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Cálculo II (Cursão)Aula 18 – Teorema de Green.
Marcos Eduardo ValleDepart. Matemática Aplicada
IMECC – Unicamp
Marcos Eduardo Valle MA211 – Cálculo II (Cursão) 1 / 22
Introdução
O segundo teorema fundamental do cálculo para integrais de linhaestabelece que
∫C∇f · dα = f(b) − f(a), em que a e b são os extremos
de C e ∇f é um campo vetorial contínuo.
Na aula de hoje apresentaremos umaformulação do segundo teorema funda-mental do cálculo envolvendo integraisduplas sobre uma região D do plano de-limitada por uma curva fechada de com-primento finito que não se cruza em ne-nhum ponto. (Figura extraída do livro de James
Stewart, Calculus, 5 edição.)
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Curvas Fechadas Simples
Considere uma curva α : [a, b]→ Rn contínua.• Dizemos que α é uma curva fechada se α(a) = α(b).• Dizemos que α é uma curva fechada simples se, além da condição
anterior, tem-se α(t1) , α(t2) se t1 , t2 com t1, t2 ∈ (a, b].Em palavras, parâmetros distintos resultam pontos distintos docaminho exceto nos extremos.
Curvas fechadas simples em R2 são chamadas curvas de Jordan.
Um círculo é um exemplo de uma curva de Jordan.
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Teorema de Green
Teorema 1 (Teorema de Green)
Sejam P e Q campos escalares continuamente diferenciáveis em umconjunto aberto S ⊆ R2. Seja C uma curva de Jordan suave por partese seja D o interior da região delimitada pela curva C, incluindo a própriacurva. Se D ⊆ S, então"
D
(∂Q∂x−∂P∂y
)dA =
�C
Pdx + Qdy,
em que a integral de linha é obtida percorrendo C de modo que a regiãoR fique sempre a esquerda, referida como orientação positiva.
A notação�
CPd + Qdy é usada para enfatizar que a integral é
calculada sobre uma curva fechada C usando a orientação positiva.
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Ideia da demonstração
Mostraremos que ∫C
Pdx = −
"D
∂P∂y
dA .
Para tanto, vamos supor que a região D pode ser escrita como
D ={(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b , g1(x) ≤ y ≤ g2(x)
},
onde g1 e g2 são funções contínuas.
Por um lado, pelo teorema fundamental do cálculo, temos"D
∂P∂y
dA =
∫ b
a
∫ g2(x)
g1(x)
∂P∂y
dydx =
∫ b
a
[P(x, g2(x)
)− P
(x, g1(x)
)]dx.
Marcos Eduardo Valle MA211 – Cálculo II (Cursão) 5 / 22
Por outro lado, podemos escrever a fronteira C de D como a união doscaminhos C1, C2, C3 e C4 mostrados abaixo:
(Figura extraída do livro de James Stewart, Calculus, 5 edição.)
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O caminho C1 pode ser descrito por
α1(x) = xi + g1(x)j, a ≤ x ≤ b .
Logo, ∫C1
Pdx =
∫ b
aP(x, g1(x)
)dx.
De um modo similar, −C3 pode ser descrita por
α3(x) = xi + g2(x)j, a ≤ x ≤ b .
Assim, ∫C3
Pdx = −
∫C3
Pdx = −
∫ b
aP(x, g2(x)
)dx.
Finalmente, sobre C2 e C4, x é constante e, portanto, dx = 0.Consequentemente, ∫
C2
Pdx = 0 =
∫C4
Pdx.
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Concluindo, a integral de P sobre a curva C com respeito a x é∫C
Pdx =
∫C1
Pdx +
∫C2
Pdx +
∫C3
Pdx +
∫C4
Pdx
=
∫ b
aP(x, g1(x)
)dx −
∫ b
aP(x, g2(x)
)dx
=
∫ b
a
[P(x, g1(x)
)− P
(x, g2(x)
)]dx
= −
∫ b
a
[P(x, g2(x)
)− P
(x, g1(x)
)]dx
=
∫ b
a
∫ g2(x)
g1(x)
∂P∂y
dydx =
"D
∂P∂y
dA .
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De um modo similar, podemos mostrar que∫C
Qdy =
"D
∂Q∂x
dA ,
descrevendo D da seguinte forma:
D ={(x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)
},
onde h1 e h2 são funções contínuas.
Finalmente, combinando as equações∫C
Pdx = −
"D
∂P∂y
dA e∫
CQdy =
"D
∂Q∂x
dA ,
concluímos que ∫C
Pdx + Qdy =
"D
(∂Q∂x−∂P∂y
)dA .
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Região Simples
Na demonstração do teorema de Green, assumimos que a região Dpode ser escrita tando como
D ={(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b , g1(x) ≤ y ≤ g2(x)
},
comoD =
{(x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)
},
em que g1, g2, h1 e h2 são todas funções contínuas. Chamamos taisregiões de regiões simples.
O teorema de Green pode ser estendido para o caso em que D é umaregião mais geral dita simplesmente conexa.
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Região Simplesmente Conexa
Definição 2 (Região Simplesmente Conexa)
Um conjunto aberto S ⊆ R2 é dito simplesmente conexo se, para todacurva de Jordan C em S, a região D delimitada por ela estáinteiramente contida em S.
Intuitivamente, uma região simplesmente conexa não possui buracos.
Alternativamente, S é simplesmente conexa se seu complementar éuma região conexa.
No que segue, interpretamos uma região S simplesmente conexa comoa união finita de regiões simples.
Marcos Eduardo Valle MA211 – Cálculo II (Cursão) 11 / 22
A figura abaixo ilustra uma região simplesmente conexa:
(Figura extraída do livro de James Stewart, Calculus, 5 edição.)
A ideia é que as integrais de linha sobre C3 e −C3 se cancelam.
Marcos Eduardo Valle MA211 – Cálculo II (Cursão) 12 / 22
O teorema de Green também pode ser aplicado para regiões com furo,ou seja, regiões que não são simplesmente conexas. Um exemplo émostrado na figura abaixo:
(Figura extraída do livro de James Stewart, Calculus, 5 edição.)
Novamente, a ideia é que as integrais de linha em curvas percorridasem ambos sentidos se cancelam.Observe que a região fica sempre a esquerda quando percorremos afronteira.
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Formalmente, tem-se o seguinte teorema num caso geral:
Teorema 3
Sejam C1,C2, . . . ,Cn curvas de Jordan suaves por partes tais que:
(a) Duas curvas distintas não se intersectam.
(b) As curvas C2, . . . ,Cn estão no interior da região delimitada por C1.
(c) Uma curva Ci está no exterior da curva Cj para i , j, i > 1 e j > 1.
Denote por D a região formata por C1 e seu interior subtraídos da uniãodo interior de C2, . . . ,Cn. Se P e Q são campos vetoriaiscontinuamente diferenciáveis em um aberto S contendo D, então"
D
(∂Q∂x−∂P∂y
)dA =
�C1
Pdx + Qdy −n∑
i=2
�Ci
Pdx + Qdy.
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Invariância por Deformação
Teorema 4 (Invariância por Deformação)
Sejam P e Q continuamente diferenciáveis em um conjunto abertoS ⊆ R2 tais que
∂Q∂x
=∂P∂y
.
Sejam C1 e C2 duas curvas de Jordan suaves por partes em S quesatisfazem:
(a) C2 está no interior de C1.
(b) A intersecção do interior de C1 com o exterior de C2 está em S.
Nesse caso tem-se:∮C1
Pdx + Qdy =
∮C2
Pdx + Qdy,
se ambas as integrais forem percorridas no mesmo sentido.Marcos Eduardo Valle MA211 – Cálculo II (Cursão) 15 / 22
Condição Necessária e Suficiente para f = ∇f .
Usando o teorema de Green, tem-se o seguinte teorema:
Teorema 5 (Condição Necessária e Suficiente para f = ∇f .)
Um campo vetorial
f(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j,
continuamente diferenciável em uma região S ⊆ R2 simplesmenteconexa é o gradiente de um campo escalar f se, e somente se,
∂P∂y
(x, y) =∂Q∂x
(x, y), ∀(x, y) ∈ S.
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Exemplo 6
O campo vetorial
f(x, y) =−y
x2 + y2i +
xx2 + y2
j,
satisfaz a condição
∂P∂y
(x, y) =∂Q∂x
(x, y), ∀(x, y) ∈ R2 \ (0, 0).
Todavia, f não é o gradiente de um campo escalar em S. Com efeito,f = ∇f se S for uma região simplesmente conexa, ou seja, uma regiãoque não contém furos.
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Exemplo 7
Use o teorema de Green para determinar o trabalho feito por um campode força
f(x, y) = (y + 3x)i + (2y − x)j,
ao mover uma partícula ao longo da elipse
4x2 + y2 = 4,
no sentido anti-horário.
Marcos Eduardo Valle MA211 – Cálculo II (Cursão) 18 / 22
Exemplo 7
Use o teorema de Green para determinar o trabalho feito por um campode força
f(x, y) = (y + 3x)i + (2y − x)j,
ao mover uma partícula ao longo da elipse
4x2 + y2 = 4,
no sentido anti-horário.
Resposta: Tem-se�C
Pdx + Qdy =
"D
(∂Q∂x−∂P∂y
)dA = −4π.
Marcos Eduardo Valle MA211 – Cálculo II (Cursão) 18 / 22
Exemplo 8
Calcule a integral
I =�
C(5 − xy − y2)dx − (2xy − x2)dy,
em que C é o quadrado com vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1)percorrido no sentido anti-horário.
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Exemplo 8
Calcule a integral
I =�
C(5 − xy − y2)dx − (2xy − x2)dy,
em que C é o quadrado com vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1)percorrido no sentido anti-horário.
Resposta: Pelo teorema de Green, tem-se
I =�
C(5 − xy − y2)dx − (2xy − x2)dy =
∫ 1
0
∫ 1
0(−3x)dxdy = −
32.
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Exemplo 9
Se
f(x, y) =−yi + xjx2 + y2
,
mostre que∫
C f · dα = 2π para todo caminho fechado simples quecircunde a origem.
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Exemplo 9
Se
f(x, y) =−yi + xjx2 + y2
,
mostre que∫
C f · dα = 2π para todo caminho fechado simples quecircunde a origem.
Resposta: Considere uma curva C e seja C ′ o círculo de raio acentrado na origem. Pelo teorema de Green, temos∫
CPdx + Qdy −
∫C′
Pdx + Qdy =
"D
(∂Q∂x−∂P∂y
)dA = 0.
Logo, calculando a integral sobre o círculo C ′, encontramos∫C
Pdx + Qdy =
∫C′
Pdx + Qdy = 2π.
Marcos Eduardo Valle MA211 – Cálculo II (Cursão) 20 / 22
Área de uma Região
Se P e Q são tais que∂Q∂x−∂P∂y
= 1, (1)
então, pelo teorema de Green, a área de uma região D é dada por
A =
"D
1dA =
∫C
Pdx + Qdy.
Exemplos de funções P e Q e que que satisfazem (1), incluem:
P(x, y) = 0 e Q(x, y) = x,
P(x, y) = −y e Q(x, y) = 0,
P(x, y) = −y/2 e Q(x, y) = x/2.
Assim, a área de D pode ser obtida por uma das equações:
A =
∫C
xdy = −
∫C
ydx =12
∫C
xdy − ydx.
Marcos Eduardo Valle MA211 – Cálculo II (Cursão) 21 / 22
Considerações Finais
O teorema de Green estabelece uma relação de uma integral dupla deuma região D com a integral de linha ao longo de sua fronteira.
Iniciamos apresentando o teorema de Green para regiões simples e,posteriormente, estendemos ele para regiões simplesmente conexas e,no caso mais geral, para regiões que possuem um número finito deburacos.
Além disso, vimos que o teorema de Green fornece condiçõesnecessárias e suficientes para f = ∇f .
Muito grato pela atenção!
Marcos Eduardo Valle MA211 – Cálculo II (Cursão) 22 / 22
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