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ESTIMATIVA DA INCERTEZAC fi bilid d d M di õC fi bilid d d M di õConfiabilidade das MediçõesConfiabilidade das Medições
As informações de bom curso devem ser objetivas e diretas !!!!!!!!devem ser objetivas e diretas !!!!!!!!
São Paulo -2009 1Walter Link
Roteiro1- Benefícios
2 C it2- Conceitos
3- Formulação matemática
4 Estatística básica4- Estatística básica
5- Tipos de incertezas
6- Distribuição de probabilidades6- Distribuição de probabilidades
7- Fontes das incertezas
8- Passo a passo8 Passo a passo
9- Aplicações
10- UFA!!!!!!!
Walter Linkwalter link@uol com br
São Paulo -2009 2
– walter_link@uol.com.br- 84 - 94314182
introdução
A id d d l b tó i d i lib ãA necessidade de os laboratórios de ensaios e calibração
apresentarem seus resultados com estimativa de incerteza gerou a
elaboração do Guia para Expressão da Incerteza de Medição da ISO
(International Organization for Standardization) – ISO GUM 1995. Mas
em muitos casos, principalmente na área de ensaios, a metodologiaem muitos casos, principalmente na área de ensaios, a metodologia
proposta não se tem mostrada a mais adequada ou viável, seja pelas
condições inerentes aos ensaios quer pela complexidade dos cálculos
envolvidos
São Paulo -2009 3
envolvidos.
introdução
Por estas razões está sendo apresentada, pela versão ISO GUM – 2005,
formas alternativas para o cálculo da incerteza de medição. A forma
alternativa proposta é o uso do método de Monte Carlo, que embora
bastante “badalado” não é de todo simples e de fácil aplicação. Ap p ç
principal razão dessa mudança é, muitas vezes, a presença de
grandezas de influência do tipo B e este fato induz a um resultado nemgrandezas de influência do tipo B e este fato induz a um resultado nem
sempre correto ao intervalo atribuído à incerteza.
A base para a aplicação da simulação de Monte Carlo no cálculo da
incerteza consiste em obter aleatoriamente um número grande de
possíveis valores para uma grandeza de entrada com uma dada
distribuição e repetir o procedimento para cada grandeza de entrada ou
São Paulo -2009 4
influência.
introdução
A publicação UKAS M3003 – The Expression of Uncertainty and
Confidence – 2007, sugere a aplicação do método da convolução entre
a incerteza normal e a incerteza do tipo B dominante com alternativa ao
método de Monte Carlo.
As diferenças entre os estes métodos
serão apresentadas no fim do trabalho.serão apresentadas no fim do trabalho.
São Paulo -2009 5
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Quantos tipos de ruídos você conhece?
São Paulo -2009 6
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Benefícios
Mede a qualidade de um resultadousuários podem escolher a relação custo/qualidade apropriadousuários podem escolher a relação custo/qualidade apropriadolaboratórios podem escolher o melhor método, otimizando também
o equilíbrio entre custo e qualidade.q q
Torna mais eficiente o uso de um resultadoapresentação correta do resultado, com um número adequado de
algarismos significativos, evidenciando sua credibilidademelhor interpretação dos resultados, levando em conta sua
incerteza.
São Paulo -2009 7
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
BenefíciosBenefícios
Permite efetiva comparação entre resultadosde diferentes laboratórios (na indústria e na intercomparação)no laboratório (coerência interna - auditorias)com valores de referência de normas ou especificações (paracom valores de referência de normas ou especificações (para,
p.ex., análise de conformidade)
Permite identificar pontos fracos e críticos nos métodos,possibilitando (quando viável) a melhoria dos mesmosp (q )
São Paulo -2009 8
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
O que ocorre em uma medição ?O que ocorre em uma medição ?
ÇÇ
O que ocorre em uma medição ?O que ocorre em uma medição ?
Toda medição envolve de certa maneira ações, ajustes,
condicionamentos e registros das indicações de um instrumento.
Este conjunto de informações é utilizado para obter o valor de
uma grandeza (mensurando) a partir das grandezas de entrada
X1, X2, X3, ...Xn através de uma função f .
São Paulo -2009 9
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOEsta definição é sintetizada pela figura 1, onde:
ÇÇ
X1
X2Ymensurando ffXn
Y
Modelo matemático
ff
Y grande a de saída (interesse)
Figura 1 - Modelo sintético de uma medição
Y grandeza de saída (interesse)
f função de transferência (modelo matemático do experimento)
Xi grandezas de entrada (influência)
Formalmente pode se escrever Y = f(X X X X ) 1 1Formalmente pode-se escrever Y = f(X1, X2, X3,..... Xn) - 1.1
São Paulo -2009 10
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOSe fosse só isso seria fácil determinardeterminar o valor de uma grandeza
ÇÇ
Na prática, porém, o conhecimento das variáveis ou
grandezas de influência nem sempre são completas e assim é
necessário falar-se de incerteza do valor obtido. É por isso
que o resultado de uma medida não pode ser expresso por um
simples número.
HáHá umum intervalointervalo ouou conjuntoconjunto dede valoresvalores queque podempodem serser
associadosassociados aoao resultadoresultado dada mediçãomedição.. AA amplitudeamplitude destedeste
intervalointervalo éé umum bombom avaliadoravaliador dada qualidadequalidade dada medidamedida..qq
São Paulo -2009 11
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Medir é Comparar !!PP
tpErro de zero
Erro de gravação
tm
MErro de gravação
M = + E1 + E2 + E3 + E4P
0,6 ou 0,7
Não é fácil ?São Paulo -2009
12Erro de ”leitura”
Não é fácil ?
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
São Paulo -2009 13
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOFERRAMENTAS ESTATÍSTICAS
Média aritmética (X): representa a tendência central de um conjunto de
FERRAMENTAS ESTATÍSTICAS
xxxxx
n
ii
n∑
==+++
= 121 ........
( ) p jdados amostrais
nnx ==
Problema: Sensível a valores extremos
Mediana: média dos dois valores centrais de um conjunto de valoresordenados em ordem crescente quando o número de dados for par e o valorordenados em ordem crescente quando o número de dados for par e o valorque divide a amostra em dois subconjuntos iguais.
2 1 2 3 2 4 /2 4 2 5/ 2 5 2 6 2 6 mediana = (2 4+2 5)/2=2 452,1-2,3-2,4-/2,4-2,5/-2,5-2,6-2,6 mediana = (2,4+2,5)/2=2,45
2,1-2,3-2,4-/2,4/-2,5-2,5-2,6 mediana = 2,4
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INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃODesvio padrão: medida mais conhecida de um conjunto deresultados em relação à média
( )2( )1
2
−
−=
∑n
xxs
i
1nIntervalo de confiança:utilizando a distribuição de Student, pode-sefazer inferência sobre a média, quando o valor do desvio padrão dapopulação é desconhecido através do intervalo de confiançapopulação é desconhecido, através do intervalo de confiançacalculado por:
st±n
tx n 1−±=µ
Sendo µ a média da população, n o número de medições e tn-1 é ovalor crítico de t tabelado com n-1 graus de liberdade e determinadonível de confiança.
São Paulo -2009 15
ç
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOExemplo:
0,530 0,541 0,531 0,550 0,530 0,5411 5 t (95%) 2 571n-1 = 5 tn-1(95%) = 2,571
µ = 0,537 ± 0,008
Este resultado significa que se tem uma chance de 95% de que µesteja no intervalo 0,529 e 0,545
Teste de significância: quando for necessário decidir se um métodode medição é melhor que outro utiliza se hipótese de que não háde medição é melhor que outro utiliza-se hipótese de que não hádiferença entre eles, isto é, quaisquer diferenças são devidas a errosaleatórios no processo metrológico. Esse tipo de hipótese éd i d hi ót l (E H ét d A ét d B)denominado hipótese nula (Ex.: H0: método A = método B) osprocessos que habilitam a decidir se uma hipótese nula será aceitaou rejeitada são os testes de significância.
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INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
•Comparação de uma média experimental com um valorverdadeiro (µ): neste caso se assume que qualquer diferença entreverdadeiro (µ): neste caso se assume que qualquer diferença entreum valor real e um valor medido é devida somente a erros aleatóriose a probabilidade que tal diferença se origina de erros aleatórios, e éd d
( ) nxt = µ
dada por:
( )s
xtn ⋅−=− µ1
Se o valor calculado tn-1 exceder certo valor crítico tabelado de t ahipótese é rejeitada, ou seja, as medias são diferentes.p j j
São Paulo -2009 17
•Comparação de duas médias: para comparar os resultados de duasINCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
•Comparação de duas médias: para comparar os resultados de duasmetodologias (ou o desempenho de dois técnicos). Neste caso tem-seduas médias e se verifica se ambas não diferem significativamente. Se
d i ti d i d ã i il l los dois grupos tiverem desvios padrão similares, calcula-seinicialmente, uma estimativa combinada de s a partir dos desviospadrão individuais s1 e s2 através de:
( ) ( )( )2
11
21
222
211
−+−+−
=nn
snsns ( )21
em que (n1-1) e (n2-1) são os graus de liberdade de cada conjuntode valores O valor de t é dado por:
( )⎞⎜⎛ +
−= 21
11
xxt
de valores. O valor de t é dado por:
⎠⎞⎜
⎝⎛ +
21
11nns
Sendo que t têm (n1+n2-2) graus de liberdade. Novamente, se o valorl l d d t d l íti t b l d hi ót l é
São Paulo -2009 18
calculado de t exceder o valor crítico tabelado, a hipótese nula érejeitada.
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
•Teste F para comparação de desvios padrão: considera arelação entre as variâncias de duas medições isto é a razão entre
2
relação entre as variâncias de duas medições, isto é, a razão entreos quadrados dos desvios padrão que é calculada por:
2
21
ssF =
2sOs valores de s1 e s2 são alocados na equação de modo seja sempremaior que 1. Se o valor calculado exceder um determinado valor tabeladoa hipótese nula é rejeitada.
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INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO•Teste emparelhado: para comparar duas técnicas de mediçãoavaliando amostras que tem a característica medidasignificativamente diferente e cujos desvios padrão não sãosignificativamente diferente e cujos desvios padrão não sãoiguais. Neste caso aplica-se o teste t emparelhado. Se o valorcalculado de t exceder o valor tabelado a hipótese nula é
O
nd
rejeitada. O cálculo de t é dado por:
dt s
ndt =
em que dt é a diferença entre as médias dos resultados obtidospor duas técnicas diferentes e sd é o desvio padrão das diferençaspor duas técnicas diferentes e sd é o desvio padrão das diferençasentre cada par de medidas e t tem n-1 graus de liberdade.
São Paulo -2009 20
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
“OUTLIERS”: todo técnico deve saber como tratar um valorOUTLIERS : todo técnico deve saber como tratar um valorde um conjunto de dados que difere, aparentemente semrazão, de outros valores medidos. Tal valor é chamado dediscrepante (outlier) O teste Q de Dixon é usado paradiscrepante (outlier). O teste Q de Dixon é usado paraanalisar este valor suspeito:
( )VV( )( )ValorMenorValorMaior
VVQ próximomaissuspeito
−−
=
O valor calculado é comparado com um valor crítico tabelado eO valor calculado é comparado com um valor crítico tabelado ese exceder tal valor o dado suspeito é excluído.
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INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Conceitos intuitivosI tIncerteza
parâmetro associado ao resultado para caracterizar a di ã d l álid
Valores Verdadeiros ??dispersão dos valores válidos
2500030000estimativa do intervalo em que deve estar o
valor verdadeiro
100001500020000
05000
10000
Média
Incerteza141822263034384246505458
Incerteza
São Paulo -2009 22
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
De acordo com o “ISO-GUM ” incerteza de uma medida é:
Um parâmetro, associado ao resultado de uma medição, que
caracteriza a dispersão dos valores que podem ser,p q p ,
razoavelmente, atribuídos ao mensurando, com um dado nível de
confiançaconfiança.
Assim :Assim :
O resultado de uma medição só é completo se composto
de duas partes o valor associado (r e s u l t a d o) ao mensurandode duas partes, o valor associado (r e s u l t a d o) ao mensurando
e a incerteza da medição, inerente ao processo de medição.
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1 1 -- Grandezas e UnidadesGrandezas e Unidades1.12 SISTEMA
INTERNACIONAL DEUNIDADES - SI, m
(I i l S f
Sistema coerente de unidades adotado erecomendado pela Conferência Geral de Pesose Medidas (CGPM)(International System of
Units, SI)(Systéme Internationald'Unités, SI)
e Medidas (CGPM).
Observação:O Sl é baseado, atualmente, nas sete unidades de base
seguintes:
massa ‐ kgtempo ‐ s
temperatura ‐ Kintensidadeintensidadeluminosa ‐ cd
corrente tid d correnteelétrica ‐ A quantidade
de matéria ‐molconfuso ???
i
São Paulo -2009 24
comprimento ‐m
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃONecessidade adicional e muito importante
R t bilid d
ÇÇ
Rastreabilidade
propriedade de um resultado de medição estar relacionado a padrõesvalidados ou referências nacionais através de uma cadeia contínua decomparações com incertezas conhecidas
País IIPaís I
ade
Laboratório Nacional
Laboratório Secundário abili
da
valor verdadeiro
Laboratório Industrial
rast
re
valor verdadeiro
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INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
São Paulo -2009 26
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Na avaliação de qualquer medição as grandezas de influência são
substituídas por seus estimadores, com a mesma distribuição de
probabilidades da grandeza considerada, que fornecem a
melhor estimativa do valor medido:
E[X ] E[X ] E[X ] 1 2x1 = E[X1], x2 = E[X2],......xn = E[Xn] - 1.2
Estes valores estão relacionados entre si pela equação matemáticaEstes valores estão relacionados entre si pela equação matemática
que representa o processo de medição.
y = E[Y] = f(x1,x2,.....xn) - 1.3
São Paulo -2009 27
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
As variâncias dos estimadores descrevem de maneira
consistente a dispersão de seus valores A raiz quadrada positivaconsistente a dispersão de seus valores. A raiz quadrada positiva
das variâncias é usada para avaliação da incerteza da medição.
Por causa da natureza fundamental da variância na estatística e
porque a raiz quadrada da variância é o chamado desviodesvio
padrãopadrão, este valor é denominado incerteza padronizada (nível
u2(x ) = var[X ] u2(x ) = var[X ] u2(x ) = var[X ] - 1 4
de probabilidade de 68%) da medição.
u2(x1) = var[X1], u2(x2) = var[X2],......., u2(xn) = var[Xn] - 1.4
e u2(y) = var[Y] - 1.5
São Paulo -2009 28
e u (y) var[Y] 1.5
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
De acordo com a equação 1.2 a dispersão dos valores das
grandezas de entrada x x x x promovem a dispersão dagrandezas de entrada x1, x2, x3, ...xn, promovem a dispersão da
grandeza de saída y, que pode ser calculada pela versão linearizada
da lei da propagação das variâncias (Lei de Gauss) :
( ) ( )∑=n
yuyu 221 6( ) ( )∑
=
=i
i yuyu1
- 1.6
São Paulo -2009 29
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Cada contribuição da incerteza (grandeza de influência) pode ser
expressa, a partir da equação 1.1, por : ui(y) = ciu(xi) - 1.7
iXXXii x
fXfc
∂∂
=∂∂
= - 1.8onde:
ixXxXxXinnii === ,......,, 22
Estas derivadas são chamadas de coeficientes de sensibilidadecoeficientes de sensibilidadeEstas derivadas são chamadas de coeficientes de sensibilidadecoeficientes de sensibilidade..
O coeficiente de sensibilidade indica, em termos matemáticos, o
quanto o valor de saída y depende de cada um dos valores de
entrada x x xSão Paulo -2009 30
entrada x1,x2,.....,xn.
Exemplificando (simplificando)
A física ensina que a dilatação linear de qualquer material dependeda variação da temperatura em relação à de referência,normalmente 20°C, e do coeficiente de dilatação linear do materialem estudo.
Lt = L20x[1 +αx(t-20)]
Lt – L20 = ∆L ∆t = (t – 20)
∆L L ∆t∆L = L20xαx∆t
Para um aumento de 1°C (1K) o comprimento variará de L20xα( ) p 20
Portanto o coeficiente de sensibilidade é :Portanto o coeficiente de sensibilidade é : L αPortanto o coeficiente de sensibilidade é :Portanto o coeficiente de sensibilidade é : L20xαE reescrevendo ∆L/∆t = L20xα
∆L ~ δfδf/δxi = L20xα
São Paulo -2009 31
E reescrevendo ∆L/∆t L20xα∆t ~ δxi
δf/δxi = L20xα
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
- 1.9( ) ( )∑=n
ii xucyu 22 ( ) ( )∑=i
iiy1
Nesta forma, a equação 1.9, somente é válida quando os valores de, q ç , qentrada forem independentes. No caso de variáveis correlacionadasdeve-se considerar, no equacionamento, os coeficientes de correlação.
São Paulo -2009 32
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Área de um quadrado
hbS ×= Aplicando a Lei de Gauss
( ) ( ) hbbSS b ×∆+=∆+
⇒×∆+×=∆+ hbhbSS22hbt SSS ∆+∆=∆
⇒×∆+×=∆+ hbhbSS b
hbSb ×∆=∆Lhb ≈≈ Lhb ∆≈∆≈∆
( ) ( ) bhhSS h ×∆+=∆+LLSSS Lhb ∆×=∆≈∆≈∆
2222( ) ( ) bhhSS h ∆+∆+
⇒×∆+×=∆+ bhhbSS h
2222 2 LLSSS LLt ∆×=∆+∆=∆
2×∆×=∆ LLStbhSh ×∆=∆ São Paulo -2009 33
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
∆LL
∆L
∆L
∆Si = 2(L – ∆L)x∆L)∆Si 2(L ∆L)x∆L)
∆Se = 2(L + ∆L)x∆L)
SL
e ( ) )
∆S = 2L∆L 2∆L2ERRADO !!!!!!!!!!!!!!
SL ∆Si = 2L∆L –2∆L2
∆Se = 2L∆L +2∆L2
2∆S = ∆Sι + ∆Se∆S = 2L∆L
L ∆L 2∆S = 4L∆LSão Paulo -2009 34
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
A incerteza padronizada associada a um dado de entrada deve ser
Sintetizando
A incerteza padronizada associada a um dado de entrada deve ser
obtida a partir do conhecimento das grandezas de entrada.
- valor, único, é obtido diretamente de um documento ou lido de um
Há duas situações:
instrumento, ou outra forma
- vários valores são observados sob condições aparentementevários valores são observados sob condições aparentemente
idênticas, dos quais se deve obter o melhor valor
No primeiro caso se aplica o método de avaliação de incertezas
do tipo B e no segundo caso a avaliação é do tipo Ado tipo B e no segundo caso a avaliação é do tipo A.
São Paulo -2009 35
Ocular do microscópioINCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOResolução
DExemplo de uma incerteza do Tipo B Exemplo de uma incerteza do Tipo B
1+= c
DR
0 02 mm
1+d
0,02 mm
c (mm)
D (un)d (mm) R ≅ 0,005 mm
D = 0 02 mm c = 10 e d = 5 ⇒ 0 02/[(10/5)+1] = 0 02/3 ~ 0 02/4
assim :
D = 0,02 mm, c = 10 e d = 5 ⇒ 0,02/[(10/5)+1] = 0,02/3 ~ 0,02/4
São Paulo -2009 36
C l ie n te : C O N C R E P A C E N G E N H A R IA D E C O N C R E T O S L T D A .
C E R T IF IC A D O D E C A L IB R A Ç Ã O N ° 6 9 0 - 2 0 0 5
C fid i lC fid i lINCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
R o d . B R 2 3 0 , k m 1 2 - E s t . d e C a b e d e lo - C a b e d e lo - P BC E P 5 8 3 1 0 -0 0 0
M a te r ia l : F r a s c o d e C h a p m a nR e fe r ê n c ia : S o l ic i t a ç ã o v ia F a x
D E S C R IÇ Ã O D O M A T E R IA L
ConfidencialConfidencial
F a b r ic a n te : L a b o rg la sId e n t i f ic a ç ã o : 1 6 8 2F a ix a n o m in a l : 4 5 0 m lV a lo r d e u m a d iv is ã o : 5 m l
V o lu m e V a lo r v e rd a d e i r o
R E S U L T A D O S
In c e r te z ain d ic a d o c o n v e n c io n a l
(m l ) (m l) (m l )2 0 0 1 9 9 ,4 0 ,23 8 0 3 7 9 ,4 0 ,24 0 0 3 9 9 ,6 0 ,24 2 0 4 1 9 ,4 0 ,24 4 0 4 3 9 ,4 0 ,2
In c e r te z a
N O T A S. A in c e r te z a e x p a n d id a r e la ta d a é b a s e a d a e m u m a in c e r te z a p a d ro n iz a d a c o m b in a d a m u l t ip l i -
9 5 % .. C a l ib ra ç ã o e f e tu a d a c o n f o rm e A S T M S ta n d a rd - E 5 4 2 -0 0 , u t i l i z a n d o -s e m é to d o g ra v im é t r ic o .. O s v a lo re s v e rd a d e i ro s c o n v e n c io n a is a p re s e n ta d o s e s tã o c o r r ig id o s p a ra a te m p e ra tu ra d e 2 0 º C .. P a d rõ e s u t i l i z a d o s : . B a la n ç a S a r to r iu s C C 1 2 0 1 - C e r t i f ic a d o M -1 4 3 7 7 /0 5 ; C a l .2 7 /0 1 /2 0 0 5 ; V a l id a d e 2 7 /0 1 /2 0 0 7
c a d a p o r u m f a to r d e a b ra n g ê n c ia k = 3 ,3 , f o rn e c e n d o u m n ív e l d e c o n f ia n ç a d e a p ro x im a d a m e n te
ç. T e rm ô m e t ro P t1 0 0 C e r t . C R -1 0 0 9 /0 5 ; C a l . 1 1 /0 3 /0 5 ; V a l id a d e 1 1 /0 3 /0 6. B a rô m e t ro M e n s o r C e r t . L T R 3 6 3 5 /0 2 -V is o m e s ; C a l . 1 3 /0 6 /0 2 ; V a l id a d e 1 3 /0 6 /0 6. D a ta d a c a l ib ra ç ã o : 2 0 /0 9 /0 5 . T e m p e ra tu ra a m b ie n te : ( 2 0 ,4 ± 0 ,5 ) ° C
N a ta l , 1 2 d e ja n e i r o d e 2 0 0 6
L u iz H e n r iq u e P in h e i r o d e L im a P ro f . L u iz P e d ro d e A ra ú jo T é c n ic o R e s p o n s á v e l C h e f e d o L a b o ra tó r io d e M e t ro lo g iaSão Paulo -2009 37
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
??
São Paulo -2009 38
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Instabilidade da indicação
13 0 0 0 0 23 0 0 0 0 23 0 0 0 0 23 0 0 0 0 232021312
São Paulo -2009 39
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOIndicação digital
ção
Indicaç
Variação = δV/2Distribuição retangular
Vi
VVC
São Paulo -2009 40
VVCVi –δV/2 Vi +δV/2
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
FORMULAS BÁSICASFORMULAS BÁSICAS
xn
∑n
xx i
i∑== 1
( )2nn
( )( )( )
1
−=
∑=
xxxs
n
ii
i( ) ( )1−nxs i
( ) ( )xsxs i=Incerteza do tipo A ( )
nSão Paulo -2009 41
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
A estatística mostra que a qualquer grandeza medida ou
estimada se pode associar uma distribuição de probabilidade,p ç p ,
expressando assim o conhecimento do processo de medição
em termos de probabilidadeem termos de probabilidade.
EstaEsta distribuiçãodistribuição dede probabilidadesprobabilidades permitepermite calcularcalcular aa
dispersãodispersão ee aa expectativaexpectativa dodo valorvalor..pp pp
São Paulo -2009 42
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOCaracterização do
PadrãoCaracterização do
MensurandoO que e como realizar a medição,quais as tolerâncias, quais as dimensões
Qual padrão utilizar, faixa nominal,resolução, limite de erro, calibração
Descrição da Calibração
Quais cuidados que se tem observar, quaisreferências usar, qual a seqüência de medição,qual planilha de dados/cálculos, como avaliar
Modelo Matemático
Avaliação das Grandezas d I fl ê i
q pa incerteza do resultado.
Matemáticode Influência
Quais grandezas e qual a extensão dai fl ê i l d l di ib i
Qual a interrelação entre a grandezad i t d i fl ê iinfluência no resultados, qual distribuição,
tem dependência linear. Combiná‐las usandoa Lei de Gauss
de interesse e as de influência
São Paulo -2009 43
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
∑+= cPM ε∑+= iicPM εModelo matemático linear do experimentoModelo matemático linear do experimento
( ) M∂∑ 222 ( )i
iiiMccomcPMε
ε∂∂
=∆+∆=∆ ∑ 222
Lei de propagação do erro ou Lei de GaussLei de propagação do erro ou Lei de Gauss
São Paulo -2009 44
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
PadrãoPadrãoEquipamentoEquipamento MétodoMétodo
RastreabilidadeRastreabilidade
Condições deCondições de
Retitude do ladoRetitude do lado
f êf ê
MensurandoMensurando
Erro na gravaçãoErro na gravação
Condições de Condições de OperaçãoOperação
Erro na referênciaErro na referênciaResoluçãoResolução
IncertezaIncerteza
Erro na gravaçãoErro na gravação
TemperaturaTemperaturaAptidãoAptidão
CapacitaçãoCapacitação
IluminaçãoIluminaçãoVisualVisual
AuditivaAuditiva
pp
ComportamentoComportamento
AmbienteAmbientePrincípiosPrincípios
PessoaPessoaSão Paulo -2009 45
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Saiba ouvir os outros !!!!!Saiba ouvir os outros !!!!!
Está bem vamos parar com papo furado !!!!São Paulo -2009 46
Está b m vamos parar com papo furado !!!!
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
C ó j í l d t i li it i i f i
Em falar nisso ..........
Caso só seja possível determinar os limites superior e inferior aa++ e aa--
como estimadores (por exemplo, indicação de um equipamento digital,
intervalo de variação da temperatura, erro de arredondamento ou
truncamento, força de medição), deve ser assumida uma distribuição de
probabilidade com densidade de probabilidade constante entre esses
limites (distribuição retangular) para a variabilidade da grandeza de
entrada xxii. Assim tem-se, para melhor estimativa:
( )−+ −= aaxi 21
- 2.02
São Paulo -2009 47
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Distribuição retangular
f( )Como no intervalo da variável ± a
f(x)ocorrem 100% dos eventos, tem-se:
1 A á b d di t ib i ãh
σ σ x
1- A área sob a curva de distribuição
de probabilidade é unitária
2a
µ
2 – A função f(x) é uma reta horizontal
3 – Como S = 1 h = 1/2a e
também f( ) 1/2atambém f(x) = 1/2a
São Paulo -2009 48
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Distribuição retangular
A abscissa do ponto médio da distribuição retangular é dada por:
a+∞ 2 1 dxa
xxdxxxfxa
∫∫ =⇒=+∞
∞−
2
0 21)()()( µµ 1.10
2a 4 2
221)(
2xa
x ×=µ2a
0a
aa
=⇒4
4 2
1.11
São Paulo -2009 49
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Distribuição retangular
A distância entre o ponto médio [m(x)] e a linha correspondente a um nível de probabilidade de ~68% é dada por:
222 )]([)( xx µµσ −= 1.12 dxa
xxdxxfxxa
∫∫ =⇒=+∞ 2
0
2222
21)()()( µµ 1.13a∞− 0 2
1 14
22)]([ ax =µ
1.1548 23 aa=⇒
1)(3
2 xx ×=µ2a
1.14
4 2
36a=⇒
32)(
ax ×=µ
0
334 2
22 aaa
=⇒−= σσ 1.16
São Paulo -2009 50
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
1( ) ( )22
31 axu i ∆= - 1.17
para a variância, ou o quadrado da incerteza padronizada.
1onde:
( )−+ −=∆ aaa21
‐ 1.18
São Paulo -2009 51
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
:6Exemplo
abili
dade
1P
roba
1 2 3 4 5 6
Probabilidades de ocorrências para um dado
Eventos
Probabilidades de ocorrências para um dado
São Paulo -2009 52
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
A distribuição retangular é a maneira mais razoável paraA distribuição retangular é a maneira mais razoável para
descrever a distribuição de probabilidades quando não se
conhece mais nada além dos limites de variabilidade daconhece mais nada além dos limites de variabilidade da
grandeza xxii.
Se houver boas razões para assumir que valores próximos ao
centro da variabilidade são mas prováveis de ocorrer umacentro da variabilidade são mas prováveis de ocorrer, uma
distribuição normal (valores obtidos em uma medição) ou
triangular será um modelo melhor (por exemplo especificação detriangular será um modelo melhor (por exemplo, especificação de
fabricante de um instrumento de medir, leituras inteiras em
i di d ló i )indicador analógico).São Paulo -2009 53
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Distribuição triangularf(x)
Como a área do triângulo tem que ser itá i t
x)h
unitária, tem-se:
xIµ σ
f I(x
f II(x)
x
S = 1 = hx2a/2 h = 1/a
Como a função não é contínua no2a
xIIComo a função não é contínua no intervalo (0 – 2a), a integração é feita por partes.
Intervalo I de (0 – a) e Intervalo II de (a – 2a) ( )
São Paulo -2009 54
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Distribuição triangular
I – No intervalo (0 – a) tem-se: II – No intervalo (a –2a) tem-se:
( )21 )(1)(
axxf
aa
xxf
=⇒= 1.19 ( )( )
222)(1
2)(
axaxf
aa
xaxf −
=⇒=−
1. 20
A posição da linha média, utilizando a equação (1.10), tem-se:A posição da linha média, utilizando a equação (1.10), tem se:
( )dxxaxdxxxdxxxfdxxxfxaaaa
∫∫∫∫−
+=+=22
212)()()(µ 1. 21dx
axdx
axdxxxfdxxxfx
aa∫∫∫∫ ++ 2
022
01 )()()(µ 1. 21
São Paulo -2009 55
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Distribuição triangular
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+= 2
3
2
2
2
3
322
3)(
ax
aax
axxµ
a
0
2a
a
1. 22
axaaaaax =⇒+−−+= )(33
843
)( µµ 1. 23
São Paulo -2009 56
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Distribuição triangular
A distância entre o ponto médio [m(x)] e a linha correspondente a um nível de probabilidade de ~68% é dada por:
222 )]([)( xx µµσ −= 1.24
( )dxxaxdxxxdxxfxdxxfxxaaaa
∫∫∫∫−
+=+=2
22
22
2
22
122 2)()()(µ 1.25aa aa
∫∫∫∫ 20
20
1.25
⎤⎡ 434 a 2a
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+= 2
4
2
3
2
42
432
4)(
ax
aax
axxµ
0 a
1.26
São Paulo -2009 57
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Distribuição triangular
67
432
416
316
4)(
2222222 aaaaaax =+−−+=µ 1.27
22)]([ ax =µ 1.28
667)]([)(
22
22222 aaaxx =−=⇒−= σµµσ 1.29
a=σ 1.30
6
São Paulo -2009 58
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
ilida
de
Viciado
Pro
babi Viciado
4:12
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Probabilidades de ocorrências para dois dados
Eventos
Probabilidades de ocorrências para dois dados
São Paulo -2009 59
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOab
ilida
deP
roba
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18Probabilidades de ocorrências para três dados Eventosp
São Paulo -2009 60
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Distribuição em “U”
Por outro lado, se valores próximos aos limites são maisprováveis que os próximos ao centro a distribuição em “U” é amais adequada.mais adequada.
9000
6000
7000
8000
9000
4000
5000
6000
1000
2000
3000
00 5 10 15 20
São Paulo -2009 61
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Distribuição em “U”Este tipo de distribuição de probabilidade ocorre em algunsEste tipo de distribuição de probabilidade ocorre em algunsprocessos que tenham variação cíclica bem caracterizada (p.ex.variação senoidal) ou em casos em que o fenômeno sejavariação senoidal) ou em casos em que o fenômeno sejadefinido apenas em um lado do intervalo (p.ex. filtros de radiofreqüência, erro de co-seno em medições lineares)
Seja a função: S = Sm + ∆Sxsen(2πt/T0) 1.31
S é l édi d S i t l T ( í d )
onde :
Sm é o valor médio de S no intervalo T0 (período)
∆S é máxima variação de S no intervalo T0 (período)
São Paulo -2009 62
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Distribuição em “U”
Admitindo Sm e ∆S conhecidos pode-se fazer a seguinte mudança de variável:
SSS
A m
∆−
=0
2T
tB π=e1.31 1.32
S∆ 0T
btê 1 33
)(BsenA =
obtêm-se: 1.33
)( AarcsenB =
ou
A função obtida (1.33) tem média zero e amplitude 2
São Paulo -2009 63
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Distribuição em “U”
A função de distribuição de A é:
F(a) = P(A < a) = P(sen(B) < a) = P(B < b) 1.33
onde b = arcsen(a)( )
No intervalo (-π, +π) a função B = arcsen(A) apresenta dois valores iguais para cada valor de A e portanto a probabilidade P(B < b) nesse intervalo, é igual ao dobro da probabilidade P(B < b) no intervalo (-π/2 ≤ b ≤ +π/2) dessa forma a função de distribuição pode ser escritacomo:
F(a) = 2P(B < b) = b/π = arcsen(x)/π 1.34
São Paulo -2009 64
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Distribuição em “U”
Conseqüentemente tem-se:
1)(adF( )21
1)()(ada
adFaf−
== 1.35
20
25 A função (1.35) é simétrica e portanto
i édi
10
15possui média zero, isto é:
0
5
-1 25 -1 00 -0 75 -0 50 -0 25 0 00 0 25 0 50 0 75 1 00 1 25
m(a) = 0 1.36
-1,25 -1,00 -0,75 -0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25
São Paulo -2009 65
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Distribuição em “U”
A esperança da função S é Sm = m(S) e a incerteza é s(S) a determinar.
( ) ∫∫1 21 daa
( ) 222 )]([)( AAA µµσ −= 1.37( ) ( )
( )∫∫−− −
=×=1
21
22
1 adaadaafaA
πµ
( ) )( 22 AA µσ = 1.38
como m(A) = 0 tem-se:
1.39
São Paulo -2009 66
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Distribuição em “U”
( ) ( )( )21)(1
21 1
122 =+−−= +
−aarcsenaaAµ 1.40
como S = S + Ax∆S e s2(αX + β) = α2σ2(X) pode-se escrever:
( ) ( )( )22 1π
como S = Sm + Ax∆S e s (αX + β) = α σ (X) pode-se escrever:
( ) ( ) )(2222 ASSASSs σσ ×∆=∆×+= 1 41( ) ( ) )(ASSASSs m σσ ×∆=∆×+=
e portanto
1.41
1)( 22 ×∆= SSs )( SSs ∆= 1.42
2)( 2
)(
São Paulo -2009 67
São Paulo -2009 68
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
• GRANDEZAS DE INFLUÊNCIA Qualificação
• MODELO MATEMÁTICO Inter‐relação
• INCERTEZA PADRONIZADA Quantificação
• INCERTEZA COMBINADA Avaliação
• GRAU DE LIBERDADE•COEFICIENTE DE ABRANGÊNCIA
Confirmação
• DESVIO + INCERTEZA Conformidade
São Paulo -2009 69
DESVIO + INCERTEZA Conformidade
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
O que serve para um cliente d ã i ó ipode não servir para o próximo
São Paulo -2009 70
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOExemplo 1Exemplo 1 :Se uma solução de NaOH, a ser preparada, for utilizada em determinações
quantitativas ela deve ser padronizada (produção de uma solução padrão).
Para esta formulação pesa-se 0,388 g de biftalato de potássio quedepois de dissolvido em água, é titulado com uma solução base. O
d t t d i tprocesso de pesagem apresenta as componentes da incertezaidentificadas no diagrama de causa e efeito e estão quantificadas natabela a seguir:
ExcentricidadeExcentricidadena pesagemna pesagemCalibraçãoCalibração
tabela a seguir:
BIFTALATOPESAGEM
Resolução Resolução da balançada balança
RepetitividadeRepetitividade
São Paulo -2009 71
Diagrama de causa e efeito da pesagem do biftalatoDiagrama de causa e efeito da pesagem do biftalato
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
GrandezasGrandezas de Influênciade Influência
IncertezaIncerteza herdadaherdada dada calibraçãocalibração dada balançabalança:: o valor é obtidodiretamente do certificado de calibração da balança: 0,002 g
Repetitividade da balança:Repetitividade da balança: o valor é obtido diretamente do certificado de calibração da balança: 0 001 gde calibração da balança: 0,001 g
ResoluçãoResolução dada balançabalança:: o valor é obtido do certificado de calibraçãoou do manual da balança: 0,001 g
São Paulo -2009 72
G dG d d I fl ê id I fl ê iINCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
GrandezasGrandezas de Influênciade Influência
E t i id dE t i id dExcentricidadeExcentricidade nana pesagempesagem:: A variação da indicação devida àexcentricidade é estimada pela equação ∆m = ∆Exxd1/d2. Énecessário conhecer a dimensão útil do prato da balança (d1) e1estimar o erro máximo (d2) de colocação do objeto no prato dabalança. Do certificado de calibração, tem-se: ∆Ex = 0,0032 g.Para este exemplo, serão admitidos os vaores d2 = 5 mm e d1 = 80a a es e e e p o, se ão ad dos os ao es d2 5 e d1 80mm.
dps LM
d Pd 1 L m
d > diâmetrodo peso (50% CM)
São Paulo -2009 73
dps => diâmetro do peso (50% CM)d1 => dimensão característica do pratod2=> erro máxim de excentricidade
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOOs valores estimados das incertezas acima são os valores máximos decada componente.
Para a padronização, isto é, redução a um nível da confiança de
~68% é necessário dividir cada valor por um fator adequado definido68%, é necessário dividir cada valor por um fator adequado, definido
partir da identificação do tipo de distribuição de probabilidade de cada
componente como visto anteriormente
Para as incertezas devidas à excentricidade, e à resolução pode ser
componente, como visto anteriormente.
assumida uma distribuição retangular e para a redução (padronização)
devem ser divididas por √3.
A incerteza herdada da calibração da balança assume uma distribuição
normal e tem o seu fator (k) expresso no certificado de calibração.
São Paulo -2009 74
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Componente Estimativa Distribuição de Fator de Incerteza
padronizada Variância
Tabela:Tabela: Resumo para determinação da incerteza combinada de uma pesagem.Resumo para determinação da incerteza combinada de uma pesagem.
da incerteza (g)de
probabilidade redução padronizada (g) padronizada
H d d 0 002 N l 2 02 (*) 9 90 10 4 9 80 10 7Herdada 0,002 Normal 2,02 (*) 9,90x10-4 9,80x10-7
Excentricidade 0,0032/5x80 Retangular 2√3 5,77x10-5 3,33x10-9
Repetitividade 0,001 Normal 1 (**) 1,00x10-3 1,00x10-6
Resolução 0,001 Retangular 2√3 2,88x10-4 8,50x10-8
São Paulo -2009 75(*) Obtido do certificado de calibração da balança.
(**) Uma só pesagem
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Com os valores calculados da última coluna, e utilizando a fórmula
324232524 10441)10882()10001()10775()10909()( −−−−−
tem se: 0 0014
324232524 1044,1)1088,2()1000,1()1077,5()1090,9()( ×=×+×+×+×=yu
tem-se: 0,0014 g
Portanto, 0,0014 g é a incerteza combinada padronizada doprocesso de pesagem, no qual as grandezas de entrada têma mesma unidade da grandeza de saída (mensurando).
São Paulo -2009 76
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
São Paulo -2009 77
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
No exemplo anterior foi preparada uma solução de hidróxido de
sódio padroni ada (18 64 ml) com biftalato de potássio e aplicadosódio padronizada (18,64 ml) com biftalato de potássio e aplicado
um método mais simples em que a incerteza dependeu
basicamente da pesagem e da balança (grandezas de entrada).
Porém, na determinação da concentração de uma base há outros
fatores presentes, que são:p , q
incerteza do grau de pureza do reagente e
i t l ti à l d tincerteza relativa à massa molar do reagente.
São Paulo -2009 78
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
A massa molar da substância padrão possui uma incerteza padrão cujoA massa molar da substância padrão possui uma incerteza padrão, cujovalor está relacionado com a incerteza na determinação da massa atômicados átomos constituintes do biftalato de potássio (C8H5O4K).
Estas informações são publicadas na IUPAC (International Union of Pure and Applied Chemistry).
O cálculo da incerteza padrão relativa à massa molecular do biftalatoO cálculo da incerteza padrão relativa à massa molecular do biftalatode potássio pode ser feita como segue:
São Paulo -2009 79
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
ElementoElemento Massa atômicaMassa atômicaIncerteza relatada Incerteza relatada
((±±))((±±))
Carbono Carbono –– CC 12,01112,011 0,001000,00100
Hidrogênio Hidrogênio -- HH 1,007941,00794 0,000070,00007
OxigênioOxigênio OO 15 999415 9994 0 000300 00030Oxigênio Oxigênio -- OO 15,999415,9994 0,000300,00030
Potássio Potássio -- KK 39,098339,0983 0,000100,00010
TabelaTabela 1:1: IncertezasIncertezas das das massasmassas atômicasatômicas dos dos elementoselementosconstituintesconstituintes do do biftalatobiftalato de de potássiopotássio, , segundosegundo a IUPACa IUPAC
As incertezas da tabela acima devem ser consideradas como incertezaspadrão. Como não é fornecido o nível de confiança dos dados, érecomendado assumir uma distribuição retangular isto é qualquer valor
São Paulo -2009 80
recomendado assumir uma distribuição retangular, isto é, qualquer valorneste intervalo tem probabilidade igual de ocorrer.
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
ElementoElemento Massa atômica totalMassa atômica total Incerteza padronizadaIncerteza padronizada
Carbono Carbono –– CC
Hidrogênio Hidrogênio –– HH
Oxigênio Oxigênio –– OO
PotássioPotássio KKPotássio Potássio –– KK
uC = ?????
São Paulo -2009 81
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
ElementoElemento Massa atômica totalMassa atômica total Incerteza padronizadaIncerteza padronizada
Carbono Carbono –– CC 8x12,0118x12,011 8x0,00100/8x0,00100/√3√3 0,0046190,004619
Hidrogênio Hidrogênio –– HH 5x1,007945x1,00794 5x0,00007/5x0,00007/√3√3 0,0002020,000202
OxigênioOxigênio OO 4x15 99944x15 9994 4x0 00030/4x0 00030/√3√3 0 0006920 000692Oxigênio Oxigênio –– OO 4x15,99944x15,9994 4x0,00030/4x0,00030/√3√3 0,0006920,000692
Potássio Potássio –– KK 1x39,09831x39,0983 1x0,00010/1x0,00010/√3√3 0,0000580,000058
TabelaTabela 22:: CálculoCálculo dada incertezaincerteza padronizadapadronizada combinadacombinada relativarelativa aoaopesopeso molecularmolecular dodo biftalatobiftalato dede potássiopotássio (C(C HH OO KK 204204 22362236 g/molg/mol))pesopeso molecularmolecular dodo biftalatobiftalato dede potássiopotássio (C(C88HH55OO44KK 204204,,22362236 g/molg/mol))
A raiz da soma quadrática dos valores da quarta coluna, fornece o valorda incerteza padrão do peso molecular do reagente: 4 675x10-3 ou
São Paulo -2009 82
da incerteza padrão do peso molecular do reagente: 4,675x10 3, ouseja 0,0047 g/mol.
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
O grau de pureza do reagente também deve ser considerado comog p gfonte de incerteza. Os valores encontrados no rótulo do produto são:99,950% - 99,975%. A incerteza, relativa ao grau de pureza, pode serdeterminada em relação à média aritmética dos valoresadimensionais (0,99950 + 0,99975)/2, sendo o valor (0,99975 –0 99950)/2 i bilid d d d0,99950)/2 a variabilidade dessa grandeza.
Assim o grau de pureza será : P = 0 999625P = 0 999625 ±± 0 0001250 000125P 0,999625 P 0,999625 ±± 0,0001250,000125.
São Paulo -2009 83
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Todos esses fatores são componentes da incerteza combinada daconcentração da solução de NaOH, que é determinada a partir daseguinte fórmula:
(1)Lmol
VPMPm
NaOHBif
BifBif 10189,064,182236,204
99963,0388,01000.
..1000 .. =×××
=NaOHBif ,,.
São Paulo -2009 84
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
PesagemPesagem Grau de PurezaGrau de PurezaCalibração
Excentricidade
Repetitividade
Concentração da solução de NaOH
Expansão Térmica
Resolução
Expansão Térmica
Calibração da Bureta
D P Ponto Final (viragem)
Peso MolecularPeso Molecular Erros Não Corrigidos
Interpolação (indicação)
D.P. Ponto Final (viragem)
Titulação (método)Titulação (método)
Interpolação (indicação)
Diagrama de causa e efeito da padronização de uma solução de NaOH.São Paulo -2009 85
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Analisando o diagrama de causa e efeito do processo de determinação
da concentração da solução de NaOH, apresentado na figura anterior,
verifica-se que cada grandeza de entrada (massa de reagente, grau de
pureza do reagente, peso molecular do reagente e volume de NaOH)
está expressa em uma unidade diferente.
A incerteza A incerteza combinadacombinada dada titulaçãotitulação deverádeverá ser ser expressaexpressa emem mol/L.mol/L.
Como Como calcularcalcular essaessa incerteza ?incerteza ?
São Paulo -2009 86
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOFoi visto que a incerteza combinada é determinada a partir damultiplicação de cada componente de incerteza por um coeficiente desensibilidade, definido como sendo a variação da quantidade dagrandeza de saída (interesse) por cada grandeza de entrada(influência)(influência).
Matematicamente, essa taxa de variação da grandeza de saída emrelação a cada grandeza de entrada é sintetizada pela seguinteequação:
(2)22
222
11 )(...)()()( nnc ucucucyu +++=
onde c1, c2, ... , cn são os coeficientes de sensibilidade de cadacomponente de entrada e u1, u2, ... , un suas respectivas incertezas
São Paulo -2009 87
padrão.
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Para calcular os coeficientes de sensibilidade, é necessário derivarparcialmente a concentração em função de cada componente deparcialmente a concentração em função de cada componente deentrada.
A concentração de NaOH na solução é uma função de quatro variáveis:A concentração de NaOH na solução é uma função de quatro variáveis: C = f(P, m, PM, V).
AA regraregra geralgeral parapara derivaçãoderivação dede umauma funçãofunção comcom umauma únicaúnica variávelvariávelindependenteindependente tipotipo ,, sendosendo nn == ...... --22,,--11,,00,,11,, 22,, 33,, ...... éé aanxxfy == )(pp ppseguinteseguinte::
fy )(
( ) ( ) (3)( ) ( ) ( )1. −== nn
xndxxd
dxxfd
São Paulo -2009 88
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Quando a função é do tipo , podemos derivar a função),,( zuxfy =
em relação a cada variável independente da mesma forma, seconsiderarmos as demais como constantes.
Seja a função concentração de NaOH, dependente de quatro variáveis:
(4)( )VPM
PmVPMmPfC.
..1000,,, ==
Derivando parcialmente a função (4) em relação ao grau de pureza, asp ç ( ) ç g p ,demais variáveis independentes permanecerão constantes, e aplicandoao grau de pureza a regra da equação (3), em que o expoente é n=1,
São Paulo -2009 89
tem -se:
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
××
===∂∂ −
lmol
VxPMmx
VxPMmxP
PC 1019,0
64182236204388,0100010001000..1 11
⎠⎝×∂ lVxPMVxPMP 64,182236,204
para a massa vale:
( ) ⎞⎜⎜⎛
=×
===∂ − molPxPxmC 2627,01100010001000..1 11
⎠⎜⎜⎝×∂ lgVxPMVxPM
mm .
6 7,064,182236,204
..
São Paulo -2009 90
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Aplicando a equação 3 e considerando n = -1 as derivadas parciais daAplicando a equação 3 e considerando n 1 as derivadas parciais da concentração em relação ao volume e ao peso molecular serão:
⎞⎛( ) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
××
−=−=∂∂
222 00547,064,182236,2041388,0.10001000
lmol
VxPMPxmx
VC
⎞⎜⎜⎛
=×
==∂ molPxmxC 0005001388,0.10001000 2
( ) ⎠⎜⎜⎝
−=×
−=−=∂ lgVxPMPM .
00050,064,182236,204 22
A A unidadeunidade de de cadacada coeficientecoeficiente de de sensibilidadesensibilidade é é taltal queque multiplicadamultiplicada pelapela respectivarespectiva grandezagrandeza de de entradaentrada, , resultaresultaNota:Nota:
emem unidadeunidade de de concentraçãoconcentração –– mol/L. mol/L.
São Paulo -2009 91
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Fonte de incerteza Estimativa Distribuição de
probabilidadesFator de redução
Coeficiente de
sensibilidadeMemória
Incerteza padronizada
(±mol/ L)( )
Pesagem 0,002 Normal 2,03 (*) 0,2627 0,002x0,2627/2,03 2,588x10-4
Titulação 0,1 Normal 2,00 (*) -0,00547 -0,1x0,00547/2 -2,735x10-4
Grau de pureza 0,00013 Retangular √3 0,1019 0,00013x0,1019/√3 7,648x10-6
Peso molecular 0,0047 Normal 1 -0,0005 -0,0047x0,0005/1 -2,35x10-6
(*) Calculado pela fórmula de Welch‐Satterthwaite
Aplicando-se a equação 2, obtém-se a incerteza combinada da solução
São Paulo -2009 92
p q ç , çde NaOH : 3,765x10-4, isto é , 0,0004 mol/L.
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
TUDO TEM QUE VALER A PENATUDO TEM QUE VALER A PENASão Paulo -2009 93
TUDO TEM QUE VALER A PENATUDO TEM QUE VALER A PENA
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Todavia, pode-se utilizar uma forma mais fácil para o cálculo da incerteza combinada quando as variáveis de entrada não tem a mesma unidade dacombinada quando as variáveis de entrada não tem a mesma unidade da variável de saída:
( )2
)(2
)(2
)(2
)(⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
Vu
PMu
mu
Pu
CCu VPMmP
NaOH
NaOHc
⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝NaOH
( )2
)(2
)(2
)(2
⎞⎜⎛⎞
⎜⎛⎞
⎜⎛⎞
⎜⎛ uuuu VPMP( ) )()()()( ⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×=
Vu
PMu
mu
Pu
CNaOHu VPMmPNaOHc
Neste caso a tabela de incerteza pode ser sintetizada como segue:Neste caso a tabela de incerteza pode ser sintetizada como segue:
São Paulo -2009 94
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOFonte de Fonte de incertezaincerteza
EstimativaEstimativaDistribuição de Distribuição de probabilidadesprobabilidades
Fator de Fator de reduçãoredução
Valor da Valor da grandezagrandeza
Incerteza Incerteza padronizada padronizada
PesagemPesagem 0,0020,002 NormalNormal 2,03 2,03 0,388 g0,388 g 2,539x102,539x10‐‐33
TitulaçãoTitulação 0,10,1 NormalNormal 2,00 2,00 18,64 mL18,64 mL 2,682x102,682x10‐‐33
Grau de Grau de purezapureza
0,000130,00013 RetangularRetangular √3√3 0,999630,99963 7,508x107,508x10‐‐55
Peso Peso molecularmolecular
0,00470,0047 NormalNormal 11 204,2212 g/mol204,2212 g/mol 2,301x102,301x10‐‐55
Aplicando Aplicando ‐‐se a equação se a equação 22, obtém, obtém‐‐se a incerteza combinada da solução de se a incerteza combinada da solução de NaOHNaOH
: : 3,694x103,694x10--44, isto é , , isto é , 0,0004 0,0004 mol/Lmol/L..
A diferença entre os métodos é desprezível e portanto é viável a utilização doA diferença entre os métodos é desprezível e portanto é viável a utilização do
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A diferença entre os métodos é desprezível e portanto é viável a utilização do A diferença entre os métodos é desprezível e portanto é viável a utilização do
método das incertezas relativas para esse caso.método das incertezas relativas para esse caso.
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Como a incerteza combinada de qualquer método analítico é calculadacom base nas incertezas padronizadas de cada grandeza de entradacom base nas incertezas padronizadas de cada grandeza de entradae, de acordo com a estatística, o nível de confiança dessa incertezacombinada é de apenas 68% (correspondente a 1 desvio padrão dap ( p pcurva gaussiana),
É necessário aumentar o nível de confiança dessa incerteza parapatamares em torno de 95% ou 99%.
Normalmente, na metrologia utiliza-se um nível de confiança de95 45% Nesse caso a incerteza combinada deve ser expandida95,45%. Nesse caso, a incerteza combinada deve ser expandida.
ComoComo fazerfazer isso?isso?ComoComo fazerfazer isso?isso?São Paulo -2009 96
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
CÁLCULO DA INCERTEZA EXPANDIDACÁLCULO DA INCERTEZA EXPANDIDA
Existe uma recomendação do Grupo de Trabalho do ISO - GUM de queas incertezas de qualquer medida sejam apresentadas de forma aas incertezas de qualquer medida sejam apresentadas de forma aabranger uma fração maior da distribuição de valores do que estariamsendo atribuídos ao mensurando com a incerteza combinadasendo atribuídos ao mensurando com a incerteza combinadapadronizada.
AssimAssim éé necessárionecessário multiplicarmultiplicar aa incertezaincerteza combinadacombinada porpor umum fatorfatordede abrangênciaabrangência,, queque definedefine umum intervalointervalo dede validadevalidade maiormaior (( maiormaiornívelnível dada confiança)confiança)..
São Paulo -2009 97
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOGrau de Liberdade EfetivoGrau de Liberdade Efetivo
Segundo os preceitos estatísticos uma estimativa da eficácia de umaSegundo os preceitos estatísticos, uma estimativa da eficácia de umamedição pode ser avaliada baseada em uma distribuição deprobabilidade normal.
De um modo geral, a distribuição de Student não descreve adi t ib i ã d iá l ( Y)/ ( ) 2( ) é d d
p
distribuição da variável (y – Y)/uc(y) se uc2(y) que é a soma de duas ou
mais variâncias estimadas ui2(y) = ci
2u2(xi), mesmo se cada xi for aestimativa de uma grandeza de entrada Xi com distribuição normalestimativa de uma grandeza de entrada Xi com distribuição normal.
Todavia,Todavia, aa distribuiçãodistribuição dada variávelvariável (y(y –– Y)/Y)/uucc(y)(y) podepode serser,, çç (y(y )) cc(y)(y) ppaproximadaaproximada aa umauma distribuiçãodistribuição emem “t”“t” ((StudentStudent)) usandousando--sese umumgraugrau dede liberdadeliberdade efetivoefetivo dadodado pelapela equaçãoequação dede WelchWelch -- SatterthwaiteSatterthwaite
São Paulo -2009 98
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO( )[ ]
( )[ ]∑=
ni
ceff yu
yu4
4
υ
equação de Welch Satterthwaite
( )[ ]∑=i i
i y1 υ
onde: é a incerteza combinada do método;
equação de Welch - Satterthwaite
)(yuc
é a incerteza padronizada de cada componente
)(yc
)(yui i
A informação fundamental para que se possa fazer essa avaliação é o
e é o número de graus de liberdade da componente iiυA informação fundamental para que se possa fazer essa avaliação é oconhecimento do número de graus de liberdade de cada componente, quetambém depende do tamanho da amostra.também depende do tamanho da amostra.
.São Paulo -2009 99
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOA incerteza padrão combinada calculada representa o desvio padrãoestimado da grandeza de saída (interesse).
Ao se calcular a incerteza padrão combinada da concentração dasolução de NaOH está sendo estimando o desvio padrão dessasolução de NaOH, está sendo estimando o desvio padrão dessaconcentração, pois essa incerteza foi calculada a partir das incertezaspadronizadas (expressas como desvio padrão) de cada grandeza dep ( p p ) gentrada (influência).
Assim, ao determinar o número de graus de liberdade da incerteza, gcombinada está sendo avaliado a eficácia do processo de preparaçãoda solução.
QuantoQuanto maiormaior oo númeronúmero dede grausgraus dede liberdadeliberdademaiormaior aa probabilidadeprobabilidade dede queque oo valorvalor verdadeiroverdadeiroestejaesteja dentrodentro dada faixafaixa dede incertezaincerteza estimadaestimada..
São Paulo -2009 100
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Grau de Liberdade para Incertezas Tipo “A”Grau de Liberdade para Incertezas Tipo “A”
OO númeronúmero dede grausgraus dede liberdadeliberdade dede umum conjuntoconjunto dede medidasmedidas(amostra(amostra dede umauma população)população) éé dadodado pelapela seguinteseguinte relaçãorelação::
ννii = n = n -- 11
ondeonde ννii éé oo númeronúmero dede grausgraus dede liberdadeliberdade dodo conjuntoconjunto dede ii medidas,medidas, eenn éé oo númeronúmero dede medidasmedidas dessedesse conjuntoconjunto..
.
São Paulo -2009 101
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Graus de Liberdade para Incertezas Tipo “B”Graus de Liberdade para Incertezas Tipo “B”Quando se estima uma incerteza tipo “B”, são estabelecidos os limitesextremos das diferentes distribuições de probabilidade que essaincerteza pode assumirincerteza pode assumir.
Isso é necessário para que, independentemente da distribuiçãoassumida (triangular, normal, retangular ou bimodal), o valor verdadeiroesteja dentro desse intervalo.
Assim o grau de liberdade deve ser tal que a probabilidade de o valorverdadeiro estar no interior da distribuição seja máximo, e que aprobabilidade de estar fora desse intervalo seja mínimo
Então,Então, parapara qualquerqualquer distribuiçãodistribuição dede probabilidadeprobabilidade assumida,assumida, oo númeronúmero
probabilidade de estar fora desse intervalo seja mínimo.
São Paulo -2009 102102
dede grausgraus dede liberdadeliberdade dasdas incertezasincertezas tipotipo “B”“B” tendetende aa infinitoinfinito..
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
PodePode--se,se, dessadessa forma,forma, assumirassumir queque oo valorvalor dodo númeronúmero dede grausgraus dedeliberdadeliberdade parapara asas incertezasincertezas tipotipo “B”“B” éé sempresempre infinitoinfinito::liberdadeliberdade parapara asas incertezasincertezas tipotipo BB éé sempresempre infinitoinfinito::
νi ∞incerteza tipo Bi
EstaEsta éé umum simplificaçãosimplificação aceita,aceita, parapara aa maioriamaioria dosdos casoscasos nanametrologia,metrologia, emem sese tratandotratando dede incertezasincertezas dodo tipotipo BB
UmaUma formaforma dede avaliaravaliar oo graugrau dede liberdadeliberdade parapara incertezasincertezas dodo tipotipo BB ééUmaUma formaforma dede avaliaravaliar oo graugrau dede liberdadeliberdade parapara incertezasincertezas dodo tipotipo BB ééconsiderarconsiderar umauma incertezaincerteza ∆∆u(xu(xii)) parapara aa incertezaincerteza u(xu(xii))..
( ) ( ) 22 11−
⎤⎡∆( )( )[ ]
( )( )2
2
21
21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∆≈≈
i
i
i
ii xu
xuxu
xuσ
ν
São Paulo -2009 103
( )[ ] ( ) ⎦⎣ ii
Avaliação finalAvaliação final INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOFontes de incertezaFontes de incerteza Incerteza padronizadaIncerteza padronizada Graus de liberdadeGraus de liberdade
BalançaBalançaP dP d bift l tbift l t
ResoluçãoResolução 2,886x10-4 infinitoinfinitoCalibraçãoCalibração 4,219x10-4 8(*)8(*)
Pesagem do Pesagem do biftalatobiftalatodede
potássiopotássio
ExcentricidadeExcentricidade 5,77x10-5 infinitoinfinito
RepetitividadeRepetitividade 5,77x10-4 infinitoinfinito
uucc = 7,73x10= 7,73x10--44 U = 0,002 g ννefef = 90 = 90 k= 2,03k= 2,03cc ,, , g efef ,,
BuretaBureta
Expansão térmicaExpansão térmica 2,89x10-2 infinitoinfinitoInterpolaçãoInterpolação 1,443x10-2 infinitoinfinitoCalibraçãoCalibração 5 0x10-3 infinitoinfinitoBuretaBureta
Titulação com solução Titulação com solução de NaOHde NaOH
CalibraçãoCalibração 5,0x10 3 infinitoinfinitoPonto finalPonto final 3,0x10-3 infinitoinfinito
Erros não corrigidosErros não corrigidos 1,73x10-2 infinitoinfinito
uucc = 4,76x10= 4,76x10--22 U = 0,095 mL ννef ef = = ∞∞ k= 2,00k= 2,00
IncertezaIncerteza
PesagemPesagem 2,038x10-4 92(**)92(**)Grau de purezaGrau de pureza 2,941x10-5 InfinitoInfinitoIncerteza Incerteza
Concentração de Concentração de NaOHNaOH
Peso molecularPeso molecular -2,350x10-6 InfinitoInfinitoTitulaçãoTitulação -2,604x10-4 infinitoinfinito
uucc = 3,32x10= 3,32x10--44 U = 0,0007 mol/L ννefef = 648= 648 k= 2,00k= 2,00
São Paulo -2009104
cc ,, , ννefef 648 648 k 2,00k 2,00
(*) obtido do certificado(*) obtido do certificado(**) calculado pela equação de Welch (**) calculado pela equação de Welch ‐‐ SatterthwaiteSatterthwaite
São Paulo -2009 105
PaquímetrosPaquímetros
NomenclaturaNomenclatura
DefiniçõesDefinições
CalibraçãoCalibração
São Paulo -2009 106
PaquímetrosPaquímetros
AnalógicoAnalógico
São Paulo -2009 107
PaquímetrosPaquímetros
DigitalDigital
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Paquímetros analógicos:Paquímetros analógicos: valor de uma divisão e resoluçãoç
“O valor de uma divisão de um paquímetro é definido pelolt d d di i ã d l d di i ã d lresultado da divisão do valor de uma divisão da escala
principal pelo número de traços do nônio.”
“A resolução pode, no caso limite, ser considerada igual àmetade do valor do nônio.”
Exemplo:
• Valor de uma divisão da escala principal = 1 mm
Valor de uma divisão = 1mm/50 = 0,02 mm
• Número de traços do nônio = 50
São Paulo -2009 109
Resolução = 0,01 mm
Paquímetros digitais:Paquímetros digitais: valor de uma divisão e resoluçãovalor de uma divisão e resolução
“O valor de uma divisão é a resolução de um paquímetro digital
e são iguais ao valor do menor digito estável apresentado noe são iguais ao valor do menor digito, estável, apresentado no
mostrador.”
São Paulo -2009 110
Roteiro para calibração de paquímetrosRoteiro para calibração de paquímetrosRoteiro para calibração de paquímetrosRoteiro para calibração de paquímetros
11-- Efetuar a limpeza da superfícies de mediçãoEfetuar a limpeza da superfícies de medição
22-- Verificação dos erros geométricos Verificação dos erros geométricos -- planeza e planeza e paralelismoparalelismopp
ComCom oo auxílioauxílio dede trêstrês blocosblocos padrãopadrão,, comcom diferençasdiferenças dede 00,,002002 mmmmentreentre sisi,, verificarverificar oo erroerro geométricogeométrico dosdos bicosbicos,, gg
ColocarColocar nono meiomeio dosdos bicosbicos oo blocobloco padrãopadrão dede valorvalor intermediáriointermediário..ColocarColocar nono meiomeio dosdos bicosbicos oo blocobloco padrãopadrão dede valorvalor intermediáriointermediário..
TentarTentar passar,passar, nono extremoextremo superiorsuperior ee nono inferiorinferior dodo bico,bico, oo blocoblocodd di ãdi ã ElEl d ád á t á it á i ttdede menormenor dimensãodimensão.. EleEle deverádeverá passar,passar, casocaso contráriocontrário sese temtem umumerroerro dada ordemordem dede 00,,002002 mmmm
São Paulo -2009 111
Roteiro para calibração de paquímetrosRoteiro para calibração de paquímetrosRoteiro para calibração de paquímetrosRoteiro para calibração de paquímetros
TentarTentar passarpassar nono extremoextremo superiorsuperior ee nono inferiorinferior dodo bicobico oo blocobloco dedeTentarTentar passarpassar nono extremoextremo superiorsuperior ee nono inferiorinferior dodo bicobico oo blocobloco dedemaiormaior dimensãodimensão..
ElEl ãã d ád á t tt t blbl dd di ãdi ãEleEle nãonão deverádeverá passarpassar,, casocaso passarpassar,, tentartentar comcom blocobloco dede dimensãodimensãomaiormaior atéaté nãonão maismais serser possívelpossível passápassá--lolo nono vãovão..
NesteNeste casocaso,, oo erroerro geométricogeométrico seráserá igualigual àà diferençadiferença entreentre oo blocoblocol dl d tt dd bibi últiúlti ããcolocadocolocado nono centrocentro dosdos bicosbicos ee oo últimoúltimo aa passarpassar nono vãovão..
AnotarAnotar oo valorvalor dodo erroerro detectadodetectado nana folhafolha dede cálculoscálculos ((planilhaplanilhaprópriaprópria))..
São Paulo -2009 112
Roteiro para calibração de paquímetrosRoteiro para calibração de paquímetrosRoteiro para calibração de paquímetrosRoteiro para calibração de paquímetros3 3 -- VerificaçãoVerificação do do efeitoefeito dada travatrava
ColocarColocar umum blocobloco dede 1010 mmmm entreentre osos bicosbicos nono sentidosentido longitudinal,longitudinal,prendêprendê--lolo ee atuaratuar aa travatrava.. VerificarVerificar oo efeitoefeito
4 4 -- VerificaçãoVerificação dada exatidãoexatidão dada escalaescala principalprincipal
CalibrarCalibrar aa escalaescala emem onzeonze pontospontos aoao longolongo dada faixafaixa nominal,nominal,garantindogarantindo queque doisdois pontospontos,, pelopelo menosmenos,, sejamsejam controladoscontrolados nana faixafaixadasdas indicaçõesindicações decimaisdecimaisdasdas indicaçõesindicações decimaisdecimais..
São Paulo -2009 113
Roteiro para calibração de paquímetrosRoteiro para calibração de paquímetros
55 VerificaçãoVerificação dasdas orelhasorelhas55 -- VerificaçãoVerificação dasdas orelhasorelhas
MedirMedir umum anelanel dede φφ 2525 mmmm.. RealizarRealizar trêstrês mediçõesmedições.. AlternativamenteAlternativamente
colocarcolocar umum blocobloco dede 2525 mmmm nosnos bicosbicos ee medirmedir aa aberturaabertura dasdas orelhasorelhas
nono projetorprojetor dede perfilperfil ouou comcom umum MicrômetroMicrômetro dede externoexterno..
São Paulo -2009 114
R t i lib ã d í tR t i lib ã d í tRoteiro para calibração de paquímetrosRoteiro para calibração de paquímetros
66 -- VerificaçãoVerificação dada hastehaste dede profundidadeprofundidade
VerificarVerificar oo erroerro dede exatidãoexatidão dada hastehaste comparandocomparando aa extensãoextensão dadah th t blbl d ãd ã dd 5050 E tE t t êt ê di õdi õ
66 VerificaçãoVerificação dada hastehaste dede profundidadeprofundidade
hastehaste comcom umum blocobloco padrãopadrão dede 5050 mmmm.. ExecutarExecutar trêstrês mediçõesmedições
77 -- VerificaçãoVerificação dodo medidormedidor dede ressaltosressaltos
VerificarVerificar oo erroerro dede exatidãoexatidão dada faceface dede mediçãomedição dede ressaltosressaltoscomparandocomparando oo deslocamentodeslocamento comcom umum blocobloco padrãopadrão dede 5050 mmmm..E tE t t êt ê di õdi õExecutarExecutar trêstrês mediçõesmedições
88 Determinação da incerteza da calibraçãoDeterminação da incerteza da calibraçãoSão Paulo -2009 115
8 8 -- Determinação da incerteza da calibraçãoDeterminação da incerteza da calibração
ExemploExemplo de Aplicaçãode AplicaçãoExemploExemplo de Aplicaçãode AplicaçãoCalibração
Colocar a coluna no laboratório D&H 4918
Caracterização do P d ã
Caracterização do Mensurando
Colocar a coluna no laboratório com 24 horas de antecedência
Verificar a limpeza da coluna
Referência doEquipamentode Medição
Constantes Físicas
Meio AmbienteIncerteza do sistema de calibração ou do padrão4x0,0001 bar
Padrão
Descrição da
MensurandoIPT Instituto de Pesquisas Tecnológicas Laboratório de Metrologia - DME
Verificar a limpeza da coluna
Nivelar a coluna (0,1mm/m)I t d
Equipamentode
Medição
Processode
Medição
Estabilidade temporal do sistema de calibração ou do padrão
Resolução do sistema de calibração ou do padrão
Efeito da temperatura no mensurando ou padrãoDescrição da Calibração
Cliente : NOME
Manômetro de coluna F b i t nome
Verificar o zero da coluna
Selecionar os pontos a calibrar
Incerteza da grandezamedida
Arranjo Físicod
Definição da
Grandeza
Efeito da temperatura no mensurando ou padrão
Histerese do mensurando ou do padrão
Erros matemático (arredondamento ajuste de curva
Modelo Avaliação das Grandezas de
Fabricante: nomeIdent.: 014494 ; 1333 ; MAN 0214Modelo: TCR - 500No. de Série: 0214/ 97
Selecionar os pontos a calibrar
Executar três séries de medições
da Medição
SoftwareM l iM d
a Medir
Erros matemático (arredondamento, ajuste de curva,tabelas de interpolação, truncamento)
Incerteza na coluna líquida
∑Modelo Matemático
Grandezas de Influência
Faixa nominal: 500 mmH2O ; 20 Pol H2OValor de uma divisão da escala: 1 mmH2O ;
0.1 PolH2O
Toda vez antes da anotação da indicação bater ligeiramente no t b
eCálculos
MetrologistaMensurandoq
Simplificação do procedimento de medição
Incerteza padronizada do TIPO A∑ ×+= jj EcPM
São Paulo -2009 116
tubo
ExemploExemplo de Aplicaçãode Aplicação
Calibração de PAQUÍMETRO
Faixa nominal: 150 mmMensurando
Valor de uma divisão: 0,01 mmAnalógico:Digital: xDigital: xTipo : quadrimensional
São Paulo -2009 117
ExemploExemplo de Aplicaçãode Aplicação
PadrãoBlocos Padrão Identificação 936774
Classe 0 Erro máximo 0,0003 mmP d ã l d Id tifi ãPadrão escalonado Identificação n.c.
Erro máximo 0,005 mm
São Paulo -2009 118
ExemploExemplo de Aplicaçãode AplicaçãoExemploExemplo de Aplicaçãode Aplicação
Erro geométrico (planeza/paralelismo)Descrição da calibração
Material blocos padrão : 1,004; 1,006 ; 1,008 e 1,010 mm para verificar erro geométrico10 mm verificar efeito da trava10 mm verificar efeito da trava
EscalaMaterial blocos padrão : (0,02 mm) 1,04; 1;48; 10; 17; 20; 25; 50; 75; 100; 150(0,01 ou 0,05 mm) 1,05; 1;45; 10; 17; 20; 25; 50; 75; 100; 150
São Paulo -2009 119
ExemploExemplo de Aplicaçãode Aplicação
OrelhaMaterial Anel ou bloco padrão e projetor de perfis (20 ou 25 mm)ProfundidadeMaterial Blocos padrão : 50mmMaterial Blocos padrão : 50mmRessaltoMaterial Blocos padrão : 50mmp
São Paulo -2009 120
ExemploExemplo de Aplicaçãode Aplicação
2 - Calibração
Valor Indicação no Paquimetro Média Erro D.PadrãoNominal (mm) (mm) (mm) (mm)( ) ( ) ( ) ( )
0,00 0,00 0,00 0,001,05 1,05 1,04 1,051,45 1,45 1,45 1,45
5 5 00 5 00 5 005 5,00 5,00 5,0010 10,00 10,00 10,0017 16,99 17,00 16,9920 19,99 19,99 19,9924 23,98 23,99 23,9950 49,99 49,99 49,9975 74,99 75,00 75,00
100 99,99 99,99 99,99, , ,150 149,99 149,99 149,99
Erro geométrico 0,002 #DIV/0!
São Paulo -2009 121
Uso correto de instrumentos
São Paulo -2009 122
ExemploExemplo de Aplicaçãode Aplicação
PadrãoPadrãoGrandezas de Influência
Dispersão (mensurando)Dispersão (mensurando)
ResoluçãoResoluçãoçç
Erro geométricoErro geométrico
Ajuste do zeroAjuste do zero
ParalaxeParalaxe
Força de mediçãoForça de medição
TemperaturaTemperatura
São Paulo -2009 123
TemperaturaTemperatura
ExemploExemplo de Aplicaçãode Aplicação
P‐ padrão M‐mensurandoMedir é comparar
Ef ‐ erro da força de
Et ‐ erro devido à temperatura (2)Eres‐ resoluçãoM = P
E d l
f çmedição
E erro geométricoEz ‐ ajuste de zero
M = PEpx ‐ erro de paralaxeEge – erro geométrico
M = P + Ez+ Ege+ Et+ Egr+ Eres+ Epx + Ef
São Paulo -2009 124
ExemploExemplo de Aplicaçãode Aplicação
2 - Calibração
Valor Indicação no Paquimetro Média Erro D.PadrãoNominal (mm) (mm) (mm) (mm)( ) ( ) ( ) ( )
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0 0,0001,05 1,05 1,04 1,05 1,05 0,00 0,0061,45 1,45 1,45 1,45 1,45 0,00 0,000
5 5 00 5 00 5 00 5 00 0 00 0 0005 5,00 5,00 5,00 5,00 0,00 0,00010 10,00 10,00 10,00 10,00 0,00 0,00017 16,99 17,00 16,99 16,99 -0,01 0,00620 19,99 19,99 19,99 19,99 -0,01 0,00024 23,98 23,99 23,99 23,99 -0,01 0,00650 49,99 49,99 49,99 49,99 -0,01 0,00075 74,99 75,00 75,00 75,00 0,00 0,006
100 99,99 99,99 99,99 99,99 -0,01 0,000, , , , , ,150 149,99 149,99 149,99 149,99 -0,01 0,000
Erro geométrico 0,002 0,002
São Paulo -2009 125
Exemplo de AplicaçãoExemplo de AplicaçãoExemplo de AplicaçãoExemplo de Aplicação
Grandeza Est imat iva D istribuição Incerteza C o ef ic iente de Incerteza Grau de
P adro nizada sensibilidade (mm) liberdade
Padrão 150 T 0,0020 mm 1 0,002 infinitoPadrão 150 T 0,0020 mm 1 0,002 infinitoMensurando 149,990 N 0,0012 mm 1 0,001 2Resolução do mensurando 0 R 0,0029 mm 1 0,003 infinitoErro geométrico 0 R 0,0012 mm 1 0,001 infinitoAf t t d 20°C 0 R 0 5774 k 1 5E 04 0 000 i fi itAfastamento de 20°C 0 R 0,5774 k 1,5E-04 0,000 infinitoGradiente de temperatura 0 R 0,2887 k 1,8E-03 0,001 infinitoParalaxe 0 R 0,0014 mm 0 0,000 infinitoForça de medição 0 R 0,0014 mm 1 0,001 infinitoç çAjuste de zero 0 R 0,0014 mm 1 0,001 infinito
0,004 361k = 2,0 0,009
São Paulo -2009 126
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Não menospreze ninguémNão menospreze ninguémNão menospreze ninguémNão menospreze ninguém
São Paulo -2009 127
Determinação de CobreDeterminação de Cobre
Voltimetro(ponteciometro)Amperímetro
Anodo formado por umAnodo formado por umfio de Pt em espiral
Catodo formado por uma tela de Ptpor uma tela de Pt
Solução contendo o analito
Barra de agitação magnéticag
Os eletrodos são de tela de platina, pois a estrutura aberta facilitaa circulação da solução.
São Paulo -2009 128
Um dos eletrodos pode ser usados como agitador da solução.
ELETROGRAVIMETRIA DO COBREELETROGRAVIMETRIA DO COBRE
SÍNTESE DO PROCESSO ANALÍTICO
1a P d i é i t1a. Pesagem do minério................... amostraPreparação da alíquota.................... SolubilizaçãoEletrodeposição separação do CuEletrodeposição – separação do Cu2a. Pesagem da rede Pt + Cu
ESTEQUIOMETRIAESTEQUIOMETRIA:: CuCu2+2+ + 2e = Cu+ 2e = CuESTEQUIOMETRIAESTEQUIOMETRIA: : CuCu 2e Cu 2e Cu
São Paulo -2009 129
ANÁLISE DOS RESULTADOS :ANÁLISE DOS RESULTADOS :
massa da amostra massa de cobre teor de cobre do minério depositada
(mg) (mg) (% m /m )(mg) (mg) (% mCu/mmin) 625,7 125,1 19,99702,7 140,1 19,94655 3 132 0 20 14655,3 132,0 20,14731,6 146,0 19,96680,9 136,4 20,03612,2 122,1 19,94667,5 133,2 19,96698,4 139,9 20,03, , ,721,2 144,6 20,05751,7 150,1 19,96
d i d ã 0 0632desvio padrão = 0,0632média = 20,00
n = 10
São Paulo -2009 130
Verificação de “Verificação de “outout‐‐layerlayer””
Critério de Chauvenet : Rc < ( I I )/s(x)20,14
Critério de Chauvenet : Rc < ( Imax – Imédio)/s(x)
Para n=10 Rc = 1 96
20,05
20,03
20 03Para n=10 Rc = 1,96 20,03
19,99
19 96( Imax – Imed)/s(x) = (20,14 – 20,00)/0,063 = 19,96
19,96
19 96
( Imax Imed)/s(x) (20,14 20,00)/0,063 2,22
rejeita-se o valor 20,1419,96
19,94
19 9419,94
São Paulo -2009 131
ANÁLISE DOS RESULTADOS :ANÁLISE DOS RESULTADOS :
massa da amostra massa de cobre teor de cobre do minério depositada
(mg) (mg) (% m /m )(mg) (mg) (% mCu/mmin) 625,7 125,1 19,99702,7 140,1 19,94655 3 132 0 20 14655,3 132,0 20,14731,6 146,0 19,96680,9 136,4 20,03612,2 122,1 19,94667,5 133,2 19,96698,4 139,9 20,03, , ,721,2 144,6 20,05751,7 150,1 19,96688 0688 0 137 5137 5 média = 19 984688,0688,0 137,5137,5 média 19,984
desvio padrão = 0,0422n=9n = 9 Rc = 1,91
(20,05- 19,984)/0,0422 = 1,56
São Paulo -2009 132
( , , ) , ,
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
S j it i lh !!!!S j it i lh !!!!Seja criterioso em suas escolhas !!!!Seja criterioso em suas escolhas !!!!
São Paulo -2009 133
IDENTIFICAÇÃOIDENTIFICAÇÃO DASDAS FONTESFONTES DEDE INCERTEZAINCERTEZA
A)A) DispersãoDispersão dasdas medidasmedidasQuando se realiza medições deá i d
Média xi di di2 x(10-4)
19,984 - 19,99 = 0,006 0,3619 984 19 94 = 0 044 19 36várias amostras de uma mesma
população ou universo, aincerteza da média pode ser
li d l ti ti d
19,984 - 19,94 = -0,044 19,3619,984 - 19,96 = -0,024 5,7619,984 - 20,03 = 0,046 21,1619 984 19 94 0 044 19 36avaliada pela estimativa do
desvio padrão da médiaconforme:
19,984 - 19,94 = -0,044 19,3619,984 - 19,96 = -0,024 5,7619,984 - 20,03 = 0,046 21,1619,984 - 20,05 = 0,066 43,5619,984 - 19,96 = -0,024 5,76
9Σ di
2 = 0,0142i =1
variância = s2 = 0,0142/(9-1) = 0,0142/8 = 0,00178
s = 0,001781/2 = 0,0422
sm = s/n1/2 = 0,0422/91/2 = 0,0422/3 = 0,0141 % mCu/mmin 0,098 mg p = 68%
Incerteza TIPO A u(x ) = 0 098 mg; 9 medições e distribuição normal
São Paulo -2009 134
Incerteza TIPO A u(x1) = 0,098 mg; 9 medições e distribuição normal
IDENTIFICAÇÃOIDENTIFICAÇÃO DASDAS FONTESFONTES DEDE INCERTEZAINCERTEZA
B) Incertezas das pesagens B) Incertezas das pesagens –– efeito da balançaefeito da balança
Incerteza da balança (certificado) – 0,12 mg - distribuição normalç ( ) g ç
Incerteza padronizada do uso do padrão: (0,12/2) = 0,060 mgu(x2) = 0,060 (incerteza padronizada da balança) p= 68%u(x2) 0,060 (incerteza padronizada da balança) p 68%
C) Incerteza devido à resolução da balançaC) Incerteza devido à resolução da balançaResolução digital da escala – 0,1 mg Incerteza padronizada à resolução do padrão:
( ) (0 1/2/ i (3)) 0 0289 di ib i ã l 68%u(x3) = (0,1/2/raiz(3)) = 0,0289 mg distribuição retangular p=68%
DD) ) Incerteza devido ao erro de excentricidadeIncerteza devido ao erro de excentricidadeDado do certificado : 0,1 mgDiâmetro do prato: 100mmEstimativa do erro de centragem no prato: 5mm
( ) 0 1 (5/50)/ i (3) 0 006
São Paulo -2009 135
u(x4) = 0,1x(5/50)/raiz(3) = 0,006 mg
E) Incerteza combinada - u
AVALIAÇÃOAVALIAÇÃO DADA INCERTEZAINCERTEZA
E) Incerteza combinada - uc
uc = [Σ(ci.u(xi))2]1/2
INCERTEZA EXPANDIDA U
uc = [(0,098)2 + (0,060)2 + 2x(0,029)2 + (0,006)2]1/2 = 0,122 mg
INCERTEZA EXPANDIDA, U
Grau de liberdade efetivo:Para um único componente do tipo A a equação de Welch-Satterthwaitepode ser simplificada para :
νef = νax(uc/uA)4ef a ( c A)
νef = (9-1)x(0,122/0,098)4 = 21,6 k = 2,13
U = uc x k U = 0,122x2,13 = 0,26 mg (0,19%)
São Paulo -2009 136
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
PENSE BEM ANTES DE QUALQUER ATITUDEPENSE BEM ANTES DE QUALQUER ATITUDE
São Paulo -2009 137
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Cuidado com o choque!!!!Cuidado com o choque!!!!
São Paulo -2009 138
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
[ρ ] = µΩ cmCuCu 1,71,7
AA 2 22 2AuAu 2,22,2AlAl 3,23,2
MoMo 4,84,8
WW 5,55,5
NaNa 4,24,2SnSn 10,610,6SnSn 10,610,6
São Paulo -2009 139
M di ã d R i tê i d FiM di ã d R i tê i d FiINCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Medição da Resistência de um FioMedição da Resistência de um Fio
0 0 0A
0~ Modelagem
A0 0
V0
~0
VR (Ω)V = RV = RxxII R (Ω)V RV RxxII
AA 30,0530,05 30,1030,10 29,9829,98 30,0330,03 30,0130,01,, ,, ,, ,, ,,VV 120,2120,2 120,1120,1 120,0120,0 120,2120,2 120,3120,3
Medidas em mV e mASão Paulo -2009 140
Avaliação das incertezasINCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Dados dos PadrõesDados dos PadrõesAvaliação das incertezas
de influência
Características do amperímetroCaracterísticas do amperímetro
IndicaçãoIndicação 5,005,00 10,0010,00 25,0025,00 50,0050,00 100,00100,00
VVCVVC 4 984 98 10 0110 01 24 9524 95 49 9849 98 99 9799 97VVCVVC 4,984,98 10,0110,01 24,9524,95 49,9849,98 99,9799,97
Incerteza : Incerteza : ±± 0,02 mA0,02 mA
Características do voltímetroCaracterísticas do voltímetro
IndicaçãoIndicação 10,010,0 50,050,0 100,0100,0 150,0150,0 200,0200,0
VVCVVC 9,99,9 50,150,1 99,899,8 149,9149,9 200,2200,2
Incerteza : Incerteza : ±± 0,3 mV0,3 mV São Paulo -2009 141
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Ajuste do padrão Ajuste do padrão -- correntecorrente
5,000 10,000 25,000 50,000 100,0004,980 10,010 24,950 49,980 99,970
50 50 -- 3030 == 49,980 49,980 -- XX == 29 95629 95650 50 -- 2525
==49,980 49,980 –– 24,95024,950
== 29,95629,956
São Paulo -2009 142
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Ajuste do padrãoAjuste do padrão -- tensãotensãoAjuste do padrão Ajuste do padrão tensãotensão
10 000 50 000 100 000 150 000 200 00010,000 50,000 100,000 150,000 200,000
9,900 50,100 99,800 149,900 200,200
149 900149 900 XX150 150 -- 120120150 150 -- 100100
==149,900 149,900 -- XX
149,900 149,900 –– 99,80099,800== 119,840119,840
São Paulo -2009 143
Cálculo do valor da resistênciaCálculo do valor da resistênciaINCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
Cálculo do valor da resistênciaCálculo do valor da resistência
Valores Medidos Média des. padr.
30,05 30,10 29,98 30,03 30,01 30,034 0,045
120,2 120,1 120,0 120,2 120,3 120,16 0,114
G d d i fl ê iG d d i fl ê iGrandezas de influência :Grandezas de influência :
Incerteza do amperímetro Incerteza da resolução do amperímetro
Incerteza do voltímetro
Incerteza da medição da corrente Incerteza da resistividade
Incerteza da resolução do voltímetro
Incerteza da medição da tensãoIncerteza da área
São Paulo -2009 144
Incerteza do efeito da temperatura
Incerteza do comprimento
C fi i t d ibilid dC fi i t d ibilid dINCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
VRRRVR ∆∆
∆∂ 11
Coeficientes de sensibilidadeCoeficientes de sensibilidade
IR
IVIVIR =∆⇒=
∆==
∂⇒=
222 IIVR
IV
IR
IV
IR
IVR ∆
=∆⇒−=∆∆
=−=∂∂
⇒=
Grandezas de influência Estimativa Distribuição Incerteza C.S Incerteza G.L.padrão
Padrão - Amp. 30,00 N 0,01000 mA0,1333333
3 0,0013 inf0 0333333
Padrão - Volt. 120,0 N 0,15000 mV0,0333333
3 0,0050 inf
Mensurando - Amp. 30,034 N 0,02015 mA0,1333333
3 0,0027 4
Mensurando- Volt. 120,16 N 0,05099 mV0,0333333
3 0,0017 40 1333333
Resolução - Amp. 0 T 0,00408 mA0,1333333
3 0,0005 inf
Resolução - Volt. 0 T 0,04082 mV0,0333333
3 0,0014 inf
Afastamento de 20°C - compr. 0 R 0,00004 - 4 0,0002 inf
Af t t d 20°C á 0 R 0 00008 4 0 0003 i f
São Paulo -2009 145
Afastamento de 20°C - área 0 R 0,00008 - 4 0,0003 inf
2,03 0,0063 101
0,013 Ω
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃO
4 LLL ρρρ ×××
Coeficientes de sensibilidadeCoeficientes de sensibilidade
22
4
4d
Ld
LS
LRπρ
πρρ ×
=×
=×
= Expressão da resistência em função das característicasdimensionais e do material.
ρρρ
∆=∆⇒=∆∆
⇒=∂∂
222
444dLR
dLR
dLR
ππρπρ ∆∂ 222 ddd
πρ∆
∆∆ dLLR 44 2 ρ∆∆Rρρπ
ππρ
ρπ
∆×
×=×
∆×=
∆L
ddL
dLd
LRR
444
2
2
2
ρρ∆
=∆RR
4
Analogamente :LR ∆∆
Analogamente :
LR=
São Paulo -2009 146
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOCoeficientes de sensibilidade
LR ∆∆LL
RR ∆
=∆
( ) tLtLL ∆××=−××=∆ αα )20( ))
LtL
RR ∆××
=∆ α
tR∆×=
∆ α tR
αSão Paulo -2009 147
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOCoeficientes de sensibilidade
dd
dLRd
dLdR
ddL
dR
∆×××
−=∆⇒××
−=∆∆
⇒××
−=∂∂
444
242424π
ρπ
ρπ
ρ
dd
RRd
ld
ddL
RR ∆
−=∆
⇒∆××××
−=∆ 2
424 2
4 ρπ
πρ
dRldR 4 ρπ
( ) tdtdd ∆××=−××=∆ αα )20( ) tdtdd ∆××=××=∆ αα )20
∆××∆ tdR 2⇒
∆××−=
∆d
tdRR α2
tRR
∆×−=∆ α2R
São Paulo -2009 148
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOComparaçãoComparação
retangular normal student retangular retangular retangular retangular
a 0,10000 0,12000 0,09800 0,40000 0,00000 0,00E+00 0C 0,707106781 0,5 1 0,025 0 0,0000 0
- - -BalançaResolução Pesagem Excentric.
u 0,070711 0,060000 0,098000 0,010000 0,000000 0,000000 0,000000Ponto 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
1 0,02198 -0,01673 0,16643 -0,00362 0,00000 0,00000 0,000002 0 02044 -0 03587 -0 04623 -0 00267 0 00000 0 00000 0 000002 0,02044 0,03587 0,04623 0,00267 0,00000 0,00000 0,000003 -0,01178 0,03794 -0,13563 0,00002 0,00000 0,00000 0,000004 0,01913 -0,07290 0,04502 -0,00323 0,00000 0,00000 0,000005 0,00269 -0,08985 -0,00522 -0,00130 0,00000 0,00000 0,000006 0 01010 -0 01201 0 15963 -0 00360 0 00000 0 00000 0 000006 0,01010 -0,01201 0,15963 -0,00360 0,00000 0,00000 0,000007 0,00472 0,03652 0,00482 -0,00337 0,00000 0,00000 0,000008 -0,01792 -0,09737 -0,04052 -0,00004 0,00000 0,00000 0,000009 0,00800 -0,01099 -0,05266 0,00187 0,00000 0,00000 0,00000
10 0 01196 0 03405 0 19565 0 00084 0 00000 0 00000 0 00000
Monte Carlo ISO GUM M 3003 Monte Carlo ISO GUM M 3003
10 0,01196 -0,03405 0,19565 -0,00084 0,00000 0,00000 0,0000011 0,00377 -0,01849 -0,02053 -0,00288 0,00000 0,00000 0,00000
São Paulo -2009 149
INCERTEZA DE MEDIÇÃOINCERTEZA DE MEDIÇÃOComparaçãoComparação
Monte Carlo ISO GUM M 3003 Monte Carlo ISO GUM M 3003
ISO-GUIA 19970,040825 0,060000 0,098000 0,005774 0,000000 0,000000 0,000000 0,122082 η 19
n M m 0,040825 0,26 k 2,14
9 0,26 -0,25 0,09800 2,40 M3003 0,24 kc 1,99N/R
MCMISO-GUM
N/Rsim nãox
Calcular
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PENSE BEM ANTES DE QUALQUER ATITUDEPENSE BEM ANTES DE QUALQUER ATITUDE
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