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Cap. 4. Deformação. 1. Deslocamento 2. Gradiente de deformação 2.1 Translação, rotação e deformação da vizinhança elementar 2.2 Significado físico da rotação pura 3. Tensor de deformação de Lagrange 4. Tensor das pequenas deformações 4.1 Caracter tensorial das deformações - PowerPoint PPT Presentation
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Cap. 4. Deformação
1. Deslocamento2. Gradiente de deslocamento
2.1 Translação, rotação e deformação da vizinhança elementar2.2 Significado físico da rotação pura
3. Tensor de deformação de Lagrange4. Tensor das pequenas deformações
4.1 Caracter tensorial das deformações4.2 Teoria geometricamente linear4.3 Significado físico das pequenas deformações
4.3.1 Variação relativa do comprimento (Extensão)4.3.2 Variação do ângulo4.3.3 Variação do ângulo originalmente recto (Distorção)
4.4 Representação geométrica no quadrado elementar unitário5. Deformação volúmica6. Medição das deformações: extensómetros, rosetas7. Equações de compatibilidade8. Forma matricial das equações introduzidas9. Estados de deformação10. Vector das deformações
Deformação é outra das repostas do MC ao carregamento
Cada vizinhança dos pontos interiores do MC depois da aplicaçãodo carregamento muda:a sua posição (translação e rotação)o seu volume (parte volúmica do tensor da deformação)a sua forma (parte desviatórica do tensor da deformação)
vector que liga a posição inicial com a posição final, de cada ponto do MCnão é preciso definir uma vizinhança para poder definir o vector de deslocamento
1. Deslocamento Tw,v,uu
Deslocamento é “visível”, pode-se medir, pelo menos na superfície,ao contrário de tensão, que é a nossa ficção
s
s
Pu
Qu
s
u Tz,y,xs
PQ uuu
uss
Q,Pss Não há deformação, comportamento do corpo rígido
zz
uy
y
ux
x
uu
Escolhe-se ponto P,e Q na vizinhança
elementar de P
2. Gradiente de deslocamento M
P
Q
P
Q
analogamente ...v ...w
Os dois pontos têm as coordenadas no referencial 0xyz,assim o vector que os liga tem as componentes:
PQ xxx PQ yyy PQ zzz
x0
z
y
Para definir a deformação precisa-se apenas a variação de forma e de volume,por isso tem que se eliminar de {Δs’} a translação e a rotação do corpo rígido
0antisimy
w
z
v
2
10
x
w
z
u
2
1
x
v
y
u
2
10
z
wsim
y
w
z
v
2
1
y
vx
w
z
u
2
1
x
v
y
u
2
1
x
u
z
w
y
w
x
wz
v
y
v
x
vz
u
y
u
x
u
M
uss ...sMs expansão de Taylor
sI...sMsIs
TranslaçãoRotação
Deformação
Posição Forma e volume
2.1 Translação, rotação e deformação da vizinhança elementar
TMM2
1
p. desviatórica
p. volúmica
z
wsim
y
w
z
v
2
1
y
v
x
w
z
u
2
1
x
v
y
u
2
1
x
u
z
yzy
xzxyx
sim
Translação pura sIs
Rotação pura
Deformação pura
sIs
sIs
0antisimy
w
z
v
2
10
x
w
z
u
2
1
x
v
y
u
2
10
0antisim
0
0
yz
xzxy
P
PPP
PP
PP
0u
su
su
2.2 Significado físico da rotação pura
Plano (x,y)
tgy
u
y
u
x
v0xy
x
v
y
u
2
1xy
x
ys
P
sQ
uy
vx
0u
1
Q
P
x
y
y
x
0
0
v
u
0yx
00
kji
su z
DCR
0
0
0
xy
xz
yz
sBy
x
cossin
sincos
y
x
1
1
y
x
0
0
10
01
y
xs
As componentes do tensor de rotação têm significado físico da rotaçãodo corpo rígido, quando as componentes << 1
Recorda-se que a matriz [B] corresponde a rotação de base de um referencial.
ss
s
s
Q
Q
PP
u
v
Desprezando a condição 1
Das relações em cima:
Rotação finita tem que usarfunções trigonométricas
Alternativamente, exprimindo a diferença entre os quadrados das normasdos comprimentos novos e originais, obtém-se directamente a deformação,ou seja já com a translação e a rotação do corpo rígido eliminadas
ssususss TT22
sMsMsMsssM TTT
sMMssMssMs TTTTT
ss2sMMMMs LTTTT
Tensor de deformação de Lagrange
MM2
1 TL
uuussu TTT
MM2
1 T
3. Tensor de deformação de Lagrange
Joseph Lagrange (1736-1813)
Termo de ordem maior,ou seja desprezável
L
4. Tensor das pequenas deformações
1M ij Quando componentes do gradiente de deformação
4.1 Caracter tensorial das deformações
MM2
1 TL
chama-se tensor das pequenas deformações
Lei do quociente: derivando o vector (tensor da 1ª ordem)obtém-se um tensor da 2ª ordem
Deformações principais, direcções principais, circunferência de Mohr, quádricas, ...
A rotação [ω] é tensor da 2ª ordem, antissimétrico
são tensores simétricos, como se viu da definição
Pode-se usar toda a teoria desenvolvida para tensores simétricos:
Le
A teoria das pequenas deformações não impede deslocamentos grandesa limitação de grandeza é aplicada apenas para as derivadasExemplos: translação pura, rotação pura
4.2 Teoria geometricamente linear
Teoria das pequenas deformações
Não se distingue a posição inicial e a final do MC, superfície do MC assume-seigual antes a depois da aplicação da carga, as equações de equilíbrio escrevem-separa a forma não-deformada.
Teoria dos pequenos deslocamentos pequenas deformações
Lquando , usa-se então
Teoria da II ordemChama-se teoria geometricamente linearIgualmente teoria da I ordem
As equações de equilíbrio (e distribuição dos esforços internos)escrevem-se na forma deformada
Estabilidade
As componentes de deformação não têm unidade, às vezes usa-se μ=10-6
4.3 Significado físico das pequenas deformações
x
ux
Extensão, ou sejaComponente normal
Positiva quando aumenta o comprimento
Extensão tem significado físico de variação relativa do comprimento
L infinitesimal
4.3.1 Variação relativa do comprimento (Extensão)
A definição corresponde à variação do comprimento projectado
na direcção original LP
Q
QP
LL
Q~
L
L
PQ
PQQPlim
PQ
PQQ~
Plim
x
u0PQ0PQ
P
Px
x
Px1L
L
LLLLLL
ângulo é pequeno
LL Px
11x
xs111
x
s1
x
s
x
xs2
2222
pequeno
2x
T2222
x2ss2xsss
xx
xs
s
ss
Queremos provar, que:
Para as pequenas deformações temos:
xx2xxx2
2x 1111211211x
x2
Assume-se uma fibra alinhada com eixo coordenado x de comprimento original Δx, ou seja
T0,0,xs
Prova
Voltando a relação anterior:
sin
cosnn2 Bn
An
BTA
Pode-se provar que
AAA nMnn
BTABTABTA
BTTABTA
BTTA
BTTABTABTA
BBTAABTA
nn2cosnn2nn
nMMnnn
nMMn
nMnnMnnn
nMnnMnnn
BBB nMnn
4.3.2 Variação do ângulo
Assume-se ângulo formado pelas duas fibras definidas pelos versores , An Bn
Exprime-se o produto interno dos versores depois da deformação
Não depende do referencial
cossincosnn2cos Bn
An
BTA
cossinnn2 Bn
An
BTA
sin
cosnn2 Bn
An
BTA
cossincossincos
sincossincos
sincos11
sinsincoscos1n1n
cosnnnn
Bn
An
Bn
An
Bn
An
Bn
An
Bn
An
Bn
BAn
A
BABTA
Ângulo originalmente recto BTA nn2 2
Exprime-se novamente o produto interno dos versores depois da deformação
Comparando
DistorçãoComponente tangencial, angular
v
u
x
y
Na figura é importante introduzir todas as variações nos sentidos positivos,assim os dois ângulos são positivos e somam-se
4.3.3 Variação do ângulo originalmente recto (Distorção)
x
v
y
uxy
xyPode-se provar, que
x
y
BTA nn2 Já foi provado, que
TA 0,0,1n TB 0,1,0n
xy
BTA 2nn2
A distorção é positiva, quando o ângulo diminui-se
Introduzindo ,
A representação da deformação angular “pura” tem que ser de modo que cada um dos ângulos correspondesse a esta média, ou seja tem que seretirar a rotação do corpo rígido
2x
v
y
u
2
1yxxy
Roda o eixo azul do ângulo que fazem os braços depois da deformação (azuis)pelo positivamente, até atingir o eixo do ângulo recto (vermelho)xy
v
u
x
y
Assim a componente tensorial corresponde à média dos dois ângulosxy
y
utg
x
vtg
xyxy2x
v
y
u
Distorção “de engenharia”
Componente tensorial
tem significado físico de variação angular do ângulo originalmente recto
2
2
4.3 Representação geométrica no quadrado elementar unitário
yxu xyx xyv xyy
0,0,0:caso xyyx
Retira-se a translação e a rotação, dimensões unitárias elementares (infinitesimais)
xxy
y
xy
A
rotação
deformação
Rectânguloelementar
A’inicial
xy
translação
x
y
B
B’
C
C’
xx
vv
xx
uu
yy
uu
Ajustar os ângulos
0,0 0,1
1,0 1,1
u
v
yy
vv
zyx2221
zyx111V
321323121321
321
5. Deformação volúmica
Volume depois da deformação:
Campo do deslocamento linearCampo de deformações uniforme
Planos transformam-se para planos, rectas para rectas
Referencial principal
Ângulos rectos transformam-se para ângulos rectos (distorções são nulas)
zyxV Paralelepípedo elementar: volume inicial:
Variação do volume:
VIzyx222VVV 1321323121321
Deformação volúmica: 321zyx1V I VV V
Separação em parte volúmica e desviatórica, parte desviatórica tem o 1. invariante=0, ou seja a parte desviatórica não causa uma alteração de volume
As distorções não causam alterações de volume, apenas de forma
6. Medição das deformações: extensómetros, rosetas
Podem-se medir apenas as extensões
ab
c
x
x
Devido ao sistema de coordenadas introduzido: xa
cossin2sincos xy
2
y
2
xc
cossin2sincos xy
2
y
2
xb
Sabemos: incógnitas:cba ,, xyyx ,,
As medições têm que corresponder a 1 ponto ou a distribuição das deformaçõestêm que ser uniforme
Base de medição: L
Comprimento novo: L+ΔL
7. Equações de compatibilidade
2
y
2
2x
2xy
2
xyyx
zyxxzy2 xyzxyzx
2
2
y
2
2x
2xy
2
xyyx
Em 2D
Mais duas equações pela “permutação” positiva
Equações de integrabilidade
Meio contínuo é contínuo após deformação, ou seja, juntando cada paralelepípedo deformado não haverá espaços vazios
deslocamentos deformações
deslocamentos deformações???
6 componentes da deformação versus 3 componentes do deslocamento
Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant, 1797 - 1886
Verificação da possibilidade física
Mais duas equações pela “permutação” positiva
introduzindo
0xy
x0
z
yz0
~
0~~ T
Equações de compatibilidade
0x/y/z/00
x/0z/0y/0
y/z/000x/
Equações deformações - deslocamento Equações de equilíbrio
0f uT
introduzindo
8. Forma matricial das equações introduzidas
Componentes de tensãoe deformação na forma vectorial
T
xyxzyzzyx ,,,,,
T
xyxzyzzyx ,,,,,
02
nt
n̂t
0nnn00
n0n0n0
nn000n
n̂
xyz
xzy
yzx
Tz/,y/,x/
0f
Equações de equilíbrio
Vector das tensões
introduzindo
9. Estados de deformação
extensão pura
deformaçãovolúmica pura
distorção pura
as componentes do tensor das deformações não variam com a posiçãosão constantes, por isso o campo dos deslocamentos é linear
10. Vector das deformações
n
Não se usa a componente tangencial, mas a variação do ângulo entre as fibras originalmente rectasdefinidas pelos versores ,
distorção puramas com a rotação
Componentes cartesianas não se usam muito
Componentes intrínsecas
Componente normal equivale a extensãoda fibra na direcção definida por {n} nnnn TT
n
BA nn2 An Bn
Homogéneo ou uniforme:
Não dependem do referencial
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