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metodos numericos avanzados y investigacion
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METODOS NUMERICOS
Ingeniería Civil
ING.�CRISTIAN�CASTRO�P.
Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y Civil
Departamento académico de ingeniería de minas y civil
CATEDRA 12
Capitulo X
Integración Numérica
ING.�CRISTIAN�CASTRO�P.
2.2.0. INTRODUCCIÓN2.2.1. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SIMPLE EINTERPOLACIÓN LINEAL2.2.2. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE LAGRANGE2.2.3. DIFERENCIAS DIVIDIDAS2.2.4. APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON2.2.5. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE NEWTON ENDIFERENCIAS FINITAS: HACIA DELANTE – HACIA ATRÁS2.2.6. ESTRUCTURA DEL POLINOMIO DE NEWTON EN DIFERENCIASDIVIDIDAS HACIA ATRÁS DE GRADO n EN xn
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
3
C0NTENIDO
2.2.0. INTRODUCCIÓNEn el campo de la matemática aplicada es de gran importancia la maneracomo determinar una función o funciones a partir de un conjunto dedatos discretos, i.e., puntos tabulados, situación que siempre se enfrentacualquier investigador, para decir generalmente un Ingeniero siempretiene al frente esta problemática fenómeno que será el objetivo de esteítem.Pues es común encontrar datos con valores discretos, y sin embargonosotros queremos encontrar valores entre estos puntos discretos, y estoes lo que lo llamamos ajuste de curvas y, generalmente se usa elprocedimiento de mínimos cuadrados.Cuando existe un conjunto de datos muy precisos, en este caso se usa loque se llama interpolación.
4
2.2.0. INTRODUCCIÓN
Las funciones de aproximación generalmente esobtenida por combinación lineal de funcioneselementales, que toman la forma de:En donde:
ai: Son constantes que deseamos encontrar,i=1,2,...,ngi(x): Son funciones elementales específicas,i=1,2,...,n
5
2.2.0. INTRODUCCIÓN
nixgaxgaxgaxga nnnn 0:)()(........)()( 001111
Ejemplo:1.gi (x): Puede ser la familia de monomiosen luego tenemos la combinación lineal:
2. La familia de funciones elementales de Fourier, enfunción de “x”1, sen x, cos x, sen 2x, cos 2x, sen 3x, cos 3x,..La combinación lineal que genera aproximaciones dela forma:
6
2.2.0. INTRODUCCIÓN
nxxxx ,.....,,: 10
00
11
22
11 .............)( xaxaxaxaxaxaxp i
in
nn
n
n
ii
n
ii xisenbxiaa
110 cos
Observación:1. De las tres familias observadas podemos decir quela primera es la más utilizada y la más sencilla en sumanejo.2. ¿Qué buscamos en esta unidad?
Buscamos unan función f(x) a partir de unatabulación funcional f (x):
7
2.2.0. INTRODUCCIÓN
Punto 0 1 2 ..... nVariable x0 x1 x2 .... xn
Función f (x0) f (x1) f (x2) ....... f (xn)
Es decir queremos aproximar a f(x) por medio de lafamilia elemental de monomios
es decir,
, que se puede realizar por medio de los siguientescriterios:Ajuste exactoMínimos cuadrados
8
2.2.0. INTRODUCCIÓN
ni xxxxx ,......,,.....,,, 210
00
11
22
11 .............)( xaxaxaxaxaxaxp i
in
nn
n
Ajuste Exacto:Consiste en determinar una función polinomial quepase por los puntos proporcionados tubularmente.Esto es:
9
2.2.0. INTRODUCCIÓN
Mínimos Cuadrados:Consiste en determinar una función polinomial que pase porlos puntos y que cumpla la condición de minimizar la suma delas desviaciones (di) elevados al cuadrado.i.e.; = mínimoEncontrado el polinomio de aproximación podemos utilizarlopara determinar otros puntos que no están en la tabla,mediante una evaluación, fenómeno que se llamaInterpolación, así mismo se puede derivar o integrar con lafinalidad de buscar alguna otra información adicional de lafunción tabular.:
10
2.2.0. INTRODUCCIÓN
n
iid
0
2
Podemos decir que la interpolación lineal es el eje paramuchos métodos numéricos y de gran relevancia en laingeniería, puesto que una gran información se encuentraen su forma tabular como veremos más adelante y esusado por una diversidad de métodos numéricos, porejemplo si integramos este método tendremos el métodode integración trapezoidal.¿En qué consiste este método?Supongamos que tenemos los siguientes cuadros::
11
2.2.1. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SIMPLE EINTERPOLACIÓN LINEAL
Cuadro 1
Cuadro 2
12
2.2.1. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SIMPLE EINTERPOLACIÓN LINEAL
Puntos 0 1 2 3 4 56
f(x) 56 78 113 144 181 205 214X 1 2 5 10 20 30 40
Puntos 0 1 23
f(x) 56 ¿-? 113 181 214X 1 2 5 20 40
Cuadro 1
Supongamos por un instante que sólo se dispone delcuadro 2 y que queremos el valor de la variable “y=f(x)”cuando x tiene un valor de 2 unidades. Una manera muycomún es considerar la ecuación de una línea recta así:
, y sustituirlos valores de los puntos 0 y 1, obteniendo dosecuaciones con variables a0 y a1
Punto “0” = (1,56); punto 1: (5,113); (x, f(x))
13
2.2.1. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SIMPLE EINTERPOLACIÓN LINEAL
Cuadro 1
xaaxp 10)(
10
10
511356
aaaa
574 1a8.412.1456
2.14457
0
1
a
a
Luego la ecuación de la función lineal:p(x) = 41.8 + 14.2xEsta ecuación puede ser usado para calcular f (x) cuando x= 2
14
2.2.1. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SIMPLE EINTERPOLACIÓN LINEAL
Cuadro 1
2.704.288.412)2.14(8.41)2( f
Observación:Si queremos una mejor aproximación para nuestra funcióndeberíamos considerar otro punto más y tendremos:
En general tendremos la siguiente aproximaciónpolinomial.
15
2.2.1. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SIMPLE EINTERPOLACIÓN LINEAL
Cuadro 1
2210)( xaxaaxp
nn
iin xaxaxaxaaxp ..............)( 2
210
POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTONEn esta oportunidad presentaremos los polinomios dellamados de Newton como previos al proceso recursivo,p0; p1; p2;....; pn,en donde cada pk se obtiene simplementeañadiendo un término a pk-1 , y al final del proceso pn seencuentra formado por una suma de términos
16
2.2.1. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SIMPLE EINTERPOLACIÓN LINEAL
Cuadro 1
Comentarios:El método anterior tiene su punto débil en laaproximación exacta, al realizar la interpolación, pues setenía que solucionar un sistema de ecuaciones que suorden dependía de la exactitud de la aproximación, con lafinalidad de salvar estos inconvenientes, surgen otrosmétodos de aproximación polinomial, que realicencálculos directos sin desarrollar tales sistemas deecuaciones que envuelven cierta dificultad en su solución.Entre estos métodos tendremos la aproximaciónpolinomial de LaGrange. El método que consiste en:
17
2.2.2. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DELAGRANGE
Primero: Supongamos una función desconocida f (x) dadaen forma tabular y se asume un polinomio de primergrado es decir una línea recta el cual se puede escribir dela siguiente manera:
1. Supongamos que la ecuación de un recta se escribe así:
18
2.2.2. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DELAGRANGE
)()()( 0110 xxaxxaxP
En donde:x0, x1: Son valores de la función en puntos conocidos [x0, f(x0)], [x1, f (x1)]a0, a1: Coeficientes por determinar, y lo encontramoshaciendo las consideraciones siguientes:Determinando a0 para ello consideramos
Determinando a1 para ello hacemos:
19
2.2.2. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DELAGRANGE
10
0
10
0010000
)()()()(
xxxf
xxxP
axxaxPxx
01
1
01
1101111
)()()()(
xxxf
xxxP
axxaxPxx
Luego:
2. Supongamos un polinomio de segundo grado
20
2.2.2. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DELAGRANGE
)()()()()()()(
)()()(
)()(
)()(
)()(
)()(
)(
1100
01
01
10
10
001
11
10
0
xfxLxfxLxPxxxx
xfxxxx
xfxP
xxxx
xfxx
xxxf
xP
))(())(())(()( 1022012102 xxxxaxxxxaxxxxaxP
En donde:x0, x1, x2 son los valores de los puntos conocidos [x0, f(x0)],[x1, f(x1)], [x2, f(x2)]
Si
Si
Si
21
2.2.2. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DELAGRANGE
))(()(
))(()(
2010
0
2010
0200 xxxx
xfxxxx
xPaxx
))(()(
))(()(
2101
1
2101
1211 xxxx
xfxxxx
xPaxx
))(()(
))(()(
1202
2
1202
2222 xxxx
xfxxxx
xPaxx
Luego:En donde:
3. Podemos suponer un polinomio de grado n:
22
2.2.2. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DELAGRANGE
)()()()()()()( 2211002 xfxLxfxLxfxLxP
))(())((
)(;))((
))(()(;
))(())((
)(1202
102
2101
201
2010
210 xxxx
xxxxxL
xxxxxxxx
xLxxxx
xxxxxL
)()(......)()(.....)()()()()( 1100 nniin xfxLxfxLxfxLxfxLxP
En donde:
Que en general el polinomio se puede escribir:, polinomio LaGrange
23
2.2.2. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DELAGRANGE
))....().....()(()).....().....()((
)(
))....().....()(()).....().....()((
)(
))....().....()(()).....().....()((
)(
110
110
112101
201
002010
210
niiiii
nii
ni
ni
ni
ni
xxxxxxxxxxxxxxxx
xL
xxxxxxxxxxxxxxxx
xL
xxxxxxxxxxxxxxxx
xL
n
iiin xfxLxP
0)()()(
En donde:,
La aproximación polinomial de LaGrange, esla combinación lineal de f(xi ) y de loscoeficientes Li(X).
24
2.2.2. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DELAGRANGE
n
ijj ji
ji xx
xxxL
0 )(
)()(
Ejemplo:Supongamos que tenemos la función tabular
a) Determinar la aproximación polinomial de LaGrangeusando todos los puntosb) Determinar el valor aproximado de f (x) para x = 1.
25
2.2.2. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DELAGRANGE
i 0 1 2 3
F(Xi) -3 0 5 7
Xi 0 1 3 6
Solución:Debemos destacar que la tabla presenta cuatro puntos loque induce la existencia de un polinomio de tercer orden
26
2.2.2. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DELAGRANGE
90)3)(1(
)36)(16(6)3)(1(
))()(())()((
)(
18)6)(1(
)63)(13)(03()6)(3)(0(
))()(())()((
)(
10)6)(3(
)61)(31)(01()6)(3)(0(
))()(())()((
)(
18)6)(3)(1(
)60)(30)(10()6)(3)(1(
))()(())()((
)(
)7)(()5)(()0)(()3)(()(3)()()()()()()()()(
231302
2103
321202
3102
312101
3201
302010
3210
3210
332211003
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxL
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxL
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxL
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxL
xLxLxLxLxPxfxLxfxLxfxLxfxLxP
Operando tenemos:
El valor aproximado de la función cuando x = 1.8
27
2.2.2. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DELAGRANGE
31546
3030
23
3 xxxP
2176.23)8.1(1546
30)8.1(
30)8.1()8.1(
23
3 P
Así como podemos aproximar una función mediante laaproximación polinomial de LaGrange, también podemosaproximar la derivada y la integral de una función condiferencias divididas. La derivada y la integralrespectivamente el polinomio de interpolación, que enrealidad es el principio básico para la diferenciación eintegración de los métodos numéricos.Supongamos una función f (x) con derivada en el punto x0analíticamente esta dado por:
28
2.2.3. DIFERENCIAS DIVIDIDAS
)(')()(
lim0
0
0
xfxx
xfxfxx
Pero cuando la función es dada de manera tabular, setiene.
29
2.2.3. DIFERENCIAS DIVIDIDAS
)(..........)(..........)()()(........................................10
10
10
ni
ni
xfxfxfxfxfxxxxxniPunto
La derivada sólo puede obtenerse de manera aproximada,por ejemplo si se desea calcular la derivada de f(x) en elpunto “x” tal que x0 < x < x1
Esto se determina así:
La expresión de la derecha se llama primera diferenciadividida de f (x) respecto a los valores de x0 y x1 y sedenota generalmente f [x0, x1], esto es,
30
2.2.3. DIFERENCIAS DIVIDIDAS
1001
01 ,)()(
)(' xxxxx
xfxfxf
01
0110
)()(,
xxxfxf
xxf
Observación:1. Se debe destacar que la relación entre la primeradiferencia dividida y la primera derivada esta dada por elteorema del valor medio.
Siempre que f (x) cumpla con las condiciones del teoremadel valor medio.2. Podemos generalizar para un orden más alto en dondeel argumento es se llama diferencia dividida, de ordencero:
31
2.2.3. DIFERENCIAS DIVIDIDAS
),(,)(')()(
1001
01 xxccfxx
xfxf
i.e
32
2.2.3. DIFERENCIAS DIVIDIDAS
0
1102110
,.....,,,.....,,,.....,,
xxxxxfxxxf
xxxfi
iii
55
44
33
22
11
00
xfx
xfx
xfx
xfx
xfx
xfx
45
4554
34
3443
23
2332
12
1221
01
0110
,
,
,
,
,
xxxfxf
xxf
xxxfxf
xxf
xxxfxf
xxf
xxxfxf
xxf
xxxfxf
xxf
35
4354543
24
3243432
13
2123321
02
1021210
,,,,
,,,,
,,,,
,,,,
xxxxfxxfxxxf
xxxxfxxfxxxf
xxxxfxxfxxxf
xxxxfxxfxxxf
25
4325435432
14
3214324321
03
2103213210
,,,,,,,
,,,,,,,
,,,,,,,
xxxxxfxxxfxxxxf
xxxxxfxxxfxxxxf
xxxxxfxxxfxxxxf
TerceroSegundoPrimero
Observación:Para formar la expresión se requiere i + 1 puntos.El numerador es la recta de dos diferencias de orden i – 1.El denominador es la recta de los argumentos no comunesen el numerador.Ejemplo:
Supongamos que tenemos la siguiente información
33
2.2.3. DIFERENCIAS DIVIDIDAS
142722518)(632012543210
xfx
Puntos
Obtenido del polinomio
La primer diferencia dividida en los puntos (0), (1) y (1),(2)
La segunda diferencia dividida para (0), (1) y (2)
34
2.2.3. DIFERENCIAS DIVIDIDAS
22 23 xx
13)2(1)18(5)()(
,01
0110
xx
xfxfxxf 3
)1(0)5(2)()(
,12
1221
xx
xfxfxxf
5
)2(0)13(3,,`
,,02
1021210
xx
xxfxxfxxxf
De esta manera construimos la tabla de diferenciasdivididas
35
2.2.3. DIFERENCIAS DIVIDIDAS
Puntos X f(x) 1º orden 2º orden 3º 0rden 4º orden0 -2 -18
131 -1 -5 -5
3 12 0 -2 -1 0
0 13 2 -2 3 0
9 14 2 7 9
455 6 142
Observemos que:Todas las diferencias divididas de tercer orden tienen el mismovalor independiente del valor de las x que se usen para calcularse.Las diferencias de cuarto orden todos tienen el valor de cero, lo quetiene afinidad con el criterio que la derivada de tercer orden es unaconstante y la de cuarto orden es cero, para cualquier valor de x.El razonamiento anterior nos induce a decir que si al construir unatabla de diferencias divididas en alguna columna el valor esconstante y la siguiente columna es cero la información provienede un polinomio de grado igual al orden de las diferencias quetengan valores constantes.
36
2.2.3. DIFERENCIAS DIVIDIDAS
El razonamiento anterior nos induce afirmar que nuestro polinomioes de grado 3 es decir mi polinomio será:
En nuestro ejemplo se tiene:.
37
2.2.3. DIFERENCIAS DIVIDIDAS
...))((,,)(,,...,,)( 1021001001
0010
xxxxxxxfxxxxfxfxxxxxfxp
k
jj
n
kk
))()((,,,))((,,)(,)( 2103210102100100 xxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxp
)0)(1)(2(1)1)(2(5)2(1318)( xxxxxxxp
22)( 23 xxxp
2.2.4. APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTONSupongamos que tenemos una función tabular y que queremos
aproximar mediante un polinomio de primer grado:
1. Aproximación por un Polinomio de Primer Grado
38
2.2.4. APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON
ni
ni
xfxfxfxfxfxfxxxxxxniPuntos
210
210
)(
210
)()( 0101 xxaaxP
En donde:x0 : Es la abscisa del punto “0”a0, a1: Constantes por determinar
Si
Consecuentemente tendremos:
39
2.2.4. APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON
01
0110
0
0111
000000
)()()(
xxxfxf
axxxx
xfxPaxx
xfaxfxPaxx
101 , xxfa
)()( 0
0
0101 xx
xxxfxf
xfxP
10001 ,)()( xxfxxxfxP
2. Aproximación por un Polinomio de Segundo Grado
En donde:
x0, x1 : Son las abscisas de los puntos “0” y “1”
a0, a1, a2: Constantes que debemos encontrar
Si:40
2.2.4. APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON
)()()()( 1020102 xxxxaxxaaxP
41
2.2.4. APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON
210011202
120101022
02
01
01
12
02
2
1202
0201
0102
21202
02102222
10101
011
01
01211
00200
,,))()((
)()()()()(
)()(
)()(
))((
)()(
))(()()(
,)()(
xxxfxxxxxx
xxxfxfxxxfxfa
xxxx
xfxfxx
xfxf
a
xxxx
xxxx
xfxfxfxf
axxxx
xxaaxPaxx
xxfaxx
xfxfaxx
axPaxx
xfaxPaxx
Luego tenemos:
GENERALIZACIÓN
En donde:: Son las abscisas de los puntos 0, 1, 2, …, n: Son coeficientes por determinar y están dados por
42
2.2.4. APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON
21010110002 ,,)()(,)()( xxxfxxxxxxfxxxfxP
)(...)()(...)()()()( 110102010 nnn xxxxxxaxxxxaxxaaxP
nxxx ,...,, 10
naaa ...,,, 10
nn xxxfaxxxfaxxfaxfa ,....,,;....;,,;,; 10210210100
Esto es tendremos la siguiente aproximación polinomial
Polinomio de aproximación de Newton
43
2.2.4. APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON
nn
n
xxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxP
,...,,))...()((...,,))((,)()(
1010
210101000
ij
i
n
jjn xxaxP
1
00)(
Ejemplo:Determinar la aproximación polinomial de Newton para lainformación tabular e interpolar para x = 2DIFERENCIAS DIVIDIDAS
44
2.2.4. APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON
Diferencias divididas Puntos
X f[x] 1º dividida 2º dividida 3º dividida
0 1 5614.2
1 5 113 -0.314.5 0.019
2 20 181 0.0811.68
3 40 214
i.e
Observación:
45
2.2.4. APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON
)1(2.1456,)()( 01000101 xxxxxfxfxxaaxP
2.14
457
1556113,
01
0110
xx
xfxfxxf
10210
01001020102
,,,))(()()(
xxxxxxxfxxxxfxfxxxxaxxaaxP
7.7153.12.70521251.0622.14562
2.70122.145625151.012.1456
5.41568
15113181,
51.019
7.9120
2.145.4,,,,
2
1
2
1212
21
02
1021210
PP
xxxxPxx
xfxfxxf
xxxxfxxf
xxxf
i.e
Pero:
Si x=2
46
2.2.4. APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON
31031020103 )( xxxxxxaxxxxaxxaaxP
011.039429.0
14051.0081.0,,,,
,,,
;51.0,,;2.14,;56
03
21032132103
2102101100
xxxxxfxxxf
xxxxfa
xxxfaxxfaxfa
)20)(5)(1(019.0)5)(1(51.0)1(2.1456)(
081.0540
5.468.1,,,,
3
13
2132321
xxxxxxxPxx
xxfxxfxxxf
67.72969.07.71)202)(52)(12(019.0)52)(12(51.0)12(2.1456)2()2( 3
Pf
Ejemplo 1. Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con lossiguientes datos:
Y utilizar la información de dicha tabla, paraconstruir el polinomio de interpolación de Newton.Solución.
47
2.2.4. APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON
Supongamos que la distancia entre dos argumentos (abscisas)consecutivas cualquiera es igual, en toda la función tabular y sea“h”.El polinomio de aproximación de Newton se puede escribir demanera más simple, para nuestro propósito, consideremos otropunto S; definido por:
x: Es el valor que se quiere interpolar. Pero:
48
2.2.5. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE NEWTON EN DIFERENCIASFINITAS: HACIA DELANTE – HACIA ATRÁS
shxx 0
niihxxhxxhxxhxx i ,....,2,1...,,3,2, 0030201
Que ocurre si restamos xi en ambos miembros
Si consideramos el desarrollo general del polinomio de Newton, i.e.:
49
2.2.5. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE NEWTON EN DIFERENCIASFINITAS: HACIA DELANTE – HACIA ATRÁS
)(;....);3();2();1(,...,2,1;
)(
321
00
0
nshxxshxxshxxshxxniPara
ishxxihxshx
xishxxx
n
i
i
))...()((...))(()()( 110102010 nnn xxxxxxaxxxxaxxaaxP
))1()...(1(,...,,..)2)(1(,...,,...
)2)(1(,,,)1(,,,)(
103
10
33210
22101000
nssshxxxfssshxxxf
ssshxxxxfsshxxxfhsxxfxfshxPn
nn
n
O
Observemos que la última relación de aproximación se puedesimplificar si hacemos ingresar los operadores lineales y,conocidos como:
: Operador lineal en diferencias hacia delante: Operador lineal en diferencias hacia atrás
En dondePrimera Diferencia
50
2.2.5. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE NEWTON EN DIFERENCIASFINITAS: HACIA DELANTE – HACIA ATRÁS
n
k
k
i
kkn ishaxP
0
1
0)()(
)(xf
)()()( xfhxfxf
La segunda diferencia
La tercera diferencia
En general:
51
2.2.5. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE NEWTON EN DIFERENCIASFINITAS: HACIA DELANTE – HACIA ATRÁS
)(2 xf
)()(2)2()()()()(
)()())()(()())(( 2
xfhxfhxfxfhxfhxfhhxf
xfhxfxfhxfxfxf
)(3 xf
)()(3)2(3)3()()())()((2)2()2(
)()(2)2())()(2)2(())(( 2
xfhxfhxfhxfxfhxfhxfhhxfhxfhhxf
xfhxfhxfxfhxfhxfxf
))(()( 1 xfxf ii
De manera análoga para el operador lineal de diferencia hacia atrásPrimera Diferencia
Segunda Diferencia
En general:
52
2.2.5. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE NEWTON EN DIFERENCIASFINITAS: HACIA DELANTE – HACIA ATRÁS
)(xf )()()( hxfxfxf
)(2 xf
)2()(2)()2()()()()()())()(())((
hxfhxfxfhxfhxfhxfxfhxfxfhxfxfxf
)(()( 1 xfxf ii
Que ocurre si aplicamos al primer valor funcional f [x0] de una tablaproporcionada.
53
2.2.5. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE NEWTON EN DIFERENCIASFINITAS: HACIA DELANTE – HACIA ATRÁS
3
03
30123
3210
20
2
2012
210
010100
100101
01000
!332)(33
,,,
222
,,
)(1,,)(:
,
hxf
hxfxfxfxfxxxxf
parah
xfh
xfxfxfxxxf
Para
xfh
xxfxxfhxfie
xxfhxxxx
xfxfxfhxfxf
En general:
De manera análoga para el operador de diferencias hacia atrás
Consecuentemente al sustituir en
Es conocido como el polinomio de Newton en diferencia finita haciadelante.
54
2.2.5. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE NEWTON EN DIFERENCIASFINITAS: HACIA DELANTE – HACIA ATRÁS
n
nn
hn
xfxxxf
!
)(,...,, 0
10
nn
n
nn hnxfxxxxf
!)(,,...,, 011
nixxxf n ,...,2,1,0,,...,, 10
)(!
))1()...(2)(1(...!2
)1()( 002
000 xfn
nssssxfssxfsxfshxP nn
Ejemplo:Supongamos que tienen las siguientes tabulaciones:
Aproximar la función tabulada usando el polinomio de Newton endiferencias finitas hacia delante e interpole para 64SoluciónEn este conjunto de datos tenemos que h = 10, el valor porinterpolares 64El valor de s es
55
2.2.5. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE NEWTON EN DIFERENCIASFINITAS: HACIA DELANTE – HACIA ATRÁS
30.5957.5084.4205.3671.3094.24)(1009080706050543210
xfx
Puntos
4.14.110
50640
Sh
xxs
PARA UN POLINOMIO DE PRIMER ORDENPara n = 1
En donde
56
2.2.5. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE NEWTON EN DIFERENCIASFINITAS: HACIA DELANTE – HACIA ATRÁS
17.32)17.5(4.194.24
)( 001
xfsxfxP
17.594.2411.300
01000
xf
xfxfxfhxfxf
03.0
01.0
06.009.008.0
194.085.077.0
73.873.779.594.517.5
30.59100557.5090484.4280305.3670211.3060194.24500
14
04
23
13
03
32
22
12
02
4
3
2
1
0
432
xfxf
xfxfxf
xfxfxfxf
xfxfxfxfxf
xfxfxfxfxfxPunto iiiiii
Es preciso destacar que en realidad se esta extrapolando, pues elvalor de x queda fuera del intervalo de los puntos que se usan paraformar el polinomio de aproximación.Debemos observar que el polinomio de aproximación descrita enfue estructurado considerando x0 como pivote y luego si queremosaplicar para los puntos (1) y (2) debemos modificar así:
57
2.2.5. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE NEWTON EN DIFERENCIASFINITAS: HACIA DELANTE – HACIA ATRÁS
1
1
112
11 !))1()...(1(...
!2)1()( xf
nnsssxfssxfsxfshxfxP n
in
2
11)( xfsxfxP
4.010
60641
hxx
s 49.32)94.5(4.011.30)64( f
Debemos resaltar que si deseamos aproximar con unpolinomio de segundo grado se requieren tres puntos,tendríamos dos alternativas, tomar como puntos (0),(1) y (2) ó (1), (2) y (3), en este caso tomaría la primeraserie por que el valor a interpolar está más al centro,luego tendríamos:
58
2.2.5. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE NEWTON EN DIFERENCIASFINITAS: HACIA DELANTE – HACIA ATRÁS
385.3277.0!2
)14.1(4.1)17.5(4.194.24)64(
4.1;!2
)1()(
2
02
002
P
sxfssxfsxfxP
APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIAEn los ítems anteriores para interpolar entre n+1 puntos seusaron polinomios de grado n, para decir para un conjunto de 8puntos se puede obtener un polinomio de grado 7, pareceráque se llevaba todo correctamente pero sin embargo se teníanresultados erróneos como errores de redondeo y los puntoslejanos.
Una alternativa para mitigar estos errores fue pensarconsiderar polinomios de grado inferior en subconjunto dedatos y a tales polinomios se llamaran funciones segmentarias.
59
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIAPor ejemplo, las curvas de tercer grado usadas para
unir cada par de puntos se llaman segmentariascubicas. Tales funciones d se pueden construir de talmanera que las conexiones entre las ecuacionescubicas adyacentes sean suaves, pareciera que lasaproximaciones de tercer grado de las segmentariasserian inferior a la aproximación de séptimo grado.Veamos algunos gráficos que ilustran mejor la idea.
60
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
.
61
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
x
f(x)
x
f(x)
x
f(x)
x
f(x)
Caso (a) Caso (b)
Caso (c) Caso (d)
En definitiva las figuras plasman mejor laidea de la aproximación segmentaria, lasfiguras de a hasta c representan lasoscilaciones de una función suaveDebemos destacar que esta aproximacióntambién se le llama aproximación spline,en ingles para dibujar curvas suaves através de un conjunto de puntos.
62
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA LINEAL
La unión mas simple entre dos puntos es una recta, lassegmentarias de primer grado para un grupo de datosordenados se define como un conjunto de funciones lineales.
63
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA,,
De donde la pendiente mi de la línea recta que une lospuntos.
Esta relación se usa para evaluar la función de cualquierpunto entre x0 y x1,EjemploDado el siguiente conjunto de datos,
Ajuste con segmentaras de primer orden y evalué la función en x=5
64
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA,,,
x 3 4.5 7 9f(x) 2. 1 2.5 0.5
SoluciónPrimero. Usar los datos para determinar las pendientesentre los puntosPara decir en el intervalo [4.5 ,7] la pendiente calculamos
usando el modelo planteado .n
65
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
El valor en x=5 es 1.3 .
.
66
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
x
f(x)
Segmentaria de primer orden
x
f(x)Segmentaria de Segundo orden
x
f(x)Segmentaria de Tercer orden
Interpolacion cubica
INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA CUADRÁTICAEn esta oportunidad el objetivo de las segmentariascuadrática es obtener un polinomio de segundogrado para cada intervalo en el conjunto de datos,enGeneral el polinomio en cada intervalo se representaasí,
67
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
En donde a, b y c son tres constantes desconocidas yse requieren tres ecuaciones, en el caso que setengan n+1 datos existen n intervalos y por cadaintervalo se requieren tres ecuaciones es decir 3n, sedeben tener en consideración los siguientes criterios.
1. Los valores de la función de polinomiosadyacentes deben de ser guales en los nodosinteriores esta condición lo representamos de lasiguiente manera.
68
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
Para i=2 a n como solo se emplean dos nodosinteriores cada ecuación proporciona n-1 condicionesen total 2n-2 .2. La primera y la ultima función deben de pasar a
través de los puntos extremos esto agrega dosecuaciones mas
69
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
3. Las primeras derivadas en los nodos interioresdeben de ser iguales es decir,
En consecuencia en general tenemos,
para i=2 a n, esto proporciona otras n-1 condiciones.4. Suponga que en el primer punto de la derivadaes cero, esta condición se representa así,a1=0.Esto quiere decir que los dos primeros puntos seunirán con una línea recta.
70
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
Ejemplo. Considerando el conjunto de datos
Ajuste usando segmentarias de segundo grado yestime el valor de x=5SoluciónEn este problema tenemos cuatro datos y n=3intervalos por lo tanto 3(3)=9 incógnitas que debende determinarse, consideran las dos condiciones delprimer criterio es decir 2(3)-2=4 condiciones
71
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
x 3 4.5 7 9
f(x) 2. 1 2.5 0.5
Evaluando las dos condiciones del segundo criterio setienen 2 ecuaciones
72
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
A seguir consideramos la continuidad de lasderivadas la cual crea 3-1=2 ecuaciones esto deltercer criterio.
Por ultimo consideramos el cuarto criterio quedetermina que a1=0, como esta relación nos dice demanera exacta que a1 tiene como valor ceroentonces se reduce a determinar ocho ecuacionessimultaneas.
73
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
Este sistema se puede resolver usando cualquiertécnica analizado y tenemos:
74
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
a1=0 b1=-1 c1=5.5a2=0.64 b2=-6.76 c2=18.465a3=-1.6 b3=24.6 c3=-91.3
Consecuentemente tenemos las siguientesrelaciones para cada intervalo.
Como x=5 usamos f2 para determinar suaproximación
75
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
INTERPOLACIÓN POR SEGMENTARÍAS CUBICASEn esta oportunidad tenemos como objetivo de encontrar un
polinomio de interpolación de tercer grado para cadaintervalo entre los nodos.
Para n+1 datos existen n intervalos en consecuencia 4nincógnitas que debemos evaluar requiriéndose 4ncondiciones para evaluar. Las cuales se obtienen de lassiguientes consideraciones:Los valores de la función deben de ser iguales en los nodosinteriores (2n-2 condiciones)
76
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
•La primera y la ultima función deben pasar a través delos puntos extremos (2 condiciones)•Las primeras derivadas en los puntos interiores debende ser guales (n-1 condiciones)•Las segundas derivadas en los nodos interiores debende ser iguales (n-1 condiciones)•Las segundas derivadas en los nodos extremos sonceros (2 condiciones ) esta condición dice que la funciónen los extremos se vuelve en una línea recta, lo queinduce a que se le llame segmentara natural o lineal.
77
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
Las cinco condiciones anteriores permiten obtener 4necuaciones requeridas para obtener los 4n coeficientes.Para determinar las ecuaciones de la segmentariacubica tenemos la siguiente relación valida para cadaintervalo.
78
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
Esta ecuación solo contiene dos incógnitas las segundasderivadas en los extremos de cada intervalo.Las incógnitas se evalúan usando la siguiente relación.
Si escribimos esta relación para todos los nodosinteriores resultan n-1 ecuaciones simultáneas con n-1incógnitas. No debemos olvidar que las segundasderivadas en los puntos extremos son ceros.
79
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
Ejemplo.Considerando el conjunto de datos
Ajuste usando segmentarias de tercer grado y estime elvalor de x=5SoluciónPrimero: Usaremos la ultima relación llamado @ con lafinalidad de obtener un conjunto de ecuaciones para lassegundas derivadas en los nodos.
80
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
x 3 4.5 7 9f(x) 2. 1 2.5 0.5
pero como por ser segmentaria natural
De manera análoga se aplica al segundo punto interior yobtenemos
Estas dos ecuaciones se resuelven simultáneamente ytenemos
81
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
Valores que serán sustituidos en & junto con los valoresde las x y las f(x),
Esta ecuación es la segmentaria cubica para el primerintervalo de igual manera se obtienen para el segundo ytercer intervalo
82
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
O
Las tres ecuaciones se pueden usar para calcular valoresdentro de cada intervalo.
Por ejemplo x=5 se encuentra dentro del segundointervalo se calcula como sigue
83
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
EJERCICIOS Y APLICACIONES SOBRE INTERPOLACIÓN YAPROXIMACIÓN FUNCIONALDetermine el polinomio que interpolan los siguientes conjuntosde datos: Primer grado, segundo grado, tercer grado, y cuartogrado.
18/12/2013 84
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
I 0 1 2 3 4f(xi) 40 45 50 55 60xi 2 3 5 6 8
I 0 1 2 3 4f(xi) 10 15 20 25 30xi 0 1 2 3 4
.
85
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
I 0 1 2 3 4f(xi) 140 245 450 655 960xi 1 5 10 15 20
I 0 1 2 3 4f(xi) 1 -3 2 4 10xi 3 1 2 6 9
I 0 1f(xi) 3 7xi 5 -1
I 0 1 2f(xi) 146 2 1xi 7 1 2
.
86
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
I 0 1 2 3f(xi) 10 146 2 1xi 3 7 1 1
I 0 1 2 3f(xi) 12 20 50 55xi 3 7 1 2
II Encuentre un polinomio de Interpolación de Lagrange,Diferencias Divididas y Newton.
87
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
I 0 1 2 3
f(xi) 3 2 -4 5
xi 1 2 0 3
I 0 1 2
f(xi) 11 7 28
xi 2 0 3
II Encuentre un polinomio de Interpolación deLaGrange, Diferencias Divididas y Newton.
88
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
I 0 1 2
f(xi) 1 -1 0
xi 0 1 -2
I 0 1 2
f(xi) 10 5 20
xi 2 1 2
III Determinar la interpolación en los puntos dadosusando los dos polinomios :Para el caso (a)X= -1; X =1.5; X = 2.01: X= 0.5; X= 4Para el caso (b)X= -1; X =1.5; X = 2.01: X= 0.5; X= 4Para el caso (c)X= -1; X =1.5; X = 2.01: X= 0.5; X= 3IV: Solucionar las siguientes problemáticas1.- Se conoce que la densidad del carbonato neutro de
potasio en solución acuosa varia en temperatura y ensu concentración de acuerdo a la siguienteinvestigación:
18/12/2013 89
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
.
90
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
T(ºC)
c(%)
0 40 80 100
4 1.0381 1.0276 1.0063 0.9931
12 1.1160 1.1013 1.0786 1.0663
20 1.1977 1.1801 1.1570 1.1451
28 1.2846 1.2652 1.2418 1.2301
a) Calcular la densidad a 40ºC y 15% de concentraciónb) Calcular la densidad a 50º Cy 28% de concentraciónc) Calcular la concentración que tiene una solución dedensidad 1.129 a una temperatura 60ºC2.- Supongamos que se tiene un conjunto de datos,donde e representa los voltios y p los kilowatios en unacurva de pérdida en el núcleo para un motor eléctrico:a) Construir una tabla de diferencias divididasb) Usando el polinomio de Newton de segundo gradoaproxime el valor correspondiente a e = 90 voltios .
91
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
.
3.- Se tiene los siguientes datos tabulados
92
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
I 0 1 2 3 4 5 6
E 40 60 80 100 120 140 160
P 0.63 1.36 2.18 3.00 3.93 6.22 8.59
Puntos 0 1 2 3a = l/r 140 180 220 240y = p/a 12,800 7,500 5,000 3,800
Donde y = p/a es la carga en lb/pul2 que causa laruptura de una columna de hierro dulce con extremosredondeados y a es la razón de la longitud de lacolumna al mínimo radio de giro en su seccióntransversal a = l/rDeterminar el polinomio de tercer grado que pasa porestos puntos en sus distintas formasa) Aproximación polinomial simpleb) Formula de LaGrangec) Aproximación de Newton y Diferencias Divididas.
93
2.2.7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
33
22103 )( xaxaxaaxp
Muchas Gracias
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