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CIRCONFERENZA
TEORIA
PROPIETA' – PROBLEMI RISOLTI
CIRCONFERENZA.- E' L'INSIEME INFINITO DEI PUNTI DEL PIANO EQUIDISTANTI DA UN PUNTO DETTO CENTRO DELLA CIRCONFERENZA
ELEMENTI DI UNA CIRCONFERENZA
A B
M
N
Rettatangente
Rettasecante
Freccia o sagitta
DiametroAB( )
Centro
T
Punto di tangenza
Q
P
Raggio
Arco BQ
Corda PQ
PROPRIETA' FONDAMENTALI
01.- Il raggio che ha un estremo sul punto di tangenza è perpendicolare alla retta tangente.
RL
LR
02.- Il raggio o il diametro perpendicolari a una corda la bisecano (la dividono in due segmenti congruenti).
P
Q
M
N
R
MQ PM PQ R
03.-Corde parallele determinano archi congruenti compresi fra le parallele.
A B
C D
BDAC CD // AB : Se
04.- A corde congruenti in una stessa circonferenza corrispondono archi congruenti.
A
B
C
D
Corde congruentiArchi congruenti
Le corde sono equidistanti dal
centro
CD AB CD AB : Se
POSIZIONI RELATIVE DI DUE CIRCONFERENZE
01.- CIRCONFERENZE CONCENTRICHE.- Hanno lo stesso centro.
r
R
d = distanza fra i centri ; d : pari a zero d = distanza fra i centri ; d : pari a zero
R
r
Distanza frai centri (d)
02.- CIRCONFERENZE ESTERNE.- Non hanno punti in comune.
d > R + rd > R + r
R r
d = R + r d = R + r
03.- CIRCONFERENZE TANGENTI ESTERNAMENTE.- Hanno un punto in comune che è il punto di tangenza.
r
R
R r
Punto di tangenza
Distancza frai centri (d)
d
R
d = R - rd = R - r
04.- CIRCONFERENZE TANGENTI INTERNAMENTE.- Hanno un punto in comune che è il punto di tangenza.
d: Distanza fra i centri
R
r
Punto di
tangenza
05.- CIRCONFERENZE SECANTI.- Hanno due punti comuni che sono i punti d'intersezione.
R r
( R – r ) < d < ( R + r )( R – r ) < d < ( R + r )
Distanza frai centri (d)
06.- CIRCONFERENZE ORTOGONALI.- I raggi sono perpendicolari nel punto d'intersezione.
d2 = R2 + r2d2 = R2 + r2
Distanza frai centri (d)
rR
06.- CIRCONFERENZE INTERNE.- Non hanno punti comuni.
R r
d
d < R - rd < R - r d: Distanza fra i centri
1.- Da un punto esterno a una circonferenza si possono disegnare due rette tangenti che determinano due segmenti congruenti. Nel punto di tangenza, il raggio risulta perpendicolare alla tangente.
PROPIETA' DELLE TANGENTI
AP = PBAP = PB
A
B
P
R
R
2.- TANGENTI ESTERNE COMUNI.- segImenti AB e CD sono congruenti
AB = CDAB = CD
A
B
C
D
R
Rr
r
3.- TANGENTI INTERNE COMUNI.- I segmenti AB e CD sono congruenti.
AB = CDAB = CD
A
B
C
DR
R
r
r
TEOREMA DI PONCELET.- In tutti i triangoli rettangoli, la somma dei cateti è uguale alla lunghezza dell'ipotenusa più il doppio del raggio inscritto. Poichè l'ipotenusa è uguale al doppio del raggio della circonferenza circoscritta, allora la somma dei cateti è uguale al doppio della somma del raggio inscritto e di quello circoscritto.
a + b = c + 2r a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r ) a + b = 2 ( R + r )
a
b
c
r
R R
Raggio inscritto
Raggio circoscritto
TEOREMA DI PITOT.- In tutti i quadrilateri circoscritti a una circonferenza, accade che la somma delle lunghezze dei lati opposti è uguale.
a + c = b + d a + c = b + d
d
a
b
c
Quadrilatero circoscritto
1.- MISURA DELL'ANGOLO AL CENTRO.- E' uguale alla misura dell'arco che gli si oppone.
A
B
C
r
r
= AB = AB
A
C
B
D
2.- MISURA DELL'ANGOLO INTERNO.- E' uguale alla semisomma delle misure degli archi opposti
2
CDAB
A
B
C
3.- MISURA DELL'ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA ( INSCRITTO ).- E' la metà della misura dell'arco opposto.
2
AB
4.- MISURA DELL'ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA ( SEMI-INSCRITTO ).- E' uguale alla metà dell'arco opposto.
A
B
C
2
AB
A
BC
2
ABC
1.- MISURA DELL'ANGOLO ESCRITTO.- E' uguale alla metà della misura dell'arco ABC.
A
B
C O
6.-ANGOLI ESTERNI.- Si distinguono tre casi :
a.- Misura dell'angolo formato da due rette tangenti la circonferenza.- E' uguale alla semidifferenza delle misure degli archi opposti.
+ AB = 180° + AB = 180°
2
mAB - mACB
A
B
C
O
D
b.- Angolo formato da due rette secanti.- E' uguale alla semidifferenza della misura degli archi opposti.
2
CD -AB
A
B
C
O
c.- Misura dell'angolo formato da una retta tangente e da una secante.- E' uguale alla semidifferenza della misura dei due archi opposti.
2
BC - AB
50°70º+x
XR
S
Q
140°
2X
X + (X+70) + 50° = 180°
X = 30°X = 30°
Per l'angolo escritto PQS
Problema Nº 01
RISOLUZIONE
P
xx
AngoloPQS
º702
2º140Sostituendo:
Nel triangololo PQS:
Risolvendo l'equazione:
PSQ = xSi disegna la corda SQ 2
QRSAngoloPQS
Dal punto “P” esterno a una circonferenza si disegnano la tangente PQ e la secante PRS. Se RS misura 140º e l'angolo QPS misura 50º, calcola la misura dell'angolo PSQ.
20°
70°X
X = 40°X = 40°R
Q
H
Nel triangolo rettangolo RHS
140°Si tratta di proprietà che porta
a:
140° + X = 180°
Per l'angolo inscritto si ha
Problema Nº 02
RISOLUZIONE
P
S
L'angolo S = 70º
Risolvendo:
PSQ = x
2º70QR
QR = 140°
Da un punto “P” esterno a una circonferenza si hanno le due rette tangenti PQ y PR. Sull'arco maggiore QR si pone un punto “S”, si traccia la RH perpendicolare alla corda QS. Se l'angolo HRS=20º, quanto misura l'angolo QPR?
x130°
A
C
B
DX = 40°X = 40°
2
50 130X
50°
Problema Nº 03
RISOLUZIONE
PRisolvendo:
APD = xMisura dell'angolo interno
Misura dell'angolo esterno
902
130 BCBC = 50°
Da un punto “P” esterno a una circonferenza si disegnano le secanti PBA e PCD tali che le corde AC e BD siano perpendicolari fra loro; calcola la misura dell'angolo APD quando l'arco AD misura 130º.
x
X = 18°X = 18°
2
X 54X
M
N
54°
xx
Problema Nº 04
RISOLUZIONE
PAB
APN = xSi disegna ioil raggio OM:
o
Dati: OM(raggio) = PM
Allora il triangolo PMO è isoscele
L'angolo al centro è uguale all'arco
Misura dell'angolo esterno
Risolvendo:
In una circunferenza, il cui diametro AB si prolunga fino al punto “P”, dal quale si disegna una retta secante PMN tale che la lunghezza di PM sia uguale al raggio. L'arco AN misura 54º. Qual è la misura dell'angoloAPN?
x
70°
Misura dell'angola inscritto:
X = 55°X = 55°
2
110X
A
B
C
PQ
R
110°
Problema Nº 05
RISOLUZIONE
PRQ = x
Per la propietà dell'angolo esterno formato da due tangenti:
Risolvendo:
70° + PQ = 180° PQ = 110°
In un triangolo ABC si inscrive una circonferenza. Essa è tangente i lati AB, BC e AC nei punti “P”, “Q” e “R”. Se l'angolo ABC è di 70º, quanto misura l'angoloPRQ?
Calcola la misura dell'angolo “X”.
Problema Nº 06
70°
B
A
X P
Risoluzione
RISOLUZIONE
Per la propietà dell'angolo esterno formato da due tangenti:
Misura dell'angolo inscritto:
70°
B
A
X PC
140º
140º + x = 180º Risolvendo: X = 40º
2º70AB
AB=140º
Calcolare la misura dell'angolo “x”
Problema Nº 07
B
A
X P130º
Risoluzione
RISOLUZIONE
B
A
X P130º C
Misura dell'angolo inscritto:
Nella circonferenza:
260º
Per la propietà dell'angolo esterno formato da due tangenti:
X = 80º
2º130AB
AB = 260º
ACB = 100º
ACB + x = 100º
260º + ACB = 360º
Calcula il perímetro del triangolo ABC.
Problema Nº 08
2
5 5A
B
C
Risoluzione
Teorema di Poncelet: a + b = 10 + 2(2)
Allora il perimetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10
(2p) = 24
RISOLUZIONE
2
5 5A
B
C
a b
a + b = 14 (1)(2)
Sostituendo la (1) nella (2)
(2p) = 14 + 10
X
Disegno
Q
R
S
80º Pa
a
Problema Nº 09
Dal punto “P” esterno alla circonferenza si disegna la tangente PQ e la secante PRS in modo che gli archi SQ e SR siano congruenti.
Se l'arco QR misura 80º, qual è l'ampiezza dell'angolo QPR .
Risoluzione
2a + 80º = 360º a = 140º
Misura dell'angolo esterno:
Xa
80
2
140 80
2
º º ºX = 30º
Nella circonferenza:
Risoluzione
X
Q
R
S
80º Pa
a
P
Q
R
S
2
3
Disegno
Problema Nº 10In un quadrilatero ABCD con angoli Q = S = 90º si disegna la diagonale PR. I raggi inscritti dei triangoli PQR e PRS misurano 3cm e 2cm rispettivamente. Se il perimetro del quadrilatero PQRS è 22cm, qual è la lunghezza di PR
Risoluzione
Teorema di Poncelet:
a b
cd
PQR a + b = PR+2(3) +
a +b + c + d = 2PR + 10
PR = 6cm
Dato:
a + b + c + d = 22cm
PSR c + d = PR+2(2)
22 = 2PR + 10
Risoluzione
P
Q
R
S
2
3
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