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Detalles de circuitos
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TECNICATURA EN INFORMATICA UNLAR - CHEPES LOGICA COMPUTACIONAL
LIC. CONTRERAS, PAMELA
UNIDAD N 4:
CIRCUITOS LOGICOS
1. INTRODUCCION
Se ha visto que una computadora digital es una maquina lgica
fundamentalmente secuencias, que procesa informacin de tipo binario. Si la
computadora es electrnica, esta codificacin binaria o codificacin de dos
estados se materializa mediante seales elctricas de dos niveles muy
distintos, tomndose un nivel de tensin para el estado 1 y otro nivel de tensin
para el estado 0.-
Como tal, una computadora estar compuesta por una compleja red de circuitos
lgicos combinacionales y secuenciales. Veamos a cada uno de estos circuitos
como bloques funcionales diseados para cumplir determinadas funciones con
un determinado nmero de entradas y salidas.-
El valor de cada una de estas entradas y salidas solo podrn tomar un nivel de
tensin entre dos distintos preestablecidos, de manera tal que consideremos
a cada uno como variable o proposicin lgica. Asi, se dira que una variable es
verdadera si su valor es 1, y falsa si su valor es 0(lgica positiva).
De tal modo que para el diseo de circuitos nos valdremos del Algebra de Boole
que ha sido definida para toda clase o conjunto de elementos que pueden tomar
nicamente dos valores o estados perfectamente diferenciados, que
designaremos por 0y 1 y que estn relacionados por tres operaciones lgicas
denominadas suma lgica o unin(+), el producto lgico o interseccin(.) y
la complementacin o negacin que representan las propiedades estudiadas
en clases tericas.
En base a esto, podemos decir que una variable lgica F es una funcin de otras
variables lgicas A,B,C,, N, cuando sus valores o estados estn definidos en
base a los valores de cada una estas variables y a operaciones lgicas:
E1
E2
E3
S1
S2
S3
Entradas Salidas
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LIC. CONTRERAS, PAMELA
Por ejemplo:
F=A.B.C. + .B.C.D. + B.C
As, podemos definir funciones de las tres operaciones lgicas del algebra de
Boole:
a) Producto Lgico o Funcin Interseccin: F(A,B,,N) = A.B.C.N
Que se lee:
F es igual a A y B y . y N o
F es verdadera cuando A y B y y N tambin lo son, o
F= 1 solo si A=B==N=1
b) Suma Lgica o Funcin Unin: F(A,B,,N) = A+B+C+..+N
Que se lee:
F es igual a A o B o . o N o
F es verdadera cuando A o B o o N tambin lo son, o
F= 0 solo si A=B==N=0
c) Complementacin o Negacin o Funcin Inversa: Esta es una funcin de una sola variable:
F(A) =
Que se lee:
F(A) es igual a A negado o inversa de A o Complemento de A o
F (A) es verdadera cuando A es falsa, o
F(A)= 1 solo si A=0; F(A)=0 solo si A=1
Entonces, como hemos visto, toda funcin lgica puede escribirse como una
expresin compuesta por tres funciones, por lo que se las denomina funciones
bsicas o fundamentales. Estas funciones se pueden materializar mediante el
diseo (e implementacin) de diversos circuitos electrnicos, que para nosotros
solo constituirn bloques funcionales, es decir, verdaderas cajas negras de las
que conocemos su funcionamiento pero no su constitucin interna.
As, a cada una de estas funciones bsicas o fundamentales de N variables
podemos esquematizarlas con los siguientes bloques funcionales:
Circuito
electrnico
que realiza
el producto
lgico
A
B
N
F=A.B.N
Circuito
electrnico
que realiza
la suma
lgica
A
B
N
F=A+B++N
Circuito
electrnico
que realiza
la negacin
lgica
A F=
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Las cuales se presentan mediante los siguientes smbolos adoptados
internacionalmente y a los que denominamos compuertas lgicas:
Como estas tres compuertas lgicas pueden implementarse circuitalmente
cualquier funcin lgica, de tal manera que sern utilizados como los elementos
bsicos para la realizacin de cualquier circuito lgico ya sea combinacional o
secuencial.
Veamos un ejemplo: implementar la funcin F= A.B.(C+D)
En donde se ha representado con una lnea de trazos el bloque funcional con sus
respectivas entradas y salidas (en este caso una sola) y dentro de este su
implementacin circunstancial o diagrama lgico. Las entradas son variables
lgicas y la salida una funcin lgica de estas entradas, y sus valores se
corresponden con proposiciones como hay tensin en A(A=1) o no hay tensin
en F (F=0) si adoptamos una lgica positiva.
Una funcin lgica de N variables queda completamente definida expresando
los valores que toma la misma (1 o 0) para cada una de las 2N combinaciones
posibles de los valores de las N variables de las cuales depende.
Esto se expresa en la forma de una tabla o lo que se llama tabla de verdad. El
siguiente cuadro muestra la tabla de verdad de una funcin de tres variables:
N A B C F
7 1 1 1 1
6 1 1 0 1
5 1 0 1 0
4 1 0 0 1
3 0 1 1 1
2 0 1 0 0
1 0 0 1 1
0 0 0 0 0
Compuerta AND Compuerta OR Compuerta NOT
A
B
C
D (C+D)
F=A.B.(C+D)
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A partir de esta tabla de verdad podemos deducir la expresin algebraica
cannica de esta funcin en forma muy simple. Recordar que se llama termino
cannico de una funcin lgica a todo producto (miniterm o mini trmino) o
suma (maxterm o maxi trmino) en el cual aparecen todas las variables en su
forma directa o inversa.
En la primer columna de la tabla se coloca el numero decimal equivalente al
binario natural de cada combinacin de acuerdo a los pasos dados (este
identificara numricamente a cada minitrmino de la funcin) en suma de
productos o en productos de sumas.
Ahora bien, observemos que, fsicamente, cada una de las combinaciones de las
variables de entrada se presentaran en distintos instantes de tiempo ( es
decir, que obviamente no pueden presentarse todas simultneamente), por lo
que podemos expresar que F ser verdadera (es decir F=1 asumiendo lgica
positiva) cuando: se presenta la combinacin N 1 o(suma lgica) la
combinacin N 3 o la combinacin N 4 o la combinacin N 6 o la
combinacin N 7.-
F= (combinacin N 1) + (combinacin N 3) +(combinacin N 4)
+(combinacin N 6) + (combinacin N 7)
Analicemos ahora como expresar las combinaciones. Veamos una de ellas, por
ejemplo la primera:
F es verdadera (F=1) cuando simultneamente:
A=1 (A) y (producto lgico) B=0(B) y C=0 (C)
De tal manera que:
(Combinacin N 1) = A.B.C = minitermino 1
(Combinacin N 3) = A.B.C = minitermino 3
Y concluyendo Expresin algebraica de F en forma de suma de productos
O tambin:
F= (combinacin N 1) + (combinacin N 3) +(combinacin N 4)
+(combinacin N 6) + (combinacin N 7)
F= .B.C + .B.C + A.B. + A.B. + A.B.C.
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Que en forma abreviada se coloca como:
Expresin cannica como suma de productos
Aplicando el mismo razonamiento, podemos hallar la expresin algebraica
cannica de la funcin inversa F, diciendo que F ser falsa(es decir F=0) cuando
.
Y llegando a:
Ahora, negando ambos miembros de la expresin (se mantiene la igualdad):
Expresin algebraica cannica de F como producto de sumas
Que en forma abreviada se coloca como:
Ntese que el procedimiento inverso es totalmente valido, es decir partiendo
de una expresin algebraica cannica o no de una funcin, ya sea en forma de
suma de productos o productos de sumas, se puede deducir su tabla de verdad
en forma muy simple. Por ejemplo, la expresin algebraica no cannica F(A,B,C)
= AC + A.(B + B C) coincide(se corresponde) con la tabla de verdad que hemos
usado en este ejemplo; si trabajamos algebraicamente esta expresin,
aplicando las propiedades del Algebra de Boole vistas podemos obtener las
expresiones algebraicas cannicas de la funcin (ejercitacin propuesta para el
alumno), y a partir de esta llegar a su tabla de verdad (ejercitacin a
realizarse en las clases prcticas). El objetivo de este prctico es introducir al
alumno en el diseo de sistemas lgicos combinacionales, entendindose por
esto un sistema en el que en cada instante el estado lgico de sus salidas
depende nicamente del estado de sus entradas. En base a esta definicin
F = (1,3,4,6,7)
F= .B. + .B. + A.B.C
F= .B. + .B. + A.B.C
F= (.B.).(.B.) .(A.B.C)
F= (A+B+C) . (A+B+C) . (+B+)
F = (2,5,7)
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N A B C F
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1
0
0 1
observamos que un sistema combinacional es realmente una funcin lgica y por
lo tanto puede ser representada mediante una tabla de verdad o mediante las
expresiones cannicas algebraicas o numricas. El diseo de estos sistemas,
entonces, se inicia mediante la obtencin de las tablas de verdad que surgen a
partir de las especificaciones que indican los valores que deben tomar la o las
funciones (salidas del sistema) para cada una de las combinaciones de los
valores de las variables de entrada de las cuales depende. De las tablas de
verdad se deducen las expresiones cannicas, a partir de las cuales se realizar
la simplificacin y por ltimo la implementacin a travs del diseo de los
diagramas lgicos con compuertas (corresponde a la segunda parte del
prctico).
EJERCICIOS
1- Dada la siguiente tabla de verdad:
a) Obtener la expresin cannica de F como suma de
productos.
b) Obtener la expresin cannica de F como producto de
Sumas.
c) Reducir las expresiones obtenidas utilizando las
propiedades del Algebra de Boole.
d) Disear los circuitos lgicos de ambas expresiones
reducidas utilizando los tres operadores bsicos
(compuertas AND, OR y NOT)
2- Una funcin de tres variables F(A,B,C) toma el valor cero cuando la
variable B se encuentra en estado uno y la variable A no est en el
estado uno. En los dems casos posibles F toma el valor uno.
a) Realizar la tabla de verdad de la funcin.
b) Obtener las formas cannicas suma de productos y producto de
sumas.
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Esta funcin no est cannica, debo agregarle
variables, pero equilibrando la funcin para no
cambiar su valor de verdad
PRACTICO N 3:
ALGEBRA DE BOOLE
Ejercicio N 1:
Definir funciones Fi:
F1(A,B,C,) = A.B + A.B.C
Sean: A = la pelcula es buena
B = est lloviendo
C = tengo paraguas
Estas proposiciones permiten definir distintas funciones que se corresponden con la
proposicin compuesta: voy al cine
a) F1(A,B,C,) = A.B + A.B.C se lee: voy al cine (F1=1) si: la pelcula es buena (A=1) y no est
lloviendo (B=0), o bien, si la pelcula es buena (A=1) y esta lloviendo (B=1) y tengo paraguas
(C=1)
b) F2(A,B,C,) = B + B.A
c) F3(A,B,C,) = A . C + A . B
d) F4(A,B,C,) = 1
Ejercicio N 2:
Obtener las expresiones algebraicas suma de productos cannicos de las siguientes funciones
booleanas:
a) F(A,B,C) = A . B + A . B. C + A . B
b) F(A,B,C) = ( A + B + C) . (A + B) . (B + C)
c) F(A,B,C) = A + B + A . B . C + A . (B + C)
d) F(A,B,C) = (A + B) . (C + A)
e) F(A,B,C) = (A + A . B + C . D)
f) F(A,B,C) = A .B . C + A . B . C
g) F(A,B,C) = ( A + B) . (B + C)
h) F(A,B,C) = [ A . B + C . ( A + B) ] . ( B + C)
Ejercicio N 3:
Hallar la tabla de verdad de las funciones booleanas del ejercicio anterior
Ejercicio N 4:
Dada la siguiente tabla de verdad:
A. Obtener la expresin algebraica de F como suma de productos cannicos
B. Reducir la expresin utilizando las propiedades del algebra de Boole
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A B C F
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
Ejercicio N 5:
Una funcin de tres variables F(A, B, C) toma el valor 0 cuando la variable B se encuentra en
estado 1 y la variable A no est en el estado 1. En todos los dems casos posibles F toma el
valor 1.
A. Realizar la tabla de verdad de la funcin
B. Obtener las expresiones algebraicas suma de productos cannicos para cuando la funcin
vale 1 y para cuando la funcin vale 0.
Ejercicio N 6:
Hallar la tabla de verdad de las siguientes funciones (aplicar las propiedades del Algebra de Boole):
a) F = AB + ABC +AB
b) F = (A+B+C) (A+B) (B+C)
c) F = A+B + ABC + A.(B+C)
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SIMPLIFICACION DE FUNCIONES LOGICAS
MAPA DE KARNAUGH
Simplificar una funcin lgica implica obtener una expresin equivalente
(ya sea en forma de suma de productos, o productos de sumas) que tenga un
nmero mnimo de trminos y en donde cada trmino est formado por el menor
nmero posible de variables. El criterio que adoptaremos ser partir de la
forma cannica correspondiente y aplicar de forma sistemtica y adecuada el
siguiente procedimiento:
Supongamos una expresin suma de productos cannicos de 4 variables
A B C D + ABCD + ABCD + A B C D =
En un primer paso tomamos a :
A C D como factor comn de los dos primeros trminos
A C D como factor comn de los dos ltimos trminos
De modo que:
. = A C D (B + B) + ACD (B + B) = A C D + ACD = .
En un segundo paso tomamos a CD como factor comn de la expresin
resultante, obteniendo:
. = CD (A + A) = CD
Siendo esta la expresin final, ya que no se puede suprimir en ella ningn
trmino ni eliminar variables. A esta la llamamos expresin irreducible.
Notemos que podramos haber tomado otra combinacin o agrupacin de
trminos para su simplificacin, por ejemplo, el 2do termino con el
3ro(eliminando la variable A) y el 1ro con el 4to(eliminando tambin la variable
A), y luego en un segundo paso eliminar la variable B.
Esto es:
B D + B D + A B D + A B D = .
. = BD( + A) + BD( + A) = BD + BD = ..
.. = D(B + B) = D
Hay veces que el tomar distintas agrupaciones nos lleva a distintas expresiones
irreducibles.
El mismo procedimiento se aplica a una expresin Producto de Sumas Cannicas.
Veamos un ejemplo para 4 variables:
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(+B+C+D) . (+B+C+D) . (A+B+C+D) . (A+B+C+D) = .
Tomando (+C+D) factor comn de los dos primeros trminos
y (A+C+D) factor comn de los dos ltimos trminos
.. =(+C+D) + (BB) (A+C+D) + (BB) = (+C+D) (A+C+D) = ..
Tomando ahora (C+D) factor comn de estos dos trminos
.. = (C+D) + ( A) = (C+D) expresin final irreducible.
As, en el primer paso de cada uno de estos ejemplos hemos logrado reducir 4
trminos de 4 variables a 2 trminos de 3 variables cada uno, y en el segundo
paso, de este par de trminos de 3 variables a un solo termino de 2 variables,
siendo esta expresin irreducible.
En definitiva, henos reducido una expresin de 4 trminos cannicos de 4
variables a un solo termino de 2 variables.
De la aplicacin de este procedimiento observamos que:
Las reducciones obtenidas se ha conseguido agrupando trminos
cannicos lgicamente adyacentes (aquellos que difieren solamente por el
estado de una de las variables) y eliminando la variable en que difieren
Podemos resumir esto expresando que la suma de dos productos cannicos
lgicamente adyacentes(o el producto de dos sumas cannicas lgicamente
adyacentes) se reduce a un nico producto(o suma) en el cual se ha suprimido la
variable en que difieren.
Entonces, partiendo de una expresin algebraica cannica y aplicando
sistemticamente este procedimiento se logra reducir al mnimo cualquier
expresin lgica, ya sea que este expresada como Suma de Productos o
Producto de Sumas.
En base a este procedimiento descripto y para simplificar su aplicacin, se
idearon los mtodos tabulares que constituyen una forma grafica de
representar la tabla de verdad de una funcin lgica
Emplearemos las tablas o mapas de Karnaugh, que consiste en grficos
reticulares en donde cada retcula o casilla se corresponde con cada una de las
2n combinaciones posibles de los valores o estados de las n variables de la tabla
de verdad de una funcin. Cada una de estas combinaciones se disponen dentro
del mapa de forma tal que los trminos cannicos lgicamente adyacentes se
encuentren fsicamente contiguos, y por lo tanto sea muy sencillo realizar las
agrupaciones que permiten reducir al mnimo la funcin. En la siguiente figura
se muestra la correspondencia entre una tabla de verdad para una funcin de 3
variables y su mapa de Karnaugh.
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Analicemos esta correspondencia:
En la primer columna de la tabla de verdad se ha colocado el numero decimal
equivalente al binario natural de cada combinacin (este identificara
numricamente a cada combinacin, sea que corresponda numricamente a un
mini-termino o maxi-trmino de una funcin segn se trate de una expresin
algebraica Suma de Productos o Producto de Sumas respectivamente)
Cada casilla del mapa corresponde aun termino cannico (mini-termino o maxi-
termino), cuya identificacin numrica indica en el vrtice inferior derecho. En
la figura se ha introducido en cada casilla, a modo de ejemplo aclaratorio, el
estado de las variables para cada una de las combinaciones de la tabla de
verdad; de esta forma podemos comprobar fcilmente que las casillas que
tienen un lado comn (fsicamente adyacentes) corresponden a trminos
cannicos lgicamente adyacentes. Adems, las casillas de las fila superior son
adyacentes a las respectivas de la fila inferior (ver un mapa de 4 variables), y
las columnas de la izquierda a las de la columna derecha.
Adems se ha indicado, por fuera del mapa, las zonas conformadas por
columnas o filas de casillas que corresponden a trminos cannicos en donde
una variable mantiene su estado. La definicin de estas zonas de variables
facilitar luego la generacin de las expresiones algebraicas correspondientes
a cada encirculamiento o agrupamiento.
N A B C
7 1 1 1
6 1 1 0
5 1 0 1
4 1 0 0
3 0 1 1
2 0 1 0
1 0 0 1
0 0 0 0
AB Zona
B=0
00
Zona B= 1
01 11
Zona
B=0
10
0 000
0 010
2
110
6
100
4
Zona
de
C=0
1 001
1 011
3
111
7
101
5
Zona
de
C=1
Zona de
A=0
Zona de
A=1
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Entonces, para obtener la mnima expresin algebraica de una funcin aplicando
el procedimiento ya visto, se introduce un 1 en cada casilla del mapa que
corresponda con un termino cannico de la funcin. Luego debern encircular o
agrupar todos los unos que se encuentren en casillas adyacentes, solo en
grupos de 2n (grupos de 1, 2, 4, 8). Se deber realizar la menor cantidad de
encirculamientos posibles (lo que implica la menor cantidad de trminos de la
expresin resultante) y en donde cada encirculamiento encierre a la mayor
cantidad posible de unos (lo que implica la menos cantidad posible de
variables).
El procedimiento sistemtico para realizar el encirculamiento y generar la
expresin algebraica mnima, se ver en la resolucin de los ejercicios de la
prctica.
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PRACTICO N 4:
CIRCUITOS LOGICOS
Ejercicio N 1:
En los siguientes mapas de karnaugh se han introducido los unos
correspondientes a los productos cannicos de las expresiones algebraicas de
distintas funciones de 4 variables. Hallar para cada funcin:
La expresin algebraica cannica.
La tabla de verdad
La expresin algebraica mnima.
AB 00 01 11 10
00 1 1 1
01
11 1 1 1 1
10 1 1 1
AB 00 01 11 10
00 1 1
01 1 1 1
11 1 1
10 1 1
AB 00 01 11 10
00 1 1
01 1 1 1
11 1
10 1 1 1
AB 00 01 11 10
00 1 1 1 1
01 1 1
11 1 1
10 1 1 1 1
CD CD
CD
CD
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Ejercicio N 2:
En los siguientes mapas de karnaugh se han introducido los ceros
correspondientes a los productos cannicos de las expresiones algebraicas de
distintas funciones de 4 variables. Hallar para cada funcin:
La expresin algebraica cannica
La tabla de verdad
La expresin algebraica mnima
a) - Ejercicio Resuelto:
AB 00 01 11 10
00 1
01 1
11 1 1 1
10 1 1
A B C D F
0 0 0 0 1
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
A B C D F
1 0 0 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 1
1 1 1 1 0
AB
00 01 11 10
00 0 0
01 0 0 0
11 0 0
10
CD
CD
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F = B . C + A .D, negando ambos mientras de la expresin y operando:
F = B . C + A .D F = (B . C) . ( A . D) F = (B + C) . (A + D)
b)
AB 00 01 11 10
00 0 0
01 0 0 0
11 0
10 0 0 0
c)
AB 00 01 11 10
00 0 0 0
01 0
11 0
10 0 0
d)
AB 00 01 11 10
00 0
01 0 0 0 0
11 0 0
10 0
Ejercicio N 3:
Dada la tabla de verdad de una funcin F(A,B,C) se pide hallar la expresin
mnima de la funcin e implementarla usando compuertas lgicas AND, OR y
NOT.
A B C F
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
CD
CD
CD
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1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
Ejercicio N 4:
Dada la tabla de verdad de un circuito lgico de 4 entradas (A,B,C,D) y 3
salidas (F1, F2, F3), se pide:
a) Obtener las expresiones algebraicas suma de productos cannicos para
cada una de las salidas del circuito
b) Minimizar las expresiones obtenidas usando el procedimiento de los
mapas de Karnaugh
c) Implementar el circuito a partir de las expresiones reducidas en b)
utilizando compuertas lgicas AND, OR y NOT
A B C D F1 F2 F3
0 0 0 0 1 0 1
0 0 0 1 1 0 0
0 0 1 0 1 0 1
0 0 1 1 1 1 0
0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 1 0 1 1
0 1 1 0 1 1 0
0 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0 1
1 0 0 1 1 0 0
1 0 1 0 0 0 1
1 0 1 1 1 1 0
1 1 0 0 0 1 0
1 1 0 1 1 0 1
1 1 1 0 0 0 0
1 1 1 1 1 0 0A B C D F1 F2 F30 0 0 0 1 0 10 0 0 1 1 0 00 0 1 0 1 0 10 0 1 1 1 1 00 1 0 0 1 0 00 1 0 1 0 1 10 1 1 0 1 1 00 1 1 1 1 1 11 0 0 0 0 0 11 0 0 1 1 0 01 0 1 0 0 0 11 0 1 1 1 1 01 1 0 0 0 1 01 1 0 1 1 0 11 1 1 0 0 0 01 1 1 1 1 0 0
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