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Capítulo I
INTRODUCCIÓN
I.1 Economía matemática
Es una parte de la teoría económica que se formula y desarrolla a través del uso de los símbolos y métodos de la matemática, es decir, la economía matemática es la expresión matemática de la teoría económica. La economía matemática se basa en última instancia en hechos observados, los cuales están siempre sujetos a interpretaciones variables, de acuerdo al investigador y al objeto de su investigación. De estas observaciones se extraen, de algún modo, proposiciones generales (hipótesis, teorías, leyes, etc.) las cuales tienen dos propiedades importantes: a) Son siempre provisionales, sujetas a revisión y rechazo tanto en el campo
lógico como empírico. b) Usualmente tienen muchas implicaciones que no son inmediatamente
visibles para el investigador. La economía matemática usualmente se reserva para describir aquellos casos en los que se emplean técnicas matemáticas que van más allá de la simple geometría, tales como álgebra matricial, cálculo diferencial e integral, ecuaciones diferenciales, ecuaciones en diferencias, programación matemática, etc. Las técnicas de las matemáticas pueden, en consecuencia, ser usadas por el investigador al menos por tres razones generales: 1. Como ayuda para expresar las definiciones, postulados y conclusiones de una
teoría en una forma clara y consistente. 2. Para guiar y facilitar la obtención de conclusiones valiosas en sí mismas.
3. Para obtener conclusiones que puedan ser usadas para probar el realismo de la teoría.
ECONOMÍA MATEMÁTICA Y MODELOS ECONÓMICOS
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Por otro lado podemos decir que la economía matemática es una aproximación al análisis económico en donde el economista emplea símbolos matemáticos para deducir un conjunto de conclusiones o teoremas a partir de un conjunto dado de hipótesis de razonamiento. En este punto debemos diferenciar “economía matemática” de “economía literaria o economía discursiva”. La mayor diferencia radica en el hecho de que en la economía matemática las hipótesis y conclusiones se determinan haciendo uso de símbolos matemáticos en lugar de palabras y utilizando ecuaciones en lugar de frases; además, emplea teoremas matemáticos en el proceso de razonamiento en vez de utilizar la lógica literaria. Asimismo, el lenguaje matemático, es más preciso y conciso que el literario: contribuye a un mayor rigor lógico, ayuda al razonamiento, a sintetizar y ha realizar desarrollos generales. El lenguaje literario, en cambio, puede omitir algunos pasos en el razonamiento y puede dar lugar a diferentes interpretaciones, mientras que el lenguaje matemático previene contra estas imperfecciones y contra el peligro de adoptar hipótesis implícitas no deseadas. Por otro lado, mediante el uso del lenguaje matemático únicamente se puede representar una gama restringida de circunstancias y relaciones económicas. El comportamiento de los agentes económicos, los rasgos históricos, culturales o psicológicos, y las relaciones humanas no pueden “reducirse” a razonamientos matemáticos. Es necesario recalcar que, lo importante es no tener que decidir entre una preferencia matemática y otra no matemática para la economía. La elección no es pues entre utilizar o no las matemáticas en economía, sino entre hacerlo o no con las suficientes precauciones y en las cantidades apropiadas. Un gran número de economistas coinciden en la idea de que la economía necesita las matemáticas, las técnicas cuantitativas, pero no puede reducirse sólo a matemáticas. Por tanto, lo que se debe buscar es el no tener que elegir, más bien hay que saber integrar las matemáticas con la lógica literaria. También es importante diferenciar los términos de “economía matemática” y “econometría”. La econometría se interesa principalmente por la medición de los datos económicos, de ahí que trate del estudio de las observaciones empíricas utilizando métodos estadísticos de estimación y contraste de hipótesis. Mientras que la economía matemática se refiere a la aplicación de las matemáticas a los aspectos puramente teóricos del análisis económico, con poco o ningún interés por problemas estadísticos tales como los errores de medición de las variables en estudio. Además, la economía matemática hace uso de relaciones exactas o determinísticas, mientras que la econometría utiliza relaciones estocásticas.
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I.2 Modelos económicos
1. Metodología científica en la economía
La economía desarrolla sus teorías y modelos a partir de observaciones empíricas y no experimentales de los agentes económicos. En la actualidad, la economía se considera como una ciencia empírica. Toda ciencia empírica emplea una metodología (lógico-empírica) en la elaboración de modelos, que incluye la observación, la modelización y la verificación, y que se puede resumir en los siguientes pasos: 1. Observaciones cualitativas y cuantitativas de los fenómenos,
directamente o a través de experimentación cuidadosamente diseñada. 2. Procesamiento numérico y estadístico de los datos observados. 3. Elaboración de un modelo teórico que describa los fenómenos
observados y que explique las relaciones entre ellos. 4. Utilización del modelo teórico para deducir predicciones. 5. Corrección y mejora del modelo de modo que permita realizar mejores
predicciones.
2. La modelización
Todo fenómeno económico se presenta en un entorno complejo sobre el que influyen muchos factores de diversa índole: económicos, tecnológicos, políticos, psicológicos, etc. El análisis de un fenómeno económico se puede realizar en dos pasos. En primer lugar, debido a la imposibilidad de tener en consideración todos los factores que influyen en un fenómeno tan complejo, se seleccionan aquellos que se consideran relevantes prescindiendo del resto de factores. Es decir, en las explicaciones del fenómeno, únicamente se tiene en consideración ciertos factores y todo lo demás se mantiene constante (ceteris paribus). A continuación se establecen relaciones entre los factores seleccionados. El conjunto de relaciones entre los factores relevantes constituyen lo que se conoce como modelo económico. Al proceso de seleccionar los factores relevantes y establecer relaciones entre ellos se le denomina modelización.
3. Definiciones de modelo económico
1. Un modelo económico es una representación esquemática y aproximada
de la economía real y que proporciona una imagen simplificada e idealizada de ciertos aspectos de la actividad económica.
2. Es una representación simplificada de la forma en que ciertos fenómenos están constituidos y/o de la manera en que se desenvuelven. Este concepto incluye, en forma explícita, el análisis estructural (la forma en que ciertos fenómenos están constituidos) y el análisis dinámico (la manera en que ciertos fenómenos se desarrollan en el tiempo).
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3. Es un conjunto de relaciones matemáticas que expresan en forma simplificada e idealizada, las características básicas y esenciales de: un orden institucional y legal vigente, una tecnología incorporada a la actividad económica objeto de análisis, la regularidad observada en el comportamiento real de los sujetos de la actividad económica.
4. Es una representación formal de los rasgos básicos de un sistema complejo (la economía real) por medio de unas cuantas relaciones fundamentales.
5. Es una representación de ciertos aspectos de la realidad económica (el mundo de las relaciones entre agentes que poseen bienes y que tienen ciertas preferencias, buscan un mejor bienestar y están dispuestos al intercambio), manteniendo todo lo demás igual (ceteris paribus).
4. Elementos constitutivos de un modelo
Un modelo económico de naturaleza matemática resulta especificado por un conjunto de ecuaciones o funciones entre las variables más relevantes que ayudan a explicar una tecnología incorporada, un orden institucional o legal y/o el comportamiento de los sujetos de la actividad económica en un sistema, sub-sistema, sector o sub-sector. Las ecuaciones con que se especifica un modelo se llaman “estructurales o primarias” y por lo tanto se dice que el modelo es “estructural o primario”. Se debe indicar que un modelo no es una estructura sino que es una familia de estructuras y que una estructura es un conjunto de ecuaciones cuyos parámetros previamente han sido estimados. Así:
( )
( )
( ) ( )equilibrioqSD3
0,0PS2
0,PD1
ttt
22t21t22t
11t1t11t
==
>β<αµ+β+α=
>βαµ+β−α=
−
Donde "P" t es el precio, "D" t la demanda, "S" t la oferta, "µ" t1 y "µ" t2 son variables aleatorias. Todos ellos en el periodo "t" , define un modelo en su forma primaria que, en economía, se le conoce como el modelo de la telaraña.
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En cambio,
( )
( )
( ) ttt
t21tt
t1tt
qSD6
P9,05S5
P2,180D4
==
µ++−=
µ+−=
−
define una estructura. Ella es un elemento, de entre los infinitos elementos posibles, pertenecientes al modelo de la telaraña, en efecto, para cada combinación de valores factibles de 1α , 2α , 1β y 2β , sin tener en consideración por el momento los parámetros correspondientes a la especificación que se realice sobre t1µ y t2µ , se tiene una estructura distinta. Simbolizando con "S" al conjunto de estructuras o modelo y con "s" una estructura perteneciente a "S" , o sea ,Ss∈ resulta, para la especificación del modelo de la telaraña, de acuerdo con la notación de la lógica formal que es común en teoría de conjuntos:
0,0,0,0/sS 2121 <β>β<α>α=
En palabras, el modelo "S" se define como el conjunto (familia o clase) de estructuras "s" tal que sus parámetros 1α , 1β y 2β son positivos y 2α es negativo. En la concepción expuesta sobre los modelos en economía se han introducido las categorías de ecuaciones, variables y parámetros como elementos integrantes de los modelos. A continuación trataremos en detalle los mismos.
4.1 Ecuaciones: En primer lugar, un modelo se especifica mediante una ecuación (modelos uniecuacionales) o varias ecuaciones (modelos multiecuacionales). Cada ecuación explica un sector (agricultura, manufactura, gobierno, etc.) o una categoría (consumidores, productores, inversionistas, instituciones financieras, etc.) de la actividad económica objeto de investigación.
Según sea su contenido empírico, las ecuaciones de un modelo se clasifican en: 4.1.1 Ecuaciones de comportamiento. 4.1.2 Ecuaciones institucionales o legales. 4.1.3 Ecuaciones tecnológicas. 4.1.4 Ecuaciones de definición o identidad. 4.1.5 Ecuaciones de equilibrio móvil.
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Esta clasificación es de vital importancia para determinar si el modelo puede o no ser sometido a las pruebas de comprobación con la experiencia. Sólo las tres primeras clases de ecuaciones son el resultado de axiomas o hipótesis empíricamente comprobables. Para su construcción, el investigador parte de las observaciones empíricas sobre el modo de actuar de los sujetos de la actividad económica. De la observación empírica se obtendrá: a) Las variables relevantes que intervienen en la explicación del sector o
actividad sometida a análisis. b) Las características de permanencia o regularidad que determinan el
comportamiento de dichas variables. c) Sus relaciones de causalidad. Para conseguir esta información, el economista hace ciertos supuestos simplificadores de la realidad mediante un proceso de abstracción. Elaboradas las ecuaciones de origen empírico que integrarán un modelo, ellas deben ser contrastadas con “nueva” experiencia en términos probabilísticos, para determinar la medida de realidad de las mismas. Obsérvese que hemos dicho “nueva” experiencia, es decir, nuevas observaciones, ya que las viejas observaciones en que se basa la ecuación nunca darán resultados diferentes a los obtenidos. Sólo las nuevas observaciones son las que podrán decidir a favor o en contra de la hipótesis y del modelo en general. Las restantes clases de ecuaciones, a saber, por definición y de equilibrio móvil, son axiomas por “convención” o por “definición implícita” y por tanto no pueden ser sometidas a las pruebas de comprobación empírica. A continuación damos el significado de cada uno de los tipos de ecuaciones que pueden integrar un modelo:
4.1.1 Ecuaciones de comportamiento: Explican el modo de actuar de los sujetos de la actividad económica pertenecientes a una categoría determinada (consumidores, productores, importadores, asalariados, etc.). Ejemplos: La función consumo,
( ) 10tTYC 1t21t1t10t <α<µ+α+−α+α= −−
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representa el comportamiento de los consumidores; según la cual el consumo "C" t es función del ingreso disponible del periodo precedente medido por ( )1t1t TY −− − , esto es, el ingreso nacional menos los impuestos, y de los hábitos de consumo y gastos de los consumidores reflejados en la componente tendencial que se expresa por medio de la variable tiempo "t" . La función inversión inducida,
( ) 0ββµrβYYββI 2,1tt22t1t10t >+−−+= −− es también de comportamiento, pero ahora del conjunto de los inversionistas y nos dice que la inversión inducida "I" t es función creciente del incremento de ingreso del periodo precedente, medido por ( )2t1t YY −− − y función decreciente de la tasa de interés bancaria "r" t . 4.1.2 Ecuaciones institucionales o legales: Reflejan los efectos que producen en un modelo económico, la existencia de leyes o un orden institucional dado, al condicionar la actividad económica. Ejemplos: La ecuación del impuesto,
1β0µYβαT ttt <<++=
ella indica que el total de impuestos "T" t que se pueda recaudar es función del ingreso nacional "Y" t pero sus parámetros "β"y"α" están condicionados por las leyes impositivas. La ecuación,
0βµYβαM ttt >++=
es también una ecuación institucional o legal, ahora en relación con la oferta monetaria "M" t como función del ingreso "Y" t y donde "β"y"α" son parámetros determinados por disposiciones legales que rigen el tamaño de la base monetaria. 4.1.3 Ecuaciones tecnológicas: Explican los modos de producción incorporados a la actividad económica. En general ellas reflejan la tecnología que utiliza una economía.
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Ejemplos: La ecuación de producción Cobb–Douglas, homogénea de grado uno [ ]L)λF(K,λL)K,λF( = .
( ) α1αLAKL,KFQ −== Esta ecuación tecnológica considera que la producción es función de dos factores productivos, el capital "K" y el trabajo "L" , y supone rendimientos globales constantes a escala. Cuando la función de producción Cobb–Douglas es homogénea de grado “r”, su ecuación resulta,
( ) βαrLAKL,KFQ βα +=== 4.1.4 Ecuaciones de definición o identidades: Son relaciones que se verifican siempre, ya sea por su construcción lógica o por la definición contable que ellas satisfacen. Ejemplos:
ttt ICY += Que particiona funcionalmente la demanda final total o producto nacional
"Y" t en la demanda de bienes de consumo "C" t y la demanda de bienes de inversión "I" t , es una identidad por definición de las variables que intervienen.
t1tt IKK += − Define una identidad por la construcción lógica a que responde. En efecto, el capital acumulado hasta el periodo "t" , "k" t se ha particionado temporalmente en dos: una parte es el capital acumulado hasta el periodo "1t" − y la otra recoge la inversión neta "I" t realizada en el periodo "t" . Cuando una identidad es el resultado de la partición de una variable (construcción lógica), sus componentes son conjuntos disjuntos, o sea, su intersección es el conjunto nulo y su unión reproduce la variable particionada.
=∩ tt IC Ø ttt YIC =∪
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Es decir, que cada bien demandado en el periodo "t" es un bien de consumo o uno de inversión y que ningún bien pertenece a ambas categorías. Análogamente:
=∩− t1t IK Ø tt1t YIK =∪−
Una identidad por definición contable es una relación que “ex post” se verifica siempre, como las identidades “ex post” que resultan de la contabilidad del ingreso nacional. Por ejemplo, la identidad (contable) “ex post” ahorro = inversión. 4.1.5 Ecuaciones de equilibrio móvil: Son aquellas igualdades que resultan de una condición impuesta o de un postulado introducido. Así la ecuación de equilibrio en el modelo de la telaraña,
ttt qSD == es una ecuación de equilibrio móvil. Se postula la igualdad entre la oferta y la demanda como condición de equilibrio.
4.2 Variables, constantes y parámetros: Hemos visto que toda ecuación es una relación matemática entre un conjunto de variables, que se verifica para determinados valores numéricos de ellas. De este conjunto de valores sólo nos interesan aquellos que tienen significado económico, es decir, los valores factibles que definen su correspondiente dominio o recorrido. Así, para las variables precio, producción, consumo, ingreso, ahorro, etc., sólo son factibles los valores no negativos. Además en toda ecuación interviene otra categoría matemática que son las constantes y los parámetros.
4.2.1 Variable: Una variable es algo cuya magnitud puede cambiar; es decir, algo que puede tomar diferentes valores. Debido a que una variable puede asumir valores distintos no puede ser representada por un número sino que debe ser representada por un símbolo. Por ejemplo, podemos representar el precio por la letra "P" , el costo por la letra "C" , la renta nacional por la letra "Y" , etc.
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4.2.1.1 Clasificación de las variables: La clasificación de las variables que intervienen en un modelo es indispensable para determinar si el mismo cumple o no, como sistema axiomático, con las propiedades de consistencia y de independencia de todo modelo. Por consistencia se entiende la no contradicción entre las diferentes hipótesis o ecuaciones que integran el modelo y por independencia se entiende que cada hipótesis no puede ser deducida como proposición final de las restantes. Si el sistema de ecuaciones es consistente, entonces el modelo puede tener una única solución o infinitas soluciones. En caso contrario, el modelo no admite solución alguna. Otra razón primordial es la necesidad de conocer los tipos de variables que intervienen en el modelo, las cuales nos permitirán seleccionar de manera óptima los métodos de estimación de los parámetros presentes en el modelo. Clasificación de las variables en los modelos estructurales: I. Variables endógenas. II. Variables predeterminadas:
II.1 Exógenas. II.2 Endógenas con retardo.
III. Variables aleatorias o estocásticas. IV. Variables expectativas. I. Variables endógenas: Son aquellas cuyos valores estimados van a ser determinadas por las soluciones particulares del sistema de ecuaciones que integran el modelo. Ellas son las variables dependientes en el análisis matemático. Ejemplos: En el modelo de la telaraña, son variables endógenas la demanda
"D" t , la oferta "S" t y el precio "P" t . En la función consumo, es variable endógena el consumo "C" t . II. Variables predeterminadas: Son aquellas cuyos valores no se obtienen por la solución del modelo sino que provienen fuera del mismo y que contribuyen a explicar el comportamiento de las variables endógenas de un modelo sin ser explicadas por el modelo mismo.
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II.1 Variables exógenas: Este tipo de variables incluyen variables económicas propiamente dichas y variables no económicas. Ambas son explicativas en un modelo dado pero no constituyen objeto de análisis y de explicación en dicho modelo. Así por ejemplo en la ecuación de demanda de un bien industrial, si el modelo estuviera constituido por esa única ecuación, el precio del bien "P" t , el precio de un bien sustituto "P" st , el ingreso nacional "Y" t , y los gastos publicitarios "Z" t se considerarían variables exógenas, todas ellas con significado estrictamente económico. Este hecho limitaría severamente la validez del modelo, ya que algunas de esas variables necesitan ser explicadas en el modelo, particularmente el precio del bien en cuestión, y no consideradas como explicativas. En casos no extremos como éste, el carácter de exógena o endógena respecto a una variable depende fundamentalmente del papel que va a desempeñar en el modelo, es decir, si va a ser explicativa o explicada, respectivamente. La inclusión de variables exógenas con significado económico se justifica por el dominio de la investigación (sector, sub - sector, actividad, etc.) y el periodo que se considera. Así, la inversión pública puede tratarse como variable exógena en un modelo macroeconómico a corto plazo, pero si el modelo es de largo plazo difícilmente podrá tratarse como exógena y, en cambio, requerirá ser explicada por el modelo. Las variables exógenas sin significado estrictamente económico no tienen la limitación anterior. Ejemplos de dichas variables nos lo brinda la precipitación pluvial en una ecuación de oferta de productos agrícolas, la población, el tiempo, etc. II.2 Variables endógenas con retardo: Por sus características específicas, intervienen como variables explicativas. En efecto, recurriendo nuevamente al modelo de la telaraña, el precio "P" t , es una variable endógena, su comportamiento resulta explicado por el modelo [ecuaciones (1), (2) y (3)], pero "P" 1t − , o sea el precio en el periodo anterior, es endógena con retardo de una unidad de tiempo, y se considera explicativa. En el periodo "t" , "P" 1t − es un dato y, por consiguiente, es irreversible. Su valor influye sobre "S" t y no es explicada por el modelo. Las variables endógenas con retardo intervienen intensamente en el análisis económico y su introducción caracteriza la forma más importante que se sigue en la construcción de los modelos dinámicos, de los cuales nos ocuparemos más adelante.
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Lo importante de su introducción en el análisis económico se debe al efecto producido en los niveles actuales de las variables endógenas por los valores asumidos en el pasado inmediato por muchas de ellas.
III. Variables aleatorias o estocásticas: Son variables no observables que cumplen con la misión de recoger el conjunto de causas que no se encuentran explícitamente incorporadas en un modelo, como son: omisión de variables explicativas, errores de especificación y errores de medida sobre las variables endógenas.
III.1 Omisión de variables explicativas: En la especificación de una ecuación se incluyen aquellas variables que se consideran más relevantes, así, para el modelo de la telaraña, en la función de demanda se incluye únicamente el precio del bien considerado, se omiten variables explicativas de la demanda, tales como el ingreso, los precios de los bienes sustitutivos y de los complementarios, etc. Un principio general que debe observarse en la selección de variables, es que la contribución explicativa de las que se excluyen deber ser proporcionalmente inferior a la debida al conjunto de variables incluidas. III.2 Errores de especificación: La variable aleatoria recoge los efectos de una especificación incorrecta sobre la ley matemática de correspondencia entre las variables que se incluyen en la ecuación. Así, por ejemplo cuando se especifica que la relación de correspondencia entre las variables es lineal pero la observación indica que no es lineal (cuadrática, logarítmica, logística, exponenciales, etc.). III.3 Errores de medida sobre las variables endógenas: Se considera que dichos errores son aleatorios y se los incorpora en la variable estocástica de cada ecuación de un modelo. Se supone que las variables exógenas están medidas sin error.
IV. Variables expectativas: Es aquella que refleja una situación de ocurrencia en el futuro. Son variables expectativas, entre otras, las variables: precio normal esperado, ingreso normal esperado, inversión normal esperada, etc. Esta clase de variables interviene en los modelos con retardos distribuidos.
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4.2.2 Constante: Es un valor numérico que no cambia. 4.2.3 Parámetro o constante paramétrica: Es un factor de ponderación correspondiente a cada variable explicativa y mide el efecto de las fluctuaciones de estas variables sobre la variable explicada. Ejemplo: En la ecuación (2) del modelo de la telaraña, que relaciona el precio en el periodo "1t" − con la oferta en el periodo "t" , o sea:
( ) 0β,0αuPβαS2 22t21t22t ><++= −
el parámetro "β" 2 mide el impacto de los niveles de "P" en un periodo, sobre el nivel de la oferta en el periodo siguiente. De acuerdo con la restricción impuesta a "β" 2 (positiva), dicho impacto mide una relación directa, o sea, a valores crecientes de "P" en un periodo inducen valores crecientes de "S" en el periodo siguiente. Matemáticamente podemos definir un parámetro como una constante que es “variable”. En una ecuación normalmente las variables aparecen multiplicadas por constantes tal como R5,0óP7 , pero sin embargo para dar un mayor grado de generalidad podemos reemplazar el valor de la constante por un símbolo RbóaP y debido a que no les hemos asignado valores específicos a "b"y"a" , éstas pueden virtualmente tomar cualquier valor.
5. Análisis de un modelo En la sección anterior se ha mostrado en forma resumida los elementos constitutivos de un modelo económico de naturaleza matemática. Ahora vamos a señalar que tipo de análisis se puede llevar a cabo con un modelo de esta clase. Existen dos posibles tipos de análisis de un modelo. En primer lugar, se puede realizar un análisis estático, que se centra en el estudio de eventos que se supone ocurren en un punto del tiempo. Es decir, el análisis estático estudia los valores alternativos de equilibrio instantáneo para un determinado grupo de variables endógenas relacionadas con diversas estructuras para las variables exógenas del modelo en un punto particular del tiempo. En segundo lugar, se puede efectuar un análisis dinámico, que estudia las sendas temporales de las variables endógenas asociadas a las diversas sendas temporales de las variables exógenas del modelo. Es decir, el análisis dinámico permite el estudio de eventos a lo largo del tiempo.
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6. Propiedades de un modelo
Un modelo debe presentar propiedades lógicas y empíricas.
6.1 Lógicas:
6.1.1 Consistencia: No debe existir contradicción entre las diferentes hipótesis que integran el modelo. Si el sistema de ecuaciones es consistente, entonces puede tener una o infinitas soluciones. 6.1.2 Independencia: Ninguna hipótesis del modelo debe tener carácter redundante, es decir, ninguna hipótesis puede ser deducida de otra. Ninguna proposición puede ser obtenida como consecuencia de las otras proposiciones del modelo.
6.2 Empíricas:
6.2.1 Validez: Hace referencia al grado de precisión con que las conclusiones o proposiciones finales obtenidas explican la realidad. 6.2.2 Generalidad: La generalidad supone reducir las restricciones de las hipótesis o su grado de especificación respecto a la conducta “real” de los sujetos de la actividad económica, analizada en la dimensión espacio- temporal, con esto el modelo cubre una gran cantidad de casos. Cuanto más generalizante sea el modelo, más probabilidades tiene de aplicación empírica, pero pierde validez en cuanto a sus conclusiones. Por el contrario, cuanto más especializado sea un modelo, esto es, cuanto más sustancia y rigor o especificación agregamos a las hipótesis, perdemos generalidad y ganamos en validez.
7. Tipos de modelos: Existen tres tipos de modelos.
7.1 Descriptivos: Representan los fenómenos reales sin prejuzgar sobre su explicación, su predicción o alguna acción fundada en su evolución. Se apoyan en la utilización de datos y de las distribuciones estadísticas.
7.2 Analíticos: Explican la realidad (modelos descriptivos) y las relaciones de causa-efecto que se comprueban en los fenómenos. 7.3 Pronóstico: Se encargan de prever los hechos. Recurren al pasado y al presente para tratar de conocer el futuro apoyándose en la idea que existe una permanencia estructural de los fenómenos. Utilizan el análisis descriptivo y explicativo de los hechos.
Capítulo II
ANÁLISIS ESTÁTICO O ANÁLISIS DE EQUILIBRIO
II.1 El concepto de equilibrio en la economía
1. Equilibrio Es un conjunto de variables escogidas e interrelacionadas, ajustadas de tal modo entre sí que no prevalezca ninguna tendencia inherente al cambio en el modelo que constituyen. Palabras aclaratorias acerca de la definición de equilibrio: 1.1. Escogidas: Subraya el hecho de que existen variables que por decisión del analista no han sido incluidas en el modelo. 1.2. Interrelacionadas: Esta palabra sugiere que para alcanzar el equilibrio todas las variables del modelo deben hallarse simultáneamente en estado de reposo. Además, el estado de reposo de cada variable debe ser compatible con el de todas las demás, de otra forma, podría cambiar una o más variables y hacer con ello que cambien las otras en una reacción en cadena, y no cabría decir que existe equilibrio. 1.3. Inherente: Cuando se define el equilibrio, el estado de reposo se basa únicamente en el balance de las fuerzas internas del modelo, mientras que los factores externos se suponen fijos. Operacionalmente, esto significa que los parámetros y las variables exógenas se tratan como constantes. Cuando realmente cambian los factores externos resulta un nuevo equilibrio definido sobre la base de los nuevos valores paramétricos, pero al definirlo volveremos a suponer que éstos permanecen invariables.
ANÁLISIS DE EQUILIBRIO O EQUILIBRIO ESTÁTICO
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El equilibrio para un modelo específico es en esencia una situación que se caracteriza por una falta de tendencia al cambio, es por esta razón que al estudio de cuando puede aparecer el equilibrio se le llama “análisis estático”. Un equilibrio es una situación que una vez alcanzada, tiende a perpetuarse a menos que cambien las fuerzas externas. Un equilibrio no siempre es un punto deseable, sólo es el resultado de un proceso impersonal de ajuste de fuerzas económicas. Lo llamaremos equilibrio no finalista.
II.2 Herramienta del análisis estático
1. Herramienta La herramienta a utilizar para el estudio del análisis estático es el álgebra matricial.
2. Utilidad
1. Proporciona una forma compacta de escribir un sistema de ecuaciones. 2. Prueba la existencia de una solución (mediante la evaluación del
determinante). 3. Proporciona un método para hallar una solución (si es que existe).
3. Restricción
• Sólo se puede aplicar a los sistemas de ecuaciones lineales. El grado en que las ecuaciones lineales puedan describir de manera realista las relaciones económicas depende de la naturaleza de las mismas. En muchos casos, aun sacrificando cierto realismo al tomar la hipótesis de linealidad, ésta puede darnos una buena aproximación. Por último, aun conservando la no linealidad del modelo, podemos efectuar una transformación de variables para obtener una relación lineal con la que trabajar. Ejemplo: La función no lineal baxy = puede transformarse fácilmente en una función lineal haciendo uso de los logaritmos. Si sacamos logaritmos a cada miembro del signo de igualdad de la función no lineal, entonces:
( ) xlogbalogxlogalogaxlogylog bb +=+==
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La cual representa una función lineal respecto de las variables ".xlog"y"ylog"
En resumen, la hipótesis de linealidad frecuentemente adoptada en economía puede resultar en ciertos casos muy razonable y justificada.
II.3 Equilibrio parcial de mercado
1. Modelo lineal
En un modelo de equilibrio estático el problema radica en hallar el conjunto de valores de las variables endógenas que satisfacen la condición de equilibrio del sistema. Ilustraremos esto con un “modelo de equilibrio parcial de mercado”, es decir, un modelo de determinación del precio de un bien en un mercado aislado.
2. Construcción del Modelo
Se considera un solo bien, por lo tanto el modelo sólo incluirá tres
variables: .PQQ
s
d
Donde:
:Qd cantidad demandada del bien (kg/semana). :Qs cantidad ofrecida del bien (kg/semana). :P precio del bien ($, S/., etc.)
2.1 Hipótesis: Acerca del comportamiento del mercado.
1. Especificamos una condición de equilibrio (indispensable), se alcanza el equilibrio ⇔ la demanda excedente es nula:
⇒=−= 0QQE sd en este caso esto significa que el mercado está vacío.
2. ( ) →= PfQd función lineal decreciente. ( ) →= PgQs función lineal creciente.
3. No se oferta ninguna cantidad a menos que el precio exceda un
determinado nivel positivo.
2.2 Modelo expresado en términos matemáticos: El modelo contendrá una condición de equilibrio más dos ecuaciones de comportamiento que rigen, respectivamente los lados del mercado de la demanda y de la oferta.
ANÁLISIS DE EQUILIBRIO O EQUILIBRIO ESTÁTICO
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( )( ) ( )( ) ( )0d,0cdPcQ3
0b,0abPaQ2QQQ1
s
d
sd
>>+−=
>>−=
==
2.3 Solución del modelo: Hallar las soluciones particulares de las variables endógenas (valores de equilibrio de las variables endógenas).
−=
−
−≡
−=−+
=++
=+−
ca0
PsQdQ
d10b01011
cdPs1Qd0Q
abPs0Qd1Q
00Ps1Qd1Q
EndógenasVariables321
Resolviendo la ecuación matricial por el método de “Cramer”:
db
bcad
db
adbc
d)1)((b)1(
bc)ad1)((
d10b01011
d1cb0a010
dQ+
−=
−−
−=
−−−−
+−−−=
−
−
−−
−
=
db
bcad
db
adbc
d)1)((b)1(
bc)ad(1)(
d10b01011
dc0ba1001
sQ+
−=
−−
−=
−−−−
+−=
−
−
−−=
bcad0bcad0db
bcadQQQ sd >⇒>−⇒>
+
−===
db
ca
db
ca
d)1)((b)1(
c)1)((a)(1)(
d10b01011
c10a01011
P+
+=
−−
−−=
−−−−
−−−−=
−
−
−
−
=
0db
caP >
+
+= ya que: ( )0d,c,b,a >
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A continuación mostraremos la solución gráfica.
En el gráfico podemos notar que el punto )Q,P(E = representa el punto de equilibrio, el cuál es único, es decir, el modelo presenta una única solución.
Figura 1 II.4 Equilibrio general de mercado En la sección anterior se ha estudiado un modelo de un mercado aislado, en donde
dQ y sQ de un bien son funciones del precio de ese bien exclusivamente. Sin embargo, en el mundo real no hay ningún bien que goce (o sufra) de una existencia tan solitaria; comúnmente para cada bien existen muchos bienes sustitutos y complementarios. Por eso un cuadro más realista tanto de la función de demanda así como la de oferta de un bien debe tomar en cuenta el efecto no solo de ese bien, sino también el precio de todos los artículos relacionados con él.
Una vez que los precios de los otros bienes son incorporados en el modelo, debe ampliarse su estructura de forma que éste nos permita determinar los valores de equilibrio de esos otros precios, esto implica que las variables cantidad y precio de las múltiples mercancías deben intervenir endógena y globalmente en el mercado.
( ) equilibrio de punto únicoQ,P →
P1=c/d
Qd Q
Qs a
P
a/b P
Q
c
ANÁLISIS DE EQUILIBRIO O EQUILIBRIO ESTÁTICO
20
El considerar simultáneamente varios artículos interdependientes implica que el equilibrio requerirá la ausencia de exceso de demanda para todos y cada uno de los bienes incluidos en el modelo. Por tanto, la condición de equilibrio de un modelo de mercado con “n” bienes comprenderá “n” ecuaciones, una para cada bien, del siguiente tipo:
( )n,..,1inulodemandadeexceso0QQE
0QQE
0QQE0QQE
0QQE
sidii
sndnn
3s3d3
2s2d2
1s1d1
=→=−=
=−=
=−==−==−=
M
M
Si se presentara un 0Ei ≠ , el ajuste del precio de dicho bien afectaría necesariamente a las cantidades ofrecidas y demandadas de los bienes restantes causando, por tanto, cambios generales de precios.
1. Modelo de mercado con dos bienes En este modelo sólo consideraremos dos bienes relacionados entre sí. Por sencillez, supondremos que las funciones de demanda y oferta de ambas mercancías son lineales.
BIEN 1
( )( )( )
++=
++=
=−
3pbpbb1sQ
2papaa1dQ
101sQ1dQ
22110
22110
BIEN 2
( )( )( )
β+β+β=
α+α+α=
=−
6pp2sQ
5pp2dQ
402sQ2dQ
22110
22110
No nos hemos preocupado por los signos de los coeficientes, pero a lo largo del análisis aparecerán ciertas restricciones como prerrequisitos para que los resultados sean aceptables desde el punto de vista económico: BIEN 1: Reemplazando (2) y (3) en (1):
( ) 0 pbpbb papaa 2211022110 =++−++
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
21
( ) ( ) ( ) ( )I0pbapbaba 22211100 =−+−+−
BIEN 2: Reemplazando (5) y (6) en (4):
( ) 0pβpββpαpαα 2211022110 =++−++
( ) ( ) ( ) ( )II0pβαpβαβα 22211100 =−+−+−
Hacemos:
( )2,1,0iβαγbac
iii
iii =
−=−=
Donde "γ"y"c" ii reciben el nombre de parámetros derivados o también llamados parámetros de la forma reducida del modelo. Son funciones de los parámetros estructurales y se les conoce habitualmente con el nombre de multiplicadores.
( ) ( )VcPcPcIII0PcPcc 0221122110 −=+⇒=++
( ) ( )VIγPγPγIV0PγPγγ 0221122110 −=+⇒=++
−−
=
0
0
2
1
21
21γc
PP
γγcc
)γcγ(c 0γcγc
γcγc
γγccγγcc
1P 12211221
0220
21
21
20
20
≠>−
+−=
−−
=
)γcγ(c 0γcγc
γcγc
γγcc
γγcc
2P 12211221
1001
21
21
01
01
≠>−
+−=
−−
=
Ejemplo:
( ) ( )3PP15Q1PP210Q 212d211d −+=+−=
( ) ( )4P21Q2P32Q 22s11s +−=+−=
ANÁLISIS DE EQUILIBRIO O EQUILIBRIO ESTÁTICO
22
Podemos notar que en cada bien la "Q" si depende únicamente de su propio precio "P" i , mientras que "Q" di depende de ambos precios. Debido a que en
"Q" 1d el signo del coeficiente que precede a "P" 1 es negativo y el del coeficiente que precede a "P" 2 es positivo, podemos suponer que los dos artículos son bienes sustitutos ya que si aumentamos el precio del bien 2 ( )2P entonces es lógico pensar que "Q" 1d aumente y que "Q" 2d disminuya. El papel de "P" 1 en la función "Q" 2d tiene una interpretación similar.
( ) ( ) ( )1bien:equilibrio21 =
( )512PP5P32PP210 21121 =−⇒+−=+−
( ) ( ) ( )2bien:equilibrio43 =
( )616P3PP21PP15 21221 −=−⇒+−=−+
−
=
−−
⇒
=−=−
1612
PP
3115
16P3P12PP5
2
1
21
21
753
14
52
115
1636
3115
316112
P1 =−
−=
+−
−−=
−−
−−−
=
746
14
92
14
1280
3115
161125
P2 =−
−=
−
−−=
−−
−=
7
64Q
7
46
7
26210Q 11 =⇒
+
−=
7
852Q
7
4621Q2 =⇒
+−=
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
23
2. Modelo de mercado con “n” bienes
Hemos estudiado un modelo de mercado con múltiples bienes pero solo para dos bienes. La tendencia es desplazarnos hacia el estudio de equilibrio general a partir del análisis de equilibrio parcial. Conforme intervengan más bienes en un modelo, habrá más variables y más ecuaciones y las ecuaciones serán más grandes y más complicadas. Si incluimos todos los bienes de una economía en un modelo de mercado de gran alcance, como resultado obtendremos un modelo de equilibrio general del tipo “Walrasiano”, en el que el exceso de la demanda de cada bien se considera como una función de los precios de todos los bienes de la economía.
( )( )( )
( )n,...,2,1i3 0QQ2 )P...,,.........P,P(QQ1 )P..,,.........P,P(QQ
ecuaciones"3n"sidi
n21sisi
n21didi
=
=−==
44444 344444 21
Reemplazando (1) y (2) en (3):
( )n,...,2,1i0)P....,,.........P,P(Q)P....,,.........P,P(Q n21sin1di ==− Por otro lado: 0QQE sidii =−=
( )n,...,2,1i0)P....,,.........P,P(E n21i ==
Resolviendo las “n” ecuaciones se determinarán los “n” precios de equilibrio
Pi y las “n” cantidades de equilibrio .Qi
3. Equilibrio en el análisis de la renta nacional
Modelo Keynesiano de la renta nacional.
1)b0 0,(a (2) bYaC(1) GICY 00 <<>
+=
++=
Donde:
ANÁLISIS DE EQUILIBRIO O EQUILIBRIO ESTÁTICO
24
Y: Renta Nacional (V. endógena) C: Gastos de Consumo (V. endógena) I0: Inversión determinada exógenamente. G0: Gastos Públicos. (V. exógena) La ecuación (1) es una condición de equilibrio en donde la renta nacional es igual al gasto total. La ecuación (2) función de consumo es una ecuación de comportamiento en donde: • “a” consumo autónomo, indica el nivel de “C” que no es explicado por
“Y”. • “b” propensión marginal al consumo, representa el aumento que
experimenta los gastos de consumo cuando “Y” aumenta en una unidad monetaria.
Solución: Escribiremos el sistema de ecuaciones lineales en su forma matricial.
aGI
CY
1b11
aCbY GICY 0000
−+
=
−−
⇒
−=−
+=−
b1
GIa
b1
a)G(I
1b11
1a1GI
Y 0000
00
+−
−−−=
+−
−+−=
−−
−−−+
=
1)(b b1
GIaY 00 ≠
−
++=
1)(b b1
)G(Iba
b1
)G(Iba
1b11
abGI1
C 0000
00
≠+−
−+=
+−
+−−=
−−
−+
=
Se debe imponer que 1b ≠ para evitar la división entre cero, pero como inicialmente se supuso ⇒>> 0b1 está restricción se satisface automáticamente.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
25
4. Modelo de renta nacional que considera impuestos totales
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
++=<<>+=<<>−+=
3GICY1λ00λ2YλλT1α00α1TYααC
00 tttt
10t10t
10tt10t
Donde:
:Ct Consumo Nacional: (V. endógena). :Tt Impuestos Totales: (V. endógena). :Yt Ingreso Nacional: (V. endógena). :I
0t Inversión Neta: (V. exógena). :G
0t Gasto Público en bienes y servicios: (V. exógena). La ecuación (1) nos indica que los consumidores compran en función de sus ingresos disponibles ( )tt TY − . La ecuación (1) es una ecuación de comportamiento. La ecuación (2) representa el volumen total recaudado de impuestos el cuál está en función del ingreso nacional. La ecuación (2) es una ecuación legal o institucional. La ecuación (3) es una ecuación de definición del ingreso nacional como el total del consumo más la inversión neta más los gatos públicos.
+−=−=−=−+
)G(IY C λYλT
α Yα TαC
00 tttt
0t1t
0t1t1t
+−=
−−−
)GI(λα
YTC
A
101λ10αα1
00 tt
0
0
t
t
t
1
11
44 344 21
)1)(α()λ(α)1(1A 111 −−+−−=
01)λ1(αA 11 ≠−−=
Como el 0A ≠ , el sistema de ecuaciones es consistente y presenta una única solución.
ANÁLISIS DE EQUILIBRIO O EQUILIBRIO ESTÁTICO
26
1)λ1(α
10)GI(λ1λααα
C11
tt
10
110
t00
−−
−+−−−
=
( ) [ ]1)λ1(α
)GI(α)GI(λλα1αC
11
tt1tt1010t
0000
−−
+−+−−−−=
1)λ1(α
1)GI(1λλ0αα1
T11
tt
10
10
t00
−−
−+−−−
=
( )[ ] ( ) ( )( )1)λ1(α
λαλα)GI(λλ1T
11
0110tt10t
00
−−
−−+−+−−=
1)λ1(α
)GI(01λ10αα1
tY11
tt
0
01
00
−−
+−=
( ) ( ) ( )
( ) 11
1GI1Y
11
001ttt
00
−λ−α
−α+λ−α−−−=
II.5 Limitaciones del análisis estático En el análisis del equilibrio estático del mercado o de la renta nacional nos hemos centrado únicamente en hallar los valores de equilibrio de las variables endógenas del modelo, ignorándose en el análisis el proceso real de ajustes y reajustes de las variables que finalmente conducen al estado de equilibrio, es decir, sólo nos hemos preguntado dónde llegaría, pero no cuando o qué puede ocurrir en el camino. Por tanto, el análisis estático falla por dos razones fundamentales:
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
27
1. Debido a que el proceso de ajuste puede requerir mucho tiempo hasta completarse, un estado de equilibrio como el determinado en el análisis estático puede perder su importancia incluso antes de alcanzarse, si mientras tanto las fuerzas exógenas del modelo experimentan ciertos cambios. Este es el problema de cambios en el estado de equilibrio.
2. Aún cuando el proceso de ajuste continúe su curso sin ser perturbado, podría darse
el caso de no alcanzar en su conjunto el estado de equilibrio concebido en un análisis estático. Este sería el caso del denominado “equilibrio inestable”, que se caracteriza por el hecho de que el proceso de ajuste alejará las variables del estado de equilibrio concebido en un análisis estático.
Los cambios del estado de equilibrio (como respuesta a cambios exógenas, pertenecen al tipo de análisis denominado “estática comparativa” y la cuestión de la accesibilidad y la estabilidad del equilibrio cae dentro del terreno del análisis dinámico). II.6 Ejercicios de equilibrio estático:
1.- Resolver el siguiente sistema encontrando los valores de equilibrio.
( ) ( )( ) ( )
( )( )
++=<λ<λ+λ=
>β−β+β=
<α<−α+α=
−−
−−
4GICY103YT
02YYI101TYC
tttt
1t10t
12t1t10t
11t1t10t
Donde:
:Ct Consumo Nacional en el periodo actual: (V. endógena). :Yt Ingreso Nacional en el periodo actual: (V. endógena).
:Y 1t − Ingreso Nacional: (V. endógena con un periodo de retardo). :Y 2t − Ingreso Nacional: (V. endógena con dos periodos de retardo).
:Tt Impuestos Totales en el periodo actual: (V. endógena). :T 1t − Impuestos Totales: (V. endógena con un periodo de retardo).
:It Inversión Neta en el periodo actual: (V. endógena). :Gt Gasto Público en bienes y servicios en el periodo actual: (V. exógena).
:λ,λ,β,β,α,α 101010 Parámetros. La ecuación (1) es una ecuación de comportamiento, y nos indica que los consumidores compran en función de sus ingresos disponibles ( )1t1t TY −− − en el periodo anterior.
ANÁLISIS DE EQUILIBRIO O EQUILIBRIO ESTÁTICO
28
La ecuación (2) es una ecuación de comportamiento, y nos indica que los individuos invierten en función de la diferencia entre el ingreso nacional en el periodo anterior y el ingreso nacional con dos periodos de rezago ( )2t1t YY −− − . La ecuación (3) es una ecuación legal o institucional, y representa el volumen total recaudado de impuestos el cuál está en función del ingreso nacional. La ecuación (4) es una ecuación de definición del ingreso nacional como el total del consumo nacional más la inversión neta más los gatos públicos.
Matricialmente, tenemos que:
( )( )
=
λ−β+β−α+α
=
−−λ−
−−
−−
4
3
2
1
t
0
2t1t10
1t1t10
t
t
t
t
1bbbb
G
YYTY
YTIC
1011100
00100001
( )( )( ) 11
A
1
4
13
2
1
t b111
1b
1011λ10000100001101bλ10b001b000b
C ==
−−−
−−
=
444 3444 21
trivial.soluciónlaincluyenoqueúnicasoluciónsingularnomatriz0A ⇒⇒≠
( )1t1t10___
t TYC −− −α+α=
( )2
24
13
2
1
t b1
1b1
110b1
1b000b000b1
I ==−
λ−
=
( )2t1t10t YYI −− −β+β=
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
29
( )( ) ( )( ) ( ) 3421111124134
13
2
1
t bbbb1
1bbbb11
1
1b11b00
0b100b01
T +++λ=λ−−+λ+λ+
=−−
λ−
=
( ) ( )[ ] 0t2t1t101t1t101t GYYTYT λ++−β+β+−α+αλ= −−−−
( ) ( )( )124
1244
3
2
1
t bbb1
11bbb11
1
b011b100b010b001
Y ++=−−+
=−−
=
( ) ( )1t1t102t1t10tt TYYYGY −−−− −α+α+−β+β+=
2.- Resolver el siguiente sistema encontrando los valores de equilibrio:
( ) ( )( )
( ) ( )( )
−+++=
−λ+λ=β+β=
−α+α=
4MXGICY
3TYM2YT1TY C
t000tt
tt10t
t10t
tt10t
Donde:
:Ct Consumo Nacional en el periodo actual: (V. endógena). :Yt Ingreso Nacional en el periodo actual: (V. endógena). :Tt Impuestos Totales en el periodo actual: (V. endógena).
:M t Nivel de importaciones del periodo actual: (V. endógena). :I0 Inversión Neta: (V. exógena). :G 0 Gasto Público en bienes y servicios: (V. exógena). :X0 Nivel de exportaciones: (V. exógena).
:λ,λ,β,β,α,α 101010 Parámetros. La ecuación (1) es una ecuación de comportamiento, y nos indica que los consumidores compran en función de sus ingresos disponibles ( )tt TY − .
ANÁLISIS DE EQUILIBRIO O EQUILIBRIO ESTÁTICO
30
La ecuación (2) es una ecuación legal o institucional, y representa el volumen total recaudado de impuestos el cuál está en función del ingreso nacional tY . La ecuación (3) es una ecuación de comportamiento, y nos indica que las importaciones se hallan en función los ingresos disponibles ( )tt TY − .
La ecuación (4) es una ecuación de definición del ingreso nacional en una economía abierta, donde el ingreso nacional es igual al consumo nacional, mas la inversión neta, mas los gatos públicos, mas las exportaciones, menos las importaciones.
Matricialmente, tenemos que:
++λβα
=
−λ−λβ−α−α
000
0
0
0
t
t
t
t
11
1
11
XGIYMTC
11011001001
Donde:
444 3444 21A
11
1
11
000
110
10
110
t
11011001001
110XGI1010
C
−λ−λβ−α−α
++λ−λλβ−βα−αα
=
( ) ( )[ ]( ) 11
XGIXGI1C
11111
000000000111110t
+λ+λβ−−βα
β−+++λ−−−−λβα++λ+λβ−α=
.trivialsoluciónlaincluyenoqueúnicasoluciónsingularnomatriz0A ⇒⇒≠
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
31
( ) ( )( ) 11
XGI1
11011001001
11XGI1100001
T11111
10100000110
A
11
1
11
000
10
10
10
t+λ+λβ−−βα
αβ+βα+−−−λβ−λ+β=
−λ−λβ−α−α
++−λ−λβ−βα−α
=
444 3444 21
444 3444 21A
11
1
11
000
101
10
101
t
11011001001
1XGI010
101
M
−λ−λβ−α−α
++−λ−λλβ−βα−αα
=
( )[ ] ( )( )[ ]
( ) 11
XGI111M
11111
0000011110t
+λ+λβ−−βα
β−α+++β−λ+β−α−λ=
Capítulo III
ANÁLISIS ESTÁTICO – COMPARATIVO
III.1 Estática-comparativa
1. Definición
Trata acerca de la comparación de los diferentes estados de equilibrio los cuales están asociados con ciertos valores de las variables exógenas y de los parámetros.
En el análisis estático comparativo se supone un estado de equilibrio inicial dado, luego se introduce un cambio en alguna variable exógena o en algún parámetro que desequilibre el modelo. Como resultado, las distintas variables endógenas deberán experimentar ciertos ajustes para poder definir y alcanzar un nuevo estado de equilibrio relacionado con los nuevos valores de los parámetros. La cuestión que se plantea en el análisis estático comparativo es: ¿cómo compararíamos el nuevo equilibrio con el anterior? La estática comparativa no estudia el proceso de ajuste de las variables, simplemente compara el estado de equilibrio inicial con el estado de equilibrio final. Además, excluimos la posibilidad de que el equilibrio sea inestable, porque suponemos que el nuevo equilibrio es alcanzable. El análisis estático – comparativo puede ser:
1.1 Cualitativo: sólo considera la dirección del cambio, es decir si la variable endógena aumenta o disminuye, cuando se incrementa una de las variables exógenas o uno de los parámetros.
1.2 Cuantitativo: considera la magnitud del cambio producido en la variable endógena al haber producido un incremento en una de las variables exógenas o en uno de los parámetros.
ANÁLISIS ESTÁTICO-COMPARATIVO
33
El análisis estático comparativo consiste en hallar la tasa de cambio del valor de equilibrio de una variable endógena con respecto al cambio en una variable exógena particular o en un parámetro particular.
2. Aplicaciones al análisis estático – comparativo:
2.1 Modelo de mercado aislado
( )( ) ( )( ) ( )
>+−=>−=
=
0d,c3dpcQ0b,a2bpaQ
1QQ
s
d
sd
+
−=
+
+=
d)(b
bc)(adQ
d)(b
c)(aP
Estos son valores de equilibrio también conocidos como formas reducidas debido a que las variables endógenas han sido reducidas a expresiones explícitas de los parámetros a, b, c, y d. Podemos observar que P y Q dependen de 4 parámetros que son independientes entre sí, es decir, si cambia uno el resto de parámetros permanece constante. En caso de que en el modelo intervengan variables exógenas, entonces consideramos que todas ellas son independientes entre sí. La pregunta es: ¿qué ocurre con el valor de equilibrio de la variable endógena ante el cambio de cualquier variable exógena o de cualquier parámetro? Para responder a esto tendríamos que calcular la derivada parcial del valor de equilibrio de la variable endógena respecto de la variable exógena o respecto al parámetro cambiante.
Análisis Estático – Comparativo:
1.- ¿Qué pasa con P y Q cuando incrementamos “a”?
a db
1 P 0
d)(b
1
a
P⇒∆
+≅∆⇒>
+=
∂
∂
.P a Si 0 P 0 a como ↑⇒↑⇒>∆⇒>∆
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
34
⇒∆
+≅∆⇒>
+=
∂
∂ a
db
d Q 0
d)(b
d
a
Q
.Q a Si 0Q 0 a como ↑⇒↑⇒>∆⇒>∆
ds Q,Q
0E
a
1E 1Q
0Q
0P 1P ba P
dc
Si a↑ ⇒ b, c y d = constantes ⇒ la curva de demanda se trasladará así misma hacia arriba definiéndose un nuevo punto de equilibrio 1E en
donde observamos que tanto P y Q han aumentado de 0P a 1P y de
0Q a 1Q .
2.- ¿Qué pasa con P y Q cuando incrementamos “b”?
0 d)(b
c)(a
b
P2<
+
+−=
∂
∂
.pb Si0P0b como b b)(d
c)(a P 2 ↓↑⇒⇒<∆⇒>∆⇒∆
+
+−≅∆
0 )db(
ad)(cd
d)(b
bc)(1)(ad d)(b c
b
Q22
<+
+−=
+
−−+−=
∂
∂
ANÁLISIS ESTÁTICO-COMPARATIVO
35
.Q b Si0Q 0b como b)db(
ad)(cdQ 2 ↓⇒↑⇒<∆⇒>∆⇒∆
+
+−≅∆
1Q
0Q
1E
0E
1P 0P 1ba b
a
sd Q,Q
1α 0α
a
dcP
Si ↑ b ⇒ a, c y d = constantes ⇒ la pendiente de la curva de demanda se hace más negativa definiéndose un nuevo punto de equilibrio 1E en
donde observamos que tanto P y Q han disminuido de 0P a 1P y de
0Q a 1Q .
101011
00 mmtgtg0tgm0tgm
>⇒α>α⇒
<α=<α=
3.- ¿Qué pasa con P y Q cuando incrementamos “c”?
0 d)(b
1
c
P>
+=
∂
∂
.P c Si 0 P 0 c como c db
1 P ↑⇒↑⇒>∆⇒>∆⇒∆
+≅∆
0 d)(b
b
c
Q<
+
−=
∂
∂
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
36
.Q c Si 0Q 0 c como c db
b Q ↓⇒↑⇒<∆⇒>∆⇒∆
+
−≅∆
a
1E 0Q 1Q
0E
c−
0P 1P ba P
sd Q,Q
↓Q
Si ↑ c ⇒ a, b y d = constantes ⇒ la curva de oferta se trasladará paralelamente así misma hacia abajo definiéndose un nuevo punto de equilibrio 1E en donde observamos que P ha aumentado de 0P a 1P y
que Q ha disminuido de 0Q a 1Q . 4.- ¿Qué sucede con P y Q cuando aumenta “d”?
⇒<+
+−=
∂
∂ 0
d)(b
c)(a
d
P2
0P0d como d d)(b
c)(a P 2 <∆⇒>∆⇒∆
+
+−≅∆
.Pd Si ↓⇒↑⇒
ANÁLISIS ESTÁTICO-COMPARATIVO
37
⇒>+
+=
+
−−+=
∂
∂ 0
)db(
bc)(ab
d)(b
bc)(1)(ad d)(b a
d
Q22
.Qd Si0Q 0d como d)db(
bc)(abQ 2 ↑↑⇒⇒>∆⇒>∆⇒∆
+
+≅∆
c−
1Q
0Q
1E
0E
1P 0P ba P
sd Q,Q
a
Si ↑ d ⇒ a, b y c = constantes ⇒ la pendiente de la curva de oferta se hace más positiva definiéndose un nuevo punto de equilibrio 1E en
donde observamos que P ha disminuido de 0P a 1P y que Q ha
aumentado de 0Q a 1Q .
El método de diferenciación nos ofrece dos ventajas respecto al método gráfico. En primer lugar, la técnica gráfica está sometida a limitaciones dimensionales, pero la diferenciación no lo está. En segundo lugar, el método de diferenciación puede dar resultados que tienen un mayor nivel de generalidad.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
38
2.2 Modelo de renta nacional tomando en cuenta el impuesto total
1)α0 0,(α (1))T(Yααt C 10tt10 <<>−+=
1)λ0 0,(λ (2) YλλT 10t10t <<>+=
)AD(OA (3)GICY
00 tttt =++=
Las restricciones sobre los valores de los parámetros 0α , 1α , 0λ , 1λ pueden explicarse como: 0α es positivo porque el consumo es positivo, aún cuando la renta disponible ( )tt TY − sea cero; 1α es una fracción positiva porque representa la propensión marginal al consumo; 0λ es positivo porque aunque tY sea cero habrá recaudación de impuestos positiva (de base imponible diferente a la de la renta), y, por último, 1λ es una fracción positiva porque representa una tasa de impuesto sobre la renta y como tal no puede exceder el 100%. Las variables exógenas
0tI y
0tG , son por supuesto, no negativas. Supongamos que todos los parámetros y variables exógenas son independientes entre sí. Hemos encontrado del equilibrio estático:
[ ])1(1
)GI()GI( C
11
tt10tt101t 0000
λ−α−
+α+α++λ+λα−=
)1(1
)GI( T
11
0110tt10t 00
λ−α−
λα−λα++λ+λ=
)λ1(α1
αλαGIY
11
001ttt
00
−−
+−+=
A continuación vamos a ver que sucede con tY cuando producimos un cambio en una de sus variables exógenas o en uno de sus parámetros. De tY podemos extraer seis derivadas estático – comparativas. De estas seis, las tres siguientes tienen especial trascendencia política:
ANÁLISIS ESTÁTICO-COMPARATIVO
39
¿Qué sucede cuando 0tG aumenta?
[ ].YG Si0
)1(1
1
)1(
1
G
Ytt
11111t
t0
0
↑⇒↑⇒>−λα+
=λα+α−
=∂
∂
=∂
∂
0t
t
G
YMultiplicador de gastos gubernamentales.
¿Qué sucede con tY cuando 0λ cambia?
[ ].Y Si0
)1(1
Yt0
11
1
0
t ↓⇒↑λ⇒<λ−α−
α−=
λ∂
∂
=λ∂
∂
0
tYMultiplicador de impuestos indirectos, porque muestra cómo un
cambio en 0λ afectará la renta de equilibrio.
0λ : Ingreso gubernamental de otras fuentes que excluyen el impuesto sobre la renta. ¿Qué sucede con tY cuando 1λ cambia?
.Y Si0)1(
)GI(Yt12
111
001tt1
1
t 00 ↓⇒↑λ⇒<λα+α−
α+λα−+α−=
λ∂
∂
=∂
∂
1
t
λ
YMultiplicador de tasa de impuesto sobre la renta.
:0α Consumo autónomo, no depende del ingreso.
1α : Propensión marginal al consumo. Por cada sol adicional que gana el gasto de consumo se incrementa en 1α soles.
( )1α1 − : Propensión marginal a ahorrar.
tC : Consumo nacional.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
40
tT : Impuestos totales.
tY : Ingreso o Renta nacional.
0tI : Inversión neta.
0tG : Gasto público en bienes y servicios.
( )tt TY − : Ingresos disponibles de los consumidores.
( )00 ttt GTC ++ : Demanda agregada. Suma de los gastos de las
unidades familiares, empresa y gobierno.
1λ : Tasa de impuesto sobre la renta. Todos los sujetos de esta economía tributan una tasa fija por cada unidad monetaria percibida como ingreso.
0λ : Ingresos distintos a lo que se percibe por impuesto a la renta = ingreso gubernamental de otras fuentes que excluyen el impuesto sobre la renta. Nivel del monto total de tributación recaudado por el gobierno que no depende del nivel de ingreso nacional.
III.2 Análisis estático – comparativo de modelos de funciones
generales Hasta este punto hemos estudiando modelos en donde sus ecuaciones están expresadas en forma explícita y no están conformadas por funciones generales. Ahora vamos a estudiar modelos que pueden presentar funciones generales en su estructura. El hecho de que en una o más de las ecuaciones que conforman un modelo que aparezca una o más funciones generales impide que podamos obtener una solución en el equilibrio en forma explícita y por tanto no podremos calcular las derivadas parciales de dicha solución respecto de uno de sus parámetros o respecto de una de sus variables exógenas debido a que no serán independientes entre sí. Por lo tanto deberemos recurrir a la diferenciación total que nos permitirá calcular derivadas de funciones implícitas en lugar de recurrir a la diferenciación parcial para calcular las derivadas estático – comparativas.
ANÁLISIS ESTÁTICO-COMPARATIVO
41
Ejemplo:
)equilibrio de (ec.GI)TC(Y,Y )TC(Y;C
GICY000
0
00 →++=⇒
=++=
Debido a la forma general de la función C, no se dispone de una solución explícita, por tanto, debemos obtener las derivadas estático – comparativas directamente a partir de la ecuaciones de equilibrio. Para poder conseguir esto vamos a suponer que existe una solución de equilibrio Y como función de 0I ,
0G y 0T . De donde podemos escribir la ecuación:
)T,G,I(YY 000=
Aún cuando seamos incapaces de determinar explícitamente la forma que adopta la función. Además, en algún entorno del valor de equilibrio Y , se verificará la siguiente identidad:
).equilibrio de (Identidad GI)T,YC(Y 000 →++≡
Debido a que Y depende directamente de 0T , los dos argumentos de C no son
independientes, entre sí, por lo tanto no podríamos calcular por ejemplo 0T
Y
∂
∂,
por lo que necesitaremos de la derivación total para calcular las derivadas estático – comparativas de funciones cuyos argumentos no sean todos independientes entre sí. Ejemplo:
Calcular 0T
Y
∂
∂.
0GI)T,Y(CY)G,I,T,YF( F 0GI)T,Y(CY 000000000 =−−−==⇒=−−−
)T,G,I(YY 000=
Variables independientes: .T,G,I 000
F 0T
Y
0I
0G
0I
0G
0T
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
42
Diferencial total: 0dGG
FdI
I
FdT
T
FYd
Y
FFd 0
00
00
0=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
Derivada total parcial:
0dT
dG
G
F
dT
dI
I
F
dT
dT
T
F
dT
Yd
Y
F
T
F0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
000=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
δ
δ876
0T
F
dT
Yd
Y
F
T
F
000=
∂
∂+
∂
∂=
δ
δ
YC1
TC
YC1
TC
YF
TF
T
Y 000
0 ∂∂−
∂∂
=
∂∂−
∂∂−
−=
∂∂
∂∂
−=∂
∂
III.3 Funciones implícitas
Una función dada en la forma: ( ),xfy = digamos, ( ) ( )1:5x4xfy 5 +== se denomina una función explícita, porque la variable “y” está explícitamente expresada como una función de “x”. Sin embargo, si esta función se escribe alternativamente en la forma equivalente: ( ) ( )2:0xfy5x4y 5 =−=−− ya no tenemos una función explícita. Entonces la función (1) queda definida implícitamente por la ecuación (2). Por tanto, cuando (sólo) damos una ecuación de la forma (2), la función ( )xfy = implicada, y cuya forma explícita no siempre conoceremos, se dice que es una función implícita. Una ecuación de la forma (2) puede denotarse en general por ( ) 0y,xF = ya que su primer miembro está formado por las dos variables “y” y “x”: ( ) ( ) .0xfyy,xF =−= También podemos encontrar una ecuación ( ) 0x,...,x,x,yF m21 = la cual “puede” definir una función implícita ( )m21 x,...,x,xfy = . La palabra ambigua “puede” de la frase anterior se ha usado deliberadamente, porque, mientras que una función explícita, por ejemplo, ( )m21 x,...,x,xfy = siempre puede transformarse en una ecuación ( ) 0x,...,x,x,yF m21 = simplemente trasladando la expresión ( )m21 x,...,x,xf a la izquierda del signo igual, la transformación recíproca no
siempre es posible. Ejemplo:
( ) 09yxy,xF 22 =−+=
ANÁLISIS ESTÁTICO-COMPARATIVO
43
No implica una función, sino una relación debido a que a cada valor de “x” no le corresponde un único valor de “y”.
222222 x9yyx9yx9y −==⇒−=⇒−=
2x9y −±=
De esta última expresión podemos observar que para un valor de “x” le corresponden dos valores de “y”⇒ es una relación y no una función. Podemos decir lo siguiente acerca de una ecuación de la forma ( ) 0x,...,x,x,yF m21 = :
1. No siempre a partir de ella podremos despejar ( )m21 x,...,x,xfy = aunque
( )m21 x,...,x,xf sea una función y esté implícitamente definida por ( ) 0x,...,x,x,yF m21 = .
Ejemplos:
( ) ( )103xyyxy,xF 53 =−+=
( ) ( )205yln3yxxy,xF 22 =−−+=
( ) ( )30xcosexyy,xF y =+=
2. En caso de que podamos obtener a partir de ella ( )m21 x,...,x,xfy = , esta
última puede no ser una función sino una relación.
Ejemplos:
( ) ( ) ( )1xfx9y09xyy,xF 22 =−=⇒=−+=
( ) ( ) ( )2xfx5y05yxy,xF 222 =−±=⇒=−+=
En el ecuación (1) tenemos una función y en la ecuación (2) una relación. A nosotros nos va a interesar que la ecuación ( ) 0x,...,x,x,yF m21 = , nos defina implícitamente una función, independientemente del hecho de que se pueda o no a partir de ella obtener ( )m21 x,...,x,xfy = .
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
44
En vista de que no toda ecuación ( ) 0x,...,x,x,yF m21 = puede definir siempre una función implícita ( )m21 x,...,x,xfy = , entonces vamos a estudiar bajo que condiciones generales podemos asegurar que una ecuación dada en la forma ( ) 0x,...,x,x,yF m21 = , define realmente una función implícita
( ).x,...,x,xfy m21=
1. Teorema de la función implícita Dada ( ) ( )I0x,...,x,x,yF m21 =
Si: 1.- Todas las derivadas parciales xm2x1xy F,..,F,F,F son continuas. 2.- En un punto ( )0m20100 x,...,x,x,y que pertenece a (I), es decir tal que
( ) 0x,...,x,x,yF 0m20100 = , se tiene que:
( ) ( ) 0x,...,x,x,yF0y
x,...,x,x,yF0m20100y
0m20100 ≠⇒≠∂
∂
Entonces:
a.- Existe un entorno m-dimensional de ( ),x,...,x,x 0m2010 E, en el que “y” está definida como función implícita de las variables m21 x,...,x,x donde:
( ).x,...,x,xfy 0m20100 = Además, para cualquier ( ) Ex,...,x,x m21 ∈ se verifica que: ( )( ) .0x,...,x,x,x,...,x,xfF m21m21 ≡
b.- Se puede asegurar que la función implícita ( )m21 x,...x,xfy = es continua y que todas sus derivadas parciales xm2x1x f,..,f,f son continuas en ( ).x,...,x,x 0m2010 .
Ejemplo:
( ) 09yxy,xF 22 =−+=
( )
⇒=∂
∂=
⇒=∂
∂=
.continuapolinomialfunciónx2x
FF
.continuapolinomialfuncióny2y
FF
1
x
y
( ) ⇒≠⇒≠⇒≠ 0ydevalorcualquierpara0y0F2 y
( ) ( ).0,3y0,3enexcepto,0Fy −≠
ANÁLISIS ESTÁTICO-COMPARATIVO
45
De este modo, exceptuando ( ) ( )0,3y0,3− , alrededor de cualquier otro punto del círculo, podemos construir un entorno en el cual ( ) 0y,xF = defina una función implícita ( )xfy = . Esto lo podemos verificar observando la gráfica de ( ) 0y,xF = :
Podemos tomar un entorno (por ejemplo: un rectángulo) alrededor de cualquier punto del círculo excepto en ( ) ( )0,3y0,3− tal que la porción del círculo encerrada en el rectángulo constituye el gráfico de una función de modo que a un único valor de “y” le corresponde a cada valor de “x” en dicho rectángulo. El teorema de la función implícita tiene tres limitaciones:
1.- Aún cuando esté asegurada la existencia de una función implícita “f”, el teorema no da ningún indicio sobre que forma específica toma la función “f”.
2.- No dice la medida exacta del entorno en el que está definida la función implícita.
3.- El hecho de que 0Fy = en un punto que pertenezca a “F” no es una condición necesaria para negar la existencia de una función implícita “f”.
Sin embargo a pesar de las limitaciones anteriormente citadas, este teorema es de gran importancia porque siempre que se cumplan las condiciones del teorema, tendrá sentido hablar y hacer uso de una función tal como
( )m21 x,...,x,xfy = , aún cuando nuestro modelo contenga una ecuación ( ) 0x,...,x,x,yF m21 = que sea difícil de resolver explícitamente para “y” en
términos de m21 x,...,x,x . Además, puesto que el teorema también garantiza la existencia de las derivadas parciales xm2x1x f,...,f,f , también será importante el estudio de estas derivadas de la función implícita.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
46
2. Derivadas de funciones implícitas Si una ecuación ( ) 0x,...,x,x,yF m21 = no se puede resolver explícitamente para “y”, en este caso, si bajo las condiciones del teorema de la función implícita sabemos que existe una función implícita, podemos obtener las derivadas buscadas sin tener que resolver primero para “y”. Para esto, utilizaremos la denominada “regla de la función implícita”. Esta regla depende de los siguientes datos: 1. Si dos expresiones son idénticamente iguales, sus respectivos
diferenciales totales tienen que ser iguales. Ejemplo:
( )( )yxyxyx 22 −+≡−
( ) ydy2xdx2yxd 22 −=−
( )( )[ ] ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]yxdyxyxyxdyxyxd −++−+=−+
( )( )[ ] ( )( ) ( )( )dydxyxyxdydxyxyxd −++−+=−+
( )( )[ ] ydy2xdx2yxyxd −=−+
2. La diferenciación de una expresión que incluye ( )m21 x,...,x,x,y dará lugar a otra que incurra los diferenciales m21 dx,...,dx,dx,dy .
3. Si dividimos dy por 1dx y hacemos todos los otros diferenciales
m32 dx,...,dx,dx iguales a cero, el cociente puede interpretarse como la
derivada parcial 1x
y∂
∂ , pueden obtenerse derivadas similares si
dividimos dy por 2dx , etc. Aplicando esto a la ecuación ( )m21 x,...,x,x,yF , entonces podemos escribir ( ) 00ddF == .
0dxFdxFdxFdyF mxm22x11xy =++++ L
Supongamos que sólo a “ y ” y a “ 1x ” les está permitido variar (sólo “ dy ” y “ 1dx ” no son iguales a cero). Entonces la ecuación anterior se reduce a:
y
1x
1y
1x
.ctesxm...3x2x111xy
F
F
x
y
F
F
dx
dy0dxFdyF −=
∂
∂⇒
−=⇒=−=
====
ANÁLISIS ESTÁTICO-COMPARATIVO
47
De forma similar, podemos deducir todas las otras derivadas parciales de la función implícita “f”. Esto puede resumirse de la siguiente manera: Dada ( ) 0x,...,x,x,yF m21 = , si existe una función implícita
( )m21 x,...,x,xfy = , entonces las derivadas parciales de “f” son:
( )m,...,2,1iF
F
x
y
y
x
i
i =−=∂
∂
Lo que esta regla dice es que, incluso si no conocemos la forma específica de la función implícita, siempre podremos hallar sus derivadas tomando el valor negativo del cociente de un par de derivadas parciales de la función “F” que aparezcan en la ecuación dada que define la función implícita. Podemos observar que “ yF ” siempre aparece en el denominador del cociente, por tanto, en este caso no es admisible 0Fy = . Puesto que el teorema de la función implícita específica que 0Fy ≠ en el entorno del punto en el que está definida la función implícita, el problema de un cero en el denominador queda automáticamente resuelto.
Ejemplo:
1. Hallar X
y
∂
∂ para cualquier función implícita que pueda definirse por la
ecuación 03yxwwxy)w,x,y(F 323 =−++= (*)
Está ecuación no se puede resolver fácilmente para “y”.
⇒+= xwxy3F 22y función polinomial ⇒ continua.
⇒+= ywxy2F 3
x función polinomial ⇒ continua.
⇒+= xyw3F 2w función polinomial ⇒ continua.
Debido a que wxy FyF,F son continuas, y puesto que 0Fy ≠ en un punto tal como el ( )1,1,1 que satisface (*), está asegurada la existencia de una función implícita ( )w,xfy = al menos alrededor de ese punto. Por
tanto tiene sentido hablar de xy∂
∂ .
xwxy3
ywxy2
F
F
x
y22
3
y
x
+
+−=−=
∂
∂⇒
( )4
3
x
1,1,1y−=
∂
∂
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
48
3. Extensión al caso de ecuaciones simultáneas
El teorema de la función implícita también viene en una versión más general y potente que trata de las condiciones bajo las cuales un conjunto de ecuaciones simultáneas:
( )( )
( )
( )I
0x,...,x;y,...,yF
0x,...,x;y,...,yF
0x,...,x;y,...,yF
m1n1n
m1n12
m1n11
=
=
=
M
Definirán ciertamente un conjunto de funciones implícitas:
( )( )
( )
( )II
0x,...,xfy
0x,...,xfy0x,...,xfy
m1nn
m122
m111
==
====
M
Por decirlo de otra forma, estas condiciones sirven para asegurarnos que las “n” ecuaciones de (I) pueden en principio resolverse para las “n” variables ( )n21 y,...,y,y incluso aunque no seamos capaces de obtener la solución (II) en forma explícita. La versión generalizada del teorema dice: Dado el sistema de ecuaciones (I), si:
a. Las funciones n321 F,...,F,F,F tienen todas las derivadas parciales
continuas con respecto a todas las variables “y” y “x”, y si b. En el punto ( )0m100n10 x,...,x;y,...,y que satisface (I), el siguiente
determinante jacobiano es no nulo.
0
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
)y,...,y,y(
)F,...,F,F(J
n
n
2
n
1
n
n
2
2
22n
1
2
1
1
1
n21
n21≠
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∂
∂=
L
M
L
L
ANÁLISIS ESTÁTICO-COMPARATIVO
49
Entonces:
a. Podemos afirmar que existe un entorno m-dimensional ( ),x,...,x,x m2010 E, en el cual las variables n21 y,...,y,y son funciones de las variables
m21 x,...,x,x en la forma de (II) donde: ( ) ( ).n,,2,1ix,...,x,xfy 0m2010i0i K=∀= Además, para cualquier
( ) Ex,...,x,x m21 ∈ se verifica que:
( )( ) ( ).n,,2,1i0x,...,x,x,x,...,x,xfF m21m21ii K=∀≡
b. Se puede asegurar que las funciones implícitas n21 f,...f,f son continuas y
tienen derivadas parciales continuas con respecto a todas las variables x. Como en el caso de una única ecuación, es posible hallar las derivadas parciales de las funciones implícitas directamente a partir de las “n” ecuaciones (I), sin tener que resolverlas para las variables “y”. Vamos a calcular la diferencial total de cada una de las ecuaciones (I) y escribir ( ).n,...,2,1i0dFi ==
0dxx
Fdx
x
Fdx
x
F
dyy
F...dy
y
Fdy
y
FdF
mm
1
22
1
11
1
nn
1
22
1
11
11
=∂
∂++
∂
∂+
∂
∂+
+∂
∂++
∂
∂+
∂
∂=
L
M
M
L
L
0dxx
Fdx
x
Fdx
x
F
dyy
Fdy
y
Fdy
y
FdF
mm
2
22
2
11
2
nn
2
22
2
11
22
=∂
∂++
∂
∂+
∂
∂+
+∂
∂++
∂
∂+
∂
∂=
0dxx
Fdx
x
Fdx
x
F
dyy
Fdy
y
Fdy
y
FdF
mm
n
22
n
11
n
nn
n
22
n
11
nn
=∂
∂++
∂
∂+
∂
∂+
+∂
∂++
∂
∂+
∂
∂=
L
L
Pasando los términos "d" xi a la derecha de los signos de igualdad:
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
50
( )
∂
∂++
∂
∂
+
∂
∂−=
∂
∂++
∂
∂+
∂
∂
∂
∂++
∂
∂
+
∂
∂−=
∂
∂++
∂
∂+
∂
∂
∂
∂++
∂
∂
+
∂
∂−=
∂
∂++
∂
∂+
∂
∂
mm
n
22
n
11
n
nn
n
22
n
11
n
mm
2
22
2
11
2
nn
2
22
2
11
2
mm
1
22
1
11
1
nn
1
22
1
11
1
dxx
Fdx
x
F
dxx
Fdy
y
Fdy
y
Fdy
y
F
dxx
Fdx
x
F
xdx
Fdy
y
Fdy
y
Fdy
y
F
dxx
Fdx
x
F
dxx
Fdy
y
F...dy
y
Fdy
y
F
**
L
L
M
M
L
L
L
Puesto que todas las derivadas parciales que aparecen en (**) tomarán valores concretos (constantes) cuando las evaluemos en el punto ( )0m100n10 x,...,x;y,...,y [punto alrededor del cual están definidas las funciones implícitas] tenemos aquí un sistema de “n” ecuaciones lineales, en el cual los diferenciales "d" yi (considerados como endógenos) están expresadas en términos de los diferenciales "d" xi (considerados como exógenos). Ahora, suponiendo que sólo se permite variar a “ 1x ” y “ ctexxx n32 ==== L ”, entonces 0ddd
m32 xxx ==== L ; si además dividimos cada uno de los términos restantes por "d" 1x entonces surgirán las
expresiones 1
n
1
1
dx
dy,,
dx
dyK . Estas sin embargo, deben interpretarse como
derivadas parciales de (II) porque todas las variables “x” han permanecido constantes excepto x1. Así, siguiendo los pasos descritos, llegaremos a las derivadas parciales buscadas de las funciones implícitas.
ANÁLISIS ESTÁTICO-COMPARATIVO
51
∂
∂−=
∂
∂++
∂
∂+
∂
∂
∂
∂−=
∂
∂++
∂
∂+
∂
∂
∂
∂−=
∂
∂++
∂
∂+
∂
∂
1
n
1
n
n
n
1
2
2
n
1
1
1
n
1
2
1
n
n
2
1
2
2
2
1
1
1
2
1
1
1
n
n
1
1
2
2
1
1
1
1
1
x
F
dx
dy
y
F
dx
dy
y
F
dx
dy
y
F
x
F
dx
dy
y
F
dx
dy
y
F
dx
dy
y
F
x
F
dx
dy
y
F
dx
dy
y
F
dx
dy
y
F
L
M
M
L
L
En este sistema las derivadas que estamos buscando aparecen entre paréntesis:
∂
∂−=
∂
∂
∂
∂++
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂
∂
∂−=
∂
∂
∂
∂++
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂
∂
∂−=
∂
∂
∂
∂++
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂
1
n
1
n
n
n
1
2
2
n
1
1
1
n
1
2
1
n
n
2
1
2
2
2
1
1
1
2
1
1
1
n
n
1
1
2
2
1
1
1
1
1
x
F
x
y
y
F
x
y
y
F
x
y
y
F
x
F
x
y
y
F
x
y
y
F
x
y
y
F
x
F
x
y
y
F...
x
y
y
F
x
y
y
F
L
M
L
Notación matricial:
[ ] [ ] [ ]43421
M
M
43421
M
M
444 3444 21
L
M
M
L
L
d1
n
1
2
1
1
D1
n
1
2
1
1
Jn
n
2
n
1
n
n
2
2
2
1
2
n
1
2
1
1
1
x
F
x
F
x
F
x
y
x
y
x
y
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂−
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
52
Sabemos que [ ] 0J ≠ bajo las condiciones del teorema de la función implícita, y ya que el sistema tiene que ser no homogéneo (porque de no ser así se estaría derivando respecto a una variable exógena que no perteneciese al modelo), tendrá solución única. Podemos generalizar el sistema de ecuaciones anterior para obtener las derivadas parciales de las funciones implícitas con respecto a todas las variables m321 x,...x,x,x .
( )m,...,3,2,1i
x
F
x
F
x
F
x
y
x
y
x
y
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
y
F
i
n
i
2
i
1
i
n
i
2
i
1
n
n
2
n
1
n
n
2
2
2
1
2
n
1
2
1
1
1
=
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂−
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
M
M
M
M
L
M
M
L
L
Para encontrar el vector columna [D] que contienen todas las derivadas parciales de las funciones implícitas con respecto a todas las variables
m321 x,...x,x,x podemos utilizar el método de la matriz inversa o el de Cramer.
[ ] [ ] [ ]d*JD 1−= (matriz inversa)
ANÁLISIS ESTÁTICO-COMPARATIVO
53
Aplicaciones: Modelo de renta nacional que toma en cuenta los impuestos totales
( ) 0YT
0)TY(C0GICY
YT
)TY(CGICY
1
10
10
00
10
10
00≡
=λ−λ−=−α−α−
=−−−≡
λ+λ=−α+α=
++=
( )( )( )
=
=
=
≡
=
↓↓↓↓↓↓
=
↓↓↓
0λ,λ,α,α,G,I;T,C,YF
0λ,λ,α,α,G,I;T,C,YF
0 λ,λ,α,α,G,I;T,C,YF
x x x x x x yy y
1010003
1010002
1010001
6m
654321
3n
321
4444 84444 7648476
111
1
11
333
222
111
11 0 λ
1 α0 1 1
T
F
C
F
Y
F
T
F
C
F
Y
F
T
F
C
F
Y
F
J λα+α−=−
α−−
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
0)1λ(α1J 11 >−+=
Puesto que J es no nulo y 321 FyF,F tienen derivadas parciales continuas
(todas son constantes). Podemos tomar TyC,Y como funciones implícitas de ( )101000 λ,λ,α,α,G,I alrededor de cualquier punto que cumpla con (1). Pero un punto que cumpla (1) sería una solución de equilibrio, conduciendo a
T y C,Y . Por lo que de acuerdo al teorema de la función implícita está justificado escribir:
( )1010001 λ,λ,α,α,G,IfY =
( )1010002 λ,λ,α,α,G,IfC =
( )1010003 λ,λ,α,α,G,IfT =
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
54
Las derivadas parciales de las funciones implícitas, tales como oI
Y∂
∂ y
oGY∂
∂ , tienen la naturaleza de derivadas estático – comparativas. Para
hallarlas, necesitamos sólo las derivadas parciales de las funciones “F”, evaluadas en el estado de equilibrio del modelo. Supongamos ahora que todas las variables exógenas y los parámetros permanecen fijos excepto G0.
[ ]
∂∂−
∂∂−
∂∂−
=
=
∂∂
∂∂
∂∂
−α−
−
03
02
01
0
0
0
J1
11
GF
GF
GF
001
GT
GC
GY
1 0 λ 1 α
0 1 1
44 344 21
)1λ(α1
1
)1λ(α1
1 0 0α 1 0
0 1 1
G
Y
1111
1
0 −+=
−+
−
=∂
∂: Multiplicador del gasto público.
El resultado es el mismo que se obtuvo antes, pero ahora no hemos resuelto explícitamente el sistema para TyC,Y . Es esta característica particular del método la que nos permite abordar la estática comparativa de los modelos con funciones generales, los cuales, por su propia naturaleza, pueden no tener solución explícita.
ANÁLISIS ESTÁTICO-COMPARATIVO
55
III.4 Estática comparativa de modelos de ecuaciones simultáneas
Cuando un modelo contiene funciones expresadas en forma general, las técnicas de diferenciación parcial simple resultan inaplicables por la no disponibilidad de soluciones explícitas, en su lugar emplearemos conceptos tales como las diferenciales totales, derivadas totales así como el teorema y la regla de la función implícita extendido al caso de ecuaciones simultáneas.
1. Modelo de mercado
Consideremos un mercado de un único bien, donde la cantidad demandada “ dQ ” es una función no sólo del precio “ p ” sino también de una renta determinada exógenamente “ 0Y ”. En cambio la cantidad ofertada “ sQ ” es únicamente una función del precio. Si esas funciones no están dadas en forma específica, nuestro modelo puede escribirse en general como:
( )
>=
>∂∂<∂
∂=
=
)0dPdS( )P(SQ
)0YD ;0P
D( )Y,P(DQ
I
s
00d
sd
Suponemos que tanto “D” como “S” son funciones que poseen derivadas continuas, o en otras palabras, tienen gráficas suaves. Además, en orden a asegurar su importancia económica, hemos impuesto restricciones definidas sobre los signos de estas derivadas.
0dP
dS⇒> La función de oferta será creciente con el precio.
0P
D⇒<
∂
∂La función de demanda será decreciente con el precio.
⇒>∂
∂0
Y
D
0La función de demanda será creciente con la renta.
Al dibujar la usual curva de demanda bidimensional suponemos que el nivel de renta es constante, pero cuando cambie la renta, se ajustará el equilibrio dado provocando una desviación de la curva de demanda. Del mismo modo, en (I), “ 0Y ” puede causar un desequilibrio a través de la función de demanda.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
56
Aquí “ 0Y ” es la única variable exógena; así el análisis estático – comparativo de este modelo se centrará exclusivamente en cómo afectará un cambio en “ 0Y ” a la posición de equilibrio del modelo. La posición de equilibrio del mercado está definida por la condición de equilibrio sd QQ = , la cual, sustituyendo y agrupando, puede expresarse por:
( ) ( ) ( ) ( ) 0Y,PFPSY,PDII 00 ==− Aunque esta ecuación no tiene solución explícita para el precio de equilibrio P , supondremos que existe un equilibrio estático ya que de otro modo no habría un punto en que plantear la cuestión de la estática comparativa. Si ( ) 0Y,PF 0 = satisface las condiciones del teorema de la función implícita, entonces se garantizará que cada valor de “ 0Y ” produzca un único valor de
P para un entorno que cumpla (II), esto es, en el entorno de una inicial solución de equilibrio. En este caso, podemos escribir la función implícita
)Y(PP 0= y estudiar la derivada estático – comparativa 0dY
Pd que
sabemos que existe. 1.1. Comprobación del teorema:
1. Por hipótesis hemos asumido que ( )0Y,PD y ( )PS tienen derivadas
continuas, por tanto ( ) ( ) ( ) 0PSY,PDY,PF 00 =−= poseerá derivadas continuas.
2. dP
dS
P
DFP −
∂
∂= , es negativa y por tanto no nula.
.definidasestán)'A(0)P(S)Y,P(DF
)A()Y(PP:tantoPor
0
0
=−=
=
Para calcular 0dY
Pdpodemos aplicar la regla de la función implícita para
la obtención de la derivada estático – comparativa.
0
Pd
dS
P
DY
D
PF
YF
F
F
dY
Pd
)(
)(
00
P
Y
0
0 >−
∂
∂∂
∂
−=
∂∂∂
∂−=−=
−
+
43421
ANÁLISIS ESTÁTICO-COMPARATIVO
57
Un incremento en el nivel de la renta producirá un incremento en el precio de equilibrio.
Puesto que en el estado de equilibrio tenemos )P(SQ = , y puesto que ),Y(PP 0= podemos aplicar la regla de la cadena para obtener la derivada:
( )
( )
0dY
Pd
Pd
dS
dY
Qd
00>
=
++ 43421
2. Aproximación a las ecuaciones simultáneas
El análisis del modelo anterior (I), se realizó sobre la base de una única ecuación (II). Debido a que en una ecuación sólo puede incorporarse provechosamente una variable endógena, la inclusión de “ P ” significa la exclusión de “ Q ” simultáneamente. Como son dos variables endógenas, habrá que construir un sistema con dos ecuaciones. Hacemos: sd QQQ ==
0Q)Y,P(D)Y;Q,P(F 001 =−=
0Q)P(S)Y;Q,P(F 0
2 =−=
Donde:
2n = (número de ecuaciones).
1m = (número de variables exógenas). 2.1. Comprobación del teorema de la función implícita:
1. Puesto que ( )0Y,PD y ( )PS , tienen derivadas continuas (por hipótesis),
entonces 1F y 2F también tendrán derivadas continuas. 2. Podemos comprobar que el jacobiano de las variables endógenas ( )Q,P
es distinto de cero, independientemente de donde se evalúe.
0
P
D
dP
dS
1dP
dS
1P
D
Q
F
P
F
Q
F
P
F
J
)()(22
11
>
∂
∂−=
−
−∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
−+
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
58
Entonces si están definidas:
)B()Y(QQ
)Y(PP
0
0
=
= y )'B(
0Q)P(SF
0Q)Y,P(DF2
01
=−=
=−=
Aunque no podamos resolverlas explícitamente para QyP . Además poseerán derivadas continuas.
[ ]
∂
∂−
=
∂
∂−
∂
∂−
=
−
−∂
∂
0
Y
D
Y
F
Y
F
dY
Qd
dY
Pd
1Pd
dS
1P
D
0
0
2
0
1
0
0
J43421
0
P
D
Pd
dSY
D
P
D
Pd
dS10
1Y
D
dY
Pd 0
0
0>
∂
∂−
∂∂
=
∂
∂−
−
−∂
−∂
=
0
P
D
Pd
dSY
DPd
dS
P
D
Pd
dS
0Pd
dSY
D
P
D
dY
Qd 0
0
0>
∂
∂−
∂∂⋅
=
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂
=
Todas las derivadas de las funciones de demanda y oferta incluidas las que aparecen en el jacobiano están evaluadas en el equilibrio inicial.
3. Uso de derivadas totales
Tanto el enfoque de la ecuación única como el de las ecuaciones simultáneas visto anteriormente tienen un rasgo en común: tomamos las diferenciales totales de ambos miembros de una ecuación de equilibrio y luego igualamos los dos resultados. Sin embargo, en vez de tomar las diferenciales totales, es posible tomar, e igualar, las derivadas totales de los dos miembros de la ecuación de equilibrio con respecto a una variable exógena o parámetro particular.
ANÁLISIS ESTÁTICO-COMPARATIVO
59
En la aproximación de la ecuación única, la ecuación de equilibrio es:
)'A(de 0)P(S)Y,P(DF 0 =−=
Donde )A(de )Y(PP 0= Tomando la derivada total de la ecuación de equilibrio con respecto a
00
dY
Fd:Y .
Variable independiente: 0Y
Diferencial total:
0PdP
FdY
Y
FFd 0
0=⋅
∂
∂+⋅
∂
∂=
La derivada total de F respecto a Y0 es:
0dY
Pd
P
F
Y
F
dY
Fd
000=⋅
∂
∂+
∂
∂=
0dY
Pd
P
S
P
D
Y
D
dY
Fd
000=
∂
∂−
∂
∂+
∂
∂=
Despejando 0dY
Pd tenemos:
P
S
P
DY
D
dY
Pd 0
0
∂
∂−
∂
∂∂
∂−=
P
0Y
F
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
60
En cambio, en la aproximación de las ecuaciones simultáneas, hay un par de ecuaciones de equilibrio:
( )( ) ( )'
022
0011
Bde0Q)P(SY;Q,PFF
0Q)Y,P(DY;Q,PFF
=−==
=−==
Donde )Y(QQ y )Y(PP 00 == de (B). Variable independiente: .Y 0
Diferencial total:
0QdQ
FdY
Y
FPd
P
FFd
1
00
111 =
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
La derivada total es:
0dY
Qd
Q
F
dY
dY
Y
F
dY
Pd
P
F
dY
Fd
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
0dY
Qd)1(
Y
D
dY
Pd
P
D
dY
Fd
0000
1=−+
∂
∂+
∂
∂=
0dY
Qd
Y
D
dY
Pd
P
D
000=−
∂
∂+
∂
∂
Operando:
)1( Y
D
dY
Qd
dY
Pd
P
D
000 ∂
∂−=−
∂
∂
Por otro lado:
P
0Y
Q
2F 0Y
P
0Y
Q
1F 0Y
ANÁLISIS ESTÁTICO-COMPARATIVO
61
Variable independiente: .Y 0
Diferencial total:
0QdQ
FdY
Y
FPd
P
FFd
2
00
222 =
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
Derivada total:
0dY
Qd
Q
F
Y
F
dY
Pd
P
F
dY
Fd
0
2
00
2
0
2
0
2=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
0dY
Qd)1(
dY
Pd
P
S
dY
Fd
000
2=−+
∂
∂=
)2( 0dY
Qd
dY
Pd
P
S
00=−
∂
∂
De ( ) ( ) :2y1
∂
∂−
=
−∂
∂
−∂
∂
0
Y
D
dY
Qd
dY
Pd
1P
S
1P
D
0
0
0
Resolviendo, los resultados son idénticos a los obtenidos por los métodos anteriores.
4. Modelo de renta nacional
Esta vez haremos abstracción de los gastos públicos y de los impuestos y, en su lugar, añadiremos en el modelo las relaciones comerciales con el extranjero. Además, incluiremos el mercado monetario junto con el mercado de bienes. 4.1. El mercado de bienes: se caracteriza por las siguientes funciones:
1. La inversión “I” es una función decreciente de la tasa de interés “i”.
( )iII = ( )0I' < .
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
62
2. El ahorro “S” es una función creciente de la renta nacional “Y”; así como, de la tasa de interés “i”, siendo la propensión marginal al ahorro “SY” una fracción positiva.
( ) ( )0S;1S0i,YSS iY ><<=
3. Las importaciones “M” son una función de la renta nacional, siendo la propensión marginal a importar “M’” otra fracción positiva.
( ) ( )1M0YMM ' <<=
4. El nivel de exportaciones “X” se determina exógenamente.
0XX =
4.2. Mercado de dinero: se caracteriza por las siguientes funciones:
1. La cantidad de demanda de dinero "M" d es una función creciente de la
renta nacional (demanda de transacciones) pero una función decreciente de la tasa de interés (demanda especulativa).
( ) ( )0L;0Li,YLM iYd <>=
El símbolo “L” se emplea aquí porque la función de demanda de dinero suele denominarse “función de liquidez”.
2. La oferta de dinero se determina exógenamente como una cuestión de
política monetaria.
0ss MM =
Observaciones: 1. “I”, “S”, “M” y “X” representan conceptos de “flujo” ya que todos están
medidos por período de tiempo, como ocurre con “Y”.
2. “ dM ” y “ sM ” son conceptos “stocks” e indican las cantidades existentes en algún punto específico del tiempo.
Hipótesis: 1. Supondremos que todas las funciones, independientemente de si son
existencias o flujos, tienen derivadas continuas.
ANÁLISIS ESTÁTICO-COMPARATIVO
63
2. La consecución del equilibrio en este modelo requiere la satisfacción simultánea de dos condiciones:
a. Condición de equilibrio del mercado de bienes.
Entradas = Salidas1
( )IMSXI +=+
b. Condición de equilibrio del mercado de dinero.
Demanda Monetaria = Oferta Monetaria
( )IIMM sd =
=+=+
)II(M)i,Y(L)I()Y(M)i,Y(SX)i(I
)A(0s
0
Variables endógenas: Y, i.
Variables exógenas:
)monetariassautoridadelasporda(determinaM)exterioresdecisionesen(basadasX
s0
0
De (I) y (II):
=−=
=−−+=↓↓↓↓
0M)i,Y(L)M,X;i,Y(F
0)Y(M)i,Y(SX)i(I)M,X;i,Y(F)B(
0s0s02
00s01
xxyy 2121
Debemos comprobar que el sistema de ecuaciones (B) satisfaga el teorema de la función implícita. 4.3. Verificación del teorema:
1. “F1” y “F2” tienen derivadas continuas puesto que por hipótesis todas las
funciones que las componen tiene derivadas continuas.
2. ( ) ( ) ( )[ ] 0S'IL'MSLLL
SIMSiFYFiFYFJ iYYi
iY
i''
Y22
11>−++−=−+−=
∂∂∂∂∂∂∂∂=
El determinante jacobiano de las variables endógenas no se anula ni cuando se evalúa en el equilibrio inicial (que suponemos existe) ni en cualquier otro punto.
1 Ver apéndice al final del capítulo.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
64
Al verificarse las dos condiciones del teorema, podemos afirmar la existencia de:
=
=
)M,X(ii
)MX(YY
0s0
0s,0
Aunque no seamos capaces de resolverlas explícitamente para Y e i . También se verifica la identidad:
( ) ( )( ) 0Mi,YLF
0YMi,YSX)i(IF
0s2
01
=−=
=−−+=
Cálculo de las derivadas totales de 1F y 2F respecto de las variables exógenas:
Variables independientes: .M,X 0s0 Diferencial total:
0dMM
FdX
X
Fid
i
FYd
Y
FFd 0s
0s
1
00
1111 =⋅
∂
∂+⋅
∂
∂+⋅
∂
∂+⋅
∂
∂=
Derivadas totales de carácter parcial:
)c(0dX
dM
M
F
X
F
X
i
i
F
X
Y
Y
F
X
F
00
0s
0s
1
0
1
0
1
0
1
0
1=⋅
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂=
δ
δ
321
)d(0M
F
dM
dX
X
F
M
i
i
F
M
Y
Y
F
M
F
0s
1
00s
0
0
1
0s
1
0s
1
0s
1=
∂
∂+⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂=
δ
δ
321
Y
0X
0X
0sM
0X 1F0sM
i
Ms0
ANÁLISIS ESTÁTICO-COMPARATIVO
65
Por otro lado:
Diferencial total:
0dMM
FdX
X
Fid
i
FYd
Y
FFd 0s
0s
2
00
2222 =⋅
∂
∂+⋅
∂
∂+⋅
∂
∂+⋅
∂
∂=
Derivadas totales de carácter parcial:
)e(0 X
M
M
F
X
F
X
i
i
F
X
Y
Y
F
X
F
00
0s
0s
2
0
2
0
2
0
2
0
2=
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂=
δ
δ
321
)f(0M
F
dM
dX
X
F
M
i
i
F
M
Y
Y
F
M
F
0s
2
00s
0
0
2
0s
2
0s
2
0s
2=
∂
∂+⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂=
δ
δ
321
Trabajando con (c):
0X
F
X
i
i
F
X
Y
Y
F
0
1
0
1
0
1=
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂
[ ] [ ] )g(1X
iSI
X
YMS
0i
'
0
'Y −=
∂
∂−+
∂
∂+−
Trabajando con (e):
0
2
0
2
0
2
X
F
X
i
i
F
X
Y
Y
F
∂
∂−=
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂
[ ] [ ] )h(0X
iL
X
YL
0i
0Y =
∂
∂+
∂
∂
Y
0X
0X
0sM
0X
0sM
i
Ms0
2F
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
66
Colocando en forma matricial ( ) ( ) :hyg
( ) ( )
−=
∂
∂
∂
∂
−+−
0
1
X
i
X
Y
LLSIMS
0
0
iY
i''
Y
Resolviendo por Cramer:
0J
L
J
L0
)SI(1
X
Y ii
i'
0>
−=
−−
=∂
∂
( )
0J
L
J
0L
1MS
X
i YY
'Y
0>=
−+−
=∂
∂
Si trabajamos con (d) y (f) podremos obtener .M
iy
M
Y
0s0s ∂
∂
∂
∂
Podemos observar que 0X
Y
∂
∂ tiene la naturaleza de un multiplicador de la
exportación. Puesto que el incremento de la exportación inducida en la renta de equilibrio causará por medio de la función de importación ( )YMM = , una subida de las importaciones, podremos aplicar la regla de la cadena para hallar las derivadas estático-comparativas auxiliares:
0J
LM
X
Y
Yd
Md
X
M i
'
00>
−=
∂
∂⋅=
∂
∂
0J
LI
X
i
id
Id
X
I Y'
00<=
∂
∂⋅=
∂
∂
0J
LS
X
i
i
S
X
S Yi
00>=
∂
∂⋅
∂
∂=
∂
∂
ANÁLISIS ESTÁTICO-COMPARATIVO
67
5. Modelo IS - LM
En el apartado anterior hemos visto el modelo de renta nacional y hemos analizado el mercado de bienes y el mercado de dinero que son piezas del Modelo IS - LM.
( ) ( )( ) ( ) 0000 Gr,YIIr,YTTYCCY/r,YIS +++−−+==
( ) ( ) 00 Mr,YLL/r,YLM =+=
IS: representa el equilibrio en el mercado de bienes. LM: representa el equilibrio en el mercado de dinero.
Siendo: Y : Ingreso nacional.
0C Consumo autónomo.
( )r,YCC d= : Función de consumo.
( )YTTYY 0d −−= : Ingreso disponible.
0T : Impuesto exógeno.
( )YTT = : Función de impuestos.
r : Tasa de interés.
0I : Inversión autónoma.
( )r,YII = : Función de inversión.
0G : Gasto del gobierno.
0L : Demanda exógena de dinero.
( )r,YLL = : Función de demanda monetaria.
0M : Oferta monetaria (conocida). 5.1. Hipótesis: 1. Supondremos que las funciones tienen derivadas parciales continuas.
Donde: .0L;0L;1IC;0I;0I;0C;0T;1C0 rYYYrYrYY dd<><+<><><<
2. A pesar de que la pendiente de la curva IS es negativa y la pendiente de la
curva LM es positiva2, no se puede garantizar que estas curvas se intercepten, sin embargo supondremos que sí se da la intersección en el punto ( )r,Y . Este es el punto de equilibrio del modelo ya que satisface las ecuaciones de ambas curvas.
2 Ver apéndice al final del capítulo.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
68
Realizar el análisis estático comparativo de este modelo utilizando el método de las derivadas totales. 2. El sistema de ecuaciones puede ser escrito como:
( )( ) ( )
( )
=++++−−+=
)II(Mr,YLL)I(Gr,YIIr,YTTYCCY
)A(00
0000
Variables endógenas: Y, r. Variables exógenas: .000000 M,L,G,I,T,C De (I) y (II):
↓↓↓↓↓↓↓↓
)M,L,G,I,T,C;r,Y(F
)M,L,G,I,T,C;r,Y(F)B(
0000002
0000001
xxxxxxyy 65432121
( ) ( )( ) ( )( )
=−+=
=−−−−−−−=
0Mr,YLLF
0Gr,YIIr,YTTYCCYFB
002
00001
Debemos comprobar que el sistema de ecuaciones (B) satisfaga el teorema de la función implícita.
Y
LMIS
Y
r
r
ANÁLISIS ESTÁTICO-COMPARATIVO
69
5.2. Verificación del teorema:
1. “F1” y “F2” tienen derivadas continuas puesto que por hipótesis todas las funciones que las componen tienen derivadas continuas.
2. ( )
rY
rrYyY
22
11
LLICIT1C1
r
F
Y
F
r
F
Y
F
J d−−−−−
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
( )[ ] ( ) 0LICLIT1C1J YrrrYyYd
<++−−−= El determinante jacobiano de las variables endógenas no se anula ni cuando se evalúa en el equilibrio inicial (que suponemos existe) ni en cualquier otro punto. Al verificarse las dos condiciones del teorema, podemos afirmar la existencia de:
=
=
)M,L,G,I,T,C(rr
)M,L,G,I,T,C(YY
000000
000000
Aunque no seamos capaces de resolverlas explícitamente para .ryY También se verifica la identidad:
( )( ) ( )( ) 0Mr,YLLF
0Gr,YIIr,YTTYCCYF
002
00001
=−+=
=−−−−−−−=
Cálculo de las derivadas totales de 21 FyF respecto de las variables exógenas: Se hace notar que en las diferenciales totales de 21 FyF sólo se ha tenido en consideración las variables de las cuales verdaderamente dependen. Es decir, en la expresión de 1Fd no se han considerado las variables 00 MyL por no
aparecer en la expresión de .F1 Mientras que en la expresión de 2Fd no se han considerado las variables 0000 IeG,T,C por no aparecer en la expresión
de .F2 La inclusión de las variables antes mencionadas en las expresiones de 1Fd y de 2Fd no alterarán los resultados (se deja al alumno la comprobación
de esto último).
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
70
Variables independientes: .M,L,G,I,T,C 000000 Diferencial total:
0dGG
FdI
I
FdT
T
FdC
C
Frd
r
FYd
Y
FFd 0
0
1
00
1
00
1
00
1111 =⋅
∂
∂+⋅
∂
∂+⋅
∂
∂+⋅
∂
∂+⋅
∂
∂+⋅
∂
∂=
Derivadas totales de carácter parcial:
)c( 0dC
dG
G
F
dC
dI
I
F
dC
dT
T
F
C
F
C
r
r
F
C
Y
Y
F
C
F
00
0
0
10
0
0
0
1
00
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
=⋅∂
∂+
+⋅∂
∂+⋅
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂=
δ
δ
321
Trabajando con (c):
0
1
0
1
0
1
C
F
C
r
r
F
C
Y
Y
F
∂
∂−=
∂
∂⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂
( )[ ] ( ) ( )'0
rr0
YYY c1C
rIC
C
YIT1C1
d=
∂
∂⋅+−
∂
∂⋅−−−
0C
Y
0C
0T
1F
0M
r
0T
0I
0G
0I0G0L
0C
0T
0M
0I 0G0L
ANÁLISIS ESTÁTICO-COMPARATIVO
71
( )d0dT
dG
G
F
dT
dI
I
F
T
F
dT
dC
C
F
T
r
r
F
T
Y
Y
F
T
F
00
0
0
1
00
0
0
1
0
1
00
0
0
1
0
1
0
1
0
1
=⋅∂
∂+
+⋅∂
∂+
∂
∂+⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂=
δ
δ
321
Trabajando con (d):
0
1
0
1
0
1
T
F
T
r
r
F
T
Y
Y
F
∂
∂−=
∂
∂⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂
( )[ ] ( ) ( )'Y0
rr0
YYY dCT
rIC
T
YIT1C1
dd−=
∂
∂⋅+−
∂
∂⋅−−−
( )e0dI
dG
G
F
I
F
dI
dT
T
F
dI
dC
C
F
I
r
r
F
I
Y
Y
F
I
F
00
0
0
1
0
1
00
0
0
1
00
0
0
1
0
1
0
1
0
1
=⋅∂
∂+
+∂
∂+⋅
∂
∂+⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂=
δ
δ
321
Trabajando con (e):
0
1
0
1
0
1
I
F
I
r
r
F
I
Y
Y
F
∂
∂−=
∂
∂⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂
( )[ ] ( ) ( )'0
rr0
YYY e1I
rIC
I
YIT1C1
d=
∂
∂⋅+−
∂
∂⋅−−−
( )f0G
F
dG
dI
I
F
dG
dT
T
F
dG
dC
C
F
G
r
r
F
G
Y
Y
F
G
F
0
10
0
0
0
1
00
0
0
1
00
0
0
1
0
1
0
1
0
1
=∂
∂+
+⋅∂
∂+⋅
∂
∂+⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂=
δ
δ
321321321
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
72
Trabajando con (f):
0
1
0
1
0
1
G
F
G
r
r
F
G
Y
Y
F
∂
∂−=
∂
∂⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂
( )[ ] ( ) ( )'0
rr0
YYY f1G
rIC
G
YIT1C1
d=
∂
∂⋅+−
∂
∂⋅−−−
)g(0dL
dG
G
F
dL
dI
I
F
dL
dT
T
F
dL
dC
C
F
L
r
r
F
L
Y
Y
F
L
F
00
0
0
10
0
0
0
1
00
0
0
1
00
0
0
1
0
1
0
1
0
1
=⋅∂
∂+
+⋅∂
∂+⋅
∂
∂+⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂=
δ
δ
321
Trabajando con (g):
0L
r
r
F
L
Y
Y
F
0
1
0
1=
∂
∂⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂
( )[ ] ( ) ( )'0
rr0
YYY g0L
rIC
L
YIT1C1
d=
∂
∂⋅+−
∂
∂⋅−−−
)h(0dM
dG
G
F
dM
dI
I
F
dM
dT
T
F
dM
dC
C
F
M
r
r
F
M
Y
Y
F
M
F
00
0
0
1
00
0
0
10
0
0
0
1
00
0
0
1
0
1
0
1
0
1
=⋅∂
∂+⋅
∂
∂+
+⋅∂
∂+⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂=
δ
δ
321321
321321
Trabajando con (h):
0M
r
r
F
M
Y
Y
F
0
1
0
1=
∂
∂⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂
( )[ ] ( ) ( )'0
rr0
YYY h0M
rIC
M
YIT1C1
d=
∂
∂⋅+−
∂
∂⋅−−−
ANÁLISIS ESTÁTICO-COMPARATIVO
73
Variables independientes: .M,L,G,I,T,C 000000
0dLL
FdM
M
Frd
r
FYd
Y
FFd 0
0
2
00
2222 =⋅
∂
∂+⋅
∂
∂+⋅
∂
∂+⋅
∂
∂=
Derivadas totales de carácter parcial:
( )i0dC
dL
L
F
dC
dM
M
F
C
r
r
F
C
Y
Y
F
C
F
00
0
0
2
00
0
0
2
0
2
0
2
0
2=⋅
∂
∂+⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂=
δ
δ
321
Trabajando con (i):
0C
r
r
F
C
Y
Y
F
0
2
0
2=
∂
∂⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂
( )'0
r0
Y i0C
rL
C
YL =
∂
∂⋅+
∂
∂⋅
( )j0dT
dL
L
F
dT
dM
M
F
T
r
r
F
T
Y
Y
F
T
F
00
0
0
2
00
0
0
2
0
2
0
2
0
2=⋅
∂
∂+⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂=
δ
δ
321
Trabajando con (j):
0T
r
r
F
T
Y
Y
F
0
2
0
2=
∂
∂⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂
Y
0M
0C 0T
2F
0M
r
0L
0I 0G0L
0C
0T
0M
0I0G 0L
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
74
( )'0
r0
Y j0T
rL
T
YL =
∂
∂⋅+
∂
∂⋅
( )k0dI
dL
L
F
dI
dM
M
F
I
r
r
F
I
Y
Y
F
I
F
00
0
0
2
00
0
0
2
0
2
0
2
0
2=⋅
∂
∂+⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂=
δ
δ
321
Trabajando con (k):
0I
r
r
F
I
Y
Y
F
0
2
0
2=
∂
∂⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂
( )'0
r0
Y k0I
rL
I
YL =
∂
∂⋅+
∂
∂⋅
( )l0dG
dL
L
F
dG
dM
M
F
G
r
r
F
G
Y
Y
F
G
F
00
0
0
2
00
0
0
2
0
2
0
2
0
2=⋅
∂
∂+⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂=
δ
δ
321321
Trabajando con (l):
0G
r
r
F
G
Y
Y
F
0
2
0
2=
∂
∂⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂
( )'0
r0
Y l0G
rL
G
YL =
∂
∂⋅+
∂
∂⋅
( )m0 L
F
dL
dM
M
F
L
r
r
F
L
Y
Y
F
L
F
0
2
00
0
0
2
0
2
0
2
0
2=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂=
δ
δ
321
Trabajando con (m):
L
F
L
r
r
F
L
Y
Y
F
0
2
0
2
0
2
∂
∂−=
∂
∂⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂
( )'0
r0
Y m 1L
rL
L
YL −=
∂
∂⋅+
∂
∂⋅
ANÁLISIS ESTÁTICO-COMPARATIVO
75
)n(0dM
dL
L
F
M
F
M
r
r
F
M
Y
Y
F
M
F
00
0
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2=⋅
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂=
δ
δ
321
Trabajando con (n):
0
2
0
2
0
2
M
F
M
r
r
F
M
Y
Y
F
∂
∂−=
∂
∂⋅
∂
∂+
∂
∂⋅
∂
∂
( )'0
r0
Y n1M
rL
M
YL =
∂
∂⋅+
∂
∂⋅
Se pueden calcular doce derivadas estático-comparativas. Nosotros vamos a calcular sólo cuatro de ellas, dejando al alumno el cálculo de las restantes.
Colocando en forma matricial ( ) ( ) :iyc ''
( )[ ] ( )
=
∂
∂
∂
∂
+−−−−
0
1
C
r
C
Y
LLICIT1C1
0
0
rY
rrYYYd
( )
0J
L
J
L0
IC1
C
Y rr
rr
0>=
+−
=∂
∂
( )[ ]0
J
L
J
0L1IT1C1
C
r YY
YYY
0
d
>−
=
−−−
=∂
∂
Colocando en forma matricial ( ) ( ) :jyd ''
( )[ ] ( )
−
=
∂
∂
∂
∂
+−−−−
0
C
T
r
T
Y
LLICIT1C1
d
d
Y
0
0
rY
rrYYY
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
76
( )
0J
CL
J
L0
ICC
T
Y d
d
Yrr
rrY
0<
⋅−=
+−−
=∂
∂
( )[ ]0
J
LC
J
0LCIT1C1
C
r YYY
YYYY
0
d
dd
<⋅
=
−−−−
=∂
∂
III.5 Limitaciones de la estática-comparativa
La estática comparativa ignora el proceso de ajuste del viejo equilibrio al nuevo y también prescinde del elemento temporal que implica ese proceso de ajuste.
No toma en cuenta que de repente el nuevo equilibrio no se alcance jamás si es que el modelo es inestable.
ANÁLISIS ESTÁTICO-COMPARATIVO
77
Apéndice
Demostración de la ecuación de equilibrio en el mercado de bienes del modelo de renta nacional: Se sabe que:
GICY ++= ( )1 Y que:
( )TYC 10 −α+α= ( )2 Reemplazando ( )2 en ( )1 se tiene:
( ) GITYY 10 ++−α+α= Sumando a ambos lados “T” se tiene:
( ) TGITYTY 10 +++−α+α=+
( ) ( ) ( ) IT1GTY1TGITYTY 101110 =α−−α−−+α−⇒+++α−α+α=+ ( )( ) ( ) ( )cerradaEconomíaISIGTTY1
públicoprivado SS01 =⇒=−+α−−α− 321444 3444 21
Por tanto, en una economía abierta se tendrá:
( )abiertaEconomíaMIXS +=+ ( )3 Donde: X: Exportaciones. M: Importaciones S: Ahorro I: Inversiones La ecuación ( )3 se puede escribir como sigue:
( ) ( ) ( ) ( )444 3444 21444 3444 214342143421
PúblicoSector públicopúblico
PrivadoSector privadoprivado
ExternoSector ComercialBalanzaSISIMXSIMX −+−=−⇒−=−
Si: ⇒> MX superávit en la balanza comercial ⇒>⇒ SI déficit en el sector público y/o en el sector privado.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
78
Cálculo de las pendientes de las curvas “IS” y “LM”:
( ) ( )( ) ( ) 0000 Gr,YIIr,YTTYCCY/r,YIS +++−−+==
( ) ( ) 00 Mr,YLL/r,YLM =+=
Escribiendo las ecuaciones en forma implícita tenemos que:
( )( ) ( ) 0Gr,YIIr,YTTYCCYF 0000IS =−+−−−−−=
( ) 0Mr,YLLF 00
LM =−+=
Por la regla de derivación de la función implícita tenemos:
( )( )
( )( )
0IC
TCIC1
IC
IT1C1
F
F
Y
r
rr
YYYY
rr
YYYISr
ISY ddd <
+
⋅++−=
−−
−−−−=−=
∂
∂
0L
L
F
F
Y
r
r
YLMr
LMY >−=−=
∂
∂
Capítulo IV
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
IV.1 Análisis convexo
Las funciones cóncavas y convexas juegan un rol importante en la teoría económica. La mayor parte de los problemas que se presentan en economía involucran a individuos racionales que resuelven algún tipo de problema de optimización, los conceptos de conjuntos convexos, y de concavidad y convexidad de funciones serán de gran utilidad para el desarrollo de estos problemas de optimización.
IV.2 Conjuntos convexos
Sea un conjunto nℜ⊂Χ , será un conjunto convexo si para cualquier par de puntos y,x
rrΧ∈ y para todo [ ]1,0∈λ se cumple que:
( ) ( ) ( ) Χ∈λ−+λ=λ−+λ== n21n21n21 y,,y,y)1(x,,x,xy)1(xz,,z,zz LL
rrL
r ( )A 1
Es decir que si trazamos un segmento entre los puntos y,x
rr; para que el conjunto
Χ sea un conjunto convexo, todo el segmento que los une deberá estar totalmente contenido en el conjunto Χ . En la figura 1 los tres primeros conjuntos (a), (b) y (c) son convexos en cambio los conjuntos (d) y (e) no lo son.
(a) (b) (c)
1 A la ecuación (A) se le denomina combinación convexa de .yyx
rr
y
xx
y
x
y
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
80
(d) (e)
Figura 1
Ejemplos: Determinar si los siguientes son conjunto convexos. a) 12
221 xx/)x,x(X ≥ℜ∈=
b) 2122
21 xx/)x,x(X ≥ℜ∈=
c) 2122
21 xx/)x,x(X ≥ℜ∈=
d) Dados dos conjuntos convexos X1 y X2 que pertenecen a ,ℜ determinar si la unión de estos conjuntos es un conjunto convexo.
Solución: a) Sea )x,x(x 21=
r e )y,y(y 21=
r dos elementos de X, debemos probar que para
todo [ ]1,0∈λ :
( ) )y)1(x,y1x(y)1(x)z,z(z 221121 λ−+λλ−+λ=λ−+λ==rrr
debe pertenecer a X.
Debido a que y,xrr
Χ∈ se cumple que 12 xx ≥ e 12 yy ≥ y como 01 ≥λ≥ y 011 ≥λ−≥ se tiene que 12 xx λ≥λ y ( ) 12 y)1(y1 λ−≥λ− . Por lo tanto,
,zy)1(xy)1(xz 111222 =λ−+λ≥λ−+λ= lo que prueba que X es convexo ya que Χ∈z
r.
x y
x
y
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
81
x1
X
x2
Figura 2
b) Siguiendo un procedimiento similar al del ejercicio anterior, dado que xr
e yr
son dos elementos de X, y que [ ]1,0∈λ se tiene:
212 xx λ≥λ , ( ) 2
12 y)1(y1 λ−≥λ− Ya que se verifica que:
( ) ( )[ ] ( )( ) 0yx1y1xy1x 211
211
21
21 ≥−λ−λ=λ−+λ−λ−+λ ( )*
Por tanto:
( ) ( )[ ]211
21
21 y1xy1x λ−+λ≥λ−+λ
Por otro lado, tenemos que:
( ) ( ) ( )[ ] 21
211
21
21222 zy1xy1xy1xz =λ−+λ≥λ−+λ≥λ−+λ=
212 zz ≥
Lo que prueba que X es convexo.
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
82
Figura 3
c) En este caso, probaremos que éste no es un conjunto convexo con un
ejemplo. Por ejemplo, para )4,2(y),4,2(x −== y [ ]1,02
1∈=λ tales que:
( ) X)0,2()4,2(2
14,2
2
1y)1(xz ∉=−+=λ−+λ=rrr
Por tanto X no es un conjunto convexo.
Figura 4
d) Dado que en ℜ todo intervalo es un conjunto convexo, los siguientes
intervalos son conjuntos convexos: ( )3,1X1 = y ( ]8,6X2 = . Podemos ver que
213 XXX U= no es convexo ya que por ejemplo existen 2x1 = y
32 X7x ∈= y sin embargo podemos ver que para un 2
1=λ :
.X5,4x)1(x 321 ∉=λ−+λ Por tanto, por lo general la unión de dos conjuntos convexos no es un conjunto convexo.
x1
X
x2
x1
x2
X 212 xx ≥
212 xx ≥−
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
83
IV.3 Funciones cóncavas y convexas 1. Introducción
En esta sección se introducen los conceptos de función convexa, estrictamente convexa, cóncava y estrictamente cóncava en un conjunto convexo. Estas características son fundamentales en la teoría de la optimización, ya que permiten garantizar la globalidad de las soluciones.
f(x)
x
f(x)
x
f(x)
x
a) b)
c)
Figura 5
La figura 5a) representa una función convexa, pero no estrictamente convexa ya que hay pares de puntos de la función tales que la cuerda que los une está sobre la función y no estrictamente encima de ella. La figura 5b) representa una función estrictamente convexa ya que la cuerda que une cualquier par de puntos de ella se encuentra estrictamente sobre dicha función. La figura 5c) representa una función que no es ni cóncava ni convexa ya que existen cuerdas que unen pares de puntos que la cortan ubicándose en una región por encima y en otra por debajo de dicha función.
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
84
2. Definiciones
Dada una función “f” definida en un conjunto convexo nX ℜ⊂ :
• Será convexa en X si y sólo si para todo Xy,x ∈rr y para todo
[ ]1,0∈λ se cumple:
( )[ ] ( ) ( ) ( )yfxf1yx1frrrr
λ+λ−≤λ+λ−
• Será cóncava en X si y sólo si para todo Xy,x ∈rr y para todo
[ ]1,0∈λ se cumple:
( )[ ] ( ) ( ) ( )yfxf1yx1frrrr
λ+λ−≥λ+λ−
Dada una función “f” definida en un conjunto convexo nX ℜ⊂ :
• Será estrictamente convexa en X si y sólo si para todo Xy,x ∈rr
, ,yxrr
≠ y para todo ( )1,0∈λ se cumple:
( )[ ] ( ) ( ) ( )yfxf1yx1frrrr
λ+λ−<λ+λ−
• Será estrictamente cóncava en X si y sólo si para todo Xy,x ∈rr ,
,yxrr
≠ y para todo ( )1,0∈λ se cumple:
( )[ ] ( ) ( ) ( )yfxf1yx1frrrr
λ+λ−>λ+λ−
Dada una función “f” definida en un conjunto convexo nX ℜ⊂ . Se dice que “f” es convexa en X si y sólo si la función “f” es cóncava en X.
Dada una función “f” definida en un conjunto convexo nX ℜ⊂ . Se dice que “f” es estrictamente convexa en X si y sólo si la función “f” es estrictamente cóncava en X.
x
z
y
X xr y
r1x
1y
zr1z
2x 2y2z
( )zfr
( )yfr
( )xfr
( ) ( ) ( )yf1xfrr
λ−+λ
( )y,xf
AB
Figura 6
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
85
La figura 6 muestra una función cóncava en 2X ℜ⊂ ya que se verifica que para todo par de puntos ,Xy,x ∈
rr la función evaluada en cualquier
combinación convexa zr
de ,yyxrr
es mayor o igual que la correspondiente combinación convexa de ( ) ( ),yfyxf
rr es decir: ( ) ( ) ( ) ( ).yf1xfzf
rrrλ−+λ≥ Esto
implica que el arco que una los puntos A y B nunca estará debajo del segmento de recta que une tales puntos. Para este caso, es importante señalar que por lo general se verifica que ( ) ( ) ( ) ( ),yf1xfzf
rrrλ−+λ> pero en los puntos
A y B (cuando respectivamente 0y1 =λ=λ ) se cumple respectivamente que: ( ) ( ) ( ) ( ).yfzfyxfzf
rrrr==
Ejemplos:
1.- Determinar de acuerdo a las definiciones anteriores que tipo de funciones
son las siguientes:
a) x
1)x(f = en ++ℜ⊂X , X es convexo.
b) x)x(f = en ++ℜ .
Solución:
a) Sean [ ],1,0,Xy,x ∈λ∈ como X es convexo se cumple que ( ) .Xyx1z ∈λ+λ−= Para que “f” sea convexa se debe verificar que:
[ ]( )
( ) ( ) )y(fxf1y
1
x
1)1(
yx1
1yx)1(f λ+λ−=λ+λ−≤
λ+λ−=λ+λ−
Resolviendo:
( )0
yx1
1
y
1
x
1)1( ≥
λ+λ−−λ+λ−
( )0
yx1
1
xy
xy)1(≥
λ+λ−−
λ+λ−
Operando algebraicamente se llega a:
[ ]0
yx)1(xy
)yx)(1( 2≥
λ+λ−
−λ−λ
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
86
Pero gracias a ( )* , se cumple que ( )( ) 0yx1 2 ≥−λ−λ . Asimismo, dado que ,0ye0xX >>⇒ℜ⊂ ++ ya que .Xy,x ∈ Por tanto, fácilmente se puede ver que el denominador de esta expresión es positivo, por lo que se prueba que “f” es convexa. También, si yx ≠ y ( )1,0∈λ se cumple
que ( )( ) ,0yx1 2 >−λ−λ por lo que “f” también es estrictamente convexa en X.
b) Sean [ ],1,0,y,x ∈λℜ∈ ++ y ( ) .yx1z ++ℜ∈λ+λ−= Para que “f” sea
cóncava se debe verificar que:
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) )y(f)x(f1yx1yx1yx1fzf λ+λ−=λ+λ−≥λ+λ−=λ+λ−=
( ) ( ) yx1yx1 λ+λ−≤λ+λ−
Elevando al cuadrado ambos miembros de la desigualdad:
( ) ( )22
yx1yx1
λ+λ−≤
λ+λ−
( ) ( ) ( ) yx1yxy12x1 22 λ+λ−≤λ+λ−λ+λ−
Operando se tiene que:
0yx)1(2≥
−λ−λ
Podemos observar que la inecuación anterior siempre se verifica para
[ ],1,0,y,x ∈λℜ∈ ++ por lo que “f” es cóncava en ++ℜ . Pero para
,yx,y,x ≠ℜ∈ ++ y para ( )1,0∈λ se cumple que ( ) 0yx12>
−λ−λ .
Por tanto, “f” también es estrictamente cóncava ++ℜ .
f(x)
x 0 x z y
( ) yλxλ1
z
+−
Figura 7
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
87
2.- En la teoría de la empresa competitiva, dado un vector de precios nw +ℜ∈
r de “n” factores de producción y el nivel “q” de producción del
bien correspondiente, se define la función “costo” como aquella que al vector ( ) 1nq,w +
+ℜ∈r
le hace corresponder el menor valor de ( ),xwxwxwxw nn2211 +++=⋅ L
rr siendo ( )n21 x,,x,xx L
r= un vector de
cantidades de insumos que permite obtener el nivel de producción “q” [lo cual se resume expresando ( )qVx ∈
r]. Siendo ( )qV el conjunto de insumos
requeridos para producir al menos “q” unidades del bien. Esto es:
( ) ( )( ) ( ) ++ ℜ∈≥ℜ∈=∈
⋅==
qxQxqVx:a.s
xwminq,w,,w,wCq,wCn
n21rrr
rrL
r
Donde ( )xQ
r es la función de producción. Se pide demostrar que la
función de costo es cóncava respecto a .wr
Solución:
Primero que nada debemos resaltar que en este problema de minimización restringida, las variables de elección son las componentes de x
r, mientras que los parámetros son las componentes de w
v y q. Asimismo, debemos tener en consideración que las soluciones del problema de minimización, denominadas demandas de factores condicionadas al nivel de producción q, serán funciones de los parámetros, esto es:
( )q,wxx *** vrr=
Ahora, para demostrar que ( )q,wC
r es cóncava respecto a ,w
r
demostraremos que dados dos vectores de precios de los factores, ,wyw 21
rr para todo vector de precios ( ) ,w1ww 21
* rrvλ−+λ= con
[ ]1,0∈λ se deberá cumplir que:
( ) ( ) ( ) ( )q,wC1q,wCq,wC 21* rrv
λ−+λ≥
( )( ) ( ) ( ) ( ).q,wC1q,wCq,w1wC 2121rrrr
λ−+λ≥λ−+λ
Para algún ( ) ( )qVq,wx ** ∈vr
se debe verificar que:
( ) ( )q,wxwq,wC **** vrvv⋅=
( ) ( )( ) ( )q,wxw1wq,wC **
21* vrrrv
⋅λ−+λ=
( ) ( ) ( ) ( )q,wxw1q,wxwq,wC **2
**1
* vrrvrrv⋅λ−+⋅λ=
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
88
De acuerdo a la definición, ( )q,wx ** vr minimiza el costo de producir el
nivel “q” con el vector de precios ,w *v pero no necesariamente minimiza el costo de producir el mismo nivel “q” con los vectores de precios 1w
r o
.w 2r
Por tanto, se debe verificar que:
( ) ( ) ( )q,wxwq,wCq,wxw 111**
1vrrrvrr
⋅=≥⋅
( ) ( ) ( )q,wxwq,wCq,wxw 222**
2vrrrvrr
⋅=≥⋅
En consecuencia es fácil comprobar:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )q,wC1q,wxw1q,wCq,wxw 2**
21**
1rvrrrvrr
λ−≥⋅λ−∧λ≥⋅λ
Sumando miembro a miembro las dos últimas inecuaciones tenemos que:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )q,wC1q,wCq,wxw1w 21**
21rrvrrr
λ−+λ≥⋅λ−+λ
( ) ( ) ( ) ( )q,wC1q,wCq,wC 21* rrv
λ−+λ≥
Por tanto, la función ( )q,wCr
es cóncava respecto a .wr
3.- Sea el problema de elección de la cesta de consumo que proporcione un
nivel de utilidad fijo al mínimo gasto:
xpMinrr
⋅ s.a: ( ) 0UpU ≥
r (*)
0x ≥r
Para cualquier elección de pr
y 0U , denotaremos como ( )0U,pCrr
a la
cesta de consumo que resuelve el problema (*); ( )0U,pCrr
se le denomina función de demanda compensada (Hicksiana) ya que, en su construcción, los cambios en la renta son compensados por cambios en los precios para mantener al consumidor en un nivel de utilidad fijo. De manera análoga a la función utilidad indirecta, definimos la función de gasto del consumidor ( )0U,pE
r como el valor óptimo de la función
objetivo del problema (*):
( ) ( )00 U,pCpU,pErrrr
⋅=
La función de gasto ( )0U,pEr
es el costo mínimo (cantidad mínima de renta necesaria) para que el consumidor consiga un nivel de utilidad “ 0U ” cuando el precio del sistema es p
r.
Demostrar que la función de gasto, como una función de p
r para cada 0U
fijo, es cóncava.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
89
Solución:
Sean ( )x,prr
y ( )'' x,prr
dos combinaciones precio − consumo que minimizan el gasto al nivel de utilidad 0U . Su combinación lineal es:
( ) ( ) ( )( )'''''' x1x,p1px,prrrrrr
λ−+λλ−+λ= 10 ≤λ≤∀
Por tanto:
( ) ( )( ) '''''''0
'' xp1pxpU,pErrrrrr
⋅λ−+λ=⋅=
Pero ''xr
no es necesariamente la forma más barata para alcanzar la utilidad 0U a los precios p
r o 'p
r, por tanto:
( ) ( )0''''
0'' U,pExpU,pExp
rrrrrr≥⋅∧≥⋅
En consecuencia, multiplicando las expresiones anteriores por ( )λ−λ 1y respectivamente, se tiene:
( ) ( ) ( ) ( )0''''
0'' U,pE1xp1U,pExp
rrrrrrλ−≥⋅λ−∧λ≥⋅λ
Sumando miembro a miembro las expresiones anteriores, tenemos:
( ) ( ) ( ) ( )0'
0''''' U,pE1U,pExp1xp
rrrrrrλ−+λ≥⋅λ−+⋅λ
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0'
00''''''''' U,pE1U,pEU,pExpxp1p
rrrrrrrrλ−+λ≥=⋅=⋅λ−+λ
Por tanto, la función de gasto, como una función de pr
para cada 0U fijo, es cóncava.
4.- Sea la función de beneficio óptimo ( )w,pr
π que es el máximo beneficio que se puede lograr cuando el precio del bien producido es “p” y el costo de los factores de producción es w
r. Escribimos “ π ” como:
( ) ( ) xQq:xwqpmaxw,p
x,q
rrrrr ≤⋅−⋅=π
Donde
bien. del producción de nivel el es"q".producción defución adeterminad una es"Q"
Demostrar que ( )x,p
rπ es convexa.
Solución:
( ) xwpqmaxx,px,q
rrrr ⋅−=π
s.a: ( ) qxQ ≥r
Sean dos vectores: ( )11 w,pArr
= y ( )22 w,pBrr
= y su combinación lineal la siguiente:
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
90
( ) ( ) ( )( )2121 w1w,p1pB1AZrrrrr
λ−+λλ−+λ=λ−+λ= Para que la función de beneficio sea convexa deberemos verificar lo siguiente:
( ) ( ) ( ) ( )B1AZrrr
πλ−+λπ≤π
Donde:
( ) xwqpA 11rrr⋅−⋅=π ( ) xwqpB 22
rrr⋅−⋅=π
Para algún ( ) ( ) qxQ/x,q ≥rr
se debe cumplir:
( ) ( )[ ] ( )[ ] xw1wqp1pZ 2121rrrr
⋅λ−+λ−λ−+λ=π
Por otro lado, ( )x,qr
maximiza el beneficio de producir el nivel “q” con el
vector Zr
, pero no necesariamente maximiza el beneficio de producir el mismo nivel “q” con los vectores A
r y B
r entonces se debe cumplir que:
( )1111 w,pxwqprrr
π≤⋅−⋅
( )2222 w,pxwqprrr
π≤⋅−⋅
( ) ( )Aw,pxwqp 1111rrrr
λπ=λπ≤⋅λ−⋅λ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )B1w,p1xw1qp1 2222rrrr
πλ−=πλ−≤⋅λ−−⋅λ−
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )B1Axw1xwqp1qp 2121rrrrrr
πλ−+λπ≤⋅λ−+⋅λ−⋅λ−+⋅λ
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )B1Axw1wqp1pZ 2121rrrrrr
πλ−+πλ≤⋅λ−+λ−⋅λ−+λ=π
Por tanto, la función ( )x,pr
π es convexa.
3. Condiciones para la convexidad/concavidad de funciones Debido a que no es sencillo establecer la convexidad o concavidad de las funciones simplemente a partir de la definición antes vista, será indispensable establecer condiciones necesarias o necesarias y suficientes. Éstas serán distintas dependiendo de si la función es diferenciable o no lo es necesariamente. 3.1. Funciones no necesariamente diferenciables Condiciones necesarias: a) Una condición necesaria pero no suficiente para que “f” sea convexa en
un conjunto convexo X de nℜ es que para cada número real α el conjunto:
n)x(f/Xx ℜ⊂α≤∈=Λαrr
sea convexo.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
91
b) Una condición necesaria pero no suficiente para que “f” sea cóncava en un conjunto convexo X de nℜ es que para cada número real α el conjunto:
n)x(f/Xx ℜ⊂α≥∈=Ωα
rr sea convexo.
Estas condiciones sólo nos permiten afirmar qué funciones no son ni cóncavas ni convexas, pero no nos permiten asegurar si son cóncavas o convexas.
Para mayor entendimiento de estas condiciones veamos los siguientes gráficos:
f(x)
x
α
αΛ
Figura 8
α
x
f(x)
αΩ
Figura 9
Tanto en la figura 8 como en la figura 9 podemos ver como las condiciones a) y b) respectivamente se cumplen para las funciones convexas y cóncavas, pero debido a que tan solo son condiciones necesarias pero no suficientes podemos ver en la figura 10 que a pesar de que cumple las condiciones no es ni cóncava ni convexa. Es decir en este caso la condición no nos sirve para descartar que sea una función convexa o que sea una función cóncava.
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
92
x
α
αΩ αΛ
f(x)
…….. ……..
Figura 10
Ejemplos:
De acuerdo a las definiciones anteriores, ¿podemos asegurar que alguna de las siguientes funciones no sea cóncava ni convexa?
a) xe)x(f = con ℜ∈x ,
b) xln)x(f = con x>0.
Solución:
a) Debemos ver que tipo de conjunto será αΛ y αΩ para todo α :
( ]
>αα∞−≤αφ
=α≤ℜ∈=Λα 0siln,0si
e/x x
[ ) 0si,lne/x x >α+∞α=α≥ℜ∈=Ωα
x
α
f(x)
αln
αΩ
ex
αΛ
Figura 11
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
93
Como se puede ver, aunque los conjuntos resultantes αΛ y αΩ son convexos para todo ,α las condiciones a) y b) no nos permiten asegurar si la función es cóncava o convexa.
b) De manera similar, vemos que ambos conjuntos resultantes son
convexos, por lo que no podemos descartar que la función sea cóncava o que sea convexa.
( ]α+α =α≤ℜ∈=Λ e,0xln/x
[ )∞+=α≥ℜ∈=Ω α+α ,exln/x
α
αe
f(x)
x αΩαΛ
Figura 12
Condiciones necesarias y suficientes:
Para estudiar estas condiciones debemos analizar las siguientes definiciones:
Sea un conjunto convexo nX ℜ⊂ y una función “f” definida de X en ℜ .
a) El epígrafo de “f” es el conjunto:
( ) ( ) 1n1nf yxf,y,Xx/y,xE ++ ℜ⊂≤ℜ∈∈ℜ∈=
rrr
b) El hipógrafo de “f” es el conjunto:
( ) ( ) 1n1nf yxf,y,Xx/y,xH ++ ℜ⊂≥ℜ∈∈ℜ∈=
rrr
La figura 13 ilustra estos conceptos para la siguiente función: .x)x(f 2= Donde: .1n =
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
94
Figura 13
Una función f: ℜ→X es convexa si y sólo si 1nfE +ℜ⊂ es un conjunto
convexo.
Una función f: ℜ→X es cóncava si y sólo si 1nfH +ℜ⊂ es un conjunto
convexo.
Ejemplos:
De acuerdo a las definiciones anteriores, ¿podemos asegurar que alguna de las siguientes funciones no sea cóncava o convexa? a) senx)x(f = con [ ]π∈ 2,0x ,
b) xe)x(f = con ℜ∈x ,
c) x)x(f = con ++ℜ∈x .
Solución:
a) Utilizando las definiciones anteriores, podemos ver que el epígrafo y el hipógrafo de la función no son conjuntos convexos, por tanto la función no será ni cóncava ni convexa.
Ef
Hf
Figura 14
f(x)=x2
Ef Hf
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
95
b) Como podemos ver en este caso el epígrafo es un conjunto convexo, mas el hipógrafo no lo es por lo tanto podemos afirmar que es una función convexa.
Ef
Hf
Figura 15 c) A diferencia del caso anterior, en este caso el epígrafo no es un conjunto
convexo, mas el hipógrafo si lo es por lo tanto podemos afirmar que es una función cóncava.
Hf
Ef
Figura 16
3.2 Funciones diferenciables
Condiciones necesarias de primer orden: Dado X un conjunto abierto2, no vacío y convexo en nℜ y una función “f” definida de X en ℜ y diferenciable en X: a) Una condición necesaria pero no suficiente para que “f” sea convexa en
X es:
Para todo par Xx,x 21 ∈rr
: ( ) ( ) ( ) ( )12112 xxxfxfxfrrrrr
−⋅∇≥−
2 Ver apéndice al final del capítulo.
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
96
b) Una condición necesaria pero no suficiente para que “f” sea cóncava en X es:
Para todo par Xx,x 21 ∈
rr: ( ) ( ) ( ) ( )12112 xxxfxfxf
rrrrr−⋅∇≤−
Donde f∇ indica el gradiente3 de “f”: ( ) ( ) ( ) ( )[ ].xfxfxfxfn21 xxxr
Lrrr
=∇ Las funciones serán respectivamente estrictamente cóncavas y estrictamente convexas si las desigualdades anteriores se cumplen de forma estricta. Las condiciones anteriores están representadas gráficamente en la figura 17. Tenga presente que para la figura 17b ( ) ( ) 0xfxf 12 <−
rr y
( ) ( ) 0xxxf 121 <−⋅∇rrr
ya que ( ) ( ) ( ) .0xx0x'fxf 1211 >−∧<=∇rrr
Además, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).xxxfxfxfxxxfxfxf 1211212112
rrrrrrrrrr−⋅∇<−∴−⋅∇>−
x1 x2 x1 x2
( ) ( )12 xfxfrr
− ( ) ( )121 xxxf
rrr−⋅∇
( ) ( )121 xxxfrr
−⋅∇
a) Convexa b) Cóncava
( ) ( )12 xfxfrr
−
Figura 17
Ejemplos: Teniendo en cuenta las definiciones anteriores estudiar la convexidad o concavidad de las siguientes funciones: Funciones de ℜ en ℜ definidas en un conjunto X:
a) ,xbax)x(f ℜ∈+=
b) ,0xx)x(f >=
c) ,xx)x(f 3 ℜ∈=
Funciones definidas de 2ℜ en ℜ en un conjunto X:
d) ,b,a)x,x(bxax)x(f 221
22
21 ℜ∈ℜ∈+=
e) ,b,a)x,x(e)x(f 221
bxax 21 ℜ∈ℜ∈= +
3 Ver apéndice al final del capítulo.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
97
Funciones de 3ℜ en ℜ definidas en un conjunto X:
f) ,d,c,b,a)x,x,x(dcxbxax)x(f 3321
23
22
21 ℜ∈ℜ∈+++=
g) .0)x,x,x(xxx)x(f 3321321
r−ℜ∈++= +
Solución: Todas las funciones a analizar son diferenciables en X (conjunto abierto, no vacío y convexo). Por tanto podemos aplicar las condiciones necesarias de primer orden anteriormente vistas. a) ( ) ( ) )xx()x(f)xx(a)bax(baxxfxf 121121212 −⋅∇=−=+−+=−
Por lo que según las condiciones vistas anteriormente esta función es cóncava y convexa.
b) ( ) ( ) )xx()x(f)xx(x2
1xxxfxf 12112
11212 −⋅∇=−<−=−
Debido a que:
=+−+
−=−−−
2
x
x2
x
xx
xx)xx(
x2
1xx 1
1
2
12
1212
112
( )0
xxx2
xxxx
121
2112<
+
−−
=
La función es estrictamente cóncava en ).,0(X ∞+= Podemos ver que en el punto 0x1 = la función no es derivable, por lo que no es posible probar la concavidad de la función con las definiciones recién vistas. Sin embargo, de acuerdo a lo visto anteriormente, para ( )1,0y0y ∈λ> se cumple que:
( )[ ] ( ) )y(f)0(f1yyx01f 2 λ+λ−>⋅λ=λ=λ+λ− Por tanto, la función también es cóncava en este punto.
c) ( ) ( ) 31
3212 xxxfxf −=−
)xx(x3)xx()x(f 1221121 −=−⋅∇
En este caso es un poco difícil determinar el signo de la desigualdad, pero operando se puede llegar a la siguiente expresión:
( ) ( ) )xx(x3)xx()xx()x(fxfxf 1221
31
3212112 −−−=−⋅∇−−
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
98
( )122
12 x2x)xx( +−=
El primer término de esta expresión es siempre positivo, pero el signo del segundo dependerá de los valores que tomen x2 y x1. Esta función no es ni cóncava ni convexa.
Figura 18
d) ( ) )xy(b)xy(abxaxbyayxf)y(f 22
22
21
21
22
21
22
21 −+−=−−+=−
rr
[ ] )xy(bx2)xy(ax2xyxy
bx2ax2)xy()x(f 22211122
1121 −+−=
−−
=−⋅∇rrr
( ) ( ) 2
222
11 )xy(b)xy(a)xy()x(fxfyf −+−=−⋅∇−−rrrrr
Para esta expresión se puede ver que el signo que tome dependerá del signo de a y b. Si a y b son positivos y yx
rr≠ la función será estrictamente convexa.
Si a y b son negativos y yxrr
≠ la función será estrictamente cóncava.
Si a y b tienen signos distintos la función no será ni cóncava ni convexa
ya que existen yexrr
tales que .0)xy(b)xy(a 222
211 ≤
≥−+−
e) ( ) 2121 bxaxbyay eexf)y(f ++ −=−
rr
[ ] [ ])xy(b)xy(aexyxy
bae)xy()x(f 2211bxax
22
11bxax 2121 −+−=
−−
=−⋅∇ ++rrr
Se puede verificar que para todo yex
rr con yx
rr≠ :
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
99
( )xf)y(f)xy()x(frrrrr
−>−⋅∇
Ya que: [ ])xy(b)xy(aeee 2211
bxaxbxaxbyay 212121 −+−>− +++ ( )*
Dividiendo ambos términos entre 21 bxaxe + obtenemos:
)xy(b)xy(a1e1e
e2211
)xy(b)xy(abxax
byay2211
21
21
−+−>−=− −+−+
+
Para entender el porque del sentido de la desigualdad, realizaremos un cambio de variable:
z)xy(b)xy(a 2211 =−+−
Por lo que tenemos que comparar ahora es:
1ez − con “z”, y gracias a la figura 19 comprobamos ( )* . Por tanto, la
función es estrictamente convexa para cualquier valor de “a” y “b”.
1e)z(f z −=
f(z)=z
Figura 19 f) De manera similar al ejercicio d) se prueba que si +ℜ∈d,c,b,a la
función es estrictamente convexa y si −ℜ∈d,c,b,a es estrictamente cóncava. La demostración queda para el alumno.
g) ( ) 321321 xxxyyyxf)y(f ++−++=−
rr
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
100
( ) ( ) ( )[ ]321
321321
33
22
11
xxxxxx2
)xxx()yyy(
xyxyxy
xfxfxf)xy()x(f321 ++
++−++=
−−−
=−⋅∇rrrrrr
( ) ( ) =−⋅∇−− )xy()x(fxfyf
rrrrr
321
321321321321
xxx2
)xxx()yyy(xxxyyy
++
++−++−++−++=
( ) ( ) 0)xxxyyy()xy()x(fxfyf 2
321321 <++−++−=−⋅∇−−rrrrr
Lo que indica que la función es estrictamente cóncava. Es importante señalar que la concavidad de esta función no se puede estudiar en
( )0,0,00x ==rr
empleando las condiciones que utilizan gradientes ya que en este punto la función no es diferenciable.
Condiciones de segundo orden:
Sea X un conjunto abierto y convexo de nℜ y “f” una función definida de X en ℜ dos veces diferenciable con continuidad en X, es decir, C2. Entonces se verifica que:
1. Una condición necesaria y suficiente para que “f” sea convexa en X es
que para cada Xx ∈r
se verifique que 0y)x(Hfyt ≥rrr
para todo ny ℜ∈r
, es decir que )x(Hf
r sea semidefinida positiva (SDP) o definida positiva
(DP)4. 2. Una condición suficiente pero no necesaria para que “f” sea estrictamente
convexa sobre X es que )x(Hfr
sea definida positiva para todo xr
de X (es decir, 0y)x(Hfyt >
rrr para todo 0y,y n
rrr≠ℜ∈ ).
3. Una condición necesaria y suficiente para que “f” sea cóncava en X es
que para cada Xx ∈r
se verifique que 0y)x(Hfyt ≤rrr
para todo ny ℜ∈r
, es decir que )x(Hf
r sea semidefinida negativa (SDN) o definida negativa
(DN).
4. Una condición suficiente pero no necesaria para que “f” sea estrictamente cóncava sobre X es que )x(Hf
r sea definida negativa para todo xr
de X (es decir 0y)x(Hfyt <
rrr para todo 0y,y n
rrr≠ℜ∈ ).
4 Ver apéndice al final del capítulo.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
101
Ejemplos:
a) 22
2121 bxax)x,x(f += (x1,x2) 2ℜ∈ ℜ∈b,a
b) 2142
22
21
4121 x8x3xxxx)x,x(f −−++= (x1,x2) 2ℜ∈
c) 2121 xx)x,x(f = (x1,x2) 2ℜ∈
d) b2
a121 xx)x,x(Q = (x1,x2) 2
+ℜ∈ ℜ∈b,a
e) dcxbxax)x,x,x(f 23
22
21321 +++= (x1,x2,x3) 3ℜ∈
Solución:
a) Para todo ,x 2ℜ∈ el hessiano de la función 22
2121 bxax)x,x(f += es:
=
b200a2
)x(Hfr
Los menores principales dominantes son:
a2H1 =
ab4)x(HfH2 ==r
Podremos obtener distintos resultados: Si ,0by0a >> 0H1 > y 0H2 > entonces )x(Hf
r es definida positiva
para todo xr
. Por tanto, la función es estrictamente convexa. Si ,0by0a << 0H1 < y 0H2 > entonces )x(Hf
r es definida negativa
para todo xr
. Por tanto, la función es estrictamente cóncava. Si ,0by0a => 0H1 > y 0H2 = entonces )x(Hf
r es semidefinida positiva para todo x
r. Por tanto, la función es convexa.
Si ,0by0a =< 0H1 < y 0H2 = entonces )x(Hf
r es semidefinida
negativa para todo xr
. Por tanto, la función es cóncava. Si 0by0a <> ó ,0by0a >< 0H1 > y 0H2 < ó 0H1 < y
0H2 < entonces )x(Hfr
es indefinida y la función no es ni convexa ni cóncava.
b) El hessiano de la función es:
++= 2
22121
2122
21
x12x2xx4xx4x2x12)x(Hf
r
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
102
Para 0xrr
≠ , los menores principales dominantes de orden uno y dos, 22
211 x2x12H += y ,x24xx132x24H 4
222
21
412 ++= son positivos, por
lo que )x(Hfr
es definida positiva. Por tanto, “f” es una función estrictamente convexa.
c) El hessiano de la función es:
=
0110
)x(Hfr
Los menores principales dominantes de primer y segundo orden son
,00H1 == 01)x(HfH2 <−==r
. Dado que 0H2 < y por tanto ( )par:2k = entonces )x(Hf
r es indefinida y la función no es ni convexa
ni cóncava. d) Para este caso el hessiano será:
−
β−= −−−α
−−−
2b2
a1
1b2
11
1b2
1a1
b2
2a1
21xx)1b(bxabx
xxaxx)1a(a)x,x(HQ
Los menores principales dominantes son:
b2
2a11 xx)1a(aH −−=
2b2
22a2
12 xx)ba1(ab)x(HQH −−−−==r
Entonces para que la que la función sea estrictamente cóncava en 2+ℜ ,
necesitamos que ( ) 01aa <− y ( ) 0ba1ab >−− es decir, necesitamos que ,1ba0y,1b0,1a0 <+<<<<< de modo que 0H1 < y 0H2 > , y )x(HQ
r sea definida negativa. Por tanto, para que una función de
producción Cobb Douglas en 2+ℜ sea estrictamente cóncava es
necesario que exhiba rendimientos decrecientes a escala.
e) El Hessiano será en este caso:
=
c2000b2000a2
)x(Hfr
Los menores principales dominantes son:
a2H1 =
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
103
ab4H2 =
abc8H3 =
Podremos obtener distintos resultados: Si ,0cy0b,0a >>> ,0H1 > 0H2 > y 0H3 > entonces )x(Hf
r es
definida positiva para todo xr
. Por tanto, la función es estrictamente convexa. Si ,0cy0b,0a <<< ,0H1 < 0H2 > y 0H3 < entonces )x(Hf
r es definida negativa para todo x
r. Por tanto, la función es estrictamente
cóncava. Si ,0cy0b,0a ≥≥≥ ,0H1 ≥ 0H2 ≥ y 0H3 ≥ entonces )x(Hf
r es
semidefinida positiva para todo xr
. Por tanto, la función es convexa. Si ,0cy0b,0a ≤≤≤ los menores principales de orden uno son:
,0H1 ≤ 0b2b2 ≤= y 0c2c2 ≤= ; los menores principales de orden
dos son: ,0H2 ≥ 0bc4c200b2
≥= y ;0ac4c200a2
≥= el menor
principal de orden tres es: ,0H3 ≤ entonces )x(Hfr
es semidefinida negativa para todo x
r. Por tanto, la función es cóncava.
IV.4 Funciones seudoconvexas y seudocóncavas
Sea X un conjunto convexo y abierto de nℜ y una función “f” definida de X en ℜ y diferenciable en X. a) La función “f” es seudoconvexa en X si y sólo si para todo Xx,x 21 ∈
rr tales
que 0)xx)(x(f 121 ≥−∇rrr
se verifica que ).x(f)x(f 12rr
≥ b) La función “f” es seudocóncava en X si y sólo si para todo Xx,x 21 ∈ tales
que 0)xx)(x(f 121 ≤−∇rrr
se verifica que ).x(f)x(f 12rr
≤ La seudoconvexidad, a parte de ser una propiedad muy restrictiva al exigir diferenciabilidad de “f”, no se verifica en los puntos de inflexión con derivada nula. Ejemplos: a) ( ) 3xxf = b) ( ) 1x2x2xxf 23 −+−=
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
104
Solución: a) Esta función es diferenciable en ( )+∞−∞≡ℜ∈ ,X , conjunto convexo y
abierto, y como veremos a continuación, no es seudoconvexa ni seudocóncava.
No es seudoconvexa ya que existen 0x1 = y 1x2 −= con:
00)01)(0(f ' ≥=−−
y se verifica que )x(f)0(f01)1(f)x(f 12 ==≥/−=−= .
No es seudocóncava ya que existen 0x1 = y 1x2 = con:
00)01)(0(f ' ≤=−
Y se verifica que )x(f01)x(f 12 =≤/= .
Se resalta que en ambos casos se ha tomado como punto inicial 0x1 = . Este punto es un punto de inflexión de “f” con derivada nula.
Figura 20
b) Esta función es diferenciable en ( )+∞−∞≡ℜ∈ ,X , conjunto convexo y
abierto, y como veremos a continuación, es seudoconvexa.
En primer lugar podemos ver que “f” es estrictamente creciente, pues:
09
2
3
2x32x4x3)x('f
22 >
+
−=+−= para todo x
Para probar la seudoconvexidad tenemos que demostrar que para todo x1 y x2 de X con 0)xx)(x('f 121 ≥− se verifica que ).x(f)x(f 12 ≥
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
105
Como 0)x(f ' > para todo x, si 21 xx ≠ de verificarse que 0)xx)(x('f 121 ≥− se deduce que 0xx 12 >− , es decir que x2>x1 y por ser estrictamente creciente,
)x(f)x(f 12 ≥ como se quería probar. Es importante resaltar que la función presenta un punto de inflexión en
,64x = en el que ( ) ,064f ' ≠ Por tanto, se verifica la condición de seudoconvexidad para todo x.
Figura 21 IV.5 Funciones cuasiconvexas y cuasicóncavas
Sea X un conjunto convexo de nℜ y “f” una función de X en ℜ . • La función “f” es cuasiconvexa en X si y sólo si para todo Xx,x 21 ∈
rr con
)x(f)x(f 21rr
≥ y todo [ ]1,0∈λ se verifica que:
( )[ ] )x(f),x(fmax)x(fxx1f 21121rrrrr
=≤λ+λ−
• La función es cuasicóncava en X si y sólo si para todo Xx,x 21 ∈rr
con )x(f)x(f 21
rr≥ y todo [ ]1,0∈λ se verifica que:
( )[ ] )x(f),x(fmin)x(fxx1f 21221
rrrrr=≥λ+λ−
x
( )xf
64
277−
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
106
• La función es estrictamente cuasiconvexa en X si y sólo si para todo Xx,x 21 ∈
rr con 21 xx
rr≠ , )x(f)x(f 21
rr≥ y todo ( )1,0∈λ se verifica que:
( )[ ] )x(f),x(fmax)x(fxx1f 21121
rrrrr=<λ+λ−
• La función es estrictamente cuasicóncava en X si y sólo si para todo
Xx,x 21 ∈rr
con 21 xxrr
≠ , )x(f)x(f 21rr
≥ y todo ( )1,0∈λ se verifica que:
( )[ ] )x(f),x(fmin)x(fxx1f 21221rrrrr
=>λ+λ−
Es importante resaltar que la cuasiconvexidad estricta no implica la cuasiconvexidad. Proposición: Sea X un conjunto convexo de nℜ y “f” una función de X en ℜ . • Si “f” es convexa en X, “f” es cuasiconvexa en X.
• Si “f” es cóncava en X, “f” es cuasicóncava en X.
• Si “f” es estrictamente convexa en X, “f” es estrictamente cuasiconvexa en X.
• Si “f” es estrictamente cóncava en X, “f” es estrictamente cuasicóncava en X.
Es importante resaltar que los recíprocos no son ciertos. En la figura 22 se muestra una superficie en forma de “campana” que no es cóncava ya que cerca de su base presenta curvatura convexa. No obstante, esta superficie tiene la propiedad de ser estrictamente cuasicóncava, ya que todos los arcos de su superficie, ejemplificados por AB y BC, satisfacen la condición de que todos los puntos de cada arco que están situados entre los dos extremos son mayores que el menor de los puntos extremos. Se puede apreciar que el segmento lineal OD que une los puntos “O” y “D”, que pertenecen al dominio de la función, es una combinación convexa de “O” y “D”. Cualquier punto del segmento OD da lugar al arco AB de la curva. Además, se aprecia que “A” (OA) es mayor que “B” (DB). Ya que todos los puntos del arco AB, excepto “A” y “B”, son estrictamente mayores que “B” (DB), este arco en particular satisface la condición parta la cuasiconcavidad estricta. Asimismo, se puede apreciar que el segmento lineal DC que une los puntos “D” y “C”, que pertenecen al dominio de la función, es una combinación convexa de “D” y “C”. Cualquier punto del segmento DC da lugar al arco BC de la curva. Además, se aprecia que “B” (DB) es mayor que “C” (C=0). Ya que todos los puntos del arco BC, excepto “B” y “C”, son estrictamente mayores que “C” (C=0), este arco también satisface la condición parta la cuasiconcavidad estricta.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
107
Figura 22 Ejemplos: 1.- De acuerdo a las definiciones anteriores determinar a que tipo de función
pertenecen las siguientes gráficas.
a)
( )zf( )'xf
( )''xf
0x ''x 'x 1xz
Figura 23
La figura 23 corresponde a una función estrictamente cuasiconvexa, pues para cualquier [ ] ℜ⊂=∈ Xx,xx,x 10
''' con ,xx ''' ≠ ( ) ( )''' xfxf > y ( )1,0∈λ∀ se tiene que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .xf,xfmaxxfx)1(xfzf ''''''' =<λ−+λ= Pero también se puede verificar que esta función es estrictamente cuasicóncava, ya que para cualquier [ ] ℜ⊂=∈ Xx,xx,x 10
''' con ,xx ''' ≠
( ) ( )''' xfxf > y ( )1,0∈λ∀ se tiene que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .xf,xfminxfx)1(xfzf '''''''' =>λ−+λ=
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
108
b)
2x a1x z
( )a1xf ( )2xf
( )zf
( )xfy =
b1x
( )b1xf
Figura 24
La figura 24 corresponde a una función estrictamente cuasicóncava, pues para cualquier ( )∞+∞−=∈ ,Xx,x 2
a1 con ,xx 2
a1 ≠ ( ) ( )2
a1 xfxf > y
( )1,0∈λ∀ se tiene que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .xf,xfminxfx)1(xfzf 2a122
a1 =>λ−+λ=
Se puede verificar que esta función es estrictamente cuasicónvexa, para cualquier ( ]0,Xx,x 2
b1 ∞−=∈ con ,xx 2
b1 ≠ ( ) ( )2
b1 xfxf > y
( )1,0∈λ∀ se tiene que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .xf,xfmaxxfx)1(xfzf 2b1
b12
b1 =<λ−+λ=
2.- Sea ( ) .exf x= Donde: ℜ→ℜ⊂X:f y ℜ∈X es un conjunto abierto y convexo. Demuestre que esta función es estrictamente cuasicóncava y estrictamente cuasiconvexa.
1x 2xz
( )2xf
( )1xf( )zf
xey =
Figura 25
Sea ( ) ⇒λ+λ−= 21 xx1z como .xzx10 21 <<⇒<λ<
Además, como ( ) ( ) ( ) ( ) .exfezfexf0exf 21 x2
zx1
x' =<=<=⇒>=
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
109
Por otro lado, tenemos que:
( ) ( )[ ] ( ) ( ) 2121 xx1xx1z21 eeeexx1fzf λλ−λ+λ− ⋅===λ+λ−=
Asimismo, tenemos que:
( ) ( ) ( ) 2x221 exfxf,xfmax ==
Entonces, dado que:
( ) ( ) ( ) ( ) 2x221
z exfxf,xfmaxezf ==<= “f” es estrictamente cuasiconvexa. Por otro lado, se tiene que:
( ) ( ) ( ) 1x121 exfxf,xfmin ==
Entonces, dado que:
( ) ( ) ( ) ( ) 1x121
z exfxf,xfminezf ==>= “f” también es estrictamente cuasiconvexa.
1. Condiciones necesarias y suficientes para la cuasiconcavidad de funciones no necesariamente diferenciables
Sea X un conjunto convexo no vacío de nℜ y “f” una función de X en ℜ . Se verifica que: La función es cuasiconvexa si y sólo si para todo ℜ∈α , el conjunto
( ) α≤∈=Λα xfXxrr
Es convexo. La función “f” es cuasicóncava si y sólo si para todo ℜ∈α , el conjunto
α≥∈=Ωα )x(fXxrr
Es convexo. Ejemplos: Determinar si las siguientes funciones son cuasicóncavas o cuasiconvexas.
a) xe)x(f = con ℜ∈x ,
b) xln)x(f = con x>0
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
110
Solución: Podemos ver que estas funciones ya fueron analizados anteriormente y se llego a la solución que para cualquier αα ΩΛα y, son convexos, por tanto, dichas funciones son cuasiconvexas y cuasicóncavas.
2. Condiciones para la cuasiconcavidad de funciones diferenciables 2.1. Condiciones de primer orden Sea X un conjunto abierto, no vacío y convexo de nℜ y “f” una función definida de X en ℜ diferenciable en X.
La función “f” es cuasiconvexa en X si y sólo si para todo Xx,x 21 ∈
rr con
)x(f)x(f 12rr
≤ se verifica que .0)xx)(x(f 121 ≤−∇rrr
La función “f” es cuasicóncava en X si y sólo para todo Xx,x 21 ∈ con
)x(f)x(f 12rr
≥ se verifica que .0)xx)(x(f 121 ≥−∇rrr
Para el caso de estrictamente cuasiconvexa y estrictamente cuasicóncava las condiciones serán similares solo que con las desigualdades, en las que aparece el gradiente de “f” evaluado en ,x1 en sentido estricto. Ejemplos: Determinar si las siguientes funciones son cuasicóncavas o cuasiconvexas.
a) ( ) ,xxf 2= con ℜ∈x b) ( ) ,cbxaxx,xf 2121 ++= con ℜ∈ℜ∈ c,b,a)x,x( 2
21
c) ( ) ( ),xxlnx,xf 2121 += con (x1,x2) 2++ℜ∈
Solución: a) La función ( ) 2xxf = es cuasiconvexa, ya que para todo x1 y x2 de ℜ con
)x(fxx)x(f 121
222 =≤= se verifica que:
Si x1< 0 y x2<0, 0)xx(x2)xx)(x(f 121121' ≤−=−
Si x1< 0 y x2>0, 0)xx(x2)xx)(x(f 121121' ≤−=−
Si x1> 0 y x2<0, 0)xx(x2)xx)(x(f 121121' ≤−=−
Si x1> 0 y x2>0, 0)xx(x2)xx)(x(f 121121' ≤−=−
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
111
Para verificar que lo anterior es útil tener en cuenta que a partir de )x(fxx)x(f 1
21
222 =≤= se llega a:
0)xx)(xx(0xx 2121
22
21 ≥−+⇒≥−
b) Para cualquier a, b y c, la función ( ) cbxaxx,xf 2121 ++= es
cuasiconvexa y cuasicóncava. En efecto, sean )y,y(y 21=r
y )x,x(x 21=r
dos elementos cualesquiera tales que:
),x(f)x,x(f)y,y(f)y(f 2121rr
=≤=
Por tanto:
cbxaxcbyay 2121 ++≤++
Entonces:
)xy(b)yx(b)xy(aaxay 22221111 −−=−≤−=−
Como:
[ ] 0)xy(b)xy(axyyy
b,a)xy)(x(f 221122
11 ≤−+−=
−−
=−∇rrr
Podemos concluir que “f” es cuasiconvexa. Razonando de forma análoga se prueba que “f” es cuasicóncava.
c) La función ( ) ( )2121 xxlnx,xf += con 2
21 )x,x(x ++ℜ∈=r
es cuasiconvexa y cuasicóncava. En efecto, sean )y,y(y 21=
r y )x,x(x 21=
r con
2121 xxyy +≤+ , entonces se verifica que ),x(f)y(frr
≤ y que:
[ ] 0)xx()yy(xx
1xyxy
xx
1
xx
1)xy)(x(f 2121
2122
11
2121≤+−+
+=
−−
++=−∇
rrr
Por tanto, la función es cuasiconvexa. No podemos asegurar que es estrictamente cuasiconvexa, puesto que con xy
rr≠ puede verificarse que
2121 xxyy +=+ , pero entonces )x(f)xxln()yyln()y(f 2121rr
=+=+= y 0)xy)(x(f =−∇
rrr . Razonando de forma análoga se prueba que “f” es cuasicóncava.
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
112
2.2. Condiciones de segundo orden Sea “f” una función definida de n
+ℜ en ℜ continua y dos veces
diferenciable. Sea ( )n,21 x,x,xfH K el hessiano orlado dado por:
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )1n1n
nn1nn
n1111
n1
xfxfxf
xfxfxfxfxf0
x,x,xfH
xxxxx
xxxxx
xx
n,21
+×+
=
rKK
rr
MMM
rKK
rr
rKK
r
K
Siendo ( )n,21r x,x,xfD K el menor principal dominante de ( ),x,x,xfH n,21 K que viene dado por:
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )1r1r
rr1rr
r1111
r1
xfxfxf
xfxfxfxfxf0
x,x,xfD
xxxxx
xxxxx
xx
n,21r
+×+
=
rKK
rr
MMM
rKK
rr
rKK
r
K
Se verifica que: a) Si “f” es una función cuasiconvexa, n,,2,1r K=∀ se tiene que
( ) .0x,x,xfD n,21r ≤K (condición necesaria pero no suficiente).
b) Si n,,2,1r K=∀ ( ) ,0x,x,xfD n,21r <K la función “f” es cuasiconvexa. (condición suficiente pero no necesaria).
c) Si “f” es una función cuasicóncava, n,,2,1r K=∀ se tiene que
( ) .paresrsi,0imparesrsi,0
x,x,xfD n,21r≥≤
=K Es decir, se verifica que:
( ) ( ) .0x,x,xfD1 n,21rr ≥− K (condición necesaria pero no suficiente).
d) Si n,,2,1r K=∀ se verifica que: ( ) .paresrsi,0imparesrsi,0
x,x,xfD n,21r><
=K Es
decir, ( ) ( ) ,0x,x,xfD1 n,21rr >− K entonces “f” es una función
cuasicóncava. (condición suficiente pero no necesaria).
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
113
Ejemplos: Teniendo en cuenta las definiciones anteriores estudiar la cuasiconvexidad o cuasiconcavidad de las siguientes funciones: a) ( ) b
2a121 xxx,xU = en 2
++ℜ con ,1b0,1a0 <<<<
b) ( ) 321321 xxxx,x,xf = en .3+++ℜ
Solución: a) El hessiano orlado de ( ) b
2a121 xxx,xU = es:
( ) ( )( )
( ) ( )1212
2b2
a1
1b2
1a1
1b2
a1
1b2
1a1
b2
2a1
b2
1a1
1b2
a1
b2
1a1
n,21xx1bbxabxxbx
xabxxx1aaxaxxbxxax0
x,x,xUH
+×+
−−=
−−−−
−−−−
−−
K
Los menores principales dominantes son los siguientes:
( )( )
( ) 0xaxxx1aaxax
xax0x,x,xUD2b
21a
1b2
2a1
b2
1a1
b2
1a1
n,211 <−=−
= −−−
−K
( ) ( ) ( )[ ] =−−−−= −− 2b3
22a3
12222
n,212 xx1bbab1aaba2x,x,xUD K
( ) ( ) 0xxbaabx,x,xUD 2b32
2a31n,212 >+= −−K
Por tanto, la función “U” es cuasicóncava en .2
++ℜ
b) El hessiano orlado de ( ) 321321 xxxx,x,xf = es:
( )
( ) ( )13130xxxxx0xxxxx0xxxxxxxx0
x,x,xfH
1221
1331
2332
213132
n,21
+×+
=K
Los menores principales dominantes son los siguientes:
( ) ( ) 0xx0xxxx0
x,x,xfD 232
32
32n,211 <−==K
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
114
( ) 0xxx20xxxx0xxxxxx0
x,x,xfD 2321
331
332
3132
n,212 >==K
( ) 0xxx
0xxxxx0xxxxx0xxxxxxxx0
x,x,xfD 23
22
21
1221
1331
2332
213132
n,213 <−==K
Por tanto, la función “f” es cuasicóncava en .3
+++ℜ
IV.6. Formulación de programas matemáticos
Los problemas de programación matemática que vamos a tratar tienen por objetivo determinar el óptimo de una función (máximo o mínimo), que denominaremos función objetivo, sobre un determinado conjunto de soluciones factibles. De manera formal, tenemos que:
( ) ( ) ( )( ) CFx,,x,xx:a.s
x,,x,xfxfminomax
n21
n21
∈=
=
Kr
Kr
Es decir, debemos determinar los valores que han de adoptar las variables de decisión ( )n21 x,,x,xx K
r= dentro del conjunto CF (conjunto de soluciones
factibles que queda definido por las restricciones del problema), para que la función objetivo adopte el valor óptimo buscado. En general, para un problema con “n” variables de decisión, de la forma:
( ) ( ) ( )( )
( )( )
( ) 0x,,x,xh
0x,,x,xh0x,,x,xg
0x,,x,xg:a.sx,,x,xfxfminomax
n21k
n211
n21m
n211
n21
=
=≤
≤=
K
M
K
K
M
K
Kr
El conjunto CF de soluciones factibles es:
( ) ( ) .k,,1jpara,0xhm,,1ipara,0xgxCF jin K
rK
rr==∧=≤ℜ∈=
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
115
1. Definiciones
Sea CF el conjunto de soluciones factibles de un programa matemático, cuya función objetivo es “f”. a) Un punto ( ) CFx,,x,xx *
n*2
*1
* ∈= Kr
es un máximo global del programa si
se verifica que ( ) ( )xfxf * rr≥ para todo ( ) .CFx,,x,xx n21 ∈= K
r
b) ( ) CFx,,x,xx *n
*2
*1
* ∈= Kr
es un máximo global estricto si *xr
es un máximo
global y ( ) ( )xfxf * > para todo xx* ≠ en CF.
c) ( ) CFx,,x,xx *n
*2
*1
* ∈= Kr
es un máximo local (o máximo relativo) del
programa si existe una bola5 ( )*r xBr
alrededor de *xr
tal que ( ) ( )xfxf * rr≥
para todo ( ) .CFxBx *r ∩∈rr
d) ( ) Xx,,x,xx *n
*2
*1
* ∈= Kr
es un máximo local estricto de “f” existe una bola
( )*r xBr
alrededor de *xr
tal que ( ) ( )xfxf * rr> para todo xx* rr
≠ en
( ) .CFxB *r ∩r
En otras palabras, un punto *x
r es un máximo local si no hay puntos cercanos
a él en los que “f” adopte un mayor valor. Por supuesto, un máximo global es siempre un máximo local. Sin embargo, el recíproco no es cierto. Invirtiendo las desigualdades en las cuatro definiciones anteriores obtendremos las definiciones de mínimo global, mínimo global estricto, mínimo local, y mínimo local estricto respectivamente. Es importante resaltar que las definiciones de óptimos locales y globales son aplicables a cualquier función independientemente que sea o no continua o diferenciable. 1.1. Teorema de Weierstrass
Sea ℜ→ℜn:f una función continua definida en nX ℜ⊂ donde X es un conjunto cerrado y acotado6. Entonces existen Xx,x 21 ∈
vv tales que:
( ) ( )( ) ( ) Xxxfxf
Xxxfxf
2
1∈∀≥∈∀≤vvv
vvv
Por tanto, 1x
v es un mínimo global de “f” en X y 2xv es un máximo
global de “f” en X. 5 Ver apéndice al final del capítulo. 6 Ver apéndice al final del capítulo.
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
116
2. Formulación de programas sin restricciones
La formulación general de un programa sin restricciones es:
( )( )
ℜ∈ nx
xfopt:I r
r
Donde: .D:f n ℜ→ℜ⊂ Siendo “D” el dominio de la función. 2.1. Condiciones necesarias de primer orden de óptimo local
Sea “D” un subconjunto abierto de nℜ y “f” una función definida de “D” en ,ℜ diferenciable en “D”. Si Dx* ∈
r es un mínimo o máximo
local de “f”, entonces:
( ) ( ) 0xfII *rr
=∇
A los puntos *xr
que hacen que el gradiente de una función “f” sea nulo se les denomina puntos críticos de la función “f”. Por tanto, los máximos y mínimos locales, y los puntos de silla (para n = 1: puntos de inflexión) de una función diferenciable son puntos críticos de “f”. La interpretación geométrica de la condición ( )II nos señala que el plano tangente a la gráfica de una función diferenciable que depende de dos variables ( )2n = en un óptimo local es horizontal.
a)
b)
Figura 26
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
117
En la figura 26 se aprecia el gráfico de funciones que dependen de dos variables y que presenta planos tangentes horizontales en sus puntos críticos. No obstante, se puede apreciar que la condición ( )II es necesaria pero no suficiente, ya que la gráfica de la función a) tiene un punto crítico (punto de silla) que no es ni máximo ni mínimo. Definición de punto de silla: Sea “f” una función diferenciable en un subconjunto abierto nD ℜ⊂ con valores en .ℜ Un punto crítico
n*x ℜ∈r
se denomina punto de silla si para toda bola abierta ( )*r xBr
se
verifica que existen ( )*r
21 xBx,xrrr
∈ tales que:
( ) ( )*1 xfxfrr
<
( ) ( )*2 xfxfrr
>
Ejemplos: Dadas las siguientes funciones, hallar los puntos críticos y clasificarlos como máximos mínimos locales o globales o como puntos de silla.
a) ( ) ,3x2xxx2x2xf 12221
21 −+++=
r
b) ( ) ,13x2x10x3x8x5xxf 32231
22
21 −+−−+−−=
r
c) ( ) .xxxf 21=r
Solución: a) Para hallar los puntos críticos de “f” calculamos el vector gradiente
de “f” y lo igualamos al vector cero.
( ) 0xf *rr
=∇
( ) ( ) ( )0,0x2x2,2x2x4xf *2
*1
*2
*1
* =+++=∇r
Por lo que de la expresión anterior se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:
02x2x4 *2
*1 =++
0x2x2 *2
*1 =+
Resolviendo se tiene que el único punto crítico de “f” es: ( ) ( ).1,1x,xx *
2*1
* −==r
Por otro lado, la función que estamos analizando se puede escribir de la siguiente forma:
( ) ( ) ( ) 41xxxxf 21
221 −+++=
r
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
118
Podemos notar que ( ) ( ) 01xxx 21
221 >+++
( ) ( ).1,1x,x 221 −≠ℜ∈∀ Mientras que para ( )1,1x* −=
r se verifica
que ( ) ( ) .01xxx 21
221 =+++ Por lo que ( ) ( )1,1x,x 2
21 −≠ℜ∈∀ se
verifica que ( ) ( ) ( ),xf1,1f4xf *rr=−=−> y si ( ) ( )1,1x,xx *
2*1
* −==
resulta que ( ) ( ) ( ).xf1,1f4xf *rr=−=−= Por tanto, en
( ) ( )1,1x,xx *2
*1
* −==r
“f” alcanza un mínimo global estricto ya que
( ) ( ) ⇒−≠ℜ∈∀ 1,1x,x 221 ( ) ( ) ( ).xf1,1f4xf *rr
=−=−>
Figura 27
b) Para hallar los puntos críticos de “f” calculamos el vector gradiente de “f” y lo igualamos al vector cero.
( ) ( ) ( )0,0,02x6,10x10,8x2xf *
3*2
*1
* =+−−−+−=∇r
Por lo que de la expresión anterior se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:
08x2 *
1 =+−
010x10 *2 =−−
02x6 *
3 =+−
Resolviendo se tiene que el único punto crítico de “f” es: ( ) ( ).31,1,4x,x,xx *
3*2
*1
* −==r
Dado que “f” puede escribirse como:
( ) ( ) ( ) ( ) 32531x31x54xxf 23
22
21 +−−+−−−=
r
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
119
Se comprueba que ( ) ( )31,1,4x,x,xx *3
*2
*1
* −==r
es un máximo
global ya que para todo ( ) 3321 x,x,xx ℜ∈=
r:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )*2
32
22
1 xf32532531x31x54xxfrr
=≤+−−+−−−=
c) Para hallar los puntos críticos de “f” calculamos el vector gradiente de “f” y lo igualamos al vector cero.
( ) ( ) ( )0,0x,xxf *
1*2
* ==∇r
Por lo que de la expresión anterior se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:
0x*
1 =
0x*2 =
Resolviendo se tiene que el único punto crítico de “f” es:
( ) ( ).0,0x,xx *2
*1
* ==r
Ahora vamos a ver como se comporta “f” en el entorno al punto ( ) ( ).0,0x,xx *
2*1
* ==r
Se observa que ( ) ( ) ( ) .00,0fx,xfxf *2
*1
* ===r
Si
trazamos una bola centrada en ( ) ( )0,0x,xx *2
*1
* ==r
con un radio 0r > notamos que existen puntos del primer y segundo
cuadrantes en los que ( ) ( ) 0x,xfx,xf *2
*121 => y en los que
( ) ( ) ,0x,xfx,xf *2
*121 =< mientras que en el tercer y cuarto cuadrantes
existen puntos en los que ocurre lo mismo. Por tanto, ( ) ( )0,0x,xx *
2*1
* ==r
representa un punto de silla. 2x
( ) 0x,xf 21 >
( ) 0x,xf 21 > ( ) 0x,xf 21 <
( ) 0x,xf 21 <
( )0,01x
r
Figura 28
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
120
Figura 29
2.2 Condiciones de segundo orden de óptimo relativo (local)
Sea ℜ→ℜ⊂ nD:f cuyas derivadas parciales de primer y segundo orden son continuas en su dominio D. Es decir, “f” es de clase dos ( ).C2
Sea Dx* ∈r
un punto crítico de “f”. Siendo ( )*xHfr
el hessiano de “f” evaluado en *x
r (simétrico dado que “f” es 2C ), se verifica que:
a) Si ( )*xHfr
es definido positivo, *xr
es un mínimo relativo estricto de “f”: (condición suficiente pero no necesaria).
b) Si ( )*xHfr
es definido negativa, *xr
es un máximo relativo estricto de “f”: (condición suficiente pero no necesaria).
c) Si ( )*xHfr
es indefinido, *xr
es un punto de silla de “f” (condición suficiente pero no necesaria).
d) Si ( )*xHfr
es semidefinido positivo, *xr
es un mínimo relativo o un punto de silla de “f” (condición necesaria).
e) Si ( )*xHfr
es semidefinido negativo, *xr
es un máximo relativo o un punto de silla de “f” (condición necesaria).
Ejemplos: Dadas las siguientes funciones, identificar si sus puntos críticos son máximos, mímimos o puntos de silla. Además, averiguar si los óptimos relativos son globales. a) ( ) ( )2xxxx,xf 12121 −=
b) ( ) 221
3121 xx2xx,xf −=
c) ( ) 22
2121 xx2x,xf =
d) ( ) 22
21 xx
21 e2x,xf −−=
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
121
Solución: a) Calculamos los puntos críticos igualando el gradiente de “f” al
vector cero:
( ) ( ) ( )( ) ( )0,02xx,1xx2xf 1112* =−−=∇r
( ) 01xx2 12 =−
( ) 02xx 11 =−
De la segunda ecuación se desprende que o ,0x1 = o bien .2x1 = Si
,0x1 = reemplazando este valor en la primera ecuación .0x2 = Mientras que si ,2x1 = de manera análoga, se obtiene que .0x2 =
Por tanto, los puntos críticos son: ( ) ( ).0,2xy0,0x *2
*1 ==
rr
Para poder emplear las condiciones de segundo orden primero verificamos que “f” es una aplicación de ℜ→ℜ2 , que es de clase dos y que su dominio ( ) ( ) 22121 x,x/x,xD ℜ∈= es un conjunto abierto. Ahora calculamos el hessiano para analizar las condiciones de segundo orden:
( ) ( )( )
−
−=
01x21x2x2
xHf1
12r
Reemplazando ( ) ( )0,2xy0,0x *
2*1 ==
vv en el hessiano se tiene:
( )
−
−=
0220
xHf *1r
( )
=
0220
xHf *2r
( )*1xHfr
es una matriz indefinida ya que tiene un autovalor positivo
( )41 =λ y otro negativo ( ).42 −=λ Por tanto, ( )0,0x*1 =v es un punto
de silla.
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
122
( )*1xHfr
es una matriz indefinida ya que tiene un autovalor positivo
( )41 =λ y otro negativo ( ).42 −=λ Por tanto, ( )0,2x*2 =v es un punto
de silla.
Figura 30
b) Calculamos los puntos críticos igualando el gradiente de “f” al vector cero:
( ) ( ) ( )0,0xx4,x2x3xf 2122
21
* =−−=∇r
0x2x3 22
21 =−
0xx4 21 =−
Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior se tiene que el único punto crítico de “f” es ( ).0,0x* =
v
Para poder emplear las condiciones de segundo orden primero verificamos que “f” es una aplicación de ℜ→ℜ2 , que es de clase dos y que su dominio ( ) ( ) 22121 x,x/x,xD ℜ∈= es un conjunto abierto. Ahora calculamos el hessiano para analizar las condiciones de segundo orden:
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
123
( )
−−−
=12
21x4x4x4x6
xHfr
Reemplazando ( )0,0x* =
v en el hessiano se tiene:
( )
=
0000
xHf *r
En este caso, las condiciones de segundo orden no nos dan ningún tipo de información. Por tanto, el punto crítico ( )0,0x* =
v puede ser máximo, mínimo o punto de silla. Analizando la función observamos que:
( ) ( ) 00,0fxf * ==r
Ahora vamos a ver como se comporta “f” en el entorno al punto ( ).0,0x* =
r Se observa que ( ) .0xf * =
r Si trazamos una bola centrada
en ( )0,0x*r con un radio 0r > notamos que existen puntos que se encuentran sobre el eje “ 1x ” y a la derecha del eje “ 2x ” en los que
( ) ( ) ( ) ( ),0x00,0fxfx0,xf 1*3
1 1>==>=
r y que existen puntos que se
encuentran sobre el eje “ 1x ” y a la izquierda del eje “ 2x ” en los que
( ) ( ) ( ) ( ).0x00,0fxfx0,xf 1*3
11 >==<−=−r
Por tanto, ( )0,0x* =r
representa un punto de silla de “f”.
Figura 31
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
124
c) Calculamos los puntos críticos igualando el gradiente de “f” al vector cero:
( ) ( ) ( )0,0xx4,xx4xf 2
21
221
* ==∇r
0xx4 221 =
0xx4 221 =
Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior se tiene que los puntos críticos de “f” son de la forma ( ) ( )b,0y0,a siendo a y b números reales. Para poder emplear las condiciones de segundo orden primero verificamos que “f” es una aplicación de ℜ→ℜ2 , que es de clase dos y que su dominio ( ) ( ) 22121 x,x/x,xD ℜ∈= es un conjunto abierto. Ahora calculamos el hessiano para analizar las condiciones de segundo orden:
( )
= 2
121
2122
x4xx8xx8x4xHf
r
Reemplazando ( ) ( )b,0y0,a en el hessiano se tiene:
( )
= 2a40
000,aHf
( )
=
000b4b,0Hf
2
Ambos hessianos son semidefinidos positivos ya que tienen un autovalor positivo ( )0b4y0a4 2
12
1 >=α>=λ y un autovalor nulo ( ).0y0 22 =α=λ Por tanto, en los puntos críticos puede haber mínimo relativo o punto de silla. Se observa que:
( ) ℜ∈∀= a00,af
( ) ℜ∈∀= b0b,0f
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
125
Pero, dado que ( ) ( ) 221
22
2121 x,x0xx2x,xf ℜ∈∀≥= , entonces en
todos los puntos críticos (los ejes x1 y x2) hay un mínimo global.
Figura 32
d) Calculamos los puntos críticos igualando el gradiente de “f” al vector cero:
( ) ( )0,0ex4,ex4xf22
21
22
21 xx
2xx
1* =
−−=∇ −−−−r
0ex422
21 xx
1 =− −−
0ex422
21 xx
2 =− −−
Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos que el único punto crítico de “f” es ( ).0,0x* =
v Para poder emplear las condiciones de segundo orden primero verificamos que “f” es una aplicación de ℜ→ℜ2 , que es de clase dos y que su dominio ( ) ( ) 22121 x,x/x,xD ℜ∈= es un conjunto abierto. Ahora calculamos el hessiano para analizar las condiciones de segundo orden:
( ) ( )( )
−
−=
−−−−
−−−−
22
21
22
21
22
21
22
21
xx22
xx21
xx21
xx21
e4x8exx8
exx8e4x8xHfr
Reemplazando ( )0,0x* =
v en el hessiano se tiene:
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
126
( )
−
−=
4004
xHf *r
El hessiano es definido negativo ya que sus autovalores son negativos ( )421 −=λ=λ . Por tanto, ( )0,0x* =
v es un máximo relativo estricto.
Figura 33
2.3 Aplicaciones Económicas Empresa maximizadora de beneficios (privados) Supóngase una empresa que utiliza “n” factores de producción para
producir un único producto. Si nx +ℜ∈r
representa un paquete de factores de producción, si ( )xQy
r= es la función de producción de la
empresa de clase uno ( ),C1 y si “p” es el precio de venta de este producto, entonces el ingreso de la empresa viene dado por ( ) ( ).xQpxI
vv⋅= Si ( )xC
v representa el costo del paquete de factores de producción ,x
v el beneficio de la empresa de uso óptimo del paquete de factores de producción x
v es:
( ) ( ) ( ).xCxIxvvv
−=π
Asumiremos que ( ) ( )xCyxIvv son tales que la empresa maximizadota de
beneficios utiliza una cantidad positiva de cada factor de producción de manera que el x
v que maximiza el beneficio es un punto interior del ortante positivo .n
+ℜ
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
127
El problema de optimización que la empresa deberá resolver es el siguiente:
( ) ( ) ( )
nx
xCxIxmax
+ℜ∈
−=πr
vvv
Por las condiciones de primer orden de óptimo local se tiene que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )43421 K
v
K
vvv
scomponente"n"n210,,,0,0
x
x,,
x
x,
x
xx =
∂
π∂
∂
π∂
∂
π∂=π∇
Es decir, tenemos un sistema de ecuaciones de “n” ecuaciones con “n” incógnitas:
( ) ( ) ( )
0x
xC
x
xI
x
x
1
*
1
*
1
*=
∂
∂−
∂
∂=
∂
π∂vvv
( ) ( ) ( )
0x
xC
x
xI
x
x
2
*
2
*
2
*=
∂
∂−
∂
∂=
∂
π∂vvv
M ( ) ( ) ( )
0x
xC
x
xI
x
x
n
*
n
*
n
*=
∂
∂−
∂
∂=
∂
π∂vvv
En particular, la productividad marginal de la renta (ingreso marginal) de utilizar una unidad más del factor de producción “i” debe igualarse al costo marginal de comprar otra unidad del factor de producción “i”.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).n,,2,1i
x
xC
x
xI0
x
xC
x
xI
x
x
i
*
i
*
i
*
i
*
i
*K
vvvvv
=∀∂
∂=
∂
∂⇒=
∂
∂−
∂
∂=
∂
π∂ ( )*
Suponiendo que cada factor de producción “i” tiene un costo unitario constante ,wi se tiene que:
( ) .xwxwxwxwxC nn2211
rrK
r⋅=+++=
Las condiciones de primer orden ( )* serían:
( ) ( ) ( ).n,,2,1ip
w
x
xQw
x
xQp i
i
*
ii
*K
vv
=∀=∂
∂⇒=
∂
∂
Las condiciones de segundo orden definidas en la sección 2.2 requieren que ( )*xH
rπ sea semidefinido negativo. En el caso de costo marginal
constante, implica que ( )*xHQr
debe ser semidefinido negativo en el paquete de factores de producción óptimo.
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
128
En particular, esto implica que cada ( ) .0xQ *xx ii
≤r
Otra forma de decir esto es que el vector de factores de producción que maximiza el beneficio se da sólo en aquellas regiones del espacio de factores de producción donde todas las ( ) .0xQ *
xx ii≤
r Si para cada ,x n
+ℜ∈r
existe un índice “i” tal que ( ) ,0xQ
iixx >r
entonces la empresa en estudio no puede
tener un producto que maximice su beneficio en el interior de .n+ℜ
Discriminación monopolística Incluso en el caso de una empresa que produce un único bien, puede surgir un problema de optimización con dos o más variables. Tal podría ser el caso, por ejemplo, de una empresa monopolística que vende un único bien en dos o más mercados separados (por ejemplo, en el propio país y en el extranjero) y, en consecuencia, debe decidir acerca de las cantidades (Q1, Q2, etc.) que enviará a los mercados respectivos para maximizar su beneficio. En general, los diversos mercados tendrán diferentes condiciones de demanda, y, si la elasticidad de la demanda difiere en los distintos mercados, la maximización del beneficio estará vinculada a la práctica de la discriminación de precios. A continuación vamos a deducir matemáticamente esta conocida conclusión. Supondremos tres mercados separados y trabajaremos con funciones generales. Por eso, nos limitaremos a suponer que nuestra empresa monopolística tendrá las siguientes funciones de ingreso y costo total:
( ) ( ) ( ) ( )332211321 QIQIQIQ,Q,QI ++= y ( )QCC =
Donde: 321 QQQQ ++=
Obsérvese que todas las funciones de ingreso total ( )321 I,I,I implican, naturalmente, una estructura particular de demanda, que, en general, será diferente de la que rige en los otros dos mercados. En cuanto al costo, en cambio, sólo se postula una función de costo, porque es la misma empresa la que produce para los tres mercados. Como
321 QQQQ ++= , también el costo total “ C ” es básicamente una función de 321 Q,Q,Q , que constituyen las variables de elección del modelo. Podemos, naturalmente, volver a escribir ( )QC como ( )321 QQQC ++ . Convendría observar, sin embargo, que aunque la
última versión contiene tres variables independientes, seguiremos considerando que la función tiene un único argumento “ Q ”, porque la suma de 321 QyQ,Q es realmente una única entidad. Por el contrario, si las funciones aparecen en la forma ( )321 Q,Q,QC , entonces hay que tener en cuenta tantos argumentos como variables independientes.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
129
Ahora la función de beneficios es:
( ) ( ) ( ) ( )QCQIQIQI 332211 −++=π
Por las condiciones de óptimo relativo tenemos:
( )0,0,0Q
,Q
,Q 321
=
∂
π∂
∂
π∂
∂
π∂=π∇
( )
=−=−=∂
∂−=
∂
π∂
=−=−=∂
∂−=
∂
π∂
=−=−=∂
∂−=
∂
π∂
0dQ
dC)Q('I
dQ
dQ
dQ
dC)Q('I
Q
C)Q('I
Q
0dQ
dC)Q('I
dQ
dQ
dQ
dC)Q('I
Q
C)Q('I
Q
0dQ
dC)Q('I
dQ
dQ
dQ
dC)Q('I
Q
C)Q('I
Q
a
33
1
333
333
3
22
1
222
222
2
11
1
111
111
1
876
876
Resulta que: 0)Q('I)Q('I)Q('IdQ
dC332211 ====
Es decir: 321 IMgIMgIMgCMg === Así los niveles de “ 1Q ”, “ 2Q ” y “ 3Q ” han de ser elegidos de manera tal que el ingreso marginal de cada mercado sea igual al costo marginal del producto total Q.
Para comprender las implicaciones de esta condición con respecto a la discriminación de precios, hallemos primero cómo se relaciona específicamente el “ IMg ” de cualquier mercado con el precio en ese mercado. Ya que el ingreso de cada mercado es ( ) iiii QQPI ⋅= , es lógico que el ingreso marginal sea:
( ) ( )i
iii
i
iii
i
ii
dQ
QdPQ
dQ
dQQP
dQ
dIIMg +==
( )( )
( ) ( )( )
( )
+=
+=
iii
iii
iii
ii
ii
iiii
QPQ
QdPdQ
11QP
dQ
QdP
QP
Q1QPIMg
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
130
( ) )3,2,1i(d
11QPIMg
iiii =
ε+=
Donde “ idε ”, la elasticidad puntual de la demanda en el mercado i-ésimo, es normalmente negativa. En consecuencia, la relación entre
iIMg y ( )ii QP puede expresarse alternativamente mediante la ecuación:
( ) )A()3,2,1i(d
11QPIMg
iiii =
ε−=
Recuérdese que idε , por lo general, es una función de ( )ii QP , de manera tal que cuando se elige iQ entonces ( )ii QP queda así especificado, y idε también adoptará un valor específico, que puede ser mayor, menor o igual que uno. Pero si idε < 1 (siendo la demanda inelástica en este punto), entonces su valor inverso será mayor que uno y la expresión que aparece entre paréntesis en (A) será negativa, con lo cual “ iIMg ” tomará un valor negativo. Análogamente, sí 1di =ε (elasticidad unitaria), entonces el iIMg tomará valor cero. Ya que el “ CMg ” de una empresa es positivo, la condición de primer orden
iIMgCMg = requiere que la empresa trabaje con un nivel positivo de
iIMg . De aquí que los niveles de venta iQ elegidos por la empresa deben ser tales que la correspondiente elasticidad puntual de la demanda en cada mercado sea mayor que uno. La condición de primer orden 321 IMgIMgIMg == se puede convertir ahora, por medio de (A), en lo siguiente:
ε−=
ε−=
ε−
333
222
111
d
11)Q(P
d
11)Q(P
d
11)Q(P
De esto se puede inferir fácilmente que cuanto menor sea el valor de
idε (en el nivel elegido de producción) en un mercado en particular y cuanto mayor sea el precio en ese mercado (de ahí la discriminación de precios) tanto mayor será el beneficio. Para asegurar la maximización del beneficio, examinaremos la condición de segundo orden. A partir de (a), las derivadas parciales de segundo orden son:
)Q(''C)Q(''IQ
Q)Q(''C)Q(''I
Q11
1112
1
2−=
∂
∂−=
∂
π∂
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
131
)Q(''C)Q(''IQ
Q)Q(''C)Q(''I
Q22
2222
2
2−=
∂
∂−=
∂
π∂
)Q(''C)Q(''IQ
Q)Q(''C)Q(''I
Q33
3332
3
2−=
∂
∂−=
∂
π∂
)Q(''C
233213311221 QQQQQQQQQQQQ −=π=π=π=π=π=π
De manera tal que el hessiano de π es:
−−−−−−−−−
=π)Q(''C)Q(''I)Q(''C)Q(''C
)Q(''C)Q(''C)Q(''I)Q(''C)Q(''C)Q(''C)Q(''C)Q(''I
H
33
22
11
Los menores principales dominantes del hessiano de π son:
)Q(''C)Q(''I)Q(''C)Q(''C)Q(''C)Q(''C)Q(''I)Q(''C)Q(''C)Q(''C)Q(''C)Q(''I
HH
33
22
11
3−−−
−−−−−−
=π=π
[
])Q(''I)Q(''I)Q(''I)Q(''I
)Q(''I)Q(''I)Q(''C)Q(''I)Q(''I)Q(''IH
33223311
22113322113
++
+−=π
)Q(''C)Q(''I)Q(''C)Q(''C)Q(''C)Q(''I
H22
112 −−
−−=π
[ ] )Q(''C)Q(''I)Q(''I)Q(''I)Q(''IH 221122112 +−=π
)Q(''C)Q(''IH 111 −=π
Para obtener un máximo será necesario que se verifique: 1. 0)Q(''C)Q(''I0H 111 <−⇒<π ; es decir, la pendiente de 1IMg
deberá ser menor que la pendiente del CMg del producto total (puesto que cualquiera de los tres mercados puede considerarse como el “primer” mercado, esto implica, en efecto que,
0)Q(''C)Q(''I 22 <− y 0)Q(''C)Q(''I 33 <− .
2. [ ][ ] [ ] 0)Q(''C)Q(''C)Q(''I)Q(''C)Q(''IH0H 2221122 >−−−=π⇒>π
3. 0H 3 <π
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
132
2.4 Condiciones suficientes de optimalidad global: Programación convexa
Programa convexo: Dado un programa matemático de la forma:
( )( )
ℜ⊂∈ nCFx:a..s
xfoptIII r
r
Se dice que: a) Es convexo para mínimo si CF es convexo y “f” es una función
convexa en CF. b) Es convexo para máximo si CF es convexo y “f” es una función
cóncava en CF.
Teorema fundamental de la programación convexa: Dado el programa convexo:
( )( )
ℜ⊂∈ nCFx:a..s
xfminIV r
r
Se cumple que:
a) Si CFx* ∈r
es un mínimo relativo, entonces *xr
es un mínimo global.
b) El conjunto de todos los mínimos del programa es un conjunto convexo.
Dado el programa convexo:
( )( )
ℜ⊂∈ nCFx:a..s
xfmaxV r
r
Se cumple que:
c) Si CFx* ∈r
es un máximo relativo, entonces *xr
es un máximo global.
d) El conjunto de todos los máximos del programa es un conjunto convexo.
Es importante resaltar que el teorema fundamental de la programación convexa nos dice que la convexidad del programa da una condición suficiente (pero no necesaria) para que todo óptimo relativo sea global. Asimismo, es importante hacer notar que un programa convexo (ya sea de maximización o de minimización) puede no tener solución óptima (esto se da cuando CF es un conjunto no acotado7).
7 Ver apéndice.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
133
A continuación veremos que para programas convexos sin restricciones las condiciones de primer orden son necesarias y suficientes para la optimalidad global. Proposición 1: Dada ℜ→ℜn:f diferenciable en nℜ se comprueba que: a) Si “f” es convexa en nℜ , la condición necesaria y suficiente para
que *xr
sea mínimo global de “f”, es que ( ) .0xf *rr
=∇
b) Si “f” es estrictamente convexa en nℜ , la condición necesaria y suficiente para que *x
r sea mínimo global estricto de “f”, es que
( ) .0xf *rr
=∇
c) Si “f” es cóncava en nℜ , la condición necesaria y suficiente para que *x
r sea máximo global de “f”, es que ( ) .0xf *
rr=∇
d) Si “f” es estrictamente cóncava en nℜ , la condición necesaria y suficiente para que *x
r sea máximo global estricto de “f”, es que
( ) .0xf *rr
=∇
La convexidad de un programa es suficiente para que la solución óptima sea global. Cuando un programa no presenta restricciones, basta que la función objetivo sea convexa (respectivamente cóncava) para que dicho programa sea convexo. No obstante, para funciones que cumplen condiciones más débiles que éstas, también se verifica que los óptimos locales son globales. Para ello es suficiente con exigir que la función sea seudoconvexa o cuasiconvexa. Proposición 2: Sea S un subconjunto convexo de nℜ y .S:f ℜ→ Se verifica que: a) Si Sx* ∈
r es un punto crítico de “f” y la función “f” es
seudoconvexa en *xr
, entonces *xr
es un mínimo global de “f”. (condición suficiente pero no necesaria).
b) Si Sx* ∈r
es un punto crítico de “f” y la función “f” es seudocóncava en *x
r, entonces *x
r es un máximo global de “f”.
(condición suficiente pero no necesaria).
c) Si “f” es cuasiconvexa en S y Sx* ∈r
es un mínimo relativo estricto de “f”, entonces *x
r es un mínimo global de “f”.
d) Si “f” es cuasicóncava en S y Sx* ∈r
es un máximo relativo estricto de “f”, entonces *x
r es un máximo global de “f”.
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
134
Proposición 3: Sea S un subconjunto convexo y abierto de nℜ y ℜ→S:f una función con derivadas parciales primeras y segundas
continuas en S. Si “f” es cuasiconvexa en S, se verifica que, si Sx* ∈r
es tal que ( ) ,0xf *
rr=∇ entonces ( )*xHf
r es semidefinido positivo. Por tanto,
*xr
puede ser un mínimo o un punto de silla. Ejemplos: Determine los óptimos globales de las siguientes funciones: a) ( ) 3x4x5xx,xf 2
22
2121 ++−−=
b) ( ) ( )22121 2xxx,xf +−=
Solución: a) Por las condiciones de primer orden, el punto crítico de “f” se
obtiene:
( ) ( ) ( )0,04x10,x2x,xf 2121 =+−−=∇
0x2 1 =−
04x10 2 =+−
Resolviendo el sistema, el único punto crítico de “f” es ( ) ( ).52,0x,x *
2*1 =
Para todo ( ) 2
21 x,xx ℜ∈=r
se tiene que:
( )
−
−=
10002
xHfr
El hessiano es definido negativo, ya que sus autovalores son negativos ( ).10,2 21 −=λ−=λ Por tanto, “f” es estrictamente cóncava, y gracias al apartado d) de la proposición 1, ( ) ( )52,0x,x *
2*1 = es un máximo global estricto.
Note que como el dominio de “f”: ( ) ,x,xD 2
21 ℜ∈= que coincide con el CF (para un programa sin restricciones), es un conjunto convexo, y la función objetivo es estrictamente cóncava, entonces tenemos un programa convexo para máximo. Por tanto, el máximo local obtenido será también un máximo global.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
135
Figura 34
b) Por las condiciones de primer orden, el punto crítico de “f” se
obtiene:
( ) ( ) ( )( ) ( )0,02xx2,2xx2x,xf 212121 =+−−+−=∇
( ) 02xx2 21 =+−
( ) 02xx2 21 =+−−
Resolviendo el sistema, todos los puntos de la recta 02xx 21 =+− son puntos críticos de “f”.
Para todo ( ) 2
21 x,xx ℜ∈=r
se tiene que:
( )
−
−=
2222
xHfr
El hessiano es semidefinido positivo, ya que posee un autovalor positivo y un autovalor nulo ( ).0,4 21 =λ=λ Por tanto, “f” es convexa, y gracias al apartado a) de la proposición 1, los puntos de la recta 02xx 21 =+− son mínimos globales.
Por otro lado, dado que ( ) ( ) 02xxx,xf 2
2121 ≥+−= para todo
( ) 221 x,xx ℜ∈=
r, y como para ( ) 02xx/x,xx *
2*1
*2
*1
* =+−=r
se cumple
que ( ) ( ) .0x,xfxf *2
*1
* ==r
Por tanto, en los puntos
( ) 02xx/x,xx *2
*1
*2
*1
* =+−=r
“f” tiene un mínimo global.
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
136
Figura 35
2.5 Análisis de Sensibilidad. Teorema de la envolvente
En muchas situaciones, la función objetivo de un problema de optimización depende, a parte de las variables independientes, de parámetros. En estas situaciones, el análisis de sensibilidad consiste en determinar el efecto sobre el valor óptimo de la función objetivo ante un pequeño cambio en alguno de los parámetros del problema de optimización. El teorema de la envolvente permite cuantificar este efecto.
Definición: Sea el problema:
( ) ( )
ℜ∈
βnx
,xfoptVI r
rr
Siendo “f” una función de clase dos ( )2C , x
r el vector de variables de
decisión, y kℜ∈βr
un vector de parámetros. Si kE ℜ⊂ es un conjunto abierto y para todo E∈β
r existe una solución
óptima de (VI) dada por ( ) ( ) ( ) ( )( )βββ=βr
Krrrr *
n*2
*1
* x,,x,xx que verifica las condiciones necesarias y suficientes de optimalidad local. Definimos la función de valor óptimo o función objetivo indirecta de la siguiente manera:
( ) ( )( )ββ=βϕrrrr
,xf *
Teorema de la envolvente: Dado el problema (VI) y las condiciones de la definición anterior, si ( ) ( )( )ββ=βϕ
rrrr,xf * es la función
objetivo indirecta del programa, se comprueba que ( ) :k,,2,1jj K=β∀
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
137
( ) ( )( )j
*
j
,xf
β∂
ββ∂=
β∂
βϕ∂rrrr
Ejemplos: 1.- Una empresa monopolística produce un bien cuya función inversa
de demanda es ( ) qqp θ−α= siendo “p” el precio y “q” la cantidad, y los parámetros .0y0 >θ>α La función de costo total de la empresa está dada por ( ) qqC γ+ε= siendo γ el costo marginal (y costo unitario) y ε el costo fijo. Suponiendo que α<γ<0 y que
.0>ε Se requiere:
a) Determinar la cantidad que debe producir la empresa para maximizar sus beneficios.
b) Calcular la función de valor óptimo y determinar directamente sus derivadas parciales.
c) Calcular las derivadas parciales de la función de valor óptimo utilizando el teorema de la envolvente.
d) Comprobar que un decremento del costo marginal o del costo fijo produce un incremento del beneficio óptimo.
2.- La función de producción de una empresa competitiva ese de clase
dos ( )2C y está dada por ( )L,KQ donde “K” y “L” representan las cantidades a utilizar de los factores de producción capital y trabajo respectivamente. Si suponemos que los costos unitarios del capital “r” y del trabajo “w” son constantes, entonces la función de costos de la empresa será ( ) .wLrKL,KC += Si el precio unitario al que vende su producto es “p”, entonces sus ingresos serán ( ) ( ).L,KpQL,KI = Se requiere:
a) Determinar las condiciones que deben satisfacer “K” y “L” para
maximizar el beneficio de la empresa. b) Calcular la función objetivo indirecta y determinar sus derivadas
parciales. c) Verificar que un aumento de “p” produce un aumento en el
beneficio óptimo y que un decremento de “r” o de “w” produce un decremento en el beneficio óptimo.
Solución: 1.- a) El beneficio de la empresa es:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ε−θ−γ−α=γ+ε−θ−α=−⋅=γεθαπ 2qqqqqqCqqp,,,;q
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
138
Por la condición de primer orden tenemos:
( ) ( ) ( ) ( )θ
γ−α=⇒=θ−γ−α=
γεθαπ=γεθαπ∇
2q0q2
dq
,,,;qd,,,;q **
**
El hessiano de ( )γεθαπ ,,,;q* es:
( )1*1
* 2,,,;q,,,;qH
θ−=
γεθαπ=γεθαπ
Es una matriz definida negativa ya que posee un autovalor negativo ( ).02 <θ−=λ Por tanto, la función de beneficio es estrictamente cóncava, por lo que en q* el beneficio es máximo.
b) La función de valor óptimo es:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ε−θ−γ−α=γεθαπ=γεθαϕ=βϕ2*** qq,,,;q,,,
r
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ε−
θ
γ−α=ε−
θ
γ−αθ−
θ
γ−αγ−α=βϕ
422
22r
Sus derivadas parciales son:
( ) ( )θ
γ−α=
α∂
βϕ∂
2
r
( ) ( )
2
2
4θ
γ−α−=
θ∂
βϕ∂r
( ) ( )
θ
γ−α−=
γ∂
βϕ∂
2
r
( )
1−=ε∂
βϕ∂r
c) Aplicando el teorema de la envolvente tenemos:
( ) ( ) ( )
θ
γ−α==
α∂
γεθαπ∂=
α∂
βϕ∂
2q
,,,;q **
r
( ) ( ) ( ) ( )
2
22*
*
4q
,,,;q
θ
γ−α−=−=
θ∂
γεθαπ∂=
θ∂
βϕ∂r
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
139
( ) ( ) ( )θ
γ−α−=−=
γ∂
γεθαπ∂=
γ∂
βϕ∂
2q
,,,;q **
r
( ) ( )
1,,,;q*
−=ε∂
γεθαπ∂=
ε∂
βϕ∂r
d) Por los datos del problema se comprueba que: .0q* > Por tanto,
( )0q* <−=
γ∂
βϕ∂r
( ) ( )0q* >γ∆−=γ∆
γ∂
βϕ∂≈βϕ∆⇒
rr
.0<γ∆⇔ Es
decir, un pequeño decremento en el costo marginal producirá un incremento del beneficio óptimo.
De forma análoga, ( )
⇒<−ε∂
βϕ∂01
r
( ) ( )0q* >ε∆−=ε∆
γ∂
βϕ∂≈βϕ∆
rr
.0<ε∆⇔ Es decir, un pequeño decremento en el costo fijo producirá un incremento del beneficio óptimo.
2.- a) El beneficio de la empresa (función objetivo a maximizar) es:
( ) ( ) ( )wLrKw,r,p;L,KpQw,r,p;L,K +−=π
Donde las variables de decisión son “K” y “L”. Por tanto, *K y
*L maximizarán el beneficio si: I) Satisfacen la condición de primer orden:
( ) ( ) ( )( ) ( )0,0wL,KpQ,rL,KpQw,r,p;L,K **L
**K
** =−−=π∇
( ) ( ) ( )( ) ( )
=−=
=−=
0wL,KpQw,r,p;L,KF
0rL,KpQw,r,p;L,KF**
**L
**2
**K
**1
II) Satisfacen la condición de segundo orden: El hessiano de
( )** L,Kπ debe ser definido negativo, por lo que el menor principal dominante de orden uno de ( )** L,Kπ deberá ser negativo y el menor principal dominante de orden dos ( )** L,Kπ deberá ser positivo, esto es:
( ) ( ) ( ) 0L,KpQL,KpQL,KH **
KK**
KK**
1 <==π
Dado que ,0p > se deduce que: ( ) .0L,KQ **
KK <
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
140
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )**
LL**
KL
**KL
**KK****
2L,KpQL,KpQ
L,KpQL,KpQL,KHL,KH =π=π
( ) ( ) ( ) ( )( ) 0L,KQL,KQL,KQpL,KH2**
KL**
LL**
KK2**
2 >
−⋅=π
Nuevamente, como ,0p > se deduce que:
( ) ( ) ( )( )2**KL
**LL
**KK L,KQL,KQL,KQ >⋅
Pero, dado que ( ) ,0L,KQ **
KK < para que la desigualdad anterior se verifique debe cumplirse que:
( ) .0L,KQ **LL <
Por otro lado, si suponemos que las funciones “ 1F ” y “ 2F ” del sistema (**) tienen derivadas continuas y si verificamos que el jacobiano de este sistema con respecto a las variables endógenas “K*” y “L*” no se anula en el equilibrio inicial: ( ),w,r,p;L,K ** en tal caso sería posible aplicar el teorema de la función implícita.
( ) ( )( ) ( ) Lw,r,p;L,KFKw,r,p;L,KF
Lw,r,p;L,KFKw,r,p;L,KFJ
**2**2
**1**1*
∂∂∂∂
∂∂∂∂=
( ) ( )( ) ( )**
LL**
KL
**KL
**KK*
L,KpQL,KpQ
L,KpQL,KpQJ =
Como se puede apreciar, el determinante jacobiano del sistema de ecuaciones conformado por “ 1F ” y “ 2F ” coincide con el determinante del hessiano de ( )** L,Kπ , esto es:
( ) ( ) ( ) ( )( )
−⋅=π=
2**KL
**LL
**KK
2*** L,KQL,KQL,KQpL,KHJ
Pero, para que *K y *L maximicen el beneficio el ( ) ,0L,KH ** >π entonces ( ) .00L,KHJ *** ≠>π= En
consecuencia, existe un entorno tridimensional de ( )000 w,r,p , E, en el que: I) *K y *L se pueden expresar como funciones de las variables
exógenas ( )w,r,p , es decir:
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
141
( ) ( )( )
=
=
w,r,pLL
w,r,pKK***
**
**
II) Las dos funciones anteriores satisfacen el sistema de
ecuaciones (**) para cualquier ( ) Ew,r,p ∈ , son continuas y tienen derivadas parciales continuas con respecto a todas las variables exógenas (independientes).
Es importante resaltar que las expresiones de (***) verifican las condiciones necesarias y suficientes de máximo local y que además supondremos que ,0Ly0K ** >> con ( ) .0L,KQ ** >
c) La función objetivo indirecta es:
( ) ( ) ( ) =π=ϕ=βϕ ** L;Kw,r,pr
( ) ( )( ) ( ) ( )( )w,r,pwLw,r,prKw,r,pL,w,r,pKpQ **** +−=
Aplicando el teorema de la envolvente, tenemos que:
( ) ( ) ( ) ( )( )w,r,pL,w,r,pKQp
L,K
p**
**=
∂
π∂=
∂
βϕ∂r
( ) ( ) ( )w,r,pK
r
L,K
r*
**−=
∂
π∂=
∂
βϕ∂r
( ) ( ) ( )w,r,pL
w
K,K
w*
**−=
∂
π∂=
∂
βϕ∂r
c) En función de los resultados obtenidos en el apartado anterior,
tenemos que:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) pw,r,pL,w,r,pKQ0w,r,pL,w,r,pKQp
**** ∆≈βϕ∆⇒>=∂
βϕ∂ rr
( ) .0p0 >∆↔>βϕ∆r
Es decir, un incremento en “p” producirá un incremento del beneficio óptimo.
( ) ( ) ( ) ( ) rw,r,pK0w,r,pKr
** ∆−≈βϕ∆⇒<−=∂
βϕ∂ rr
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
142
( ) .0r0 >∆↔<βϕ∆r
Es decir, un incremento en “r” producirá un decremento del beneficio óptimo.
( ) ( ) ( ) ( ) ww,r,pL0w,r,pLw
** ∆−≈βϕ∆⇒<−=∂
βϕ∂ rr
( ) .0w0 >∆↔<βϕ∆r
Es decir, un incremento en “w” producirá un decremento del beneficio óptimo.
( ) ( ) ( )w,r,pLw
K,K
w*
**−=
∂
π∂=
∂
βϕ∂r
3. Formulación de programas con restricciones de igualdad
La formulación genérica de un programa matemático con restricciones de igualdad es la siguiente:
( )
( ) ( )( )
( )
=
==
0x,,x,xg
0x,,x,xg:a.sx,,x,xfxfopt
VII
n21m
n211
n21
K
M
K
Kr
Con ,nm < siendo ℜ→ℜn:f y ( ).m,,2,1i:g ni K=ℜ→ℜ
3.1 Condiciones necesarias de primer orden de óptimo local
Definición: Dado el programa (VII), se denomina función Lagrangiana asociada al programa (VII) a la función de nm + variables definida por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑=
λ+=λ++λ+=λ⋅+=λm
1iiimm11
T xgxfxgxgxfxgxfx,Lrrr
Krrrrrrrr
Donde:
( )
( )( )
( ) 1mxm
2
1
xg
xgxg
xg
=
rM
M
r
r
rr
1mxm
2
1
λ
λλ
=λM
Mr
A los componentes de λr
se le conocen como multiplicadores de Lagrange asociados a las restricciones ( ) ( )m,,2,1i,0xgi K
r== o
variables duales correspondientes a las restricciones ( ) ( )m,,2,1i,0xgi Kr
== .
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
143
Condición necesaria de Lagrange:
Sea nD ℜ⊂ un conjunto abierto. Para el programa (VII) con ,nm < siendo ℜ→D:f y ( ),m,,2,1iD:gi K=ℜ→ ambas con derivadas parciales primeras continuas en D y el conjunto de soluciones factibles
( ) ( ) .m,,2,1i,0xgDxxCF in K
rrr==∧∈ℜ∈=
Se comprueba que si *xr
es un óptimo local de (VII) tal que la matriz jacobiana de ( )*xg
rr, ( ),xgJ *rr tiene un menor de orden “m” distinto de cero8
(es decir el rango de ( )*xgJrr
es “m”, lo que equivale a decir que dicha matriz tiene “m” vectores fila linealmente independientes, lo que a su vez equivale a decir que los gradientes de las restricciones en *x
r:
( ) ( ) ( )*m
*2
*1 xg,,xg,xg
rK
rr∇∇∇ sean linealmente independientes), existen “m”
números reales *m
*2
*1 ,,, λλλ K y “n” variables de decisión *
n*2
*1 x,,x,x K
tales que son solución del siguiente sistema de ( )nm + ecuaciones:
( ) ( )( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )A0
0
xg
xgxf
x,L
x,Lx,L
1xnm1mx
1nx
*
*T*T*
T**
T**x
1xnmT**
+λ
+
=
λ⋅∇+∇=
λ∇
λ∇=λ∇ r
r
rr
rrrr
rr
rr
rr
r
r
La condición necesaria de optimalidad de primer orden de Lagrange dada por (A) se puede descomponer en: las condiciones de estacionariedad (primera fila del sistema (A) y las condiciones de factibilidad (segunda fila del sistema (A)). Donde:
( )
( )( )
( )( )( )
( )( ) 1xnm
**
**
**
**n
**2
**1
T**
x,L
x,L
x,L
x,Lx
x,Lx
x,Lx
x,L
m
2
1
+λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
=λ∇
rrM
M
rr
rr
rrM
M
rr
rr
rr ( )
( )( )
( ) 1nx**
n
**2
**1
T**x
x,Lx
x,Lx
x,Lx
x,L
λ
λ
λ
=λ∇
rrM
M
rr
rr
rrr
8 A esta condición se le conoce como condición de regularidad (suficiente pero no necesaria). Todos los
puntos *xr
que verifican la condición de regularidad se denominan puntos regulares.
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
144
( )
( )( )
( )
,
x,L
x,L
x,L
x,L
1mx**
**
**
T**
n
2
1
λ
λ
λ
=λ∇
λ
λ
λ
λ
rrM
M
rr
rr
rrr ( ) ( )∑
=
∇λ=λ⋅∇m
1i
T*i
*i
*T* xgxgrrrr
( ) ( ) ( ) ( )[ ]nx1
*x
*x
*x
* xfxfxfxfr
LLrrr
n21=∇
( )
( )( )
( )
( )*
mxn*n
*2
*1m
*n
*2
*12
*n
*2
*11
*m
*2
*1
* xgJ
)x,........,x,x(g
)x,........,x,x(g
)x,........,x,x(g
xg
xg
xg
xgrr
M
M
rM
M
r
r
rr=
∇
∇
∇
=
∇
∇
∇
=∇
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )mxnn
*m
*m
*m
n
*2
*2
*2
n
*1
*1
*1
*
x
xg
x
xg
x
xg
x
xg
x
xg
x
xg
x
xg
x
xg
x
xg
xg
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∇
r
LL
rr M
M
r
LL
rr
r
LL
rr
rr
21
21
21
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )mxnn
*m
*m
*m
n
*2
*2
*2
n
*1
*1
*1
*
x
xg
x
xg
x
xg
x
xg
x
xg
x
xg
x
xg
x
xg
x
xg
xg
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∇
r
LL
rr M
M
r
LL
rr
r
LL
rr
rr
21
21
21
El sistema (A) se puede escribir en forma compacta de la siguiente manera:
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
==
==∂
∂λ+=λ ∑
=
m,,2,1i0xg
n,,1j0x
xgxfx,L
B*
i
m
1i j
*i*
i*
x**
x jj
Kr
K
rrrr
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
145
Las soluciones factibles *xr
del programa (VII) que satisfacen la primera fila del sistema (A) se denominan puntos estacionarios del programa (VII).
Es importante resaltar que se verifica que todo punto crítico ( )**,x λ
rr de la
función Lagrangiana asociada al programa (VII), es un punto estacionario *xr
del programa (VII) con multiplicadores de Lagrange asociados .*λr
Es decir, se verifica que si *x
r es una solución factible, entonces ( ) ,0xg 1xm
*rrr
=
por lo que ( ) ( ) ( ) ( ).xf0xfx,L ***mx1
*** λ∀=λ⋅+=λrrrrrrr
También es importante hacer notar que si la función objetivo así como las restricciones de igualdad no son diferenciables y continuas, entonces las condiciones de Lagrange no son aplicables. Además, el hecho de que no se verifique la condición de regularidad (que los gradientes de las restricciones de igualdad en *x
rsean linealmente independientes)
puede impedir la aplicabilidad de las condiciones de Lagrange, ya sea porque no existan o existan infinitos multiplicadores de Lagrange. De la primera ecuación de (A) se puede obtener:
( ) ( ) ( )∑=
∇λ−=λ⋅−∇=∇m
1i
T*i
*i
*T*T* xgxgxfrrrrr
( ) ( ) ( )∑=
∇λ−=∇⋅λ−=∇⇒m
1i
*i
*i
*T** xgxgxfrrrrr
Lo que implica que si se verifica la condición de Lagrange en ,x*r entonces el vector gradiente de la función objetivo se puede expresar como una combinación lineal de los vectores gradientes de las “m” restricciones de igualdad. Ejemplos: 1.- En el siguiente programa indique si se verifica la condición de
Lagrange en la solución óptima dada.
( )
=
++
12
22
21
xx:a.sx3xmin Donde: ( ).0,0x* =
r
2.- Sea el programa matemático:
( )( ) bx,xg:a.s
x,xfmax
21
21=
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
146
Siendo “f” y “g” funciones con derivadas parciales continuas en 2ℜ y ( )*
2** x,xx1
=r
es un máximo relativo del programa, tal que
( ) .0xg *rr
≠∇ Se pide:
a) Demostrar que en ( )*2
** x,xx1
=r
se satisface la condición necesaria de Lagrange haciendo uso del teorema de la función implícita y de las condiciones de primer orden para problemas de optimización libre.
b) Obtener el valor del multiplicador de Lagrange asociado a la
restricción en ( )*2
** x,xx1
=r
y, analizar el significado de las condiciones de primer orden.
c) Verificar que para el programa:
( )1xx:a.s
1x2xmax221
22
21
=+
−−−
Se satisface la condición de Lagrange en el punto ( )1,0x* =r
. ¿Es
( )1,0x* =r
un máximo del problema? 3.- En una fábrica se consume un único input, del que se dispone en una
cantidad limitada “c”, que es preciso consumir completamente. En dicha planta funcionan dos procesos independientes entre los que es preciso repartir la cantidad disponible del input. Si 1x y 2x son las cantidades de dicho input asignadas a cada proceso, y ( ) ( )211 2x100xR −−= y ( ) ( )222 2x100x −−=ℜ representan los
rendimientos obtenidos de ellos. ¿Cómo debe efectuarse el reparto de “c” entre 1x y 2x ? Compruebe que se verifica la condición de regularidad en el óptimo.
4.- Dado el siguiente programa, si el mínimo global se da en ( )0,1,0 ,
verifique si la condición de primer orden de Lagrange es aplicable.
( )
1x1xx:a.s
x2xxmin
2
22
21
23
22
21
==+
+−+
Solución:
1.- En el punto crítico ( )0,0x* =r
no se puede aplicar la condición de Lagrange ya que en dicho punto no existe el gradiente de la
restricción ( ) 1221 xxx,xg −= debido a que no existe ( )
.x
0,0g
1∂
∂
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
147
2.- a) Dado que ( ) ,0xg *rr
≠∇ al menos una de sus dos componentes es distinta de cero. Supondremos, sin pérdida de generalidad, que
su segunda componente es la no nula: ( )
.0x
xg
2
*≠
∂
∂r
Verificamos las condiciones del teorema de la función implícita:
• ( ) ( ) ,0bx,xgb;x,xF *2
*1
*2
*1 =−= ya que *x
r es solución
del programa, • ( )21 x,xg es una función continua y con derivadas
parciales de primer orden continuas en *xr
, lo es por hipótesis en todo .2ℜ Por tanto, “F” tiene derivadas parciales continuas,
• ( ) ( )
,0x
xg
x
xF
2
*
2
*≠
∂
∂=
∂
∂rr
ya que ( ) .0xg *rr
≠∇
Al verificarse las condiciones del teorema de la función implícita, existen *
1xE y *2xE entornos de *
1x y *2x
respectivamente, y una función *2
*1 xx EE:h → tal que:
• ( ) *1x112 Exxhx ∈∀= y en ( )*
2*1 x,x se cumple que
( )*1*2 xhx = ,
• ( )( ) ( )( ) 0bxh,xgb,xh,xF 1111 =−= , para todo 1x que pertenece a *
1xE ,
• “h” es continua y derivable en *1xE siendo su derivada
respecto a 1x en *1x :
( ) ( )( )
( )( ) .xg
xg
xF
xF
dx
xdh*
x
*x
*x
*x
1
*1
2
1
2
1r
r
r
r
−=−=
En consecuencia, en un entorno de ,x*r el programa original se reduce al siguiente programa sin restricciones:
( )( ) ( )111 xTxh,xfmax =
Antes de utilizar las condiciones de primer orden de un programa sin restricciones es conveniente tener en mente el siguiente esquema:
f
1x
2x 1x
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
148
Utilizando las condiciones de primer orden para un programa sin restricciones se tiene que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
dx
xdh
x
xf
x
xf
dx
xdf
dx
xdTxT
1
*1
2
*
1
*
1
*
1
*1*
1 =⋅∂
∂+
∂
∂===∇
rrr
Reemplazando ( )
1
*1
dx
xdh en la expresión anterior, tenemos que:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) 0xgxg
xfxf
xg
xg
x
xf
x
xf *x*
x
*x*
x*x
*x
2
*
1
*
1
2
21
2
1 =⋅
−=⋅
∂
∂−
∂
∂ rr
rr
r
rrr
( )( )
( )( )*
x
*x
*x
*x*
xg
xf
xg
xf
2
2
1
1r
r
r
r
−=−=λ
( ) ( ) 0xgxf *
x**
x 11=⋅λ+
rr ( )1
Hemos supuesto que ( )
.0x
xg
2
*≠
∂
∂r
Si ( )
,0x
xg
2
*=
∂
∂r
las hipótesis
implican que ( )
.0x
xg
1
*≠
∂
∂r
Entonces el teorema de la función
implícita nos dice que ( ) bx,xg 21 = define a 1x como una función
diferenciable de 2x en un entorno de *xr
. El resto del razonamiento es análogo, con 1x y 2x intercambiados, es decir:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) 0xgxg
xfxf
xg
xg
x
xf
x
xf *x*
x
*x*
x*x
*x
1
*
2
*
2
1
12
1
2 =⋅
−=⋅
∂
∂−
∂
∂ rr
rr
r
rrr
( )( )
( )( )*
x
*x
*x
*x*
xg
xf
xg
xf
2
2
1
1r
r
r
r
−=−=λ
( ) ( ) 0xgxf *
x**
x 22=⋅λ+
rr ( )2
Las ecuaciones ( )1 y ( )2 se pueden expresar en la siguiente forma:
( ) ( ) ( )2,1i0xgxf *x
**x ii
==⋅λ+rr
( )3
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
149
Es importante resaltar que las ecuaciones ( )3 junto con la restricción ( ) ,bx,xg 21 = son las condiciones necesarias de primer orden de un programa con restricciones de igualdad.
b) Tenemos que ( )( )
( )( )*x
*x
*x
*x*
xg
xf
xg
xf
2
2
1
1r
r
r
r
−=−=λ , por lo que podemos
escribir la expresión anterior en forma equivalente como sigue:
( )( )
( )( )*
x
*x
*x
*x
xg
xf
xg
xf
2
2
1
1r
r
r
r
=
Por otro lado, la pendiente de la gráfica de la restricción ( ) bx,xg 21 = en *x
r es:
( ) ( ) ( )
( ) .xg
xg
dx
xdh
dx
xdx*
x
*x
1
*1
1
*1
*2
2
1r
r
−==
Las curvas de nivel de la función objetivo satisfacen la siguiente
ecuación ( ) cx,xf 21 = , siendo “c” una constante. La pendiente de estas curvas en general es:
( ) ( )( ) .xf
xf
dx
xdx*
x
*x
1
*1
*2
2
1r
r
−=
En consecuencia:
( ) ( ).
dx
xdx
dx
xdx
nrestricció1
*1
*2
niveldecurva1
*1
*2 =
La ecuación anterior nos dice que en *x
r la pendiente de la
restricción coincide con la pendiente de la curva de nivel. Es decir, en *x
r la curva de la restricción y la curva de nivel de la
función objetivo que pasa por *xr
son tangentes, tal como se aprecia en la figura 36. Tenga presente que en esta figura se ha supuesto que la restricción de igualdad es lineal.
Es importante resaltar que al haber impuesto que ( )
0x
xg
2
*≠
∂
∂r
se
está garantizando la condición de regularidad en *xr
ya que:
( ) ( ) ( ) [ ].00x
xg
x
xgxg
2
*
1
** ≠
∂
∂
∂
∂=∇
rrr
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
150
1x
2x
( )21 x,xf
*xr
Figura 36
c) El programa a resolver es:
( )01xx:a.s
1x2xmax221
22
21
=−+
−−−
Se observa que la función objetivo es ( ) ( )22
21 1x2xxf −−−=
v y
que la restricción de igualdad es ( ) .1xxx,xg 22121 −+=
Asimismo, se comprueba que ( ) ( ) 22121 x,xx,xD ℜ∈= y que
( ) ( ) ( ) .01xxx,xgDx,xx,xCF 2212121
221 =−+=∧∈ℜ∈=
Las derivadas parciales de “f” y de “g” son continuas en ,2ℜ y vienen dadas por las siguientes expresiones:
1x x2f1
−= , ( )1x4f 2x2−−=
1g
1x = , 2x x2g2=
Por tanto, sus respectivos gradientes serán:
( ) ( )[ ]1x4x2x,xf 2121 −−−=∇
( ) [ ]221 x21x,xg =∇ Reemplazando ( )1,0x* =
r en ( )21 x,xg∇ se tiene que:
( ) ( ) ( ) [ ] [ ] 000211,0gx,xgxg *
2*1
*rr
=≠=∇=∇=∇
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
151
Se comprueba que se cumple la condición de regularidad (en este caso existen dos menores de orden uno distintos de cero, el “ 01 ≠ ” y el “ 02 ≠ ”, lo que equivale a decir que el rango de
( )*xgr
∇ es uno). El lagrangiano de este programa es:
( ) ( ) ( )1xx1x2x,x,xL 221
22
2121 −+λ+−+=λ
Además, se comprueba que ( ) CF1,0x* ∈=
r y cumplirá la
condición de Lagrange si para algún valor de λ resuelve el siguiente sistema:
( ) ( )( )
=
−+
λ+−−
λ+−
=λ∇000
1xx
x21x4
x2
x,L
2*2
*1
*2
**2
**1
T** r
Se comprueba que una solución del sistema es: ( ) ( ) ( ).1,0,0x,x,x, *
2*1
*** =λ=λr
En consecuencia, ( )1,0x* =r
es una
posible solución del programa para .0* =λ Se puede verificar que ( )21 x,x∀ la función objetivo es no
positiva, esto es: ( ) ( ) .01x2xx,xf 22
2121 ≤−−−= Además, en
( )1,0x* =r
se cumple que ( ) ( ) .01,0fxf * ==r
Por otra parte, ( ) ( ) ( )1,0x,x/CFx,x 2121 ≠∈∀ se verifica que
( ) ( ) .01x2xx,xf 22
2121 <−−−= Por tanto, ( )1,0x* =
r es un
máximo global del programa.
3.- La siguiente figura muestra el problema propuesto:
Figura 37
El programa es:
( ) ( )[ ]cxx:a.s
2x1002x100max
21
22
21=+
−−+−−
Proceso 1
Proceso 2
( )1xR
( )2xℜ
c
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
152
( ) ( )[ ]0cxx:a.s
2x2x200max
21
22
21
=−+−−−−
Se observa que la función objetivo es ( ) ( ) ( )22
2121 2x2x200x,xf −−−−= y que la restricción de igualdad
es ( ) .cxxx,xg 2121 −+= Además, se verifica que 2xxD ℜ∈=rr
y
que .0cxxDxxCF 212 =−+∧∈ℜ∈=rr
Las derivadas parciales de “f” y de “g” son continuas en ,2ℜ y vienen dadas por las siguientes expresiones:
( )2x2f 1x1−−= , ( )2x2f 2x2
−−=
1g1x = , 1g
2x =
Por tanto, sus respectivos gradientes serán:
( ) ( ) ( )[ ]2x22x2x,xf 2121 −−−−=∇
( ) [ ]11x,xg 21 =∇ Se observa que para todo ( ) 2
21 x,x ℜ∈ el ( ) 0x,xg 21r
≠∇ . Por tanto, en
particular, en la solución del programa ( )*2
*1
* x,xx =r
se verificará que:
( ) ( ) [ ] [ ] 00011x,xgxg *2
*1
*rr
=≠=∇=∇
La ecuación anterior nos garantiza el cumplimiento de la condición de regularidad. En consecuencia, se puede aplicar la condición de Lagrange.
El lagrangiano de este programa es:
( ) ( ) ( ) ( )cxx2x2x200,x,xL 212
22
121 −+λ+−−−−=λ
Para ( ) CFx,xx *2
*1
* ∈=r
se cumplirá la condición de Lagrange si para algún valor de λ resuelve el siguiente sistema:
( )( )( )
=
−+
λ+−−
λ+−−
=λ∇000
cxx
2x2
2x2
x,L
*2
*1
**2
**1
T** r
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
153
Se comprueba que la solución del sistema es:
( ) ( ) .2
c,
2
c,c4x,x,x, *
2*1
***
−=λ=λ
r En consecuencia,
=
2
c,
2
cx*r es
una posible solución del programa para .c4* −=λ Con las condiciones de segundo orden, que veremos más adelante,
el lector podrá verificar que en
=
2
c,
2
cx*r la función alcanza un
máximo global (restringido).
4.- El programa equivalente es el siguiente:
( )
01x01xx:a.s
x2xxmin
2
22
21
23
22
21
=−=−+
+−+
Se observa que la función objetivo es ( ) ( ) 2
32
221321 x2xxx,x,xf +−+=
y que las restricciones de igualdad son ( ) 1xxx,x,xg 22
213211 −+= y
( ) .1xx,x,xg 23212 −= Asimismo, se comprueba que 3xxD ℜ∈=rr
y
que ( ) ( ) .1xxg01xxxgDxxCF 222211
3 −=∧=−+=∧∈ℜ∈=rrrr
Las derivadas parciales de “f” y de “g” son continuas en ,3ℜ y vienen dadas por las siguientes expresiones:
1x x2f1= , ( )2x2f 2x2
−= , 3x x2f2=
11
1 x2x
g=
∂
∂, 2
2
1 x2x
g=
∂
∂, 0
x
g
3
1 =∂
∂
0x
g
1
2 =∂
∂, 1
x
g
2
2 =∂
∂, 0
x
g
3
2 =∂
∂
Por tanto, sus respectivos gradientes serán:
( ) ( )[ ]321321 x22x2x2x,x,xf −=∇
( ) [ ]0x2x2x,x,xg 213211 =∇
( ) [ ]010x,x,xg 3212 =∇ Reemplazando ( )0,1,0x* =
r en ( )3211 x,x,xg∇ se tiene que:
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
154
( ) ( ) ( )( )( )
=
∇
∇=∇=∇=∇
010020
x,xg
x,xg0,1,0gx,x,xgxg
*2
*12
*2
*11*
3*2
*1
* rrrr
Se aprecia que ( )*
2*11 x,xg∇ y ( )*
2*12 x,xg∇ son linealmente
dependientes ya que:
( ) ( ) 0x,xgbx,xga *2
*12
*2
*11
r=∇+∇
[ ] [ ] [ ]000010b020a =+
De donde se desprende que:
a2b0ba2 −=⇒=+
Por tanto existen infinitos valores reales de “a” y “b” que satisfacen la expresión anterior. En consecuencia, la combinación lineal de
( )*2
*11 x,xg∇ y ( )*
2*12 x,xg∇ no genera al vector cero con unicidad.
Al no ser ( )*
2*11 x,xg∇ y ( )*
2*12 x,xg∇ linealmente independientes,
entonces no se verifica la condición de regularidad y por tanto no se puede aplicar la condición necesaria de Lagrange.
3.2 Condiciones de segundo orden de óptimo local Definición: Dado el programa (VII) con f y ( )m,,2,1igi K=
funciones de clase dos en ,nℜ se define el hessiano orlado asociado a (VII) como el hessiano de su función lagrangiana, esto es:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
∂
λ∂
∂∂
λ∂
λ∂∂
λ∂
λ∂∂
λ∂
∂∂
λ∂
∂
λ∂
λ∂∂
λ∂
λ∂∂
λ∂
∂λ∂
λ∂
∂λ∂
λ∂
λ∂
λ∂
λ∂λ∂
λ∂
∂λ∂
λ∂
∂λ∂
λ∂
λ∂λ∂
λ∂
λ∂
λ∂
=λ
2n
2
1n
2
mn
2
1n
2
n1
2
21
2
m1
2
11
2
nm
2
1m
2
2m
2
1m
2
n1
2
11
2
m1
2
21
2
x
x,L
xx
x,L
x
x,L
x
x,L
xx
x,L
x
x,L
x
x,L
x
x,L
x
x,L
x
x,Lx,Lx,L
x
x,L
x
x,Lx,Lx,L
x,HL
rr
KK
rr
M
rr
KK
rrMOMMMOM
MOMMMOM
rr
KK
rr
M
rr
KK
rrKKKKKKKKK
rr
KK
rr
M
rr
KK
rrMOMMMOM
MOMMMOM
rr
KK
rr
M
rr
KK
rr
rr
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
155
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
∂
λ∂
∂∂
λ∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
λ∂
∂
λ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=λ
2n
2
1n
2
n
m
n
1
n1
2
21
2
1
m
1
1
n
m
1
m
n
1
1
1
x
x,L
xx
x,L
x
xg
x
xg
xx
x,L
x
x,L
x
xg
x
xg
x
xg
x
xg00
x
xg
x
xg00
x,HL
rr
KK
rr
M
r
KK
rMOMMMOM
MOMMMOM
rr
KK
rr
M
r
KK
rKKKKKKKKK
r
KK
r
MKK
MOMMMOM
MOMMMOM
r
KK
r
MKK
rr
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )nmxnmnxnxTnxm
mxnmxm
x,LHxg
xg0x,HL
++
λ∇
∇=λ
rrM
rrKKK
rrM
rr
r
Condiciones suficientes de Lagrange de optimalidad local
Sea el programa (VII) con nm < y f y ( )m,,2,1igi K= funciones de
clase dos en un subconjunto abierto nD ℜ⊂ con ( ) .Dm,,2,1i,0xgxCF i
n ⊂==ℜ∈= Krr
Si CFx* ∈r
es un punto estacionario del programa (VII) con multiplicadores asociados *λ
r y definimos Dj con nm,,2,1j += K los
menores principales dominantes de ( )** x,HLrr
λ , entonces: a) Si los menores principales dominantes Dj con nm,,1m2j ++= K
de ( )** x,HLrr
λ tienen todos el mismo signo que ( ) ,1 m− se verifica que *x
r es un mínimo local estricto de (VII).
b) Si los menores principales dominantes Dj con nm,,1m2j ++= K
de ( )** x,HLrr
λ tienen signos alternos, siendo el signo de 1m2D + el
de ( ) ,1 1m+− se verifica que *xr
es un máximo local estricto de (VII).
Teorema: Si ( )** x,HLrr
λ es no singular (Decimos que tenemos un máximo o un mínimo regular), entonces las condiciones suficientes de Lagrange de segundo orden son también necesarias para un mínimo (respectivamente máximo) para el problema (VII).
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
156
Ejemplo: Dado el siguiente programa, calcular sus puntos estacionarios y clasificarlos:
6xxx:a.sxxxopt
321
321=++
Solución: 1.- La función lagrangiana es:
( ) ( )6xxxxxxx,L 321321 −++λ+=λr
El gradiente del lagrangiano es:
( )
=
−++λ+λ+λ+
=λ∇
0000
6xxxxxxxxx
x,L
*3
*2
*1
**2
*1
**3
*1
**3
*2
T** r
Las soluciones del sistema son:
( )0,0,6x*1 =r
con 0*1 =λ
( )0,6,0x*
2 =r
con 0*2 =λ
( )6,0,0x*
3 =r
con 0*3 =λ
( )2,2,2x*
4 =r
con 4*4 −=λ
En todos los puntos estacionarios se verifica la condición de regularidad ya que 3x ℜ∈∀
r se cumple que
( ) [ ] [ ].000111xg ≠=∇r
Como en este caso 3ny1m == deberemos calcular los menores principales dominantes de orden 31m2 =+ y 4nm =+ de la matriz hessiana del lagrangiano:
( )
=λ
0xx1x0x1xx011110
x,HL
12
13
23r
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
157
Los menores principales dominantes del Hessiano Orlado son:
0x1x01110
D
3
33 =
0xx1x0x1xx011110
D
12
13
234 =
• En ( )0,0,6x*
1 =r
tenemos que:
( ) 0010011
1001001110
D3 =−===
( ) ( ) 036666011
61060600111
1
0601600100011110
D4 >==−−=−==
Se aprecia que el signo de todos los menores principales dominantes anteriormente calculados no coinciden con el signo de ( ) ( ) 0111 1m <−=−=− ni alternan de signo, por lo que
( )0,0,6x*1 =r
no es ni un máximo ni un mínimo local.
• En ( )0,6,0x*2 =r
tenemos que:
( ) 0010011
1001001110
D3 =−=−==
( ) ( ) 036660611
61006600111
1
0061000160011110
D4 >=−−=−===
Se aprecia que el signo de todos los menores principales dominantes anteriormente calculados no coinciden con el signo de ( ) ( ) 0111 1m <−=−=− ni alternan de signo, por lo que
( )0,0,6x*1 =r
no es ni un máximo ni un mínimo local.
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
158
• En ( )6,0,0x*3 =r
tenemos que:
( ) ( ) 0126161061601110
D3 >=+−−==
( ) ( ) 0363610660
11001061601
1
0001006106011110
D4 >=−−=−=−==
Se aprecia que el signo de todos los menores principales dominantes anteriormente calculados no coinciden con el signo de ( ) ( ) 0111 1m <−=−=− ni alternan de signo, por lo que
( )0,0,6x*1 =r
no es ni un máximo ni un mínimo local.
• En ( )2,2,2x*4 =r
tenemos que:
( ) ( ) 042121021201110
D3 >=+−−==
012221021201
1021221201
1021201221
1
0221202122011110
D4 <−=−+−==
Se aprecia que los menores principales anteriormente calculados alternan de signo y que el signo de 0DD 31m2 >=+ coincide con
el signo de ( ) ( ) .0111 111m >=−=− ++ Por tanto, ( )2,2,2x*4 =r
es un máximo local.
3.3 Condiciones suficientes de optimalidad global
Teorema: Sea ( )** x,rr
λ una solución de (A). Si ( )x,L * rrλ es una función
cóncava (respectivamente convexa) en ,xr entonces *x
r es un máximo
(respectivamente mínimo) global del programa (VII). Un inconveniente aquí es que tenemos que resolver el problema (para poder evaluar el lagrangiano en *λ
r) antes de que podamos afirmar la
clase de óptimo que se obtiene.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
159
Proposición 1: Dado el programa (VII) con nm < y “f” y ( )m,,2,1igi K= funciones de clase uno en un subconjunto abierto
.D nℜ⊂ Entonces se verifica que si “f” es cóncava (respectivamente convexa) en CF y, las funciones ( )m,,2,1igi K= son lineales, todos los puntos estacionarios de (VII) son máximos (respectivamente mínimos) globales. Es importante resaltar que en la proposición anterior el programa matemático es convexo para máximos (respectivamente para mínimos) ya que “f” es cóncava (respectivamente convexa) en CF, y CF es un conjunto convexo. Proposición 2: Sean “f” y ( )m,,2,1igi K= funciones cóncavas (respectivamente convexas) en CF. Si “f” es creciente en x
r y todas las
( )m,,2,1igi K= son decrecientes en xr
o si “f” es decreciente mientras
todas las ( )m,,2,1igi K= son crecientes, si ( )** x,rr
λ resuelven (A) y
todos los multiplicadores de Lagrange son del mismo signo, *xr
es un máximo global (respectivamente mínimo) del programa (VII). (Si el programa matemático sólo tiene una restricción de igualdad, el requerimiento sobre el signo de los multiplicadores puede dispensarse). Ejemplos: Obtención de las funciones de costos Sea ( )xfq
r= la función de producción de una empresa y w
r el vector de
precios fijos de los factores de producción. Para conocer el costo de producción de “q” unidades del producto, la empresa deberá resolver el siguiente problema, dados w
r y “q”.
( ) 0xfq:a.sxwmin T
=−
⋅r
rr
Donde:
[ ] nx1n21T wwww =r
,
1xnn
2
1
x
xx
x
=M
r
Por tanto, el problema se puede escribir de forma equivalente como sigue:
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
160
( ) 0xfq:a.s
xwxwxwminn
1iiinn11
=−
=++ ∑=
r
K
Se aprecia que la función objetivo es lineal, por tanto convexa, y creciente para ;0w
rr> la restricción es convexa y decreciente si
adoptamos el usual supuesto sobre la función de producción (cóncava, creciente, pero a tasas decrecientes); por tanto podemos aplicar la proposición 2 de la sección 3.3. El lagrangiano es:
( ) ( )( )xfqxwxwx,L nn11r
Kr
−λ+++=λ La condición de primer orden de Lagrange es la siguiente:
( )
( )( )( )
( ) ( ) 1x1n*
*x
*n
*x
*2
*x
*1
T**
00
00
xfq
xfw
xfw
xfw
x,L
n
2
1
+
=
−
λ−
λ−
λ−
=λ∇ M
r
rM
r
r
r
( ) ( ) 1xnT**T**
x 0xfwx,Lrrrr
r =∇λ−=λ∇
( ) ( ) 00xfqx,L 1x1*T** ==−=λ∇ λ
rrr
De la penúltima expresión se puede deducir que *λ debe ser positivo ya que por hipótesis ( ) n,,2,1i0xf *
xiK
r=∀> y ,0w
rr> por lo que podremos
aplicar el teorema de la sección 3.3 a la función Lagrangiana ( ) ( )( )xfqxwxwx,L nn11
rK
r−λ+++=λ que claramente es convexa en x
r
bajo nuestros supuestos. Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior obtendremos ( ),w,qx* rr
y la función de costos será: ( ) ( ).w,qxww,qC *T rrrr⋅=
Ahora ilustraremos esto con un ejemplo numérico. Encuentre la función de costo asociada con la función de producción
.xxq 5,02
25,01=
Esta función es claramente creciente en ( )21 x,x y también cóncava (la verificación se deja al alumno). El lagrangiano será:
( ) ( )5,02
25,012211 xxqxwxwx,L −λ++=λ
r
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
161
Las condiciones de primer orden serán:
( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
=
−
λ−
λ−
=λ∇−
−
000
xxq
xx5,0w
xx25,0w
x,L
5,0*2
25,0*1
5,0*2
25,0*1
*2
5,0*2
75,0*1
*1
T** r
De las dos primeras ecuaciones se obtiene:
( )( )
( )( ) 25,0*
1
5,0*22
5,0*2
75,0*11*
x
x
5,0
w
x
x
25,0
w⋅=⋅=λ
De esta última se desprende que:
*2
1
2*1 x
w
w5,0x =
Reemplazando en la tercera ecuación del sistema matricial tenemos que:
( ) ( ) 75,0*2
25,0
1
2415,0*2
25,0*2
1
2 xw
w2xx
w
w5,0q
=
= −
De donde la demanda condicionada del factor de producción 2 es:
( )3
1
2
1343121
*2
w
wq2w,w,qx
=
Reemplazando la expresión anterior en *
1x se obtiene la demanda condicionada del factor de producción 1:
( )3
2
2
1343221
*1
w
wq2w,w,qx
−
−
=
La función de costos es:
( ) ( ) ( )21*2221
*1121 w,w,qxww,w,qxww,w,qC ⋅+⋅=
( )3
1
2
134312
32
2
13432121
w
wq2w
w
wq2ww,w,qC
⋅+
⋅=
−
−
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
162
( ) ( ) 322
311
343132322
311
3431322
311
343221 wwq22wwq2wwq2w,w,qC +=+= −−
( ) ( ) 32
231
13432
231
13432
21 wwq9,1wwq23w,w,qC ≈⋅= −
( ) 322
311
3421 wwq9,1w,w,qC ≈
Se aprecia que la función de costos es una función convexa en “q” que poseerá la usual característica de costo marginal creciente. Además, es importante resaltar que las condiciones de regularidad se satisfacen en
( ) ( )( ).w,w,qx,w,w,qx 21*221
*1 Finalmente, es importante subrayar que ( )21 w,w,qC representa una familia de curvas de costos para distintos
valores de .wyw 21 Obtención de las funciones de demanda Marshaliana Sea ( )xU
r la función de utilidad de un individuo, p
r el vector de precios,
y “m” los ingresos del individuo. Este consumidor busca maximizar su utilidad sujeta a la restricción presupuestaria, por tanto deberá elegir x
r
para maximizar ( )xUr
sujeto a .mxpT =⋅rr
( )0xpm:a.s
xUmaxT =⋅−
rr
r
Si asumimos que la función ( )xU
r es cóncava, y ya que la restricción es lineal en x
r, podemos aplicar la proposición 1 de la sección 3.3.
El lagrangiano será:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn2211T xpxpxpmxUxpmxUx,L −−−−λ+=⋅−λ+=λ K
rrrrr
Las condiciones de primer orden serán:
( )
( )( )( )
=
−−−−λ−
λ−
λ−
=λ∇
00
00
xpxpxpmpxU
pxU
pxU
x,L
*nn
*22
*11
n**
x
2**
x
1**
x
T**
n
2
1
M
K
rM
r
r
r
De las primeras “n” ecuaciones se obtiene que:
( ) ( ) ( )n
*x
2
*x
1
*x*
p
xU
p
xU
p
xUn21
r
K
rr
====λ
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
163
( ) ( )n,,2,1ip
xU
i
*x* i K
r
==λ
De estas “n” ecuaciones se puede obtener:
( )( ) ( )ji
p
p
xU
xU
j
i*
x
*x
j
i ≠=r
r
Esta expresión nos dice que el cociente de las utilidades marginales es igual al correspondiente cociente entre precios.
Resolviendo el sistema de ecuaciones dado por ( )T** x,Lr
λ∇ obtendríamos ( ),p,mx* rr
que son las cantidades de bienes que el individuo está
dispuesto a comprar al precio ,pr
con ingresos “m”. Es decir, ( )p,mx* rr
representa las funciones de demanda para el consumidor. Ahora ilustramos esto con un ejemplo numérico. Obtenga las funciones de demanda asociadas con la función de utilidad de Klein-Rubin (1949):
( ) ( )ii
n
1ii xlnxU γ−θ= ∑
=
r
Donde ix representa el consumo total del bien “i”, iγ es la cantidad mínima de subsistencia del bien “i” según la percepción del consumidor y iθ es la proporción marginal del presupuesto destinado al consumo del bien “i” una vez que se ha cubierto el consumo de subsistencia total.
Asumimos que ,0i ≥θ 1n
1ii =θ∑
=
(sin pérdida de generalidad), y que
.ppmn
1iii
T ∑=
γ=γ⋅>rr
Donde ∑=
γn
1iiip es el gasto en consumo de
subsistencia de todos los bienes. El lagrangiano será:
( ) ( ) ( )nn2211ii
n
1ii xpxpxpmxlnx,L −−−−λ+γ−θ=λ ∑
=
Kr
Las condiciones de primer orden serán:
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
164
( )
=
−=−−−−
λ−γ−
θ
λ−γ−
θ
λ−γ−
θ
=λ∇
∑=
00
00
xpmxpxpxpm
px
px
px
x,L
n
1i
*ii
*nn
*22
*11
n*
n*n
n
2*
2*2
2
1*
1*1
1
T** M
K
Mr
Las primeras “n” ecuaciones se pueden expresar de la siguiente manera:
0px
i*
i*i
i =λ−γ−
θ
( ) ( )n,,2,1ixp i
*ii
*i K=γ−λ=θ
Aplicando sumatorias a ambos lados de la expresión anterior se tiene:
( )∑∑==
γ−λ=θn
1ii
*ii
*n
1ii xp
γ−λ= ∑ ∑
= =
n
1i
n
1iii
*ii
* pxp1
∑∑
=
= γ−
=λ⇒
γ−λ= n
1iii
*n
1iii
*
pm
1pm1
Reemplazando esta última expresión en iθ tenemos:
( )∑=
γ−
γ−=θ n
1iii
i*ii
i
pm
xp
De donde:
( ) [ ]γ⋅−θ
+γ=
γ−
θ+γ= ∑
=
rrr T
i
ii
n
1iii
i
ii
*i pm
ppm
pp,mx
A estas funciones de demanda se les suele denominar sistema de gasto lineal.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
165
Note que:
( )m
pxm
px
pm
p,mx i*i
ii
i*i
i
i*i
∆
∆≈θ⇒∆
θ≈∆⇒
θ=
∂
∂r
Es decir, iθ representa la parte del presupuesto, una vez cubierto el gasto en consumo de subsistencia de todos los bienes, que se destina al consumo del bien “i”.
3.4. Análisis de sensibilidad. Interpretación de los multiplicadores de Lagrange Teorema de Sensibilidad: Sea el programa:
( )
( ) ( )( )
( )
=
==
mn21m
1n211
n21
bx,,x,xg
bx,,x,xg:a.sx,,x,xfxfopt
VIII
K
M
K
Kr
Donde “f” y ( )m,,2,1igi K= son funciones de clase dos en un
conjunto abierto nD ℜ⊂ que contiene a CF. Si para ( ) 0b,,b,bb m21
rK
r== hay una solución local *x
r en las que se verifican
las condiciones necesarias de primer orden de Lagrange y que, junto con sus multiplicadores asociados *λ
r satisface las condiciones
suficientes de segundo orden para óptimo local estricto. Entonces, para cada mb ℜ∈
r perteneciente a un entorno de 0
r, existen
( ) ( ) ( )( )bx,,bxbx n1r
Krrr
= y ( ) ( ) ( )( )b,,bb m1r
Krrr
λλ=λ funciones continuas y
diferenciables en 0brr
= tales que ( ) ,x0x *rrr= ( ) *0 λ=λ
rrr y ( )bx
rr es óptimo
local de (VIII) con multiplicadores ( ).brr
λ Asimismo,
( )( ) ( ) *T*b
T
0bb xfbxf λ−=∇=∇=
rrrrrrrr
Esto es, para cada m,,2,1i K= se cumple:
( )( ) ( ) *i
i
*
0bi b
xf
b
bxfλ−=
∂
∂=
∂
∂
=
rrr
rr
De la expresión anterior se observa que el multiplicador de Lagrange asociado a la i-ésima restricción en la solución óptima representa la variación del valor óptimo de la función objetivo ante cambios en el término independiente de la restricción i-ésima.
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
166
Esta propiedad tiene importancia en ciertos problemas en economía. En concreto, si la función objetivo mide “valores” como beneficios, costos, ingresos, etc., y la restricción i-ésima está determinada por una cierta cantidad dada de producto, factor, dinero, etc., entonces *
iλ− da la sensibilidad de un “valor” frente a cambios en una cantidad, por esta razón, dicho multiplicador representa un “precio” que suele denominarse seudoprecio o precio sombra. Definición: Sea el programa:
( )
( ) ( )( )
( )
=ααα
=αααααα=α
0,,,,x,,x,xg
0,,,,x,,x,xg:a.s,,,,x,,x,xf,xfopt
IX
k21n21m
k21n211
k21n21
KK
M
KK
KKrr
Donde “f” y ( )m,,2,1igi K= son funciones de clase dos, siendo
( )n21 x,,x,xx Kr= un vector de variables de decisión y ( )k21 ,,, ααα=α K
r un vector de parámetros.
Sea kB ℜ⊂ un conjunto abierto, suponiendo que para todo B∈α
r
existe ( ) ( ) ( )( )ααα=r
Krrr *
n*2
*1
* x,,x,xx que es solución de (IX) con
multiplicadores de Lagrange asociados ( ) ( ) ( )( )αλαλ=αλr
Krrr
*m
*1
* ,, y que verifica las condiciones necesarias y suficientes de optimalidad local. Entonces: a) La función Lagrangiana asociada a (IX) viene dada por:
( ) ( ) ( )∑=
αλ+α=αλm
1iii ,xg,xf,x,L
rrrrrrr
b) La función objetivo indirecta o función de valor óptimo viene dada
por:
( ) ( ) ( ) ( )( )αααα=αϕrr
Krrr
,x,,x,xf *n
*2
*1
Teorema de la envolvente: Dado el problema (IX) y las condiciones de la definición, si ( ) ( ) ( ) ( )( )αααα=αϕ
rrK
rrr,x,,x,xf *
n*2
*1 es la
función de valor óptimo del programa se cumple que para todo :k,,2,1r,r K=α
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )∑
= α∂
αα∂αλ+
α∂
αα∂=
α∂
αααλ∂=
α∂
αϕ∂ m
1i r
*i*
ir
*
r
**
r
,xg,xf,x,Lrrr
rrrrrrrrrr
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
167
Ejemplos: 1.- Sea ( )iii xFq = la función de producción y ip el precio en la
industria ;2,1i = ix la cantidad del recurso utilizado por la industria “i”; y la cantidad total disponible del recurso para ambas industrias es X. Supongamos que los precios son determinados por el mercado mundial, y por tanto en este caso son fijos. Para asignar el recurso eficientemente, un planificador central maximiza los ingresos sujetos a la restricción del recurso, esto es:
( ) ( ) ( )Xxx:a.s
xFpxFpx,xIMax
21
22211121=+
+=
Se pide encontrar el multiplicador de Lagrange en el óptimo dándole una interpretación económica. Solución: Bajo el usual supuesto de concavidad de las funciones de producción, las condiciones de primer orden de Lagrange serán necesarias y suficientes para un máximo. El lagrangiano de este programa es:
( ) ( ) ( ) ( )XxxxFpxFpx,x,L 2122211121 −+λ++=λ Las condiciones de primer orden de Lagrange son:
( )
( )
( )
=
−+
λ+
λ+
=λ∇000
Xxx
dx
xdFp
dx
xdFp
x,x,L
*2
*1
*
2
*21
1
*
1
*11
1
T*2
*1
*
De las dos primeras ecuaciones se obtiene:
( ) ( )2
*22
21
*11
1*
dx
xdFp
dx
xdFp −=−=λ
Si suponemos que se produce un pequeño cambio exógeno en la cantidad disponible del recurso: ahora tenemos dXX + de éste. ¿Cómo el planificador central asignaría la cantidad extra dX , digamos 1dX para la industria 1 y 2dX para la industria 2? Dado que estamos tratando arbitrariamente con cambios pequeños, la aproximación lineal a través de la diferencial total es aceptable.
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
168
Teniendo en cuenta que:
La diferencial total de I evaluada en ( )*
2*1
* x,xx =r
es:
( ) ( ) ( )2
2
*2
*1
11
*2
*1*
2*1 dx
x
x,xIdx
x
x,xIx,xdI
∂
∂+
∂
∂=
( ) ( ) ( )2
2
*22
211
*11
1*2
*1 dx
dx
xdFpdx
dx
xdFpx,xdI +=
Reemplazando *λ− se tiene:
( ) ( )21*
2*
1**
2*1 dxdxdxdxx,xdI +λ−=λ−λ−=
Dado que la restricción de igualdad debe satisfacerse, es decir
Xxx 21 =+ , entonces: ( ) .dXxxd 21 =+ Por tanto, tenemos que:
( ) ( )dX
x,xdIdXx,xdI
*2
*1***
2*1 =λ−⇒λ−=
Se puede apreciar que *λ− representa la derivada total del ingreso máximo con respecto a la cantidad disponible del recurso. Esto implica que una unidad extra del recurso permitiría al planificador generar *$λ− más en los ingresos.
( ) Xx,xI **2
*1 ∆λ−≈∆
Si 1X =∆ entonces:
( ) **2
*1 $x,xI λ−≈∆
Por tanto, *λ− es lo que el recurso vale para el planificador, y él estaría dispuesto a pagar *$λ− para obtener una unidad extra del recurso. Vemos que *λ− emerge como el valor marginal del hasta ahora no valorado recurso; un nombre común para *λ− es el de precio sombra o valor asignado del recurso.
I
x1
x2
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
169
2.- La función de utilidad de un consumidor es:
( ) 212
31121 xxx,xU =
Donde 1x y 2x representan las cantidades de los bienes 1 y 2 consumidos en un período de tiempo dado. Si 1p y 2p son los precios unitarios de cada uno de los bienes y “m” es la cantidad de dinero que el individuo va gastar en la adquisición de ambos bienes. Se pide:
a) Calcular la cantidad a consumir de cada uno de los bienes, en función de los parámetros 1p , 2p y “m”, si el objetivo es maximizar la utilidad.
b) Obtener la función de utilidad indirecta ( ).m,p,p 21ϕ
c) Determinar ( )
1
21
p
m,p,p
∂
ϕ∂ derivando directamente en ( )m,p,p 21ϕ ,
y utilizando la función lagrangiana, de acuerdo al teorema de la envolvente, comprobando que se obtiene el mismo resultado.
d) Verificar que un aumento en “m” produce un incremento en la utilidad máxima, que un aumento en 1p produce una disminución en la utilidad máxima y que un aumento de 2p también da lugar a una disminución en la utilidad máxima.
Solución: a) El programa a resolver es el siguiente:
0mxpxp:a.sxxmax
2211
212
311
=−+
Es sencillo verificar que la función objetivo es cóncava y que la restricción es lineal en ,x
r por lo que de acuerdo a la proposición
1 de la sección 3.3, la solución es un máximo global. Si tenemos en cuenta que x
r es el vector de variables de desición y que 1p ,
2p y “m” son parámetros positivos, el lagrangiano viene dado por:
( ) ( )mxpxpxxm,p,p,x,x,L 221121
231
12121 −+λ+=λ
Las condiciones necesarias de primer orden son:
( )( ) ( )( ) ( )
=
=−+
λ+
λ+
=λ∇−
−
000
0mxpxp
pxx21
pxx31
m,p,p,x,x,L
*22
*11
2*21*
231*
1
1*21*
232*
1
T21
*2
*1
*
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
170
Resolviendo el sistema anterior se tiene:
( ) ,p5
m2m,p,px
121
*1 = ( )
221
*2
p5
m3m,p,px =
( )32
121
2121
*
m2
p5
p5
m3
p3
1m,p,p
−=λ
b) La función de utilidad indirecta es:
( ) ( ) ( )[ ]21
2
31
121
*221
*121
p5
m3
p5
m2m,p,px,m,p,pxUm,p,p
==ϕ
c) Derivando la expresión anterior respecto a 1p se obtiene:
( ) 21
2
31
11
21
221
32
11
21
p5
m3
p5
m2
p3
1
p5
m3
p5
m2
p5
m2
3
1
p
m,p,p
−=
−
=
∂
ϕ∂−
Por otro lado, se tiene que:
( )
11
2121 xp
m,p,p,x,x,Lλ=
∂
λ∂
Por tanto, evaluando la expresión anterior en ( )*
2*1
* x,x,λ se tiene:
( ) ( )
−=λ=
∂
λ∂
1
321
21
2121
*1
*
1
21*2
*1
*
p5
m2
m2
p5
p5
m3
p3
1m,p,px
p
m,p,p,x,x,L
( ) 31
1
21
211
21*2
*1
*
p5
m2
p5
m3
p3
1
p
m,p,p,x,x,L
−=
∂
λ∂
Se observa que por ambos procedimientos obtenemos el mismo resultado.
d) Por el teorema de la envolvente tenemos que:
( ) ( ) 321
21
21
*21*2
*1
*21
m2
p5
p5
m3
p3
1
m
m,p,p,x,x,L
m
m,p,p
=λ−=
∂
λ∂=
∂
ϕ∂
En consecuencia,
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
171
( ) ( ) mm2
p5
p5
m3
p3
1m,p,p0
m
m,p,p 321
21
2121
21 ∆
≈ϕ∆⇒>
∂
ϕ∂
Es decir, un aumento de “m” produce un incremento de la función de utilidad indirecta, esto es, de la utilidad máxima.
Del apartado anterior tenemos:
( ) ( ) 31
1
21
21
*1
*
1
21*2
*1
*
1
21
p5
m2
p5
m3
p3
1x
p
m,p,p,x,x,L
p
m,p,p
−=λ=
∂
λ∂=
∂
ϕ∂
( ) ( ) 1
31
1
21
2121
1
21 pp5
m2
p5
m3
p3
1m,p,p0
p
m,p,p∆
−≈ϕ∆⇒<
∂
ϕ∂
Es decir, un aumento de 1p produce un decremento de la función de utilidad indirecta, esto es, de la utilidad máxima.
Finalmente,
( ) ( ) 321
23
21
*2
*
2
21*2
*1
*
2
21
m2
p5
p5
m3
p3
1x
p
m,p,p,x,x,L
p
m,p,p
−=λ=
∂
λ∂=
∂
ϕ∂
( ) ( ) 2
321
23
2121
2
21 pm2
p5
p5
m3
p3
1m,p,p0
p
m,p,p∆
−≈ϕ∆⇒<
∂
ϕ∂
Es decir, un aumento de 2p produce un decremento de la función de utilidad indirecta, esto es, de la utilidad máxima.
4. Programas con restricciones de desigualdad: Programación
no lineal
4.1 Introducción
Es importante mencionar que la resolución de problemas de optimización de funciones no lineales con restricciones de desigualdad mediante “programas matemáticos no lineales” es mucho más reciente que la resolución de problemas con restricciones de igualdad. En el caso de la programación lineal (optimización de funciones lineales con restricciones de desigualdad lineales), la teoría y los métodos de solución de problemas con este tipo de restricciones se conoce desde principios de los años cincuenta del siglo pasado gracias a las investigaciones del profesor norteamericano G. Dantzig.
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
172
En problemas con formulaciones no lineales (programación no lineal), los métodos teóricos de resolución son recién conocidos en 1951 gracias a los trabajos realizados por los matemáticos norteamericanos Kuhn y Tucker. Este tipo de problemas son más representativos de las circunstancias en las que se desarrolla la actividad económica, que los problemas con restricciones de igualdad. En realidad, normalmente se dispone de cantidades limitadas de recursos, pero sin la obligación de emplearlas en su totalidad si ello no resultase conveniente. Por lo tanto, es factible concebir soluciones posibles y óptimas que no saturen necesariamente todas las restricciones, dejando un excedente sin utilizar del recurso cuya disponibilidad limitan.
4.2 Formulación de programas con restricciones de
desigualdad
La formulación general de un programa con restricciones de desigualdad es la siguiente:
( )
( ) ( )( )
( )( )
( )
≥
≥≤
≤=
0x,,x,xh
0x,,x,xh0x,,x,xg
0x,,x,xg:a.sx,,x,xfxfopt
X
n21k
n211
n21m
n211
n21
K
M
K
K
M
K
Kr
Donde “f”, ( )m,,2,1igi K= y ( )k,,2,1jh j K= son funciones de
.n ℜ→ℜ El problema (X) se puede reducir al estudio de:
( )
( ) ( )( )
( )
≤
≤=
+ 0x,,x,xG
0x,,x,xG:a.sx,,x,xfxfmin
XI
n21km
n211
n21
K
M
K
Kr
Con ℜ→ℜn:f y ( ),km,,2,1i:G n
i +=ℜ→ℜ K ya que el programa de ( ) ( )n21 x,,x,xfxfmax K
r= es equivalente a ( ) ( )[ ]n21 x,,x,xfxfmin K
r−=−
y las restricciones ( ) ( )k,,2,1j0x,,x,xh n21j KK =≥ pueden expresarse
como ( )[ ] .0x,,x,xh n21j ≤− K
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
173
Definición: Sea *xr
una solución factible de (XI), se dice que *xr
satura la i-ésima restricción ( ) 0xGi ≤
r si ( ) ,0xG *
i =r
mientras que si
( ) 0xG *i <r
se dirá que *xr
no satura la i-ésima restricción. Si ( ) 0xG *i =r
decimos que la restricción está activa, y si ( ) 0xG *i <r
se dice que la restricción está inactiva.
4.3 Condiciones necesarias de primer orden de óptimo local
Condiciones de Fritz-John (1948)
Sea el programa:
( )
( ) ( )( )
( )
≤
≤=
0x,,x,xg
0x,,x,xg:a.sx,,x,xfxfmin
XII
n21m
n211
n21
K
M
K
Kr
Con ℜ→ℜn:f y ( ).m,,2,1j:g nj K=ℜ→ℜ Sea *x
r tal que
( ) ,0xgiI *i ==r
“f” y ( )Iigi ∈ son diferenciables en .x*r Entonces, si
( )Iigi ∉ son continuas en *xr
se verifica que, cuando *xr
es un óptimo local, solución del programa (XII), existen escalares ( )Ii, *
i*0 ∈λλ no
todos nulos tales que:
( )
( ) ( )
( ) ( )
=≤
∈∀≥λ≥λ
=∇λ+∇λ ∑∈
m,,2,1j0xg
Ii0,0
0xgxf
1
*j
*i
*0
Ii
T*i
*i
T**0
Kr
rrr
Además, si ( )Iigi ∉ es diferenciable en ,x*r entonces (1) puede expresarse de forma equivalente como:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
=≤
=≥λ≥λ
==λ⇔=λ=λ⋅
=∇λ+∇λ=λ⋅∇+∇λ
∑
∑
=
=
m,,2,1j0xg
m,,2,1j0,0
m,,2,1j0xg0xgxg
0xgxfxgxf
2
*j
*j
*0
*j
*j
m
1j
*j
*j
*T*
m
1j
T*j
*j
T**0
*T*T**0
Kr
K
Krrrrr
rrrrrrr
Con ( )m,,2,1j*j K=λ no todos nulos.
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
174
Donde:
( )( )( )( )
1xn*
x
*x
*x
T*
xf
xfxf
xf
=∇
rM
r
r
r
n
2
1
1mx*m
*2
*1
*
λ
λλ
=λ
M
Mr
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )nxmn
*m
n
*2
n
*1
2
*m
*2
*1
1
*m
*2
*1
T*
x
xg
x
xg
x
xg
x
xg
x
xg
x
xg
x
xg
x
xg
x
xg
xg
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∇
r
LL
rr M
M
r
LL
rr
r
LL
rr
rr
22
11
Las condiciones de Fritz –John son necesarias pero no suficientes ya que existen soluciones factibles que las verifican trivialmente y que no son soluciones óptimas del programa. Por ejemplo, las condiciones de Fritz –John se cumplen en cualquier solución factible Fx
r en la que el
vector gradiente de alguna restricción saturada por Fxr
es nulo, cuando el vector gradiente de la función objetivo en Fx
r es nulo o cuando en el
programa existan restricciones de igualdad9. Además, cuando ,0*
0 =λ las condiciones de Fritz –John no permiten una selección eficiente de los posibles óptimos locales. En consecuencia, conviene introducir hipótesis adicionales para garantizar que ,0*
0 ≠λ estas condiciones se llaman generalmente de cualificación o de regularidad10. Las más utilizadas por su operatividad son las referidas a la independencia lineal de los gradientes correspondientes a restricciones saturadas que, como ya se ha indicado, aseguran que
.0*0 ≠λ Este planteamiento se recoge en las condiciones necesarias
pero no suficientes de Kuhn-Tucker.
9 Es importante resaltar que una restricción ( ) 0xg =
r puede reemplazarse por las siguientes desigualdades:
( ) ( ) 0xgxg1
≤≡rr
y ( ) ( ) .0xgxg2
≤−≡rr
10 La finalidad de la condición de cualificación o de regularidad es garantizar que el vector gradiente de la
función objetivo en la solución óptima *xr
se pueda escribir como una determinada combinación lineal de los vectores gradientes correspondientes a las restricciones saturadas por ,x*r esto es:
( ) ( )∑∈
∇λ−=∇λIi
T*i
*T** xgxfi0
rr para ( ) .0xgiI *i ==r
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
175
Condiciones de Kuhn-Tucker (1951)
Sea *xr
un punto factible del programa (XII) tal que sature las restricciones ( ) 0xgi ≤
r para ,Ii ∈ donde: ( ) .0xgiI *
i ==r
Si en *xr
las funciones “f” y ig con Ii∈ son diferenciables, las ig con Ii ∉ son
continuas y los vectores gradientes ( )*i xgr
∇ para Ii ∈ son linealmente
independientes (condición de regularidad)11. En consecuencia, si *xr
es un óptimo local del programa (XII) existen escalares *
iλ para Ii∈ tales que:
( )
( ) ( )
( ) ( )
=≤
∈∀≥λ
=∇λ+∇ ∑∈
m,,2,1j0xg
Ii0
0xgxf
3
*j
*i
Ii
T*i
*i
T*
Kr
rrr
Si además suponemos que las ig con Ii∉ son diferenciables en ,x*r las condiciones de Kuhn-Tucker pueden ser escritas equivalentemente de la siguiente forma:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
=≤
=≥λ
==λ⇔=λ=λ⋅
=∇λ+∇=λ⋅∇+∇=λ∇
∑
∑
=
=
m,,2,1j0xg
m,,2,1j0
m,,2,1j0xg0xgxg
0xgxfxgxfx,L
4
*j
*j
*j
*j
m
1j
*j
*j
*T*
m
1j
T*j
*j
T**T*T***x
Kr
K
Krrrrr
rrrrrrrrr
Donde:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑=
λ+=λ⋅+=λm
1j
*j
*j
**T**** xgxfxgxfx,Lrrrrrrrr
( )
( )( )
( ) 1nx**
n
**2
**1
T**x
x,Lx
x,Lx
x,Lx
x,L
λ
λ
λ
=λ∇
rrM
M
rr
rr
rrr ( ) ( ) ( ) ( )[ ] mx1
*m
*2
*1
T* xgxgxgxgr
Krrrr
=
11 Los puntos que no saturan ninguna restricción (puntos interiores al CF) también son considerados puntos regulares.
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
176
A los escalares ( )m,,2,1j*j K=λ se les denomina multiplicadores de
Lagrange. Las ecuaciones de la segunda fila de (4) reciben el nombre de condiciones de holgura complementaria12 y nos dicen que todos los multiplicadores asociados a restricciones no saturadas (inactivas o no vinculantes) son nulos ( )( )0xgsi0 *
j*j <=λ
r, mientras que todos los
multiplicadores correspondientes a restricciones saturadas (activas o vinculantes) deben ser no negativos ( )( )0xgsi0 *
j*j =≥λ
r si *x
r es un
mínimo local. Por tanto, ( )( )0xgsi0 *j
*j =≥λ
r implica que si
( ) .0xg0si *j
*j =⇒>λ
r No obstante, es importante resaltar que es posible
que de manera simultánea ( ) 0xgy0 *j
*j ==λ
r en ( )( )0xgsi0 *
j*j =≥λ
r.
Ejemplos: 1.- Dados los siguientes programas:
( ) ( )
=
≥≥≤+
≥+−−+−
2,2x
0x0x4xx
0xx:a.s23x3xmin)a
2
1
22
21
21
22
21
r
( ) ( )( ) ( ) [ ]1,0bconb,b1x
0x0x
01xx:a.s
1x1xmax)b
2
1
321
22
21
∈−=
≤−≤−≤−+
−−−−r
Estudiar si en los puntos xr
señalados (que son soluciones factibles de los programas propuestos) se verifican las condiciones de Fritz-John, calculando los posibles valores de .m,,1,0i,*
i K=λ Asimismo, comprobar si los gradientes de las restricciones saturadas en x
r son linealmente independientes.
Solución: a) Escribimos el programa en forma equivalente:
( ) ( )
0x0x04xx
0xx:a.s23x3xmin
2
1
22
21
21
22
21
≤−≤−≤−+
≤−−+−
12 La holgura complementaria exige que al menos una de las dos desigualdades ( ) 0xgy0 *
j*j ≤≥λ
r
se mantenga como una desigualdad estricta. Equivalentemente, al menos una debe ser una igualdad.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
177
Vemos que en
= 2,2x
r las restricciones que se saturan son
( ) 0xxxg 211 ≤−=r
y ( ) 04xxxg 22
212 ≤−+=
r, y como todas las
funciones que definen el programa son diferenciables, en virtud de las condiciones de Fritz-John, existirán escalares *
4*3
*2
*1
*0 ,,,, λλλλλ no
negativos y no todos nulos tales que:
=≤
=≥λ≥λ
==
λ
=
∇λ+
∇λ ∑
=
4,3,2,1j02,2g
4,3,2,1j0y0
4,3,2,1j02,2g
00
2,2g2,2f
j
*j
*0
j*j
4
1j
Tj
*j
T*0
≤
−
−=
=
0000
2
2
0
0
2,2g
2,2g
2,2g
2,2g
2,2g
4
3
2
1
r
−
−
=
∇
2322
3222,2f
T
−
=
∇
11
2,2gT
1
=
∇
22
222,2g
T2
−=
∇
01
2,2gT
3
−=
∇
10
2,2gT
4
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
178
( )
( )
=λ−λ+λ−λ
−
=λ−λ+λ+λ
−
b0222322
a022322
*4
*2
*1
*0
*3
*2
*1
*0
( ) ( )c00*1 =⋅λ
( ) ( )d00*2 =⋅λ
( )e02*3 =
−⋅λ
( )f02*4 =
−⋅λ
( )g0;0;0;0;0 *4
*3
*2
*1
*0 ≥λ≥λ≥λ≥λ≥λ
( )h002,2g;002,2g 21 ≤=
≤=
( )i022,2g;022,2g 43 ≤−=
≤−=
Por (e) y (g) tenemos que ,0*3 =λ y por (f) y (g) tenemos que
.0*4 =λ
Reemplazando 0*4
*3 =λ=λ en (a) y (b) se obtiene que:
( )j249
24
3
2 *2
*1
*0 λ
−=λ=λ
Dado que los ( )4,3,2,1j*j =λ deben ser no todos nulos. Por tanto,
las condiciones de Fritz-John se verifican para cualesquieras *2
*1
*0 ,, λλλ positivos que satisfagan (j). En particular, tenemos que
para:
22
24923 *
2*0
*1
−=λ⇒=λ⇒=λ con .0*
4*3 =λ=λ
Ahora comprobaremos si los gradientes de las restricciones saturadas en
= 2,2x
r son linealmente independientes:
=
∇+
∇
00
2,2gb2,2gaT
2T
1
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
179
=
+
− 0
0
22
22b
11
a
Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior se obtiene que
.0ba == Por tanto, los gradientes de las restricciones que están
saturadas en
= 2,2x
r son linealmente independientes.
b) Escribimos el programa en forma equivalente:
( ) ( )( )
0x0x01xx:a.s
1x1xmin
2
1
321
22
21
≤−≤−≤−+
−+−
( ) ( )
−
−=−∇
1b2b2
b,b1f T ( )
=−∇
00
b,b1g T1
( )
−=−∇
01
b,b1g T2 ( )
−
=−∇1
0b,b1g T
3
Si ,1b0 << en ( )b,b1x −=
r se satura únicamente la restricción
( ) ( ) .01xxxg 3211 ≤−+=
r Por tanto, ( ) .0b,b1g1I 1 =−= Se observa
que las funciones que definen el programa son diferenciables en ( )b,b1x −=
r y las condiciones de Fritz-John que se deberán
satisfacer son:
( )( ) .1b2yb2
01b2
0b2*0
*3
*0
*2
*3
*0
*2
*0
λ−=λλ−=λ⇒
=λ−λ−
=λ−λ−
Dado que ,01b1 <−<− entonces la única posibilidad es que
00 *3
*2
*0 =λ=λ⇒=λ con .0*
1 >λ
En este caso, el vector ( )
=−∇
00
b,b1g T1 es linealmente
dependiente ya que ( ) .a00
00
ab,b1ga T1 ℜ∈∀
=
=−∇ Es
importante resaltar que dado que ( )T1 b,b1g −∇ es linealmente dependiente, la única posibilidad que existe para que se verifique (XII) es que .0*
0 =λ
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
180
Si ,1b = en ( ) ( )1,0b,b1x =−=r
se saturan ( ) ( ) 01xxxg 3211 ≤−+=
r y
( ) .0xxg 12 ≤−=r
Por tanto, ( ) ( ) .01,0g01,0g2,1I 21 =∧== Se observa que las funciones que definen el programa son diferenciables en ( )1,0x =
r y las condiciones de Fritz-John que se
deberán satisfacer son:
( ).0y2
00
02*3
*0
*2
*3
*0
*2
*0
=λλ−=λ⇒
=λ−λ
=λ−λ−
Entonces, la única posibilidad es que 00 *2
*0 =λ⇒=λ con .0*
1 >λ
En este caso, los vectores ( )
=∇
00
1,0g T1 y ( )
−=∇
01
1,0g T2 son
linealmente dependientes ya que para el siguiente sistema:
( ) ( )
=
−+
=∇+−∇
00
01
b00
a1,0gbb,b1ga T2
T1
La solución es: .0bya =ℜ∈ Es decir, el vector cero no es generado con unicidad por los gradientes de las restricciones saturadas en ( ).1,0x =
r
Si ,0b = en ( ) ( )0,1b,b1x =−=
r se saturan ( ) ( ) 01xxxg 3
211 ≤−+=r
y ( ) .0xxg 13 ≤−=r
Por tanto, ( ) ( ) .01,0g01,0g3,1I 31 =∧== Se observa que las funciones que definen el programa son diferenciables en ( )0,1x =
r y las condiciones de Fritz-John que se
deberán satisfacer son:
( ).2y0
02
00*0
*3
*2
*3
*0
*2
*0
λ−=λ=λ⇒
=λ−λ−
=λ−λ
Entonces, la única posibilidad es que 00 *3
*0 =λ⇒=λ con .0*
1 >λ
En este caso, los vectores ( )
=∇
00
1,0g T1 y ( )
−
=∇1
01,0g T
3 son
linealmente dependientes ya que para el siguiente sistema:
( ) ( )
=
−
+
=∇+−∇
00
10
b00
a1,0gbb,b1ga T2
T1
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
181
La solución es: .0bya =ℜ∈ Es decir, el vector cero no es generado con unicidad por los gradientes de las restricciones saturadas en ( ).0,1x =
r
2.- Analizar si se verifican las condiciones de Kuhn-Tucker en los
puntos que se indican para los siguientes programas:
=
≥≥≤−
≤+
−−
1,3x
0x0x2xx
4xx:a.s
xx2min)a
*
2
1
221
22
21
21
r
( ) ( )
( )
==
≤−≤−≤+≤+
−−−−
5
6,
5
9xy1,2x
0x0x3xx5xx:a.s
2x3xmax)b
F*
2
1
21
22
21
22
21
rr
Solución: a) Escribimos el programa en forma equivalente:
0x0x
02xx
04xx:a.s
xx2min
2
1
221
22
21
21
≤−≤−
≤−−
≤−+
−−
En la solución factible ,1,3x*
=
r tenemos que ,2,1I = siendo
los vectores gradientes T
2T
1 1,3gy1,3g
∇
∇ linealmente
independientes. Veamos si existen 4,3,2,1j,0*j =≥λ tales que:
( ) ( )
( )
( )
=≤
=≥λ
==λ
=∇λ+∇ ∑=
4,3,2,1j0xg
4,3,2,1j0
4,3,2,1j0xg
0xgxf
*j
*j
*j
*j
4
1j
T*j
*j
T*
r
r
rrr
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
182
Dado que
= 1,3x*r no satura ( ) ( ) ,4,3jxg *
j =r
se tiene que:
⇒<−=
<−=
011,3gy031,3g 43 .0*
4*3 =λ=λ
Y como:
−−
=
∇
12
1,3fT
=
∇
2321,3g
T1
−=
∇
1321,3g
T2
=
∇
01
1,3gT
3
=
∇
10
1,3gT
4
Entonces:
=
λ+
λ+
−λ+
λ+
−−
00
10
01
132
232
12
0*4
0*3
*2
*1
033
32y0
33
31
021
032322*2
*1
*2
*1
*2
*1
>−
=λ>+
=λ⇒
=λ−λ+−
=λ+λ+−
Por tanto, se verifican las condiciones de Kuhn-Tucker en
= 1,3x*r .
b) Escribimos el programa en forma equivalente:
( ) ( )
0x0x03xx05xx:a.s
2x3xmin
2
1
21
22
21
22
21
≤−≤−≤−+≤−+
−+−
Teniendo en cuenta que todas las funciones que definen el programa son continuas y diferenciables en los puntos especificados, las condiciones de Kuhn-Tucker son:
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
183
( )( )
( )( )
( )
( )
≥λ≥λ≥λ≥λ
≤−=−λ
≤−=−λ
≤−+=−+λ
≤−+=−+λ
=
−
λ+
−λ+
λ+
λ+
−−
0,0,0,0
0x;0x
0x;0x
03xx;03xx
05xx;05xx
00
10
01
11
x2x2
2x23x2
*4
*3
*2
*1
22*4
11*3
2121*2
22
21
22
21
*1
*4
*3
*2
2
1*1
2
1
• En el punto ( )1,2x* =r
se tiene que:
( ) 0xg *1 =r
( ) 0xg *2 =r
( ) 02xg *3 <−=r
( ) 01xg *4 <−=r
( ) ( ) .0ba00
11
b24
axgbxgaT*
2T*
1 ==⇒
=
+
=∇+∇
rr
Se aprecia que los vectores gradientes ( ) ( )T2T
1 1,2gy1,2g ∇∇ son linealmente independientes. Debido a que la tercera y la cuarta restricción no están saturadas, entonces: .0*
4*3 =λ=λ
Reemplazando 0,1x,2x *4
*321 =λ=λ== en la ecuación
matricial se tiene:
.02y0
022
042*2
*1
0*4
*2
*1
0*3
*2
*1
>=λ=λ⇒
=λ−λ+λ+−
=λ−λ+λ+−
Es decir, en el punto ( )1,2x* =r
se verifican las condiciones de
Kuhn-Tucker con multiplicadores .0y02 *4
*3
*1
*2 =λ=λ=λ>=λ
• En el punto
=
5
6,
5
9xFr se tiene que:
( ) 025
8xg F
1 <−=r
( ) 0xg F2 =r
( ) 05
9xg F
3 <−=r
( ) 05
6xg F
4 <−=r
( ) .0a00
11
axgaTF
2 =⇒
=
=∇
r
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
184
Se aprecia que el vector gradiente ( )TF2 xgr
∇ es linealmente independiente. Debido a que la primera, la tercera y la cuarta restricción no están saturadas, entonces: .0*
4*3
*1 =λ=λ=λ
Reemplazando 0,5
6x,
5
9x *
4*3
*121 =λ=λ=λ== en la ecuación
matricial se tiene:
=λ+−
=λ+−
05
8
05
12
*2
*2
El sistema anterior no tiene solución. Por tanto, en el punto
=
5
6,
5
9xFr no se verifican las condiciones de Kuhn-Tucker.
En consecuencia, el punto
=
5
6,
5
9xFr no es la solución
óptima del programa.
3.- Determinar analíticamente las soluciones factibles *xr
en las que se verifican las condiciones de Kuhn-Tucker en el siguiente programa diferenciable:
( )
0x01xx01xx:a.s
2xxmin
2
21
21
22
21
≤−≤−+−≤−+
−+
Solución:
Los gradientes de las funciones del programa son:
( ) ( )
−
=∇2x2
x2xf
2
1Tr ( )
=∇
11
xg T1r
( )
−=∇
11
xg T2r
( )
−
=∇1
0xg T
3r
Debemos verificar si existen 0y0,0 *3
*2
*1 ≥λ≥λ≥λ tales que:
( )
( ) ( )
( ) ( )301xx
202x2
10x2
21*1
*3
*2
*12
*2
*11
=−+λ
=λ−λ+λ+−
=λ−λ+
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
185
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )110
100
90
80x
701xx
601xx
50x
401xx
*3
*2
*1
2
21
21
2*3
21*2
≥λ
≥λ
≥λ
≤−
≤−+−
≤−+
=−λ
=−+−λ
Las hipótesis que podemos hacer sobre los valores de ( )3,2,1i*i =λ
se resumen en los 823 = casos que a continuación presentamos: Caso 1: 0y0,0 *
3*2
*1 =λ=λ=λ
De (1) y (2) tenemos:
( ) 2x02x2
0x0x2
22
11
=⇒=−
=⇒=
Pero el punto ( )2,0 no verifica la restricción (7):
( ) 012,0g2 ≤/=
Por tanto, la hipótesis no nos conduce a ningún punto que satisfaga las condiciones de Kuhn-Tucker. Caso 2: 0*
2*1 =λ=λ
De (1) y (2) tenemos:
( ) ( ) ( )122x202x2
0x0x2
2*3
*32
11
−=λ⇒=λ−−
=⇒=
Como por hipótesis la tercera restricción se satura, ( ) 0x0xx,xg 22213 =⇒=−= y por tanto, reemplazando 0x2 = en
(12) tenemos que 04*3 <−=λ lo que contradice la no negatividad de
los .*iλ En consecuencia, debemos rechazar la hiptesis 2.
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
186
Caso 3: 0*3
*1 =λ=λ
De (1) y (2) tenemos:
( )
( ) ( ) ( )142x202x2
13x20x2
2*2
*22
1*2
*21
−−=λ⇒=λ+−
=λ⇒=λ−
Igualando (13) y (14) se obtiene:
)15(x2x 21 −= Como por hipótesis la segunda restricción se satura,
( ) ( ).16:1xx01xxx,xg 2121212 −=⇒=−+−= Igualando (15) y (16) se tiene que:
2
3xy
2
1x 21 ==
Pero el punto
2
3,
2
1 no satisface la restricción (6)
012
3,
2
1g1 ≤/=
Por tanto, la hipótesis de partida no nos conduce a ningún punto que satisfaga las condiciones de Kuhn-Tucker.
Caso 4: 0*3
*2 =λ=λ
De (1) y (2) tenemos:
( )
( ) ( ) ( )182x202x2
17x20x2
2*1
*12
1*1
*11
−−=λ⇒=λ+−
−=λ⇒=λ+
Igualando (17) y (18) se obtiene:
( )192xx 21 −=
Como por hipótesis la primera restricción se satura, ( ) ( ).20:x1x01xxx,xg 2121211 −=⇒=−+= Igualando (19) y
(20) se tiene que:
2
3xy
2
1x 21 =−=
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
187
Pero el punto
−
2
3,
2
1 no satisface la restricción (7):
012
3,
2
1g2 ≤/=
−
En consecuencia, la hipótesis de partida no nos conduce a ningún punto que satisfaga las condiciones de Kuhn-Tucker. Caso 5: 0*
1 =λ Como por hipótesis la segunda y tercera restricciones se saturan tenemos que:
( ) ( )161xx01xxx,xg 2121212 −=⇒=−+−=
( ) 0x0xx,xg 22213 =⇒=−= Reemplazando 0x2 = en (16) tenemos que .1x1 −= Por tanto,
sustituyendo ,1x1 −= 0x2 = y 0*1 =λ en (1) se obtiene:
,02*2 <−=λ lo que contradice (10).
Caso 6: 0*
2 =λ Como por hipótesis la primera y tercera restricciones se saturan tenemos que:
( ) ( )20x1x01xxx,xg 2121211 −=⇒=−+=
( ) 0x0xx,xg 22213 =⇒=−= Reemplazando 0x2 = en (20) tenemos que .1x1 = Por tanto,
sustituyendo ,1x1 = 0x2 = y 0*2 =λ en (1) se obtiene: ,02*
1 <−=λ lo que contradice (9). Caso 7: 0*
3 =λ Como por hipótesis la primera y segunda restricciones se saturan tenemos que:
( ) ( )20x1x01xxx,xg 2121211 −=⇒=−+=
( ) ( )161xx01xxx,xg 2121212 −=⇒=−+−=
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
188
Igualando (16) y (20) tenemos:
1xy0x 21 == Reemplazando 1x,0x 21 == y 0*
3 =λ en (1) y (2) tenemos:
=λ+λ+−
=λ−λ
02
0
*2
*1
*2
*1
De donde: .01*
2*1 >=λ=λ
Además, dado que:
( ) ( ) .0ba00
11
b11
a1,0gb1,0ga T2
T1 ==⇒
=
−+
=∇+∇
Se aprecia que en ( )1,0x* =
r los vectores gradientes
( ) ( )T2T
1 1,0gy1,0g ∇∇ son linealmente independientes. Por tanto, el punto ( )1,0x* =
r dado que ,01*
2*1 >=λ=λ 0*
3 =λ es un posible mínimo local del programa. Caso 8: ( ) ( ) ( ) 0xgxgxg0y0,0 *
3*
2*
1*3
*2
*1 ===≡≥λ≥λ≥λ
vvv Esta hipótesis presupone que se saturen las tres restricciones simultáneamente, esto es:
( ) ( )20x1x01xxx,xg 2121211 −=⇒=−+=
( ) ( )161xx01xxx,xg 2121212 −=⇒=−+−=
( ) 0x0xx,xg 22213 =⇒=−=
Reemplazando 0x2 = en (16) y (20) se obtiene 1x1 = y 1x1 −= lo cual es contradictorio. Finalmente, sólo bajo la hipótesis 7 se satisfacen las condiciones de Kuhn-Tucker. Éstas se verifican en el punto ( )1,0x* =
r para
.0y1 *3
*2
*1 =λ=λ=λ Por tanto, sólo el punto ( )1,0x* =
r es un posible
óptimo del programa.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
189
4.4 Condiciones suficientes de segundo orden de óptimo local
Sea el programa (XII) con “f” y ( )m,,2,1jg j K= funciones de clase C2
y sea *xr
una solución factible en las que se verifican las condiciones de regularidad y las condiciones de Kuhn-Tucker, esto es, se verifica el sistema de ecuaciones (4). Si la matriz
( ) ( ) ( )*j
Jj
*j
***x xHgxHfx,LH
rrrrr ∑
∈
λ+=λ :
• es definida positiva para todo ( )*xMp
rr∈ , es decir,
( ) ,0px,LHp **x
T >λrrrr
r donde:
( ) ( ) ≠≠∧∈∀=∇ℜ∈= 0pJj0pxgpxM *j
n*rrrrrr
Ø
Siendo ( ) 0,0xg,m,,2,1jjJ *j
*j >λ===r
K Se verifica que *x
r es un mínimo local estricto del programa.
• es definida negativa para todo ( )*xMp
rr∈ , es decir,
( ) ,0px,LHp **x
T <λrrrr
r donde:
( ) ( ) ≠≠∧∈∀=∇ℜ∈= 0pJj0pxgpxM *j
n*rrrrrr
Ø
Siendo ( ) 0,0xg,m,,2,1jjJ *j
*j <λ===r
K Se verifica que *x
r es un máximo local estricto del programa.
Ejemplos: Hallar analíticamente las soluciones factibles *x
r en las que se verifican
las condiciones de Kuhn-Tucker en los siguientes problemas diferenciables, y estudiar si se cumplen las condiciones de la sección 4.4 en dichas soluciones.
1.-
≤−+
+−
01xx:a.s
xx1min22
21
221
2.-
≤≤−−
+
0x0xx2x:a.s
xxmax
2
221
41
21
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
190
Solución:
1.-
≤−+
+−
01xx:a.s
xx1min22
21
221
Los gradientes de las funciones del programa son:
( )
−=∇
2
T
x21
xfr
( )
=∇
2
1T1 x2
x2xgr
Debemos verificar si existe ,0*1 ≥λ tal que:
( )10x21 *
1 1 =λ+−
( ) ( )201x2 *12 =λ+
( )30*
1 ≥λ
( ) ( )401xx 22
21
*1 =−+λ
( )501xx 2
221 ≤−+
Las hipótesis que podemos hacer sobre el valor de *1λ se resumen
en los 221 = casos que a continuación presentamos: Caso 1: 0*
1 =λ (la solución es interior al conjunto factible: ( ) 0xg1 <r
) De (1) tenemos:
01 ≠− En consecuencia, la hipótesis de partida no nos conduce a ningún punto que satisfaga las condiciones de Kuhn-Tucker. Caso 2: ( ) 0xg1 =
r (la solución está en la frontera del conjunto
factible) De (2) se tiene que 0x2 = ó que .01*
1 >/−=λ Por tanto, 0x2 = ya
que por (3) *1λ no puede ser negativo.
Por hipótesis:
( ) 1x010x01xxxg 122
122
211 ±=⇒=−+⇒=−+=
r
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
191
Pero al reemplazar 1x1 −= en (1) se obtiene ,021*1 >/−=λ lo que
contradice (3). En consecuencia, 1x1 = con .021*1 >=λ
Además, dado que:
( ) .0a00
02
a0,1ga T1 =⇒
=
=∇
Se aprecia que en ( )0,1x* =
r el vector gradiente ( )T1 1,0g∇ es
linealmente independiente. Por tanto, el punto ( )0,1x* =
r dado que ,021*
1 >=λ es un posible mínimo local del programa. Dado que ( ) [ ],020,1g1 =∇ el conjunto ( ) ≠*xM
rØ será:
( ) ( ) [ ]
≠
∧=
⋅ℜ∈=
00
pp
0pp
02p,p0,1M2
1
2
1221
( ) ( )
≠
∧=+ℜ∈=
00
pp
0p0p2p,p0,1M2
121
221
( ) ( ) ( ) 0aa,00p0pp,p0,1M 2
212
21 −ℜ∈ℜ∈=−ℜ∈∧=ℜ∈=
Siendo ( ) .021,00,1g1J *
11 >=λ==
Teniendo en cuenta que:
( ) ( ) ( )*j
Jj
*j
***x xHgxHfx,LH
rrrrr ∑
∈
λ+=λ
( )
=
+
=
3001
2002
2
12000
0,1,21LHxr
Se tiene que :0a −ℜ∈∀
( ) [ ] 0a3a0
3001
a0p0,1,21LHp 2x
T >=
⋅
⋅=
rrr
En consecuencia, de acuerdo a las condiciones suficientes de la sección 4.4, ( )0,1x* =
r es un mínimo local estricto del programa.
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
192
2.- ( )
≤≤−−
+−
≡
≤≤−−
+
0x0xx2x:a.s
xxmin
0x0xx2x:a.s
xxmax
2
221
41
21
2
221
41
21
Los gradientes de las funciones del programa son:
( )
−−
=∇11
xf Tr ( )
−−=∇1
x4x4xg 131T
1r
( )
=∇
10
xg T2r
Debemos verificar si existen 0,0 *
2*1 ≥λ≥λ tales que:
( ) ( )10x4x41 *
1131 =λ−+−
( )201 *
2*1 =λ+λ−−
( )30*
1 ≥λ
( )40*2 ≥λ
( ) ( )50xx2x 2
21
41
*1 =−−λ
( ) ( )60x2
*2 =λ
( )70xx2x 2
21
41 ≤−−
( )80x2 ≤
Las hipótesis que podemos hacer sobre los valores de ( ),2,1i*
i =λ se
resumen en los 422 = casos que a continuación presentamos:
Caso 1: 0,0 *2
*1 =λ=λ
De (1) tenemos:
01 ≠−
En consecuencia, la hipótesis de partida no nos conduce a ningún punto que satisfaga las condiciones de Kuhn-Tucker.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
193
Caso 2: 0*1 =λ
De (1) tenemos:
01 ≠− En consecuencia, la hipótesis de partida no nos conduce a ningún punto que satisfaga las condiciones de Kuhn-Tucker. Caso 3: 0*
2 =λ
De (2) tenemos:
01*1 >/−=λ
En consecuencia, la hipótesis de partida no nos conduce a ningún punto que satisfaga las condiciones de Kuhn-Tucker. Caso 4: 0,0 *
2*1 ≥λ≥λ
Por hipótesis:
( ) 0xx2xxg 221
411 =−−=
r
( ) 0x0xxg 222 =⇒==r
Reemplazando 0x2 = en ( )xg1r
tenemos:
( )
−
=⇒=−
2
2
0
x02xx 121
21
Por tanto, tenemos que:
• En ( ) :0,0
De (1) tenemos:
01 ≠−
• En :0,2
−
De (1) tenemos:
0241*1 >/−=λ
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
194
• En :0,2
De (1) tenemos:
0241*1 >=λ
Reemplazando 241*1 =λ en (2) se obtiene:
02411*2 >+=λ
Además, dado que:
.0ba00
10
b124a0,2gb0,2ga
T2
T1 ==⇒
=
+
−=
∇+
∇
Se aprecia que en
= 0,2x*r los vectores gradientes
T2
T1 0,2gy0,2g
∇
∇ son linealmente independientes.
Por tanto, el punto
= 0,2x*r dado que 0241*
1 >=λ y
02411*2 >+=λ es un posible mínimo local del programa
equivalente (de minimización). No obstante, dado que el problema inicial era de maximización,
= 0,2x*r será un posible máximo
local del programa original con 0241*1 <−=λ y
.02411*2 <
+−=λ
Dado que [ ]100,2gy1240,2g 21 =
∇
−=
∇ el conjunto
( ) =*xMr
Ø ya que:
[ ]
≠
∧=
∧=
−ℜ∈=
00
pp
0pp
100pp
124p0,2M2
1
2
1
2
12r
=
≠
∧
=
ℜ∈=
00
pp
00
pp
p0,2M2
1
2
12r Ø
En este caso no puede aplicarse las condiciones suficientes de segundo orden ya que los vectores gradientes
T2
T1 0,2gy0,2g
∇
∇ con 2,1J = generan 2ℜ y por eso
( ) =*xMr
Ø.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
195
Cuando en el punto *xr
se verifica la condición de regularidad y *xr
satura tantas restricciones como número de variables de decisión hay en el programa (siempre y cuando los multiplicadores asociados a las restricciones saturadas en *x
r sean distintos de cero) se tendrá
que ( ) =*xMr
Ø. También se obtiene ( ) =*xMr
Ø si *xr
es un punto
crítico de la función objetivo ( )
=∇ 0xf
T*rr
y en dicho punto se
verifica la condición de regularidad, ya que bajo estas circunstancias todos los multiplicadores de Lagrange son nulos. Las dos últimas situaciones que se han mencionado se presentan con mucha frecuencia, por lo que esto hace que se reduzcan notablemente las posibilidades de aplicar las condiciones suficientes de segundo orden. Efectivamente, las hipótesis para que se verifiquen estas condiciones son muy restrictivas a pesar de garantizar únicamente la optimalidad local.
4.5 Condiciones suficientes de óptimo global
Sea el programa (XII) con “f” y ( )m,,2,1jg j K= funciones
diferenciables en un subconjunto abierto ,D nℜ⊂ siendo ( ) Dm,,2,1j,0xgxCF j
n ⊂=≤ℜ∈= Krr
un conjunto convexo. Entonces:
a) Si *xr
es una solución factible en la que se cumplen las condiciones de Kuhn-Tucker para mínimo local y “f” es una función convexa en CF, se verifica que *x
r es un mínimo global del programa.
b) Si *xr
es una solución factible en la que se cumplen las condiciones de Kuhn-Tucker para máximo local y “f” es una función cóncava en CF, se verifica que *x
r es un máximo global del programa.
Ejemplos: 1.- Una empresa produce refrigeradoras y ha establecido un contrato
para suministrar 50 unidades al final del primer mes, 50 al final del segundo y 50 al final del tercero. El costo de producir “x” refrigeradoras en cualquier mes es .x2 La empresa puede producir más refrigeradoras de las que necesita en cualquier mes y guardarlas para el siguiente, pero el costo de almacenaje es de 2000 soles por unidad/mes. Suponiendo que no hay inventario inicial, determinar el número de refrigeradoras que deben producirse cada mes para minimizar el costo total.
2.- Un monopolista desea maximizar sus ingresos de modo que los beneficios que obtenga no sean menores a $340. Si la función inversa de demanda es ( ),$q4100p −= la función de costos es ( ) ( )$q2050qC += y “q” es no negativa. Se pide determinar el
máximo global del programa.
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
196
Solución:
1.- El programa en cuestión es:
( ) ( ) ( )
0x0x
150xxx100xx
50x:a.s100xx200050x2000xxxx,x,xCmin
3
2
321
21
1
21123
22
21321
≥≥
≥++≥+
≥−++−+++=
Escribiendo el programa en forma estándar tenemos:
( ) ( ) ( )
0x0x
0150xxx0100xx
050x:a.s100xx200050x2000xxxx,x,xCmin
3
2
321
21
1
21123
22
21321
≤−≤−
≤+−−−≤+−−
≤+−−++−+++=
Los gradientes de las funciones del programa son:
( )
++
=∇
3
2
1T
x22000x24000x2
xCr
( )
−=∇
001
xg T1r
( )
−−
=∇011
xg T2r
( )
−−−
=∇111
xg T3r
( )
−=∇01
0xg T
4r
( )
−=∇
100
xg T5r
Donde ,x,x,x 321 representan el número de frefrigeradoras a producir en el i-ésimo mes. El programa es convexo porque el conjunto factible es convexo y porque la función objetivo es convexa. Debemos verificar si existen ( )5,4,3,2,1j0*
j =≥λ tales que:
( )104000x2 *3
*2
*11 =λ−λ−λ−+
( )202000x2 *
4*3
*22 =λ−λ−λ−+
( )30x2 *
5*33 =λ−λ−
( ) ( )4050x1
*1 =+−λ
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
197
( ) ( )50100xx 21*2 =+−−λ
( ) ( )60150xxx 321
*3 =+−−−λ
( ) ( )70x2
*4 =−λ
( ) ( )80x3
*5 =−λ
( )9050x1 ≤+−
( )100100xx 21 ≤+−−
( )110150xxx 321 ≤+−−−
( )120x2 ≤−
( )130x3 ≤−
( )140*
1 ≥λ
( )150*2 ≥λ
( )160*
3 ≥λ ( )170*
4 ≥λ ( )180*
5 ≥λ
Dado que el programa es convexo, será suficiente encontrar una solución que verifique las condiciones de Kuhn-Tucker, que de existir, será un mínimo global. En base a los datos del problema, una posibilidad interesante es producir cada mes el número de refigeradoras que hay que entregar al final del mismo, con lo cual, se evitan los costos de almacenamiento. Es decir, esto implica que:
( ) ( )9050xxg 11 =+−=r
( ) ( )100100xxxg 212 =+−−=r
( ) ( )110150xxxxg 3213 =+−−−=r
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
198
( )170*4 =λ
( )180*
5 =λ
De (9) tenemos .50x1 = Reemplazando 50x1 = en (10) tenemos que .50x2 = Reemplazando 50x1 = y 50x2 = en (11) se obtiene que .50x3 = Reemplazando ( ) ( ),50,50,50x,x,xx 321 ==
r (17) y (18)
en (1), (2) y (3) se tiene que ,02000*1 >=λ 02000*
2 >=λ y
.0100*3 >=λ
Dado que ( ) ( ) ( ) ,0xgxgxg 321 ===
rrr verificamos que los gradientes de
dichas restricciones sean linealmente independientes:
( ) ( ) ( )
=
−−−
+
−−
+
−=∇+∇+∇
000
111
c011
b001
axgcxgbxga T3
T2
T1
rrr
Dado que la solución del sistema anterior es ,0cba === entonces
( ) ( ) ( )T3T
2T
1 xgyxg,xgrrr
∇∇∇ son linealmente independientes. Por tanto, ( ) ( )50,50,50x,x,xx 321 ==
r con ,02000*
1 >=λ
02000*2 >=λ y 0100*
3 >=λ verifica las condiciones de Kuhn-Tucker de mínimo global del programa. En consecuencia, la empresa deberá producir 50 refrigeradoras en cada uno de los tres meses, siendo el costo mínimo ( ) .Soles7500xC * =r
2.- El problema a resolver es el siguiente:
( )
0q34050q80q4:a.s
q4q100qImax2
2
≥≥−+−
−=
Escribiendo el programa en forma estándar tenemos:
( )
0q0390q80q4:a.s
q4q100qImin2
2
≤−≤+−
+−=
Los gradientes de las funciones del programa son:
( ) [ ]q8100qI T +−=∇ ( ) [ ]80q8qg T1 −=∇ ( ) [ ]1qg T
2 −=∇
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
199
Este programa es convexo ya que la función objetivo es cóncava y el conjunto de soluciones factibles es convexo. Por esto, todo punto que verifique las condiciones de Kuhn-Tucker será un mínimo global del programa equivalente (un máximo del programa original).
Las condiciones de Kuhn-Tucker son:
( ) ( )1080q8q8100 *2
*1 =λ−λ−++−
( ) ( )20390q80q4 2*
1 =+−λ
( ) ( )30q*2 =−λ
( )40390q80q4 2 ≤+−
( )50q ≤−
( )60*
1 ≥λ
( )70*2 ≥λ
Dado que el programa es convexo, será suficiente encontrar una solución que verifique las condiciones de Kuhn-Tucker, que de existir, será un mínimo global para el programa equivalente (un máximo global para el programa original).
Si suponemos que ,0*
2 =λ entonces:
( )
=⇒=+−=42,858,11
q0390q80q4qg 21
Reemplazando “q” y 0*
2 =λ en (1) tenemos:
• Para 58,11q = tenemos que .0582,0*1 >=λ
• Para 42,8q = tenemos que .0582,2*
1 >/−=λ
Dado que ( ) ,058,11g1 = verificamos que el gradiente de dicha restricción sea linealmente independiente:
( ) [ ] .0a064,12a58,11ga T
1 =⇒==∇
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
200
Dado que la solución del sistema anterior es ,0a = entonces ( )T1 58,11g∇ es linealmente independiente.
Por tanto, 58,11q* = con 0582,0*
1 >=λ y 0*2 =λ es un mínimo
global del programa equivalente, siendo el ingreso mínimo ( ) .$614,621qI * −= Es decir, 58,11q* = con 0582,0*
1 <−=λ y 0*2 =λ
es un máximo global del programa original, siendo el ingreso máximo ( ) $.614,621qI * =
4.6 Propiedades e interpretación de los multiplicadores Teorema de Sensibilidad: Sea el programa:
( )
( ) ( )( )
( )
≤
≤=
mn21m
1n211
n21
bx,,x,xg
bx,,x,xg:a.sx,,x,xfxfopt
XIII
K
M
K
Kr
Donde “f” y m1 g,,g K son funciones de clase dos. Si para
( ) 0b,,b,bb m21r
Kr
== hay una solución local *xr
en las que se verifican
las condiciones de Kuhn-Tucker con multiplicadores asociados *λr
y, se satisfacen las condiciones suficientes de segundo orden para un mínimo local estricto. Suponiendo además que ( ) .0,0xgiIi *
i*
i >λ==∈r
Entonces, para cada mb ℜ∈r
perteneciente a un entorno de 0r
, existen ( ) ( ) ( )( )bx,,bxbx n1
Fr
Krrr
= y ( ) ( ) ( )( )b,,bb m1F
rK
rrrλλ=λ funciones continuas y
diferenciables en 0brr
= tales que ( ) ,x0x *F rrr= ( ) *F 0 λ=λ
rrr y ( )bxF
rr es mínimo
local de (XIII) con multiplicadores ( ).bFrr
λ Asimismo,
( )( ) ( ) *T*b
T
0bF
b xfbxf λ−=∇=∇=
rrrrrrrr
Esto es, para cada Ii ∈ se cumple:
( )( ) ( ) *i
i
*
0bi
F
b
xf
b
bxfλ−=
∂
∂=
∂
∂
=
rrr
rr
De la expresión anterior se observa que los multiplicadores de Lagrange con signo cambiado representan las derivadas parciales del valor óptimo de la función objetivo del programa respecto a los términos independientes de las restricciones saturadas, por lo que dichos multiplicadores dan una medida de sensibilidad del valor óptimo frente a variaciones de los segundos miembros de las restricciones saturadas.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
201
Definición: Sea el programa:
( )
( ) ( )( )
( )
≤ααα
≤αααααα=α
0,,,,x,,x,xg
0,,,,x,,x,xg:a.s,,,,x,,x,xf,xfopt
XIV
k21n21m
k21n211
k21n21
KK
M
KK
KKrr
Donde “f” y ( )m,,2,1igi K= son funciones de clase dos, siendo
( )n21 x,,x,xx Kr= un vector de variables de decisión y ( )k21 ,,, ααα=α K
r un vector de parámetros.
Sea kB ℜ⊂ un conjunto abierto, suponiendo que para todo B∈α
r
existe ( ) ( ) ( )( )ααα=r
Krrr *
n*2
*1
* x,,x,xx que es solución óptima local de (XIV), en la que se verifican las condiciones de Kuhn-Tucker, con multiplicadores de Lagrange asociados ( ) ( ) ( )( )αλαλ=αλ
rK
rrr*m
*1
* ,, . Entonces: c) La función Lagrangiana asociada a (XIV) viene dada por:
( ) ( ) ( )∑=
αλ+α=αλm
1iii ,xg,xf,x,L
rrrrrrr
d) La función objetivo indirecta o función de valor óptimo viene dada por:
( ) ( ) ( ) ( )( )αααα=αϕrr
Krrr
,x,,x,xf *n
*2
*1
Teorema de la envolvente: Dado el problema (XIV) y las condiciones de la definición, si ( ) ( ) ( ) ( )( )αααα=αϕ
rrK
rrr,x,,x,xf *
n*2
*1 es la
función de valor óptimo del programa se cumple que para todo :k,,2,1r,r K=α
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )∑= α∂
αα∂αλ+
α∂
αα∂=
α∂
αααλ∂=
α∂
αϕ∂ m
1i r
*i*
ir
*
r
**
r
,xg,xf,x,Lrrr
rrrrrrrrrr
Nota: Los teoremas y la definición de esta sección también son válidos para programas de maximización.
Ejemplo: Un monopolista desea maximizar sus ingresos de modo que los beneficios que obtenga no sean menores a un valor prefijado ( ) .0$0 >π Si la función inversa de demanda es ( ),$bqap −= la función de costos es ( ) ( )$dqcqC += , donde ,0dy0c,0b,dad2 >>>>> y “q” es no negativa.
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
202
Determinar el ótpimo global del programa, y estudiar cuál es la variación del ingreso máximo ante un cambio en “a” y en .0π Solución: El problema a resolver es el siguiente:
( )( )
0qcqdabq:a.s
bqaqqImax
02
2
≥π≥−−+−
−=
Escribiendo el programa en forma estándar tenemos:
( ) ( )( )
0q0cqdabq:a.s
bqaqqImin
02
2
≤−≤π++−−
−−=−
Se debe tener presente que como la función objetivo es estrictamente cóncava y el conjunto factible es convexo, el programa equivalente es convexo para mínimo global estricto (mientras que el programa original es convexo para máximo global estricto). Las condiciones de Kuhn-Tucker que deben verificarse son:
( ) ( )1bq2adabq2 *2
*1
**1
* λ−λ+λ−+−
( ) ( ) ( )20cqdaqb 0*2**
1 =
π++−−λ
( ) ( )30q**
2 =−λ ( )40*
1 ≥λ
( )50*2 ≥λ
( ) ( ) ( )60cqdaqb 0*2* ≤π++−−
( )70q* ≤−
Las hipótesis que podemos hacer sobre los valores de ( ),2,1i*
i =λ se
resumen en los 422 = casos que a continuación presentamos:
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
203
Caso 1: 0,0 *2
*1 =λ=λ
De (1) se obtiene que .0b2
aq* >=
Reemplazando *q en (6) se tiene que:
( ) ( ) ( )0
b4
cb4ad2aqg 0*
1 ≤/π++−
=
En consecuencia, la hipótesis de partida no nos conduce a ningún punto que satisfaga las condiciones de Kuhn-Tucker. Caso 2: 0*
1 =λ De (1) se tiene que:
abq20abq2 **2
*2
* −=λ⇒=λ−− Por hipótesis:
( ) 0q0qqg ***2 =⇒=−=
Reemplazando 0q* = en *
2λ tenemos que:
0a*2 >/−=λ
En consecuencia, la hipótesis de partida no nos conduce a ningún punto que satisfaga las condiciones de Kuhn-Tucker.
Caso 3: 0*
2 =λ De (1) se tiene que:
( ) *
**1
*1
**1
*
bq2ad
bq2a0bq2adabq2
+−
−=λ⇒=λ+λ−+−
Por hipótesis:
( ) ( ) ( ) ⇒=π++−−= 0cqdaqbqg 0*2**
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )020
2* cb4da0
b2
cb4dadaq π+≥−⇔>
π+−−±−=
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
204
Reemplazando *q en *1λ se tiene que:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
>/π+−−−
π+−−+
>π+−−
π+−−−
=π+−−±
π+−−=λ
0cb4da
cb4dad
0cb4da
cb4dad
cb4da
cb4dad
02
02
02
02
02
02
*1
m
Por tanto, para ( ) ( )
( ) ( )02
02
*1
cb4da
cb4dad
π+−−
π+−−−=λ se tiene que
( ) ( ) ( ).
b2
cb4dada,d,c,b,aq 0
2
0* π+−−+−
=
π
α48476r
Se puede apreciar que ( ) ( ) ( ) 0cb4daqg 02*
1 ≠π+−−=∇ , por lo que dicho gradiente es linealmente independiente. En consecuencia,
( ) ( ) ( )b2
cb4dadaq 0
2* π+−−+−= con
( ) ( )
( ) ( )02
02
*1
cb4da
cb4dad
π+−−
π+−−−=λ
es un mínimo global estricto del programa equivalente. Además,
( ) ( ) ( )b2
cb4dadaq 0
2* π+−−+−= con
( ) ( )
( ) ( )02
02
*1
cb4da
cb4dad
π+−−
π+−−−−=λ
es un máximo global estricto para el programa original. Esto hace innecesario el análisis del último caso.
La función Lagrangiana asociada al programa es:
( )( ) ( )qcqdabqbqaq,d,c,b,a;q,,L 202
12
021 −λ+π++−−λ++−=
πλλ
α48476r
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )α−λ+
+π++α−−αλ+α+α−=ααλλ
r
rrrrrr
**2
0*2**
12****
2*1
q
cqdabqbqaq,q,,L
La función de valor óptimo es:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )α−α=α−α−=α−=αϕrrrrrr *2*2*** aqbqbqaqqI
Donde ( )αr*q es la solución óptima del programa para un valor α
r del
vector de parámetros.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
205
Teniendo en cuenta el teorema de la envolvente, obtenemos:
• ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )*
1***
1*
**2
*1 1qqq
a
,q,,L
aλ+α−=αλ−α−=
∂
ααλλ∂=
∂
αϕ∂ rrrrrr
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 01q1asia1q *1
**1
* <λ+α−≈αϕ∆⇒=∆⇒∆λ+α−≈αϕ∆rrrr
Es decir, si se produce un incremento en la demanda (incremento en “a”), se producirá un decremento en ( )( ).qI *α−
v Lo que equivale a decir que si si se produce un incremento en la demanda, entonces se producirá un incremento en ( )( ).qI *α
v
• ( )
( )( )( )
( )*1
0
**2
*1
0
,q,,Lλ−=
π−∂
ααλλ∂=
π−∂
αϕ∂rrr
( ) ( ) ( ) ( ) 01si *100
*1 <λ−≈αϕ∆⇒=π−∆⇒π−∆λ−≈αϕ∆
rr
Es decir, si se produce un incremento en el valor prefijado para el mínimo beneficio con signo cambiado (incremento en ( )0π− ), se producirá un decremento en ( )( ).qI *α−
v Lo que equivale a decir que si se produce un incremento en el valor prefijado para el mínimo beneficio con signo cambiado, entonces se producirá un incremento en ( )( ).qI *α
v
Tenga en cuenta que:
( ) ( ) ( )( )
( )a
q
qaa
*
* ∂
α∂⋅
α∂
αϕ∂+
∂
αϕ∂=
δ
αδϕr
r
rrr
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )
α∂α∂
∂α∂−⋅−α+α−=
δ
αδϕrr
rrr
r
**1
*1**
qqg
aqgabq2q
a
Dado que:
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0cqdaqbqg 0*2**
1 =π−−+α−−α=αrrr
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
−−α=α∂α∂
α−=∂α∂⇒
dabq2qqg
qaqg
***1
**1
rrr
rr
Por tanto:
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
−−α
α⋅−α+α−=
δ
αδϕ
dabq2
qabq2q
a *
***
r
rrr
r
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
206
Pero, ya que:
( )( )
( ) ( ) ( )*1
**
*
**1
bq2adabq2
bq2ad
bq2a
λ
α−=−−α⇒
α+−
α−=λ
rr
r
r
Reemplazando la expresión anterior en ( )aδ
αδϕr
tenemos:
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )αλ−α−=
α−
αλ⋅−α+α−=
δ
αδϕ rrr
rrr
r**
1*
*
**1** qq
bq2a
qabq2q
a
( ) ( )( )*
1* 1q
aλ+α−=
δ
αδϕ rr
Asimismo, teniendo en cuenta que:
( )( )
( )( )
( )( )0
*
*0
q
q π−∂
α∂⋅
α∂
αϕ∂=
π−∂
αϕ∂r
r
rr
( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )
α∂α∂
π−∂α∂−⋅−α=
π−∂
αϕ∂rr
rr
r
**1
0*
1*
0 qqg
qgabq2
Dado que:
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0cqdaqbqg 0*2**
1 =π−−+α−−α=αrrr
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
−−α=α∂α∂
−=π−∂α∂⇒
dabq2qqg
1qg
***1
0*
1
rrr
r
Por tanto:
( )( )
( )( )( ) ( )
−−α⋅−α=
π−∂
αϕ∂
dabq2
1abq2 *
*
0r
rr
Pero, ya que:
( )( )
( ) ( ) ( )*1
**
*
**1
bq2adabq2
bq2ad
bq2a
λ
α−=−−α⇒
α+−
α−=λ
rr
r
r
Reemplazando la expresión anterior en ( )
( )0π−∂
αϕ∂r
tenemos:
( )( )
( )( )( )
*1*
*1*
0 bq2aabq2 λ−=
α−
λ⋅−α=
π−∂
αϕ∂r
rr
Capítulo V
OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
V.1 Introducción
El problema fundamental de la economía consiste en la asignación eficiente de
recursos escasos entre distintos fines competitivos. La manera más sencilla de
resolver este problema es a través de la programción matemática considerando
que las variables económicas son invariantes en el horizonte temporal o que nos
encontramos en un determinado instante del tiempo. Bajo estas simplificaciones,
estaríamos frente a un problema de optimización estática que busca optimizar
una función (función objetivo) a través de la elección de ciertas variables
(variables de elección o de decisión) que pueden tomar valores dentro de un
conjunto de oportunidades (conjunto factible). La solución buscada en tales
problemas usualmente consta de una única magnitud óptima para cada variable
de elección, lo cuál no exige un programa de acción secuencial óptima.
Cuando permitimos que las variables de elección varíen con el tiempo, sujetas a
una determinada dinámica entre un instante inicial y un instante final, nos
encontramos frente a un problema de Optimización Dinámica u Optimización Intertemporal. La optimización dinámica estudia la optimización de sistemas
dinámicos, esto es, la optimización de sistemas que evolucionan con el tiempo.
Dado un sistema que evoluciona en el tiempo, se busca conducir o controlar el
sistema de manera óptima a lo largo de un horizonte de tiempo determinado, de
acuerdo a un objetivo previamente establecido.
En contraste a los problemas de optimización estática, los problemas de
optimización dinámica plantean la interrogante de cuál es la magnitud óptima de
una variable de elección en cada periodo del tiempo dentro de un periodo de
planificación (caso de tiempo discreto) o en cada instante del tiempo en un
intervalo de tiempo dado, digamos [ ]10 t,t (caso de tiempo continuo). Es incluso
posible considerar un horizonte de planificación infinito, de manera que el
intervalo relevante pordría ser [ ].,t 0 +∞ Es decir, desde el instante actual hasta la
“eternidad”. La solución de un problema de optimización dinámica por tanto,
adoptará la forma de una senda (trayectoria) de tiempo óptima para cada variable
de elección, detallando el mejor valor de dicha variable desde el inicio del
periodo de planificación hasta el final del mismo.
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
232
Por ejemplo, la economía de un país es un sistema que evoluciona a lo largo del
tiempo, por lo que rerpresenta un sistema dinámico. En determinado instante, el
estado de dicha economía es recogido en un cuadro macroeconómico, donde
figuran los valores de las siguientes variables (variables de estado1): consumo
privado y consumo público, variación de existencias, demanda interna,
importaciones y exportaciones, PBI, tasa de inflación, tasa de desempleo, etc. La
autoridad económica decide realizar una serie de medidas de política fiscal y de
política monetaria (variables de control2), que van a afectar el comportamiento
de los agentes económicos y que conducirán a nuevos valores de las variables de
estado, cuando éstas sean presentadas en el futuro. Los valores del cuadro
macroeconómico al final del año dependerán de los valores del mismo a
comienzos de año, de las medidas de política económica adoptadas durante el
transcurso del año, y de la respuesta de los agentes económicos a dichas
medidas. Las medidas de política económica dependerán de los objetivos que
tenga el gobierno en el instante que se adoptan.
Para poder resolver el ejemplo anterior con las técnicas de la optimización
dinámica, será necesario que el sistema dinámico en cuestión se pueda expresar
matemáticamente a través de un sistema de ecuaciones diferenciales (tiempo
continuo) o mediante ecuaciones en diferencias (horizonte temporal discreto),
que contengan las variables de estado y las de control. Además, las condiciones
iniciales del sistema, las restricciones de las variables, y la funcional3 objetivo
del problema tienen que poderse representar matemáticamente.
Existen tres métodos diferentes para resolver problemas de optimización
dinámica los cuales son equivalentes en muchos sentidos. El primer método es el
del Cálculo de Variaciones (1696) que resuelve el problema con las Ecuaciones
de Euler (1744). El segundo método es el del Control Óptimo o Teoría Moderna de Control que resuelve el problema por medio del Principio del Máximo de
Pontryagin (1958). El tercer método se denomina Programación Dinámica que
se basa en el Principio de Optimalidad de Bellman (1957). Las tres
aproximaciones pueden formularse en tiempo discreto o en tiempo continuo.
El cálculo de variaciones se ha aplicado fundamentalmente, tras su
descubrimiento, en mecánica (campo de la física). El desarrollo sistemático del
control óptimo se inició en los EEUU alrededor de 1930 en el campo de las
ingenierías mecánica y eléctrica. Durante las décadas del cincuenta y del sesenta
del siglo pasado, en el campo de la economía, aparecen algunas aportaciones
aisladas sobre el control óptimo. En los años sesenta se utiliza de forma
sistemática las técnicas del conrol óptimo en la teoría de crecimiento, y desde
entonces se difunden trabajos sobre el tema, los cuales han sido el instrumento
básico para describir el comportamiento de individuos y empresas cuando la
actividad económica se desarrolla a lo largo del tiempo.
1 Una variable de estado es aquella que define la dinámica de un sistema. Es aquella que describe el estado
de un sistema 2 Una variable de control es un instrumento que permite al agente que se enfrenta a un problema de
optimización dinámica influir sobre una variable de estado. En general, una variable de control está sujeta a
la elección discrecional del agente planificador, y se caracteriza porque la elección de dicha variable afecta
a la variable de estado. Es decir, una variable de control es aquella que puede ser controlada por el
planificador u operador del sistema en todo instante del tiempo. 3 Ver apéndice al final del capítulo.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
233
En la actualidad, los métodos de la teoría de control se utilizan en el análisis
macroeconómico, tanto bajo la perspectiva de la macroeconomía clásica como
de la nueva macroeconomía clásica. El término “Economía Dinámica”
frecuentemente puede encontrarse en la literatura económica actual, en la cual la
teoría de control juega un papel preponderante.
V.2 El cálculo de variaciones
El cálculo de variaciones es una técnica empleada para resolver problemas de
optimización dinámica, la cual es predecesora de la teoría del control óptimo. El
cálculo de variaciones es la aproximación clásica al problema de la optimización
dinámica, data del siglo XVII, y desde entonces este tema se ha constituido
como una parte importante de las matemáticas aplicadas. Los primeros en
resolver problemas de optimización dinámica utilizando está técnica fueron
Isaac Newton (1687) y los hermanos Bernoulli (1696)4.
En la economía, esta técnica se empleó por primera vez a finales de los años
veinte y a comienzos de los treintas en los trabajos de Roos5, Evans
6, Ramsey
7 y
Hotelling8. Su finalidad fue resolver problemas relativos a encontrar la
trayectoria temporal óptima de una variable, con el propósito de optimizar
alguna funcional relacionada con los beneficios o la utilidad.
1. Formulación del problema fundamental del cálculo de variaciones
En esta sección vamos a formular el problema básico del cálculo de
variaciones. Este problema se caracteriza porque la funcional a optimizar
(funcional objetivo) depende de una sola variable de estado, ( ),tx de una sola
variable de control, ( ),tx' de las condiciones iniciales y finales que están
completamente especificadas (condiciones de borde), no hay restricciones
(que podrían ser ecuaciones diferenciales o simplemente funciones del
tiempo y de las variables de estado), y el horizonte temporal es continuo.
( ) [ ] ( ) ( )( )
( )( )
=
=
= ∫Ω∈
bordedescondicionextx
xtx:a.s
dtt,tx,txfxJoptI
11
00
objetivofuncional
t
t
intermediafunción
'
x
1
0
4444 84444 76
44 844 76
4 Para más detalle, ver Kline, M. (1962): “Mathematics: A Cultural Approach”, Mass.: Addison-Wesley.
5 Roos, C. (1925): “A Mathematical Theory of Competition”, American Journal of Mathematics, 46, pp.
163-175. 6 Evans, G. (1924): “The Dynamics of Monopoly”, American Mathematical Monthly, febrero, pp. 77-83.
7 Ramsey, F. (1928): “A Mathematical Theory of Savings”, Economic Journal, Oxford: Blackwell
Publishers, diciembre, pp. 543-559. 8 Hotelling, H. (1931): “The Economics of Exhaustible Resourses”, Journal of Political Economy,
Chicago: The University of Chicago Press, abril, pp. 137-175.
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
234
Donde ( ) ( )( )t,tx,txf ' es una función de clase C2, ( )
( ),
dt
tdxtx' = y los parámetros
1010 xyx,t,t son dados previamente. Siendo Ω el conjunto de todas las
funciones “x” con derivadas primeras y segundas continuas en un intervalo
cerrado [ ]10 t,t con ,tttyt 1010 <∧ℜ∈ y que viene dado por:
[ ] [ ] .t,tenCesxt,t:x 102
10 ℜ→ℜ⊂=Ω
Donde el conjunto factible (denominado conjunto de sendas admisibles)
viene dado por:
( ) ( ) ( )II1,0ixtxx ii ==Ω∈=Ψ
Es decir, la tarea del cálculo de variaciones consiste en encontrar entre todas
las trayectorias “x”, mostradas en la figura 1, que parten de x0 en el instante
t0 y llegan a x1 en el instante t1, aquella trayectoria *x , de clase C2 en [ ]10 t,t
tal que ( ) ( ),1,0ixtx ii* == que hace máxima (o mínima) la integral [ ]xJ
(funcional).
*x
0t 1t
( ) 00 xtx =
( ) 11 xtx =
t
( )tx
Figura 1
Para que el problema (I) se pueda resolver es necesario que la funcional sea
integrable, es decir que la integral sea convergente. Además, las funciones
que aparecen en dicho problema deberán ser continuas y continuamente
diferenciables. Esto es necesario ya que la metodología sobre la cual se basa
el cálculo de variaciones es muy semejante a la utilizada en el clásico cálculo
diferencial. La diferencia fundamental radica en que en lugar de utilizar la
diferencial “dx” que cambia el valor de ( ),xfy = se empleará la “variación”
de una trayectoria (curva) completa “x” que afectará al valor de la funcional
[ ].xJ
Este problema se diferencia de un problema de optimización estática en dos
aspectos. En primer lugar, tiene carácter dinámico (aparece la variable
temporal) y la solución del problema es una trayectoria *x que depende del
tiempo. En segundo lugar, lo que se optimiza es una funcional, no una
función.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
235
Sin pérdida de generalidad, inicialmente supondremos que todos los
problemas de cálculo de variaciones consisten en maximizar la funcional
objetivo [ ]xJ . Más adelante, cuando se expliquen las condiciones de segundo
orden, se distinguirán entre problemas de maximización y de minimización.
Por tanto, el problema que resolveremos será:
[ ] ( ) ( )( )
( )( ) 11
00
t
t
'
x
xtx
xtx:a.s
dtt,tx,txfxJmax
1
0
=
=
= ∫Ω∈
)III(
2. Optimalidad local: Condición necesaria de primer orden. Ecuación de Euler (1744)
A la condición que permite seleccionar, de un extenso conjunto factible de
curvas (sendas o trayectorias) “ x ”, aquella que maximice o minimice la
funcional objetivo [ ]xJ (trayectoria óptima: *x ) se le denomina ecuación de
Euler. Por tanto, si 2*Cx ∈ resuelve el problema (III), es decir:
[ ] ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )IVtxdtt,tx,txfxJdtt,tx,txfxJ
1
0
1
0
t
t
*'**
t
t
' ∀
=≤= ∫∫
Para cualquier senda admisible ,Cx2∈ dicha función debe satisfacer la
siguiente ecuación (Ecuación de Euler):
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( )
[ ] ( )Vt,tttx
t,tx,txf
dt
d
tx
t,tx,txf10'
''
∈∀
∂
∂=
∂
∂
Si por simplicidad obviamos los paréntesis en “f”, en “x” y en “ 'x ”
tendremos:
( )[ ] ( )VIt,tt
dt
fdf
x
f
dt
d
x
f10
xx'
'
∈∀=⇒
∂
∂=
∂
∂
Teniendo en cuenta que:
'xf
x 'x
t
t
t
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
236
La diferencial total de 'xf es:
dtt
fdx
x
fdx
x
fdf
'''
'x'
'
xxx
⋅∂
∂+⋅
∂
∂+⋅
∂
∂=
Por tanto:
( )( )VIIfxfxf
t
f
dt
dx
x
f
dt
dx
x
f
t
f
tx''
xx'
xxx
'
'
xxx''''
''''
+⋅+⋅=∂
∂+⋅
∂
∂+⋅
∂
∂=
δ
δ
Reemplazando (VII) en (VI) tenemos:
[ ] ( )VIIIt,ttfxfxff 10tx
''
xx
'
xxx '''' ∈∀+⋅+⋅=
La ecuación (VIII) es una ecuación diferencial de segundo orden. A las
soluciones de esta ecuación se les denomina extremales9 y su forma genérica
es la siguiente:
( ) ( )IXC,C,txx 21=
Donde C1 y C2 son constantes arbitrarias. Para obtener soluciones que
verifiquen la condición necesaria de máximo local del problema (III), hay
que resolver la ecuación de Euler (ecuación VIII) e imponer las condiciones
inicial y final dadas.
3. Condición suficiente de optimalidad global para el problema fundamental
Sea el problema de cálculo de variaciones (I). Donde ( ) ( )( )t,tx,txf ' es una
función (función intermedia) dos veces diferenciable respecto a “x” y “ 'x ”,
entonces se verifica que:
a) Si f es cóncava respecto a “x” y “ 'x ”, entonces la ecuación de Euler es
una condición suficiente de máximo global.
b) Si f es convexa respecto a “x” y “ 'x ”, entonces la ecuación de Euler es
una condición suficiente de mínimo global.
Si ( ) ( )( )t,tx,txf ' es una función de clase dos y es estrictamente cóncava
(convexa) en “x” y “ 'x ”, entonces la ecuación de Euler es una condición
suficiente de máximo (mínimo) global estricto (único).
9 Un extremal no tiene porque ser un óptimo, sólo es un candidato a óptimo.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
237
Ejemplos:
Modelo de competencia dinámica
Un productor en un mercado competitivo desea encontrar el camino óptimo
de producción ( ),tx donde ,Tt0 ≤≤ de manera tal que partiendo de un nivel
de producción x0 en ,0t = alcance un nivel objetivo xT en el instante T, de
modo que se maximicen los beneficios.
Debido al carácter dinámico del problema, dichos beneficios dependerán del
tiempo, y los consideraremos como la diferencia entre los ingresos y los
costos:
( ) ( )t,x,xCpxt,x,x '' −=π
El problema al que se enfrenta el productor será el de maximización
temporal de beneficios que se reduce al siguiente problema de cálculo de
variaciones:
[ ] ( ) ( )[ ]
( )( ) T
0
T
0
'
T
0
'
xTx
x0x:a.s
dtt,x,xCpxdtt,x,xxJmax
=
=
−=π= ∫∫
Siendo
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] .t,xCxCtpxt,x,xCtpxt,x,x '21
'' +−=−=π
Se han considerado dos tipos de costos, por un lado se han incluido los
costos de producción:
( ) ( )0cyb,acbxaxxC 21 >++=
Por tora parte, se seleccionan otros costos ( )t,xC '2 asociados a los
incrementos de la producción ,x' tales como construcción de capacidad extra
en previsión a los crecimientos de la producción, alquiler de mano de obra
extra y su formación, reclutamiento de directivos o inflación. Supondremos
que el agregado de este tipo de costo se puede representar como:
( ) ( ) ( )0CyB,ACtBxxAt,xC '2''2 >++=
La función de beneficios será:
( ) [ ] ( ) .CtBxxAcbxaxpxt,x,x '2'2'
++−++−=π
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
238
Por tanto el problema a resolver será:
[ ] ( ) ( )
( )( ) T
0
T
0
'2'2
xTx
x0x:a.s
dtCtBxxAcbxaxpxxJmax
=
=
++−++−= ∫
La ecuación de Euler será:
( )1xdt
d
x '
∂
π∂=
∂
π∂
Ahora calculamos las derivadas necesarias para conformar la ecuación de
Euler:
( )2bax2px
−−=∂
π∂
( )3BAx2x
'
'−−=
∂
π∂
[ ] ( )4Ax2BAx2dt
d
xdt
d'''
'−=+−=
∂
π∂
Reemplazando (2) y (4) en (1) se tiene:
( ) 0bpax2Ax2Ax2bax2p'''' =−+−⇒−=−−
( )5A2
pbx
A
ax
''
−=−
Tenemos una ecuación diferencial ordinaria no homogénea de orden dos con
coeficientes constantes, cuyo polinomio característico es:
( )
−=
=
⇒=−=
A
ar
A
ar
0A
arrP
2
12
La solución complementaria es:
( ) ( )6eAeAtxtAa
2tAa
1c−
+=
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
239
Mediante el método de los coeficientes indeterminados podemos verificar
que la solución particular será una constante, digamos:
( ) ( ) ( ) ,0txtxktx p''
p'
p ==⇒= por lo que reemplazando estos valores en
(5) tenemos que:
a2
pbk
A2
pbk
A
a0
−=⇒
−=−
Por tanto, la solución particular será:
( ) ( )7a2
bp
a4
bp
a4
bptx p
−=
−+
−=
Por tanto, la trayectoria óptima es:
( ) ( )8a2
bpeAeAtx
tAa2
tAa1
*−
++=−
Donde A1 y A2 se determinan utilizando condiciones de borde, esto es:
( ) 021* x
a2
bpAA0x =
−++=
( )9a2
bpxAA 021
−−=+
( ) TTAa
2TAa
1* x
a2
bpeAeATx =
−++=
−
( )10a2
bpxeAeA T
TAa2
TAa1
−−=+
−
Resolviendo (9) y (10) tenemos:
−
−−−
−−
=TAa2
TAaT0
1
e1
ea2
bpx
a2
bpx
A
−
−−−
−−
=TAa2
TAa0T
TAa
2
e1
ea2
bpx
a2
bpxe
A
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
240
Finalmente, tenemos que:
( )
a2
bpe
e1
ea2
bpx
a2
bpxe
e
e1
ea2
bpx
a2
bpx
tx
tAa
TAa2
TAa0T
TAa
tAa
TAa2
TAaT0
*
−+
−
−−−
−−
+
+
−
−−−
−−
=
−
Extracción óptima de recursos naturales: versión simplificada del modelo de Hotelling
Una empresa es propietaria de una cantidad “Q” de un recurso agotable
(petróleo, cobre, oro, gas, etc). La función de beneficios de la empresa es
logarítmica de manera tal que por extraer “ q ” unidades del recurso agotable
obtien beneficios:
( ) ( )11qlnq =π
El objetivo de la empresa es determinar el patrón de extracción de los
recursos de manera que se maximice el valor presente de los beneficios. Se
asume que la tasa de descuento10
es constante e igual a “ρ” y que el recurso
se agota en su totalidad en el periodo “T”.
Para resolver este problema, primero vamos a definir la variable a optimizar.
Para ello debemos distinguir entre variables de stock y variables de flujo. La
dotación de recursos “Q” constituye el stock total, y la cantidad “ q ” extraída
del recurso agotable en cada instante constituye un flujo. Una forma simple
de relacionar estas variables sería definiendo a las ventas acumuladas del
recurso natural como “ x ”. Las ventas acumuladas “x” constituyen una
variable de stock con un valor inicial igual a cero (en el periodo inicial no se
ha realizado ninguna venta previamente: ( ) 00x = ) y un valor terminal igual a
“Q” (todo el stock del recurso ha sido vendido previamente en el último
periodo). Por tanto, podemos relacionar la variable de flujo “q” con la
variable de stock “x” integrando la siguiente ecuación, la cual nos dice que la
cantidad extraída del recurso “ q ” en cada instante equivale a la variación en
el tiempo de las ventas acumuladas:
( )( )
( ) ( )12tqdt
tdxtx' ==
10
Ver apéndice al final del capítulo.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
241
Por lo que, integrando (12) tenemos:
( ) ( ) ( ) ( )Tt0dttqdttxtx
t
0
t
0
' ≤≤== ∫∫
Donde:
( ) ( ) 0dttqdttx)0(x
0
0
0
0
' === ∫∫
( ) ( ) Qdttqdttx)T(x
T
0
T
0
' === ∫∫
De esta forma, reemplazando (11) en (12) obtenemos la función de
beneficios de la empresa para cualquier instante del tiempo:
( ) ( )13xlnqlnq '==π
Por tanto, el valor presente de los beneficios vendrá dado por:
( )( ) ( ) ( )14dttxlnedttqe
T
0
'tT
0
t∫∫
ρ−ρ− =π
En consecuencia, el problema que debe resolver la empresa será:
[ ] ( )
( )( ) QTx
00x:a.s
dttxlnemaxxJ
T
0
't
=
=
= ∫ρ−
La ecuación de Euler será:
( )15xdt
d
x '
∂
π∂=
∂
π∂
Ahora calculamos las derivadas necesarias para conformar la ecuación de
Euler:
( )160x
=∂
π∂
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
242
( )17x
e
x'
t
'
ρ−
=∂
π∂
Reemplazando (16) y (17) en (15) tenemos:
ctekx
e
dt
x
ed
0'
t'
t
==⇒
=ρ−
ρ−
( )18ek
1x
t' ρ−=
Tenemos una ecuación diferencial ordinaria no homogénea de orden uno con
coeficientes constantes. Integrando a ambos lados de la ecuación (18)
tenemos:
∫∫∫∫ρ−ρ−ρ− === dteAdte
k
1dte
k
1dtx
t1
tt'
Por tanto, la solución general es:
( ) ( )19eAAAeA
txt
322t1 ρ−ρ− +=+
ρ−=
Utilizando las condiciones de borde tenemos:
( ) ( )200AA0x 32 =+=
( ) ( )21QeAATx T32 =+= ρ−
Resolviendo (20) y (21) tenemos:
( ) ( )( )22
1e
QAy
1e
QA
T3
T2
−=
−−=
ρ−ρ−
Sustituyendo (22) en (19) obtenemos la senda óptima de las ventas
acumuladas:
( )( ) ( )
( )23
e1
Qe
1e
Qtx
T
t
T
*
ρ−
ρ−
ρ− −+
−=
Si derivamos (23) respecto de “t” obtendremos la trayectoria óptima de la
extracción del recurso:
( ) ( )( )
( )24e
e1
Qtxtq t
T
*'* ρ−
ρ−−
ρ==
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
243
Para 1T ≥ y ,0>ρ ( )Te1
Q
ρ−−
ρ tomará un valor positivo (ya que 1e0 t << ρ− )
y, por tanto, la trayectoria del patrón de extracción de recursos disminuirá
exponencialmente a lo largo del tiempo a la tasa “ρ” tal como se aprecia en la
figura 2.
t T
( )tq*
( )te1
Q
ρ−−
ρ
Figura 2 Ahora vamos a aplicar la condición necesaria y suficiente de segundo orden
de Mangasarian para los dos ejemplos que hemos desarrollado
anteriormente:
• Competencia dinámica
( ) ( ) ( ) ( )
++−++−=π≡ CtBxxAcbxaxpxt,x,xt,x,xf '2'2''
Su matriz hessiana evaluada en cualquier ( )t,x,x ' es:
−
−=
ππ
ππ=π
A20
0a2H
'''
'
xxxx
xxxx
Esta matriz es definida negativa ya que tiene dos autovalores
negativos ( )A2ya2 21 −=λ−=λ . Por tanto, ( )t,x,x 'π es estrictamente
cóncava (por tanto también cóncava) respecto a “x” y “ 'x ”,
entonces la ecuación de Euler es una condición necesaria y
suficiente de máximo. Es decir, *x maximiza la funcional objetivo.
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
244
• Extracción óptima de recursos naturales
( ) ( )txlnet,x,xf 't' ρ−≡
Su matriz hessiana evaluada en ( ) ( )( )t,tx,tx '** es:
( ) ( )( )( )
( )( )
ρ
−−
=
−=ρ−
ρ−ρ−
t2
2T
2'*
t'**
eQ
e10
00
x
e0
00
t,tx,txHf
Esta matriz es semidefinida negativa ya que todos sus menores
principales son menores o iguales a cero:
Tiene dos menores principales de orden uno:
Eliminando la primera fila y la primera columna tenemos:
( )( )
( )( )
0eQ
e1
eQ
e1
t2
2T
t2
2T
<ρ
−−=
ρ
−−
ρ−
ρ−
ρ−
ρ−
Eliminando la segunda fila y la segunda columna tenemos:
00 =
Tiene un menor principal de orden dos:
( )( )
0
eQ
e10
00
t2
2T=
ρ
−−
ρ−
ρ−
Por tanto, ( )txlne'tρ− es cóncava respecto a “x” y “ 'x ”, entonces la
ecuación de Euler es una condición necesaria y suficiente de
máximo. Es decir, *x maximiza la funcional objetivo.
4. Condición de transversalidad
Hasta este punto, el problema (III) se ha resuelto utilizando la ecuación de
Euler, y las codiones de borde (condiciones que debían satisfacer las
trayectorias admisibles). No obstante, si no se conoce el valor inicial y/o el
valor terminal de la trayectoria óptima se perderá una condición de borde.
Por tanto, es indispensable contar con una condición adicional denominada
condición de transversalidad para poder resolver dicho problema. En
consecuencia, el nuevo problema que tendremos que resolver será:
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
245
[ ] ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
=
=
= ∫Ω∈
libres:xót11
dado:x00
t
t
'
x
11
0
1
0
xtx
xtx:a.s
dtt,tx,txfxJmax
)X(
Por conveniencia, se ha supuesto que sólo la condición terminal es variable.
Sin embargo, una vez que aprendamos a trabajar con este caso, la técnica
será fácilmente aplicable al caso de punto inicial variable.
4.1 Condición de transversalidad
La función 2* Cx ∈ resuelve el problema (X) si satisface la ecuación de
Euler y la condición de transversalidad:
( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )
0ttx
t,tx,txf
dt
tdxt,tx,txftx
tx
t,tx,txf1
tt
'
''
1
tt
'
'
11
=∆⋅
∂
∂−+∆⋅
∂
∂
==
O de forma compacta:
[ ] ( ) [ ] ( )XI0tfxftxf 1ttx
'1
ttx1
'
1
' =∆⋅−+∆⋅==
Donde ( )1tx∆ y 1t∆ son pequeñas variaciones de la condición final
“ ( )1tx ” y del instante final “ 1t ”.
4.2 Casos especiales de la condición de transversalidad
La ecuación (XI), a diferencia de la ecuación de Euler, es relevante sólo
en el instante final “ 1t ”. Su papel es tomar el lugar de la condición
terminal perdida en el presente problema. Dependiendo de la
especificación exacta de la línea o curva terminal, sin embargo, la
ecuación general (XI) puede ser escrita en varias formas especializadas.
A continuación, se presentan tres casos posibles de la condición de
transversalidad: línea terminal vertical u horizonte temporal fijo, línea
terminal horizontal o valor final fijo, y curva terminal.
Línea terminal vertical (horizonte temporal fijo): (((( )))) (((( ))))libretx 1
En este caso se cumple que ,0t1 =∆ por lo que reemplazando en (XI)
tenemos:
[ ] ( ) ( )XII0txf 1ttx1
' =∆⋅=
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
246
Pero, dado que ( )1tx∆ puede tomar cualquier valor, la única forma de
que (XII) se verifique es que se cumpla la siguiente condición:
[ ] ( )XIII0f1
'ttx
==
Este caso se puede apreciar en la figura 3. Como en este caso sólo el
horizonte temporal [ ]10 t,tT = se encuentra fijo, mientras que existe un
amplio conjunto de valores terminales factibles. Al resolver el problema
debemos encontrar simultáneamente la trayectoria óptima y el valor
terminal ( ).tx 1 En este sentido, la ecuación (XIII) permite seleccionar el
valor final óptimo del conjunto de valores factibles.
( )tx
t 1t
( ) 00 xtx =
0t
Figura 3
Línea terminal horizontal (valor final fijo): (((( ))))libret1
Cuando el valor final de la trayectoria óptima ( )1tx se encuentra fijo,
( ) 0tx 1 =∆ por lo que (XI) se reduce a:
[ ] ( )XIV0tfxf 1ttx
'
1
' =∆⋅−=
Pero, de modo que se verifique (XIV) independientemente del valor que
adopte 1t∆ se tiene que satisfacer la siguiente condición:
[ ] ( )XV0fxf1
'
ttx' =−
=
En la figura 4 se aprecia el problema a resolver. En este caso, debemos
determinar la trayectoria temporal óptima y el valor final “ *1t ” óptimo,
ya que para un valor final ( )1tx dado existen varios “ 1t ” factibles. La
condición (XV) permite determinar el “ *1t ” óptimo.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
247
( )tx
t
( ) 11 xtx =
( ) 00 xtx =
0t
Figura 4
Curva terminal: (((( ))))libret1
En esta situación, supondremos que el instante final “ 1t ” es libre, y que
“ 1t ” y el estado final “ ( )1tx ” y están ligados mediante una función “ φ ”
de clase uno, donde:
( ) ( ) ( )XVIttx:ttpara 111 φ==
Con una curva cuya ecuación es (XVI), no se puede asignar valores
nulos a ( )1tx∆ y 1t∆ , por lo que no podemos eliminar ningún término de
(XI). No obstante, para un pequeño cambio arbitrario 1t∆ , se producirá
un pequeño cambio en la curva terminal igual a:
( ) ( ) ( )XVIItttx 1tt
'1
1
∆φ≈∆=
Reemplazando (XVII) en (XI) y factorizando 1t∆ se podrá eliminar
( )1tx∆ de (XI), y obtendremos la siguiente ecuación:
( )[ ] ( )XVIII0tfxf 1ttx
''
1
' =∆⋅
−φ+
=
Por tanto, para cualquier valor arbitrario de 1t∆ la condición de
transversalidad para este caso será:
( )[ ] ( )XIX0fxf1
'
ttx'' =
−φ+
=
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
248
En la figura 5 se aprecia el problema que debemos resolver en este
caso. Aquí, debemos determinar “ *x ” y “ *1t ”. Una vez encontrados
“ *x ” y “ *1t ” podremos determinar el estado final ( ).tx *
1
( )tx
t 0t
φ
( ) 00 xtx =
Figura 5
Línea terminal vertical truncada (estado terminal acotado inferiormente): (((( ))))(((( ))))mín1 xtx ≥≥≥≥
Cuando la línea terminal vertical es truncada, restringida por la
condición terminal ( ) mín1 xtx ≥ donde mínx es el nivel mínimo
permitido de “x”, la solución óptima puede tener dos posibles tipos de
resultado: ( ) mín1* xtx > o ( ) .xtx mín1
* = Donde ( )1* tx es el valor
terminal de una trayectoria admisible ( )tx* que satisface la ecuación de
Euler y la siguiente condición de transversalidad:
( ) ( )( )( )
0fxtxxtx0f
CHC
ttxmín1*
mín1*
ttx1
'
1
' =
⋅−≥≤
==
44444 844444 76
( )XX
Para aplicar (XX), primero suponemos que 0f1
'ttx
==
y verificamos si el
valor resultante de ( )1* tx satisface la restricción terminal ( ) mín1
*xtx ≥ . Si
es así, el problema está resuelto. En caso contrario, se fija ( ) mín1*
xtx =
para satisfacer la condición de holgura complementaria (CHC), y tratamos
el problema como si fuera uno con punto final dado ( )( ).tx,t 1*
1
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
249
( )tx
t 1t
( ) 00 xtx =
0t
( ) mín1 xtx =
Figura 6
5. Condición necesaria de optimalidad local para punto terminal fijo o variable: condición de Legendre
Una condición necesaria de segundo orden de optimalidad local es la de
Legendre. Esta condición establece que si en el extremal ( )tx* se cumple que:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ).tttpara,
IIIdelocalmínimo:tx0
IIIdelocalmáximo:tx0t,tx,txf 10
*
**'*
xx '' ≤≤
⇒≥
⇒≤
6. Condiciones suficientes de optimalidad global de segundo orden para punto terminal variable
Si ( ) ( )( )t,tx,txf ' es de clase dos y es cóncava (convexa) en las variables ( )'x,x
para cada [ ],t,tt 10∈ si ( )tx* satisface la ecuación de Euler, las condiciones
de frontera y (en caso la condición terminal sea ( )1tx “libre” o ( ) mín1 xtx ≥ )
las condiciones de transversalidad (XIII) o (XX), entonces ( )tx* es un
máximo (mínimo) global de [ ]xJ .
Ejemplos:
1.- Una empresa tiene un pedido de “N” unidades que debe surtir en un
tiempo por determinar. Si ( )tx denota el número de unidades producidas
en [ ]t,0 (que puede interpretarse como el inventario acumulado en “t”), el
costo en “t” está dado por ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] .txtx2tx,txC2'' += Resolver el
problema de minimización de costos de la empresa si se sabe que
( ) ,00x = ( ) yNTx = “T” libre. Compruebe si el extremal hallado minimiza
globalmente la funcional objetivo. Calcule los costos mínimos totales.
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
250
2.- Modelo de Ramsey11 (1928): La cuestión central tratada por Ramsey es la
de la asignación intertemporal del recurso: ¿Qué cantidad del producto
nacional neto en cualquier instante del tiempo la autoridad planificadora
debería destinar al consumo presente para producir utilidad presente, y
cuánto debería destinar al ahorro (y a la inversión) para incrementar la
producción y el consumo futuros, y por tanto producir utilidad futura?
Considere una economía que evoluciona a lo largo del tiempo donde
( )tKK = denota el stock de capital, ( )tCC = el consumo e ( )tYY = el
producto nacional neto en el instante “t”. Supóngase que:
( )( )tKFY = con ( )( ) ( )( )
0dK
tKFd,0
dK
tKdF
2
2
≤>
De manera que el producto nacional neto es una función cóncava
estrictamente creciente respecto al stock de capital. Además,
supondremos que la producción se divide en consumo e inversión, esto
es:
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
dt
tdKtCtItCtKFY +=+==
De donde:
( ) ( )( )( )
( )Θ−=dt
tdKtKFtC
Asimismo, permítase a ( ) 0K0K 0 >= ser el stock de capital existente en
la actualidad, y supóngase que estamos considerando un periodo de
planeamiento [ ].T,0
Ahora, para cada elección de la función de inversión ( )( )
dt
tdKtI = en [ ],T,0
el capital es completamente determinado por la función
( )( )
ττ
+= ∫ ddt
dKKtK
t
0
0 y ( )Θ a su vez determina ( ).tC Además, se asume
que la sociedad tiene una función de utilidad “ ( )( )tCU ”, donde ( )( )tCU es la
utilidad (flujo) que el país disfruta cuando el consumo total es ( ),tC y
permítasenos requerir que:
( )( )
( )
( )( )
( )0
tdC
tCUd,0
tdC
tCdU
2
2
<>
11
Frank Ramsey no ha pasado a la historia como alguien especialmente recordado fuera del entorno
económico, en parte se ha debido a su temprana muerte a la edad de 27 años. A pesar de ello dejó plasmadas varias ideas brillantes en sus trabajos, que serían desarrolladas posteriormente por varios
renombrados economistas: Solow y Swan (1956), Cass y Koopmans (1965).
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
251
De modo que ( )( )tCU es estrictamente creciente y estrictamente cóncava
(este supuesto implica que la gente en un determinado nivel de consumo
deriva menos incremento en su satisfacción ante un incremento dado en
el consumo que el que deriva la gente a un nivel de consumo más bajo).
Finalmente, se asume que la tasa de descuento es “r” y que el criterio de
inversión es el siguiente: escoger ( )( )
dt
tdKtI = para [ ]T,0t ∈ de manera que
la utilidad total descontada para el país en el periodo [ ]T,0 sea la mayor
posible.
Se pide resolver el problema de asignación intertemporal eficiente del
recurso teniendo en cuenta que ( )( ) ( ) ( ),0btbKtKF >=
( )( )( )[ ]
( ),101
tCtCU
1
<γ<γ−
=
γ−
y que la condición terminal es:
a) ( ) ,0KTK T >=
b) ( ) .libreTK =
3.- Halle la senda, cuyo punto inicial es ( )1,0A = y cuyo estado terminal está
determinado por ( ) ,t34t −=φ que minimice la distancia entre “A” y ( ).tx
4.- Un individuo tiene una única fuente de ingresos que son los intereses
obtenidos por sus ahorros ( )tSS = a una tasa de interés “i” ( ).1i0 <<
Estos intereses son distribuidos entre consumo ( )tC y nuevo ahorro
( ) ( ) 0tStI '
<
>= (es decir, se permite el desahorro). Inicialmente el individuo
tiene unos ahorros de S0, y elige su tasa de consumo para maximizar su
flujo de utilidad descontada sobre un horizonte finito:
( )( )[ ] dtetCUmax
rt
T
0tC
−∫
La elección de la senda temporal para ( )tC en la maximización es
restringida por la siguiente relación:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tStSitCtCtSitS '' −=⇒−=
Y por las condiciones de borde:
( )
( )
>
=
=
libre)b
0S)aTS
S0S
T
0
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
252
Resuelva el problema si se sabe que:
( )[ ]( )
( )0e
tCU
tc
>αα
−=
α−
5.- Una empresa ha recibido un pedido de “A” unidades de su producto, que
deben entregarse al cabo de un tiempo T, fijado. La empresa quiere saber
cuál debe ser la tasa de producción ( ) ,t0,tP Τ≤≤ para atender ese
pedido en la fecha estipulada, al costo mínimo. Se sabe que el costo
unitario de producción es proporcional a la tasa de producción (sea
“ 0K1 > ” la constante de proporcionalidad), y que el costo unitario de
mantener el producto en inventario por unidad de tiempo es constante e
igual a “ 0K 2 > ”. Sea ( )tx el inventario acumulado en el instante “t”
igual a la producción acumulada pasada. Por lo que, bajo el supuesto
anterior, se verifica que ( ) ( ).txtP '= Entonces, se tiene que ( ) ,00x = y se
debe alcanzar ( ) .ATx = Se pide:
a) Encontrar la tasa de producción y el inventario acumulado óptimos
(ignórese la restricción ( )( ) .0tP ≥ ¿Qué condición tiene que
cumplirse para que la solución óptima cumpla ( ) 0tP ≥ ?
b) Suponer ahora que “A” es una constante dada, pero “T” es libre.
Encontrar la solución óptima (ignorando la restricción ( )( ) .0tP ≥
c) Verifique si se cumple la condición de optimalidad local de Legendre.
d) Verifique si la solución es globalmente óptima.
6.- Considere el problema macroeconómico de conducir el estado ( )tx de la
economía sobre el curso del periodo de planificación [ ]T,0 hacia el nivel
deseado ,x independiente de “t”, por medio del control ( )tu , donde
( ) ( ).tutx ' = Ya que utilizar el control es costoso, el objetivo es minimizar la
integral ( )( ) ( )[ ] dttucxtx
T
0
22
∫
+− con ( ) ,xTx = donde “c” es una
constante positiva.
Es más conveniente definir ( )ty como la diferencia entre la variable de
estado original y el nivel objetivo ,x de manera que el valor objetivo de
( )ty sea nulo: ( ) .0Ty = Entonces ( ) ( ).tytu '= Esto conduce al siguiente
problema de cálculo de variaciones:
( ) ( )[ ]
( )( ) 0Ty
y0y:a.s
dttyctymin
0
T
0
2'2
=
=
+∫
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
253
Donde 0y es la desviación inicial del nivel objetivo. Se pide:
a) Encontrar la trayectoria óptima global.
b) Suponiendo ahora que ( )Ty es libre, encuentre la trayectoria global
óptima de la variable de estado, y discuta qué le sucede al estado
terminal ( )Ty cuando el horizonte +∞→T y también cuando .c +∞→
7.- De un stock de capital igual a ( )tK en el instante “t” se puede producir
un bien a una tasa ( )( ).tKF La función de producción “F” se asume que
es de clase dos, creciente y cóncava. Esta producción puede consumirse,
produciendo inmediata satisfacción, o puede invertirse para aumentar el
stock de capital y por tanto la capacidad productiva futura. La producción
( )( )tKF es por tanto la suma del consumo ( )tC y la inversión ( )tK' (el
cambio en el stock de capital).
Es decir:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )tKtKFtCtKtCtKF'' −=⇒+=
El problema consiste en elegir la parte de la producción a ser invertida en
cada instante “t” para maximizar la utilidad derivada del consumo a lo
largo del periodo [ ]T,0 . Es decir:
( )( )( ) ( )[ ]
( )( ) 0TK
00K:a.s
dttKtKFUmax
T
0
'
tK
≥
=
−∫
Se supone que la función de utilidad es una función de clase dos,
estrictamente creciente y estrictamente cóncava.
Resuelva el problema suponiendo que la función de utilidad es la función
de utilidad exponencial o función con coeficiente de aversión absoluta al
riesgo constante (CAAR):
( )( )( )
α−=
⋅α− tcetcU para 0α >
Donde el coeficiente de aversión absoluta al riesgo es:
( )( )( )( )
( )( )
( )
( )α=
α−−=−=β
⋅α−
⋅α−
tC
tC
e
e
tC'U
tC''UtC
Además asuma que la producción es:
( )( ) ( )tbKtKF = para 0b >
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
254
Solución:
1.- La formulación matemática de este problema es la siguiente:
( ) ( )[ ]( ) ( )( )
( ) ( )[ ]( ) ( )( )
( )( ) libre:TyNTx
00x:a.s
dttxtx2maxdttxtx2min
T
0
tx,txC
2'T
0
tx,txC
2'
''
=
=
−−=
+ ∫∫
−444 8444 76444 8444 76
La ecuación de Euler es:
( ) ( )( )25
x
C
dt
d
x
C
'
∂
−∂=
∂
−∂
[ ] ( )261xx2x2dt
d2 ''''' =⇒−=−=−
Integrando dos veces (26) se obtiene:
( ) ( )27BAt2
ttx
2
++=
La condición de transversalidad es:
( )( )280
x
CxC
Tt
'
' =
∂
−∂−−
=
( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ⇒=+−=−−−− 0TxTx2Tx2TxTxTx22'''2'
( )[ ] ( )Tx2Tx2' = ( )29
Por las condiciones iniciales tenemos que:
( )( )
( ) ( ) ( )30At2
ttx0BB0A
2
00x
22
+=⇒=⇒++=
Derivando (30) respecto del tiempo tenemos:
( ) ( )31Attx' +=
Evaluando (30) y (31) en “T” tenemos:
( ) ( )32AT2
TTx
2
+=
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
255
( ) ( )33ATTx' +=
Reemplazando (32) y (33) en (29) tenemos:
( ) 0AAT2TAAT2TAT2
T2AT 222
22 =⇒+=++⇒
+=+
Reemplazando “A” en (30):
( ) ( )342
ttx
2* =
Por las condiciones finales:
( ) ( )35N2TN2
TTx *
2
=⇒==
La matriz hessiana de “ ( ) ( )( )tx,txC '**− ” es:
( ) ( )( )[ ]
−=−
20
00tx,txCH '**
El hessiano es semidefinido negativo ya que tiene un autovalor nulo y el
otro negativo (igual a 2− ). Por tanto, ( )tx* maximiza globalmente a
( ) ( )( )[ ]dttx,txC
T
0
'∫ − y minimiza globalmente ( ) ( )( )[ ] .dttx,txC
T
0
'∫
N2T* = 0 t
( )tx
( ) 2ttx2* =
N
Figura 7
Derivando (34):
( ) ( )36ttx '* =
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
256
Reemplazando (34) y (36) en ( ) ( )( )tx,txC ' obtenemos el valor máximo de la
funcional objetivo:
( ) ( )( ) ( ) 23N2
0
222
'** N23
2dtt2t
2
t2tx,txC =⇒+
= ∫
2.- La formulación matemática de este problema es la siguiente:
[ ] ( )( )
( ) 0
T
0
rt
K0K:a.s
dtetCUmaxKJ
=
= ∫−
( ) ( )( )
( ) ( )
( )
( )( )
( ) ( )37,10e1
tKtbK
t,tK,tKfrt
tCU
1tC
'
' <γ<γ−
−
= −
γ−
444 3444 21
44 844 76
Las derivadas parciales de “f” de primer y segundo orden son:
( ) ( )38eKbKbebUf rt
U
'rt'K
'
−γ−− −==
4484476
( )39eKbKeUf rt'
Frt'
K '−
γ−
−
−−=−=
( ) ( )
( )40eKbKbeUbff rt1'rt''F
KKKK
'
''−+γ−− −γ=−==
( ) ( )( )41eKbKbeUbf rt1'2rt''2
KK−+γ−− −γ−==
( ) ( )( )42eKbKeUf rt
U
1'rt''KK
''
''−+γ−− −γ−==
444 8444 76
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )43eKbKKbKKbKreCUrUf rt
C
'''1''rt''''
tK
'
'−γ+−γ−−
−−γ+−=−=
48476
La ecuación de Euler será:
( )44fftKK '=
Reemplazando (38) y (43) tenemos:
( ) ( ) ( )*UUbrCeCUrUebU''''rt''''rt' −=⇒−= −−
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
257
Teniendo en cuenta que el coeficiente de aversión relativa al riesgo de
Arrow-Pratt es ( )( ) ( )( )
( )( )tCU
tCUtCt
'
''
r
⋅−=β , tenemos:
( )
( )
( )( )
( )( )**
t
rtKF
tC
tC
r
b
'
'
β
−
=
48476
Dado que se ha asumido que ( )( ) 0tCU'' < y ( )( ) 0tCU
' > , entonces
( ) .0tr >β Por lo que que:
( )
( )( )( ) rtKF0
tC
tC ''
>⇔>
Por tanto, el consumo crece si y sólo si la productividad marginal del
capital “ ( )( )tKF' ” excede a la tasa de descuento intertemporal “r”. Por
otro lado, si ( )( ) rtKF' < , existe tanta impaciencia a consumir que el
consumo empieza alto, y luego decrece en el tiempo.
Reescribiendo (**) tenemos:
( )
( )( ) ( )( ) ( )***tKFt
tC
tCr
b
'
TRC
r
' 4847644 844 76
=β+
La ecuación (***) se puede interpretar como una condición de equilibrio
intertemporal, en la que la tasa de retorno del consumo “TRC” debe ser
igual en todo instante a la tasa de retorno del ahorro (la productividad
marginal del capital o tasa de retorno real del capital).
Reemplazando 'U de (38), ''U de (42), y 'C de (43), en (*) tenemos:
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) 1'
1'
'''' KbK
rbbr
KbK
KbKKbK
−
+γ−
γ−
−γ
−=−
−−
−=−
( )450KKK0Krb
bKbrb
K '''''' =δ+θ−⇒=
γ
−+
+
γ
−−
δθ 484764484476
El polinomio característico es:
( ) .rb
yb0P 212
λ
−=λ=λ⇒=δ+θλ−λ=λ
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
258
La solución es:
( ) ( )46eAeAtK
trb
2bt
1*
γ
−
+=
Por tanto, la inversión óptima será:
( )( )
( )47erb
AbeAdt
tdKtI
trb
2bt
1
**
γ
−
γ
−+==
El producto nacional neto óptimo será:
( ) ( ) ( )48beAbeAtbKtY
trb
2bt
1**
γ
−
+==
El consumo óptimo será:
( ) ( ) ( ) ( )49erb
bAtItYtC
trb
2***
γ
−
γ
−−=−=
Considerando la condición inicial se tiene que:
( ) ( )50kAA0K 021* =+=
a) Para la condicón final ( ) TKTK = tenemos:
( ) ( )51KeAeATK T
Trb
2bT
1* =+=
γ
−
De (50) y (51) se obtiene que:
bTT
rb
bT0T
2
bTT
rb
T
Trb
01
ee
eKKAy
ee
KeKA
−
−=
−
−=
γ
−
γ
−
γ
−
Reemplazando “A1” y “A2” en (46), (47), (48) y (49) tenemos:
( ) ( )52e
ee
eKKe
ee
KeKtK
trb
bTT
rb
bT0Tbt
bTT
rb
T
Trb
0*
γ
−
γ
−
γ
−
γ
−
−
−+
−
−=
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
259
( ) ( )53erb
ee
eKKbe
ee
KeKtI
trb
bTT
rb
bT0Tbt
bTT
rb
T
Trb
0*
γ
−
γ
−
γ
−
γ
−
γ
−
−
−+
−
−=
( ) ( )54be
ee
eKKbe
ee
KeKtY
trb
bTT
rb
bT0Tbt
bTT
rb
T
Trb
0*
γ
−
γ
−
γ
−
γ
−
−
−+
−
−=
( ) ( )55erb
b
ee
eKKtC
trb
bTT
rb
bT0T*
γ
−
γ
−
γ
−−
−
−=
Ahora constataremos que la senda del stock de capital maximiza la
funcional objetivo.
La matriz Hessiana de la función intermedia “f” en cualquier [ ]T,0t ∈ es:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )561b
bbtKtbKet,t'K,tKHf
2
1tC
'rt
−
−
−γ=
+γ−
−
44 844 76
El hessiano en ( ) ( )
t,t
'*K,tK
* lo obtenemos reemplazando (55) en (56):
( ) ( )
( )
( )
−
−
γ
−−
−
−γ=
+γ−
γ
−
γ
−
−
1b
bbe
rbb
ee
eKKet,t'K,tKHf
2
1
tC
trb
bTT
rb
bT0Trt
**
*
44444444 344444444 21
Para que el consumo óptimo sea positivo deberemos imponer las
siguientes condiciones:
( )57eKKyrb
bbT
0T <
γ
−>
Al ser ( ) ⇒> 0tC* ( ) ( )
t,t
'K,tKHf
** será semidefinido negativo ya que
tiene un autovalor nulo y el otro negativo e igual a ( ).b1 2+− Por tanto,
“F” es cóncava. En consecuencia, (52) maximiza la funcional objetivo.
Por ende, las trayectorias (53), (54) y (55) también serán óptimas.
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
260
b) Para la condición final ( ) :libreTK =
Junto con la ecuación de Euler y la condición inicial, deberemos utilizar
la siguiente condición de transversalidad:
( )580fTtK *' =
=
( ) ( )[ ] ( ) ( )590eTCeTKTbKf rT*rT*'*
TtK *' =−=−−= −γ−−γ−
=
Pero para:
( )( )( )[ ]
( )101
tCtCU
1
<γ<γ−
=
γ−
Tenemos que:
( )( )
( ) ( )( ) 0tC0
tC
1
tdC
tCdU>⇔>=
γ
( )( )
( ) ( )[ ]( )( ) 0tC0
tCtdC
tCUd
12
2
>⇔<γ−
=+γ
Por tanto, para que se verifiquen las hipótesis:
( )( )
( )0
tdC
tCdU>
( )( )
( )0
tdC
tCUd
2
2
<
Se deberá verificar que:
( ) [ ]T,0t0tC ∈∀>
Por tanto:
( ) 0TC* >
Lo cual implica que:
( ) ( )600eTCf rT*
TtK *' <−= −γ−
=
En consecuencia, para esta condición final, el problema no tendría
solución ya que (60) contradice a (59).
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
261
3.- Se consideran todas las curvas ( )tx de clase C2 que parten de ( ),1,0A =
que por tanto satisfacen la condición inicial, y que llegan a la recta
( ) ,t34t −=φ por lo que cumplen la condición final ( ) ( ) ,t34ttx 111 −=φ= tal
como se aprecia en la figura 8. A cada una de dichas funciones se les
asigna como valor objetivo, la longitud total del arco de la curva ( )tx , que
parte de ( )1,0A = y llega a la recta ( ) .t34t −=φ
Ahora vamos a deducir una expresión que nos permita calcular la
longitud de arco de una curva ( )tx que parta de ( )1,0A = y llegue a la
recta ( ) .t34t −=φ Para ello nos vamos a apoyar en el hecho que para dos
puntos muy próximos de una curva, la longitud de arco entre dichos
puntos se puede expresar, gracias al teorema de Pitágoras, de la siguiente
forma (ver la porción de la curva ( )tx encerrada en un círculo en la figura
8):
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )
( )
( )dt
dt
dx1dLdt
dt
dx1dLdxdtdL
2
22
2
22222 +=⇒
+=⇒+=
( ) ( )61dtx1dtdt
dx1dL
2'
2
+=
+=
dL
dt
dx
( )tx
t
( )1,0A =
( )tx*
( ) t34t −=φ
Figura 8
Por tanto, la longitud total del arco de la curva ( )tx , que parte de
( )1,0A = y llega a la recta ( ) t34t −=φ vendrá determinada por la
integral de “dL” desde 0t = hasta el instante terminal 1tt = :
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
262
[ ] ( ) ( )62dtx1xL
1t
0
2'∫ +=
En consecuencia, el problema a resolver consiste en determinar una
trayectoria que posea la longitud total de arco mínima, pero sujeta a la
condición terminal ( ) ,t34tx 11 −= esto es:
[ ] ( )
( )( ) 11
t
0
2'
t34tx
10x:a.s
dtx1xLmin
1
−=
≡=
+= ∫
[ ] ( )
( )( )
( )( ) 11
t
0
txF
2'
t34tx
10x:a.s
dtx1xLmax
1
'
−=
=
+−=− ∫
4484476
La ecuación de Euler es:
( )( )( )( )
( )( )( )( )
∂
∂=
∂
∂
tx
txf
dt
d
tx
txf
'
''
Sustituyendo las derivadas correspondientes tenemos:
( ) ( )B
A1
AxA
x1
x
x1
x
dt
d0
2
2'
2'
'
F
2'
'
'x
=−
=⇒=
+
−⇒
+
−=
44 844 76
Integrando 'x tenemos:
( ) ( ) ( )63tt0,CBttx 1≤≤+=
Por la condición inicial tenemos:
( ) ( ) ( )641Bttx1C0x +=⇒==
( ) ( )65Btx' =
Por la condición final tenemos:
( ) ( )663B
3tt341Bttx *1111
+=⇒−=+=
La condición de transversalidad es:
( )[ ] 0fxf*1
'
ttx'' =−φ+
=
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
263
Calculando y reemplazando las expresiones correspondientes tenemos:
( ) 0
B1
BB3B1
2
2 =
+
−−−++−
Resolviendo la ecuación anterior se obtiene que .3
1B = Por tanto, dado
que ( )( ) 910txF '* −= es una constante, entonces tanto “F” como “ F− ”
serán cóncavas y convexas, y en consecuencia ( )tx* será una trayectoria
que reemplazada en la funcional objetivo ( )[ ]txL hará que ésta sea
mínima.
En consecuencia, el instante final, la trayectoria óptima, y el valor de la
trayectoria óptima en el instante final vienen dados por:
( )6710
9t*1 = ( ) ( ) ( )68109t01
3
ttx* ≤≤+= ( ) ( )69
10
13tx *1
* =
La distancia mínima es:
[ ] .1010
3t
9
10dt
9
10dt
3
11xL
109
0
109
0
109
0
2
* ===
+= ∫∫
Note que dicha distancia mínima también se puede calcular utilizando la
fórmula de distancia entre los puntos ( ) ( ):1013,109y1,0
( ) ( ) .1010
3101311090d
22* =−+−=
4.- La formulación matemática de este problema es la siguiente:
[ ] ( )( )
( ) 0
T
0
rt
S0S:a.s
dtetCUmaxKJ
=
= ∫−
( )( )( ) ( ) ( )[ ]
( ),0ee
tCU
tStiStC '
>αα
−=α
−=
−α−α−
( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]( )
( )70e1
t,tS,tSf rttStiS'
tC
' −−α−
α−=
44 844 76
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
264
Las derivadas parciales de “F” de primer y segundo orden son:
( ) ( )71;ief rttC
S−α−= ( ) ( )72;ef
rttCS '
−α−−=
( ) ( )73;ieff
rttCSSSS ''
−α−α== ( ) ( )74;eif rttC2SS
−α−α−=
( ) ( )75;efrttC
SS ''−α−α−= ( )[ ] ( ) ( )76ertCf
rttC'tS '
−α−+α=
La ecuación de Euler será:
( )77fftSS '=
Reemplazando (71) y (76) en (77) tenemos:
( ) ( )[ ] ( ) rttC'rttCertCie
−α−−α− +α=
( )[ ] ( )78rtCi ' +α=
Pero:
( ) ( ) ( ) ( )79tStiStC '''' −=
Reemplazando (79) en (78) se obtiene:
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )80br
tiStSrtStbSb ''''''
α
−=−⇒+−α=
El polinomio característico es:
( )
=λ
=λ⇒=λ−λ=λ
i
00iP
2
12
La solución complementaria es:
( ) ( )81eAAtS it21
*c +=
Por tanto:
( ) ( ) ( )820tS1tS '11 =⇒=
( ) ( ) ( )83ietSetS it'2
it2 =⇒=
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
265
El determinante Wronsquiano es:
( ) 0ieie0
e1tW
it
it
it
≠==
En consecuencia, ( )tS1 y ( )tS2 son linealmente independientes.
Entonces:
( ) it
it
it
1 eri
ieir
e0
tW
α
−=
α
−= ( )α
−=
α
−=ir
ir0
01
tW2
( ) ( )( )
( )( )84t
i
ridt
i
ridt
tW
tWtStS
11p1
α
−=
α
−== ∫∫
( ) ( )( )
( )( )85
i
ridte
i
iredt
tW
tWtStS
2
itit22p2
α
−=
α
−== ∫∫ −
Sumando (84) y (85) obtenemos la solución particular:
( ) ( )86i
rit
i
ritS
2p
α
−+
α
−=
Sumando (81) y (86) obtenemos la solución general:
( ) ( )87i
rit
i
rieAAtS
2
it21
*
α
−+
α
−++=
Derivando (87) respecto de “t” tenemos:
( ) ( ) ( )88i
riieAtStI
it2
'**
α
−+==
De (70) sabemos que:
( ) ( ) ( ) ( )89tri
iAtStiStC 1'***
α
−+=−=
Considerando la condición inicial se tiene que:
( ) ( )90Si
riAA0S 0221
* =
α
−++=
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
266
a) Para la condicón final ( ) TSTS = tenemos:
( ) ( )91Si
riT
i
rieAATS T2
iT21
* =
α
−+
α
−++=
De (90) y (91) tenemos:
( )( )92
1e
i
rieiT1SeS
AiT
2
iTT
iT0
1−
α
−−++−
=
( )931e
Ti
irSS
AiT
0T
2−
α
−+−
=
Reemplazando (92) y (93) en (87), (88) y (89) tenemos:
( )( )
( )94i
rit
i
rie
1e
Ti
irSS
1e
i
rieiT1SeS
tS
2
it
iT
0T
iT
2
iTT
iT0
*
α
−+
α
−+
−
α
−+−
+
+−
α
−−++−
=
( ) ( ) ( )95i
riie
1e
Ti
irSS
tStI it
iT
0T
'**
α
−+
−
α
−+−
==
( )( )
( )96tri
i1e
i
rieiT1SeS
tCiT
2
iTT
iT0
*
α
−+
−
α
−−++−
=
Ahora constataremos que la trayectoria del ahorro (y por tanto la del
consumo) maximiza globalmente la funcional objetivo.
La matriz Hessiana de la función intermedia, para cualquier [ ],T,0t ∈
evaluada en ( ) ( )
t,t
'*S,tS
* es:
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
267
( ) ( ) ( ) ( )971i
iiet,t
'*S,tSHf
2rttC* *
−
−α= −α−
La matriz hessiana ( ) ( )
t,t
'*S,tSHf
* será semidefinida negativa ya que
tiene un autovalor nulo y el otro negativo e igual a ( ).i1 2+− Por tanto, la
función intermedia “F” es cóncava.
En consecuencia, la ecuación (94) maximiza la funcional objetivo. Por
ende, las trayectorias dadas por (95) y por (96) también serán óptimas.
b) Para la condición final ( ) :libreTS =
Junto con la ecuación de Euler y la condición inicial, deberemos utilizar
la siguiente condición de transversalidad:
( )980fTtS *' =
=
Reemplazando (72) en (98) y evaluando en “T” tenemos la siguiente
expresión:
( ) ( )990ef rTTC
TtS
*
*' ≠−= −α−
=
Por tanto, en este caso particular, el problema en cuestión no tendrá
solución ya que la ecuación (99) contradice a la ecuación (98).
5.- De acuerdo al enunciado del problema tenemos que la tasa de cambio
instantánea de los costos totales de la empresa en cualquier instante “t” será:
( ) ( ) ( )
dt
tdC
dt
tdC
dt
tdC InventprodTot+= (100)
Aplicando la regla de la cadena a la tasa de cambio instantánea de los
costos de producción, se tiene:
( ) ( ) ( ) ( )
dt
tdC
dt
tdq
dq
tdC
dt
tdC Inventprod
prod
prodTot+⋅= (101)
Definamos a “ ( )tq prod ” como la cantidad producida en cada instante de
tiempo “t”. Por el enunciado del problema se tiene que en cada “t” dicha
cantidad deberá ser igual al inventario acumulado. Esto es:
( ) ( )txtq prod = (102)
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
268
Derivando (102) respecto al tiempo, y teniendo en cuenta que por el
enunciado del problema y por (102) resulta que ( )( )
,dt
tdqtP
prod=
entonces tenemos que:
( )( )
( )txdt
tdqtp 'prod
== (103)
Por otro lado, de acuerdo al enunciado del problema:
( )( )tpK
dq
tdC1
prod
prod⋅= (104)
( )( )txK
dt
tdC2
Invent⋅= (105)
Reemplazando (103), (104) y (105) en (2) se tiene que:
( )( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )txKtpKtxKtptpK
dt
tdC2
2121
Tot⋅+⋅=⋅+⋅⋅=
( )( )[ ] ( )txKtxK
dt
tdC2
2'1
Tot⋅+⋅= (106)
Por tanto, el costo total de la empresa en el periodo [ ]T,0 será:
( )[ ] ( )∫
⋅+⋅
T
0
2
2'1 dttxKtxK (107)
En consecuencia, el problema que deberá resolver la empresa será:
( )[ ] ( )
( )( )( ) 0tp
ATx
00x:a.s
dttxKtxKmin
T
0
2
2'1
≥
=
=
⋅+⋅∫
(108a)
Por lo que el problema equivalente será:
( )[ ] ( )
( )( )( ) 0tp
ATx
00x:a.s
dttxKtxKmax
T
0
2
2'1
≥
=
=
⋅+⋅−∫
(108b)
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
269
a) La ecuación de Euler a resolver será:
( )
( )
( )( )
dt
txdt
tdCd
tx
dt
tdC 'TotTot ∂
−∂
=∂
−∂
( )[ ]( ) ( )
K2
KtxtxK2K
dt
txK2dK
2''''12
'1
2 =⇒−=−⇒−
=− (109)
Integrando (109) tenemos:
( ) 32' Kt
K2
Ktx += (110)
Integrando (110) tenemos:
( ) 432
1
2* KtKtK4
Ktx ++= (111)
Aplicando las condiciones iniciales a (111) se tiene:
( ) 0K0x 4* == (112)
Reemplazando (112) en (111) tenemos:
( ) tKtK4
Ktx 3
2
1
2* += (113)
Aplicando las condiciones finales a (113) se tiene:
( ) TK4
K
T
AKATKT
K4
KTx
1
233
2
1
2* −=⇒=+= (114)
Reemplazando (114) en (113) resulta:
( ) ( )Tt0tTK4
K
T
At
K4
Ktx
1
22
1
2* ≤≤
−+= (115)
Para que ( ) 0tP ≥ debe verificarse:
( ) ( ) 0txtP '** ≥= (116)
Derivando (115) respecto al tiempo tenemos:
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
270
( ) ( ) ( )Tt0TK4
K
T
At
K2
Ktptx
1
2
1
2*'* ≤≤−+== (117)
Reemplazando (117) en (116) se obtiene:
0TK4
K
T
At
K2
K
1
2
1
2≥−+ (118)
Dado que K1 y K2 son constantes positivas y ,Tt0 ≤≤ entonces,
para que (118) se verifique en cualquier [ ]T,0t ∈ bastará con que:
TK4
K
T
A0T
K4
K
T
A
1
2
1
2≥⇒≥− (119)
b) Para este nuevo caso, en el que “T” es libre, siguen siendo válidas la
ecuación de Euler, las condiciones iniciales y las condiciones finales
(pero “T” es desconocido) y las ecuaciones (115), (117) y (119). Pero
ahora hay que añadir la condición de transversalidad correspondiente
a “T” desconocido:
[ ][ ]
0x
xKxK
xxKxK
Tt
'
2
2'1
'2
2'1 =
∂
⋅−⋅−∂
⋅−
⋅+⋅−
=
(120)
( )[ ] ( ) ( ) ( ) 0TxK2TxTxKTxK *'1
*'*2
2*'1 =⋅+
⋅+⋅−
( )[ ] ( ) ( )[ ] 0TxK2TxKTxK2*'
1*
2
2*'1 =+⋅−⋅−
( )[ ] ( ) 0TxKTxK *2
2*'1 =⋅− (121)
Reemplazando (115) y (117), evaluadas en “T”, en (121) tenemos:
0TTK4
K
T
AT
K4
KKT
K4
K
T
AT
K2
KK
1
22
1
22
2
1
2
1
21 =
−+⋅−
−+
0AKT
AT
K4
KK 2
2
1
21 =−
+ (122)
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
271
Factorizando se tiene:
0TK4
K
T
AK
2
1
21 =
−
Entonces, como 0K1 > tenemos:
0K
AK2T0T
K4
K
T
A
2
1*
1
2>+=⇒=−
En consecuencia, reemplazando “T*”
en (115) y (117) tenemos:
( ) ( )*2
1
2* Tt00tK4
Ktx ≤≤≥=
( ) ( ) ( )*
1
2*'* Tt00tK2
Ktptx ≤≤≥==
c) La condición necesaria de Legendre:
( )[ ] ( )
( )0K2
tx
txKtxK
12'
*2
2'*1
2
<−=∂
⋅−⋅−∂
Nos dice que ( )tx* , tanto para el apartado a) como para el apartado
b), es un máximo local del problema (108b) y un mínimo local del
problema (108a).
d) Para verificar la globalidad de las soluciones debemos verificar si la
función intermedia es cóncava en ( )'x,x para cada [ ]T,0t ∈ en el
problema (108b). Para ello bastará con verificar que el Hessiano de la
función intermedia es semidefinido negativo en ( )'x,x para cada
[ ]T,0t ∈ . El Hessiano de la función intermedia para cada [ ]T,0t ∈
viene dado por:
( )[ ] ( )
−=
⋅−⋅−
12
2'1
K20
00txKtxKH
Los autovalores del Hessiano son:
0K2y0 121 <−=λ=λ
Por tanto, el Hessiano de la función intermedia es semidefinido
negativo, y ( )tx* , tanto para el apartado a) como para el apartado b),
es un máximo global del problema (108b) y un mínimo global del
problema (108a).
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
272
6.- El problema original y el problema equivalente vienen dados por:
( ) ( )[ ]
( )( ) 0Ty
y0y:a.s
dttyctymin
0
T
0
2'2
=
=
+∫
(123a) ≡
( ) ( )[ ]
( )( ) 0Ty
y0y:a.s
dttyctymax
0
T
0
2'2
=
=
+−∫
(123b)
a) La ecuación de Euler a resolver será:
( ) ( )[ ]( )
( ) ( )[ ] ( )
dt
tytyctyd
ty
tycty'2'22'2 ∂
+−∂
=∂
+−∂
( )( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) 0tyc
1tytcy2ty2
dt
tcy2dty2 ''''
'
=−⇒−=−⇒−
=− (124)
El polinomio característico de (124) es:
−=
+=
⇒=−
c
1r
c
1r
0c
1r
2
1
2 (125)
La solución complementaria (y también total) de (124) será:
( ) ( ) tc1tc1*c
* BeAetyty−
+== (126)
Ya que el Wronsquiano construido con:
( ) ( ) tc1'1
tc11 ec1tyety =⇒=
( ) ( ) tc1'2
tc12 ec1tyety
−−−=⇒=
Y que viene dado por:
( ) ( ) 0tW0c12
ec1ec1
eetW
tc1tc1
tc1tc1
≠⇒<−=
−
=−
−
Aplicando las condiciones iniciales a (126) se tiene:
( ) 0* yBA0y =+= (127)
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
273
Aplicando las condiciones finales a (126) se tiene:
( ) Tc12Tc1Tc1*AeB0BeAeTy −=⇒=+=
− (128)
Reemplazando (128) en (127) tenemos:
Tc12
0
Tc12
0
e1
yBy
e1
yA
−−
=
−
= (129)
Reemplazando (129) en (126) tenemos:
( ) tc1
Tc12
0tc1
Tc12
0*e
e1
ye
e1
yty
−
−
−
+
−
= (130)
Para verificar la globalidad de ( )ty* debemos verificar si la función
intermedia es cóncava en ( )'y,y para cada [ ]T,0t ∈ en el problema
(123b). Para ello bastará con verificar que el Hessiano de la función
intermedia es semidefinido negativo en ( )'y,y para cada [ ]T,0t ∈ . El
Hessiano de la función intermedia para cada [ ]T,0t ∈ viene dado por:
( ) ( )[ ]
−
−=
+−
c20
02tyctyH
2'2
Los autovalores del Hessiano son:
0c2y2 21 <−=λ−=λ
Por tanto, el Hessiano de la función intermedia es definido negativo,
por lo que la función intermedia de (123b) será estrictamente cóncava.
Entonces, ( )ty* es un máximo global del problema (123b) y un
mínimo global del problema (123a).
Finalmente, la trayectoria óptima global será:
( ) xe
e1
ye
e1
ytx
tc1
Tc12
0tc1
Tc12
0* +
−
+
−
=−
−
b) Para este nuevo caso, en el que “ ( )Ty ” es libre, siguen siendo válidas
la ecuación de Euler, la condición inicial y las ecuaciones (126) y
(127). Pero ahora hay que añadir la condición de transversalidad
correspondiente a “ ( )Ty ” desconocido:
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
274
( ) ( )[ ]( )
0ty
tycty
Tt
'
2'2
=∂
+−∂
=
( ) ( ) 0Ty0Tcy2*''* =⇒=− (131)
Derivando (126) respecto al tiempo tenemos:
( ) tc1tc1*' ec1Bec1Aty−
−= (132)
Evaluando (132) en “T”, y teniendo en cuenta (131) se tiene:
( ) 0ec1Bec1ATyTc1Tc1*' =−=
− (133)
De (127) y (133) se obtiene:
Tc12
0
Tc12
0
e1
yBy
e1
yA
−+
=
+
= (134)
Reemplazando (134) en (133) tenemos:
( ) tc1
Tc12
0tc1
Tc12
0*e
e1
ye
e1
yty
−
−
+
+
+
= (135)
De manera análoga al apartado a) podemos verificar que ( )ty* es un
máximo global del problema (108b) y un mínimo global del problema
(108a) con “ ( )Ty ” libre.
Evaluando (135) en “T” obtenemos:
( ) Tc1
Tc12
0Tc1
Tc12
0*e
e1
ye
e1
yTy
−
−
+
+
+
=
( )Tc1Tc1
0*
ee
y2Ty
−+
=
Por otro lado, cuando +∞→T ( )Ty* tiende a:
( ) 0
ee
y2límTylím
Tc1Tc1
0
T
*
T→
−
=−+∞→+∞→
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
275
Asimismo, cuando 0c → ( )Ty* tiende a:
( )
−
=
−
=→−→→
1e
ey2lím
ee
y2límTylím
Tc12
Tc10
0cTc1Tc1
0
0c
*
0c
Ya que si reemplazamos 0c → en ( )Ty* se obtiene la forma
indeterminada ,∞
∞ podemos aplicar L’Hôpital:
( ) 0
e
ylím
ec12
ec1y2límTylím
Tc1
0
0cTc12
Tc10
0c
*
0c→
=
=→→→
Finalmente, podemos observar que si 0c → entonces ( ) 0ty* →
incluso cuando “T” es fijo. Esto se aprecia aplicando límites a (135)
cuando 0c → :
( )
+
+
+
=−
−→→
tc1
Tc12
0tc1
Tc12
0
0c
*
0ce
e1
ye
e1
ylímtylím
( )( )
0
e1
eelímytylím
Tc12
tT2c1tc1
0c0
*
0c→
+
+=
−
−−−
→→
Lo anterior no es sorprendente, ya que según “c” se hace pequeño, es
decir, los costos se hacen insignificantes, entonces ( )ty* se ajusta a
cero casi inmediatamente.
7.- El problema a resolver es:
( )( )[ ]
( )( )
( ) ( ) ( )tKtKbtC
0TK
00K:a.s
dttCUmax
'
T
0tK
−⋅=
≥
=
∫ (136)
La ecuación de Euler es:
[ ]dt
KUd
K
U'∂∂
=∂
∂
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
276
( )( )
dt
K
tCUd
K
tCU
'
'
'
∂
∂
=∂
∂⋅
[ ]'
'
'
'''''''
'''
C
F
U
UCUFU
dt
UdFU =−⇒⋅−=⋅⇒
−=⋅ (137)
Para la función de utilidad exponencial o función con coeficiente de
aversión absoluta al riesgo constante (CAAR):
( )( )( )
α−=
⋅α− tce
tcU para 0α >
Se tiene que el coeficiente de Arrow-Pratt de aversión absoluta al riesgo
es:
( )( )( )( )
( )( )
( )
( )α=
α−−=−=β
⋅α−
⋅α−
tC
tC
e
e
tC'U
tC''UtC (138)
Reemplazando (138) en (137) tenemos:
α=⇒=α
''
'
'F
CC
F (139)
Por otro lado, la producción es:
( )( ) ( )tbKtKF = (140)
Entonces:
( )( ) btKF' = (141)
Reemplazando (141) en (139) se obtiene:
( )α
=b
tC '
Por tanto, integrando obtenemos:
( ) γ+α
= tb
tC* (142)
Reemplazando (140) y (1142) en (136) se tiene que:
( ) ( ) ( )tKtbKtb
tC '* −=γ+α
=
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
277
( ) ( ) γ−α
−=− tb
tbKtK '
La ecuación diferencial homogénea es:
( ) ( ) 0tbKtK' =−
El polinomio característico de la ecuación diferencial homogénea es:
( ) b0bP =λ⇒=−λ=λ
Entonces, la solución complementaria será:
( ) btc etK θ= (143)
Por lo que tenemos:
( ) bt1 etK =
El Wronsquiano vendrá dado por:
( ) 0eetW btbt >==
Para hallar la solución particular necesitamos calcular ( )tW1 :
( ) γ−α
−=γ−α
−= tb
tb
tW1
Por tanto, la solución complementaria será:
( ) ( )( )
( ) ∫∫α
+α
+αγ=
γ−
α−
==t
b
1dt
e
tb
edttW
tWtKtK
bt
bt11c (144)
La trayectoria del capital será:
( ) ( ) ( ) btpc
* et
b
1tKtKtK θ+
α+
α
+αγ=+= (145)
En este caso utilizaremos la condición de transversalidad de “línea
terminal vertical truncada”, esto es:
( ) ( )( )( )
0U0TK0TK0U
CHC
TtK**
TtK '' =
⋅−>≤
==
4444 84444 76
(146)
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
278
En este caso tenemos que:
( )[ ] ( ) 0eTCUU TC'
TtK ' <−=−= α−
=
Por tanto, por la (CHC) que aparece en (146) se tiene que:
( ) 0KTK mín* == (147)
Evaluando (145) en “T”, y teniendo en cuenta (147) tenemos:
( ) 0eT
b
1TK bT* =θ+
α+
α
+αγ= (148)
Aplicando la condición inicial a (1145) obtenemos:
( )b
1KK
b
10K 00
*
α
+αγ−=θ⇒=θ+
α
+αγ= (149)
Reemplazando (1149) en (148) tenemos:
( )
( )1e
1bT1Kbe
bT
0bT
−α
++−α=γ (150)
Reemplazando (150) en (149) resulta:
( )bT
0
e1
TK
−α
+α=θ (151)
Reemplazando (150) y (151) en (145) resulta:
( )( )
( ) ( )bt
bT
0
bT
bT0*
e
e1
TKt
1e
TeKtK
−α
+α+
α+
−α
+α= (152)
Derivando respecto (152) del tiempo tenemos:
( )( )
( )bt
bT
0'*e
e1
TKb1tK
−α
+α+
α= (153)
Reemplazando (150) en (142) resulta:
( )( )
( )1e
1bT1Kbet
btC
bT
0bT
*
−α
++−α+
α= (154)
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
279
Ahora constataremos que la trayectoria del capital, ecuación (152), y la
trayectoria de la inversión, ecuación (153), maximizan globalmente la
funcional objetivo.
La matriz Hessiana de la función intermedia, para cualquier [ ],T,0t ∈
evaluada en ( ) ( )
t,t
'*K,tK
* es:
( ) ( ) ( )
−
−α= α−
1b
bbet,t
'*K,tKHU
2tC* *
La matriz hessiana ( ) ( )
t,t
'*K,tKHU
* será semidefinida negativa ya que
tiene un autovalor nulo y el otro negativo e igual a ( ).b1 2+− Por tanto,
la función intermedia “U” es cóncava.
En consecuencia, las ecuaciones (152) y (153) maximizan globalmente la
funcional objetivo. Por ende, la trayectoria dada por (154) también será
óptima.
7. Horizonte temporal infinito
Un supuesto común en economía es considerar horizonte temporal infinito.
Este supuesto es razonable cuando los agentes enfrentan decisiones de muy
largo plazo y cuando los agentes se preocupan por el bienestar de sus
descendientes. La forma general del problema de cálculo de variaciones a
resolver en este caso sería:
( )
[ ] ( ) ( )( )
( )( )
=
=
= ∫∞
librefinalx
x0x:a.s
dtt,tx,txfxJmax
XX
0
0
'
Dado que ahora la funcional está dada por una integral impropia, para que
esta funcional esté definida, la integral debe ser convergente. A continuación
se presentan dos condiciones suficientes para que la funcional objetivo sea
convergente.
7.1 Condiciones para la convergencia de la funcional objetivo
Condición 1: Dada la integral impropia [ ] ( ) ( )( )dtt,tx,txfxJ
0
'∫∞
= , si la
función intermedia “f” posee un valor finito hasta el periodo “T”, y
luego toma un valor nulo y éste se mantiene constante a lo largo del
tiempo, entonces la integral converge.
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
280
Condición 2: Si la función intermedia es descontada mediante el
factor de descuento ( ),0re rt >− y durante todo el horizonte temporal
posee un valor mayor o igual a cero y menor o igual a “S”
( ),S0 +∞<≤ entonces la integral converge. Más formalmente, ya que
el valor de ( ) ( )( )t,tx,txf ' no puede nunca exceder el valor de su cota
superior “S”, podemos escribir:
[ ] ( ) ( )( )r
SdtelímSdteSdtet,tx,txfxJ
b
0
rt
b
rt
0
rt
0
' ==≤= ∫∫∫−
+∞→
−∞
−∞
7.2 Condiciones de transversalidad
Cuando el horizonte temporal es infinito, la ecuación de Euler y la
condición suficiente de segundo orden siguen siendo válidas para la
resolución del problema de cálculo de variaciones. No obstante la
condición de transversalidad se modifica ligeramente. En lugar de
utilizar la condición (XI), ahora se emplea la siguiente condición:
[ ] ( ) [ ] ( )XXItfxftxf 1tx
'1
tx '' ∆⋅−+∆⋅∞→∞→
Donde cada uno de los dos términos deberá desaparecer
individualmente.
Considerando el segundo término de (XXI), como el horizonte temporal
es infinito, ,0t1 ≠∆ entonces deberá cumplirse la siguiente condición:
[ ] ( )XXII0fxflím 'x'
t=−
∞→
Considerando el primer término de (XXI), existen dos posibilidades a
tener en cuenta:
a) Si un estado terminal asintótico (meta asintótica), se especifica en el
problema:
( ) ( )XXIIIdaespecificaconstanteuna:xtxlímt
∞∞→
=
Entonces el primer término de (XXI) será nulo, ya que ( ) ,0tx 1 =∆
por lo que la condición a utilizar será la ecuación (XXIII).
b) Si el valor terminal de la senda no está especificado (es libre), al
igual que en (XX), deberá cumplirse la siguiente condición:
[ ] ( )XXIV0flím 'xt=
∞→
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
281
Si el estado terminal está sujeto a la restricción del tipo ( ) mín1* xtx ≥ ,
entonces deberemos utilizar la condición (XX). No obstante, en la
práctica, siempre podremos utilizar (XXIV) primero. Si la restricción
( ) mín1* xtx ≥ es satisfecha por la solución, entonces el problema
termina. De lo contrario, tendremos que utilizar mínx como un estado
terminal dado.
7.3 Condición Suficiente
Si la función intermedia ( ) ( )( )t,tx,txf ' es cóncava (convexa) en las
variables ( )'x,x en un problema con horizonte temporal infinito,
entonces la ecuación de Euler más la siguiente condición suplementaria:
( )[ ] 0xxflím*
xt' ≤−⋅
+∞→
Son suficientes para un máximo (mínimo) absoluto de [ ]xJ .
En esta condición, “ 'xf ” está evaluada en la trayectoria óptima, y
( )*xx − representa la desviación de cualquier trayectoria admisible
“ ( )tx ” de la trayectoria óptima “ ( )tx* ”.
Ejemplo:
Modelo de Inversión12: Este modelo fue desarrollado por Eisner y
Strotz (1963). El modelo se centra en la inversión neta como un proceso
que amplía el tamaño de la planta de una empresa. Por tanto, no se
considera la depreciación del stock de capital. Se supondrá que una
empresa tiene como único insumo el capital K, que ( ) 2BKAKK −=π
( )0ByA > es su función de beneficios brutos, y que ( ) ( ) '2''bKKaKC +=
( )0bya > es su función de costos de inversión (expansión de la
planta). Además, ,0brA >− donde “r” es el factor de descuento.
El objetivo de la empresa es escoger la trayectoria ( )tK* que maximiza
el valor presente de sus beneficios netos a lo largo del tiempo, esto es:
[ ] ( ) ( )( )
( )( ) libre:finalK
0K0K:a.s
dtebKKaBKAKmaxKJ
0
0
t,K,Kf
rt'2'2
'
>=
+−−= ∫
∞−
4444444 84444444 76
12
Basado en Eisner, R. y Strotz, R., “Determinants of Business Investment”, Impacts of Monetary Policy,
Prentice-Hall, Englrwood Cliffs, New Jersey 1963, pp. 60-233.
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
282
Donde:
( ) ( ) ( ) rt'2'2' ebKKaBKAKt,K,Kf −
+−−=
Con derivadas:
( ) rtK eBK2Af −−= ( ) rt'
KebaK2f '
−+−= rtKK Be2f −−=
0ffKKKK '' == rt
KKae2f ''
−−= ( )[ ] rt'''tK
eaK2rbaK2f '−−+=
La ecuación de Euler es:
( ) ( )[ ] rt'''rttKK eaK2rbaK2eBK2Aff '
−− −+=−⇒=
( )155a2
ArbK
a
BrKK '''
−=−−
Tenemos una ecuación diferencial ordinaria no homogénea de orden dos con
coeficientes constantes, cuyo polinomio característico es:
( )
( )
( )
+−=λ
++=λ
⇒=−λ−λ=λ
2
aB4rr
2
aB4rr
0ar
BrP
2
2
2
12
La solución complementaria es:
( )
( ) ( )
( )156eAeAtK
t2
aB4rr
2
t2
aB4rr
1c
22
+−
++
+=
Dos soluciones de ( )tKc son:
( )
( )
( )( )
( )t
2
aB4rr
2'1
t2
aB4rr
1
22
e2
aB4rrtKetK
++
++
++
=⇒=
( )
( )
( )( )
( )t
2
aB4rr
2'2
t2
aB4rr
2
22
e2
aB4rrtKetK
+−
+−
+−
=⇒=
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
283
El Wronsquiano será:
( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
t2
aB4rr
2t
2
aB4rr
2
t2
aB4rrt
2
aB4rr
22
22
e2
aB4rre
2
aB4rr
ee
tW
+−
++
+−
++
+−
++
=
( ) ( ) 0eaB4rtW rt2 ≠+−=
Dado que ( ) ,0tW ≠ las soluciones ( ) ( )tKytK 21 son linealmente
independientes.
En consecuencia:
( )
( )
( )( )
( )t
2
aB4rr
t2
aB4rr
2
t2
aB4rr
1
2
2
2
ea2
rbA
e2
aB4rr
a2
Arb
e0
tW
+−
+−
+−
−=
+−−
=
( )
( )
( )( )
( )t
2
aB4rr
t2
aB4rr
2
t2
aB4rr
2
2
2
2
ea2
Arb
a2
Arbe
2
aB4rr
0e
tW
++
++
++
−=
−
++
=
Por tanto:
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
dte
aB4ra2
eArbdt
tW
tWtK
t2
aB4rr
2
t2
aB4rr
11
2
2
∫∫
++
−
++
+
−=
( )( )
( ) ( ) ( )
+++
−=∫
aB4rraB4ra
rbAdt
tW
tWtK
22
11
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
284
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
dte
aB4ra2
eArbdt
tW
tWtK
t2
aB4rr
2
t2
aB4rr
22
2
2
∫∫
+−
−
+−
+−
−=
( )( )
( ) ( ) ( )
+−+
−=∫
aB4rraB4ra
Arbdt
tW
tWtK
22
22
La solución particular será:
( )( ) ( ) ( ) ( )
+−+
−+
+++
−=
aB4rraB4ra
Arb
aB4rraB4ra
rbAtK
2222p
Simplificando:
( )1570B2
rbAK p >
−=
Por tanto, la trayectoria óptima es:
( )
( ) ( )
( )158B2
rbAeAeAtK
t2
aB4rr
2
t2
aB4rr
1*
22
−++=
+−
++
( )( )
( )
( )( )
t2
aB4rr
2
2
t2
aB4rr
2
1'*
22
e2
aB4rrAe
2
aB4rrAtK
+−
++
+−
+
++
=
Obsérvese que 01 >λ y 02 <λ son reales y de signos opuestos y que el
supuesto 0brA >− implica que la solución particular .0Kp > La condición
inicial es:
( ) ( )159KKAA0K 0p21 =++=
Las condiciones de transversalidad son:
[ ] 0fKflím 'x'
t=−
∞→
( ) 0eKaBKAKlímCT rt2'2
t1 =
+−= −
∞→
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
285
Reemplazando ( )tK* y ( )tK
'* en el límite anterior obtenemos lo siguiente:
( ) ( ) 0eKaKBAKlímCT rt2'*2**
t1 =
+−= −
∞→
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0eBKAKeBAAeBK2AA
BAAA2eBAAeBK2AAlímCT
rt2pp
tr222
22
trp2
2121tr22
121
trp1
t1
22
11
=
−+−λ+−+
+−λλ+−λ
+−=
−−λ−λ
−λ−λ
∞→
La única forma de que este límite sea convergente a cero es que .0A1 = Por
tanto, de (159) se tiene que:
( )160KKA p02 −=
Entonces, reemplazando 0A1 = y p02 KKA −= en (158) tenemos que:
( )
( )
( )161B2
rbAe
B2
rbAKtK
t2
aB4rr
0*
2
−+
−−=
+−
La segunda condición de transversalidad:
[ ] ( )1620flím 'Kt=
∞→
No es necesaria en este problema. No obstante, si la utilizamos también
obtendremos que 1A debe ser nulo para evitar que (162) sea explosiva.
Ahora comprobaremos si la trayectoria del capital maximiza globalmente la
funcional objetivo. Para ello vamos a construir la matriz Hessiana de la
función intermedia, para cualquier [ )∞+∈ ,0t :
( ) ( )
−
−=
−
−
rt
rt*
ae20
0Be2t,t
'*K,tKHf
La matriz Hessiana es definida estrictamente negativa ya que posee sus dos
autovalores negativos ( )0ae2,0Be2 rt2
rt1 <−=λ<−=λ −− . Por tanto, la
función intermedia “f” es estrictamente cóncava en .'K,K
En este caso, la condición suplementaria a utilizar es:
( )[ ] [ ] ( )[ ] 0KKlímflím0KKflím*
tKt
*Kt
'*'* ≤−⋅⇒≤−⋅+∞→+∞→+∞→
(163)
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
286
Derivando (161) respecto del tiempo se tiene:
( )( )
( )
( )164eB2
rbAK
2
aB4rrtK
t2
aB4rr
0
2'*
2
+−
−−
+−
=
Por lo que:
[ ] ( )( )
t2
aB4rr
t0
2
Kt
2
'* elímB2
rbAK
2
aB4rrflím
+−
+∞→+∞→
−−
+−
=
[ ] 0flím '*Kt→
+∞→ ya que
( ).0
2
aB4rr 2
<+−
En cuanto a ( )*KK − , la forma cuadrática en “K” de la función de
beneficios, representada en la figura 9, sugiere que según “t” tienda a
infinito, la diferencia entre el valor “K” de cualquier trayectoria vecina
admisible y el valor “K*” es limitada. Por tanto, el hecho que “ '*K
f ” tienda a
cero conforme “t” tiende a infinito, nos asegura que la condición
suplementaria (163) se satisfaga como igualdad. En consecuencia, la
concavidad estricta de la función intermedia hará que la ecuación de Euler
sea suficiente para un máximo global estricto en la funcional objetivo.
2BKAK −=π
K B2A 0
Figura 9
V.3 Teoría de control óptimo
Las primeras investigaciones realizadas sobre control óptimo fueron efectuadas
por Valentine (1937), McShane (1939) y Hestenes (1949). Pero el verdadero
desarrollo de esta técnica fue realizado por los rusos Pontryagin, Boltyanskii,
Gamkrelidze y Mishchenko (1958). La teoría de control óptimo se ha aplicado
extensivamente a la solución de problemas económicos desde los tempranos
documentos de trabajo que aparecieron en Shell (1967) y los trabajos de Arrow
(1968) y Shell (1969). El campo es demasiado extenso para ser examinado
detalladamente aquí. Sin embargo, podemos citar algunos interesantes libros que
abordan este tópico: Seierstad y Sydsæter (1987), Kamien y Schwartz (1991),
Léonard y Long (1992), Takayama (1993) y (1997), Gandolfo (1997), Chiang,
A. (2000), De la Fuente, A. (2000).
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
287
1. Formulación del problema fundamental de control óptimo
En la sección V.2 hemos estudiado el método clásico para resolver
problemas de optimización dinámica, el cálculo de variaciones. No obstante,
esta técnica no resulta conveniente para resolver problemas de optimización
dinámica en los que aparecen restricciones sobre las derivadas de las
funciones que intervienen en dichos problemas. Además, mediante este
método sólo se admiten soluciones interiores.
La técnica moderna que permite tratar características no clásicas como
soluciones de esquina, restricciones en forma de desigualdad sobre las
trayectorias, y otras generalizaciones, es la teoría de control óptimo. Esta
técnica se centra en una o más variables de control13
que sirven como
instrumentos de optimización, y que están asociadas a una o más variables de
estado a través de la denominada ecuación de movimiento. Específicamente,
esta técnica tiene como principal objetivo determinar la trayectoria temporal
óptima para la/s variable/s de control, a partir de la/s cual/es podremos
determinar la/s trayectoria/s óptima/s de la/s variable/s de estado asociada/s.
Supongamos que tenemos un sistema que está representado en el tiempo por
ciertas variables, denominadas variables de estado, dadas por
( ) ( ) ( ),tx,,tx,tx n21 K cuya dinámica está descrita por un sistema de
ecuaciones diferenciales (tiempo continuo) o por un sistema de ecuaciones
en diferencias (tiempo discreto), y que pueden ser controladas por unas
variables denominadas variables de control, variables de decisión o instrumentos, denotadas por ( ) ( ) ( )tu,,tu,tu m21 K . El problema general de
control óptimo que se plantea es obtener una trayectoria (senda) para las
variables de estado ( ) ( ) ( )tx,,tx,tx n21 K eligiendo adecuadamente las
trayectorias temporales de las variables de control ( ) ( ) ( )tu,,tu,tu m21 K de
modo que se maximice un objetivo sujeto a determinadas restricciones.
En esta sección, vamos a plantear el problema más sencillo de control óptimo. El
problema fundamental del control óptimo se caracteriza porque la funcional a
optimizar (funcional objetivo) depende de una sola variable de estado, ( ),tx de
una sola variable de control, ( )tu14
, y de las condiciones de borde: condiciones
iniciales (completamente especificadas) y condiciones finales (donde el estado
terminal puede ser: libre (linea terminal vertical), una linea terminal vertical
truncada, o fijo). Asimismo, ( )tx no está sujeta a restricciones, ( )tu no está
sujeta a restricciones conjuntistas, es decir, ( ) ( ),,Utu +∞−∞=ℜ=∈ y el
horizonte temporal es continuo y fijo: [ ].t,tt 10∈ En términos formales, el
problema más simple de control óptimo es:
13
En economía, una variable de control (por ejemplo: el consumo, la tasa de impuestos (política fiscal), la
tasa de interés, la proporción de inversiones asignada a diferentes sectores, la tasa de extracción del stock
de un recurso agotable por unidad de tiempo, la inversión gubernamental) es un instrumento político que
permite influir sobre una variable de estado. En general, una variable de control está sujeta a la elección
discrecional del agente optimizador, y su elección afecta a la variable de estado. 14
La variable de control ( )tu puede escogerse de un conjunto de funciones U, denominado conjunto de
controles admisibles. Cuando ( ) ,Utu ∈ ( )tu es denominada control admisible. Al conjunto ,U de
imágenes de los controles admisibles, se le conoce como región de control.
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
288
( )[ ] ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( )
=
≥
=
=
ℜ=∈
= ∫
cybendado:x
dados:tyt,x
****bordedesCondicione:
xtxc
xtxb
libre:txa
:finalessCondicione
xtx:inicialessCondicione
***tu,tx,tgtx:estadodeEcuación
**Utu:a.s
*dttu,tx,tfuJmax
1
100
11
11
1
00
'
objetivoFuncional
t
t
ermediaintFunción
tu
1
0 44444 344444 21
44 84476
En (XXV)15
, la funcional objetivo, tiene como argumento a “u” y no a “x” y
la función intermedia tiene a “u” como argumento en lugar de “ 'x ” como
ocurría en el cálculo de variaciones. Además, debido a la presencia de “u”, es
indispensable contar con una conexión entre dicha variable y “x” para saber
cómo “u” afectará a la trayectoria adoptada por “x”. Esta información es
proporcionada por la ecuación diferencial, denominada ecuación de movimiento, de transición o de estado, que relaciona a “x” con “u”. Esta
ecuación nos muestra cómo, en cada momento del tiempo, para un valor
dado de “x”, la variable de control “u”, elegida por un “planificador”, guiará
a “x” a lo largo del tiempo. Una vez determinada la senda óptima de la
variable de control, ( ),tu* la ecuación de estado permitirá obtener la
trayectoria óptima de la variable de estado ( ).tx*
Para que (XXV) pueda resolverse, deberá verificarse que las funciones
( ) ( )( )tu,tx,tf y ( ) ( )( )tu,tx,tg sean continuas en todos sus argumentos, y posean
derivadas parciales de primer orden continuas con respecto a “t” y a “ ( )tx ”, pero
no necesariamente respecto a ( ).tu Además, ( )tu no tendrá que ser continua
para llegar a ser admisible; sólo necesitará ser continua a trozos16. Asimismo,
( )tx debe ser continua en el periodo de planificación temporal, aunque puede
presentar un número finito de puntos agudos o esquinas17
. Es decir, para que una
senda de estado sea admisible sólo necesita ser diferenciable a trozos18
.
15
Sin pérdida de generalidad, supondremos que todos los problemas de control óptimo consisten en
maximizar la funcional objetivo. Esto se adopta debido a que todo problema de minimización siempre se
podrá reformular como un problema de maximización añadiendo el signo menos a la funcional objetivo. 16
Esto significa que es continua en todos los puntos, excepto, quizá, en un número finito de ellos. Es decir,
( )tu podrá contener un número finito de saltos en los que ( )tu no tienda a valores infinitos (cualquier
discontinuidad que involucre saltos finitos). 17
Una esquina es un punto de una función en el que su derivada es discontinua. En una esquina la función
no es diferenciable. 18
Esto significa que es diferenciable en todos los puntos, excepto, quizá, en un número finito de ellos. Es
decir, ( )tx podrá contener puntos en los que no sea diferenciable respecto al tiempo (esto es, puede existir
un número finito de puntos donde las derivadas laterales derecha e izquierda de ( )tx respecto al tiempo
difieran la una de la otra).
(XXV)
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
289
Al igual que las trayectorias de control admisibles19, las trayectorias de
estado admisibles deben tener un valor finito para cada instante en el periodo
de planificación temporal. Además, se asumirá que si ( )tu está definida en
[ ],t,t 10 entonces ( )tu es continua en los extremos del intervalo.
En el problema (XXV), tenemos que la condición inicial está completamente
especificada (instante inicial y el valor inicial de la variable de estado) y se
conoce el instante final pero el valor final de la variable de estado dependerá
si estamos en el caso de estado terminal fijo [caso (a)], linea vertical terminal
truncada [caso (b)], o estado terminal libre [caso (c)].
Por otro lado, el conjunto de controles admisibles, U, por lo general es un
conjunto compacto (cerrado y acotado) y convexo. Esto deja abierta la
posibilidad de que existan soluciones de esquina en el problema de
optimización, a diferencia de los problemas de cálculo de variaciones. No
obstante, en el problema (XXV), tenemos que ( ) ( ),,Utu +∞−∞=ℜ=∈ es
decir, la variable de control debe pertenecer al conjunto abierto ( ),,+∞−∞ por
lo que en este caso no hay restricciones sobre la variable de control. Por
tanto, en el problema (XXV) podríamos omitir ( ) .Utu ∈
2. Condiciones necesarias de optimalidad: El principio del máximo de Pontryagin (1958)
En esta sección vamos a estudiar el método que nos permitirá resolver el
problema fundamental de control óptimo, el denominado principio del máximo de Pontryagin. Dado que el principio del máximo involucra
conceptos como función Hamiltoniana y variable de coestado, primero
vamos a explicar dichos conceptos.
Una variable de coestado, variable adjunta o variable auxiliar es una
variable, semejante a los multiplicadores de Lagrange que aparecen en
problemas de optimización estática restringida, que mide o valora el precio
sombra de una variable de estado asociada. Esta variable puede adoptar
diversos valores a lo largo del horizonte de planificación temporal, y la
denotaremos como ( ).tλ El medio a través del cual la variable de coestado
aparece en el problema de control óptimo es la función Hamiltoniana o
Hamiltoniano. El Hamiltoniano es la versión dinámica de la función
Lagrangiana en problemas de optimización estática con restricciones, y viene
denotado por:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )tu,tx,tgttu,tx,tft,tu,tx,tH 0 ⋅λ+⋅λ=λ ( )XXVI
Donde:
0λ es una constante no negativa a determinar, ( ) ( )( )tu,tx,tf es la función
intermedia, ( ) ( )( )tu,tx,tg es la ecuación de movimiento de la variable de
estado y ( )tλ es la variable de coestado. Todos estos elementos constitutivos
del Hamiltoniano aparecen en el problema XXV.
19
Aquellas que pertenecen al conjunto de controles admisibles: ( ) .Utu ∈
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
290
El principio del máximo de Pontryagin, que a continuación enunciaremos,
transfiere el problema de encontrar una ( )tu que maximice [ ]uJ sujeto a las
restricciones dadas, problema XXV, al problema de maximizar la función
Hamiltoniana con respecto a ( ) .Utu ∈ En términos formales:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ]
( )
∈
∈∀λ
Utu:a.s
t,ttt,tu,tx,tHMaxXXVII
10tu
Además, este principio nos permite determinar la función ( ).tλ
El Principio del Máximo para problemas con intervalo de tiempo fijo
Sea ( )tu* la trayectoria de control óptima, continua a trozos, que resuelve el
problema XXV, y sea ( )tx* la trayectoria de estado óptima asociada
continua y diferenciable a trozos, definidas en [ ]10 t,t . Entonces, existe una
constante 0λ y una función ( )tλ continua y con derivadas de primer orden
continuas a trozos20
tal que para todo [ ]10 t,tt ∈ se tiene que
( )( ) ( )0,0t,0 ≠λλ y ( )tu* maximiza ( ) ( ) ( )( ),t,tu,tx,tH
* λ es decir:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) Utut,tu,tx,tHt,tu,tx,tH *** ∈∀λ≥λ ( )XXVIII
Excepto en los puntos de discontinuidad21
de ( ),tu* se verifica que:
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( )tx
t,tu,tx,tH
dt
tdt
**'
∂
λ∂−=
λ=λ ( )XXIX
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( )tu,tx,tg
t
t,tu,tx,tH
dt
tdxtx
****
' =λ∂
λ∂== ( )XXX
Asimismo, se cumple que:
0o1 00 =λ=λ ( )XXXI
20
Como ( )tλ es continua para todo “t” en el intervalo finito cerrado [ ]10 t,t , entonces ( )tλ debe ser
acotada en dicho intervalo. 21
Las posibles discontinuidades de ( )t'λ y ( )tx ' ocurren en los puntos de discontinuidad de ( ).tu Es
decir, los posibles puntos de esquina de ( )tλ y ( )tx ocurren en los puntos de discontinuidad de ( ).tu
Aunque los valores de ( ).tu en los puntos de discontinuidades no son de alguna significancia en la
aplicación del principio del máximo, supondremos que en un punto de discontinuidad [ ],t,t 10∈τ se
cumple que ( ) ( ).tulímut
−τ→=τ Por otro lado, en “ τ ”, la inecuación XXVIII seguiría siendo válida, pero se
transformaría en ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) .Utut,tu,tx,tHt,tulím,tx,tH **
t
* ∈∀λ≥
λ
+τ→
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
291
Finalmente, a cada condición final en (XXV) le corresponde una condición de transversalidad:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( )
λ
=λ⋅−>≥λ
=λ
condiciónsintc
0txtxxtx0tb
0ta
1
CHC
111*
11*
1
1
4444 84444 76
( )XXXII
Al sistema de ecuaciones conformado por (XXIX) y (XXX) se le suele
denominar “Sistema Hamiltoniano” o “Sistema Canónico”. Siendo la (XXIX)
la ecuación de movimiento de “ ( )tλ ” y (XXX) la ecuación de movimiento de
“ ( )tx ”. Es importante resaltar que el principio del máximo de Pontryagin da
condiciones necesarias de primer orden para que ( )tu* sea la trayectoria
óptima. Estas condiciones necesarias no garantizan la existencia de un control
óptimo ( )tu* ; éstas solamente son las condiciones implícitamente contenidas
en la optimalidad, asumiendo la existencia de un control óptimo ( )tu* .
Asimismo, se hace notar que ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tHt,tu,tx,tH * λ≥λ ( ) Utu ∈∀
es equivalente a ( )
( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tHMaxtu
λ , y que este requerimiento tiene en cuenta
a la condición de primer orden ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0tut,tu,tx,tH =∂λ∂ (que necesitará ser
apoyada por una apropiada condición de segundo orden). No obstante, como
veremos a continuación, no siempre la condición de primer orden nos será útil para
determinar el control óptimo ( )tu* en U, incluso si el Hamiltoniano es diferenciable.
En la figura 10 se muestran algunas posibles curvas del Hamiltoniano como
funciones de ( )tu en un específico punto del tiempo y para específicos valores de
( )tx y ( ).tλ Por ejemplo, si el Hamiltoniano es una función lineal creciente respecto
a ( )tu en [ ]10 u,uU = , entonces el máximo del Hamiltoniano (punto A) se dará en
1u , mientras que si el Hamiltoniano es una función lineal decreciente respecto a ( )tu
en [ ]10 u,uU = , entonces el máximo del Hamiltoniano (punto B) se dará en 0u .
Tanto 1u como 0u son soluciones de esquina. Se aprecia que en estos dos casos la
condición ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0tut,tu,tx,tH =∂λ∂ no es aplicable porque en ninguna parte
aquella derivada es igual a cero. Si el Hamiltoniano es una línea recta horizontal en
[ ]10 u,uU = , entonces no hay un único control óptimo. En este caso, todos los
puntos de la recta CD maximizan el Hamiltoniano, y todos los puntos de
[ ]10 u,uU = son controles óptimos. Por otro lado, para la curva que pasa por el
punto “E” y que es diferenciable con resppecto a ( )tu , el máximo del Hamiltoniano
ocurre en ( ) ,utu = punto interior de U, en este caso, la ecuación
( ) ( ) ( )( ) ( ) 0tut,tu,tx,tH =∂λ∂ sirve para identificar el control óptimo en aquel
punto del tiempo. Pero si la curva relevante es la que pasa por el punto “G”, entonces
el control óptimo ( )tu* en U que maximiza ( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ es ( ) ,utu 1= una
solución de esquina de U. Por tanto, la condición ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0tut,tu,tx,tH =∂λ∂ no
es aplicable, aún cuando el Hamiltoniano es diferenciable.
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
292
( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ
( )tu u0 u1
A
B
C D
E
G
u 0 Figura 10
Del análisis anterior podemos concluir que, mientras la condición
( ) ( ) ( )( ) ( ) 0tut,tu,tx,tH =∂λ∂ puede servir a nuestro propósito cuando el
Hamiltoniano es diferenciable respecto a ( )tu y puede producir una solución
interior22
, el hecho que U pueda ser un conjunto cerrado, con posibles
soluciones de esquina, necesita la más amplia condición:
( )( ) ( ) ( )( ).t,tu,tx,tHMax
tuλ Esto es así ya que bajo el principio del máximo no
se requiere que necesariamente el Hamiltoniano sea diferenciable con
respecto a ( )tu .
También es importante resaltar que la condición ( )( ) ( )0,0t,0 ≠λλ indica que
( )ty0 λλ no pueden ser ambos a la vez igual a cero. Dado que en la
mayoría de problemas de corte económico se encuentra que ,00 >λ 0λ
suele normalizarse a la unidad, ,10 =λ lo cual transforma el Hamiltoniano
que aparece en ( )XXVI en:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )tu,tx,tgttu,tx,tft,tu,tx,tH ⋅λ+=λ ( )XXXIII
Sin embargo, es recomendable en todo problema verificar que 00 >λ ya
que la eventualidad de 00 =λ puede presentarse en ciertas situaciones, no
muy usuales, donde la solución del problema es verdaderamente
independiente de la función intermedia ( ) ( )( )tu,tx,tf , es decir, donde la
función ( ) ( )( )tu,tx,tf no importa en la solución del proceso. Esto es, por
supuesto, porque el coeficiente 0λ debe ser igual a cero, de manera que
elimine la función ( ) ( )( )tu,tx,tf del Hamiltoniano.
22
Si el Hamiltoniano es no lineal y diferenciable, y ( )tu no está restringida, esto es,
( ) ( ),,Utu +∞−∞=ℜ=∈ entonces la condición ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0tut,tu,tx,tH =∂λ∂ producirá una solución
interior.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
293
Lo dicho antreriormente justifica la aparición de la condición ( )XXXI en el
principio del máximo de Pontryagin.
A continuación presentaremos algunos ejemplos en los que se intentará
indicar cómo “básicamente” trabaja el principio del máximo de Pontriagyn y
cómo éste permite seleccionar uno o unos pocos candidatos a óptimo. Es
importante señalar que no es del todo evidente cómo aplicar el principio del
máximo de Pontryagin. En realidad, la forma en que éste es usado difiere
significativamente de un tipo de problema a otro, de modo que ningún
procedimiento estándar para encontrar la solución puede ser concebido.
Ejemplos:
1.- Resolver el siguiente problema:
[ ]( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )( )
( )
( )2
2tu1
libre:2x
00x
tutxtx:a.s
1dttxMaxuJ
'
2
0tu
≤≤−
=
+=
= ∫
El Hamiltoniano viene dado por:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tutxttxt,tu,tx,tH 0 +⋅λ+⋅λ=λ
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )tutttxt,tu,tx,tH 0 ⋅λ+λ+λ⋅=λ ( )3
Supongamos ahora que ( ) ( )( )tu,tx** resuelve el problema. De acuerdo al
principio del máximo debe existir una constante 0λ y una función
continua ( )tλ tal que:
( )( ) ( ) [ ]2,0t0,0t,0 ∈∀≠λλ ( )4
Además, para cada [ ]2,0t ∈ , ( )tu* es aquel valor de ( ) [ ]2,1tu −∈ que
maximiza:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )tutttxt,tu,tx,tH 0** ⋅λ+λ+λ⋅=λ ( )5
La variable de coestado ( )tλ satisface, de acuerdo a ( )XXIX , excepto en
los puntos de discontinuidad de ( )tu* , la ecuación:
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
( )[ ] ( )tttx
t,tu,tx,tH
dt
td00
**
λ−λ−=λ+λ−=∂
λ∂−=
λ ( )6
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
294
Ya que ( )2x es libre, por ( )XXXII se debe verificar que:
( ) 02 =λ ( )7
De ( )4 se obtiene, en particular para ,2t = que 0λ y ( )2λ no pueden ser
ambos a la vez iguales a cero. Ya que ( ) ,02 =λ entonces ,00 ≠λ y en
consecuencia por ( )XXXI , .10 =λ
Reemplazando 10 =λ en la ecuación diferencial lineal con coeficientes
constantes que aparece en (6) se tiene:
( ) ( ) ( ) ( ) 1ttt1t'' −=λ+λ⇒λ−−=λ ( )8
La ecuación característica de esta ecuación es:
( ) 1r01rrp −=⇒=+=
La solución complementaria será:
( ) tC Aet −=λ
Donde:
( ) t1 et −=λ
Por tanto el Wronsquiano será:
( ) ( ) 0tW0eetW tt ≠⇒>== −−
Es decir, ( ) t1 et −=λ son soluciones de ( )tcλ que son linealmente
independientes.
Mientras que:
( ) 11tW1 −=−=
Por tanto:
( )
( )tt
t
1edtedt
e
1dt
tW
tW−=−=
−= ∫∫∫ −
La solución particular será:
( ) ( )( )
( )[ ] 1eedt
tW
tWtt
tt11p −=−=λ=λ ∫
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
295
Por tanto, la solución general de ( ) ( ) 1tt' −=λ+λ es:
( ) 1Aett −=λ ( )9
Reemplazando (7) en (9) tenemos:
( ) 22eA01Ae2
−=⇒=−=λ
Por tanto, la variable de coestado será:
( ) 1et2t −=λ − ( )10
Derivando (10) respecto al tiempo, tenemos:
( ) t0e2t 2t' ∀<−=λ − ( )11
Teniendo en cuenta (11) y (7), se aprecia que para todo [ )2,0t ∈ la
variable de coestado ( ) 01et2t >−=λ − .
Se observa que en el Hamiltoniano dado por la ecuación (5) únicamente
el término ( ) ( )tut ⋅λ depende de ( ).tu Por tanto, ( )tu* es el valor de
( ) [ ]2,1tu −∈ que maximiza ( ) ( )tut ⋅λ . Cuando [ )2,0t ∈ se cumple que
( ) 01et2t >−=λ − , de modo que en este caso el máximo de ( ) ( )tut ⋅λ se
alcanza para ( ) .2tu = Para 2t = se verifica que ( ) 02 =λ y por tanto
(5) no determina ( )2u* . El valor de ( )tu
* en este único punto no es de
importancia. Sin embargo, nosotros previamente hemos decidido escoger
( )tu como una función continua en los extremos de su dominio (ver
página 253). Por tanto, debemos hacer ( ) ,2tu* = de modo que nuestra
propuesta para un control óptimo sea:
( ) [ ]2,0t2tu* ∈∀= ( )12
La trayectoria asociada ( )tx* debe satisfacer ( )XXX :
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2txtutxtu,tx,tg
dt
tdx ******
+=+==
( )( ) 2tx
dt
tdx **
=− ( )13
De manera análoga a (8), la solución de (13) será:
( ) 2Betxt* −= ( )14
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
296
Reemplazando la condición inicial ( ) 00x* = en (14) se tiene que .2B =
Por tanto:
( ) ( )1e22e2txtt* −=−= ( )15
Nosotros ahora hemos probado que si el problema tiene solución, el
control óptimo es dado por (12) y la trayectoria óptima asociada está dada
por (15). El correspondiente valor de la funcional objetivo es:
[ ] ( ) ( ) ( ) 78,83e2dt1e2dttxuJ 22
0
t2
0
** ≈−=−== ∫∫
Hemos ilustrado como el principio del máximo de Pontryagin trabaja en
un caso simple. Sin embargo, nuestro esfuerzo no era realmente necesario
para resolver el problema. De (2) vemos que ( ) 2tu* = produce el más
alto valor de ( )tx para cualquier [ ],2,0t ∈ y por tanto ( ) 2tu* = debe
maximizar [ ] ( )dttxuJ
2
0
**∫= .
2.- Consumo vs inversión: Un país recibe un flujo constante de 1 unidad
monetaria como ayuda económica. Sea ( )tx el nivel de infraestructura en
el instante “t”, y sea ( )tu la parte de la ayuda económica que es asignada
a la inversión en infraestructura en el instante “t”. Sea ( )( )tu1U − la
utilidad que perciben los habitantes del país por aquella parte de la ayuda
económica que destinan al conumo, ( ).tu1 − Donde ( )( )tu1U − es una
función de clase dos con ( )( ) 0tu1U' >− y ( )( ) 0tu1U
'' <− en [ ].,0 ∞+
El periodo de planificación es [ ]T,0 y se asume que ( ) TxTx ≥ , es decir,
se asume que el país intenta alcanzar al menos el nivel Tx al final del
periodo de planificación. El problema de planificación es encontrar la
asignación de inversión que maximiza la utilidad total.
El problema a resolver es:
[ ]( )
( )( ) ( )
( ) ( )( )( )( ) [ ]
( )17
1,0tu
xTx
x0x
tutx:a.s
16dttu1UMaxuJ
T
0
'
T
0tu
∈
≥
=
=
−= ∫
Se asumirá que:
Txxx0 0T0 +<<< ( )'17
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
297
En este caso se aprecia que, en cada instante “t” del periodo de
planificación, la variación del nivel de infraestructura respecto del tiempo
debe ser igual a la parte de la ayuda económica que es asignada a la
inversión en infraestructura. Es decir, ( ) ( ).tutx ' = Es precisamente
gracias a esta ecuación diferencial (ecuación de movimiento) que
podemos darnos cuenta que la variablede estado será ( )tx y que la
variable de control será ( ).tu Esto es así, ya que ( )tu puede afectar el
comportamiento dinámico de ( )tx a través de la ecuación de movimiento
de ( ).tx
El Hamiltoniano de este problema de optimización intertemporal será:
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )tuttu1Ut,tu,tx,tH 0 ⋅λ+−⋅λ=λ ( )18
Asumiendo que ( ) ( )( )tu,tx** resuelve el problema. De acuerdo al
principio del máximo, debe existir una constante 0λ y una función
continua ( )tλ tal que:
( )( ) ( ) [ ]T,0t0,0t,0 ∈∀≠λλ ( )19
Donde, por (XXXI), .0o1 00 =λ=λ Además, para cada [ ]T,0t ∈ ,
( )tu* es aquel valor de ( ) [ ]1,0tu ∈ que maximiza:
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )tuttu1Ut,tu,tx,tH 0* ⋅λ+−⋅λ=λ ( )20
La variable de coestado ( )tλ satisface, de acuerdo a ( )XXIX , excepto en
los puntos de discontinuidad de ( )tu* , la ecuación:
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
⇒=∂
λ∂−=
λ0
tx
t,tu,tx,tH
dt
td**
( ) ct =λ (siendo “c” una constante) ( )21
Por ( )XXXII , la condición de transversalidad en Tt = será:
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )4444 84444 76
CHC
T*
T* 0TxTxxTx0T =λ⋅−≥≥λ ( )22
Evaluando (21) en “T”, y teniendo en cuenta (22) se tiene que:
( ) 0cT ≥=λ ( )'22
Pero por la continuidad de ( )tλ tenemos que:
( ) 0ct ≥=λ ( )23
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
298
Las derivadas de primer y segundo orden del Hamiltoniano respecto a
( )tu serán:
( ) ( ) ( )( )( )
( )( ) ( )ttu1Utu
t,tu,tx,tH '0
*
λ+−⋅λ−=∂
λ∂ ( )24
( ) ( ) ( )( )( )
( )( )tu1Utu
t,tu,tx,tH ''02
*2
−⋅λ=∂
λ∂ ( )25
Por (XXXI) sabemos que ,00 ≥λ y por datos del problema se sabe que
( )( ) 0tu1U'' <− . Por tanto se tiene que:
( ) ( ) ( )( )( )
( )( ) 0tu1Utu
t,tu,tx,tH ''02
*2
≤−⋅λ=∂
λ∂ ( )26
Por (26) sabemos que el Hamiltoniano será cóncavo en ( )tu . A
continuación, en la figura 11, se muestran todos los casos posibles a tener
en cuenta en nuestro análisis.
( )tu
1
( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ ( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ
( )tu
1
b) c)
a)
( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ
B G
A
0
0
( )tu
( ) atu * =
( ) 0tu * = ( ) 1tu * =
C
D
E
F
Figura 11
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
299
En la figura 11a) se observa que el máximo se alcanza en el punto “A”
donde ( ) [ ]1,0tu* ∈ y donde ( ) ( ) ( )( )
( )0
tu
t,tu,tx,tH**
=∂
λ∂ de modo que:
( )( ) ( ) cttu1U *'0 =λ=−⋅λ ( )27
En la figura 11b) se aprecia que, para la curva BD y para la recta BD, el
máximo se alcanza en el punto “B” (solución de esquina). Donde
( ) ,0tu* = y se verifica que23
:
( ) ( ) ( )( )( )
( )
( ) 0c1U0tu
t,tu,tx,tH '0
0tu
**
*
<+⋅λ−⇒<∂
λ∂
=
( )28
Asimismo, en la figura 11b) se aprecia que todos los puntos de la recta
BC maximizan el Hamiltoniano. Donde se verifica que:
( ) ( ) ( )( )( )
0tu
t,tu,tx,tH**
=∂
λ∂ ( )29
En particular, evaluando (29) en ( ) ,0tu* = tenemos que24
:
( ) ( ) ( )( )( )
( )
( ) 0c1U0tu
t,tu,tx,tH '0
0tu
**
*
=+⋅λ−⇒=∂
λ∂
=
( )30
Por tanto, de (28) y (30) tenemos que:
( ) ( ) ( )( )( )
( )
( ) 0c1U0tu
t,tu,tx,tH '0
0tu
**
*
≤+⋅λ−⇒≤∂
λ∂
=
( )31
En la figura 11c) se aprecia que, para la curva FG y para la recta FG, el
máximo se alcanza en el punto “G” (solución de esquina). Donde
( ) ,1tu* = y se verifica que25
:
( ) ( ) ( )( )( )
( )
( ) 0c0U0tu
t,tu,tx,tH '0
1tu
**
*
>+⋅λ−⇒>∂
λ∂
=
( )32
23
En realidad, en la curva BD y en la recta BD la derivada lateral del Hamiltoniano respecto a ( )tu , a la
derecha de ( ) ,0tu* = es negativa.
24 En realidad, en la recta BC la derivada lateral del Hamiltoniano respecto a ( )tu , a la derecha de
( ) ,0tu* = es nula. Asimismo, en la recta BC la derivada lateral del Hamiltoniano respecto a ( )tu , a la
izquierda de ( ) ,1tu * = es nula.
25 En realidad, en la curva FG y en la recta FG la derivada lateral del Hamiltoniano respecto a ( )tu , a la
izquierda de ( ) ,0tu* = es positiva.
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
300
Asimismo, en la figura 11c) se aprecia que todos los puntos de la recta
EG maximizan el Hamiltoniano. Donde se verifica que:
( ) ( ) ( )( )( )
0tu
t,tu,tx,tH**
=∂
λ∂ ( )33
En particular, evaluando (33) en ( ) ,1tu* = tenemos que26
:
( ) ( ) ( )( )( )
( )
( ) 0c0U0tu
t,tu,tx,tH '0
1tu
**
*
=+⋅λ−⇒=∂
λ∂
=
( )34
Por tanto, de (32) y (34) tenemos que:
( ) ( ) ( )( )( )
( )
( ) 0c0U0tu
t,tu,tx,tH '0
1tu
**
*
≥+⋅λ−⇒≥∂
λ∂
=
( )35
De (27), (31) y (35) se puede extraer lo siguiente:
( )
( )
( ) ( )( )( )
⋅λ≥⇒
−⋅λ=⇒∈
⋅λ≤⇒
=
0Uc1
tu1Uc1,0
1Uc0
tu
'0
*'0
'0
* ( )36
Si suponemos que ,00 =λ de (19) y de (23), vemos que:
( ) ( ) ( )( )( )
( ) 0cttu
t,tu,tx,tH*
>=λ=∂
λ∂ ( )37
Entonces, por (36), el Hamiltoniano sería maximizado por ( ) 1tu* = para
todo [ ].1,0t ∈ En consecuencia, por la ecuación de movimiento de ( )tx
que aparece en (17), se tendría que:
( ) ( ) ( ) 1*' kttxdttdx1tx +=⇒=⇒= ( )38
Reemplazando la condición inicial en (38) tendríamos:
( ) ( ) 0*
01* xttxxk0x +=⇒== ( )39
26
En realidad, en la recta EG la derivada lateral del Hamiltoniano respecto a ( )tu , a la izquierda de
( ) ,1tu * = es nula. Asimismo, en la recta BC la derivada lateral del Hamiltoniano respecto a ( )tu , a la
derecha de ( ) ,0tu* = es nula.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
301
Por lo que, teniendo en cuenta ( )'17 y reemplazando la condición
terminal en (39), se tendría:
( ) T0* xxTTx >+= ( )40
Pero, por (22) y (23), la condición (40) implicaría:
( ) ( ) T* xTxpara0cT >==λ ( )41
No obstante, (41) contradice (19). Por tanto, se tiene que:
10 =λ ( )42
Reemplazando (23) y (42) en (20) se tiene:
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )tuctu1Ut,tu,tx,tH* ⋅+−=λ ( )43
Reemplazando (42) en (26) se tiene:
( ) ( ) ( )( )( )
( )( ) 0tu1Utu
t,tu,tx,tH ''
2
*2
<−=∂
λ∂ ( )44
Además, reemplazando (42) en (36) se tiene:
( )
( )
( ) ( )( )( )
≥⇒
−=⇒∈
≤⇒
=
0Uc1
tu1Uc1,0
1Uc0
tu
'
*'
'
* ( )45
La condición (44) nos indica que el Hamiltoniano es estrictamente
cóncavo respecto a ( ) ,tu y tiene un único máximo en “ u ” que es
independiente de “t”. Es decir, ( ) utu* = para alguna elección de
[ ].1,0u ∈ En consecuencia, las líneas rectas que aparecen en las figuras
11b) y 11c) serán descartadas, y sólo nos quedará por analizar las curvas
que aparecen en las figuras 11a), 11b) y 11c).
Para el caso que se presenta en la figura 11b), curva BD, se aprecia que
( ) 0utu* == , pero esto es imposible ya que por la ecuación de
movimiento de ( )tx que aparece en (17), se tendría que:
( ) ( ) ( ) ( ) 0*
02*
2*' xtxxk0xktx0tx =⇒==⇒=⇒= ( )46
De modo que reemplazando Tt = en (46), y teniendo en cuenta (17), se
tendría:
( ) T0* xxTx ≥= ( )47
Lo cual contradice a ( )'17 .
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
302
De lo anterior, resulta que ( ) .0utu* >= Entonces, la posibilidad que
( ) 0ct ==λ es imposible por (45). Por tanto, de la (CHC) en (22) se tiene
que:
( ) ( ) T** xTxy0cT =>=λ ( )48
En consecuencia, al haber descartado la optimalidad de no asignar
ninguna ayuda económica al consumo ( )( ),0utu* == ahora nos
corresponde analizar la posibilidad que ( ) .1utu* ==
Para el caso que se presenta en la figura 11c), curva FG, se aprecia que
( ) 1utu* == , pero esto es imposible ya que por la ecuación de
movimiento de ( )tx que aparece en (17), y cuya solución está dada por
(39), se tendría que:
( ) ( ) 0*
0* xTTxxttx +=⇒+= ( )49
Igualando (48) y (49) resulta que:
( ) T0* xxTTx =+=
La cual es inconsistente con ( )'17 .
Por consiguiente, el único caso que se puede dar es el de la figura 11a)
donde ( ).1,0u ∈ Resolviendo la ecuación de movimiento ( )tx que
aparece en (17), se tiene que:
( ) ( ) ( ) ( ) 03*
3*' xk0xktutxdtutdxutx ==⇒+=⇒=⇒=
( ) ( ) 0*
0* xTuTxxtutx +⋅=⇒+⋅= ( )50
Igualando (48) y (50) tenemos que:
( ) ( )T
xxutuxxTuTx
0T*T0
*−
==⇒=+⋅= ( )51
Reemplazando (51) en (50) se obtiene:
( ) 00T*
xtT
xxtx +
−= ( )52
Evaluando (23) en Tt = , tenemos:
( ) 0cT* ≥=λ ( )53
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
303
Pero por (48) y por la continuidad de ( )tλ tenemos que:
( ) 0ct* >=λ ( )54
Reemplazando (45) en (54) se obtiene:
( ) ( )( ) 0tu1Uct*'* >−==λ ( )55
Reemplazando (51) en (55) tenemos:
( ) 0T
xx1Uct
0T'* >
−−==λ ( )56
La solución óptima27
al problema viene dada por ( ) ( )( ),tu,tx ** con la
variable de coestado asociada ( )t*λ .
El valor óptimo de la funcional objetivo dependerá de los parámetros
,Tyx,x T0 como se puede apreciar a continuación:
( )[ ] ( )( ) TT
xx1Udt
T
xx1Udttu1UtuJ
0TT
0
0TT
0
**
−−=
−−=−= ∫∫
Derivando parcialmente la funcional objetivo óptima respecto a x0 y a xT,
respectivamente, se obtiene:
( )[ ]( )0
T
xx1U
x
tuJ *0T'
0
*
λ=
−−=
∂
∂
( )[ ]( )T
T
xx1U
x
tuJ *0T'
T
*
λ−=
−−−=
∂
∂
Se puede apreciar que las derivadas anteriores nos permiten dar
interpretaciones de precio a la variable de coestado. Por ejemplo, ( )T*λ−
mide, aproximadamente, el incremento en la utilidad total óptima al
incrementar el requerimiento terminal sobre el nivel de infraestructura en
una unidad. Asimismo, ( )0*λ mide, aproximadamente, el incremento en
la utilidad total óptima al incrementar el requerimiento inicial sobre el
nivel de infraestructura en una unidad. Posteriormente estudiaremos
resultados generales que dan interpretaciones de precio a las variables de
coestado.
27
Más adelante se demostrará, utilizando el teorema de suficiencia de Mangasarian, que la solución
obtenida es un óptimo global del problema.
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
304
3.- Resolver el siguiente problema:
[ ]( )
( ) ( )
( ) ( )( )( )( ) [ ]
( )58
1,0tu
0Tx
00x
tutx:a.s
57dttuMaxuJ
2'
T
0tu
∈
=
=
=
= ∫
En este caso, el Hamiltoniano viene dado por:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )tuttut,tu,tx,tH 20 ⋅λ+⋅λ=λ ( )59
Asumiendo que ( ) ( )( )tu,tx** resuelve el problema. De acuerdo al
principio del máximo, debe existir una constante 0λ y una función
continua ( )tλ tal que:
( )( ) ( ) [ ]T,0t0,0t,0 ∈∀≠λλ ( )60
Donde, por (XXXI), .0o1 00 =λ=λ Además, para cada [ ]T,0t ∈ ,
( )tu* es aquel valor de ( ) [ ]1,0tu ∈ que maximiza:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )tuttut,tu,tx,tH 20
* ⋅λ+⋅λ=λ ( )61
La variable de coestado ( )tλ satisface, de acuerdo a ( )XXIX , excepto en
los puntos de discontinuidad de ( )tu* , la ecuación:
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
⇒=∂
λ∂−=
λ0
tx
t,tu,tx,tH
dt
td**
( ) 1kt =λ (siendo “k1” una constante) ( )62
Por ( )XXXII , no hay ninguna condición de transversalidad en Tt = para
( )tλ .
Suponiendo que ,10 =λ y teniendo en cuenta (62), el Hamiltoniano
sería:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )tuktut,tu,tx,tH 21
* ⋅+=λ ( )63
De la condición de primer orden se tiene que:
( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( )1
**1
*
k2
1tu0tuk21
tu
t,tu,tx,tH−=⇒=+=
∂
λ∂ ( )64
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
305
Reemplazando (64) en la ecuación de movimiento que aparece en (58) se
tiene que:
( ) ( ) ( ) 221
*
2
1
2
1
'kt
k4
1txdt
k2
1tdx
k2
1tx +=⇒
−=⇒
−= ( )65
Reemplazando las condiciones iniciales en (65) se tiene que:
( ) ( ) tk4
1tx0k0x
21
*2
* =⇒== ( )66
Reemplazando las condiciones terminales en (66) se tiene que:
( ) 0Tk4
1Tx
21
* ≠=
Pero esta ecuación no puede anuilarse en el estado terminal. En
consecuencia ,00 =λ lo que por (60) implica que:
( ) 0kt 1* ≠=λ ( )67
En este caso el Hamiltoniano sería:
( ) ( ) ( )( ) ( )tukt,tu,tx,tH 21 ⋅=λ ( )68
La condición de primer orden será:
( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( ) 0tu0tuk2tu
t,tu,tx,tH **1
*
=⇒==∂
λ∂ ( )69
Reemplazando (69) en la ecuación de movimiento que aparece en (58) se
tiene que:
( ) ( ) 0tx0tx*' =⇒= ( )70
Reemplazando las condiciones iniciales y las condiciones finales en (70)
se tiene que:
( ) ( ) 0Tx0x** == ( )71
Es decir, se verifican las condiciones de borde.
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
306
Para asegurarnos que (69) maximiza antes que minimiza el Hamiltoniano
vamos a analizar el signo de la derivada de segundo orden del
Hamiltoniano respecto a ( ).tu Para que (69) maximice al Hamiltoniano
será necesario que éste sea estrictamente cóncavo respecto a ( ) ,tu lo cual
a su vez requiere que:
( ) ( ) ( )( )( )
( ) 0kt0k0k2tu
t,tu,tx,tH1
*112
*2
<=λ⇒<⇒<=∂
λ∂ ( )72
Por tanto, la solución óptima28
al problema viene dada por ( ) ( )( ),tu,tx **
con la variable de coestado asociada ( )t*λ .
El valor óptimo de la funcional objetivo será:
[ ] 0dt0uJ
T
0
* == ∫
3. Condiciones suficientes de optimalidad global para problemas con tiempo fijo: Teoremas de Mangasarian (1966) y Arrow (1968)
El principio del Máximo de Pontryagin proporciona un conjunto de
condiciones necesarias para un control óptimo, que por lo general no son
suficientes. No obstante, cuando se satisfacen ciertas condiciones de
concavidad/convexidad, entonces las condiciones estipuladas por el principio
del máximo de Pontryagin son suficientes para la maximización/minimización
global. En esta sección sólo vamos a presentar dos teoremas de suficiencia
que fueron desarrollados por O. Mangasarian y por K. Arrow. Las
condiciones de Arrow son más generales, pero es más difícil comprobar su
cumplimiento.
Teorema de Mangasarian
Sea ( ) ( )( )tx,tu ** un par admisible29 del problema (XXV). Supóngase que
Ψ es un conjunto convexo y que ( ) ( )( )
( )tu
tu,tx,tg
∂
∂ existe y es continua. Si
existe una función ( )tλ continua y con derivadas de primer orden continuas a
trozos tal que que las siguientes condiciones se satisfacen con ,10 =λ
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( )tx
t,tu,tx,tH
dt
tdt
**'
∂
λ∂−=
λ=λ ( )XXXIV
28
Como se verá a continuación, una condición suficiente que garantiza la optimalidad global de ( )tu * es el
teorema de suficiencia de Mangasarian. 29
Al par que satisface las condiciones (**), (***) y (****) del problema (XXV) se le suele denominar par admisible. Un par admisible que maximiza la funcional objetivo (*) del problema (XXV), y que por tanto
resuelve dicho problema, es llamado par óptimo.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
307
( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( )[ ] ( ) tUtu0tututu
t,tu,tx,tH*
**
∀∧∈∀≥−⋅
∂
λ∂ ( )XXXV
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( )
λ
=λ⋅−>≥λ
=λ
condiciónsintc
0txtxxtx0tb
0ta
1
CHC
111*
11*
1
1
4444 84444 76
( )XXXVI
( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ es cóncavo (estrictamente cóncavo) en ( ) ( )( ) ttu,tx ∀ (XXXVII)
Entonces, ( ) ( )( )tu,tx** es un máximo global (máximo global estricto) del
problema (XXV). Es decir, ( ) ( )( )tu,tx** es un par óptimo.
Una formulación equivalente del teorema de Mangasarian sería: Supóngase
que ( ) ( )( )tu,tx** es un par admisible que satisface todas las condiciones del
principio del máximo de Pontryagin [(XXVIII) → (XXXII)] con 10 =λ y
siendo U un conjunto convexo. Si el Hamiltoniano ( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ es
cóncavo (estrictamente cóncavo) en ( ) ( )( ),tu,tx entonces ( ) ( )( )tu,tx** es un
máximo global (estricto) del problema (XXV), y por tanto, un par óptimo.
Note que si ( ) ( )( )tu,tx,tf y ( ) ( )( )tu,tx,tg son cóncavas con respecto a
( ) ( )( )tu,tx , entonces el Hamiltoniano es cóncavo en ( ) ( )( )tu,tx siempre que
( ) .0t ≥λ Asimismo, si ( ) ( )( )tu,tx,tf es cóncava y ( ) ( )( )tu,tx,tg es lineal en
( ) ( )( )tu,tx , entonces el Hamiltoniano también es cóncavo en ( ) ( )( )tu,tx y
( )tλ no necesita restricción de signo.
Teorema de Arrow
Dado que en un número de interesantes problemas de control en economía el
Hamiltoniano no es cóncavo en ( ) ( )( )tu,tx , es indispensable ver qué
condiciones, menos restrictivas que la concavidad en ( ) ( )( )tu,tx , serán
suficientes para garantizar la optimalidad global en dichos problemas. Una
condición de suficiencia, más débil que la concavidad del Hamiltoniano
( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ en ( ) ( )( )tu,tx , viene dada en el teorema de Arrow.
Sea ( ) ( )( )tu,tx** un par admisible del problema (XXV). Si existe una
función ( )tλ continua y con derivadas de primer orden continuas a trozos tal
que que las siguientes condiciones se satisfacen con ,10 =λ
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( )tx
t,tu,tx,tH
dt
tdt
**'
∂
λ∂−=
λ=λ ( )XXXVIII
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) tUtut,tu,tx,tHt,tu,tx,tH *** ∀∧∈∀λ≥λ ( )XXXIX
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
308
( ) ( ) ( )( ) ( ) condiciónsint;xtxsi00t;0t 111*
11 λ>=≥λ=λ ( )XXXX
Si ( ) ( )( )t,tx,tu* λ es el valor de la variable de control que maximiza
( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ para valores dados de ( ) ( )( ).t,tx,t λ El valor del
Hamiltoniano cuando es evaluado en ( ) ( )( )t,tx,tu* λ , denominado
Hamiltoniano maximizado, viene dado por:
( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )t,tx,tu,tx,tgtt,tx,tu,tx,tf
t,tu,tx,tHmaxt,tx,tH
**
Utu
λ⋅λ+λ=
λ=λ∈
( )⊗
Si ( ) ( )( )∃λ t,tx,tH y es cóncavo en ( ) [ ]10 t,tttx ∈∀ , para un ( )tλ dado ( )XXXXI
Entonces, ( ) ( )( )tu,tx** es un máximo global del problema (XXV).
Además, si ( ) ( )( )t,tx,tH λ es estrictamente cóncavo en ( ) [ ]10 t,tttx ∈∀ , para un
( )tλ dado, entonces ( )tx* es único (pero ( )tu
* no es necesariamente único).
Una formulación equivalente del teorema de Arrow sería: Supóngase que
( ) ( )( )tu,tx** es un par admisible que satisface todas las condiciones del
principio del máximo de Pontryagin [(XXVIII) → (XXXII)] con 10 =λ . Si
el Hamiltoniano maximizado, definido en ( )⊗ , es cóncavo en en
( ) [ ]10 t,tttx ∈∀ , para un ( )tλ dado, entonces ( ) ( )( )tu,tx** es un máximo
global del problema (XXV).
Es importante resaltar que el teorema de Arrow puede considerarse como una
generalización del teorema de Mangasarian (o el último como un caso
especial del primero), ya que la concavidad de ( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ con respecto
a ( ) ( )( )tu,tx implica la concavidad de ( ) ( )( )t,tx,tH λ con respecto a ( )tx30
.
Ejemplos:
1.- En la sección 2, ejemplo 1, resolvimos el siguiente problema:
[ ]( )
( )
( ) ( ) ( )( )( )
( ) 2tu1
libre:2x
00x
tutxtx:a.s
dttxMaxuJ
'
2
0tu
≤≤−
=
+=
= ∫
( )73
30
Si ( ) ( )( )tu,tx,tf y ( ) ( )( )tu,tx,tg son cóncavas en ( ) ( )( )tu,tx y ( ) ,0t ≥λ como indica el teorema de
Mangasarian, entonces ( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ también es cóncavo en ( ) ( )( )tu,tx , y de esto se desprende que
( ) ( )( )t,tx,tH λ es cóncavo en ( )tx , según lo estipulado por Arrow. Pero ( ) ( )( )t,tx,tH λ puede ser cóncava
en ( )tx incluso si ( ) ( )( )tu,tx,tf y ( ) ( )( )tu,tx,tg no son cóncavas en ( ) ( )( )tu,tx , lo cual hace que la
condición de Arrow sea un requerimiento más débil.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
309
Ahora, vamos a aplicar a este problema los teoremas de suficiencia de
Mangasarian y de Arrow.
En este caso, ya que ( ) ( )( ) ( ) ( )tu0txtu,tx,tf += es una función lineal en
( ) ( )( )tu,tx , también será cóncava en ( ) ( )( )tu,tx . Además, ya que la
función ( ) ( )( ) ( ) ( )tutxtu,tx,tg += es lineal en ( ) ( )( )tu,tx , también es
cóncava en ( ) ( )( )tu,tx . Para ambos casos, resulta irrelevante la restricción
( ) .0t ≥λ Entonces, el Hamiltoniano también es cóncavo en ( ) ( )( )tu,tx .
Por tanto, el teorema de Mangasarian se satisface, y
( ) ( )( ) ( )( )2,1e2tu,tx t** −= es el par óptimo (la solución óptima global)
del problema.
Una vez que se verifica el teorema de Mangasarian, ya no es necesario
verificar el teorema de Arrow. Pero, si deseamos aplicar el teorema de
Arrow, podemos proceder a verificar si el Hamiltoniano maximizado
( ) ( )( )t,tx,tH λ es cóncavo en ( )tx . En el presente ejemplo, el
Hamiltoniano es:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )tutxttxt,tu,tx,tH +λ+=λ ( )74
Cuando el control óptimo ( ) 2tu* = es sustituido en (74) para eliminar
( )tu , el Hamiltoniano maximizado será:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )t2txt12txttxt,tx,tH λ+λ+=+λ+=λ ( )75
Se aprecia que ( ) ( )( )t,tx,tH λ es lineal en ( )tx para ( )tλ dado, por lo que
se satisface el teorema de Arrow.
2.- En la sección 2, ejemplo 2 (consumo vs inversión), resolvimos el siguiente
problema:
[ ]( )
( )( ) ( )
( ) ( )( )( )( ) [ ]
( )77
1,0tu
xTx
x0x
tutx:a.s
76dttu1UMaxuJ
T
0
'
T
0tu
∈
≥
=
=
−= ∫
Con:
Txxx0 0T0 +<<< ( )78
Ahora, vamos a aplicar a este problema los teoremas de suficiencia de
Mangasarian y de Arrow.
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
310
En este caso se aprecia que ni ( ) ( )( ) ( )( )tu1Utu,tx,tf −= ni
( ) ( )( ) ( )tutu,tx,tg = dependen de ( ),tx por lo que la condición de
concavidad se refiere sólo a ( )tu . Derivando ( ) ( )( )tu,tx,tf se obtiene:
( ) ( )( )
( )( )( )
( ) ( )( )
( )( )( ) 0tu1U
tu
tu,tx,tfytu1U
tu
tu,tx,tf''
2
2' <−=
∂
∂−=
∂
∂ ( )79
Por tanto, ( ) ( )( )tu,tx,tf es una función cóncava en ( )tu . En cuanto a
( ) ( )( ) ( )tutu,tx,tg = , ya que es lineal en ( )tu , es automáticamente
cóncava en ( )tu . Además, el hecho que ( ) ( )( )tu,tx,tg sea lineal hace que
la condición ( ) 0t ≥λ sea irrelevante. En consecuencia, se satisface el
teorema de Mangasarian, y el control óptimo que maximiza globalmente
a la funcional objetivo [ ]uJ es ( )T
xxutu
0T* −== .
Para aplicar el teorema de Arrow, procederemos a verificar si el
Hamiltoniano maximizado ( ) ( )( )t,tx,tH λ es cóncavo en ( )tx . En el
presente ejemplo, el Hamiltoniano es:
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )tuttu1Ut,tu,tx,tH λ+−=λ ( )80
Cuando el control óptimo ( )T
xxutu
0T*−
== es sustituido en (80) para
eliminar ( )tu , el Hamiltoniano maximizado será:
( ) ( )( ) ( ) ( )tuu1Ut,tx,tH λ+−=λ ( )81
Se aprecia que ( ) ( )( )t,tx,tH λ contiene únicamente a ( )tλ , y no depende de
( )tx . Por tanto, ( ) ( )( )t,tx,tH λ es lineal y de ahí cóncavo en ( )tx para un
( )tλ dado, y se satisface el teorema de Arrow.
3.- En la sección 2, ejemplo 3, resolvimos el siguiente problema:
[ ]( )
( ) ( )
( ) ( )( )( )( ) [ ]
( )83
1,0tu
0Tx
00x
tutx:a.s
82dttuMaxuJ
2'
T
0tu
∈
=
=
=
= ∫
Ahora, vamos a aplicar a este problema los teoremas de suficiencia de
Mangasarian y de Arrow.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
311
En este caso se aprecia que ni ( ) ( )( ) ( )tutu,tx,tf = ni ( ) ( )( ) ( )tutu,tx,tg2=
dependen de ( ),tx por lo que la condición de concavidad se refiere sólo a
( )tu . Se observa que ( ) ( )( )tu,tx,tf es lineal en ( )tu , y por tanto cóncava
en ( )tu . Derivando ( ) ( )( )tu,tx,tg se obtiene:
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )02
tu
tu,tx,tfytu2
tu
tu,tx,tg
2
2
>=∂
∂=
∂
∂ ( )84
Por lo que la función ( ) ( )( )tu,tx,tg es estrictamente convexa en ( )tu . No
obstante, ya que de (62) se tiene que ( ) 1kt =λ , para que el Hamiltoniano
sea cóncavo en ( )tu es necesario que ( ) ,0kt 1 <=λ de modo que
( ) ( ) ( )( )tu,tx,tgtλ sea una función cóncava en ( )tu . Gracias a (72)
tenemos que ( ) ,0kt 1* <=λ por lo que esto garantiza que ( ) 0kt 1 <=λ y
que el Hamiltoniano sea cóncavo en ( )tu . En consecuencia, se satisface
el teorema de Mangasarian, y el control óptimo que maximiza
globalmente a la funcional objetivo [ ]uJ es ( ) .0tu* =
Para aplicar el teorema de Arrow, procederemos a verificar si el
Hamiltoniano maximizado ( ) ( )( )t,tx,tH λ es cóncavo en ( )tx . En el
presente ejemplo, el Hamiltoniano es:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )tuttut,tu,tx,tH2λ+=λ ( )85
Cuando el control óptimo ( ) 0tu* = es sustituido en (85) para eliminar
( )tu , el Hamiltoniano maximizado será:
( ) ( )( ) 0t,tx,tH =λ ( )86
Se aprecia que ( ) ( )( )t,tx,tH λ es nulo, y no depende de ( )tx . Por tanto,
( ) ( )( )t,tx,tH λ es lineal y de ahí cóncavo en ( )tx para un ( )tλ dado, y se
satisface el teorema de Arrow.
4. Problemas con tiempo final variable
En los problemas de control óptimo que hemos estudiado hasta aquí el
intervalo de tiempo había sido fijado. En algunos problemas de control, que
surgen en economía, el instante final “ 1t ” no está fijado, sino que es una
variable que es determinada por el problema de optimización, junto con ( )tu ,
[ ].t,tt 10∈ Es decir, la única diferencia respecto del problema con
restricciones terminales estándar, problema (XXV), es que “ 1t ” ahora puede
escogerse óptimamente. El problema de tiempo final variable se puede
formular como sigue:
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
312
( )
( )
[ ] ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( )
φ
=
≥
θ=
γ=
βℜ=∈
α=
∆
∫
cybendado:x
libre:t
dados:t,x
xtxc
xtxb
libre:txa
:finalessCondicione
xtx:inicialessCondicione
tu,tx,tgtx:estadodeEcuación
Utu:a.s
dttu,tx,tfuJmax
1
1
00
11
11
1
00
'
t
tt,tu
1
0
1
El problema ( )∆ consiste en maximizar la integral en (α), sobre todos los
controles admisibles que, sobre el intervalo de tiempo [ ]10 t,t , llevan al
sistema desde ( ) 00 xtx = hasta el punto que satisface las condiciones finales
(φ). Note que en este caso, las variables de elección son “ 1t ” y ( )tu , y que
[ ].t,tt 10∈ En contraste a la situación estudiada en la sección 2, el tiempo
“ 1t ” no es fijado a priori ya que a los diferentes controles admisibles se les
permiten estar definidos en diferentes intervalos de tiempo.
5. El principio del máximo de Pontryagin para problemas con tiempo final variable
Sea ( )tu* la trayectoria de control, continua a trozos definidas en [ ]10 t,t
que resuelve el problema (XXV) con “ 1t ” libre ( )[ ]∞∈ ,tt 01 y sea ( )tx* la
trayectoria de estado óptima asociada. Entonces todas las condiciones del
principio del máximo de Pontryagin [(XXVIII) → (XXXII)] se satisfacen en
[ ]*10 t,t y, además,
( ) ( ) ( )( ) 0t,tu,tx,tH *1
*1
**1
**1 =λ ( )XXXXII
Una forma natural de resolver un problema con tiempo final libre es, para
cualquier 01 tt > , resolver primero el problema correspondiente con “ 1t ”
fijo. Denotar la solución a este problema como ( ) ( )( )tu,tx11 tt , con la
variable de coestado asociada ( ).t1tλ Entonces, la solución al problema con
tiempo final libre se obtiene considerando a “ 1t ” como un parámetro
desconocido. La condición ( )XXXXII nos dice que podremos determinar
“ 1t ” a través de la condición:
( ) ( ) ( ) ( )( ) 0t,tu,tx,tHtF 1t1t1t11 111=λ≡ ( )XXXXIII
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
313
Nota 1: Es importante resaltar que ( ) 0tF *1 = es una condición necesaria para
que “ *1t ” sea el tiempo final óptimo. Asimismo, se hace notar que el único
requerimiento del principio del máximo de Pontryagin, en problemas de
tiempo final variable, sobre el intervalo de definición de las variables
admisibles [ ]10 t,t es que 01 tt > . Supóngase que 21 T,T son números fijos,
,TTt 210 <≤ y supóngase que requerimos que [ ].T,Tt 211 ∈ Entonces, el
principio del máximo de Pontryagin para problemas de tiempo final variable
aún será válido siempre que ( ).T,Tt 21*1 ∈ Si ,Tt 1
*1 = entonces la igualdad en
( )XXXXIII será reemplazada por:
( ) 0tF *1 ≤ ( )XXXXIV
Si ,Tt 2*1 = entonces la igualdad en ( )XXXXIII será reemplazada por:
( ) 0tF *1 ≥ ( )XXXXV
Si ( )tu* es únicamente medible, ( ) ( ) ( )( )*1
*1
*1
**1 t,tu,tx,tH λ en ( )XXXXII debe ser
reemplazado por ( )
( ) ( ) ( )( ),t,tu,tx,tHsup*1
*1
*1
**1
Utu
λ∈
que es finito31
.
Si 01 tT = y ,tt 0*1 = el principio del máximo de Pontryagin para problemas
de tiempo final variable y la condición en esta nota no tienen ningún sentido.
Las siguientes condiciones son necesarias: Existe un número
,0λ ,0o1 00 =λ=λ y un vector ( )*1tλ con ( )( ) ( )0,0t, *
10 ≠λλ tal que ( )*1tλ
satisface ( )XXXII y ( )
( ) ( ) ( )( ) 0t,tu,tx,tHsup*1
*1
*1
**1
Utu
≤λ∈
.
6. Condiciones suficientes para problemas con tiempo final libre
Para problemas de tiempo final variable es difícil encontrar condiciones
suficientes de algún valor práctico, debido a una inherente carencia de
propiedades de convexidad en tales problemas. No obstante, las siguientes
condiciones, formuladas por Seierstad (1984), parecen algo promisorias.
Considerar el problema (XXV) con [ ],T,Tt 211 ∈ para .TTt 210 <≤
Supóngase que para cada [ ]21 T,TT ∈ existe un par admisible ( ) ( )( )tu,tx TT
definido en [ ]T,t0 , con la variable de coestado asociada ( )tTλ que satisface
todas las condiciones en el teorema de suficiencia de Arrow de la sección 3.
Asimismo, supongamos que ( ) .TtUUtu 'T ∀∧∀⊆∈ Se supone también
que ( )Tx T es continua en “T” y ( ) [ ] 21T T,TT:T ∈λ es acotado. Finalmente,
se asume que la función:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )10T,Tu,Tx,THTF 0TTT =λ=λ= ( )XXXXVI
31
En el apéndice podrá encontrar la definición del supremo de una función.
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
314
Tiene la propiedad que existe un [ ]21* T,TT ∈ tal que:
( )
( )
>≥≤
<≤≥
*2
*
*1
*
TTsiTTpara0TF
TTsiTTpara0TF ( )XXXXVII
Entonces, el par ( ) ( )( )tu,tx ** TT definido en [ ]*
0 T,t resuelve el problema
(XXV) con [ ].T,Tt 211 ∈ El par es único si ( )XXXXVII es válida también
cuando todas las desigualdades en ( )XXXXVII son estrictas y
( ) ( )( )t,tx,tH *Tλ es estrictamente cóncava en ( )tx para todo
[ ] .T,tt *0∈ Cuando 01 tT = es únicamente necesario contrastar las
condiciones del teorema para .TT 1>
Es importante señalar que si se requiere que [ ) 1011 Tt,,Tt ≤∞∈ y si la terna
( ) ( )( )tu,tx,T*T
*T
*** satisface las condiciones suficientes para problemas con
tiempo final libre de Seierstad para todos los intervalos [ ]21 T,T que contienen
T*, entonces la terna es óptima.
Ejemplos:
1.- Extracción óptima de recursos naturales: Supóngase que en el instante
0t = existe una cantidad fija 0x > de algún recurso (digamos petróleo
en cierto yacimiento de petróleo) que es extraíble. Sea la tasa de
extracción:
( ) 0tu ≥ ( )87
Si “T” es el instante en el que la extracción finaliza, entonces:
( ) ( ) 0dttuxxdttu
T
0
T
0
≥−⇒≤ ∫∫ ( )88
Si definimos ( )tx como el stock del recurso que resta por extraer en el
instante “t”, [ ],T,0t ∈ se tiene que:
( ) ( )∫ ττ−=
t
0
duxtx ( )89
Derivando (89) respecto al tiempo se tiene32
:
( ) ( )tutx' −= ( )90
32
Para derivar esta expresión se ha utilizado una de las reglas de Leibniz, que se presentan en el apéndice.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
315
Reemplazando Tt = en (89) y teniendo en cuenta (88), se tiene:
( ) ( ) 0duxTx
T
0
≥ττ−= ∫ ( )91
Además, si reemplazamos 0t = en (89) se tiene que:
( ) ( ) 0xdux0x
0
0
>=ττ−= ∫ ( )92
Se asume que el precio del mercado mundial del recurso en el instante “t”
es ( ),tp de modo que los ingresos de las ventas por unidad de tiempo en
el instante “t” son ( ) ( ) ( ).tutptI ⋅= Asimismo, se asume que los costos por
unidad de tiempo son convexos en “ ( )tu ”, con ,0u
C
2
2
>∂
∂ y vienen dados
por ( )( ).tu,tCC =
Por tanto, la tasa instantánea de beneficios en el instante “t” será:
( )( ) ( ) ( ) ( )( )tu,tCtutptu,t −⋅=π ( )93
El beneficio total descontado sobre el intervalo [ ],T,0 cuando la tasa de
descuento es “r”, es por tanto:
( ) ( ) ( )( )[ ] dtetu,tCtutp
T
0
rt∫
−−⋅ ( )94
El problema a resolver será: encontrar el instante “T” y la tasa de
extracción ( )tu que maximicen (94) sujeta a las restricciones (87), (90),
(91) y (92). Es decir, en términos formales tenemos:
( )( )
( ) ( ) ( )( )[ ]
( ) ( )( )( )( ) 0tu
0Tx
0x0x
tutx:a.s
dtetu,tCtutpmax
'
T
0
rt
tu,T
≥
≥
>=
−=
−⋅∫−
( )95
En este caso, la variables de estado y de control son ( )tx y ( )tu
respectivamente. Por tanto, el Hamiltoniano será:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )tutetu,tCtutpt,tu,tx,tH rt0 ⋅λ−−⋅λ=λ − ( )96
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
316
Supongamos que ( ) ( )tu,tx** , ambos definidos sobre el intervalo
[ ] ,T,0 * resuelven nuestro problema. Entonces existe una variable de
coestado ( )tλ tal que para todo [ ],T,0t *∈
( )( ) ( )0,0t,0 ≠λλ ( )97
( )tu* maximiza ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0tut,tu,tx,tH ≥∀λ ( )98
Salvo en los puntos de discontinuidad de ( )tu* , se cumple que:
( )( ) ( ) ( )( )
( )0
tx
t,tu,tx,tHt
' =∂
λ∂−=λ ( )99
Además, ,0o1 00 =λ=λ y
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
4444 84444 76CHC
****** 0T0Tx0Tx0T =λ⋅−≥≥λ ( )100
Finalmente, de ( )XXXXII tenemos:
( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )***rT******0 TuTeTu,TCTuTp
*
λ=−⋅λ − ( )10133
De (99) vemos que ( ) λ=λ t para alguna constante λ , y por ( )100 ,
( ) ( )( )
44 844 76CHC
**** 0Tx0Tx0 =λ⋅≥≥λ ( )102
Si suponemos que ,00 =λ de ( )97 resulta que ( ) 0t ≠λ=λ por lo que de
( )102 tenemos:
0>λ y ( ) 0Tx ** = ( )103
Entonces, reemplazando ( ) 0t >λ=λ y 00 =λ en ( )96 tenemos que:
( ) ( ) ( )( ) ( )tut,tu,tx,tH ⋅λ−=λ ( )104
De (98), se deduce que ( ) ,0tu* = y por la ecuación de movimiento de
( ),tx que aparece en (95), se tiene que:
( ) ( ) ktx0tx *' =⇒= ( )105
33
Si ,0T* = las condiciones deben ser modificadas de acuerdo a la nota 1 de la sección 5.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
317
Reemplazando 0t = en (105), y teniendo en cuenta la condición inicial
dada en (95) se tiene que:
( ) 0xk0x* >== ( )106
Pero si reemplazamos *Tt = en (105), y teniendo en cuenta (106) y la
condición final dada en (95) se tiene que:
( ) 0xkTx** >== ( )107
Pero (107) contradice (103). Por tanto, ,10 =λ y el Hamiltoniano resulta:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )tutetu,tCtutpt,tu,tx,tHrt ⋅λ−−⋅=λ − ( )108
Gracias a (99) y a (102) sabemos que ( ) ,0t ≥λ=λ donde λ es una
constante. Reemplazando λ en (108) tenemos:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( )tuetu,tCtutpt,tu,tx,tHrt ⋅λ−−⋅=λ − ( )109
Ya que ( )( )tu,tC es convexa en ( )tu y los otros términos de (109) son
lineales en ( )tu , ( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ es cóncavo en ( )tu . De acuerdo a
(98), vemos que ( )tu* debe maximizar ( ) ( ) ( )( )t,tu,tx,tH λ sujeto a que
( ) .0tu ≥ Por tanto, de acuerdo a las condiciones de Kuhn-Tucker, si
( ) ,0tu* = se tendría que:
( ) ( ) ( )( )( )
( )
( )( )( )
( )0e
tu
tu,tCtp
tu
t,tu,tx,tH rt*
0tu
*
*
≤λ−
∂
∂−=
∂
λ∂ −
=
Mientras que si ( ) ,0tu* > entonces:
( ) ( ) ( )( )( )
( )
( )( )( )
( )0e
tu
tu,tCtp
tu
t,tu,tx,tH rt*
0tu
*
*
=λ−
∂
∂−=
∂
λ∂ −
>
En consecuencia, ( )98 implica que:
( )( )( )
( )( )( )0tusi00e
tu
tu,tCtp
*rt*
>=≤λ−
∂
∂− − ( )110
Ya que ( )( )( )
( )rt
*
etu
tu,tCtp
−
∂
∂− es cóncava en ( )tu , entonces ( )110 es
también una condición suficiente que satisface ( )98 .
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
318
Para cualquier instante “t” en el que ( ) 0tu* > , ( )110 implica que:
( )( )( )
( )0e
tu
tu,tCtp
rt*
≥λ=∂
∂− ( )111
El lado izquierdo de la ecuación ( )111 es el beneficio marginal
( )( ) ( ).tutu,t ∂π∂ Por tanto, ( )111 nos dice que en el óptimo el beneficio
marginal debe crecer exponencialmente con una tasa igual al factor de
descuento “r”.
7. Horizonte infinito
8. El principio del máximo y el cálculo de variaciones
9. Hamiltoniano en tiempo corriente
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
207
Apéndice
Definición de producto cartesiano: El producto cartesiano de “n” conjuntos ( )Nn ∈ n21 A,,A,A K es el conjunto formado por las n-uplas ordenadas:
( ) .n,,2,1i,Aaa,,a,aAAA iin21n21 KKK =∈=××× El caso particular de la definición anterior que más nos interesa son los productos cartesianos de ℜ por sí mismo, es decir, los denominados conjuntos euclídeos.
( ) .n,,2,1i,xx,,x,x in21n
veces"n"KK44 344 21 K =ℜ∈=ℜ=ℜ××ℜ×ℜ
A cada componente n,,2,1i,x i K= de un elemento ( ) nn21 x,,x,x ℜ∈K se le suele
llamar coordenada i-ésima.
Ejemplos:
• La recta real ( ) .:1n ℜ= El conjunto de números reales se suele representar gráficamente a través de una recta.
-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 ℜ
• El plano euclídeo ( ) ( ) .2,1i,xx,x:2n i212 =ℜ∈=ℜ= Su representación
gráfica se realiza a través de dos ejes (perpendiculares entre sí) de coordenadas cartesianas.
2ℜ
a
b
1x
2x
( )b,a
• El espacio euclídeo ( ) ( ) .3,2,1i,xx,x,x:3n i3213 =ℜ∈=ℜ= Su
representación gráfica se realiza a través de tres ejes (perpendiculares entre sí) de coordenadas cartesianas.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
208
3ℜ
b
c
1x
2x( )c,b,a
3x
a
De acuerdo a la definición anterior, es importante resaltar que las n-uplas deben ser ordenadas. Es decir, por ejemplo en ,3ℜ los elementos de coordenadas ( ) ( ) ( ) .3,1,22,3,13,2,1 ≠≠ Definición de bola cerrada/abierta Dado ,x nℜ∈
r ,r ℜ∈ ,0r > se define:
a) Bola cerrada de centro xr
y radio “r”: ( ),xBrr como el conjunto de puntos
de nℜ cuya distancia al punto xr
es menor o igual que “r”, es decir:
( ) ryxyxB nr ≤−ℜ∈=
rrrr
b) Bola abierta de centro xv y radio “r”: ( ),xBr
r como el conjunto de puntos de
nℜ cuya distancia al punto x es menor estrictamente que “r”, es decir:
( ) ryxyxB nr <−ℜ∈=
rrrr
Donde la distancia (euclídea) entre los puntos xr
y yv es:
( ) ( )2nn2
11 yxyxyx −++−=− Krr
Es importante recalcar que siempre se verificará que: ( ) ( ).xBxB rrrr
⊂ Esto es así ya que a diferencia de la bola abierta, la bola cerrada incluye la frontera. Ejemplos:
• En ℜ tenemos:
( ) ( ) [ ]rx,rxryxyxyxyxB 2r +−=
≤−=−=−ℜ∈=
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
209
ℜ
x-r x x+r
Gráficamente este conjunto coincide con los puntos de un intervalo cerrado en ambos extremos con centro en x y longitud 2r.
( ) ( ) ( )rx,rxryxyxyxyxB 2r +−=
<−=−=−ℜ∈=
ℜx-r x x+r
Gráficamente este conjunto coincide con los puntos de un intervalo abierto en ambos extremos con centro en x y longitud 2r.
• En ,2ℜ sea ( ) 221 x,xx ℜ∈=
v entonces:
( ) ( ) ( ) ( )
≤−+−ℜ∈= ryxyxy,yxB 222
211
221r
v
xv
2x
1x
r 2ℜ
Gráficamente este conjunto coincide con los puntos de un círculo con centro en x
v y radio “r” incluyendo los puntos de la circunferencia de centro en xv y
radio “r”.
( ) ( ) ( ) ( )
<−+−ℜ∈= ryxyxy,yxB 222
211
221r
v
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
210
xv
2x
1x
r 2ℜ
Gráficamente este conjunto coincide con los puntos de un círculo con centro en x
v y radio “r” sin incluir los puntos de la circunferencia de centro en xv y
radio “r”.
• En ,3ℜ sea ( ) 3321 x,x,xx ℜ∈=
v entonces:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
≤−+−+−ℜ∈= ryxyxyxy,y,yxB 233
222
211
3321r
v
3ℜ
3x
xv
r 1x
2x
Gráficamente este conjunto coincide con los puntos interiores de una esfera con centro en x
v y radio “r” incluyendo los puntos de la esfera que la delimita.
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
211
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
<−+−+−ℜ∈= ryxyxyxy,y,yxB 233
222
211
3321r
v
3ℜ
3x
xv
r 1x
2x
Gráficamente este conjunto coincide con los puntos interiores de una esfera con centro en x
v y radio “r” sin incluir los puntos de la esfera que la delimita.
Definición de interior de un conjunto: Sea nx ℜ∈
v y ,S nℜ⊆ se dice que el punto x
v es un punto interior al conjunto S, si
( ) .SxB0run r ⊆>∃v El conjunto interior de S, denotado por
0S , es el conjunto
formado por todos los puntos interiores al conjunto S. Es decir, 0S es el conjunto
abierto que resulta de la unión de todos los conjuntos abiertos contenidos en S. Por su definición, el interior de un conjunto puede considerarse como el más grande conjunto abierto que está contenido en el conjunto dado. Por ejemplo, el interior de una bola cerrada con centro en x
v es la bola abierta con
centro en xv . El interior del intervalo semiabierto [ )b,a es el intervalo abierto ( ).b,a
El interior de una línea en el plano es el conjunto vacío, ya que ningún subconjunto de la línea en 2ℜ es abierto en 2ℜ . Teorema:
a) Cualquier conjunto abierto es la unión de bolas abiertas. b) Cualquier conjunto abierto es su propio interior. Es decir, el interior de un
conjunto abierto S es el mismo conjunto S.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
212
Definición de conjunto abierto: Un conjunto nS ℜ⊆ es abierto si para cada ,Sx ∈
v existe una bola abierta con centro
en xv
completamente contenida en S:
( ) .SxB0runSx r ⊂>∃⇒∈vv
Es decir, S será un conjunto abierto si todos sus puntos son interiores, esto es, si
.SS0
= Un conjunto abierto S que contiene al punto xv
se le denomina vecindad abierta de x
v . La palabra “abierta” tiene la connotación de “no acotado”: desde cualquier punto uno siempre puede desplazarse una pequeña distancia en cualquier dirección y aún permanecer en el conjunto. La definición de conjunto abierto establece la siguiente idea en términos precisos: cada elemento en un conjunto abierto contiene una bola completa al rededor de él que se encuentra en dicho conjunto. En consecuencia, los conjuntos abiertos no pueden contener sus puntos de frontera.
Sea nx ℜ∈v
y ,S nℜ⊆ se dice que el punto xv
es un punto frontera del conjunto S, si ( ) ( ) .ØSxByØSxB,0r C
rr ≠∩≠∩>∀vv
Donde CS es el conjunto complementario de S. Es decir x
v es un punto de frontera de S si cualquier bola centrada en él siempre contiene elementos del conjunto S y de su complementario. Al conjunto formado por todos los puntos frontera de S se le denomina conjunto frontera y se le denota como
( ).SFr De la definición de punto frontera se desprende que ( ) ( ).SFrSFr C= Además, se desprende que un punto interior no puede pertenecer a la frontera del conjunto. De la definición de conjunto abierto se desprende que nS ℜ⊆ es un conjunto abierto sí y sólo sí ( ) ( ).SFrSFr C⊆
Teorema:
a) Las bolas abiertas son conjuntos abiertos. b) La unión de conjuntos abiertos es otro conjunto abierto. c) La intersección de un número finito de conjuntos abiertos es otro conjunto
abierto.
Definición de conjunto cerrado:
Sea nx ℜ∈v
y ,S nℜ⊆ se dice que el punto xv
es un punto adherente al conjunto S, si ( ) .ØSxB,0r r ≠∩>∀
v Al conjunto formado por todos los puntos adherentes al conjunto S se le denomina conjunto adherencia o clausura de S y lo denotaremos por .S
Un conjunto nS ℜ⊆ se denominará conjunto cerrado si contiene todos sus puntos adherentes, esto es, si .SS = De su definición se desprende que nS ℜ⊆ es un
conjunto cerrado sí y sólo sí su complementario CS es abierto.
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
213
Definición de conjunto acotado: Se dice que un conjunto nS ℜ⊆ está acotado si y sólo si existe un ,Sx0r ∈∀>
r se
cumple que .rx ≤r
De manera equivalente, podemos decir que S será un conjunto
acotado si existe una bola abierta centrada en n0 ℜ∈v
y radio 0r > que lo contiene totalmente, esto es, ( ).0BS0run r
v⊆>∃
Definición de conjunto compacto: Se dice que un conjunto nS ℜ⊆ es un conjunto compacto si es cerrado y acotado. Ejemplos: 1.- Conjuntos interior, adherencia y frontera de conjuntos en .y 2ℜℜ
• En :ℜ Sean .ba,b,a <ℜ∈ Los conjuntos interior, adherencia y frontera de los distintos intervalos de extremos a y b serán:
( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) b,ab,aFr,b,ab,a,b,ab,a0
===
[ ] ( ) [ ] [ ] [ ]( ) b,ab,aFr,b,ab,a,b,ab,a0
===
[ ) ( ) [ ) [ ] [ )( ) b,ab,aFr,b,ab,a,b,ab,a0
===
( ] ( ) ( ] [ ] ( ]( ) b,ab,aFr,b,ab,a,b,ab,a0
===
Si :a −∞=
( ) ( ) ( ) ( ] ( )( ) bb,Fr,b,b,,b,b,0
=∞−∞−=∞−∞−=∞−
( ] ( ) ( ] ( ] ( ]( ) bb,Fr,b,b,,b,b,0
=∞−∞−=∞−∞−=∞− Si :b +∞=
( ) ( ) ( ) [ ) ( )( ) a,aFr,,a,a,,a,a0
=+∞+∞=+∞+∞=+∞
[ ) ( ) [ ) [ ) [ )( ) a,aFr,,a,a,,a,a0
=+∞+∞=+∞+∞=+∞
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
214
• En :2ℜ Por ejemplo, para [ ) ( ]4,13,2A ×= se tiene:
( ) ( ) [ ] [ ]4,13,2A,4,13,2A0
×=×=
( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ] ( ) [ ] ( )43,213,24,134,12AFr ×∪×∪×∪×= 1
2ℜ
( )0,2
( )1,0
( )0,3
A
( )0,0
( )4,0
2.- Conjuntos abiertos, cerrados, acotados y compactos en .y 2ℜℜ
• En :ℜ Todo intervalo abierto en ambos extremos será un conjunto abierto, mientras que todo intervalo cerrado en ambos extremos será un conjunto cerrado (los intervalos abiertos no contienen su frontera y los cerrados sí). Todo intervalo que sea abierto en un extremo y cerrado en el otro no es ni abierto ni cerrado. Asimismo, si los dos extremos del intervalo son finitos, el conjunto será acotado (siempre encontraremos una bola abierta centrada en “0” que contenga al intervalo), mientras que si uno de su extremos es infinito será no acotado. Por tanto, todo intervalo cerrado de amplitud finita será un conjunto cerrado y acotado y, en consecuencia, compacto.
• En :2ℜ
El conjunto ( ) ( )4,13,2A ×= es abierto ya que ,AA0
= y es acotado ya que, por ejemplo, está contenido en la bola abierta de centro ( )0,0 y radio .6r = Al no ser cerrado no será un conjunto compacto.
1 Note que el conjunto frontera de A está formado por los puntos que se sitúan sobre el rectángulo que bordea al mismo.
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
215
2ℜ
( )0,2
( )1,0
( )0,3
6r =
A
( )0,0
( )4,0
El conjunto [ ] [ ]4,13,2B ×= es compacto ya que es cerrado ( )BB = y acotado.
2ℜ
( )0,2
( )1,0
( )0,3
6r =
B
( )0,0
( )4,0
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
216
Por otro lado, el conjunto ( ] [ ]4,13,2C ×= no es abierto ya que contiene puntos frontera, ni cerrado ya que no contiene algunos de sus puntos frontera (los de coordenadas ( ) ,x,1 con [ ]4,1x ∈ ), siendo un conjunto acotado, pero no compacto.
2ℜ
( )0,2
( )1,0
( )0,3
6r =
C
( )0,0
( )4,0
Independencia lineal Los vectores n21 ,,, ννν
vK
vv son linealmente independientes (l.i) si ninguno de ellos es combinación lineal de los demás. Son linealmente dependientes (l.d) si al menos uno de ellos es combinación lineal de los demás. Un conjunto de vectores n21 ,,, ννν
vK
vv que genera con unicidad el vector cero se denomina conjunto linealmente independiente. De no ser así, ese conjunto de vectores es linealmente dependiente.
• Independencia lineal significa:
0kn
1iii
v=ν⋅∑
=
implica que i0k i ∀=
• Dependencia lineal significa:
0kn
1iii
v=ν⋅∑
=
pero no todo 0k i =
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
217
Ejemplo:
A continuación demostraremos que los siguientes vectores
−
−
710
y022
,321
son
linealmente independientes. Para ello deberemos resolver el siguiente sistema matricial:
=
+
−+
−
000
710
k022
k321
k 321
Del cual podemos obtener las siguientes ecuaciones:
=++=+−−=++
0k7k0k30k1k2k20k0k2k
321
321
321
Luego de resolver el sistema obtenemos: 0k1 = , 0k 2 = y 0k 3 = . De lo cual se concluye que por ser la única solución (trivial), estos vectores generan con unicidad al vector 0
v, por lo tanto son linealmente independientes.
Menor de una matriz Se llama menor de orden “k” de “A” al determinante de una submatriz de “A” que resulta de suprimir todas las filas de “A” salvo “k” de ellas y suprimir todas las columnas de “A” salvo “k” de ellas. Ejemplo: Hallar los menores de la matriz:
=
122024201201
A
a) 4 menores de orden 3. Se obtienen suprimiendo una columna.
;2120220101
;4220420201
−=−=
0122242120
;0120240121
==
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
218
b) 18 menores de orden 2. Se obtienen suprimiendo una fila y dos columnas de todas las formas posibles. Dos de ellos son:
22001
= (Se obtiene suprimiendo la 3ª fila y la 3ª y 4ª columna).
21210
−= (Se obtiene suprimiendo la 2ª fila y la 1ª y 3ª columna).
c) 12 menores de orden 1. Son los 12 elementos de “A”. Rango de una matriz Se puede asociar a toda matriz un número muy importante que recibe el nombre de rango. El rango r(A) de una matriz matriz “A” de orden “ nm × ” es igual al orden de un menor no nulo de A de orden máximo. El rango r(A) de la matriz “A” coincide con el máximo número de vectores columna y con el máximo número de vectores fila linealmente independientes que hay en “A”. Es decir, el rango de la matriz “A” es igual al mayor número de filas linealmente independientes de dicha matriz, y también es igual al mayor número de columnas linealmente independientes de dicha matriz. El rango de una matriz “A” de orden “ nm × ” puede ser a lo sumo “m” o “n”, según cual sea el más pequeño. Formalmente esto se puede escribir como:
( ) n,mmínAr ≤
Ejemplo: A continuación vamos a determinar el rango de la matriz formada por los siguientes vectores columna:
0011
,
0111
,
1111
La matriz en cuestión es:
=
001011111111
A
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
219
Primero hallamos los menores de orden 1, comenzando por la parte superior izquierda (sólo para llevar un orden).
011 ≠= , como este menor de orden 1 es diferente de cero, entonces el rango es por lo menos uno. Ahora hallamos los menores de orden 2, comenzando por la parte superior izquierda (sólo para llevar un orden).
Como 01111
= , entonces buscamos algún otro menor de orden 2 que sea diferente
de cero.
10111
−= , como este menor de orden 2 es diferente de cero, entonces el rango es
por lo menos dos. Finalmente, hallamos los menores de orden 3, comenzando por la parte superior izquierda (sólo para llevar un orden).
Como 00111111
10111
10111
1011111111
=++−=×+×−×= , entonces
buscamos algún otro menor de orden 3 que sea diferente de cero.
( ) ( ) 1110100111
10101
10001
1001011111
−=−+−=×+×−×= , como este
menor de orden 3 es diferente de cero, entonces el rango es por lo menos 3. Ya no podemos hallar menores de orden mayor que tres, por lo tanto ( ) .3Ar = Por
tanto, podemos añadir que en este caso los tres vectores columna del espacio 4ℜ son linealmente independientes. Métodos para definir una matriz simétrica o una forma cuadrática Para definir (positiva, negativa, etc.) una matriz simétrica “A” de orden nn × o una forma cuadrática cuya matriz asociada es “A”, mostraremos el método de los menores principales dominantes de “A” y el método de los autovalores de “A”. Menores principales de una matriz Definición: Sea una matriz “A” de orden nn × . La submatriz de orden “k” obtenida borrando “nk” filas y las mismas “nk” columnas de “A” se le denomina submatriz principal de orden “k” de “A”. A su determinante se le denomina menor principal de orden “k” de “A”.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
220
Ejemplo:
=
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A :
Tiene un único menor principal de orden 3: .AAdet =
Tiene tres menores principales de orden dos:
,aaaa
2221
1211 obtenido eliminando la columna 3 y la fila 3 de A.
,aaaa
3331
1311 obtenido eliminando la columna 2 y la fila 2 de A.
,aaaa
3332
2322 obtenido eliminando la columna 1 y la fila 1 de A.
Tiene tres menores principales de primer orden:
,a11 obtenido eliminando las dos últimas filas y columnas.
,a22 obtenido eliminando la primera y tercera filas y la primera y tercera columnas.
,a33 obtenido eliminando las dos primeras filas y columnas.
Definición: Sea una matriz “A” de orden nn × . La submatriz principal de orden “k” obtenida borrando las últimas “nk” filas y las últimas “nk” columnas de “A” se le denomina submatriz principal dominante de orden “k” de “A”. A su determinante se le denomina menor principal dominante de orden “k” de “A”.
111 aA = orden 1.
2221
12112 aa
aaA = orden 2.
333231
232221
131211
3aaaaaaaaa
A = orden 3.
kk3k2k1k
k2232221
k1131211
k
aaaa
aaaaaaaa
A
K
MLMMM
MLMMM
K
K
= orden k.
M
AAn = orden n.
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
221
Definición de una matriz simétrica Método de los menores principales dominantes de A: Sea “A” una matriz simétrica de orden nn × . La matriz “A” es:
• Definida Positiva: Si y sólo sí todos sus “n” menores principales dominantes son estrictamente positivos. Es decir, .n,,2,1k0Ak K=∀>
• Definida negativa: Si y sólo sí sus “n” menores principales dominantes alternan de signo como sigue: .etc,,0A,0A,0A 321 K<>< Es decir, ( ) .n,2,1k0A1 k
k K=∀>−
• Indefinida: Si algún “k-ésimo” menor principal dominante de “A” (o algún par de ellos) no es nulo y no se ajusta a cualquiera de los patrones de signos descritos en los dos casos anteriores. Este caso se da si 0Ak < para un entero par “k”, o si 0A0A mk >∧< para dos enteros impares “k” y “m” siempre que .mk ≠
Una manera en la que el método de los menores principales dominantes puede fallar para una matriz simétrica “A” es cuando algún menor principal dominante de A es nulo mientras que los menores principales dominantes no nulos siguen el patron de signos de cualquiera de los dos primeros casos antes mencionados (definida positiva y definida negativa). Cuando esto ocurre, la matriz “A” es no definida (positiva o negativa), y ésta puede ser semidifenida (positiva o negativa) o indefinida. En este caso, para comprobar si la matriz “A” es o no semidefinida (positiva o negativa) se debe verificar el signo de todos los menores principales de “A” y no solo verificar el signo de los “n” menores principales dominantes de “A”.
• Semidefinida positiva: Si y sólo si los 12n− menores principales de A son
mayores o iguales a cero.
• Semidefinida negativa: Si y sólo si los 12n− menores principales alternan
de signo de modo que los menores principales de orden impar de la matriz A son menores o iguales a cero y todos los menores principales de orden par son mayores o iguales a cero.
Ejemplo: Supongamos que “A” es una matriz simétrica de orden 44 × , como es usual, iA representa el menor principal dominante de orden “i”:
a) Si ,0A,0A,0A,0A 4321 >>>> entonces “A” es definida positiva (el recíproco también se cumple).
b) Si ,0A,0A,0A,0A 4321 ><>< entonces “A” es definida negativa (el recíproco también se cumple).
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
222
c) Si ,0A,0A,0A,0A 4321 <=>> entonces “A” es indefinida debido a que
el signo de ( ) .01A 44 >−≠
d) Si ,0A,0A,0A,0A 4321 <<<< entonces “A” es indefinida debido a que
el signo de ( ) 01A 22 >−≠ y a que el signo de ( ) .01A 4
4 >−≠
e) Si ,0A,0A,0A,0A 4321 =><= entonces “A” es indefinida debido a que
el signo de ( ) 01A 22 >−≠ .
f) Si ,0A,0A,0A,0A 4321 >>=> entonces “A” no está definida. No es semidefinida negativa, pero puede ser semidefinida positiva. Para verificar si la matriz “A” es semidefinida positiva, debemos verificar todos los 15 menores principales de “A”, no únicamente los cuatro menores principales dominantes. Si ninguno de los menores principales es negativo, entonces “A” es semidefinido positivo. Si al menos uno de ellos es negativo, “A” es indefinida.
g) Si ,0A,0A,0A,0A 4321 >=>= entonces “A” no está definida, pero podría ser semidefinida positiva o semidefinida negativa. Para decidir, también deberíamos verificar todos sus 15 menores principales.
Raíces características o autovalores Sea una matriz A de orden .nn × Se dice que λ es una raíz característica o autovalor de A si verifica que: ( ) ,0xIAxxA
rrrr=λ−⇒λ= para algunos vectores .0x
rr≠ Donde “I”
es la matriz identidad de orden “n”. De modo que la solución de ( ) ,0xIArr
=λ− no sea trivial, esto es ( ),0x
rr≠ se debe verificar:
.0IA =λ−
Donde IA λ− es un polinomio de grado “n” que se le suele denominar polinomio característico de A. Las “n” raíces de este polinomio son los autovalores. Vectores característicos o autovectores Para una determinada raíz característica iλ de A, a todos los valores de “x” que
satisfagan ( ) ,0xIA irr
=λ− se les denomina vectores característicos o autovectores de A asociados a .iλ
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
223
Formas cuadráticas
Dado un vector [ ] ,xxxX nn21
T ℜ∈= LLr
una forma cuadrática es una
aplicación ℜ→ℜn:Q de la forma:
( ) [ ] ∑∑= =
=
==n
1i
n
1kkiik
n
2
1
nn2n1n
n22221
n11211
n21T xxa
x
xx
aaa
aaaaaa
xxxXAXXQM
M
L
MMM
L
L
LLrrr
Donde [ ]ikaA = es una matriz simétrica cuadrada de orden “n” de valores reales.
Definición de las formas cuadráticas Método de los autovalores de la matriz asociada A:
Sea ( )XQr
una forma cuadrática diremos que es:
• Definida Positiva: Sí y sólo si para todo ( ) .0XQ,0x,x n >≠ℜ∈rvvv En este
caso todos sus autovalores serán positivos.
Ejemplo: ( ) [ ] .xx
1001
xxxxxQ2
121
22
21
=+=
v
El polinomio característico y los valores característicos serán:
( ) .010110
011001
1001
212 >=λ=λ⇒=λ−=
λ−λ−
=
λ−
3x
1x
2x
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
224
• Semidefinida positiva: Sí y sólo si para todo ( ) 0XQ,x n ≥ℜ∈rv y existe
algún vector ( ) .0XQ0x 00 =≠rvv En este caso, existirán np < autovalores
positivos y pn − autovalores nulos.
Ejemplo: ( ) [ ] .xx
1111
xxxxx2xxQ2
121
2221
21
=++=
v Se observa que
para todos los vectores que se encuentran sobre el eje 1x ( ) 0xQ =v , y para
cualquier otro vector que no pertenece al eje 1x se verifica que ( ) .0xQ >v
El polinomio característico y los valores característicos serán:
( ) .02y00211
111001
1111
21 >=λ=λ⇒=−λλ=λ−
λ−=
λ−
2x
3x
1x
• Definida negativa: Sí y sólo si para todo ( ) .0XQ,0x,x n <≠ℜ∈rvvv Esto se da
cuando todos los autovalores de A son negativos.
Ejemplo: ( ) [ ] .xx
1001
xxxxxQ2
121
22
21
−
−=−−=
v
El polinomio característico y los valores característicos serán:
( ) .01011001
1001
1001
212 <−=λ=λ⇒=λ+=
λ−−λ−−
=
λ−
−
−
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
225
3x
1x
2x
• Semidefinida negativa: Sí y sólo si para todo ( ) 0XQ,x n ≤ℜ∈rv y existe
algún vector ( ) .0XQ0x 00 =≠rvv En este caso, existirán np < autovalores
negativos y pn − autovalores nulos.
Ejemplo: ( ) [ ] .xx
1111
xxxxx2xxQ2
121
2221
21
−−−−
=−−−=r
Se observa
que para todos los vectores que se encuentran sobre el eje 1x ( ) 0xQ =v y
para cualquier otro vector que no pertenece al eje 1x se verifica que ( ) .0xQ <v
El polinomio característico y los valores característicos serán:
( ) .02y00211
111001
1111
21 <−=λ=λ⇒=+λλ=λ−−−
−λ−−=
λ−
−−−−
1x
3x
2x
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
226
• Indefinida: Sí y sólo si existen ( ) ( ) .0XQ0XQX,X 2121 >∧<ℜ∈rrrr
Por tanto, existirán autovalores de A positivos y negativos.
Ejemplo: ( ) [ ] .xx
1001
xxxxxQ2
121
22
21
−
=−=v Se observa que para
todos los vectores de la forma ( )0,xx 12 =
v ⇒ ( ) ( )0x0xxQ 121
2 ≠>=v
(Curva AB), mientras que para vectores de la forma ( )21 x,0x =v ⇒
( ) ( )0x0xxQ 222
1 ≠<−=v (Curva CD).
El polinomio característico y los valores característicos serán:
.01y01011001
1001
1001
212 <−=λ>=λ⇒=−λ=
λ−−λ−
=
λ−
−
1x
2x
3x
Gradiente de una función Sea “f” una función de “n” variables y que posea derivadas parciales respecto a todas sus variables en un punto que pertenezca a su dominio “D” ( ) .Dx nℜ⊂∈
r Al
siguiente vector de :nℜ
( ) ( ) ( ) ( )[ ]xfxfxfxfn21 xxxr
Lrrr
=∇ Se le denomina vector gradiente de “f” en x
r y se denota como ( ).xf
r∇
Si ( )xf
r tiene derivadas parciales, se puede probar que el gradiente ( )xf
r∇ es ortogonal
a la superficie de nivel cuya ecuación es ( ) kxf =r
, donde “k” es una constante, y que ( )xfr
∇ apunta en la dirección de crecimiento máximo de ( )xfr
. Es decir, el vector gradiente nos da la dirección y el sentido del desplazamiento en que aumenta el valor de “k” y, el vector ( )xf
r−∇ , vector con sentido opuesto a ( )xf
r∇ , indica la dirección y el
sentido en el que disminuye el valor de “k”.
OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA
227
x
y
( ) ( )y,xfxf =r
k
( )xfr
∇−
x
y
xr
( ) 0ky,xf >=
( ) 0ky,xf >=
z
( ) 0y,xf =
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
319
Apéndice
Factor de descuento
En optimización dinámica es común encontrarse en situaciones en las que en un
periodo de tiempo dado, hay que analizar cantidades monetarias (ingresos, costos) que
se producen en instantes distintos. Asimismo, existen otras situaciones en las que se
producen utilidades en distintos instantes. La temporalidad de estas cantidades nos
obliga a realizar una homogeneización de las mismas ya que no es lo mismo recibir
“A” unidades monetarias en la actualidad que recibirlas en el futuro, como tampoco
es lo mismo tener la utilidad “U” ahora que poseerla en el futuro. Es por esto que se
introduce el concepto de tasa de descuento.
Por ejemplo, supongamos que tenemos “A” nuevos soles, que depositamos en un
banco a un tipo de interés nominal anual “i”1, en tanto por uno
2. Dicha cuenta la
dejamos abierta por “t” años, sin ingresos ni reintegros, acumulándose los intereses
(compuestos) que se vayan generando a lo largo del tiempo. El problema consiste en
determinar la cantidad “B” de dinero que existe en la cuenta después de “t” años.
Dicha cantidad dependerá de “A”, de “i”, de “t”, y de las veces que se capitalicen los
intereses durante cada año.
A continuación se presentan los casos que se dan de acuerdo al número de veces que
los intereses se capitalizan al año.
• Se capitaliza “m” veces al año:
( )mt
mt
mt
mi1
1Bmi1BAA
im
11B
+=+=⇒
+= −
• Se capitaliza de manera continua:
( )[ ] ( ) ititmt
m
mt
mBeAAemi1límAAmi1límB −
∞→∞→=⇒=+=+=
Las expresiones anteriores nos indican que “A” nuevos soles de hoy se transforman
en “B” nuevos soles dentro de “t” años. Asimismo, “B” nuevos soles dentro de “t”
años equivalen a:
+
− it
mt
Be
mi1
1B
nuevos soles de ahora, según la capitalización sea “m” veces al año o
de manera continua.
1 mi representa la tasa de interés efectiva capitalizable “m” veces al año.
2 Como sabemos, el tanto por ciento representa una cierta cantidad con respecto a 100. Si en lugar de tomar
como referencia 100, se toma la unidad 1, se llama tanto por uno. Si se divide un tanto por ciento entre 100
dará el tanto por uno correspondiente. Por ejemplo, 0,35 es el tanto por uno correspondiente al 35%.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
320
El factor de descuento también puede utilizarse en otros campos distintos al
financiero. Por ejemplo, para el caso discreto, si se tienen las utilidades:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) .t,tCU,,t,tCU,t,tCUt,tCU 1N1N1100jj −−= K
Correspondientes a los periodos ( )1N,,1,0j −= K . Se considera el factor de descuento
,1i1
10 ≤
+=α≤ donde 1i0 ≤≤ es la tasa de descuento. El valor actual del flujo
de utilidad descontada en el horizonte temporal dado es:
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ).t,tCUi1t,tCUi1
1t,tCU jj
1N
0j
jjj
1N
0j
j
jj
1N
0j
j ∑∑∑−
=
−−
=
−
=
+=
+=α
En este caso, tanto la tasa de descuento como el factor de descuento son ahora
subjetivos y reflejan la valoración del presente sobre el futuro que hace el planificador
o el individuo. Si ,i0 ∞=⇒=α sólo se valora el presente, el futuro no vale nada. Si
,0i1 =⇒=α el futuro se valora exactamente igual que el presente. En la medida
que α vaya creciendo desde 0 hasta 1 (o que “i” vaya decreciendo desde ∞ hasta 0),
el futuro va teniendo más peso.
Para el caso continuo, supongamos que se tiene el siguiente nivel de utilidad en cada
instante “t” perteneciente al horizonte temporal [ ].T,0 Si “i” es la tasa de descuento, y
( )( )t,tCU es el nivel de utilidad en el instante “t”. En este caso, el valor actual del flujo
de utilidad descontada en el horizonte temporal dado es:
( )( ) ( )( ) .dtt,tCUdtt,tCUe
T
0
tT
0
it∫∫ α=−
De la misma manera que ocurre en tiempo discreto, si 0i = el futuro se valora
exactamente igual que el presente. Si ∞=i sólo se valora el presente. Cuanto mayor
es “i” menor valor se concede al futuro. Donde el factor de descuento en tiempo
continuo viene dado por:
1m
i1líme0
mt
m
i ≤
+==α≤
−
∞→
−
Funcionales
Una funcional es una aplicación, cuyo dominio es un conjunto de funciones, y cuyo
rango es un subconjunto de .ℜ Vamos a considerar funcionales “J” cuyo dominio es
el conjunto ,Ω esto es:
[ ]xJx
:J
→
ℜ→Ω
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
321
Donde Ω es el conjunto de todas las funciones “x” con derivadas primeras y
segundas continuas en un intervalo cerrado [ ]10 t,t con ,tttyt 1010 <∧ℜ∈ y que
viene dado por: [ ] [ ] .t,tenCesxt,t:x 102
10 ℜ→ℜ⊂=Ω Es decir, una funcional
es una regla de correspondencia (un tipo especial de mapeo) que asigna a cada
función Ω∈x un único valor real [ ].xJ
En la figura I se muestra el mapeo entre tres trayectorias, pertenecientes al conjunto
de trayectorias admisibles ,Ψ y el valor asociado a cada una de ellas,
[ ] ( ).III,II,IjJxJ jj == En esta figura se aprecia que a cada trayectoria admisible
(que parte de x0 en el instante t0, punto A, y llega a x1 en el instante t1, punto B) que
pertenece a ( ) ( ) Ω⊆===Ω∈=Ψ IIIIIIii x,x,x1,0ixtxx le corresponde un único
valor [ ] .xJ j ℜ⊆
( )tx
( )tx
( )tx
t
t
t
Conjunto de valores asociados a las trayectorias (línea real)
Conjunto de trayectorias admisibles (funciones)
[ ] II JxJ =
[ ] IIII JxJ =
[ ] IIIIII JxJ =
Ix
IIx
IIIx
0t 1t
0t 1t
t t
A
A
A
B
B
B
0x
1x
0x
1x
0x
1x
Figura I
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
322
En este punto es importante resaltar que muchos autores, omiten la variable “t” en la
variable de estado que aparece como argumento de la funcional ( )[ ]txJ y únicamente
escriben [ ]xJ o ,xJ de esta manera subrayan el hecho que es el cambio en la
posición de la trayectoria completa ( )tx , la variación en la trayectoria ( )tx , en
contraste al cambio en “t”, que resulta en un cambio en el valor ( )[ ]txJ de la
trayectoria. El símbolo ( )[ ]txJ difiere del símbolo que corresponde a una función
compuesta ( )[ ]xfg ya que “g” es una función de “f”, y “f” es a su vez una función de
“x”, por lo que al final “g” es una función de “x”. Sin embargo, en el símbolo ( )[ ]txJ
no se debe tomar a “J” como una función de “t”, sino que por el contrario “J” debe ser
entendido como una función de ( ).tx Una vez hecha esta aclaración, para evitar
confusión, el símbolo que utilizaremos en este capítulo será [ ].xJ
Ejemplos:
• A cada función ,x Ω∈ le hacemos corresponder [ ] ( ) .dttxxJ
1
0
t
t
∫= Como Ω∈x ,
( )tx es una función continua y por tanto integrable, en consecuencia, [ ]xJ es
un número real. Por ende, [ ]xJ es una funcional.
• Para ,x Ω∈ sea:
[ ] .2
ttxxJ
10'
+=
En este caso [ ]xJ también es una funcional ya que, al ser “x” derivable, la derivada
de “x” en el punto medio del intervalo [ ]10 t,t en el que está definida, existe y es un
número real.
• Para ,x Ω∈ sea [ ] ( ).txxJ '= En este caso [ ]xJ no es una funcional ya que la
derivada de una función derivable por lo general es otra función, y no un número real.
Diversas formas de funcionales objetivo
• La forma integral de la funcional objetivo
En optimización dinámica, una trayectoria óptima es, por definición, aquella
que maximiza o minimiza el valor de la trayectoria [ ]xJ3. Dado que cualquier
trayectoria ( )tx por fuerza debe viajar a lo largo de un intervalo de tiempo
[ ]10 t,t , su valor total naturalmente sería la suma de los valores de los arcos
que la constituyan. Esta suma, en tiempo continuo, será una integral definida,
( ) .dtarcodelvalor
1
0
t
t
∫ Pero, para poder identificar un “arco” en una trayectoria
continua se necesita conocer el tiempo de partida, el estado de partida, y la
dirección en la cual el arco avanza. En tiempo continuo, ya que cada arco es de
longitud infinitesimal, la información anterior es representada por “t”, ( )tx y
( ),tx' respectivamente.
3 Los valores numéricos asociados a cada trayectoria de estado, [ ],xJ como suele asumirse en el análisis
económico, podrían ser interpretados como niveles de “utilidad” que pueden medirse.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
323
En general, para una trayectoria “x” dada, el arco asociado con un punto
específico del tiempo “t” es caracterizado por un único valor ( )tx y por una
única pendiente ( ).tx' Si existe alguna función, “f” que asigne valores de arcos
a los arcos, entonces el valor de dicho arco puede ser escrito como
( ) ( )( ).tx,tx,tf ' Por tanto, la suma de los valores de arcos puede generalmente
escribirse como la integral definida:
[ ] ( ) ( )( )∫=1
0
t
t
' dttx,tx,tfxJ ( )*
La expresión anterior revela que es la variación en la trayectoria “x” (digamos
III xvsx ) lo que altera la magnitud de [ ].xJ Cada diferente trayectoria “x”
está constituida por un diferente conjunto de arcos en el intervalo de tiempo
[ ],t,t 10 que, a través de la función “f” que asigna valores a los arcos, toma un
diferente conjunto de valores de arco. La integral definida suma aquellos
valores de arco sobre cada trayectoria “x” en un valor de trayectoria.
Si en el problema hay dos variables de estado, “x” y “z”, los valores de arco de
“x” y “z” deberán tomarse en cuenta. La funcional objetivo deberá entonces
ser:
[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( )∫=
1
0
t
t
'' dttz,tx,tz,tx,tfz,xJ ( )**
Un problema con una funcional objetivo en la forma de ( )* o de ( )** constituye
el problema estándar.
• Otras formas de la funcional objetivo
En ocasiones, el criterio de optimización en un problema puede no depender de
ninguna posición intermedia que la trayectoria atraviese, pero puede depender
exclusivamente de la posición del punto terminal alcanzado. En este caso, no
aparece ninguna integral definida, ya que no es necesario sumar valores de
arcos sobre un intervalo de tiempo. Más bien, la funcional objetivo adopta la
siguiente forma:
[ ] ( )[ ]Tx,TGxJ = ( )***
Donde la función “G” se basa únicamente sobre lo que ocurre en el instante
final “T”. A un problema con este tipo de funcional objetivo se le denomina
problema de Mayer. Ya que sólo la posición terminal ocurre en [ ]xJ , también
es conocido como problema de control terminal.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
324
Con dos variables de estado, “x” y “z”, ( )*** se convertiría en:
[ ] ( ) ( )[ ]Tz,Tx,TGxJ = ( )****
Podría también suceder que la integral definida en ( )* y el criterio del punto
terminal en ( )*** ingresen simultáneamente en la funcional objetivo.
Entonces tendríamos la siguiente funcional:
[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ]Tx,TGdttx,tx,tfxJ
1
0
t
t
' += ∫ ( )*****
Si (*****) es la forma de la funcional objetivo, entonces tendremos el
problema denominado problema de Bolza.
Aunque el problema de Bolza puede parecer ser la formulación más general, la
verdad es que los tres tipos de problema, Estándar, Mayer y Bolza, son
convertibles en los otros dos restantes.
Derivadas de funciones trigonométricas
Derivadas del sen θ y cos θ
• Si ( ) θsenθf = :
Entonces: ( ) ( ) θ∆senθcosθ∆cosθsenθ∆θsenθ∆θf +=+=+
Aplicando la definición analítica de la derivada de una función:
( )( ) ( ) ( )
−+=
−+=
→→ ∆θ
θsen ∆θθsen lím
∆θ
θf∆θθf límθ'f
0∆θ0∆θ
−+=
→ ∆θ
θsen ∆θsen . θ cos ∆θ cos . θsen lím
0∆θ
( )
+
−=
→→ ∆θ
∆θsen . θ cos lím
∆θ
1θ∆ cosθsen lím
0∆θ0∆θ
( ) ( ) ( )
+
−∆
=→→→→ ∆θ
∆θsen límθ cos lím
∆θ
1θ cos límθsen límθ'f
0∆θ0∆θ0∆θ0∆θ
( ) ( ) ( )
+
−∆=
→→ ∆θ
∆θsen límθ cos
∆θ
1θ cos límθsen θ'f
0∆θ0∆θ
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
325
Ahora vamos a calcular cada uno del los límites que conforman ( )θ' f .
En primer lugar vamos a ayudarnos de la gráfica del cos θ para determinar el valor
del
−∆
→ ∆θ
1θ cos lím
0∆θ.
Cos θ
θ(radianes)
Pendiente = d(Cos θ)/dθ| θ = 0 = 0
π/2 0 –π/2
Figura II
La figura II muestra una parte de la gráfica de la función ( )θcos para valores
cercanos a 0θ = . Se puede observar que la recta tangente a la gráfica en 0θ = es
horizontal, por lo que su pendiente será igual a cero en dicho punto; de ahí que la
derivada del ( )θcos en 0θ = , es cero.
Utilizando la definición analítica de la derivada de una función:
( )( )
( )
−+==
→ ∆θ
θ cos∆θθ cos lím'θ cos
θ d
θ cosd
0∆θ
Para :0=θ
( )( )
( )
−+==
→== ∆θ
0 cos∆θ0 coslím'θ cos
θ d
θ cosd
0∆θ0θ0θ
( ) 0∆θ
1∆θ cos lím'θ cos
0∆θ0θ=
−=
→=
En segundo lugar vamos a calcular el
→ θ∆
θ∆sen lím
0∆θ haciendo uso de un círculo
de radio unitario.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
326
y
R
P(x, y)
x 0 Q
1
θ x
y
Figura III
De la figura III PQ1
PQθseny === .
Como “θ” se mide en radianes, se obtiene que: θ = PR
=
⇒=
→→ PR
PQ lím
θ
θsen lím
PR
PQ
θ
θsen
0θ0θ
Podemos observar en la circunferencia que cuando 0θ → , la magnitud de PQ
prácticamente coincide con el arco de circunferencia PR, por lo tanto:
1
PR
PQ lím
θ
θsen lím
0θ0θ=
=
→→
Por lo que si hacemos θθ∆ = , tenemos que:
1θ∆
θ∆sen lím
0∆θ=
→
Reemplazando estos límites en ( )θ' f , tenemos que:
( ) ( ) ( ) ( )( ) θcos1θ cosθsen 0θ'f =+=
Por tanto:
( )cosθ
dθ
senθd=
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
327
• Si ( ) ( )θcosθf =
Ahora vamos a calcular ( )
θ d
θ cosd .
Sabemos que:
( ) ( )Ugsen Uθ cosθ2
πθf Uhacemos siθ
2
πsen θ cos ==⇒
−==⇒
−=
Aplicando la regla de la cadena:
( ) ( ) ( ) Ucos1)( Ucos
θ d
Ud
Ud
sen Ud
θ d
Ud
Ud
Udg
θ d
θ cosd −=−⋅=⋅=⋅=
Reemplazando
−= θ
2
πU , tenemos que:
( )( ) θsen θ2π cos
θ d
θ cosd −=−−=
Por tanto:
( )θsen
θ d
θ cosd −=
Derivadas de otras funciones trigonométricas
• θ cos
θsen θ tg =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
θ cos
θsen . θsen θ cos . θ cos
θ cos
'θ cos . θsen θ cos . 'θsen
θ d
θ tgd
22
−−=
−=
( )θ sec
θ cos
1
θ cos
θ sen θ cos
θ d
θ tgd2
22
22
==+
=
• θsen
θ cosθ ctg =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
θ sen
θ cos . θ cosθsen . θsen
θsen
'θsen . θ cos θsen . 'θ cos
θ d
θ ctgd
22
−−=
−=
( ) ( )θ csc
θ sen
1
θ sen
θ cosθ sen
θ sen
θ cosθ sen
θ d
θ ctgd2
22
22
2
22
−=−
=+−
=−−
=
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
328
• ( ) 1θ cos
θ cos
1θ sec
−==
( )( ) ( )
( )θ tg. θ sec
θ cos
θsen
θ cos
1
θ cos
θsen θsen θ cos
θ d
θ secd
2
2 =
==−−= −
• ( ) 1θsen
θsen
1θ csc
−==
( )( ) ( )
( )θ ctg . θ csc
θsen
θ cos
θsen
1
θsen
θ cosθ cosθsen
θ d
θ cscd
2
2 −=
⋅
−=−=−= −
Integrales de funciones trigonométricas
De las derivadas de las funciones trigonométricas que se han obtenido en el apartado
anterior podemos obtener algunas integrales de las funciones trigonométricas
fundamentales.
• ∫ θθ= dsenI
Sabemos que:
( )( ) ( ) ⇒θ−=⇒θ−=⇒−= ∫∫ dsenθcosθdθdenscosθdθens
dθ
cosθd
kcosdsenθI +θ−=θ= ∫
• ∫ θθ= dcosI
Sabemos que:
( )( ) ( ) ⇒θ=⇒θ=⇒= ∫∫ dcosθsenθdcosθosenθdcosθ
dθ
senθd
ksendcosθI +θ=θ= ∫
• ∫ θ= θd secI 2
Sabemos que:
( )( ) ( ) ⇒θ=⇒θ=⇒= ∫∫ θd secθ tgdθd secθ tgdθ sec
θ d
θ tgd 222
ktgθd secI 2 +θ=θ= ∫
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
329
• ∫ θ= θd cscI 2
Sabemos que:
( )( ) ( ) ⇒−=⇒−=⇒−= ∫∫ θ θd cscθ ctgdθ θd cscθ ctgdθ csc
θ d
θ ctgd 222
kctgθ θd cscI 2 +θ−== ∫
• ( )∫ θ⋅= dθ tgθ secI
Sabemos que:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ⇒θ⋅=⇒θ⋅=⇒⋅= ∫∫ dθ tg θ secθ secddθ tg θ secθ secdθ tg θ sec
θ d
θ secd
( ) ksecdθ tgθ secI +θ=θ⋅= ∫
• ( )∫ θ⋅= dθ ctg θ cscI
Sabemos que:
( )( ) ( ) ( ) ( )∫∫ θ⋅−=⇒θ⋅−=⇒⋅−= dθ ctg θ cscθ cscddθ ctg θ cscθ cscdθ ctg θ csc
θ d
θ cscd
( ) kθ cscdθ ctg θ cscI +−=θ⋅= ∫
Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes constantes
Este tipo de ecuaciones diferenciales permiten la obtención de soluciones analíticas
sin más que resolver ecuaciones algebraicas de orden “n”.
Su forma general es:
) ) ( ) ( )1tfxaxaxaxax 0
'1
''2
1n1n
n =+++++ −− K
Con ecuación homogénea igual a:
) ) ( )20xaxaxaxax 0
'1
''2
1n1n
n =+++++ −− K
Donde )inx − con ( )ni0 ≤≤ es la “ in − ”-ésima derivada de “x” con respecto a “t”.
A la solución de (2) se le denomina solución complementaria, y se le denota por ( ).txc
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
330
La solución complementaria puede encontrarse realizando la combinación lineal de
“n” soluciones linealmente independientes. Es decir:
( ) ( )3xKtx
n
1i
iic ∑=
=
Donde “xi” representa la i-ésima solución linealmente independiente de (2), y “ki” es
una constante asociada a “xi”. Las “n” soluciones de (2) serán linealmente
independientes si su Wronsquiano es distinto de cero, esto es:
( ) ) ) ) )
) ) ) )
( )ni0con0
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
tW
1nn
1ni
1n2
1n1
in
ii
i2
i1
'n
'i
'2
'1
ni21
≤≤≠=
−−−− KL
MMMMMM
KK
MMMMMM
KK
KK
La solución complementaria está asociada al polinomio característico que resulta de
reemplazar )inx − por inr − en la ecuación (2):
( ) ( )40ararararrP 012
21n
1nn =+++++= −
− K
La solución del polinomio (4) implica la obtención de “n” raíces. Si “n1” raíces son
reales y distintas, “n2” son raíces reales e iguales entre sí y “n3” raíces son pares de
complejas conjugadas, tal que se verifica que ,nn2nn 321 =++ la solución
complementaria vendrá dada por:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )5tqsenGtqcosCeetBeAtx
3
i
21
i
n
1i
iiiitp
n
1i
rt1ii
n
1i
tric ∑∑∑
==
−
=
+++=
Donde la primera sumatoria está vinculada a las raíces reales y distintas, la segunda
sumatoria se refiere a las raíces reales e iguales, y la tercera sumatoria se asocia con
las raíces complejo conjugadas de (4). Las “n” constantes arbitrarias (“n1” constantes
Ai, “n2” constantes Bi y “n3” constantes Ci y “n3” constantes Gi) se podrán determinar
a partir de “n” condiciones iniciales. Siendo “pi” y “qi” la parte real y la parte
imaginaria del i-ésimo par de raíces complejo conjugadas.
La solución general de (1) se puede hallar como la suma de dos componentes, la
solución complementaria ( )( ),txc y la solución particular ( )( )txp :
( ) ( ) ( ) ( )6txtxtx pc +=
Donde:
( )( )
( )( )7dt
tW
tWxtx
n
1i
iip ∑ ∫
=
=
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
331
Siendo ( )tW el Wronsquiano de las “n” soluciones de (2), ix la i-ésima solución de
(2) y ( )tWi es el determinante obtenido del Wronsquiano al reemplazar la i-ésima
columna por el vector columna
( )
,
tf
0
0
0
1n ×
M
M es decir:
( ) ) ) )
) ) ( ) )1nn
1n2
1n1
kn
k2
k1
'n
'2
'1
n21
i
xtfxx
x0xx
x0xx
x0xx
tW
−−−
=
KL
MMMMMM
KK
MMMMMM
KK
KK
Por tanto, la solución general de (1) es:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( )
( )
( )
( )44 844 764444444444444 84444444444444 76
tx
n
1i
ii
tx
n
1i
iiiitp
n
1i
rt1ii
n
1i
tri
pc
3
i
21
i dttW
tWxtqsenGtqcosCeetBeAtx ∑ ∫∑∑∑
===
−
=
++++= ( )8
Ejemplos:
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:
1. .A2
pbx
A
ax
''
−=− Si las condiciones iniciales son: ( ) ( ) .xTxyx0x T0 ==
Tenemos una ecuación diferencial ordinaria no homogénea de orden dos con
coeficientes constantes, cuyo polinomio característico es:
( )
−=
=
⇒=−=
A
ar
A
ar
0A
arrP
2
12
La solución complementaria es:
( ) ( )9eAeAtxtAa
2tAa
1c−
+=
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
332
Dos soluciones de ( )txc son:
( ) ( ) tAa'1
tAa1 eAatxetx =⇒=
( ) ( ) tAa'2
tAa2 eAatxetx
−−−=⇒=
El Wronsquiano será:
( ) 0Aa2eAaeAa
eetW
tAatAa
tAatAa
≠−=−
=−
−
Dado que ( ) ,0tW ≠ las soluciones ( ) ( )txytx 21 son linealmente independientes.
En consecuencia:
( ) tAatAa
tAa
1 eA2
bp
eAaA2
pbe0
tW−
−
−−
=−
−=
( ) tAatAa
tAa
2 eA2
pb
A2
pbeAa
0etW
−=−=
Por tanto:
( )
( )tAatAa1
ea4
bpdte
AaA4
pbdt
tW
tW −− −=
−= ∫∫
( )( )
( ) a4
bpe
a4
bpedt
tW
tWtx
tAatAa11
−=
−
=
−
∫
( )
( )tAatAa2
ea4
bpdte
AaA4
bpdt
tW
tW −=
−= ∫∫
( )( )
( ) a4
bpe
a4
bpedt
tW
tWtx
tAatAa12
−=
−
=
−
∫
La solución particular será:
( ) ( )10a2
bp
a4
bp
a4
bptx p
−=
−+
−=
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
333
Por tanto, la trayectoria óptima es:
( ) ( )11a2
bpeAeAtx
tAa2
tAa1
* −++=
−
Donde A1 y A2 se determinan utilizando condiciones de borde, esto es:
( ) 021* x
a2
bpAA0x =
−++=
( )12a2
bpxAA 021
−−=+
( ) TTAa
2TAa
1* x
a2
bpeAeATx =
−++=
−
( )13a2
bpxeAeA T
TAa2
TAa1
−−=+
−
Resolviendo (12) y (13) tenemos:
−
−−−
−−
=TAa2
TAaT0
1
e1
ea2
bpx
a2
bpx
A
−
−−−
−−
=TAa2
TAa0T
TAa
2
e1
ea2
bpx
a2
bpxe
A
Finalmente, tenemos que:
( )
a2
bpe
e1
ea2
bpx
a2
bpxe
e
e1
ea2
bpx
a2
bpx
tx
tAa
TAa2
TAa0T
TAa
tAa
TAa2
TAaT0
*
−+
−
−−−
−−
+
+
−
−−−
−−
=
−
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
334
2.- .t5x2xx ''' =−+ Si las condiciones iniciales son: ( )4
50x −= y ( ) .
2
10x ' =
Resolvemos la ecuación homogénea: .0x2xx ''' =−+ cuyo polinomio
característico es:
( ) ( )( ) .2r
1r02r1r2rrrP
2
12
−=
=⇒=+−=−+=
Por tanto, la solución complementaria será:
( ) t22
t1c eAeAtx −+=
Donde:
( ) ( ) t'1
t1 etxetx =⇒=
( ) ( ) t2'2
t22 e2txetx −− −=⇒=
Por tanto el Wronsquiano será:
( ) ( ) 0tW0e3e2e
eetW
t
t2t
t2t
≠⇒<−=−
= −−
−
Es decir, ( ) ( ) t22
t1 etxyetx −== son soluciones de ( )txc que son linealmente
independientes.
Mientras que:
( ) t2
t2
t2
1 te5e2t5
e0tW
−−
−
−=−
=
( ) t
t
t
2 te5t5e
0etW ==
Por tanto:
( )
( )( ) tt
t
t21
e1t3
5dtte
3
5dt
e3
te5dt
tW
tW −−
−
−
+−==−
−= ∫∫∫
( )( )
( )( ) ( )1t
3
5e1t
3
5edt
tW
tWtx tt1
1 +−=
+−= −
∫
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
335
( )
( )( )1t2e
12
5dtte
3
5dt
e3
te5dt
tW
tW t2t2
t
t2
−−=−=−
= ∫∫∫ −
( )( )
( )( ) ( )1t2
12
51t2e
12
5edt
tW
tWtx t2t22
2 −−=
−−= −
∫
Donde
( ) ( ) ( )1t212
51t
3
5tx p −−+−=
Por tanto, la solución general de t5x2xx ''' =−+ es:
( ) ( ) ( )1t212
51t
3
5eAeAtx t2
2t
1 −−+−+= −
Simplificando:
( ) ( )1t24
5eAeAtx t2
2t
1 +−+= −
Ahora calculamos la primera derivada de “x”:
( )2
5eA2eAtx t2
2t
1' −−= −
Aplicando condiciones iniciales:
Para 0t = se tiene que:
( ) ( )144
5
4
5AA0x 21 −=−+=
( ) ( )152
1
2
5A2A0x 21
' =−−=
Resolviendo se tiene que:
.1Ay1A 21 −==
Reemplazando estos valores en ( )tx tenemos:
( ) ( )1t24
5eetx t2t +−−= −
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
336
3. .ex34x13x t2'''' −=−+ Si las condiciones iniciales son: ( ) ,68
1350x = ( )
34
1030x' = y
( ) .17
10x '' −=
Resolvemos la ecuación homogénea: ,0x34x13x'''' =−+ cuyo polinomio
característico es:
( ) ( )( ) .4qy1pj41r
2r017r2r2r34r13rrP
11
123
=−=⇒±−=
=⇒=++−=−+=
Por tanto, la solución complementaria será:
( ) ( )[ ])t4(senGt4cosCeeAtx 11tt2
1c ++= −
Donde:
( ) ( ) ( ) t2''1
t2'1
t21 e4txe2txetx =⇒=⇒=
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ])t4(sen8t4cos15etx)t4(sen4t4cosetxt4cosetx t''2
t'2
t2 +−=⇒+−=⇒= −−−
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ])t4(sen15t4cos8etx)t4(sent4cos4etxt4senetx t''3
t'3
t3 +−=⇒−=⇒= −−−
Por tanto el Wronsquiano será:
( )( ) ( )
( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]
0100
)t4(sen15t4cos8e)t4(sen8t4cos15ee4
)t4(sent4cos4e)t4(sen4t4cosee2
t4senet4cosee
tWttt2
ttt2
ttt2
≠=
+−+−
−+−=−−
−−
−−
Es decir, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t4senetxyt4cosetx,etx t3
t2
t21
−− === son soluciones de ( )txc que
son linealmente independientes.
Mientras que:
( )( ) ( )
( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]
t4
ttt2
tt
tt
1 e4
)t4(sen15t4cos8e)t4(sen8t4cos15ee
)t4(sent4cos4e)t4(sen4t4cose0
t4senet4cose0
tW −
−−−
−−
−−
=
+−+−
−+−=
( )( )
( )[ ]( )[ ]
( )[ ]t4cos4)t4(sen3e
)t4(sen15t4cos8eee4
)t4(sent4cos4e0e2
t4sene0e
tW t
tt2t2
tt2
tt2
2 −=
+−
−= −
−−
−
−
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
337
( )( )
( )[ ]( )[ ]
( )[ ]t4cos3)t4(sen4e
e)t4(sen8t4cos15ee4
0)t4(sen4t4cosee2
0t4cosee
tW t
t2tt2
tt2
tt2
3 +−=
+−
+−= −
−−
−
−
Por tanto:
( )
( )t4t4
t41
e100
1dte
25
1dt
100
e4dt
tW
tW −−−
−=== ∫∫∫
( )( )
( )t2t4t21
1 e100
1e
100
1edt
tW
tWtx
−− −=
−=∫
( )
( )
( )[ ]( )[ ]t4cos8)t4(sen19e
1700
1dt
100
t4cos4)t4(sen3edt
tW
tW tt
2+−=
−= −
−
∫∫
( )( )
( )( ) ( )[ ]t4cos8)t4(sen19t4cose
1700
1dt
tW
tWtx t22
2 +−= −∫
( )
( )
( )[ ]( )[ ]t4sen8)t4cos(19e
1700
1dt
100
t4cos3)t4(sen4edt
tW
tW tt
3−=
+−= −
−
∫∫
( )( )
( )( ) ( )[ ]t4sen8)t4cos(19t4sene
1700
1dt
tW
tWtx t23
3 −= −∫
Donde:
( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
1700
t4sen8)t4cos(19t4sene
1700
t4cos8)t4(sen19t4cosee
100
1tx
t2t2t2
p
−+
+−−=
−−−
Por tanto, la solución general de t2'''' ex34x13x −=−+ es:
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
1700
t4sen8)t4cos(19t4sene
1700
t4cos8)t4(sen19t4cosee
100
1)t4(senGt4cosCeeAtx
t2
t2t2
11tt2
1
−+
++
−−++=
−
−−−
( ) ( )[ ] t2t211
tt21 e
1700
8e
100
1)t4(senGt4cosCeeAtx −−− −−++=
( ) ( )[ ] t211
tt21 e
68
1)t4(senGt4cosCeeAtx −− −++=
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
338
Ahora calculamos la primera y segunda derivada de “x”:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] t21111
tt21
' e34
1t4senC4G)t4cos(CG4eeA2tx −− ++−−+=
( ) ( ) ( ) ( )[ ] t21111
tt21
'' e17
1)t4cos(C15G8t4senG15C8eeA4tx −− −+−−+=
Para 0t = se tiene que:
( ) ( )162CA68
135
68
1CA0x 1111 =+⇒=−+=
( ) ( )173CG4A234
103
34
1CG4A20x 111111
' =−+⇒=+−+=
( ) ( )180C15G8A417
1
17
1C15G8A40x 111111
'' =+−⇒−=−+−=
Resolviendo se tiene que:
4/7Gy2C,4A 111 −=−==
Reemplazando estos valores en ( )tx tenemos:
( ) ( ) t2tt2e
68
1)t4(sen
4
7t4cos2ee4tx
−− −
−−+=
Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden La forma normal de un sistema de “n” ecuaciones diferenciales de primer orden viene
dada por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tbtxtatxtatxtatx
tbtxtatxtatxtatx
tbtxtatxtatxtatx
nnnn22n11n'n
2nn2222121'2
1nn1212111'1
++++=
++++=
++++=
K
M
K
K
(19)
El sistema (19) puede escribirse equivalentemente en forma matricial:
( )( )
( )
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( )( )
( )
( )
( )( )
( )
( )43421
M
43421
M
44444 344444 21K
MMM
K
43421
M
vvvtb
n
2
1
tX
n
2
1
tA
nn2n1n
n22221
n11211
tX
'n
'2
'1
tb
tb
tb
tx
tx
tx
tatata
tatata
tatata
tx
tx
tx
'
+
⋅
=
(20)
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
339
Donde ( )tA es una matriz de dimensión nn × cuyos coeficientes variables en el
tiempo son continuos en ,bta << y ( )tbv
es un vector de dimensión 1n × cuyas
componentes son variable en el tiempo y continuas en .bta << El caso de
coeficientes constantes surge como un caso particular en el que ( ) AtA = y ( ) btbvv
=
son constantes (no dependen del tiempo). El sistema (20) será homogéneo si ( ) 0tbvv
=
y no homogéneo si ( ) .0tbvv
≠ La solución completa de (20) viene dada por la
combinación de la solución complementaria y de la solución particular o solución de
equilibrio:
( ) ( ) ( )tXtXtX pc
vvv+= (21)
Donde ( )tX c
v es la solución de la parte homogénea de (20), esto es, es la solución de
( ) ( ) ( );tXtAtX'
vv= y ( )tX p
v es la solución que fija a (20).
En general, si cada uno de los vectores ( ) ( ) ( )tX,,tX,tXn21
vK
vv son solución de (20),
también lo será su combinación lineal, esto es:
( ) ( ) ( ) ( )tXctXctXctX nn
22
11
vK
vvv+++= (22)
Donde ( )n,2,1ic i K= son constantes arbitrarias.
La ecuación (22) la podemos escribir equivalentemente como sigue:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )
( ) ct
c
c
c
tXtXtXtX
c
n
2
1
t
n21 v
321
M44444 344444 21
vK
vvv
v
⋅χ=
⋅=
χ
(23)
Donde ( )tχ es una matriz cuyas columnas son ( ) ( ) ( ),tX,,tX,tXn21
vK
vv esto es:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )nnnn2n1n
n22221
n11211
n21
txtxtx
txtxtx
txtxtx
tXtXtXt
×
==χ
K
MMM
K
vK
vv (24)
Siendo:
( )
( )( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
( )( )
( )
⇒
=
=
=
tx
tx
tx
tX;;
tx
tx
tx
tX;
tx
tx
tx
tX
nn
n2
n1
1
2n
22
12
2
1n
21
11
1
M
vK
M
v
M
v
( )
( )( )
( )
( )n,2,1j
tx
tx
tx
tX
nj
j2
j1
j KM
v=
= (25)
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
340
Al determinante de la matriz ( )tχ4 se le conoce como Wronskiano, ( ),W χ esto es:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tXtXtXtW n21v
Kvv
=χ=χ (26)
De (23) se tiene que:
( ) ( )( )
( )( ) ( ) 0tW
t
tadjtXtc
1 ≠χ=χ⇔χ
χ=⋅χ= −
vv (27)
De (27) podemos concluir que si el Wronskiano de χ (determinante de χ ) no es
nulo, ( ) ( ) ,0tW ≠χ=χ entonces existirá un único vector .0cvv
≠ Además, las “n”
soluciones de (23) en un instante bta << serán linealmente independientes si
( ) .0W ≠χ
Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes
En el caso que los coeficientes de la matriz ( ) AtA = y del vector ( ) btbvv
= del
sistema (20) sean constantes (no dependan del tiempo), tenemos:
( )( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
( ) ( ) btXAtX
b
b
b
tx
tx
tx
aaa
aaa
aaa
tx
tx
tx
'
b
n
2
1
tX
n
2
1
A
nn2n1n
n22221
n11211
tX
'n
'2
'1
'
vvv
321
M
43421
M
4444 34444 21K
MMM
K
43421
M
vvv
+⋅=⇒
+
⋅
=
(28)
Para sistemas homogéneos lineales, ,0bvv
= tenemos que:
( )( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
( ) ( )tXAtX
tx
tx
tx
aaa
aaa
aaa
tx
tx
tx
'
tX
n
2
1
A
nn2n1n
n22221
n11211
tX
'n
'2
'1
'
vv
43421
M
4444 34444 21K
MMM
K
43421
M
vv
⋅=⇒
⋅
=
(29)
Si ,0A ≠ el único punto de equilibrio es :0X*
vv=
( )( )
( )
( )
0X
*n
*2
*1
0X
*n
*2
*1
A
nn2n1n
n22221
n11211
tX
'n
'2
'1
0
0
0
x
x
x
0
0
0
x
x
x
aaa
aaa
aaa
tx
tx
tx
**'vvvvv
M
321
MM
321
M
4444 34444 21K
MMM
K
43421
M
=
⇒
=
⋅
=
(30)
4 Si las columnas de ( )tχ son vectores linealmente independientes, entonces ( )tχ recibe el nombre de
matriz fundamental. Además, si ( )tχ es una matriz fundamental, entonces ( ) .0W ≠χ
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
341
Por otro lado, para sistemas lineales no homogéneos tales como (28), el equilibrio
puede encontrarse a partir de:
( )( )
( )
( )
0bXA
0
0
0
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
tx
tx
tx
*
0b
n
2
1
X
*n
*2
*1
A
nn2n1n
n22221
n11211
tX
'n
'2
'1
*'
vvv
MM
321
M
4444 34444 21K
MMM
K
43421
M
vvvv
=+⋅⇒
=
+
⋅
=
(31)
0AA
badjAbAXbXA 1** ≠⇔
⋅=⋅=⇒−=⋅ −
vvvvv
(32)
Cuando consideremos el tema de estabilidad/inestabilidad será útil recordar que los
sistemas lineales no homogéneos tales como (28) podrán siempre reducirse a sistemas
lineales homogéneos en términos de las desviaciones respecto al equilibrio si éste existe.
Restando (31) a (28) se tiene que:
( ) ( )[ ]( )
( )tDAXtXAtX
tD
*'v48476 vvv
v
⋅=−⋅= (33)
Donde:
( ) ( ) *XtXtDvvv
−= (34)
Derivando (34) respecto al tiempo tenemos:
( ) ( )tXtD''
vv= (35)
Reemplazando (35) en (33) tenemos:
( ) ( )tDAtD'
vv⋅= (36)
El sistema (36) es homogéneo en términos de las desviaciones del punto de equilibrio
.X*
v Por tanto, para sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con
coeficientes constantes, no habrá pérdida de generalidad si nos concentramos en
sistemas homogéneos lineales.
Solución de sistemas homogéneos de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes constantes:
Para el problema de los valores iniciales:
( ) ( )
( )
=
⋅=
0
'
X0X
tXAtXvv
vv
(37)
Donde
( )( )
( )
.
0x
0x
0x
X
n
2
1
0
=M
v
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
342
Decimos que un vector ( )tXv
es solución de (37), si ( )tXv
es derivable, satisface el
sistema de ecuaciones diferenciales y las condiciones iniciales.
La solución de (37) dependerá de los autovalores “ iλ ” de la matriz “A” ya que para
resolver (37) se necesitará resolver el siguiente polinomio característico:
( ) 0IAp =λ−=λ (38)
En la resolución de (38) pueden surgir tres casos:
Caso 1: Todos los autovalores son reales y distintos;
Caso 2: Algún autovalor iλ tiene multiplicidad algebraica .m i Es decir, algún
autovalor iλ se repite im veces.
Caso 3: Algunos autovalores son complejos.
Caso 1: Autovalores reales y distintos
La solución de (37), siendo “A” una matriz diagonalizable con coeficientes
constantes, es:
( ) ∑=
λ−Ψ ===n
1i
it
i01t
0At
vecXPPeXetX ivvvv
(39)
Donde:
( )ℜ∈=+++++= ∑∞
=
tA!k
tA
!n
tA
!2
ttAIe
1k
kk
nn
22
At KK (40)
La matriz “P” es la matriz modal cuyas columnas son los autovectores
( )n,2,1ivi Kv
= de “A”, esto es:
[ ]( )nnn21 vvvP ×=v
Kvv
(41)
La matriz “ ψ ” es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son
los autovalores ( )n,2,1ii K=λ de “A”, esto es:
λ
λ
λ
=ψ⇒
λ
λ
λ
=ψ
kn
k2
k1
k
n
2
1
00
0
00
00
0
00
K
KOKK
KK
K
K
KOKK
KK
K
(42)
Teniendo en cuenta (40) y (42) se obtiene:
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
343
=
λ
λ
λ
=ψ
=
λ
λ
λ
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
ψ
∑
∑
∑
∑t
t
t
1k
kk1
1k
kk2
1k
kk1
1k
kkt
n
2
1
e00
e0
00e
!k
t00
!k
t0
00!k
t
!k
te
K
KOKK
KK
K
K
KOKK
KK
K
(43)
Finalmente, tenemos que ( )n,,2,1ic i K= son constantes arbitrarias que se obtienen
con las condiciones iniciales.
Ahora vamos a verificar que la primera expresión a la derecha del signo de igualdad
de (39) es solución de (37). Para ello vamos a derivar (40) respecto a “t”:
( )( )
+++++=+
−+++=
−
KKKK nn
22
n1n
2At
A!n
tA
!2
ttAIAA
!1n
ttAA
dt
ed
( )At
At
Aedt
ed= (44)
Derivando (39) respecto al tiempo, se tiene que:
( )( ) ( )
0
At0
At' X
dt
ed
dt
XedtX
vv
v== (45)
Reemplazando (44) en (42) tenemos:
( ) 0At' XAetX
vv= (46)
Reemplazando (39) en (46) se tiene que ( ) ( ),tXAtX'
vv⋅= que no es otra cosa que el
sistema (37). Lo cual corrobora que la primera expresión a la derecha del signo de
igualdad de (39) es solución de (37).
Ahora vamos a demostrar que la segunda expresión a la derecha del signo de igualdad
de (39) es solución de (37).
Distintos autovalores reales aseguran la independencia lineal de los autovectores y en
consecuencia la no singularidad de “P”, ,0P ≠ y que “A” sea diagonalizable. De la
definición de autovalores tenemos que:
( )n,,2,1ivvA iii Kvv
=λ= (47)
De (47) tenemos que:
( ) ( )nn2211n21 v,,v,vv,,v,vAv
Kvvv
Kvv
λλλ= (48)
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
344
Teniendo en cuenta (41) y (42), la igualdad dada por (48) se puede expresar de forma
equivalente en forma matricial de la siguiente forma:
[ ] [ ]
λ
λ
λ
⋅=⋅
n
2
1
n21n21
00
0
00
vvvvvvA
K
KOKK
KK
K
vK
vvvK
vv
Es decir:
11 PPAoAPPPAP −− ψ==ψ⇒ψ= (49)
Por otro lado, se tiene que:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )M
1312112112323
121111122
PPPPPPPPPPPPAAAA
PPPPPPPPPPPPAAAA
−−−−−−
−−−−−−
ψ=ψψ=ψψ=ψ⋅ψ=⇒⋅=
ψ=ψψ=ψψ=ψ⋅ψ=⇒⋅=
1kkPPA
−ψ= (50)
Reemplazando (50) en (40) se tiene que:
1t1
1k
kk
1k
1kk
1k
kk
AtPPeP
!k
tPPP
!k
tA
!k
te
−ψ−∞
=
∞
=
−∞
=
=
ψ=ψ== ∑∑∑ (51)
Reemplazando (52) en la primera expresión a la derecha del signo de igualdad de (39)
tenemos que ( ) .XPPetX 01tvv
−Ψ= Lo cual corrobora que la segunda expresión a la
derecha del signo de igualdad de (39) es solución de (37).
Por último vamos a verificar que la tercera expresión a la derecha del signo de
igualdad de (39) es solución de (37). Para ello, con el propósito de desacoplar el
sistema (37) realizaremos el siguiente cambio de variables:
( ) ( )tYPtXvv
= (52)
Derivando (52) respecto de “t” tenemos:
( ) ( )tYPtX''
vv= (53)
Reemplazando ((52) y (53) en (37) obtenemos que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tYAPPtYtYAPtYPtXAtX1'''
vvvvvv−=⇒=⇒= (54)
Reemplazando (49) en (54) obtenemos:
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
345
( ) ( )
( )( )
( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
λ
λ
λ
=
⇒
⋅
λ
λ
λ
=
⇒ψ=
ty
ty
ty
ty
ty
ty
ty
ty
ty
00
0
00
ty
ty
ty
tYtY
nn
22
11
'1
'2
'1
n
2
1
42de
n
2
1
'1
'2
'1
'
MMM
444 8444 76
K
KOKK
KK
K
M
vv (55)
Resolviendo (55) obtenemos que:
( )
( )( )
( )
=
=
λ
λ
λ
tn
t2
t1
n
2
1
n
2
1
ec
ec
ec
ty
ty
ty
tYMM
v (56)
Reemplazando (56) en (52) se tiene:
( ) [ ]( )
∑=
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
=
⋅=
⋅=n
1i
it
i
tn
t2
t141de
n21
tn
t2
t1
vec
ec
ec
ec
vvv
ec
ec
ec
PtX i
n
2
1
n
2
1
v
M
444 8444 76 vK
vv
M
v
Donde:
( ) 0
n
1i
ii Xvc0Xvvv
== ∑=
(57)
Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema:
( ) ( )( )
=
=
⋅
−=
2
1
0y
0x0X
y
x
42
11
y
x'
'
v
(58)
Primero vamos a calcular los autovalores y los autovectores de “A”:
( )
=λ
=λ⇒=+λ−λ=
λ−−
λ−=λ−=λ
2
3065
42
11IAp
2
12 (59)
Para :31 =λ
[ ] a2b0ba20
0
b
a
12
120vIA 11 =⇒=+−⇒
=
⋅
−
−⇒=λ−
vv (60)
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
346
Si hacemos ,k2bka =⇒= entonces:
=⇒=⇒
=
=
2
1v1ksi
2
1k
k2
kv 11
vv (61)
Para :22 =λ
[ ] dc0dc0
0
d
c
22
110vIA 22 =⇒=+−⇒
=
⋅
−
−⇒=λ−
vv (62)
Si hacemos ,kdc == entonces:
=⇒=⇒
=
=
1
1v1ksi
1
1k
k
kv 22
vv (63)
Por tanto, por (37) la solución general será:
( )
⋅
−⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
−
2
1
11
21
e0
0e
12
11
2
1
12
11
e0
0e
12
11tX
t2
t31
t2
t3v
( )
−
=
−
−=
1
1e
2
1e3
ee6
ee3tX t2t3
t2t3
t2t3v (64)
Caso 2: Autovalores reales repetidos
Consideremos el caso en el que el sistema (37) posee una matriz “A” que tiene
autovalores repetidos, digamos algún “ λ=λ i ” repetido “m” veces. En caso “m”
coincida con el número “ε” de autovectores linealmente independientes asociados a
“ λ=λ i ”, entonces la solución de (37) se hallará con (39). En caso “m” sea mayor a
“ε”, la solución de (37) se hallará con:
*Si :2m =
( ) ( )21t
21t
1 vvtecvectXvvvv
++= λλ (65)
*Si :3m =
( ) ( )
+++++= λλλ
3212t
321t
21t
1 v3vt2vtecvvtecvectXvvvvvvv
(66)
Donde:
( ) ( )m,,2,1ivvIA 1ii Kvv
==λ− − (67)
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
347
Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema:
( ) ( )( )
=
=
⋅
−=
3
2
0y
0x0X
y
x
31
11
y
x'
'
v
(68)
Primero vamos a calcular los autovalores y los autovectores de “A”:
( ) ( ) 2024431
11IAp 21
22 =λ=λ=λ⇒=−λ=+λ−λ=λ−−
λ−=λ−=λ (69)
Se observa que la multiplicidad algebraica es 2, es decir .2m =
Para :2=λ
[ ] ab0ba0
0
b
a
11
110vIA 1 =⇒=+−⇒
=
⋅
−
−⇒=λ−
vv (70)
Si hacemos ,kba == entonces:
=⇒=⇒
=
=
1
1v1ksi
1
1k
k
kv 11
vv (71)
Como apreciamos sólo existe un autovector asociado a .2=λ Para encontrar un
segundo autovector que sea linealmente independiente de 1vv
vamos a utilizar la
expresión (67):
[ ] 1dc1
1
d
c
11
11vvIA 12 =+−⇒
=
⋅
−
−⇒=λ−
vv (72)
Si hacemos .1d0c =⇒= Por tanto:
=
1
0v 2
v (73)
En consecuencia, de (65) tenemos:
( )( )
+
+
=
1
0
1
1tec
1
1ec
ty
tx t22
t21 (74)
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
348
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales obtenemos:
( )( )
=
=⇒
+
=
=
1c
2c
1
0c
1
1c
3
2
0y
0x
2
121 (75)
Reemplazando (75) en (74) tenemos:
( )( )
( )
( )
+=
+=⇒
+
+
=
t2t2
t2t2t2t2
tee3ty
tee2tx
1
0
1
1te
1
1e2
ty
tx (76)
Caso 3: Raíces complejo conjugadas
Si (37) tiene autovalores complejos β±α=λ ij para algún “j”, éstos siempre vienen
en pares. Tomando el caso bidimensional para evitar los subíndices, los autovalores
son ( )β−α=λ=λβ+α=λβ±α=λ iyii 121j con autovalores asociados
,vvyv 121
vvv= donde 2trA=α y ( ) .2trAA4
2−=β En este caso la solución es:
( ) ( ) ( )
β+β= α tsenhtcoshetX 21
tvvv
(77)
Donde ( )2211222111 vcvcihyvcvchvvvvvv
−=+= son vectores de componentes reales.
Ejemplos:
Resolver el siguiente sistema:
( )( )( )
=
=
⋅
−
−=
4
1
0y
0x0X
y
x
12
43
y
x'
'
v
(78)
Este sistema tiene:
05212
43IA;583A;
12
43A 2 =+λ+λ=
λ−−
λ−−=λ−=+−=
−
−=
Donde los autovalores asociados son:
=β
−=α⇒−−=λ+−=λ
2
1i21yi21 21 (79)
Los autovalores asociados a cada autovalor son:
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
349
Para :i211 +−=λ
[ ] ( )i1ba0
0
b
a
i222
4i22vIA 11 −=⇒
=
⋅
−−
−−=λ−
v
Si hacemos ,i1b2a +=⇒= entonces:
+=
i1
2v1
v
Para :i212 −−=λ
[ ] ( )i1dc0
0
d
c
i222
4i22vIA 22 +=⇒
=
⋅
+−
+−=λ−
v
Si hacemos ,i1d2c −=⇒= entonces:
−=
i1
2v 2
v
De (77) y (79) se tiene que la solución será:
( ) ( ) ( )
+= −
t2senht2coshetX 21t
vvv (80)
Con:
( ) ( )
−++
+=
−+
+=+=
21
212122111
ci1ci1
c2c2
i1
2c
i1
2cvcvch
vvv (81)
( )( )
( ) ( )[ ]
−−+
−=
−−
+=−=
i1ci1ci
cci2
i1
2ic
i1
2icvcvcih
21
212122112
vvv (82)
Reemplazando las condiciones iniciales en (80) y teniendo en cuenta (81) tenemos
que:
( )( ) ( )
+=
−=
⇒
−++
+==
=
4
i71c
4
i71c
ci1ci1
c2c2h
4
10X
2
1
21
211
vv (83)
Reemplazando (83) en (81) y (82) tenemos:
=
=
3
7hy
2
1h 21
vv (84)
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
350
Reemplazando (84) en (80) se tiene:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
+=
+=⇒
+
=
−
−−
t2sen3t2cos2ety
t2sen7t2cosetxt2sen
3
7t2cos
2
1etX
t
tt
v (85)
Una aplicación económica:
Modelo Keynesiano simplificado (Tu, 1994). En este modelo la renta “Y” responde al
exceso de la cantidad demandada (esto es al exceso de la inversión “I” respecto al
ahorro “S”), y la tasa de interés “r” responde al exceso de la demanda de dinero
(preferencia de liquidez) “ ( )i,YL ” respecto a la oferta de dinero “ M ” determinada
exógenamente. El modelo matemáticamente se puede expresar de la siguiente forma:
( )
( )[ ]( )( )
=
−=
−=
8,0
2
0r
0Y;
Mr,YLcr
SIcY
2'
1'
(86)
Donde:
* La función de inversión: .0;rII 0 >µµ−=
* La función de ahorro: ( ) ( ).GTTYsS −+−=
* El ahorro privado: ( ) .2s0;TYsSp <<−= Proporcional al ingreso
disponible.
* El ahorro gubernamental: :GT − Impuestos menos gastos (exógenamente dados).
* Velocidades de ajuste: ( ).2,1k0c k => Por sencillez se ha asumido .1cc 21 ==
* Función de liquidez: ( ) .0y0;rYr,YL >γ>θγ−θ= Demanda de
transacciones menos demanda especulativa.
* Oferta de dinero: .M Determinada exógenamente.
Reemplazando la información anterior en (86) se tiene:
( ) ( )
−γ−θ=
−−−−µ−=
MrYr
GTTYsrIY
'
0'
(87)
El sistema (87) se puede expresar matricialmente de la siguiente forma:
( )
444 3444 2143421321 vvvb
0
XAX
'
'
M
GT1sI
r
Ys
r
Y
'
−
+−++
⋅
γ−θ
µ−−=
(88)
Para transformar el sistema (88) en uno homogéneo vamos a determinar el punto de equilibrio *
Xv
del sistema (88):
( )
=
−
+−++
⋅
γ−θ
µ−−=
0
0
M
GT1sI
r
Ys
r
Y
b
0
X
*
*
AX
'
'
*'
444 3444 2132143421321 vvv
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
351
( )( )
γ−θ
µ−−
−
+−+⋅
−µ
θ−γ−
=
−
+−+⋅
γ−θ
µ−−=
−
−
s
M
GT1sI
s
M
GT1sIs
r
Y
0
b
0
A
1
X
*
*
1*
444 3444 2144 344 21321 vv
( )( )[ ]
( )[ ]
+−+µ+
+−+γ−θ
µθ+γ=
γ−θ
µ−−
−
+−+⋅
−µ
θ−γ−
=
=
GT1sIMs
GT1sIM
s
1
s
M
GT1sI
s
r
YX
0
0
0
*
**
v
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ]
µθ+γ
+−+µ+
=
µθ+γ
+−+γ−θ=
⇒
µθ+γ
+−+µ+
µθ+γ
+−+γ−θ
=
=
s
GT1sIMs
r
s
GT1sIMY
s
GT1sIMs
s
GT1sIM
r
YX
0
*
0*
0
0
*
**
v (89)
Por (34) tenemos que:
( ) ( ) ( )
( )( )[ ]
( )( )[ ]
µθ+γ
+−+µ+
−
µθ+γ
+−+γ−θ−
=
=−=
s
GT1sIMs
tr
s
GT1sIMtY
d
dtXtXtD
0
0
2
1*vvv
(90)
Teniendo en cuenta (90) y (36) tenemos que:
( ) ( )
⋅
γ−θ
µ−−=
⇒=
2
1
'2
'1'
d
ds
d
dtDAtD
vv (91)
Ahora podemos resolver el sistema homogéneo dado por (91). Para ello vamos a
calcular el polinomio característico:
( ) ( ) ( ) ( ) 0AtrAsss
p 22 =+λ−λ=µθ+γ+λγ++λ=λ−γ−θ
µ−λ−−=λ (92)
( )
2
trA
2
A4trAtrA2
∆±=
−±=λ (93)
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
352
Donde:
0sA >µθ+γ=
( ) 0strA <γ+−=
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) A4trAs4ss4s222 −=µθ+γ−γ+=µθ+γ−γ+−=∆
Ahora vamos a asignar valores a los parámetros del problema de manera que podamos
encontrar soluciones explícitas para los tres casos analizados en la sección anterior.
Caso 1: ( ) ( )
λ≠λ
ℜ∈λ
ℜ∈λ
⇒>⇒>−=∆
21
2
122
A4trA0A4trA
Valores de los parámetros:
=θ
=µ
=
=γ
5,0
25,0
5,1s
5,0
De los parámetros podemos calcular:
=∆
=
−=
21
875,0A
2trA
(94)
Reemplazando los parámetros en (91) tenemos:
( ) ( )
⋅
−
−−=
⇒=
2
1
'2
'1'
d
d
5,05,0
25,05,1
d
dtDAtD
vv (95)
Reemplazando (94) en (93) tenemos:
−−=λ
+−=λ
22
122
22
122
2
1
Para :1λ
[ ] a122b0
0
b
a
22
125,0
25,0
22
21
vIA 11
+−=⇒
=
⋅
−
−
+−
=λ−v
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
353
Si hacemos ,12b21a +=⇒−= entonces:
+
−=
12
2
1
v1
v
Para :2λ
[ ] c122d0
0
d
c
22
125,0
25,022
21
vIA 22
−−=⇒
=
⋅
+
−−
=λ−v
Si hacemos ,12b21c −=⇒−= entonces:
−
−=
12
2
1
v 2
v
Por tanto:
−
−+
+
−=
−−
+−
12
2
1
ec
12
2
1
ecd
dt
22
122
2
t22
122
12
1
−+
+
−−=
−−
+−
−−
+−
t22
122
2
t22
122
1
t22
122
2
t22
122
1
2
1
ec12ec12
2
ece
2
c
d
d (96)
Igualando (90) y (96) tenemos:
( )( )[ ]
( )( )[ ]
−+
+
−−=
µθ+γ
+−+µ+
−
µθ+γ
+−+γ−θ−
−−
+−
−−
+−
t22
122
2
t22
122
1
t22
122
2
t22
122
1
0
0
ec12ec12
2
ece
2
c
s
GT1sIMs
tr
s
GT1sIMtY
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
354
( )( )
( )[ ]
( )[ ]
−+
++
µθ+γ
+−+µ+
−−µθ+γ
+−+γ−θ
=
−−
+−
−−
+−
t22
122
2
t22
122
1
0
t22
122
2
t22
122
10
ec12ec12s
GT1sIMs
2
ece
2
c
s
GT1sIM
tr
tY
( )( )[ ]
( )( )[ ] t
22
122
2
t22
122
1
0
t22
122
2
t22
122
10
ec12ec12s
GT1sIMs
tr
2
ece
2
c
s
GT1sIMtY
−−
+−
−−
+−
−+
++
µθ+γ
+−+µ+
=
−−µθ+γ
+−+γ−θ=
(97)
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales y (89) tenemos que:
2
228,4Y22rc
2
228,4Y22r22Y2c
**
2
***
1
−−+=
−−+−−=
(98)
Caso II: ( ) ( ) ℜ∈λ=λ=λ⇒=⇒=−=∆ 2122
A4trA0A4trA
Valores de los parámetros:
=θ
=µ
=
=γ
8,0
8,0
8,1s
2,0
De los parámetros podemos calcular:
=∆
=
−=
0
1A
2trA
(99)
Reemplazando los parámetros en (91) tenemos:
( ) ( )
⋅
−
−−=
⇒=
2
1
'2
'1'
d
d
2,08,0
8,08,1
d
dtDAtD
vv (100)
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
355
Reemplazando (99) en (93) tenemos:
121 −=λ=λ=λ
Para :21 λ=λ=λ
[ ] ab0
0
b
a
8,08,0
8,08,0vIA 1 −=⇒
=
⋅
−−=λ−
v
Si hacemos ,1b1a =⇒−= entonces:
−=
1
1v1
v
Como apreciamos sólo existe un autovector asociado a .1−=λ Para encontrar un
segundo autovector que sea linealmente independiente de 1vv
vamos a utilizar la
expresión (67):
[ ] 1dc1
1
d
c
8,08,0
8,08,0vvIA 12 =+⇒
−=
⋅
−−⇒=λ−
vv (101)
Si hacemos .1d0c =⇒= Por tanto:
=
1
0v 2
v (102)
En consecuencia, de (65) tenemos:
+
−+
−=
−−
1
0
1
1tec
1
1ec
d
d t2
t1
2
1 (103)
++
−−=
−−−
−−
t2
t2
t1
t2
t1
2
1
ecetcec
etcec
d
d (104)
Igualando (90) y (104) tenemos:
( )( )[ ]
( )( )[ ]
++
−−=
µθ+γ
+−+µ+
−
µθ+γ
+−+γ−θ−
−−−
−−
t2
t2
t1
t2
t1
0
0
ecetcec
etcec
s
GT1sIMs
tr
s
GT1sIMtY
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
356
( )( )
( )[ ]
( )[ ]
+++µθ+γ
+−+µ+
−−µθ+γ
+−+γ−θ
=
−−−
−−
t2
t2
t1
0
t2
t1
0
ecetcecs
GT1sIMs
etcecs
GT1sIM
tr
tY
( )( )[ ]
( )( )[ ]
t2
t2
t1
0
t2
t1
0
ecetcecs
GT1sIMs
tr
etcecs
GT1sIMtY
−−−
−−
+++µθ+γ
+−+µ+
=
−−µθ+γ
+−+γ−θ=
(105)
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales y (89) tenemos que:
**2
*1
Yr10c
2Yc
−−=
−=
(106)
Caso II1: ( ) ( )
β−α=λ=λ
β+α=λ⇒<⇒<−=∆
i
iA4trA0A4trA
12
122
Valores de los parámetros:
=θ
=µ
=
=γ
1
75,0
5,1s
5,0
De los parámetros podemos calcular:
=∆
=
−=
i2
5,1A
2trA
(107)
Reemplazando los parámetros en (91) tenemos:
( ) ( )
⋅
−
−−=
⇒=
2
1
'2
'1'
d
d
5,01
75,05,1
d
dtDAtD
vv (108)
Reemplazando (107) en (93) tenemos:
=β
−=α⇒−−=λ+−=λ
22
1i
2
21yi
2
21 21 (109)
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
357
Los autovalores asociados a cada autovalor son:
Para :i2
211 +−=λ
[ ]2
i21b
a0
0
b
a
i225,01
75,0i225,0
vIA 11
−
−=⇒
=
⋅
−
−
−−
=λ−v
Si hacemos ,23ai21b =⇒+= entonces:
+=
i21
23v1
v
Para :i2
212 −−=λ
[ ]2
i21d
c0
0
d
c
i225,01
75,0i225,0
vIA 22
+
−=⇒
=
⋅
+
−
+−
=λ−v
Si hacemos ,2
3ci21d =⇒−= entonces:
−=
i21
23v 2
v
De (77) y (109) se tiene que la solución será:
+
=
− t2
2senht
2
2coshe
d
d21
t
2
1vv
(110)
Con:
( ) ( )
−+
+
+=+=
21
21
22111 ci21ci21
c23c23
vcvchvvv
(111)
( )( ) ( )
−−
+
−
=−=i21ci21ci
cci23
vcvcih21
21
22112
vvv (112)
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
358
Reemplazando (111) y (112) en (110) tenemos:
( ) ( )
−−
++
+
−+
+=
−+
+=
−
−
t2
2seni21ci21ci
t2
2cosci21ci21ed
t2
2senccit
2
2coscce
2
3d
21
21t
2
2121t
1
(113)
Igualando (90) con (113) tenemos:
( ) ( ) ( )
( )
−−
++
+
−+
++=
−+
++=
−
−
t2
2seni21ci21ci
t2
2cosci21ci21ertr
t2
2senccit
2
2coscce
2
3YtY
21
21t*
2121t*
(114)
Reemplazando las condiciones iniciales en (114) tenemos que:
( )( )
( )
−+
++
++=
=
21*
21*
ci21ci21r
cc2
3Y
8,0
2
0r
0Y
( ) ( )
( ) ( )
+−−−=
+−+−=
26
iY2r36,1Y222c
26
iY2r36,1Y222c
***
2
***
1
(115)
Reemplazando (115) en (114) tenemos:
( ) ( ) ( )
( )
( )
−−−
−
+−+−
+=
+−−
−+=
−
−
t2
2senY2r36,9
t2
2cos
23
Y122r36,124
ertr
t2
2senY2r36,1t
2
2cosY22e
2
3YtY
**
**
t*
***t*
(116)
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
359
Diagramas de fase y soluciones cualitativas
Aunque muchas ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) no lineales de primer
orden, que suelen aparecer con relativa frecuencia en modelos económicos, no pueden
resolverse analíticamente, las propiedades cualitativas de sus soluciones pueden
algunas veces ser descritas gráficamente a través de los denominados diagramas de fase. Supongamos que tenemos la forma general de una ecuación diferencial
autónoma5 de primer orden (lineal o no lineal respecto a “y”):
( )yfdt
dy= (116)
Donde ( ),ty la trayectoria temporal de “y”, es una variable que es una función
continua del tiempo. Siempre que dtdy dependa únicamente de “y”, podremos
graficar la relación entre dtdy e “y”, que recibe el nombre de diagrama de fase. A la
gráfica que representa la función “f” se le denomina curva de fase.
Tipos de diagramas de fase de una única variable y de trayectorias temporales
En esta sección estudiaremos algunos de los posibles diagramas de fase de una única variable que pueden surgir en el análisis cualitativo de ecuaciones diferenciales
autónomas de primer orden, aquellas que satisfacen la ecuación (116). Asociados a las
curvas de fase representadas en las figuras IV, V,…,VIII, y IX tenemos sus respectivas
trayectorias, sendas u órbitas temporales (figuras X, XI,…, XIV, y XV).
Ey
dtdy
y A0
y
B0
y
( )yf
Figura IV
5 Una ecuación diferencial ordinaria (EDO), tal como la ecuación (116), en la que el tiempo “t” no aparece
explícitamente como argumento de “f”, se denomina autónoma.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
360
A0y
y Ey
dtdy
B0y
( )yf
Figura V
−
y y
E D
G
C
H A
2y 1y 0y
B F
f(y)
dtdy
y
Figura VI
A0y
y Ey
dtdy
B0y
( )yf
Figura VII
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
361
y Ey
dtdy
A0y B
0y
( )yf
Figura VIII
Figura IX
Ahora veremos cómo, una vez conocida la curva de fase correspondiente a la ecuación
diferencial (116), obtener información cualitativa importante de la trayectoria temporal ( ).ty
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
362
En las figuras IV, V, VI, VII, VIII y IX se puede observar que encima del eje horizontal el
signo de dtdy es positivo, esto es ,0dtdy > por lo que la variable “y” aumentará con el
transcurso del tiempo. Es por esta razón que los puntos que se encuentran encima del eje “y”
en las curvas de fase de las figuras IV, V, VI, VII, VIII y IX se desplazan de izquierda a
derecha, tal como muestran las flechas dibujadas sobre dichas curvas. De manera análoga,
podemos observar que los puntos que se encuentran debajo del eje “y” en las curvas de fase
se desplazarán de derecha a izquierda, ya que en esta dirección la ,0dtdy < por lo que “y”
disminuirá con el paso del tiempo. Asimismo, es importante resaltar que los resultados antes
vistos son independientes del signo de la variable “y”. Es decir, aún cuando los diagramas de
fase de las figuras IV, V, VI, VII, VIII y IX se encontrasen a la izquierda del eje vertical
( ),0y < el sentido de las flechas en dichas curvas de fase no se vería afectado.
La estabilidad dinámica del equilibrio: la convergencia de la trayectoria temporal
Si ( ) ( ) ( ) .cteyty0yfdtydy E*
EE ==⇒== Entonces el sistema está en reposo. El
punto Ey recibe el nombre de punto de reposo, punto fijo, punto crítico, punto de
equilibrio, punto estacionario o solución de estado estable. Por otro lado, de existir un
punto de equilibrio de la variable “y”, éste se encontrará donde la curva de fase
intercepta (o es tangente al) eje “y”, donde ( ) ( ) .0yfdtydy EE ==
Un tema de suma importancia es saber si un sistema dinámico se está acercando o se
está alejando de un punto de equilibrio. Una trayectoria se dice que se aproxima a un
punto fijo si ( ) Eyty → según ,t ∞→ en este caso el punto de equilibrio Ey se dice
que es un atractor (las flechas del diagrama de fase confluyen hacia Ey ). Tal es el
caso de Ey en la figura V. Por otra parte, si ( )ty se aleja de Ey según se incrementa
“t”, entonces Ey se dice que es un repulsor (las flechas del diagrama de fase se alejan
de Ey ). Tal es el caso de Ey en la figura IV.
Un punto de equilibrio Ey es estable si dado algún punto de partida ( ) 0y0y = “cercano a”
,yE esto es, dentro de alguna distancia “δ”, la trayectoria permanece cerca de ,yE dentro de
alguna distancia .δ>ε Formalmente, un punto de equilibrio Ey es estable si para cada
0>ε hay un “δ” tal que cada trayectoria ( )ty con ( ) δ<− Ey0y satisface
( ) .0tyty E ≥∀ε<− En otras palabras, si una trayectoria que empieza “cerca a” un
punto de equilibrio permanece cerca a este punto durante todo el tiempo futuro, entonces el
punto de equilibrio se dice que es estable. Un punto de equilibrio es asintóticamente estable
si es estable justo como lo hemos definido, y también si cualquier trayectoria que empieza
cerca al punto de equilibrio se aproxima al punto de equilibrio según .t ∞→ Formalmente,
un punto de equilibrio se dice que es asintóticamente estable si este es estable y hay un
0>δ tal que para cada trayectoria ( )ty con ( ) δ<− Ey0y converge a Ey según
.t ∞→ En la figura XI tenemos el caso de un punto de equilibrio asintóticamente estable.
En esta figura se observa que las posibles trayectorias correspondientes al diagrama de fase
de la figura V convergen en el largo plazo hacia el valor Ey . En la figura X tenemos el caso
de un punto de equilibrio inestable. En esta figura se observa que las posibles trayectorias
correspondientes al diagrama de fase de la figura IV divergen en el largo plazo de .y E
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
363
t
( )ty
Ey
A0
y
B0
y
Figura X
t
( )ty
Ey
A0
y
B0
y
Figura XI
En la figura VI podemos apreciar una curva de fase que forma un “lazo cerrado”. Esto
se debe a que ( )yf es una relación. Cuando el diagrama de fase es un lazo cerrado, un
movimiento oscilatorio de amplitud constante ocurrirá siempre que se verifiquen dos
condiciones: i) una parte de la curva de fase debe permanecer encima y otra parte
debajo del eje “y”, de modo que haya una etapa en la que “y” crece y otra etapa en la
que “y” decrece, ii) la curva de fase debe presentar pendiente infinita en los puntos de
intersección con el eje “y”. En la figura VI se puede apreciar que en los puntos “B” y
“F” de la curva de fase se cumple que la ,0dtdy = y sin embargo estos puntos no
representan puntos de equilibrio. Más bien, son extremos (mínimos y máximos)
relativos de la trayectoria temporal correspondiente a esta curva de fase, tal como se
aprecia en la figura XII. En esta figura, se aprecia que la trayectoria temporal de “y”
oscila periódicamente entre el valor correspondiente al punto B (mínimo relativo) y el
valor correspondiente al punto F (máximo relativo).
De los casos antes vistos podemos concluir que una condición necesaria, pero no
suficiente, que debe satisfacer todo punto de equilibrio Ey es que la ( ) .0dtydy E =
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
364
Figura XII
En la tabla I se muestra el signo/valor de la tasa de cambio de “y” respecto al tiempo
y de la tasa de cambio de “f” con respecto a “y” para cada uno de los puntos de las
figuras XII y VI respectivamente.
Punto dtdy ( )[ ] ( ) dydtdyddyyfd =
A (-) (-)
B 0 ∞ C (+) (+)
D (+) 0
E (+) (-)
F 0 ∞
G (-) (+)
H (-) 0
Tabla I
Del análisis realizado en esta sección podemos observar que la estabilidad dinámica
del equilibrio, o equivalentemente la convergencia de la trayectoria temporal ( ),ty
dependerá del signo que tenga la pendiente de la curva de fase en la vecindad al punto
de intersección de dicha curva con el eje “y”. Por ejemplo, en la figura IV se aprecia
que en la vecindad al punto Ey la curva de fase presenta una ( )[ ] ,0dyyfd > lo cual
da lugar a la inestabilidad dinámica. Mientras que en la figura V se aprecia que en la
vecindad al punto Ey la curva de fase presenta una ( )[ ] ,0dyyfd < lo cual da lugar a
la estabilidad dinámica de la variable “y”. Sin embargo, en la figura VI se aprecia que
en las vecindades de los puntos “B” y “F”, que como ya hemos dicho no son puntos
de equilibrio (son sólo las cotas de una trayectoria temporal fluctuante), la curva de
fase presenta una ( )[ ] .dyyfd ∞→
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
365
Asimismo, si la curva de fase es tangencial al eje horizontal, permaneciendo siempre
a un lado de este (es decir, si el punto de tangencia es un máximo o un mínimo de la
curva de fase), el punto de equilibrio es estable por uno de sus lados e inestable por el
otro6. Este es el caso del punto Ey de la figura VII, estable por izquierda (para
valores menores a Ey ) e inestable por derecha (para valores mayores a Ey ). En la
figura XIII observamos las posibles trayectorias temporales correspondientes a la
curva de fase de la figura VII. Se observa que si ( ) E0 yy0y <= entonces la trayectoria
temporal de “y” converge en el largo plazo hacia el valor .y E Sin embargo, si
( ) E0 yy0y >= entonces la trayectoria temporal de “y” diverge del valor Ey (rama de
la trayectoria temporal que se encuentra a la izquierda de la asíntota vertical y encima
del valor Ey ). Además, si el punto de tangencia corresponde a un punto de inflexión
horizontal de la curva de fase (figura VIII), entonces el punto de equilibrio es estable
(inestable) si la curva de fase permanece encima (debajo) del eje “y” a la izquierda
(derecha) del punto de inflexión. En la figura XIV podemos ver la trayectoria temporal
correspondiente al diagrama de fase de la figura VIII.
Por otro lado, es importante resaltar que pueden existir movimientos oscilatorios
(convergentes o divergentes) de amplitud no constante cuando ( )yf es una relación. En
este caso la curva de fase no será un lazo cerrado como la figura VI (aunque seguirá
satisfaciendo las condiciones i) y ii) de ocurrencia de un ciclo de la página 343) sino
una espiral (divergente) como muestra la figura IX. La posible trayectoria temporal
correspondiente a este diagrama de fase aparece en la figura XV.
En el caso que existan puntos de equilibrio múltiples, las afirmaciones acerca de la
estabilidad o inestabilidad deberán realizarse en relación a un particular punto de
equilibrio. Por tanto, con sistemas que contienen múltiples equilibrios nos referimos a
estabilidad local o a inestabilidad local, es decir, hacemos referencia únicamente a
características del sistema en la vecindad de un punto de equilibrio. En la figura XVI
se observan dos puntos de equilibrio: 0k*1 = es un repulsor localmente inestable (la
pendiente de de la ecuación diferencial en la vecindad del origen es positiva) y
ak*2 = es un atractor localmente estable (la pendiente de de la ecuación diferencial en
la vecindad de “a” es negativa).
Si sólo existe un punto de equilibrio en un sistema dinámico, entonces tal punto de
equilibrio o es globalmente estable o globalmente inestable. En el caso de un sistema
globalmente estable, para cualquier ( ) ,y0y E≠ entonces el sistema convergerá al
punto de equilibrio. Para un sistema globalmente inestable, para cualquier ( ) ,y0y E≠
entonces el sistema divergirá del punto de equilibrio. De forma general podemos decir
que si una curva de fase tiene sólo un punto de equilibrio y permanece completamente
encima del eje “y” a la izquierda del punto de equilibrio, y permanece completamente
debajo del eje “y” a la derecha del punto de equilibrio, entonces el punto de equilibrio
será globalmente estable. Tal es el caso del punto de equilibrio Ey en la figura V.
6 A a este tipo de punto se le denomina shunt. Un shunt es un punto de equilibrio alrededor del cual el
sistema evoluciona sin invertir su sentido (las flechas del eje “y” apuntan en un mismo sentido).
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
366
t
( )ty
Ey
A0y
B0y
Figura XIII
t
( )ty
Ey
A0y
B0y
Figura XIV
Figura XV
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
367
t
( ) dttdk
0k*1 = ak*
2 =
Figura XVI
Ejemplos:
Realice un análisis cuantitativo y/o cualitativo de las siguientes ecuaciones
diferenciales:
1.- Mecanismo de ajuste de precio (Tâtonnemet Walrasiano): León Walras visualiza
el equilibrio de mercado como resultado de un proceso de tanteo (Tâtonnemet en
francés): Un “referee” o “licitador” anuncia el precio “P” de determinado bien, y
entonces los compradores y vendedores hacen su puja. Si esta puja resulta en un
exceso de demanda ( ) 0pE ≥ el precio se incrementará hasta el equilibrio, en el
que la oferta iguala a la demanda y se vacía el mercado ( )[ ],0pE = y viceversa
para un exceso de oferta, es decir dtdP es proporcional al exceso de demanda:
( ).PkEdtdP = Donde 0k > es la velocidad de ajuste. Si la demanda es
( ) bPaPD += y la oferta es ( ) ,PPS β+α= siendo ,0a >α> entonces el exceso
de demanda será: ( ) ( ) ( ).PSPDPE −= Por tanto, ( ) ( )[ ].PSPDkdtdP −=
Reemplazando las expresiones de la oferta y la demanda en dtdP tenemos:
[ ] ( ) ( )PbkakPbPakdtdPP ' β−+α−=β−α−+== (117)
( ) ( )α−=β−− akPbkP' (118)
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
368
Para realizar el análisis cualitativo de la ecuación diferencial necesitamos construir
el diagrama de fase. Dado que la ecuación (117) representa una recta en el plano
( ),P,P' necesitaremos dos puntos para poder construir dicha recta. Para ello,
primero determinaremos el punto de equilibrio, intersección con el eje “P”,
igualando la ecuación (117) a cero:
( ) ( )β−
−α=⇒=β−+α−=
b
aP0PbkakP EE
'
Como sabemos que no tiene sentido económico un precio de equilibrio negativo.
Por tanto, para que 0b0PE <β−⇒> ya que por el enunciado del problema
.0a <−α La condición 0b <β− siempre se cumplirá si la oferta tiene pendiente
positiva ( )0>β y si la demanda tiene pendiente negativa ( ).0b < En segundo
lugar, determinaremos el otro punto de la recta (intersección con el eje “ 'P ”)
reemplazando 0P = en la ecuación (117):
( ) 0akP' >α−=
En consecuencia, el diagrama de fase será:
EP P
dtdP
( )α−ak
B0P
A0P
Figura XVII
Se puede apreciar que el punto de equilibrio EP es un atractor y dado que la
pendiente de la ecuación diferencial en la vecindad de EP es negativa, entonces
EP será estable. Además, como el diagrama de fase sólo tiene un único punto de
equilibrio, entonces EP será globalmente estable. Asimismo, Si el sistema
empezase en el punto ,PP EB0 < las líneas de fuerza (flechas) harían que en el
largo plazo se alcanzara el punto EP . En consecuencia, el punto EP es también un
punto de equilibrio asintóticamente estable. De manera análoga, si el sistema
empezase en ,PP EA0 < se acercaría al punto EP en el largo plazo de manera
asintótica.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
369
Para realizar el análisis cuantitativo necesitamos resolver la ecuación diferencial
(117). Para ello, primero calcularemos la solución complementaria. El polinomio
característico de la solución complementaria es:
( ) ( )β−=⇒=β−− bkr0bkr
En consecuencia, la solución complementaria será:
( )tbk
C AeP β−=
Para encontrar la solución particular probamos con ,0PBP 'PP =⇒= por lo que
reemplazando 'PP PyP en la ecuación (118) tenemos:
( ) ( )β−
−α=⇒α−=β−−
b
aPakPbk PP (119)
Por tanto, la solución general (trayectoria temporal) del precio será:
( ) ( )
β−
−α+= β−
b
aAetP
tbk (120)
Si para el instante inicial 0t = tenemos que ( ) ,P0P 0= entonces:
β−
−α−=⇒
β−
−α+=
b
aPA
b
aAP 00
Reemplazando “A” en (120) tenemos:
( ) ( )
β−
−α+
β−
−α−= β−
b
ae
b
aPtP
tbk0 (121)
La ecuación (121) será asintóticamente estable si ,0b <β− ya que en dicho caso la
función exponencial que aparece en el primer sumando de la derecha irá
disminuyendo con el tiempo y cuando ( ).0et
tbk →⇒∞→ β− Por tanto:
( ) .0Pb
atPlím E
t>=
β−
−α=
∞→
Si ,0b <β− el mercado es estable, es decir, el exceso de demanda se reduce y
eventualmente desaparece al incrementar los precios. En caso ,0b >β− digamos
porque ,0y0b >β> entonces para que el precio de equilibrio siga siendo positivo
deberá verificarse que .0a0a >>α⇒>−α En este caso, el mercado es
inestable: continua e indefinidamente la inflación tendrá lugar. Al ser ,0b >β− el
término exponencial tenderá a infinito cuando el tiempo tienda a infinito y por
tanto, el precio en el largo plazo se incrementará indefinidamente alejándose del
punto de equilibrio.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
370
En la figura XVIII se aprecian las posibles trayectorias temporales de la ecuación
(121) considerando que :0b <β−
t
( )tP
EP
A0
P
B0
P
Figura XVIII
2.- Modelo Keynesiano: Consideremos un modelo macroeconómico en el que la renta
“Y” se incrementa en respuesta al exceso de demanda agregada “ YD − ”. Para
una simple economía cerrada, con inversión “ 0I ” y gasto gubernamental “ 0G ”
exógenamente dados, la demanda agregada es la suma del consumo “C” la
inversión “ 0I ” y el gasto “ 0G ”. El consumo es una función continua no lineal
estrictamente creciente respecto a la renta, esto es, ( )YCC = con ( ) .0dYYdC >
Por tanto, el modelo dinámico es, para una constante “k” positiva:
( )YDkdt
dY−= (122)
Del enunciado del problema tenemos que:
00 GICD ++=
Reemplazando el consumo en la expresión anterior tenemos:
( ) 00 GIYCD ++=
Reemplazando la última expresión en (122) tenemos:
( )[ ] ( )YkfYGIYCkdt
dYY 00
' ≡−++== (123)
Donde ( ) ( ) .YGIYCYf 00 −++=
Dado que no conocemos a l función ( )Yf explícitamente, sólo podremos realizar
un análisis cualitativo de (123).
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
371
Para obtener el diagrama de fase de la ecuación (123), primeramente vamos a
calcular la pendiente de la curva de fase en el plano ( )Y,Y' 7
:
( )[ ]( )
dY
Ydfk1dYYdCk
dY
dY'
⋅≡−= (124)
Donde ( ) ( )
.1dY
YdC
dY
Ydf−=
En segundo lugar, vamos a calcular la curvatura de la curva de fase en el plano
( )Y,Y' :
( ) ( )2
2
2
2
2
'2
dY
Yfdk
dY
YCdk
dY
Yd⋅≡⋅= (125)
Donde ( ) ( )
2
2
2
2
dY
YCd
dY
Yfd= .
De la expresión anterior podemos ver que si la función de consumo es
estrictamente convexa respecto a la renta, ( ) ,0dYYCd 22 > entonces la curva de
fase también será estrictamente convexa respecto a la renta, ( ) .0dYYfd 22 > Por
otro lado, si ( )Yf es estrictamente creciente con la renta, entonces
( ) ( ) .01dYYdCdYYdf >−= Esto significaría que la propensión marginal al
consumo ( ) .1dYYdC > Además, como para una renta nula ( )0Y = resulta que el
intercepto de la curva de fase con el eje “ 'Y ” es ( ) ( )[ ] ,0GI0Ck0fk 00 >++⋅=⋅
y al ser 0k > resulta que ( ) ( ) .0GI0C0f 00 >++= Entonces, para valores de
“Y” estrictamente positivos ( ),0y > siendo ( ) 0dYYdf > y ( ) ,0dYYfd 22 >
resultaría que ( ) ( ) .0YGIYCYf 00 >−++= Por tanto, la curva de fase no
interceptaría al eje “Y”, es decir, no habría ningún punto de equilibrio ya que para
ello tendría que verificarse que ( ) .0YkfY' == Pero como ,0k > entonces ( )Yf
tendría que ser igual a cero. Pero esto último es imposible ya que ( ) ( ).0Y0Yf ≥∀>
En consecuencia, si ( ) 1dYYdC > y ( ) ,0dYYCd 22 > el modelo será inestable.
En la figura XIX se aprecia que la curva de fase para este caso es aquella que no
intercepta al eje horizontal, intercepta al eje vertical en el punto
( ) ( )[ ] ,0GI0Ck0fk 00 >++⋅=⋅ es estrictamente convexa y es estrictamente
creciente respecto a “Y”.
7 No tiene sentido trabajar con valores negativos de “Y” ya que la renta es una variable económica. Por
tanto, estaremos interesados en averiguar el signo de la pendiente de la curva de fase únicamente en el
primer y cuarto cuadrantes.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
372
Por otro lado, si la función de consumo es estrictamente cóncava respecto a la
renta, ( ) ,0dYYCd 22 < por (125) la curva de fase también será estrictamente
cóncava respecto a la renta, ( ) .0dYYfd 22 < Además, si ( )Yf es estrictamente
decreciente con la renta, entonces ( ) ( ) .01dYYdCdYYdf <−= Esto significaría
que la propensión marginal al consumo ( ) .1dYYdC0 << Asimismo, al ser el
intercepto de la curva de fase con el eje “ 'Y ” ( ) ( )[ ] ,0GI0Ck0fk 00 >++⋅=⋅ y
al ser ( ) 0dYYdf < y ( ) ,0dYYfd 22 < habrá algún valor de “Y” perteneciente al
intervalo [ )∞,0 en el que ( ) ,0Yf = con lo cual se garantizará que .0Y' =
Para encontrar el punto de equilibrio, intersección con el eje “Y”, igualamos a
cero la ecuación (123), obteniendo que:
( ) ( )[ ] ( ) ⇒=≡−++= 0YkfYGIYCktY EE00E'
( ) ( ) 0YGIYCYf E00EE =−++=
( )0fY 1E
−=
En consecuencia, si ( ) 1dYYdC0 << y ( ) ,0dYYCd 22 < el modelo será estable.
En la figura XIX se aprecia que la curva de fase para este caso es aquella que
intercepta al eje horizontal en ( )0fY 1E
−= , intercepta al eje vertical en el punto
( ) ( )[ ] ,0GI0Ck0fk 00 >++⋅=⋅ es estrictamente cóncava y es estrictamente
decreciente respecto a “Y”.
Y ( )0fY 1
E−=
dtdY ( ) ( ) 0Yf:Ykf ' >
( )0kf
( ) ( ) 0Yf:Ykf ' <
Figura XIX
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
373
Plano de fase y retratos de fase
En esta sección vamos a realizar el análisis cualitativo de sistemas autónomos8 de dos
ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden cuya forma general es la
siguiente:
( )
( )
==
==
y,xgydt
dy
y,xfxdt
dx
'
'
(126)
El sistema (126) puede expresarse equivalentemente en forma vectorial de la siguiente
manera:
( )( )
( )( ) ( )XFXg
Xf
y,xg
y,xf
y
x
dtdy
dtdx
dt
XdX
'
''
vvv
vvv
=
=
=
=
== (127)
Donde ( )( )( )
=
==
ty
tx
y
xtXX
vv es una solución del sistema (127)
9. Las componentes
de ( )tXv
pueden entenderse como un par de ecuaciones paramétricas de forma que
para cada instante “t” se tiene un punto ( ) .tXX2ℜ∈=
vv Las ecuaciones paramétricas
( ) ( )tyytx son funciones diferenciables respecto a “t” que satisfacen el sistema (127)
sobre algún intervalo abierto “I”. Una solución ( )tXv
describe una curva o senda
(curva o senda de fase) en el plano xy (plano de fase) que consta de todos los puntos
( ) ( )( ) .Itty,tx ∈ Al conjunto de todas las posibles sendas de fase10
se le denomina
retrato de fase.
Si ( ) ( )( )ty,tx es una solución de (127), entonces también lo es ( ) ( )( ),cty,ctx −− para
cualquier constante “c”. Por tanto, ( ) ( )( )ty,tx y ( ) ( )( )cty,ctx ++ tienen la misma
senda (esto únicamente se verifica para sistemas autónomos). Para el sistema
autónomo (127), ( ) ( )( )ty,tx'' es únicamente determinado en el punto ( ) ( )( ),ty,tx y
dos sendas ( )21 XyXvv
en el plano xy no pueden interceptarse.
El sistema (127) puede interpretase como un campo vectorial en .2ℜ Donde el
campo vectorial para el sistema (127) es una función vectorial:
( )
=→
ℜ→ℜ
'
'
22
y
xXFX
:F
vvv
v
. (128)
8 Un sistema de ecuaciones diferenciales se denomina autónomo cuando la variable “t” no aparece
explícitamente en el sistema de ecuaciones; en caso contrario se dice que el sistema es no autónomo. 9 Téngase en cuenta que si ( )tX
v es solución de (126), al ser (126) y (127) sistemas equivalentes, también
será solución de (127). Por esta razón, sólo haremos referencia a uno de los dos sistemas, el sistema (127), en el resto de esta sección. 10
Es importante resaltar que la senda de fase no debe ser confundida con el diagrama de fase analizado en
la sección precedente. El análogo a la senda de fase para una única ecuación diferencial sería el eje “y”.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
374
Es decir, el campo vectorial de (127) es un conjunto de vectores en el plano xy, tal
que la pendiente del vector ( )y,xFv
en el punto ( )y,x coincide con la pendiente de la
tangente a la senda de fase que pasa por el punto ( ).y,x
La pendiente del vector ( )y,xFv
en el punto ( )y,x viene dada por:
'
'
x
y
dtdx
dtdy
dx
dy== (129)
Es importante resaltar que la ecuación (129) únicamente dependerá de “x” y “y”. Al
dividir las razones de cambio de “y” y de “x” se ha “eliminado” la variable “t”.
En la figura XX se aprecia una senda de fase que es una solución particular del
sistema (127), tal que en el instante inicial 0t = debe satisfacer la condición inicial
( ) ( )( ) ( ).y,x0y,0xX 000 ==v
En esta figura podemos apreciar que en el punto inicial
0Xv
los signos de las razones de cambio de “x” y “y” son
( ) ( ) ( ) ( ) ,00yXgy00xXf '0
'0 >=>=
vv entonces según se incremente el tiempo, el
sistema se moverá desde el punto 0Xv
hacia la derecha y hacia arriba. Asimismo, se
aprecia que en un punto genérico en el instante “t” tal como ( ) ( )( )ty,txX =v
los signos
de las razones de cambio de “x” y “y” son ( ) ( ) ( ) ( ) ,0tyy,xgy0txy,xf '' <=>=
entonces según transcurra el tiempo, el sistema se moverá desde el punto Xv
hacia la
derecha y hacia abajo. En el punto Pv
se aprecia que la velocidad de movimiento
(razón o tasa de cambio respecto al tiempo) está dada por la longitud del vector ( ).XFvv
x
y
( ) ( )( )0y,0xX 0 =v
( ) ( )( )ty,txX =
v
( ) ( ) ( )( )ty,txy,xF ''=v
( )tx '
( )ty '
Figura XX
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
375
Para ilustrar la dinámica del sistema (127), en principio, podemos dibujar tales
vectores en cada punto del plano xy. Tal familia de vectores es llamada campo vectorial11
. En la práctica podemos dibujar sólo una pequeña muestra representativa
de estos vectores. Sobre la base del campo vectorial, teniendo en cuenta que los
vectores del campo vectorial son tangentes a las sendas de fase, podemos dibujar las
sendas de fase para el sistema y por tanto exhibir el retrato de fase del sistema.
Por ejemplo, dado el siguiente sistema:
( )
( ) XA
'
''
'
'
y
x
23
21
y
xX
y,xgy2x3y
y,xfy2xx
v321
v
⋅
=
=⇒
=+=
=+= (130)
Para obtener algunos vectores del campo vectorial de este sistema podemos escoger
arbitrariamente algunos puntos del plano xy para luego reemplazarlos en el vector Xv
que aparece en la ecuación (130).
−
−=
−⋅
=
=⇒
−=
=
−
−=
−⋅
=
=⇒
−=
=
−
−=
−
−⋅
=
=⇒
−
−=
=
−
−=
−⋅
=
=⇒
−=
=
=
−⋅
=
=⇒
−=
=
=
⋅
=
=⇒
=
=
=
⋅
=
=⇒
=
=
=
⋅
=
=⇒
=
=
4
8
5
2
23
21
y
xX
5
2
y
xX
10
10
5
0
23
21
y
xX
5
0
y
xX
7
5
2
1
23
21
y
xX
2
1
y
xX
9
3
0
3
23
21
y
xX
0
3
y
xX
1
3
2
1
23
21
y
xX
2
1
y
xX
4
4
2
0
23
21
y
xX
2
0
y
xX
16
8
2
4
23
21
y
xX
2
4
y
xX
9
3
0
3
23
21
y
xX
0
3
y
xX
'
''
'
''
'
''
'
''
'
''
'
''
'
''
'
''
vv
vv
vv
vv
vv
vv
vv
vv
Podemos observar que, por ejemplo, en el punto ( )0,3 del plano xy tendremos un
vector que apunta en la dirección ( ).9,3 En el punto ( )5,2 − tendremos un vector que
apunta en la dirección ( ).4,8 −− Repitiendo el proceso anterior para un gran número de
puntos del plano xy se obtendrá el campo vectorial de la figura XXI12
.
11
Para obtener el campo vectorial de sistemas de ecuaciones diferenciales autónomos podemos utilizar
algunos programas matemáticos como el Maple, el Matlab y el Mathematica. 12
Es importante resaltar que la longitud de los vectores en la figura XXI ha sido proporcionalmente
reducida de manera que los vectores no interfieran el uno con el otro. Pero la longitud de cada vector aún
sugiere la velocidad de movimiento.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
376
Figura XXI
Una vez que se ha obtenido el campo vectorial, podemos bosquejar algunas sendas de
fase teniendo en cuenta que los vectores de la figura XXI son tangentes a las sendas
de fase y que la dirección de los vectores nos da la dirección de la senda según se
incrementa el tiempo. Con el propósito de mostrar la dependencia temporal de la
solución, se han colocado flechas sobre las sendas de fase. En la figura XXII se
muestra el retrato de fase correspondiente al campo vectorial de la figura XXI.
Usualmente los retratos de fase sólo incluyen algunas de las sendas de fase y no la
totalidad de ellas. Asimismo, frecuentemente el retrato de fase no va acompañado del
campo vectorial, aunque algunas veces por cuestiones didácticas se presentarán
ambos bosquejados en el plano xy.
Figura XXII
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
377
Puntos fijos y estabilidad
Si ( )**y,x es un punto en el plano para el cual simultáneamente ( ) 0y,xf = y
( ) 0y,xg = , entonces resulta que 0x' = y .0y
' = Esto significa que ni “x” ni “y”
cambian con el tiempo: el sistema tiene un punto fijo, o tiene un punto de equilibrio.
Una vez que hemos encontrado un punto de equilibrio, lo que nos interesa es saber si
este punto es estable o inestable.
Un punto fijo que satisface la condición ( ) 0y,xf = y ( ) 0y,xg = es estable o atractor
si, dado algún valor inicial ( )00 y,x “cerca de” ( ),y,x** esto es, dentro de alguna
distancia “δ”, la senda permanece cerca al punto fijo, esto es, dentro de alguna
distancia .δ>ε
Haciendo uso de la medida de distancia propuesta por Liapunov, las figuras XXIII y
XXIV muestran dos bolas cerradas con centro en ( ),y,x** ( )** y,xBε y ( ),y,xB **
δ y
con radios “ε” y “δ” respectivamente. Asimismo, cada figura muestra una senda de
fase que empieza en el punto ( ).y,x 00 En el caso de la figura XXIII, la senda de fase
llega al punto de equilibrio ( ),y,x** mientras que en la figura XXIV la senda de fase
circunda al punto de equilibrio ( ).y,x**
En las figuras XXIII y XXIV tenemos un punto de partida ( )00 y,x “cercano a”
( ),y,x** en el sentido que ( )00 y,x permanece dentro de la bola ( ).y,xB **
δ la senda
de fase parte del punto ( )00 y,x permaneciendo “cerca del” punto de equilibrio, en el
sentido que ésta permanece dentro de la bola ( ).y,xB **ε Por tanto, el punto de
equilibrio ( )**y,x de ambas figuras es estable.
x
y
( )** y,xBε
( )** y,xBδ
( )** y,x ( )00 y,x
δ
ε
Figura XXIII
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
378
No obstante, es importante resaltar que en la definición de estabilidad no hay nada
que indique que la senda de fase tenga que aproximarse al punto de equilibrio. Todo
lo que se requiere es que la senda de fase permanezca dentro de la bola ( ).y,xB **ε Al
mirar la figura XXIV podemos notar que la senda de fase es periódica, empieza cerca
del punto de equilibrio (esto es, el punto de partida permanece dentro de la bola
( )** y,xBδ ) pero circunda cíclicamente el punto de equilibrio ( )**y,x mientras
permanece “cerca de” dicho punto (esto es, permanece dentro de la bola
( )** y,xBε ). Tal ciclo límite es estable pero no es asintóticamente estable.
Todo punto de equilibrio que no es estable se dice que es inestable o repulsor. Un
punto de equilibrio es asintóticamente estable si es estable en el sentido justamente
discutido, pero eventualmente se aproxima al punto de equilibrio según .t ∞→ En
consecuencia, para ser asintóticamente estable, la senda de fase debe empezar cerca
de ( )**y,x (es decir, dentro de la bola de radio “δ”), debe permanecer cerca al punto
de equilibrio (es decir, dentro de de la bola de radio “ε”), y eventualmente debe
aproximarse a ( )**y,x según .t ∞→ Por tanto, la senda de fase de la figura XXIII es
asintóticamente estable.
x
y
( )** y,xBε
( )** y,xBδ
( )** y,x
( )00 y,x
δ
ε
Figura XXIV
Note que la senda de fase puede alejarse del punto ( )**y,x mientras permanece
dentro de la bola ( )** y,xBε y aproximarse al punto de equilibrio en el límite. Un
punto que es estable pero que no es asintóticamente estable suele denominársele como
neutralmente estable. La figura XXIV muestra un punto de equilibrio neutralmente
estable.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
379
La estabilidad asintótica es más fuerte que la estabilidad. Esto es claro ya que si un
punto de equilibrio es asintóticamente estable, entonces debe ser estable. La condición
límite por sí sola no es suficiente ya que un sistema puede empezar “cerca de”
( )**y,x (es decir, dentro de la bola de radio “δ”) y aproximarse al punto de equilibrio
en el límite, pero divergir considerablemente (ir más allá) de bola de radio “ε” en
determinado periodo.
Si un sistema tiene un punto de equilibrio ( )**y,x que es asintóticamente estable, y si
cada senda de fase se aproxima al punto de equilibrio (es decir, tanto para puntos
cercanos al punto de equilibrio como para puntos lejanos de éste), entonces el punto
de equilibrio se dice que es globalmente estable. Otra forma de considerar esto es
establecer el conjunto inicial de condiciones para las cuales el punto de equilibrio
dado sea asintóticamente estable, esto es, la bola más grande a partir de la cual
cualquier trayectoria entrante converja asintóticamente al punto de equilibrio. Este
conjunto de condiciones iniciales es llamado fuente de atracción. Un punto de
equilibrio es localmente asintóticamente estable si existe una fuente de atracción,
( ),y,xB **ε dentro de la cual todas las sendas de fase entrantes a esta bola
eventualmente se aproximan al punto ( ).y,x** Si la fuente de atracción es todo el
plano xy, entonces el sistema es globalmente asintóticamente estable sobre el punto
de equilibrio ( ).y,x**
Algunas propiedades de las sendas de fase de sistemas autónomos son las siguientes:
1.- No más de una senda de fase pasa por un punto del plano xy;
2.- Una senda de fase que empieza en un punto que no es un punto de equilibrio
únicamente alcanzará un punto de equilibrio en un periodo infinito;
3.- Ninguna senda de fase puede atravesarse así misma a menos que sea una curva
cerrada. Si la senda de fase es una curva cerrada entonces la solución es periódica.
Isoclinas y líneas de fuerza en el plano de fase:
Sea ( )( )
.y
x
ty
txX
=
=
v Dado el sistema
( )( )
( ),XFy,xg
y,xf
y
xX
'
''
vvv=
=
= donde ( )XF
vv
puede ser lineal o no lineal, los lugares geométricos de 2ℜ tales que
( )( )
,b
a
y,xg
y,xf
y
xX
'
''
=
=
=
v donde “a” y “b” son constantes, se denominan isoclinas.
Las isoclinas son de gran utilidad ya que nos permiten obtener la dirección de los
vectores del campo vectorial del sistema, lo que a su vez nos sirve para bosquejar las
sendas de fase.
En particular, las isoclinas en las que “a” y “b” son nulas (ceroclinas),
( )( )
,0
0
y,xg
y,xf
y
xX
'
''
=
=
=
v nos dan los puntos para los que ya no hay ajuste
dinámico para “x” y para “y”. Es decir, en las intersecciones de las ceroclinas
encontraremos los puntos de equilibrio del sistema.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
380
La ceroclina ( ) 0y,xfx' == divide el plano xy en dos regiones, una en la que
( ) 0y,xfx' >= (donde “x” crece conforme transcurre el tiempo: en esta región se
dibujarán líneas de fuerza (flechas direccionales) que apuntarán hacia la derecha
indicando el crecimiento de “x” conforme aumenta el tiempo) y la otra en la que
( ) 0y,xfx' <= (donde “x” decrece conforme transcurre el tiempo: en esta región se
dibujarán líneas de fuerza que apuntarán hacia la izquierda indicando el
decrecimiento de “x” conforme aumenta el tiempo). En la figura XXV se aprecia la
dinámica descrita líneas arriba. En esta figura puede notarse que en las dos regiones
en que la ceroclina ( ) 0y,xfx' == divide al plano xy las líneas de fuerza son
opuestas (aquellas flechas que tienen el mismo color).
x
0x ' = 0x ' >
y
0x ' <
0x ' >
0x ' <
Figura XXV
La ceroclina ( ) 0y,xgy' == también divide el plano xy en dos regiones, una en la
que ( ) 0y,xgy' >= (donde “y” crece conforme transcurre el tiempo: en esta región
se dibujarán líneas de fuerza que apuntarán hacia arriba indicando el crecimiento de
“y” conforme se incrementa el tiempo) y la otra en la que ( ) 0y,xgy' <= (donde “y”
decrece conforme transcurre el tiempo: hacia abajo indicando el decrecimiento de “y”
conforme se incrementa el tiempo). En la figura XXVI se aprecia el movimiento en el
plano xy descrito líneas arriba. En esta figura también puede notarse que en las dos
regiones en que la ceroclina ( ) 0y,xgy' == divide al plano xy las líneas de fuerza
son opuestas (aquellas flechas que tienen el mismo color).
Es importante resaltar que las sendas de fase del sistema que se tracen en el plano xy
cortarán verticalmente a la ceroclina ( ) 0y,xfx' == y horizontalmente a la ceroclina
( ) .0y,xgy' ==
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
381
0y ' <
0y ' >
x
( ) 0y,xgy ' ==
0y ' >
0y ' <
y
Figura XXVI
Los puntos de equilibrio del sistema se encontrarán en las intersecciones de las
ceroclinas. Al superponer las ceroclinas de las figuras XXV y XXVI en un mismo
gráfico (ver figura XXVII), el plano xy quedará dividido en cuatro regiones en las que
será posible conocer la evolución temporal de “x” y de “y” a través de las líneas de
fuerza13
. En la figura XXVII, sobre la ceroclina ( ) 0y,xfx' == se ha trazado
arbitrariamente el gradiente de ( )y,xf en dirección noroeste (de color azul). Dado que
la dirección del ( )y,xf∇ apunta hacia la dirección donde ,0x' > en consecuencia, las
líneas de fuerza que se encuentran arriba de la ceroclina ( ) 0y,xfx' == apuntarán
hacia la derecha (este) ya que en esa región, al ser ,0x' > “x” aumentará conforme
transcurra el tiempo. En la región que se encuentra debajo de la ceroclina
( ) ,0y,xfx' == al ser ,0x
' < las líneas de fuerza apuntarán hacia la izquierda
(oeste) indicando el decrecimiento de “x” conforme aumenta el tiempo.
x
0x ' = 0y ' =
y
( )y,xf∇
( )y,xg∇ E
Figura XXVII 13
Es importante resaltar que las ceroclinas 0x ' = y 0y ' = se pueden intersectar en más de un punto de
equilibrio y, por tanto, dividir el plano xy en más de cuatro regiones.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
382
En la figura XXVII, sobre la ceroclina ( ) 0y,xgy' == se ha trazado arbitrariamente
el gradiente de ( )y,xg en dirección noreste (de color rojo). Dado que la dirección del
( )y,xg∇ apunta hacia la dirección donde ,0y' > en consecuencia, las líneas de
fuerza que se encuentran arriba de la ceroclina ( ) 0y,xgy' == apuntarán hacia arriba
(norte) ya que en esa región, al ser ,0y' > “y” aumentará conforme transcurra el
tiempo. En la región que se encuentra debajo de la ceroclina ( ) ,0y,xgy' == al ser
,0y' < las líneas de fuerza apuntarán hacia abajo (sur) indicando el decrecimiento de
“y” conforme aumenta el tiempo.
x
0x ' = 0y ' =
y
E
Figura XXVIII
En la figura XXVIII se han agregado algunas sendas de fase a la figura XXVII en
función de las direcciones de las líneas de fuerza, las cuales sirven para prever el
movimiento dinámico del sistema a partir de cualquier punto inicial del plano xy.
Note que las sendas de fase que cortan la ceroclina ( ) 0y,xgy' == tienen una
pendiente nula en el punto de corte (líneas punteadas que cortan a la ceroclina
( ) 0y,xgy' == horizontalmente), mientras que las sendas de fase que cortan la
ceroclina ( ) 0y,xfx' == tienen una pendiente infinita en el punto de corte (líneas
punteadas que cortan a la ceroclina ( ) 0y,xfx' == verticalmente).
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
383
Clasificación de los puntos de equilibrio:
Dependiendo de las sendas de fase que circundan a un punto de equilibrio, éste puede
clasificarse como: nodo, punto de silla, foco o espiral, y vórtice o centro.
Un nodo es un punto de equilibrio tal que todas las sendas de fase asociadas a él o se
acercan no cíclicamente hacia él (atractor) o se alejan no cíclicamente de él
(repulsor). En la figura XXIX se muestra un nodo repulsor. En la figura XXX se
presenta un nodo impropio que recibe el nombre de estrella. En esta figura se muestra
el caso de una estrella repulsora.
Un punto de silla es un punto de equilibrio que se caracteriza por ser estable en
algunas direcciones e inestable en otras. Específicamente, un punto de silla tiene un
par de ramas estables en las que las sendas de fase convergen hacia el punto de
equilibrio, y un par de ramas inestables en el que las sendas de fase se alejan del
punto de equilibrio. El resto de sendas de fase se mueven hacia el punto de silla
inicialmente pero luego se alejan de él. Debido a que la estabilidad sólo se observa en
el par de ramas estables, y ésta no se obtiene con frecuencia, al punto de silla se le
clasifica como un punto de equilibrio inestable. En la figura XXXI se aprecia un
punto de silla, donde se observa que el par de ramas estables se encuentran sobre la
línea de acción del autovector ,v2
v y el par de ramas inestables se encuentran sobre la
línea de acción del autovector .v1
v
Los focos son puntos de equilibrio caracterizados por sendas de fase en forma de espiral o que se aproximan cíclicamente a él (foco estable) o que se alejan cíclicamente de éste
(foco inestable). En la figura XXXII se muestra un foco inestable.
Un vórtice o centro es un punto de equilibrio caracterizado por una familia de sendas
de fase en forma de bucles (círculos o elipses concéntricos) que orbitan alrededor de
él en forma perpetua. Un vórtice se clasifica como inestable ya que dicho punto es
inaccesible desde cualquier otro punto que no sea el mismo vórtice. En la figura
XXXIII se aprecia un vórtice.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
384
x
y
E
2vv
1vv
( )y,xf∇
0x ' =
( ) 0y,xf =
0y ' =
( )y,xg∇
( ) 0y,xg =
Figura XXIX
y
x
E 1vv
2vv
( )y,xf∇
( )y,xg∇
0y ' =
0x ' =
Figura XXX
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
385
x
y
E
1vv
2vv
( )y,xg∇
( )y,xf∇
) 0y,x =
0x ' =
0y ' =
( ) 0y,xg =
Figura XXXI
y
x E
( )y,xf∇
( )y,xg∇
0y ' =
0x ' =
Figura XXXII
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
386
E
x
y
0x' =
0y ' =
( )y,xf∇
( )y,xg∇
Figura XXXIII
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
387
x
y
E
1vv
2vv
( )y,xg∇
( )y,xf∇
( ) 0y,xf =
0x ' =
0y ' =
( ) 0y,xg =
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
388
Conjuntos acotados y no acotados en ℜℜℜℜ
Cota Superior (inferior) de X: Dado ℜ⊂X , Ø,X ≠ se dice que “b” es una cota superior de X si .Xxxb ∈∀≥ De manera análoga se puede definir una cota inferior.
Si X posee una cota superior (inferior) se dice que X está acotado superiormente
(inferiormente) o acotado por arriba (por abajo). Un conjunto que no esté acotado
superiormente (inferiormente) se llama conjunto no acotado superiormente (inferiormente). Un conjunto acotado superior e inferiormente se llama simplemente
conjunto acotado. Un conjunto que no está acotado se llama no acotado.
Entre todos los números que acotan superiormente (inferiormente) a ℜ⊂X , el menor
(mayor) de ellos, recibe un nombre especial: Supremo (ínfimo).
Supremo (ínfimo) de X: Dado ℜ⊂X , se define el supremo de X y se denota por
XSUP , como la mínima cota superior del conjunto, es decir, ,XxxXSUP ∈∀≥ y si
.bXSUPXx,xb ≤⇒∈∀≥∃ De manera análoga se define el ínfimo de X, que se
denota por .XINF
Axioma del Supremo: Todo conjunto de números reales que está acotado por arriba
posee un supremo. De manera análoga, si el conjunto de números reales está acotado
inferiormente, entonces posee un ínfimo.
Principio de Arquímedes: El conjunto de números naturales, N, no está acotado
superiormente, de modo que .anNn,a >∈∃ℜ∈∀
Elemento máximo (mínimo) de X: Sea ℜ⊂X . El elemento máximo de X o mayor de X, denotado por ,Xmáx es un elemento “b” de X tal que .XxXmáxbx ∈∀=≤
De manera análoga se define el elemento mínimo de X o menor de X, que se denota
por .Xmín
En general, si existe ( ),XmínXmáx éste coincide con ( )XINFXSUP . Por ejemplo,
para ,10,9,8,7,6,5X = se tiene que ,10XSUPXmáx == .5XINFXmín == Sin
embargo, el conjunto X puede tener un supremo (ínfimo) y no poseer un elemento
máximo (mínimo). Por ejemplo, para ( ),3,23x2xX =<<ℜ∈= se tiene que
,3XSUP = ,2XINF = pero ni ,Xmáx ni Xmín existen.
Acotación de funciones
Función acotada superiormente
Sea ( ) .XfYX:f n ℜ⊂=→ℜ⊆ Se dice que “f” está acotada superiormente en su
dominio”X”, si el conjunto de sus valores (su rango “Y”) está acotado superiormente
en .ℜ Dicho de otro modo, la función “f” está acotada superiormente si
( ) XxMxfM ∈∀≤ℜ∈∃vv
. A “M” y a todos los números mayores que este se le
denominan cotas superiores.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
389
Función acotada inferiormente
Sea ( ) .XfYX:f n ℜ⊂=→ℜ⊂ Se dice que “f” está acotada inferiormente en su
dominio “X”, si el conjunto de sus valores (su rango “Y”) está acotado inferiormente
en .ℜ Dicho de otro modo, la función “f” está acotada inferiormente si
( ) Xxmxfm ∈∀≥ℜ∈∃vv
. A “m” y a todos los números menores que este se le
denominan cotas inferiores.
Función acotada
Sea ( ) .XfYX:f n ℜ⊂=→ℜ⊂ Se dice que “f” está acotada en su dominio “X”, si
su imagen “Y” es un conjunto acotado en .ℜ Es decir, si existen “M” y “m”
pertenecientes a ℜ tales que ( ) .XxMxfm ∈∀≤≤vv
Función acotada en valor absoluto
Se dice que “f” está acotada en valor absoluto en “X” si existe un “K” perteneciente a
ℜ tal que ( ) .XxKxf ∈∀<vv
Si “f” está acotada en “X”, entonces “f” estará acotada en valor absoluto en “X”.
Supremo de una función
Si “f” está acotada superiormente en “X”, llamamos supremo a la menor de las cotas
superiores. El supremo de “f” se llama supremo de la función “f” en X, y se denota
por: ( ) ( ) .XxxfsupxfsupMXx
∈==∈
vvvv
Ínfimo de una función
Si “f” está acotada inferiormente en “X”, llamamos ínfimo a la mayor de las cotas
inferiores. El ínfimo de “f” se llama ínfimo de la función “f” en X, y se denota por:
( ) ( ) .XxxfinfxfinfmXx
∈==∈
vvv
Máximo de una función
Si el supremo de “f” pertenece a dicha función se denomina máximo (absoluto o
global) de la función. Se dice que “f” alcanza un máximo absoluto en un punto 0xv
de
X si ( ) ( )xfsupxfXx
0
vvv∈
= en X. Es decir, si verifica que: ( ) ( ) .Xxxfxf 0 ∈∀≤vvv
Se denota por: ( ) ( ) .XxxfmáxxfmáxMXx
∈==∈
vvvv
Se dice que 0xv
es un punto máximo absoluto de “f” en “X” y el valor de dicho
máximo es ( )0xfv
. El máximo absoluto es estricto si se cumple que
( ) ( ) .Xxxfxf 0 ∈∀<vvv
Si una función tiene máximo absoluto, ésta lo puede alcanzar
en varios puntos de su dominio.
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
390
Mínimo de una función
Si el ínfimo de “f” pertenece a dicha función, entonces se llama mínimo (absoluto o
global) de la función. Se dice que “f” alcanza un mínimo absoluto en un punto 1xv
de
X si ( ) ( )xfinfxfXx
1
vvv∈
= en X. Es decir, si se verifica: ( ) ( ) .Xxxfxf 1 ∈∀≤vvv
Se denota: ( ) ( ) .XxxfmínxfmínmXx
∈==∈
vvvv
Se dice que 1xv
es un punto mínimo absoluto de “f” en “X” y el valor de dicho
mínimo es ( ).xf 1
v El mínimo absoluto es estricto si ( ) ( ) .Xxxfxf 1 ∈∀<
vvv Si una
función tiene mínimo absoluto, ésta lo puede alcanzar en varios puntos de su dominio.
Propiedades del supremo/ínfimo de una función
( )( ) ( )xfinfxfsupXxXx
vvvv ∈∈
−=− ( )( ) ( )xfsupxfinfXxXx
vvvv∈∈
−=−
( ) ( )( ) ( ) ( )xgsupxfsupxgxfsupXxXxXx
vvvvvvv∈∈∈
+≤+ ( ) ( )( ) ( ) ( )xginfxfinfxgxfinfXxXxXx
vvvvvvv∈∈∈
+≥+
( )( ) ( ) +
∈∈
ℜ∈λ⇔λ=λ xfsupxfsupXxXx
vvvv
( )( ) ( ) +
∈∈ℜ∈λ⇔λ=λ xfinfxfinf
XxXx
vvvv
( )( ) ( )
=
∈∈×∈
y,xfsupsupy,xfsupYyXxYXy,x
vvvvvvvv
( )
( ) ( )
=
∈∈×∈y,xfinfinfy,xfinf
YyXxYXy,x
vvvvvvvv
Propiedades de las funciones acotadas
1. La suma de dos funciones acotadas es otra función acotada.
2. El producto de dos funciones acotadas es otra función acotada.
3. Si una función “f” está acotada, su opuesta “-f” también lo estará.
Reglas de Leibniz
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]( )
( )
dtxtx,fxhxhx,fxgxgx,fdxxdφdttx,fxφ4)
xhxhfxgxgfdxxdφdttfxφ3)
xgxgfdxxdφdttfxφ2)
xfdxxdφdttfxφ1)
xg
xh
''
xg
xh
''
xg
xh
'
xg
0
x
0
∫∫
∫
∫
∫
∂∂+⋅−⋅=⇒=
⋅−⋅=⇒=
⋅=⇒=
=⇒=
MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ECONOMISTAS
391
Bibliografía
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