View
48
Download
0
Category
Preview:
DESCRIPTION
CENTRO MASSA . Centro massa para um de sistema de 2 partículas Centro massa para várias partículas Centro de massa de corpos contínuos e uniformes Centro de massa e simetrias. CENTRO MASSA . - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
CENTRO MASSA
Centro massa para um de sistema de 2 partículas Centro massa para várias partículas Centro de massa de corpos contínuos e uniformes Centro de massa e simetrias
Na mecânica existem várias situações em que se pode considerar a massa de um corpo, ou mesmo de vários corpos, como se estivesse concentrada em um único ponto. A esse ponto se dá o nome de centro de massa.
CENTRO MASSA
)ext(2212
22
2
)ext(1122
12
1
FFdtxdm
FFdtxdm
CENTRO MASSA PARA UM DE SISTEMA DE 2 PARTÍCULAS
2
2
dtxda (lembrar que a aceleração instantânea de uma partícula é )
)ext(1F
)ext(2F
12F
21F
3
)ext(2
)ext(121122
22
221
2
1 FFFFdtxdm
dtxdm
)ext()ext(2
)ext(12
22
221
2
1 FFFdtxdm
dtxdm
Somando-se as equações termo a termo:
(porque )
)ext(F
Distinguimos FORÇAS INTERNAS ( e ) das FORÇAS EXTERNAS ( e ).
é a força externa resultante. As forças internas se cancelam.
12F
)ext(1F
21F
)ext(2F
2112 FF
onde M=m1+m2 é a massa total do sistema
)ext(2
22112
Fdt
xmxmd )ext(
22
2
221
2
1 Fdtxdm
dtxdm
Definimos:21
2211CM mm
xmxmx
Então: CM2CM
2)ex( Ma
dtxdMF t
4
O sistema se comporta como se toda massa estivesse concentrada no ponto xCM (centro de massa) e a força externa agisse sobre ele.
M
xCM
2CM
2)ex(
dtxdMF t
5
)ex( tF
é a 2a Lei de Newton para um sistema de 2 partículas
Em particular, se 0)ext( F
CM)ex( MaF t ou
cteCMCM vdtdx
Exemplo 1. Calcular o centro de massa dos seguintes sistemas de duas partículas.
21
2211CM mm
xmxmx
(a) 21 mm xxCM
1x 2x
2
21CM m
mxmxx 2
21CM
xxx
x
x1
2x(b) 21 mm
1 xxCM 1
11
21
2211CM
mxm
mmxmxmx
muito pequeno
muito pequeno
CM x
6
Exemplo 2
Exemplo 3
Centro de massa
EXEMPLO 4
9
No caso particular em que
.cteCMCM vdtdx
0F 02
2
dtxda
m = 80 kg m = 60 kg
Exemplo 5. Dois patinadores no gelo (sem atrito com o chão) encontram-se inicialmente a uma distância de 12 m. Eles puxam as extremidades de uma corda até se encontrarem. Em que ponto eles se encontram? O resultado depende das forças exercidas por eles?
Só há forças internas ao sistema o centro de massa tem velocidade constante.
m 1.5m 6080
kg 60m 12kg 800 CM
x
21
2211CM mm
xmxmx
Os patinadores se encontrarão a 5.1 m da posição inicial do patinador da esquerda.
O resultado não depende das forças exercidas por eles uma vez que são forças internas 10
CENTRO DE MASSA PARA N PARTÍCULAS NUMA DIMENSÃO
CENTRO DE MASSA PARA N PARTÍCULAS EM TRÊS DIMENSÕES
N
iiirmM
r1
CM1ou
11
N
NN
mmmmrmrmrmrmr
......
321
332211CM
N
iii
N
NN xmMmmm
xmxmxmx121
2211CM
1
o sistema responde à resultante das forças externas como se a massa total M estivesse toda concentrada no centro de massa.
CMext aMF
)( é a 2ª lei de Newton para um sistema de partículas:
Exemplo 6: Para o sistema de 3 partículas representado na figura, calcule a posição do centro de massa do sistema abaixo:
m 0 m 4 kg 4m 3 m 0 kg 2
m 0 m 0 kg 1
333
222
111
yxmyxmyxm
CM
CM
0×1+ 0×2 + 4×4x = m = 2,3 m1+ 2 + 4
0×1+ 3×2 + 0×4y = m = 0,9 m1+ 2 + 4
12
xdmM
xmM
xN
iiiCM
111
Se um corpo consiste de uma distribuição contínua de massa, podemos dividi-lo em porções infinitesimais de massa dm e a soma transforma-se numa integral:
ydmM
yCM1
zdmM
zCM1
dVdAdl
dm =
: densidade linear de massa
: densidade superficial de massa
: densidade volumétrica de massa
Se o corpo (volume) tiver densidade uniforme: :dVVMdVdm
xdVV
xCM1
ydVV
yCM1
zdVV
zCM1
CENTRO DE MASSA DE CORPOS CONTÍNUOS E UNIFORMES
A massa infinitesimal dm pode pertencer a: um fio, uma superfície ou um volume:
dVr
dVrrrCM
Normalmente, não precisamos calcular estas integrais triplas!
13
CENTRO DE MASSA E SIMETRIAS
Lembrar que o centro de massa de um corpo não é necessariamente um ponto do corpo!
Se um corpo tem um ponto, uma linha ou um plano de simetria, o centro de massa m situa-se nesse ponto, linha ou plano.
CM
Centro de simetria
Linhas de simetria
Planos de simetria
CM
14
15
Exemplo 7
Recommended