Chương 2:
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Nội dung
• Phương trình vi phân cấp 1 PT cĩ biến phân ly PT đẳng cấp cấp 1 PT vi phân tuyến tính cấp 1 PT bernoulli
• Phương trình vi phân cấp 2 Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính Phương trình Euler- Cauchy
• Ứng dụng phân giải quá trình quá độ của mạch điện
Phương trình vi phân cấp 1
• Dạng tổng quát:
Nghiệm: Nghiệm tổng quát: y=f(x)+C Nghiệm riêng: y=f(x)+C0
Phương pháp giảiptvp cấp 1 có biến phân ly
Ví dụ
Tìm nghiệm của phương trìnhy’= 1+x2+y2+x2y2; với y(0)=1
Phương pháp giảiptvp đẳng cấp cấp 1
Ví dụ
• Tìm nghiệm của phương trình
yxyxhay
yxyx
dxdy
2
52y' 2
52
Cxzzzz
)ln()2ln(4)1ln(321
• Bước 4: Tìm nghiệm y bằng cách giải phương trình : y=x.z
xyxy
Cxyxy
xyxy
Cxx
xyx
xy
xyxy
Cxxy
xy
xzy
2
)ln(3)2ln(4
2
)ln()ln(3)2ln(4
.2.1
)ln()2ln(4)1ln(3
.
Phương pháp giảiptvp tuyến tính cấp 1 thuần nhất
Phương pháp giảiptvp tuyến tính cấp 1 không thuần nhất
Ví dụ
• Giải phương trình y'+ tan(x).y = cos2(x) cho y(0)=2.
Phương pháp giảiPT Bernoulli
Phương trình vi phân cấp 2
• Dạng tổng quát:
PTVP cấp 2 giảm cấp được
Phương pháp giảiptvp cấp 2 không chứa y
Ví dụ
• Giải phương trình y’’=(y’)2
Phương Pháp giảiptvp cấp 2 không chứa x
Ví dụ
• Giải phương trình : y''+(y')3 .y=0
PTVP tuyến tính cấp 2
Phương pháp giảiptvptt hệ số hằng
Ví dụ
Tìm nghiệm với các điều kiện đầuy’’ + 2y’ + 2y = 0
Với y(π/4) = 2, y’(π/4) = -2
Nghiệm ptvp tuyến tính cấp 2 không thuần nhất
PTVPTT cấp 2 không thuần nhất hệ số hằng
• Dạng ptvp tuyến tính cấp 2 không thuầnnhất hệ số hằng
Phương pháp giảiptvp tuyến tính cấp 2
không thuần nhất hệ số hằng
Ví dụ
Tìm nghiệm riêng của phương trình:y’’- 3y’- 4y = 3e2x + 2sin(x)
PT Euler - Cauchy
Phương pháp giảiPhương trình Euler- Cauchy
Ứng dụng phương trình vi phânphân giải mach điện
Mạch điện Phân tíchmạch điện
Phươngtrình vi phân Kết quả
Ứng dụng phương trình vi phânphân giải mach điện
• Dạng phương trình sau khi phân giảimạch điện:
Dạng nghiệm:
Ứng dụng phương trình vi phânphân giải mach điện
Tìm ytd (đáp ứng tự do)
Ứng dụng phương trình vi phânphân giải mach điện
Tìm ycb (đáp ứng trạng thái thường trực)
Ví dụ
• Xét mạch như hình II.1. Ở thời điểm t=0, mở đồng thời K1 và K2. Tìm iL(t) và uc(t). Giả thiết e(t) = E0.cosω0t, E0 > 0
CLR
RCLR 1
0