0 ... n−1 0 ... 0 0
0 0 ... 0 n1 ... 0 0...
... ......
.... . .
......
0 0 ... 0 0 · · · nJ−1 0
0 0 ... 0 0 · · · 0 nJ
a, (4.26)
com J =N + 1
2e
a =
a−Jzµ
a−(J−1)zµ...
a−1zµ
a1zµ...
a(J−1)zµ
aJzµ
. (4.27)
Como a Eq.(4.26) já está na forma diagonalizada, seu estado fundamental de muitos
corpos para HNC será construído preenchendo-se todos os níveis de energia de um corpo
abaixo do nível de Fermi
45
¯I®=
JYi=1
a†i↑a†i↓ | 0 i , (4.28)
onde | 0 i representa o estado vácuo.A seguir será feita a diagonalização do Hamiltoniano total
4.2 Diagonalização de Hamiltoniano HNA do Íon de
Valência Flutuante
O Hamiltoniano do íon de valência flutuante do nível ressonante (U = 0) é dado por
HNA = Λ(N−1)/2
(N−1Xn=0
εzn¡f †nzµf(n+1)zµ + h.c.
¢+ eεfc†fµcfµ+
eΓ1/2 ³f †0zµcfµ + h.c´+ eGc†fµcfµf †0zµ0f0zµ0o,(4.29)
este Hamiltoniano não pode ser diagonalizado analiticamente pois contêm um termo
quártico (c†fµcfµf†0zµ0f0zµ0) porém, é razoável supor que para |εf | À Γ a ocupação nf =
c†fµcfµ ' hnfi logo
HNA = Λ(N−1)/2
N−1Xn=0
εzn¡f †nzµf(n+1)zµ + h.c.
¢+ Λ(N−1)/2eεfc†fµcfµ
+Λ(N−1)/2eΓ1/2 ³f †0zµcfµ + h.c´+ Λ(N−1)/2 eG hnfi f †0zµf0zµ,(4.30)
o primeiro termo do lado direito é o Hamiltoniano de condução HNC , ver Eq.(4.2).
Escrevendo-se HNA na base de operadores v† = cfµ, f0zµ, f1zµ, . . . , fNzµ
HNA = v
†HNA v, (4.31)
46
onde HNA é uma matriz (N +2)× (N +2), cujos elementos diferentes de zero na diagonal
principal são £HNA
¤1,1
= Λ(N−1)/2eεf e£HNA
¤2,2
= Λ(N−1)/2 eG1, (4.32)
onde eG1 = eG hnfi e fora da diagonal principal£HN
A
¤1,2
=£HN
A
¤2,1
= Λ(N−1)/2eΓ1/2 e£HNA
¤n,n+1
=£HN
A
¤n+1,n
= Λ(N−1)/2εzn−2,(4.33)
onde 2 ≤ n ≤ (N + 1). Diagonalizando numericamente HNA , encontramos que seus
autovalores tendem para um ponto fixo para N ímpar e outro ponto fixo para N par.
Nas tabelas IV.5 e IV.6 a seguir estão os autovalores da diagonalização numérica
de HNA , para Λ = 3, N ímpar, εf = −0.10, U = 0.0, Γ = 0.01, G1 = 0.5 e −0.5
respectivamente.
47
N/` −3 −2 −1 0 1 2 3
1 −0.35852660 −0.14473789 2.001182923 −2.23602964 −0.50127141 −0.26832474 1.43116901 6.068212085 −6.74077225 −2.17775257 −1.39131282 −0.27404665 1.37848115 4.48197999 18.204683107 −6.57139911 −4.19036729 −2.07045818 −0.27361814 1.36651278 4.34495332 13.446459009 −12.57116910 −6.26046859 −2.07608518 −0.27337551 1.36376086 4.31290601 13.0355215011 −18.78144110 −6.27736118 −2.07561537 −0.27328622 1.36307436 4.30542893 12.9394134013 −18.83211850 −6.27601212 −2.07532054 −027325561 1.36287798 4.30356055 12.9169898015 −18.82807140 −6.27515335 −2.07520929 −0.27324531 1.36281647 4.30302716 12.9113865017 −18.82549510 −6.27482876 −2.07517085 −0.27324187 1.36279641 4.30286029 12.9097869019 −18.82452140 −6.27471653 −2.07515788 −0.27324072 1.36278978 4.30280592 12.9092864021 −18.82418470 −6.27467867 −2.07515354 −0.27324034 1.36278757 4.30278794 12.9091234023 −18.82407110 −6.27466601 −2.07515210 −0.27324021 1.36278684 4.30278196 12.90906950
Tabela IV.5: Autovalores de HNA para N ímpar, Λ = 3, εf = −0.1D, Γ = 0.01D
e G1 = 0.5D. Todos os autovalores são elevados com relação ao caso G1 = 0 e nasproximidades do nível de Fermi também tendem para pontos fixos quando N aumenta.
N/` −3 −2 −1 0 1 2 3
1 −2.00218982 −0.14745995 0.351731353 −6.07108000 −1.43560848 −0.43196365 0.31049319 2.234403645 −18.21328660 −4.49263972 −1.49079152 −1.17321237 0.30391299 2.14868519 6.736066187 −13.47842670 −4.58890565 −3.63485051 −1.32681166 0.30280241 2.12560672 6.488431769 −13.76704080 −10.90523690 −4.20938739 −1.32918872 0.30259699 2.12053466 6.4212198011 −32.71571070 −12.62898380 −4.21663231 −1.32924255 0.30254980 2.11956640 6.4063803913 −37.88695150 −12.65071310 −4.21683088 −1.32920628 0.30253657 2.11936575 6.4035426715 −37.95213930 −12.65130880 −4.21673823 −1.32918885 0.30253244 2.11931483 6.4029546917 −37.95392640 −12.65103100 −4.21669180 −1.32918248 0.30253110 2.11929974 6.4028055719 −37.95309290 −12.65089170 −4.21667467 −1.32918029 0.30253066 2.11929492 6.4027613821 −37.95267530 −12.65084040 −4.21666878 −1.32917955 0.30253051 2.11929333 6.4027472823 −37.95252120 −12.65082270 −4.21666680 −1.32917931 0.30253046 2.11929281 6.40274265
Tabela IV.6: Autovalores de HNA para N ímpar, Λ = 3, εf = −0.1D, Γ = 0.01D e
G1 = −0.5D. Todos os autovalores são rebaixados com relação ao caso G1 = 0 e nasproximidades do nível de Fermi também tendem para pontos fixos quando N aumenta.
No Hamiltoniano HNA tem-se o orbital iônico acoplado com a banda de condução o
que quebra a invariaça da mesma por uma transformação de escala. Porém, para algumas
regiões do espaço paramétrico εf e Γ, é possível identificar pontos fixos da transformação
T, ver Eq.(4.1). Todos associados a pontos fixos da banda de condução.
A partir da análise da estrutura de autovalores, HNA tem os seguintes pontos fixos:
48
1. Ponto Fixo do Orbital Livre
No caso de Γ = 0, εf = 0 e G = 0, o Hamiltoniano HNA é reduzido ao de condução
HNC mais um orbital livre com energia zero, que pode está vazio, unitariamnete ocupado
ou duplamente ocupado. Para cada autoestado de HNC podemos construir quatro autoes-
tados degenerados , aplicando-se o operador cfµ. Como HNC vai para dois pontos fixos
quando N →∞, dependendo de N ser ímpar ou par, HNA também vai para dois pontos
fixos: HOL se N for ímpar, com autovalores nj = Λ(1−z)Λj−1 e bHOL se N for par, com
autovalores bnj = Λ(1−z)Λj−1/2. Esse ponto fixo é denominado de ponto fixo do orbital
livre.
2. Ponto Fixo do orbital Fortemente Acoplado
No caso de Γ→∞, εf = 0 e G = 0, os autoestados são combinações lineares das con-figurações de orbital iônico vazio, unitariamente ocupado e duplamente ocupado. Como
o orbital está fortemente acoplado à banda de condução, os operadores f0zµ e cfµ ficam
associados a estados de energias muito altas, comparadas com o estado fundamental.
podendo os mesmos serão desconsiderados em HNA , resultando um Hamiltoniano efe-
tivo que, para N par, tende para o ponto fixo de HNC com N ímpar, e para N ímpar vai
para um ponto fixo de HNC com N par. Este é ponto fixo denominaremos de ponto fixo
do orbital fortemente acoplado.
3. Ponto fixo do Orbital Duplamente Ocupado
Neste caso Γ = 0, εf → −∞ e G = 0 as configurações com orbital unitariamente
ocupado estão com energias muito alta comparadas a do estado fundamental, cuja config-
uração corresponde ao orbital duplamente ocupado, desacoplado da banda de condução.
Os autoestados correspondentes são construídos aplicando-se o operador c†f↑c†f↓ ao
autoestado de HNC . Os pontos fixos de H
NA correspondem aos pontos fixos de H
NC mais o
orbital duplamente ocupado. Esse ponto fixo recebe a denominação de ponto fixo do
orbital duplamente ocupado.
4) Para Γ = 0 e εf → +∞ e G = 0 o Hamiltoniano HNA é reduzido ao Hamilto-
niano de condução HNC mais um orbital vazio com energia zero. Os ponto fixos de HN
A
49
correspondem aos pontos fixos de HNC mais o orbital vazio. Esse ponto fixo recebe a
denominação de ponto fixo do orbital vazio.
Os autovalores obtidos nas tabelas IV.5 e IV.6 podem ser encontrados analiticamente
supondo-se que os autovalores são da forma λzj = (±)Λ(1−z)Λj−1+γ paraN ímpar e j À 1,
, onde γ é uma fase devido a hibridização é o potencial esplhador.
Substituindo-se na equação
HNA = Λ(N−1)/2
N−1Xn=0
εzn¡f †nzµf(n+1)zµ + h.c.
¢+ Λ(N−1)/2eεfc†fµcfµ
+Λ(N−1)/2eΓ1/2 ³f †0zµcfµ + h.c´+ Λ(N−1)/2 eG hnfi f †0zµf0zµ,a Eq.(4.19) correspondente a banda de condução (primeiro termo do lado direito) e
a equação Eq.(4.15) correspondente ao operador f0zµ nos dois últimos termos do lado
direito da Eq.(4.19). A equação anterior base de operadores elétron-buraco é dada por
HNA =
(N+1)/2Xj=1
nzj
³g†jzµgjzµ + h
†jzµhjzµ
´+ Λ(N−1)/2eεfc†fµcfµ
+Λ(N−1)/4eΓ1/2 (N+1)/2Xj=1
α0jh³g†jzµ + hjzµ
´cfµ + c
†fµ
³gjzµ + h
†jzµ
´i+ eG hnfi (N+1)/2X
j,j0=1
α0jα0j0³g†jzµ + hjzµ
´³gj0zµ + h
†j0zµ
´,
(4.34)
onde para j À 1, α0j é dado pela Eq.(4.16) e Γ = πρ |V|2 . O Hamiltoniano HNA
representa a banda de condução em torno do íon de valência flutuante hibridizada com
o orbital.
Definindo os operadores
a`zµ ≡ g`zµ (` > 0)a`zµ ≡ h†−`zµ (` < 0)a0zµ ≡ cfµ
(4.35)
e os escalares
50
nz0 ≡ eεfΛ(N−1)/2nz−` ≡ −nz` (` < 0)α0j ≡ α0−jeG1 = eG hnfi,
(4.36)
sendo α00 = 0.
Podemos reescreve HNA como
HNA =
(N+1)/2Xj=−(N+1)/2
nzja†jzµajzµ + η0a
†0µa0µ
+Λ(N−1)/4eΓ1/2 (N+1)/2Xj=−(N+1)/2
α0j³a†jzµa0zµ + a
†0zµajzµ
´+ eG1 (N+1)/2X
j=−(N+1)/2
Ãα20ja
†jµajµ +
Xj0 6=j
α0jα0j0a†jµaj0µ
!
Fazendo agora
βj = Λ(N−1)/4eΓ1/2α0j (4.37)
e substituindo em HNA , temos
HNA =
(N+1)/2Xj=−(N+1)/2
nzja†jzµajzµ + η0a
†0zµa0zµ
+
(N+1)/2Xj=−(N+1)/2
βj
³a†jzµa0zµ + a
†0zµajzµ
´+ eG1 (N+1)/2X
j=−(N+1)/2
Ãα20ja
†jµajµ +
Xj0 6=j
α0jα0j0a†jµaj0µ
!,
(4.38)
onde nzj = Λ(1−z)Λj−1, para j À 1, e β0 = 0.
Definindo a como
51
a =
a−Jzµ
a−(J−1)zµ...
a0zµ...
a(J−1)zµ
aJzµ
, (4.39)
onde J =N + 1
2, a Eq.(4.38) pode ser escrita como HN
A = a†HN
Aa ou
HNA = a
†
ηz−J + eG1α20−J · · · eG1α0−Jα0−1 β−J eG1α0−Jα01 · · · eG1α0−Jα0J...
. . ....
...... · · · ...eG1α0−1α0−J · · · ηz−1 + eG1α20−1 β−1 eG1α0−1α01 · · · eG1α0−1α0J
β−J · · · β−1 η0 β1 · · · βJeG1α01α0−J · · · eG1α01α0−1 β1 ηz1 + eG1α201 · · · eG1α01α0J... · · · ...
......
. . ....eG1α0Jα0−J · · · eG1α0Jα0−1 βJ eG1α0Jα01 · · · ηz1 + eG1α20J
a.
(4.40)
O Hamiltoniano HNA está numa forma biquadrática, HN
A = a†HNAa, logo existe uma
matriz U de dimensão (N + 2) × (N + 2) e colunas ortonormais que diagonaliza HNA
através da transformação de similaridade
eUHNAU = λN ,
onde λN é a matriz diagonal dos autovalores de HNA e U é a matriz de autovetores de
HNA . Portanto, H
NA fica diagonalizável na base
ajzµ =+JX`=−J
U`ja`zµ, (4.41)
52
como os operadores bajzµ formam um conjunto completo a transformação inversa é dada
por
a`zµ =JX
j=−JU` jbaj`zµ. (4.42)
Sendo eUU = UeU = 1 temos
HNAU = UλN , (4.43)
onde λN é a matriz dos autovalores λzj de HNA .
A equação anterior pode ser escrita na forma estendida como
η−J + eG1α20−J · · · eG1α0−Jα0−1 β−J eG1α0−Jα01 · · · eG1α0−Jα0J...
. . ....
...... · · · ...eG1α0−1α0−J · · · η−1 + eG1α20−1 β−1 eG1α0−1α01 · · · eG1α0−1α0J
β−J · · · β−1 η0 β1 · · · βJeG1α01α0−J · · · eG1α01α0−1 β1 η1 + eG1α201 · · · eG1α01α0J... · · · ...
......
. . ....eG1α0Jα0−J · · · eG1α0Jα0−1 βJ eG1α0Jα01 · · · η1 + eG1α20J
×
U−J−J · · · U−J−1 U−J0 U−J1 · · · U−JJ...
. . ....
...... · · · ...
U−1−J · · · U−1−1 U−10 U−11 · · · U−1J
U0−J · · · U0−1 U00 U01 · · · U0J
U1−J · · · U1−1 U10 U11 · · · U1J... · · · ...
......
. . ....
UJ−J · · · UJ−1 UJ0 UJ1 · · · UJJ
=
53
U−J−J · · · U−J−1 U−J0 U−J1 · · · U−JJ...
. . ....
...... · · · ...
U−1−J · · · U−1−1 U−10 U−11 · · · U−1J
U0−J · · · U0−1 U00 U01 · · · U0J
U1−J · · · U1−1 U10 U11 · · · U1J... · · · ...
......
. . ....
UJ−J · · · UJ−1 UJ0 UJ1 · · · UJJ
λ−J · · · 0 0 0 · · · 0...
. . ....
...... · · · ...
0 · · · λ−1 0 0 · · · 0
0 · · · 0 λ0 0 · · · 0
0 · · · 0 0 λ1 · · · 0... · · · ...
......
. . ....
0 · · · 0 0 0 · · · λJ
Assim, do produto das matrizes, obtemos as relações
eG1α0k JX6=0`=−J
α0`U`j + ηkUkj + βkU0j = λjUkj (k 6= 0) eJX
6=0`=−Jβ`U`j + η0U0j = λjU0j,
(4.44)
onde β` = eΓ1/2N α0`.
Da segunda relação da Eq.(4.44)
U0j =
eΓ1/2N JX6=0`=−J
α0`U`j
λj − η0, (4.45)
que substituída na primeira relação fica
" eG1 (λj − η0) + eΓNλj − η0
#α0k
λj − ηk
JX6=0`=−J
α0`U`j = Ukj.
Multiplicando ambos os lados da equação acima por α0k e somando em k obtemos
λj − η0eG1 (λj − η0) + eΓN =JX
6=0k=−J
α20kλj − ηk
. (4.46)
Usando a simetria da banda de condução (η−k = −ηk para k < 0) e α0−k = α0k, a
expressão anterior reduz-se a
54
λj − η0eG1 (λj − η0) + eΓN = 2λjJX
k 6=0k=1
α20kλ2j − η2k
.
O somatório do lado direito da equação anterior pode ser resolvido analiticamente
supondo que λj = Λj−1+γ (j À 1), onde γ é a defasagem no autovalor da banda livre
devido à hibridização e ao potencial de espalhamento. Substituindo α0k = α0Λ(k−1)/2 e
ηk = Λk−1 para k À 1
λj − η0eG1 (λj − η0) + eΓN = 2λjα20JX
k 6=0k=1
Λk−1
Λ2(j−1+γ) − Λ2(k−1).
Devido as mesmas razões do Apêndice A, podemos estender o limite superior para +∞e o inferior para −∞, logo
λj − η0eG1 (λj − η0) + eΓN = 2λjα20+∞X
k 6=0k=−∞
Λk−1
Λ2(j−1+γ) − Λ2(k−1).
Resolvendo o somatório do lado direito através da transformação de Sommerfeld-Watson
[24],
+∞Xk 6=0k=−∞
Λk−1
Λ2(j−1+γ) − Λ2(k−1)∼= π
2
cotg (πγ)
|λj| lnΛ +O³e−2π
2/ lnΛ´, (4.47)
O termo proporcional a e−2π2/ lnΛ para Λ = 5 é da ordem de 10−6, portanto pode ser
desconsiderado. Logo
cotg (πγ) =λj|λj|
lnΛ
πα20
(λj − η0)eG1 (λj − η0) + eΓN ,substituindo eΓN = eΓΛ(N−1)/2 e η0 = eεfΛ(N−1)/2 nessa expressão, temos
cotg (πγ) = (±1) lnΛπα20
¡λzj −eεfΛ(N−1)/2¢eG1 (λj −eεfΛ(N−1)/2) + eΓΛ(N−1)/2 , (4.48)
onde o sinal (+) significa autovalor λj acima e o sinal (−) autovalor λj abaixo do nível
55
de Fermi. Substituindo-se na equação anterior
eεf =2
1 + Λ−1εf
eΓ =
µ2
1 + Λ−1
¶22Γ
πeG1 =2
1 + Λ−12G1,
obtem-se
cotg (πγ) = (±)
·(1 + Λ−1)
2Λ−(N−1)/2λzj − εf
¸πG1AΛ
·(1 + Λ−1)
2Λ−(N−1)/2λzj − εf
¸+
Γ
AΛ
, (4.49)
onde AΛ ≡ (1+Λ−1)2
lnΛ(1−Λ−1) e G1 = G hnfi.
Para N grande e ` À 1 os autovalores calculados numericamente, ver Tabelas IV.5
e IV.6, estão em muito bom acordo com os autovalores analíticos para o Hamiltoniano
HNA com G1 6= 0
λzj = (±)Λ(1−z)Λ(j−1+γ) para j À 1, (4.50)
onde a fase γ é dado pela Eq.(4.49).
O Hamiltoniano HNA na forma diagonalizada é dado por
HNA =
(N+1)/2Xj=−(N+1)/2
λzjba†jzµbajzµ,onde λzj = (±)Λ(1−z)Λj−1+γ para j À 1, com γ dado pela Eq.(4.49).
O estado fundamental de muitos corpos de HNA é construido preenchendo-se todos os
níveis de energia de um corpo abaixo do nível de Fermi (EF = 0)
¯bIE = (N+1)/2Yi=0
ba†i↑ba†i↓ |0i , (4.51)
onde |0i representa o estado vácuo.
56
A seguir é feito o cálculo da corrente de fotoemissão do modelo de Anderson do nível
ressonante que devido forma do biquadrada do Hamiltoniano permite sua diagonalização
de forma analítica.
57
Capítulo V
Cálculo Analítico da Corrente de
Fotoemissão no Modelo de Anderson
do Nível Ressonante (U = 0) com
Blindagem
O experimento, conceitualmente mais simples, de fotoemissão é o que tem estados
eletrônicos iniciais altamente localizados. Isto ocorre em fotoemissão de raio-X e também
em fotoemissão a partir de estados de valência. Consideram-se elétrons que partem de
tais estados e deixam o sólido sem nenhum outro espalhamento. No modelo utilizado,
ver Fig.(5.1), o estado fora do material (vácuo), no qual elétron do orbital f é lançado
devido a interação com o raio-X, é representado por um estado b de ondas planas, com
energia cinética Eb. Assim
Hx (t) =WXµ
¡b†µCfµ e
−iωt+h.c.¢, (5.1)
onde ω é a freqüência e W é o elemento de matriz do dipolo do raio-X entre o orbital f
e o nível b.
58
hω
ESTADO INICIAL ESTADO FINAL
+D
-D
0
+D
-D
0|∆|
e-
εk εk
Figura 5.1: Diagrama esquemático da fotoemissão. Quando o raio-X atinge o estadofundamental, o qual está duplamente ocupado, um elétron é lançado no vácuo e elétronrestante fica num estado de energia mais alta.
A energia cedida pelo raio-X vai depender da configuração do estado inicial. Se
for um autoestado com orbital f duplamente ocupado (nf = 2) a energia inicial, é a
energia do fóton (ω) mais a energia do estado fundamental (zero). A energia final é a
energia cinética do elétron no nível b (Eb) mais a energia do estado excitado (|εf + U |),correspondente a configuração final nf = 1. Devido ao,princípio da conservação da
energia, a energia cedida pelo raio-X ε = (ω −Eb) que deve ser igual |εf + U | com U ¿|εf |, no caso do modelo de Anderson do nível ressonante com U = 0. Se a configuração
inicial for um autoestado unitariamente ocupado (nf = 1), a energia inicial é a do fóton
(ω) mais a do estado excitado, em relação a nf = 2, com nf = 1 (|εf + U |). A final é acinética (Eb) mais a do estado excitado com nf = 0 (2 |εf | + U), cedendo o raio-X umaenergia da ordem de |εf |.Faz-se a hipótese de que o raio-X interage fracamente com os elétrons do orbital
iônico. A corrente fotoeletrônica é dada pela regra de ouro de Fermi que se presta para
calcular a probabilidade de transição (por unidade de tempo) de uma configuração nf
para outra configuração nf − 1.
59
σ (ε) =2π
XF
|hF |Hx |Ii|2 δ (EF − ε−EI) , (5.2)
onde ε é a energia cedida pelo raio-X, Hx é o Hamiltoniano da perturbação produzida
pelo raio-X, o estado |Ii é o estado inicial, com energia EI , que é o estado fundamental
com um número de elétrons nf no orbital f e o nível b vazio. O estado |F i é o estadofinal, com energia EF , que é o autoestado excitado, com nível b unitariamente ocupado,
cuja vida média está associada a probabilidade de transição Γ, e o nível f com ocupação
nf − 1.Substituindo-se Hx (t) dado pela Eq.(5.1) em σ (ε) e considerando-se = 1 tem-se
que
σ (ε) = 2πXF
¯¯hF |WX
µ
b†µcfµ e−iωt |Ii
¯¯2
δ (EF − EI − ε) ,
o termo de Hx proporcional a c†fµbµ não é considerado, visto que o nível b está vazio.
Assim
σ (ε)
2πW 2=XF,µ
¯hF | b†µcfµ |Ii¯2 δ (EF −EI − ε) .
Para caso ressonante o ket |Ii é o produto direto do estado fundamental do modeloressonante
¯I®com o nível b vazio e |F i é o produto direto de um autoestado do modelo
do nível ressonante¯F®, tendo um elétron a menos em relação ao estado fundamental,
com o nível b ocupado. Assim a intensidade da linha é¯F¯cfµ¯I®¯2, onde
¯F®= cfµ
¯I®
com a condição de que a diferença de energia entre os autoestados¯F®e¯I®seja igual a
energia cedida pelo raio-X.
O estado inicial é dado por
¯I®=
JYi=0
bai↑bai↓ |0i ,
60
onde |0i é o vácuo, J = (N + 1) /2 todos os níveis de energia de um corpo abaixo do
nível de Fermi estão ocupados. O operador Cfµ
cfµ =JX
j=−JU0jbajµ.
Considerando com estado final aquele constituído pelo estado final de um corpo,
representado por K, vazio, a intensidade da linha correspondente é
|hF | cfµ |Ii|2 = |U0K |2 ,
a energia cedida pelo raio-X, ε = EF −EI = −εK .Utilizando os autovalores para a banda hibridizada com o íon de valência flutuante
λj = (±)Λ(1−z)Λ(j−1+γj),
o sinal (+) significa acima e o sinal (−) abaixo do nível de Fermi, sendo a fase γj é obtidaa partir da Eq.(4.48)
cotg (πγ) = (±1) lnΛπα20
¡λj − eεfΛ(N−1)/2¢eG1 (λj −eεfΛ(N−1)/2) + eΓΛ(N−1)/2 ,
onde
α0 =
µ1− Λ−1
2
¶1/2eεf =
2
1 + Λ−1εf
eΓ =
µ2
1 + Λ−1
¶22Γ
πeG1 =2
1 + Λ−12G1,
(5.3)
que substituídos em cotg¡πγj
¢obtem-se
61
cotg¡πγj
¢= (±)
·(1 + Λ−1)
2Λ(N−1)/2λzj − εf
¸πG1AΛ
·(1 + Λ−1)
2Λ(N−1)/2λzj − εf
¸+
Γ
AΛ
,
onde AΛ ≡ (1+Λ−1)2
lnΛ(1−Λ−1) e G1 = G hnfi. A energia real é dada por
εzj =1 + Λ−1
2λzjΛ
−(N−1)/2,
e definindo-se Γ = Γ/AΛ e G = G/AΛ, chega-se a
cotg¡πγj
¢= (±)
¡εzj − εf
¢π hnfiGΓ
£εzj − εf
¤+ Γ
. (5.4)
A corrente fotoeletrônica é dada por
σ (ε)
2πW 2= |U0K |2 δ [ε (z) +EI −EF ] ,
utilizando-se a seguinte propriedade da função delta de Dirac
δ (f (x)) =Xx0
δ (x− x0)¯df (x)
dx
¯x=x0
,
onde f (x = x0) = 0 eµdf (x)
dx
¶x=x0
6= 0. Assim
σ (ε)
2πW 2=Xµ
|U0K|2 δ (z − z0)¯dε (z)
dz
¯z=z0
,
fazendo-se uma suavização
σ (ε)
2πW 2=Xµ
1
z2 − z1
z2Zz1
σ (ε)
2πW 2dz,
como z2 − z1 = 1 e z1 < z0 < z2 tem-se que
62
σ (ε)
2πW 2=Xµ
z2Zz1
|U0K |2 δ (z − z0)¯dε (z)
dz
¯z=z0
dz,
é igual a
σ (ε)
2πW 2=Xµ
|U0K |2¯dε (z)
dz
¯z=z0
. (5.5)
A expressão para |U0K |2 pode ser encontrada a partir da primeira relação da Eq.(4.44).Portanto UjK é dado por
UjK =eG1 (λzK − η0) + eΓNeΓ1/2N α0j
λzK − ηjU0K (K 6= 0) . (5.6)
Multiplicando-se UjK pelo seu conjugado e somando-se em todos os j,
(N+1)/2Xj=−(N+1)/2
|UjK |2 − |U0K|2 = eΓN |U0K |2 α20 (N+1)/2Xj 6=0j=−(N+1)/2
Λj−1¡λzK − ηj
¢2 .Resolvendo o somatório do lado direito através da transformação de Sommerfeld-Watson
[24],
(N+1)/2Xj 6=0j=−(N+1)/2
Λj−1
(λzK − Λj−1)2∼= π2 cosec2 (πγK)
|λzK | (lnΛ)2+O
³e−2π
2/ lnΛ´.
O segundo termo do lado direito vai muito rapidamente a zero quando Λ → 1, e |UjK |2
somado sobre todos os valores de j (inclusive j = 0),(N+1)/2X
j=−(N+1)/2|UjK |2 = 1, logo
|U0K |2 =eΓΛ(N−1)/2 (lnΛ)2 |λzK |eΓΛ(N−1)/2 (lnΛ)2 |λzK |+ π2α20
h eG1 (λzK − eεfΛ(N−1)/2) + eΓΛ(N−1)/2i2 cosec2 (πγK) ,(5.7)
onde λzK é o K-ésimo autovalor de energia da banda de condução hibridizada, Λ > 1 é o
63
parâmetro de discretização da banda de condução, eΓ é a largura do orbital iônico devidoa hibridização, eG1 é o potencial espalhador dos elétrons de condução no sítio do íon e γKé a defasagem devido a hibridização e ao potencial espalhador.
O autovalor λzK é dado por
λzK = −Λ(1−z)Λ(j−1+γK) < 0,
abaixo do nível de Fermi e a fase γK , ver Eq.(5.4),
cotg (πγK) = −(εzK − εf)
π hnfiG [εzK − εf ] + Γ=
(|εzK|+ εf)
Γ− π hnfiG [|εzK |+ εf ], (5.8)
onde εzK =1 + Λ−1
2Λ−(N−1)/2λzK , Γ = Γ/AΛ e G = G/AΛ. Substituindo-se as Eqs.(5.8) e
(5.3) em |U0K|2 obtem-se
|U0K |2 =Γ
π|εzK| (lnΛ)
Γ
π|εzK | (lnΛ) +
£Γ− π hnfiG (|εzK |+ εf)
¤2+ (|εzK |+ εf)
2
, (5.9)
onde utilizou-se a identidade trigonométrica cosec2 x = 1+ cotg2 x. Na equação anterior
εzK < 0, Γ = Γ/AΛ, G = G/AΛe AΛ =1 + Λ−1
2
lnΛ
1 + Λ−1.
A corrente fotoeletrônica
σ (ε)
2πW 2=Xµ
|U0K |2¯dε (z)
dz
¯z=z0
, (5.10)
onde ε (z) = −εzK =1 + Λ−1
2Λ(1−z)Λ(j−1+γK)Λ−(N−1)/2, com εzK < 0.
Tomando-se o logarítmo de ε (z)
ln ε (z) = ln
·1 + Λ−1
2Λ−(N−1)/2
¸+ ln
£Λ(1−z)
¤+ ln
£Λ(j−1+γK)
¤= ln
·1 + Λ−1
2Λ−(N−1)/2
¸+ (−z + j + γK) lnΛ,
64
derivando em relação a z
1
ε (z)
dε (z)
dz=
µ−1 + dγK
dz
¶lnΛ, (5.11)
com
cotg (πγK) = −(εzK − εf)
π hnfiG [εzK − εf ] + Γ=
ε (z) + εf
Γ− π hnfiG [ε (z) + εf ],
derivando-se em relação a z
dγKdz
= − Γ
π cosec2 (πγK)©Γ− π hnfiG [ε (z) + εf ]
ª2 dε (z)dz
substituindo-se este resultado na Eq.(5.11)
1
ε (z)
dε (z)
dz=
Ã−1− Γ
π cosec2 (πγK)©Γ− π hnfiG [ε (z) + εf ]
ª2 dε (z)dz
!lnΛ
dε (z)
dz= −
ε (z)n(ε (z) + εf)
2 +£Γ− π hnfiG (ε (z) + εf)
¤2olnΛ
(ε (z) + εf)2 +
£Γ− π hnfiG (ε (z) + εf)
¤2+ ε (z)
Γ
πlnΛ
,
substituindo-se este resultado e a Eq.(5.9) na Eq.(5.10)
σ (ε)
2πW 2=
Xµ
|U0K |2¯dε (z)
dz
¯z=z0
=Xµ
Γ
π|ε (z)| (lnΛ)
|ε (z)| Γπ(lnΛ) +
£Γ− π hnfiG (|ε (z)|+ εf)
¤2+ (|ε (z)|+ εf)
2
¯¯z=z0
×
¯¯−(ε (z) + εf)
2 +£Γ− π hnfiG (ε (z) + εf)
¤2+ ε (z)
Γ
πlnΛ
ε (z)n(ε (z) + εf)
2 +£Γ− π hnfiG (ε (z) + εf)
¤2olnΛ
¯¯z=z0
,
65
fazendo-se ε (z0) = ε e εK = −ε (z0) = ε tem-se que
σ (ε)
2πW 2=
Xµ
Γ
πε (lnΛ)
εΓ
π(lnΛ) +
£Γ− π hnfiG (ε+ εf)
¤2+ (ε+ εf)
2
×(ε+ εf)
2 +£Γ− π hnfiG (ε+ εf)
¤2+ ε
Γ
πlnΛ
εn(ε+ εf)
2 +£Γ− π hnfiG (ε+ εf)
¤2olnΛ
,
tomando-se o limite Λ→ 1⇒ lnΛ→ 0, AΛ → 1, Γ = (Γ/AΛ)→ Γ e G→ G, somando-
se nos spins chega-se finalmente a equação da corrente fotoeletrônica para o modelo de
Anderson do nível ressonante
σ (ε)
2πW 2=2
π
Γ
(ε+ εf)2 + [Γ− π hnfiG (ε+ εf)]
2 , (5.12)
onde ε é a energia cedida pelo raio-X, εf é a energia de ligação do orbital da impureza
magnética, Γ é a hibridização entre a banda de condução do metal hospedeiro e orbital
da impureza magnética e G é potencial de espalhamento no sítio do orbital.
Para caso ressonante (U = 0) e quando |εf | À Γ pode-se considerar que no estado
fundamental o orbital está praticamente com ocupação dupla, assim hnfi ' 2 logo, verFig.(2.3),
σ (ε)
2πW 2=2
π
Γ
(ε+ εf)2 + [Γ− 2πG (ε+ εf)]
2 (5.13)
A corrente de fotoemissão σ (ε) para εf = −0.10, Γ = 0.01 e vários as valores de
G são mostrados Fig.(5.2) a seguir. Como pode ser visto considerando-se inicialmente a
corrente σ (ε) para G = 0 (linha escura) tem-se um pico de largura da ordem Γ localizado
em ε0 ≈ |εf |, onde Γ é a hibridização e εf é a energia de ligação A medida que G
aumenta a diminui largura e aumenta altura do pico. A posição do pico passa ocorrer
em ε > |εf |. Para o caso G ' 1/2π a energia onde ocorre o pico tem seu valor máximo
εmax = |εf − Γ/2|. Assim para valores de G > 1/2π as posições do pico passam a ser
66
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20ε
0
20
40
60
80
100
120
140
160
σ(ε)
G = 0.00G = 0.05G = 0.10G = 0.30
Figura 5.2: Corrente σ (ε) em função de ε para εf = −0.10, Γ = 0.01 e alguns valores dopotencial espalhador G. A medida que G aumenta ocorre uma variação na posição dopico seguida de uma redução da largura diminui e um aumento da altura do mesmo. Nolimite G → ∞ a corrente σ (ε) tente para um linha (delta de Dirac) centrada ε = |εf |,ou seja um orbital muito bem localizado.
ε0 < |εf − Γ/2| tentendo para ε0 = |εf | a medida que G aumenta. Como largura do picoestá relacionado a hibridização, o aumento do potencial G de espalhamento leva a um
efeito de competição entre a hibridização Γ , de forma que para G → ∞ o espectro de
fotoemissão é uma linha (delta de Dirac) centrada em ε = |εf | indicando que o orbitalf está completamente desacoplado da banda de condução. Tem-se então um estado do
tipo orbital livre e muito bem localizado.
Da Fig.(5.2) pode-se deduzir que os parâmetros εf e Γ da corrente de fotoemissão
com G = 0 sofrem uma renormalização quando G > 0. Isto poder ser demonstrado a
partir do denominador da Eq.(5.12)
67
(ε+ εf)2 + [Γ− π hnfiG (ε+ εf)]
2 =¡1 + π2 hnfi2G2
¢×"ε+
Ãεf − π hnfiΓG
1 + π2 hnfi2G2
!#2+
ÃΓ
1 + π2 hnfi2G2
!2,que substituído leva a
σ (ε)
2πW 2=2
π
£Γ/¡1 + π2 hnfi2G2
¢¤"ε+
Ãεf − π hnfiΓG
1 + π2 hnfi2G2
!#2+
ÃΓ
1 + π2 hnfi2G2
!2 , (5.14)
a partir da qual defini-se os parâmetros renormalizados
εfG = εf − π hnfiΓG1 + π2 hnfi2G2
e
ΓG =Γ
1 + π2 hnfi2G2,
(5.15)
portanto
σ (ε)
2πW 2=2
π
ΓG
(ε+ εfG)2 + Γ2G
, (5.16)
tem-se uma lorentziana de largura ΓG centrada em ε = −εfG, portanto a corrente σ (ε)com G 6= 0 pode ser mapeada na corrente com G = 0 utilizando-se os parâmetros
renormalizados εG e ΓG.
Vamos considerar o limite G→∞, o que leva εfG → εf e ΓG → 0 substituindo-se na
equação anterior
σ (ε)
2πW 2= lim
ΓG→02
π
ΓG
(ε+ εf)2 + Γ2G
,
neste caso tem-se que
68
σ (ε)
2πW 2→ 0 para ε 6= −εf∞ para ε = −εf ,
visto que denominador de σ (ε) /2πW 2 vai mais rápido a zero quando ε→ −εf e ΓG → 0
do que o numerador. A corrente de fotoemissão comporta-se com uma delta de Dirac
centrada em ε = −εf , nesta situação tem-se um orbital muito bem localizado. A correntede fotoemissão está relacionada a um parâmetro estático, o número médio de ocupação
hnfi, através da regra de soma de Friedel o que será visto a seguir.A corrente foteletrônica pode ser relacionada ao número de ocupação médio hnfi do
orbital iônico através da regra da soma de Friedel
σ (ε)
2πW 2=XF
hI|Xµ
C†fµbfµ |F i hF |Xµ0b†µ0Cfµ0 |Ii δ (EF −EI − ε) ,
integrando-se em ambos os lados
∞Z0
σ (ε)
2πW 2dε =
XF
hI|Xµ
C†fµbµ |F i hF |Xµ0b†µ0Cfµ0 |Ii ,
a partir da relação de completeza
XF
|F i hF | = 1,
obtem-se
1
2πW 2
∞Z0
σ (ε) dε =Xµ,µ0
hI|C†fµbµb†µ0Cfµ0 |Ii ,
sendo bµb†µ0 + b
†µ0bµ = δµµ0
1
2πW 2
∞Z0
σ (ε) dε =Xµ,µ0
hI|C†fµCfµ0 |Ii δµµ0 −Xµ,µ0
hI|C†fµb†µ0bµCfµ0 |Ii ,
69
os operadores bµ e Cfµ0 anticomutam tem-se que
1
2πW 2
∞Z0
σ (ε) dε =Xµ,µ0
hI|C†fµCfµ0 |Ii δµµ0 +Xµ,µ0
hI|C†fµb†µ0Cfµ0bµ |Ii ,
para o problema em questão bµ |Ii = 0, portanto
1
2πW 2
∞Z0
σ (ε) dε =Xµ,µ0
hI|C†fµCfµ0 |Ii δµµ0,
assim
1
2πW 2
∞Z0
σ (ε) dε =Xµ
hI|C†fµCfµ |Ii = hnfi . (5.17)
A verificação do resultado pode ser feita integrando-se a Eq.(5.12) em relação a energia
ε
∞Z0
σ (ε)
2πW 2dε =
∞Z0
2
π
Γ
(ε+ εf)2 + [Γ− πG hnfi (ε+ εf)]
2dε,
obtendo-se
∞Z0
σ (ε)
2πW 2dε = 1− 2
πtg−1
·εf − πG hnfi (Γ− πG hnfi εf)
Γ
¸= hnfi , (5.18)
que é igual ao equação transcentendal para número médio de ocupação hnfi obtido naEq.(A.12) do Apêndice A.
A partir da Eq.(5.17), observa-se que a integral da corrente fotoeletrônica em função
da energia cedida pelo raio-X é igual ao número de ocupação do orbital iônico hnfi, queé uma grandeza estática, então a corrente fotoeletrônica pode ser interpretada como uma
densidade de estados, assim a mesma também pode ser utilizada para se calcular o calor
específico e a susceptibilidade de impureza para baixas temperaturas.
70
Capítulo VI
Conclusões
No primeiro capítulo, foi feita uma pequena apresentação da espectroscopia fotoeletrônica
de Raio-X (XPS) e dos compostos de valência flutuante e sua importância para este tra-
balho..
No segundo capítulo mostramos a representação matemática para o modelo de An-
derson, com o potencial espalhador G. A seguir escrevemos hamiltoniano numa base
apropriada a aplicação da teoria do grupo de renormalização numérico.
No capítulo três temos a parte mais expressiva deste trabalho, onde utilizamos a
teoria do grupo de renormalização numérico, para resolver o problema de acoplamento
do orbital da impureza as várias escalas de energia da banda de condução, definimos
uma nova base para o hamiltoniano de condução, a partir da qual encontramos uma
energia que em comparação com a energia cedia pelo raio-X, serve de base para truncar
o hamiltoniano do nosso problema.
No capítulo quatro analisamos os pontos fixos do nosso problema, observando a in-
variância do autovalores e autovetores próximos ao nível de Fermi, e fizemos as demon-
strações para diagonalização do hamiltoniano de Anderson e suas transformações de
escala que serve para identificar os pontos fixos.
No capitulo cinco foi feito um cálculo analítico da corrente de fotoemissão, para isto
usamos uma propriedade da função delta de Dirac para o nosso problema, onde o valor
71
da corrente de fotoemissão conserva todos os parâmetros relevantes do modelo inclusive
o potencial espalhador G. Foi feito um gráfico (Fig. (5.2)), mostrando a corrente de
fotoemissão para os diversos valores de G e o efeito competitivo entre G e a hibridização
Γ.
Uma extensão deste trabalho seria calcular a corrente de fotoemissão para U 6= 0 eT > 0, bem como o calor específico e susceptibilidade magnética de impureza.
72
Apêndice A
Número Médio de Ocupaçãonf®do
Nível Ressonate
O número médio de ocupação hnfi do orbital f do modelo de Anderson do nívelressonante para o sistema no estado fundamental é calculado pela expressão
hnfµi = hI| c†fµcfµ |Ii , (1.1)
onde cfµ é o operador que aniquila um elétron com energia εf e projeção de spin µ no
orbital f do íon de Anderson, |Ii é o estado fundamental de muitos corpos, com todos osníveis abaixo do nível de Fermi preenchidos, que para o orbital hibridizado com a banda
de condução é dado pela Eq.(4.51).
A partir das Eqs.(4.35) e (4.42) temos que
a0µ ≡ Cfµ
a0µ =+JXj=−J
U0jbajµ, (1.2)
onde J ≡ (N + 1)/2. Portanto
73
hnfµi =+JX
m=−J|U0m|2 . (1.3)
A expressão para |U0m|2 pode ser encontrada a partir da Eq.(5.7)
|U0m|2 =eΓΛ(N−1)/2 (lnΛ)2 |λm|eΓΛ(N−1)/2 (lnΛ)2 |λm|+ π2α20
h eG1 (λm −eεfΛ(N−1)/2) + eΓΛ(N−1)/2i2 cosec2 (πγm) ,(1.4)
onde λm é o m-ésimo autovalor de energia da banda de condução hibridizada, Λ > 1 é o
parâmetro de discretização da banda de condução, eΓ é a largura do orbital iônico devidoa hibridização e γm é a defasagem devido a hibridização e eG1 é o potencial espalhadorentre a banda de condução e um nível profundo. Os parâmetros são iguais a
α0 =
µ1− Λ−1
2
¶1/2eΓ =
µ2
1 + Λ−1
¶22Γ
πeG1 =
µ2
1 + Λ−1
¶2G hnfi
eεf =
µ2
1 + Λ−1
¶εf ,
(1.5)
e a defasagem γm é dada por (ver Eq.(4.48))
cotg (πγm) =λm|λm|
lnΛ
πα20
¡λm − eεfΛ(N−1)/2¢h eG1 (λm − eεfΛ(N−1)/2) + eΓΛ(N−1)/2i ,
onde λm = −Λm−1+γm, pois somente os níveis abaixo do nível de Fermi estão preenchidos.Em termos das energias não escalonadas
Em = 1 + Λ−1
2Λ−(N−1)/2λm, (1.6)
74
a Eq.(1.4) pode ser reescrita como
|U0m|2 =2Γ
π|Em| (lnΛ)2
2Γ
π|Em| (lnΛ)2 +
µ2
1 + Λ−1
¶4α20 [πG hnfi (Em − εf) + Γ]2 cosec2 (πγm)
, (1.7)
e a defasagem
cotg (πγm) =(|Em|+ εf)·
Γ
AΛ− πG hnfi
AΛ(|Em|+ εf)
¸ , (1.8)
onde AΛ =1+Λ−12
lnΛ1−Λ−1 . Utilizando esse resultado e a identidade trigonométrica
cosec2 x = 1 + cotg2 x,
a expressão para |U0m|2 fica da forma
|U0m|2 =Γ
π|Em| (lnΛ)
Γ
π|Em| (lnΛ) +
£Γ− πG hnfi (|Em|+ εf)
¤2+ (|Em|+ εf)
2
, (1.9)
onde Γ ≡ Γ
AΛe G1 ≡ G
AΛ. Para uma pequena variação em Em
dEm = −|Em| (lnΛ)
n£Γ− πG hnfi (|Em|+ εf)
¤2+ (|Em|+ εf)
2o
Γ
π|Em| (lnΛ) +
£Γ− πG hnfi (|Em|+ εf)
¤2+ (|Em|+ εf)
2
dm, (1.10)
ou
∆Em = −|Em| (lnΛ)
n£Γ− πG hnfi (|Em|+ εf)
¤2+ (|Em|+ εf)
2o
Γ
π|Em| (lnΛ) +
£Γ− πG hnfi (|Em|+ εf)
¤2+ (|Em|+ εf)
2
∆m, (1.11)
75
que comparada com a Eq.(1.9) resulta em
|U0m|2 =Γ
π£Γ− πG hnfi (|Em|+ εf)
¤2+ (|Em|+ εf)
2
∆Em∆m
.
Fazendo ∆m = 1 e lembrando que hnfµi =+JX
m=−J|U0m|2, temos
hnfµi = −(N+1)/2Xm=1
Γ
π£Γ− πG hnfi (|Em|+ εf)
¤2+ (|Em|+ εf)
2∆Em.
Nos limite N → ∞ e ∆Em → 0 o somatório pode ser aproximado por uma integral, e
lembrando que Em < 0, a expressão pode ser reescrita como
hnfµi ∼=∞Z0
Γ
π£Γ− πG hnfi (|Em|+ εf)
¤2+ (|Em|+ εf)
2dEm,
cuja solução é
hnfµi ∼= 1
π
"π
2− tg−1
£εf + πG hnfi
¡πG hnfi εf − Γ
¢¤Γ
#,
no limite de Λ→ 1, AΛ → 1, conseqüentemente Γ→ Γ, G→ G e
hnfµi ∼= 1
π
·π
2− tg−1 [εf + πG hnfi (πG hnfi εf − Γ)]
Γ
¸.
Como o modelo tem degenerescência de spin hnf↑i = hnf↓i,
hnfi =Xµ
hnfµi = 1− 2πtg−1
·εf − πG hnfi (Γ− πG hnfi εf)
Γ
¸. (1.12)
Definindo os parâmetros renormalizados
76
ΓG ≡ Γ
1 + π2G2 hnfi2εfG ≡ εf − πG hnfiΓG,
(1.13)
logo
hnfi = 1− 2πtg−1
µεfGΓG
¶, (1.14)
que é o número de ocupação com os parâmetros renormalizados εfG e ΓG, o que é da
mesma forma do caso G = 0, quando εfG = εf e ΓG = Γ.
77
Referências
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1044 (1980).
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78
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derson para Compostos de Terras-Raras com Valência Flutuante”,USP — Instituto
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[14] Ver Ref. [2] seção VIII.
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mann and Jonh Wiley & Sons, 1048 (1977).
[16] Líbero, V. L. , Tese de Doutorado (não publicada), “Cálculos de Espectros de Fotoe-
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[17] Yoshida, M., Whitaker, M. A. e Oliveira, L. N.; Phys. Rev. B 41, 9403 (1990).
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