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Mecânica dos MateriaisPr
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Capítulo 4
Flexão Pura
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Flexão Pura - Sumário Cap. 4
Flexão PuraFlexão Pura em Membros SimétricosDeformações devidas à FlexãoPropriedades duma secção rectaFlexão em Membros com Diversos Vigas de Betão ReforçadoConcentração de TensõesCarregamento AssimétricoExercícios ResolvidosExercícios Propostos
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Flexão Pura Cap. 4
Flexão Pura: Membros prismáticos sujeitos a iguais e opostos momentos flectores actuando no mesmo plano longitudinal
400 N
0,3 m 0,3 m0,7 m
400 N 400 N
400 N
M = 120 NmM = 120 Nm
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Outros Tipos de Carregamento Cap. 4
• Princípio da Sobreposição: A tensão normal devida à flexão pura pode ser combinada com a tensão normal devida ao esforço axial e tensão de corte devida ao esforço de corte, para se achar o estado total de tensão.
• Carregamento Transverso: Cargas transversa, concentradas ou distribuídas que produzem esforços internos equivalentes a uma força de corte e a um momento
• Carregamento Excêntrico: Carregamento axial que não passa pelo centro geométrico da secção e que produz forças equivalentes a uma força axial e a um momento
P=200N
P=200N
P=200N
P=200N
M=25Nm
0,125m 0,125m
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Flexão Pura – Simetria de Esforço Cap. 4
∫ =−=∫ ==∫ ==
MdAyM
dAzMdAF
xz
xy
xx
σ
σσ
00
• Estes pressupostos podem ser aplicados ao somatório das forças e dos momentos internos em um qualquer elemento da secção.
• As forças internas em qualquer secção recta são equivalentes a um momento. Os dois momentos opostos são o momento flector.
• Da estática, o binário M resulta de duas forças iguais e opostas.
• O somatório das forças em qualquer direcção é zero.
• O momento é o mesmo em relação a qualquer eixo perpendicular ao seu plano.
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Flexão Pura - Deformações Cap. 4
• Flecte uniformemente formando um arco circular
• A secção recta mantêm-se plana e e a sua direcção passa pelo centro do arco
• O comprimento da superfície superior diminui e o da superfície inferior aumenta
• Deve existir uma superfície neutra paralela às superfícies superior e inferior e em relação às quais a distância não varia
• As tensões e deformações são negativas (compressão) acima da superfície neutra, e positivas (tracção) abaixo da superfície neutra
Flexão Pura numa barra simétrica com plano de simetria:
• A barra mantêm-se simétrica
a) Secção vertical longitudinal(plano de simetria)
b) Secção horizontal longitudinal
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Deformação Devida à Flexão Cap. 4
Considere uma barra de comprimento L.
Depois de flectir o comprimento da superfície neutra mantêm o comprimento. Noutras superfícies,
( )( )
(a deformaçao varia linearmente)
or
x
mm
x m
L y
L L y yy y
Lc cρ
yc
ρ θ
δ ρ θ ρθ θδ θε
ρθ ρ
ερ ε
ε ε
′ = −′= − = − − = −
= = − = −
= =
= −Eixo Neutro
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Tensão Devida à Flexão Cap. 4
• Para um material elástico,
(a tensao varia linearmente)
x x m
m
yE Ec
yc
σ ε ε
σ
= = −
= −
• Em equilíbrio estático,
∫
∫∫
−=
−===
dAyc
dAcydAF
m
mxx
σ
σσ
0
0
O momento estático da secção transversal em relação ao eixo neutro deve ser zero. Logo, o eixo neutro deve passar no centro geométrico da secção.
• No equilíbrio estático,
2
Substituindo
x m
m m
m
x m
x
yM y dA y dAc
IM y dAc cMc MI W
yc
MyI
σ σ
σ σ
σ
σ σ
σ
= − = − −
= =
= =
= −
= −
∫ ∫
∫
Superfície Neutra
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Propriedades da Secção Recta da Viga Cap. 4• A máxima tensão normal devida à flexão é,
momento de inercia no plano
modulo de resistencia
mMc MI W
IIWc
σ = =
=
= =
Uma secção recta com maior módulo de resistência terá uma tensão máxima mais baixa
• Considere uma secção recta rectangular,31
312 1 16 62
bhIW bh Ahc h
= = = =
Entre as duas barras com secções rectas com a mesma área, a barra com maior altura será mais resistente à flexão.
A=24cm2
h=8cmh=6cm
b=3cmb=4cm
• As vigas estruturais são projectadas para terem um elevado módulo de resistência.Perfil HPerfil I
L.N.
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Propriedades de Perfis – Norma Europeia Cap. 4
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Deformações na Secção Recta Cap. 4
• Embora as secções rectas se mantenham planas as deformações nos eixos yy e zz não são nulas.
ρννεε
ρννεε yy
xzxy =−==−=
• A expansão acima da superfície neutra e a contracção abaixo da mesma superfície causa uma curvatura chamada de anticlástica.
1 curvatura anticlasticaνρ ρ
= =′
• A deformação devida ao momento flector é quantificada pela curvatura da superfície neutra
EIM
IMc
EcEccmm
=
=== 11 σερ
SuperfícieNeutra
Eixo Neutro dasecção recta
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Problema 4.2 Cap. 4
Uma peça de ferro fundido é solicitada pelo momento flector de 3 kN-m. Sabendo que E = 165 GPa e desprezando o efeito das concordâncias, determine (a) as tensões máximas de tracção e de compressão na peça, (b) o seu raio de curvatura.
SOLUÇÃO:
• Baseado na geometria da secção recta calcula-se o centro geométrico e o momento de inércia.
( )∑ +=∑∑= ′
2dAIIAAyY x
• Aplica-se a expressão da tensão devida a momentos para achar as tensões máximas de tracção e de compressão.
IMc
m =σ
• Calcula-se o raio de curvatura
EIM=
ρ1
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Problema 4.2 Cap. 4SOLUÇÃO:
Baseado na geometria da secção recta calcula-se o centro geométrico e o momento de inércia.
mm 383000
10114 3=×=
∑∑=
AAyY
∑ ×==∑×=××=×
3
3
3
32
101143000104220120030402109050180090201
mm ,mm ,mm Area,
AyA
Ayy
( ) ( )( ) ( )
49-3
2312123
121
231212
m10868 mm10868
18120040301218002090
×=×=
×+×+×+×=
∑ +=∑ +=′
I
dAbhdAIIx
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Problema 4.2 Cap. 4
• Aplica-se a expressão da tensão devida a momentos para achar as tensões máximas de tracção e de compressão.
49
49
mm10868m038.0mkN 3
mm10868m022.0mkN 3
−
−
××⋅−=−=
××⋅==
=
IcM
IcM
IMc
BB
AA
m
σ
σ
σMPa 0.76+=Aσ
MPa 3.131−=Bσ
• Calcula-se o raio de curvatura
( )( )49- m10868GPa 165mkN 3
1
×⋅=
=EIM
ρ
m 7.47
m1095.201 1-3
=
×= −
ρρ
Centro de Curvatura
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Flexão em Membros com Diversos Materiais Cap. 4
• A deformação normal varia linearmente.
ρε y
x −=
• As tensões são dadas por
ρεσ
ρεσ yEEyEE xx
222
111 −==−==
E o eixo neutro deixa de passar pelo centro geométrico da secção.
• As forças elementares na secção são
dAyEdAdFdAyEdAdFρ
σρ
σ 222
111 −==−==
• Considere uma viga de material compósito formada por dois materiais com E1 e E2.
L.N.
( ) ( )1
2112 E
EndAnyEdAynEdF =−=−=ρρ
• Obtem-se uma relação, n,
xx
x
nI
My
σσσσ
σ
==
−=
21
L.N.
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Exemplo 4.3 Cap. 4
SOLUÇÃO:
• Transforme a barra numa secção recta equivalente inteiramente de latão.
• Determine as propriedades da nova secção recta equivalente de latão.
• Calcule a máxima tensão nesta secção transformada. Esta é a tensão correcta nas partes de latão da peça.
• Determine a máxima tensão na porção de aço multiplicando a tensão calculada para o latão pelo racio dos módulos de elasticidade.
A barra é composta por uma união de partes de aço (Es = 200GPa) e latão (Eb = 100 GPa). Determine a tensão máxima no aço e no latão sabendo que a barra está sujeita a flexão pura por um momento M=5KNm.
20mm10mm10mm
75mm
LatãoLatão
Aço
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Exemplo 4.3 Cap. 4
• Determine as propriedades da nova secção recta equivalente de latão.
( )( )331 112 12
6 4
60 75mm
2.109*10TI b h mm
mm
= =
=
SOLUÇÃO:• Transforme a barra numa secção recta
equivalente inteiramente de latão200 2.0100
(20 )*(2.0) 40,0
s
b
T
E GPanE GPa
b mm mm
= = =
= =
• Calcule as tensões máximas( )( )
6 4
5 kNm 37.5 mm88.9 MPa
2.109*10 mmmMcI
σ = = =
( )( )
max
max2.0 88.9 177.8
b m
s mn MPa
σ σ
σ σ
=
= = × =( )( )
max
max
88.9 MPa
177.8 MPab
s
σ
σ
=
=
20mm10mm10mm
75mm
LatãoLatãoAço
10mm10mm 40mm
75mm
C=37,5mm
60mm
Latão
L.N.
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Betão Pré-Esforçado Cap. 4• As vigas de betão sujeitas a momentos são
reforçadas com barras de ferro.
• Para determinar a localização do eixo neutro,( ) ( )
0
022
21 =−+
=−−
dAnxAnxb
xdAnxbx
ss
s
• As barras de ferro suportam o esforço de tracção, abaixo da superfície neutra. Na zona superior à superfície neutra, o cimento suporta os esforços de compressão.
• Na secção transformada a área da secção recta do aço, As, é substituída por uma área equivalentenAs where n = Es/Ec.L.N.
• A tensão normal no aço e no cimento é dada por:
xsxc
x
nI
My
σσσσ
σ
==
−=
L.N.
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Problema 4.4 Cap. 4
SOLUÇÃO:
• Transforme a secção numa secção inteiramente de cimento.
• Determine as novas propriedades geométricas desta nova secção.
• Calcule as tensões máximas no aço e no cimento.Uma lage de chão é reforçada com varões
de aço de 16 mm de diâmetro localizados 25 mm acima da face inferior da lage e com um espaçamento de 125 mm entre eixos. O módulo de elasticidade do betão é de 20 Gpa e o do aço de 200 Gpa. Sabendo que a lage está submetida, em cada metro de largura, a um momento de 12 KNm, determine: a) a tensão máxima no betão e b) a tensão no aço.
100mm
125mm
125mm
125mm125mm
125mm
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Problema 4.4 Cap. 4SOLUÇÃO:• Transforme a secção numa secção inteiramente
de cimento.
( )2 3 24
200 GPa 1020 GPa
10*8 0,016 1,608*10
a
b
s
EnE
nA m mπ −
= = =
= = • Determine as novas propriedades geométricas
desta nova secção.
( )
( )( ) ( )( )
3
3 23 6 413
(1 ) (16.08*10 ) 0,10 0 0.042872
1 0.04287 16.08*10 0.10 0.04287 78.75*10
xm x m x x mm
I cm
−
− −
− − = = = + − =
• Calcule as tensões máximas no aço e no cimento.
1-6 4
2-6 4
(12 kNm) (0.04287 )78.75*10 m(12 kNm) (0.05713 )10
78.75*10 m
b
a
Mc mIMc mmn
I
σ
σ
×= =
×= =
6.53b MPaσ =
87.1a MPaσ =
1m
0,1m
0,1-x
L.N.
nAa=16,08*10-3m2
σb=6,53MPa
σa=87,1MPa
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Concentração de Tensões Cap. 4
As concentrações de tensão podem ocorrer:
• Na vizinhança dos pontos de aplicação das cargas
IMcKm =σ
• Na vizinhança das descontinuidades geométricas
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Cargas Excêntricas num Plano de Simetria Cap. 4
• As tensões devidas a uma carga descentrada são determinadas pela sobreposição das tensões uniformes devidas a uma carga centrada e a uma distribuição linear de tensões devida ao momento flector.
( ) ( )centrada flexaox x x
P MyA I
σ σ σ= +
= −
• Carregamento descentrado
PdMPF
==
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Exemplo 4.07 Cap. 4
Um elo aberto de uma cadeia é obtido flectindo uma barra de aço, de baixo teor em carbono, com 12 mm de diâmetro. Sabendo que a corrente deve suportar uma carga de 800 N, determine a) a tensão máxima de tracção e de compressão na parte rectilinea do elo, b) a distância entre os eixos central e neutro de uma dada secção transversal.
SOLUÇÃO:
• Determinar as cargas equivalentes, centrada e momento flector
• Sobropor a tensão uniforme (carga centrada) com a tensão linear (momento flector).
• Determinar a máxima tensão de tracção e de compressão.
• Encontrar o eixo neutro através da determinação do ponto onde a tensão normal é nula.
800N
800N
15mm
12mm
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Exemplo 4.07 Cap. 4
• Carga centrada equivalente e momento flector
( )( )800
800 0.01512
P NM Pd N m
Nm
== ==
d=15mm
800N
( )22
6 2
0 6 2
0.006
113.1*10800
113.1*107.07
A c m
mP NA m
MPa
π π
σ
−
−
= =
=
= =
=
• Tensão normal devida à carga centrada
7,1MPa
( )
( )( )
441 14 4
9 4
9 4
0.006
1.018 1012 0.006
1.018 1070.7
m
I c m
mNm mMc
I mMPa
π π
σ
−
−
= =
= ×
= =×
=
• Tensão normal devida ao momento flector70,7MPa
-70,7MPa
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Exemplo 4.07 Cap. 4
• Tensões máximas de tracção e de compressão
0
0
7.1 70.7
7.1 70.7
t m
c m
σ σ σ
σ σ σ
= += += −= −
77.8t MPaσ =
63.6c MPaσ = −
• Localização do eixo neutro
( )
0
9 4
0
0
1.018 10 m7.0712
MyPA IP Iy MPaA M Nm
−
= −
×= =
0 0.600y m=
70,7MPa
-70,7MPa-63,6MPa
77,8MPa
7,1MPa
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Problema 4.8 Cap. 4
Determine a máxima força P que pode ser aplicada à peça de ferro fundido representada, sabendo que a tensão admissível de tracção é de 30 Mpa e a tensão admissível de compressão é de 120 Mpa.
SOLUÇÃO:
• Determinar as cargas equivalentes, centrada e momento flector
• Determinar as cargas críticas para as tensões admissiveis de tracção e de compressão.
• A carga admissível é a menor das cargas críticas.
Dados:
49
23
m10868
m038.0m103
−
−
×=
=×=
I
YA
• Sobropor a tensão uniforme (carga centrada) com a tensão linear (momento flector).Secção a-a
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Problema 4.8 Cap. 4• Determinar as cargas equivalentes, centrada e
momento flector0.038 0.010 0.028 mcarga centrada
0.028 momento flector
dPM Pd P
= − === = =
• Determinar cargas críticas p/ tensões admissiveis.
kN6.79MPa1201559
kN6.79MPa30377
=−=−=
==+=
PP
PP
B
A
σ
σ
kN 0.77=P• Máxima carga admissível
• Subrepor as tensões (carga centrada e momento)( )( )
( )( ) PPPI
McAP
PPPI
McAP
AB
AA
155910868
022.0028.0103
37710868
022.0028.0103
93
93
−=×
−×
−=−−=
+=×
+×
−=+−=
−−
−−
σ
σSecção a-a
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Flexão Assimétrica ou Desviada Cap. 4
• Vamos agora considerar situações em que o momento flector não actua num plano de simetria da peça.
• Na generalidade dos casos, o eixo neutro da secção não coincidirá com o eixo de actuação do momento.
• Não é possível admitir que a peça se deforma no plano em que actua o binário.
L.N.
L.N.
L.N.
• O eixo neutro da secção recta coincidia com o eixo do momento
• A análise da flexão pura tem sido limitada a peças com pelo menos um plano de simetria, com binários actuando nesse plano.
• As peças permaneciam simétricas relativamente a esses planos.
L.N.
L.N.L.N.
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Flexão Assimétrica Cap. 4
Determinação das condições em que o eixo neutro de uma secção de forma arbitrária coincide com o eixo de actuação do momento.
•
o vector do binário deve ter a direcção de um eixo geométrico principal
0
ou 0
y x m
yz
yM z dA z dAc
yz dA I produto de inercia
σ σ = = = − = = =
∫ ∫
∫
• A força e o momento resultantes da distribuição de tensões numa porção elementar da secção devem satisfazer as condições
0x y zF M M M momento aplicado= = = =
•
o eixo neutro passa no centro geométrico
0
ou 0
x x myF dA dAc
y dA
σ σ = = = − =
∫ ∫
∫
•
define a distribuição de tensões
ou M
z m
mz
yM M y dAc
σ I I I momento de inerciac
σ = = − −
= = =
∫
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Flexão Assimétrica Cap. 4Subreposição é aplicada para determinar tensões, na maior parte dos casos, resultantes de flexão assimétrica.
• Decompor o vector momento nas componentes Mze My.
θθ sincos MMMM yz ==
• Sobrepor as tensões de cada plano
y
y
z
zx I
yMI
yM +−=σ
• No eixo neutro,( ) ( )
θφ
θθσ
tantan
sincos0
y
z
yzy
y
z
zx
II
zy
IyM
IyM
IyM
IyM
==
+−=+−==
L.N.
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e Sa
mue
l Silv
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ep. E
ngª M
ecân
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Exemplo 4.08 Cap. 4
Um binário de 200 Nm é aplicado a uma viga de madeira com secção transversal rectangular de 40*90 mm, num plano que forma um ângulo de 30º com a direcção vertical. Determine a) a tensão máxima na viga e b) o ângulo que a superfície neutra forma com o plano horizontal
SOLUÇÃO:
• Decompor o vector momento nas componentes Mz e My (eixos principais), e calcular as tensões
θθ sincos MMMM yz ==
• Sobrepor as tensões de cada plano
y
y
z
zx I
yMI
yM +−=σ
• Determinar o ângulo da eixo neutro.
θφ tantany
zII
zy ==
90mm
40mm
200Nm
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Exemplo 4.08 Cap. 4
• A máxima tensão de tracção ocorre em A
max 1 2 3.21 4.17σ σ σ= + = +max 7.38 MPaσ =
• Decompor o vector momento nas componentes Mz e My (eixos principais), e calcular as tensões
( )( )( )( )( )( )
( )( )
3 6 4112
3 6 4112
1 6 4
200 cos30 173,2
200 sin 30 100
0.040 0.090 2.43*10
0.090 0.040 0.480*10
A maxima tensao de tracçao devida a ocorre ao longo de 173,2 0.045
3.22, 43*10
z
y
z
y
z
z
z
M Nm Nm
M Nm Nm
I m m m
I m m mM AB
Nm mM yI m
σ
−
−
−
= =
= =
= =
= =
= = =
( )( )2 6 4
1
A maxima tensao de tracçao devida a ocorre ao longo de
100 0.0204.17
0.480*10
y
y
y
MPa
M AD
M z Nm mMPa
I mσ −= = =
20mm
45mm
200Nm
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Exemplo 4.08 Cap. 4
• Determinação do ângulo do eixo neutro.6 4
6 4
2.43*10tan tan tan 300.480*10
2.92
z
y
I mI m
φ θ−
−= =
=
º71.1φ =
S.N.
-7,38MPa
7,38MPa
Eixo neutro
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Caso Geral de Carregamento Axial Excêntrico Cap. 4
• Considere o membro linear sujeito a cargas excêntricas, iguais e opostas.
• A carga excêntrica é equivalente a um sistema com uma carga concêntrica e dois momentos.
carga centrada
y z
PM Pa M Pb
== =
• Pelo principio da sobreposição, a distribuição das tensões é
y
y
z
zx I
zMI
yMAP +−=σ
• Se o eixo neutro estiver contido na secção, pode ser encontrado por:
APz
IM
yI
My
y
z
z =−
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Exercícios Resolvidos Cap. 4Dois momentos iguais e opostos de magnitude M=15 kNm são aplicados àviga AB mostrada, com secção em C. Sabendo que o binário provoca uma flexão da viga no plano horizontal, determine as tensões:
a) no ponto C b) no ponto D c) no ponto E
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Exercícios Resolvidos Cap. 4
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Exercícios Resolvidos Cap. 4Um binário de magnitude M é aplicado a uma barra de secção recta quadrada, de lado a. Para cada uma das orientações mostradas, determine a máxima tensão instalada na barra, e a curvatura da barra.
Para um triângulo, o momento de inércia em relação à base é dado por:
Solução
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Exercícios Resolvidos Cap. 4Determine a tensão no ponto A e B,
a) para as cargas mostradas, b) para cargas de 60 kN aplicadas somente nos pontos 1 e 2.
a) Carga centrada
b) Carga descentrada
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Exercícios Resolvidos Cap. 4A porção vertical do grampo da figura consiste num tubo rectangular com uma espessura de 12 mm. Sabendo que o grampo deve ser apertado até que as forças nos mordentes atinjam 6 KN, determine as tensões:
a) no ponto Ab) no ponto B
250mm100mm
100mm
75mm
Secção a-a
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Exercícios Resolvidos Cap. 4Uma força vertical P de magnitude 20 KN é aplicada no ponto C, localizado num eixo de simetria da secção recta da pequena coluna da figura. Sabendo que y=125 mm, determine:
a) a tensão no ponto Ab) a tensão no ponto Bc) a localização do eixo neutro 50mm 50mm
25mm
100mm
50mm
75mm 75mm
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Exercícios Propostos Cap. 4
Um momento flector de 200 Nm é aplicado no plano A-A, cuja secção está na figura. Qual a máxima tensão instalada nesta viga?
Um veio circular oco de 4cm de diâmetro exterior, 3cm de diâmetro interior, suporta uma carga de 200 N. Sabendo que x=1m calcule a máxima tensão devida à flexão.
Uma place de 1 cm de espessura, de aço (E = 200 GPa) tem as descontinuidades geométricas mostradas. As dimensões são D = 3 cm, d = 1.5 cm, e r = 3 mm. Qual a máxima tensão instalada quando é aplicado um momento flector de 200 Nm?
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Exercícios Propostos Cap. 4
O grampo em C é maciço e de secção circular de 2 cm de diâmetro. Qual a máxima tensão na secção A-A quando ele é ajustado até uma força F = 500 N?
A viga em C (C250*45) tem o carregamento indicado. Quando z = 1 m qual a máxima força que a viga pode suportar para que a tensão não ultrapasse 200 MPa?
A viga em I (IPE 300) apresentada na figura é carregada conforme a figura. Quando, x = 0.75 m, F1= 200 N, e F2 = 500 N, qual a máxima tensão instalada na viga?
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Exercícios Propostos Cap. 4
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Exercícios Propostos Cap. 4
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