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Departamento de Telecomunicaciones
SEÑALES, ESPECTROS Y FILTROS
1
Universidad del Cauca
Capítulo 2. Señales,
espectros y filtros
Teoría de Telecomunicaciones
Un
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SEÑALES, ESPECTROS Y FILTROS
2
Introducción
Las señales presentes en los sistemas de comunicaciones
varían con el tiempo, mas sin embargo en ocasiones suele
ser más conveniente analizar las señales en el dominio de
la frecuencia, debido a las componentes que tiene la señal
definida en el tiempo.
A la descripción de la señal en el dominio de la frecuencia
es lo que se conoce como Espectro de la señal.
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Señales AC
El análisis de señales implica relacionar aquellos parámetros que
describen su funcionamiento.
Para relacionar dichos parámetros
Se utiliza ondas sinusoidales
Esta representación de señales es importante, porque permite su
análisis en el domino del tiempo y la frecuencia
twAtv 0cos
Un
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T
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4
Señales AC
Aunque estas señales no duren eternamente, para su análisis en
estado estacionario se asume que si, para ello se utiliza una
representación fasorial.
Dada la expresión de Euler:
Se puede representar la señal
como:
Representación espectral
jsene j cos
]Re[cos
]Re[cos
0
0
twj
j
AetwA
e
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5
Convenciones para el análisis espectral
• En todos los diagramas espectrales la variable independiente es la
frecuencia f
• Los ángulos de fase serán medidos con respecto a las ondas coseno, o
lo que es equivalente, respecto al eje real positivo, por lo tanto las ondas
seno necesitan convertirse a coseno utilizando la identidad.
• La amplitud siempre se toma como una cantidad positiva, cunado
aparece un valor negativo, este es absorbido por la fase.
• Los ángulos de fase se expresan en grados, aunque otras cantidades se
expresen en radianes.
90cossin wtwt
180coscos wtAwtA
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Convenciones para el análisis espectral
Ejemplo: Considere la señalt120sin 4 60- 0 4 cos 10 - 7 w(t) t
90-t6024cos 120202 cos 10 t 7cos0 w(t) t
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Convenciones para el análisis espectral
Este espectro se conoce como espectro de líneas unilaterales o de
líneas positivas y pueden obtenerse para cualquier combinación
lineal de señales sinusoidales.
Utilizando la propiedad con z cualquier complejo, se
obtiene otra representación espectral de la señal.
espectro de doble línea
][]Re[ *
2
1zzz
jtwjjtwj
twj
eeA
eeA
twA
AetwA
00
0
22cos
]Re[cos
0
0
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Señales periódicas y series de Fourier
Señal Periódica
Una señal periódica es aquella que satisface
Donde To es el periodo de repetición de la función.
Esta ecuación implica que mover la señal hacia izquierda o derecha una cierta
cantidad de periodos, no modifica la forma de la señal.
Eso permite que para analizar el comportamiento de una señal
periódica, baste con analizar el comportamiento de uno de sus
periodos.
0mTtvtv tm
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Señales periódicas y series de Fourier
Señal Periódica
Cuando se satisface esta condición de periodicidad, la señal puede
ser representada utilizando una expansión en series de Fourier, las
cuales permiten obtener el espectro de la señal descompuesta en
todos sus componentes.
Sin embargo, debe cumplir una segunda condición y es que tenga
una potencia promedio finita.
El promedio de una función está dada por para
todo momento.
dttvT
tv
T
T
T
2/
2/
)(1
lim)(
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Señales periódicas y series de Fourier
Señal Periódica
Pero si la señal es periódica solo basta con analizar un periodo:
Por lo general en los sistemas de comunicaciones se trabaja con
señales de voltaje o corriente, por consiguiente puede determinarse
la potencia promedio a partir de la potencia instantánea.
Si la integral existe se dice que la señal tiene potencia promedio bien definida
dttvT
dttvT
tvT
Tt
t 0
01
1
)(1
)(1
)(00
R
tvti
)()( Rti
R
tvtvti )(
)()()( 2
2
dttvT
tvT0
2
0
2)(
1)(
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Señales periódicas y series de Fourier
Series de Fourier
Cumplidas las condiciones, se puede descomponer la señal en sus
componentes, descomponiendo la señal en sumatoria de señales
sinusoidales.
Dada periódica y con potencia promedio bien definida, su
representación mediante series de Fourier está dada por:
donde
Donde son los coeficientes de la serie de fourier.
)(tv
.....2,1,002neCtv
n
tnfj
ndtetv
TC
oT
tnfj
n02
0
)(1
nC
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Señales periódicas y series de Fourier
Series de Fourier
Estos coeficientes son cantidades complejas que pueden ser
representados en forma fasorial.
Donde es el argumento de
De esta manera se puede ver la descomposición de la señal en suma
de fasores, donde el n-esimo término esta dado por:
Para enfatizar la representación espectral se toma la notación:
nC
nCj
nn eCCarg
nCarg
tnfjCj
n
tnfj
n eeCeC n 00 2arg2
nCnfC )( 0
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Señales periódicas y series de Fourier
Series de Fourier – Implicaciones espectrales
Dada esta representación, representa el espectro de magnitud
como función de y representa el espectro en fase.
Las líneas espectrales se encuentran igualmente espaciadas, deben ser
múltiplos enteros de la frecuencia fundamental , o lo que es mejor,
deben ser armónicos de .
La componente DC es igual al valor promedio de la señal, dado que si
se evalúa con n=0, se obtiene:
nCarg
0nfC
f
0f
0f
tvdttvT
C
oT
)(1
00
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Señales periódicas y series de Fourier
Series de Fourier – Implicaciones espectrales
Por lo tanto los valores de pueden chequearse inspeccionando
. , lo que resulta práctico porque frecuentemente la integración da
una forma indeterminada.
Si , es una función real en el dominio del tiempo, entonces:
de donde se obtiene que:
el espectro de amplitud tiene simetría par y el espectro de fase simetría impar, se
conoce como la Propiedad Hermitiana.
)0(C
)(tv
nCj
nnn eCCCarg
*
)()(00
nfCnfC )(arg)(arg 00 nfCnfC
)(tv
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Señales periódicas y series de Fourier
Series de Fourier – Implicaciones espectrales
Realizando reagrupamiento de pares conjugados a excepción C0,
entonces:
Esta expresión se conoce como la Función trigonométrica de Fourier.
Función sinc
1
0000
2
0
1
2
00
arg2cos2
* 00
n
tnfj
n
tnfj
nfCtnfnfCCtv
enfCenfCCtv
fT) Sa( sinc(fT)fTsenfT
eefTj
dteT
fTjfTjT
T
ftj 1
2
11 2/
2/
2
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Señales periódicas y series de Fourier
Ejemplo – Tren de Pulsos
El correspondiente espectro de magnitud está dado por:
2/0
2/
t
tAtv
|)()(000
nfsincAfCnnfCn
4/10
f
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Señales periódicas y series de Fourier
Ejemplo – Tren de Pulsos
Su espectro de fase se obtiene por observación, debido a que los
coeficientes son reales pero en ocasiones son negativos, luego el
espectro de fase toma valores entre 0, +180.-180.
Su serie de Fourier:
Ejercicio:
4/10
f
twA
twA
twAA
tv 000 3cos3
22coscos
2
4)(
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Señales periódicas y series de Fourier
Condiciones de convergencia y fenómeno de Gibbs
Se debe verificar la veracidad de la descomposición de Fourier
Condiciones de Dirichlet
Si una función periódica posee un número finito de máximos,
mínimos y discontinuidades por periodo, y además es absolutamente
integrable, entonces la serie de Fourier existe y converge
uniformemente donde quiera que sea continuo.
Si es cuadrado integrable, entonces tiene un área finita por
periodo, equivalente a la potencia de la señal.
)(tv 2|)(| tv
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Señales periódicas y series de Fourier
Condiciones de convergencia y fenómeno de Gibbs
Con estas condiciones satisfechas, se dice que si se tiene una
sumatoria parcial:
entonces:
En palabras: la diferencia entre la señal y su representación decrementa, conforme
se aumentan términos la sumatoria parcial.
N
Nn
tnfj
nN eCtv 02)(
0
0)()(lim2
T
NNdttvtv
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Señales periódicas y series de Fourier
Condiciones de convergencia y fenómeno de Gibbs
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Señales periódicas y series de Fourier
Teorema de Parseval
Este teorema relaciona los coeficientes de la serie de Fourier con la
potencia promedio de la señal representada.
La potencia promedio de una señal puede ser encontrada con la suma del cuadrado
de las magnitudes de las líneas del espectro de la señal
2*
nnn CCCP
00
*)()(1
)(1
0
2
0 TT
dttvtvT
dttvT
P
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Señales no periódicas y Transformada de
FourierSeñal no periódica
Son aquellas cuya duración es corta y que no puede ser analizada
mediante series de Fourier, además por sus características tampoco
tienen potencia promedio finita.
Este tipo de señales es analizada utilizando la Transformada de Fourier, y
en este caso se habla de energía bien definida de la señal, dada por:
La existencia de esta integral es la condición para el análisis mediante
la Transformada de Fourier
dttvtE2
)()(
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Señales no periódicas y Transformada de
FourierTransformada de Fourier
La transformada surge de la definición de la serie, teniendo en cuenta
que en este caso el periodo es grande y la separación entre
componentes es casi nula convirtiendo en una variable continua0nf f
dfedtetvtv
edtetvT
tv
ftjftj
n
tnfj
T
tnfj
o
22
22
0
)(
)(1
00
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Señales no periódicas y Transformada de
FourierTransformada de Fourier
Analizando el resultado anterior, y comparando con la serie, la integral
dentro de los corchetes corresponde a la transformada de Fourier,
quien proporciona el análisis en el dominio de la frecuencia:
Y la transformada inversa sería:
dtetvtvfV ftj 2)()]([)( F
dfefVfVtv ftj 21 )()]([)( F
)()( tvfV
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Señales no periódicas y Transformada de
FourierPropiedades de la transformada de Fourier
1. La transformada es una función compleja, entonces es el
espectro de amplitud y es el espectro de fase.
2. El valor de en f = 0 es igual al área neta de .
Comparable con el valor de C(0), que es el valor promedio de .
3. Si es real entonces
se puede afirmar que la función cumple con la simetría Hermitiana.
)( fV
)(arg fV
)( fV )(tv
dttvV )()0(
)(tv
)(*)( fVfV)(tv
)()( fVfV )(arg)(arg fVfV
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Señales no periódicas y Transformada de
FourierEjemplo
Dada la función
Que representa un pulso rectangular en el origen
Determine la transformada de Fourier
2/0
2/1)/(
t
tt
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Señales no periódicas y Transformada de
FourierEjemplo
Los respectivos espectro serian
La mayor parte de la
información, esta .
concentrada en el intervalo.
Esta relación se utiliza como
una medida del ancho
espectral.
fcAfV sin)(
/1)( fV
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Señales no periódicas y Transformada de
FourierSeñales simétricas y causales
Las señales simétricas, muchas veces permiten simplificar el
desarrollo de las integrales de transformación.
Retomando el teorema de Euler, las señales pueden ser expresadas
en función de una componente real y una imaginaria.
Donde
)()()( fjVfVfVoe
dtwttvfVe cos)()( dtwttvfVo
sen)()(
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Señales no periódicas y Transformada de
FourierSeñales simétricas
Estas expresiones representan la parte par e impar de sin tener
en cuenta las características de .
Ahora si es real:
Por consiguiente:
Con estas propiedades expuestas y tomando se puede
especificar las propiedades de simetría
)( fV
)(tv
)(tv )()(Re fVfVe
)()(Im fVfVo
)()()()(* fVfjVfVfV oe
fw 2
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Señales no periódicas y Transformada de
FourierSeñales simétricas
Siempre que sea simétrica en el dominio del tiempo, se puede
aplicar la siguiente simplificación:
Donde puede ser
)(tv
impartw
partwdttwdttw
dttwdttwdttw
)(0
)()(2)(
)()()(
0
0
0
)(tw wttv cos)(
wttv sen)(
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Señales no periódicas y Transformada de
FourierSeñales simétricas
Si tiene simetría par, es par y impar, entonces:
Pero si tiene simetría impar, y:
)(tv wttv cos)( wttv sen)(
0
cos)(2)()( dtwttvfVfV e
)()( tvtv)(tv
0
)(2)()( dtsenwttvjfjVfV o
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Señales no periódicas y Transformada de
FourierSeñales causales
Si que tiene sentido para t>0 se dice que es una señal causal,
este tipo de señales no presenta ningún tipo de simetría.
El espectro de este tipo de señales está conformado de una parte
real y una imaginaria, entonces:
Esta integral tiene la forma de la transformada unilateral de Laplace
)(tv
0
2)()( dtetvfV ftj
0
)()]([ dtetvtv stL
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Señales no periódicas y Transformada de
FourierSeñales causales
Este resultado indica que si se tiene una señal causal de energía, su
espectro puede determinarse mediante la transformada unilateral de
Laplace.
Ejemplo: Pulso causal exponencial
Sea la señal causal:
00
0)(
t
tAetv
bt
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Señales no periódicas y Transformada de
FourierEjemplo: Pulso causal exponencial
Sus espectros:
222 4)(
fb
AfV
b
ffV
2tan)(arg 1
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Señales no periódicas y Transformada de
FourierTeorema de Rayleigh de energía
Este teorema es análogo al teorema de Parseval visto en la serie de
Fourier.
Relaciona la energía de con su espectro:
Para un pulso la energía concentrada en sus componentes
principales, será:
)(tv
dffVdffVfVE 2|)(|*)()(
2
/1
/1
22
/1
/1
2 )(92.0sin)(|)(| AdffcAdffVE
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Relación entre el dominio del tiempo y la
frecuenciaLas relaciones tiempo – frecuencia, permiten llevar a cabo un
análisis más profundo o simple, de las señales de información.
i) Superposición
Sea , su transformada será:
De manera general:
Cuando no es posible analizar una señal, pero se conoce las señales que la componen.
)()()( 2211 tvatvatv
)]([)]([)]([2211
tvatvatv FFF
k
kk
k
kk fVatva )()(
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Relación entre el dominio del tiempo y la
frecuenciaii) Desplazamiento en el tiempo
Si una señal se retarda en el tiempo, este retardo da origen a una
nueva señal, cuyo espectro es similar al de la señal original con
un desfase de pendiente .
Si entonces
a demás:
Por consiguiente el desplazamiento afecta la fase y no la magnitud
dt2
)()( fVtv dftj
d efVttv2
)()(
)()()(22
fVefVefV dd ftjftj
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Relación entre el dominio del tiempo y la
frecuenciaiii) Cambio de escala
Se ve como un fenómeno de compresión o expansión de una
señal, entonces:
dado:
Si |a| >1 es una versión comprimida de
Si |a| <1 es una versión expandida de
Si a <0 es una versión invertida de
01
)( aa
fV
aatv
)()( fVtv
)(atv )(tv
)(atv )(tv
)(atv )(tv
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39
Relación entre el dominio del tiempo y la
frecuenciaiv) Dualidad
Esta propiedad permite la creación de un nuevo par de
transformadas a partir de un par conocido.
sean:
Si existe una función relacionada con
Tal que , entonces el nuevo par de transformadas
será:
)()( fVtv
)(tz )( fV
tfVtz )()(
)()]([ fvtzF
)()( fvtV
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40
Relación entre el dominio del tiempo y la
frecuenciav) Traslación en frecuencia y modulación
Este es un caso especial de la aplicación del teorema de la
dualidad
Se le conoce también como modulación compleja puesto que al
multiplicar la función por una exponencial, se causa un
desplazamiento en el dominio de la frecuencia
)()(2
c
tfjffVetv c
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41
Relación entre el dominio del tiempo y la
frecuenciav) Traslación en frecuencia y modulación
Este teorema trae consigo varios efectos:
Las componentes principales de la señal están concentradas al
rededor de .
A pesar de que tienen banda limitada , tiene un
ancho de banda . Entonces la traslación ha duplicado el ancho
espectral.
no cumple con la propiedad hermitiana, pero tiene
simetría respecto al eje trasladado a .
cf
)( fV w )( cffV
w2
)( cffV
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42
Relación entre el dominio del tiempo y la
frecuenciav) Traslación en frecuencia y modulación
Para efectos reales, construir la señal exponencial no es fácil,
por eso se utiliza la propiedad de Euler:
A este resultado se le conoce como teorema de la modulación
Ejemplo: Pulso RF
)(2
)(2
)cos()( c
j
c
j
c ffVe
ffVe
twtv
twt
Atz ccos)()(
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43
Relación entre el dominio del tiempo y la
frecuenciaEjemplo: Pulso RF
Aplicando el teorema de la modulación se obtiene:
twt
Atz ccos)()(
)(sin2
)(sin2
)( cc ffcA
ffcA
fZ
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44
Relación entre el dominio del tiempo y la
frecuenciaDiferenciación e integración
El teorema indica que una diferenciación en el tiempo, tiene
implicaciones en el dominio de la frecuencia:
Y la integral en el dominio del tiempo causa
si
la diferenciación refuerza los componentes de alta frecuencia, mientras que la
integración los atenúa.
)(2)( ffVjtvdt
d)()2()( fVfjtv
dt
d n
n
n
)(2
1)( fV
fjdv
t
0)()0( dvV
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45
Relación entre el dominio del tiempo y la
frecuenciaDiferenciación e integración
Existe otro importante teorema, que se desprende de la
diferenciación, el cual indica que dado:
Existe otro par de transformadas tal que:
n
n
n
n
df
fVd
jtvt
)(
)2(
1)(
)()( fVtv
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46
Relación entre el dominio del tiempo y la
frecuenciaEjercicio
Sea la señal con determine
su transformada de Fourier.
Tomando:
))(()()( Tttvttvtzdd )/()( tAtv
)(22)()()(
Ttfjtfj dd efVefVfZ
)(
21
)(
21)()()(22
21
21
21212121
)(2
)cos(2][
j
j
jjjjj
esenj
eeeeee
)()()()(22 Ttfjtfj dd eefVfZ
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47
Relación entre el dominio del tiempo y la
frecuenciaEjercicio
Haciendo
Finalmente:
Si se hace:
dft
1)(
2Ttf
d
fT21 021
2 ft20
T
dtt
02))sin(2)(sinc()(
ftjefTjfAfZ
00
t T
)()()( 2/2/ tt AAtz
)(sinc)2()( 22 fAfjfZ
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48
Relación entre el dominio del tiempo y la
frecuenciaConvolución
La convolución hace parte de las herramientas más importantes en
el campo de las comunicaciones, permite relacionar el tiempo de
manera importante simplificando ciertos análisis.
De esta manera, la convolución entre dos funciones que dependen
de la misma variable es:
Cuando las funciones son continuas la integral no tiene
inconvenientes, pero si se presentan discontinuidades se utiliza el
método gráfico.
dtwvtwtv )()()(*)(
Un
ive
rsid
ad
del C
au
ca -
FIE
T
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49
Relación entre el dominio del tiempo y la
frecuenciaConvolución
Ejemplo para el método gráfico:
i) La integral indica que no se altera pero la función , tiene
un desplazamiento de
tAetv t 0)( TtT
ttw 0)(
)(tv )(tw
TtT
ttw 0
)()(
Un
ive
rsid
ad
del C
au
ca -
FIE
T
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50
Relación entre el dominio del tiempo y la
frecuenciaConvolución
ii) Para tiempos menores a cero las funciones no se traslapan, por lo
tanto la convolución es cero
iii) Pero si la señal se desplaza a un Tt0
t
t TtetT
Ad
T
te
0
01
Un
ive
rsid
ad
del C
au
ca -
FIE
T
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51
Relación entre el dominio del tiempo y la
frecuenciaConvolución
iv) Para tiempos superiores a T, hay traslape
Y el resultado obtenido:
t
Tt
TtT TteeTT
Ad
T
te )(1
Un
ive
rsid
ad
del C
au
ca -
FIE
T
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52
Relación entre el dominio del tiempo y la
frecuenciaConvolución – propiedades
i) Propiedad conmutativa
ii) Propiedad asociativa
iii) Propiedad distributiva
Estas propiedades originan los teoremas de la convolución
)(*)()(*)( tvtwtwtv
)(*)](*)([)](*)([*)( tztwtvtztwtv
)(*)()(*)()]()([*)( tztvtwtvtztwtv
Un
ive
rsid
ad
del C
au
ca -
FIE
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53
Relación entre el dominio del tiempo y la
frecuenciaConvolución – teoremas
i) Convolución en el tiempo
ii) Producto en el tiempo
iii) Derivada
iv) Integral
dt
tdwtv
dt
twtvd )(*)(
)](*)([
)()()(*)( fWfVtwtv
)(*)()()( fWfVtwtv
dttwdttvdttwtv )(*)()](*)([
Un
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rsid
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del C
au
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54
Relación entre el dominio del tiempo y la
frecuenciaConvolución – Pulso trapezoidal
Realizar la convolución de los siguientes pulsos:
Tomando se debe tener en cuenta los puntos sin traslape, de
traslape parcial y traslape total21
Un
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del C
au
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55
Relación entre el dominio del tiempo y la
frecuenciaConvolución – Pulso trapezoidal
El desplazamiento de los pulso de menor duración genera las
siguientes señales.
Si no hay traslape la convolución es cero.
entonces22
12t2
)(21t
Un
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ad
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56
Relación entre el dominio del tiempo y la
frecuenciaConvolución – Pulso trapezoidal
En la región de traslape parcial
22)
2()(*)( 212121
212
2
21
2
1ttAAdAAtwtv
t
22)
2()(*)( 212121
212
2
21
1
2ttAAdAAtwtv
t
Un
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57
Relación entre el dominio del tiempo y la
frecuenciaConvolución – Pulso trapezoidal
En la región de traslape total
Se obtiene como resultado el pulso trapezoidal
2||)(*)( 21
2212
2
21
2
2tAAdAAtwtv
t
t
)sin)(sin()()(222111
fcAfcAfWfV
Un
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58
Impulso y transformada en el límite
El impulso - propiedades
El impulso es una función generalizada que permite definir
discontinuidades en señales mixtas.
definido bajo la integral
Propiedades:
i) iii)
ii) iv)
1)()( dttdtt
)()(*)( dd ttvtttv
)()()( dd tvdttttv
)()()()( ddd tttvtttv
0)(1
)( ata
at
Un
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rsid
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59
Impulso y transformada en el límite
El impulso en frecuencia
En el dominio de la frecuencia la transformada de una constante es
la función impulso:
Por ser una transformada cumple las propiedades de dicha
transformada:
)( fAA
)( c
tjwffAAe c
)(2
)(2
)cos( c
j
c
j
c ffAe
ffAe
twA
Un
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60
Impulso y transformada en el límite
El impulso en frecuencia
Si se tomase la representación de una función periódica, sería:
Cuya transformada esta dada por:
Lo cual indica que cualquier espectro bilateral, puede ser convertido a un
espectro continuo, permitiendo generar espectros continuos que representen tanto
señales periódicas como no periódicas.
n
tnfjenfCtv 02
0 )(
)()( 00 nffnfCfVn
Un
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61
Impulso y transformada en el límite
El impulso en frecuencia - ejemplo
Sea la señal: twAtwAtwAtvc
t
c
t
c2cos)(cos)(cos
)2(sinc)2(sinc
)(sinc)(sinc)()(
2
22
cc
A
cc
A
cc
A
ffff
fffffffffV
Un
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62
Función escalón y signo
El escalón
Esta señal es útil para describir niveles de voltaje o corrientes
constantes, esta definido como:
Como se puede notar esta señal es de tipo causal y calcular su
transformada en el limite suele causar cierta dificultad, por este
motivo se analiza mediante la función signo.
00
01)(
t
ttu
Un
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63
Función escalón y signo
Signo
Como su nombre lo indica esta función describe los valores
positivos y negativos de los ejes.
Para encontrar la transformada de esta función, se debe analizar
como un caso especial de la función:
01
01)sgn(
t
tt
)()()( tvtvtz
0
0)(
te
tetz
bt
bt
Un
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64
Función escalón y signo
Signo
Por las propiedades de simetría, se obtiene:
Tal que:
Escalón
Con este par de transformadas se puede analizar el escalón:
22 )2(
4)(2)(
fb
fjfVjfZ o
f
jfZt
b)(lim)][sgn(
0F
fjt
1)sgn(
2
1sgn
2
1)( ttu )(
2
1
2
1)( f
fjtu
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65
Función escalón y signo
Convolución con el escalón
Esta función puede simplificar el desarrollo de integrales y la
determinación de las transformadas:
Lo anterior demuestra que el teorema de la integral es valido solo si V(0)=0
t
dvdtuvtutv )()()()(*)(
)(2
1
2
1)()(*)( f
fjfVtutv
)()0(2
1
2
1)()( fV
fjfVdv
t
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66
Impulso en el tiempo
Aplicando el teorema de la dualidad, puede obtenerse la
transformada del impulso en el tiempo:
Este resultado permite demostrar la veracidad de la transformada
inversa de Fourier:
AtA )(
dftj
d AettA2
)(
dfedevfV ftjfj 221 )()]([F
ddfev tfj )(2)(
)(*)()()( ttvdtv
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67
Impulso en el tiempo
Una relación bastante importante es la que existe entre el impulso y
el escalón:
Con los resultados obtenidos y el teorema de la derivación
)(0
1)( d
d
dt
d ttutt
ttdt
)()( dd ttudt
dtt
k
kkn
n
ttAtwtvdt
d)()()(
k
ftj
k
n keAfWfVfj2
)()()2(
derivar la función en múltiples
ocasiones, hasta encontrar la
primera discontinuidad. Entonces la
siguiente derivada ira acompañada
de un impulso .)( kk ttA
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del C
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68
Respuesta de un sistema y filtros
En sistemas electrónicos es muy común construir sistemas de los
cuales se espera alguna determinada respuesta a la aplicación de una
entrada.
Aunque son muchos los factores que afectan a las señales en dichos
sistemas, en este apartado se tendrá en cuanta los sistemas lineales
invariantes en el tiempo o LTI (Linear Time Invariant), que no
almacenan energía.
Sistema
)(tx )(ty
Un
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del C
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69
Respuesta de un sistema y filtros
Respuesta al Impulso e integral de superposición
En los sistemas LTI, la respuesta es obtenida a partir de la entrada,
que se representa como:
Linealidad
Que además indica que satisface el concepto de la superposición:
La invariancia en el tiempo indica que las características del sistema
permanecen constantes en el tiempo
)]([)( txFty
k
kk txatx )()(k
kk txFaty )]([)(
)()]([ dd ttyttxF
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70
Respuesta de un sistema y filtros
Respuesta al Impulso e integral de superposición
En los sistemas comunes, debido a la presencia de múltiples
elementos, la entrada y la salida del sistema se encuentran
relacionadas mediante una ecuación diferencial lineal de la forma:
Como se puede notar esta expresión no permite determinar a ,
directamente, por este motivo es necesario determinar la respuesta al
impulso.
)()(
......)(
)()(
......)(
001 txbdt
tdxa
dt
txdbtya
dt
tdya
dt
tyda bm
m
mn
n
n
)(ty
)]([)( tFth
Un
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71
Respuesta de un sistema y filtros
Respuesta al Impulso e integral de superposición
Por las propiedades del impulso una función se puede expresar
como:)(*)()( ttxtx
dtFxdtxFty )]([)()()()(
)()]([ thtF
dthxty )()()(
)(*)()()()( txthdtxhty
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72
Respuesta de un sistema y filtros
Respuesta al Impulso e integral de superposición
De esta manera, el análisis en el dominio del tiempo depende del
conocimiento de la respuesta al impuso y la habilidad para realizar la
convolución.
Aunque se emplean muchas técnicas para determinar la respuesta al
impulso, una de las más eficientes es utilizar como señal de entrada
al escalón)()( tutx
)]([)( tuFtg
dt
tdgth
)()(
)(*)()( tuthtg
dt
tduth
dt
tdg )(*)(
)(
)()(*)()(
thtthdt
tdg
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73
Respuesta de un sistema y filtros
Respuesta en el tiempo de un sistema de primer orden
Este circuito representa un sistema de primer orden.
Su respuesta esta dada por:
La respuesta al impulso sea entonces la derivada de
)()()(
txtydt
tdyRC )()1()( / tuetg RCt
)()(/
tuRC
eth
RCt
)(tg
Un
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74
Respuesta de un sistema y filtros
Función de transferencia y análisis en el dominio de lafrecuencia
Una función de transferencia es la transformada de Fourier de la
respuesta al impulso en el dominio del tiempo.
Por lo tanto para que exista transformada, debe ser una señal
estable que sea transformable.
Sistema LTI
)(tx )(ty
)( fX )( fY
)(th
)(th
)( fH
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75
Respuesta de un sistema y filtros
Función de transferencia y análisis en el dominio de la frecuencia
El concepto de la función de transferencia proviene de la integral de
superposición, cuando a la entrada del sistema se aplica una señal:
Entonces la respuesta del sistema es:
expresando la salida en forma
fasorial se tiene:
teeAtxtfjj
xx 02
)(
tfjj
x
tfjj
x
fj
tfjj
x
eeAfHty
eeAdehty
deeAhty
txthty
x
x
x
0
00
0
2
0
22
)(2
)()(
)()(
)()(
)(*)()(
xyxy
tfjj
y
fHAfHA
teeAty y
)(arg)(
)(
00
2 0
Un
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76
Respuesta de un sistema y filtros
Función de transferencia y análisis en el dominio de la frecuencia
En la práctica la entrada y salida tendrían la forma:
Y la relación de amplitud y cambio fase del sistema será:
De manera general la respuesta en el dominio de la frecuencia está
dada por:
con
El resultado es la base del análisis de sistemas en el dominio de la frecuencia.
El espectro de la señal de salida es el espectro de la señal de entrada,
multiplicado por la función de transferencia del sistema.
)2cos()()2cos()( 00 xxxx tfAtxtfAtx
)(arg)( 00 fHfHA
Axy
x
y
)()()( fXfHfY)(arg)(arg)(arg
)()()(
fXfHfY
fXfHfY
Un
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del C
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77
Respuesta de un sistema y filtros
Función de transferencia y análisis en el dominio de la frecuencia
Siendo la entrada una señal de energía, la correspondiente salida será
una señal de energía:
con
Con estos resultados se puede obtener la función de transferencia
por dos caminos diferentes sin involucrar a :
O la respuesta en el estado estable:
dffXfHEy
22
)()(222
)()()( fXfHfY
01
01
)2()2(
)2()2()(
afjafja
bfjbfjbfH
n
n
m
m
)(th
)(
)()(
tx
tyfH
ftjetx 2)(
Un
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au
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78
Respuesta de un sistema y filtros
Respuesta en frecuencia de un sistema de primer orden
Considere el circuito de primer orden, definido con impedancias
Tomando , la función de
transferencia es:
Entonces, realizando los correspondientes remplazos de impedancia
donde
jwtetx )(
cr
c
ZZ
Z
tx
tyfH
)(
)()(
fRCjfcjR
fcj
tx
tyfH
21
1
2/1
2/1
)(
)()(
)/(1
1)(
BfjfH
RCB
2
1
Un
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79
Respuesta de un sistema y filtros
Respuesta en frecuencia de un sistema de primer orden
Las relaciones de fase y amplitud serían:
Se puede destacar la relación de amplitud, donde se aprecia que las
componentes de baja frecuencia no se ven muy afectadas ( ),
mientras que las componentes de alta frecuencia ( ) se reducen
significativamente.
2)/(1
1)(
BffH
B
ffH 1tan)(arg
Bf ||
Bf ||
Un
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80
Respuesta en frecuencia de un sistema de primer orden -
Consideraciones de W y B
Tomando una señal arbitraria con determinado
ancho de banda, tal que sus componentes de alta
frecuencia sean despreciables ( )
1. Si , en este caso el filtro deja pasar las
componentes en frecuencia puesto que .
y de esta manera:
Respuesta de un sistema y filtros
Wf ||
BW
1)( fH
0)(arg fH
)()()()( fXfXfHfY
)()( txty
Un
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81
Respuesta en frecuencia de un sistema de primer orden -
Consideraciones de W y B
2. Si , depende de y , se
puede entonces decir que la salida está
distorsionada porque difiere de la entrada.
Respuesta de un sistema y filtros
BW
)()()()( fXfXfHfY
)()( txty
)( fY )( fX )( fH
Un
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82
Respuesta en frecuencia de un sistema de primer orden -
Consideraciones de W y B
3. Si , se aproxima a su valor en ,
entonces:
Y la respuesta se aproxima a la respuesta del
sistema cuando en la entrada es aplican un
impulso.
Repita el ejercicio cambiando la impedancia capacitiva por
una inductiva, exprésela en términos de
Respuesta de un sistema y filtros
BW )( fY
)()0()( fHXfY
0f
LRf l 2/
Un
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83
Análisis de diagrama en bloques
Los sistemas de telecomunicaciones, están conformados de
múltiples subsistemas que se encargan de funciones específicas y
cada uno de ellos tiene su respectiva función de transferencia.
Configuración paralelo
Respuesta de un sistema y filtros
)()()(
)()()()()(
)()]()([)(
21
21
21
fHfHfH
fHfXfHfXfY
fXfHfHfY
Un
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del C
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84
Análisis de diagrama en bloques
Configuración cascada
Configuración retroalimentación
Respuesta de un sistema y filtros
)()()(
)]()()[()(
21
12
fHfHfH
fXfHfHfY
)()()(1
)()(
])()()()[()(
21
1
21
fXfHfH
fHfY
fYfHfXfHfY
Un
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85
Análisis de diagrama en bloques – Ejercicios
1. Determine la función de transferencia de
2. Encuentre el diagrama en bloques tanto en el tiempo como en la
frecuencia, dada la función de transferencia
Respuesta de un sistema y filtros
Un
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86
Distorsión de señal en transmisión
Sin importar el tipo de medio de transmisión que enlace el
transmisor y el receptor todos poseen dos características físicas
esenciales: la disipación y el almacenamiento de energía.
Para entender la distorsión, es preciso definir lo que es una
transmisión sin distorsión y sus condiciones.
La señal de salida tiene que tener una proporción en magnitud con la entrada y
un retardo tolerable que no altere la forma de onda.
Respuesta de un sistema y filtros
Un
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87
Distorsión de señal en transmisión
Matemáticamente se tiene:
Comparando con la respuesta de un sistema en frecuencia se tiene:
Entonces el sistema debe multiplicar la entrada por una constante
que puede ser positiva o negativa.
Respuesta de un sistema y filtros
)()( dttKxty
)()]([)( fXKetyfY djwtF
djwtKefH )(
1802)(arg|||)(| mftfHKfHd
Un
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88
Distorsión de señal en transmisión
Cabe aclarar que esta condición de transmisión no se presenta para
toda frecuencia, sino para aquellas frecuencias donde opera el
sistema de telecomunicaciones.
Por ejemplo un sistema que trabaje con el espectro de voz
El rango donde se debe tener
transmisión sin distorsión está
entre 200 y 3200.
Respuesta de un sistema y filtros
Un
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89
Distorsión de señal en transmisión
Entonces se puede definir ahora tres tipos de distorsión:
• Distorsión de Amplitud, que ocurre cuando
• Distorsión de Fase, cuando
• Distorsión no lineal, que ocurre cuando el sistema está
compuesto de elementos no lineales.
Los dos primeros se clasifican como distorsiones lineales, descritos
por la función de transferencia de sistemas lineales.
Para el tercer tipo, no existe función de transferencia.
Respuesta de un sistema y filtros
|||)(| KfH
1802)(arg mftfH d
Un
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90
Distorsión de señal en transmisión – distorsión lineal
La distorsión lineal en el dominio de la frecuencia indica que las
componentes de frecuencia no están en las proporciones correctas,
debido a que la magnitud de la función de transferencia del sistema
no tiene una respuesta constante. Por este motivos se suele llamar
distorsión de frecuencia.
Los casos más comunes son la afección de las componentes de baja
o alta frecuencia, amplificando o atenuando de manera
desproporcionada.
Respuesta de un sistema y filtros
Un
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91
Distorsión de señal en transmisión – distorsión lineal
Ejemplo en el dominio del tiempo:
Atenuación de altas frecuencias Atenuación de bajas frecuencias
Respuesta de un sistema y filtros
twtwtwtx 000 5cos5/13cos3/1cos)(
Un
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92
Distorsión de señal en transmisión – distorsión lineal
En los sistemas reales conseguir transmisión con cero distorsión es
difícil, y por este motivo los sistemas se diseñan con un grado de
tolerancia.
Cuando la señal experimenta retardos o desfases no lineales, se
genera la distorsión de fase o retardo.
Desfase de -90°
Respuesta de un sistema y filtros
)(2)(arg fftfH d
f
fHftd
2
)(arg)(
Un
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93
Distorsión de señal en transmisión – distorsión lineal
Para visualizar el efecto de la distorsión de retardo, tememos una
función de transferencia de canal de la forma
Si se transmite una señal:
En la salida del canal se obtiene:
Respuesta de un sistema y filtros
gg ftjjftjeAeAefH
2)2(00)(
02)(arg gftfH ftft gd 2/)( 0
tsenwtxtwtxtx cc )(cos)()( 21
])([)(])(cos[)()(0201 gcggcg
ttwsenttxttwttxty
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94
Distorsión de señal en transmisión – distorsión lineal
De la respuesta se puede definir que:
Tal que la respuesta del sistema tiene la forma:
La señal portadora sufre un retardo diferente al que experimenta la
señal, se distinguie: Retardo de portadora o de fase y Retardo de envolvente o
de grupo del canal.
Esta análisis conlleva a los requisitos necesarios para que un canal
pasabanda sea considerado sin distorsión.
Respuesta de un sistema y filtros
dcgc twtwfH 0)(arg
)]([)()](cos[)()( 21 dcgdcg ttwsenttxttwttxty
gdtt
df
fdt
g
)(
2
1
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95
Distorsión de señal en transmisión – distorsión no lineal
En un sistema no lineal no existe el concepto de función de
transferencia, en lugar de ello se describe los valores instantáneos de
entrada y salida, mediante una curva:
Característica de transferencia
Bajo la condición de señales pequeñas se puede linealizar la función
A la cual puede darse solución mediante la convolución
Respuesta de un sistema y filtros
)]([)( txTty
3
3
2
21)()()()( txatxatxaty
)(*)(*)()(*)()()(321
fXfXfXafXfXafXafY
Un
ive
rsid
ad
del C
au
ca -
FIE
T
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96
Filtro y filtrado
Los filtros son muy comunes en sistemas de comunicaciones por la
posibilidad que proporcionan de evitar la degradación de la señal y
su recepción.
Filtro Ideal : Por definición un filtro tiene características de
transmisión sin distorsión sobre una o algunas bandas de
frecuencia específicas, y repuesta nula para el resto.
Respuesta de un sistema y filtros
casootroen
fffkefH ul
jwtd
0)(
Un
ive
rsid
ad
del C
au
ca -
FIE
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Filtro y filtrado - Filtro Ideal
Los parámetros y determinan el ancho de banda del filtro
Cuando el filtro se comporta como un filtro pasabajas y su
ancho de banda estará dado por:
Si ahora se toma a y su comportamiento es el de un filtro
pasaaltas.
Y finalmente un filtro el cual deja pasar todas las frecuencias
excepto las de una banda específica.
Respuesta de un sistema y filtros
lfuf
lu ffB
ufB
0lf
0lf uf
Un
ive
rsid
ad
del C
au
ca -
FIE
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Filtro y filtrado - Filtro Ideal
Este tipo de filtros se consideran ideales, porque sus
características no pueden obtenerse con un número finito de
elementos.
Además, considere el filtro pasabajas ideal:
La respuesta al impulso está dada por:
Note que la respuesta al impulso tiene valores en t menor
a cero, que indica que hay respuesta antes de aplicar señal.
Respuesta de un sistema y filtros
B
tKefH djwt
2)(
)(2csin2)(d
ttBBKth
Un
ive
rsid
ad
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au
ca -
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Filtro y filtrado - Limitación en banda y tiempo
Se dice que una señal esta limitada en banda si sus compo-
nentes a partir de una frecuencia W son nulas.
Análogamente, se dice que una señal es limitada en tiempo, si existe
durante un intervalo de tiempo finito.
Aunque, la respuesta en frecuencia de una señal limitada en tiempo
no sea limitada en banda, gracias al concepto de los filtros se puede
tomar estas aproximaciones.
Respuesta de un sistema y filtros
WfparafV ||0)(
210)( ttyttparatv
Un
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Filtro y filtrado - Filtros Reales
Para apreciar las aproximaciones obtenidas a partir del filtro ideal, se
debe tomar la relación de amplitudes de un filtro real.
Se puede notar que para el filtro real es lo suficientemente
grande pero no es constante como en el caso ideal, esto se debe a
que en los puntos de corte la magnitud es pequeña pero no cero.
Respuesta de un sistema y filtros
|)(| fH
Un
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ad
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Filtro y filtrado - Filtros Reales
Estos puntos de corte se definen por:
Para que no caiga a un nivel tan bajo.
Estos puntos de corte definen el ancho de banda y se conocen
como puntos de potencia mitad o de 3dB.
Además definen tres regiones importantes:
Región de Paso
Región de transición
Región de Parada
Respuesta de un sistema y filtros
|)(| fH
hl fffK
fHfH ,2
|)(|2
1|)(| max
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Filtro y filtrado - Filtros Reales
El filtro más sencillo es un filtro pasabajas de butterworth de orden
n, cuya función de transferencia con ganancia unitaria esta dada por:
B: Ancho de banda de 3dB
:Polinomio complejo de Butterworth
Dichos polinomios están definidos como:
Respuesta de un sistema y filtros
)/(
1)(
BjfPfH
n nP
n
n BfBjfP 22 )/(1|)/(|nBf
fH2)/(1
1|)(|
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Filtro y filtrado - Filtros Reales
Un filtro de primer orden de butterworth, tiene las mismas
características de un filtro RC pasabajas, que es una aproximación
distante al filtro ideal, que mejora a medida que se aumentan
elementos del circuito, aumentando el orden del filtro.
n=3
Respuesta de un sistema y filtros
Un
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Filtro y filtrado - Filtros Reales
Una relación bastante clara entre la magnitud y la frecuencia, es la
que se obtiene de los diagramas de bode.
Respuesta de un sistema y filtros
Para n=1 la región
transición de 9B.
Para n=10 será de 0.25B
Se puede apreciar que a medida
que crece el orden del filtro H(f)
se aproxima al filtro ideal, sin
embargo en la distorsión de fase
se incrementa causando
inconvenientes.
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Filtro y filtrado - Filtros Reales
Cuando la preocupación es el retardo de fase, una opción más
adecuada son los filtros de Bessel-Thomson, ellos proporcionan un
valor máximo de distorsión lineal de fase, para un número
determinado de n.
Por otro lado los filtros igual rizado, como los de chebyisheb y
elípticos, proporcionan una mejor caída en la región de transición
Respuesta de un sistema y filtros
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Filtro y filtrado - Filtro de butterworth de Segundo Orden
Este es un filtro pasabajas de segundo orden con ancho de banda:
Con
Entonces:
Respuesta de un sistema y filtros
LCB
2
1
LRC
RC
ZZ
ZfH )(
jwRC
R
jwCR
jwCRZ rc
1/1
/
12
22
21
/1
1)( fLCf
R
Lj
LCwRjwLfH
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Filtro y filtrado - Filtro de Butterworth de Segundo Orden
Comparando con los polinomios de Butterworth
Se debe cumplir
Respuesta de un sistema y filtros
12
21)(B
f
B
fjfH
LCBR
L22
22
C
LR
2
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Filtro y filtrado - Filtro de Butterworth de Segundo Ordenl=input('cual es el valor de su inductancia (mH): ');
c=input('cual es el valor de su capacitancia (mF): ');
L=l/1000;
C=c/1000;
B=1/(2*sqrt(L*C))
R=sqrt(L/(2*C))
f=0:0.1:2*B;
H=1./(1+i*(sqrt(2)*(f./B))-((f./B).^2));
hb=1./(i*sqrt(2))
plot(f,abs(H),B,abs(hb),'bo','LineWidth',2);
grid on
B =22.8218
R =1.0328
Respuesta de un sistema y filtros
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
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