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2x+5 y=9 (4) 2 x.r 5y=9.{ 3) 4x + 3y = 11 .(5) x(20 6) = 28 -6x-1ú= -27 20y 6y = y (20 - 6) = Consideremoso seguinteproblema: Feloenunciâdqtemos: Resolvendoalgêbricamente,pelo métododa adiQão,Ìêmos: 2ox+ ) ú= 55 138 \ s i + 20 -22 111ì 14 r 11 f - I
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r
metermlnantes
Felo enunciâdq temos:
I r sì . Í " ì - / r r l\2 s/ \v/ - \s/
Apticando a mutripticaçáo de marrizes. temo", (ï I ?ï)=
peta isuatdade de matrjzes, obtemos o sistem" [i: I ï =
Resolvendo algêbricamente, pelo método da adiQão, Ìêmos:
f
111 ì\s i11
I
4x + 3y = 11 .(5)
2x.r5y=9.{ 3)
4x+3y=11 .(-
2x+5y=9 (4)
- 2ox+)ú=55
-6x-1ú= -2720t - 6x= 55 - r-x(20 6) = 28
-V 6v=
20y 6y =y (20 - 6) =
-22
INTRODUCAO
Consideremos o seguinte problema:
ouoo" e = ( l 3) ," = ( ï )"
" = ( t l ) ,a",u, ' ,nu.""ydemodoqueA.B = c
20+
Ì
138
14
29 exemplo: Fìêsolver a equaçãox+3
xl
2
5Re6olução'. tx + 3 2
l " r 5
"""ro"ru, a=[ l Í ]
= 0 = 5(x + 3) - 2(x - 1) = 05x+15-2x+2=03x = -17
'17*= _
3
r, t
EXERCíCIOS DE APRENDIZAGEM
OAche o valor dos det€rminantes:- 5 -2
3 - t
c)
: :
I +{5
2,'11 + tE
I
- Ì
- l
@nesotva as equaçoes:x x+2
57
3
logbaI
o)
\E 'lt
l * l b+l
ab
Seja A = (aij) uma matriz quadmda de 2: oí,dem, ial que aij - iz + i j. Calcule det A.
@senaoe=(l ; )""=(; ; )calcule det (AB).
MENOR COMPLEMENTAR
,^ ^ - Iconsideremos a mâtriz quâdrada de 3ï orde-, n = lãl] â:, ;j] l.
1"", a.2 a33l
Chama-se mgnoÍ @mplgm€ntar ql relativo a um elemento a da matriz A o detêrminan-te associado à matíiz quadrada de 2f ordem, obtida em A, e que'se obtém elimlnândose,em A, a linha e a coluna que contêm o elemento aii consldeíado
@alcule o deterrninante da matriz
I rI "e"b )
/ 96abendo
que0 < x < 2r. Íesolvaa equaçào
Q[Faao-SÌt nesotra a inequaçao*
" a 14.' 4 2xl
(d)ouau o."ui' e = [2 al..ut",,t.," t l l l
a) det A.b) det Az..c)detA' .
t -
. Nolamosquê â exprêssão numérica (4 . 5) _ (2 . 3). que pode seí êxpressa tamoempelo numero 14. é o dênominador comum das exprêssòes que nos permiló calcular o valorde x e de y, e determina se o sistema dado é determinado ou indêt;r.inãão. óãìã"r, no-me: deleÍminantê
Ao mesmo tempq observamos qdê esta expressão está associâda aos teÍmos damatr|z
lq 3l .12 s l ffi
ijs*ËfitrffiÍDaí podemos dizer que:
t
A têoria dos detêrminanlês surgiu quasê simultanêamente na Alemanhâ e no Jâpão.Ela loidesenvolvida pordois matemáticos, Leibniz(1646_1716)eSêkishinsuke Kowai1642
- 1708), ao solucionarêm um problema de eliminaçôes necessáÍias á resoluÇão de um sjste_ma de n equações linearês com n incógnitas
. . Depois vêfi, om oídêm cronológica, os trabalhos de Cramer, Bezout, Laplace, Vandermon-oê. Lagrange, Cauclly ê Jacobi.
DE 29 ORDEMDETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA
Dada a matriz quadrâda de 29 ordem A =
âssociado à matíiz A (ou determinantê de 2?all a22 -
Indica-sel
âr,r.
Observaçâo:
rn"n,113âXl"tt't o = (alj), deordêm 1' define-se como determinanle de A o seu próprio ele-
Íu"Iaã
oíoêm) oàtz ' àzt
"r, l,^ul
númêro
chama-se deteíminante
real obtido pela difêrênça
Vejamos alguns exemplos.
19 exemplo: Achar o valor do determinantê 4
6Resolução:
3
-14
14
3
-1Respostai
= + ( 1)-6 (3)= 4+18=14
139
r
Po anto:
Drr =
Exemplo: Dada a matíiz A
Resoluçáo: It
sendo A = lõ
lõ
422
432
Ap
432
aÍ
421
423
433
ar3
433
413
423
/ui âtz an\- et iminamosêmA a l inha2e acoluna l l@--"" -"" .1.
\"i' au a*l
I"" a\, a'.\- el iminamos em A a l inha 3 e a coluna 2 | a2r ar2 aztl
'1"" @ -""rÍ
ffi --u,r- .,.f -- et iminamos em A a l inha l e a coluna | | àÍ a22 uoI
lul, ã32 a..l
-1 3\1 4l2 ' t l
3
1
=lõ\5
112
, câlcular DÍ, D12, DÉ, D21 ê D32.
, temos:
Drr =
De=
,l
2
0
5
0
55,8
'1
-2
23
04
4
I
4,1
D.:z =
-2AesposÍasr 9, - 20, -5,
la" àtz aúìConsidêremos a matrìz quâdrada dê 3i ordem: A = | azr a22 az: I
\"" au ".. /
. Chama-se @fator d€ â o númêro real que se obtém multiplicando'se ( Í)"ipelomenorcomplementaÍ dê aii e quê é represenlado por Aij.
Então:
Assim, se consìdeíarmos â matriz quadrada A, temos:
nr, =(-ni" i D1r=( 1f +1'
-__l
a22 423
ãsz 433
COFATOR
(Nesse caso el iminâmos a I inha 1 e â coluna 1.)
141
7
(Nêsse casq el iminamos a l inha 2 ê a coluna 3.)
ârr 3e^ - t a\2-3. n - , . \2+3. I^23_\
| / l L v23_ \ | | |_- l ' tur 42
31-214 0 2l ,calcular:3 7 8l
Exemplo: Dada a malriz A =
a) Arr
Resolução: al A =
c) As2
-c lã l - r ' , = 1 ry '* i - p ' ,8,1 An=( 1) ' ,* ' .011
02
78
3
4
b) Ars
[3; rL io137
' . " .1 a o
13 7
4
ï
=24
Iü
13 7
l . it4 0[*'.-?;"' -
b) 28
,
b)A
={-1)3+'?.
2,1?l=n"8l
2lzF au8l
c) 14
2
Fesposias. a) -14
EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM
I Sela a matr;z
I r -3 o\A=l 2 4 i l
\ -1 z 6lCalcule Du, Drr, Dr2, D2r, Djr e D32.
2 Dada a natriz
o l 2 l3 4 51,
-2 7 \ l
calcde AB, A2l, Aj2 e Alr.
142
3 Dada a matriz
^ : [? -31, carcute:
a) Alt, Aì2, A2r e A22b)a An +at2.Al2
4 Seja A a mârriz quadnda de 3: ordem em que4r - i + j. Determine o colator do elemento
Á
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA DE39 ORDEM
Considerêmos a matriz quâdrâdâ de 39 ordem:
Ura \a,ll412422
DêÍine-se como determìnante da matriz A o número:
all A12 413a2j Az2 423a31 432 433
dêÌA= all a22a$ + a12ana31 + aga21a32 aB a22a31 a12a21a33 a11az3 a32
Agrupândo-se os termos que têm all, 412 e ai3, isto é, os elementos da 1i linha, ecolocando-os em êvidência, vem:
det A = all a2z a$ a.n a8a32 + ai2axa3i a12a21a$ + afia21a32 af a22 a3
del A = aÍ (a22 a$ - axa3ò a12ía21a$ a23 a3i) + a13 (421 a32 a22 a3i)
Em que:
togo:
422 423
ae 433
az3
433
422
= AÍ é o coÍator de ar1
= A12 é o cofâÌor dê al2
= AÉ é o cofator de a13
fâÉ431 432
t
-ât421 423
âsr 433
4zz 423
432 433
Àzt
431
421
a3l
det A = all All -l âlz 412 * â13 413
Observação:Se agíuparmos em det A os têrmos que contêm os elementos a21, a22 ê a23,isto é, os elementos da 2i Ì inha da matriz A, obteremos:
detA = azrAz + a'22.A22 * a*An
Assim, podêmos uti l izar essas fóÍmulâs para calcular um determinante de 3? ordem to"mando como retêrência qualquer linha ou coluna da matriz A.
PorexèmDlo. tomando como rêÍerência a 2? colunâ, temos:
det A = a12 ' A12 l à22 4p 1 â32 432
143
E6te método para calculaí um deteÍminante de 3i ordem é conhecido comoteorema d€Laplace, cujo enunciado e o seguintel
O determinante dê uma matriz quadíâda A, de 3: ordêm. é igual à soma dos produtosdos elementos de uma linha ou coluna qualquer pelos rêspectivos coÍatores.
lzExemplo: calcular o determinantê da matriz A, sendo A = l0
Ì6Resoluçáo:
Calcularemos o det A de duas formas:
05= +30
61
| -1 3
121
detA = 2(14) + 0(-5) + 6(-14
deÌA = 2(14) + (-1)(+30) + 3( 24)
b) Pêlos elementos da 19 coluna: dêt A =
1 3\4 51.
-2 1l
- -24
+detA=28-30-72
a1141 + a21 421 + a31431
detA = 28 + 0 - 102
tta) fulos êlêmentos dâ 1? l inha: det A = âÍ Atr "| â12 Aú
rqesroslas- a) 74 bl -74
Observe que para se aplicar esse método é mêlhor êscolhêr â linha ou a coluna que liveío maior número de zeros.
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM
I Calcüle os determinantes
2 calcul€ o valor de S:
3 oadas as matrizes e = Í2 o lì"\J 2 -31
s Il a o). catcute o determinante dou | 1 l
produto AÌ . B.
4 caÌcuÌe os determinantes segúntes, rÌsando oteorema de laplace
t2- l I
65
23ta) l 2 0
416
014025036
b)4- l
s=2I2
502164 0l
2 x -3
144
5 ResoÌva a equação
Fodemos obteío dêteíminante de uma mâtí iz quadrada de 3: oídem uti l izando uma regraprática muito simplês denominada íegía de Saííus.
lu, , ap u, . ÌSeja a matriz A = | a,. ú, a- |
l.31 432 .*l
Vamos repetir a 11 e a 2i coluna à direita da matriz, conforme o esquema abr, ixolJ
Mult ipl icando os Ìêrmos entre si, sêguindo os traços em diagonal e associando aos produtos o sinãl indicado. temos:
detA = all 422 ae: + a12a23a31 + afia21a32 afi a22 az1 - arta23a32 - a12a21a3t
REGRA DE SARRUS
Vejamos âlguns exêmplos.
19 exemplo: Calcular o determinante da matriz A, sendo A
Resoluçáo: Repetindo a 1: e a 2: coluna, temos:
0123
345
( 3X4)( 1), (5)(0)(2)
I
Resposb: 27
't45
v'
t
29 èiièmplo: tìesolver a equâçãox44
ResoluçAo:_xx--<xx'_-'---x,x-,,--'I :>-.-l_----.-l----'
r ^ . o,- \ \
\x3 - 16x -4x2 4x2 4\2 4x2
-4x2 + 4x2 + 4x2- x3 16x 4x2=o
x3 + 8x2 1ôx=o
x3 gx2+ 16x=O
x(x'? 8x+1ô)=0 = tx=O x2 8x+16=O+x=4
Fesposfa:'S = Í0,41
EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM
I CaÌcìrle cada uÌn dos determinantes a s€guir uti-lizando a regra de Salrus.
t
2
3
2
5 Para que vatores reais de x o determinânte
é positivo?x010x0Ì01030
z3l425
.3 2 5a)4 1 3
234
053042016
. l |220c)11 I I14 3 0
l3 l22i113
0012x4ÌÌy
. 2 '4 |a)2 4 x
1t2
x+l 33xx2
t
l l x 0=lel0 y I
l l o r
6 Resolva a equação:I cosx 0
senx 0 1senx 0 1
I2
7 Seja a mâtriz A = (a"r), de ordem 3, tal que
2 Sabendo que a :
3 Calcule os númeÍos reais x € y tais que
4 Resolla as equaçòes:
Calcule k, de modo que o determinante da ma-triz A seja nulo.
Ache o valor do determinante da matriz P'z, sa-
^f2 - l l l'1 , l l lo \D frl
I se i< jksei= j e kۓR.
I se i>j
bendo que P =
(UF PR) Considere as matrizes
"=/ : ï Í \ . " : í^+r x+, ' l
\ ' ; ' /
\z-Y z-xl
".=(, i) . sabendo que a malriz B é
ìgual à matriz C, calcule o determinante da ma-triz A.
calcule a2 - 2b.
8
I
Ix-1
146
t
I DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADADEORDEMn > 3
Consideremos a matriz ouadrâda A. de ordem n.
utilizando o teorêma de Laplaco das se.
^ l-,:, ïPodemos calculâr o dêteíminante da matriz A
gurntes Íoímâs:
1? lorma: Fixando a l inha i
2: forma: Fixando a colunâ it-rldetA = alrAr, I a2 421 * a3i Ai i +. . . + aniAni It :
Exemplo: Calculâí valordo determinante i2. ' í€; --1'-0+"14,-2 I 3
1 -5 2 10326
ResoluÇão: Pa.a o câlculo desse determinante, aplicaremos o teorema de Laplacq até che-garmos a um determinante de 3i ordem, e depois êmpregaíêmos a regíâ de
, Sarrus.' Assim, desenvolvendo o determinanlê acima, segundo os elementos da 1: li-nha, temos:
41
02€16
I
u
316
4I0
10
= -3. 44 = 132
= 1.( 111) = 111,2
3
2,5
3
det Adêt A
I
h-
147
det A = â11 Al l Ì 4p A12 ! â13 A13 a a,, Aro O
-2 1 3a11Air = 2 (-1)1 +r ' S 2 1l=2.17=j4
a12A12=3.( 1)1 +2
= (-1) (-1)1 + 3
=0.{ 1) l+4.
Substituindo em O, lêmos:
Resposta: 13
- 132 + 'l'11
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM
I Calcule os determinantes: 3 Resol!a as equaçòeç:
"l t353
Ì- Ì- ì- l
3I22
" l lc)
Seja a matriz quadrada A = Í3
da 11 l inhâ são iguais a zeío ì
I4Ìt
24
-1I
Il -l -I
x'] o x t/to7,50J2Ì004211l l
b) tl l0xxtx0
l0xl0l
laa0aÌ0aa01aoaat
0020x0x'zOI x ìoex 808lx
130
0400
x6340t05
4 Determine os valores de a para os quais:253 >0
2 Determjneoconjunrodelodoso\wloresdr,que satisfazem a equação: 5 Ache o maior valor reât de r, rat qu€:
o o\2 5l2 6l
, onoe observâmos que todos os elemêntos
Vamos calcular o determinante da matrizl
2f pÍopriedade
Seja a matíiz qoadrada A =
dâ 1: e da 2? coluna são iguâis.
, onde obseryamos quetodos os elementos
000325426
i0 0 0 0=i 3 2 5 3
t t4 2 6 4
022
2 2 6\2 2 5l2 2 1l
I
PROPRI EDADES DOS DETERMI NANTES
Vamos estudar algumas propriedades dos dêterminanles.'l: proprledado
Então:
Se os elementos de uma linha ou coluna de umâ matriz ouadrada Íorêmiguais a zêrq seu deteíminante será nulo
148
Vamos calcular o determinante da matriz:
i l iì--r1ì1.7ìÈYì
{
= \2J l2J \1) + (2) . (5) (2) +2222
226335441
226
221
26
4 '15
e obteremos a matriz
Então:
Se os elêmêntos de duas linhas (ou duas colunas) de uma matriz quadrada toremiguais. seu determinantê seíá igual a zêro. ,
+(6) (2) (2) - (2) (2) {6) - (2Ì (5ì (2) r1r(2)(2r = (+Zi+ú V4 'ú {=o
3i pÍopriedade
l^ ^ìseia a matriz quadÍada A -. Íz o | ; seu dêteÍmindnte e:' \4 151
=30 24=6.
Vamos trocâr â posição entre as linhas da matriz (2 ,,:)
/4 15\
; "" , d"t" , . inante e 15
Ì2 6/ t2 6
Se trocarmos de posição entre si duas linhas (ou duas colunas) deauadrada. o determinante da nova matriz é o ânterior com sinal trocado
4? propíiedade
i . " \Seja a matriz quadrada A :
l" -J : sêu deleÍminãnte é:
3
2
5
4
t1t ,nì 12 20B = | - - ' l : sêu determinante érL
\z al l2 4
ComoS = 4 2,
então:
Vamos mult ipl icar todos os elementos da 1i l inha por 4 e teremos a mâtí iz quadrada
ï ' l
Se multiplicarmos todos osum número rêal k, então ocado peìo número k.
elementos dê umâ l inha (oudêterminante da nova matriz
de uma coluna) poré o anterior mult ipl i-
149
5: propriedade
seja a matrizquadrada A = íí
=4 6= -2.
obr"fJ3"t"r'ndo u ,, l inhâ de A pêta soma desta tinha com o produto da 1? l inha por S,
3 + 1(-3) =Oe4+21-31 =-2 t
' l4I
; seu determinante é:
rtoSo, B = Í ' ' l : seu detêrminante é.
\0 2l
Fortanto: det A = det B
Então:
12
o2= 2-0= 2.
Se somarmos a uma linha ou coluna de uma matriz quadrada uma outra linhaou coluna mult ipl icada poí um número qualquêr, o dêierminante da mâtriz nâose atÌera.
Esta propriedâde é conhêcida como Teorema do Jacobi.
6? propriedade
Sejam as matrizes quadradas
lz 4 5\ I t o olA=lq 1 2l eB=l 2 S ol , onde observamos que os etementos
Ì0 0 3/ \ 3 I 4 ldê um mesmo lado da diagonal principal sáo todos nulos. Os detêrminantes valem:
det A +410
058
200
23
00
05I
10
:2. 1 .3 = 6. . delA = 6
=(1).5.4= 20.. detB = 200 -1o2
-1detB= 2
3
7i propriodade
consicere as matrizes n =
{l
-1
2 3\-1 4l e
1 5/
?I5l
Entãoi
Se os elêmentos de uma matriz euaoraoadiagonal íorêm todos nulos, o determinântedos êlemenlos da diagonal principal.
situados de um mesmodâ matriz será igual ao
lado daprodulo
150
a sua transpostâ Ar = Íl
lã
r
E)íemplos:
'19) Matíiz de Vândermondê dos números (2,3,4):
29) N4atriz de Vandeímonde dos númêros(- 1, 5,3, 1) :
Demonstra-se que o dêterminante da mâtriz dê Vandermonde
detA = (a2 a1) (a3 - a1) (aa - ar... (a. - a" , i)
Vejamos alguns exêmplos.
19 ôxemplo: Calcular o dêteÍminânte dâ matriz: A =
,qeso/uçãoi A base é (3, 2, 4, 5); togo:
I r r 1 l12.3 4l14 e 161
11-1 5
- 1 125
é iguala:
r
13
27
f r 1 i r l| 3 2 4 5lls 4 16 2sl127 8 64 i2s l
30 20 4031 21 4132 22 4233ú4s
(2 = 3)(4 - 3).(4 -2)-1 .1.2-2.3.1
(5 3) (5 2) (5 4)50l5 ' l detA =5,Ì dêt A =531 det A =
29 exomplo: Resolvêr a "O*Or" | ]
4\29
Besposta: 12
Besolução:
F€sposlâ. S = 12,31
EXERCíCIOS DE APR
=(x -2)(3- 2)(3 x)=o
,x=2(x - 2)(3 x) = 0<. 'x=3
2
3
'1 1x3
xrg
1241xx2139
124
ENDIZAGEM rv\,x' 3 ca*r", I ro'gz ,lrro
Iloe200
lo*2 to{n ÌogZoo
2Calculeovalordea(R,4 Ache o valor do deteÍminante:
l l l l-2 I -3 4
4t9t6-8 1 n 64
l Ì la2a3aa2 4a2 9zz
Calcule: I I I567
lzs x +s
152
=2
aar que:
detA - 2 101
Os seus determinantes valem:
123-23 + detA = 23
= 23=detA' = 23
120
123
1202 - ' t 1
45
211
det Ar=
I Calcule o râlor do'dererminanres d sesuir . 'em 2l .ando d. propr ied"de.. Lalcule o. determì
21
.11a) l zl3
,L246
5I,7
b)51090311008
ï l -2 0 0 01900t551060432
Seia â matriz quadíada A, dê ordem n, n > 2, definida porl
a. a; a, . . . â;. - i - - - . - - - : - , - - - - - . - - l
i1 ,1'----":---1-iai ai a3 . . . âi
Estâ matriz. constituída pelas potênc ias de expoentes 0,1,2, . . , n 1, dos números (a1,a2, a3, . . ., an), é dênominada matíizde Vandermonde ou malriz das potências. A basê da ma-tÍ iz dê Vandeímonde é o coniunto de númeíos (a Ì. a" a3 a.)
151
EXERCICIOS DE APR EN DIZAGEM
DETERMI NANTE DE VAN DERMON DE
CALCULO SIMPLIFICADO DE UM DETERMINANTE
Utilazando o têorema de Jacobi, podemos tacilitar o cálculo de um dêterminanrê oe oí-dem n, n >3, tazendo com que í iquem nulos os (n - 1) êlementos de uma l inha ou coluna.
Vejamos alguns exemplos.'t9 sxemolo: Calcular o deteíminanÌe:
123423164105
-3 2 7 1
. t
Resolução: Em primeiro lugar, êscolhemos um elemento igual â 1 e f ixamos a sua l inhâou coluna.Por exemplo, tomando o elemento ari
- 1ê f ixando a 1i l inha. temosl
Em seguida, aplicamos o teorema de Jacobi das seguintes Íormas:. mulliplicando.se por(- 2) os elèmentos da 1? linhae adicionando-osaos êlementos da2: linha.
123401524105
-3 2 7 1
23164105
. mull ipl icando-se por(- 4)oseìêmêntos da 1? l inhaeadicionando-osaos êlêmentos da3? l inha.
123401-5-20912-11
-3 2 7 1
1,2340 1 5 -20912-110-4 16 13
Aplicando em seguida o teorema de Laplace ê tomando como referência os êlêmentosdâ 1i coluna, temos:
D=1 ( 1)r*115-2I ,12 114 16 13
. mult ipl icando.se por 3 os elementos dâ 19 l inha e adicionândo-os aos elementos da 4i l inha.
Por último, utilizando a regra dê Saíus, obtemos: D
Resposta: 769
153
I
29 exemplo: Calcular o deteíminante:
rgeso/ução; Observe que o determinante nâo possuielemênto igual a 1, mas podemos obtê.locolocando 2 em evidència na 31 l inha:
!
-2304-3 2 3 5
24264-260
r
Vamos tixaí o elemento a31 e aplicar o teoíema de Jacobi. Daí, temos:. multiplicando-sê, respectivamente, por 2,3 e -4 os elemêntos da 3f linha eadicionando-os, íespectivamente, aos êlemêntos dâ 1:, 2i e 49 linhag, vem:
072100 I 0 1412130 -10 10 -12
D=2.1. i 1)3+r
Uti l izando a íêgra de SaD= 184
Besposta: 184
Aplicando o teorema de Laplace aos elementos dà j9 coluna. temos:
8010 1
ill'10 10
rus, ootemos:
EXERCÍCIOS DE APREN DIZAGEM
I Calcule os determinanres: 2 Ache o vdlor dos dereÌminântes:
a) l 2 |l l -2
l ' - r 2l r 3 3
b) l 5 3 23283
) l 3 2 |12 o 1 r
Ì234
t2I3
- l-3-5
II35
200Ì30031422
26Ì - l50
Ì l
i l l
3 caÌcule: 3l6433t1
154
2l S scic s - t ' i ìanÌarr i , ,quadíro. dJL,rdemJ.
209 sauenao que a =
1x
equação l Ì I =Ì Ì
r l
2rse^=[2 , ] .e=[o : ] . . . r . , r .L3 4l t l t l
número real x, tal que del(A x B) 0.
212 Determine os valores reâis Llc sen \ e co\ \, !1.
sen 2x cos 21. ,1
I '"n*
I ",,. '213 padas as matrlzes, calcu le o determìnante da
marriz A'? + B':
"=(; ï . "=( i2r4seja q - [ ' '1. , , . . , , . "o. , . ,o, . .a.n,l . t r l
rais que o deler minant< da marr iu rA: aUs€.ia igual a zero.
215 Calcüle o vaÌoÍ dos determinant€s:713211
a)] I 1 o b) l l 2 115 -4 1 1t | 2
2ló Para que valores de x se tem2222x222x
210 t i r . tacl :Pt Determrneocoruunro \olui ;o od
2 | 7 Deterrnine em IR a solüção da equação
, calculeo vaÌor de 3a + br.
- 8 - locr 4.
0,sei<j
Calcule o valor do deLcÌìÌinanÌe dc S.
I/ . i1
2l9t onrr lere ar malrzer c | , ì
\ Ã t l.B=í-1 Ì l \
\ r I t l
Calcule o valor de N, saben.lo qrÌrN=50+det(A.B).
/ t * *220 na marrtz lr 2 1
\r 3 e
a) s€u determjnanle.b) os vaÌores de x que anuÌam esse deternìì-
à1"
2
I
I I
ï
' ) . "* ,"
221 SeA =23I
r(\) = x - x l ,câlcr ì Ìc f t dc 'A J.
222 se o < x
tal que
< 2, determine o menoi \ . ' rordc \ ,senx 8 50 scnx coisx l=000
223 (PUC-SP) Carcurc:a) O deierminante da mârriz
0t
xl
' ;.1onde x ( lR.
b) Quais são os valores dex que anulam o deteÍminante de A?
Ì0
l+x'? 2+xx+l
4
EXERCíCIOS DE FIXACÃO
208 Resolva a equaçâo:
x+3 5
26
410
2x- l -2 1
312
/ - r \M=(AB).c.sendoA=t
3,
| 2 3 -4 201000040210 -5 5 1 4
l - t o z\ o l o . t 2B=(-23 5)eC=l 2 r 0 l
\ 3 | 41 230 Dado o porinômio
225 DetermiÍe o conjunto solüção da eqüação: ll I I ll
lsenxr 9 r ."n" - . ì , *=l l i1 i l 'a"è ' -**"-=
I Y : ' = -cosx .enx I l * ' I 8 21I I cosx
raízes de F(x).
231 Calcule os deteÍminantesl
r1x) :2x00xn0lx
224 calcule o determinante da matriz 229 calcute o vator do determinante:
no intervalo 0 < x < 2Í.
22ó Estude a variação do sinal da fìrnçãof: lR - ìR, definida poÍ:
227 (Fuvesf sP) caÌcule:
Ì
2310421315210 3 -2 6
2 3 0 - l5 -6 2 42 - t 0 332t5
l l l222233234
b)
228 @üvest-SP) câlcule os determinantes: 232 Ache o valor do determinante:
I a0 10 03A= 0 I 1
0 11eB=lâ I - l 4
0 0 030l t4
-1 6 3 4-2 3 6 3
3 4 - l 5- l 3 -4 2
F
156
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