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___________________________________________Instituto de Ciências Exatas - Departamento de MatemáticaCálculo I – Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo
Capítulo 4: Derivada
4.1- A Reta Tangente
Seja )(xfy = uma curva definida no intervalo ( )ba, e sejam ( ) ( )2211 , e , yxQyxP dois pontos distintos da curva )(xfy = .
Seja s a reta secante que passa pelos pontos P e Q.Considerando o triângulo retângulo PMQ, na figura ao lado,
temos que a inclinação da reta s, ou coeficiente angular de s, é:
xy
xxyytg
∆∆=
−−=
12
12α .
Suponhamos agora que, mantendo P fixo, Q se mova sobre acurva em direção a P. Diante disto, a inclinação da reta secante s variará. A medida que Q vai se aproximando cada vez mais de P, a inclinação da secante varia cada vez menos, tendendo para um valorlimite constante. Esse valor limite é chamado inclinação da retatangente à curva no ponto P, ou também inclinação da curva em P.
Definição:
Dada uma curva )(xfy = , seja ( ) , 11 yxP um ponto sobre ela.A inclinação da reta tangente à curva no ponto P é dada por
( )12
121
)()(limlim12 xx
xfxfxyxm
xxPQ −−=
∆∆=
→→, quando o limite existe.
Fazendo hxxxxx +=∆+= 1212 ou podemos escrever:
( )h
xfhxfx
xfxxfxmhx
)()(lim)()(lim 11
0
11
01−+=
∆−∆+=
→→∆.
Equação da Reta Tangente
Se a função )(xf é contínua em )(1 fDx ∈ , então a reta tangente à curva )(xfy = em ( ))(, 11 xfxP é:
a) A reta que passa por P tendo inclinação ( )h
xfhxfx
xfxxfxmmhx
)()(lim)()(lim 11
0
11
01−+=
∆−∆+==
→→∆, se
este limite existe. Neste caso, temos a equação: )()( 11 xxmxfy −=− .
b) A reta 1xx = , se h
xfhxfh
)()(lim 11
0
−+→
for infinito.
Exemplos:
1. Encontre a inclinação da reta tangente à curva 122 +−= xxy no ponto ( )11, yx .
60
2. Encontre a equação da reta tangente à curva 32 2 += xy no ponto cuja abscissa é 2.
3. Encontre a equação da reta tangente à curva xy = , que seja paralela à reta 0148 =+− yx .Lembrete: Duas retas são paralelas se, e somente se, seus coeficientes angulares são iguais.
4- Encontre a equação para a reta normal à curva 2xy = no ponto ( )4,2P .Lembretes:
a) Reta normal a uma curva no ponto P é a reta perpendicular à reta tangente à curva no ponto P;b) Duas retas de coeficientes angulares m1 e m2 são perpendiculares se, e somente se, m1 . m2 = – 1.
61
4.2- Velocidade e Aceleração
Suponhamos que um corpo se move em linha reta e que )(tss = represente o espaço percorrido pelo móvel até o instante t. Então, no intervalo de tempo entre ttt ∆+ e , o corpo sofre um deslocamento
)()( tsttss −∆+=∆ .
1. Velocidade
Velocidade média do corpo no intervalo de tempo entre ttt ∆+ e é o quociente do espaço percorrido
pelo tempo gasto em percorrê-lo, isto é, t
tsttstsvm ∆
−∆+=∆∆= )()(
.
Velocidade instantânea do corpo no instante t ou velocidade no instante t é o limite das velocidades
médias quando t∆ se aproxima de zero, isto é, t
tsttststv
tt ∆−∆+=
∆∆=
→∆→∆
)()(limlim)(00
.
2. Aceleração
Aceleração média do corpo no intervalo de tempo entre ttt ∆+ e é dada por t
tvttvtvam ∆
−∆+=∆∆= )()(
.
Aceleração instantânea do corpo no instante t é o limite das acelerações médias quando t∆ se aproxima
de zero, isto é, t
tvttvtat ∆
−∆+=→∆
)()(lim)(0
.
Exemplos:
1. No instante t = 0 um corpo inicia um movimento em linha reta. Sua posição no instante t é dado por 216)( ttts −= . Determine:
a) a velocidade média do corpo no intervalo de tempo [ ]4,2 ;
b) a velocidade do corpo no instante t = 2;
c) a aceleração média no intervalo [ ]4,0 ;
d) a aceleração no instante t = 4.
62
2. A equação do movimento de um corpo em queda livre é 2
21 gts = , onde 2/8,9 smg ≅ é a aceleração
da gravidade. Determine a velocidade e a aceleração do corpo em um instante qualquer t.
4.3- A Derivada de uma Função num Ponto
A derivada de uma função )(xf no ponto 1x , denotada por )(' 1xf , é definida pelo limite
xxfxxfxf
x ∆−∆+=
→∆
)()(lim)(' 11
01 , quando este limite existe. Neste caso, dizemos que a função )(xf é
derivável (ou diferenciável) no ponto 1x .
Também podemos escrever: 12
1211
01)()(lim)()(lim)('
12 xxxfxf
hxfhxfxf
xxh −−=−+=
→→.
Observação: Como vimos, este limite nos dá a inclinação da reta tangente à curva )(xfy = no ponto ))(,( 11 xfx . Portanto, geometricamente, a derivada da função )(xfy = no ponto 1x representa a
inclinação da curva neste ponto.
4.4- A Derivada de uma Função
A derivada de uma função )(xfy = é a função denotada por )(' xf tal que seu valor em qualquer
)( fDx ∈ é dado por x
xfxxfxfx ∆
−∆+=→∆
)()(lim)(' 0
, se este limite existir.
Dizemos que uma função é derivável (ou diferenciável) quando existe derivada em todos os pontos de seu domínio.
Outras notações podem ser usadas no lugar de )(' ' xfy = :a) )(xfDx (lê-se derivada de f(x) em relação a x);b) yDx (lê-se derivada de y em relação a x);
c) dxdy
(lê-se derivada de y em relação a x).
63
Exemplos:
1. Dada a função 165)( 2 −+= xxxf , encontre )2(' f .
2. Dada a função 32)(
+−=
xxxf , encontre )(' xf .
3. Dada xxf =)( , encontre )4(' f .
4. Dada 31
)( xxf = , encontre )(' xf .
64
4.5- Continuidade de Funções Deriváveis
TeoremaToda função )(xfy = derivável num ponto )(1 fDx ∈ é contínua nesse ponto.
Demonstração:
Sendo f derivável em 1x então 1
11
)()(lim)(' 1 xx
xfxfxfxx −
−=→
existe.
Assim temos:
[ ] ( ) ( ) 00).(' lim.)()(lim.)()(lim)()(lim 111
11
1
11
1111
==−−−=
−
−−=−
→→→→xfxx
xxxfxfxx
xxxfxfxfxf
xxxxxxxx.
Logo, [ ] [ ] )()(0)(lim)()(lim)()()(lim)(lim 1111111111
xfxfxfxfxfxfxfxfxfxxxxxxxx
=+=+−=+−=→→→→ .
Portanto, f é contínua em 1x .
4.6- Exercícios
Páginas 127 e 128 do livro texto.
4.7- Derivadas Laterais
Definições:Seja )(xfy = uma função definida no intervalo ( )ba, e ( )bax ,1 ∈ .
a) A derivada à direita de 1 em xf , denotada por )(' xf+ , é definida por
1
111
01
)()(lim)()(lim)('1 xx
xfxfh
xfhxfxfxxh −
−=−+=++ →→
+ , caso este limite exista.
b) A derivada à esquerda de 1 em xf , denotada por )(' xf− , é definida por
1
111
01
)()(lim)()(lim)('1 xx
xfxfh
xfhxfxfxxh −
−=−+=−− →→
− , caso este limite exista.
c) Uma função é derivável em um ponto 1x se, e somente se, as derivadas à direita e à esquerda nesse ponto existem e são iguais.
d) Quando as derivadas laterais (direita e esquerda) existem e são diferentes em um ponto 1x , dizemos que o ponto ( ))(, 11 xfx é um ponto anguloso do gráfico de f.
e) Uma função f definida no intervalo [ ]ba, é derivável em [ ]ba, se é derivável no intervalo aberto ( )ba, e se existem a derivada à direita e a derivada à esquerda da função f em a e b, respectivamente.
Observação: Para fazer uma análise gráfica da existência da derivada em um ponto, podemos traçar retas secantes que passam pelo ponto dado e por outro na sua vizinhança e observar a sua posição limite (posição de tangência). Quando as secantes não têm uma única posição limite ou se tornam verticais, a derivada não existe. No primeiro caso, estamos diante da situação em que as derivadas laterais existem, mas são diferentes (ponto anguloso) e não há reta tangente à curva neste ponto; no segundo caso, as retas
65
secantes convergem para a posição vertical e, se − ∞=+ ∞=−+ →→
)(' lim e )(' lim11
xfxfxxxx ou
+ ∞=− ∞=−+ →→
)(' lim e )(' lim11
xfxfxxxx , dizemos que estamos diante de um ponto cuspidal do gráfico de f ,
sendo 1xx = a reta tangente neste caso.
Exemplos:
1. Seja f a função definida por
≥−<−
=2 se , 72 se , 13
)(xxxx
xf .
a) Esboce o gráfico de f.b) Mostre que f é contínua em 2.c) Encontre )2('+f e )2('−f .d) A função f é derivável em 2? Justifique sua resposta.
2. Seja a função ( ) xxxf . 2)( −= .a) Encontre )0('+f e )0('−f .b) A função f é derivável em x = 0? Justifique sua resposta.
4.8- Exercícios
Páginas 132 e 133 do livro texto.
66
4.9- Regras de Derivação
As regras de derivação permitem determinar as derivadas das funções sem o uso da definição.
R1 – Derivada de uma Constante
Se c é uma constante e cxf =)( , para todo Rx ∈ , então 0)(' =xf .
Demonstração:
00limlim)()(lim)(' 000
==−=−+=→→→ hhh h
cch
xfhxfxf .
R2 – Regra da Potência (expoente positivo)
Se n é um número inteiro positivo e nxxf =)( , então 1 )(' −= nxnxf .
Demonstração:
( ) =−+
−
++
+
+
=−+=−+=
−−−
→→→ h
xhxhn
nhx
nhx
nx
hxhx
hxfhxfxf
nnnnnn
h
nn
hh
1221
000
1...
21limlim)()(lim)('
=
+
−
++
+
=
+
−
++
+
= −−−−
→
−−−−
→
1221
0
1221
0 1...
21lim
1...
21lim nnnn
h
nnnn
hhxh
nn
hxn
xn
h
hxhn
nhx
nx
nh
1111 )!1( 1)!1(
)!1( !1!
1−−−− =
−−=
−=
= nnnn xnx
nnnx
nnx
n.
Exemplos:a) Se 5)( xxf = então 45)(' xxf = .b) Se xxg =)( então 1)(' =xg .c) Se 10)( xxh = então 910)(' xxh = .
R3 – Derivada do produto de uma constante por uma função
Sejam f uma função, c uma constante e g a função definida por )()( xcfxg = .Se )(' xf existe, então )(' )(' xcfxg = .
Demonstração:
)(' )()(lim)()(lim)()(lim)()(lim)(' 0000
xcfh
xfhxfch
xfhxfch
xcfhxcfh
xghxgxghhhh
=−+=
−+=−+=−+=
→→→→
Exemplos:a) Se 28)( xxf = então xxxf 16)2(8)(' == .b) Se 72)( ttg −= então 66 14)7(2)(' tttg −=−= .
67
R4 – Derivada de uma soma
Sejam f e g duas funções e s a função definida por )()())(()( xgxfxgfxs +=+= .Se )(' xf e )(' xg existem, então )(' )(' )(' xgxfxs += .
Demonstração:[ ] [ ] =+−+++=−+=
→→ hxgxfhxghxf
hxshxsxs
hh
)()()()(lim)()(lim)(' 00
[ ] [ ] )(' )(' )()(lim)()(lim)()()()(lim000
xgxfh
xghxgh
xfhxfh
xghxgxfhxfhhh
+=−++−+=−++−+=→→→
.
Exemplos:a) Se 583)( 4 ++= xxxf então 81201.8)4(3)(' 33 +=++= xxxf .b) Se 7249)( 25 ++−= ttttg então 2845)(' 4 +−= tttg .
R5 – Derivada de um produto
Sejam f e g duas funções e p a função definida por )().())(.()( xgxfxgfxp == .Se )(' xf e )(' xg existem, então )().(' )(').()(' xgxfxgxfxp += .
Demonstração:[ ] [ ] =−++=−+=
→→ hxgxfhxghxf
hxphxpxp
hh
)().()().(lim)()(lim)(' 00
[ ] [ ]
).(' ).()(' ).(
)()().(lim)()().(lim)()().()()().(lim
)().()().()().()().(lim
000
0
xfxgxgxfh
xfhxfxgh
xghxghxfh
xfhxfxgxghxghxfh
xgxfxghxfxghxfhxghxf
hhh
h
+=
=−++−++=−++−++=
=−+++−++=
→→→
→
Exemplos:a) Se )).(12()( 243 xxxxf +−= então )).(6()24).(12()(' 24233 xxxxxxxf +++−= .
b) Se )4).(5(21)( 62 ttttg ++= então )4).(2(
21)46).(5(
21)(' 652 ttttttg ++++= .
R6 – Derivada de um quociente
Sejam f e g duas funções e q a função definida por )()()()(
xgxfx
gfxq =
= , onde 0)( ≠xg .
Se )(' xf e )(' xg existem, então [ ]2)()(' ).()(' ).()('
xgxgxfxfxgxq −= .
Demonstração:
=+
+−+=−
++
=−+=→→→ )().(
)().()().(.1lim)()(
)()(
lim)()(lim)(' 000 xghxg
hxgxfxghxfhh
xgxf
hxghxf
hxqhxqxq
hhh
68
[ ] .)(
)(' ).()().(' )(lim).(lim
)()(lim).(lim)(lim.)()(lim
)().(
)()()()(.)()(
lim)().(
)().()().()().()().(.1lim
2
00
0000
00
xgxgxfxgxf
xghxgh
xghxgxfxgh
xfhxfxghxg
hxghxgxfxg
hxfhxf
xghxghxgxfxgxfxgxfxghxf
h
hh
hhhh
hh
−=+
−+−−+
=
=+
−+−−+
=+
+−+−+=
→→
→→→→
→→
Exemplos:
a) Se 35
32)( 2
4
+−−=xx
xxf então 22
432
)35()52).(32()8).(35()('
+−−−−+−=
xxxxxxxxf .
b) Se x
xg 1)( = então 22
11.10.)(' xx
xxg −=−= .
R7 – Regra da Potência (expoente negativo)
Se nxxf −=)( , onde n é um número inteiro positivo e 0≠x , então 1 )(' −−−= nxnxf .
Demonstração:
Como nn
xxxf 1)( == − então 1
2
1
2
1
)(
.10.)(' −−−−
−=−=−= nn
n
n
nn
xnx
xnx
xnxxf .
4.10- Exercícios
Páginas 138 e 139 do livro texto.
4.11- Derivada da Função Composta (Regra da Cadeia)
TeoremaSejam )( e )( xfuugy == funções deriváveis, com Im(f) ⊂ D(g).Então a composta ))(( xfgy = é derivável e vale a regra da cadeia:
dxdu
dudy
dxdyxfxfgxfugxy . seja,ou ),(' )).((' )(' ).(' )(' === .
Exemplos:
1. Dada a função 72 )25( ++= xxy , determinar dxdy
.
2. Dada a função 5
1223
++=
xxy , encontrar ' y .
69
3. Dada a função 2232 ).()13( xxxy −+= , determinar ' y .
Proposição (Regra da Potência para Funções Quaisquer)
Se )(xgu = é uma função derivável e n é um número inteiro não nulo, então
[ ] [ ] )(' .)()( 1 xgxgnxgdxd nn −= .
Demonstração:Fazendo )( onde , xguuy n == , e aplicando a Regra da Cadeia, temos:
[ ] [ ] )(' .)( )(' . . )( 11 xgxgnxgundxdu
dudy
dxdyxg
dxd nnn −− ==== .
Observação: A Regra da Potência pode ser generalizada como segue e será demonstrada mais adiante:Se )(xgu = é uma função derivável e r é um número racional não nulo qualquer, então
[ ] [ ] ( ) ' . ' seja,ou , )(' .)()( 11 uuruxgxgrxgdxd rrrr −− == .
Exemplos:
1- Dada a função 55)( 2 += xxf , determinar )(' xf .
2- Dada a função 3 3
2
1)(
+=
tttg , determinar )(' tg .
3- Determinar a derivada das seguintes funções:a) ( ) xxxy +++= 38 42
b) 3
12 −+=
xxy
c) 3 2 276 ++= xxy70
4.12- Derivada da Função Inversa
TeoremaSeja )(xfy = uma função definida em um intervalo aberto ( )ba, . Suponhamos que )(xf admita
uma função inversa )(ygx = contínua. Se )(' xf existe e é diferente de zero para qualquer ( )bax ,∈ ,
então ( ))(' 1
)(' 1)(' valee derivável é 1
ygfxfygfg === − .
Demonstração:Sejam )()( e )( xfxxfyxfy −∆+=∆= . Observamos que, como f possui uma inversa, se
0≠∆ x temos que )()( xfxxf ≠∆+ e, portanto, 0≠∆ y . Como f é contínua, quando 0→∆ x temos que 0→∆ y .Da mesma forma, quando 0→∆ y , então )()( ygyygx −∆+=∆ também tende a zero.Por outro lado, para qualquer )(xfy = vale a identidade:
xxfxxfxfxxf
xxfxxf
xxxy
ygyyg
∆−∆+=
−∆+∆=
−∆+−∆+=
∆−∆+
)()(1
)()()()()()()(
.
Como )(' xf existe e é diferente de zero para qualquer ( )bax ,∈ obtemos
)(' 1
)()(lim
1)()(lim
0
0 xfx
xfxxfyygyyg
x
y=
∆−∆+=
∆−∆+
→∆
→∆ .
Concluímos que )(' 1)(' valee existe )('
xfygyg = .
Exemplos:
1- Seja 34)( −== xxfy . A sua inversa é dada por )3(41)( +== yygx . Temos
41)(' e 4)(' == ygxf .
2- Seja 38xy = . Sua inversa é 3
21 yx = .
Como 224' xy = é maior que zero para todo x ≠ 0 temos 322
32
6
1
2124
124
1
yyxdy
dx =
==.
Para x = 0 temos y = 0 e 0' =y . Logo, não podemos aplicar o teorema para x = 0.
4.13- Derivadas das Funções Elementares
4.13.1 – Derivada da Função ExponencialSe xay = , sendo 1 e 0 ≠> aa , então aay x ln.' = . Em particular, se xey = , então xx eeey == ln.' .
Demonstração:Seja xaxfy == )( . Temos:
aah
aah
aah
aah
xfhxfxf xh
h
x
h
hx
h
xhx
hhln.1lim . lim)1(limlim)()(lim)('
00000=−=−=−=−+=
→→→
+
→→.
71
4.13.2 – Derivada da Função Logarítmica
Se xy alog= , sendo 1 e 0 ≠> aa , então ex
y alog1' = . Em particular, se xy ln= , entãox
ex
y 1ln1' == .
Demonstração: Seja xxfy alog)( == . Temos:
=
+=
+=
+
=−+=−+=→→→→→ x
hhx
hxhh
xhx
hxhx
hxfhxfxf ahah
a
h
aa
hh1log1limlog1lim
loglimlog)(loglim)()(lim)('
00000
=
+=
+=
+=
+=
+=
→→→→→
xx
h
ha
h
ha
h
ha
h
ha
h
ahh
xh
xh
xh
h
xh
xh
.1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
11limlog11limlog1limlog1limlog1loglim
ex
eh
x ax
a
xhx
ha log.1log11limlog1
1
0==
+=
→.
4.13.3 – Derivada da Função Exponencial CompostaSe vuy = , onde )( e )( xvvxuu == são funções de x, deriváveis num intervalo aberto I e 0)( >xu ,
Ix ∈∀ , então ' . ln. ' ..' 1 vuuuuvy vv += − .
Demonstração: Usando as propriedades de logaritmos, podemos escrever uvuv eeuy
v ln.ln === . Assim, ))(( xgofy = , onde ln.)( e )( uvxfwewg w === .
Como existem as derivadas ' . ln' ..
1.)(' e )(' vuuu
vxfewg w +== , pela regra da cadeia temos:
' . ln.' ..' . ln.' ..' . ln' .' . ln' ..)(' ).(' ' 1ln. vuuuuvvuuuuvuvu
uuvevu
uuvexfwgy vvvvuvw +=+=
+=
+== − .
Observação: Usando a regra da cadeia obtemos as fórmulas gerais das derivadas das funções exponencial e logarítmica:
' . ln.' )1 e 0( uaayaaay uu =⇒≠>= ' .' ueyey uu =⇒=
euuyaauy aa log' ' )1 e 0( log =⇒≠>=
uuyuy ' ' ln =⇒=
Exemplos:
Determinar a derivada das seguintes funções:a) 132 2
3 −+= xxy
72
b) x
y
=
21
c) 11
−+
= xx
ey
d) xxey ln.=
e) )173(log 22 −+= xxy
f)
+
=1
lnxey
x
g) ( ) 122 1 −+= xxy
4.13.4 – Derivadas das Funções Trigonométricas
a) Derivada da Função SenoSe senxy = , então xy cos' = .
Demonstração:
=+=
+
=
++−+
=−+=→→→→→ 2
2coslim.
2.2
22
lim22cos.
22
lim2cos.
22
lim)(lim' 00000
hxh
hsen
h
hxhsen
h
xhxxhxsen
hsenxhxseny
hhhhh
xx coscos.1 == .
b) Derivada da Função CossenoSe xy cos= , então senxy −=' .
Demonstração:
=+−=
+−=
−+++−=−+=
→→→→→
2.2
2lim.2
2lim22.
222
lim2.
22
limcos)cos(lim' 00000 h
hsenhxsenh
hsenhxsen
h
xhxsenxhxsen
hxhxy
hhhhh
senxsenx −=−= 1.21.2 .
73
c) Derivadas das demais Funções TrigonométricasComo as demais funções Trigonométricas são definidas a partir do seno ou cosseno, podemos usar as regras de derivação para encontrar suas derivadas.
Por exemplo, se x
senxtgxycos
== então xxx
xsenxx
senxsenxxxy 222
22
2 seccos
1cos
cos)(cos
)(cos.cos' ==+=−−= .
Analogamente, encontramos:xygxy 2seccos' cot −=⇒=
tgxxyxy .sec' sec =⇒= gxxyxy cot.seccos' seccos −=⇒=
Observação: Usando a regra da cadeia obtemos as fórmulas gerais das derivadas das funções trigonométricas:
' . cos' uuysenuy =⇒= ' . ' cos usenuyuy −=⇒=
' . sec' 2 uuytguy =⇒= ' . seccos' cot 2 uuyguy −=⇒=
' . . sec' sec utguuyuy =⇒= ' . co . seccos' seccos utguuyuy −=⇒=
Exemplos:
Determinar a derivada das seguintes funções:a) )( 2xseny =
b)
=
xy 1cos
c) xgxtgy 3cot3 +=
d) gxxy
cot1cos
+=
e) )73sec( 2 ++= xxy
f)
−+=
11seccos
xxy
74
4.13.5 – Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas
a) Derivada da Função Arco Seno
Seja [ ]
−→−
2,
21,1: ππf definida por senxarcxf )( = .
Então )(xfy = é derivável em ( )1,1− e 211'
xy
−= .
Demonstração:
Sabemos que:
−∈=⇔=
2,
2 , ππysenyxarcsenxy . Como ' )(seny existe e é diferente de zero para
todo
−∈
2,
2ππy , aplicando o teorema da função inversa obtemos:
( )1,1 para , 1
11
1cos
1' )(
1' 22
−∈−
=−
=== xxysenyseny
y .
b) Derivada da Função Arco CossenoSeja [ ] [ ]π,01,1: →−f definida por xarcxf cos )( = .
Então )(xfy = é derivável em ( )1,1− e 211' x
y−
−= .
Demonstração:
Usando a relação senxarcxarc 2
cos −= π obtemos:
( ) ( )1,1 para , 1
1' 2
' cos ' 2
−∈−
−=
−== x
xsenxarcxarcy π
.
c) Derivada da Função Arco Tangente
Seja
−→
2,
2: ππRf definida por tgxarcxf )( = .
Então )(xfy = é derivável e 211' x
y+
= .
Demonstração:
Sabemos que:
−∈=⇔=
2,
2 , ππytgyxarctgxy . Como ' )(tgy existe e é diferente de zero para todo
−∈
2,
2ππy , aplicando o teorema da função inversa obtemos:
222 11
11
sec1
' )(1'
xytgytgyy
+=
+=== .
75
d) Derivada da Função Arco CotangenteSeja ( )π,0: →Rf definida por xarcxf cotg )( = .
Então )(xfy = é derivável e 211' x
y+−= .
Demonstração:
Usando a relação tgxarcgxarc 2
cot −= π obtemos:
( ) 211'
2' cot '
xtgxarcgxarcy
+−=
−== π
.
e) Derivada da Função Arco Secante
Seja ( ] [ )
∪
→+ ∞∪−∞− πππ ,
22,0,11,:f definida por xarcxf sec )( = .
Então )(xfy = é derivável em ( ) ( )+ ∞∪−∞− ,11, e 1
1' 2 −
=xx
y .
Demonstração:
Usando a relação
=
xarcxarc 1cos sec e a regra da cadeia obtemos:
( ) =−
=−
=−−
−=
−
−=
==
xxx
xxxx
xx
x
arcxarcy1.
11.
11.1
1' x1.
11
1' x1cos ' sec '
22
2
222
2
22
1 onde , 1.
11. 222 >
−=
−= x
xxxx
x.
f) Derivada da Função Arco Cossecante
Seja ( ] [ )
∪
−→+ ∞∪−∞−
2,00,
2,11,: ππf definida por xarcxf cossec )( = .
Então )(xfy = é derivável em ( ) ( )+ ∞∪−∞− ,11, e 1
1' 2 −
−=xx
y .
Demonstração:
Usando a relação
=
xsenarcxarc 1 cossec e a regra da cadeia obtemos:
( ) =−
−=−
−=−−
=
−
=
==
xxx
xxxx
xx
x
senarcxarcy1.
11.
11.1
1' x1.
11
1' x1 ' cossec '
22
2
222
2
22
1 onde , 1.
11. 222 >
−−=
−
−= x
xxxx
x.
76
Observação: Usando a regra da cadeia obtemos as fórmulas gerais das derivadas das funções trigonométricas inversas:
21' ' u
uysenuarcy−
=⇒=
21' ' cos u
uyuarcy−
−=⇒=
21' ' u
uytguarcy+
=⇒=
21' ' cot
uuyguarcy
+−=⇒=
1.' ' sec 2 −
=⇒=uuuyuarcy
1.' ' seccos
2 −−=⇒=uuuyuarcy
Exemplos:
Determinar a derivada das seguintes funções:a) )1( += xsenarcy
b)
+−= 2
2
11
xxtgarcy
4.13.6 – Derivadas das Funções Hiperbólicas
Como as Funções Hiperbólicas são definidas em termos da função exponencial, podemos determinar suas derivadas usando as regras de derivação já estabelecidas.
Por exemplo, se ( ) ( ) xeeeeyeesenhxy xxxxxx
cosh21)1(
21' então
2=+=−−=−== −−
−
.
Analogamente, obtemos as derivadas das demais funções hiperbólicas.
Observação: Usando a regra da cadeia obtemos as fórmulas gerais das derivadas das funções hiperbólicas:
' . cosh' uuysenhuy =⇒= ' . ' cosh usenhuyuy =⇒=
' . sec' 2 uuhytghuy =⇒= ' . seccos' cot 2 uuhyghuy −=⇒= ' . . sec' sec utghuhuyhuy −=⇒=
' . co . seccos' seccos utghuhuyhuy −=⇒=
77
Exemplos:
Determinar a derivada das seguintes funções:a) )3( 3 += xsenhy
b) )2(sec xhy =
c) [ ])3(ln xtghy =
d) )1(cot 3xghy −=
4.13.7 – Derivadas das Funções Hiperbólicas Inversas
Vimos que senhxy arg= pode ser expresso na forma ( )1ln 2 ++= xxy . Assim,
( ) ( )1
11
1.1
111
1
1
2.1211
1' 1'
222
2
2
2
2
21
2
2
2
+=
+++++=
+++
+=
++
++=
++++=
−
xxxxxx
xxx
x
xx
xx
xxxxy .
Analogamente obtemos as derivadas das demais funções hiperbólicas inversas.
Observação: Usando a regra da cadeia obtemos as fórmulas gerais das derivadas das funções hiperbólicas inversas:
1' ' arg
2 +=⇒=
uuysenhuy
1 , 1
' ' cosharg2
>−
=⇒= uuuyuy
1 , 1
' ' arg 2 <−
=⇒= uu
uytghuy
1 , 1
' ' cotarg 2 >−
=⇒= uu
uyghuy
10 , 1
' ' secarg2
<<−
−=⇒= uuu
uyhuy
0 , 1
' ' seccosarg2
≠+
−=⇒= uuu
uyhuy
Exemplos:
Determinar a derivada das seguintes funções:a) 22 cosharg. xxy =
b) )3(arg xsentghy =
c) 1arg. 2 +−= xsenhxxy
78
4.14- Tabela Geral de Derivadas
Sejam u e v funções deriváveis de x e c, α e a constantes.
79
4.15- Exercícios
Páginas 159, 160, 161, 162 e 163 do livro texto.
4.16- Derivadas Sucessivas
Definição Seja f uma função derivável. Se ' f também for derivável, então a sua derivada é chamada derivada
segunda de f e é representada por '' f (lê-se f duas linhas) ou 2
2
dxfd (lê-se derivada segunda de f em
relação a x). Se '' f é uma função derivável, sua derivada, representada por ''' f , é chamada derivada terceira de f. A derivada de ordem n ou n-ésima derivada de f , representada por (n) f , é obtida derivando-se a derivada de ordem (n – 1) de f.
Exemplos:
1- Se 183)( 2 ++= xxxf , então 6)('' e 86)(' =+= xfxxf .
2- Se tgxxf =)( , então tgxxtgxxxxfxxf .sec2.sec.sec2)('' e sec)(' 22 === .
3- Se 1)( 2 += xxf , então
( ) ( ) ( ) ( )( )32
2
221
223
221
221
2
1111.12.1.
21.)('' e 12.1
21)('
+−
+=+++
−=+=+= −−−−
x
xx
xxxxxfxxxxxf .
4- Se 25 83)( xxxf += , então6 ,0)( e 360)( , 360)( , 180)(''' , 1660)('' , 1615)(' )()5()4(234 ≥====+=+= nxfxfxxfxxfxxfxxxf n .
5- 2)(x
exf = , então 2)(222
21 ,
81)(''' ,
41)('' ,
21)('
x
nn
xxx
efexfexfexf ==== .
6- Se senxxf =)( , então senxfxxfsenxxfxxf =−=−== )4( , cos)(''' , )('' , cos)(' , ou seja,
==−=−=
=
,...12,8,4 para , ,...11,7,3 para , cos,...10,6,2 para ,
,...9,5,1 para , cos
)()(
nsenxnxnsenxnx
xf n .
80
4.17- Derivação Implícita
Definição – Função na forma implícita Consideremos a equação 0),( =yxF . Dizemos que a função )(xfy = é definida implicitamente pela equação 0),( =yxF , se substituirmos y por )(xf em 0),( =yxF , esta equação se transforma em uma identidade.
Exemplos:
1- A equação 01212 =−+ yx define implicitamente a função )1(2 2xy −= .
De fato, substituindo )1(2 2xy −= na equação 01212 =−+ yx , obtemos a identidade 01)1(2.
21 22 =−−+ xx .
2- A equação 422 =+ yx define implicitamente uma infinidade de funções.
Por exemplo, 22 , onde , 2 se , 4
2 se , 4)( , 4 , 4
2
222 <<−∈
<≤−−−
≤≤−=−−=−= cRc
cxx
xcxxhxyxy c .
3- Nem sempre é possível encontrar a forma explícita de uma função definida implicitamente, como por exemplo )(xfy = definida implicitamente pela equação 0ln234 =++ yxyy .
A Derivada de uma Função na Forma Implícita Suponhamos que 0),( =yxF define implicitamente uma função derivável )(xfy = . Os exemplos que seguem mostram que, usando a regra da cadeia, podemos determinar ' y sem explicitar y.
1- Sabendo que )(xfy = é uma função derivável definida implicitamente pela equação 422 =+ yx , determinar ' y .
81
2- Sabendo que )(xfy = é definida pela equação yxyxy 22 32 −=+ , determinar ' y .
3- Se )(xfy = é definida por 0.22 =+ senyxyx , determinar ' y .
4- Determinar a equação da reta tangente à curva 01212 =−+ yx no ponto ( )0,1− .
5- Determinar as equações da reta tangente e da reta normal à circunferência de centro ( )0,2 e raio 2, nos pontos de abscissa 1.
4.18- Exercícios
Páginas 176 e 177 do livro texto (números 1 ao 22).82
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