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5-1
CAPITULO V
1 SISTEMAS DE CONTROL DIGITAL
Figura 1.1. Sistema de control Muestreado
Figura 1.2 Diagrama de funcionamiento de un Multiplexer
En la figura 1.2, se presenta el diagrama de funcionamiento del multiplexer, los
cuales pueden se clasificados de la siguiente forma :
5-2
Conformación Analógica : secuenciales
Conformación de circuitos integrados o digitales : acceso aleatorio
• Secuenciales - Discos rotativos
• Circuitos Integrados (CIs) - 5 x 103 muestras/seg
• Digitales
2 OPCIONES DE CONTROL
Las opciones de control se clasifican en Funcionales y Estructurales.
Las opciones de control Funcionales pueden clasificarse en :
• Adquisición de datos
• Control supervisorio
• Control digital
Las opciones de control Estructurales se clasifican como :
a) Centralizado : I/O
• Local
• Remota
b) Distribuido :
• Estrella
• Anillo
• Multicaida
c) Jerárquico
5-3
2.1 OPCIONES FUNCIONALES
2.1.1 SISTEMA DE ADQUISICIÓN DE DATOS:
Los sistemas de adquisición de datos, se fundamentan en el uso de tarjetas de
conversión de datos de forma analógica a forma digital (D/A)
En la figura 1.3 se presenta el esquema de un sistema donde a través de una tarjeta
A/D se adquieren datos para ser procesados por una computadora.
Figura 1.3 Sistema de adquisición de datos
2.1.2 SISTEMA DE CONTROL SUPERVISORIO:
Figura 1.4 Esquema de un sistema de control supervisorio
En el esquema de la figura 1.4, se observa la adición de la tarjeta Digital analógico,
que permite retornar información al sistema para realizar acciones de control.
5-4
2.1.3 SISTEMA DE CONTROL DIGITAL DIRECTO
Figura 1.5. Esquema de un sistema de control digital directo
En el esquema de la figura 1.5, se observa como el computador actua directamente
sobre el proceso, adquiriendo y retornando información al proceso, a través de las tarjetas
A/D y D/A.
2.2 OPCIONES ESTRUCTURALES
2.2.1 CENTRALIZADO
CARACTERISTICAS:
• Equipo computacional de un solo ambiente
• Una unidad central de procesamiento
• Toda la señal de procesamiento llega al cuarto-control
Interfaz : local o remota.
VENTAJAS:
• Concentración de la información de toda la planta
5-5
• Uso eficiente equipo periférico
• Mejora ambiente de trabajo
• Fácil detección de falla del equipo
DESVENTAJAS:
• Habilitación espacio físico
• Limitación de expansión :
−física
−equipos
• Confiabilidad del sistema
• Abundancia de información ⇒ Errores de operación
Equipos característicos: (hasta 1974 ):
Honeywell (serie GE 4000)
IBM 1800, CDC 1700, FOXBORO
Serie SIGMA SDS y XEROX
Serie ARGUS de la FERRANTI
Sistema ELLIOT
Desde 1975 ⇒ Minicomputadoras
Westinghouse P50
DEC-PDP 8 (12 bits)
PDP 1 y submodulos (más usada)
2.2.2 CONFIGURACIONES DEL SISTEMA DE CONTROL DISTRIBUIDO
CONFIGURACION ESTRELLA
• Computador. "Coordinador"⇒Control superior
• Computador "Remoto"⇒Control Digital
5-6
Figura 1.6. Configuración Estrella
CONFIGURACION ANILLO
• Cada computador es un eslabón del anillo
Figura 1.7. Configuración Anillo
CONFIGURACION MULTICAIDA
• Cable controlado por un micro que actúa como supervisor
5-7
Figura 1.8. Configuración Multicaida
2.2.3 CONFIGURACION DE CONTROL JERÁRQUICO
LOCAL :
1. Control digital directo realizado por un micro. ( 1 lazo)
2. Control digital directo de varios lazos
3. Control supervisorio ( optimización y relevo)
AREA
4. Coordicación entre áreas productivas ( IBM 4341 ó Vax 780)
GERENCIA
5. Tope de nivel coordinativo, Gerencia media
• Inventario
• Producción
• Control de Calidad
Reportes
Desición
6. Información para fines estrategicos.
5-8
Figura 1.9. Esquema del sistema de control Jerarquico
2.3 ELEMENTOS DE UN LAZO DE CONTROL DIGITAL
Figura 1.10 Lazo de control digital
5-9
3. ANÁLISIS DE SISTEMAS DISCRETOS
3.1 TRANSFORMADA Z
Figura 3.1 Sistema muestreado
El componente básico, en el análisis de sistemas discretos, es el interruptor. Su
salida E*(s) tiene la forma de un tren de pulsos estrechos los cuales se suceden en los
instantes 0,±T,±2T donde T es el intervalo de muestreo y Wo=2π/T, Wo es la frecuencia de
muestreo.
Por conveniencia matemática, se pueden tratar estos pulsos como impulsos cuyas
áreas son iguales a la de la función para el instante de muestreo.
Por lo tanto la relación entrada-salida del interruptor es :
Figura 3.2 Muestreador ideal
r*(t)=r(t)δT(t) 3.1
r*(t)=Salida del interruptor
r(t)=Entrada del interruptor
δT(t)=Tren de impulsos unitarios
σT(t)= ( )σ t ntn
−=−∞
∞
∑ 3.2
5-10
La ecuación 3.1 puede escribirse como:
r*(t)= ( ) (r nT t nTTn
n
)σ −=−∞
=∞
∑ 3.3
¿Qué ocurre con n negativos?
Aplicando transformada de Laplace a la ecuación 3.3
R*(s)= 3.4 r nT nTsen
( ) −=
∞
∑0
Una expresión alterna de R*(s) se puede alcanzar expresando a δT(t) en forma de una serie
compleja de Fourier
δT(t)= 1 0
Te jn t
n
ω=−∞
∞
∑ 3.5
Si sustituimos 3.5 en 3.1
r*(t)=r(t)1 0
Te jn t
n
ω= −∞
∞
∑ 3.6
Aplicando transformada de Laplace término por término de la serie tenemos:
(RT
R s + jn*0( )s
n
==−∞
∞
∑1 ω ) 3.7
Las ecuaciones 3.4 y 3.7 son iguales:
( ) ( T
R s + jnn=-
0∴ ∑ ∑∞
∞
=−∞
∞− =r nT e nTsn
1 ω ) 3.8
La ecuación 3.8 es conocida como la regla de la suma de Poisson.
Si analizamos la ecuaciones 3.4 y 3.7 y sustituimos a s=s+jmωo con m=entero
encontramos que las expresiones se mantienen idénticas. Esto lo que nos quiere decir que
R*(s) es periódica con periodo jωo.
Tomando a la ecuación 3.4 :
5-11
( )R s jm R kT ekT s jm
k
e kTs e j kTm
pero ejkTm T
*( ) ( )
.
+ =− +
=
∞
∞ − −
− = =
∑
∑
ωω
ω
ω ω π
00
0
0
0
1 2
= R(kT)k=0
con 0
3.9
∴ R*(s)=R*(s+jmω0)
Esto implica, que el plano s está dividido en un número periódico de bandas con
ω ω ω= −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
0 02 2,
Figura 3.3 Periodicidad de las bandas en el plano s. Polos de R*(s)
Volviendo a la ecuación 3.4, ésta se puede escribir más abreviada si r(t) es una
combinación lineal del producto de varios polinomios y de funciones exponenciales.
Por ejemplo cuando r(t)=e-at y recordando que la suma de una progresión geométrica
( ) Ts-a- ee-1
1=sR
razón=r
término1=a 1
*
er
τ
∑ −= raar
Método Directo 3.10
5-12
La ecuación 3.10, sugiere un cambio de variables z=eTs donde s=1/T ln z de donde
R 1T
ln z*⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=− − −
11 1e at z
3.11
Llegamos a la conclusión : [ ] ( )[ ] ( ) ( )Z r t Z r t R z r nT z nn
( ) *= = ==
∞−∑
0
3.1.1 EJEMPLO 1
Encuentre la Z[1(t)] (escalón unitario)
( )[ ] ( )Z t nT z nz zn
1 1 1 1 12
0
= − = + + +=
∞
∑ ...
Para este caso a=1, r=1/Z
Por lo tanto ( )[ ]Z 1 t 11 1
z
zz 1
=−
=−
3.1.2 EJEMPLO 2
Obtener Z[sen ωt] para t≥0
Sabemos que sen t =j
j t - j tω
ω ωe e−2
3.12
También sabemos que ( )Z -at zz -aTe e=
− 3.13
sustituyendo 3.13 en 3.12
[ ]Z t 12j
z
z j tz
z j te esen ω ω ω=
−−
−
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
−
12j
z j T -j T
z2 z j T -j Tz sen T
zcos T + 1
e ee e z
ω ω
ω ωω
ω
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
− ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ +
=−+ 1
2 2
3.1.3 EJEMPLO 3 (Método de expansión en fracciones parciales)
Obtener Z[1/s(s+1)]
5-13
Puede ser obtenida por expansión en fracciones parciales ( )F s 1s
1s 1
= −+
,
por tablas Z 1s
zz 1
;=−
de modo que
Z 1s + 1
zz T
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
=− −e Por lo tanto ( )
( )( )
F sZ 1 T
(Z 1) Z T=− −
− − −
ee
3.1.4 EJEMPLO 4
Calcule Z(cos ωt)
Aplicando T. Laplace : cos ωt] =s
s
2
2 2+ ω=X(s)
por expansión en fracciones parciales X(s)s j s j
12
12=
++
−ω ω
revisando las tablas ( )[ ]Z X s 12
z
z j Tz
z j Tz2 z cos T
z2 z cos T + 1=
−+
−
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
−
−− −e eω ωω
ω2
3.2 METODO DEL RESIDUO
( ) ( )[ ] ( )F z Z f* t residuos de F s zz - sT= = ∑ e 3.14
Evaluando en los polos de F(s) :
1) "Factores lineales (s-r) en el denominador"
( ) ( )R = lím s r F s zzs sT→∞
−−
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥e 3.15
2) "Polos repetidos de orden q"
( ) ( ) ( )R = 1q -1 !
líms
s r F s zzs r
q
q→
−
− −−
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
dd
q
e1
1 sT 3.16
5-14
3.2.1 EJEMPLO 5
Si F(s)=1/s(s+1) , aplicando el método del residuo :
R líms 1
s(s 1)z
zz
z
lím (s + 1) 1s(s 1)
zz
-zz
1 s sT
s sT T
=+ −
=−
=+ −
=−
→
→−
0
2 1
1e
e eR
se suman R1+R2 y se debe encontrar lo mismo que en el ejemplo 3
3.3 TEOREMAS BASICOS DE LA TRANSFORMADA Z
a) Tiempo de atraso :
( )[ ] ( ) ( )Z f t - nT 1Z
F z Z F znn= − 3.17
b) Multiplicación por e-aT :
( )[ ] ( )Z f t F zat * ate− = e 3.18
c) Derivación parcial :
( )[ ] ( )[Za
f t,aa
F z,a∂∂
∂∂
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
= ] 3.19
d) Teorema del valor inicial :
El área del primer impulso de la función muestreada f*(t)
( ) ( )f 0 lím F zz
=→∞
3.20
e) Teorema del valor final :
El área del impulso f(nT) a medida que n→∞
( ) ( )f( ) lím z 1z
F z lím(z 1)F zz 1 z 1
∞ =−
= −→ →
3.21
5-15
3.4 INVERSA DE LA TRANSFORMADA Z
a) Método de las fracciones parciales
Partamos de un ejemplo :
Si ( ) ( )( )F z
1
(z 1) zk
z 1+ k
zz
T
T1 2
T=−
− −=
− −⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
−
− −
ee e 3.22
las constantes K1 y K2 son :
( )( )( )k lím z 1
1
z 1 z1 z 1
T
T= −−
− −=
→
−
−
ee 1 y ( ) ( )
( )( )k z e t e
z z e
t
t2
1
11=
→ −− − −
− −=
−
−z e t lim ,
entonces :
F(z) = z de las tablasz
zz e t−
−− −1
:
La solución es : ( ) ( y f t e f nt en
u t ntt n( ) ( )*= − = − )t
=
∞−− −∑1 1
0 3.23
b) Método de la división:
Se divide el numerador por el denominador formando una serie :
3.24 F z C C z C z( ) . . .....= + + +− −0 1
12
2
cuya inversa es de la forma :
3.25 (f nt C u t ntn
n*( ) .=
=
∞∑
0)−
Para el ejemplo anterior : ( ) ( )F(z) = 0 + 1 11 2 2− + − +− − − −e z e zt t .... 3.26
lo que es equivalente a : ( ) (f *( )nt en
u t ntnt= − )=
∞−−∑ 1
0 3.27
3.4.1 EJEMPLO
Determine la respuesta en tiempo de la función:
5-16
( )( )F z z zz z
( ). .
=− +
− −
− −
− −
1 3 31 0 5 1 0 8
1 2
1 1
Desarrollando el denominador de F(z) :
F z z zz z z
z zz z
( ). . . . .
=− +
− − +=
− +− +
− −
− − −
− −
− −1 3 3
1 0 8 0 5 0 41 3 3
1 1 3 0 4
1 2
1 1 2
1 2
1 2
Realizando una división larga :
1 3 3 1 13 0 41 17 0 39
1 13 0 417 2 6
2 21 0 68
0 39 0 680 39 0 5 015
1 21 2
1 2
1 2
1 2
2 3
2 3
2 3
− +− +
− + +
− + −
− +
− +
+
− + −
− −− −
− −
− −
− −
− −
− −
− −
z z z zz z
z zz z
z z
z zz z
. .. . ...
. .. .
. .
. .. . .
1.72z
-1
4−z
A partir del cociente expresado en F(z) :
f(0)=1 ; f(T)=-1.7 ; f(2T)=0.39 .........
Como se puede observar éste último método proporciona los valores numéricos de
la respuesta en tiempo y no una expresión general de dicha respuesta.
5-17
3.5 LIMITACIONES DE LA TRANSFORMADA Z
Consideraciones que deben ser tomadas en cuenta:
• La formulación de la definición de la transformada z, se basa en la aproximación
de la señal muestreada a un tren de impulsos cuyas áreas son iguales a la magnitud
de la señal de entrada al interruptor para el instante de muestreo kT.
Esta suposición es válida sólo si la duración del tiempo de muestreo T cuando se
compara con la menor constante de tiempo del sistema en estudio.
• Dado que C(z) especifica sólo los valores de la función para el tiempo de
muestreo, la transformada inversa de C(z), C(kT) describe a C(t) sólo a los instantes
t=kT.
• Cuando se analiza un sistema lineal a través de la transformada Z, la función de
transferencia del sistema G(s), debe tener un polo más que ceros, ó lo que es
equivalente a decir, que la respuesta al impulso de G(s), no puede tener saltos de
discontinuidades para t>0.
3.6 BLOQUEADORES O RETENTORES
Se plantea la necesidad de reconstruir la señal f*(kT) a partir de una secuencia de
números f(0), f(T), f(2T).... o un tren de impulsos que se suceden para t=kT con t≥0.
Una forma de hacerlo es a través del método de expansión de series de potencia de
f(t) para los intervalos kT→(k+1)T. Esto es:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f f kT f kT t kTf kT
2!t kT . . . k t
1(2)
2= + − + − + 3.28
donde:
5-18
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )f t f t para kT t < k +1 T
y f kT f t
t y f kT
f t t
k
(1)
t=kT
(2)2
t=kT
= ≤
= =∂
∂∂
∂ 2
3.29
Para evaluar los coeficientes de las series de 3.28 y 3.29, las derivadas de 3,29
aplican. Dado que la información que se tiene son los valores muestreados f(0), f(T), ..., se
plantea la siguiente manera para la obtención de dichas derivadas.
( ) ( ) ( ) ( )[ ]f kTf kT f k 1 T
T1 =
− − 3.30
y ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]f k T
f k T f k 1 TT
21 1
=− −
=( ) ( )[ ] ( )[ ]f kT 2f k 1 T f k 2 T
T 2
− − + −
3.31
En general, se puede decir que para poder calcular f(n)(kT) es necesario disponer de
(n+1) pulsos atrasados conocidos.
Desde el punto 'estabilidad', estos atrasos generan problemas.
Desde el punto circuitería, ésta debe ser muy compleja resultando un alto costo en
su construcción.
Por éstas dos razones básicas, en la practica solamente se emplea como
aproximación al primer término de la ecuación 3.28. Un elemento que genere f(kT) para el
intervalo kT≤t<(k+1)T es conocido como un EXTRAPOLADOR DE ORDEN CERO O
ZERO-ORDER HOLD.
Figura 3.4 Modelo funcional de un Retentor
5-19
figura 3.5 Respuesta temporal de un retentor
La respuesta impulsiva de un Z.O.H. se escribe como:
( ) ( )g u t u tH.O. T= − − 3.32
y su función de transferencia viene dada por:
G 1sH.O.
Ts=
− −e 3.33
3.6.1 EJEMPLO (lazo abierto)
La discretización de una función de transferencia a lazo abierto viene representada
en la figura 3.6. Encuentre la respuesta en tiempo ante una entrada escalón unitario, cuando
T=1 seg.
figura 3.6 Sistema discreto a lazo abierto
La función de transferencia del sistema esta dada por la ecuación 3.34 :
( ) ( )G s 1
s1
s s 1
sT
=−
+
−e 3.34
La transformada z del sistema es :
5-20
( ) ( ) ( ) ( )G z 1 z Z 1s s 1
1 z Z As
As
Bs 1
12
1 12
2 1= −+
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = − + +
+⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
− − ; donde A1=1; A2=-1;
B1=1
Por lo tanto :
( ) ( ) ( ) ( )G z 1 z Tz
z 1z
z 1z
z1
2 T= −−
−−
+−
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
−−e ( )( )
=+
− −0.366z 0.264z 1 z 0.368
si ( ) ( ) ( ) ( )X z G z U z donde U z zz 1
= =−
, entonces
( ) ( )( ) ( )
X z0 .3 6 8 z 0 .2 6 4 zz 1 z 0 .3 6 82=
+
− −
Evaluando X(z) para t→∞ :
sabemos que : ( ) ( ) ( )X lím z 1 X zz 1
∞ = − = ∞→
evaluando la expresión X(kT)=0.386z-1 + 1.135z-2 + 2.45z-3 + 3.972z-4 ...
(división larga)
observamos la respuesta temporal en la gráfica 3.7.
Figura 3.7 Respuesta temporal de X(kT)
5-21
3.6.2 EJEMPLO (lazo cerrado)
La discretización de una función de transferencia a lazo abierto viene representada
en la figura 3.8. Encuentre la respuesta en tiempo ante una entrada escalón unitario, cuando
T=1 seg.
Figura 3.8 Diagrama de bloques a lazo abierto
La función de transferencia a lazo abierto del sistema es:
( ) ( )G s 1
s1
s s 1
sT
=−
+
−e 3.35
La transformada z a lazo abierto es :
( ) ( ) ( ) ( )G z 1 z Z 1s s 1
1 z Z As
As
Bs 1
12
1 12
2 1= −+
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = − + +
+⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
− − ; donde A1=1; A2=-1; B1=1
Por lo tanto:
( ) ( ) ( ) ( )G z 1 z Tz
z 1z
z 1z
z1
2 T= −−
−−
+−
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
−−e
de donde, la transformada z a lazo abierto es :
G(z)( )( )
=+
− −0.366z 0.264z 1 z 0.368
F.T.L.A.(z)
Si
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
X z G' z U z donde U z zz 1
G' zG z
1 G z= =
−=
+;
La transformada z a lazo cerrado es :
( ) ( )( )( )X z
0.368z 0.264 zz 1 z 0.3622=
+− − +z
Evaluando X(z) para t→∞ :
5-22
sabemos que : ( ) ( ) ( )X lím z 1 X zz 1
∞ = − =+
− +=
→
0 368 0 2641 1 0 632
1. ..
evaluando la expresión X(kT)=0.386z-1+1z-2 + 1.399z-3+ 1.399z-4 + 1.147z-5 ...(división
larga) observamos la respuesta temporal en la gráfica 3.9.
Figura 3.9 Respuesta temporal de X(kT)
5-23
4. ANÁLISIS DE SISTEMAS DISCRETOS
4.1 RELACIÓN ENTRE PLANO S Y PLANO Z
Antes de empezar a diseñar compensadores digitales debe examinarse el efecto de
polos y ceros sobre la estabilidad y respuesta del sistema ante una entrada escalón.
Como ya estamos familiarizados con el efecto de la ubicación de los polos y ceros en el
plano “s” nos centraremos en la forma de llevar puntos del plano “s” al plano “z”. Este
traslado se determina definiendo la relación entre s y z:
s.Tez =Primero observemos que el eje imaginario (jw) en el plano s, donde s=jw, se transforma en:
jw.Tez =Esta función tiene una magnitud igual a 1 para todo w y un ángulo de w*T. A
medida que z varía de 0 a 2π / Τ, se barre una circunferencia de radio 1 en el plano z. El
eje jw enteramente infinito en el plano s se representa en el círculo unitario en el plano z.
Sabemos que la región de estabilidad en el plano “s” es el semiplano izquierdo. Por
el hecho de que la parte real Re(s) en esta región es negativa la representación en el plano z
es:
-jw.T.T-jw.T)(- e.eez αα == +
Donde Re(s)=-α. Por el hecho de que e- α.T es la magnitud de z y que su valor es
menor que 1, la parte izquierda del plano s queda representada en el interior del círculo
unitario del plano z. Podemos establecer que: “ Un sistema en particular es estable si y
solo si todos los polos de G(z) están ubicados dentro del círculo unitario”. Claramente
polos fuera del círculo unitario producen una respuesta inestable. Polos no repetidos sobre
el círculo unitario a pesar de no hacer al sistema estable, lo convierten en un sistema
marginalmente estable.
Tal como en sistemas contínuos, los polos reales en el plano z producen respuestas
subamortiguadas. Es interesante notar que el eje real negativo en el plano s se representa en
el eje real de 0 a 1 en el plano z.
5-24
Para fines diseño, las representaciones más importantes involucran contornos para
Ts, ξ y wn constantes. Un ejemplo de un plano s y una región en el plano z que satisfaga
un tiempo de establecimiento menor o igual a un valor dado se muestra en la figura a
continuación:
Fig. 4.1: Las áreas sombreadas representan una región que satisface el requerimiento de tiempo de establecimiento
En el plano s, puntos sobre el contorno del tiempo de establecimiento constante tienen un
valor real negativo; ejemplo:
s= - σ + jw donde Ts ≅5/ σ y corresponde a:
z= e-σ.T. ejw.T = R.ejw.T
Este contorno es un círculo de radio R. A medida que R disminuye, el tiempo de
establecimiento disminuye.
La figura 4.2 muestra el plano s y una región en el plano z que satisface una relación de
amortiguamiento mayor a un valor dado:
Fig. 4.2: Regiones que satisfacen la relación de amortiguamiento.
5-25
A pesar de que no hay una manera simple de formular ecuaciones para estos
contornos, podemos notar lo siguiente. Dado el hecho de que una raíz en el plano s de una
ecuación característica de segundo orden esta dada por:
wnjwns )1(. 2ξξ −+−=
la raíz correspondiente en el plano z es:
Twnj ..)21(wn.T- e.ez ξξ −= entonces:
T.wnez ξ−= y Twnz ..)1( 2ξθ −=
Si fijamos ξ y dejamos que wn varíe de 0 a π / Τ, la magnitud de z decrece en
forma exponencial mientras la fase aumenta en forma lineal. Esto crea el espiral
logarítmico para un valor de ξ constante que se observa en la figura 4.2.
El contorno para un wn constante es más complicado. Se puede observar que la
magnitud de z aún decrece exponencialmente con el aumento de ξ (a wn constante), pero la
fase no es linealmente dependiente de ξ. Los únicos puntos fácilmente hallables en el
plano z para este contorno ocurren a ξ=0 y ξ=1. El contorno constante para wn
comienza sobre el círculo unitario a un ángulo de wn.T y termina en el eje real con una
magnitud de e-wn.T.
La región que satisface una restricción para un wn menor a un valor dado, wn1 se
muestra en la figura 4.3.
Fig. 4.3: Región que satisface una restricción en la frecuencia natural
5-26
Una región que satisface el requerimiento de tiempo de establecimiento Ts y las restricciones de wn al mismo tiempo se muestra en la figura a continuación.
Fig. 4.4: Región que satisface los requerimientos de tiempo de establecimiento y frecuencia natural.
5-27
4.2 TIPO DE SISTEMA Y ERROR ESTACIONARIO
Una propiedad de la transformada “z” que es de mucha utilidad es el teorema del valor
final:
)().1(lim)(lim 1zz zFzkTf −= →∞→
Podemos emplear este teorema para hallar las constantes de error en estado estacionario
para un sistema de control digital con retroalimentación unitaria:
)(.G(z)11
E(z) zR+
=
donde G(z) es la función de transferencia de lazo directo y R(z) es la entrada al sistema.
A continuación tenemos una entrada escalón unitario:
1zz
R(z)+
=
Luego:
1.
G(z)11E(z)
++=
zz
El error en estado estacionario es:
G(1)11)( e
+=∞
Si G(1) es finito, el sistema puede seguir la entrada con error constante. Dicho
sistema es de tipo 0 y definimos la constante de error Kp tal que:
Kp11 )( e
+=∞ G(1)Kp; =
Para una entrada rampa r(t)=k.T. La representación de dicha entrada en el plano z es
R(z)=z.T/(z-1)2, y el error en estado estacionario se calcula como sigue:
2)1(..
G(z)11E(z)
−+=
zTz
5-28
Si G(z) no tiene polos en z=1, entonces el error en estado estacionario será infinito. Si G(z)
tiene un polo en z=1 dicho error será finito e igual a:
11).G(z)-(zT
)e(=
=∞z
Este es un sistema tipo 1, y definimos la constante de error Kv tal que:
Kv1)e( =∞ 1
)(.T
1-zKv;=
=z
zG
Para un sistema digital con retroalimentación unitaria, el tipo del sistema es igual al
número de polos en z=1.
Podemos extender la idea recién expuesta para hallar las constantes de error para
todos los tipos de sistema:
1
n
)(.1)-(z
Kn=
=zn
zGT
siendo n el tipo del sistema, y la entrada es de la forma:
!(k.T)r(k)
n
n=
Una nota importante que puede simplificar los cálculos es la siguiente.
Si G(s) es digitalizada empleando un “zero order hold (ZOH) equivalence”,
entonces G(s) y G(z) tienen la misma constante de error. La técnica ZOH que es la
usualmente empleada para digitalizar el modelo de una planta, nos permite encontrar
directamente la constante de error de la planta en el plano z a partir del modelo en el plano
s.
5-29
5 SIMULACIÓN DE SISTEMAS DE CONTROL DIGITAL
Los sistemas de control digital usualmente contienen elementos tanto digitales como
continuos. En el dominio de la frecuencia los elementos digitales son modelados con la
transformada “z” y los elementos continuos se modelan con la transformada de Laplace.
Cuando modelamos sistemas digitales, convertimos funciones de transferencia
continuas representadas por G(s) en una función de transferencia discreta, G(z),
“equivalente”. Recordemos que la respuesta en frecuencia de un modelo digital nunca es
exactamente igual a la respuesta en frecuencia de un modelo continuo.
Existen varias técnicas para discretizar sistemas continuos. Entre ellas se
encuentran la “time response matching” (impulso y escalón), y los diversos métodos de
integración numérica. Cada una tiene sus ventajas y desventajas.
En tal sentido, existen técnicas que mantienen el tiempo de respuesta mientras otras
conservan los requisitos de respuesta en frecuencia, pero desde el punto de vista de control,
la preservación de la estabilidad es lo más importante; existen técnicas que no conservan la
estabilidad del sistema por lo que deben ser empleadas cautelosamente o se obtendrán
resultados erróneos en la simulación.
5.1 MODELOS DE SISTEMAS DISCRETOS EN ESPACIO DE
ESTADO Como con los sistemas continuos, podemos representar sistemas discretos con un
modelo de estado:
Xk+1=A.Xk + B.Uk
Yk=C.Xk + D.Uk
El modelo z-transformado se puede derivar del modelo de estado tomando la
transformada z de las ecuaciones de espacio de estado (asumiendo condiciones iniciales
iguales a cero):
z.X(z)=A.X(z)+B.U(z)
Y(z)=C.X(z) + D.U(z)
Resolviendo para X(z) de la primera de estas ecuaciones:
5-30
(z.I-A).X(z)=B.U(z) → X(z)=(z.I-A)-1.B.U(z)
y sustituyendo X(z) en la ecuación de salida:
Y(z)=C. (z.I-A)-1.B.U(z) + D.U(z)
La función de transferencia está dada por:
G(z)=C.φ(z).B +D donde φ(z)= (z.I-A)-1
5.2 TRANSFORMACIÓN DE UN IMPULSO INVARIANTE
La transformación de un impulso invariante convierte un sistema continuo en uno
discreto comparando sus respuestas ante una entrada tipo pulso (impulso). Consideremos la
siguiente función de transferencia continua y su respuesta ante un impulso:
5s10
H(s)+
= ; )t(u.10.eh(t) -5t=
Sustituyendo t por nT y aplicando la transformada z a H(s) se obtiene:
)nT(u.10.eh(nT) -5nT= 5T-e-z10.z
H(z) =
El procedimiento que empleamos para mantener la respuesta ante el impulso cuando
representamos una planta continua con un modelo digital es el siguiente:
(1)Encontrar la respuesta ante el impulso de H(s);
(2) Dejar que t=nT para convertir la respuesta continua en discreta;
(3)Transformar la respuesta discreta ante el impulso en H(z).
La conversión también se puede llevar a cabo en el espacio de estado. La respuesta
ante el impulso de un sistema continuo y la respuesta pulso de un sistema discreto están
dadas por:
(t)DBC.eh(t) At δ+=
)().CdAd-(DddCd.Adh(nT) 1--1-n nTBdB δ+=
5-31
Ahora se hace t=nT para convertir la respuesta continua en discreta. Comparando
ambas respuestas,
se concluye que:
CBDDd C,Cd B,eBd ,eAd ATAT +====
En la prác
señal pasa primer
continua que refle
convierten la salid
nivel hasta que e
reconstrucción de
continuación.
Fig.
tica una señal discreta nunca se dirige directamente hacia la planta. Esta
o por un convertidor digital análogo (DAC). El DAC produce una salida
ja la entrada discreta. Los DAC’s , más comunes son dispositivos que
a binaria del computador en un nivel de voltaje, y luego mantienen este
l computador envíe la nueva señal de salida T segundos más tarde. La
el ZOH de una entrada sinusoidal se muestra en la figura 5.5 mostrada a
5.5: Reconstrucción del ZOH de una entrada tipo sinusoidal
5-32
El retentor de orden cero genera una salida pulso para cada impulso que recibe como
entrada. Debido a que un escalón se deriva de la integración de un impulso, obtenemos la
función de transferencia ZOH (transformada de Laplace de un pulso unitario de duración
T):
s
-sTe-1 :ZOH
El retardo reajusta al integrador antes de que le entre el próximo impulso. La
función de transferencia total entre el interruptor de salida y la salida de la planta
es entonces:
)(.e-1 -sT
sGs
Siempre que exista un ZOH antes de una planta, tomamos la transformada “z” de lo
anterior como sigue. Primero nótese que:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −s
sGsGs
)(.eZ-s
G(s)Z)(.e1Z-sT-sT
El segundo término en la expresión anterior es la versión retardada del primer
término. Debido a que la transformada “z” de un retardo unitario es z-1, obtenemos:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−= −
ssG
Zz)(
)1(G(z) 1ZOH
Para hallar la transformada z de una función de transferencia G(s), llevamos a cabo las
siguientes operaciones:
• hallar g(t) a partir de G(s), sustituyendo t por nT,
• aplicar la transformada “z” para obtener G(z).
Aplicaremos el procedimiento recién explicado sobre G(s)/s para hallar la función de
transferencia equivalente ZOH.
Consideremos el siguiente ejemplo:
5-33
1s1
G(s)+
=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+−= −
)1(1
)1(G(z) 1ZOH ss
Zz
⇒=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+ u(t)).e-(1
)1(1L t-1-
ss
{ })e-z)(1z(
)e1(u(nT))e-(1Z
T-
-TnT-
−−
=⇒z
T-
-T
T-
-T1
e-ze1
)e-z).(1z()e1(
).1()(−
=−
−−= − z
zzG ZOH
El retentor de orden cero equivalente también se conoce como transformación
invariante del escalón (step invariant transformation) pues relaciona la respuesta ante una
entrada escalón de un sistema discreto con uno continuo. Esta es la técnica más empleada
por los ingenieros de control. La tabla siguiente muestra algunas simples equivalencias
ZOH.
La discretización también puede obtenerse en espacio de estado. Las matrices en espacio
de estado del ZOH están dadas por:
ATAT σ
DDd C,Cd , .dσ BeBd ,eAd 0 ==== ∫
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