Číselné množiny prehľad

ČÍSELNÉ MNOŽINYPREHĽAD

Mgr.Jozef Vozár2010

Križovatka

1. O číselných množinách všeobecne2. Množina prirodzených čísel N3. Množina celých čísel Z4. Množina racionálnych čísel Q5. Množina reálnych čísel R

Základy základov

Ak začneme budovať číselnú množinu, potom musíme vedieť:

1) Čo obsahuje – prvky2) Operácie s prvkami a ich vlastnosti3) Binárne relácie (vzťahy) medzi prvkami4) Vlastnosti, použitie, obmedzenia

Prvky číselných množín

1) Prvkami číselných množín sú čísla (prirodzené, racionálne, reálne, ...). Pojem čísla je základným pojmom, to znamená, že ho nedefinujeme a spoliehame sa na to, že to predsa každý vie.

Operácie s prvkami množiny

2) Operáciu môžeme definovať aj tak, že vezmeme 2 prvky množiny (usporiadanú, alebo neusporiadanú dvojicu) a priradíme im nejakým spôsobom tretí prvok. Ten môže byť z tej istej množiny - množina je voči operácii uzavretá, alebo môže byť mimo množiny.

cba ;

Operácie s prvkami množiny

Pri výbere operácií, hľadáme také, ktoré sa osvedčili v praxi a tak, aby ich počet nebol príliš veľký – dve, tri.V prípade číselných množín sú to obvykle operácie:

a) Súčet čísel – znak „+“b) Súčin čísel – znak „.“Ak potrebujeme, môžeme si dodať aj ďalšie.

Vlastnosti operácií

V ďalšom texte bude ako znak akejkoľvek operácie vystupovať znak „*“ .

1) Uzavretosť – množina je uzavretá voči operácii, ak výsledok

operácie patrí do tej istej množiny

MbaMba *;,

Vlastnosti operácií

2) Komutatívnosť – operácia je komutatívna, ak v nej nezáleží na

poradí v akom sa vykonáva

abbaMba **;,

Vlastnosti operácií

3) Asociatívnosť – operácia je asociatívna, ak umožňuje pomocou

zátvoriek vytvárať asociácie – skupiny

)*(**)*(;,, cbacbaMcba

Vlastnosti operácií

4) Neutrálny prvok – v množine M existuje taký prvok, ktorý

neovplyvňuje výsledok operácie

aaeeaMeMa **;,

Vlastnosti operácií

5) Inverzný prvok – v množine existuje pre operáciu inverzný

prvok, taký že ak urobíme operáciu s prvkom a inverzným prvkom k nemu, potom výsledkom bude neutrálny prvok tej operácie

eaaaMa ´*´;,

Vlastnosti operácií

Ak sú v množine definované dve operácie *, §, potom môže pribudnúť ešte spoločná vlastnosť oboch operácií

6) Distributívnosť – určuje pravidlá odstránenia, alebo pridania zátvoriek

alebo

)*()§*()§(*;,, cabacbaMcba

)§(*)§()*(§;,, cabacbaMcba

Vlastnosti operácií - záver

Množina, ktorá má dve operácie, z ktorých každá má prvých 5 vlastnosti a ešte aj šiestu, teda spolu jedenásť uvedených vlastností sa nazýva komutatívne teleso.Takáto množina je mimoriadne užitočná a pri skúmaní číselných množín hľadáme odpoveď na otázku, do akej miery sa skúmaná množina približuje k tejto dokonalej.

Binárne relácie medzi číslami

Máme tu na mysli binárne relácie medzi číslami v množine. V takom prípade sledujeme vlastnosti binárnych relácií:

1. Reflexívnosť2. Symetria3. Tranzitívnosť

Vlastnosti binárnych relácií v množine

1. ReflexívnosťRelácia X v množine M je reflexívna práve vtedy, ak každý prvok a množiny M je v relácii sám so sebou, teda keď každá usporiadaná dvojica [a;a] je prvkom relácie X.

);( aXaMareflexívnaX

Vlastnosti binárnych relácií v množine

2. SymetriaRelácia X v množine M je symetrická práve vtedy, ak pre každé dva prvky a, b množiny M platí, že ak usporiadaná dvojica [a;b] je prvkom relácie X, potom aj usporiadaná dvojica [b;a] je prvkom relácie X.

);,( bXaaXbMbasymetrickáX

Vlastnosti binárnych relácií v množine

3. TranzitívnosťRelácia X v množine M je tranzitívna práve vtedy, ak pre každé tri prvky a, b, c množiny M platí, že ak usporiadaná dvojica [a;b] je prvkom relácie X a usporiadaná dvojica [b;c] je prvkom relácie X, potom aj dvojica [a;c] je prvkom relácie X.

);,,( aXcbXcaXbMcbaatranzitívnX

Príklad 1

Relácia: x je bratom y v množine všetkých žijúcich ľudí

1. Nie je reflexívna2. Nie je symetrická3. Je tranzitívna

Príklad 2

Relácia: x je kolmá na y v množine všetkých priamok danej roviny

1. Nie je reflexívna2. Je symetrická3. Nie je tranzitívna

Príklad 3

Relácia: x je rovnobežná s y v množine všetkých rovín daného priestoru

1. Je reflexívna2. Je symetrická3. Je tranzitívna

Binárne relácie v číselných množinách

V číselných množinách majú veľkú dôležitosť dve binárne relácie:

1. Relácia rovnosť čísel a = b2. Relácia nerovnosť čísel a < b

Relácia „rovnosť čísel“

Vlastnosti:1. Relácia je reflexívna: (x = x)2. Relácia je symetrická: (x = y) (y = x)3. Relácia je tranzitívna:

Relácia s takýmito vlastnosťami sa volá relácia ekvivalencie.

)()()( zxzyyx

Relácia „nerovnosť čísel“

Vlastnosti:1. Relácia je antireflexívna: (x < x)´2. Relácia je asymetrická: (x < y) (y < x)´3. Relácia je tranzitívna:

Relácia s takýmito vlastnosťami sa volá relácia usporiadania.

)()()( zxzyyx

Množina prirodzených čísel N

Prirodzené čísla sa používajú na označovanie počtu vecí, ľudí, zvierat.

N = {1, 2, 3, 4, …}Niekedy do tejto množiny zaraďujeme aj číslo 0, historicky však toto číslo pribudlo omnoho neskôr ako ostatné prirodzené čísla.

Vlastnosti operácií v N

Vlastnosti sčítania1. Uzavretosť2. Komutatívnosť3. Asociatívnosť4. Neutrálny prvok - nemá5. Inverzný prvok - nemá

Vlastnosti násobenia1. Uzavretosť2. Komutatívnosť3. Asociatívnosť4. Neutrálny prvok – 15. Inverzný prvok - nemá

Záver pre N

Ako vidieť z tabuľky táto množina má tri vážne nedostatky. Taktiež neumožňuje v plnej miere používať „opačné“ operácie – rozdiel a podiel prirodzených čísel. (Vyskúšaj !)Aby sa aspoň časť nedostatkov odstránila, pridáme do N číslo 0 a výsledky rozdielov prirodzených čísel.

Množina celých čísel Z

Táto množina vznikne rozšírením N o 0 a výsledky odčítania prirodzených čísel – teda o záporné čísla. Umožňuje už vypočítavať aj dlhy, resp. chýbajúce veci. Pridávajú sa pravidlá pre počítanie so zátvorkami a zápornými číslami.

Vlastnosti operácií v Z

Vlastnosti sčítania1. Uzavretosť2. Komutatívnosť3. Asociatívnosť4. Neutrálny prvok - 05. Inverzný prvok – opačné

číslo -a

Vlastnosti násobenia1. Uzavretosť2. Komutatívnosť3. Asociatívnosť4. Neutrálny prvok – 15. Inverzný prvok - nemá

Záver pre Z

Takto zostavená množina už má takmer všetky vlastnosti dobrej číselnej množine, ale ešte stále je v nej nedostatok. Nie je v nej možné používať „opačnú“ operáciu k násobeniu, lebo jej výsledky nesmerujú do Z (nie je uzavretá pre delenie – vyskúšaj!).Pre jej zlepšenie pridáme do nej výsledky delenia celých čísel.

Množina racionálnych čísel

Túto množinu získame rozšírením Z o výsledky delenia celých čísel. Táto množina potom umožní aj počítanie častí celku. Doplnená je o pravidlá pre počítanie so zlomkami

Vlastnosti operácií v Q

Vlastnosti sčítania1. Uzavretosť2. Komutatívnosť3. Asociatívnosť4. Neutrálny prvok - 05. Inverzný prvok – opačné

číslo -a

Vlastnosti násobenia1. Uzavretosť2. Komutatívnosť3. Asociatívnosť4. Neutrálny prvok – 15. Inverzný prvok –

prevrátené číslo 1/a

Záver pre Q

Takto zostavená množina už má všetky vlastnosti dobrej číselnej množiny. Takto aj bola dlhý čas po svojom objavení (alebo konštrukcii) vnímaná. Ukázalo sa však, existujú čísla, ktoré nie sú racionálne napr. druhé odmocniny, π, hodnoty gon. fcií a pod.Ak uvedené iracionálne čísla pridáme k Q aj s pravidlami pre počítanie s nimi, získame množinu R – reálnych čísel.

Množina reálnych čísel R

Ak do množiny Q pridáme všetky čísla, ktoré do nej nepatria aj s pravidlami prepočítanie s nimi získame novú množinu v ktorej je možné počítať všetky situácie, kde vystačíme s jednorozmerným priestorom.

Vlastnosti operácií v R

Vlastnosti sčítania1. Uzavretosť2. Komutatívnosť3. Asociatívnosť4. Neutrálny prvok - 05. Inverzný prvok – opačné

číslo -a

Vlastnosti násobenia1. Uzavretosť2. Komutatívnosť3. Asociatívnosť4. Neutrálny prvok – 15. Inverzný prvok –

prevrátené číslo 1/a

Distributívnosť v číselných množinách

Vo všetkých číselných množinách N, Z, Q, R existuje spoločná vlastnosť pre obidve operácie a to distributívnosť vzhľadom k násobeniu.

Poznámka: ak túto vlastnosť čítame zľava doprava hovoríme o roznásobení. Pri čítaní opačným smerom hovoríme o vynímaní pred zátvorku.M je ktorákoľvek z množín N, Z, Q, R.

cabacbaMcba ..).(;,,

Q

Vennov diagram o vzťahoch medzi číselnými množinami

N

Z

R

Q

Záver pre R

Množina reálnych čísel R obsahuje všetky doteraz známe čísla a tým, že jej operácie majú všetkých 11 uvedených vlastností spĺňa požiadavky na zaradenie medzi množiny so spoločným menom komutatívne teleso.