View
218
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
44
Fig. 2.17. Varia#ia deforma#iei axiale n raport cu for#a axial!
2.2.3.2." Modelul liniar (King s.al., "992)
Pentru elementul de bar! din figura 2.18, rela#iile incrementale elastice deechilibru, utiliznd deforma#iile elementului, pot fi scrise astfel (King s.al., 1992):
!!!!
""""####$$$$
%%%%====
j
i
jjji
ijii
j
i
KK
KK
M
M
(2.53)
n care coeficien#ii matricei de rigiditate din ecua#ia de mai sus sunt (Goto & Chen1987):
EI
LPPL
L
EIKK
EI
LNNL
L
EIKK
jiij
jjii
25000
26
30
2
25000
44
15
24
32
32
========
++++++++======== (2.54)
"i reprezint! primii trei termeni din dezvoltarea n serie Taylor a func#iilor destabilitate elastic!.
Fig. 2.18. Elementul de bar! plan n sistemul coordonatelor de baz!.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Elastic-perfect plastic
CRC-Et
LRFD-Et
/p
N/N
p
Mi, i Mj, j
N, u (i)
(j)
(ij)
45
n rela#iile (2.54) efortul axial N este luat cu semnul minus n cazul compresiunii.n cazul form!rii unei articula#ii plastice la nodul "i" al barei "ij" rela#iile cedefinesc valorile momentelor ncovoietoare incrementale la capetele barei sunt:
0====++++==== jijiiii KKM (2.55 a)deoarece se consider! ca n nodul "i" se formeaz! o articula#ie obi"nuit!, "i prinurmare cre"terea de moment ncovoietor este zero, "i jjjijij KKM ++++==== (2.55 b)Determinnd pe i din ecua#ia (2.55 a) "i nlocuindu-l n ecua#ia (2.55 b) rezult!:
j
ii
ij
jiijjK
KKKM
==== (2.56)
astfel nct rela#ia incremental! de echilibru a elementului devine:
!!!!
""""####$$$$
%%%%====
j
i
jjj
i
KM
M
'0
00 (2.57)
unde:
ii
ij
jijjjjK
KKKK ====
' (2.58)
Pentru reprezentarea gradual! a plastific!rii sec#iunii corespunz!toare unui anumitstadiu intermediar de p!trundere a plastific!rii n sec#iune, pornind de la stadiulperfect elastic "i ajungnd la stadiul limit! corespunz!tor plastific!rii integrale asec#iunii, matricea de rigiditate a elementului, utiliznd deforma#iile acestuia, sepoate scrie:
(((( )))) (((( ))))(((( ))))
====
i
ii
ij
jijjijiji
iijijiiiii
K
KKKKK
KKKK
'
K (2.59)
unde cu i s-a notat parametrul scalar corespunz!tor unui anumit stadiuintermediar de plastificare a sectiunii "i", "i care poate lua valori ntre zero (perfectelastic, Mi
46
Pentru cazul general de comportare n domeniul elasto-plastic, n carearticula#iile plastice se pot forma la ambele capete ale elementului, rela#iileincrementale de echilibru se pot scrie sub urm!toarea form! matriceal!:
!!!!
""""
########$$$$
%%%%====
j
i
jjji
ijii
j
i
KK
KK
M
M
''
''
(2.61)
unde:
(((( ))))(((( )))) (((( ))))
(((( ))))iiii
ij
jijjjj
jiijjiij
ij
jj
ji
ijiiii
K
KKKK
KKK
K
KKKK
====
========
====
1
11
1
'
''
'
(2.62)
Fig. 2.19. Plastificarea gradual! a sec#iunilor. Modelul liniar.
Rela#iile (2.62) introduc efectul plastific!rii graduale "i totale la ambele capeteale elementului. Spre exemplu: n cazul n care 0== ji , ambele capete ale elementului se afl! n
domeniul elastic, astfel, ecua#ia (2.61) se reduce la ecua#ia (2.53) n carecoeficien#ii de rigiditate sunt defini#i de rela#iile (2.54).
n cazul n care 1=i "i 0=j se consider! formarea articula#iei plastice lacap!tul "i" al elementului, n timp ce cap!tul "j" se afl! nc! n domeniulelastic, rela#ia (2.61) se reduce n acest caz la rela#ia dat! de ecua#ia (2.57).
47
n cazul n care 0=i "i 1=j se consider! formarea articula#iei plastice lacap!tul "j" al elementului, n timp ce cap!tul "i" se afl! nc! n domeniulelastic, rela#ia (2.61) se reduce n acest caz la o ecua#ie similar! cu cea dat! derela#ia (2.57). n cazul n care 1=i "i 1=j se consider! ca la ambelecapete ale elementului s-au format articula#ii plastice, matricea de rigiditate dinrela#ia (2.61) devine n acest caz:
====
00
00'
K (2.63)
n cazul n care 10 >>>++++
48
(((( ))))(((( )))) (((( ))))
(((( ))))(((( )))) (((( ))))
>>>>++++
49
prin intermediul parametrului conform urm!toarei ecua#ii parabolice (Liew s.al.,1992):
(((( )))) 5,0,145,0,1
>>>>====
====
(2.69)
Pot fi considerate "i alte ecua#ii mai complexe pentru parametrul de evaluare arigidit!#ii la ncovoiere, #innd seama de plastificarea gradual! a sec#iunilor, dar oexpresie simpl! de genul celor prezentate n figura 2.21, confer! acestei metodesimplitate "i eficien#!. De men#ionat faptul ca func#ia parabolic! (2.69) a fostob#inut! prin calibrare cu rezultatele ob#inute pe baza unor analize elasto-plastice"exacte" fundamentate pe modelul zonelor plastice (Liew, 1992; Liew ".al., 1992).Pentru reprezentarea gradual! a plastific!rii sec#iunii de la cap!tul "j" al barei "ij"(fig. 2.18), corespunz!toare unui anumit stadiu intermediar de p!trundere aplastific!rii n sec#iune, pornind de la stadiul perfect elastic "i ajunnd la stadiullimit! corespunz!tor plastific!rii integrale a sec#iunii, se pot scrie urm!toarelerela#ii incrementale de echilibru:
(((( ))))
!!!!
""""
########################
$$$$
%%%%
!!!!
""""####$$$$
%%%%
====
u
I
A
SS
SS
SS
L
IE
N
M
M
j
i
jj
jj
tj
i
00
0
01
12
21
22
1
(2.70)
n care semnifica#iile nota#iilor din rela#ia de mai sus au fost descrise anterior.Pentru cazul general corespunz!tor unei plastific!ri graduale la ambele capete aleelementului, rela#iile incrementale de echilibru, utiliznd deforma#iile elementului(fig.2.18), se pot scrie sub form! matriceal! n modul urm!tor:
(((( ))))(((( ))))
!!!!
""""
################################
$$$$
%%%%
!!!!
""""####$$$$
%%%%
!!!!
""""####$$$$
%%%%
====
u
I
A
S
SSS
SS
SS
L
IE
N
M
M
j
i
ijji
jiji
tj
i
00
01
01
1
22
12
21
22
1
(2.71)n leg!tur! cu ecua#ia (2.71) se pot face urm!toarele observa#ii:
n cazul n care 10
50
n cazul n care 1== ji , ambele capete ale elementului se afl! n domeniulelastic, matricea de rigiditate a elementului din ecua#ia (2.71) se reduce n acestcaz la urm!toarea form!:
=
I
A
SS
SS
L
IE
00
0
0
12
21
K (2.72)
n cazul n care 1=i "i 10
51
Fig. 2.21. Rela#ii de determinare a rigidit!#ii la ncovoire n domeniul elasto-plastic.
2.2.4 Efectul neliniarit%$ii geometrice locale. Func$ii de stabilitate
2.2.4." Integrarea ecua$iei diferen$iale a fibrei medii deformate
Se consider! cazul general al unei nc!rc!ri transversale constituit! dintr-o for#!uniform distribuit! q "i o for#! concentrat! Q care ac#ioneaz! la distan#a c decap!tul b al unei bare puternic comprimate, Fig. 2.22.
Fig. 2.22. Bara puternic comprimat! nc!rcat! cu for#e n lungul barei "i momentencovoietoare de cap!t.
ds dy
dx
P P
Mza
Mzb
Qy
qy
c L-c y
x
ds dz
dx
P P
Mya
Myb
Qz qz
c L-c z
x
Recommended