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ondas iiiiiiiiii
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Capítulo 16
Ondas 1
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Capítulo 16 – Ondas I
Tipo de Ondas
Ondas Longitudinais e Transversais Comprimento de Onda e Frequência A velocidade de uma Onda Progressiva Energia e Potencia de uma Onda Progressiva A equação de Onda Superposição de Ondas Interferência de Ondas Ondas Estacionárias Ressonância
Tipos de Ondas
Capítulo 16 – Ondas I
Ondas Mecânicas: Entre elas estão as ondas do
mar e as ondas. São governadas pelas leis de
Newton e existem apenas em um meio material,
como água e ar.
Ondas eletromagnéticas: São por exemplo a luz
visível, a luz ultravioleta, as ondas de rádio e tv,
as microondas e os raios X. Estas não precisam
de um meio material para se propagar, podem se
propagar no vácuo. No vácuo elas se propagam
com velocidade c ~ 3x108 m/s
Ondas de matéria: Estão associadas a elétrons, prótons e outras partículas
elementares, e mesmo átomos e moléculas. Elas sáo chamadas de ondas de
matéria porque normalmente pensamos nessas partículas como elementos
básicos da matéria.
Ondas Longitudinais e Transversais
Capítulo 16 – Ondas I
Onda transversal: os deslocamentos do meio são perpendiculares ou transversais à direção de propagação da onda ao longo do meio.
Onda longitudinal: as partículas do meio oscilam ao longo da mesma direção de propagação da onda.
Comprimento de Onda e Frequência (em um tempo qualquer)
Capítulo 16 – Ondas I
Comprimento de onda λ de uma onda é a
distância (paralela à direção de propagação) entre
repetições da forma da onda.
2k No SI: 1 radiano por metro = 1 rad/m
Número de Onda k determina quantos radianos da onda estão contidos em 1 m.
tkxsenytxy m,
Equação que descreve a posição vertical, y, em termos de cada elemento da
“corda” e do tempo . Nessa equação ym, k e ω são constantes.
Amplitude ym de uma onda é definida pela
grandeza física que multiplica a função seno (ou
cosseno), neste caso, consiste no máximo
deslocamento dos elementos da onda.
Comprimento de Onda e Frequência (Considerando um elemento x da corda)
Capítulo 16 – Ondas I
Frequência Angular ω determina quantos
radianos são percorridos em cada segundo.
T
2 No SI: 1 radiano por segundo = 1 rad/s
tkxsenytxy m,
Equação que descreve a posição vertical, y, em termos de cada elemento da
“corda” e do tempo . Nessa equação ym, k e ω são constantes.
Período T de uma onda é definido pelo intervalo
de tempo característico de uma repetição da
onda. (Subida e descida de um elemento da onda
ou intervalo de tempo necessário para que a crista
alcance a posição da crista vizinha).
Comprimento de Onda e Frequência
Capítulo 16 – Ondas I
Os Sinais que antecedem a Frequência Angular ω
determinam a direção do sentido de propagação da
onda.
- ω : indica sentido positivo de propagação no eixo x
+ ω : indica sentido negativo de propagação no eixo x
tkxsenytxy m,
Equação que descreve a posição vertical, y, em termos de cada elemento da
“corda” e do tempo . Nessa equação ym, k e ω são constantes.
A Constante de Fase Φ de uma onda determina o
deslocamento y do elemento x = 0 de uma corda no
instante t = 0.
As figuras ao lado representam ondas progressivas
senoidais no instante t = 0 com uma conste de fase Φ
de (a) 0 rad e (b) π/5 rad.
Comprimento de Onda e Frequência
Capítulo 16 – Ondas I
tkxsenytxy m,
Capítulo 16 – Ondas I
tkxsenytxy m ,
Considerar a mesma onda em dois instantes
diferentes de tempo. Nessa situação a fase da
onda permanece constante!
fTk
v
Velocidade da onda
constante tkx
Como determinar a velocidade de propagação de uma onda?
Derivando dos dois lados temos:
0dt
dxk
O mesmo raciocínio pode ser obtido por meio
das equações da cinemática:
vtx f
vvT
Capítulo 16 – Ondas I
Exemplo 16.2) pg. 122
Uma onda que se propaga em uma corda é descrita pela equação y(x,t) = 0,00327sen(72,1x
– 2,72t), onde as constantes estão no SI.
a) Qual a amplitude da onda?
b) Qual o comprimento de onda, o período e a frequência da onda?
c) Qual a velocidade da onda?
d) Qual a velocidade transversal do elemento da corda x = 12,3 cm no instante t = 2,2 s?
𝜆 =2𝜋
𝑘 𝑇 =
2𝜋
𝜔 𝑇 =
1
𝑓
𝑣 =𝜆
𝑇
tkxydt
txdytxu m cos)(
,,
Capítulo 16 – Ondas I
A figura abaixo mostra a velocidade transversal em função do tempo, para um ponto de
uma corda situado em x = 0, quando uma onda passa por ele. A escala do eixo vertical é
definida por us = 4 m/s. Qual é o valor de ? (0,64 rad)
tkxydt
txdytxu m cos)(
,,
tkxutxu m cos,
mm yu
Velocidade de uma Onda em uma Corda Esticada
Capítulo 16 – Ondas I
Podemos aproximar a crista da onda na corda por
uma trajetória circular com arco Δl e raio R. A
corda está esticada por uma tensão τ. No eixo x a
tensão se anula restando apenas duas componentes
do eixo y. Nessa condição temos:
𝐹 = Δ𝑚𝑣2
𝑅= 2𝜏𝑠𝑒𝑛(𝜃)
Para ângulos pequenos, senθ ~ θ: 2𝜃 =
Δ𝑙
𝑅
Δ𝑚 = µΔ𝑙
µΔ𝑙𝑣2
𝑅= 𝜏
Δ𝑙
𝑅 𝑣 =
𝜏
µ Velocidade em uma corda esticada por
uma tensão τ.
Energia e Potencia de uma Onda Progressiva
Capítulo 16 – Ondas I
A energia cinética de um elemento infinitesimal da
corda pode ser descrito por: 𝐾 =Δ𝑚𝑢(𝑥, 𝑡)2
2
𝐾 =Δ𝑚[𝑦𝑚 −𝜔 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)]2
2
[𝑐𝑜𝑠2(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)]méd = 1/2
𝐾𝑚é𝑑 =𝜇𝑑𝑥(𝑦𝑚𝜔)2
4
𝑃 =𝑑𝐸
𝑑𝑡= 2
𝑑𝐾𝑚é𝑑
𝑑𝑡= 2
𝜇𝑑𝑥(𝑦𝑚𝜔)2
4𝑑𝑡
𝑃 =𝜇𝑣(𝑦𝑚𝜔)2
2
Potência média de uma onda em uma corda.
𝐸 = 𝐾𝑚é𝑑 + 𝑈𝑚é𝑑
𝐾𝑚é𝑑 = 𝑈𝑚é𝑑
𝐸 = 2𝐾𝑚é𝑑
Capítulo 16 – Ondas I
Exemplo 16.4)
Na figura abaixo, duas cordas foram amaradas uma na outra com um nó e esticadas
entre dois suportes rígidos. As cordas tem massas específicas lineares de µ1 =
1,4x10-4 kg/m e µ2 = 2,8x10-4 kg/m. Os comprimentos são L1 = 3,0 m e L2 = 2,0 m.
A tensão na corda é de 400 N. Dois pulsos são enviados simultaneamente em direção
ao nó a partir dos suportes. Qual dos pulsos chega primeiro?
Resposta: O pulso que chegará primeiro
é aquele que completa o percurso no
menor tempo.
𝑣 =𝜏
µ
𝑡1 =𝐿1
𝑣1= 𝐿1
µ1
𝜏= 1,77𝑥10−3𝑠
𝑡2 =𝐿2
𝑣2= 𝐿2
µ2
𝜏= 1,67𝑥10−3𝑠 A onda 2 chega antes ao nó.
Capítulo 16 – Ondas I
Para que uma equação possa ser usada para descrever o comportamento de uma
onda, ela deverá satisfazer a condição abaixo:
2
2
22
2 ),(1),(
t
txy
vx
txy
Capítulo 16 – Ondas I
Fig.: Exemplos de Reflexão de um pulso ondulatório em uma corda com extremidade fixa
e com extremidade livre.
Quando uma onda atinge as fronteiras do meio,
ocorre reflexão da onda inteira ou de uma parte da
onda. Ex: corda com extremidade fixa, som ecoando,
etc.
Capítulo 16 – Ondas I
O que acontece quando duas ondas senoidais se passam simultaneamente
na mesma região?
Fig.: Superposição de dois pulsos ondulatórios se
deslocando em sentidos opostos.
Ocorre um combinação de ondas, uma superposição.
t,xyt,xyt,xy 21
Princípio de Superposição
Ondas superpostas se somam algebricamente para produzir uma onda resultante ou onda total.
Ondas superpostas não se afetam multuamente.
Capítulo 16 – Ondas I
O fenômeno de combinação de ondas recebe o nome de INTERFERÊNCIA.
Ex. Duas ondas, de mesma amplitude e comprimento de onda se propagam no
MESMO SENTIDO de uma corda, sofrem interferem para produzir uma onda resultante
senoidal que se propaga nesse mesmo sentido.
Fig.: (a), (b) e (c) Ondas se propagando. (f), (g) e (h) onda sultante y’(x,t).
tkxsenyt,xy m 1
tkxsenyt,xy m2
txytxytxy ,,,´ 21
Capítulo 16 – Ondas I
22
1cos2,´
tkxsenytxy m
A interferência do ponto de vista matemático:
tkxsenyt,xy m 1
tkxsenyt,xy m2
txytxytxy ,,,´ 21
tkxsenytkxsenytxy mm),('
BABAsensenBsenA 2
1cos
2
12
tkxtkxtkxtkxsenytxy m 2
1cos
2
12),('
tkxA
tkxB
Amplitude Componente
Periódica
Capítulo 16 – Ondas I
Interferência
nLLL 12
Interferência Construtiva:
2)12(12
nLLL
n2
Interferência Destrutiva:
ou
)12( nou
...2,1,0n ...2,1,0n
Capítulo 16 – Ondas I
Exemplo 2. Duas ondas senoidais iguais, propagando-se no mesmo sentido em uma corda, interferem entre si. A amplitude ym das ondas é 9,8 mm e a diferença de fase entre elas é 100°. a) Qual a amplitude y’m da onda resultante e qual é o tipo de interferência? (13mm) b) Que diferença de fase, em radianos, faz com que a amplitude da onda resultante
seja 4,9 mm? (0,26 rad)
Capítulo 16 – Ondas I
Exemplo:
Uma antena transmite uma sinal de rádio de f = 100,1 MHz. Um rádio receptor
localizado a 20 km de distância da antena, sente uma interferência quando
um avião sobrevoa exatamente na metade da distância entre a antena e o
rádio. A interferência ocorre devido a sobreposição do sinal que sai da antena
e chega ao rádio, e, do sinal que sai da antena e é refletido pelo avião
chegando ao rádio. Determine a altura mínima que o avião necessita voar
para geral tal interferência.
fc
mx
x
f
c3
101.100
1036
8
A condição de interferência destrutiva será
satisfeita quando a diferença entre os dois
caminhos será meio comprimento de onda.
x x
d
h
22
dx
4
3
2
20000x
mx 75,10000
222 hdx
22 dxh
mh 5,122
Capítulo 16 – Ondas I
Ondas Estacionárias
Ondas estacionárias são obtidas a partir da interferência de duas ondas
idênticas (de mesma amplitude, k e ω) mas que se movem em SENTIDOS
OPOSTOS.
A analise dos 5 instantes que aparecem na figura acima nos mostram que a onda
resultante possui pontos que nunca se movem ditos de nós. Os pontos da onda
resultante que podem atingir de máxima amplitude são chamados de anti-nós.
Capítulo 16 – Ondas I
Ondas Estacionárias
Capítulo 16 – Ondas I
Ondas Estacionárias
tkxsenytxy m ,1
tkxsenytxy m ,2
tkxsenytkxsenytxy mm ),('
BABAsenBAsen 2
1cos
2
12
tkxtkxtkxtkxsenytxy m 2
1cos
2
12),('
tkxsenytxy m cos)(2,´
tkxB
tkxA
txytxytxy ,,,´ 21
Posições dos nós:
... 2, 1, 0, n para ,2
nx
Posições dos antinós:
... 2, 1, 0, n para ,22
1
nx
Capítulo 16 – Ondas I
A condição de ressonância é satisfeita quando o espaço de confinamento, o
comprimento útil da corda, equivale a um multiplo inteiro de meios
comprimentos de onda.
Fig.: Cada corda do violino oscila
naturalmente com uma ou mais
frequências harmônicas.
Fig.: onda em corda esticada.
Ressonância
Capítulo 16 – Ondas I
Fig.: onda em corda esticada. (a)
n = 1: Primeiro harmônico; (b) n =
2: segundo harmônico; (c) n = 3:
terceiro harmônico.
...) 3, 2, 1,(n 2
nL
...) 3, 2, 1,(n 2
n
Ln
As frequências de ressonância correspondem
a esses comprimentos de onda.
...) 3, 2, 1,(n 2
L
vn
vf
n
n
Onde n é o número harmônico.
Ressonância
Capítulo 16 – Ondas I
Exemplo 16.8) pg. 138 2. A figura mostra a oscilação ressonante de uma corda de massa m = 2,500g e comprimento L = 0,80m sob uma tensão F = 325 N. (a) Qual é o comprimento de onda das ondas transversais responsáveis pela onda estacionária mostrada na figura e qual o número harmônico n? (b) Qual é a frequência das ondas transversais e das oscilações dos elementos de corda? (c) Qual o módulo máximo da velocidade um do elemento da corda que oscila no ponto de coordenada x = 0,180 m? (0,40 m e 4; 806 Hz; 6,26 m/s )
Capítulo 16 – Ondas I
Exemplo: 1 - A menor frequência de ressonância de uma certa corda de violino é a da nota lá de concerto (440 Hz). Qual é a frequência (a) do segundo e (b) do terceiro harmônico simples? (880 Hz; 1320 Hz) 2 - Uma corda sujeita a uma tensão de 200 N e fixa nas duas extremidades oscila no segundo harmônico de uma onda estacionária. O deslocamento da corda é dado por: Onde x = 0 em uma das extremidade da corda, x está em metros e t está em segundos. Quais são (a) o comprimento da corda, (b) a velocidade das ondas na corda e (c) a massa da corda? (d) Se a corda oscila no terceiro harmônico de uma corda estacionária, qual o período de oscilação? (4m; 24 m/s; 1,4 kg; 0,1 s)
txsenmtxy 12cos2)10,0(,´
Lista de Exercícios:
1, 3, 5, 7, 9, 13, 15, 17, 19, 21, 26, 29, 33, 41, 43, 51, 79, 85, 93
Referências HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J.; Fundamentos de Física: Eletromagnetismo. 8a ed. Rio de janeiro: LTC, 2009. Vol.2. TIPLER, P. A.; Física para Cientistas e Engenheiros. 4a ed, LTC, 2000. v.1. SEARS, F.; ZEMANSKY, M.W.; YOUNG, H.; FREEDMAN, R.A.; Física: Eletromagnetismo. 12a ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008. v.2.
Capítulo 16 – Ondas I
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