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Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-1
Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
Por: Jorge Rodríguez Hernández, Dipl.-Ing. Profesor del Área de Diseño
Sección de Ingeniería Mecánica Cap. 6 Cinemática del cuerpo rígido A partir de este capítulo estudiaremos la dinámica de los cuerpos rígidos. Ello debido a que en la ingeniería mecánica los mecanismos constituyen parte esencial de las máquinas y a su vez los mecanismos están compuestos por la unión de diversos cuerpos rígidos, varios de ellos usualmente móviles. Empezaremos estudiando la geometría del movimiento de los cuerpos rígidos, es decir, su cinemática. A manera de ejemplo se muestran algunos mecanismos de la técnica mecánica:
(a) Motor de combustión interna.
(b) Bomba de pozo petrolero. (c) Brazo de manipulador industrial.
(d) Vehículo con brazo móvil.
Fig. 6-1
(e) Retroexcavadora.
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-2
Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
Definición: Cuerpo Rígido es aquel en el cual la distancia entre dos puntos cualesquiera es invariable.
6.1 Tipos de movimiento Movimiento de traslación: Si cualquier segmento lineal del cuerpo permanece paralelo a
la dirección original durante el movimiento ya sea en el plano o en el espacio.
Rotación alrededor de un eje fijo: Cualquier punto describe una trayectoria plana alrededor del eje de rotación . Las partículas situadas sobre el eje carecen de velocidad y aceleración. Movimiento plano: Si cualquier punto del cuerpo se mueve en trayectorias planas paralelas a un plano fijo. Basta análisis de la chapa S. Rotación alrededor de un punto Movimiento general: Resulta de la combinación de algunos de los movimientos anteriores.
A
B
x
y
z
A
B
A
B
Fig. 6-2O
Traslación rectilínea
A
B
x
y
z
A
B
A
B
Fig. 6-3O
Traslación curvilínea
x
y
z
P
Fig. 6-4
ω
O
Eje de rotación
x
y
z Fig. 6-5O
P
Chapa S
A
Fig. 6-6
rótula
Fig. 6-7
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-3
Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
6.2 Campos vectoriales equiproyectivos
Definición: Un campo vectorial )(PV
es equiproyectivo si los vectores )( 1PV
y )( 2PV
, que corresponden a los puntos P1 y P2 respectivamente, tienen la misma componente sobre la recta que une dichos puntos.
Es decir, )(PV
es equiproyectivo si : 12
122
12
121
)()()()(PP
PP
PP
PP
rrrrPV
rrrrPV
−−
⋅=−−
⋅
→ )()()()( 122121 PPPP rrPVrrPV
−⋅=−⋅ (6.1)
Ejemplo 6.1: Momento resultante de un sistema de fuerzas.
Sean 1PM
el momento resultante de un sistema general de fuerzas que actúa sobre un cierto cuerpo rígido (no mostrados en la figura) con respecto al punto 1P y 2PM
el
momento resultante del mismo sistema de fuerzas con respecto al punto 2P . ⇒ RrrMM PPPP
×−+= )( 2112 ( R
es la resultante del sistema)
:)( 21 PP rr
−⋅ )(])[()()( 2121211212 PPPPPPPPPP rrRrrrrMrrM
−⋅×−+−⋅=−⋅
entonces: )()( 211212 PPPPPP rrMrrM
−⋅=−⋅ la cual es la condición necesaria y suficiente para que PM
sea un campo vectorial
equiproyectivo.
Condición necesaria y suficiente para que
)(PV
sea campo vectorial equiproyectivo.
0
O x
y
z
)( 1PV
2Pr
)( 2PV
1P
2P1Pr
LFig. 6-8
O x
y
z
1PM
2Pr
1P
2P1Pr
2PM
Fig. 6-9
L
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-4
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Ejemplo 6.2: Campo de velocidades de un sólido rígido en movimiento. Por definición de cuerpo rígido:
drr PP =− 12
(constante) es decir: 2
1212 )()( drrrr PPPP =−⋅−
:/ dtd 0)()(2 1212 =−⋅− PPPP rrrr
0)()( 1212 =−⋅− PPPP rrvv
)()( 121122 PPPPPP rrvrrv
−⋅=−⋅ Pv
∴ es un campo vectorial equiproyectivo.
Ahora podemos concluir que como el campo de velocidades de un cuerpo rígido es un campo vectorial equiproyectivo ⇒ se debe cumplir necesariamente que: )( 1212 PPPP rrvv
−×Ω+= (6.2)
donde Ω
es un cierto vector libre cuya naturaleza será analizada detenidamente a
continuación. Casos particulares:
1) Si Ω
= 0 ⇒ 12 PP vv
=
012 =− PP vv
0)( 12 =− PP rrdtd
=− 12 PP rr
constante es decir, el cuerpo rígido tiene en este caso movimiento de traslación.
Luego, para el movimiento de traslación se cumple que para cualquier instante del movimiento: 12 PP vv
= (P1 y P2 son dos puntos cualesquiera del cuerpo rígido)
y en consecuencia también se cumplirá que: 12 PP aa
=
O x
y
z
1Pv
2Pr
2P1Pr
2Pv
1P
Fig. 6-10
L
d
x
y
z Fig. 6-11O
P1
1Pr
2Pr
P2
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-5
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2) Si existe un punto 0P para el cual 00 =Pv
y =Ω
constante
)( 00 PPPP rrvv
−×Ω+=
)( 0PPP rrv
−×Ω= a) Si tomamos P de tal manera que esté
sobre la recta L Ω
// , entonces 0=Pv
∴ el eje L es el eje de rotación del cuerpo rígido. b) Si tomamos P fuera del eje de rotación: )( 00 PPPP rrvv
−×Ω+=
)( 0PPP rrv
−×Ω=
ρ
ϕsenrr PP )( 0−Ω= = ρΩ
y como ρω=Pv (ver figura 6-11 a) entonces: ω=Ω y finalmente: ω
=Ω
Es decir, se pude reconocer que el vector Ω
no es otra cosa que el vector velocidad
angular. 3) Luego demostraremos de manera más formal que para el movimiento general de un
cuerpo rígido se cumple:
)( ABAB rrvv
−×+= ω
donde ω
es denominado vector velocidad angular del cuerpo rígido y A y B son dos puntos cualesquiera del cuerpo rígido.
Nota: Si observamos )( ABAB rrvv
−×+= ω
se ve que la velocidad de B es a su vez la suma de dos velocidades:
• Traslación: Av
• Rotación alrededor de A: )( AB rr
−×ω
x
y
z
P
Fig. 6-12
O
P0
0Pr
Pr
Ω
L
ω
x
y
zFig. 6-13
O
P0
0Pr
Pr
Ω
P
ω
ρ
L
Ξ
Trayectoria de P
ρP
Pv
Fig. 6-14
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-6
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Ejemplo 6.3: El mecanismo mostrado consta de dos correderas unidas por una varilla rígida de longitud L = 200 cm. Si en el instante mostrado la velocidad del collarín A es de 6=Av cm/s, se pide calcular la velocidad del collarín B. Solución: )0,100(A cm
)3100,0(B cm/s )0,6(=Av
cm/s
),0( BB vv =
cm/s Para los puntos A y B de la varilla rígida, por equiproyectividad se debe cumplir que: )()( ABBABA rrvrrv
−⋅=−⋅
)3100,100(),0()3100,100()0,6( −⋅=−⋅ Bv
Bv3100600 =−
de donde: 32−=Bv cm/s (el signo negativo indica, obviamente, que la componente calculada tiene sentido hacia abajo)
La propiedad equiproyectiva de las velocidades también se puede mostrar de manera gráfica:
Se puede ver claramente que se debe cumplir que:
°=° 60cos30cos AB vv
o sea: 21
23
AB vv =
de donde: 32=Bv cm/s Para el estudiante de ingeniería será fácil de imaginar que esta última posibilidad podría ejecutarse muy rápidamente haciendo una construcción a escala como muestra la figura.
Es decir, si utilizando una escala apropiada de velocidades, dibujamos el dato vA, luego de la construcción podríamos leer, bajo la misma escala, la respuesta para vB. Efectivamente, en la ciencia de los mecanismos todavía se recurre a los procedimientos gráficos para llegar rápidamente hasta respuestas suficientemente aproximadas.
L
60°
30°
x
y
B
A
vAFig. 6-15
L
60°
30°
B
AvA
Fig. 6-16
vA cos 60°
vB
vB cos 30°
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-7
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Ejemplo 6.4: La barra AB gira con velocidad angular 2 rad/s en sentido antihorario. Se pide hallar la velocidad de la corredera E.
Solución: Aún cuando este problema será resuelto analíticamente páginas más adelante,
ahora se pretende mostrar al alumno cuál sería el camino de solución gráfica. • Primero que nada el mecanismo debe estar dibujado a una cierta escala conveniente.
• Elegimos una cierta escala para representar el vector Bv
teniendo en cuenta que su magnitud se calcula mediante: ABvB 2ω= .
• Utilizamos la propiedad equiproyectiva de las velocidades para el cuerpo S3: proyectamos Bv
sobre BC y encontramos B’. Llevamos la distancia BB’ y ubicamos C’
(pues se debe cumplir que '' CCBB = ). Puesto que conocemos la dirección y sentido de la velocidad de C, encontramos fácilmente Cv
.
• Repetimos el procedimiento utilizando la propiedad equiproyectiva de las velocidades del cuerpo S5 y hallamos Ev
.
E
C
D
B
A
S5
S3
S2
S4
ω2
O21
S6
Fig. 6-17
B’
E
C
D
B
A
S5
S3
S2
S4
O21
S6
Cv
Bv
Ev
Fig. 6-18
B’
C’
2ω
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-8
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6.3 Concepto de velocidad angular En la figura se muestra una partícula P moviéndose a lo largo de una cierta trayectoria. En el capítulo 1 hemos hecho el análisis de su movimiento utilizando para ello un sistema fijo de coordenadas (OXYZ en la figura). Ahora intentaremos estudiar su movimiento pero a través de la utilización de un sistema móvil de coordenadas (Axyz en la figura) y que no tiene restricción alguna en cuanto a su movimiento. Es decir, el sistema móvil puede estar girando. Dado que el vector ρ
muestra la posición relativa de la partícula con respecto al sistema
móvil, será de mucha importancia obtener una expresión que nos muestre la relación entre la derivada con respecto del tiempo de dicho vector con respecto al sistema móvil y la derivada del mismo con respecto al sistema fijo.
Si denominamos ji ˆ,ˆ y k a las direcciones unitarias instantáneas de los ejes del sistema móvil, podemos expresar las coordenadas de ρ
con respecto al sistema OXYZ, a través de
sus componentes en las direcciones x, y y z:
kzjyix ˆˆˆ ++=ρ
Para un observador en el sistema OXYZ:
kzkzjyjyixixdtd
O
ˆˆˆˆˆˆ +++++=
= ρρ
es decir: )ˆˆˆ()ˆˆˆ( kzjyixkzjyixdtd
O
+++++=
ρ
→ =
Odtd ρ
+
Adtd ρ
)ˆˆˆ( kzjyix ++ (6.3)
Ahora hay que calcular los vectores: kji ˆ,ˆ,ˆ :
• Cálculo de i : O
idtdi
= ˆ
1ˆˆ =⋅ ii → 0)ˆˆ( =⋅ iidtd → 0ˆˆˆˆ =⋅+⋅ iiii
Entonces: 0ˆˆ =⋅ ii ⇒ ii ˆ ⊥ (6.4)
O X
Y
ZI
J
K
Ax
y
z
i
j
k
Pr
Ar
ρ
P
Fig. 6-19
C
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-9
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análogamente: 0ˆˆ =⋅ jj ⇒ jj ˆ ⊥
0ˆˆ =⋅ kk
⇒ kkˆ ⊥
De (6.4) afirmamos que existe α
tal que ii ˆˆ ×= α con ),,( zyx αααα =
análogamente: jj ˆˆ ×= β con ),,( zyx ββββ =
y también: kk ˆˆ ×= γ
con ),,( zyx γγγγ =
• Determinación de α
: si lo representamos como la suma de tres componentes según los ejes móviles elegidos:
kji zyxˆˆˆ αααα ++=
→ ikjiii zyxˆ)ˆˆˆ(ˆˆ ×++=×= αααα
= jk zyˆˆ αα +− ⇒ αx es arbitraria.
análogamente: yβ y zγ son también arbitrarias.
Además, 0ˆˆ =⋅ ji 0)ˆˆ( =⋅ jidtd
0ˆˆˆˆ =⋅+⋅ jiji
0)ˆ(ˆˆ)ˆ( =×⋅+⋅× jiji βα
0)ˆˆ()ˆˆ( =⋅×+⋅× βα
ijji
0ˆˆ =⋅−⋅ βα
kk
0=− zz βα → zz βα =
y como zγ es arbitraria ⇒ tomemos: zzz βαγ == Análogamente: yyy βγα ==
xxx αγβ ==
Por consiguiente: ωγβα
=== :
en (6.3): =
Odtd ρ
+
Adtd ρ
)ˆˆˆ( kzjyix ×+×+× ωωω
= )ˆˆˆ( kzjyixdtd
A
++×+
ωρ
→ ρωρρ
×+
=
AO dtd
dtd (6.5)
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-10
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Aplicación al cuerpo rígido: Los puntos A y B pertenecen al cuerpo rígido, el cual se mueve según movimiento general.
Sistema móvil Axyz fijo (solidario) al cuerpo rígido
AB rr
−=ρ → ρ
+= AB rr
d/dt: ρ += AB rr donde
Odtd
= ρρ
O
AB dtdvv
+= ρ
de (6.5): ρωρρ
×+
=
AO dtd
dtd
entonces: ρω
×+= AB vv donde ω
es la velocidad angular del cuerpo rígido.
)( ABAB rrvv
−×+= ω (6.6) ecuación que relaciona las velocidades de dos puntos cualesquiera de un cuerpo rígido en cualquier instante de su movimiento. Si observamos esta última expresión veremos que es idéntica a la expresión (6.2) y que, en consecuencia, aquel vector Ω
de dicha expresión no es otro que el vector velocidad
angular. Derivando (6.6): )()( ABABAB rrrraa
−×+−×+= ωω (6.7) αω
= es la aceleración angular del cuerpo rígido. además, como: ρ
==− ABAB rrr /
:/ dtd ρ ==− ABAB rrr /
y como: )(0
AB rrdtd −×=×=
= ωρωρρ
en consecuencia: )( ABAB rrrr −×=− ω
en (6.7): [ ])()( ABABAB rrrraa
−××+−×+= ωωα (6.8)
ecuación que relaciona las aceleraciones de dos puntos cualesquiera de un cuerpo rígido en cualquier instante de su movimiento.
= 0, (pues ρ
se mueve junto con el CR y
con el sistema móvil)
O X
Y
Z
Ax
y
z
Br
Ar
ρ
B
Fig. 6-20
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-11
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Nota: El vector velocidad angular de un cuerpo rígido es único e inherente al movimiento de dicho cuerpo. A continuación lo demostraremos.
Pongamos dos observadores (se mueven con el cuerpo rígido) en A y A’.
Ambos observan el movimiento de P. Supongamos que el observador situado en A lo mira con velocidad angular ω
:
APAP rvv /
×+= ω (6.9)
Supongamos que al mismo tiempo un observador situado en A’ lo mira moverse con velocidad angular 'ω
:
'/' ' APAP rvv
×+= ω (6.10)
de (6.9) y (6.10): '//' '0 APAPAA rrvv
×−×+−= ωω
APAPAA rrvv /'/
×−×′=− ′ ωω (6.11)
El observador situado en A “mira” el movimiento de A′ con ω
:
)( '// APAPAA rrvv
−×+=′ ω
)( '//' APAPAA rrvv
−×−=− ω (6.12)
de (6.11) y (6.12): '///'/ '' APAPAPAP rrrr
×+×−=×−× ωωωω
→ ωω
=′
por consiguiente el vector velocidad ω
es único para todo el cuerpo rígido en cualquier
instante de su movimiento. Del mismo modo podemos asegurar que el vector aceleración angular es único para cualquier instante del movimiento.
O X
Y
Z
Pr
'Ar
P
Fig. 6-21
APr /
'/ APr
A'A
'// APAP rr
−
Ar
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-12
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Ejemplo 6.5: En la figura se muestra un varillaje formado por las barras soldadas BA, DE y DC. Los extremos B y A están unidos a sendas correderas mediante rótulas. El sistema se mueve de tal manera que C toca siempre el plano xy. E es punto medio de AB. Si la corredera A se mueve de tal manera que su velocidad es 27=Av cm/s (constante), se pide calcular para el instante mostrado: a) Las velocidades de B y C y la velocidad
angular ω
del varillaje.
b) Las aceleraciones de B y C y la aceleración angular α
del varillaje. Solución:
a) Ar = (2, 6, 0) cm
Br = (0, 0, 3)
Cr
= (4, 3, 0)
Equiproyectividad sobre AB: ABAABB rvrv
⋅=⋅
)3,6,2()0,0,27()3,6,2(),0,0( −−⋅=−−⋅Bv
18−=Bv cm/s → kvBˆ18−=
cm/s
Además: ABAB rvv
×+= ω
(0, 0, -18) = (27, 0, 0) + 362
ˆˆˆ
−−zyx
kjiωωω
zy ωω 63270 ++= (1) zx ωω 230 −−= (2) yx ωω 2618 +−=− (3)
También: ACAC rvv
×+= ω
)0,,( CyCx vv = (27, 0, 0) + 032
ˆˆˆ
−zyx
kjiωωω
zCxv ω327 += (4) zCyv ω2= (5) yx ωω 230 −−= (6)
3 cm 3 cm
3 cm
2 cm
2 cm
OE
A
B
C
x
y
z
Fig. 6-22
vA
D
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-13
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de (3) y (4): 2=xω y 3−=yω en (2) → 3−=zω ⇒ )3,3,2( −−=ω
rad/s
de (4) y (5): 18=xCv y 6−=yCv ⇒ Cv
= (18, -6, 0) cm/s b) Cálculo de aceleraciones:
)( // ABABAB rraa
××+×+= ωωα (7)
ABr /
⋅ → [ ] ABABABABABAABB rrrrrara ////// )()(
⋅××+⋅×+⋅=⋅ ωωα Aquí: ),0,0( BB aa =
y además )0,0,0(=Aa
reemplazando: → 10533 −=Ba → 351−=Ba cm/s2
de donde: kaBˆ351−=
[cm/s2]
en (7): (0, 0, -351) = 362
ˆˆˆ
−−zyx
kjiααα + (54, 117, -81)
54630 ++= zy αα (8)
117320 +−−= xz αα (9)
8126351 −+−=− yx αα (10)
Además: )( // ACACAC rraa
××+×+= ωωα
)0,,( yCxC aa = 032
ˆˆˆ
−zyx
kjiααα + (-18, 27, -39)
183 −= zcxa α (11) 272 += zcya α (12) 39230 −−−= yx αα (13)
de (10) y (13): αx = 25,67 rad/s2 αy = -58 rad/s2 de (8) ó (9): αz = 20 rad/s2
→ )20,58,67,25( −=α
rad/s2
de (11) y (12): 42=xCa cm/s2
67=yCa cm/s2
→ )0,67,42(=Ca
cm/s2
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-14
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Ejemplo 6.6: La varilla rígida está unida a los collarines mediante rótulas. En el instante mostrado la velocidad de B es ivB
ˆ6=
[cm/s] y su aceleración es iaB
ˆ4=
[cm/s2]. Considerando que la varilla está impedida de girar alrededor de su propio eje axial, se pide hallar: a) Las velocidades Av
y ABω
.
b) Las aceleraciones Aa
y ABα
. Solución: a) Los extremos A y B de la varilla rígida están relacionados por:
)( ABABAB rrvv
−×+= ω (1) Descompondremos el vector velocidad angular ( ABω
) de la varilla AB en dos componentes,
una ( 1ω
) en la dirección de giro libre de AB y que por condición de este problema será nula y la otra ( nω
) contenida en un plano perpendicular a la dirección AB:
nAB ωωω
+= 1 (2)
en (1): )()( 1 ABnAB rrvv
−×++= ωω
)()(1 ABnABA rrrrv
−×+−×+= ωω
→ )( ABnAB rrvv
−×+= ω (3) Sea ),,( zyxn ωωωω =
además: )3;45,3;2()3,0,0()0;45,3;2(/ −=−=−= ABAB rrr
en (3): )3;45,3;2(),,(ˆˆ −×+−= zyxAB kviv ωωω
kjikvi yxxzzyAˆ)245,3(ˆ)32(ˆ)45,33(ˆˆ6 ωωωωωω −+++−−+−=
de donde: 645,33 =−− zy ωω (4)
032 =+ xz ωω … (5)
Ayx v=− ωω 245,3 (6) de (4), (5) y (6): 4=Av cm/s Se necesita una ecuación más: 0)( =−⋅ ABn rr
ω (pues son perpendiculares)
0)3;45,3;2(),,( =−⋅zyx ωωω → 0345,32 =−+ zyx ωωω … (7)
B
Fig. 6-24A
1ω
nω
Plano perpendicular a la dirección AB.
3,45 cm
3 cm
2 cm
O
B
x
y
z
Fig. 6-23
A
vB aB
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-15
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de (4), (5) , (6) y (7): 554,0=xω rad/s
044,1−=yω rad/s → )831,0,044,1;554,0( −−=nω
rad/s
831,0−=zω rad/s
Nota: Por equiproyectividad )()( ABAABB rrvrrv
−⋅=−⋅
→ )3;45,3;2(),0,0()3;45,3;2()0,0,6( −⋅−=−⋅ Av → 4=Av cm/s (ok!) b) Cálculo de aceleraciones:
)( // ABABABABABAB rraa
××+×+= ωωα (8) De manera análoga a lo hecho en velocidades descomponemos la aceleración angular en dos componentes: una a lo largo de AB y la otra contenida en un plano normal a AB:
nAB ααα
+= 1 (9)
en (8): ])[()()( /11/1 ABnnABnAB rraa
×+×++×++= ωωωωαα
)()( //11//1 ABnABnABnABA rrrra
×+××++×+×+= ωωωωαα
)()( //1/ ABnnABnABnA rrra
××+××+×+= ωωωωα
ABnnnnABABnnABABnA rrrrra ///11// )()()()(
ωωωωωωωωα ⋅−⋅+⋅−⋅+×+= Ahora, para seguir adelante tendremos que usar el hecho de que la barra AB no está girando sobre su eje (es decir 01 =ω
y 01 =α
). Entonces:
ABnnABABnAB rrraa /2
1// )(
ωωωα −⋅+×+= (10) Sea ),,( zyxn αααα =
además: iaBˆ4=
y kaa AA
ˆ−=
en (10): )3;45,3;2()445,1()3;45,3;2(),,(ˆˆ4 2 −−−×+−= zyxA kai ααα
de donde: 175,845,33 −=+ zy αα (11)
2,732 =+ xz αα (12)
262,6245,3 =+− yxAa αα (13)
Se necesita una ecuación más: 0)( =−⋅ ABn rr
α (pues son perpendiculares)
0)3;45,3;2(),,( =−⋅zyx ααα → 0345,32 =−+ zyx ααα … (14)
de (11), (12), (13) y (14): 99,19=Aa cm/s2
77,2=xα rad/s2
088,2−=yα rad/s2 → )554,0,088,2;77,2( −−=nα
rad/s2
554,0−=zα rad/s2
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-16
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6.4 Velocidad y aceleración relativas a sistema de referencia en rotación Sistema Axyz: fijo (solidario) al cuerpo rígido.
Se conocen la velocidad y aceleración de A AA av
, y la velocidad y aceleración angulares del sistema móvil (que son las mismas que del cuerpo rígido) son Ω
, α
respectivamente.
El punto P no pertenece al cuerpo rígido y tiene movimiento relativo con respecto a A.
Se requiere determinar la velocidad y la aceleración absolutas del punto P.
ρ
+= AP rr donde kzjyix ˆˆˆ ++=ρ
derivando: O
AP dtdvv
+= ρ
(6.13)
donde: Odt
d
ρ
= )ˆˆˆ( kzjyix
dtd
++
= kzjyixkzjyix
ˆˆˆˆˆˆ +++++
= kzjyix ˆˆˆ ++ )ˆ()ˆ()ˆ( kzjyix ×Ω+×Ω+×Ω+
= kzjyix ˆˆˆ ++ ×Ω+
)ˆˆˆ( kzjyix ++
es decir: Odt
d
ρ
= )ˆˆˆ( kzjyix ++ ρ
×Ω+ (6.14)
en (6.13): += AP vv
)ˆˆˆ( kzjyix ++ ρ
×Ω+
relarr
AP
vv
kzjyixvv )ˆˆˆ( +++×Ω+= ρ (6.15)
denominamos: arrv
= Av
+ ρ
×Ω (6.16)
y además: relv
= kzjyix ˆˆˆ ++ (6.17)
entonces la velocidad de P se puede expresar como:
relarrP vvv
+= (6.18)
velocidad de arrastre: es la velocidad de P como si perteneciera al cuerpo rígido
velocidad relativa: es la velocidad de P relativa al sistema xyz
O X
Y
ZI
J
K
A
x
y
z
i
j
k
Pr
Ar
ρ
P
Fig. 6-25
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-17
Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
derivando (6.15):
)ˆˆˆ( kzjyixaa AP +++×Ω+×Ω+= ρρ + )ˆˆˆ( kzjyix
++
×Ω+×+=
ραAP aa [ )ˆˆˆ( kzjyix ++ ρ
×Ω+ ] + )ˆˆˆ( kzjyix ++ +
+ )ˆ()ˆ()ˆ( kzjyix ×Ω+×Ω+×Ω
correlarr
AP
aaa
kzjyixkzjyixaa )ˆˆˆ(2)ˆˆˆ()( ++×Ω++++×Ω×Ω+×+= ρρα (6.19)
denominamos: arra
= ×Ω+×+
ραAa ( ρ
×Ω ) (6.20)
también: rela
= kzjyix ˆˆˆ ++ (6.21)
y además: cora
= 2 relv
×Ω (6.22)
donde kzjyixvrel
ˆˆˆ
++=
Entonces, la aceleración de P puede ser expresada como:
correlarrP aaaa
++= (6.23) Fue precisamente el célebre científico francés Coriolis1)
, quien pensando en el movimiento en las máquinas se interesó en el problema de los movimientos relativos y de los cambios de sistema de referencia. En 1835 publica su artículo "Mouvement relatif des systèmes de corps", donde analiza cómo debe escribirse la ley de Newton para un sistema de referencia cualquiera, en particular para observadores en rotación respecto de un sistema inercial.
Dice Coriolis que para establecer una ecuación cualquiera del movimiento relativo de un sistema de cuerpos basta con agregar a las fuerzas existentes dos especies de fuerzas suplementarias; las primeras son opuestas a aquellas capaces de mantener los puntos materiales invariablemente ligados a los planos móviles: las segundas están dirigidas perpendicularmente a las velocidades relativas y al eje de rotación de los planos móviles; ellas son iguales al doble del producto de la velocidad angular de los planos móviles multiplicada por la cantidad de movimiento relativo proyectada sobre un plano perpendicular a este eje.
1) Gaspard Gustave de Coriolis (1792-1843). En 1816 aceptó el cargo de tutor en análisis en la napoleónica Ècole
Polytechnique de París, donde había estudiado. Más que a la investigación, se dedicó a la docencia, en la que se destacó por la claridad de sus conceptos. Sostenía que la mecánica debía enunciar principios generales aplicables a la operación de los motores y al análisis del funcionamiento de las máquinas; eran éstas las que le interesaban, no los océanos y la atmósfera. En términos modernos diríamos que Coriolis era más un ingeniero - o un profesor de ingeniería - que un científico.
aceleración de arrastre: es la aceleración que tendría P si perteneciera al cuerpo rígido
aceleración relativa: es la aceleración de P relativa al sistema xyz
aceleración complementaria o de Coriolis
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-18
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6.5 Fórmulas de Poisson 1)
Hemos deducido que:
ρωρρ
×+
=
AO dtd
dtd
donde: kji ˆˆˆ
321 ρρρρ ++=
ω
es la velocidad angular con que se mueve el sistema Axyz.
En particular se puede fijar el sistema móvil a un cuerpo rígido en movimiento:
ρ
+= AB rr
O
AB dtdvv
+= ρ
ρωρ
×+
+=
AA dt
dv
ρω
×+= AB vv
ABAB rvv /
×+= ω
Tomemos P: ivv APˆ×+= ω
ivv APˆ×=− ω
(6.24)
además: irr APˆ=−
derivando: ivv AP ˆ=− (6.25)
de (6.24) y (6.25): ii ˆˆ ×= ω
análogamente: jj ˆˆ ×= ω (6.26)
kk ˆˆ ×= ω
1) Siméon Denis Poisson (nació el 21 de Junio 1781 en Pithiviers, Francia – murió el 25 de Abril de 1840 en
Sceaux, Francia). Sus profesores Laplace y Lagrange llegaron a ser sus amigos de toda la vida. Escribió una memoria de diferencias finitas cuando tenía sólo 18 años, lo cual atrajo la atención de Legendre. Publicó entre 300 y 400 trabajos matemáticos incluyendo aplicaciones a la electricidad y el magnetismo y la astronomía. Su libro “Tratados de mecánica” publicado el 1811 y luego el 1833 fue un trabajo estándar de mecánica por muchos años.
Fórmulas de Poisson
O X
Y
ZI
J
K
i
Pr
Ar
ABr /
=ρ
B
Fig. 6-27
Ax
y
z
jˆ
kˆ
ω
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-19
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Ejemplo 6.7: En el instante mostrado la barra gira con velocidad θ y aceleración θ angulares. Si el collarín tiene velocidad relativa respecto a la barra rvr = y aceleración relativa también respecto a la barra rar = , se pide calcular la velocidad y aceleración del collarín P. Solución: Tomemos un sistema móvil Axy fijo
a la barra AB. Ambos giran con velocidad angular θ
=Ω .
• Movimiento de arrastre: “como si P
perteneciera a la barra AB”, es decir, se analiza el movimiento del punto P’ que coincide con P pero que en realidad pertenece a la barra.
jrvv Parrˆ
' θ
==
irjraa Parrˆˆ 2
' θθ −==
donde: ),(cosˆ θθ seni =
)cos,(ˆ θθsenj −= • Movimiento relativo: “como si el sistema
Axy estuviera fijo”
Se analiza movimiento relativo de P con respecto al sistema móvil.
irvv PPrelˆ
'/
==
iraa PPrelˆ
'/
==
Ahora: relarrP vvv
+=
irjrvPˆˆ
+= θ además : correlarrP aaaa
++=
donde jrirkva relcorˆ2ˆ)ˆ(22 θθ
=×=×Ω=
entonces: jririrjraPˆ2ˆˆ 2 θθθ
++−=∧
⇒ ∧
++−= jrrirraP )2(ˆ)( 2 θθθ
Fig. 6-29
r
AX
Y
y
x
rr
θθ
P
B
θ
Fig. 6-30
AX
Y
y
x
θθ
P'arra
tPa '
nPa '
'Pv
B
θ
Fig. 6-31
AX
Y
y
x
rela
P
B
relv
θ
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-20
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Ejemplo 6.8: En el instante mostrado se sabe que la velocidad y aceleración del collarín B son: ivB
ˆ6= [cm/s] y iaB
ˆ4= [cm/s2]. Sabiendo que la unión entre el
collarín A y la barra es una articulación esférica y entre B y la barra es una horquilla (ver detalles), se pide:
a) Calcular la velocidad Av
de A y la velocidad angular ABω
de la barra AB.
b) Calcular la aceleración Aa
de A y la aceleración angular ABα
de la barra AB. Solución:
El vector unitario 1e es constante: ie ˆ1 =
El vector unitario 2e es normal al plano que forman la barra AB y la recta trayectoria de B:
kjir
ire
BA
BA ˆ756,0ˆ655,0ˆ
ˆˆ2 +=
×
×=
En consecuencia, se puede descomponer el vector velocidad angular en sus componentes en ambas direcciones unitarias:
corrABcorrAB /ωωω
+=
2211 ˆˆ eeAB ωωω +=
kji ˆ756,0ˆ655,0ˆ221 ωωω ++=
a) Cálculo de velocidades:
Tenemos que: BAABBA rvv
×+= ω
de donde: 0534,46 2 =+ ω
0512,13 21 =−− ωω
Av=+− 21 31,1464,3 ωω
Detalles de la corredera B. 3,45 cm
3 cm
2 cm
O
B
x
y
z
Fig. 6-32
vB
A
aB
Fig. 6-33
2e
1e Fig. 6-34
2e
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-21
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= 0, pues 1e es constante
resolviendo: 66,01 =ω rad/s
309,12 −=ω rad/s
4−=Av cm/s → kvAˆ4−=
[cm/s]
finalmente: kjiAB
ˆ989,0ˆ857,0ˆ66,0 −−=ω
[rad/s] b) Cálculo de aceleraciones Como 2211 ˆˆ eeAB ωωω +=
derivando: 22221111 ˆˆˆˆ eeeeAB
ωωωωω +++=
es decir: 222211 ˆˆˆ eeeAB
ωααα ++= Para calcular 2e se puede observar que 2e gira según gire la corredera durante su desplazamiento. En consecuencia, puesto que 2e gira con la misma velocidad angular que la corredera:
22 ˆˆ ee ×Ω= con ω
=Ω 1
es decir: 212 ˆˆ ee ×= ω
ahora:
21
)ˆ(ˆˆ 2122211
ωω
ωωααα
×
×++= eeeAB
entonces: ( ) ( ) kjiABˆ566,0756,0ˆ653,0655,0ˆ
221 −+++= αααα
Sabemos que: )( / BAABABBAABBA rraa
××+×+= ωωα
efectuando 7,424 + 4,584 02 =α
9,703 - 3 1α - 1,512 02 =α
-3,829 + 3,464 1α + 1,31 02 =α resolviendo: 62,12 −=α rad/s2
05,41 =α rad/s2
078,8−=Aa cm/s2 → kaAˆ078,8−=
cm/s2
y finalmente: kjiAB
ˆ791,1ˆ408,0ˆ05,4 −−=α
Fig. 6-35
2e
1e
x'
y'
z'
Sistema móvil zyx ′′′ ,, solidario a la corredera.
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-22
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6.6 Cinemática del movimiento plano del sólido rígido 6.6.1 Generalidades Para el análisis cinemático de un cuerpo rígido en movimiento plano son evidentemente válidas las expresiones (6.6) y (6.8).
• Análisis de velocidades:
ABAB rvv /
×+= ω
con ABAB rrr
−=/
y kωω =
ABAB vvv /
+= (6.27)
con ABAB rv //
×= ω
y ABAB rv // ω= Como ejemplos de aplicación podemos mostrar gráficamente la validez de las expresiones mostradas para el caso de rotación alrededor de un eje fijo (articulación) y para el caso de movimiento plano general: • Análisis de aceleraciones: )( // ABABAB rraa
××+×+= ωωα
pero: ABABAB rrr /// )()()(
ωωωωωω ⋅−⋅=××
→
ABABAB rraa /
2/ ωα −×+=
=0, pues ω
⊥ABr /
tABa /
n
ABa /
Ox
y
ABr
Ar
ABr /
B
Fig. 6-36
αω
O x
y
ABr
Ar
ABr /
B
Fig. 6-37
ωBv
O x
y
ABr
Ar
ABr /
B
Fig. 6-38
ωABv /
Av
Av
ABAB vvv /
+=
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-23
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Entonces, la relación entre las aceleraciones de dos puntos de un mismo cuerpo rígido en movimiento plano está dada por: n
ABt
ABAB aaaa //
++= (6.28)
donde: ABt
AB ra //
×= α es la aceleración relativa tangencial de B con respecto a A y tiene módulo: AB
tAB ra /α= .
y ABn
AB ra /2
/
ω−= es la aceleración relativa normal de B con respecto a A y tiene módulo: AB
nAB ra /
2/ ω=
La aplicación de la expresión (6.28) se puede mostrar gráficamente para el caso de rotación alrededor de un eje fijo o articulación. Del mismo modo se puede mostrar gráficamente para el caso de movimiento plano general que:
)( // ABABAB rraa
××+×+= ωωα
nAB
tABAB aaaa //
++=
donde: AB
tAB ra //
×= α
y ABn
AB ra /2
/
ω−=
O x
ABr
Ar
ABr /
B
Fig. 6-39
tBa
nBa
Ba
αω
O x
y
ABr
Ar
ABr /
B
Fig. 6-40
tABa /
nABa /
ABa /
Aa
Ba
Aa
αω
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-24
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6.6.2 Polos de velocidad o centros instantáneos de rotación Es un punto en el plano de movimiento para el cual la velocidad de un cierto cuerpo rígido en un instante dado es nula. En otras palabras, en cada instante del movimiento, el cuerpo rígido en movimiento plano está girando alrededor del centro instantáneo de rotación (CIR). En la teoría de mecanismos dicho punto también es llamado polo absoluto de velocidad. El centro instantáneo de rotación provee de métodos sencillos para el análisis de velocidades. En lo siguientes ejemplos se pueden observar algunas de sus características geométricas. Como se puede observar, el CIR o polo absoluto de velocidad puede estar dentro o fuera de los límites físicos del cuerpo rígido en movimiento plano. También es importante mencionar que cuando un cuerpo se traslada (fig. 6-45) su polo absoluto se encuentra en el infinito. De acuerdo a la nomenclatura utilizada en la teoría de los mecanismos los polos absolutos también suelen denotarse como 1iO . El subíndice i es el número asignado al eslabón móvil (i = 2, 3, 4 ....) mientras que el número 1 se reserva para el eslabón fijo o bastidor sobre el cual se apoya siempre un mecanismo.
A
B
Fig. 6-41
Bv
Av
A
B
Fig. 6-42
Bv
Av
C (CIR)
C (CIR)
A
B
Fig. 6-43
Bv
Av
C (CIR)
A
B
Fig. 6-44
Bv
Av
C (CIR)
A
B
Fig. 6-45
Bv
Av
C (CIR) en el
infinito
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-25
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Ejemplos:
La articulación impide el movimiento de A y en consecuencia su velocidad será nula en todo instante de movimiento. Luego, allí está localizado el polo absoluto de velocidad 21O del cuerpo S2. La velocidad de cualquier punto P del cuerpo se calculará muy fácilmente con la expresión:
221 || ωPOvP =
El siguiente mecanismo (fig. 6-47) se denomina de cuatro eslabones (tres de ellos móviles) y se desea ubicar el polo absoluto del elemento S3.
Dado que conocemos las velocidades de los puntos B y C, entonces con una construcción sencilla similar a la mostrada en la fig. 6-42 se ubica el polo absoluto
31O . Una vez ubicado dicho polo será muy fácil calcular la velocidad del punto P: 331 || ωPOvP =
Conocidos los polos absolutos de los diferentes eslabones del mecanismo es relativamente sencillo calcular las velocidades angulares de todos los elementos móviles:
2SB ∈ : 221 || ωBOvB =
3SB ∈ : 331 || ωBOvB = Puesto que B pertenece a la vez a los eslabones 2S y 3S entonces podemos igualar las anteriores expresiones:
331221 |||| ωω BOBOvB == → 231
213 ||
|| ωωBOBO
=
Análogamente podemos calcular la velocidad angular 4ω :
3SC ∈ : 331 || ωCOvC =
4SC ∈ : 441 || ωCOvC =
de donde: 441331 |||| ωω COCOvC == → 341
314 ||
|| ωωCOCO
=
A O21
B
DO41
C
2ω
4ω
S2
S3
S4
O31
Bv
Cv
3ω
PPv
Fig. 6-47
P
Fig. 6-46
Pv
O21A
S22ω
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-26
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El siguiente mecanismo es el biela-manivela, el cual es ampliamente utilizado en diversas máquinas, como motores de combustión interna, compresores de émbolo y bombas alternativas. En la siguiente figura se puede apreciar a la izquierda el corte de un cilindro de motor de combustión interna mientras que a la derecha se muestra el esquema cinemática respectivo. Ahora ubicaremos los polos absolutos de los tres elementos móviles:
Está claro que el polo absoluto de la barra 2S está en la articulación A.
El polo absoluto del pistón 4S está en el infinito dado que dicho elemento se traslada a lo largo de su guía (cilindro). Dado que conocemos las velocidades de los puntos B y C, entonces con una construcción sencilla similar a la mostrada en la fig. 6-42 podemos ubicar el polo absoluto 31O . Si queremos calcular la velocidad angular de la biela 3S , entonces procedemos como en el anterior ejemplo:
2SB ∈ : 221 || ωBOvB =
3SB ∈ : 331 || ωBOvB =
→ 331221 |||| ωω BOBOvB == → 231
213 ||
|| ωωBOBO
=
finalmente: 331 || ωCOvC = (evidentemente 04 =ω )
Fig. 6-48
pistón
cilindro
biela
A O21 C2ω
S2S3
S4
O31
Cv
3ω
Fig. 6-49
B
Bv
)(41 ∞O
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-27
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Otro concepto interesante para el análisis de velocidades en sistemas de cuerpos rígidos es el de los polos relativos de velocidad. Se define polo relativo de velocidad como el punto sobre el plano del movimiento en el que dos cuerpos rígidos de la misma cadena cinemática tienen velocidad relativa nula. En otras palabras, en dicho punto ambos cuerpos tienen exactamente la misma velocidad. El ejemplo más sencillo es el de dos cuerpos móviles que están articulados entre sí: Puesto que en la articulación A coinciden un punto que pertenece a 2S y otro que pertenece a 3S y dada la configuración física de una tal articulación, es imposible el movimiento relativo entre ambos, entonces allí se encuentra el polo relativo de velocidad ijO . A continuación mostramos para los mecanismos de cuatro barras y biela-manivela todos los polos que hasta ahora podemos ubicar: Aún cuando este tema de polos relativos no es parte del curso de dinámica sino de un futuro curso de teoría de mecanismos, mostraremos al amable estudiante la utilidad de ellos en el análisis cinemático de los mecanismos 6.6.3 Teorema de Aronhold-Kennedy “En cualquier instante del movimiento plano de tres cuerpos iS , jS y kS los polos relativos jiO , jkO y ikO están alineados”.
SjSi
Oij
Fig. 6-50
A
A O21 C
S2S3
S4
O31
Fig. 6-52
B )(41 ∞OO23
O34
A O21
B
DO41
C
S2
S3
S4
O31
Fig. 6-51
O23O34
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-28
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Hay que hacer notar que una aplicación general al análisis de un mecanismo plano se daría para tres cualesquiera eslabones móviles, aún cuando no haya contacto directo entre ellos. Una aplicación particular se daría si uno de los tres eslabones es el eslabón fijo o estacionario, de tal manera que los polos 1iO , 1jO y jiO están alineados. Otro punto interesante que mostrar es el número de polos existentes en un mecanismo que tiene n eslabones (incluyendo al eslabón fijo o estacionario):
2
)1( −=
nnN En las siguientes figuras se muestran los mecanismos de cuatro eslabones (fig. 6-53), biela-manivela (fig. 6-54) y una inversión del biela—manivela (fig. 6-55) con todos sus polos (seis en total para cada uno de ellos): En la siguiente figura se muestran los quince polos de un cierto mecanismo plano de seis eslabones (de los cuales cinco móviles y uno estacionario). Suponiendo que conocemos la velocidad angular de entrada 2ω
y deseamos calcular la velocidad de salida 6ω
, el polo
relativo 26O será muy útil, pues a partir de su definición podemos escribir lo siguiente: 226 SO ∈ : 2212626 || ωOOvO =
626 SO ∈ : 6612626 || ωOOvO =
A O21
B
DO41
C
S2
S3
S4
O31
Fig. 6-53
O23 O34
O24
A O21 C
S2S3
S4
O31
Fig. 6-54
B )(41 ∞OO23
O34
O24
)(41 ∞O
CO41
AO21
O24
S2
S3
S4
O23
)(34 ∞O
)(34 ∞O
O31
Fig. 6-55
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-29
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de donde: 6612622126 |||| ωω OOOO = → 26126
21266 ||
|| ωωOOOO
=
lo cual significa que, si tenemos el dibujo realizado a escala, bastará con medir las distancias || 2126 OO y || 6126 OO para realizar el cálculo mostrado por esta última expresión y así obtener inmediatamente el valor de 6ω en dicho instante. 6.6.4 Análisis cinemático de los mecanismos planos En general bastará aplicar para cada eslabón o miembro de mecanismo las ecuaciones (6.27) y (6.28). Con dichas ecuaciones podremos calcular las velocidades y aceleraciones de cualquier punto de cualquier eslabón para un determinado instante del movimiento del mecanismo. Adicionalmente dispondremos de las ecuaciones que nos provee la propiedad equiproyectiva de las velocidades y también de algunos conceptos sobre polos.
S5S3
S2
S4
S6
O21
O31
O51 O61
O23
O24 O25
O26
O34
O35
O36O46
O56
)(41 ∞O )(41 ∞O
)(41 ∞O
O45
Fig. 6-56
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-30
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Ejemplo 6.9: En el mecanismo mostrado la barra AB gira con velocidad angular constante ω2 = 2 rad/s en sentido horario. Se pide:
a) Calcular las velocidades angulares 543 , ωωω y y la velocidad Ev .
b) Calcular las aceleraciones angulares 543 , ααα y y la aceleración Ea . Solución: a) Barra S2: )(2 ABAB rrvv
−×+= ω
)ˆ120ˆ50(2 jik +−×−=∧
→ jivBˆ100ˆ240 +=
[mm/s] → 260=Bv mm/s
Barra S3: )(3 BCBC rrvv
−×+= ω
)ˆ140(ˆ)ˆ100ˆ240( 3 ikji ×++= ω
→ jivCˆ)140100(ˆ240 3ω++=
(1)
Barra S4: )(4 DCDC rrvv
−×+= ω
)ˆ40ˆ30(ˆ4 jik +×= ω
→ jivCˆ30ˆ40 44 ωω +−=
(2)
de (1) y (2): 440240 ω−= (3) 43 30140100 ωω =+ (4) de (3) y (4): 23 −=ω rad/s → k23 −=ω
rad/s
64 −=ω rad/s → k64 −=ω
rad/s
en (2): jivCˆ180ˆ240 −=
[mm/s] → Cv = 300 mm/s
E
50
50
C
D
B
A
S5
S3
S2
S4
60 mm 30 50
4080
ω2
Fig. 6-57
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-31
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Barra S5: )(5 CECE rrvv
−×+= ω
= )ˆ50ˆ50(ˆ)ˆ180ˆ240( 5 jikji +×+− ω
→ jivEˆ)50180(ˆ)50240( 55 ωω +−+−=
(5)
y además: ivv EEˆ=
(6)
de (5) y (6): Ev=− 550240 ω (7) 050180 5 =+− ω (8)
resolviendo: 6,35 =ω rad/s → ∧
= k6,35ω
[rad/s]
60=Ev mm/s → ivEˆ60=
[mm/s]
b) Análisis de aceleraciones Barra S2: )()( 2
22 ABABAB rrrraa
−−−×+= ωα = )ˆ120ˆ50(4 ji +−− → jiaB
ˆ480ˆ200 −=
[mm/s2] → 520=Ba mm/s2 Barra S3: )()( 2
33 BCBCBC rrrraa
−−−×+= ωα
)ˆ140()ˆ140()ˆ480ˆ200( 233 iikji ωα −×+−=
∧
→ jiaCˆ)480140(ˆ360 3 −+−= α
(9)
Barra S4: )()( 2
44 DCDCDC rrrraa
−−−×+= ωα
= )ˆ40ˆ30(36)ˆ40ˆ30(ˆ4 jijik +−+×α
→ jiaCˆ)144030(ˆ)108040( 44 −+−−= αα
(10)
de (9) y (10): 184 −=α rad/s2 → ∧
−= k184α
rad/s2
71,103 −=α rad/s2 → ∧
−= k71,103α rad/s2 en (9) o en (10): jiaC
ˆ4,1979ˆ360 −−=
Barra S5: )()( 2
55 CECECE rrrraa
−−−×+= ωα
= )ˆ50ˆ50()ˆ50ˆ50(ˆ)ˆ4,1979ˆ360( 255 jijikji +−+×+−− ωα
jiaEˆ)504,2627(ˆ)501008( 55 αα +−+−−=
(11)
pero iaa EE
ˆ=
(12)
de (11) y (12): 55,525 =α rad/s2 → k55,525 =α
rad/s2
4,3635−=Ea mm/s2 → iaEˆ4,3635−=
mm/s2
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-32
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• Análisis de velocidades mediante el método de equiproyección de velocidades
Barra S3: ),(cos αα senvv BB =
)cos,( ββsenvv CC =
135
=αsen y 1312cos =α
54
=βsen y 53cos =β
entonces:
=
135,
1312
BB vv
−=
53,
54
CC vv
Equiproyectividad en barra S3: )()( BCCBCB rrvrrv
−⋅=−⋅
)0,1(14053,
54)0,1(140
135,
1312
⋅
−=⋅
CB vv
es decir: CB vv54
1312
=
y como: 2602 =⋅= ABvB ω mm/s → 300=Cv mm/s Equiproyectividad en barra S5: )()( CEECEC rrvrrv
−⋅=−⋅
⋅=
⋅
−
22,
22250)0,1(
22,
22250
53,
54
EC vv
y como 300=Cv mm/s → 60=Ev mm/s
E
C
D
B
A
S5
S3
S2
S4
ω2
O23
O21O31
βα
45°
O41
O35
O34
O16 )(∞
O51
O45
β
S6
Cv
Bv
α
Fig. 6-58
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-33
Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
Conociendo la posición de los polos absolutos del mecanismo podemos ahora escribir con mucha facilidad:
2130260
331
33133 =→==→=→∈ ωωωBOvBOvSB B
B rad/s
650300
441
44144 =→==→=→∈ ωωωCO
vCOvSC BC rad/s
6,367,16
605
5155155 =→==→=→∈ ωωω
OEvEOvSE E
E rad/s
• Solución gráfica mediante equiproyectividad de velocidades El mecanismo tiene que estar dibujado a escala una cierta escala y del mismo modo habrá que elegir una escala para las velocidades. tenemos que 2602 == ABvB ω mm/s Del diagrama dibujado se lee: 300≅Cv mm/s
60≅Ev mm/s Luego se puede continuar como en la página anterior para, con la ayuda de los polos, determinar las velocidades angulares de las barras restantes.
Escala del mecanismo: 1:2 Escala de velocidades : 10 mm/s <> 1 mm
E
C
D
B
A
S5
S3
S2
S4
ω2
O21
S6
Cv
Bv
Ev
Fig. 6-59
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-34
Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
• Análisis de velocidades y aceleraciones mediante la solución gráfica de ecuaciones vectoriales
a) Análisis de velocidades
Barra S3: BCBC vvv /
+= aquí: vB = 260 mm/s CDvC ⊥
BCv BC ⊥/
donde BCv BC 3/ ω= del gráfico : 300=Cv mm/s
280/ =BCv mm/s BC3
!ω=
de donde: 23 =ω rad/s Barra S5: CECE vvv /
+=
del gráfico: 60≅Ev mm/s
250/ ≅CEv mm/s y como ECv CE 5/ ω=
→ 7,70
250/5 ==
ECv CEω = 3,55 rad/s
El mecanismo está dibujado a escala 1:2 ⇒ podemos tomar cualquier distancia que sea necesaria.
CEv /
Cv
Ev
CE⊥
Fig. 6-62 Escala de velocidades:
1 mm <> 10 mm/s
Escala de velocidades: 1 mm <> 10 mm/s
E
C
D
B
A
S5
S3
S2
S4
ω2 = 2 rad/s
Fig. 6-60
Bv
BCv /
Cv
CD⊥
BC⊥
Fig. 6-61
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-35
Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
Para finalizar: del primer gráfico se obtuvo 300=Cv mm/s
Como DCvC 4ω= → 50
3004 ==
DCvCω → 64 =ω rad/s
b) Análisis de aceleraciones Barra S3: n
BCt
BCBC aaaa //
++= n
Bct
BCtB
nB
tC
nC aaaaaa //
+++=+
donde: 1800: 2
4 == CDaa nC
nC ω
mm/s2
CDaa tC
tC 4: α=
520: 22 == ABaa n
BnB ω
mm/s2
0: 2 == ABaa tB
tB α
CBaa tBC
tBC 3// : α=
560: 23// == BCaa n
BC
nBC ω mm/s2
Del gráfico:
767=tCa mm/s2
→ 50
7674 ==
CDat
Cα 4,15≅ rad/s2
1433/ =t
BCa mm/s2
→ 1401433/
3 ==CBat
BCα 3,10≅ rad/s2
C
D
nCa
C
D
tCa
Fig. 6-63
B
A
nBa
B
A
tBa
Fig. 6-64
nBCa /
B C
tBCa /
B C
Fig. 6-65
nBCa /
tBCa /
O
nCa
tCa
nBa
Fig. 6-66 Escala de aceleraciones:
1 mm <> 3 mm/s2
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-36
Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
Barra S4: nCE
tBECE aaaa //
++=
nCE
tCE
tC
nCE aaaaa //
+++=
donde: ECat
CE 5/ α= y además: ECan
CE25/ ω=
)7,70()6,3( 2/ =nCEa
→ 41,916/ =nCEa mm/s2
Ahora podemos construir el siguiente gráfico: De donde podemos leer los siguientes resultados: 3540≅Ea mm/s2
3617/ ≅tCEa mm/s2
de donde: 7,70
3617/5 ==
ECat
CEα
→ 2,515 =α rad/s2
Escala de aceleraciones: 1 mm <> 30 mm/s2
Ea
nCa
tCa
O
tCEa /
nCEa /
Fig. 6-67
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-37
Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
6.6.5 Movimiento de rodadura sin deslizamiento (rodadura pura) • Análisis de velocidades: Los cuerpos S1 y S 2 se mueven en el plano de tal
manera que no hay deslizamiento relativo en la zona de contacto.
Sean los puntos en contacto: 11 SP ∈ y 22 SP ∈ Sean las direcciones: “t”, tangente común a las
superficies en contacto; y “n” normal común. Si separamos ambos cuerpos:
Recordando que se trata de cuerpos rígidos nP
nP vv
21>
Por otro lado nP
nP vv
21< , pues ello significaría que los
cuerpos se están separando. Entonces, físicamente sólo es posible que: n
PnP vv
21=
La condición de rodadura pura implica que tP
tP vv
21=
(no puede haber movimiento relativo en esa dirección) Así, n
PnP vv
21= y t
PtP vv
21= implican que:
21 PP vv
= . (6.29)
Nota: Examinemos el siguiente caso particular en que uno de los cuerpos es fijo (S1 en
la figura).
Entonces: 00!
21=→= PP vv
2P∴ es el polo absoluto de velocidades de S2. Así podemos calcular muy fácilmente la velocidad de cualquier punto del disco, como por ejemplo: 2222 || ωPOvO = 22 || ωPQvQ =
Fig. 6-68
O2
S2
O1
S1
P2
P1
n
t
1ρ
2ρ2ω
1ω
O2S2
P2
O1
S1
P1
t
t
n
2Pv
1Pv
tPv 1
tPv 2
nPv 2
nPv 1
ω2
ω1
Fig. 6-69
P2
S2
n
t
ω2
S1
Fig. 6-70
P1
O2
Q
Qv
2Ov
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-38
Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
Algo similar ocurre en los siguientes casos de rodadura pura: En ambos casos, para rodadura pura o sin deslizamiento, se cumple que:
00!
21 =→= PP vv
2P∴ es el polo absoluto de velocidades de S2.
• Análisis de aceleraciones
En el instante mostrado el cuerpo S2 rueda con velocidad angular 2ω y aceleración angular
2α . Determinaremos la aceleración del punto P2.
Puesto que se trata de rodadura pura 02
=Pv
entonces: 222ρω=Ov (6.30)
Además, como O2 y P2 pertenecen a S2:
nPO
tPOPO aaaa
222222 //
++= (6.31)
Tomaremos las direcciones dadas por t y n como ejes cartesianos x e y. Examinemos uno a uno los vectores de la expresión (6.31):
• 2Oa
: jaiaa n
OtOO
ˆˆ222
+=
(6.32)
Como la trayectoria de O2 es circular (con radio ρ1 + ρ2) y conocemos su velocidad en el instante en análisis, ver expresión (6.30), entonces:
21
222
)30.6(
21
22 )(
2 ρρρω
ρρ +=
+= On
Ova → ja n
Oˆ
21
22
22
2 ρρρω
+−=
(6.33)
• 2Pa
: En cuanto a la aceleración del punto de contacto P2, podemos afirmar que,
como la característica del movimiento es que es de rodadura pura, entonces tP
tP aa
12= y como 00
21=→= t
PtP aa
• tPOa
22 /
: jkra POt
POˆˆ
22/2/ 2222ραα ×=×=
→ ia t
POˆ
22/ 22ρα−=
(6.34)
• nPOa
22 /
: 2222 /
22/ PO
nPO ra
ω−= → ja n
POˆ
222/ 22
ρω−=
(6.35)
P2
S2
n
t
ω2
S1
P1
tS1
P2
S2
n
ω2
P1
Fig. 6-71
Fig. 6-72
O2
ρ2
S2ω2α2
O1
ρ1
S1
ρ 1 + ρ 2
P2
P1
Trayectoria de O2
n
t
Fig. 6-73
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-39
Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
Reemplazando estos vectores en la ecuación (6.31):
jijaijia nP
tO
ˆˆ)ˆˆ0()ˆˆ( 22222
21
22
22
22ρωρα
ρρρω
−−+=+
−
• En la dirección i : ia tO
ˆ222
ρα−=
(6.36)
El signo menos indica que tOa
2
tiene sentido hacia la izquierda. Ello debido a que 2α
es
en sentido antihorario, ver expresión (6.34). Está claro que si 2α
fuera en sentido horario entonces t
Oa2
tendría sentido hacia la derecha.
• En la dirección j : 222
21
22
22
2ρω
ρρρω
−=+
− nPa
de donde: 21
22
22
2222 ρρ
ρωρω
+−=n
Pa → 21
21222 ρρ
ρρω
+=n
Pa
es decir: na nP ˆ
21
21222 ρρ
ρρω
+=
(6.37)
y como jaiaa nP
tPP
ˆˆ222
+=
, → naa nPP ˆ
21
212222 ρρ
ρρω+
== (6.38)
Nota: En el caso particular de que el cuerpo estático S1 fuera plano:
Observando la expresión anterior de la línea anterior a la (6.37) concluimos, al hacer ∞=1ρ , que:
→ na nP ˆ2
222
ρω=
y como el movimiento es de rodadura pura:
012
== tP
tP aa
→ naaa nP
tPP ˆ2
22222
ρω=+=
Si observamos que la trayectoria del centro O2 es rectilínea entonces la aceleración de dicho punto debe estar íntegramente contenida en dicha recta, es decir, en la dirección t . Para calcularla utilizamos la expresión (6.36): 222
ρα=tOa (→)
Análogamente se puede mostrar para los dos posibles casos cóncavo–convexo que: • Para el caso de la figura 6-75:
naa nPP ˆ
21
212222 ρρ
ρρω−
== (6.39)
P2
S2
n
t
ω2
S1
α2
O2
trayectoria de O2
ρ2
Fig. 6-74P1
O2
ρ2
S2ω2
α2
ρ1 - ρ
2
P2
Trayectoria de O2
n
t
O1
ρ1
S1
P1Fig. 6-75
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-40
Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
• Para el caso de la figura 6-76:
naa nPP ˆ
12
212222 ρρ
ρρω−
==
(6.40)
Es importante notar que en este caso hemos tomado el sentido del vector unitario hacia abajo.
Podemos generalizar los tres casos estudiados:
naP ˆ21
21222 ρρ
ρρω±
=
(6.41)
+ : Contacto convexo doble - : Contacto cóncavo – convexo
Finalmente, para determinar la aceleración de O2 :
na nO ˆ
21
222
22 ρρρω+
−=
(contacto convexo doble)
na nO ˆ
21
222
22 ρρρω−
=
(contacto cóncavo – convexo)
y además: 22222 /2/ PO
tPO
tO raa
×== α
Si en general los cuerpos Si y Sj se mueven según rodadura pura:
2ji
ji
jinPP
nPP ijji
aa ωρρ
ρρ±
== (6.42)
donde jiij ωωω −=
0=tPP ji
a , (pues rodadura pura). Es decir, en el movimiento de rodadura pura sólo hay aceleración normal entre los puntos en contacto.
O2
ρ2
S2ω2α2
ρ2 - ρ
1
P2
Trayectoria de O2
n
t
O1
ρ1
S1
P1
Fig. 6-76
Si SjPi
Pjn
PjPia / n
PiPja /
Fig. 6-77
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-41
Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
Ejemplo 6.10: La manivela S2 del mecanismo mostrado en la figura gira en sentido antihorario con velocidad angular constante 22 =ω rad/s. Para el instante mostrado se pide:
a) Calcular la velocidad angular de la barra S5 y la velocidad de la corredera E.
b) Calcular la aceleración angular de la barra S5 y la aceleración de la corredera E. Solución: • Análisis de velocidades:
Barra S2:
+×=×+= jikrvv ABAB
ˆ22ˆ
225,12ˆ2/2
ω
jivBˆ68,17ˆ68,17 +−=
cm/s
Barra S3: BCBC rvv /3
×+= ω
−×++−= jikji ˆ
21ˆ
2325ˆ)ˆ68,17ˆ68,17( 3ω
jivCˆ)65,2168,17(ˆ)5,1268,17( 33 ωω +++−=
(1)
P4 es polo absoluto de velocidad de la rueda S4: 04 =Pv
ijkrkvv PCPCˆ10ˆ10ˆˆ
444/44 ωωω −=×=×+=
(2)
de (1) y (2): 43 105,1268,17 ωω −=+− (3)
065,2168,17 3 =+ ω (4)
resolviendo (3) y (4): 82,03 −=ω rad/s → k82,03 −=ω rad/s
79,24 =ω rad/s → k79,24 =ω rad/s
ahora, jijikrvv PDPDˆ93,20ˆ9,27)ˆ10ˆ5,7(ˆ79,24/44 +−=+×=×+=
ω
E
C D
B
A
S5
S3
S2
S4
45° OB = 12,5 cmBC = 25 cmDE = 25 cmCD = 7,5 cmr = 10 cmR = 30 cm
O1
R
S1
P1
2ω
r
P4
60°30°
Fig. 6-78
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-42
Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
Barra S5:
+×++−=×+= jikjirvv DEDE
ˆ23ˆ
2125ˆ)ˆ93,20ˆ9,27( 5/5 ωω
jivEˆ)5,1293,20(ˆ)65,219,27( 55 ωω ++−−=
(5)
como: jvv EEˆ=
(6)
de (5) y (6): 065,219,27 5 =−− ω (7)
Ev=+ 55,1293,20 ω (8)
resolviendo (7) y (8): 29,15 −=ω rad/s → k29,15 −=ω
rad/s
82,4=Ev cm/s → jvEˆ82,4=
cm/s
• Análisis de aceleraciones: Barra S2: ABABAB rraa /
22/2
ωα −×+=
jiji ˆ36,35ˆ36,35ˆ22ˆ
225,12)2( 2 −−=
+−=
Barra S3: BCBCBC rraa /23/3
ωα −×+=
−−
−×+−−= jijikji ˆ
21ˆ
2325)82,0(ˆ
21ˆ
2325ˆ)ˆ36,35ˆ36,35( 2
3α
jiaCˆ)65,2196,26(ˆ)5,1292,49( 33 αα +−++−=
(9)
Rueda S4: jjjrR
rRaPˆ38,58ˆ
1030)10()30()79,2(ˆ 22
44 =+
=+
= ω
cm/s2
Ahora, jjkjrraa PCPCPCˆ10)79,2(ˆ10ˆˆ38,58 2
44/244/44 −×+=−×+= αωα
jiaCˆ46,19ˆ10 4 −−= α
(10)
de (9) y (10): 43 105,1292,49 αα −=+− (11)
46,1965,2196,26 3 −=+− α (12)
resolviendo (11) y (12): 346,03 =α rad/s2 → k346,03 =α
rad/s2
56,44 =α rad/s2 → k56,44 =α
rad/s2
ahora: 4/244/44 PDPDPD rraa
ωα −×+=
)ˆ10ˆ5,7()79,2()ˆ10ˆ5,7(ˆ56,4ˆ38,58 2 jijikj +−+×+=
→ jiaDˆ74,14ˆ98,103 +−=
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-43
Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
Barra S5: DEDEDE rraa /25/5
ωα −×+=
+−
+×++−= jijikji ˆ
23ˆ
21)25()29,1(ˆ
23ˆ
21)25(ˆ)ˆ74,14ˆ98,103( 2
5α
→ jiaEˆ)5,1229,21(ˆ)65,2178,124( 55 αα +−+−−=
(13)
como: jaa EEˆ=
(14)
de (13) y (14): 065,2178,124 5 =−− α
Ea=+− 55,1229,21 α
de donde: 76,55 −=α rad/s2 → k76,55 −=α rad/s2
29,93−=Ea cm/s2 → jaEˆ29,93−=
cm/s2
6.6.6 Movimiento relativo con respecto a sistema de referencia en rotación En esta sección utilizaremos las expresiones deducidas en el acápite 6.4 (movimiento relativo con respecto a sistema de referencia en rotación) para el caso de movimiento plano. En la siguiente figura se muestra un cuerpo rígido en movimiento plano general. P es una partícula que no pertenece a dicho cuerpo y tiene movimiento relativo con respecto a él. En la práctica dicha partícula P puede ser un pin soldado a otra barra (no mostrada en esta figura). Deseamos aplicar las expresiones mencionadas para analizar el movimiento de P:
Si fijamos un sistema móvil Axy al cuerpo, la expresión (6.18) establece que:
relarrP vvv
+=
donde: arrv
es la velocidad de arrastre (velocidad de P como si perteneciera al cuerpo rígido),
relv
es la velocidad relativa (velocidad de P relativa al sistema Axy).
Para aceleraciones, la expresión (6.23) establece que:
correlarrP aaaa
++=
donde: arra
es la aceleración de arrastre (aceleración que tendría P si perteneciera al cuerpo rígido),
rela
es la aceleración relativa (aceleración de P relativa al sistema Axy),
cora
es la aceleración complementaria o de Coriolis.
O X
Y
I
J
A x
y
i
j
Pr
Ar
ρ
Fig. 6-79
P
ωTrayectoria relativa de P con respecto al CR
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-44
Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
A manera de aplicación analizaremos el siguiente mecanismo de corredera:
Dadas la velocidad angular 2ω y la aceleración angular 2α se pide hallar 3ω y 3α . Sean 22 SP ∈ y 33 SP ∈ tal que coinciden en el instante mostrado.
a) Fijando el sistema móvil xy al cuerpo S3: • Análisis de velocidades: relarrP vvv
+=
2 (6.43)
donde: arrv
es, por definición, la velocidad que tendría P2 si perteneciera a S3.
→ 3Parr vv
= (6.44)
y además: relv
es la velocidad relativa de P2 con respecto al sistema móvil elegido.
→ 32 / PPrel vv
= (6.45)
Entonces: 3232 / PPPP vvv
+= (6.46)
A B
P
S2
S3
Fig. 6-80
2ω2α
3ω3α
A B
P
S2
S3
x
yY
X
2ω2α
3ω 3α
Fig. 6-81
2Pv
3Pv3/2 PPv
Fig. 6-84 B
S2
O21
P2
2Pv
2ω2α
Fig. 6-82
A
P3
S3
O31
3Pv
3ω 3α
Fig. 6-83
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-45
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• Análisis de aceleraciones: teniendo en cuenta el sistema móvil elegido tenemos que: correlarrP aaaa
++=
2 (6.47)
arra
es la aceleración que tendría P2 si perteneciera a S3.
3Parr aa
=
tP
nPP aaa
333
+= (6.48)
con: 31/3233 OP
nP ra
ω−=
31/333 OPtP ra
×= α
donde: 331233 POan
P ω=
33133POat
P α=
32 / PPrel aa
= aceleración de P2 relativa al sistema móvil.
iaa PPPPˆ
3232 // =
(6.49) Puesto que dicha trayectoria relativa es una recta ⇒ la dirección de rela
es la del eje móvil
x en este caso. La componente de Coriolis será:
relsistcor va
×Ω= 232 /32 PPv
×= ω (6.50)
Ahora, de (6.47): corPPPP aaaa
++=3232 / (6.51)
En esta última ecuación vectorial la dos incógnitas escalares son 3α y 3/2 PPa puesto que
2Pa
es conocida:
tP
nPP aaa
222
+= (6.52)
con: 21/2222 OP
nP ra
ω−=
21/222 OPtP ra
×= α
donde: 221
222
POanP ω=
22122POat
P α= Ahora podemos resolver (6.51) y encontraremos 3α y
32 / PPa .
32 / PPv
3ω
cora
Fig. 6-87
A
P3
S3
ω3
α3
O31
tPa 3
nPa 3
Fig. 6-85
A
P3
S3
O31
nPPa 3/2
Fig. 6-86
B
S2
ω2
α2
O21
P2
tPa 2
nPa 2
Fig. 6-88
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-46
Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
b) Fijando el sistema móvil xy al cuerpo S2: • Análisis de velocidades: relarrP vvv
+=3
23 /23 PPPP vvv
+= (6.53)
De esta última ecuación vectorial se pueden calcular: 23 / PPv y 3ω .
• Análisis de aceleraciones: correlarrP aaaa
++=3 (6.54)
donde: arra
: como si P3 perteneciera a S2.
→ tP
nPParr aaaa
222
+== (6.55)
con: 221222 POan
P ω=
22122 POatP α=
y también: rela
es la aceleración relativa de P3 con respecto al sistema móvil Bxy.
→ 23 / PPrel aa
=
Aquí la trayectoria relativa es una curva y es tal que no tiene curvatura constante, como se muestra en la siguiente figura, la cual es obtenida por el método de inversión del mecanismo, método que será estudiado en un próximo curso de mecanismos.
A B
P
S2
S3
x
y
2ω2α
3ω3α
Fig. 6-89
B
P
A
Trayectoria de P3 con respecto al
sistema móvil Bxy
iP3
iiP3
iiiP3
ivP3vP3
viP3
iA
iiA
iiiA
ivA
vA
viA
Fig. 6-90
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-47
Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
Entonces, y a diferencia de la anterior solución, dado que la trayectoria relativa es curvilínea, la aceleración relativa tendrá componentes normal y tangencial:
tPP
nPPPP aaa
232323 ///
+= (6.56)
donde: nPPa
23 /
es la aceleración normal relativa de P2 con respecto al
sistema móvil y está dirigida hacia el centro de curvatura
de la trayectoria relativa y su módulo es ρ
2/
/23
23
PPnPP
va = .
iaa t
PPt
PPˆ
2323 // =
es la aceleración tangencial relativa de P2 con respecto al sistema móvil y está dirigida en la dirección tangencial a la curva trayectoria relativa.
La componente de Coriolis será:
23 /2 PPsiscor va
×Ω= (6.57)
donde: 2ω
=Ω sist Sin embargo, al reemplazar todos estos vectores en la ecuación vectorial (6.54) aparecerá una nueva dificultad, a diferencia de la primera solución, y que consiste en que el radio de curvatura ρ es difícil de determinar. De hecho se necesitan técnicas avanzadas en mecanismos para realizar el cálculo, como por ejemplo el Método de Bobillier. Así, esta segunda posibilidad de solución se nos cierra ante esta dificultad, por lo que, en lo que concierne a nuestro curso, para solucionar un problema de mecanismos en que esté incluida una unión entre barras mediante corredera, el sistema móvil deberá ser fijado a la barra a lo largo de la cual se desliza dicha corredera. Así podremos utilizar la técnica explicada en la primera solución.
B
P
A
Trayectoria relativa de P3 con respecto al
sistema móvil Bxy
C
nPPa 2/3
t
PPa 2/3
ρ
Fig. 6-91
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-48
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Ejemplo 6.11: En el mecanismo mostrado la manivela gira en sentido horario con velocidad angular constante 52 =ω rad/s. Se pide calcular: a) Las velocidades angulares 54 ωω y y la
velocidad Cv .
b) Las aceleraciones angulares 54 αα y y la aceleración Ca .
Solución: De la geometría mostrada:
275,0=φsen 447,0=βsen 316,0=γsen 962,0cos =φ 894,0cos =β 949,0cos =γ
a) Análisis de velocidades Tomemos un sistema móvil fijo al cuerpo S4.
Podemos escribir: relarrA vvv
+=2 es decir: 4/242 AAAA vvv
+= (1)
)cos,(22 ββsenvv AA =
(2)
donde 21222 OAvA ω= = 5 (220) = 1100 mm/s
es decir: )0894;447,0(11002 =Av
o también hubiera sido posible:
21222 OAA rv
×= ω
además: ),(cos44 γγ senvv AA =
(3)
donde 41444 OAvA ω=
)316,0;949,0(44 AA vv =
o también hubiera sido posible:
41444 OAA rv
×= ω
O21
A4S2
S4
ω2
S5
A2
O41
B
600
900
100
100
200
350
φ
β
γ
C
S3
Fig. 6-92
O21
ω2A2
β
β2Av
Fig. 6-93
A4
4Av
O41
γ
ω4
B
Fig. 6-94
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-49
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Podemos escribir: )cos,(4/24/2 γγsenvv AAAA −=
(4)
es decir: )949,0;316,0(4/24/2 −= AAAA vv
Reemplazando estos vectores en la ecuación (1) y desarrollando obtenemos: 7,491316,0949,0 4/24 =− AAA vv (5)
4,983949,0316,0 4/24 =+ AAA vv (6) de donde, resolviendo: 023,7774 =Av mm/s
514,7774/2 =AAv mm/s
y finalmente de (3): 229,146,632023,777
4414
44 =→== ωω
OAvA rad/s
Para el cuerpo S5: )(5 BCBC rrvv
−×+= ω (7)
),(cos γγ senvv BB =
donde 414 BOvB ω= )68,948(229,1=
93,1165=Bv mm/s
es decir: )316,0;949,0(93,1165=Bv
Además: k55 ωω =
y también: ),(cos/ φφ senrrr BCBC −=−
es decir: )275,0;962,0(364 −=− BC rr
O41
γ
B
4/2 AAv
Fig. 6-95
Bv
O41
γ
ω4
B
Fig. 6-96
φC
Fig. 6-97
Cv
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-50
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Reemplazando estos vectores en la ecuación (7) y desarrollando obtenemos:
)275,0;962,0()364(ˆ)316,0;949,0(3,1165)0,1( 5 −×+= kvC ω
de donde: 51,10087,1105 ω+=Cv (8) y 5988,351235,3680 ω+= (9)
resolviendo: 046,15 −=ω rad/s 15,1001=Cv mm/s b) Análisis de aceleraciones (sistema móvil fijo a S4)
Cálculo de las componentes de la aceleración de A2:
correlAA aaaa
++= 42
corAAAA aaaa
++= 4/242
corAAtA
nA
tA
nA aaaaaa
+++=+ 4/24422
(10)
),(cos22 ββ senaa n
AnA −=
con: 212222 OAan
A ω= = 5500 mm/s2
entonces )447,0;84,0(55002 −=nAa
)5,2458;4917( −= [mm/s2]
Además: )cos,(22 ββsenaa tA
tA =
con: 021222 == OAatA α → )0,0(2 =t
Aa
Notar que también se podrían haber utilizado las ecuaciones: 21/2222 OA
nA ra
×−= ω
21/222 OAtA ra
×= α
Cálculo de las componentes de la aceleración de A4: )cos,(44 γγ −= senaa n
AnA
donde 414244 OAan
A ω= )46,632()229,1( 2=
= 955,294 mm/s2 4
nAa
)949,0;316,0(294,955 −= ),(cos44 γγ senaa t
AtA =
donde 41444 OAatA α= (11)
= )316,0;949,0(4tAa [mm/s2]
Notar que también se podrían haber utilizado las ecuaciones: 41/4244 OA
nA ra
×−= ω
41/444 OAtA ra
×= α
O21
ω2A2
β
β
tAa 2
nAa 2
Fig. 6-98
A4
tAa 4
O41
γ
ω4
B
nAa 4
γ
Fig. 6-99
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-51
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Como ya se explicó, la trayectoria relativa del punto A2 con respecto al sistema móvil elegido es una línea recta, entonces la aceleración relativa 4/2 AAa
está contenida en
dicha línea recta. Suponiendo el sentido mostrado para 4/2 AAa
:
)cos,(4/24/2 γγsenaa AAAA −=
)949,0;316,0(4/2 −= AAa [mm/s2] (12) La aceleración de Coriolis será: 4/2422 AArelsistcor vva
×=×Ω= ω
)949,0;316,0(514,777)ˆ229,1(2 −×−= k )92,603;66,1813(= [mm/s2]
Reemplazando vectores en (10) y desarrollando: 4/24 316,0949,047,2801 AA
tA aa −= (13)
4/24 949,0316,087,2155 AAtA aa −=− (14)
de donde: 44,19764 =t
Aa mm/s2 85,29294/2 −=AAa mm/s2
de (11): 123,346,63244,1976
414
44 ===
OAat
Aα rad/s2
Ahora analizamos el movimiento del cuerpo S5:
BCBCBC rraa /25/5
ωα −×+= (15) BCBC
tB
nBC rraaa /
25/5
ωα −×++= donde: )0,( CC aa =
además: )cos,( γγ −= senaa n
BnB
donde 41
24 BOan
B ω= )68,948()229,1( 2= 925,1432= mm/s2
O41
γ
B
4/2 AAa
Fig. 6-100
cora
ω4
4/2 AAv
Fig. 6-101
φC
B
Ca
Fig. 6-102
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-52
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entonces )949,0;316,0(925,1432 −=nBa
[mm/s2] además: ),(cos γγ senaa t
BtB =
donde: 414 BOa tB α= )18,948(125,3= 06,2963= mm/s2
entonces: )316,0;949,0(06,2963=tBa
[mm/s2] Hagamos k55 αα =
tenemos )1,100;168,350(/ −=BCr
Reemplazando en (15) y separando las ecuaciones escalares: 51,10006,2883 α+=Ca
517,35041,3140 α+−= Resolviendo: 9,05 =α rad/s2
15,2973=Ca mm/s2 )(→ A continuación se muestra otro camino de solución que consiste en resolver gráficamente las ecuaciones cinemáticas planteadas. Aún cuando esta técnica no está contenida en el programa de nuestro curso de dinámica, sin embargo, desde el punto de vista didáctico, resulta útil que el estudiante tome conocimiento de ella. En un curso posterior de Mecanismos se volverá a hablar más formalmente de este tema. a) Análisis de velocidades: 4/242 AAAA vvv
+= (1’)
donde 11002 =Av mm/s Del diagrama de velocidades: 7804/2 =AAv mm/s 7704 =Av mm/s y como 41444 OAvA ω=
→ 22,15,632
7704 ==ω rad/s
Escala de velocidades: 1 mm <> 25 mm/s
2Av
4Av
4/2 AAv
Fig. 6-103
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-53
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Ahora: 1160)950(22,1414 =→== BB vBOv ω mm/s Para el eslabón S5:
BCv
BCBC rrvv/
)(5 −×+= ω
CBv BC ⊥/
Se construye el resto del diagrama del de velocidades, de donde: 1000=Cv mm/s 390/ =BCv mm/s
y como 071,1364390
555/ =→=→= ωωω CBv BC rad/s
b) Análisis de aceleraciones: Expresión (10): corAA
tA
nA
tA
nA aaaaaa
+++=+ 4/24422 (2’)
donde: 55002 =nAa mm/s2 (dirección y sentido conocidos)
02 =tAa
29,9554 =nAa mm/s2 (dirección y sentido conocidos)
tAa 4 desconocida en módulo (sólo dirección es conocida.)
4/2 AAa desconocida en módulo (sólo dirección es conocida.)
56,1911=cora mm/s2 (ya calculada, dirección y sentido OK.) del gráfico: 19004 =t
Aa mm/s2
29304/2 =AAa mm/s2
02,3630
1900
414
44 ===
OAat
Aα rad/s2
Escala de velocidades: 1 mm <> 25 mm/s
Escala de aceleraciones: 1mm < > 100mm/s2
Cv
Bv
BCv /
Fig. 6-104
nAa 4
nAa 2
4/2 AAa
cora
tAa 4
Fig. 6-105
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-54
Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
Expresión (15):
nBC
tBC a
BC
a
BCBC rraa//
/25/5 ωα −×+= (3’)
BCBC
tB
nBC rraaa /
25/5
ωα −×++= en donde: 05,141241
24 == BOa n
B ω mm/s2
2865414 == BOatB α mm/s2
tBCa / desconocida en módulo (sólo dirección es conocida)
53,41725/ == CBan
BC ω mm/s2 del gráfico: 350/ =t
BCa mm/s2 2800=Ca mm/s2 de donde finalmente:
96,0005,364
350/5 ===
CBat
BCα rad/s2
Nota: Como puede observarse, los resultados del método gráfico son bastante
aproximados a los obtenidos mediante métodos analíticos, sin embargo dicha aproximación, la cual dependerá de los cuidadosos que seamos al realizar el trabajo gráfico, es suficientemente aceptable para fines prácticos de la ingeniería. La gran ventaja del método gráfico radica en su rapidez.
-----------------------
Escala de aceleraciones: 1 mm < > 50 mm/s2
Ca
tBa
nBCa /
nBa
tBCa /
Fig. 6-106
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-55
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Ejemplo 6.12: Un cilindro de radio 3,0=r m rueda sin deslizar sobre una superficie de radio 6,0=R m. En la posición mostrada tiene velocidad angular 22 =ω rad/s y aceleración angular
2,02 =α rad/s2 (ambas en sentido antihorario). Si la barra AB gira con velocidad angular constante 34 =ω rad/s en sentido antihorario, se pide determinar para esa posición, la velocidad y la aceleración angulares de la barra ED, la cual mide 0,5 m. Solución: • Análisis de velocidades: Sea P2 el punto del cilindro en contacto con el piso. Cilindro S2: ijkrvv PCPC
ˆ60,0ˆ30,0ˆ22/22 −=×=×+=
ω m/s
también: jiikirvv CECEˆ4,0ˆ60,0ˆ20,0ˆ2ˆ60,0/2 +−=×+−=×+=
ω
Barra S3:
+×++−=×+= jikjirvv EDED
ˆ53ˆ
545,0ˆ)ˆ4,0ˆ6,0( 3/333 ωω
→ jivDˆ)4,04,0(ˆ)3,06,0( 333 ωω ++−−=
(1)
Sea D4 sobre la barra S4 que coincide en el instante en estudio con D3 sobre la barra S3. Tomando un sistema móvil que se mueve solidario a la barra S4 podemos escribir:
4/343 DDDrelarrD vvvvv
+=+= (2)
donde: jikrvv BDBDˆ2,1)ˆ4,0(ˆ3/444 −=−×=×+=
ω
y además: ivv DDDDˆ
4/34/3 =
→ ivjv DDDˆˆ2,1 4/33 +−=
(3)
Igualando (1) y (3): 4/333,06,0 DDv=−− ω
2,14,04,0 3 −=+ ω
Resolviendo el sistema: 43 −=ω rad/s → k43 −=ω
rad/s
6,04/3 =DDv m/s → iv DDˆ6,04/3 =
m/s
BDS3 34
S4A
S1
0,2 m 0,4 m0,4 m
S2
E
r
P2
C
P1
2ω
Fig. 6-107
2α
R
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-56
Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
• Análisis de aceleraciones: Cilindro S2: 2/
22/2 PCPCPC rraa
ωα −×+= (4)
donde jjjrR
rRaa nPP
ˆ4,2ˆ3,0
)3,0()6,0()2(ˆ 22222 ==
−== ω
m/s2
en (4): jijjkjaCˆ2,1ˆ06,0)ˆ3,0()2(ˆ3,0ˆ2,0ˆ4,2 2 +−=−×+=
(5)
también: CECECE rraa /22/2
ωα −×+=
)ˆ2,0()2(ˆ2,0ˆ2,0)ˆ2,1ˆ06,0( 2 iikji −×++−=
de (5): jiaEˆ24,1ˆ86,0 +−=
Barra S3: EDEDED rraa /
23/33
ωα −×+=
→ )ˆ6,0ˆ8,0()5,0()4()ˆ6,0ˆ8,0(5,0ˆ)ˆ24,1ˆ86,0( 233 jijikjiaD +−+×++−= α
jiaDˆ)4,056,3(ˆ)3,026,7( 333 αα +−+−−=
(6)
Para el sistema móvil solidario a la barra S4 podemos escribir: corDDDcorrelarrD aaaaaaa
++=++= 4/343 (7)
donde: iirraa BDBDBDˆ6,3)ˆ4,0()3( 2
/424/444 =−−=−×+=
ωα
además: iaa DDDDˆ
4/34/3 =
y también: jikvva DDrelsistcorˆ6,3)ˆ6,0()ˆ3(222 4/34 =×=×=×Ω=
ω
en (7): jiaia DDDˆ6,3ˆˆ6,3 4/33 ++=
(8)
de (6) y (8): 4/33 6,33,026,7 DDa+=−− α
6,34,056,3 3 =+− α Resolviendo el sistema:
9,173 =α rad/s2 → k9,173 =α
rad/s2
23,164/3 −=DDa m/s2 → ia DDˆ23,164/3 −=
m/s2
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-57
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6.7 Movimiento general del sólido rígido 6.7.1 Generalidades En la siguiente figura se muestra un cuerpo rígido en movimiento general tridimensional. Si tomamos un sistema móvil Axyz con origen en el punto A del cuerpo y tal que es solidario al cuerpo, entonces podemos afirmar lo siguiente para el movimiento del punto P:
• Si P también pertenece al sólido rígido:
APv
APAP rvv
/
/×+= ω
nAP
tAP a
AP
a
APAP rraa
//
)( // ××+×+= ωωα
• Si el punto P no pertenece al sólido y en
consecuencia tiene movimiento relativo con respecto al sistema móvil, entonces podemos afirmar (ver acápite 6.4) lo siguiente:
relarrP vvv
+= (6.58)
donde: arrv
es la velocidad de arrastre, es decir la velocidad de P como si
perteneciera al cuerpo rígido. En otras palabras, es la velocidad del punto P’ que pertenece al sólido y que en el instante estudiado coincide con P. Es decir: 'Parr vv
=
relv
es la velocidad relativa de P con respecto al sistema móvil Axyz, es decir: '/ PPrel vv
=
en consecuencia: PPPP vvv ′′ += /
(6.59)
De manera análoga podemos afirmar para la aceleración de P lo siguiente:
correlarrP aaaa
++= (6.60)
donde: arra
es la aceleración de arrastre, es decir la aceleración de P como si perteneciera al cuerpo rígido. En otras palabras, es la aceleración del punto P’ que pertenece al sólido y que en el instante estudiado coincide con P: 'Parr aa
=
rela
es la aceleración relativa de P con respecto al sistema móvil Axyz, es decir: PPrel va ′= /
cora
es la aceleración complementaria o de Coriolis: cora
= 2 relv
×Ω en consecuencia: corPPPP aaaa
++= ′′ / (6.61)
O X
Y
Z
A
x
y
z
Pr
Ar
ρ
P
Fig. 6-108
P’
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-58
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6.7.2 Composición de velocidades y aceleraciones angulares
Alrededor de ejes concurrentes Tomaremos un sistema fijo: OXYZ Sea además un sistema móvil Oxyz el cual gira con velocidad angular 1ω
“acompañando” al
cuerpo de tal manera que éste gira, además, con velocidad angular 2ω
relativa al sistema móvil.
Estudiemos el movimiento del punto P que pertenece al cuerpo rígido. Tomaremos además un punto P’, coincidente con P en el instante en estudio, pero que se mueve solidario al sistema móvil.
Sea ω la velocidad angular del cuerpo (con respecto al sistema fijo)
rvv OP
×+= ω → rvP
×= ω (6.62)
Considerando el sistema móvil elegido:
relarrP vvv
+= (6.63)
donde: arrv
es la velocidad de arrastre, es decir, la velocidad que tendría P si perteneciera al sistema móvil. Entonces: rvv Parr
×== 1' ω
y: relv
es la velocidad relativa, es decir, la velocidad de P con respecto al sistema móvil. Es decir: rvv PPrel
×== 2'/ ω
en (6.63): rrvP
×+×= 21 ωω r
×+= )( 21 ωω (6.64)
de (6.62) y (6.64): 21 ωωω
+= (6.65)
Análisis de aceleraciones: sea α
la aceleración angular del cuerpo (con respecto al
sistema fijo)
)( rraa OP
××+×+= ωωα
)( rraP
××+×= ωωα (6.66)
por otro lado: correlarrP aaaa
++= (6.67)
donde: arra
es la aceleración de arrastre, es decir, la aceleración que tendría P si perteneciera al sistema móvil:
⇒ )( 111' rraa Parr
××+×== ωωα
también: rela
es la aceleración relativa, es decir, la aceleración de P con respecto al sistema móvil:
⇒ )( 222'/ rraa PPrel
××+×== ωωα
z
X
Y
Z
x
y
O
1ω
2α
1e2e
P
2ω
1α
Fig. 6-109
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-59
Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
y además: cora
es la aceleración complementaria o de Coriolis:
⇒ )(22 21 rva relsistcor
××=×Ω= ωω
en (6.66): )(2)()( 21222111 rrrrraP
××+××+×+××+×= ωωωωαωωα
ordenando: ])[()()]([ 21212121 rraP
×+×++××++= ωωωωωωαα (6.68) de (6.66) y (6.68):y recordando la expresión (6.65): )( 2121 ωωααα
×++= (6.69)
Una manera más corta de llegar a esta última expresión hubiera sido la siguiente:
recordando que: 2211 ˆˆ ee ωωω +=
derivando: 22221111 ˆˆˆˆ eeee ωωωωωα +++==
)ˆ(ˆˆ 2122211 eee ×++= ωωαα
(pues 2e gira con velocidad 1ω
)
→ )( 2121 ωωααα
×++= la cual es igual a la expresión anteriormente encontrada. • Composición para ejes que se cruzan
• OXYZ es sistema fijo. • Barra doblada gira con velocidad angular 1ω
y aceleración angular 1α
.
• Axyz gira fijo a barra doblada. • 1ω
es la velocidad angular de la barra doblada.
• 2ω es la velocidad angular del disco relativa a Axyz.
• 1α
es la aceleración angular de la barra doblada.
• 2α
es la aceleración angular del disco relativa a Axyz.
• ω
es la velocidad angular absoluta del disco y α
la correspondiente aceleración angular.
z
X
Y
Z
x
y
O
1ω
2ω1e
2e
Ar
Pr
PA APr /
1α
2α
Fig. 6-110
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-60
Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
Analizaremos el movimiento de un punto P del disco. P y A ∈ disco: )( APAP rrvv
−×+= ω (6.70)
pero A ∈ varillaje: )(1 OAOA rrvv
−×+= ω
en (6.70): )(1 APAP rrrv
−×+×= ωω (6.71)
Por otro lado: relarrP vvv
+= (6.72) si tomamos un punto P’ coincidente con P y que es solidario al sistema móvil elegido: )(1' OPOParr rrvvv
−×+== ω
)(2'/ APPPrel rrvv
−×== ω
en (6.72): )(21 APPP rrrv
−×+×= ωω
arreglando: )()( 21 APAPA rrrrr
−×+−+×= ωω
ordenando: )()( 211 APAPA rrrrr
−×+−×+×= ωωω
→ )()( 211 APAP rrrv
−×++×= ωωω (6.73) de (6.71) y (6.73): 21 ωωω
+= (6.74)
o si se quiere: 2211 ˆˆ ee ωωω +=
Ahora: [ ])()( APAPAP rrrraa
−××+−×+= ωωα (6.75)
donde: )( /11/1 OAOAOA rraa
××+×+= ωωα
y además: 22221111 ˆˆˆˆ eeee ωωωωωα +++==
)ˆ(ˆˆ 2122211 eee ×++= ωωαα
→ )( 2121 ωωααα
×++= (6.76)
Ahora tenemos todos los términos de la expresión (6.75) y podemos evaluar Pa
: )]([)()]([ 111 APAPAAP rrrrrra
−××+−×+××+×= ωωαωωα
donde: 21 ωωω
+=
)( 2121 ωωααα
×++=
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-61
Pontificia Universidad Católica del Perú Sección de Ingeniería Mecánica - Área de Diseño
Nota: otra manera de evaluar la aceleración Pa
hubiera sido utilizando la expresión correlarrP aaaa
++= para lo cual recurrimos nuevamente a P’:
así: )( 111' PPParr rraa
××+×== ωωα
también: )]([)( 222'/ APAPPPrel rrrraa
−××+−×== ωωα
y además: )]([22 21 APrelsistcor rrva
−××=×Ω= ωω Luego habrá que comparar esta expresión para P con la aceleración para el mismo punto relacionada con la aceleración del punto A que también pertenece al disco: )]([)( APAPAP rrrraa
−××+−×+= ωωα
expresión en la que ya hemos mostrado que 21 ωωω
+= . Es evidente que se logrará una expresión para la aceleración angular total del disco igual a la obtenida líneas arriba. • Composición de rotaciones para ejes paralelos
• OXYZ es sistema inercial. • Barra doblada gira con
velocidad angular 1ω
y aceleración angular 1α
.
• Axyz gira fijo a barra doblada. • 1ω
y 1α
son la velocidad y
aceleración angulares de la barra doblada, respectivamente.
• 2ω
y 2α
son la velocidad y aceleración angulares del disco relativas al sistema móvil Axyz, respectivamente.
• ω
es la velocidad angular absoluta del disco y α
la correspondiente aceleración angular.
Es evidente que en este caso obtendremos para la velocidad angular del disco:
21 ωωω
+= (6.77) y para la aceleración angular del mismo:
)( 2121 ωωααα
×++=
la cual, debido a que en todo instante 1ω
y 2ω
son paralelas se reducirá a:
21 ααα
+= (6.78)
z
X
Y
Z
x
y
O
1ω
2ω
1e2e
AP
Ar
Pr
APr /1α
2α
Fig. 6-111
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-62
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Ejemplo 6.13:
Una rueda de radio r gira con velocidad constante 2ω con respecto a un eje horizontal, el cual gira a su vez alrededor de un eje vertical con una velocidad constante 1ω . Se pide hallar la velocidad y aceleración del punto P del aspa en el instante mostrado.
a) Solución usando sistema móvil Axyz
fijo al eje (barra.)
Velocidades: )( APAP rrvv
−×+= ω
donde AOA rvv
×+= 1ω
)ˆˆ(ˆ1 KLIK +×= ω
J1 ω=
además: 21 ωωω
+=
= IK ˆˆ21 ωω +
)ˆcosˆ()ˆˆ(ˆ211 KrJsenrIKJvP θθωωω +−×++=
KsenrjrIsenrvPˆˆ)cos(ˆ
2211 θωθωωθω −−+=
aceleraciones: )]([)( APAPAP rrrraa
−××+−×+= ωωα
donde: )( 111 AAOA rraa
××+×+= ωωα
JK ˆˆ11 ωω ×= IaA
ˆ21
ω−=→
)ˆˆ( 21 IKdtd
dtd ωωωα +==
iiKK
ˆˆˆˆ2211 ωωωω +++=
)ˆ(ˆˆ1221 iIK ×++= ωωαα
i21 ωω ×=
IK ˆˆ21 ωω ×=
J21 ωωα =
Detalle de la rueda z
X
Y
Z
x
y
O
1ω
2ω
1e
2eA
P
Ar
Pr
θ
L
Fig. 6-112
θ
y
z
P
r
A
ω2
Fig. 6-113
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-63
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++−×+−= )ˆcosˆ(ˆˆ21
21 KrJsenrJIaP θθωωω
)]ˆcosˆ()ˆˆ[()ˆˆ( 21221 KrJsenrIKIK θθωωωω +−×+×++
KrJsenrIraPˆcosˆ)(ˆ)cos2( 2
222
2121
21 θωωωθθωωω −+++−=
b) Solución usando sistema móvil Axyz fijo al eje y utilizando el concepto de movimiento
con respecto a sistema de referencia en rotación. Velocidades: relarrP vvv
+=
arrv : velocidad de P fijo al eje (barra) OPOarr rvv /1
×+= ω
]ˆ)cos(ˆˆ[1 KrLJsenrI θθω ++−×=
IsenrJvarrˆˆ
11 θωω += relv
: velocidad de P con respecto al sistema móvil
APrel rv /2
×= ω
)ˆcosˆ(ˆ2 KrJsenrI θθω −−×=
KsenrJr ˆˆcos 22 θωθω −−= KsenrJrIsenrvP
ˆˆ)cos(ˆ2211 θωθωωθω −−+=
aceleraciones: correlarrP aaaa
++=
donde )( /11/1 OPOPOarr rraa
××+×+= ωωα
)ˆˆ( 111 IsenrJ θωωω +×=
JsenrI ˆˆ 21
21 θωω +−=
)( /22/2 APAPrel rra
××+×= ωωα
)ˆˆcos( 222 KsenrJr θωθωω −−×=
KrJsenr ˆcosˆ 22
22 θωθω −=
relsistcor va
×Ω= 2
)ˆˆcos(2 221 KsenrJr θωθωω −−×=
Ir ˆcos2 21 θωω= KrJsenrIraP
ˆcosˆ)(ˆ)cos2( 22
22
2121
21 θωωωθθωωω −+++−=
Cap. 6 Cinemática del Cuerpo Rígido Pág. 6-64
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c) Solución sistema móvil fijo a la rueda y utilizando el concepto de movimiento con respecto a sistema de referencia en rotación.
21 ωω
+=Ω sist
relarrP vvv
+=
donde )()()( /1 APOAOAPAarr rrrvrrvv
−×+×+=−×+= ωωω
)ˆcosˆ()()]ˆˆ(ˆ[ 211 KrJsenrKLIK θθωωω +−×+++×=
KsenrJrIsenrvarrˆˆ)cos(ˆ
2211 θωθωωθω −−+=
además: 0=relv
entonces: KsenrJrIsenrvP
ˆˆ)cos(ˆ2211 θωθωωθω −−+=
correlarrP aaaa
++=
donde: )( // APAPAarr rraa
××+×+= ωωα
pero: JIKdtd
dtd ˆ)ˆˆ( 2121 ωωωωωα =+==
y además: )( /11/1 OAOAOA rraa
××+×+= ωωα
KrJsenrIraarr
ˆcosˆ)(ˆ)cos2( 22
22
2121
21 θωωωθθωωω −+++−=
0=rela
02 =×Ω= relsistcor va
(pues )0=relv
entonces: KrJsenrIraP
ˆcosˆ)(ˆ)cos2( 22
22
2121
21 θωωωθθωωω −+++−=
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