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O Método das Diferenças Finitas na Análise de Placas Finas 4.1
Capítulo 4
O Método das Diferenças Finitas na Análise
de Placas Rectangulares Finas
4.1 Conceitos Básicos
A função contínua f (x1, x2) = f (x, y) tem valores conhecidos num conjunto discreto
de pontos (i, j, k, l, etc.) como se representa no quadro 4.1. A determinação das derivadas
da função f (x, y) nos pontos (i, j, k, ...) pode fazer-se recorrendo ao chamado método das
diferenças finitas.
ponto coord.x coord.y f(x,y)... . . . . . . . . .i-1 xi-1 yi-1 f i-1j-1 xj-1 yj-1 f j-1
. . . . . . . . . . . .i xi yi f ij xj yj f j
. . . . . . . . . . . .
Quadro 4.1: Função f (x, y) tabelada.
O Método das Diferenças Finitas na Análise de Placas Finas 4.2
Considere-se que os pontos (i, j, k, ...) no plano Oxy, para os quais se conhece o valor
f (x, y), de acordo com a figura 4.1, têm coordenadas tais que:
x...xxxx 1kk1ii ∆==−=− −− e y...yyyy jkji ∆==−=− 4.1
A consideração de intervalos yex ∆∆ = constante, segundo os eixos dos xx e dos yy,
facilita a sistematização e aplicação do método das diferenças finitas, não é porém condição
necessária para efeitos de utilização do referido método. A consideração de yx ∆≠∆ pode
tornar-se necessária.
O
i - 2 i - 1 i i + 1 i + 2
j - 2
k - 2
l - 2
i - 2
m - 2
j - 1 j j + 1 j + 2
k - 1
l - 1
i - 2
m - 2
k
l
i - 2
m
k + 1
l + 1
i - 2
m + 1
k + 2
l + 2
i - 2
m +2
∆ x ∆ x ∆ x ∆ x ∆ x
∆ y
∆ y
∆ y
∆ y
∆ y
∆ y
x
y
Figura 4.1: Malha no plano Oxy.
A derivada da função f (x, y) em ordem a x, de acordo com a definição de derivada
parcial, num ponto, é:
xf
limxf
0x ∆∆
=∂∂
→∆ 4.2
Se se considerar um intervalo ∆x suficientemente pequeno, pode considerar-se que:
O Método das Diferenças Finitas na Análise de Placas Finas 4.3
xf
xf
∆∆
≅∂∂ 4.3
Considerando válida esta aproximação 4.3, para a função tabelada no quadro 1 e a
distribuição dos pontos no plano Oxy representada na figura 4.1, a derivada da função
f(x,y) em ordem a x no ponto k, pode determinar-se,
pela diferença à frente:x
ff
xf k1k
k ∆
−≅
∂∂ + (a)
pela diferença atrás:xff
xf 1kk
k ∆
−≅
∂∂ − (b) 4.4
ou pela diferença central:x2ff
xf 1k1k
k ∆
−≅
∂∂ −+ (c)
Destas três hipóteses possíveis para a determinação do valor aproximado da 1ª
derivada em ordem a x da função f (x, y) no ponto k, a chamada diferença central 4.4c,
conduz, em geral, a uma melhor aproximação.
A determinação das derivadas parciais de 2ª ordem, pode ser feita de modo análogo,
isto é:
xxf
xf
xxf
limx
f ED
0x2
2
∆
∂∂
−
∂∂
≅∆
∂∂
=∂∂
→∆
yyf
yf
yyf
limyf ED
0x2
2
∆
∂∂
−
∂∂
≅∆
∂∂
=∂∂ ′′
→∆ 4.5
Admita-se que os pontos D, E, D´, E´, são os pontos representados na figura 4.2, isto
é, os pontos correspondentes a metade dos intervalos k, k + 1; k - 1, k; j, k e k, l e
considerando o intervalo como sendo ∆x/2 e ∆y/2, as derivadas que aparecem no
O Método das Diferenças Finitas na Análise de Placas Finas 4.4
numerador podem ser calculadas considerando uma das três hipóteses 4.4a, 4.4b e 4.4c.
Para as diversas hipóteses, obtêm-se expressões que correspondem a aproximações, por
diferenças finitas, distintas.
∆ x/2
∆ y/2
x
y
k - 1 E k D k + 1E'l
D'j
∆ x/2 ∆ x/2 ∆ x/2
∆ y/2
∆ y/2
Figura 4.2: Malha de diferenças finitas centrais.
Considerando que o cálculo das derivadas de 1ª ordem nos pontos D,E,D´,E´ é feito
recorrendo à fórmula 4.4c, diferenças centrais, obtém-se:
xff
xf k1k
D ∆
−≈
∂∂ +
xff
xf 1kk
E ∆
−≈
∂∂ −
yff
yf kj
D ∆
−≈
∂∂
′
yff
yf k1
E ∆
−≈
∂∂
′
4.6
Substituindo estas aproximações para as derivadas parciais de 1ª ordem nas fórmulas
4.5, obtém-se:
21kk1k
k2
2
xff2f
xf
∆
+−≅
∂∂ −+
2ikj
k2
2
yff2f
yf
∆
+−≅
∂∂ 4.7
O Método das Diferenças Finitas na Análise de Placas Finas 4.5
As derivadas xyfe
yxf 22
∂∂∂
∂∂∂
determinam-se de modo análogo, ou seja:
y2xf
xf
limyxf ij
0yk
2
∆
∂∂
−
∂∂
=
∂∂
∂→∆
x2
yf
yf
limxy
f 1k1k
0xk
2
∆
∂∂
−
∂∂
=
∂∂
∂ −+
→∆ 4.8
Recorrendo à expressão 4.4.c, para a diferença ao centro, para efeitos de
determinação de um valor aproximado das derivadas:
1k1k1j yf,
yf,
xf,
xf
−+
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
obtêm-se para as derivadas 4.8, a expressão seguinte:
yx4ffff
yxf
xyf 11111j1j
2
k
2
∆∆
+−−≅
∂∂
∂=
∂∂
∂ −+−+ 4.9
A derivada 3
3
xf
∂
∂ , no ponto k, é determinada de modo análogo, sendo:
x2
xf
xf
limx
f 1k2
2
1k2
2
0xk
3
3
∆
∂∂
−
∂∂
=
∂∂ −+
→∆ (a) 4.10
ou seja:
( )32k1k1k2k
k3
3
x2
ff2f2fx
f∆
−+−≅
∂∂ −−++ (b)
O Método das Diferenças Finitas na Análise de Placas Finas 4.6
As derivadas de ordem superior determinam-se de modo análogo. Assim a
metodologia seguida para a determinação das derivadas de ordem ímpar é a utilizada na
determinação das derivadas 33 x/fex/f ∂∂∂∂ e para a determinação das derivadas de
ordem par, segue-se a metodologia utilizada para a determinação da derivada 22 x/f ∂∂ . As expressões obtidas para as derivadas parciais necessárias à análise de placas
rectangulares por diferenças finitas são as representadas no quadro 4.2 e a notação está de
acordo com a figura 4.1. Podem utilizar-se outras aproximações por diferenças finitas para
efeitos de calculo das derivadas da função f, a aproximação aqui considerada é adequada ao
cálculo e os resultados obtidos são mais satisfatórios do que os resultados que se obteriam
usando a diferença atrás ou á frente na definição das várias derivadas.
x2ff
xf 1k1k
k ∆−
≅
∂∂ −+
x2ff
yf lj
k ∆−
≅
∂∂
xy2ff2fff2f
xyf
31ll1l1jj1j
2
3
k ∆∆
−+−+−≅
∂∂
∂ −+−+
xff2f
xf
21kk1k
2
2
k ∆
+−≅
∂∂ −+
xy2ff2fff2f
yxf
31l1k1j1l1k1j
2
3
k ∆∆
−+−+−≅
∂∂∂ −−−+++
yff2f
yf
2lkj
2
2
k ∆
+−≅
∂∂
xff4f6f4f
xf
42k1kk1k2k
4
4
k ∆
+−+−≅
∂∂ −−++
yx4ffff
xyf
yxf 1l1l1j1j
2
k
2
k ∆∆
+−−≅
∂∂
∂=
∂∂
∂ −+−+
y
ff4f6f4fyf
4mlkji
4
4
k ∆
+−+−≅
∂∂
x2ff2f2f
xf
31k1k1k2k
3
3
k ∆
−+−≅
∂∂ −−++
xy
ff2ff4f2ff2fxy
f3 3
1ll1lk1k1jj1j
22
4
k ∆∆
+++−−+−≅
∂∂∂ −++−+
y2ff2f2f
yf
3mlji
3
3
k ∆
−+−≅
∂∂
Quadro 4.2: Fórmulas das Diferenças Centrais
O Método das Diferenças Finitas na Análise de Placas Finas 4.7
4.2. Representação da Equação de Lagrange pelo Método das Diferenças Finitas
A equação de Lagrange, obtida por consideração de equilíbrio na teoria geral das
placas, é:
D)y,x(p
yyx2
x 4
4
22
4
4
4
=∂∂
+∂∂
∂+
∂∂ ωωω 4.11
onde: ω representa o deslocamento transversal de um ponto do plano médio da placa
p(x,y) é a intensidade da carga aplicada;
D é a rigidez à flexão para placas finas.
Considere-se no plano médio da placa um conjunto discreto de pontos, como o que se
representa na figura 4.2, as derivadas do deslocamento transversal ω podem ser
determinadas no ponto k, a partir dos valores da função w nos pontos vizinhos de k, ou
seja:
( )42k1kk1k2k
k4
4
x
464x ∆
+−+−=
∂∂ −−++ ωωωωωω
( )4m1kji
k4
4
y
464y ∆
+−+−=
∂∂ ωωωωωω
( ) ( )2211111k1k1jj1j
k22
4
yx
2422yx ∆∆
+−+−−+−=
∂∂
∂ −++−+ ωωωωωωωωω 4.12
Tendo em conta as expressões das derivadas de 4ª ordem (4.12) intervenientes na
equação de Lagrange, esta toma a forma por diferenças finitas seguinte:
+∆
+−+− −−++
42k1kk1k2k
x464 ωωωωω
O Método das Diferenças Finitas na Análise de Placas Finas 4.8
( ) ( )+
∆∆
+−++−+−+ −+−+−+
2211111k1k1k1jj1j
yx
242222
ωωωωωωωωω
( ) Dp
y
464 k4
m1kj1 =∆
+−+−+
ωωωωω 4.13 (a)
à qual se pode dar a forma seguinte:
( )4y1
∆
( ) ( )22 yx2
∆∆
( )−
∆− 4y
4
4
∆ x2 ∆ y2
( ) ( )22 yx2
∆∆
( )4x1
∆
( )−
∆− 2y
4
4
∆ x2 ∆ y2
( ) ( )+
∆+
∆ 44 y6
x6
( ) ( )22 yx8
∆∆
( )−
∆− 4x
4
22 yx4∆∆
( )4x1
∆
( ) Dpk=ω
( ) ( )22 yx2
∆∆
( )−
∆− 4y
4
22 yx4∆∆
( ) ( )22 yx2
∆∆
( )4y1
∆
4.13 (b)
O Método das Diferenças Finitas na Análise de Placas Finas 4.9
sendo o quadrado médio considerado localizado no ponto k e os restantes coeficientes
considerados nos pontos localizados para cima e para baixo para direita e para esquerda do
ponto k.
A determinação da carga pk faz-se considerando a área de influência da carga p no
ponto k como se refere posteriormente.
A equação de Lagrange representada pelas (4.13) a e (4.13b) pode ser considerada em
qualquer ponto da malha de diferenças finitas no domínio da placa, uma vez que em
qualquer ponto da placa se deve verificar a equação de equilíbrio em particular nos pontos
da malha considerada por diferenças finitas. A aplicação da equação (4.13) a pontos no
interior da placa não oferece em geral dificuldades, deve notar-se que os pontos foram
considerados igualmente espaçados segundo o eixo dos xx e segundo o eixo dos yy. Nos
pontos da fronteira da placa a verificação da equação de equilíbrio implica em geral a
consideração de pontos fictícios fora do domínio da placa.
A equação de equilíbrio deve ser escrita tantas vezes quantas as que correspondem
ao número de pontos da malha por diferenças finitas por forma a obter-se um sistema de
equações com n equações a n incógnitas que são os deslocamentos transversais nos pontos
da malha considerada. A consideração das equações de equilíbrio por si sós não chega para
se obter a resposta da placa, sendo necessário considerar as condições de fronteira.
Vejamos para a placa representada na figura 4.3, as dificuldades que podem surgir na
aplicação da equação de Lagrange em termos de diferenças finitas. Para facilitar vamos
admitir que a placa está simplesmente apoiada ao longo de parte do contorno, seja, por
exemplo o lado B-D e que está encastrada ao longo de outro dos lados, seja por exemplo o
lado C-D. Os outros lados consideram-se livres.
A escrita da equação de Lagrange, não oferece dificuldade, nos pontos 21, 22, 23,
24, 25. Todos os pontos necessários à escrita da referida equação aparecem no interior da
placa ou no seu contorno. Para os pontos 8, 17, 26, 35, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, surge
a necessidade de se considerarem pontos no exterior da placa como se constata da figura
4.4. Esses pontos terão de ser considerados como pontos fictícios no exterior da placa,
sendo os deslocamentos nesses pontos relacionáveis com os deslocamentos nos pontos do
interior da placa por consideração das condições de fronteira.
O Método das Diferenças Finitas na Análise de Placas Finas 4.10
∆ y
x
y
A
C D
B1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31 32 33 34 35 36
37 38 39 40 41 42 43 44 45
∆ x ∆ x
∆ y
Figura 4.3: Malha de diferenças para a placa ABCD.
x
y
A
CD
B1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31 32 33 34 35 36
37 38 39 40 41 42 43 44 45
∆ x ∆ x
∆ y
∆ y
59 58 57 56 55 54 53 52 51
50
49
48
47
46
Figura 4.4: Pontos fictícios.
Isto é equivalente a dizer que são necessárias equações complementares que são as
equações correspondentes às condições de fronteira. O número de equações de fronteira a
serem consideradas é equivalente ao número de pontos fictícios que têm de ser
considerados para que se considere verificada a equação de Lagrange em todos os pontos
do domínio da placa.
O Método das Diferenças Finitas na Análise de Placas Finas 4.11
4.3 Representação por Diferenças Finitas dos Esforços Unitários e das Reacções de
Apoio
Os esforços unitários xyyx M,M,M podem determinar-se a partir do deslocamento
transversal W como foi definido anteriormente, recorrendo às formulas seguintes:
∂∂
+∂∂
−= 2
2
2
2
x yxDM ω
νω
∂∂
+∂∂
−= 2
2
2
2
y xyDM ω
νω
( )yx
1DM2
xy ∂∂∂
−−=ω
ν 4.14
onde yx
,y
,x
2
2
2
2
2
∂∂∂
∂∂
∂∂ ωωω representam as curvaturas, ou deformações generalizadas.
Considere-se o ponto k da malha representada na figura 4.1 e admita-se que são
conhecidos os deslocamentos transversais nos pontos da referida malha, fazendo uso das
fórmulas de diferenças finitas representadas no quadro 4.2, calculam-se as curvaturas no
ponto k fazendo uso das formulas seguintes:
( )21kk1k
k2
2
x
2x ∆
+−=
∂∂ −+ ωωωω
( )21kj
k2
2
y
2y ∆
+−=
∂∂ ωωωω 4.15
( )yx4yx11111j1j
k
2
∆∆
+−−=
∂∂
∂ −+−+ ωωωωω
O Método das Diferenças Finitas na Análise de Placas Finas 4.12
Tendo em conta as expressões (4.15) para as curvaturas os esforços (4.14) podem ser
escritos por diferenças finitas do seguinte modo:
( )( ) ( )
∆
+−+
∆
+−−= −+
21kj
21kk1k
kx y
2
x
2DM
ωωων
ωωω
ou
( )2y∆
ν
( ) DM kx −= ( )2x1
∆
( ) ( )22 y2
x2
∆−+
∆− ν ( )2x
1∆
( )ω
( )2y∆
ν
4.16
A expressão correspondente ao momento yM , no ponto k, é:
( )( ) ( )
∆
+−+
∆
+−−= −+
21kk1k
21kj
ky x
2
y
2DM
ωωων
ωωω
ou seja:
( )2y
1∆
( ) DM ky −= ( )2x∆ν
( ) ( )22 x2
y2
∆−+
∆− ν ( )2x∆
ν
( )ω
( )2y
1∆
4.17
O Método das Diferenças Finitas na Análise de Placas Finas 4.13
O momento torsor Mxy, em função dos deslocamentos nos pontos vizinhos do ponto
k, é:
( ) ( )yx4
1DM 11111j1jxy ∆∆
+−−−−= −+−+ ωωωω
ν c
ou
yx41
∆∆ yx4
1∆∆
−
( )ν−−= 1DM xy ( )ω
yx4
1∆∆
−
yx41
∆∆
4.19
Os esforços transversos e reacções Tx e Ty e as reacções Rx, Ry e Rv também
podem ser calculados a partir do valor da deformada num conjunto discreto de pontos. Os
esforços transversos exprimem-se em função da deformada ω (x, y), do seguinte modo:
∂∂
∂+
∂∂
−= 2
3
3
3
x yxxDT ωω
∂∂
+∂∂
∂−= 3
3
2
3
y yxyDT ωω 4.21
Por diferenças finitas as expressões dos esforços transversos são:
( )2yx21
∆∆
( )2yx2
1∆∆
−
DTx = ( )3x21
∆ ( ) ( )23 yx
1x
1∆∆
−+∆
−
( ) ( )23 yx
1x
1∆∆
+∆
( )3x21
∆−
(ω)
( )2yx21
∆∆
( )2yx2
1∆∆
−
e
O Método das Diferenças Finitas na Análise de Placas Finas 4.14
( )3y21
∆
( ) yx21
2 ∆∆
( ) ( ) yx1
y21
23 ∆∆−
∆−
( ) yx21
2 ∆∆
Ty = D (ω)
( ) yx212 ∆∆
−
( ) ( ) yx1
y21
23 ∆∆+
∆
( ) yx212 ∆∆
−
( )3y21
∆−
As reacções de apoio Rx, Ry e Rv são de acordo com a "Teoria Geral das Placas
Finas", as seguintes:
( )
∂∂
∂−+
∂∂
−= 2
3
3
3
x yx2
xDR ω
νω
( )
∂∂
∂−+
∂∂
−=yx
2y
DR 2
3
3
3
yω
νω
( )
∂∂
∂−−=
xyD12R
2
vω
ν 4.26
As expressões acabadas de determinar podem ser utilizadas para efeitos de obtenção
dos esforços unitários relevantes para efeitos da análise de placas, desde que sejam
conhecidos os deslocamentos num conjunto discreto de pontos. Estas reacções exprimem-
se por diferenças finitas do seguinte modo:
O Método das Diferenças Finitas na Análise de Placas Finas 4.15
2yx2
2∆∆
−ν
2yx2
2∆∆−ν
DR x = ( )3x21
∆
( ) ( )23 yx2
x1
∆∆−
+∆− ν
( ) ( )23 yx
2x1
∆∆−
−∆
ν ( )3x2
1∆
−
(ω)
2yx2
2∆∆
−ν
2yx2
2∆∆−ν
4.27
( )3y2
1∆
( ) yx2
22 ∆∆
−ν ( ) ( )23 xy
2x1
∆∆−
+∆− ν
( ) yx22
2 ∆∆−ν
DR y = (ω)
( ) yx2
22 ∆∆
−−
ν ( ) ( )23 xy
2x1
∆∆−
−∆
ν ( ) yx2
22 ∆∆
−−
ν
( )3y2
1∆−
4.28
e
yx2
1∆∆
−ν
yx2
1∆∆
−ν
Rv = D (ω)
yx2
1∆∆
−ν
yx2
1∆∆
−ν
4.29
Como foi referido anteriormente, a consideração da equação de Lagrange não é
suficiente para efeitos de cálculo do campo de deslocamentos, pelo que se deve considerar
também as condições de contorno.
4.4. Condições de Contorno
O Método das Diferenças Finitas na Análise de Placas Finas 4.16
4.4.1 Bordo Simplesmente Apoiado
No caso do apoio da placa ocorrer segundo uma linha paralela ao eixo dos yy e a
uma distância x = a daquele eixo, para x = a é:
0e0Mx == ω ou 0e0yx
D 2
2
2
2
==
∂∂
+∂∂
ωω
νω
Mas 0y/ 22 =∂∂ ω ao longo da direcção x = a e portanto as condições anteriores
resumem-se a:
0e0x 2
2
==∂∂
ωω 4.30
No caso do apoio da placa ocorrer segundo uma linha paralela ao eixo dos xx e a
uma distância y = b daquele eixo, para y = b é:
My = 0 e ω = 0 ou 0e0yx
D 2
2
2
2
==
∂∂
+∂∂
ωωω 4.31
Mas para y = b é 0x/ 22 =∂∂ ω e portanto estas condições resumem-se a:
0e0y2
2
==∂∂
ωω
Se existirem momentos aplicados ao longo do contorno o momento xM para x = a e
o momento yM para y = b, são iguais aos momentos aplicados.
O Método das Diferenças Finitas na Análise de Placas Finas 4.17
Designe-se por j, k, l os pontos existentes, ao longo do bordo simplesmente apoiado,
quando se considera uma malha, para efeitos de integração da equação de Lagrange, pelo
método das diferenças finitas como se representa na figura 4.7.
l -1 l l+ 1
k -1
j -1
i -1
k k + 1
j j + 1
x
y Bordo Sim plesm ente Apoiado
Figura 4.: Bordos Simplesmente Apoiados
No nó k deve ser, de acordo com as equações (4.30):
ω = 0 ou seja ωk = 0 e 2
2
x∂∂ ω ou seja 02 1kk1k =+− +− ωωω 4.32
donde se conclui que deve de ser:
0k =ω e 1k1k −+ = ωω 4.33
No nó i- 1 deve de ser:
01i =−ω e 1j1h −− = ωω
Os pontos h -1 e k + 1 são pontos fictícios necessários para efeitos do
estabelecimento da equação de Lagrange nos pontos k -1 e j -1 da placa. O uso das
equações (4.32) e (4.33) conjuntamente com a equação de Lagrange nos pontos referidos
fornece as duas equações suplementares que permitem o relacionamento dos deslocamentos
nos nós fictícios com os deslocamentos de pontos no interior da placa.
O Método das Diferenças Finitas na Análise de Placas Finas 4.18
4.4.2 Bordo Encastrado
No caso de se tratar de uma placa com bordos encastrados como se representa na
figura 4.8 e no caso do sistema de eixos ter origem num dos cantos da placa, se a placa
estiver encastrada em todo o contorno, as condições de fronteira são:
k - 4
j - 4
i - 4
j
i
k - 3 k - 2 k - 1 k k + 1
j - 3 j - 2 j - 1
i - 3 i - 2 i - 1
j + 1
x
y
O
∆x
Ox
y
Bordo Encastrado
Figura 4.8: Bordos Encastrados.
ω = 0 e x∂
∂ω
= 0 para x = a e para x = 0
ω = 0 e y∂
∂ω
= 0 para y = b e para y = 0 4.34
Na figura 4.8, os pontos i, j, e k estão sobre um bordo encastrado. Aplicando as
formulas por diferenças finitas às expressões 4.34 obtém-se, para o nó k as condições
seguintes:
O Método das Diferenças Finitas na Análise de Placas Finas 4.19
0k =ω e 1k1k −+ = ωω 4.35
Esta aproximação para a primeira derivada de ω utilizada para efeitos de cálculo do
deslocamento no nó fictício k + 1, é bastante grosseira. Os resultados obtidos considerando
este tipo de aproximação são bastante afastados dos resultados exactos a não ser que se
considerem malhas de diferenças finitas muito refinadas.
Para efeitos de estabelecimento das condições de fronteira de um bordo encastrado é
conveniente considerar-se um polinómio interpolador de ordem superior à primeira para
efeitos de cálculo de x/ ∂∂ω . Consideremos que ω (x + h, y) é definido considerando um
desenvolvimento em série de Taylor do seguinte modo:
( ) ( ) ...x4
hx3
hx2
hx
hxy,hx 4
44
3
33
2
22
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+=+ωωωω
ωω 4.36
Admitindo que x/ ∂∂ω = 0 no ponto k, e considerando que h = ∆x, obtém-se:
( )( )
( )+
∆
−−∆+
∆
+−∆+= +−−−+
+ 31k1k2k
3
21kk1k
2
k1k x
36x
x
22x ωωωωωω
ωω
( )++
∆
+ .........
24x 4
Retendo os três primeiros termos da série de Taylor, obtém-se:
23 2k
1k1k−
−+ −=ω
ωω 4.37 (a)
No caso de se reterem os quatro primeiros termos da série de Taylor, obtêm-se:
( )1k2k3k1k 18631
−−−+ +−= ωωωω 4.37 (b)
O Método das Diferenças Finitas na Análise de Placas Finas 4.20
No caso do bordo ser encastrado podem utilizar-se as equações 4.37 a) e 4.37 b) para
efeitos de cálculo do deslocamento no nó fictício k+1 que combinadas com a equação de
Lagrange podem conduzir às equações necessárias à resolução do problema. Os resultados
obtidos considerando estas aproximações para a primeira derivada do deslocamento
transversal são mais próximas das soluções exactas mesmo quando se consideram malhas
esparsas.
4.4.3. Bordo Livre
No caso do bordo livre e de acordo com a figura 4.9 têm de considerar-se as
condições de fronteira seguinte:
Para x = 0 e para x = a é: Mx = 0 e Rx = 0 ou Mx = MAplicado e Rx= RAplicado Para y = 0 e para y = a é: My = 0 e Ry = 0 ou My = MAplicado e Ry= RAplicado 4.38
k
j
k + 1k - 2 k - 1
j - 2 j - 1 j + 1
xO
j + 2
k + 2
x Bordo Livre
Figura 4.9: Bordo Livre.
Recorrendo às equações (4.17),(4.27),(4.28) e (4.29) podem determinar-se os
deslocamentos dos nós fictícios k+1, k+2 e j+1 e j+2 em função dos deslocamentos
O Método das Diferenças Finitas na Análise de Placas Finas 4.21
transversais dos nós no interior da placa tendo em conta as condições (4.38) ou combinar
estas equações com as equações de Lagrange por forma a obter um sistema de equações
que permita a determinação do campo de deslocamentos.
4.5. Definição da Carga Elementar
No segundo da equação de Lagrange por diferenças finitas aparece a parcela
correspondente a carga que deve ser considerada na área de influência do nó, a qual para o
nó k é designada por pk. No caso da carga aplicada à placa ser uniformemente distribuída e
de intensidade p o valor a atribuir a pk é p qualquer que seja o nó que se esteja a considerar.
No caso de se tratar de uma carga distribuída de intensidade variável è necessário
determinar a área de influência do nó para se poder determinar o valor médio da carga
distribuída no nó k. Na figura 4.10 representam-se áreas de influência no interior e no
contorno de uma malha de diferenças finitas. Essas áreas elementares são:
2xyAyxA kk
∆∆=∆∆= ′
2y
2xA
2yxA kk
∆∆=
∆∆= ′′′′′ 4.39
No caso de se tratar de uma distribuição de cargas qualquer p (x, y) a carga pk deve ser
calculada a partir da resultante de p (x, y) na respectiva área de influência a qual se pode
designar por Rk ou seja:
k
kk
k
kk A
Rp,
AR
p′
′′ ==
k
kk
k
kk A
Rp,
AR
p′′′
′′′′′′
′′
′′′′ == 4.41
O Método das Diferenças Finitas na Análise de Placas Finas 4.22
k k'
k'''
ângulo
bordo
k''
∆x
∆y
Figura 4.10: Áreas de Influência.
No caso de se tratar de uma carga concentrada P num dos pontos k, k', k'' ou k''' determina-
se o valor de pk correspondente substituindo Rk pelo valor ponderado da carga concentrada
no ponto k, k´, k´´, k´´´, nas expressões atrás consideradas.
4.6. Aplicações
4.6.1.Método das Diferenças Finitas na Análise de uma Placa Quadrada Simplesmente
Apoiada
Considere-se uma placa quadrada de lado l e espessura t , sujeita a uma carga
uniformemente distribuída de intensidade p, constituída por um material isotrópico com
módulo de Young E e coeficiente de Poisson ν .A placa é considerada simplesmente
apoiada ao longo do contorno. Para efeitos de análise da placa considere-se um sistema de
eixos Oxyz, sendo o plano Oxy coincidente com o plano médio da placa e o eixo dos zz
normal ao plano médio da placa. A origem do sistema de eixos é considerada coincidente
com o centro da placa. Note-se que para efeitos de utilização das expressões desenvolvidas
no capítulo 2 se considera x = x1, y = x2 e z = x3.
Na Figura 4.11 representa-se a placa pelo respectivo plano médio e considera-se uma
malha por diferenças finitas que corresponde a ∆x = ∆y = l/4 . Note-se que a numeração
O Método das Diferenças Finitas na Análise de Placas Finas 4.23
dos nós na malha de diferenças finitas tem em conta a simetria existente em relação aos
eixos e às diagonais da placa.
6
5
4
5
5
3
2
3
4
2
1
2
5
3
2
3
6
5
4z
l
C D
A B
c
b
ax
y6 5 4 5 6
l
Bordo Simplesmente Apoiado
Figura 4.11: Placa Quadrada.
As condições de contorno que correspondem ao bordo simplesmente apoiado, são:
0654 === ωωω e [ ] [ ] [ ]6n5n4n MMM == =0 4.42
A equação de Lagrange deve ser verificada em todos os pontos da placa, em
particular nos pontos da malha por diferenças finitas. Note-se que nos pontos 4, 5, 6 não é
necessário considerar a equação de Lagrange uma vez que se conhecem os deslocamentos.
As equações que resultam da aplicação da equação de Lagrange aos pontos 1, 2 e 3, são:
D256p483220
4
4321 =+−− ωωωω
D256p244816820
4
52a524312 =+++++−−− ωωωωωωωωω
D256p22224161620
4
3b614523 =+++++−− ωωωωωωωω 4.43
O Método das Diferenças Finitas na Análise de Placas Finas 4.24
onde D representa o modulo de rigidez à flexão Et3/12 (1 - ν2).
As equações anteriores podem ser simplificadas fazendo uso das condições de
fronteira que após impor a condição de momento nulo, são:
0654 === ωωω e 3b2a e ωωωω −=−= 4.44
Substituindo estas condições nas equações (4.43), obtém-se:
D256p83220
4
321 =+− ωωω
D256p16248
4
321 =−+− ωωω
D256p20162
4
321 =+− ωωω
Resolvendo este sistema de equações obtém-se:
Dp00214.0;
Dp00293.0;
Dp00403.0
4
3
4
2
4
1 ≈≈≈ ωωω
O cálculo dos momentos flectores unitários é feito fazendo uso das expressões 4.17,
tendo em conta que ∆x = ∆y = l / 4, ou seja.
[ ] [ ] ( ) ( )[ ]1221y1x 132DMM ωων −+−==
Para n=0.3, o momento no centro da placa é:
[ ] [ ] lp04576.0MM 21y1x ==
O Método das Diferenças Finitas na Análise de Placas Finas 4.25
Os resultados obtidos por diferenças finitas podem ser comparados com os resultados
tabelados do Timoshenko1 para o ponto médio da placa que são:
D/lp00406.0 4=ω e lp0479.0MM 2yx == no caso de ser ν=0.3
constatando-se que o erro cometido no cálculo dos esforços,4.6%, é mais elevado que o
erro cometido no cálculo dos deslocamentos,.0.74%. Os outros esforços são facilmente
calculados uma vez conhecidos os deslocamentos e as tensões também são facilmente
calculadas.
4.6.2.Método das Diferenças Finitas na Análise de uma Placa Quadrada Encastrada
Considere-se uma placa quadrada de lado l e espessura t , sujeita a uma carga
uniformemente distribuída de intensidade p, constituída por um material isotrópico com
módulo de Young E e coeficiente de Poisson ν . A placa é considerada encastrada ao
longo do contorno exterior. A origem do sistema de eixos é considerada coincidente com o
centro da placa. Note-se que para efeitos de utilização das expressões desenvolvidas no
capítulo 2 se considera x = x1, y = x2 e z = x3.
Na Figura 4.12 representa-se a placa pelo respectivo plano médio e considera-se uma malha
por diferenças finitas que corresponde a ∆x = ∆y = l/4 . À semelhança do caso anterior
pode considerar-se simetria e portanto é suficiente considerar no interior da placa três
pontos com deslocamentos distintos, os pontos 1,2 e 3 da figura. Nos pontos do contorno é
conhecido o deslocamento e a inclinação, ou seja:
0654 === ωωω e 0xxx 654
=∂∂
=∂∂
=∂∂ ωωω
1 Stephen P. Timoshenko and S. Woinowsky-Krieger, Theory of Plates and Shells, McGRAW-HILL Book Company.
O Método das Diferenças Finitas na Análise de Placas Finas 4.26
6
5
4
5
5
3
2
3
4
2
1
2
5
3
2
3
6
5
4z
l
C D
A B
c
b
ax
y6 5 4 5 6
l
Bordo Encastrado
Figura 4.12: Placa Encastrada sujeita a uma Carga Uniformemente Distribuida
As equações que resultam da consideração da equação de Lagrange nos pontos 1,2 e 3 são:
D256p483220
4
4321 =+−− ωωωω
D256p244816820
4
52a524312 =+++++−−− ωωωωωωωωω
D256p22224161620
4
3b614523 =+++++−− ωωωωωωωω 4.45
Tendo em conta que as condições de fronteira implicam que seja:
0654 === ωωω e ( ) ( )ωωωωωω 23b12a 61931e619
31
−=−=
tendo em conta as equações (4.37b), o sistema de equações (4.45) toma a forma:
D256p83220
4
321 =+− ωωω
D256p16)3(3.3110
4
321 =−+− ωωω
D256p)6(6.34202
4
321 =+− ωωω
cuja solução é:
Dp000480.0;
Dp000757.0;
Dp001215.0
4
3
4
2
4
1 ≈≈≈ ωωω
O Método das Diferenças Finitas na Análise de Placas Finas 4.27
Pode comparar-se o valor obtido para w com o valor tabelado do Timoshenko que é:
D
4
1p00126.0=ω
O erro cometido é de 3.57%, como se vê para uma malha análoga à malha utilizada no caso
da placa simplesmente apoiada o erro é mais elevado no caso de placa encastrada.
Podem calcular-se também os momentos no ponto médio da placa, que são:
[ ] [ ] ( ) ( )[ ] 21221y1x p01905.0132DMM =−+−== ωων
O valor tabelado no Timoshenko para o momento é 0.0231p 2 , o erro cometido no cálculo
do momento por diferenças finitas é 17.5%, bastante mais elevado que o erro cometido no
cálculo do deslocamento.
Problemas
1. Considere uma placa quadrada de lado a encastrada ao longo do contorno exterior e
submetida à acção de uma carga hidrostática tal que 2p
axp
p 00 += . Designe por E o
módulo de Young e por ν o coeficiente de Poisson. Fazendo uso do método das diferenças
finitas, determine:
a) O deslocamento nos pontos 1, 2 e 3 da malha representada na figura.
6
5
4
5
5
3
2
3
4
2
1
2
5
3
2
3
6
5
4z
a
C D
A B
c
b
ax
y6 5 4 5 6
a
b) Os momentos flectores nos pontos 1 e 4.
c) O momento flector máximo.
O Método das Diferenças Finitas na Análise de Placas Finas 4.28
d) As tensões σx , σy e σxy nos pontos 1 e 4.
e) Compare os resultados obtidos para o deslocamento e momentos no ponto 1 com os
resultados tabelados do Timoshenko . Comente os resultados obtidos por diferenças finitas.
2. Considere uma placa quadrada de lado a, encastrada em três lados e simplesmente
apoiada no outro, como se representa na figura , sujeita a uma carga uniformemente
distribuída de intensidade p. A placa é isotrópica sendo E o modulo de Young e ν o
coeficiente de Poisson. Fazendo uso do método das diferenças finitas, determine:
1
3
5
2
4
6
z
a
C D
A B
c
b
ax
y
a
a) Determine os deslocamentos nos pontos 1, 3 e 5.
b) Determine os momentos unitários nos pontos 1, 3, 5.
c) Determine o momento flector máximo na fronteira da placa.
d) Determine as tensões σx , σy e σxy no ponto 1. Trace os diagramas de tensões segundo
a direcção do eixo dos yy que passa no ponto 1.
3. Considere uma placa quadrada de lado a simplesmente apoiada ao longo do contorno e
sujeita a uma distribuição triangular de carga como se representa na figura. Considere que o
material da placa é isotrópico sendo E o modulo de Young e ν o coeficiente de Poisson.
Fazendo uso do método das diferenças finitas determine:
O Método das Diferenças Finitas na Análise de Placas Finas 4.29
CD
A B
6
a
ax
y
− W2 − W4
z
z
x
p
− W4
− W4
− W6
− W6
− W5 W5
W6
W6
W2
W1
W2
W 4
W 4
W3
a) Os deslocamentos nos pontos indicados na figura.
b) Os momentos unitários no ponto 1. O Diagrama de momentos segundo a direcção do
eixo dos xx que passa no ponto 1.
c) As reacções de apoio.
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