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Capítulo 3 IMC 484 1
Superficies Extendidas (Aletas)
Una superficie extendida (también conocida como aleta) es un sistema que combina la conducción y la convección. En una aleta se asume que la transferencia de calor es 1D. El calor también se transfiere por convección (y/o radiación) desde la superficie a los alrededores.
Capítulo 3 IMC 484 2
Las superficies extendidas pueden existir en muchos tipos de situaciones pero son normalmente utilizadas como aletas para mejor la transferencia de calor al incrementar el área de convección (y/o radiación). Ellas son particularmente útiles cuando h es pequeño, o en convección natural con gases.
Superficies Extendidas (Aletas)
Capítulo 3 IMC 484 3
Superficies Extendidas (Aletas)
Capítulo 3 IMC 484 4
Balance de energía para un volumen de control diferencial
dx
qx+dxqx
dqconv
dAs Ac(x)
xin qE
convdxxout dqqE
011
2
2
TT
dx
dA
k
h
Adx
dT
dx
dA
Adx
Td s
c
c
c
Distribución de temperatura en una aleta de sección transversal variable
Capítulo 3 IMC 484 5
Cambios de variable:qf
Ac
qconv
Tb
011
2
2
TT
dx
dA
k
h
Adx
dT
dx
dA
Adx
Td s
c
c
c
02
2
TT
kA
hP
dx
Td
c
Pdx
dA
dx
dA sc and 0
TxTxckA
hPm 2
Distribución de temperatura en una aleta de sección transversal constante
Capítulo 3 IMC 484 6
Solución de la ecuación diferencial resultante en una aleta de sección transversal constante
mxmx eCeCx 21Base (x = 0)
0 b bT T
Extermo derecho ( x = L)
Transferencia de Calor:
0|ff c x A s
dq kA h x dA
dx
Condiciones de frontera
A. Convección: )(Lhdx
dk
Lx
B. Adiabático: 0Lxdx
dk
C. Temperatura cte: LL
D. Aleta infinita: 0L
Capítulo 3 IMC 484 7
Distribución de temperatura y balance de calor para aletas de sección transversal cte
Capítulo 3 IMC 484 8
Desempeño de aletas,
• Las aletas se usan para aumentar q aumentando A• Sin embargo las aletas son una resistencia de conducción para la
transferencia de calor
bbc
ff hA
q
,
Ac,b: Área de la sección transversal en la base de la aleta
Se justifica el uso de aletas si
2f
f
Desempeño de una aleta, f
Capítulo 3 IMC 484 9
• Aleta infinita:
• Extremo de la aleta adiabático
bcf hPkAq
Hipótesis: h sin aleta = h con aleta
2
cf hA
kP 4chA
kP
)tanh(mLhPkAq cf
)tanh(mLhA
kP
cf
0,1)tanh( si max, mLf
bccbbc
bcf AA
hA
hPkA,
,
Desempeño de aletas, f
Capítulo 3 IMC 484 10
Extremo de la aleta adiabático
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4 5
mL
tan
h(m
L)
mL=2,3
tanh(mL)=0,98
Capítulo 3 IMC 484 11mL
Eficiencia de la aleta,
0
tanh
1tanh
0
mL
mLL
mL
mLLSi
f
f
fPara una aleta de sección transversal uniforme con un extremo adiabático
mL
mL
hPL
mLhPkA
hA
q c
bf
adff
)tanh()tanh(,
bf
fff hA
q
q
q
max
1
0
f
Costo
f
Af: Área superficial de la aleta
Capítulo 3 IMC 484 12
Cómo saber si la consideración de extremo adiabático es buena? Consideremos una aleta en aluminio (k=237 W/mK) de 20,0 cm de largo, 3,0 cm de profundidad y 0,5 cm de ancho. con una temperatura en la base igual a 100 ºC. Asumamos que h=5W/m2K. El ambiente se encuentra a 25 ºC.
a) Cual sería la temperatura del extremo si en el extremo hay transferencia de calor por convección.
b) La misma pregunta pero con un extremo adiabático.
T x T
T T
m L x h mk m L x
mL h mk mL
x x
T x x x
b b
( ) cosh[ ( )] ( / )sinh[ ( )]
cosh ( / )sinh
cosh[ . ( . )] . sinh[ . ( . )]
cosh( . ) . sinh( . )
( ) . {cosh( . . ) . sinh( . . )}
-
3138 0 2 0 00672 3138 0 2
0 6276 0 00672 0 6276
25 62 09 0 6276 3138 0 00672 0 6276 3138
Eficiencia de la aleta, f
138,3 , ckA
hPm
Ecuación larga
Capítulo 3 IMC 484 13
0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.285
88.75
92.5
96.25
100
T( )x
T c( )x
x
T: Ext adiabática; Tc: Ext convectivo
T(0.2)=87.32 °CTc(0.2)=87.09 °C
Nota 1: la temperatura en el extremo de la aleta es ligeramente inferior en el caso de un intercambio por convección, lo que es lógico!!!Note 2: La diferencia entre las dos soluciones es ínfima. Luego es posible encontrar aproximadamente el mismo resultado en los dos casos si se aplica un factor correctivo al caso del extremo adiabático (especialmente en el caso de aletas delgadas) lo que compensaría el efecto de transferencia de calor por convección en el extremo de la aleta.
Eficiencia de la aleta, f
T x T
T T
m L x
mL
T x
T x x
b b
( ) cosh ( )
cosh
cosh[ . ( . )]
cosh( . * . ),
( ) . * cosh[ . ( . )]
-
25
100 25
3138 0 2
3138 0 2
25 62 32 3138 0 2
Extremo adiabática
Capítulo 3 IMC 484 14
Para ahorrarse la utilización de la ecuación larga se utiliza la suposición de extremo adiabático pero utilizando una longitud de aleta corregida para tener en cuenta la transferencia de calor por convección en el extremo LC=L+(t/2).
L
Con convección
L
LC=L+t/2
t
t/2Extremo aislado
Luego se aplica una condición de extremo adiabática
Eficiencia de la aleta, f
Capítulo 3 IMC 484 150 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2
85
88.75
92.5
96.25
100
T( )x
T c( )x
T corr( )x
x
Retomando el ejemplo anterior tenemos, m=3.138. La longitud corregida es LC=L+(t/2)=0.2+0.0025=0.2025(m)
T(0.2)=87.32 °C Tc(0.2)=87.09 °CTcorr(0.2025)=87.05 °C
Eficiencia de la aleta, f
2025,0138,3cosh
2025,0138,3cosh
25100
25 ;
cosh
cosh
xxT
mL
xLm
TT
TxT corr
c
c
bb
corr
xxTcorr 2025,0138,3cosh05,6225
Capítulo 3 IMC 484 16
Curvas para calcular en aletas
• D.R. Harper y W.B. Brown en 1922 desarrollar el siguiente método para calcular de forma simple la eficiencia de aletas de diferentes formas
• El método: utilizar la expresión para aletas con extremo adiabático, pero utilizando una longitud corregida:
• La velocidad de transferencia de calor y la eficiencia de la aleta serán entonces de la forma
f
cuadrada aleta ,4
cilíndrica aletas ,4/
resrectangula aletas ,2/
wLL
DLL
tLL
c
c
c
t: espesor de la aleta
D: diámetro de la aleta
tanh
tanh
mL
mL
mLMq
c
cf
cf
/ PALL cc Ac es el área de la sección transversal y P es el perímetro de la aleta en el extremo.
bchPkAM
Capítulo 3 IMC 484 17
Curvas para calcular en aletas
wPtw 2 Si
f
23
2121
cp
cc
c LkA
hL
kA
hPmL
Capítulo 3 IMC 484 18
Arreglo de aletas
Arreglo representativo de aletas (a) rectangulares (b) anulares.
– Área superficial total :
Número de aletas Área de la base
– Calor transferido total:
– Eficiencia y Resistencia total :
bft ANAA
ot
bbtobbbfft R
hAhAhANq,
ft
fo A
NA 11
tot
bot hAq
R
1,
Capítulo 3 IMC 484 19
• Circuito térmico equivalente SIN resistencia de contacto superficial :
• Circuito térmico equivalente CON resistencia de contacto superficial :
Circuitos térmicos para arreglo de aletas
1)( 11
CA
NA f
t
fco
bcctff ARhAC ,",1 /1
tcocot
cot
bbtcot hA
RR
hAq)(
)(,)(,
)(
1
Capítulo 3 IMC 484 20
Aletas de sección transversal no uniforme
• Ecuación general 011
2
2
TT
dx
dA
k
h
Adx
dT
dx
dA
Adx
Td s
c
c
c
021
2
2
TT
kt
h
dr
dT
rdr
Td
01 2
2
2
mdr
d
rdr
d Ec de Bessel modificada
Solución mrKCmrICr 0201
I0 y K0 funciones de Bessel de orden cero modificadas de primera y segunda clase. Anexos B.4 y B.5, pag 858 y 859 Incropera
C.F brr
rdr
d
10
2
21102110
210210
mrImrKmrKmrI
mrImrKmrKmrI
b
I1 y K1 funciones de Bessel de primer orden modificadas de primera y segunda clase. Anexos B.4 y B.5, pag 858 y 859 Incropera
Capítulo 3 IMC 484 21
Ejercicio• Los álabes de turbina montados en un disco rotatorio de una turbina de gas se exponen
a un flujo de gas que esta a T=1200 ºC y mantiene un coeficiente de convección de h=250 W/m2K sobre los álabes. Los álabes, fabricados en Inconel, k=20 W/mK, tienen una longitud de L=50 mm. El perfil del álabe tiene un área de sección transversal Ac=6x10-4 m2 y un perimetro P=110 mm. Un esquema de enfriamiento de álabe que se propone, el cual implica dirigir aire a través del disco de soporte, es capaz de manter la base de cada álabe a una temperatura Tálabe=300 ºC.
• a) Si la temperatura máxima permisible del álabe es 1050 ºC y se supone que la punta del alabe es adiabática, ¿es satisfactorio el esquema de enfriamiento que se propone?
• b) Para el esquema de enfriamiento propuesto, ¿cuál es la transferencia de calor de cada álabe al fluido refrigerante?
• c) En que estado (gaseoso, líquido o en ebullición) debe estar el fluido refrigerante para asegurar la transferencia de calor calculada en el numeral anterior. Sugiera un rango para h lado refrigerante. Justifique su respuesta!!!
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